[1286] | 1 | #LyX 1.6.7 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ |
---|
| 2 | \lyxformat 345 |
---|
| 3 | \begin_document |
---|
| 4 | \begin_header |
---|
| 5 | \textclass article |
---|
| 6 | \use_default_options true |
---|
| 7 | \language english |
---|
| 8 | \inputencoding auto |
---|
| 9 | \font_roman default |
---|
| 10 | \font_sans default |
---|
| 11 | \font_typewriter default |
---|
| 12 | \font_default_family default |
---|
| 13 | \font_sc false |
---|
| 14 | \font_osf false |
---|
| 15 | \font_sf_scale 100 |
---|
| 16 | \font_tt_scale 100 |
---|
| 17 | |
---|
| 18 | \graphics default |
---|
| 19 | \paperfontsize default |
---|
| 20 | \use_hyperref false |
---|
| 21 | \papersize default |
---|
| 22 | \use_geometry false |
---|
| 23 | \use_amsmath 1 |
---|
| 24 | \use_esint 1 |
---|
| 25 | \cite_engine basic |
---|
| 26 | \use_bibtopic false |
---|
| 27 | \paperorientation portrait |
---|
| 28 | \secnumdepth 3 |
---|
| 29 | \tocdepth 3 |
---|
| 30 | \paragraph_separation indent |
---|
| 31 | \defskip medskip |
---|
| 32 | \quotes_language english |
---|
| 33 | \papercolumns 1 |
---|
| 34 | \papersides 1 |
---|
| 35 | \paperpagestyle default |
---|
| 36 | \tracking_changes false |
---|
| 37 | \output_changes false |
---|
| 38 | \author "" |
---|
| 39 | \author "" |
---|
| 40 | \end_header |
---|
| 41 | |
---|
| 42 | \begin_body |
---|
| 43 | |
---|
| 44 | \begin_layout Title |
---|
| 45 | PMSM rovnice |
---|
| 46 | \end_layout |
---|
| 47 | |
---|
| 48 | \begin_layout Subsection* |
---|
| 49 | Odvození rovnic do |
---|
| 50 | \begin_inset Formula $dq$ |
---|
| 51 | \end_inset |
---|
| 52 | |
---|
| 53 | soustavy |
---|
| 54 | \end_layout |
---|
| 55 | |
---|
| 56 | \begin_layout Standard |
---|
| 57 | Rovnici pro napětí v obvodu statoru synchroního stroje lze zapsat jako |
---|
| 58 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 59 | u_{s}=R_{s}i_{s}+u_{i},\] |
---|
| 60 | |
---|
| 61 | \end_inset |
---|
| 62 | |
---|
| 63 | tedy součet napětí v obvodu (Ohmův zákon) a indukovaného napětí, přičemž |
---|
| 64 | veličiny jsou uvažovány komplexní. |
---|
| 65 | Vyjáříme-li indukované napětí, jako změnu toku v čase (Faradayův zákon |
---|
| 66 | elektromagnetické indukce) přejde rovnice na tvar |
---|
| 67 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 68 | u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}.\] |
---|
| 69 | |
---|
| 70 | \end_inset |
---|
| 71 | |
---|
| 72 | Pro přechod do rotujícího souřadného systému předpokládáme obecně rotaci |
---|
| 73 | o úhel |
---|
| 74 | \begin_inset Formula $\varepsilon$ |
---|
| 75 | \end_inset |
---|
| 76 | |
---|
| 77 | , kterou provedeme vynásobením všech veličin operátorem rotace v komplexních |
---|
| 78 | číslech |
---|
| 79 | \begin_inset Formula $e^{j\varepsilon}$ |
---|
| 80 | \end_inset |
---|
| 81 | |
---|
| 82 | , kde |
---|
| 83 | \begin_inset Formula $j$ |
---|
| 84 | \end_inset |
---|
| 85 | |
---|
| 86 | značí komplexní jednotku. |
---|
| 87 | Tedy |
---|
| 88 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 89 | u_{s}e^{j\varepsilon} & = & R_{s}i_{s}e^{j\varepsilon}+\frac{d(\psi_{s}e^{j\varepsilon})}{dt},\\ |
---|
| 90 | u_{s}e^{j\varepsilon} & \text{=} & R_{s}i_{s}e^{j\varepsilon}+\frac{d\psi_{s}}{dt}e^{j\varepsilon}+\psi_{s}j\omega_{\varepsilon}e^{j\varepsilon},\\ |
---|
| 91 | u_{s} & \text{=} & R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}+\psi_{s}j\omega_{\varepsilon},\end{eqnarray*} |
---|
| 92 | |
---|
| 93 | \end_inset |
---|
| 94 | |
---|
| 95 | kde symbol |
---|
| 96 | \begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}$ |
---|
| 97 | \end_inset |
---|
| 98 | |
---|
| 99 | označuje úhlovou rychlost -- změnu úhlu |
---|
| 100 | \begin_inset Formula $\varepsilon$ |
---|
| 101 | \end_inset |
---|
| 102 | |
---|
| 103 | , jedná se tedy o derivaci |
---|
| 104 | \begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}=\frac{d\varepsilon}{dt}$ |
---|
| 105 | \end_inset |
---|
| 106 | |
---|
| 107 | . |
---|
| 108 | Tato úhlová rychlost |
---|
| 109 | \begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}$ |
---|
| 110 | \end_inset |
---|
| 111 | |
---|
| 112 | odpovídá elektrickým otáčkám |
---|
| 113 | \begin_inset Formula $\omega_{el}$ |
---|
| 114 | \end_inset |
---|
| 115 | |
---|
| 116 | a lze ji přepočíst na mechanické otáčky pomocí vztahu |
---|
| 117 | \begin_inset Formula $\omega_{el}=p_{p}\omega_{m},$ |
---|
| 118 | \end_inset |
---|
| 119 | |
---|
| 120 | kde |
---|
| 121 | \begin_inset Formula $p_{p}$ |
---|
| 122 | \end_inset |
---|
| 123 | |
---|
| 124 | je počet párů polů rotoru a |
---|
| 125 | \begin_inset Formula $\omega_{m}$ |
---|
| 126 | \end_inset |
---|
| 127 | |
---|
| 128 | mechanické otáčky. |
---|
| 129 | Když pro jednoduchost předpokládáme počet párů polů roven 1, je |
---|
| 130 | \begin_inset Formula $\omega_{e}=\omega_{m}$ |
---|
| 131 | \end_inset |
---|
| 132 | |
---|
| 133 | . |
---|
| 134 | \end_layout |
---|
| 135 | |
---|
| 136 | \begin_layout Standard |
---|
| 137 | Nyní můžeme přejít k rovnicím v souřadném systému |
---|
| 138 | \begin_inset Formula $dq$ |
---|
| 139 | \end_inset |
---|
| 140 | |
---|
| 141 | , který je natočen oproti souřadnému systému statoru ( |
---|
| 142 | \begin_inset Formula $\alpha\beta$ |
---|
| 143 | \end_inset |
---|
| 144 | |
---|
| 145 | ) o úhel |
---|
| 146 | \begin_inset Formula $\varepsilon=\vartheta$ |
---|
| 147 | \end_inset |
---|
| 148 | |
---|
| 149 | a otáčí se rychlostí |
---|
| 150 | \begin_inset Formula $\omega_{m}$ |
---|
| 151 | \end_inset |
---|
| 152 | |
---|
| 153 | . |
---|
| 154 | Osa magnetického toku rotoru je osou |
---|
| 155 | \begin_inset Formula $d$ |
---|
| 156 | \end_inset |
---|
| 157 | |
---|
| 158 | a v tomto směru uvažujeme reálnou složku komplexních veličin, osa |
---|
| 159 | \begin_inset Formula $q$ |
---|
| 160 | \end_inset |
---|
| 161 | |
---|
| 162 | je pak na ní kolmá a bude reprezentovat složku imaginární. |
---|
| 163 | Dostáváme tedy |
---|
| 164 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 165 | u_{d}+ju_{q}\text{=}R_{s}\left(i_{d}+ji_{q}\right)+\frac{d\left(\psi_{d}+j\psi_{q}\right)}{dt}+\left(\psi_{d}+j\psi_{q}\right)j\omega_{m},\] |
---|
| 166 | |
---|
| 167 | \end_inset |
---|
| 168 | |
---|
| 169 | což při rozepsání po složkách (reálná a imaginární) vede na rovnice |
---|
| 170 | \end_layout |
---|
| 171 | |
---|
| 172 | \begin_layout Standard |
---|
| 173 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 174 | u_{d} & = & R_{s}i_{d}+\frac{d\psi_{d}}{dt}-\omega_{m}\psi_{q},\\ |
---|
| 175 | u_{q} & = & R_{s}i_{q}+\frac{d\psi_{q}}{dt}+\omega_{m}\psi_{d}.\end{eqnarray*} |
---|
| 176 | |
---|
| 177 | \end_inset |
---|
| 178 | |
---|
| 179 | Dále uvažujme vztahy pro magnetické toky |
---|
| 180 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 181 | \psi_{d} & = & L_{d}i_{d}+\psi_{pm},\\ |
---|
| 182 | \psi_{q} & = & L_{q}i_{q}.\end{eqnarray*} |
---|
| 183 | |
---|
| 184 | \end_inset |
---|
| 185 | |
---|
| 186 | My ovšem položíme |
---|
| 187 | \begin_inset Formula $L_{d}=L_{q}=L_{s}$ |
---|
| 188 | \end_inset |
---|
| 189 | |
---|
| 190 | a po dosazení dostaneme rovnice |
---|
| 191 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 192 | u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{s}\frac{di_{d}}{dt}-\omega_{m}L_{s}i_{q},\\ |
---|
| 193 | u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{s}\frac{di_{q}}{dt}+\omega_{m}L_{s}i_{d}+\omega_{m}\psi_{pm}.\end{eqnarray*} |
---|
| 194 | |
---|
| 195 | \end_inset |
---|
| 196 | |
---|
| 197 | Vydělení |
---|
| 198 | \begin_inset Formula $L_{s}$ |
---|
| 199 | \end_inset |
---|
| 200 | |
---|
| 201 | pak vede na tvar |
---|
| 202 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 203 | \frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}+\omega_{m}i_{q}+\frac{u_{d}}{L_{s}},\\ |
---|
| 204 | \frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{m}-\omega_{m}i_{d}+\frac{u_{q}}{L_{s}}.\end{eqnarray*} |
---|
| 205 | |
---|
| 206 | \end_inset |
---|
| 207 | |
---|
| 208 | Toto vyjádření je shodné s tím, které dostaneme následně. |
---|
| 209 | \end_layout |
---|
| 210 | |
---|
| 211 | \begin_layout Subsection* |
---|
| 212 | Odvození rovnic do |
---|
| 213 | \begin_inset Formula $\alpha\beta$ |
---|
| 214 | \end_inset |
---|
| 215 | |
---|
| 216 | soustavy |
---|
| 217 | \end_layout |
---|
| 218 | |
---|
| 219 | \begin_layout Standard |
---|
| 220 | Opět vyjdeme z rovnice |
---|
| 221 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 222 | u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}.\] |
---|
| 223 | |
---|
| 224 | \end_inset |
---|
| 225 | |
---|
| 226 | Magnetický tok |
---|
| 227 | \begin_inset Formula $\psi_{s}$ |
---|
| 228 | \end_inset |
---|
| 229 | |
---|
| 230 | vyjádříme jako tok vytvořený cívkami statoru a dále přičteme tok permanentních |
---|
| 231 | magnetů, je však třeba uvažovat, že rotor obsahující permanentní magnety |
---|
| 232 | je natočen obecně pod úhlem |
---|
| 233 | \begin_inset Formula $\vartheta$ |
---|
| 234 | \end_inset |
---|
| 235 | |
---|
| 236 | . |
---|
| 237 | Tedy v komplexní rovině lze vyjádřit tok jako |
---|
| 238 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 239 | \psi_{s}=L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}.\] |
---|
| 240 | |
---|
| 241 | \end_inset |
---|
| 242 | |
---|
| 243 | Dosadíme nyní do rovnice a rozepíšeme ji po složkách |
---|
| 244 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 245 | u_{s} & = & R_{s}i_{s}+\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt},\\ |
---|
| 246 | u_{\alpha}+ju_{\beta} & \text{=} & R_{s}\left(i_{\alpha}+ji_{\beta}\right)+\frac{d}{dt}\left(L_{s}\left(i_{\alpha}+ji_{\beta}\right)+\psi_{pm}\left(\cos\vartheta+j\sin\vartheta\right)\right).\end{eqnarray*} |
---|
| 247 | |
---|
| 248 | \end_inset |
---|
| 249 | |
---|
| 250 | Rozepsaní na dvě rovnice je pak následující |
---|
| 251 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 252 | u_{\alpha} & \text{=} & R_{s}i_{\alpha}+L_{s}\frac{di_{\alpha}}{dt}-\frac{d\vartheta}{dt}\psi_{pm}\sin\vartheta,\\ |
---|
| 253 | u_{\beta} & = & R_{s}i_{\beta}+L_{s}\frac{di_{\beta}}{dt}+\frac{d\vartheta}{dt}\psi_{pm}\cos\vartheta.\end{eqnarray*} |
---|
| 254 | |
---|
| 255 | \end_inset |
---|
| 256 | |
---|
| 257 | Vydělíme-li rovnice indukčností |
---|
| 258 | \begin_inset Formula $L_{s}$ |
---|
| 259 | \end_inset |
---|
| 260 | |
---|
| 261 | , vyjádříme z nich derivace proudů a derivace úhlu natočení |
---|
| 262 | \family roman |
---|
| 263 | \series medium |
---|
| 264 | \shape up |
---|
| 265 | \size normal |
---|
| 266 | \emph off |
---|
| 267 | \bar no |
---|
| 268 | \noun off |
---|
| 269 | \color none |
---|
| 270 | označíme jako |
---|
| 271 | \begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}$ |
---|
| 272 | \end_inset |
---|
| 273 | |
---|
| 274 | = |
---|
| 275 | \begin_inset Formula $\omega$ |
---|
| 276 | \end_inset |
---|
| 277 | |
---|
| 278 | úhlovou rychlost dostaneme následující rovnice v souřadné soustavě |
---|
| 279 | \family default |
---|
| 280 | \series default |
---|
| 281 | \shape default |
---|
| 282 | \size default |
---|
| 283 | \emph default |
---|
| 284 | \bar default |
---|
| 285 | \noun default |
---|
| 286 | \color inherit |
---|
| 287 | |
---|
| 288 | \begin_inset Formula $\alpha\beta$ |
---|
| 289 | \end_inset |
---|
| 290 | |
---|
| 291 | : |
---|
| 292 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 293 | \frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}},\\ |
---|
| 294 | \frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}}.\end{eqnarray*} |
---|
| 295 | |
---|
| 296 | \end_inset |
---|
| 297 | |
---|
| 298 | |
---|
| 299 | \end_layout |
---|
| 300 | |
---|
| 301 | \begin_layout Standard |
---|
| 302 | Nyní je ještě třeba přidat další dvě diferenciální rovnice pro otáčky |
---|
| 303 | \begin_inset Formula $\omega$ |
---|
| 304 | \end_inset |
---|
| 305 | |
---|
| 306 | a polohu |
---|
| 307 | \begin_inset Formula $\vartheta$ |
---|
| 308 | \end_inset |
---|
| 309 | |
---|
| 310 | . |
---|
| 311 | Rovnice pro |
---|
| 312 | \begin_inset Formula $\vartheta$ |
---|
| 313 | \end_inset |
---|
| 314 | |
---|
| 315 | je triviální a už byla užita, jedná se o |
---|
| 316 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 317 | \frac{d\vartheta}{dt}=\omega.\] |
---|
| 318 | |
---|
| 319 | \end_inset |
---|
| 320 | |
---|
| 321 | |
---|
| 322 | \end_layout |
---|
| 323 | |
---|
| 324 | \begin_layout Standard |
---|
| 325 | Rovnice pro |
---|
| 326 | \begin_inset Formula $\omega$ |
---|
| 327 | \end_inset |
---|
| 328 | |
---|
| 329 | získáme následovně ze základních zákonů mechaniky: Pro točivý moment (speciální |
---|
| 330 | případ momentu síly pro silovou dvojici, kdy se vektory skládají na nulu, |
---|
| 331 | avšak mají točivý účinek, v anglické literatuře označeno jako |
---|
| 332 | \emph on |
---|
| 333 | torque |
---|
| 334 | \emph default |
---|
| 335 | ) |
---|
| 336 | \emph on |
---|
| 337 | |
---|
| 338 | \emph default |
---|
| 339 | platí obecně vztah |
---|
| 340 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 341 | \tau=\frac{dL}{dt},\] |
---|
| 342 | |
---|
| 343 | \end_inset |
---|
| 344 | |
---|
| 345 | kde |
---|
| 346 | \begin_inset Formula $L$ |
---|
| 347 | \end_inset |
---|
| 348 | |
---|
| 349 | označuje moment hybnosti ( |
---|
| 350 | \emph on |
---|
| 351 | angular momentum |
---|
| 352 | \emph default |
---|
| 353 | ). |
---|
| 354 | Při uvažování působení více točivých momentu momentů pak |
---|
| 355 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 356 | \tau_{1}+\ldots+\tau_{n}=\sum\tau=\frac{dL}{dt}.\] |
---|
| 357 | |
---|
| 358 | \end_inset |
---|
| 359 | |
---|
| 360 | Uvažujeme-li rotaci kolem pevné osy, lze moment hybnosti vyjádřit jako |
---|
| 361 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 362 | L=J\omega_{m},\] |
---|
| 363 | |
---|
| 364 | \end_inset |
---|
| 365 | |
---|
| 366 | kde |
---|
| 367 | \begin_inset Formula $J$ |
---|
| 368 | \end_inset |
---|
| 369 | |
---|
| 370 | označuje moment setrvačnosti ( |
---|
| 371 | \emph on |
---|
| 372 | moment of inertia |
---|
| 373 | \emph default |
---|
| 374 | ) a |
---|
| 375 | \begin_inset Formula $\omega_{m}$ |
---|
| 376 | \end_inset |
---|
| 377 | |
---|
| 378 | je mechanická úhlová rychlost. |
---|
| 379 | Po dosazení tedy |
---|
| 380 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 381 | \sum\tau=\frac{dL}{dt}=\frac{d(J\omega_{m})}{dt}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.\] |
---|
| 382 | |
---|
| 383 | \end_inset |
---|
| 384 | |
---|
| 385 | Točivé momenty |
---|
| 386 | \begin_inset Formula $\sum\tau$ |
---|
| 387 | \end_inset |
---|
| 388 | |
---|
| 389 | jsou: |
---|
| 390 | \end_layout |
---|
| 391 | |
---|
| 392 | \begin_layout Itemize |
---|
| 393 | moment získaný konverzním procesem elektrické energie, který vyjadřuje hlavní |
---|
| 394 | vlastnost točivého stroje, a to právě převod elektrické energie na mechanickou, |
---|
| 395 | tento mement označíme jako |
---|
| 396 | \begin_inset Formula $T_{e}$ |
---|
| 397 | \end_inset |
---|
| 398 | |
---|
| 399 | |
---|
| 400 | \end_layout |
---|
| 401 | |
---|
| 402 | \begin_layout Itemize |
---|
| 403 | zátěžný moment reprezentující zatížení stroje, tedy v podstatě to, co motor |
---|
| 404 | pohání, je však třeba uvažovat, že působí v opačném směru a stroj brzdí, |
---|
| 405 | označíme ho tedy |
---|
| 406 | \begin_inset Formula $-T_{L}$ |
---|
| 407 | \end_inset |
---|
| 408 | |
---|
| 409 | |
---|
| 410 | \end_layout |
---|
| 411 | |
---|
| 412 | \begin_layout Itemize |
---|
| 413 | dále je ještě třeba uvažovat ztráty ve stroji v důsledku tření, tento moment |
---|
| 414 | opět působí v opačném směru a uvažujeme jej lineárně závislý na otáčkách |
---|
| 415 | |
---|
| 416 | \begin_inset Formula $\omega_{m}$ |
---|
| 417 | \end_inset |
---|
| 418 | |
---|
| 419 | , tedy |
---|
| 420 | \begin_inset Formula $-B\omega_{m}$ |
---|
| 421 | \end_inset |
---|
| 422 | |
---|
| 423 | , kde |
---|
| 424 | \begin_inset Formula $B$ |
---|
| 425 | \end_inset |
---|
| 426 | |
---|
| 427 | je koeficient viskozity (tření) |
---|
| 428 | \end_layout |
---|
| 429 | |
---|
| 430 | \begin_layout Standard |
---|
| 431 | Rovnice po dosazení tedy přejde na tvar |
---|
| 432 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 433 | T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.\] |
---|
| 434 | |
---|
| 435 | \end_inset |
---|
| 436 | |
---|
| 437 | Nyní je ještě třeba vyjádřit točívý moment |
---|
| 438 | \begin_inset Formula $T_{e}$ |
---|
| 439 | \end_inset |
---|
| 440 | |
---|
| 441 | na základě elektrických veličin. |
---|
| 442 | Toho lze dosáhnout výpočtem přes okamžitý elektrický výkon, pro trojfázový |
---|
| 443 | systém |
---|
| 444 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 445 | P=u_{a}i_{a}+u_{b}i_{b}+u_{c}i_{c}.\] |
---|
| 446 | |
---|
| 447 | \end_inset |
---|
| 448 | |
---|
| 449 | Po transformaci do systému |
---|
| 450 | \begin_inset Formula $\alpha\beta$ |
---|
| 451 | \end_inset |
---|
| 452 | |
---|
| 453 | získáme vyjádření |
---|
| 454 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 455 | P=u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}.\] |
---|
| 456 | |
---|
| 457 | \end_inset |
---|
| 458 | |
---|
| 459 | Napětí je zde uvažováno indukované |
---|
| 460 | \begin_inset Formula $u_{i}=\frac{d\psi_{s}}{dt}=\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\omega\psi_{pm}e^{j\vartheta}$ |
---|
| 461 | \end_inset |
---|
| 462 | |
---|
| 463 | a z něj využijeme pouze složku bez derivace proudu, protože ta slouží k |
---|
| 464 | tvorbě samotného magnetického pole stroje a ne k tvorbě výkonu, tedy |
---|
| 465 | \begin_inset Formula $\omega\psi_{pm}j(\cos\vartheta+j\sin\vartheta)$ |
---|
| 466 | \end_inset |
---|
| 467 | |
---|
| 468 | . |
---|
| 469 | V systému |
---|
| 470 | \begin_inset Formula $\alpha\beta$ |
---|
| 471 | \end_inset |
---|
| 472 | |
---|
| 473 | získáme vyjádření |
---|
| 474 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 475 | u_{\alpha} & = & -\omega\psi_{pm}\sin\vartheta,\\ |
---|
| 476 | u_{\beta} & = & \omega\psi_{pm}\cos\vartheta,\end{eqnarray*} |
---|
| 477 | |
---|
| 478 | \end_inset |
---|
| 479 | |
---|
| 480 | tedy po dosazení |
---|
| 481 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 482 | P=-i_{\alpha}\omega\psi_{pm}\sin\vartheta+i_{\beta}\omega\psi_{pm}\cos\vartheta.\] |
---|
| 483 | |
---|
| 484 | \end_inset |
---|
| 485 | |
---|
| 486 | Moment |
---|
| 487 | \begin_inset Formula $T_{e}$ |
---|
| 488 | \end_inset |
---|
| 489 | |
---|
| 490 | lze pak určit ze vztahu |
---|
| 491 | \begin_inset Formula $P=\omega_{m}T_{e}$ |
---|
| 492 | \end_inset |
---|
| 493 | |
---|
| 494 | a tedy |
---|
| 495 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 496 | T_{e}=\frac{P}{\omega_{m}}=\frac{i_{\beta}\omega\psi_{pm}\cos\vartheta-i_{\alpha}\omega\psi_{pm}\sin\vartheta}{\omega_{m}}=p_{p}\psi_{pm}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right),\] |
---|
| 497 | |
---|
| 498 | \end_inset |
---|
| 499 | |
---|
| 500 | kde jsme využili vztahu |
---|
| 501 | \begin_inset Formula $\frac{\omega}{\omega_{m}}=p_{p}$ |
---|
| 502 | \end_inset |
---|
| 503 | |
---|
| 504 | . |
---|
| 505 | \end_layout |
---|
| 506 | |
---|
| 507 | \begin_layout Standard |
---|
| 508 | Dosazení do rovnice pro momenty pak vede na tvar |
---|
| 509 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 510 | p_{p}\psi_{pm}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.\] |
---|
| 511 | |
---|
| 512 | \end_inset |
---|
| 513 | |
---|
| 514 | Ještě je třeba upravit rovnici tak, aby v ní nevystupovaly mechanické otáčky |
---|
| 515 | |
---|
| 516 | \begin_inset Formula $\omega_{m}$ |
---|
| 517 | \end_inset |
---|
| 518 | |
---|
| 519 | , ale otáčky elektrické |
---|
| 520 | \begin_inset Formula $\omega$ |
---|
| 521 | \end_inset |
---|
| 522 | |
---|
| 523 | . |
---|
| 524 | Toho je možno snadno dosáhnout násobením celé rovnice |
---|
| 525 | \begin_inset Formula $p_{p}$ |
---|
| 526 | \end_inset |
---|
| 527 | |
---|
| 528 | . |
---|
| 529 | Rovnici ještě vydělíme momentem setrvačnosti |
---|
| 530 | \begin_inset Formula $J$ |
---|
| 531 | \end_inset |
---|
| 532 | |
---|
| 533 | a získáme tvar |
---|
| 534 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 535 | \frac{d\omega}{dt}=\frac{p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{T_{L}p_{p}}{J}-\frac{B}{J}\omega.\] |
---|
| 536 | |
---|
| 537 | \end_inset |
---|
| 538 | |
---|
| 539 | Tedy máme poslední rovnici následující soustavy: |
---|
| 540 | \end_layout |
---|
| 541 | |
---|
| 542 | \begin_layout Standard |
---|
| 543 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 544 | \frac{di_{\alpha}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}}\\ |
---|
| 545 | \frac{di_{\beta}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}}\\ |
---|
| 546 | \frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\\ |
---|
| 547 | \frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega\end{eqnarray*} |
---|
| 548 | |
---|
| 549 | \end_inset |
---|
| 550 | |
---|
| 551 | kde je ještě navíc |
---|
| 552 | \series bold |
---|
| 553 | \shape italic |
---|
| 554 | \color red |
---|
| 555 | Parkova konstanta |
---|
| 556 | \series default |
---|
| 557 | \shape default |
---|
| 558 | \color inherit |
---|
| 559 | |
---|
| 560 | \begin_inset Formula $k_{p}$ |
---|
| 561 | \end_inset |
---|
| 562 | |
---|
| 563 | , která nevím, co znamená. |
---|
| 564 | \end_layout |
---|
| 565 | |
---|
| 566 | \begin_layout Subsection* |
---|
| 567 | Diskretizace |
---|
| 568 | \end_layout |
---|
| 569 | |
---|
| 570 | \begin_layout Standard |
---|
| 571 | Diskretizací pomocí Eulerovy metody s časovým krokem |
---|
| 572 | \begin_inset Formula $\Delta t$ |
---|
| 573 | \end_inset |
---|
| 574 | |
---|
| 575 | získáme následující diskrétní rovnice: |
---|
| 576 | \end_layout |
---|
| 577 | |
---|
| 578 | \begin_layout Standard |
---|
| 579 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 580 | i_{\alpha,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\alpha,t}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{u_{\alpha,t}}{L_{s}}\\ |
---|
| 581 | i_{\beta,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\beta,t}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+\frac{u_{\beta,t}}{L_{s}}\\ |
---|
| 582 | \omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t\\ |
---|
| 583 | \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t\end{eqnarray*} |
---|
| 584 | |
---|
| 585 | \end_inset |
---|
| 586 | |
---|
| 587 | |
---|
| 588 | \end_layout |
---|
| 589 | |
---|
| 590 | \begin_layout Subsection* |
---|
| 591 | Rotace do |
---|
| 592 | \begin_inset Formula $dq$ |
---|
| 593 | \end_inset |
---|
| 594 | |
---|
| 595 | |
---|
| 596 | \end_layout |
---|
| 597 | |
---|
| 598 | \begin_layout Standard |
---|
| 599 | Převod do rotující souřadné soustavy |
---|
| 600 | \begin_inset Formula $dq$ |
---|
| 601 | \end_inset |
---|
| 602 | |
---|
| 603 | pootočené o úhel |
---|
| 604 | \begin_inset Formula $\vartheta$ |
---|
| 605 | \end_inset |
---|
| 606 | |
---|
| 607 | a rotojící rychlostí |
---|
| 608 | \begin_inset Formula $\omega$ |
---|
| 609 | \end_inset |
---|
| 610 | |
---|
| 611 | : |
---|
| 612 | \begin_inset Formula \[ |
---|
| 613 | \left[\begin{array}{c} |
---|
| 614 | x_{d}\\ |
---|
| 615 | x_{q}\end{array}\right]\text{=}\left[\begin{array}{cc} |
---|
| 616 | \cos\vartheta & \sin\vartheta\\ |
---|
| 617 | -\sin\vartheta & \cos\vartheta\end{array}\right]\left[\begin{array}{c} |
---|
| 618 | x_{\alpha}\\ |
---|
| 619 | x_{\beta}\end{array}\right]\] |
---|
| 620 | |
---|
| 621 | \end_inset |
---|
| 622 | |
---|
| 623 | |
---|
| 624 | \end_layout |
---|
| 625 | |
---|
| 626 | \begin_layout Standard |
---|
| 627 | (nebo stejného efektu lze dosáhnout i použítím komplexních souřadnic a zápisem |
---|
| 628 | |
---|
| 629 | \begin_inset Formula $x_{dq}=e^{j\vartheta}x_{\alpha\beta}$ |
---|
| 630 | \end_inset |
---|
| 631 | |
---|
| 632 | , jako v odvození rovnic rovnou do tvaru v |
---|
| 633 | \begin_inset Formula $dq$ |
---|
| 634 | \end_inset |
---|
| 635 | |
---|
| 636 | souřadnicích) |
---|
| 637 | \end_layout |
---|
| 638 | |
---|
| 639 | \begin_layout Standard |
---|
| 640 | následně tedy |
---|
| 641 | \begin_inset Formula \begin{alignat*}{2} |
---|
| 642 | i_{d} & = & i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta\\ |
---|
| 643 | i_{q} & = & i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\end{alignat*} |
---|
| 644 | |
---|
| 645 | \end_inset |
---|
| 646 | |
---|
| 647 | |
---|
| 648 | \end_layout |
---|
| 649 | |
---|
| 650 | \begin_layout Standard |
---|
| 651 | a analogicky pro |
---|
| 652 | \begin_inset Formula $u$ |
---|
| 653 | \end_inset |
---|
| 654 | |
---|
| 655 | ; naopak pro opačný směr transformace |
---|
| 656 | \end_layout |
---|
| 657 | |
---|
| 658 | \begin_layout Standard |
---|
| 659 | \begin_inset Formula \begin{alignat*}{2} |
---|
| 660 | i_{\alpha} & = & i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\\ |
---|
| 661 | i_{\beta} & = & i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta\end{alignat*} |
---|
| 662 | |
---|
| 663 | \end_inset |
---|
| 664 | |
---|
| 665 | |
---|
| 666 | \end_layout |
---|
| 667 | |
---|
| 668 | \begin_layout Standard |
---|
| 669 | a opět anoalogicky pro |
---|
| 670 | \begin_inset Formula $u$ |
---|
| 671 | \end_inset |
---|
| 672 | |
---|
| 673 | , což po dosazení do původních diferenciálních rovnic vede na |
---|
| 674 | \end_layout |
---|
| 675 | |
---|
| 676 | \begin_layout Standard |
---|
| 677 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 678 | \frac{d(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta)}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta)+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta}{L_{s}}\\ |
---|
| 679 | \frac{d(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta)}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta)-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta}{L_{s}}\\ |
---|
| 680 | \frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{q}\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\\ |
---|
| 681 | \frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega\end{eqnarray*} |
---|
| 682 | |
---|
| 683 | \end_inset |
---|
| 684 | |
---|
| 685 | |
---|
| 686 | \end_layout |
---|
| 687 | |
---|
| 688 | \begin_layout Standard |
---|
| 689 | ve třetí rovnici rovnou dosadíme |
---|
| 690 | \begin_inset Formula $i_{q}$ |
---|
| 691 | \end_inset |
---|
| 692 | |
---|
| 693 | , čtvrtá se nemění a z prvních dvou vyjádříme rovnice pro proudy a napětí |
---|
| 694 | v |
---|
| 695 | \begin_inset Formula $d$ |
---|
| 696 | \end_inset |
---|
| 697 | |
---|
| 698 | a |
---|
| 699 | \begin_inset Formula $q$ |
---|
| 700 | \end_inset |
---|
| 701 | |
---|
| 702 | , například tak, že první rovnici násobíme |
---|
| 703 | \begin_inset Formula $\cos\vartheta$ |
---|
| 704 | \end_inset |
---|
| 705 | |
---|
| 706 | a sečteme s druhou násobenou |
---|
| 707 | \begin_inset Formula $\sin\vartheta$ |
---|
| 708 | \end_inset |
---|
| 709 | |
---|
| 710 | , dále pak první rovnici násobenou |
---|
| 711 | \begin_inset Formula $-\sin\vartheta$ |
---|
| 712 | \end_inset |
---|
| 713 | |
---|
| 714 | sečteme s druhou násobenou |
---|
| 715 | \begin_inset Formula $\cos\vartheta$ |
---|
| 716 | \end_inset |
---|
| 717 | |
---|
| 718 | , tento postup vede na rovnice |
---|
| 719 | \end_layout |
---|
| 720 | |
---|
| 721 | \begin_layout Standard |
---|
| 722 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 723 | \frac{di_{d}}{dt}-i_{q}\omega & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}+\frac{u_{d}}{L_{s}}\\ |
---|
| 724 | \frac{di_{q}}{dt}+i_{d}\omega & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega+\frac{u_{q}}{L_{s}}\\ |
---|
| 725 | \frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q}-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\\ |
---|
| 726 | \frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega\end{eqnarray*} |
---|
| 727 | |
---|
| 728 | \end_inset |
---|
| 729 | |
---|
| 730 | |
---|
| 731 | \end_layout |
---|
| 732 | |
---|
| 733 | \begin_layout Standard |
---|
| 734 | otázkou je co se členy |
---|
| 735 | \begin_inset Formula $-i_{q}\omega$ |
---|
| 736 | \end_inset |
---|
| 737 | |
---|
| 738 | a |
---|
| 739 | \begin_inset Formula $i_{d}\omega$ |
---|
| 740 | \end_inset |
---|
| 741 | |
---|
| 742 | na levé straně první a druhé rovnice, protože když bychom nejdříve provedli |
---|
| 743 | diskretizaci a až následně převod do |
---|
| 744 | \begin_inset Formula $dq$ |
---|
| 745 | \end_inset |
---|
| 746 | |
---|
| 747 | souřadnic, tyto členy zřejmě nevzniknou, nevzniknou také, když soustavu |
---|
| 748 | |
---|
| 749 | \begin_inset Formula $dq$ |
---|
| 750 | \end_inset |
---|
| 751 | |
---|
| 752 | definujeme ne jako pootočenou o |
---|
| 753 | \begin_inset Formula $\vartheta$ |
---|
| 754 | \end_inset |
---|
| 755 | |
---|
| 756 | , ale jako soustavu pootočenou o nějaké konstantní |
---|
| 757 | \begin_inset Formula $\varepsilon$ |
---|
| 758 | \end_inset |
---|
| 759 | |
---|
| 760 | , proto se bude vhodné |
---|
| 761 | \series bold |
---|
| 762 | \shape italic |
---|
| 763 | \color red |
---|
| 764 | otestovat |
---|
| 765 | \series default |
---|
| 766 | \shape default |
---|
| 767 | \color inherit |
---|
| 768 | , jaký je vliv těchto členů |
---|
| 769 | \end_layout |
---|
| 770 | |
---|
| 771 | \begin_layout Standard |
---|
| 772 | diskretizovaná verze rovnic v |
---|
| 773 | \begin_inset Formula $dq$ |
---|
| 774 | \end_inset |
---|
| 775 | |
---|
| 776 | je tedy |
---|
| 777 | \end_layout |
---|
| 778 | |
---|
| 779 | \begin_layout Standard |
---|
| 780 | \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} |
---|
| 781 | i_{d,t+1}+{\color{red}\left(-i_{q,t}\omega_{t}\right)} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{d,t}+\frac{u_{d,t}}{L_{s}}\\ |
---|
| 782 | i_{q,t+1}+{\color{red}\left(i_{d,t}\omega_{t}\right)} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{q,t}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{t}+\frac{u_{q,t}}{L_{s}}\\ |
---|
| 783 | \omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q,t}-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t\\ |
---|
| 784 | \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t\end{eqnarray*} |
---|
| 785 | |
---|
| 786 | \end_inset |
---|
| 787 | |
---|
| 788 | |
---|
| 789 | \end_layout |
---|
| 790 | |
---|
| 791 | \begin_layout Standard |
---|
| 792 | |
---|
| 793 | \series bold |
---|
| 794 | Vliv červených členů: |
---|
| 795 | \series default |
---|
| 796 | testováno na simulátoru, který s nimi ale asi nepočítá a tedy je výsledek |
---|
| 797 | špatný, dost se to rozkmitá (i když to teda drtží tvar křivky), řídící |
---|
| 798 | napětí jde na dorazy, prostě je to špatný, jak by to běželo na skutečném |
---|
| 799 | motoru je otázka |
---|
| 800 | \end_layout |
---|
| 801 | |
---|
| 802 | \end_body |
---|
| 803 | \end_document |
---|