root/applications/dual/SIDP/text/ch1.tex @ 1105

\section{Formulace z�adn�lohy stochastick� ��

\subsection{Syst�a jeho popis}
�t�m pojmem v teorii ��e syst� Syst�je �t sv�, kterou chceme poznat ��. Ovliv�n�yst�, a� u� za �m jeho lep�� pozn�, �za �m ��prov�me pomoc�stup�d�ch z�h�
Ve v�in�����lohy stochastick� ��rov�no numericky, je proto ��racovat s diskr���em.  Budeme-li proto uva�ovat diskr��ovahu �u, stav syst� v �ov�okam�iku $t$ pod�kone�ho horizontu d�y $N$ popisuje soustava rovnic
\begin{equation}
\label{sys}
x_{t+1}=f_k(x_t,u_t,w_t), \qquad t=0,1,\ldots,N-1,
\end{equation}
kde $x_t$ je stav syst� v �e $t$, $u_t$ je ���h v �e $t$ a $w_t$ n�dn�eli�a reprezentuj� p�nost �umu. Zde p�kl�me, �e tvar rovnic $f_t$ je n�zn� nap�d z fyzik�� rozboru �, �ze znalosti konstrukce stroje, kter�sujeme. D� p�kl�me, �e  stav syst� m� p�pozorovat. P�em ne�ho pozorov� se zab�sleduj� kapitola. 

\subsection{Ztr�v�unkce a optim���n�
C�m je pro zadan��\eqref{sys} navrhnout ��kter�ude syst�udr�ovat co nejbl�  po�adovaneho stavu. Pro tyto � m� v � �� dispozici p�sanou ztr�vou (resp. �vou) funkci
\begin{equation}
g(x_{1:N},u_{0:N-1}),
\end{equation}
kter�r�e nakolik jsme vyty��l��i.

Ozna� $U(x_t)$ nepr�nou mno�inu p�tn�d�ch z�h� syst�nachazej� se ve stavu $x_t$. P�tnou ��trategi�\pi=\mu_{0:N-1}$ budeme rozum�posloupnost zobrazen�\begin{equation}
\label{con}
\mu_t(x_t)=u_t \, \qquad t=0,1,\ldots,N-1,
\end{equation}
kde $\mu_t(x_t)=u_t  \in U(x_t)$ je p�tn�c��h. Nepr�n�no�ina $\Pi$ pak bude zna� mno�inu v�ech p�tn�d�ch strategi�

Pro danou ��trategii ozna� o��nou ztr� jako
\begin{equation}
\label{los}
J_\pi(x_0)=\E_{w_{0:N-1}}\left\{g(x_{1:N},\mu_{0:N-1}(x_{0:N-1}))\right\}.
\end{equation}

�ohou je potom naj�takovou $\pi^*$, pro kterou plat�\begin{equation}
J_{\pi^*}(x_0)=\min_{\pi \in \Pi}J_\pi(x_0).
\end{equation}

Celkov�e tedy jedn� optimaliza� � nal� takovou posloupnost funkc�eqref{con}, kter�inimalizuje o��nou ztr�vu \eqref{los} za podm�k \eqref{sys}.

\section{�oha stochastick� �� aditivn�tr�u}
�ohu stochastick� ��ak, jak byla definov� v p�oz��i, nelze obecn�e�it. Je tedy pot�� n�k bl� specifikovat.
\subsection{Aditivn�tr�v�unkce}
Jako vhodn�e ukazuje omezit se na n�k�i��var ztr�v�unkce \eqref{los}. Budeme proto d� uva�ovat tzv. aditivn�var ztr�v�unkce, tedy �e existuj�unkce $g_t$ takov��e m� ps�
\begin{equation}
\label{adi}
g(x_{1:N},u_{0:N-1})=\sum_{t=1}^{N-1}g_t(x_{t+1},u_t).
\end{equation}

O��nou ztr� \eqref{los} potom m� p�t do tvaru
\begin{equation}
\label{ex}
J_\pi(x_0)=\E_{w_{0:N-1}}\left\{\sum_{t=0}^{N-1}g_t(x_{t+1},\mu_t(x_t))\right\}.
\end{equation}

\subsection{Dynamick�rogramov�}
Takto specifikovan�loha stochastick� ��e d�e�it pou�it�dynamick� programov� \cite{bellman1957dynamic}. Dynamick�rogramov� je p�p k ��ptimaliza�ch � na kter�e m� d�t jako na posloupnost rozhodnut�pro kter�lat�zv. princip optimality.  Ten � �e optim��osloupnost rozhodnut��u vlastnost, �e pro libovoln�te� stav a rozhudnut�us��chna n�eduj� rozhodnut�ptim��zhledem k v��zhodnut�rvn�.

Platnost principu optimality pro o��nou ztr� tvaru \eqref{ex} je intuitivn�nadno pochopiteln�Pokud by toti� n�k� ��trategie nebyl optim��pak o��nou ztr� sn�me p�dem ke strategii, ve kter�nu neoptim��� nahrad� optim����podprobl� na dan��. P� d�platnosti principu optimality pro o��nou ztr� tvaru \eqref{ex} lze nal� nap�d v \cite{bertsekas1995dynamic}.

\subsection{Pou�it�ynamick� programov� p��en�lohy stochastick� �� aditivn�tr�u}
P��en�lohy stochastick� �� aditivn�tr�u je mo�n�ostupovat, jak je u ���moc�ynamick� programov� zvykem. Ze t�o �m ozna� $J_t(x_t)$ minim��odnotu st� ztr� od okam�iku $t$ do $N$ v z�slosti na $x_t$. Dle \eqref{ex} pro ni m� ps�
\begin{gather}
J_N(x_N)=0\\
J_t(x_t)=\min_{u_t \in U(x_t)}\E_{w_t}\left\{g_k(x_{t+1},u_t)+J_{t+1}(x_{t+1})\right\} \qquad t=0,\ldots,N-1.
\end{gather}

P�nstrukci optim���c�trategie budeme postupovat od konce �� horizontu a postupn�ledat $J_t(x_t)$. Pro v� $x_{t+1}$ se pou�ije rovnice \eqref{sys}. 
Libovoln��c�trategie $\pi=\{\mu_0,\ldots,\mu_{N-1}\}$, kter�pl� syst�rovnic
\begin{equation}
\label{impl}
J_t(x_t)=\E_{w_t}\left\{g_k(x_t,\mu_t(x_t),w_t)+J_{t+1}(f_t(x_t,\mu_t(x_t),w_t))\right\} \qquad t=0,\ldots,N-1
\end{equation}
pak bude optim��osloupnost�ozhodnut�