[1419] | 1 | \section{LQ řízení} |
---|
| 2 | |
---|
| 3 | LQ je zkratka slovního spojení linaer-quadratic, tedy lineárně kvadratický. |
---|
| 4 | Jedná se obecně o metodu, kdy je systém v diskrétním časovém kroku $t$ |
---|
| 5 | popsán vektorem proměnných $x(t) = ( x_1(t), ..., x_n(t) )$ |
---|
| 6 | a my můžeme nastavovat vektor parametrů $y(t) = ( y_1(t), ..., y_n(t) )$. |
---|
| 7 | Metoda je popsána a použita v článku \cite{6_tuc_lq} pro nastavování časů zelených na křižovatce. |
---|
| 8 | Princip přechodu z času $t$ do $t+1$ je popsán lineárním vztahem |
---|
| 9 | \begin{equation} |
---|
[1424] | 10 | x(t+1) = A x(t) + B y(t) \;, |
---|
[1419] | 11 | \end{equation} |
---|
[1424] | 12 | |
---|
[1419] | 13 | kde matice $A$ a $B$ jsou matice stavů a vstupů vyjadřující odezvu systému vzhledem |
---|
| 14 | k $x(t)$ a $y(t)$. Účelem LQ řízení je najít optimální hodnoty $y(t)$ v závislosti |
---|
| 15 | na $x(t)$ dané zpětnovazebnou maticí $L$ vztahem |
---|
| 16 | \begin{equation}\label{eq_lq_feedback} |
---|
[1424] | 17 | y(t) = -L x(t) \;. |
---|
[1419] | 18 | \end{equation} |
---|
[1424] | 19 | Optimalita je definována pomocí |
---|
[1419] | 20 | kvadratického kritéria |
---|
| 21 | \begin{equation}\label{eq_quadratic_criterion} |
---|
[1424] | 22 | J = \sum_{t=1}^{\infty} x(t)^T Q x(t) + y(t)^T R y(t) \;, |
---|
[1419] | 23 | \end{equation} |
---|
[1424] | 24 | kde $Q$ a $R$ jsou diagonální pozitivně semidefinitní matice vah určující významnost jednotlivých členů kritéria. |
---|
[1419] | 25 | Zpětnovazebná matice $L$ se podle \cite{6_tuc_lq} dostane minimalizací kritéria $J$ jako |
---|
| 26 | \begin{equation}\label{eq_riccati} |
---|
[1424] | 27 | L = (R + B^T P B)^{-1} B^T P A \;, |
---|
| 28 | \end{equation} kde $P$ je jednoznačné řešení Riccatiho rovnice pro diskrétní časový krok |
---|
[1419] | 29 | |
---|
| 30 | \begin{equation}\label{eq_riccati_2} |
---|
[1424] | 31 | P = Q + A^T ( P - P B ( R + B^T P B ) B^T P ) A \;. |
---|
[1419] | 32 | \end{equation} |
---|
[1424] | 33 | Rovnici a její řešení popisuje například \cite{7_lq_methods}. |
---|
[1419] | 34 | |
---|
| 35 | |
---|
| 36 | \subsection{Použití LQ řízení ve strategii TUC} |
---|
| 37 | LQ řízení bylo použito v \cite{6_tuc_lq} k nalezení optimální délky zelených v systému |
---|
| 38 | 13-ti signálních skupin. Proměnné $x_i(t)$ zde představují obsazenost ramene $i$ |
---|
| 39 | spojující křižovatky $M$ a $N$. Účelem strategie je nalezení optimální délky zelených |
---|
| 40 | $g$, $g_{N,i}$ značí délku zelené na signální skupiny křižovatky $N$ zprůjezdňující |
---|
| 41 | směr do ramene $i$. Předpokládaný vztah pro přechod systému z času $t$ do času $t+1$ je |
---|
| 42 | \begin{equation}\label{eq_tuc_1} |
---|
[1424] | 43 | x_i(t+1) = x_i(t) + T [ q_i(t) + s_i(t) + d_i(t) + u_i(t) ] \;, |
---|
| 44 | \end{equation} kde proměnné značí: |
---|
[1419] | 45 | |
---|
| 46 | \begin{itemize} |
---|
| 47 | \item $T$ - časový krok |
---|
| 48 | \item $q_i(t)$ - přírůstek vozidel z křižovatek |
---|
| 49 | \item $u_i(t)$ - úbytek vozidel do ostatních křižovatek |
---|
| 50 | \item $s_i(t)$ - přírůstek vozidel z okolí sítě |
---|
| 51 | \item $d_i(t)$ - úbytek vozidel mimo síť |
---|
| 52 | \end{itemize} |
---|
| 53 | |
---|
| 54 | Přírůstek vozidel z křižovatek je dán vztahem |
---|
| 55 | \begin{equation} |
---|
[1424] | 56 | q_i(t) = \sum_{k\in I_m} t_{k,i} u_k(t) \;, |
---|
[1419] | 57 | \end{equation} |
---|
[1424] | 58 | je to tedy součet úbytků vozidel z ramen ústících do křižovatky $N$ vynásobených |
---|
[1419] | 59 | koeficinety $t_{k,i}$, což jsou odbočovací poměry z ramene $k$ do ramene $i$. |
---|
| 60 | V podovném tvaru se předpokládá $s_i(t)$ |
---|
| 61 | \begin{equation} |
---|
[1424] | 62 | s_i(t) = t_{i,0} q_i(t) \;, |
---|
[1419] | 63 | \end{equation} |
---|
[1424] | 64 | kde $t_{i,0}$ je odbočovací koeficient ramene $i$ mimo sledovanou síť. |
---|
[1419] | 65 | Při délce cyklu $C$, saturovaném toku $S_i$ a délce zelených $g_{N,i}(t)$ ramene $i$ platí |
---|
| 66 | \begin{equation} \label{eq:tuc_u} |
---|
| 67 | u_i(t) = \frac{S_i \sum g_{N,i}(t)}{C} |
---|
| 68 | \end{equation}. |
---|
| 69 | Rovnice \ref{eq_tuc_1} tedy přechází do tvaru |
---|
| 70 | \begin{equation}\label{eq_tuc_2} |
---|
| 71 | x_i(t+1) = x_i(t) + T \left[ |
---|
| 72 | (1-t_{i,0}) \sum_{k\in I_m} t_{k,i} \frac{S_k \sum g_{M,k}(t)}{C} |
---|
| 73 | - \frac{S_i \sum g_{N,i}(t)}{C} |
---|
| 74 | + d_i(t) \right] |
---|
| 75 | \end{equation}. Uvažujeme-li nominální hodnoty $d^n$ a $g^n$ vedoucí |
---|
| 76 | vždy na stav $x^n$, platí podle rovnice \ref{eq_tuc_2} |
---|
| 77 | \begin{equation}\label{eq_tuc_nom} |
---|
| 78 | 0 = T \left[ |
---|
| 79 | (1-t_{i,0}) \sum_{k\in I_m} t_{k,i} \frac{S_k \sum g_{M,k}^n}{C} |
---|
| 80 | - \frac{S_i \sum g_{N,i}^n}{C} |
---|
| 81 | + d_i^n \right] |
---|
| 82 | \end{equation}. Označíme-li |
---|
| 83 | \begin{equation}\label{eq_delta_g} |
---|
| 84 | \Delta g(t) = g(t) - g^n |
---|
| 85 | \end{equation}, můžeme psát rovnici \ref{eq_tuc_2} jako |
---|
| 86 | \begin{equation}\label{eq_tuc_3} |
---|
| 87 | x_i(t+1) = x_i(t) + T \left[ |
---|
| 88 | (1-t_{i,0}) \sum_{k\in I_m} t_{k,i} \frac{S_k \sum \Delta g_{M,k}(t)}{C} |
---|
| 89 | - \frac{S_i \sum \Delta g_{N,i}(t)}{C} |
---|
| 90 | \right] |
---|
| 91 | \end{equation}, což dovoluje tuto rovnici zapsat pomocí matic v požadovaném tvaru |
---|
| 92 | \begin{equation}\label{eq_tuc_4} |
---|
| 93 | x(t+1) = A x(t) + B \Delta g(t) |
---|
| 94 | \end{equation}, kde $A$ je jednotková matice. |
---|
| 95 | |
---|
| 96 | \subsubsection{Kvadratické kritérium} |
---|
| 97 | Účelem lagoritmu je minimalizovat obsazenost ramen, tedy vektor $x(t)$ |
---|
| 98 | a penalizovat změnu délky trvání zelené oproti nominálním hodnotám. |
---|
| 99 | Kvadratické kritérium optimálního řízení \ref{eq_quadratic_criterion} jetedy v \cite{6_tuc_lq} |
---|
| 100 | definováno vztahem |
---|
| 101 | \begin{equation}\label{eq_tuc_crit} |
---|
| 102 | J = \sum_{t=0}^{\infty} x(t)^T Q x(t) + \Delta g(t)^T R \Delta g(t) |
---|
| 103 | \end{equation}. Diagonální matice $Q$ je zde zodpovědná za vyvažování |
---|
| 104 | počtu vozidel jednotlivých úseků. V \cite{6_tuc_lq} je každý diagonální |
---|
| 105 | prvek $Q_{i,i}$ matice $Q$ položen převrácené hodnotě maximálního |
---|
| 106 | povoleného počtu vozidel daného úseku $i$. $R = rI$ penalizuje změnu |
---|
| 107 | časů zelených. Parametr $r$ ovlivňuje míru reakce systému a ja volen metodu pokus-oprava. |
---|
| 108 | Minimalizací tohoto kritéria pomcí \ref{eq_riccati} získáme zpětnovazebnou matici $L$, |
---|
| 109 | která určuje $g(t)$. Z rovnic \ref{eq_lq_feedback} a \ref{eq_delta_g} dostaneme výsledný vztah |
---|
| 110 | \begin{equation}\label{eq_tuc_feedback} |
---|
| 111 | g(t) = g^n - L x(t) |
---|
| 112 | \end{equation}. Toto řešení předpokládá, že známe hodnotu $g^n$, při které systém |
---|
| 113 | zůstává ve stavu $x^n$. Tak tomu ale většinou není. Při absenci znalosti $g^n$ |
---|
| 114 | podle \cite{6_tuc_lq} odečteme $g(t) - g(t-1)$ a rovnice \ref{eq_tuc_feedback} nabývá tvaru |
---|
| 115 | \begin{equation}\label{eq_tuc_feedback_2} |
---|
| 116 | g(t) = g(t-1) - L( x(t) - x(t-1) ) |
---|
| 117 | \end{equation}. |
---|
| 118 | |
---|
| 119 | |
---|
| 120 | |
---|
| 121 | |
---|
| 122 | |
---|
| 123 | |
---|
| 124 | |
---|
| 125 | |
---|
| 126 | |
---|
| 127 | |
---|
| 128 | |
---|
| 129 | |
---|
| 130 | |
---|