[1419] | 1 | \section{LQ řízení} |
---|
| 2 | |
---|
| 3 | LQ je zkratka slovního spojení linaer-quadratic, tedy lineárně kvadratický. |
---|
| 4 | Jedná se obecně o metodu, kdy je systém v diskrétním časovém kroku $t$ |
---|
| 5 | popsán vektorem proměnných $x(t) = ( x_1(t), ..., x_n(t) )$ |
---|
[1429] | 6 | a my můžeme nastavovat vektor parametrů $u(t) = ( u_1(t), ..., u_n(t) )$. |
---|
[1419] | 7 | Metoda je popsána a použita v článku \cite{6_tuc_lq} pro nastavování časů zelených na křižovatce. |
---|
| 8 | Princip přechodu z času $t$ do $t+1$ je popsán lineárním vztahem |
---|
[1429] | 9 | \begin{equation}\label{eq:lq_prechod} |
---|
| 10 | x(t+1) = A x(t) + B u(t) \;, |
---|
[1419] | 11 | \end{equation} |
---|
[1424] | 12 | |
---|
[1419] | 13 | kde matice $A$ a $B$ jsou matice stavů a vstupů vyjadřující odezvu systému vzhledem |
---|
[1429] | 14 | k $x(t)$ a $u(t)$. Účelem LQ řízení je najít optimální hodnoty $u(t)$ v závislosti |
---|
[1419] | 15 | na $x(t)$ dané zpětnovazebnou maticí $L$ vztahem |
---|
| 16 | \begin{equation}\label{eq_lq_feedback} |
---|
[1429] | 17 | u(t) = -L x(t) \;. |
---|
[1419] | 18 | \end{equation} |
---|
[1424] | 19 | Optimalita je definována pomocí |
---|
[1419] | 20 | kvadratického kritéria |
---|
| 21 | \begin{equation}\label{eq_quadratic_criterion} |
---|
[1429] | 22 | J = \sum_{t=1}^{\infty} x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t) \;, |
---|
[1419] | 23 | \end{equation} |
---|
[1424] | 24 | kde $Q$ a $R$ jsou diagonální pozitivně semidefinitní matice vah určující významnost jednotlivých členů kritéria. |
---|
[1419] | 25 | Zpětnovazebná matice $L$ se podle \cite{6_tuc_lq} dostane minimalizací kritéria $J$ jako |
---|
| 26 | \begin{equation}\label{eq_riccati} |
---|
[1424] | 27 | L = (R + B^T P B)^{-1} B^T P A \;, |
---|
| 28 | \end{equation} kde $P$ je jednoznačné řešení Riccatiho rovnice pro diskrétní časový krok |
---|
[1419] | 29 | |
---|
| 30 | \begin{equation}\label{eq_riccati_2} |
---|
[1424] | 31 | P = Q + A^T ( P - P B ( R + B^T P B ) B^T P ) A \;. |
---|
[1419] | 32 | \end{equation} |
---|
[1424] | 33 | Rovnici a její řešení popisuje například \cite{7_lq_methods}. |
---|
[1419] | 34 | |
---|
[1429] | 35 | \subsection{Minimalizace kritéria na horizontu}\label{sec:minim} |
---|
| 36 | Minimalizaci kvadratického kritéria $J$ můžeme omezit da dostatečně dlouhý |
---|
| 37 | časový horizont do budoucna. Podobný postup je popsán například v \cite{lqg_parallel}. |
---|
| 38 | Kvadratické kritérium ve tvaru |
---|
| 39 | \begin{equation}\label{eq:J} |
---|
| 40 | J = \sum_{t=0}^h x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t) \;, |
---|
| 41 | \end{equation} |
---|
| 42 | kde $Q$ a $R$ jsou diagonální pozitivně definitní matice vah, |
---|
| 43 | rozepíšeme pomocí vztahu \ref{eq:prechod_mat_po_subs} |
---|
| 44 | a budeme minimalizovat pro jednotlivá $t$ podle $u(t)$. |
---|
| 45 | Proměnná $u(h)$ se v kritériu vyskytuje pouze ve členu |
---|
| 46 | \begin{equation} |
---|
| 47 | u(h)^T Ru(h) |
---|
| 48 | \end{equation} |
---|
| 49 | a tedy musí být $u(h) = 0$. $u(h - 1)$ se vyskytuje ve členech |
---|
| 50 | \begin{equation} |
---|
| 51 | u(h - 1)^T Ru(h - 1) + (x(h - 1)^T A^T +u(h - 1)^T B^T ) Q ( A x(h - 1) + B u(h - 1) + I_0) \;, |
---|
| 52 | \end{equation} |
---|
| 53 | což lze pomocí složených vektorů a matic přepsat do tvaru |
---|
| 54 | \begin{equation} \label{eq:J_sloz} |
---|
| 55 | (u(h-1)^T, x(h - 1)^T ) |
---|
| 56 | \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 57 | B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T \\ |
---|
| 58 | A^T \sqrt{Q}^T & 0 |
---|
| 59 | \end{array} |
---|
| 60 | \right) |
---|
| 61 | \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 62 | \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
---|
| 63 | \sqrt{R} & 0 |
---|
| 64 | \end{array} |
---|
| 65 | \right) |
---|
| 66 | \left( \begin{array}{c} |
---|
| 67 | u(h-1) \\ |
---|
| 68 | x(h - 1) |
---|
| 69 | \end{array} |
---|
| 70 | \right) \;, |
---|
| 71 | \end{equation} |
---|
| 72 | kde symbolem $\sqrt{Q}$ myslíme matici, pro níž platí $\sqrt{Q}^T \sqrt{Q} = Q$. |
---|
| 73 | Matice $Q$ a $R$ jsou pozitivně definitní diagonální matice, takže $\sqrt{Q}$ bude také |
---|
| 74 | pozitivně definitní diagonální a její diagonální prvky budou rovny odmocnině |
---|
| 75 | příslušných prvků původní matice $Q$. |
---|
| 76 | Složenou matici |
---|
| 77 | \begin{equation} |
---|
| 78 | M_0 = \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 79 | \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
---|
| 80 | \sqrt{R} & 0 |
---|
| 81 | \end{array} |
---|
| 82 | \right) |
---|
| 83 | \end{equation} |
---|
| 84 | můžeme pomocí QR dekompozice rozložit na součin |
---|
[1419] | 85 | |
---|
[1429] | 86 | \begin{equation} |
---|
| 87 | M_0 = M_R M_Q , |
---|
| 88 | \end{equation} |
---|
| 89 | kde $M_Q$ je horní trojůhelníková matice a $M_R$ je matice ortonormální. |
---|
| 90 | Pro ortonormální matici $M_R$ platí |
---|
| 91 | \begin{equation} |
---|
| 92 | M_R^T M_R = I \;, |
---|
| 93 | \end{equation} |
---|
| 94 | neboť její zloupce jsou vzájemně ortogonální a normované na jednotku. |
---|
| 95 | Z toho plyne, že součin matic $M_0^T M_0$ vyskytující se v členu \ref{eq:J_sloz} |
---|
| 96 | můžeme pomocí QR rozlkladu převést na tvar |
---|
| 97 | \begin{equation} |
---|
| 98 | M_0^T M_0 = ( M_R M_Q )^T M_R M_Q = M_Q^T M_R^T M_R M_Q = M_Q^T M_Q \;, |
---|
| 99 | \end{equation} |
---|
| 100 | kde |
---|
| 101 | \begin{equation} |
---|
| 102 | M_Q = \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 103 | L_u & L \\ |
---|
| 104 | 0 & L_q |
---|
| 105 | \end{array} |
---|
| 106 | \right) \;, |
---|
| 107 | \end{equation} |
---|
| 108 | je horní trojůhelníková matice. |
---|
| 109 | Člen \ref{eq:J_sloz} poté přejde na tvar |
---|
| 110 | \begin{equation} |
---|
| 111 | (\Delta C(h-1)^T, x(h - 1)^T ) |
---|
| 112 | \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 113 | L_q^T & 0 \\ |
---|
| 114 | L^T & L_u^T |
---|
| 115 | \end{array} |
---|
| 116 | \right) |
---|
| 117 | \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 118 | L_u & L \\ |
---|
| 119 | 0 & L_q |
---|
| 120 | \end{array} |
---|
| 121 | \right) |
---|
| 122 | \left( \begin{array}{c} |
---|
| 123 | u(h-1) \\ |
---|
| 124 | x(h - 1) |
---|
| 125 | \end{array} |
---|
| 126 | \right) \;, |
---|
| 127 | \end{equation} |
---|
| 128 | který můžeme dále upravit na |
---|
| 129 | \begin{equation} |
---|
| 130 | ( L_u u(h-1) + L_q x(h-1) )^T ( L_uu(h-1) + L_q x(h-1) ) + x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) \;. |
---|
| 131 | \end{equation}Pokud tento člen chceme minimalizovat v proměnné $x(h-1)$, musí nutně platit |
---|
| 132 | \begin{equation} |
---|
| 133 | u(h-1) = - L_u^{-1} L x(h-1) \;, |
---|
| 134 | \end{equation} |
---|
| 135 | tím dostáváme vztah, podle kterého nastavujeme řídící proměnnou $u$. Nyní stačí získat matice $L$ a $L_x$ |
---|
| 136 | pro hodnotu v čase $0$. |
---|
| 137 | Zbývající nenulová část $x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) $ lze přepsat pomocí rovnice \ref{eq:lq_prechod} do tvaru |
---|
| 138 | \begin{equation} |
---|
| 139 | x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) = ( A x(h-2) + B u(h-2) )^T L_q^T L_q ( A x(h-2) + B u(h-2) ) \;, |
---|
| 140 | \end{equation} |
---|
| 141 | kde se vyskytuje $u(t)$ pouze pro $t = h-2$. |
---|
| 142 | Při minimalizaci podle $u(h-2)$ musíme zahrnout i tuto část, člen ve složeném maticovém zápisu |
---|
| 143 | tudíž nabyde tvaru |
---|
| 144 | \begin{equation} |
---|
| 145 | (u(h-2)^T, x(h-2)^T ) |
---|
| 146 | \left( \begin{array}{ccc} |
---|
| 147 | B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T & L_x A \\ |
---|
| 148 | A^T \sqrt{Q}^T & 0 & L_x B |
---|
| 149 | \end{array} |
---|
| 150 | \right) |
---|
| 151 | \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 152 | \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
---|
| 153 | \sqrt{R} & 0 \\ |
---|
| 154 | L_x A & L_x B |
---|
| 155 | \end{array} |
---|
| 156 | \right) |
---|
| 157 | \left( \begin{array}{c} |
---|
| 158 | u(h-2) \\ |
---|
| 159 | x(h-2) |
---|
| 160 | \end{array} |
---|
| 161 | \right) \;. |
---|
| 162 | \end{equation} |
---|
| 163 | Matici |
---|
| 164 | \begin{equation} |
---|
| 165 | M = \left( \begin{array}{cc} |
---|
| 166 | \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
---|
| 167 | \sqrt{R} & 0 \\ |
---|
| 168 | L_x A & L_x B |
---|
| 169 | \end{array} |
---|
| 170 | \right) = \left( \begin{array}{c} |
---|
| 171 | M_0 \\ |
---|
| 172 | L_x A \; L_x B |
---|
| 173 | \end{array} |
---|
| 174 | \right) |
---|
| 175 | \end{equation} |
---|
| 176 | opět převedeme QR dekompozicí do horního trojůhelníkového tvaru a dostaneme vztah pro $u(h-2)$. |
---|
| 177 | Tento postup se analogicky aplikuje na každé $u(t)$. Matice $M_0$ je stále stjná, $L_x$ použijeme z předchozího kroku minimalizace. |
---|
[1419] | 178 | |
---|
| 179 | |
---|
| 180 | |
---|
| 181 | |
---|
| 182 | |
---|
| 183 | |
---|
| 184 | |
---|
| 185 | |
---|
| 186 | |
---|
| 187 | |
---|
| 188 | |
---|
| 189 | |
---|
| 190 | |
---|
| 191 | |
---|