root/applications/doprava/texty/novotny_vyzk_LQ/LQ_rizeni.tex @ 1427

\section{LQ řízení}

LQ je zkratka slovního spojení linaer-quadratic, tedy lineárně kvadratický. 
Jedná se obecně o metodu, kdy je systém v diskrétním časovém kroku $t$ 
popsán vektorem proměnných $x(t) = ( x_1(t), ..., x_n(t) )$
a my můžeme nastavovat vektor parametrů $y(t) = ( y_1(t), ..., y_n(t) )$.
Metoda je popsána a použita v článku \cite{6_tuc_lq} pro nastavování časů zelených na křižovatce.
Princip přechodu z času $t$ do $t+1$ je popsán lineárním vztahem
\begin{equation}
  x(t+1) = A x(t) + B y(t) \;,
\end{equation}

kde matice $A$ a $B$ jsou matice stavů a vstupů vyjadřující odezvu systému vzhledem 
k $x(t)$ a $y(t)$. Účelem LQ řízení je najít optimální hodnoty $y(t)$ v závislosti
na $x(t)$ dané zpětnovazebnou maticí $L$ vztahem 
\begin{equation}\label{eq_lq_feedback}
y(t) = -L x(t) \;.
\end{equation}
Optimalita je definována pomocí
kvadratického kritéria 
\begin{equation}\label{eq_quadratic_criterion}
J = \sum_{t=1}^{\infty} x(t)^T Q x(t) + y(t)^T R y(t) \;,
\end{equation}
kde $Q$ a $R$ jsou diagonální pozitivně semidefinitní matice vah určující významnost jednotlivých členů kritéria.
Zpětnovazebná matice $L$ se podle \cite{6_tuc_lq} dostane minimalizací kritéria $J$ jako
\begin{equation}\label{eq_riccati}
L = (R + B^T P B)^{-1} B^T P A \;,
\end{equation} kde $P$ je jednoznačné řešení Riccatiho rovnice pro diskrétní časový krok

\begin{equation}\label{eq_riccati_2}
P = Q + A^T ( P - P B ( R + B^T P B ) B^T P ) A \;.
\end{equation}
Rovnici a její řešení popisuje například \cite{7_lq_methods}.