root/applications/dual/SIDP/bakalarka/SIDPS/text/SIDPS.tex @ 1351

Revision 1351, 23.4 kB (checked in by zimamiro, 13 years ago)
Line 
1\documentclass{article}
2\parskip=7pt   % mezera mezi odstavci
3
4\usepackage[czech]{babel}      % �ky psan�r�
5\usepackage[T1]{fontenc}
6\usepackage[cp1250]{inputenc}  % vstupn�nakov�ada: Windows 1250
7
8\usepackage{amsmath}
9\usepackage{epsfig}
10\usepackage{algorithm}
11\usepackage{algorithmic}
12\usepackage{dcolumn}
13\usepackage{amsfonts}
14
15\DeclareMathOperator*{\E}{E}
16\DeclareMathOperator*{\cov}{Cov}
17\DeclareMathOperator*{\tr}{tr}
18\DeclareMathOperator*{\argmin}{argmin}
19
20\begin{document}
21
22\section{Popis �}
23Chceme � syst�s v�m $y_t$ popsan�o
24\begin{equation}
25\label{poz2}
26y_0=h_0(\theta,v_0),\qquad y_{t+1}=h_t(I_t,\theta,u_t,v_{t+1}), \qquad t=0,\ldots,N-1,
27\end{equation}
28kde $I_t=(y_{0:t},u_{0:t-1})$.
29
30Ozna� $T_t$ dostate�u statistiku pro parametr $\theta$ zalo�enou na informac� dostupn� �e $t$. Pokud dostate� statistika neexistuje, pak bude $T_t$ ozna�at n�kou jej�hodnou aproximaci. Ozna� d� $H_t=(I_t,T_t)$ tzv. hyperstav syst�.
31
32P�kl�jme d�, �e o parametru $\theta$ m� n�kou apriorn�nformaci v podob�ustoty pravd�dobnosti $f(\theta|T_0)$. Aposteriorn�ustotu $f(\theta|T_{t+1})$ z�� pomoc�ayesova vzorce
33\begin{equation}
34\label{bay}
35f(\theta|T_{t+1}) = \frac{f(y_{t+1} | \theta, I_t,u_t) f(\theta| T_t)}
36{\int f(y_{t+1} | \theta, I_t,u_t) f(\theta| T_t)\mathrm{d}\theta}.
37\end{equation}
38Rekurzivn�ou�it�zorce \eqref{bay} pro odhad parametru $\theta$ se naz�stup Bayesovsk� u��
39
40Pro v�yperstavu $H_t$ v �e m� na z�ad�eqref{bay} ps�
41\begin{equation}
42\label{the}
43H_{t+1}=f_t(H_t,u_t,y_{t+1}), \qquad  t=0,\ldots,N-1.
44\end{equation} 
45
46Ztr�v�unkce je
47\begin{equation}
48\label{los2}
49g(y_{1:N},u_{0:N-1})=\sum_{t=0}^{N-1}g_t(y_{t+1},u_t).
50\end{equation}
51
52�ohou je nalezen��c�trategie $\pi=\mu_{0:N-1}$, kter�y minimalizovala o��nou ztr�
53\begin{equation}
54\label{ilos2}
55J_\pi=\E_{\theta_0,v_{0:N-1}}\left\{\sum_{t=0}^{N-1}g_t(y_{t+1},\mu_t(H_t))\right\},
56\end{equation}
57za apriorn�nformace $f(\theta|T_0)$, zn�ho rozd�n�umu $v_t$ a podm�k \eqref{the} a \eqref{poz2}.
58
59�oha je �eln�omoc�ynamick� programov�, tedy postupnou minimalizac���n�tr� od konce �� horizontu
60\begin{gather}
61J_N(H_N)=0,\\
62J_t(H_t)=\min_{u_t \in U_t}\E_{y_{t+1}}\left\{g_t(y_{t+1},u_t)+J_{t+1}(H_{t+1})|H_t,u_t\right\}, \qquad t=0,\ldots,N-1,
63\label{los3}
64\end{gather}
65kde $H_{t+1}$ se po��le \eqref{the}. St� hodnota vzhledem k $y_{t+1}$ se po��omoc�eqref{poz2} a $f(\theta|T_t)$ jako�to aktu�� odhadu na parametr $\theta$.
66
67Pro konkr��yst�v�ak vlastn�� obvykle nen�o�n�rov�. D�m je obt��� parametrick� integr� (parametr je $u_t$) a jeho n�edn�inimalizace vzhledem k $u_t$. V dal��ekci je proto p�aven aproximativn�lgoritmus k nalezen�uboptim�� ��
68
69\section{Algortimus SIDP se separovanou bud� slo�kou (SIDPS)}
70\label{sidp'}
71Algoritmus je zalo�en�IDP, tj. na aproximaci dynamick� programov� pomoc�terov� suboptim�� �� metody Monte Carlo.
72
73Oproti klasick� SIDP specializujeme tvar hledan� ��To hled� v tvaru
74\begin{equation}
75\label{rozklad}
76u_t(H_t)=u^{(1)}_t(H_t)+u^{(2)}_t(\tilde{H}_t), \qquad  t=0,\ldots,N-1.
77\end{equation}
78kde $u^{(1)}_t$ je z�h staraj� se o minimalizaci ztr� a $u^{(2)}_t$ bud�yst�za �m jeho lep��dentifikace. Tvar $u^{(1)}_t$ p�kl�me za zn�, p�tem optimalizace je $u^{(2)}_t$, kter�s�ouze na $\tilde{H}_t \subset H_t$. �st $H_t$, na kter�u^{(2)}_t$ nez�s�zna�e $\tilde{H}^{(c)}_t$. Tedy je $H_t=\{{\tilde{H}_t,\tilde{H}^{(c)}_t}\}$.
79
80Dal��m�u oproti SIDP je minimalizace ztr�v�unkce na ub�j�m horizontu d�y  $\tilde{N}$ (obvykle vol� $\tilde{N}<<N$). Nam�o iterov� ��a m�ch $H_{0:N-1}$ za �m nalezen�ptim�� $u_t$ pro ka�d�$H_t$ (p� SIDP) tak iterujeme pouze m� obsahuj� $\tilde{H}_0$ a v ka�d�bod�ptimalizujeme jen $u^{(2)}_0$. Optim���h pro $j$-t�diskretizovan� $H_0$ ($=H_{0,j}$) ozna�e $u_{0,j}$.  P��e, �e optimalizace prob� na ub�j�m horizontu d�y  $\tilde{N}$. Vzhledem k tomu, �e v ka�d��ov�okam�iku pou��me ��apo�n�a jedin�� $\tilde{H}_0$, ztr� se v�st lok��iskretizace hyperstavu (viz �nek o SIDP). To vypl�p�kladu, �e v pr� ��e bude neur�ost v syst� vlivem procesu u��m�t (i v�). Bude tedy t����pektrum hodnot $\tilde{H}_0$ pro kter�e bude hledat optim���n�V p��edin�� bychom tak m� diskretizovat $\tilde{H}_0$ v cel�rozsahu p�kl�n�dnot, pro kter�hceme syst��.
81
82Schematickou podobu SIDPS zachycuje \ref{alg}.
83
84\begin{algorithm}
85\begin{algorithmic}
86\STATE diskretizuj $\tilde{H}_0$
87\STATE v bodech diskretizace $\tilde{H}_0$ (je jich $|\tilde{H}_0|$) inicializuj $\pi_1$ (nap�equiv 0$)
88\STATE zvol libovoln�\tilde{H}^{(c)}_0$ (dle p�kladu na t� volb�u^{(2)}_0$ nez�s�
89\FOR[iteruj $\pi_i=\{u_{0,1:|\tilde{H}_0|}\}$]{$i= 1$ to $n_{iter}$}
90\FOR[pro $\tilde{H}_{0,j}$ najdi (lok��nejlep���n�$j = 1 $ to $|\tilde{H}_0|$} 
91\STATE perturbac�u^{(2)}_{0,j}$ vygeneruj $m$ kandid� na ��ozn. $u_{1:m}$).
92
93\FOR[spo� ztr� $J^*$ pro $\tilde{\pi}_i=\{\tilde{u}_{0,1:k-1},u_k,u_{k+1:|\tilde{H}_0|}\}$]{$k = 1 $ to $m$} 
94\FOR[$J^*$ aproximuj jako pr�z $n_0$ realizac�$J^{(l)}$]{$l = 1 $ to $n_0$}
95\STATE $J_0^{(l)}=0$
96\FOR[generuj realizaci ztr� $J_l$]{$t = 0 $ to $\tilde{N}-1$}
97\STATE generuj $\theta$ a  $v_t$ (pou�ijeme $f(\theta,T_t)$ a zn� rozd�n�umu)
98\STATE interpolac�xtrapolac�\tilde{\pi}_i$ ur�z�h $u^{(2)}_t$ pro $\tilde{H}_t$
99\STATE spo� $y_{t+1}=h_t(I_t,u_t,v_{t+1},\theta)$ 
100\STATE p� aditivn�� ztr�, tj. $J_{t+1}^{(l)}=J_{t}^{(l)}+g_t(y_{t+1},u_t)$
101\STATE dopo�ej $H_{t+1}=f_t(H_t,u_t,y_{t+1})$
102\ENDFOR
103\STATE $J^{(l)}=J_{\tilde{N}}^{(l)}$
104\ENDFOR
105\STATE $\bar{J}=\frac{1}{n_0}\sum_{l=1}^{n_0}J_l$
106\ENDFOR
107\STATE $u_k$ s nejni���odnotou $\bar{J}$ (ozn. $\tilde{u}_{0,j}$) uchovej jako ��ro $\tilde{H}_{0,j}$.
108\STATE $\pi_i:=\{\tilde{u}_{0,1:j-1},\tilde{u}_{0,j},u_{0,k+1:|\tilde{H}_0|}\}$
109\ENDFOR
110\STATE $\pi_{i+1}:=\{\tilde{u}_{0,1:\tilde{H}_0|}\}$
111\ENDFOR
112\end{algorithmic}
113\caption{Sch� algoritmu SIDPS}
114\label{alg}
115\end{algorithm}
116
117\section{Integr�r s nezn�m ziskem}
118V�syst� je pops�jako
119\begin{gather}
120\label{simple}
121y_{t+1}=y_t+\theta u_t+v_{t+1}, \qquad t=0,\ldots,N-1,\\
122v_{t+1}\sim N(0,\sigma^2),
123\end{gather}
124kde $\theta\neq0$ je nezn� parametr a rozptyl �umu $\sigma^2$. Po�e� hodnota v� je nastavena na $y_0=1$ a optim���n�e takov�pro kter�y_t=0$ . Syst�je mo�n� p��ot�vhodn�osunou �p�lovat, nen�edy pot�uva�ovat jin�odnoty po�e�ho v� a referen�ho sign� .
125
126O nezn�m parametru $\theta$ m� v �e $t$ informaci v podob�ostate� statistiky $T_t=(\hat{\theta}_t,P_t)$ tvo�st� hodnotou a rozptylem. P�kl�me nekorelovanost odhadu $\theta_t$ s �umem, tedy �e
127\begin{equation}
128\cov(v_{t+1},\theta_t)=0.
129\end{equation}
130
131Ztr�v�unkce je kvadratick� $y_{t+1}$, �i
132\begin{equation}
133\label{glos}
134g(y_{1:N},u_{0:N-1})=\sum_{t=0}^{N-1}y_{t+1}^2.
135\end{equation}
136
137Odhadovac�rocedurou pro parametr $\theta$ je Kalman�ltr. Pro syst�\eqref{simple}  m�var
138\begin{gather}
139K_t=\frac{u_tP_t}{u_t^2P_t+\sigma^2},\\
140\label{kal}
141\hat{\theta}_{t+1}=\hat{\theta}_t+K_t(y_{t+1}-u_t\hat{\theta}_t),\\
142P_{t+1}=(1-K_tu_t)P_t.
143\end{gather}
144
145Hyperstav syst� $H_t$ tvo�ktor $(y_t,\hat{\theta}_t,P_t)$. O��n�tr� je
146\begin{equation}
147J_t(H_t)=\min_{u_t \in U_t}\E_{y_{t+1}}\left\{y_{t+1}^2+J_{t+1}(H_{t+1})|H_t,u_t\right\}, \qquad t=0,\ldots,N-1.
148\end{equation}
149
150Ta po dosazen� \eqref{simple} a �te�m proveden�t� hodnoty p� na tvar
151\begin{gather}
152\label{dos}
153J_t(H_t)=\min_{u_t \in U_t}\left\{(y_t+\hat{\theta}_tu_t)^2+u_t^2P_t+\sigma^2+\E_{y_{t+1}}(J_{t+1}(H_{t+1}))|y_t,\hat{\theta}_t, P_t,u_t\right\}.
154\end{gather}
155
156\subsection{Transformace rovnic syst�}
157Od prom��y_t,\hat{\theta}_t,P_t,u_t)$ p�me k  $(\eta_t,\beta_t,\zeta_t,\nu_t)$ dle vztah�egin{gather}
158\eta_t=\frac{y_t}{\sigma}, \\
159\label{trab}
160\beta_t=\frac{\hat{\theta}_t}{\sqrt{P_t}}, \\
161\zeta_t=\frac{1}{\sqrt{P_t}}, \\
162\nu_t=\frac{u_t\sqrt{P_t}}{\sigma}.
163\end{gather}
164
165Sou�n�� neur�ost ve v� \eqref{simple} reprezentovat jedinou normalizovanou n�dnou veli�ou
166\begin{equation}
167s_t=\frac{y_{t+1}-y_t+\hat{\theta}_tu_t}{\sqrt{u_t^2P_t+\sigma^2}} \sim N(0,1).
168\end{equation}
169 
170Rovnice pro v�\eqref{simple} a n�eduj� odhad nezn�ho parametru \eqref{kal} tak p� v
171\begin{gather}
172\label{eta}
173\eta_{t+1}=\eta_t+\beta_t\nu_t+\sqrt{1+\nu_t^2}s_t,\\
174\label{beta}
175\beta_{t+1}=\sqrt{1+\nu_t^2}\beta_t+\nu_ts_t.
176\end{gather}
177
178P�me-li k vhodn�praven���n�tr�, dostaneme
179\begin{align}
180\label{bel}
181V_t(\eta_t,\beta_t,\zeta_t)&=\frac{J_t(y_t,\hat{\theta}_t,P_t)}{\sigma^2}\\
182&=\min_{\nu_t }\left\{(\eta_t+\beta_t\nu_t)^2+\nu_t^2+1+\E_{s_t}(V_{t+1}(\eta_{t+1},\beta_{t+1},\zeta_{t+1}))\right\}.
183\end{align}
184
185Nyn�po�me o��nou ztr� pro $N-1$ jako
186\begin{equation}
187V_{N-1}(\eta_{N-1},\beta_{N-1},\zeta_{N-1})=\min_{\nu_{N-1}}\left\{(\eta_{N-1}+\beta_{N-1}\nu_{N-1})^2+\nu_{N-1}^2+1\right\}.
188\end{equation}
189
190Pomoc�iferenci�� po� pak z�� optim���h ve tvaru
191\begin{equation}
192\label{optcon}
193\nu_{N-1}=-\frac{\eta_{N-1}\beta_{N-1}}{1+\beta_{N-1}^2}
194\end{equation}
195a o��nou ztr� rovnu
196\begin{equation}
197V_{N-1}(\eta_{N-1},\beta_{N-1},\zeta_{N-1})= \frac{\eta_{N-1}^2+1}{\beta_{N-1}^2+1}.
198\end{equation}
199
200Proto�e optim���h $\nu_{N-1}$ ani o��n�tr� $V_{N-1}$ nez�s�a $\zeta_{N-1}$, d� tvaru $V_t$ nebude rovn�optim���h $\nu_t$ a o��n�tr� $V_t$ z�set na $\zeta_t$. K nalezen�ptim�� ��edy sta�v ka�d��e $t$ uva�ovat pouze dvourozm��rstav $H_t=(\eta_t,\beta_t)$. Nav�m� bez �na obecnosti po�at optim���h pouze pro kladn�odnoty $\eta_t$ a $\beta_t$. Optim���n�edy napo�me pouze pro kladn�odnoty $y_t$ a $\theta_t$. Pro ostatn�o�nosti pak d� tvaru \eqref{simple} dostaneme po�adovan�c��h vhodnou volbou znam�a napo�n� z�hu.
201
202\subsection{Opatrn��n�
203Metoda opatrn� ��po�� optimalizaci o��n�tr� \eqref{los3} na horizontu d�y $N=1$. Minimalizujeme tedy
204\begin{equation}
205J_0(H_0)=\min_{u_0 \in U_0}\E_{y_1}\left\{g_0(y_1,u_0)|H_0,u_0\right\}.
206\end{equation}
207Sta�proto spo�t st� hodnotu $g_0(y_1,u_0)$ vzhledem k $y_1$ a v�k minimalizovat vzhledem k $u_t$. Poznamenejme, �e v���n�ebude zcela jist�u��To plyne z toho, �e minimalizujeme o��nou ztr� pouze jeden krok dop�a tedy se nem�rojevit v�identifikace parametr�oc�ybuzen�yst� mimo po�adovan�.
208
209Optim���c��h je pro metodu opatrn� ���dle \eqref{optcon} jako
210\begin{equation}
211\label{optcon2}
212\nu_t=-\frac{\eta_t\beta_t}{1+\beta_t^2}.
213\end{equation}
214
215Pro mal�odnoty $\beta_t$ (tedy pro velk�odnoty neur�osti v identifikaci parametru $\theta$, viz \eqref{trab}) bude ��elmi konzervativn�odtud n�v). Pro $\beta_t=0$ (to odpov� $\hat{\theta}_t=0$) pak bude $\nu_t=0$ a regul�r tedy nebude poskytovat ���ktivn��n�Opatrn��n�e vhodn�did�m na $u^{(1)}_t$ v \ref{rozklad}.
216
217\subsection{Klasick�tup k dynamick� programov�}
218P�u�it�lasick� numerick� p�pu k dynamick� programov� je prostor hyperstav�kretizov�do m� (zde 64x64). Pro ka�d�hyperstavu se napo����n�tr�, mimo body m� se pou�ije interpolace (zde kubick� K numerick�ntegraci se pou�ije klasick�impsonova metoda a k nalezen�inima pak jednoduch�nterpola� metoda (zde se ka�d�emi body na m� prolo�ila parabola, nalezlo jej�inimum a to se pak testovalo, zdali je glob��minimem o��n�tr�).
219
220Optim���n�a v��� bylo nakonec parametrizov� analytickou formul�varu
221\begin{equation}
222\label{ast}
223\nu_t=-\frac{0,56+\beta_t}{2,2+0,08\beta_t+\beta_t^2}\eta_t-\frac{1,9}{1,7+\beta_t^4}.
224\end{equation}
225Analytick�proximace zp� zv�ve ztr�v�unkci o m� ne� 1 \%.
226
227Prvn�len v \eqref{ast} m� interpretovat jako modifikovan�patrn��n�druh� pak jako bud� slo�ku ��
228
229\subsection{Implementace SIDPS pro jednouch��
230\label{implSIDPS}
231Bud� slo�ka v \eqref{ast} z�s�ouze na $\beta$. I to n�vede k tomu, �e ��udeme hledat ve tvaru
232\begin{equation}
233\nu_t=-\frac{\eta_t\beta_t}{1+\beta_t^2} -\nu^{(2)}_t(\beta_t),
234\end{equation}
235Vol� tedy $\tilde{H}_t=\beta_t$ a optimalizujeme $\nu^{(2)}$.
236
237Dle popisu (a n�edn�ransformace) syst� \eqref{simple} je pro v� optim�� $\nu^{(2)}_t$ t�diskretizovat (kladnou) �t $1$-dimenzion�� prostoru prom��\tilde{H}_0$.
238
239Implementace v�ech �t�lgoritmu byla provedena v souladu s odd�m \ref{sidp'}. Konkr��astaven�arametr�oritmu zachycuje tabulka \ref{par2}. Mimo body diskretizace byla pou�ita line��nterpolace. Pro porovn� kandid� na ��yl nav�implementov�RSSS algoritmus, co� vedlo k drobn� zlep�en��� ��sn�n�tr� o cca 1\% a stabiln��overgence $\pi_i$).
240
241\begin{table}
242\begin{tabular}{|l|ll|}
243\hline
244d�a ub�j�ho horizontu & $\tilde{N}$ & 10\\
245po� iterac�lgoritmu & $n_{iter}$ & 4\\
246po� bod�iskretizaci ka�d�imenze $H_t$ & $n_g$ & 10\\
247po� kadnid� na zm�  �� z�hu & $m$ & 7\\
248po�e� rozsah pro hled� optim�� �� z�hu & $\beta_0$ & 5\\
249parametr pro redukci $\beta_0$ p�akov� algoritmu &$\gamma$ & 0,2\\
250po� realizac�ro odhad metodou Monte Carlo & $n$ & 20\\\hline
251\end{tabular}
252\caption{Konkr��olba parametr�oritmu SIDPS}
253\label{par2}
254\end{table}
255
256Ot�ou z��jak volit $\tilde{H}_0^{(c)}=\eta_0$. A�liv p�kl�me, �e $\nu^{(2)}_t$ na $\tilde{H}_0^{(c)}$ nez�s�skute�st m���V tom p��e z� vhodn�olit $\tilde{H}_0^{(c)}$ tak, aby co nejv� odpov�la stavu, ve kter�se bude syst�skute� nach�t. Jako vhodn�roto jev��h $\eta_0=0$. Opodstatn� volby spo�� tom, �e v p��sp�� ��ude syst�v okol�ptim��tedy nulov�hodnoty.
257
258Optim���h $\nu^{(2)}_0$ byl po��pro hodnoty
259\begin{equation}
260\tilde{H}_0=\beta_0=\{0.0001+ 0.75\times j|j=0,\ldots,9\}.
261\end{equation}
262V���n�e pak dalo s �hem pou��pro �irokou �k� hodnot $(b_0,P_0,y_0,\sigma)$ bez nutnosti opakovat vlastn��. Ve�ker�xperimenty tak byly prov�ny s ��z�an� tomto jedin�v�. Poznamenejme, �e v p��lasick� SIDP by to z d� lok��ovahy algoritmu nebylo mo�n�
263
264V� za dan�rametr�al v �h jednotek vte�cca 5). Charakter konvergence $\pi_i$ je diskutov�d�.
265
266\section{Srovn� jednotliv��up�subsection{Kvantitativn�rovn�}
267\label{kvansrov}
268�zen�ylo testov� vzhledem k r� hodnot�po�e�ho odhadu $\theta$, tedy k r� hodnot�$(\hat{\theta}_0,P_0)$. �d� horizont byl v�dy $N=100$, rozptyl �umu $\sigma=1$. Ka�d�imulace byla opakov� 1000x, uveden�odnoty celkov�tr� jsou pr�m p�ednotliv�ealizace.
269
270Pro ka�d�ednotliv�pakov� simulace byla skute� hodnota parametru $\theta$ pro po�e� hodnoty $(\hat{\theta}_0,P_0)$ zvolena jako prvn�enulov�ealizace n�dn�eli�y s rozd�n�$N(\hat{\theta}_0,P_0)$. Tedy apriorn�nformace odpov� skute�sti. Pro takto vygenerovanou hodnotu $\theta$ byly postupn�plikov� jednotliv��c�lgoritmy. Pro sn�n�livu n�dnosti p�rovn� kvality ��yly v�echny realizace �umu (v r�i jednoho opakov� simulace) v pr� ��ednotliv�goritmy voleny stejn�
271
272Na obr�u \ref{kvan} jsou zachyceny v�y pro r�hodnoty apriorn�nformace $(\hat{\theta}_0,P_0)$. Hodnoty ztr� jsou uvedeny relativn� pr��tr�, kter�ylo ve stejn�ituaci dosa�eno pomoc�P regul�ru. Dle obdr�en�sledk� v pr� nov�ritmus �n�onkuruje DP ��jeho� v� je mnohon�bn�lo�it��dle informac� �nku o SIDP je �ov�lo�itost cca $100000\times$ vy���
273
274\begin{figure}
275\centering
276\includegraphics[width=\textwidth]{kvan}
277\caption{Kvantitativn�orovn� regul�r� r�hodnoty $(\hat{\theta}_0,P_0)$ - Na ose $y$ jsou relativn�odnoty pr��tr�, kter�os�y uveden�lgoritmy (osa $x$). Referen� hodnotou byly pr��tr�, kter�s� DP regul�r pro tyt�parametry.}
278\label{kvan}
279\end{figure}
280
281Pro ilustraci z�slosti v��rozptylu �umu $\sigma$ a po�e�m stavu $y_0$ byl zopakov�v�eden�s pro $\sigma=10$ a pot�e�t�ro $y_0=100$. Bylo pou�ito stejn��n�jako prve. V�y byly velmi podobn��na obr�u \ref{kvan}. Celkov�ykazovalo ��omoc�opsan� algoritmu v pr� srovnateln�valitn��n�ako DP regul�r a to pro v�echny testovan�(\hat{\theta}_0,P_0,y_0,\sigma)$ se zanedbateln�po�n� n�ky.
282
283\subsection{Kvalitativn�rovn�}
284P�alitativn�srovn� byly zkoum� �nosti konkr�� realizac�tr�. Obr�y \ref{kval0}, \ref{kval1}, \ref{kval10} ud�j�etnosti realizac�elativn� ztr� kter�lo nabyto p�u�it�onkr�� regul�ru pro r�hodnoty $\hat{\theta}_0$ ($P_0=10$ a 1000 opakov�). Referen� hodnotou byla pr��tr� DP regul�ru. Ostatn�astaven�ylo stejn�ako v p��vantitativn� srovn�. Uveden�istrgramy dokumentuj��e kvalitativn�e ���an�ov�oritmem velmi odobn�ako ��P regul�rem.
285 
286\begin{figure}
287\centering
288\includegraphics[width=\textwidth]{kval0}
289\caption{Kvalitativn�orovn� regul�r� $\hat{\theta}_0=0$ - Na ose $x$ jsou hodnoty relativn�tr� (referen� hodnotou je pr��tr� DP regul�ru), na osa $y$ pak �nosti relativn�tr� z 1000 opakov�. Zv�na je hodnota pr��tr� (�ven�a medi� (zelen�}
290\label{kval0}
291\end{figure}
292
293\begin{figure}
294\centering
295\includegraphics[width=\textwidth]{kval1}
296\caption{Kvalitativn�orovn� regul�r� $\hat{\theta}_0=1$ - Na ose $x$ jsou hodnoty relativn�tr� (referen� hodnotou je pr��tr� DP regul�ru), na osa $y$ pak �nosti relativn�tr� z 1000 opakov�.Zv�na je hodnota pr��tr� (�ven�a medi� (zelen�}
297\label{kval1}
298\end{figure}
299
300\begin{figure}
301\centering
302\includegraphics[width=\textwidth]{kval10}
303\caption{Kvalitativn�orovn� regul�r� $\hat{\theta}_0=0$ - Na ose $x$ jsou hodnoty relativn�tr� (referen� hodnotou je pr��tr� DP regul�ru), na osa $y$ pak �nosti relativn�tr� z 1000 opakov�.Zv�ny jsou pak hodnoty pr��tr� (�ven�a medi� (zelen�}
304\label{kval10}
305\end{figure}
306
307\section{Charakter konvergence SIDPS}
308Obr�k \ref{konv} d� p�avu o charakteru konvergence $\pi_i$. Prvn�� obr�u zachycuje jednotliv�terace $\pi_i$ (hodnoty $u^{(2)}_0$ v z�slosti na $\beta$). Druh�ak relativn�r�ou ztr� p�zen�a pou�it�\pi_i$ (pr�p�000 opakov�). P�mulac� bylo $(\hat{\theta}_0,P_0)=(1,10)$, ostatn�arametry z�y stejn�ako v p�l�ekci. Referen� hodnotou byla op�pr��tr� DP regul�ru.
309
310\begin{figure}
311\centering
312\includegraphics[width=\textwidth]{konv}
313\caption{Charakter konvergence SIDPS - Pr�$\pi_i$ (prvn��) a relativn�r��tr�, kter�osahuje (druh��). Pro v� pr��tr� p�zen�ylo $(\hat{\theta}_0,P_0)=(1,10)$ a jako referen� hodnota byla zvolena pr��tr� DP regul�ru. Ostatn�arametry simulace viz. sekce \ref{kvansrov}}
314\label{konv}
315\end{figure}
316
317\section{Mo�n�olby $\tilde{H}_0^{(c)}$}
318V p�oz�rovn�c��i jsme volili konstantn�\tilde{H}_0^{(c)}=\eta_0=0$. Pokud se syst�nach� pobl�t� hodnoty ($\eta_t \approx 0$), ��y m� b�dle pokus��e) dobr�Pokud ale syst�bude v jin�stavu (to je mo�n�ejm� v po�e� f� p�lb�y_0 \gg 0$), je zde nebezpe� �e se regul�r dopust�byte� velk�hyby. Ilustrac�ohoto jevu se zab�sleduj� sekce.
319
320P�staven�e sekce \ref{implSIDPS} bylo algoritmem SIDPS napo�� optim���n�ro n�eduj� r�volby $\tilde{H}_0^{(c)}=\eta_0$
321\begin{enumerate}
322\item[0)]  $\eta_0=0$,
323\item[1)]  $\eta_0=\eta_{max}*\text{\emph{rand}}$,
324\label{2}
325\item[2)]  $\eta_0=\frac{\eta_{max}}{10^{\beta_0}}$,
326\label{3}
327\end{enumerate}
328kde $\eta_{max}$ je maximim��va�ovan�odnota $\eta_0$, pro kterou budeme cht���ou��a \emph{rand} je n�dn��o z intervalu $<0,1>$. Algoritmem SIDPS jsme tak z�ali t�� n�hy na ��Volba 0) odpov� p�� nastaven�tj. p�kladu, �e syst�se bude nach�t pobl�optim��odnoty). P�s 1) po�� libovolnou hodnotu $\eta_0$ z p�kl�n� rozsahu a 2) vyjad�p�klad souvislosti mezi po�e�n�stavem $\eta_0$ a neur�ost�\beta_0$. P�klad se d�nterpretovat tak, �e � ni���eur�ost je, t�v� o syst� v� a tedy jsme (pravd�dobn�bl� optim��odnot�
329
330Kvantitativn�ozd���e diskutov� Parametry pokusu jsou p�ty ze sekce \ref{kvansrov} ($\sigma=1$, �i $\eta_t=y_t$). V���n�ylo aplikov� pro r�hodnoty $y_0 \in <0,100>$ (tedy $\eta_{max}=100$), pro $P_0=10$ a $\hat{\theta}_0 \in \{0,1,10\}$. Pro $P_0=1$ vy�ly v�y obdobn�Zajimav�ylo srovn� zejm� pro $\hat{\theta}_0 =0$, v ostatn� variant� bylo ���dy velmi dobr�pr��elativn�tr� $\doteq 1$).
331
332Obdr�en��y ilustruje obr�k \ref{Hc}.
333
334\begin{figure}
335\centering
336\includegraphics[width=\textwidth]{Hc}
337\caption{Z�slost pr��elativn�tr� p�zn�lb� $\tilde{H}_0^{(c)}$ (viz. text) -  Na ose $x$ jsou hodnoty skute� po�e� v�y syst� $y_0$, na ose $y$ pak hodnoty pr��elativn�tr� z 1000 opakov�. Referen� hodnotou je pr��tr� DP regul�ru}
338\label{Hc}
339\end{figure}
340
341Dle o��n�e pro $y_0\approx0$ nejv�j��ou��volbu 0) (p�klad $\eta_t=0$, p�er� bylo ��avr�eno, plat� dobrou p�st��dy). Pro vy���odnoty $y_0$ ($>20$) je p�kladan�\eta_t=0$ pro $t=0$ velmi �patn�d a je dosa�eno vy���tr�.
342
343V p��olby 1) byla situace opa�. �zen�ylo �n�ejm� pro vy���odnoty $y_0$. Pro $y_0\approx0$ je bud� slo�ka zbyte� velik�zhruba 2x oproti 0)) a je dosa�eno vy���tr�.
344
345Kompromisnisn���volby $\tilde{H}_0^{(c)}=\eta_0$ je mo�nost 2). Ta poskytuje v pr� dobr��n� cel�intervalu uva�ovan�_0$.
346
347V p��y_0 \in <0,1>$ (tedy $\eta_{max}=1$), poskytly v�echny volby p��n�tejn��n�rozd�v pr��elativn�tr�, $<1\%$, je zp�n�dn�alizacemi poruch). Hodnota pr��elativn�tr� pak byla pro v�echny hodnoty $y_0 \in <0,1>$ $\doteq1$.
348
349\section{Z�r}
350Na z�ad�roveden�kus����an�omoc�IDPS jev�ako velmi dobr�D� srovnateln��y s DP regul�rem, nav�v zanedbateln��e. Nev� algoritmu SIDPS je nutnost vybrat veli�y, kter�udou tvo�\tilde{H}_0$, p�sat $u^{(1)}_t$ a zvolit $\tilde{H}^{(c)}_0$. Dimenze $\tilde{H}_0$ m�liv zejm� na n��st v�, $u^{(1)}_t$ a $\tilde{H}^{(c)}_0$ pak ovliv� kvalitu v�� ��Volba v�eden�mponent algoritmu by m� vych�t z rozboru konkr�� syst�, pro kter��oritmus SIDPS implementov�
351\end{document}
Note: See TracBrowser for help on using the browser.