[906] | 1 | #LyX 1.6.5 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ |
---|
| 2 | \lyxformat 345 |
---|
| 3 | \begin_document |
---|
| 4 | \begin_header |
---|
| 5 | \textclass scrreprt |
---|
| 6 | \use_default_options true |
---|
| 7 | \language czech |
---|
| 8 | \inputencoding auto |
---|
| 9 | \font_roman default |
---|
| 10 | \font_sans default |
---|
| 11 | \font_typewriter default |
---|
| 12 | \font_default_family default |
---|
| 13 | \font_sc false |
---|
| 14 | \font_osf false |
---|
| 15 | \font_sf_scale 100 |
---|
| 16 | \font_tt_scale 100 |
---|
| 17 | |
---|
| 18 | \graphics default |
---|
| 19 | \paperfontsize default |
---|
| 20 | \spacing single |
---|
| 21 | \use_hyperref false |
---|
| 22 | \papersize a4paper |
---|
| 23 | \use_geometry false |
---|
| 24 | \use_amsmath 1 |
---|
| 25 | \use_esint 1 |
---|
| 26 | \cite_engine basic |
---|
| 27 | \use_bibtopic false |
---|
| 28 | \paperorientation portrait |
---|
| 29 | \secnumdepth 2 |
---|
| 30 | \tocdepth 2 |
---|
| 31 | \paragraph_separation indent |
---|
| 32 | \defskip medskip |
---|
| 33 | \quotes_language german |
---|
| 34 | \papercolumns 1 |
---|
| 35 | \papersides 1 |
---|
| 36 | \paperpagestyle default |
---|
| 37 | \tracking_changes false |
---|
| 38 | \output_changes false |
---|
| 39 | \author "" |
---|
| 40 | \author "" |
---|
| 41 | \end_header |
---|
| 42 | |
---|
| 43 | \begin_body |
---|
| 44 | |
---|
| 45 | \begin_layout Standard |
---|
| 46 | \align left |
---|
| 47 | \begin_inset ERT |
---|
| 48 | status open |
---|
| 49 | |
---|
| 50 | \begin_layout Plain Layout |
---|
| 51 | |
---|
| 52 | |
---|
| 53 | \backslash |
---|
| 54 | thispagestyle{empty} |
---|
| 55 | \end_layout |
---|
| 56 | |
---|
| 57 | \end_inset |
---|
| 58 | |
---|
| 59 | |
---|
| 60 | \end_layout |
---|
| 61 | |
---|
| 62 | \begin_layout Standard |
---|
| 63 | \align center |
---|
| 64 | |
---|
| 65 | \size large |
---|
| 66 | České vysoké učení technické v Praze |
---|
| 67 | \end_layout |
---|
| 68 | |
---|
| 69 | \begin_layout Standard |
---|
| 70 | \align center |
---|
| 71 | |
---|
| 72 | \size large |
---|
| 73 | Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská |
---|
| 74 | \end_layout |
---|
| 75 | |
---|
| 76 | \begin_layout Standard |
---|
| 77 | \begin_inset VSpace bigskip |
---|
| 78 | \end_inset |
---|
| 79 | |
---|
| 80 | |
---|
| 81 | \end_layout |
---|
| 82 | |
---|
| 83 | \begin_layout Standard |
---|
| 84 | \align center |
---|
| 85 | Katedra matematiky |
---|
| 86 | \end_layout |
---|
| 87 | |
---|
| 88 | \begin_layout Standard |
---|
| 89 | \align center |
---|
| 90 | Obor: Inženýrská informatika |
---|
| 91 | \end_layout |
---|
| 92 | |
---|
| 93 | \begin_layout Standard |
---|
| 94 | \align center |
---|
| 95 | Zaměření: Softwarové inženýrství |
---|
| 96 | \end_layout |
---|
| 97 | |
---|
| 98 | \begin_layout Standard |
---|
| 99 | \begin_inset VSpace bigskip |
---|
| 100 | \end_inset |
---|
| 101 | |
---|
| 102 | |
---|
| 103 | \end_layout |
---|
| 104 | |
---|
| 105 | \begin_layout Standard |
---|
| 106 | \align center |
---|
| 107 | \begin_inset Graphics |
---|
| 108 | filename logo_cvut.eps |
---|
| 109 | lyxscale 20 |
---|
| 110 | scale 20 |
---|
| 111 | |
---|
| 112 | \end_inset |
---|
| 113 | |
---|
| 114 | |
---|
| 115 | \end_layout |
---|
| 116 | |
---|
| 117 | \begin_layout Standard |
---|
| 118 | \begin_inset VSpace bigskip |
---|
| 119 | \end_inset |
---|
| 120 | |
---|
| 121 | |
---|
| 122 | \end_layout |
---|
| 123 | |
---|
| 124 | \begin_layout Standard |
---|
| 125 | \align center |
---|
| 126 | |
---|
| 127 | \size larger |
---|
| 128 | \color black |
---|
| 129 | Iterativní lokální dynamické programování pro návrh duálního řízení |
---|
| 130 | \end_layout |
---|
| 131 | |
---|
| 132 | \begin_layout Standard |
---|
| 133 | \begin_inset VSpace smallskip |
---|
| 134 | \end_inset |
---|
| 135 | |
---|
| 136 | |
---|
| 137 | \end_layout |
---|
| 138 | |
---|
| 139 | \begin_layout Standard |
---|
| 140 | \align center |
---|
| 141 | |
---|
| 142 | \size larger |
---|
| 143 | \color black |
---|
| 144 | Iterative local dynamic programming for dual control |
---|
| 145 | \end_layout |
---|
| 146 | |
---|
| 147 | \begin_layout Standard |
---|
| 148 | \begin_inset VSpace bigskip |
---|
| 149 | \end_inset |
---|
| 150 | |
---|
| 151 | |
---|
| 152 | \end_layout |
---|
| 153 | |
---|
| 154 | \begin_layout Standard |
---|
| 155 | \align center |
---|
| 156 | |
---|
| 157 | \size largest |
---|
| 158 | \color black |
---|
| 159 | BAKALÁŘSKÁ |
---|
| 160 | \size larger |
---|
| 161 | |
---|
| 162 | \size largest |
---|
| 163 | PRÁCE |
---|
| 164 | \end_layout |
---|
| 165 | |
---|
| 166 | \begin_layout Standard |
---|
| 167 | \begin_inset VSpace vfill |
---|
| 168 | \end_inset |
---|
| 169 | |
---|
| 170 | |
---|
| 171 | \end_layout |
---|
| 172 | |
---|
| 173 | \begin_layout Standard |
---|
| 174 | \align center |
---|
| 175 | Vypracoval: Michal Vahala |
---|
| 176 | \end_layout |
---|
| 177 | |
---|
| 178 | \begin_layout Standard |
---|
| 179 | \align center |
---|
| 180 | Vedoucí práce: Ing. |
---|
| 181 | Václav Šmídl, Ph.D. |
---|
| 182 | \end_layout |
---|
| 183 | |
---|
| 184 | \begin_layout Standard |
---|
| 185 | \align center |
---|
| 186 | Rok: 2010 |
---|
| 187 | \end_layout |
---|
| 188 | |
---|
| 189 | \begin_layout Standard |
---|
| 190 | \begin_inset Newpage newpage |
---|
| 191 | \end_inset |
---|
| 192 | |
---|
| 193 | |
---|
| 194 | \end_layout |
---|
| 195 | |
---|
| 196 | \begin_layout Standard |
---|
| 197 | \begin_inset ERT |
---|
| 198 | status open |
---|
| 199 | |
---|
| 200 | \begin_layout Plain Layout |
---|
| 201 | |
---|
| 202 | |
---|
| 203 | \backslash |
---|
| 204 | thispagestyle{empty} |
---|
| 205 | \end_layout |
---|
| 206 | |
---|
| 207 | \end_inset |
---|
| 208 | |
---|
| 209 | |
---|
| 210 | \end_layout |
---|
| 211 | |
---|
| 212 | \begin_layout Standard |
---|
| 213 | zadání práce |
---|
| 214 | \end_layout |
---|
| 215 | |
---|
| 216 | \begin_layout Standard |
---|
| 217 | \begin_inset Newpage newpage |
---|
| 218 | \end_inset |
---|
| 219 | |
---|
| 220 | |
---|
| 221 | \end_layout |
---|
| 222 | |
---|
| 223 | \begin_layout Standard |
---|
| 224 | \begin_inset ERT |
---|
| 225 | status open |
---|
| 226 | |
---|
| 227 | \begin_layout Plain Layout |
---|
| 228 | |
---|
| 229 | |
---|
| 230 | \backslash |
---|
| 231 | thispagestyle{empty}~ |
---|
| 232 | \end_layout |
---|
| 233 | |
---|
| 234 | \end_inset |
---|
| 235 | |
---|
| 236 | |
---|
| 237 | \end_layout |
---|
| 238 | |
---|
| 239 | \begin_layout Standard |
---|
| 240 | \begin_inset VSpace vfill |
---|
| 241 | \end_inset |
---|
| 242 | |
---|
| 243 | |
---|
| 244 | \end_layout |
---|
| 245 | |
---|
| 246 | \begin_layout Subsubsection* |
---|
| 247 | Prohlášení |
---|
| 248 | \end_layout |
---|
| 249 | |
---|
| 250 | \begin_layout Standard |
---|
| 251 | Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci vypracoval samostatně a použil |
---|
| 252 | jsem pouze podklady uvedené v přiloženém seznamu. |
---|
| 253 | \end_layout |
---|
| 254 | |
---|
| 255 | \begin_layout Standard |
---|
| 256 | \begin_inset VSpace bigskip |
---|
| 257 | \end_inset |
---|
| 258 | |
---|
| 259 | |
---|
| 260 | \end_layout |
---|
| 261 | |
---|
| 262 | \begin_layout Standard |
---|
| 263 | \noindent |
---|
| 264 | \align left |
---|
| 265 | V Praze dne \SpecialChar \ldots{} |
---|
| 266 | \SpecialChar \ldots{} |
---|
| 267 | \SpecialChar \ldots{} |
---|
| 268 | \SpecialChar \ldots{} |
---|
| 269 | \SpecialChar \ldots{} |
---|
| 270 | |
---|
| 271 | \begin_inset space \hfill{} |
---|
| 272 | \end_inset |
---|
| 273 | |
---|
| 274 | \SpecialChar \ldots{} |
---|
| 275 | \SpecialChar \ldots{} |
---|
| 276 | \SpecialChar \ldots{} |
---|
| 277 | \SpecialChar \ldots{} |
---|
| 278 | \SpecialChar \ldots{} |
---|
| 279 | \SpecialChar \ldots{} |
---|
| 280 | |
---|
| 281 | \end_layout |
---|
| 282 | |
---|
| 283 | \begin_layout Standard |
---|
| 284 | \noindent |
---|
| 285 | \align block |
---|
| 286 | \begin_inset space \hfill{} |
---|
| 287 | \end_inset |
---|
| 288 | |
---|
| 289 | Michal Vahala |
---|
| 290 | \begin_inset ERT |
---|
| 291 | status open |
---|
| 292 | |
---|
| 293 | \begin_layout Plain Layout |
---|
| 294 | |
---|
| 295 | ~~ |
---|
| 296 | \end_layout |
---|
| 297 | |
---|
| 298 | \end_inset |
---|
| 299 | |
---|
| 300 | |
---|
| 301 | \end_layout |
---|
| 302 | |
---|
| 303 | \begin_layout Standard |
---|
| 304 | \begin_inset Newpage newpage |
---|
| 305 | \end_inset |
---|
| 306 | |
---|
| 307 | |
---|
| 308 | \end_layout |
---|
| 309 | |
---|
| 310 | \begin_layout Standard |
---|
| 311 | \begin_inset ERT |
---|
| 312 | status open |
---|
| 313 | |
---|
| 314 | \begin_layout Plain Layout |
---|
| 315 | |
---|
| 316 | |
---|
| 317 | \backslash |
---|
| 318 | thispagestyle{empty}~ |
---|
| 319 | \end_layout |
---|
| 320 | |
---|
| 321 | \end_inset |
---|
| 322 | |
---|
| 323 | |
---|
| 324 | \end_layout |
---|
| 325 | |
---|
| 326 | \begin_layout Standard |
---|
| 327 | \begin_inset VSpace vfill |
---|
| 328 | \end_inset |
---|
| 329 | |
---|
| 330 | |
---|
| 331 | \end_layout |
---|
| 332 | |
---|
| 333 | \begin_layout Subsubsection* |
---|
| 334 | Poděkování |
---|
| 335 | \end_layout |
---|
| 336 | |
---|
| 337 | \begin_layout Standard |
---|
| 338 | Děkuji \SpecialChar \ldots{} |
---|
| 339 | za \SpecialChar \ldots{} |
---|
| 340 | |
---|
| 341 | \end_layout |
---|
| 342 | |
---|
| 343 | \begin_layout Standard |
---|
| 344 | \begin_inset VSpace defskip |
---|
| 345 | \end_inset |
---|
| 346 | |
---|
| 347 | |
---|
| 348 | \end_layout |
---|
| 349 | |
---|
| 350 | \begin_layout Standard |
---|
| 351 | \begin_inset space \hfill{} |
---|
| 352 | \end_inset |
---|
| 353 | |
---|
| 354 | Michal Vahala |
---|
| 355 | \end_layout |
---|
| 356 | |
---|
| 357 | \begin_layout Standard |
---|
| 358 | \begin_inset Newpage newpage |
---|
| 359 | \end_inset |
---|
| 360 | |
---|
| 361 | |
---|
| 362 | \end_layout |
---|
| 363 | |
---|
| 364 | \begin_layout Standard |
---|
| 365 | \begin_inset ERT |
---|
| 366 | status open |
---|
| 367 | |
---|
| 368 | \begin_layout Plain Layout |
---|
| 369 | |
---|
| 370 | |
---|
| 371 | \backslash |
---|
| 372 | thispagestyle{empty} |
---|
| 373 | \end_layout |
---|
| 374 | |
---|
| 375 | \end_inset |
---|
| 376 | |
---|
| 377 | |
---|
| 378 | \end_layout |
---|
| 379 | |
---|
| 380 | \begin_layout Description |
---|
| 381 | |
---|
| 382 | \emph on |
---|
| 383 | Název |
---|
| 384 | \begin_inset space \space{} |
---|
| 385 | \end_inset |
---|
| 386 | |
---|
| 387 | práce: |
---|
| 388 | \emph default |
---|
| 389 | \color black |
---|
| 390 | |
---|
| 391 | \begin_inset ERT |
---|
| 392 | status open |
---|
| 393 | |
---|
| 394 | \begin_layout Plain Layout |
---|
| 395 | |
---|
| 396 | ~ |
---|
| 397 | \end_layout |
---|
| 398 | |
---|
| 399 | \end_inset |
---|
| 400 | |
---|
| 401 | |
---|
| 402 | \begin_inset Newline newline |
---|
| 403 | \end_inset |
---|
| 404 | |
---|
| 405 | Iterativní lokální dynamické programování pro návrh duálního řízení |
---|
| 406 | \end_layout |
---|
| 407 | |
---|
| 408 | \begin_layout Description |
---|
| 409 | \begin_inset VSpace defskip |
---|
| 410 | \end_inset |
---|
| 411 | |
---|
| 412 | |
---|
| 413 | \end_layout |
---|
| 414 | |
---|
| 415 | \begin_layout Description |
---|
| 416 | |
---|
| 417 | \emph on |
---|
| 418 | Autor: |
---|
| 419 | \emph default |
---|
| 420 | Michal Vahala |
---|
| 421 | \end_layout |
---|
| 422 | |
---|
| 423 | \begin_layout Description |
---|
| 424 | |
---|
| 425 | \emph on |
---|
| 426 | Obor: |
---|
| 427 | \emph default |
---|
| 428 | Inženýrská informatika |
---|
| 429 | \end_layout |
---|
| 430 | |
---|
| 431 | \begin_layout Description |
---|
| 432 | |
---|
| 433 | \emph on |
---|
| 434 | Druh |
---|
| 435 | \begin_inset space \space{} |
---|
| 436 | \end_inset |
---|
| 437 | |
---|
| 438 | práce: |
---|
| 439 | \emph default |
---|
| 440 | Bakalářská práce |
---|
| 441 | \end_layout |
---|
| 442 | |
---|
| 443 | \begin_layout Description |
---|
| 444 | |
---|
| 445 | \emph on |
---|
| 446 | Vedoucí |
---|
| 447 | \begin_inset space \space{} |
---|
| 448 | \end_inset |
---|
| 449 | |
---|
| 450 | práce: |
---|
| 451 | \emph default |
---|
| 452 | Ing. |
---|
| 453 | Václav Šmídl, Ph.D. |
---|
| 454 | \end_layout |
---|
| 455 | |
---|
| 456 | \begin_layout Description |
---|
| 457 | |
---|
| 458 | \emph on |
---|
| 459 | Konzultant: |
---|
| 460 | \emph default |
---|
| 461 | --- |
---|
| 462 | \end_layout |
---|
| 463 | |
---|
| 464 | \begin_layout Description |
---|
| 465 | |
---|
| 466 | \emph on |
---|
| 467 | Abstrakt: |
---|
| 468 | \emph default |
---|
| 469 | abstrakt |
---|
| 470 | \end_layout |
---|
| 471 | |
---|
| 472 | \begin_layout Description |
---|
| 473 | |
---|
| 474 | \emph on |
---|
| 475 | Klíčová |
---|
| 476 | \begin_inset space \space{} |
---|
| 477 | \end_inset |
---|
| 478 | |
---|
| 479 | slova: |
---|
| 480 | \emph default |
---|
| 481 | klíčová slova |
---|
| 482 | \end_layout |
---|
| 483 | |
---|
| 484 | \begin_layout Standard |
---|
| 485 | \begin_inset VSpace bigskip |
---|
| 486 | \end_inset |
---|
| 487 | |
---|
| 488 | |
---|
| 489 | \end_layout |
---|
| 490 | |
---|
| 491 | \begin_layout Description |
---|
| 492 | |
---|
| 493 | \emph on |
---|
| 494 | Title: |
---|
| 495 | \emph default |
---|
| 496 | \color black |
---|
| 497 | |
---|
| 498 | \begin_inset ERT |
---|
| 499 | status open |
---|
| 500 | |
---|
| 501 | \begin_layout Plain Layout |
---|
| 502 | |
---|
| 503 | ~ |
---|
| 504 | \end_layout |
---|
| 505 | |
---|
| 506 | \end_inset |
---|
| 507 | |
---|
| 508 | |
---|
| 509 | \begin_inset Newline newline |
---|
| 510 | \end_inset |
---|
| 511 | |
---|
| 512 | Iterative local dynamic programming for dual control |
---|
| 513 | \end_layout |
---|
| 514 | |
---|
| 515 | \begin_layout Description |
---|
| 516 | \begin_inset VSpace defskip |
---|
| 517 | \end_inset |
---|
| 518 | |
---|
| 519 | |
---|
| 520 | \end_layout |
---|
| 521 | |
---|
| 522 | \begin_layout Description |
---|
| 523 | |
---|
| 524 | \emph on |
---|
| 525 | Author: |
---|
| 526 | \emph default |
---|
| 527 | Michal Vahala |
---|
| 528 | \end_layout |
---|
| 529 | |
---|
| 530 | \begin_layout Description |
---|
| 531 | |
---|
| 532 | \emph on |
---|
| 533 | Abstract: |
---|
| 534 | \emph default |
---|
| 535 | abstrakt |
---|
| 536 | \end_layout |
---|
| 537 | |
---|
| 538 | \begin_layout Description |
---|
| 539 | |
---|
| 540 | \emph on |
---|
| 541 | Key |
---|
| 542 | \begin_inset space \space{} |
---|
| 543 | \end_inset |
---|
| 544 | |
---|
| 545 | words: |
---|
| 546 | \emph default |
---|
| 547 | klíčová slova |
---|
| 548 | \end_layout |
---|
| 549 | |
---|
| 550 | \begin_layout Standard |
---|
| 551 | \begin_inset Newpage newpage |
---|
| 552 | \end_inset |
---|
| 553 | |
---|
| 554 | |
---|
| 555 | \end_layout |
---|
| 556 | |
---|
| 557 | \begin_layout Standard |
---|
| 558 | \begin_inset ERT |
---|
| 559 | status open |
---|
| 560 | |
---|
| 561 | \begin_layout Plain Layout |
---|
| 562 | |
---|
| 563 | |
---|
| 564 | \backslash |
---|
| 565 | thispagestyle{empty} |
---|
| 566 | \end_layout |
---|
| 567 | |
---|
| 568 | \end_inset |
---|
| 569 | |
---|
| 570 | |
---|
| 571 | \end_layout |
---|
| 572 | |
---|
| 573 | \begin_layout Standard |
---|
| 574 | \begin_inset CommandInset toc |
---|
| 575 | LatexCommand tableofcontents |
---|
| 576 | |
---|
| 577 | \end_inset |
---|
| 578 | |
---|
| 579 | |
---|
| 580 | \end_layout |
---|
| 581 | |
---|
| 582 | \begin_layout Standard |
---|
| 583 | \begin_inset Newpage newpage |
---|
| 584 | \end_inset |
---|
| 585 | |
---|
| 586 | |
---|
| 587 | \end_layout |
---|
| 588 | |
---|
| 589 | \begin_layout Standard |
---|
| 590 | \begin_inset ERT |
---|
| 591 | status open |
---|
| 592 | |
---|
| 593 | \begin_layout Plain Layout |
---|
| 594 | |
---|
| 595 | |
---|
| 596 | \backslash |
---|
| 597 | thispagestyle{empty} |
---|
| 598 | \end_layout |
---|
| 599 | |
---|
| 600 | \end_inset |
---|
| 601 | |
---|
| 602 | |
---|
| 603 | \end_layout |
---|
| 604 | |
---|
| 605 | \begin_layout Chapter* |
---|
| 606 | Seznam použitého označení |
---|
| 607 | \end_layout |
---|
| 608 | |
---|
| 609 | \begin_layout Labeling |
---|
| 610 | \labelwidthstring 00.00.0000 |
---|
| 611 | iLDP iterativní lokální dynamické programování |
---|
| 612 | \end_layout |
---|
| 613 | |
---|
| 614 | \begin_layout Labeling |
---|
| 615 | \labelwidthstring 00.00.0000 |
---|
| 616 | LQG lineáně kvadraticky gaussovské řízení (Linear-Quadratic-Gaussian) |
---|
| 617 | \end_layout |
---|
| 618 | |
---|
| 619 | \begin_layout Labeling |
---|
| 620 | \labelwidthstring 00.00.0000 |
---|
| 621 | iLQG iterativní LQG |
---|
| 622 | \end_layout |
---|
| 623 | |
---|
| 624 | \begin_layout Labeling |
---|
| 625 | \labelwidthstring 00.00.0000 |
---|
| 626 | |
---|
| 627 | \color red |
---|
| 628 | DDP |
---|
| 629 | \color inherit |
---|
| 630 | diferenciální dynamické programování |
---|
| 631 | \end_layout |
---|
| 632 | |
---|
| 633 | \begin_layout Standard |
---|
| 634 | \begin_inset Newpage newpage |
---|
| 635 | \end_inset |
---|
| 636 | |
---|
| 637 | |
---|
| 638 | \end_layout |
---|
| 639 | |
---|
| 640 | \begin_layout Addchap |
---|
| 641 | Úvod |
---|
| 642 | \end_layout |
---|
| 643 | |
---|
| 644 | \begin_layout Standard |
---|
| 645 | Skutečný svět se nikdy nechová přesně podle matematických rovnic, protože |
---|
| 646 | ty jsou vždy jen jakýmsi zjednodušením nebo přiblížením. |
---|
| 647 | V reálném světě se vyskytuje mnoho neznámých veličin, poruch, nepředvídatelných |
---|
| 648 | vlivů a ani naše měřící přístroje nejsou přesné. |
---|
| 649 | Chceme-li efektivně řídit nějaký systém, musíme si být těchto vlivů vědomi |
---|
| 650 | a zahrnout je do našich uvažování. |
---|
| 651 | Situace se však ještě může zkomplikovat, když jeden nebo více parametrů |
---|
| 652 | neznáme. |
---|
| 653 | To může nastat z různých důvodů, například příšlušné čidlo nebo měřící |
---|
| 654 | přístroj nemůžeme nebo nechceme (například z důvodů vysoké ceny) instalovat |
---|
| 655 | a tedy o velikosti příslušné hodnoty můžeme jen usuzovat ze známých dat. |
---|
| 656 | Ještě složitější situace nastane, když uvažujeme neznámý parametr proměnný. |
---|
| 657 | |
---|
| 658 | \end_layout |
---|
| 659 | |
---|
| 660 | \begin_layout Standard |
---|
| 661 | |
---|
| 662 | \color black |
---|
| 663 | Máme tedy dva cíle, musíme systém co nejlépe řídit a současně se snažit |
---|
| 664 | o co nejpřesnější určení neznámých parametrů. |
---|
| 665 | Tyto dva postupy jsou však obecně v rozporu, protože parametry se nejlépe |
---|
| 666 | určují, když je systém vybuzen a nechová se optimálně. |
---|
| 667 | Právě tento rozpor a nalezení kompromisu, který povede k jeho řešení, je |
---|
| 668 | podstatou duálního řízení. |
---|
| 669 | \end_layout |
---|
| 670 | |
---|
| 671 | \begin_layout Standard |
---|
| 672 | |
---|
| 673 | \color black |
---|
| 674 | Pro přiblížení ilustrujme problém na jednoduchém příkladě: Uvažujme elektromotor |
---|
| 675 | s možností řídit napětí na vstupu motoru a měřit příslušné proudy. |
---|
| 676 | Jedná se tedy o systém se dvěma vstupy a dvěma výstupy. |
---|
| 677 | Cílem našeho řízení je dosažení požadovaných otáček rotoru. |
---|
| 678 | Ovšem otáčky a ani polohu hřídele měřit nemůžeme. |
---|
| 679 | Máme o nich však znalost v podobě středních hodnot a variancí. |
---|
| 680 | Naší snahou je co nejpřesněji určit hodnotu otáček a polohy hřídele a současně |
---|
| 681 | systém řídit tak, abychom dosáhly požadované hodnoty otáček. |
---|
| 682 | Tyto dvě snahy jsou ale v rozporu, protože nejvíce informací o neznámých |
---|
| 683 | parametrech získáme, když je motor vybuzen. |
---|
| 684 | Tedy například se prudce rozjíždí, brzdí, rychle mění rychlost nebo kmitá, |
---|
| 685 | což se projevuje v proudech, které máme možnost měřit. |
---|
| 686 | Ale právě vybuzení motoru je v rozporu se snahou o dobré řízení, protože |
---|
| 687 | chyba, které se dopustíme je většinou nepřijatelná. |
---|
| 688 | Naopak, když se systém snažíme řídit, bez dostatečné znalosti jeho parametrů, |
---|
| 689 | s velkou pravděpodobností selžeme. |
---|
| 690 | \end_layout |
---|
| 691 | |
---|
| 692 | \begin_layout Standard |
---|
| 693 | \begin_inset VSpace bigskip |
---|
| 694 | \end_inset |
---|
| 695 | |
---|
| 696 | |
---|
| 697 | \end_layout |
---|
| 698 | |
---|
| 699 | \begin_layout Standard |
---|
| 700 | Námětem této bakalářské práce je algoritmus |
---|
| 701 | \emph on |
---|
| 702 | iterativního lokálního dynamického programování |
---|
| 703 | \emph default |
---|
| 704 | (iLDP) jako jedna z metod pro řešení problému duálního řízení. |
---|
| 705 | Algoritmus byl navržen a popsán v článku |
---|
| 706 | \color black |
---|
| 707 | |
---|
| 708 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 709 | LatexCommand cite |
---|
| 710 | key "TodorovTassaILDP" |
---|
| 711 | |
---|
| 712 | \end_inset |
---|
| 713 | |
---|
| 714 | |
---|
| 715 | \color inherit |
---|
| 716 | . |
---|
| 717 | Jak už prozrazuje název algoritmu, jedná se o iterační metodu. |
---|
| 718 | Tedy stručně řečeno, algoritmus vyjde od nějakého počátečního řízení, které |
---|
| 719 | je ovšem nutno dodat jako apriorní informaci a v cyklech (iteracích) tuto |
---|
| 720 | řídící strategii vylepšuje, za účelem získání řízení optimálního. |
---|
| 721 | Dále se jedná o metodu lokální, což v můžeme jednoduše chápat tak, že kandidáti |
---|
| 722 | na |
---|
| 723 | \begin_inset Quotes gld |
---|
| 724 | \end_inset |
---|
| 725 | |
---|
| 726 | vylepšení |
---|
| 727 | \begin_inset Quotes grd |
---|
| 728 | \end_inset |
---|
| 729 | |
---|
| 730 | řízení jsou vybírání z jistého, zatím blíže nespecifikovaného, okolí původní |
---|
| 731 | řídící strategie. |
---|
| 732 | Nakonec algoritmus využívá obecné schéma dynamického programování, které |
---|
| 733 | bude blíže popsáno v dalším textu. |
---|
| 734 | \end_layout |
---|
| 735 | |
---|
| 736 | \begin_layout Standard |
---|
| 737 | \begin_inset VSpace bigskip |
---|
| 738 | \end_inset |
---|
| 739 | |
---|
| 740 | |
---|
| 741 | \end_layout |
---|
| 742 | |
---|
| 743 | \begin_layout Standard |
---|
| 744 | Cílem této práce bylo seznámit se s obecnou tématikou duálního řízení a |
---|
| 745 | detailněji s konkrétním algoritmem - iterativním lokálním dynamickým programová |
---|
| 746 | ním. |
---|
| 747 | Následně tento algoritmus implementovat a aplikovat na jednoduchý systém. |
---|
| 748 | Otestovat jeho funkčnost a schopnost řídit a to i v porovnání s jinými |
---|
| 749 | metodami a algoritmy. |
---|
| 750 | |
---|
| 751 | \emph on |
---|
| 752 | \color blue |
---|
| 753 | Dále implementovat algoritmus iLDP pro složitější systém blíže praktické |
---|
| 754 | aplikaci, konkrétně se jedná o synchronní motor s permanentními magnety. |
---|
| 755 | Opět otestovat funkčnost a případně srovnat s dostupnými výsledky jiných |
---|
| 756 | řídících strategii. |
---|
| 757 | |
---|
| 758 | \emph default |
---|
| 759 | \color inherit |
---|
| 760 | Na základě získaných výsledků posoudit výhody a nevýhody algoritmu a jeho |
---|
| 761 | použitelnost na další úlohy. |
---|
| 762 | \end_layout |
---|
| 763 | |
---|
| 764 | \begin_layout Standard |
---|
| 765 | Hlavním přínosem práce je otestování vlastností algoritmu iLDP na jiných |
---|
| 766 | problémech, než pro které byla vyvinuta autory. |
---|
| 767 | Objevení kladů a záporů algoritmu a dále díky srovnání s jinými algoritmy |
---|
| 768 | získání přehledu, pro které praktické aplikace je vhodnější respektive |
---|
| 769 | méně vhodný než srovnávané metody. |
---|
| 770 | Prvotní očekávání pro srovnání algoritmu iLDP a |
---|
| 771 | \emph on |
---|
| 772 | \color blue |
---|
| 773 | principu separace |
---|
| 774 | \emph default |
---|
| 775 | \color inherit |
---|
| 776 | jsou, že iLDP bude rychlejší co do výpočetního času, avšak přesnost získaných |
---|
| 777 | výsledků bude nižší. |
---|
| 778 | Dále je očekávána nezanedbatelná závislost výsledného řízení na volbě použitých |
---|
| 779 | aproximací a apriorní řídící strategie. |
---|
| 780 | \end_layout |
---|
| 781 | |
---|
| 782 | \begin_layout Standard |
---|
| 783 | \begin_inset Newpage newpage |
---|
| 784 | \end_inset |
---|
| 785 | |
---|
| 786 | |
---|
| 787 | \end_layout |
---|
| 788 | |
---|
| 789 | \begin_layout Chapter |
---|
| 790 | Teorie duálního řízení |
---|
| 791 | \end_layout |
---|
| 792 | |
---|
| 793 | \begin_layout Section |
---|
| 794 | Základní pojmy |
---|
| 795 | \end_layout |
---|
| 796 | |
---|
| 797 | \begin_layout Subsection |
---|
| 798 | Systém a řízení |
---|
| 799 | \end_layout |
---|
| 800 | |
---|
| 801 | \begin_layout Subsubsection |
---|
| 802 | Systém |
---|
| 803 | \end_layout |
---|
| 804 | |
---|
| 805 | \begin_layout Standard |
---|
| 806 | Základním pojmem, se kterým budeme v textu pracovat je |
---|
| 807 | \emph on |
---|
| 808 | systém |
---|
| 809 | \emph default |
---|
| 810 | . |
---|
| 811 | Obdobně jako základní pojmy zejména v matematických vědách (bod, množina, |
---|
| 812 | algoritmus,\SpecialChar \ldots{} |
---|
| 813 | ), nelze tento pojem exaktně definovat. |
---|
| 814 | Systém si můžeme představit jako jistý |
---|
| 815 | \begin_inset Quotes gld |
---|
| 816 | \end_inset |
---|
| 817 | |
---|
| 818 | objekt |
---|
| 819 | \begin_inset Quotes grd |
---|
| 820 | \end_inset |
---|
| 821 | |
---|
| 822 | , často bude reprezentovat objekt skutečného světa. |
---|
| 823 | Hlavní vlastností systému je, že má zpravidla jeden nebo více vstupů, pomocí |
---|
| 824 | kterých mu můžeme předávat informaci -- řízení a jeden nebo více výstupu, |
---|
| 825 | což jsou hodnyty, které pozorujeme. |
---|
| 826 | Co se odehrává uvnitř systému však obecně nevíme. |
---|
| 827 | Řízení, které budeme dodávat systému na vstup bude v textu značeno písmenem |
---|
| 828 | |
---|
| 829 | \emph on |
---|
| 830 | |
---|
| 831 | \begin_inset Formula $u$ |
---|
| 832 | \end_inset |
---|
| 833 | |
---|
| 834 | |
---|
| 835 | \emph default |
---|
| 836 | . |
---|
| 837 | Analogicky bude písmenem |
---|
| 838 | \emph on |
---|
| 839 | |
---|
| 840 | \begin_inset Formula $y$ |
---|
| 841 | \end_inset |
---|
| 842 | |
---|
| 843 | |
---|
| 844 | \emph default |
---|
| 845 | označena pozorovaná hodnota na výstupu. |
---|
| 846 | |
---|
| 847 | \end_layout |
---|
| 848 | |
---|
| 849 | \begin_layout Standard |
---|
| 850 | Chování systému, to je jakým výstupem reaguje na vstup, popisujeme dle |
---|
| 851 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 852 | LatexCommand cite |
---|
| 853 | key "MelicharLS" |
---|
| 854 | |
---|
| 855 | \end_inset |
---|
| 856 | |
---|
| 857 | obecně diferenciální rovnicí respektive soustavou diferenciálních rovnic |
---|
| 858 | vyšších řádů. |
---|
| 859 | Jedná se o takzvaný |
---|
| 860 | \color black |
---|
| 861 | vnější popis |
---|
| 862 | \color inherit |
---|
| 863 | . |
---|
| 864 | Tento druh popisu, pohlíží na systém |
---|
| 865 | \begin_inset Quotes gld |
---|
| 866 | \end_inset |
---|
| 867 | |
---|
| 868 | zvenku |
---|
| 869 | \begin_inset Quotes grd |
---|
| 870 | \end_inset |
---|
| 871 | |
---|
| 872 | bez skutečné znalosti, co se odehrává uvnitř systému a jaká je jeho podstata. |
---|
| 873 | Vnější popis obvykle obdržíme při odvození modelu systému z fyzikálních |
---|
| 874 | rovnic. |
---|
| 875 | Omezení, která z něj plynou, se snažíme odstranit zavedením |
---|
| 876 | \color black |
---|
| 877 | vnitřního (stavového) popisu |
---|
| 878 | \color inherit |
---|
| 879 | , kdy (soustavu) diferenciálních rovnic vyššího řádu, převedeme vhodnou |
---|
| 880 | volbou nových proměnných |
---|
| 881 | \emph on |
---|
| 882 | |
---|
| 883 | \begin_inset Formula $x$ |
---|
| 884 | \end_inset |
---|
| 885 | |
---|
| 886 | |
---|
| 887 | \series bold |
---|
| 888 | |
---|
| 889 | \series default |
---|
| 890 | \emph default |
---|
| 891 | na soustavu diferenciálních rovnic prvního řádu. |
---|
| 892 | Proměnné |
---|
| 893 | \emph on |
---|
| 894 | |
---|
| 895 | \begin_inset Formula $x$ |
---|
| 896 | \end_inset |
---|
| 897 | |
---|
| 898 | |
---|
| 899 | \series bold |
---|
| 900 | |
---|
| 901 | \series default |
---|
| 902 | \emph default |
---|
| 903 | označujeme jako |
---|
| 904 | \color black |
---|
| 905 | stavové proměnné |
---|
| 906 | \color inherit |
---|
| 907 | . |
---|
| 908 | \end_layout |
---|
| 909 | |
---|
| 910 | \begin_layout Subsubsection |
---|
| 911 | Řízení |
---|
| 912 | \end_layout |
---|
| 913 | |
---|
| 914 | \begin_layout Standard |
---|
| 915 | Naším úkolem je pro zadaný systém nalézt regulátor, tedy obecně řízení |
---|
| 916 | \emph on |
---|
| 917 | |
---|
| 918 | \begin_inset Formula $u$ |
---|
| 919 | \end_inset |
---|
| 920 | |
---|
| 921 | |
---|
| 922 | \emph default |
---|
| 923 | takové, které dodané na vstup způsobí, že systém se bude |
---|
| 924 | \begin_inset Quotes gld |
---|
| 925 | \end_inset |
---|
| 926 | |
---|
| 927 | chovat podle našich požadavků |
---|
| 928 | \begin_inset Quotes grd |
---|
| 929 | \end_inset |
---|
| 930 | |
---|
| 931 | . |
---|
| 932 | To zpravidla znamená, že hodnoty výstupní veličiny |
---|
| 933 | \series bold |
---|
| 934 | \emph on |
---|
| 935 | |
---|
| 936 | \begin_inset Formula $y$ |
---|
| 937 | \end_inset |
---|
| 938 | |
---|
| 939 | |
---|
| 940 | \series default |
---|
| 941 | \emph default |
---|
| 942 | dosáhnou (nebo se přiblíží s danou přesností) požadované hodnotě v podobě |
---|
| 943 | referenčního signálu, který regulátor dostavá z vnějšku a současně dodrží |
---|
| 944 | předem stanovená omezení. |
---|
| 945 | Práce je ovšem zaměřena na řízení složitějších systémů, u kterých jeden |
---|
| 946 | nebo více parametrů neznáme přesně. |
---|
| 947 | Tedy některý (více) z koeficientů v rovnicích popisujících systém není |
---|
| 948 | znám. |
---|
| 949 | Máme však o něm jistou statistickou informaci v podob |
---|
| 950 | \color black |
---|
| 951 | ě jeho |
---|
| 952 | \color inherit |
---|
| 953 | očekávané hodnoty a variance. |
---|
| 954 | Dále je-li systém nelineární, jsou výsledné rovnice příliš složité a tedy |
---|
| 955 | analyticky neřešitelné. |
---|
| 956 | Pro numerické řešení, jsou rovnice systému zpravidla převáděny do diskrétního |
---|
| 957 | tvaru. |
---|
| 958 | \end_layout |
---|
| 959 | |
---|
| 960 | \begin_layout Standard |
---|
| 961 | Řízení obecně dělíme podle |
---|
| 962 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 963 | LatexCommand cite |
---|
| 964 | key "MelicharLS" |
---|
| 965 | |
---|
| 966 | \end_inset |
---|
| 967 | |
---|
| 968 | na dva typy: |
---|
| 969 | \emph on |
---|
| 970 | Přímovazební řízení |
---|
| 971 | \emph default |
---|
| 972 | užíváme v případě, kde je k dispozici přesný matematický model systému |
---|
| 973 | a je vyloučen výskyt neurčitostí. |
---|
| 974 | Toto řízení nevyužívá žádné zpětné informace od systému a regulátor pracuje |
---|
| 975 | pouze s referenčním signálem. |
---|
| 976 | Naproti tomu |
---|
| 977 | \emph on |
---|
| 978 | zpětnovazební řízení |
---|
| 979 | \emph default |
---|
| 980 | využívá i informace o skutečném výstupu systému a snaží se tak eliminovat |
---|
| 981 | chyby v důsledku neurčitostí a chyb způsobenych nepřesností modelu. |
---|
| 982 | \end_layout |
---|
| 983 | |
---|
| 984 | \begin_layout Subsubsection |
---|
| 985 | Duální řízení |
---|
| 986 | \end_layout |
---|
| 987 | |
---|
| 988 | \begin_layout Standard |
---|
| 989 | Chceme navrhnout regulátor pro zadaný systém s neznámými parametry. |
---|
| 990 | Úkoly jsou tedy dva: 1. |
---|
| 991 | |
---|
| 992 | \emph on |
---|
| 993 | opatrnost |
---|
| 994 | \emph default |
---|
| 995 | - efektivně systém řídit a 2. |
---|
| 996 | |
---|
| 997 | \emph on |
---|
| 998 | testování |
---|
| 999 | \emph default |
---|
| 1000 | - určit neznáme parametry. |
---|
| 1001 | Tyto dva přístupy jsou ale obecně v rozporu. |
---|
| 1002 | Abychom mohli systém dobře řídit, potřebujeme znát parametry co nejpřesněji. |
---|
| 1003 | Nejvíce informací o parametrech však získáme, když je systém vybuzen a |
---|
| 1004 | nechová optimálně. |
---|
| 1005 | Tyto pojmy není snadné kvantifikovat, ale velmi často se projevují v konkrétníc |
---|
| 1006 | h řídících schématech. |
---|
| 1007 | Naším úkolem je pokusit nalézt nějaký kompromis mezi oběma úkoly. |
---|
| 1008 | Právě tento přístup je označován jako |
---|
| 1009 | \emph on |
---|
| 1010 | duální řízení |
---|
| 1011 | \emph default |
---|
| 1012 | |
---|
| 1013 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 1014 | LatexCommand cite |
---|
| 1015 | key "BertsekasDPOC" |
---|
| 1016 | |
---|
| 1017 | \end_inset |
---|
| 1018 | |
---|
| 1019 | . |
---|
| 1020 | |
---|
| 1021 | \end_layout |
---|
| 1022 | |
---|
| 1023 | \begin_layout Subsection |
---|
| 1024 | Formulace problému |
---|
| 1025 | \end_layout |
---|
| 1026 | |
---|
| 1027 | \begin_layout Standard |
---|
| 1028 | V textu budeme pracovat zpravidla s diskrétním systémem, ve smyslu systému |
---|
| 1029 | s diskrétním časem, protože výpočty jsou prováděny ve většině případů problemat |
---|
| 1030 | iky duálního řízení numericky. |
---|
| 1031 | Rovnice popisující systém jsou však zpravidla ve spojitém tvaru, (model |
---|
| 1032 | často vychází ze skutečnosti, popřípadě fyzikálních zákonů). |
---|
| 1033 | V tomto případě provádíme diskretizaci. |
---|
| 1034 | \end_layout |
---|
| 1035 | |
---|
| 1036 | \begin_layout Standard |
---|
| 1037 | Základní problém je formulován podle |
---|
| 1038 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 1039 | LatexCommand cite |
---|
| 1040 | key "BertsekasDPOC" |
---|
| 1041 | |
---|
| 1042 | \end_inset |
---|
| 1043 | |
---|
| 1044 | následovně: |
---|
| 1045 | \end_layout |
---|
| 1046 | |
---|
| 1047 | \begin_layout Standard |
---|
| 1048 | \begin_inset VSpace defskip |
---|
| 1049 | \end_inset |
---|
| 1050 | |
---|
| 1051 | |
---|
| 1052 | \end_layout |
---|
| 1053 | |
---|
| 1054 | \begin_layout Standard |
---|
| 1055 | Uvažujme stavový popis diskrétního dynamického systému |
---|
| 1056 | \begin_inset Formula \begin{equation} |
---|
| 1057 | \begin{array}{cc} |
---|
| 1058 | x_{k+1}=f_{k}(x_{k},u_{k},w_{k}), & k=0,\ldots,N-1\end{array},\label{eq:zakladniproblem}\end{equation} |
---|
| 1059 | |
---|
| 1060 | \end_inset |
---|
| 1061 | |
---|
| 1062 | kde |
---|
| 1063 | \begin_inset Formula $x_{k}$ |
---|
| 1064 | \end_inset |
---|
| 1065 | |
---|
| 1066 | je stavová proměná z prostoru |
---|
| 1067 | \begin_inset Formula $S_{k}$ |
---|
| 1068 | \end_inset |
---|
| 1069 | |
---|
| 1070 | , |
---|
| 1071 | \begin_inset Formula $u_{k}$ |
---|
| 1072 | \end_inset |
---|
| 1073 | |
---|
| 1074 | řízení z prostoru |
---|
| 1075 | \begin_inset Formula $C_{k}$ |
---|
| 1076 | \end_inset |
---|
| 1077 | |
---|
| 1078 | a |
---|
| 1079 | \begin_inset Formula $w_{k}$ |
---|
| 1080 | \end_inset |
---|
| 1081 | |
---|
| 1082 | náhodná porucha z prostoru |
---|
| 1083 | \begin_inset Formula $D_{k}$ |
---|
| 1084 | \end_inset |
---|
| 1085 | |
---|
| 1086 | , vše v čase |
---|
| 1087 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 1088 | \end_inset |
---|
| 1089 | |
---|
| 1090 | při celkovém časovém horizontu |
---|
| 1091 | \begin_inset Formula $N$ |
---|
| 1092 | \end_inset |
---|
| 1093 | |
---|
| 1094 | . |
---|
| 1095 | Na řízení |
---|
| 1096 | \begin_inset Formula $u_{k}$ |
---|
| 1097 | \end_inset |
---|
| 1098 | |
---|
| 1099 | klademe omezení, že může nabývat pouze hodnot z neprázdné podmonožiny |
---|
| 1100 | \begin_inset Formula $U_{k}(x_{k})\subset C_{k}$ |
---|
| 1101 | \end_inset |
---|
| 1102 | |
---|
| 1103 | závislé na stavu |
---|
| 1104 | \begin_inset Formula $x_{k}$ |
---|
| 1105 | \end_inset |
---|
| 1106 | |
---|
| 1107 | . |
---|
| 1108 | Náhodná porucha |
---|
| 1109 | \begin_inset Formula $w_{k}$ |
---|
| 1110 | \end_inset |
---|
| 1111 | |
---|
| 1112 | je charakterizována rozdělením pravděpodobnosti |
---|
| 1113 | \begin_inset Formula $P_{k}$ |
---|
| 1114 | \end_inset |
---|
| 1115 | |
---|
| 1116 | , které může explicitně záviset na |
---|
| 1117 | \begin_inset Formula $x_{k}$ |
---|
| 1118 | \end_inset |
---|
| 1119 | |
---|
| 1120 | a |
---|
| 1121 | \begin_inset Formula $u_{k}$ |
---|
| 1122 | \end_inset |
---|
| 1123 | |
---|
| 1124 | , ne však na předchozích poruchách |
---|
| 1125 | \begin_inset Formula $w_{k-1},\ldots,w_{0}$ |
---|
| 1126 | \end_inset |
---|
| 1127 | |
---|
| 1128 | . |
---|
| 1129 | \end_layout |
---|
| 1130 | |
---|
| 1131 | \begin_layout Standard |
---|
| 1132 | Dále uvažujme množinu řízení, jedná se o posloupnost funkcí |
---|
| 1133 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 1134 | \pi=\{\mu_{0},\ldots,\mu_{N-1}\},\] |
---|
| 1135 | |
---|
| 1136 | \end_inset |
---|
| 1137 | |
---|
| 1138 | kde |
---|
| 1139 | \begin_inset Formula $\mu_{k}$ |
---|
| 1140 | \end_inset |
---|
| 1141 | |
---|
| 1142 | přiřazuje stavu |
---|
| 1143 | \begin_inset Formula $x_{k}$ |
---|
| 1144 | \end_inset |
---|
| 1145 | |
---|
| 1146 | přípustné řízení |
---|
| 1147 | \begin_inset Formula $u_{k}=\mu_{k}(x_{k})$ |
---|
| 1148 | \end_inset |
---|
| 1149 | |
---|
| 1150 | , to je takové, že |
---|
| 1151 | \begin_inset Formula $\mu_{k}(x_{k})\in U_{k}(x_{k})$ |
---|
| 1152 | \end_inset |
---|
| 1153 | |
---|
| 1154 | , množinu přípustných řešení označme |
---|
| 1155 | \begin_inset Formula $\Pi$ |
---|
| 1156 | \end_inset |
---|
| 1157 | |
---|
| 1158 | . |
---|
| 1159 | Máme-li dány počáteční stav |
---|
| 1160 | \begin_inset Formula $x_{0}$ |
---|
| 1161 | \end_inset |
---|
| 1162 | |
---|
| 1163 | a přípustné řešení |
---|
| 1164 | \begin_inset Formula $\pi$ |
---|
| 1165 | \end_inset |
---|
| 1166 | |
---|
| 1167 | můžeme stavy |
---|
| 1168 | \begin_inset Formula $x_{k}$ |
---|
| 1169 | \end_inset |
---|
| 1170 | |
---|
| 1171 | a poruchy |
---|
| 1172 | \begin_inset Formula $w_{k}$ |
---|
| 1173 | \end_inset |
---|
| 1174 | |
---|
| 1175 | považovat za náhodné veličiny s rozdělemím definovaným systémem rovnic |
---|
| 1176 | |
---|
| 1177 | \begin_inset CommandInset ref |
---|
| 1178 | LatexCommand ref |
---|
| 1179 | reference "eq:zakladniproblem" |
---|
| 1180 | |
---|
| 1181 | \end_inset |
---|
| 1182 | |
---|
| 1183 | , kde za řízení |
---|
| 1184 | \begin_inset Formula $u_{k}$ |
---|
| 1185 | \end_inset |
---|
| 1186 | |
---|
| 1187 | dosadíme hodnotu funkce |
---|
| 1188 | \begin_inset Formula $\mu_{k}$ |
---|
| 1189 | \end_inset |
---|
| 1190 | |
---|
| 1191 | v |
---|
| 1192 | \begin_inset Formula $x_{k}$ |
---|
| 1193 | \end_inset |
---|
| 1194 | |
---|
| 1195 | . |
---|
| 1196 | \end_layout |
---|
| 1197 | |
---|
| 1198 | \begin_layout Standard |
---|
| 1199 | Pro dané ztráty v jednotlivých časech -- funkce |
---|
| 1200 | \begin_inset Formula $g_{k}$ |
---|
| 1201 | \end_inset |
---|
| 1202 | |
---|
| 1203 | , pak definujeme očekávanou ztrátu |
---|
| 1204 | \begin_inset Formula $\pi$ |
---|
| 1205 | \end_inset |
---|
| 1206 | |
---|
| 1207 | v |
---|
| 1208 | \begin_inset Formula $x_{0}$ |
---|
| 1209 | \end_inset |
---|
| 1210 | |
---|
| 1211 | jako |
---|
| 1212 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 1213 | J_{\pi}(x_{0})=\mathbf{E}\left\{ g_{N}(x_{N})+\sum_{k=0}^{N-1}g_{k}\left(x_{k},\mu_{k}(x_{k}),w_{k}\right)\right\} \] |
---|
| 1214 | |
---|
| 1215 | \end_inset |
---|
| 1216 | |
---|
| 1217 | kde je očekávaná hodnota počítána přes náhodné veličiny |
---|
| 1218 | \begin_inset Formula $w_{k}$ |
---|
| 1219 | \end_inset |
---|
| 1220 | |
---|
| 1221 | a |
---|
| 1222 | \begin_inset Formula $x_{k}$ |
---|
| 1223 | \end_inset |
---|
| 1224 | |
---|
| 1225 | . |
---|
| 1226 | Optimální řízení |
---|
| 1227 | \begin_inset Formula $\pi^{*}$ |
---|
| 1228 | \end_inset |
---|
| 1229 | |
---|
| 1230 | je právě to, které minimalizuje ztrátu |
---|
| 1231 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 1232 | J_{\pi^{*}}(x_{0})=\min_{\pi\in\Pi}J_{\pi}(x_{0}).\] |
---|
| 1233 | |
---|
| 1234 | \end_inset |
---|
| 1235 | |
---|
| 1236 | Optimální ztrátu označme |
---|
| 1237 | \begin_inset Formula $J^{*}(x_{0})$ |
---|
| 1238 | \end_inset |
---|
| 1239 | |
---|
| 1240 | . |
---|
| 1241 | \end_layout |
---|
| 1242 | |
---|
| 1243 | \begin_layout Subsection |
---|
| 1244 | Dynamické programování |
---|
| 1245 | \end_layout |
---|
| 1246 | |
---|
| 1247 | \begin_layout Standard |
---|
| 1248 | Dynamické programovní dle |
---|
| 1249 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 1250 | LatexCommand cite |
---|
| 1251 | key "ViriusZA" |
---|
| 1252 | |
---|
| 1253 | \end_inset |
---|
| 1254 | |
---|
| 1255 | je jedním ze způsobů návrhu algoritmů pro řešení jistých typu optimalizačních |
---|
| 1256 | problémů. |
---|
| 1257 | Konkrétně se uplatňuje v případě, že jde o diskrétní optimalizační úlohu, |
---|
| 1258 | na řešení daného problému můžeme nahlížet jako na konečnou posloupnost |
---|
| 1259 | rozhodnutí a platí |
---|
| 1260 | \emph on |
---|
| 1261 | princip optimality |
---|
| 1262 | \emph default |
---|
| 1263 | . |
---|
| 1264 | \end_layout |
---|
| 1265 | |
---|
| 1266 | \begin_layout Subsubsection |
---|
| 1267 | Princip optimality |
---|
| 1268 | \end_layout |
---|
| 1269 | |
---|
| 1270 | \begin_layout Standard |
---|
| 1271 | říká, že optimální posloupnost rozhodnutí musí mít následující vlastnost: |
---|
| 1272 | |
---|
| 1273 | \emph on |
---|
| 1274 | Jestliže jsme už udělali |
---|
| 1275 | \emph default |
---|
| 1276 | k |
---|
| 1277 | \emph on |
---|
| 1278 | rozhodnutí, musí být všechna následující rozhodnutí optimální vzhledem k |
---|
| 1279 | výsledkům rozhodnutí předchozích, jinak nemůžeme dostat optimální řešení |
---|
| 1280 | |
---|
| 1281 | \emph default |
---|
| 1282 | |
---|
| 1283 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 1284 | LatexCommand cite |
---|
| 1285 | key "ViriusZA" |
---|
| 1286 | |
---|
| 1287 | \end_inset |
---|
| 1288 | |
---|
| 1289 | |
---|
| 1290 | \emph on |
---|
| 1291 | . |
---|
| 1292 | \end_layout |
---|
| 1293 | |
---|
| 1294 | \begin_layout Subsubsection |
---|
| 1295 | Princip optimality v teorii řízení |
---|
| 1296 | \end_layout |
---|
| 1297 | |
---|
| 1298 | \begin_layout Standard |
---|
| 1299 | Nechť |
---|
| 1300 | \begin_inset Formula $\pi^{*}=\left\{ \mu_{0}^{*},\mu_{1}^{*},\ldots,\mu_{N-1}^{*}\right\} $ |
---|
| 1301 | \end_inset |
---|
| 1302 | |
---|
| 1303 | je optimální řídící strategie pro |
---|
| 1304 | \color black |
---|
| 1305 | základní |
---|
| 1306 | \color inherit |
---|
| 1307 | problém a předpokládejme, že když aplikujeme řízení |
---|
| 1308 | \begin_inset Formula $\pi^{*}$ |
---|
| 1309 | \end_inset |
---|
| 1310 | |
---|
| 1311 | , daný stav |
---|
| 1312 | \begin_inset Formula $x_{i}$ |
---|
| 1313 | \end_inset |
---|
| 1314 | |
---|
| 1315 | se vyskytne v čase |
---|
| 1316 | \begin_inset Formula $i$ |
---|
| 1317 | \end_inset |
---|
| 1318 | |
---|
| 1319 | s pozitivní pravděpodobností. |
---|
| 1320 | Uvažujme podproblém, kdy ve stavu |
---|
| 1321 | \begin_inset Formula $x_{i}$ |
---|
| 1322 | \end_inset |
---|
| 1323 | |
---|
| 1324 | a čase |
---|
| 1325 | \begin_inset Formula $i$ |
---|
| 1326 | \end_inset |
---|
| 1327 | |
---|
| 1328 | chceme minimalizovat |
---|
| 1329 | \emph on |
---|
| 1330 | náklady na pokračování |
---|
| 1331 | \emph default |
---|
| 1332 | (v anglické literatuře označováno jako |
---|
| 1333 | \color black |
---|
| 1334 | |
---|
| 1335 | \begin_inset Quotes gld |
---|
| 1336 | \end_inset |
---|
| 1337 | |
---|
| 1338 | cost-to-go |
---|
| 1339 | \color inherit |
---|
| 1340 | |
---|
| 1341 | \begin_inset Quotes grd |
---|
| 1342 | \end_inset |
---|
| 1343 | |
---|
| 1344 | ) od času |
---|
| 1345 | \begin_inset Formula $i$ |
---|
| 1346 | \end_inset |
---|
| 1347 | |
---|
| 1348 | do |
---|
| 1349 | \begin_inset Formula $N$ |
---|
| 1350 | \end_inset |
---|
| 1351 | |
---|
| 1352 | |
---|
| 1353 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 1354 | \mathbf{E}\left\{ g_{N}(x_{N})+\sum_{k=i}^{N-1}g_{k}(x_{k},\mu_{k}(x_{k}),w_{k})\right\} \] |
---|
| 1355 | |
---|
| 1356 | \end_inset |
---|
| 1357 | |
---|
| 1358 | Potom úsek strategie |
---|
| 1359 | \family roman |
---|
| 1360 | \series medium |
---|
| 1361 | \shape up |
---|
| 1362 | \size normal |
---|
| 1363 | \emph off |
---|
| 1364 | \bar no |
---|
| 1365 | \noun off |
---|
| 1366 | \color none |
---|
| 1367 | |
---|
| 1368 | \begin_inset Formula $\left\{ \mu_{i}^{*},\mu_{i+1}^{*},\ldots,\mu_{N-1}^{*}\right\} $ |
---|
| 1369 | \end_inset |
---|
| 1370 | |
---|
| 1371 | je optimální pro tento podproblém. |
---|
| 1372 | \begin_inset VSpace medskip |
---|
| 1373 | \end_inset |
---|
| 1374 | |
---|
| 1375 | |
---|
| 1376 | \end_layout |
---|
| 1377 | |
---|
| 1378 | \begin_layout Standard |
---|
| 1379 | Intuitivně je princip optimality velmi jednoduchý. |
---|
| 1380 | Jestliže úsek strategie |
---|
| 1381 | \begin_inset Formula $\left\{ \mu_{i}^{*},\mu_{i+1}^{*},\ldots,\mu_{N-1}^{*}\right\} $ |
---|
| 1382 | \end_inset |
---|
| 1383 | |
---|
| 1384 | nebude optimální, budeme schopni dále zredukovat cenu přechodem k optimální |
---|
| 1385 | strategii pro podproblém. |
---|
| 1386 | \end_layout |
---|
| 1387 | |
---|
| 1388 | \begin_layout Standard |
---|
| 1389 | Princip optimality umožňuje optimální strategii konstruovat postupně. |
---|
| 1390 | Nejdříve nalezneme optimální strategii pro koncový podproblém zahrnující |
---|
| 1391 | poslední krok. |
---|
| 1392 | Poté rozšiřujeme podproblém od konce přidáním předposledního kroku a tak |
---|
| 1393 | dále. |
---|
| 1394 | Takto může být vytvořena optimální strategie pro celý problém. |
---|
| 1395 | \end_layout |
---|
| 1396 | |
---|
| 1397 | \begin_layout Standard |
---|
| 1398 | Algoritmus dynamického programování je tedy založen na následující myšlence: |
---|
| 1399 | Algoritmus pracuje iterativně a řeší |
---|
| 1400 | \color black |
---|
| 1401 | koncové |
---|
| 1402 | \color inherit |
---|
| 1403 | podproblémy pro daný časový úsek, při tom využívá řešení předchozích |
---|
| 1404 | \color black |
---|
| 1405 | koncových |
---|
| 1406 | \color inherit |
---|
| 1407 | podproblémů pro kratší časové úseky. |
---|
| 1408 | Převzato z |
---|
| 1409 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 1410 | LatexCommand cite |
---|
| 1411 | key "BertsekasDPOC" |
---|
| 1412 | |
---|
| 1413 | \end_inset |
---|
| 1414 | |
---|
| 1415 | . |
---|
| 1416 | \end_layout |
---|
| 1417 | |
---|
| 1418 | \begin_layout Subsubsection |
---|
| 1419 | Formulace algoritmu dynamického programování |
---|
| 1420 | \end_layout |
---|
| 1421 | |
---|
| 1422 | \begin_layout Standard |
---|
| 1423 | Podle |
---|
| 1424 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 1425 | LatexCommand cite |
---|
| 1426 | key "BertsekasDPOC" |
---|
| 1427 | |
---|
| 1428 | \end_inset |
---|
| 1429 | |
---|
| 1430 | , pro každý počáteční stav |
---|
| 1431 | \begin_inset Formula $x_{0}$ |
---|
| 1432 | \end_inset |
---|
| 1433 | |
---|
| 1434 | , je optimální cena |
---|
| 1435 | \begin_inset Formula $J^{*}(x_{0})$ |
---|
| 1436 | \end_inset |
---|
| 1437 | |
---|
| 1438 | základního problému rovna |
---|
| 1439 | \begin_inset Formula $J_{0}(x_{0})$ |
---|
| 1440 | \end_inset |
---|
| 1441 | |
---|
| 1442 | , získané z posledního kroku následujícího algoritmu, který prochází zpět |
---|
| 1443 | časy od |
---|
| 1444 | \begin_inset Formula $N-1$ |
---|
| 1445 | \end_inset |
---|
| 1446 | |
---|
| 1447 | do |
---|
| 1448 | \begin_inset Formula $0$ |
---|
| 1449 | \end_inset |
---|
| 1450 | |
---|
| 1451 | : |
---|
| 1452 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 1453 | J_{N}(x_{N})=g_{N}(x_{N})\] |
---|
| 1454 | |
---|
| 1455 | \end_inset |
---|
| 1456 | |
---|
| 1457 | |
---|
| 1458 | \end_layout |
---|
| 1459 | |
---|
| 1460 | \begin_layout Standard |
---|
| 1461 | \begin_inset Formula \begin{equation} |
---|
| 1462 | J_{k}(x_{k})=\min_{u_{k}\in U_{k}(x_{k})w_{k}}\mathbf{E}\left\{ g_{k}(x_{k},u_{k},w_{k})+J_{k+1}(f_{k}(x_{k},u_{k},w_{k}))\right\} \label{eq:Jkeqmin}\end{equation} |
---|
| 1463 | |
---|
| 1464 | \end_inset |
---|
| 1465 | |
---|
| 1466 | |
---|
| 1467 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 1468 | k=0,1,\ldots,N-1\] |
---|
| 1469 | |
---|
| 1470 | \end_inset |
---|
| 1471 | |
---|
| 1472 | |
---|
| 1473 | \end_layout |
---|
| 1474 | |
---|
| 1475 | \begin_layout Standard |
---|
| 1476 | kde je očekávaná hodnota počítána podle náhodné veličiny |
---|
| 1477 | \begin_inset Formula $w_{k}$ |
---|
| 1478 | \end_inset |
---|
| 1479 | |
---|
| 1480 | , která obecně závisí na |
---|
| 1481 | \begin_inset Formula $x_{k}$ |
---|
| 1482 | \end_inset |
---|
| 1483 | |
---|
| 1484 | a |
---|
| 1485 | \begin_inset Formula $u_{k}$ |
---|
| 1486 | \end_inset |
---|
| 1487 | |
---|
| 1488 | . |
---|
| 1489 | Dále, když |
---|
| 1490 | \begin_inset Formula $u_{k}^{*}=\mu_{k}^{*}(x_{k})$ |
---|
| 1491 | \end_inset |
---|
| 1492 | |
---|
| 1493 | minimalizuje pravou stranu rovnice |
---|
| 1494 | \begin_inset CommandInset ref |
---|
| 1495 | LatexCommand eqref |
---|
| 1496 | reference "eq:Jkeqmin" |
---|
| 1497 | |
---|
| 1498 | \end_inset |
---|
| 1499 | |
---|
| 1500 | pro každé |
---|
| 1501 | \begin_inset Formula $x_{k}$ |
---|
| 1502 | \end_inset |
---|
| 1503 | |
---|
| 1504 | a |
---|
| 1505 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 1506 | \end_inset |
---|
| 1507 | |
---|
| 1508 | , stretegie |
---|
| 1509 | \begin_inset Formula $\pi*=\left\{ \mu_{1}^{*},\ldots,\mu_{N-1}^{*}\right\} $ |
---|
| 1510 | \end_inset |
---|
| 1511 | |
---|
| 1512 | je optimální. |
---|
| 1513 | \begin_inset VSpace medskip |
---|
| 1514 | \end_inset |
---|
| 1515 | |
---|
| 1516 | |
---|
| 1517 | \end_layout |
---|
| 1518 | |
---|
| 1519 | \begin_layout Standard |
---|
| 1520 | Hodnotu |
---|
| 1521 | \begin_inset Formula $J_{k}(x_{k})$ |
---|
| 1522 | \end_inset |
---|
| 1523 | |
---|
| 1524 | je možno interpretovat jako optimální cenu pro |
---|
| 1525 | \emph on |
---|
| 1526 | |
---|
| 1527 | \begin_inset Formula $(N-k)$ |
---|
| 1528 | \end_inset |
---|
| 1529 | |
---|
| 1530 | |
---|
| 1531 | \emph default |
---|
| 1532 | -tý krok problému začínajícího ve stavu |
---|
| 1533 | \begin_inset Formula $x_{k}$ |
---|
| 1534 | \end_inset |
---|
| 1535 | |
---|
| 1536 | a čase |
---|
| 1537 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 1538 | \end_inset |
---|
| 1539 | |
---|
| 1540 | , a končícího v čase |
---|
| 1541 | \begin_inset Formula $N$ |
---|
| 1542 | \end_inset |
---|
| 1543 | |
---|
| 1544 | . |
---|
| 1545 | Následně označujeme |
---|
| 1546 | \begin_inset Formula $J_{k}(x_{k})$ |
---|
| 1547 | \end_inset |
---|
| 1548 | |
---|
| 1549 | náklady na pokračování ( |
---|
| 1550 | \color black |
---|
| 1551 | |
---|
| 1552 | \begin_inset Quotes gld |
---|
| 1553 | \end_inset |
---|
| 1554 | |
---|
| 1555 | cost-to-go |
---|
| 1556 | \color inherit |
---|
| 1557 | |
---|
| 1558 | \begin_inset Quotes grd |
---|
| 1559 | \end_inset |
---|
| 1560 | |
---|
| 1561 | ) ve stavu |
---|
| 1562 | \begin_inset Formula $x_{k}$ |
---|
| 1563 | \end_inset |
---|
| 1564 | |
---|
| 1565 | a čase |
---|
| 1566 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 1567 | \end_inset |
---|
| 1568 | |
---|
| 1569 | , a |
---|
| 1570 | \begin_inset Formula $J_{k}$ |
---|
| 1571 | \end_inset |
---|
| 1572 | |
---|
| 1573 | označujeme jako funkci nákladů na pokračování ( |
---|
| 1574 | \color black |
---|
| 1575 | |
---|
| 1576 | \begin_inset Quotes gld |
---|
| 1577 | \end_inset |
---|
| 1578 | |
---|
| 1579 | cost-to-go |
---|
| 1580 | \color inherit |
---|
| 1581 | function |
---|
| 1582 | \begin_inset Quotes grd |
---|
| 1583 | \end_inset |
---|
| 1584 | |
---|
| 1585 | ) v čase |
---|
| 1586 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 1587 | \end_inset |
---|
| 1588 | |
---|
| 1589 | . |
---|
| 1590 | |
---|
| 1591 | \end_layout |
---|
| 1592 | |
---|
| 1593 | \begin_layout Standard |
---|
| 1594 | Ideálně bychom chtěli využít algoritmus dynamického programování k získání |
---|
| 1595 | |
---|
| 1596 | \begin_inset Formula $J_{k}$ |
---|
| 1597 | \end_inset |
---|
| 1598 | |
---|
| 1599 | vyjádřené v uzavřeném tvaru nebo k získání optimální strategie. |
---|
| 1600 | Existuje mnoho případů, kdy je daná úloha řešitelná analyticky, obzvláště |
---|
| 1601 | za zjednodušujících předpokladů. |
---|
| 1602 | To je velmi užitečné zejména pro lepší náhled do problematiky a jako vodítko |
---|
| 1603 | pro složitější modely. |
---|
| 1604 | Avšak ve většíně případů není analytické řešení možné, pak je třeba použít |
---|
| 1605 | numerické řešení pomocí algoritmu dynamického programování. |
---|
| 1606 | Tento přístup může být časově velmi náročný, zejména minimalizaci v rovnici |
---|
| 1607 | |
---|
| 1608 | \begin_inset CommandInset ref |
---|
| 1609 | LatexCommand eqref |
---|
| 1610 | reference "eq:Jkeqmin" |
---|
| 1611 | |
---|
| 1612 | \end_inset |
---|
| 1613 | |
---|
| 1614 | je třeba provést pro každou hodnotu |
---|
| 1615 | \begin_inset Formula $x_{k}$ |
---|
| 1616 | \end_inset |
---|
| 1617 | |
---|
| 1618 | . |
---|
| 1619 | Stavový prostor musí být diskretizován, nejedná-li se o konečnou množinu |
---|
| 1620 | a výpočetní nároky pak narůstají proporcionálně k počtu možných hodnot |
---|
| 1621 | |
---|
| 1622 | \begin_inset Formula $x_{k}$ |
---|
| 1623 | \end_inset |
---|
| 1624 | |
---|
| 1625 | . |
---|
| 1626 | Nicméně dynamické programování je pouze obecný přístup pro iterativní optimaliz |
---|
| 1627 | aci při uvažování nejistoty v systému. |
---|
| 1628 | \end_layout |
---|
| 1629 | |
---|
| 1630 | \begin_layout Subsection |
---|
| 1631 | Úplná a neúplná stavová informace |
---|
| 1632 | \end_layout |
---|
| 1633 | |
---|
| 1634 | \begin_layout Standard |
---|
| 1635 | V optimálním případě by bylo možno měřit všechny stavové veličiny systému |
---|
| 1636 | a na jejich základě libovolným způsobem upravovat jeho dynamické vlastnosti. |
---|
| 1637 | Ve skutečnosti ale zpravidla není možné všechny stavy změřit a musíme se |
---|
| 1638 | rozhodovat pouze na základě informací, které máme k dispozici, pak mluvíme |
---|
| 1639 | o |
---|
| 1640 | \emph on |
---|
| 1641 | neúplné informaci o stavu systému |
---|
| 1642 | \emph default |
---|
| 1643 | |
---|
| 1644 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 1645 | LatexCommand cite |
---|
| 1646 | key "StechaTDS,BertsekasDPOC" |
---|
| 1647 | |
---|
| 1648 | \end_inset |
---|
| 1649 | |
---|
| 1650 | . |
---|
| 1651 | Může to být způsobeno například nedostupností hodnot některých stavů, použité |
---|
| 1652 | měřící přístroje mohou být nepřesné nebo náklady na získání přesné hodnoty |
---|
| 1653 | stavu mohou být příliš omezující. |
---|
| 1654 | Případy tohoto typu modelujeme zpravidla tak, že v každém kroku regulátor |
---|
| 1655 | obdrží jisté pozorování skutečné hodnoty stavu, které ovšem může být ovlivněno |
---|
| 1656 | a narušeno stochastickou nejistotou. |
---|
| 1657 | Teoreticky se však problém s neúplnou informací o stavu neodlišuje od úloh |
---|
| 1658 | s úplnou stavovou informací, protože existují způsoby, jak převést (redukovat) |
---|
| 1659 | systém s neúplnou informací na systém s úplnou. |
---|
| 1660 | Tyto postupy obecně vedou na algoritmy využívající dynamické programování, |
---|
| 1661 | ale jsou výpočetně mnohem náročnější, než v případě úplné informace. |
---|
| 1662 | Dva možné postupy redukce převzaté z |
---|
| 1663 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 1664 | LatexCommand cite |
---|
| 1665 | key "BertsekasDPOC" |
---|
| 1666 | |
---|
| 1667 | \end_inset |
---|
| 1668 | |
---|
| 1669 | budou následovat po formulaci problému: |
---|
| 1670 | \end_layout |
---|
| 1671 | |
---|
| 1672 | \begin_layout Subsubsection |
---|
| 1673 | Formulace problému s neúplnou informací o stavu |
---|
| 1674 | \end_layout |
---|
| 1675 | |
---|
| 1676 | \begin_layout Standard |
---|
| 1677 | Nejdříve formulujme základní problém s neúplnou stavovou informací, který |
---|
| 1678 | následně redukujeme na systém s informací úplnou. |
---|
| 1679 | Uvažujme rozšíření základního problému |
---|
| 1680 | \begin_inset CommandInset ref |
---|
| 1681 | LatexCommand ref |
---|
| 1682 | reference "eq:zakladniproblem" |
---|
| 1683 | |
---|
| 1684 | \end_inset |
---|
| 1685 | |
---|
| 1686 | , kde ale regulátor, namísto přístupu ke stavu systému, získává pouze pozorování |
---|
| 1687 | |
---|
| 1688 | \begin_inset Formula $z_{k}$ |
---|
| 1689 | \end_inset |
---|
| 1690 | |
---|
| 1691 | ve tvaru |
---|
| 1692 | \begin_inset Formula \begin{equation} |
---|
| 1693 | z_{0}=h_{0}(x_{0},v_{0}),\quad z_{k}=h_{k}(x_{k},u_{k-1},v_{k}),\quad k=1,2,\ldots,N-1,\label{eq:zaklprobneuplnystav}\end{equation} |
---|
| 1694 | |
---|
| 1695 | \end_inset |
---|
| 1696 | |
---|
| 1697 | kde |
---|
| 1698 | \begin_inset Formula $v_{k}$ |
---|
| 1699 | \end_inset |
---|
| 1700 | |
---|
| 1701 | reprezentuje náhodnou poruchu pozorování charakterizovanou rozdělením pravděpod |
---|
| 1702 | obnosti |
---|
| 1703 | \begin_inset Formula $P_{v_{k}}$ |
---|
| 1704 | \end_inset |
---|
| 1705 | |
---|
| 1706 | , která závisí na současném stavu a všech předchozích stavech, řízeních |
---|
| 1707 | a poruchách. |
---|
| 1708 | Dále také počáteční stav |
---|
| 1709 | \begin_inset Formula $x_{0}$ |
---|
| 1710 | \end_inset |
---|
| 1711 | |
---|
| 1712 | považujeme za náhodnou veličinu s rozdělením |
---|
| 1713 | \begin_inset Formula $P_{x_{0}}$ |
---|
| 1714 | \end_inset |
---|
| 1715 | |
---|
| 1716 | . |
---|
| 1717 | \end_layout |
---|
| 1718 | |
---|
| 1719 | \begin_layout Standard |
---|
| 1720 | Soubor informací dostupných regulátoru v čase |
---|
| 1721 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 1722 | \end_inset |
---|
| 1723 | |
---|
| 1724 | označme |
---|
| 1725 | \begin_inset Formula $I_{k}$ |
---|
| 1726 | \end_inset |
---|
| 1727 | |
---|
| 1728 | informačním vektorem. |
---|
| 1729 | Tedy |
---|
| 1730 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 1731 | I_{k} & = & (z_{0},\ldots,z_{k},u_{0},\ldots,u_{k-1}),\quad k=1,\ldots,N-1,\\ |
---|
| 1732 | I_{0} & = & z_{0}.\end{eqnarray*} |
---|
| 1733 | |
---|
| 1734 | \end_inset |
---|
| 1735 | |
---|
| 1736 | Uvažujme množinu přípustných řízení jako posloupnost funkcí |
---|
| 1737 | \begin_inset Formula $\pi=\{\mu_{0},\ldots,\mu_{N-1}\}$ |
---|
| 1738 | \end_inset |
---|
| 1739 | |
---|
| 1740 | , kde každá funkce |
---|
| 1741 | \begin_inset Formula $\mu_{k}$ |
---|
| 1742 | \end_inset |
---|
| 1743 | |
---|
| 1744 | přiřazuje informačnímu vektoru |
---|
| 1745 | \begin_inset Formula $I_{k}$ |
---|
| 1746 | \end_inset |
---|
| 1747 | |
---|
| 1748 | řízení |
---|
| 1749 | \begin_inset Formula $\mu_{k}(I_{k})\in U_{k}$ |
---|
| 1750 | \end_inset |
---|
| 1751 | |
---|
| 1752 | , pro všechna |
---|
| 1753 | \begin_inset Formula $I_{k}$ |
---|
| 1754 | \end_inset |
---|
| 1755 | |
---|
| 1756 | , kde |
---|
| 1757 | \begin_inset Formula $k=0,\ldots,N-1$ |
---|
| 1758 | \end_inset |
---|
| 1759 | |
---|
| 1760 | . |
---|
| 1761 | Chceme najít přípustnou řídící strategii, to jest posloupnost |
---|
| 1762 | \begin_inset Formula $\pi$ |
---|
| 1763 | \end_inset |
---|
| 1764 | |
---|
| 1765 | , která minimalizuje očekávanou ztrátu |
---|
| 1766 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 1767 | J_{\pi}=\mathbf{E}\left\{ g_{N}(x_{N})+\sum_{k=0}^{N-1}g_{k}\left(x_{k},\mu_{k}(I_{k}),w_{k}\right)\right\} ,\] |
---|
| 1768 | |
---|
| 1769 | \end_inset |
---|
| 1770 | |
---|
| 1771 | kde je očekávaná hodnota počítána přes náhodné veličiny |
---|
| 1772 | \begin_inset Formula $x_{0}$ |
---|
| 1773 | \end_inset |
---|
| 1774 | |
---|
| 1775 | a |
---|
| 1776 | \begin_inset Formula $w_{k},v_{k}$ |
---|
| 1777 | \end_inset |
---|
| 1778 | |
---|
| 1779 | pro |
---|
| 1780 | \begin_inset Formula $k=0,\ldots,N-1$ |
---|
| 1781 | \end_inset |
---|
| 1782 | |
---|
| 1783 | . |
---|
| 1784 | Veličiny |
---|
| 1785 | \begin_inset Formula $x_{k}$ |
---|
| 1786 | \end_inset |
---|
| 1787 | |
---|
| 1788 | a |
---|
| 1789 | \begin_inset Formula $z_{k}$ |
---|
| 1790 | \end_inset |
---|
| 1791 | |
---|
| 1792 | se vypočítají z rovnic |
---|
| 1793 | \begin_inset CommandInset ref |
---|
| 1794 | LatexCommand ref |
---|
| 1795 | reference "eq:zakladniproblem" |
---|
| 1796 | |
---|
| 1797 | \end_inset |
---|
| 1798 | |
---|
| 1799 | respektive |
---|
| 1800 | \begin_inset CommandInset ref |
---|
| 1801 | LatexCommand ref |
---|
| 1802 | reference "eq:zaklprobneuplnystav" |
---|
| 1803 | |
---|
| 1804 | \end_inset |
---|
| 1805 | |
---|
| 1806 | , přičemž v nich položíme |
---|
| 1807 | \begin_inset Formula $u_{k}=\mu_{k}(I_{k})$ |
---|
| 1808 | \end_inset |
---|
| 1809 | |
---|
| 1810 | . |
---|
| 1811 | \end_layout |
---|
| 1812 | |
---|
| 1813 | \begin_layout Subsubsection |
---|
| 1814 | Redukce na systém s úplnou stavovou informací |
---|
| 1815 | \end_layout |
---|
| 1816 | |
---|
| 1817 | \begin_layout Standard |
---|
| 1818 | Tento postup je založen na myšlence definovat nový systém, jehož stav v |
---|
| 1819 | čase |
---|
| 1820 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 1821 | \end_inset |
---|
| 1822 | |
---|
| 1823 | je množina všech hodnot, kterých může využít regulátor při tvorbě řízení. |
---|
| 1824 | Jako stav nového systému tedy volíme informační vektor |
---|
| 1825 | \begin_inset Formula $I_{k}$ |
---|
| 1826 | \end_inset |
---|
| 1827 | |
---|
| 1828 | a získáme systém |
---|
| 1829 | \begin_inset Formula \begin{equation} |
---|
| 1830 | I_{k+1}=(I_{k,}z_{k+1},u_{k}),\quad I_{0}=z_{0},\quad k=0,\ldots,N-2.\label{eq:rednewsystem}\end{equation} |
---|
| 1831 | |
---|
| 1832 | \end_inset |
---|
| 1833 | |
---|
| 1834 | Na tento systém povahy základního problému s úplnou informací můžeme pohlížet |
---|
| 1835 | tak, že |
---|
| 1836 | \begin_inset Formula $I_{k}$ |
---|
| 1837 | \end_inset |
---|
| 1838 | |
---|
| 1839 | je stav. |
---|
| 1840 | Řízení |
---|
| 1841 | \begin_inset Formula $u_{k}$ |
---|
| 1842 | \end_inset |
---|
| 1843 | |
---|
| 1844 | a pozorování |
---|
| 1845 | \begin_inset Formula $z_{k}$ |
---|
| 1846 | \end_inset |
---|
| 1847 | |
---|
| 1848 | lze pak chápat jako náhodné poruchy. |
---|
| 1849 | Dále rozdělení pravděpodobnosti |
---|
| 1850 | \begin_inset Formula $z_{k+1}$ |
---|
| 1851 | \end_inset |
---|
| 1852 | |
---|
| 1853 | závisí explicitně pouze na stavu |
---|
| 1854 | \begin_inset Formula $I_{k}$ |
---|
| 1855 | \end_inset |
---|
| 1856 | |
---|
| 1857 | a řízení |
---|
| 1858 | \begin_inset Formula $u_{k}$ |
---|
| 1859 | \end_inset |
---|
| 1860 | |
---|
| 1861 | . |
---|
| 1862 | Ztrátovou funkci vyjádřenou pro nový systém je možno zapsat jako |
---|
| 1863 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 1864 | \mathbf{E}\left\{ g_{k}\left(x_{k},u_{k},w_{k}\right)\right\} =\mathbf{E}\left\{ \mathbf{E}_{x_{k},w_{k}}\left\{ g_{k}\left(x_{k},u_{k},w_{k}\right)\mid I_{k},u_{k}\right\} \right\} .\] |
---|
| 1865 | |
---|
| 1866 | \end_inset |
---|
| 1867 | |
---|
| 1868 | Tedy ztráta během jednoho kroku vyjádřená jako funkce nového stavu |
---|
| 1869 | \begin_inset Formula $I_{k}$ |
---|
| 1870 | \end_inset |
---|
| 1871 | |
---|
| 1872 | a řízení |
---|
| 1873 | \begin_inset Formula $u_{k}$ |
---|
| 1874 | \end_inset |
---|
| 1875 | |
---|
| 1876 | je |
---|
| 1877 | \begin_inset Formula \begin{equation} |
---|
| 1878 | \tilde{g}_{k}(I_{k,}u_{k})=\mathbf{E}_{x_{k},w_{k}}\left\{ g_{k}\left(x_{k},u_{k},w_{k}\right)\mid I_{k},u_{k}\right\} .\label{eq:rednewztrata}\end{equation} |
---|
| 1879 | |
---|
| 1880 | \end_inset |
---|
| 1881 | |
---|
| 1882 | Původní základní problém s neúplnou stavovou informací byl tedy převeden |
---|
| 1883 | na úlohu s úplnou stavovou informací s rovnicí popisující systém |
---|
| 1884 | \begin_inset CommandInset ref |
---|
| 1885 | LatexCommand ref |
---|
| 1886 | reference "eq:rednewsystem" |
---|
| 1887 | |
---|
| 1888 | \end_inset |
---|
| 1889 | |
---|
| 1890 | a ztrátou během jednoho kroku |
---|
| 1891 | \begin_inset CommandInset ref |
---|
| 1892 | LatexCommand ref |
---|
| 1893 | reference "eq:rednewztrata" |
---|
| 1894 | |
---|
| 1895 | \end_inset |
---|
| 1896 | |
---|
| 1897 | . |
---|
| 1898 | Nyní je pro něj možno napsat algoritmus dynamického programování. |
---|
| 1899 | |
---|
| 1900 | \color blue |
---|
| 1901 | (možná sem dát i rovnice DP) |
---|
| 1902 | \end_layout |
---|
| 1903 | |
---|
| 1904 | \begin_layout Subsubsection |
---|
| 1905 | Postačující statistika |
---|
| 1906 | \end_layout |
---|
| 1907 | |
---|
| 1908 | \begin_layout Standard |
---|
| 1909 | Při užití algoritmu dynamického programování za neúplné stavové informace |
---|
| 1910 | je hlavní problém v jeho vyhodnocování ve stavovém prostoru, jehož dimenze |
---|
| 1911 | neustále roste. |
---|
| 1912 | S každým dalším měřením dimenze stavu a tedy informační vektor |
---|
| 1913 | \begin_inset Formula $I_{k}$ |
---|
| 1914 | \end_inset |
---|
| 1915 | |
---|
| 1916 | narůstá, proto se snažíme redukovat množství dat skutečně potřebných pro |
---|
| 1917 | účely řízení. |
---|
| 1918 | Hledáme tedy popis známý jako |
---|
| 1919 | \emph on |
---|
| 1920 | postačující statistika |
---|
| 1921 | \emph default |
---|
| 1922 | , který bude mít menší dimenzi než |
---|
| 1923 | \begin_inset Formula $I_{k}$ |
---|
| 1924 | \end_inset |
---|
| 1925 | |
---|
| 1926 | ale současně zahrne veškerý důležitý obsah |
---|
| 1927 | \begin_inset Formula $I_{k}$ |
---|
| 1928 | \end_inset |
---|
| 1929 | |
---|
| 1930 | potřebný pro řízení. |
---|
| 1931 | Jako postačující statistiku označme funkci |
---|
| 1932 | \begin_inset Formula $S_{k}$ |
---|
| 1933 | \end_inset |
---|
| 1934 | |
---|
| 1935 | informačního vektoru |
---|
| 1936 | \begin_inset Formula $I_{k}$ |
---|
| 1937 | \end_inset |
---|
| 1938 | |
---|
| 1939 | , tedy |
---|
| 1940 | \begin_inset Formula $S_{k}(I_{k})$ |
---|
| 1941 | \end_inset |
---|
| 1942 | |
---|
| 1943 | takovou, že minimalizuje ztrátu v algoritmu dynamického programování přes |
---|
| 1944 | všechna přípustná řízení. |
---|
| 1945 | Což můžeme zapsat pro vhodnou funkci |
---|
| 1946 | \begin_inset Formula $H_{k}$ |
---|
| 1947 | \end_inset |
---|
| 1948 | |
---|
| 1949 | jako |
---|
| 1950 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 1951 | J_{k}(I_{k}) & = & \min_{u_{k}\in U_{k}}H_{k}(S_{k}(I_{k}),u_{k}).\end{eqnarray*} |
---|
| 1952 | |
---|
| 1953 | \end_inset |
---|
| 1954 | |
---|
| 1955 | Po funkci |
---|
| 1956 | \begin_inset Formula $S_{k}$ |
---|
| 1957 | \end_inset |
---|
| 1958 | |
---|
| 1959 | samozřejmě chceme, aby byla charakterizována menší množinou čísel, než |
---|
| 1960 | informační vektor |
---|
| 1961 | \begin_inset Formula $I_{k}$ |
---|
| 1962 | \end_inset |
---|
| 1963 | |
---|
| 1964 | , abychom získaly výhody z jejího použití. |
---|
| 1965 | Obecně existuje mnoho funkcí, které mohou sloužit jako postačující statistika. |
---|
| 1966 | Triviálním příkladem může být identita |
---|
| 1967 | \begin_inset Formula $S_{k}(I_{k})=I_{k}$ |
---|
| 1968 | \end_inset |
---|
| 1969 | |
---|
| 1970 | . |
---|
| 1971 | |
---|
| 1972 | \end_layout |
---|
| 1973 | |
---|
| 1974 | \begin_layout Standard |
---|
| 1975 | Závisí-li rozdělení pravděpodobnosti poruchy pozorování |
---|
| 1976 | \begin_inset Formula $v_{k}$ |
---|
| 1977 | \end_inset |
---|
| 1978 | |
---|
| 1979 | explicitně pouze na bezprostředně předcházejícím stavu, řízení a poruše |
---|
| 1980 | systému, tedy na |
---|
| 1981 | \begin_inset Formula $x_{k},u_{k},w_{k}$ |
---|
| 1982 | \end_inset |
---|
| 1983 | |
---|
| 1984 | a nezávisí na předchozích hodnotách |
---|
| 1985 | \begin_inset Formula $x_{k-1},\ldots,x_{0},u_{k-1},\ldots,u_{0},w_{k-1},\ldots,w_{0},v_{k-1},\ldots,v_{0}$ |
---|
| 1986 | \end_inset |
---|
| 1987 | |
---|
| 1988 | můžeme za postačující statistiku volit podmíněné rozdělení pravděpodobnosti |
---|
| 1989 | |
---|
| 1990 | \begin_inset Formula $P_{x_{k}|I_{k}}$ |
---|
| 1991 | \end_inset |
---|
| 1992 | |
---|
| 1993 | , o kterém lze ukázat (viz |
---|
| 1994 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 1995 | LatexCommand cite |
---|
| 1996 | key "BertsekasDPOC" |
---|
| 1997 | |
---|
| 1998 | \end_inset |
---|
| 1999 | |
---|
| 2000 | ), že |
---|
| 2001 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2002 | J_{k}(I_{k})=\min_{u_{k}\in U_{k}}H_{k}(P_{x_{k}|I_{k}},u_{k})=\overline{J}_{k}(P_{x_{k}|I_{k}}),\] |
---|
| 2003 | |
---|
| 2004 | \end_inset |
---|
| 2005 | |
---|
| 2006 | kde |
---|
| 2007 | \begin_inset Formula $H_{k}$ |
---|
| 2008 | \end_inset |
---|
| 2009 | |
---|
| 2010 | a |
---|
| 2011 | \begin_inset Formula $\overline{J}_{k}$ |
---|
| 2012 | \end_inset |
---|
| 2013 | |
---|
| 2014 | jsou vhodné funkce. |
---|
| 2015 | Optimální řízení pak získáme ve tvaru funkcí podmíněného rozdělení pravděpodobn |
---|
| 2016 | osti |
---|
| 2017 | \begin_inset Formula $\mu_{k}(I_{k})=\overline{\mu}_{k}(P_{x_{k}|I_{k}})$ |
---|
| 2018 | \end_inset |
---|
| 2019 | |
---|
| 2020 | pro |
---|
| 2021 | \begin_inset Formula $k=0,\ldots,N-1$ |
---|
| 2022 | \end_inset |
---|
| 2023 | |
---|
| 2024 | . |
---|
| 2025 | Tato reprezentace může být velmi užitečná, protože nám umožňuje rozložit |
---|
| 2026 | optimální řízení na dvě nezávislé časti: |
---|
| 2027 | \end_layout |
---|
| 2028 | |
---|
| 2029 | \begin_layout Enumerate |
---|
| 2030 | |
---|
| 2031 | \emph on |
---|
| 2032 | pozorovatel |
---|
| 2033 | \emph default |
---|
| 2034 | (estimátor), který v čase |
---|
| 2035 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 2036 | \end_inset |
---|
| 2037 | |
---|
| 2038 | použije měření |
---|
| 2039 | \begin_inset Formula $z_{k}$ |
---|
| 2040 | \end_inset |
---|
| 2041 | |
---|
| 2042 | a řízení |
---|
| 2043 | \begin_inset Formula $u_{k-1}$ |
---|
| 2044 | \end_inset |
---|
| 2045 | |
---|
| 2046 | k vygenerování rozdělení pravděpodobnosti |
---|
| 2047 | \begin_inset Formula $P_{x_{k}|I_{k}}$ |
---|
| 2048 | \end_inset |
---|
| 2049 | |
---|
| 2050 | |
---|
| 2051 | \end_layout |
---|
| 2052 | |
---|
| 2053 | \begin_layout Enumerate |
---|
| 2054 | |
---|
| 2055 | \emph on |
---|
| 2056 | ovladač |
---|
| 2057 | \emph default |
---|
| 2058 | (regulátor), který generuje vstupy (řízení) pro systém jako funkci rozdělení |
---|
| 2059 | pravděpodobnosti |
---|
| 2060 | \begin_inset Formula $P_{x_{k}|I_{k}}$ |
---|
| 2061 | \end_inset |
---|
| 2062 | |
---|
| 2063 | |
---|
| 2064 | \end_layout |
---|
| 2065 | |
---|
| 2066 | \begin_layout Standard |
---|
| 2067 | Tento rozklad pak umožňuje navrhovat každou z částí samostatně podle charakteru |
---|
| 2068 | konkrétní úlohy. |
---|
| 2069 | \end_layout |
---|
| 2070 | |
---|
| 2071 | \begin_layout Subsection |
---|
| 2072 | Kalmanův filtr |
---|
| 2073 | \end_layout |
---|
| 2074 | |
---|
| 2075 | \begin_layout Standard |
---|
| 2076 | Chceme řešit následující problém, viz |
---|
| 2077 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 2078 | LatexCommand cite |
---|
| 2079 | key "StechaTDS" |
---|
| 2080 | |
---|
| 2081 | \end_inset |
---|
| 2082 | |
---|
| 2083 | : Máme lineární systém s neúplnou stavovou informací a snažíme se odhadnout |
---|
| 2084 | (rekonstruovat, estimovat) stav systému z měřitelných vstupních a výstupních |
---|
| 2085 | veličin. |
---|
| 2086 | Dále předpokládejme, že měření výstupu a popřípadě i vstupu je zatíženo |
---|
| 2087 | chybou měření. |
---|
| 2088 | Tyto nepřesnosti měření můžeme modelovat jako aditivní šum. |
---|
| 2089 | Odhadování (rekonstrukci, estimaci) potom navrhujeme pomocí stochastických |
---|
| 2090 | metod. |
---|
| 2091 | Řešení vede na takzvaný |
---|
| 2092 | \emph on |
---|
| 2093 | Kalmanův filtr |
---|
| 2094 | \emph default |
---|
| 2095 | . |
---|
| 2096 | \end_layout |
---|
| 2097 | |
---|
| 2098 | \begin_layout Standard |
---|
| 2099 | \begin_inset VSpace medskip |
---|
| 2100 | \end_inset |
---|
| 2101 | |
---|
| 2102 | |
---|
| 2103 | \end_layout |
---|
| 2104 | |
---|
| 2105 | \begin_layout Standard |
---|
| 2106 | Následující formulace problému a popis algoritmu Kalmanova filtru je převzat |
---|
| 2107 | z |
---|
| 2108 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 2109 | LatexCommand cite |
---|
| 2110 | key "BertsekasDPOC" |
---|
| 2111 | |
---|
| 2112 | \end_inset |
---|
| 2113 | |
---|
| 2114 | , kde lze také nalézt odvození příslušných rovnic: Máme dva náhodné vektory |
---|
| 2115 | |
---|
| 2116 | \begin_inset Formula $x$ |
---|
| 2117 | \end_inset |
---|
| 2118 | |
---|
| 2119 | a |
---|
| 2120 | \begin_inset Formula $y$ |
---|
| 2121 | \end_inset |
---|
| 2122 | |
---|
| 2123 | , které jsou svázány |
---|
| 2124 | \color red |
---|
| 2125 | společným rozdělením pravděpodobnosti |
---|
| 2126 | \color inherit |
---|
| 2127 | ( |
---|
| 2128 | \begin_inset Quotes gld |
---|
| 2129 | \end_inset |
---|
| 2130 | |
---|
| 2131 | joint probability distribution |
---|
| 2132 | \begin_inset Quotes grd |
---|
| 2133 | \end_inset |
---|
| 2134 | |
---|
| 2135 | ) tak, že hodnota jednoho poskytuje informaci o hodnotě druhého. |
---|
| 2136 | Známe hodnotu |
---|
| 2137 | \begin_inset Formula $y$ |
---|
| 2138 | \end_inset |
---|
| 2139 | |
---|
| 2140 | a chceme určit (odhadnout) hodnotu |
---|
| 2141 | \begin_inset Formula $x$ |
---|
| 2142 | \end_inset |
---|
| 2143 | |
---|
| 2144 | tak, aby střední kvadratická odchylka mezi |
---|
| 2145 | \begin_inset Formula $x$ |
---|
| 2146 | \end_inset |
---|
| 2147 | |
---|
| 2148 | a jeho odhadem byla minimální. |
---|
| 2149 | \end_layout |
---|
| 2150 | |
---|
| 2151 | \begin_layout Standard |
---|
| 2152 | Takový odhad můžeme zístat v nejjednodušším případě metodou nejmenších čtverců, |
---|
| 2153 | ale pro tento způsob je třeba velkého počtu měření. |
---|
| 2154 | Jako lepší způsob se ale jeví využít sekvenční struktury problému a iterativně |
---|
| 2155 | použít Kalmanův filtr, kdy odhad v čase |
---|
| 2156 | \begin_inset Formula $k+1$ |
---|
| 2157 | \end_inset |
---|
| 2158 | |
---|
| 2159 | získáme na základě jednoduchých rovnic pouze z předchozího odhadu a nového |
---|
| 2160 | měření v čase |
---|
| 2161 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 2162 | \end_inset |
---|
| 2163 | |
---|
| 2164 | , žádná předchozí měření nejsou explicitně zahrnuta. |
---|
| 2165 | \end_layout |
---|
| 2166 | |
---|
| 2167 | \begin_layout Standard |
---|
| 2168 | V dalším textu označme |
---|
| 2169 | \begin_inset Formula $\hat{x}_{k|k-1}$ |
---|
| 2170 | \end_inset |
---|
| 2171 | |
---|
| 2172 | apriorní odhad stavu, tedy odhad stavu v čase |
---|
| 2173 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 2174 | \end_inset |
---|
| 2175 | |
---|
| 2176 | na základě informací až do času |
---|
| 2177 | \begin_inset Formula $k-1$ |
---|
| 2178 | \end_inset |
---|
| 2179 | |
---|
| 2180 | . |
---|
| 2181 | Analogicky |
---|
| 2182 | \begin_inset Formula $\Sigma_{k|k-1}$ |
---|
| 2183 | \end_inset |
---|
| 2184 | |
---|
| 2185 | označuje apriorní kovarianční matici. |
---|
| 2186 | Aposteriorní odhad stavu označme |
---|
| 2187 | \begin_inset Formula $\hat{x}_{k|k}$ |
---|
| 2188 | \end_inset |
---|
| 2189 | |
---|
| 2190 | , to jest odhad v čase |
---|
| 2191 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 2192 | \end_inset |
---|
| 2193 | |
---|
| 2194 | na základě informačí až do času |
---|
| 2195 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 2196 | \end_inset |
---|
| 2197 | |
---|
| 2198 | . |
---|
| 2199 | Aposteriorní kovarianční matice je pak označena |
---|
| 2200 | \begin_inset Formula $\Sigma_{k|k}$ |
---|
| 2201 | \end_inset |
---|
| 2202 | |
---|
| 2203 | . |
---|
| 2204 | |
---|
| 2205 | \end_layout |
---|
| 2206 | |
---|
| 2207 | \begin_layout Standard |
---|
| 2208 | \begin_inset VSpace bigskip |
---|
| 2209 | \end_inset |
---|
| 2210 | |
---|
| 2211 | |
---|
| 2212 | \end_layout |
---|
| 2213 | |
---|
| 2214 | \begin_layout Subsubsection |
---|
| 2215 | System |
---|
| 2216 | \end_layout |
---|
| 2217 | |
---|
| 2218 | \begin_layout Standard |
---|
| 2219 | Uvažujme lineární dynamický systém bez řízení ( |
---|
| 2220 | \begin_inset Formula $u_{k}\equiv0$ |
---|
| 2221 | \end_inset |
---|
| 2222 | |
---|
| 2223 | ) ve tvaru |
---|
| 2224 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2225 | x_{k+1}=A_{k}x_{k}+w_{k},\; k=0,1,\ldots,N-1,\] |
---|
| 2226 | |
---|
| 2227 | \end_inset |
---|
| 2228 | |
---|
| 2229 | kde |
---|
| 2230 | \begin_inset Formula $x_{k}$ |
---|
| 2231 | \end_inset |
---|
| 2232 | |
---|
| 2233 | je vektor stavu, |
---|
| 2234 | \begin_inset Formula $w_{k}$ |
---|
| 2235 | \end_inset |
---|
| 2236 | |
---|
| 2237 | vektor náhodné poruchy a matice |
---|
| 2238 | \begin_inset Formula $A_{k}$ |
---|
| 2239 | \end_inset |
---|
| 2240 | |
---|
| 2241 | předpokládáme známé. |
---|
| 2242 | Dále rovnice měření je |
---|
| 2243 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2244 | z_{k}=C_{k}x_{k}+v_{k},\; k=0,1,\ldots,N-1,\] |
---|
| 2245 | |
---|
| 2246 | \end_inset |
---|
| 2247 | |
---|
| 2248 | kde |
---|
| 2249 | \begin_inset Formula $z_{k}$ |
---|
| 2250 | \end_inset |
---|
| 2251 | |
---|
| 2252 | je vektor pozorování (měřených veličin) a |
---|
| 2253 | \begin_inset Formula $v_{k}$ |
---|
| 2254 | \end_inset |
---|
| 2255 | |
---|
| 2256 | vektor šumu. |
---|
| 2257 | Nechť |
---|
| 2258 | \begin_inset Formula $x_{0},w_{0},\ldots,w_{N-1},v_{0},\ldots,v_{N-1}$ |
---|
| 2259 | \end_inset |
---|
| 2260 | |
---|
| 2261 | jsou vektory nezávislých náhodných veličin s daným rozdělením pravděpodobnosti, |
---|
| 2262 | takovým, že |
---|
| 2263 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2264 | \mathrm{E}\{w_{k}\}=\mathrm{E}\{v_{k}\}=0,\; k=0,1,\ldots,N-1.\] |
---|
| 2265 | |
---|
| 2266 | \end_inset |
---|
| 2267 | |
---|
| 2268 | Označme |
---|
| 2269 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2270 | S=\mathrm{E}\left\{ \left(x_{0}-\mathrm{E}\{x_{0}\}\right)\left(x_{0}-\mathrm{E}\{x_{0}\}\right)^{T}\right\} ,\; M_{k}=\mathrm{E}\{w_{k}w_{k}^{T}\},\; N_{k}=\mathrm{E}\{v_{k}v_{k}^{T}\},\] |
---|
| 2271 | |
---|
| 2272 | \end_inset |
---|
| 2273 | |
---|
| 2274 | a nechť matice |
---|
| 2275 | \begin_inset Formula $N_{k}$ |
---|
| 2276 | \end_inset |
---|
| 2277 | |
---|
| 2278 | pozitivně definitní pro všechny časy |
---|
| 2279 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 2280 | \end_inset |
---|
| 2281 | |
---|
| 2282 | . |
---|
| 2283 | \end_layout |
---|
| 2284 | |
---|
| 2285 | \begin_layout Subsubsection |
---|
| 2286 | Algoritmus Kalmanova filtru |
---|
| 2287 | \end_layout |
---|
| 2288 | |
---|
| 2289 | \begin_layout Standard |
---|
| 2290 | Předpokládejme, že máme spočítaný odhad |
---|
| 2291 | \begin_inset Formula $\hat{x}_{k|k-1}$ |
---|
| 2292 | \end_inset |
---|
| 2293 | |
---|
| 2294 | společně s kovarianční maticí |
---|
| 2295 | \begin_inset Formula $\Sigma_{k|k-1}=\mathrm{E}\left\{ \left(x_{k}-\hat{x}_{k|k-1}\right)\left(x_{k}-\hat{x}_{k|k-1}\right)^{T}\right\} $ |
---|
| 2296 | \end_inset |
---|
| 2297 | |
---|
| 2298 | . |
---|
| 2299 | V čase |
---|
| 2300 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 2301 | \end_inset |
---|
| 2302 | |
---|
| 2303 | získáme další měření |
---|
| 2304 | \begin_inset Formula $z_{k}=C_{k}x_{k}+v_{k}$ |
---|
| 2305 | \end_inset |
---|
| 2306 | |
---|
| 2307 | . |
---|
| 2308 | Nyní můžeme získat aposteriorní odhad stavu |
---|
| 2309 | \begin_inset Formula $\hat{x}_{k|k}$ |
---|
| 2310 | \end_inset |
---|
| 2311 | |
---|
| 2312 | v čase |
---|
| 2313 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 2314 | \end_inset |
---|
| 2315 | |
---|
| 2316 | jako |
---|
| 2317 | \begin_inset Formula \begin{equation} |
---|
| 2318 | \hat{x}_{k|k}=\hat{x}_{k|k-1}+\Sigma_{k|k-1}C_{k}^{T}\left(C_{k}\Sigma_{k|k-1}C_{k}^{T}+N_{k}\right)^{-1}\left(z_{k}-C_{k}\hat{x}_{k|k-1}\right),\label{eq:kalmanaposkk}\end{equation} |
---|
| 2319 | |
---|
| 2320 | \end_inset |
---|
| 2321 | |
---|
| 2322 | dále pak apriorní odhad stavu |
---|
| 2323 | \begin_inset Formula $\hat{x}_{k+1|k}$ |
---|
| 2324 | \end_inset |
---|
| 2325 | |
---|
| 2326 | v čase |
---|
| 2327 | \begin_inset Formula $k+1,$ |
---|
| 2328 | \end_inset |
---|
| 2329 | |
---|
| 2330 | tedy |
---|
| 2331 | \begin_inset Formula $\hat{x}_{k+1|k}=A_{k}\hat{x}_{k|k}$ |
---|
| 2332 | \end_inset |
---|
| 2333 | |
---|
| 2334 | . |
---|
| 2335 | Apriorní kovarianční matici v čase |
---|
| 2336 | \begin_inset Formula $k+1$ |
---|
| 2337 | \end_inset |
---|
| 2338 | |
---|
| 2339 | vypočítáme z |
---|
| 2340 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2341 | \Sigma_{k+1|k}=A_{k}\Sigma_{k|k}A_{k}^{T}+M_{k},\] |
---|
| 2342 | |
---|
| 2343 | \end_inset |
---|
| 2344 | |
---|
| 2345 | kde aposteriorní kovarianční matici |
---|
| 2346 | \begin_inset Formula $\Sigma_{k|k}=\mathrm{E}\left\{ \left(x_{k}-\hat{x}_{k|k}\right)\left(x_{k}-\hat{x}_{k|k}\right)^{T}\right\} $ |
---|
| 2347 | \end_inset |
---|
| 2348 | |
---|
| 2349 | můžeme získat z rovnice |
---|
| 2350 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2351 | \Sigma_{k|k}=\Sigma_{k|k-1}-\Sigma_{k|k-1}C_{k}^{T}\left(C_{k}\Sigma_{k|k-1}C_{k}^{T}+N_{k}\right)^{-1}C_{k}\Sigma_{k|k-1}.\] |
---|
| 2352 | |
---|
| 2353 | \end_inset |
---|
| 2354 | |
---|
| 2355 | Přidáním počátečních podmínek |
---|
| 2356 | \begin_inset Formula $\hat{x}_{0|-1}=\mathrm{E}\{x_{0}\}$ |
---|
| 2357 | \end_inset |
---|
| 2358 | |
---|
| 2359 | a |
---|
| 2360 | \begin_inset Formula $\Sigma_{0|-1}=S$ |
---|
| 2361 | \end_inset |
---|
| 2362 | |
---|
| 2363 | získáme |
---|
| 2364 | \emph on |
---|
| 2365 | algoritmus Kalmanova filtru |
---|
| 2366 | \emph default |
---|
| 2367 | , který ve své podstatě rekurzivně generuje posloupnost lineárních odhadů |
---|
| 2368 | založených na metodě nejmenších čtverců. |
---|
| 2369 | \end_layout |
---|
| 2370 | |
---|
| 2371 | \begin_layout Standard |
---|
| 2372 | Dále je možno vyjádřit rovnici |
---|
| 2373 | \begin_inset CommandInset ref |
---|
| 2374 | LatexCommand ref |
---|
| 2375 | reference "eq:kalmanaposkk" |
---|
| 2376 | |
---|
| 2377 | \end_inset |
---|
| 2378 | |
---|
| 2379 | ve tvaru |
---|
| 2380 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2381 | \hat{x}_{k|k}=A_{k-1}\hat{x}_{k-1|k-1}+\Sigma_{k|k}C_{k}^{T}N_{k}^{-1}\left(z_{k}-C_{k}A_{k-1}\hat{x}_{k-1|k-1}\right),\] |
---|
| 2382 | |
---|
| 2383 | \end_inset |
---|
| 2384 | |
---|
| 2385 | který při uvažování systému se vstupem |
---|
| 2386 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2387 | x_{k+1}=A_{k}x_{k}+B_{k}u_{k}+w_{k},\; k=0,1,\ldots,N-1,\] |
---|
| 2388 | |
---|
| 2389 | \end_inset |
---|
| 2390 | |
---|
| 2391 | umožňuje vypočítat rekurzivně aposteriorní odhady stavů |
---|
| 2392 | \begin_inset Formula $\hat{x}_{k|k}$ |
---|
| 2393 | \end_inset |
---|
| 2394 | |
---|
| 2395 | v časech |
---|
| 2396 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 2397 | \end_inset |
---|
| 2398 | |
---|
| 2399 | z rovnice |
---|
| 2400 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2401 | \hat{x}_{k|k}=A_{k-1}\hat{x}_{k-1|k-1}+B_{k-1}u_{k-1}+\Sigma_{k|k}C_{k}^{T}N_{k}^{-1}\left(z_{k}-C_{k}A_{k-1}\hat{x}_{k-1|k-1}\right),\] |
---|
| 2402 | |
---|
| 2403 | \end_inset |
---|
| 2404 | |
---|
| 2405 | přičemž rovnice pro výpočet aposteriorní kovarianční matice |
---|
| 2406 | \begin_inset Formula $\Sigma_{k|k}$ |
---|
| 2407 | \end_inset |
---|
| 2408 | |
---|
| 2409 | zůstávají nezměněny. |
---|
| 2410 | \end_layout |
---|
| 2411 | |
---|
| 2412 | \begin_layout Subsection |
---|
| 2413 | Deterministické systémy se spojitým časem |
---|
| 2414 | \end_layout |
---|
| 2415 | |
---|
| 2416 | \begin_layout Standard |
---|
| 2417 | I když zpravidla pracujeme s diskrétními systémy, zejména z důvodů výpočtů |
---|
| 2418 | na počítači, teorie optimálního řízení spojitých systémů může být velmi |
---|
| 2419 | užitečná. |
---|
| 2420 | Poskytuje totiž důležité principy, které jsou velmi často používány při |
---|
| 2421 | návrhu algoritmů pro duální řízení. |
---|
| 2422 | Konkrétně se jedná o Hamilton-Jacobi-Bellmanovu rovnost a Pontryaginův |
---|
| 2423 | princip minima. |
---|
| 2424 | \end_layout |
---|
| 2425 | |
---|
| 2426 | \begin_layout Subsubsection |
---|
| 2427 | Spojitý systém |
---|
| 2428 | \end_layout |
---|
| 2429 | |
---|
| 2430 | \begin_layout Standard |
---|
| 2431 | Dynamický systém se spojitým časem uvažujeme dle |
---|
| 2432 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 2433 | LatexCommand cite |
---|
| 2434 | key "BertsekasDPOC" |
---|
| 2435 | |
---|
| 2436 | \end_inset |
---|
| 2437 | |
---|
| 2438 | ve tvaru |
---|
| 2439 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray} |
---|
| 2440 | \dot{x}(t) & = & f(x(t),u(t)),\;0\leq t\leq T,\label{eq:spojsystemHJBP}\\ |
---|
| 2441 | x(0) & = & x_{0},\nonumber \end{eqnarray} |
---|
| 2442 | |
---|
| 2443 | \end_inset |
---|
| 2444 | |
---|
| 2445 | kde |
---|
| 2446 | \begin_inset Formula $x(t)$ |
---|
| 2447 | \end_inset |
---|
| 2448 | |
---|
| 2449 | je stavový vektor v čase |
---|
| 2450 | \begin_inset Formula $t$ |
---|
| 2451 | \end_inset |
---|
| 2452 | |
---|
| 2453 | , |
---|
| 2454 | \begin_inset Formula $\dot{x}(t)$ |
---|
| 2455 | \end_inset |
---|
| 2456 | |
---|
| 2457 | je vektor prvních derivací podle času v čase |
---|
| 2458 | \begin_inset Formula $t$ |
---|
| 2459 | \end_inset |
---|
| 2460 | |
---|
| 2461 | , |
---|
| 2462 | \begin_inset Formula $u(t)\in U$ |
---|
| 2463 | \end_inset |
---|
| 2464 | |
---|
| 2465 | je řídící vektor v čase |
---|
| 2466 | \begin_inset Formula $t$ |
---|
| 2467 | \end_inset |
---|
| 2468 | |
---|
| 2469 | , |
---|
| 2470 | \begin_inset Formula $U$ |
---|
| 2471 | \end_inset |
---|
| 2472 | |
---|
| 2473 | je množina omezení řízení a |
---|
| 2474 | \begin_inset Formula $T$ |
---|
| 2475 | \end_inset |
---|
| 2476 | |
---|
| 2477 | je časový horizont. |
---|
| 2478 | O funkci |
---|
| 2479 | \begin_inset Formula $f$ |
---|
| 2480 | \end_inset |
---|
| 2481 | |
---|
| 2482 | předpokládáme, že je spojitě diferencovatelná vzhledem k |
---|
| 2483 | \begin_inset Formula $x$ |
---|
| 2484 | \end_inset |
---|
| 2485 | |
---|
| 2486 | a spojitá vzhledem k |
---|
| 2487 | \begin_inset Formula $u$ |
---|
| 2488 | \end_inset |
---|
| 2489 | |
---|
| 2490 | . |
---|
| 2491 | Rovnice |
---|
| 2492 | \begin_inset CommandInset ref |
---|
| 2493 | LatexCommand ref |
---|
| 2494 | reference "eq:spojsystemHJBP" |
---|
| 2495 | |
---|
| 2496 | \end_inset |
---|
| 2497 | |
---|
| 2498 | představuje soustavu |
---|
| 2499 | \begin_inset Formula $n$ |
---|
| 2500 | \end_inset |
---|
| 2501 | |
---|
| 2502 | diferenciálních rovnic prvního řádu. |
---|
| 2503 | Naším cílem je nalézení přípustné řídící trajektorie |
---|
| 2504 | \begin_inset Formula $\left\{ u(t)\mid t\in[0,T]\right\} $ |
---|
| 2505 | \end_inset |
---|
| 2506 | |
---|
| 2507 | a odpovídající stavové trajektorie |
---|
| 2508 | \family roman |
---|
| 2509 | \series medium |
---|
| 2510 | \shape up |
---|
| 2511 | \size normal |
---|
| 2512 | \emph off |
---|
| 2513 | \bar no |
---|
| 2514 | \noun off |
---|
| 2515 | \color none |
---|
| 2516 | |
---|
| 2517 | \begin_inset Formula $\left\{ x(t)\mid t\in[0,T]\right\} $ |
---|
| 2518 | \end_inset |
---|
| 2519 | |
---|
| 2520 | takové, že minimalizují ztrátovou funkci ve tvaru |
---|
| 2521 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2522 | h(x(T))+\int_{0}^{T}g\left(x(t),u(t)\right)dt,\] |
---|
| 2523 | |
---|
| 2524 | \end_inset |
---|
| 2525 | |
---|
| 2526 | o funkcích |
---|
| 2527 | \begin_inset Formula $g$ |
---|
| 2528 | \end_inset |
---|
| 2529 | |
---|
| 2530 | a |
---|
| 2531 | \begin_inset Formula $h$ |
---|
| 2532 | \end_inset |
---|
| 2533 | |
---|
| 2534 | předpokládáme, že jsou spojitě diferencovatelné vzhledem k |
---|
| 2535 | \begin_inset Formula $x$ |
---|
| 2536 | \end_inset |
---|
| 2537 | |
---|
| 2538 | a |
---|
| 2539 | \begin_inset Formula $g$ |
---|
| 2540 | \end_inset |
---|
| 2541 | |
---|
| 2542 | je spojitá vzhledem k |
---|
| 2543 | \begin_inset Formula $u$ |
---|
| 2544 | \end_inset |
---|
| 2545 | |
---|
| 2546 | . |
---|
| 2547 | \end_layout |
---|
| 2548 | |
---|
| 2549 | \begin_layout Subsubsection |
---|
| 2550 | Hamilton-Jacobi-Bellmanova rovnost |
---|
| 2551 | \end_layout |
---|
| 2552 | |
---|
| 2553 | \begin_layout Standard |
---|
| 2554 | Hamilton-Jacobi-Bellmanova rovnost je parciální diferenciální rovnicí, která |
---|
| 2555 | je splněna optimální funkcí nákladů na pokračování |
---|
| 2556 | \begin_inset Formula $J^{*}(t,x)$ |
---|
| 2557 | \end_inset |
---|
| 2558 | |
---|
| 2559 | . |
---|
| 2560 | Tato rovnice je analogií algoritmu dynamického programování ve spojitém |
---|
| 2561 | čase. |
---|
| 2562 | Rovnici lze psát podle |
---|
| 2563 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 2564 | LatexCommand cite |
---|
| 2565 | key "BertsekasDPOC" |
---|
| 2566 | |
---|
| 2567 | \end_inset |
---|
| 2568 | |
---|
| 2569 | ve tvaru |
---|
| 2570 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray} |
---|
| 2571 | 0 & = & \min_{u\in U}\left[g(x,u)+\nabla_{t}J^{*}(t,x)+\nabla_{x}J^{*}(t,x)^{T}f(x,u)\right],\quad\forall t,x,\label{eq:hjbrovnostJ}\\ |
---|
| 2572 | J^{*}(T,x) & = & h(x).\nonumber \end{eqnarray} |
---|
| 2573 | |
---|
| 2574 | \end_inset |
---|
| 2575 | |
---|
| 2576 | Jedná se tedy o parciální diferenciální rovnici s okrajovou podmínkou. |
---|
| 2577 | O funkci |
---|
| 2578 | \begin_inset Formula $J^{*}(t,x)$ |
---|
| 2579 | \end_inset |
---|
| 2580 | |
---|
| 2581 | jsme předpokládali diferencovatelnost, apriorně ale její diferencovatelnost |
---|
| 2582 | neznáme a tedy nevíme, jestli |
---|
| 2583 | \begin_inset Formula $J^{*}(t,x)$ |
---|
| 2584 | \end_inset |
---|
| 2585 | |
---|
| 2586 | řeší rovnici |
---|
| 2587 | \begin_inset CommandInset ref |
---|
| 2588 | LatexCommand ref |
---|
| 2589 | reference "eq:hjbrovnostJ" |
---|
| 2590 | |
---|
| 2591 | \end_inset |
---|
| 2592 | |
---|
| 2593 | . |
---|
| 2594 | Můžeme však použít následující tvrzení, jehož formulaci i důkaz lze nalézt |
---|
| 2595 | v |
---|
| 2596 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 2597 | LatexCommand cite |
---|
| 2598 | key "BertsekasDPOC" |
---|
| 2599 | |
---|
| 2600 | \end_inset |
---|
| 2601 | |
---|
| 2602 | : |
---|
| 2603 | \end_layout |
---|
| 2604 | |
---|
| 2605 | \begin_layout Description |
---|
| 2606 | Věta |
---|
| 2607 | \begin_inset space \space{} |
---|
| 2608 | \end_inset |
---|
| 2609 | |
---|
| 2610 | o |
---|
| 2611 | \begin_inset space \space{} |
---|
| 2612 | \end_inset |
---|
| 2613 | |
---|
| 2614 | dostatečnosti: |
---|
| 2615 | \begin_inset ERT |
---|
| 2616 | status open |
---|
| 2617 | |
---|
| 2618 | \begin_layout Plain Layout |
---|
| 2619 | |
---|
| 2620 | ~ |
---|
| 2621 | \end_layout |
---|
| 2622 | |
---|
| 2623 | \end_inset |
---|
| 2624 | |
---|
| 2625 | |
---|
| 2626 | \begin_inset Newline newline |
---|
| 2627 | \end_inset |
---|
| 2628 | |
---|
| 2629 | Nechť je funkce |
---|
| 2630 | \begin_inset Formula $V(t,x)$ |
---|
| 2631 | \end_inset |
---|
| 2632 | |
---|
| 2633 | spojitě diferencovatelná vzhledem k |
---|
| 2634 | \begin_inset Formula $t$ |
---|
| 2635 | \end_inset |
---|
| 2636 | |
---|
| 2637 | a |
---|
| 2638 | \begin_inset Formula $x$ |
---|
| 2639 | \end_inset |
---|
| 2640 | |
---|
| 2641 | a nechť je řešením Hamilton-Jacobi-Bellmanovy rovnosti: |
---|
| 2642 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray} |
---|
| 2643 | 0 & = & \min_{u\in U}\left[g(x,u)+\nabla_{t}V(t,x)+\nabla_{x}V(t,x)^{T}f(x,u)\right],\quad\forall t,x,\label{eq:hjbrovnostV}\\ |
---|
| 2644 | V(T,x) & = & h(x),\quad\forall x.\nonumber \end{eqnarray} |
---|
| 2645 | |
---|
| 2646 | \end_inset |
---|
| 2647 | |
---|
| 2648 | Předpokládejme dále, že |
---|
| 2649 | \begin_inset Formula $\mu^{*}(t,x)$ |
---|
| 2650 | \end_inset |
---|
| 2651 | |
---|
| 2652 | dosáhne minima v rovnosti |
---|
| 2653 | \begin_inset CommandInset ref |
---|
| 2654 | LatexCommand ref |
---|
| 2655 | reference "eq:hjbrovnostV" |
---|
| 2656 | |
---|
| 2657 | \end_inset |
---|
| 2658 | |
---|
| 2659 | pro všechna |
---|
| 2660 | \begin_inset Formula $t$ |
---|
| 2661 | \end_inset |
---|
| 2662 | |
---|
| 2663 | a |
---|
| 2664 | \begin_inset Formula $x$ |
---|
| 2665 | \end_inset |
---|
| 2666 | |
---|
| 2667 | . |
---|
| 2668 | Nechť |
---|
| 2669 | \family roman |
---|
| 2670 | \series medium |
---|
| 2671 | \shape up |
---|
| 2672 | \size normal |
---|
| 2673 | \emph off |
---|
| 2674 | \bar no |
---|
| 2675 | \noun off |
---|
| 2676 | \color none |
---|
| 2677 | |
---|
| 2678 | \begin_inset Formula $\left\{ x^{*}(t)\mid t\in[0,T]\right\} $ |
---|
| 2679 | \end_inset |
---|
| 2680 | |
---|
| 2681 | označuje stavovou trajektorii získanou při dané počáteční podmínce |
---|
| 2682 | \begin_inset Formula $x^{*}(0)=x_{0}$ |
---|
| 2683 | \end_inset |
---|
| 2684 | |
---|
| 2685 | a řídící trajektorii |
---|
| 2686 | \family default |
---|
| 2687 | \series default |
---|
| 2688 | \shape default |
---|
| 2689 | \size default |
---|
| 2690 | \emph default |
---|
| 2691 | \bar default |
---|
| 2692 | \noun default |
---|
| 2693 | \color inherit |
---|
| 2694 | |
---|
| 2695 | \begin_inset Formula $u^{*}(t)=\mu^{*}(t,x^{*}(t)),\; t\in[0,T]$ |
---|
| 2696 | \end_inset |
---|
| 2697 | |
---|
| 2698 | . |
---|
| 2699 | Pak |
---|
| 2700 | \begin_inset Formula $V$ |
---|
| 2701 | \end_inset |
---|
| 2702 | |
---|
| 2703 | je rovno optimální funkci nákladů na pokračování, tedy |
---|
| 2704 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2705 | V(t,x)=J^{*}(t,x),\quad\forall t,x.\] |
---|
| 2706 | |
---|
| 2707 | \end_inset |
---|
| 2708 | |
---|
| 2709 | Navíc řídící trajektorie |
---|
| 2710 | \begin_inset Formula $\left\{ u^{*}(t)\mid t\in[0,T]\right\} $ |
---|
| 2711 | \end_inset |
---|
| 2712 | |
---|
| 2713 | je optimální. |
---|
| 2714 | |
---|
| 2715 | \end_layout |
---|
| 2716 | |
---|
| 2717 | \begin_layout Subsubsection |
---|
| 2718 | Pontryaginův princip minima |
---|
| 2719 | \end_layout |
---|
| 2720 | |
---|
| 2721 | \begin_layout Standard |
---|
| 2722 | Pontryaginův princip minima je důležitým teorémem optimálního řízení. |
---|
| 2723 | Poskytuje nutnou (ne však postačující) podmínku pro optimální trajektorii, |
---|
| 2724 | je úzce spřízněn s Hamilton-Jacobi-Bellmanovou rovností a lze ho z ní podle |
---|
| 2725 | |
---|
| 2726 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 2727 | LatexCommand cite |
---|
| 2728 | key "BertsekasDPOC" |
---|
| 2729 | |
---|
| 2730 | \end_inset |
---|
| 2731 | |
---|
| 2732 | také odvodit. |
---|
| 2733 | Princip minima je výhodné formulovat pomocí Hamiltoniánu. |
---|
| 2734 | Označme |
---|
| 2735 | \begin_inset Formula $p$ |
---|
| 2736 | \end_inset |
---|
| 2737 | |
---|
| 2738 | gradient optimální funkce nákladů na pokračování pro optimální stavovou |
---|
| 2739 | trajektorii |
---|
| 2740 | \begin_inset Formula $p(t)=\nabla_{x}J^{*}\left(t,x^{*}(t)\right)$ |
---|
| 2741 | \end_inset |
---|
| 2742 | |
---|
| 2743 | a definujme Hamiltonián jako funkci zobrazující trojice vektorů |
---|
| 2744 | \begin_inset Formula $(x,u,p)$ |
---|
| 2745 | \end_inset |
---|
| 2746 | |
---|
| 2747 | do reálných čísel |
---|
| 2748 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2749 | H(x,u,p)=g(x,u)+p^{T}f(x,u).\] |
---|
| 2750 | |
---|
| 2751 | \end_inset |
---|
| 2752 | |
---|
| 2753 | Rovnice pro systém pak může být zapsána v kompaktním tvaru |
---|
| 2754 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2755 | \dot{x}^{*}(t)=\nabla_{p}H\left(x^{*}(t),u^{*}(t),p(t)\right).\] |
---|
| 2756 | |
---|
| 2757 | \end_inset |
---|
| 2758 | |
---|
| 2759 | Obdobně může být zapsána pro |
---|
| 2760 | \begin_inset Formula $p$ |
---|
| 2761 | \end_inset |
---|
| 2762 | |
---|
| 2763 | takzvaná |
---|
| 2764 | \emph on |
---|
| 2765 | adjungovaná rovnice |
---|
| 2766 | \emph default |
---|
| 2767 | |
---|
| 2768 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2769 | \dot{p}(t)=-\nabla_{x}H\left(x^{*}(t),u^{*}(t),p(t)\right).\] |
---|
| 2770 | |
---|
| 2771 | \end_inset |
---|
| 2772 | |
---|
| 2773 | Pontryaginův princip minima je podle |
---|
| 2774 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 2775 | LatexCommand cite |
---|
| 2776 | key "BertsekasDPOC" |
---|
| 2777 | |
---|
| 2778 | \end_inset |
---|
| 2779 | |
---|
| 2780 | formulován následovně: |
---|
| 2781 | \end_layout |
---|
| 2782 | |
---|
| 2783 | \begin_layout Description |
---|
| 2784 | Princip |
---|
| 2785 | \begin_inset space \space{} |
---|
| 2786 | \end_inset |
---|
| 2787 | |
---|
| 2788 | minima: |
---|
| 2789 | \begin_inset ERT |
---|
| 2790 | status open |
---|
| 2791 | |
---|
| 2792 | \begin_layout Plain Layout |
---|
| 2793 | |
---|
| 2794 | ~ |
---|
| 2795 | \end_layout |
---|
| 2796 | |
---|
| 2797 | \end_inset |
---|
| 2798 | |
---|
| 2799 | |
---|
| 2800 | \begin_inset Newline newline |
---|
| 2801 | \end_inset |
---|
| 2802 | |
---|
| 2803 | Nechť |
---|
| 2804 | \family roman |
---|
| 2805 | \series medium |
---|
| 2806 | \shape up |
---|
| 2807 | \size normal |
---|
| 2808 | \emph off |
---|
| 2809 | \bar no |
---|
| 2810 | \noun off |
---|
| 2811 | \color none |
---|
| 2812 | |
---|
| 2813 | \begin_inset Formula $\left\{ u^{*}(t)\mid t\in[0,T]\right\} $ |
---|
| 2814 | \end_inset |
---|
| 2815 | |
---|
| 2816 | je optimální řídící trajektorie a nechť |
---|
| 2817 | \begin_inset Formula $\left\{ x^{*}(t)\mid t\in[0,T]\right\} $ |
---|
| 2818 | \end_inset |
---|
| 2819 | |
---|
| 2820 | je odpovídající stavová trajektorie, to jest |
---|
| 2821 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2822 | \dot{x}^{*}(t)=f\left(x^{*}(t),u^{*}(t)\right),\quad x^{*}(0)=x_{0}.\] |
---|
| 2823 | |
---|
| 2824 | \end_inset |
---|
| 2825 | |
---|
| 2826 | Nechť dále |
---|
| 2827 | \begin_inset Formula $p(t)$ |
---|
| 2828 | \end_inset |
---|
| 2829 | |
---|
| 2830 | je řešením adjungované rovnice |
---|
| 2831 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2832 | \dot{p}(t)=-\nabla_{x}H\left(x^{*}(t),u^{*}(t),p(t)\right),\] |
---|
| 2833 | |
---|
| 2834 | \end_inset |
---|
| 2835 | |
---|
| 2836 | s okrajovou podmínkou |
---|
| 2837 | \begin_inset Formula $p(T)=\nabla h\left(x^{*}(T)\right)$ |
---|
| 2838 | \end_inset |
---|
| 2839 | |
---|
| 2840 | . |
---|
| 2841 | Pak pro všechna |
---|
| 2842 | \begin_inset Formula $t\in[0,T]$ |
---|
| 2843 | \end_inset |
---|
| 2844 | |
---|
| 2845 | |
---|
| 2846 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2847 | u^{*}(t)=\arg\min_{u\in U}H\left(x^{*}(t),u,p(t)\right).\] |
---|
| 2848 | |
---|
| 2849 | \end_inset |
---|
| 2850 | |
---|
| 2851 | Navíc existuje konstanta |
---|
| 2852 | \begin_inset Formula $C$ |
---|
| 2853 | \end_inset |
---|
| 2854 | |
---|
| 2855 | taková, že |
---|
| 2856 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 2857 | H\left(x^{*}(t),u^{*}(t),p(t)\right)=C,\quad\forall t\in[0,T].\] |
---|
| 2858 | |
---|
| 2859 | \end_inset |
---|
| 2860 | |
---|
| 2861 | |
---|
| 2862 | \end_layout |
---|
| 2863 | |
---|
| 2864 | \begin_layout Subsection |
---|
| 2865 | Algoritmy pro duální řízení |
---|
| 2866 | \end_layout |
---|
| 2867 | |
---|
| 2868 | \begin_layout Standard |
---|
| 2869 | Metody pro nalezení optimálního řízení lze obecně rozdělit do dvou základních |
---|
| 2870 | kategorií na |
---|
| 2871 | \emph on |
---|
| 2872 | globální |
---|
| 2873 | \emph default |
---|
| 2874 | a |
---|
| 2875 | \emph on |
---|
| 2876 | lokální |
---|
| 2877 | \emph default |
---|
| 2878 | viz |
---|
| 2879 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 2880 | LatexCommand cite |
---|
| 2881 | key "TodorovWeiweiILQG,TodorovTassaILDP" |
---|
| 2882 | |
---|
| 2883 | \end_inset |
---|
| 2884 | |
---|
| 2885 | |
---|
| 2886 | \emph on |
---|
| 2887 | . |
---|
| 2888 | |
---|
| 2889 | \emph default |
---|
| 2890 | |
---|
| 2891 | \end_layout |
---|
| 2892 | |
---|
| 2893 | \begin_layout Standard |
---|
| 2894 | Globální metody, používané zejména v posilovaném učení |
---|
| 2895 | \color black |
---|
| 2896 | ( |
---|
| 2897 | \begin_inset Quotes gld |
---|
| 2898 | \end_inset |
---|
| 2899 | |
---|
| 2900 | Reinforcement Learning |
---|
| 2901 | \color inherit |
---|
| 2902 | |
---|
| 2903 | \begin_inset Quotes grd |
---|
| 2904 | \end_inset |
---|
| 2905 | |
---|
| 2906 | ), jsou založeny na na |
---|
| 2907 | \color black |
---|
| 2908 | Bellmanově principu optimality, Hamilton-Jacobi-Bellmanově rovnosti |
---|
| 2909 | \color inherit |
---|
| 2910 | a dynamickém programování. |
---|
| 2911 | Tyto algoritmy hledají globálně optimální zpětnovazební řízení pro všechny |
---|
| 2912 | stavy obecného stochastického systému a proto podléhají nebezpečí |
---|
| 2913 | \begin_inset Quotes gld |
---|
| 2914 | \end_inset |
---|
| 2915 | |
---|
| 2916 | problému dimenzionality |
---|
| 2917 | \begin_inset Quotes grd |
---|
| 2918 | \end_inset |
---|
| 2919 | |
---|
| 2920 | nebo také rozměrnosti (z anglického |
---|
| 2921 | \begin_inset Quotes eld |
---|
| 2922 | \end_inset |
---|
| 2923 | |
---|
| 2924 | curse of dimensionality |
---|
| 2925 | \begin_inset Quotes erd |
---|
| 2926 | \end_inset |
---|
| 2927 | |
---|
| 2928 | doslovně - |
---|
| 2929 | \emph on |
---|
| 2930 | kletba rozměrnosti |
---|
| 2931 | \emph default |
---|
| 2932 | ). |
---|
| 2933 | Jednoduše můžeme tento problém chápat tak, že při numerickém řešení úlohy |
---|
| 2934 | jsou počítačem procházeny všechny body diskretizovaného stavového a řídícího |
---|
| 2935 | prostoru jejichž počet s rostoucím počtem dimenzí extrémně (exponenciálně) |
---|
| 2936 | rychle roste. |
---|
| 2937 | Výpočet pro mnohadimenzionální úlohy se pak stává co do paměťových nároků, |
---|
| 2938 | ale hlavně z hlediska výpočetního času prakticky nerealizovatelným. |
---|
| 2939 | \end_layout |
---|
| 2940 | |
---|
| 2941 | \begin_layout Standard |
---|
| 2942 | Lokální metody, častěji studované v teorii řízení, souvisí s |
---|
| 2943 | \color black |
---|
| 2944 | Pontryaginovým principem maxima |
---|
| 2945 | \color inherit |
---|
| 2946 | . |
---|
| 2947 | Jejich podstatou je nalezení řízení, které je pouze lokálně optimální v |
---|
| 2948 | okolí nějaké |
---|
| 2949 | \begin_inset Quotes gld |
---|
| 2950 | \end_inset |
---|
| 2951 | |
---|
| 2952 | extremalní |
---|
| 2953 | \begin_inset Quotes grd |
---|
| 2954 | \end_inset |
---|
| 2955 | |
---|
| 2956 | trajektorie. |
---|
| 2957 | Většinou je užito deterministických prostředků jako řešení soustavy obyčejných |
---|
| 2958 | diferenciálních rovnic (střelbou, relaxací, |
---|
| 2959 | \color red |
---|
| 2960 | uspořádáním - collocation |
---|
| 2961 | \color inherit |
---|
| 2962 | nebo |
---|
| 2963 | \color red |
---|
| 2964 | spádem gradientu - gradient descent |
---|
| 2965 | \color inherit |
---|
| 2966 | ). |
---|
| 2967 | Tento přístup ale vede na přímovazební |
---|
| 2968 | \color red |
---|
| 2969 | |
---|
| 2970 | \color black |
---|
| 2971 | řízení |
---|
| 2972 | \color red |
---|
| 2973 | |
---|
| 2974 | \color inherit |
---|
| 2975 | a nezle užít pro stochastické úlohy, vyhýbá se ale problému dimenzionality, |
---|
| 2976 | což umožňuje řešit i komplexnější problémy. |
---|
| 2977 | \end_layout |
---|
| 2978 | |
---|
| 2979 | \begin_layout Standard |
---|
| 2980 | V poslední době je snaha vyvíjet nové algoritmy, které kombinují výhody |
---|
| 2981 | obou výše zmíněných přístupů. |
---|
| 2982 | Příkladem může být |
---|
| 2983 | \emph on |
---|
| 2984 | diferenciální dynamické programování |
---|
| 2985 | \emph default |
---|
| 2986 | (DDP). |
---|
| 2987 | Tento algoritmus zůstává lokální metodou ve smyslu, že uchovává pouzve |
---|
| 2988 | jedinou trajektorii, která je lokálně vylepšována. |
---|
| 2989 | Vylepšení však není založeno na řešení soustavy obyčejných diferenciálních |
---|
| 2990 | rovnic, ale na dynamickém programování aplikovaném na okolí - |
---|
| 2991 | \begin_inset Quotes eld |
---|
| 2992 | \end_inset |
---|
| 2993 | |
---|
| 2994 | trubici |
---|
| 2995 | \begin_inset Quotes erd |
---|
| 2996 | \end_inset |
---|
| 2997 | |
---|
| 2998 | podél současné trajektorie. |
---|
| 2999 | Jedná se o algoritmus s konvergencí druhého řádu. |
---|
| 3000 | Ještě efektivnější je metoda podobná DDP, |
---|
| 3001 | \emph on |
---|
| 3002 | iterativní LQG |
---|
| 3003 | \emph default |
---|
| 3004 | (iLQG). |
---|
| 3005 | Tento algoritmus je založen na linearizaci nelineární úlohy v každém bodě |
---|
| 3006 | reprezentativní trajektorie a následném řešení modifikované Riccatiho rovnice. |
---|
| 3007 | Výhodou DDP i iLQG je, že jejich výsledkem je zpětnovazební řízení. |
---|
| 3008 | Obě metody jsou ale stále deterministické a nedokáží se vypořádat s nekvadratic |
---|
| 3009 | kými ztrátovými funkcemi a požadavky na omezené řízení. |
---|
| 3010 | |
---|
| 3011 | \end_layout |
---|
| 3012 | |
---|
| 3013 | \begin_layout Standard |
---|
| 3014 | S výše zmíněnými problémy se snaží vypořádat modifikovaná iLQG, která bude |
---|
| 3015 | |
---|
| 3016 | \color red |
---|
| 3017 | možná |
---|
| 3018 | \color inherit |
---|
| 3019 | použita pro srovnání s ústřední metodou této práce iLDP. |
---|
| 3020 | Dále pak do kategorie smíšených metod spadá právě i metoda iLDP, která |
---|
| 3021 | bude podrobně popsána dále. |
---|
| 3022 | |
---|
| 3023 | \end_layout |
---|
| 3024 | |
---|
| 3025 | \begin_layout Section |
---|
| 3026 | Výběr konkrétních algoritmů pro srovnání |
---|
| 3027 | \end_layout |
---|
| 3028 | |
---|
| 3029 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3030 | LQG |
---|
| 3031 | \end_layout |
---|
| 3032 | |
---|
| 3033 | \begin_layout Standard |
---|
| 3034 | |
---|
| 3035 | \color blue |
---|
| 3036 | (iLQG) |
---|
| 3037 | \end_layout |
---|
| 3038 | |
---|
| 3039 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3040 | Princip separace |
---|
| 3041 | \end_layout |
---|
| 3042 | |
---|
| 3043 | \begin_layout Section |
---|
| 3044 | Algoritmus iterativního lokálního dynamického programování |
---|
| 3045 | \end_layout |
---|
| 3046 | |
---|
| 3047 | \begin_layout Standard |
---|
| 3048 | Algoritmus iLDP byl vytvořen pro účely nalezení stochastického optimálního |
---|
| 3049 | řízení v mnohadimenzionálních stavových a řídících prostorech. |
---|
| 3050 | Tento případ je častý zejména při řízení biologických pohybů. |
---|
| 3051 | Metoda je popsána autory v článku |
---|
| 3052 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 3053 | LatexCommand cite |
---|
| 3054 | key "TodorovTassaILDP" |
---|
| 3055 | |
---|
| 3056 | \end_inset |
---|
| 3057 | |
---|
| 3058 | |
---|
| 3059 | \emph on |
---|
| 3060 | |
---|
| 3061 | \emph default |
---|
| 3062 | a z tohoto zdroje je také převzata |
---|
| 3063 | \emph on |
---|
| 3064 | . |
---|
| 3065 | |
---|
| 3066 | \end_layout |
---|
| 3067 | |
---|
| 3068 | \begin_layout Standard |
---|
| 3069 | Základní popis algoritmu, tak jak ho autoři podali, je však pouze šablonou |
---|
| 3070 | a mnoho detailů a dílčích částí je ponecháno na vyřešení při konkrétní |
---|
| 3071 | realizaci. |
---|
| 3072 | To se týká zejména použitých aproximací pro jednotlivé funkce, zejména |
---|
| 3073 | aproximace Bellmanovy funkce a aproximace hledaného regulátoru. |
---|
| 3074 | Dále, protože algoritmus využívá hledání minima, není v základním popisu |
---|
| 3075 | algoritmu vyřešen konkrétní typ minimalizace. |
---|
| 3076 | Použitý minimalizační algoritmus se samozřejmě liší podle konkrétního problému, |
---|
| 3077 | zejména jedná-li se o minimalizaci omezenou nebo neomezenou. |
---|
| 3078 | Ještě je třeba zmínil, že pro algoritmus je nutno zvolit parametr |
---|
| 3079 | \begin_inset Quotes gld |
---|
| 3080 | \end_inset |
---|
| 3081 | |
---|
| 3082 | velikosti |
---|
| 3083 | \begin_inset Quotes grd |
---|
| 3084 | \end_inset |
---|
| 3085 | |
---|
| 3086 | okolí, protože se jedná o lokální metodu. |
---|
| 3087 | \end_layout |
---|
| 3088 | |
---|
| 3089 | \begin_layout Standard |
---|
| 3090 | \begin_inset VSpace defskip |
---|
| 3091 | \end_inset |
---|
| 3092 | |
---|
| 3093 | |
---|
| 3094 | \end_layout |
---|
| 3095 | |
---|
| 3096 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3097 | Formulace problému |
---|
| 3098 | \end_layout |
---|
| 3099 | |
---|
| 3100 | \begin_layout Standard |
---|
| 3101 | Naším úkolem je nalézt řízení |
---|
| 3102 | \begin_inset Formula $\mathbf{u}=\pi(t,\mathbf{\, x})$ |
---|
| 3103 | \end_inset |
---|
| 3104 | |
---|
| 3105 | , které minimalizuje očekávanou ztrátu |
---|
| 3106 | \end_layout |
---|
| 3107 | |
---|
| 3108 | \begin_layout Standard |
---|
| 3109 | \align center |
---|
| 3110 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 3111 | J(\pi)=E_{\omega}\left(h(\mathbf{x},\pi(t,\mathbf{x}))+\int_{0}^{T}l(\mathbf{x},\pi(t,\mathbf{x}))dt\right)\] |
---|
| 3112 | |
---|
| 3113 | \end_inset |
---|
| 3114 | |
---|
| 3115 | |
---|
| 3116 | \end_layout |
---|
| 3117 | |
---|
| 3118 | \begin_layout Standard |
---|
| 3119 | obecně pro spojitý systém: |
---|
| 3120 | \end_layout |
---|
| 3121 | |
---|
| 3122 | \begin_layout Standard |
---|
| 3123 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray} |
---|
| 3124 | d\mathbf{x} & = & \mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u})dt+F(\mathbf{x},\mathbf{u})d\omega\nonumber \\ |
---|
| 3125 | \mathbf{x}(0) & = & \mathbf{x}_{0}\label{eq:systemSpoj}\\ |
---|
| 3126 | t & \in & [0,T]\nonumber \end{eqnarray} |
---|
| 3127 | |
---|
| 3128 | \end_inset |
---|
| 3129 | |
---|
| 3130 | |
---|
| 3131 | \end_layout |
---|
| 3132 | |
---|
| 3133 | \begin_layout Standard |
---|
| 3134 | v diskrétním tvaru: |
---|
| 3135 | \end_layout |
---|
| 3136 | |
---|
| 3137 | \begin_layout Standard |
---|
| 3138 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray} |
---|
| 3139 | \mathbf{x}_{k+1}-\mathbf{x}_{k} & = & \mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u})\cdot\Delta k+F(\mathbf{x},\mathbf{u})e_{k}\nonumber \\ |
---|
| 3140 | \mathbf{x}_{(k=0)} & = & \mathbf{x}_{0}\label{eq:systemDis}\\ |
---|
| 3141 | k & \in & \{0,1,\ldots,N\}\nonumber \\ |
---|
| 3142 | \Delta k & = & (k+1)-(k)\nonumber \end{eqnarray} |
---|
| 3143 | |
---|
| 3144 | \end_inset |
---|
| 3145 | |
---|
| 3146 | |
---|
| 3147 | \end_layout |
---|
| 3148 | |
---|
| 3149 | \begin_layout Standard |
---|
| 3150 | kde hledáme řízení |
---|
| 3151 | \begin_inset Formula $\mathbf{u}=\pi(k,\mathbf{\, x})$ |
---|
| 3152 | \end_inset |
---|
| 3153 | |
---|
| 3154 | , které minimalizuje očekávanou ztrátu |
---|
| 3155 | \series bold |
---|
| 3156 | \emph on |
---|
| 3157 | \color red |
---|
| 3158 | asi |
---|
| 3159 | \end_layout |
---|
| 3160 | |
---|
| 3161 | \begin_layout Standard |
---|
| 3162 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 3163 | J(\pi)=E\left(h(\mathbf{x},\pi(N,\mathbf{x}))+\sum_{k=0}^{N-1}l_{k}(\mathbf{x},\pi(k,\mathbf{x}))\Delta k\right)\] |
---|
| 3164 | |
---|
| 3165 | \end_inset |
---|
| 3166 | |
---|
| 3167 | |
---|
| 3168 | \end_layout |
---|
| 3169 | |
---|
| 3170 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3171 | Osnova algoritmu |
---|
| 3172 | \end_layout |
---|
| 3173 | |
---|
| 3174 | \begin_layout Standard |
---|
| 3175 | Algoritmus pracuje iteračně, každá iterace začne s řízením |
---|
| 3176 | \begin_inset Formula $\pi$ |
---|
| 3177 | \end_inset |
---|
| 3178 | |
---|
| 3179 | a vytvoří zlepšení |
---|
| 3180 | \begin_inset Formula $\pi'$ |
---|
| 3181 | \end_inset |
---|
| 3182 | |
---|
| 3183 | . |
---|
| 3184 | Přičemž prvotní řešení |
---|
| 3185 | \begin_inset Formula $\pi_{0}$ |
---|
| 3186 | \end_inset |
---|
| 3187 | |
---|
| 3188 | musíme algoritmu dodat jako apriorní informaci. |
---|
| 3189 | Pro zajištění globální konvergence je možno nové řešení hledat jako konvexní |
---|
| 3190 | kombinaci starého a algoritmem nalezeného řešení |
---|
| 3191 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 3192 | \pi^{nové}=\alpha\pi'+(1-\alpha)\pi;\;0<\alpha\leq1;\; J(\pi^{nové})<J(\pi)\] |
---|
| 3193 | |
---|
| 3194 | \end_inset |
---|
| 3195 | |
---|
| 3196 | |
---|
| 3197 | \end_layout |
---|
| 3198 | |
---|
| 3199 | \begin_layout Standard |
---|
| 3200 | V každé iteraci proběhne nejprve přípravná fáze, kdy z řízení |
---|
| 3201 | \begin_inset Formula $\pi(k,\mathbf{x})$ |
---|
| 3202 | \end_inset |
---|
| 3203 | |
---|
| 3204 | generuje průměrnou trajektorii |
---|
| 3205 | \begin_inset Formula $\bar{x}(k)$ |
---|
| 3206 | \end_inset |
---|
| 3207 | |
---|
| 3208 | řešením rovnice |
---|
| 3209 | \begin_inset CommandInset ref |
---|
| 3210 | LatexCommand ref |
---|
| 3211 | reference "eq:systemSpoj" |
---|
| 3212 | |
---|
| 3213 | \end_inset |
---|
| 3214 | |
---|
| 3215 | respektive |
---|
| 3216 | \begin_inset CommandInset ref |
---|
| 3217 | LatexCommand ref |
---|
| 3218 | reference "eq:systemDis" |
---|
| 3219 | |
---|
| 3220 | \end_inset |
---|
| 3221 | |
---|
| 3222 | |
---|
| 3223 | \emph on |
---|
| 3224 | . |
---|
| 3225 | |
---|
| 3226 | \emph default |
---|
| 3227 | Následně se počítá aproximace |
---|
| 3228 | \begin_inset Formula $\tilde{V}(k,\mathbf{x})$ |
---|
| 3229 | \end_inset |
---|
| 3230 | |
---|
| 3231 | Bellmanovy funkce |
---|
| 3232 | \begin_inset Formula $V(k,\mathbf{x})$ |
---|
| 3233 | \end_inset |
---|
| 3234 | |
---|
| 3235 | v čase odzadu, tj. |
---|
| 3236 | od |
---|
| 3237 | \begin_inset Formula $N$ |
---|
| 3238 | \end_inset |
---|
| 3239 | |
---|
| 3240 | k |
---|
| 3241 | \begin_inset Formula $1$ |
---|
| 3242 | \end_inset |
---|
| 3243 | |
---|
| 3244 | . |
---|
| 3245 | Současně počítáme i aproximaci řízení |
---|
| 3246 | \begin_inset Formula $\pi'(k,\mathbf{x})\ldots\pi'(N-1,\mathbf{x})$ |
---|
| 3247 | \end_inset |
---|
| 3248 | |
---|
| 3249 | . |
---|
| 3250 | Tedy pro každý čas |
---|
| 3251 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 3252 | \end_inset |
---|
| 3253 | |
---|
| 3254 | takový, že |
---|
| 3255 | \begin_inset Formula $k=N-1\ldots1$ |
---|
| 3256 | \end_inset |
---|
| 3257 | |
---|
| 3258 | jdeme zpět, přičemž pokládáme v koncovém čase |
---|
| 3259 | \begin_inset Formula $N$ |
---|
| 3260 | \end_inset |
---|
| 3261 | |
---|
| 3262 | hodnotu aproximace Bellmanovy funkce |
---|
| 3263 | \begin_inset Formula $\tilde{V}(N,\mathbf{x})=h(\mathbf{x})$ |
---|
| 3264 | \end_inset |
---|
| 3265 | |
---|
| 3266 | a provádíme následující čtyři kroky: |
---|
| 3267 | \end_layout |
---|
| 3268 | |
---|
| 3269 | \begin_layout Enumerate |
---|
| 3270 | Generujeme množinu stavů |
---|
| 3271 | \begin_inset Formula $\left\{ \mathbf{x}^{(n)}\right\} _{n=1\ldots M}$ |
---|
| 3272 | \end_inset |
---|
| 3273 | |
---|
| 3274 | shromážděných kolem průměrného stavu |
---|
| 3275 | \begin_inset Formula $\bar{\mathbf{x}}(k)$ |
---|
| 3276 | \end_inset |
---|
| 3277 | |
---|
| 3278 | . |
---|
| 3279 | \end_layout |
---|
| 3280 | |
---|
| 3281 | \begin_deeper |
---|
| 3282 | \begin_layout Standard |
---|
| 3283 | Zde se projevuje lokálnost metody. |
---|
| 3284 | Množina stavů |
---|
| 3285 | \begin_inset Formula $\left\{ \mathbf{x}^{(n)}\right\} $ |
---|
| 3286 | \end_inset |
---|
| 3287 | |
---|
| 3288 | je vybrána z okolí průměrného stavu |
---|
| 3289 | \begin_inset Formula $\bar{\mathbf{x}}(k)$ |
---|
| 3290 | \end_inset |
---|
| 3291 | |
---|
| 3292 | . |
---|
| 3293 | Toto okolí a způsob výběru množiny je třeba konkrétně specifikovat. |
---|
| 3294 | Pro účely implementace tohoto algoritmu bylo okolí specifikováno parametrem |
---|
| 3295 | |
---|
| 3296 | \begin_inset Formula $\rho^{2}$ |
---|
| 3297 | \end_inset |
---|
| 3298 | |
---|
| 3299 | . |
---|
| 3300 | Množina stavů |
---|
| 3301 | \begin_inset Formula $\left\{ \mathbf{x}^{(n)}\right\} $ |
---|
| 3302 | \end_inset |
---|
| 3303 | |
---|
| 3304 | pak byla generována náhodně jako náhodná veličina s normálním rozdělením |
---|
| 3305 | se střední hodnotou rovnou průměrnému stavu |
---|
| 3306 | \begin_inset Formula $\bar{\mathbf{x}}(k)$ |
---|
| 3307 | \end_inset |
---|
| 3308 | |
---|
| 3309 | a rozptylem specifikovaným parametrem |
---|
| 3310 | \begin_inset Formula $\rho^{2}$ |
---|
| 3311 | \end_inset |
---|
| 3312 | |
---|
| 3313 | . |
---|
| 3314 | \begin_inset Newline newline |
---|
| 3315 | \end_inset |
---|
| 3316 | |
---|
| 3317 | Počet vzorků |
---|
| 3318 | \begin_inset Formula $M$ |
---|
| 3319 | \end_inset |
---|
| 3320 | |
---|
| 3321 | je nutno zvolit při implementaci algoritmu. |
---|
| 3322 | Obecně je nejlepší volit maximální možné číslo, ovšem s rostoucím počtem |
---|
| 3323 | vzorků rostou i paměťové nároky a výpočetní čas algoritmu. |
---|
| 3324 | \end_layout |
---|
| 3325 | |
---|
| 3326 | \end_deeper |
---|
| 3327 | \begin_layout Enumerate |
---|
| 3328 | Pro každé |
---|
| 3329 | \begin_inset Formula $\mathbf{x}^{(n)}$ |
---|
| 3330 | \end_inset |
---|
| 3331 | |
---|
| 3332 | vypočítáme optimální řízení |
---|
| 3333 | \begin_inset Formula $\mathbf{u}^{(n)}$ |
---|
| 3334 | \end_inset |
---|
| 3335 | |
---|
| 3336 | minimalizací Hamiltoniánu |
---|
| 3337 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 3338 | H(k,\mathbf{x},\mathbf{u})=\mathbf{l}(\mathbf{x},\mathbf{u})+\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u})^{T}\tilde{V}_{x}(k+1,\mathbf{x})+\frac{1}{2}\mathbf{tr}\left(\sum(\mathbf{x},\mathbf{u})\tilde{V}_{xx}(k+1,\mathbf{x})\right)\] |
---|
| 3339 | |
---|
| 3340 | \end_inset |
---|
| 3341 | |
---|
| 3342 | s inicializačním bodem |
---|
| 3343 | \begin_inset Formula $\pi(k,\mathbf{x}^{(n)})$ |
---|
| 3344 | \end_inset |
---|
| 3345 | |
---|
| 3346 | . |
---|
| 3347 | Kde |
---|
| 3348 | \begin_inset Formula $\Sigma(\mathbf{x},\mathbf{u})=\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{u})\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{u})^{T}$ |
---|
| 3349 | \end_inset |
---|
| 3350 | |
---|
| 3351 | . |
---|
| 3352 | Tedy optimální řízení v čase |
---|
| 3353 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 3354 | \end_inset |
---|
| 3355 | |
---|
| 3356 | pro stav |
---|
| 3357 | \begin_inset Formula $n$ |
---|
| 3358 | \end_inset |
---|
| 3359 | |
---|
| 3360 | hledáme jako |
---|
| 3361 | \begin_inset Formula $\mathbf{u}^{(n)}=\arg\min_{\mathbf{u}}H(k,\mathbf{x},\mathbf{u})$ |
---|
| 3362 | \end_inset |
---|
| 3363 | |
---|
| 3364 | . |
---|
| 3365 | \end_layout |
---|
| 3366 | |
---|
| 3367 | \begin_deeper |
---|
| 3368 | \begin_layout Standard |
---|
| 3369 | Pro minimalizaci lze použít například minimalizační funkce programu |
---|
| 3370 | \emph on |
---|
| 3371 | Matlab |
---|
| 3372 | \emph default |
---|
| 3373 | z balíku |
---|
| 3374 | \emph on |
---|
| 3375 | Optimization Toolbox |
---|
| 3376 | \emph default |
---|
| 3377 | , konkrétně se jedná o funkce |
---|
| 3378 | \family typewriter |
---|
| 3379 | fminunc |
---|
| 3380 | \family default |
---|
| 3381 | respektive |
---|
| 3382 | \family typewriter |
---|
| 3383 | fmincon |
---|
| 3384 | \family default |
---|
| 3385 | pro neomezenou respektive omezenou minimalizaci. |
---|
| 3386 | V případě, že by bylo možno spočítat minimalizaci analyticky, jedná se |
---|
| 3387 | samozřejmě o nejlepší způsob. |
---|
| 3388 | \end_layout |
---|
| 3389 | |
---|
| 3390 | \end_deeper |
---|
| 3391 | \begin_layout Enumerate |
---|
| 3392 | Pro každé |
---|
| 3393 | \begin_inset Formula $\mathbf{x}(k)$ |
---|
| 3394 | \end_inset |
---|
| 3395 | |
---|
| 3396 | aproximovat |
---|
| 3397 | \begin_inset Formula $v^{(n)}=V(k,\mathbf{x}^{(n)})$ |
---|
| 3398 | \end_inset |
---|
| 3399 | |
---|
| 3400 | použitím Hamolton-Jacobi-Bellmanovi rovnosti |
---|
| 3401 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 3402 | V(k,\mathbf{x}^{(n)})\approx\Delta k\cdot H(k,\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{u}^{(n)})+\tilde{V}(k+1,\mathbf{x}^{(n)})\] |
---|
| 3403 | |
---|
| 3404 | \end_inset |
---|
| 3405 | |
---|
| 3406 | |
---|
| 3407 | \end_layout |
---|
| 3408 | |
---|
| 3409 | \begin_layout Enumerate |
---|
| 3410 | Vypočítat novou aporximaci funkce |
---|
| 3411 | \begin_inset Formula $\tilde{V}(k,\mathbf{x})$ |
---|
| 3412 | \end_inset |
---|
| 3413 | |
---|
| 3414 | z množiny bodů |
---|
| 3415 | \begin_inset Formula $\left\{ \mathbf{x}^{(n)},v^{(n)}\right\} $ |
---|
| 3416 | \end_inset |
---|
| 3417 | |
---|
| 3418 | a aproximaci řízení |
---|
| 3419 | \begin_inset Formula $\pi'(k,\mathbf{x}^{(n)})$ |
---|
| 3420 | \end_inset |
---|
| 3421 | |
---|
| 3422 | definované pro všechna |
---|
| 3423 | \begin_inset Formula $x$ |
---|
| 3424 | \end_inset |
---|
| 3425 | |
---|
| 3426 | jako z množiny bodů |
---|
| 3427 | \begin_inset Formula $\left\{ \mathbf{x}^{(n)},\mathbf{u}^{(n)}\right\} $ |
---|
| 3428 | \end_inset |
---|
| 3429 | |
---|
| 3430 | . |
---|
| 3431 | \end_layout |
---|
| 3432 | |
---|
| 3433 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3434 | Detaily implementace |
---|
| 3435 | \end_layout |
---|
| 3436 | |
---|
| 3437 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3438 | Konkrétní použité aproximace |
---|
| 3439 | \end_layout |
---|
| 3440 | |
---|
| 3441 | \begin_layout Standard |
---|
| 3442 | Výpočet hodnot a aproximace |
---|
| 3443 | \begin_inset Formula $\tilde{V}\;(\tilde{V}_{x},\tilde{V}_{xx})$ |
---|
| 3444 | \end_inset |
---|
| 3445 | |
---|
| 3446 | je opakovaný. |
---|
| 3447 | Je tedy třeba vysoké optimalizace, proto je použita lineární aproximace |
---|
| 3448 | ve tvaru lineární kombinace dvakrát diferencovatelných základních funkcí |
---|
| 3449 | |
---|
| 3450 | \begin_inset Formula $\phi(x)\in\mathbf{R}^{P}$ |
---|
| 3451 | \end_inset |
---|
| 3452 | |
---|
| 3453 | kde |
---|
| 3454 | \begin_inset Formula $P<N$ |
---|
| 3455 | \end_inset |
---|
| 3456 | |
---|
| 3457 | . |
---|
| 3458 | Jako základní funkce jsou voleny funkce |
---|
| 3459 | \begin_inset Formula $1,\: x_{i},\: x_{i}x_{j},\: x_{i}^{2}x_{j}$ |
---|
| 3460 | \end_inset |
---|
| 3461 | |
---|
| 3462 | . |
---|
| 3463 | Aproximace je volena jako časově proměnná, kdy |
---|
| 3464 | \begin_inset Formula $\tilde{V}(k,\mathbf{x})=\phi(\mathbf{x}-\bar{\mathbf{x}}(k))^{T}\mathbf{w}(k)$ |
---|
| 3465 | \end_inset |
---|
| 3466 | |
---|
| 3467 | , kde |
---|
| 3468 | \begin_inset Formula $\mathbf{w}(k)$ |
---|
| 3469 | \end_inset |
---|
| 3470 | |
---|
| 3471 | je parametrický vektor závislý na čase |
---|
| 3472 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 3473 | \end_inset |
---|
| 3474 | |
---|
| 3475 | . |
---|
| 3476 | |
---|
| 3477 | \end_layout |
---|
| 3478 | |
---|
| 3479 | \begin_layout Standard |
---|
| 3480 | Označme |
---|
| 3481 | \begin_inset Formula $\tilde{V}_{x}=\phi_{x}^{T}\mathbf{w}$ |
---|
| 3482 | \end_inset |
---|
| 3483 | |
---|
| 3484 | a |
---|
| 3485 | \begin_inset Formula $\tilde{V}_{xx}=\phi_{xx}^{T}\mathbf{w}$ |
---|
| 3486 | \end_inset |
---|
| 3487 | |
---|
| 3488 | první a druhou derivaci aproximace Bellmanovy funkce podle proměnné |
---|
| 3489 | \begin_inset Formula $\mathbf{x}$ |
---|
| 3490 | \end_inset |
---|
| 3491 | |
---|
| 3492 | respektive |
---|
| 3493 | \emph on |
---|
| 3494 | vektor |
---|
| 3495 | \emph default |
---|
| 3496 | a |
---|
| 3497 | \emph on |
---|
| 3498 | matici |
---|
| 3499 | \emph default |
---|
| 3500 | parciálních derivací podle složek vektoru |
---|
| 3501 | \begin_inset Formula $\mathbf{x}$ |
---|
| 3502 | \end_inset |
---|
| 3503 | |
---|
| 3504 | . |
---|
| 3505 | Parametry aproximace pro jednotlivé časy |
---|
| 3506 | \begin_inset Formula $\mathbf{w}$ |
---|
| 3507 | \end_inset |
---|
| 3508 | |
---|
| 3509 | se určí lineární regresí. |
---|
| 3510 | Pro |
---|
| 3511 | \begin_inset Formula $\mathbf{v}=\left[v^{(1)}\ldots v^{(M)}\right]$ |
---|
| 3512 | \end_inset |
---|
| 3513 | |
---|
| 3514 | vektor cílových hodnot a matici |
---|
| 3515 | \begin_inset Formula $\mathbf{\Phi}=\left[\phi(\mathbf{x}^{(1)}-\bar{\mathbf{x}}(k))\ldots\phi(\mathbf{x}^{(M)}-\bar{\mathbf{x}}(k))\right]$ |
---|
| 3516 | \end_inset |
---|
| 3517 | |
---|
| 3518 | je minimální kvadratická odchylka |
---|
| 3519 | \begin_inset Formula $\parallel\mathbf{v}-\mathbf{\Phi}^{T}\mathbf{w}\parallel^{2}$ |
---|
| 3520 | \end_inset |
---|
| 3521 | |
---|
| 3522 | pro volbu parametru |
---|
| 3523 | \begin_inset Formula $\mathbf{w}=\left(\mathbf{\Phi\Phi}^{T}\right)^{-1}\mathbf{\Phi v}$ |
---|
| 3524 | \end_inset |
---|
| 3525 | |
---|
| 3526 | . |
---|
| 3527 | |
---|
| 3528 | \end_layout |
---|
| 3529 | |
---|
| 3530 | \begin_layout Standard |
---|
| 3531 | Protože je průměrná trajektorie |
---|
| 3532 | \begin_inset Formula $\bar{\mathbf{x}}(k)$ |
---|
| 3533 | \end_inset |
---|
| 3534 | |
---|
| 3535 | konstantní v iteraci algoritmu, je z důvodu urychlení výpočtu aproximace |
---|
| 3536 | vycentrována v tomto bodě. |
---|
| 3537 | Množina |
---|
| 3538 | \begin_inset Formula $\left\{ \mathbf{x}^{(n)}\right\} $ |
---|
| 3539 | \end_inset |
---|
| 3540 | |
---|
| 3541 | je časově proměnná, abychom nemuseli v každém kroku počítat |
---|
| 3542 | \begin_inset Formula $\left(\mathbf{\Phi\Phi}^{T}\right)^{-1}\mathbf{\Phi}$ |
---|
| 3543 | \end_inset |
---|
| 3544 | |
---|
| 3545 | , položíme |
---|
| 3546 | \begin_inset Formula $\mathbf{x}^{(n)}=\bar{\mathbf{x}}(k)+\varepsilon^{(n)}$ |
---|
| 3547 | \end_inset |
---|
| 3548 | |
---|
| 3549 | , kde |
---|
| 3550 | \begin_inset Formula $\left\{ \varepsilon^{(n)}\right\} $ |
---|
| 3551 | \end_inset |
---|
| 3552 | |
---|
| 3553 | je stejná pro všechny časy |
---|
| 3554 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 3555 | \end_inset |
---|
| 3556 | |
---|
| 3557 | . |
---|
| 3558 | Množina |
---|
| 3559 | \begin_inset Formula $\left\{ \mathbf{x}^{(n)}\right\} $ |
---|
| 3560 | \end_inset |
---|
| 3561 | |
---|
| 3562 | se pak jakoby pohybuje podél trajektorie |
---|
| 3563 | \begin_inset Formula $\bar{\mathbf{x}}(k)$ |
---|
| 3564 | \end_inset |
---|
| 3565 | |
---|
| 3566 | . |
---|
| 3567 | Tedy |
---|
| 3568 | \begin_inset Formula $\tilde{V}(k,\mathbf{x}^{(n)})=\phi(\varepsilon^{(n)})^{T}\mathbf{w}(k)$ |
---|
| 3569 | \end_inset |
---|
| 3570 | |
---|
| 3571 | a |
---|
| 3572 | \begin_inset Formula $\Phi$ |
---|
| 3573 | \end_inset |
---|
| 3574 | |
---|
| 3575 | je konstantní v nejen čase, ale i v iteracích algoritmu a matici |
---|
| 3576 | \begin_inset Formula $\left(\mathbf{\Phi\Phi}^{T}\right)^{-1}\mathbf{\Phi}$ |
---|
| 3577 | \end_inset |
---|
| 3578 | |
---|
| 3579 | je možno předpočítat (což by nešlo při závislosti na stavech). |
---|
| 3580 | \end_layout |
---|
| 3581 | |
---|
| 3582 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3583 | Předběžný odhad vlatností algoritmu |
---|
| 3584 | \end_layout |
---|
| 3585 | |
---|
| 3586 | \begin_layout Standard |
---|
| 3587 | \begin_inset Newpage newpage |
---|
| 3588 | \end_inset |
---|
| 3589 | |
---|
| 3590 | |
---|
| 3591 | \end_layout |
---|
| 3592 | |
---|
| 3593 | \begin_layout Chapter |
---|
| 3594 | Systémy pro testování |
---|
| 3595 | \end_layout |
---|
| 3596 | |
---|
| 3597 | \begin_layout Section |
---|
| 3598 | Jednoduchý systém |
---|
| 3599 | \end_layout |
---|
| 3600 | |
---|
| 3601 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3602 | Popis problému |
---|
| 3603 | \end_layout |
---|
| 3604 | |
---|
| 3605 | \begin_layout Standard |
---|
| 3606 | Tato úloha byla převzata z článku |
---|
| 3607 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 3608 | LatexCommand cite |
---|
| 3609 | key "ThompsonCluettSIDP" |
---|
| 3610 | |
---|
| 3611 | \end_inset |
---|
| 3612 | |
---|
| 3613 | zejména z důvodu, aby mohla být porovnána s algoritmem navrženým ve zmíněném |
---|
| 3614 | zdroji. |
---|
| 3615 | Sami autoři |
---|
| 3616 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 3617 | LatexCommand cite |
---|
| 3618 | key "ThompsonCluettSIDP" |
---|
| 3619 | |
---|
| 3620 | \end_inset |
---|
| 3621 | |
---|
| 3622 | pak přejali tento problém z |
---|
| 3623 | \begin_inset CommandInset citation |
---|
| 3624 | LatexCommand cite |
---|
| 3625 | key "AstromHelmerssonDCIUG" |
---|
| 3626 | |
---|
| 3627 | \end_inset |
---|
| 3628 | |
---|
| 3629 | . |
---|
| 3630 | \end_layout |
---|
| 3631 | |
---|
| 3632 | \begin_layout Standard |
---|
| 3633 | Jedná se o integrátor s neznámým ziskem, tedy lineární časově invariantní |
---|
| 3634 | systém s jedním vstupem a jedním výstupem. |
---|
| 3635 | \end_layout |
---|
| 3636 | |
---|
| 3637 | \begin_layout Standard |
---|
| 3638 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray} |
---|
| 3639 | y_{k+1} & = & y_{k}+b_{k}u_{k}+e_{k+1},\nonumber \\ |
---|
| 3640 | b_{k} & \sim & N(\hat{b}_{k},P_{k}),\label{eq:simplesystem}\\ |
---|
| 3641 | e_{k} & \sim & N(0,\sigma^{2}),\nonumber \\ |
---|
| 3642 | \mathrm{cov}(e_{k},b_{k}) & = & 0,\;\forall k.\nonumber \end{eqnarray} |
---|
| 3643 | |
---|
| 3644 | \end_inset |
---|
| 3645 | |
---|
| 3646 | |
---|
| 3647 | \end_layout |
---|
| 3648 | |
---|
| 3649 | \begin_layout Standard |
---|
| 3650 | kde |
---|
| 3651 | \begin_inset Formula $y_{k}$ |
---|
| 3652 | \end_inset |
---|
| 3653 | |
---|
| 3654 | je výstup nebo také stav procesu v čase |
---|
| 3655 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 3656 | \end_inset |
---|
| 3657 | |
---|
| 3658 | , |
---|
| 3659 | \begin_inset Formula $u_{k}$ |
---|
| 3660 | \end_inset |
---|
| 3661 | |
---|
| 3662 | je řízení v čase |
---|
| 3663 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 3664 | \end_inset |
---|
| 3665 | |
---|
| 3666 | . |
---|
| 3667 | Varianci šumu |
---|
| 3668 | \begin_inset Formula $\sigma^{2}$ |
---|
| 3669 | \end_inset |
---|
| 3670 | |
---|
| 3671 | předpokládáme známou, stejně jako počáteční hodnoty systému |
---|
| 3672 | \begin_inset Formula $y_{0}$ |
---|
| 3673 | \end_inset |
---|
| 3674 | |
---|
| 3675 | , |
---|
| 3676 | \begin_inset Formula $\hat{b}_{0}$ |
---|
| 3677 | \end_inset |
---|
| 3678 | |
---|
| 3679 | a |
---|
| 3680 | \begin_inset Formula $P_{0}$ |
---|
| 3681 | \end_inset |
---|
| 3682 | |
---|
| 3683 | . |
---|
| 3684 | Úkolem je nalézt zpětnovazební řízení |
---|
| 3685 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 3686 | u_{k}^{*}=u_{k}^{*}(y_{k},y_{k-1},\ldots,y_{0},u_{k-1},u_{k-2},\ldots,u_{0}),\;0\leq k\leq N-1\] |
---|
| 3687 | |
---|
| 3688 | \end_inset |
---|
| 3689 | |
---|
| 3690 | minimalizující očekávanou ztrátu |
---|
| 3691 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 3692 | J_{0} & = & \left\{ \sum_{k=0}^{N-1}g_{k}\right\} ,\\ |
---|
| 3693 | g_{k} & = & (y_{k+1}-r_{k+1})^{2},\end{eqnarray*} |
---|
| 3694 | |
---|
| 3695 | \end_inset |
---|
| 3696 | |
---|
| 3697 | |
---|
| 3698 | \end_layout |
---|
| 3699 | |
---|
| 3700 | \begin_layout Standard |
---|
| 3701 | pro daný časový horizont |
---|
| 3702 | \begin_inset Formula $N$ |
---|
| 3703 | \end_inset |
---|
| 3704 | |
---|
| 3705 | a referenční signál, tj. |
---|
| 3706 | požadovanou hodnotu výstupu, ve formě posloupnosti |
---|
| 3707 | \begin_inset Formula $\left\{ r_{k}\right\} _{k=1}^{N}$ |
---|
| 3708 | \end_inset |
---|
| 3709 | |
---|
| 3710 | . |
---|
| 3711 | \end_layout |
---|
| 3712 | |
---|
| 3713 | \begin_layout Standard |
---|
| 3714 | Při řešení tohoto problému je výhodné nahlížet na systému jako úlohu s hyperstav |
---|
| 3715 | em |
---|
| 3716 | \begin_inset Formula $H_{k}=[y_{k},\hat{b}_{k},P_{k}].$ |
---|
| 3717 | \end_inset |
---|
| 3718 | |
---|
| 3719 | Pak první rovnici v |
---|
| 3720 | \begin_inset CommandInset ref |
---|
| 3721 | LatexCommand ref |
---|
| 3722 | reference "eq:simplesystem" |
---|
| 3723 | |
---|
| 3724 | \end_inset |
---|
| 3725 | |
---|
| 3726 | doplníme rovnicemi, ze kterých mohou být rekurzivně napočítány parametry |
---|
| 3727 | |
---|
| 3728 | \begin_inset Formula $\hat{b}_{k}$ |
---|
| 3729 | \end_inset |
---|
| 3730 | |
---|
| 3731 | a |
---|
| 3732 | \begin_inset Formula $P_{k}$ |
---|
| 3733 | \end_inset |
---|
| 3734 | |
---|
| 3735 | |
---|
| 3736 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 3737 | \hat{b}_{k+1} & = & \hat{b}_{k}+K_{k}(y_{k+1}-y_{k}-\hat{b}_{k}u_{k}),\\ |
---|
| 3738 | P_{k+1} & = & (1-K_{k}u_{k})P_{k},\\ |
---|
| 3739 | K_{k} & = & \frac{u_{k}P_{k}}{u_{k}^{2}P_{k}+\sigma^{2}}.\end{eqnarray*} |
---|
| 3740 | |
---|
| 3741 | \end_inset |
---|
| 3742 | |
---|
| 3743 | Přičemž ztráta v čase |
---|
| 3744 | \begin_inset Formula $k$ |
---|
| 3745 | \end_inset |
---|
| 3746 | |
---|
| 3747 | se změní na |
---|
| 3748 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 3749 | g_{k}=(y_{k+1}-r_{k+1})^{2}+P_{k}u_{k}^{2}.\] |
---|
| 3750 | |
---|
| 3751 | \end_inset |
---|
| 3752 | |
---|
| 3753 | |
---|
| 3754 | \end_layout |
---|
| 3755 | |
---|
| 3756 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3757 | Úpravy rovnic |
---|
| 3758 | \end_layout |
---|
| 3759 | |
---|
| 3760 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3761 | Konkrétní užití |
---|
| 3762 | \end_layout |
---|
| 3763 | |
---|
| 3764 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3765 | Pozorované výsledky |
---|
| 3766 | \end_layout |
---|
| 3767 | |
---|
| 3768 | \begin_layout Section |
---|
| 3769 | Synchronní motor s permanentními magnety |
---|
| 3770 | \end_layout |
---|
| 3771 | |
---|
| 3772 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3773 | Popis systému |
---|
| 3774 | \end_layout |
---|
| 3775 | |
---|
| 3776 | \begin_layout Standard |
---|
| 3777 | Následující model popisuje synchronní elektromotormotor s rotorem tvořeným |
---|
| 3778 | permanentními magnety. |
---|
| 3779 | Systém je popsán standartními rovnicemi synchronního stroje s permanentními |
---|
| 3780 | magnety ve stacionárním tvaru |
---|
| 3781 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray} |
---|
| 3782 | \frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\Psi_{PM}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}},\nonumber \\ |
---|
| 3783 | \frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\Psi_{PM}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}},\label{eq:pmsmspojity}\\ |
---|
| 3784 | \frac{d\omega}{dt} & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\Psi_{PM}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L},\nonumber \\ |
---|
| 3785 | \frac{d\vartheta}{dt} & = & \omega.\nonumber \end{eqnarray} |
---|
| 3786 | |
---|
| 3787 | \end_inset |
---|
| 3788 | |
---|
| 3789 | |
---|
| 3790 | \end_layout |
---|
| 3791 | |
---|
| 3792 | \begin_layout Standard |
---|
| 3793 | Zde |
---|
| 3794 | \begin_inset Formula $i_{\alpha,\beta}$ |
---|
| 3795 | \end_inset |
---|
| 3796 | |
---|
| 3797 | reprezentují proudy a |
---|
| 3798 | \begin_inset Formula $u_{\alpha,\beta}$ |
---|
| 3799 | \end_inset |
---|
| 3800 | |
---|
| 3801 | napětí na statoru. |
---|
| 3802 | Poloha (úhel otočení) rotoru je označen |
---|
| 3803 | \begin_inset Formula $\vartheta$ |
---|
| 3804 | \end_inset |
---|
| 3805 | |
---|
| 3806 | a |
---|
| 3807 | \begin_inset Formula $\omega$ |
---|
| 3808 | \end_inset |
---|
| 3809 | |
---|
| 3810 | je pak rychlost otáčení. |
---|
| 3811 | Dále |
---|
| 3812 | \begin_inset Formula $R_{s}$ |
---|
| 3813 | \end_inset |
---|
| 3814 | |
---|
| 3815 | je rezistance a |
---|
| 3816 | \begin_inset Formula $L_{s}$ |
---|
| 3817 | \end_inset |
---|
| 3818 | |
---|
| 3819 | induktance statoru. |
---|
| 3820 | |
---|
| 3821 | \begin_inset Formula $\Psi_{PM}$ |
---|
| 3822 | \end_inset |
---|
| 3823 | |
---|
| 3824 | má význam magnetického toku permanentních magnetů rotoru, |
---|
| 3825 | \begin_inset Formula $B$ |
---|
| 3826 | \end_inset |
---|
| 3827 | |
---|
| 3828 | tření a |
---|
| 3829 | \begin_inset Formula $T_{L}$ |
---|
| 3830 | \end_inset |
---|
| 3831 | |
---|
| 3832 | je zatěžovací moment. |
---|
| 3833 | Konstanta |
---|
| 3834 | \begin_inset Formula $p_{p}$ |
---|
| 3835 | \end_inset |
---|
| 3836 | |
---|
| 3837 | označuje počet párů polů a |
---|
| 3838 | \begin_inset Formula $k_{p}$ |
---|
| 3839 | \end_inset |
---|
| 3840 | |
---|
| 3841 | Parkovu konstantu. |
---|
| 3842 | \end_layout |
---|
| 3843 | |
---|
| 3844 | \begin_layout Standard |
---|
| 3845 | Cílem je návrh řízení bez senzorů, kdy čidla pro měření polohy a otáček |
---|
| 3846 | nejsou (z různých důvodů) přítomna. |
---|
| 3847 | Tedy jediné měřitelné veličiny jsou: |
---|
| 3848 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 3849 | y_{t}=\left[i_{\alpha}(t),i_{\beta}(t),u_{\alpha}(t),u_{\beta}(t)\right].\] |
---|
| 3850 | |
---|
| 3851 | \end_inset |
---|
| 3852 | |
---|
| 3853 | Které samozřejmě můžeme měřit jen s určitou přesností. |
---|
| 3854 | \end_layout |
---|
| 3855 | |
---|
| 3856 | \begin_layout Standard |
---|
| 3857 | Diskretizace modelu |
---|
| 3858 | \begin_inset CommandInset ref |
---|
| 3859 | LatexCommand ref |
---|
| 3860 | reference "eq:pmsmspojity" |
---|
| 3861 | |
---|
| 3862 | \end_inset |
---|
| 3863 | |
---|
| 3864 | pomocí Eulerovy metody vede na následující diskrétní popis: |
---|
| 3865 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 3866 | i_{\alpha,k+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta k\right)i_{\alpha,k}+\frac{\Psi_{PM}}{L_{s}}\Delta k\omega_{k}\sin\vartheta_{k}+\frac{\Delta k}{L_{s}}u_{\alpha,k},\\ |
---|
| 3867 | i_{\beta,k+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta k\right)i_{\beta,k}-\frac{\Psi_{PM}}{L_{s}}\Delta k\omega_{k}\cos\vartheta_{k}+\frac{\Delta k}{L_{s}}u_{\beta,k},\\ |
---|
| 3868 | \omega_{k+1} & = & \left(1-\frac{B}{J}\Delta k\right)\omega_{k}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\Psi_{PM}}{J}\Delta k\left(i_{\beta,k}\cos\vartheta_{k}-i_{\alpha,k}\sin\vartheta_{k}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta k,\\ |
---|
| 3869 | \vartheta_{k+1} & = & \vartheta_{k}+\omega_{k}\Delta k.\end{eqnarray*} |
---|
| 3870 | |
---|
| 3871 | \end_inset |
---|
| 3872 | |
---|
| 3873 | Kde |
---|
| 3874 | \begin_inset Formula $\Delta k$ |
---|
| 3875 | \end_inset |
---|
| 3876 | |
---|
| 3877 | označuje diskrétní časový okamžik. |
---|
| 3878 | Předpokládáme, že paremetry modelu známe, můžeme tedy provést následující |
---|
| 3879 | substituci za účelem zjednodušení: |
---|
| 3880 | \begin_inset Formula $a=1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta k$ |
---|
| 3881 | \end_inset |
---|
| 3882 | |
---|
| 3883 | , |
---|
| 3884 | \begin_inset Formula $b=\frac{\Psi_{PM}}{L_{s}}\Delta k$ |
---|
| 3885 | \end_inset |
---|
| 3886 | |
---|
| 3887 | , |
---|
| 3888 | \begin_inset Formula $c=\frac{\Delta k}{L_{s}}$ |
---|
| 3889 | \end_inset |
---|
| 3890 | |
---|
| 3891 | , |
---|
| 3892 | \begin_inset Formula $d=1-\frac{B}{J}\Delta k$ |
---|
| 3893 | \end_inset |
---|
| 3894 | |
---|
| 3895 | , |
---|
| 3896 | \begin_inset Formula $e=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\Psi_{PM}}{J}\Delta k$ |
---|
| 3897 | \end_inset |
---|
| 3898 | |
---|
| 3899 | . |
---|
| 3900 | Pro jednoduchost uvažujme model bez zatížení, tedy zatěžovací moment |
---|
| 3901 | \begin_inset Formula $T_{L}$ |
---|
| 3902 | \end_inset |
---|
| 3903 | |
---|
| 3904 | je nulovy a zjednodušený model je: |
---|
| 3905 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray} |
---|
| 3906 | i_{\alpha,k+1} & = & ai_{\alpha,k}+b\omega_{k}\sin\vartheta_{k}+cu_{\alpha,k},\nonumber \\ |
---|
| 3907 | i_{\beta,k+1} & = & ai_{\beta,k}-b\omega_{k}\cos\vartheta_{k}+cu_{\beta,k},\label{eq:pmsmdiskretni}\\ |
---|
| 3908 | \omega_{k+1} & = & d\omega_{k}+e\left(i_{\beta,k}\cos\vartheta_{k}-i_{\alpha,k}\sin\vartheta_{k}\right),\nonumber \\ |
---|
| 3909 | \vartheta_{k+1} & = & \vartheta_{k}+\omega_{k}\Delta k.\nonumber \end{eqnarray} |
---|
| 3910 | |
---|
| 3911 | \end_inset |
---|
| 3912 | |
---|
| 3913 | Tyto rovnice můžeme chápat jako popis systému se stavem |
---|
| 3914 | \begin_inset Formula $x_{k}=\left[i_{\alpha,k},i_{\beta,k},\omega_{k},\vartheta_{k}\right]$ |
---|
| 3915 | \end_inset |
---|
| 3916 | |
---|
| 3917 | . |
---|
| 3918 | \end_layout |
---|
| 3919 | |
---|
| 3920 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3921 | Úprava rovnic |
---|
| 3922 | \end_layout |
---|
| 3923 | |
---|
| 3924 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3925 | Aplikace iLDP |
---|
| 3926 | \end_layout |
---|
| 3927 | |
---|
| 3928 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3929 | Výsledky jiných metod |
---|
| 3930 | \end_layout |
---|
| 3931 | |
---|
| 3932 | \begin_layout Standard |
---|
| 3933 | \begin_inset Newpage newpage |
---|
| 3934 | \end_inset |
---|
| 3935 | |
---|
| 3936 | |
---|
| 3937 | \end_layout |
---|
| 3938 | |
---|
| 3939 | \begin_layout Chapter |
---|
| 3940 | Výsledky |
---|
| 3941 | \end_layout |
---|
| 3942 | |
---|
| 3943 | \begin_layout Section |
---|
| 3944 | Výsledky algoritmu iLDP |
---|
| 3945 | \end_layout |
---|
| 3946 | |
---|
| 3947 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3948 | Různá počáteční nastavení |
---|
| 3949 | \end_layout |
---|
| 3950 | |
---|
| 3951 | \begin_layout Section |
---|
| 3952 | Výsledky ostatních použitých metod |
---|
| 3953 | \end_layout |
---|
| 3954 | |
---|
| 3955 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3956 | LQG |
---|
| 3957 | \end_layout |
---|
| 3958 | |
---|
| 3959 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3960 | Princip separace |
---|
| 3961 | \end_layout |
---|
| 3962 | |
---|
| 3963 | \begin_layout Section |
---|
| 3964 | Srovnání |
---|
| 3965 | \end_layout |
---|
| 3966 | |
---|
| 3967 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3968 | Získané výsledky |
---|
| 3969 | \end_layout |
---|
| 3970 | |
---|
| 3971 | \begin_layout Subsection |
---|
| 3972 | Porovnání algoritmů |
---|
| 3973 | \end_layout |
---|
| 3974 | |
---|
| 3975 | \begin_layout Section |
---|
| 3976 | Diskuze pro metodu iLDP |
---|
| 3977 | \end_layout |
---|
| 3978 | |
---|
| 3979 | \begin_layout Standard |
---|
| 3980 | \begin_inset Newpage newpage |
---|
| 3981 | \end_inset |
---|
| 3982 | |
---|
| 3983 | |
---|
| 3984 | \end_layout |
---|
| 3985 | |
---|
| 3986 | \begin_layout Addchap |
---|
| 3987 | Závěr |
---|
| 3988 | \end_layout |
---|
| 3989 | |
---|
| 3990 | \begin_layout Standard |
---|
| 3991 | \begin_inset Newpage newpage |
---|
| 3992 | \end_inset |
---|
| 3993 | |
---|
| 3994 | |
---|
| 3995 | \end_layout |
---|
| 3996 | |
---|
| 3997 | \begin_layout Standard |
---|
| 3998 | \begin_inset ERT |
---|
| 3999 | status open |
---|
| 4000 | |
---|
| 4001 | \begin_layout Plain Layout |
---|
| 4002 | |
---|
| 4003 | |
---|
| 4004 | \backslash |
---|
| 4005 | addcontentsline{toc}{chapter}{Literatura} |
---|
| 4006 | \end_layout |
---|
| 4007 | |
---|
| 4008 | \begin_layout Plain Layout |
---|
| 4009 | |
---|
| 4010 | |
---|
| 4011 | \backslash |
---|
| 4012 | markboth{Literatura}{Literatura} |
---|
| 4013 | \end_layout |
---|
| 4014 | |
---|
| 4015 | \end_inset |
---|
| 4016 | |
---|
| 4017 | |
---|
| 4018 | \end_layout |
---|
| 4019 | |
---|
| 4020 | \begin_layout Standard |
---|
| 4021 | \begin_inset CommandInset bibtex |
---|
| 4022 | LatexCommand bibtex |
---|
| 4023 | btprint "btPrintAll" |
---|
| 4024 | bibfiles "bpzdroje" |
---|
| 4025 | options "czechiso" |
---|
| 4026 | |
---|
| 4027 | \end_inset |
---|
| 4028 | |
---|
| 4029 | |
---|
| 4030 | \end_layout |
---|
| 4031 | |
---|
| 4032 | \end_body |
---|
| 4033 | \end_document |
---|