[1427] | 1 | \subsection{Minimalizace kritéria} |
---|
| 2 | Podobně jako v předchozí kapitole budeme minimalizovat kvaratické kritérium $J$. |
---|
| 3 | Minimalizaci budeme provádět v proměnných $u(t)$ pro časový horizont $h$, |
---|
| 4 | tedy pro vektory $\Delta C(t_0), \Delta C(t_0 + 1), ...,u(t_0 + h)$. Pro zpřehlednění |
---|
| 5 | zápisu položíme bez újmy na obecnosti $t_0 = 0$. |
---|
| 6 | Matici $I_0(t)$, která vyjadřuje příjezd vozidel z okolí do sledované sítě, |
---|
| 7 | budeme v rámci minimalizačního horizontu považovat za konstantu značenou $I_0$ a |
---|
| 8 | vztah \ref{eq:my_trans_mat} se dá tedy přepsat do tvaru |
---|
| 9 | \begin{equation}\label{eq:prechod_subs_01} |
---|
| 10 | \left( \begin{array}{c} q(t+1) \\ 1 \end{array} \right) = |
---|
| 11 | \left( \begin{array}{cc} A_0 & I_0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) |
---|
| 12 | \left( \begin{array}{c} q(t) \\ 1 \end{array} \right) |
---|
| 13 | + |
---|
| 14 | \left( \begin{array}{c} B_0 \\ 0 \end{array} \right) |
---|
| 15 | u(t) |
---|
| 16 | \;. |
---|
| 17 | \end{equation} |
---|
| 18 | Po provedení substituce |
---|
| 19 | \begin{equation} |
---|
| 20 | \begin{array}{cccc} |
---|
| 21 | x(t) = \left( \begin{array}{c} q(t) \\ 1 \end{array} \right) \;, & |
---|
| 22 | A = \left( \begin{array}{cc} A_0 & I_0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \;, & |
---|
| 23 | B = \left( \begin{array}{c} B_0 \\ 0 \end{array} \right) \;, |
---|
| 24 | \end{array} |
---|
| 25 | \end{equation} |
---|
| 26 | se rovnice \ref{eq:prechod_subs_01} zjednoduší na |
---|
| 27 | \begin{equation}\label{eq:prechod_mat_po_subs} |
---|
| 28 | x(t+1) = Ax(t) + Bu(t) \;, |
---|
| 29 | \end{equation} |
---|
[1430] | 30 | kde chybí konstantní člen. Poté již můžeme použít metodu popsanou v kapitole \ref{sec:minim}. |
---|
[1427] | 31 | |
---|
[1429] | 32 | % Kvadratické kritérium ve tvaru |
---|
| 33 | % \begin{equation}\label{eq:J} |
---|
| 34 | % J = \sum_{t=0}^h x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t) \;, |
---|
| 35 | % \end{equation} |
---|
| 36 | % kde $Q$ a $R$ jsou diagonální pozitivně definitní matice vah, |
---|
| 37 | % rozepíšeme pomocí vztahu \ref{eq:prechod_mat_po_subs} |
---|
| 38 | % a budeme minimalizovat pro jednotlivá $t$ podle $u(t)$. |
---|
| 39 | % Proměnná $u(h)$ se v kritériu vyskytuje pouze ve členu |
---|
| 40 | % \begin{equation} |
---|
| 41 | % u(h)^T Ru(h) |
---|
| 42 | % \end{equation} |
---|
| 43 | % a tedy musí být $u(h) = 0$. $u(h - 1)$ se vyskytuje ve členech |
---|
| 44 | % \begin{equation} |
---|
| 45 | % u(h - 1)^T Ru(h - 1) + (x(h - 1)^T A^T +u(h - 1)^T B^T ) Q ( A x(h - 1) + B u(h - 1) + I_0) \;, |
---|
| 46 | % \end{equation} |
---|
| 47 | % což lze pomocí složených vektorů a matic přepsat do tvaru |
---|
| 48 | % \begin{equation} \label{eq:J_sloz} |
---|
| 49 | % (u(h-1)^T, x(h - 1)^T ) |
---|
| 50 | % \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 51 | % B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T \\ |
---|
| 52 | % A^T \sqrt{Q}^T & 0 |
---|
| 53 | % \end{array} |
---|
| 54 | % \right) |
---|
| 55 | % \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 56 | % \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
---|
| 57 | % \sqrt{R} & 0 |
---|
| 58 | % \end{array} |
---|
| 59 | % \right) |
---|
| 60 | % \left( \begin{array}{c} |
---|
| 61 | % u(h-1) \\ |
---|
| 62 | % x(h - 1) |
---|
| 63 | % \end{array} |
---|
| 64 | % \right) \;, |
---|
| 65 | % \end{equation} |
---|
| 66 | % kde symbolem $\sqrt{Q}$ myslíme matici, pro níž platí $\sqrt{Q}^T \sqrt{Q} = Q$. |
---|
| 67 | % Matice $Q$ a $R$ jsou pozitivně definitní diagonální matice, takže $\sqrt{Q}$ bude také |
---|
| 68 | % pozitivně definitní diagonální a její diagonální prvky budou rovny odmocnině |
---|
| 69 | % příslušných prvků původní matice $Q$. |
---|
| 70 | % Složenou matici |
---|
| 71 | % \begin{equation} |
---|
| 72 | % M_0 = \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 73 | % \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
---|
| 74 | % \sqrt{R} & 0 |
---|
| 75 | % \end{array} |
---|
| 76 | % \right) |
---|
| 77 | % \end{equation} |
---|
| 78 | % můžeme pomocí QR dekompozice rozložit na součin |
---|
| 79 | % |
---|
| 80 | % \begin{equation} |
---|
| 81 | % M_0 = M_R M_Q , |
---|
| 82 | % \end{equation} |
---|
| 83 | % kde $M_Q$ je horní trojůhelníková matice a $M_R$ je matice ortonormální. |
---|
| 84 | % Pro ortonormální matici $M_R$ platí |
---|
| 85 | % \begin{equation} |
---|
| 86 | % M_R^T M_R = I \;, |
---|
| 87 | % \end{equation} |
---|
| 88 | % neboť její zloupce jsou vzájemně ortogonální a normované na jednotku. |
---|
| 89 | % Z toho plyne, že součin matic $M_0^T M_0$ vyskytující se v členu \ref{eq:J_sloz} |
---|
| 90 | % můžeme pomocí QR rozlkladu převést na tvar |
---|
| 91 | % \begin{equation} |
---|
| 92 | % M_0^T M_0 = ( M_R M_Q )^T M_R M_Q = M_Q^T M_R^T M_R M_Q = M_Q^T M_Q \;, |
---|
| 93 | % \end{equation} |
---|
| 94 | % kde |
---|
| 95 | % \begin{equation} |
---|
| 96 | % M_Q = \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 97 | % L_u & L \\ |
---|
| 98 | % 0 & L_q |
---|
| 99 | % \end{array} |
---|
| 100 | % \right) \;, |
---|
| 101 | % \end{equation} |
---|
| 102 | % je horní trojůhelníková matice. |
---|
| 103 | % Člen \ref{eq:J_sloz} poté přejde na tvar |
---|
| 104 | % \begin{equation} |
---|
| 105 | % (\Delta C(h-1)^T, x(h - 1)^T ) |
---|
| 106 | % \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 107 | % L_q^T & 0 \\ |
---|
| 108 | % L^T & L_u^T |
---|
| 109 | % \end{array} |
---|
| 110 | % \right) |
---|
| 111 | % \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 112 | % L_u & L \\ |
---|
| 113 | % 0 & L_q |
---|
| 114 | % \end{array} |
---|
| 115 | % \right) |
---|
| 116 | % \left( \begin{array}{c} |
---|
| 117 | % u(h-1) \\ |
---|
| 118 | % x(h - 1) |
---|
| 119 | % \end{array} |
---|
| 120 | % \right) \;, |
---|
| 121 | % \end{equation} |
---|
| 122 | % který můžeme dále upravit na |
---|
| 123 | % \begin{equation} |
---|
| 124 | % ( L_u u(h-1) + L_q x(h-1) )^T ( L_uu(h-1) + L_q x(h-1) ) + x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) |
---|
| 125 | % \end{equation}. Pokud tento člen chceme minimalizovat v proměnné $x(h-1)$, musí nutně platit |
---|
| 126 | % \begin{equation} |
---|
| 127 | % u(h-1) = - L_u^{-1} L x(h-1) |
---|
| 128 | % \end{equation}. Zbývající nenulová část $x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) $ lze přepsat pomocí rovnice \ref{eq:prechod} do tvaru |
---|
| 129 | % \begin{equation} |
---|
| 130 | % x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) = ( A x(h-2) + B u(h-2) )^T L_q^T L_q ( A x(h-2) + B u(h-2) ) \;, |
---|
| 131 | % \end{equation} |
---|
| 132 | % kde se vyskytuje $u(t)$ pouze pro $t = h-2$. |
---|
| 133 | % Při minimalizaci podle $u(h-2)$ musíme zahrnout i tuto část, člen ve složeném maticovém zápisu |
---|
| 134 | % tudíž nabyde tvaru |
---|
| 135 | % \begin{equation} |
---|
| 136 | % (u(h-2)^T, x(h-2)^T ) |
---|
| 137 | % \left( \begin{array}{ccc} |
---|
| 138 | % B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T & L_x A \\ |
---|
| 139 | % A^T \sqrt{Q}^T & 0 & L_x B |
---|
| 140 | % \end{array} |
---|
| 141 | % \right) |
---|
| 142 | % \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 143 | % \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
---|
| 144 | % \sqrt{R} & 0 \\ |
---|
| 145 | % L_x A & L_x B |
---|
| 146 | % \end{array} |
---|
| 147 | % \right) |
---|
| 148 | % \left( \begin{array}{c} |
---|
| 149 | % u(h-2) \\ |
---|
| 150 | % x(h-2) |
---|
| 151 | % \end{array} |
---|
| 152 | % \right) \;. |
---|
| 153 | % \end{equation} |
---|
| 154 | % Matici |
---|
| 155 | % \begin{equation} |
---|
| 156 | % M = \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 157 | % \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
---|
| 158 | % \sqrt{R} & 0 \\ |
---|
| 159 | % L_x A & L_x B |
---|
| 160 | % \end{array} |
---|
| 161 | % \right) = \left( \begin{array}{c} |
---|
| 162 | % M_0 \\ |
---|
| 163 | % L_x A \; L_x B |
---|
| 164 | % \end{array} |
---|
| 165 | % \right) |
---|
| 166 | % \end{equation} |
---|
| 167 | % opět převedeme QR dekompozicí do horního trojůhelníkového tvaru a dostaneme vztah pro $u(h-2)$. |
---|
| 168 | % Tento postup se analogicky aplikuje na každé $u(t)$. Matice $M_0$ je stále stjná, $L_x$ použijeme z předchozího kroku minimalizace. |
---|
[1427] | 169 | |
---|
[1429] | 170 | \subsubsection{Implementace minimalizace}sec:minim |
---|
[1427] | 171 | |
---|
| 172 | Minimaizace kvadratického kritéria je v simulaci prováděna metoduo \texttt{mat L( const int horizont )} ve třídě |
---|
| 173 | \texttt{ QuadraticMinimalizator }, které se jako parametry konstruktoru předávají matice \texttt{A}, \texttt{B}, \texttt{L} a \texttt{Q}. |
---|
| 174 | Pro numerické výpočty je použite knihovna IT++, která umožňuje jednoduché operace s maticemi a vektory syntakticky podobně jako v jazyku |
---|
| 175 | MATLAB. Jsou zde také implementovány jednoduché algoritmy, jako například pro naše účely potřebný QR rozklad. |
---|
| 176 | Níže je vložen zdrojový kód metody pro minimalizaci kritéria a získání hodnot řídících parametrů. Proměnné jsou v kódu značeny |
---|
| 177 | stejně jako v textu výše. Ty, které jsou v kódu použity navíc, jsou popsány v komentářích. |
---|
| 178 | |
---|
| 179 | \begin{lstlisting} |
---|
| 180 | mat L( const int horizont ) { |
---|
| 181 | int xdim = A.cols(); // Dimenze vektoru x |
---|
| 182 | int udim = B.cols(); // Dimenze vektoru u |
---|
| 183 | mat sqQ = sqrt(Q); // Odmocninove matice |
---|
| 184 | mat sqR = sqrt(R); |
---|
| 185 | mat M0, M; |
---|
| 186 | mat qrQ; |
---|
| 187 | mat L, Ls, Lx, Lu; |
---|
| 188 | // sestaveni matice M0 |
---|
| 189 | M0 = concat_vertical( |
---|
| 190 | concat_horizontal( sqQ * B, sqQ * A ), |
---|
| 191 | concat_horizontal( sqR, zeros( udim, xdim ) ) |
---|
| 192 | ); |
---|
| 193 | M = M0; |
---|
| 194 | // hlavni cyklus |
---|
| 195 | for (int h = horizont; h >= 0; h --) { |
---|
| 196 | qr(M, L); // QR rozklad matice M |
---|
| 197 | // rozklad matice L na do slozek |
---|
| 198 | Lu = L(0, udim-1, 0, udim-1); |
---|
| 199 | Lx = L(udim, udim+xdim-1, udim, udim+xdim-1); |
---|
| 200 | Ls = L(0, udim-1, udim, udim+xdim-1); |
---|
| 201 | // kompozice matice M |
---|
| 202 | M = concat_vertical( |
---|
| 203 | M0, |
---|
| 204 | concat_horizontal(Lx * B, Lx * A ) |
---|
| 205 | ); |
---|
| 206 | } |
---|
| 207 | // navratova hodnota - vysledna matice L : u(t+1) = Lx(t) |
---|
| 208 | return - inv(Lu) * Ls; |
---|
| 209 | } |
---|
| 210 | \end{lstlisting} |
---|