root/applications/doprava/texty/novotny_vyzk_LQ/Implementation/ChangingFlow.tex @ 1427

\subsubsection{Model toku}
V článku \cite{6_tuc_lq} se úbytek vozidel modeluje podle rovnice \ref{eq:tuc_u}, kde je uvažován
tok vozidel křižovatkou za jednotku času jako konstanta $S$, což je saturovaný tok. Tento vztah
platí pouze když je příslušný pruh naplněn vozidly do té míry, že křižovatkou projede maximální
možný počet vozidel. To však neplatí, pokud není pruh dostatečně vytížen, například pokud se zmenší
délka fronty v nějaký časový okamžik na nulu. Pokud je vytížení menší je tok lineárně závislý na součtu
fronty $q(t)/T$ a počtu vstupujících vozidel $i(t)$. Pro teoretickou hodnotu toku $S$ tedy dostáváme vztah
\begin{equation}\label{eq:teor_tok}
 S_{teor}(q(t) + i(t)) = \left\{
                        \begin{array}{lr}
                          \frac{q(t)}{T} + i(t) & \frac{q(t)}{T} + i(t) <= S_{max} \\
                          S_{max} &  \frac{q(t)}{T} + i(t) > S_{max}
                        \end{array}
                  \right.
\end{equation}
. tento vztah vyjadřuje to, že pokud je fronta plus přírůstrek vozidel ve vzorkovací periodě
$(q(t), i(t)T)$ menší než maximální počet vozidel, který je křižovatka za periodu $T$ schopna
propustit $(T S_{max})$, projedou všechna vozidla. Abychom se vyhnuli podmínce podle $S_{max}$,
aproximuje se tento vztah funkcí
\begin{equation}\label{eq:exp_tok}
 S_{exp}(q(t), i(t)) = S_{max} \left(1 - e^{- \frac{1}{S_{max}} \left( \frac{q(t)}{T} + i(t) \right) } \right)
\end{equation}
, která splňuje podmínku 
\begin{equation} 
\frac{ dS_{exp} }{d(q/T+i)}(0,0) = 1  
\end{equation}
, tedy při malé frontě a hustotě provozu
je přírůstek toku roven $q/T+i$, a podmínku 
\begin{equation}
\lim_{q/T+i\to\infty} S_{exp} = S_{max}  
\end{equation}
, tedy při velké frontě a hustotě provozu
se tok blíží konstantě $S_{max}$. Pro malý časový interval můžeme tuto funkci dále zjednodušit na lineární vztah
\begin{equation}\label{eq:lin_tok}
 S(q(t)) = \sigma(q(t)/T + i_0)
\end{equation}
, kde je $i_0 = i(0)$ a
\begin{equation}
 \sigma = \frac{ dS_{exp} }{d(q/T+i)}(q(0),i(0))
\end{equation}

\subsection{Odhdad odbočovacích poměrů}
V ninější verzi se pracuje s konstantními odbočovacími poměry,
které byly naměřeny v reálné siutaci a zadávají se pomocí
konfiguračního souboru. Pro standartní simulace je tento způsob dostačující,
do budoucna by však mohlo přinést zlepšení tyto koeficienty odhadovat v průběhu simulace.
\\
\\
Vhodnou metodou k odhadu odbočovacích poměrů by mohl být například
Kalmanův filtr, nebo jiná metoda používající bayesovské učení
popsané v kapitole \ref{sec:bayes}
, kde by se
nyní používaná konstantní hodnota zavedla jako apriorní pravděpodobnost.



% \subsubsection{Přechodové vztahy s proměnným tokem}
% Pro vyjádření přechodových vzthů použijeme lineární odel toku a rovnice \ref{eq:my_trans_02}
% přejde na tvar
% \begin{equation}
%  q_j(t+1) = q_j(t) + T \left( i_{j,0}(t) + \sum_{k \in I_j} \alpha_{k,j} S_k(q_k(t)) g_k^N \left( 1 - LC(t)^{-1} \right)  - S_j(q_j(t)) g_j^N \left( 1 - LC(t)^{-1} \right) \right)
% \end{equation}
% , a po dosazení \ref{eq:lin_tok} dostaneme
% \begin{equation}
%  q_j(t+1) = q_j(t) + T \left( \begin{array}{c}
%                               i_{j,0}(t) + \\
%                               + \sum_{k \in I_j} \alpha_{k,j} \delta_k(q_k(t) T^{-1} + i_{0,k}) g_k^N \left( 1 - LC(t)^{-1} \right) - \\
%                               - \delta_j(q_j(t) T^{-1} + i_{0,j}) g_j^N \left( 1 - LC(t)^{-1} \right)
%                               \end{array}
%   \right)
% \end{equation}
% 
% \begin{equation}\label{eq:my_trans_mod_tok_03}
%  q_j(t+1) = q_j(t) + T \left( \begin{array}{c}
%                               i_{j,0}(t) + \\
%                               + \sum_{k \in I_j} \alpha_{k,j} \delta_k g_k^N T^{-1} q_k(t)  - \delta_j g_j^N T^{-1} q_j(t) + \\
%                               + \sum_{k \in I_j} \alpha_{k,j} \delta_k i_{0,k} g_k^N - \delta_j i_{0,j} g_j^N - \\
%                               - \sum_{k \in I_j} \alpha_{k,j} \delta_k g_k^N L T^{-1} q_k(t) C(t)^{-1} + \delta_j  g_j^N L T^{-1} q_j(t) C(t)^{-1} - \\                               
%                               - \sum_{k \in I_j} \alpha_{k,j} \delta_k i_{0,k} g_k^N L C(t)^{-1} + \delta_j i_{0,j} g_j^N L C(t)^{-1}                                 
%                               \end{array}
%   \right)
% \end{equation}