root/applications/dual/VYZ/pmsm_rovnice.lyx @ 1319

Revision 1296, 24.1 kB (checked in by vahalam, 14 years ago)
Line 
1#LyX 1.6.7 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
2\lyxformat 345
3\begin_document
4\begin_header
5\textclass article
6\use_default_options true
7\language english
8\inputencoding auto
9\font_roman default
10\font_sans default
11\font_typewriter default
12\font_default_family default
13\font_sc false
14\font_osf false
15\font_sf_scale 100
16\font_tt_scale 100
17
18\graphics default
19\paperfontsize default
20\use_hyperref false
21\papersize default
22\use_geometry false
23\use_amsmath 1
24\use_esint 1
25\cite_engine basic
26\use_bibtopic false
27\paperorientation portrait
28\secnumdepth 3
29\tocdepth 3
30\paragraph_separation indent
31\defskip medskip
32\quotes_language english
33\papercolumns 1
34\papersides 1
35\paperpagestyle default
36\tracking_changes false
37\output_changes false
38\author ""
39\author ""
40\end_header
41
42\begin_body
43
44\begin_layout Title
45PMSM rovnice
46\end_layout
47
48\begin_layout Subsection*
49Odvození rovnic do
50\begin_inset Formula $dq$
51\end_inset
52
53 soustavy
54\end_layout
55
56\begin_layout Standard
57Rovnici pro napětí v obvodu statoru synchroního stroje lze zapsat jako
58\begin_inset Formula \[
59u_{s}=R_{s}i_{s}+u_{i},\]
60
61\end_inset
62
63tedy součet napětí v obvodu (Ohmův zákon) a indukovaného napětí, přičemž
64 veličiny jsou uvažovány komplexní.
65 Vyjáříme-li indukované napětí, jako změnu toku v čase (Faradayův zákon
66 elektromagnetické indukce) přejde rovnice na tvar
67\begin_inset Formula \[
68u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}.\]
69
70\end_inset
71
72Pro přechod do rotujícího souřadného systému předpokládáme obecně rotaci
73 o úhel
74\begin_inset Formula $\varepsilon$
75\end_inset
76
77, kterou provedeme vynásobením všech veličin operátorem rotace v komplexních
78 číslech
79\begin_inset Formula $e^{j\varepsilon}$
80\end_inset
81
82, kde
83\begin_inset Formula $j$
84\end_inset
85
86 značí komplexní jednotku.
87 Tedy
88\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
89u_{s}e^{j\varepsilon} & = & R_{s}i_{s}e^{j\varepsilon}+\frac{d(\psi_{s}e^{j\varepsilon})}{dt},\\
90u_{s}e^{j\varepsilon} & \text{=} & R_{s}i_{s}e^{j\varepsilon}+\frac{d\psi_{s}}{dt}e^{j\varepsilon}+\psi_{s}j\omega_{\varepsilon}e^{j\varepsilon},\\
91u_{s} & \text{=} & R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}+\psi_{s}j\omega_{\varepsilon},\end{eqnarray*}
92
93\end_inset
94
95kde symbol
96\begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}$
97\end_inset
98
99 označuje úhlovou rychlost -- změnu úhlu
100\begin_inset Formula $\varepsilon$
101\end_inset
102
103, jedná se tedy o derivaci
104\begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}=\frac{d\varepsilon}{dt}$
105\end_inset
106
107.
108 Tato úhlová rychlost
109\begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}$
110\end_inset
111
112 odpovídá elektrickým otáčkám
113\begin_inset Formula $\omega_{el}$
114\end_inset
115
116 a lze ji přepočíst na mechanické otáčky pomocí vztahu
117\begin_inset Formula $\omega_{el}=p_{p}\omega_{m},$
118\end_inset
119
120 kde
121\begin_inset Formula $p_{p}$
122\end_inset
123
124 je počet párů polů rotoru a
125\begin_inset Formula $\omega_{m}$
126\end_inset
127
128 mechanické otáčky.
129 Když pro jednoduchost předpokládáme počet párů polů roven 1, je
130\begin_inset Formula $\omega_{e}=\omega_{m}$
131\end_inset
132
133.
134\end_layout
135
136\begin_layout Standard
137Nyní můžeme přejít k rovnicím v souřadném systému
138\begin_inset Formula $dq$
139\end_inset
140
141, který je natočen oproti souřadnému systému statoru (
142\begin_inset Formula $\alpha\beta$
143\end_inset
144
145) o úhel
146\begin_inset Formula $\varepsilon=\vartheta$
147\end_inset
148
149 a otáčí se rychlostí
150\begin_inset Formula $\omega_{m}$
151\end_inset
152
153.
154 Osa magnetického toku rotoru je osou
155\begin_inset Formula $d$
156\end_inset
157
158 a v tomto směru uvažujeme reálnou složku komplexních veličin, osa
159\begin_inset Formula $q$
160\end_inset
161
162 je pak na ní kolmá a bude reprezentovat složku imaginární.
163 Dostáváme tedy
164\begin_inset Formula \[
165u_{d}+ju_{q}\text{=}R_{s}\left(i_{d}+ji_{q}\right)+\frac{d\left(\psi_{d}+j\psi_{q}\right)}{dt}+\left(\psi_{d}+j\psi_{q}\right)j\omega_{m},\]
166
167\end_inset
168
169což při rozepsání po složkách (reálná a imaginární) vede na rovnice
170\end_layout
171
172\begin_layout Standard
173\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
174u_{d} & = & R_{s}i_{d}+\frac{d\psi_{d}}{dt}-\omega_{m}\psi_{q},\\
175u_{q} & = & R_{s}i_{q}+\frac{d\psi_{q}}{dt}+\omega_{m}\psi_{d}.\end{eqnarray*}
176
177\end_inset
178
179Dále uvažujme vztahy pro magnetické toky
180\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
181\psi_{d} & = & L_{d}i_{d}+\psi_{pm},\\
182\psi_{q} & = & L_{q}i_{q}.\end{eqnarray*}
183
184\end_inset
185
186Po dosazení získáme rovnice
187\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
188u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{d}\frac{di_{d}}{dt}-\omega_{m}L_{q}i_{q},\\
189u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{q}\frac{di_{q}}{dt}+\omega_{m}L_{d}i_{d}+\omega_{m}\psi_{pm}.\end{eqnarray*}
190
191\end_inset
192
193Vydělením
194\begin_inset Formula $L_{s}$
195\end_inset
196
197 respektive
198\begin_inset Formula $L_{q}$
199\end_inset
200
201 získáme
202\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
203\frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{d}}i_{d}+\frac{L_{q}}{L_{d}}\omega_{m}i_{q}+\frac{1}{L_{d}}u_{d},\\
204\frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{q}}-\frac{\psi_{pm}}{L_{q}}\omega_{m}-\frac{L_{d}}{L_{q}}\omega_{m}i_{d}+\frac{1}{L_{q}}u_{q}.\end{eqnarray*}
205
206\end_inset
207
208Když ale položíme
209\begin_inset Formula $L_{d}=L_{q}=L_{s}$
210\end_inset
211
212 dostaneme rovnice
213\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
214u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{s}\frac{di_{d}}{dt}-\omega_{m}L_{s}i_{q},\\
215u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{s}\frac{di_{q}}{dt}+\omega_{m}L_{s}i_{d}+\omega_{m}\psi_{pm}.\end{eqnarray*}
216
217\end_inset
218
219Vydělení
220\begin_inset Formula $L_{s}$
221\end_inset
222
223 pak vede na tvar
224\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
225\frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}+\omega_{m}i_{q}+\frac{u_{d}}{L_{s}},\\
226\frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{m}-\omega_{m}i_{d}+\frac{u_{q}}{L_{s}}.\end{eqnarray*}
227
228\end_inset
229
230Toto vyjádření je shodné s tím, které dostaneme následně.
231\end_layout
232
233\begin_layout Subsection*
234Odvození rovnic do
235\begin_inset Formula $\alpha\beta$
236\end_inset
237
238 soustavy
239\end_layout
240
241\begin_layout Standard
242Opět vyjdeme z rovnice
243\begin_inset Formula \[
244u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}.\]
245
246\end_inset
247
248Magnetický tok
249\begin_inset Formula $\psi_{s}$
250\end_inset
251
252 vyjádříme jako tok vytvořený cívkami statoru a dále přičteme tok permanentních
253 magnetů, je však třeba uvažovat, že rotor obsahující permanentní magnety
254 je natočen obecně pod úhlem
255\begin_inset Formula $\vartheta$
256\end_inset
257
258.
259 Tedy v komplexní rovině lze vyjádřit tok jako
260\begin_inset Formula \[
261\psi_{s}=L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}.\]
262
263\end_inset
264
265Dosadíme nyní do rovnice a rozepíšeme ji po složkách
266\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
267u_{s} & = & R_{s}i_{s}+\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt},\\
268u_{\alpha}+ju_{\beta} & \text{=} & R_{s}\left(i_{\alpha}+ji_{\beta}\right)+\frac{d}{dt}\left(L_{s}\left(i_{\alpha}+ji_{\beta}\right)+\psi_{pm}\left(\cos\vartheta+j\sin\vartheta\right)\right).\end{eqnarray*}
269
270\end_inset
271
272Rozepsaní na dvě rovnice je pak následující
273\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
274u_{\alpha} & \text{=} & R_{s}i_{\alpha}+L_{s}\frac{di_{\alpha}}{dt}-\frac{d\vartheta}{dt}\psi_{pm}\sin\vartheta,\\
275u_{\beta} & = & R_{s}i_{\beta}+L_{s}\frac{di_{\beta}}{dt}+\frac{d\vartheta}{dt}\psi_{pm}\cos\vartheta.\end{eqnarray*}
276
277\end_inset
278
279Vydělíme-li rovnice indukčností
280\begin_inset Formula $L_{s}$
281\end_inset
282
283, vyjádříme z nich derivace proudů a derivace úhlu natočení
284\family roman
285\series medium
286\shape up
287\size normal
288\emph off
289\bar no
290\noun off
291\color none
292označíme jako
293\begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}$
294\end_inset
295
296=
297\begin_inset Formula $\omega$
298\end_inset
299
300 úhlovou rychlost dostaneme následující rovnice v souřadné soustavě
301\family default
302\series default
303\shape default
304\size default
305\emph default
306\bar default
307\noun default
308\color inherit
309 
310\begin_inset Formula $\alpha\beta$
311\end_inset
312
313:
314\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
315\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}},\\
316\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}}.\end{eqnarray*}
317
318\end_inset
319
320
321\end_layout
322
323\begin_layout Standard
324Nyní je ještě třeba přidat další dvě diferenciální rovnice pro otáčky
325\begin_inset Formula $\omega$
326\end_inset
327
328 a polohu
329\begin_inset Formula $\vartheta$
330\end_inset
331
332.
333 Rovnice pro
334\begin_inset Formula $\vartheta$
335\end_inset
336
337 je triviální a už byla užita, jedná se o
338\begin_inset Formula \[
339\frac{d\vartheta}{dt}=\omega.\]
340
341\end_inset
342
343 
344\end_layout
345
346\begin_layout Standard
347Rovnice pro
348\begin_inset Formula $\omega$
349\end_inset
350
351 získáme následovně ze základních zákonů mechaniky: Pro točivý moment (speciální
352 případ momentu síly pro silovou dvojici, kdy se vektory skládají na nulu,
353 avšak mají točivý účinek, v anglické literatuře označeno jako
354\emph on
355torque
356\emph default
357)
358\emph on
359 
360\emph default
361platí obecně vztah
362\begin_inset Formula \[
363\tau=\frac{dL}{dt},\]
364
365\end_inset
366
367kde
368\begin_inset Formula $L$
369\end_inset
370
371 označuje moment hybnosti (
372\emph on
373angular momentum
374\emph default
375).
376 Při uvažování působení více točivých momentu momentů pak
377\begin_inset Formula \[
378\tau_{1}+\ldots+\tau_{n}=\sum\tau=\frac{dL}{dt}.\]
379
380\end_inset
381
382Uvažujeme-li rotaci kolem pevné osy, lze moment hybnosti vyjádřit jako
383\begin_inset Formula \[
384L=J\omega_{m},\]
385
386\end_inset
387
388kde
389\begin_inset Formula $J$
390\end_inset
391
392 označuje moment setrvačnosti (
393\emph on
394moment of inertia
395\emph default
396) a
397\begin_inset Formula $\omega_{m}$
398\end_inset
399
400 je mechanická úhlová rychlost.
401 Po dosazení tedy
402\begin_inset Formula \[
403\sum\tau=\frac{dL}{dt}=\frac{d(J\omega_{m})}{dt}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.\]
404
405\end_inset
406
407Točivé momenty
408\begin_inset Formula $\sum\tau$
409\end_inset
410
411 jsou:
412\end_layout
413
414\begin_layout Itemize
415moment získaný konverzním procesem elektrické energie, který vyjadřuje hlavní
416 vlastnost točivého stroje, a to právě převod elektrické energie na mechanickou,
417 tento mement označíme jako
418\begin_inset Formula $T_{e}$
419\end_inset
420
421
422\end_layout
423
424\begin_layout Itemize
425zátěžný moment reprezentující zatížení stroje, tedy v podstatě to, co motor
426 pohání, je však třeba uvažovat, že působí v opačném směru a stroj brzdí,
427 označíme ho tedy
428\begin_inset Formula $-T_{L}$
429\end_inset
430
431
432\end_layout
433
434\begin_layout Itemize
435dále je ještě třeba uvažovat ztráty ve stroji v důsledku tření, tento moment
436 opět působí v opačném směru a uvažujeme jej lineárně závislý na otáčkách
437 
438\begin_inset Formula $\omega_{m}$
439\end_inset
440
441, tedy
442\begin_inset Formula $-B\omega_{m}$
443\end_inset
444
445, kde
446\begin_inset Formula $B$
447\end_inset
448
449 je koeficient viskozity (tření)
450\end_layout
451
452\begin_layout Standard
453Rovnice po dosazení tedy přejde na tvar
454\begin_inset Formula \[
455T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.\]
456
457\end_inset
458
459Nyní je ještě třeba vyjádřit točívý moment
460\begin_inset Formula $T_{e}$
461\end_inset
462
463 na základě elektrických veličin.
464 Toho lze dosáhnout výpočtem přes okamžitý elektrický výkon, pro trojfázový
465 systém
466\begin_inset Formula \[
467P=u_{a}i_{a}+u_{b}i_{b}+u_{c}i_{c}.\]
468
469\end_inset
470
471Po transformaci do systému
472\begin_inset Formula $\alpha\beta$
473\end_inset
474
475 získáme vyjádření
476\begin_inset Formula \[
477P=k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right),\]
478
479\end_inset
480
481kde
482\begin_inset Formula $k_{p}$
483\end_inset
484
485 označuje Parkovu konstantu s hodnotou
486\begin_inset Formula $k_{p}=\frac{3}{2}$
487\end_inset
488
489.
490 Napětí je zde uvažováno indukované
491\begin_inset Formula $u_{i}=\frac{d\psi_{s}}{dt}=\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\omega\psi_{pm}e^{j\vartheta}$
492\end_inset
493
494 a z něj využijeme pouze složku bez derivace proudu, protože ta slouží k
495 tvorbě samotného magnetického pole stroje a nepodílí se na tvorbě výkonu,
496 tedy
497\begin_inset Formula $\omega\psi_{pm}j(\cos\vartheta+j\sin\vartheta)$
498\end_inset
499
500.
501 V systému
502\begin_inset Formula $\alpha\beta$
503\end_inset
504
505 získáme vyjádření
506\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
507u_{\alpha} & = & -\omega\psi_{pm}\sin\vartheta,\\
508u_{\beta} & = & \omega\psi_{pm}\cos\vartheta,\end{eqnarray*}
509
510\end_inset
511
512tedy po dosazení
513\begin_inset Formula \[
514P=k_{p}\left(-i_{\alpha}\omega\psi_{pm}\sin\vartheta+i_{\beta}\omega\psi_{pm}\cos\vartheta\right).\]
515
516\end_inset
517
518Moment
519\begin_inset Formula $T_{e}$
520\end_inset
521
522 lze pak určit ze vztahu
523\begin_inset Formula $P=\omega_{m}T_{e}$
524\end_inset
525
526 a tedy
527\begin_inset Formula \[
528T_{e}=\frac{P}{\omega_{m}}=k_{p}\frac{i_{\beta}\omega\psi_{pm}\cos\vartheta-i_{\alpha}\omega\psi_{pm}\sin\vartheta}{\omega_{m}}=k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right),\]
529
530\end_inset
531
532kde jsme využili vztahu
533\begin_inset Formula $\frac{\omega}{\omega_{m}}=p_{p}$
534\end_inset
535
536.
537\end_layout
538
539\begin_layout Standard
540Dosazení do rovnice pro momenty pak vede na tvar
541\begin_inset Formula \[
542k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.\]
543
544\end_inset
545
546Ještě je třeba upravit rovnici tak, aby v ní nevystupovaly mechanické otáčky
547 
548\begin_inset Formula $\omega_{m}$
549\end_inset
550
551, ale otáčky elektrické
552\begin_inset Formula $\omega$
553\end_inset
554
555.
556 Toho je možno snadno dosáhnout násobením celé rovnice
557\begin_inset Formula $p_{p}$
558\end_inset
559
560.
561 Rovnici ještě vydělíme momentem setrvačnosti
562\begin_inset Formula $J$
563\end_inset
564
565 a získáme tvar
566\begin_inset Formula \[
567\frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{T_{L}p_{p}}{J}-\frac{B}{J}\omega.\]
568
569\end_inset
570
571Tedy máme poslední rovnici následující soustavy:
572\end_layout
573
574\begin_layout Standard
575\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
576\frac{di_{\alpha}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}}\\
577\frac{di_{\beta}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}}\\
578\frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\\
579\frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega\end{eqnarray*}
580
581\end_inset
582
583
584\end_layout
585
586\begin_layout Subsection*
587Odvození rovnice pro
588\begin_inset Formula $\omega$
589\end_inset
590
591 v
592\begin_inset Formula $dq$
593\end_inset
594
595 soustavě pro různé indukčnosti
596\end_layout
597
598\begin_layout Standard
599Opět vyjdeme z analogických vztahů jako při předchozím odvození pro
600\begin_inset Formula $\alpha\beta$
601\end_inset
602
603, tedy
604\begin_inset Formula \[
605T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt},\]
606
607\end_inset
608
609kde vyjádříme
610\begin_inset Formula $T_{e}$
611\end_inset
612
613 ze vztahu
614\begin_inset Formula \[
615T_{e}=\frac{P}{\omega_{m}}.\]
616
617\end_inset
618
619Tedy transformujeme následující vyjádření pro výkond z
620\begin_inset Formula $\alpha\beta$
621\end_inset
622
623 do
624\begin_inset Formula $dq$
625\end_inset
626
627 
628\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
629P & = & k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right),\\
630P & = & k_{p}\left(\left(u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta\right)\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right)+\left(u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta\right)\left(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta\right)\right),\\
631P & \text{=} & k_{p}\left(u_{d}i_{d}+u_{q}i_{q}\right).\end{eqnarray*}
632
633\end_inset
634
635Opět dosadíme za
636\begin_inset Formula $u_{dq}$
637\end_inset
638
639 složky indukovaného napětí bez derivace proudů
640\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
641u_{d} & = & -\omega L_{q}i_{q},\\
642u_{q} & = & \omega L_{d}i_{d}+\omega\psi_{pm}.\end{eqnarray*}
643
644\end_inset
645
646To vede na
647\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
648P & = & k_{p}\left(-\omega L_{q}i_{q}i_{d}+\left(\omega L_{d}i_{d}+\omega\psi_{pm}\right)i_{q}\right),\\
649P & = & k_{p}\omega\left(i_{d}i_{q}\left(L_{d}-L_{q}\right)+\psi_{pm}i_{q}\right).\end{eqnarray*}
650
651\end_inset
652
653A po dosazení získáme vyjádření pro moment
654\begin_inset Formula $T_{e}$
655\end_inset
656
657 ve tvaru
658\begin_inset Formula \[
659T_{e}=k_{p}p_{p}\left(i_{d}i_{q}\left(L_{d}-L_{q}\right)+\psi_{pm}i_{q}\right).\]
660
661\end_inset
662
663Rovnice
664\begin_inset Formula $T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}$
665\end_inset
666
667 pak po dosazení
668\begin_inset Formula $T_{e}$
669\end_inset
670
671, vydělení
672\begin_inset Formula $J$
673\end_inset
674
675 a násobení
676\begin_inset Formula $p_{p}$
677\end_inset
678
679 přejde na tvar
680\begin_inset Formula \[
681\frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}.\]
682
683\end_inset
684
685
686\end_layout
687
688\begin_layout Subsection*
689Diskretizace
690\end_layout
691
692\begin_layout Standard
693Diskretizací pomocí Eulerovy metody s časovým krokem
694\begin_inset Formula $\Delta t$
695\end_inset
696
697 získáme následující diskrétní rovnice:
698\end_layout
699
700\begin_layout Standard
701\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
702i_{\alpha,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\alpha,t}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{u_{\alpha,t}}{L_{s}}\\
703i_{\beta,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\beta,t}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+\frac{u_{\beta,t}}{L_{s}}\\
704\omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t\\
705\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t\end{eqnarray*}
706
707\end_inset
708
709
710\end_layout
711
712\begin_layout Subsection*
713Rotace do
714\begin_inset Formula $dq$
715\end_inset
716
717
718\end_layout
719
720\begin_layout Standard
721Převod do rotující souřadné soustavy
722\begin_inset Formula $dq$
723\end_inset
724
725 pootočené o úhel
726\begin_inset Formula $\vartheta$
727\end_inset
728
729 a rotojící rychlostí
730\begin_inset Formula $\omega$
731\end_inset
732
733:
734\begin_inset Formula \[
735\left[\begin{array}{c}
736x_{d}\\
737x_{q}\end{array}\right]\text{=}\left[\begin{array}{cc}
738\cos\vartheta & \sin\vartheta\\
739-\sin\vartheta & \cos\vartheta\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
740x_{\alpha}\\
741x_{\beta}\end{array}\right]\]
742
743\end_inset
744
745
746\end_layout
747
748\begin_layout Standard
749(nebo stejného efektu lze dosáhnout i použítím komplexních souřadnic a zápisem
750 
751\begin_inset Formula $x_{dq}=e^{j\vartheta}x_{\alpha\beta}$
752\end_inset
753
754, jako v odvození rovnic rovnou do tvaru v
755\begin_inset Formula $dq$
756\end_inset
757
758 souřadnicích)
759\end_layout
760
761\begin_layout Standard
762následně tedy
763\begin_inset Formula \begin{alignat*}{2}
764i_{d} & = & i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta\\
765i_{q} & = & i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\end{alignat*}
766
767\end_inset
768
769
770\end_layout
771
772\begin_layout Standard
773a analogicky pro
774\begin_inset Formula $u$
775\end_inset
776
777; naopak pro opačný směr transformace
778\end_layout
779
780\begin_layout Standard
781\begin_inset Formula \begin{alignat*}{2}
782i_{\alpha} & = & i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\\
783i_{\beta} & = & i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta\end{alignat*}
784
785\end_inset
786
787
788\end_layout
789
790\begin_layout Standard
791a opět anoalogicky pro
792\begin_inset Formula $u$
793\end_inset
794
795, což po dosazení do původních diferenciálních rovnic vede na
796\end_layout
797
798\begin_layout Standard
799\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
800\frac{d(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta)}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta)+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta}{L_{s}}\\
801\frac{d(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta)}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta)-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta}{L_{s}}\\
802\frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{q}\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\\
803\frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega\end{eqnarray*}
804
805\end_inset
806
807
808\end_layout
809
810\begin_layout Standard
811ve třetí rovnici rovnou dosadíme
812\begin_inset Formula $i_{q}$
813\end_inset
814
815, čtvrtá se nemění a z prvních dvou vyjádříme rovnice pro proudy a napětí
816 v
817\begin_inset Formula $d$
818\end_inset
819
820 a
821\begin_inset Formula $q$
822\end_inset
823
824, například tak, že první rovnici násobíme
825\begin_inset Formula $\cos\vartheta$
826\end_inset
827
828 a sečteme s druhou násobenou
829\begin_inset Formula $\sin\vartheta$
830\end_inset
831
832, dále pak první rovnici násobenou
833\begin_inset Formula $-\sin\vartheta$
834\end_inset
835
836 sečteme s druhou násobenou
837\begin_inset Formula $\cos\vartheta$
838\end_inset
839
840, tento postup vede na rovnice
841\end_layout
842
843\begin_layout Standard
844\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
845\frac{di_{d}}{dt}-i_{q}\omega & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}+\frac{u_{d}}{L_{s}}\\
846\frac{di_{q}}{dt}+i_{d}\omega & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega+\frac{u_{q}}{L_{s}}\\
847\frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q}-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\\
848\frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega\end{eqnarray*}
849
850\end_inset
851
852
853\end_layout
854
855\begin_layout Standard
856otázkou je co se členy
857\begin_inset Formula $-i_{q}\omega$
858\end_inset
859
860 a
861\begin_inset Formula $i_{d}\omega$
862\end_inset
863
864 na levé straně první a druhé rovnice, protože když bychom nejdříve provedli
865 diskretizaci a až následně převod do
866\begin_inset Formula $dq$
867\end_inset
868
869 souřadnic, tyto členy zřejmě nevzniknou, nevzniknou také, když soustavu
870 
871\begin_inset Formula $dq$
872\end_inset
873
874 definujeme ne jako pootočenou o
875\begin_inset Formula $\vartheta$
876\end_inset
877
878, ale jako soustavu pootočenou o nějaké konstantní
879\begin_inset Formula $\varepsilon$
880\end_inset
881
882, proto se bude vhodné
883\series bold
884\shape italic
885\color red
886otestovat
887\series default
888\shape default
889\color inherit
890, jaký je vliv těchto členů
891\end_layout
892
893\begin_layout Standard
894diskretizovaná verze rovnic v
895\begin_inset Formula $dq$
896\end_inset
897
898 je tedy
899\end_layout
900
901\begin_layout Standard
902\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
903i_{d,t+1}+{\color{red}\left(-i_{q,t}\omega_{t}\right)} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{d,t}+\frac{u_{d,t}}{L_{s}}\\
904i_{q,t+1}+{\color{red}\left(i_{d,t}\omega_{t}\right)} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{q,t}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{t}+\frac{u_{q,t}}{L_{s}}\\
905\omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q,t}-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t\\
906\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t\end{eqnarray*}
907
908\end_inset
909
910
911\end_layout
912
913\begin_layout Standard
914
915\series bold
916Vliv červených členů:
917\end_layout
918
919\begin_layout Enumerate
920testováno na simulátoru, který s nimi ale asi nepočítá a tedy je výsledek
921 špatný, dost se to rozkmitá (i když to teda drží tvar křivky), řídící napětí
922 jde na dorazy, prostě je to špatný, jak by to běželo na skutečném motoru
923 je otázka --
924\series bold
925chyba v implementaci !!!
926\end_layout
927
928\begin_layout Enumerate
929
930\series bold
931opravený závěr:
932\series default
933 
934\end_layout
935
936\begin_deeper
937\begin_layout Itemize
938test na simulátoru, sledováno na omegách (otáčky)
939\end_layout
940
941\begin_layout Itemize
942s červenýmí členy funguje dobře, v nízkých otáčkách výsledky téměř stejné,
943 liší se jen velmi nepatrně (zanedbatelné řádově)
944\end_layout
945
946\begin_layout Itemize
947s rostoucími otáčkami prakticky stejné až do určité hodnoty cca 500 otáček,
948 při pomalejší rampě cca 600-700 otáček už regulátor založený na verzi
949\series bold
950bez
951\series default
952 červených členů nezvládne držet krok, což je pravděpodobně způsobeno tím,
953 že řízení jde na dorazy, ty se oříznou a vzniká nelinearita
954\end_layout
955
956\begin_layout Itemize
957nicméně se to nepokazí úplně, nastane jen trochu pokles a drží to hodnotu,
958 s nenšími kmity
959\end_layout
960
961\begin_layout Itemize
962regulátor
963\series bold
964s
965\series default
966 červenými členy se pak ukáže jako lepší a dokáže jít o mnoho dál až k cca
967 3000 otáčkám, pak se opět zastaví na hodnotě a nezvládne jít dál
968\end_layout
969
970\begin_layout Itemize
971pozn.: před dosažením
972\begin_inset Quotes eld
973\end_inset
974
975kritické
976\begin_inset Quotes erd
977\end_inset
978
979 hodnoty dochází k menším záchvěvům (ale menším než při prudké změně požadované
980 hodnoty)
981\end_layout
982
983\end_deeper
984\end_body
985\end_document
Note: See TracBrowser for help on using the browser.