[1427] | 1 | \subsection{Minimalizace kritéria} |
---|
| 2 | Podobně jako v předchozí kapitole, minimalizovat kvaratické kritérium $J$. |
---|
| 3 | Minimalizaci budeme provádět v proměnných $u(t)$ pro časový horizont $h$, |
---|
| 4 | tedy pro vektory $\Delta C(t_0), \Delta C(t_0 + 1), ...,u(t_0 + h)$. Pro zpřehlednění |
---|
| 5 | zápisu položíme bez újmy na obecnosti $t_0 = 0$. |
---|
| 6 | Matici $I_0(t)$, která vyjadřuje příjezd vozidel z okolí do sledované sítě, |
---|
| 7 | budeme v rámci minimalizačního horizontu považovat za konstantu značenou $I_0$ a |
---|
| 8 | vztah \ref{eq:my_trans_mat} se dá tedy přepsat do tvaru |
---|
| 9 | \begin{equation}\label{eq:prechod_subs_01} |
---|
| 10 | \left( \begin{array}{c} q(t+1) \\ 1 \end{array} \right) = |
---|
| 11 | \left( \begin{array}{cc} A_0 & I_0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) |
---|
| 12 | \left( \begin{array}{c} q(t) \\ 1 \end{array} \right) |
---|
| 13 | + |
---|
| 14 | \left( \begin{array}{c} B_0 \\ 0 \end{array} \right) |
---|
| 15 | u(t) |
---|
| 16 | \;. |
---|
| 17 | \end{equation} |
---|
| 18 | Po provedení substituce |
---|
| 19 | \begin{equation} |
---|
| 20 | \begin{array}{cccc} |
---|
| 21 | x(t) = \left( \begin{array}{c} q(t) \\ 1 \end{array} \right) \;, & |
---|
| 22 | A = \left( \begin{array}{cc} A_0 & I_0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \;, & |
---|
| 23 | B = \left( \begin{array}{c} B_0 \\ 0 \end{array} \right) \;, |
---|
| 24 | \end{array} |
---|
| 25 | \end{equation} |
---|
| 26 | se rovnice \ref{eq:prechod_subs_01} zjednoduší na |
---|
| 27 | \begin{equation}\label{eq:prechod_mat_po_subs} |
---|
| 28 | x(t+1) = Ax(t) + Bu(t) \;, |
---|
| 29 | \end{equation} |
---|
| 30 | kde chybí konstantní člen. |
---|
| 31 | |
---|
| 32 | Kvadratické kritérium ve tvaru |
---|
| 33 | \begin{equation}\label{eq:J} |
---|
| 34 | J = \sum_{t=0}^h x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t) \;, |
---|
| 35 | \end{equation} |
---|
| 36 | kde $Q$ a $R$ jsou diagonální pozitivně definitní matice vah, |
---|
| 37 | rozepíšeme pomocí vztahu \ref{eq:prechod_mat_po_subs} |
---|
| 38 | a budeme minimalizovat pro jednotlivá $t$ podle $u(t)$. |
---|
| 39 | Proměnná $u(h)$ se v kritériu vyskytuje pouze ve členu |
---|
| 40 | \begin{equation} |
---|
| 41 | u(h)^T Ru(h) |
---|
| 42 | \end{equation} |
---|
| 43 | a tedy musí být $u(h) = 0$. $u(h - 1)$ se vyskytuje ve členech |
---|
| 44 | \begin{equation} |
---|
| 45 | u(h - 1)^T Ru(h - 1) + (x(h - 1)^T A^T +u(h - 1)^T B^T ) Q ( A x(h - 1) + B u(h - 1) + I_0) \;, |
---|
| 46 | \end{equation} |
---|
| 47 | což lze pomocí složených vektorů a matic přepsat do tvaru |
---|
| 48 | \begin{equation} \label{eq:J_sloz} |
---|
| 49 | (u(h-1)^T, x(h - 1)^T ) |
---|
| 50 | \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 51 | B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T \\ |
---|
| 52 | A^T \sqrt{Q}^T & 0 |
---|
| 53 | \end{array} |
---|
| 54 | \right) |
---|
| 55 | \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 56 | \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
---|
| 57 | \sqrt{R} & 0 |
---|
| 58 | \end{array} |
---|
| 59 | \right) |
---|
| 60 | \left( \begin{array}{c} |
---|
| 61 | u(h-1) \\ |
---|
| 62 | x(h - 1) |
---|
| 63 | \end{array} |
---|
| 64 | \right) \;, |
---|
| 65 | \end{equation} |
---|
| 66 | kde symbolem $\sqrt{Q}$ myslíme matici, pro níž platí $\sqrt{Q}^T \sqrt{Q} = Q$. |
---|
| 67 | Matice $Q$ a $R$ jsou pozitivně definitní diagonální matice, takže $\sqrt{Q}$ bude také |
---|
| 68 | pozitivně definitní diagonální a její diagonální prvky budou rovny odmocnině |
---|
| 69 | příslušných prvků původní matice $Q$. |
---|
| 70 | Složenou matici |
---|
| 71 | \begin{equation} |
---|
| 72 | M_0 = \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 73 | \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
---|
| 74 | \sqrt{R} & 0 |
---|
| 75 | \end{array} |
---|
| 76 | \right) |
---|
| 77 | \end{equation} |
---|
| 78 | můžeme pomocí QR dekompozice rozložit na součin |
---|
| 79 | |
---|
| 80 | \begin{equation} |
---|
| 81 | M_0 = M_R M_Q , |
---|
| 82 | \end{equation} |
---|
| 83 | kde $M_Q$ je horní trojůhelníková matice a $M_R$ je matice ortonormální. |
---|
| 84 | Pro ortonormální matici $M_R$ platí |
---|
| 85 | \begin{equation} |
---|
| 86 | M_R^T M_R = I \;, |
---|
| 87 | \end{equation} |
---|
| 88 | neboť její zloupce jsou vzájemně ortogonální a normované na jednotku. |
---|
| 89 | Z toho plyne, že součin matic $M_0^T M_0$ vyskytující se v členu \ref{eq:J_sloz} |
---|
| 90 | můžeme pomocí QR rozlkladu převést na tvar |
---|
| 91 | \begin{equation} |
---|
| 92 | M_0^T M_0 = ( M_R M_Q )^T M_R M_Q = M_Q^T M_R^T M_R M_Q = M_Q^T M_Q \;, |
---|
| 93 | \end{equation} |
---|
| 94 | kde |
---|
| 95 | \begin{equation} |
---|
| 96 | M_Q = \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 97 | L_u & L \\ |
---|
| 98 | 0 & L_q |
---|
| 99 | \end{array} |
---|
| 100 | \right) \;, |
---|
| 101 | \end{equation} |
---|
| 102 | je horní trojůhelníková matice. |
---|
| 103 | Člen \ref{eq:J_sloz} poté přejde na tvar |
---|
| 104 | \begin{equation} |
---|
| 105 | (\Delta C(h-1)^T, x(h - 1)^T ) |
---|
| 106 | \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 107 | L_q^T & 0 \\ |
---|
| 108 | L^T & L_u^T |
---|
| 109 | \end{array} |
---|
| 110 | \right) |
---|
| 111 | \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 112 | L_u & L \\ |
---|
| 113 | 0 & L_q |
---|
| 114 | \end{array} |
---|
| 115 | \right) |
---|
| 116 | \left( \begin{array}{c} |
---|
| 117 | u(h-1) \\ |
---|
| 118 | x(h - 1) |
---|
| 119 | \end{array} |
---|
| 120 | \right) \;, |
---|
| 121 | \end{equation} |
---|
| 122 | který můžeme dále upravit na |
---|
| 123 | \begin{equation} |
---|
| 124 | ( L_u u(h-1) + L_q x(h-1) )^T ( L_uu(h-1) + L_q x(h-1) ) + x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) |
---|
| 125 | \end{equation}. Pokud tento člen chceme minimalizovat v proměnné $x(h-1)$, musí nutně platit |
---|
| 126 | \begin{equation} |
---|
| 127 | u(h-1) = - L_u^{-1} L x(h-1) |
---|
| 128 | \end{equation}. Zbývající nenulová část $x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) $ lze přepsat pomocí rovnice \ref{eq:prechod} do tvaru |
---|
| 129 | \begin{equation} |
---|
| 130 | x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) = ( A x(h-2) + B u(h-2) )^T L_q^T L_q ( A x(h-2) + B u(h-2) ) \;, |
---|
| 131 | \end{equation} |
---|
| 132 | kde se vyskytuje $u(t)$ pouze pro $t = h-2$. |
---|
| 133 | Při minimalizaci podle $u(h-2)$ musíme zahrnout i tuto část, člen ve složeném maticovém zápisu |
---|
| 134 | tudíž nabyde tvaru |
---|
| 135 | \begin{equation} |
---|
| 136 | (u(h-2)^T, x(h-2)^T ) |
---|
| 137 | \left( \begin{array}{ccc} |
---|
| 138 | B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T & L_x A \\ |
---|
| 139 | A^T \sqrt{Q}^T & 0 & L_x B |
---|
| 140 | \end{array} |
---|
| 141 | \right) |
---|
| 142 | \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 143 | \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
---|
| 144 | \sqrt{R} & 0 \\ |
---|
| 145 | L_x A & L_x B |
---|
| 146 | \end{array} |
---|
| 147 | \right) |
---|
| 148 | \left( \begin{array}{c} |
---|
| 149 | u(h-2) \\ |
---|
| 150 | x(h-2) |
---|
| 151 | \end{array} |
---|
| 152 | \right) \;. |
---|
| 153 | \end{equation} |
---|
| 154 | Matici |
---|
| 155 | \begin{equation} |
---|
| 156 | M = \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 157 | \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
---|
| 158 | \sqrt{R} & 0 \\ |
---|
| 159 | L_x A & L_x B |
---|
| 160 | \end{array} |
---|
| 161 | \right) = \left( \begin{array}{c} |
---|
| 162 | M_0 \\ |
---|
| 163 | L_x A \; L_x B |
---|
| 164 | \end{array} |
---|
| 165 | \right) |
---|
| 166 | \end{equation} |
---|
| 167 | opět převedeme QR dekompozicí do horního trojůhelníkového tvaru a dostaneme vztah pro $u(h-2)$. |
---|
| 168 | Tento postup se analogicky aplikuje na každé $u(t)$. Matice $M_0$ je stále stjná, $L_x$ použijeme z předchozího kroku minimalizace. |
---|
| 169 | |
---|
| 170 | \subsubsection{Implementace minimalizace} |
---|
| 171 | |
---|
| 172 | Minimaizace kvadratického kritéria je v simulaci prováděna třídou QuadraticMinim |
---|