root/applications/dual/VYZ/pmsm_rovnice.lyx @ 1319

#LyX 1.6.7 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 345
\begin_document
\begin_header
\textclass article
\use_default_options true
\language english
\inputencoding auto
\font_roman default
\font_sans default
\font_typewriter default
\font_default_family default
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100
\font_tt_scale 100

\graphics default
\paperfontsize default
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_amsmath 1
\use_esint 1
\cite_engine basic
\use_bibtopic false
\paperorientation portrait
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation indent
\defskip medskip
\quotes_language english
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\author "" 
\author "" 
\end_header

\begin_body

\begin_layout Title
PMSM rovnice
\end_layout

\begin_layout Subsection*
Odvození rovnic do 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 soustavy
\end_layout

\begin_layout Standard
Rovnici pro napětí v obvodu statoru synchroního stroje lze zapsat jako
\begin_inset Formula \[
u_{s}=R_{s}i_{s}+u_{i},\]

\end_inset

tedy součet napětí v obvodu (Ohmův zákon) a indukovaného napětí, přičemž
 veličiny jsou uvažovány komplexní.
 Vyjáříme-li indukované napětí, jako změnu toku v čase (Faradayův zákon
 elektromagnetické indukce) přejde rovnice na tvar
\begin_inset Formula \[
u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}.\]

\end_inset

Pro přechod do rotujícího souřadného systému předpokládáme obecně rotaci
 o úhel 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, kterou provedeme vynásobením všech veličin operátorem rotace v komplexních
 číslech 
\begin_inset Formula $e^{j\varepsilon}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 značí komplexní jednotku.
 Tedy
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{s}e^{j\varepsilon} & = & R_{s}i_{s}e^{j\varepsilon}+\frac{d(\psi_{s}e^{j\varepsilon})}{dt},\\
u_{s}e^{j\varepsilon} & \text{=} & R_{s}i_{s}e^{j\varepsilon}+\frac{d\psi_{s}}{dt}e^{j\varepsilon}+\psi_{s}j\omega_{\varepsilon}e^{j\varepsilon},\\
u_{s} & \text{=} & R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}+\psi_{s}j\omega_{\varepsilon},\end{eqnarray*}

\end_inset

kde symbol 
\begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}$
\end_inset

 označuje úhlovou rychlost -- změnu úhlu 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, jedná se tedy o derivaci 
\begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}=\frac{d\varepsilon}{dt}$
\end_inset

.
 Tato úhlová rychlost 
\begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}$
\end_inset

 odpovídá elektrickým otáčkám 
\begin_inset Formula $\omega_{el}$
\end_inset

 a lze ji přepočíst na mechanické otáčky pomocí vztahu 
\begin_inset Formula $\omega_{el}=p_{p}\omega_{m},$
\end_inset

 kde 
\begin_inset Formula $p_{p}$
\end_inset

 je počet párů polů rotoru a 
\begin_inset Formula $\omega_{m}$
\end_inset

 mechanické otáčky.
 Když pro jednoduchost předpokládáme počet párů polů roven 1, je 
\begin_inset Formula $\omega_{e}=\omega_{m}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní můžeme přejít k rovnicím v souřadném systému 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

, který je natočen oproti souřadnému systému statoru (
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

) o úhel 
\begin_inset Formula $\varepsilon=\vartheta$
\end_inset

 a otáčí se rychlostí 
\begin_inset Formula $\omega_{m}$
\end_inset

.
 Osa magnetického toku rotoru je osou 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 a v tomto směru uvažujeme reálnou složku komplexních veličin, osa 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 je pak na ní kolmá a bude reprezentovat složku imaginární.
 Dostáváme tedy 
\begin_inset Formula \[
u_{d}+ju_{q}\text{=}R_{s}\left(i_{d}+ji_{q}\right)+\frac{d\left(\psi_{d}+j\psi_{q}\right)}{dt}+\left(\psi_{d}+j\psi_{q}\right)j\omega_{m},\]

\end_inset

což při rozepsání po složkách (reálná a imaginární) vede na rovnice
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{d} & = & R_{s}i_{d}+\frac{d\psi_{d}}{dt}-\omega_{m}\psi_{q},\\
u_{q} & = & R_{s}i_{q}+\frac{d\psi_{q}}{dt}+\omega_{m}\psi_{d}.\end{eqnarray*}

\end_inset

Dále uvažujme vztahy pro magnetické toky
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\psi_{d} & = & L_{d}i_{d}+\psi_{pm},\\
\psi_{q} & = & L_{q}i_{q}.\end{eqnarray*}

\end_inset

Po dosazení získáme rovnice
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{d}\frac{di_{d}}{dt}-\omega_{m}L_{q}i_{q},\\
u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{q}\frac{di_{q}}{dt}+\omega_{m}L_{d}i_{d}+\omega_{m}\psi_{pm}.\end{eqnarray*}

\end_inset

Vydělením 
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset

 respektive 
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset

 získáme
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{d}}i_{d}+\frac{L_{q}}{L_{d}}\omega_{m}i_{q}+\frac{1}{L_{d}}u_{d},\\
\frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{q}}-\frac{\psi_{pm}}{L_{q}}\omega_{m}-\frac{L_{d}}{L_{q}}\omega_{m}i_{d}+\frac{1}{L_{q}}u_{q}.\end{eqnarray*}

\end_inset

Když ale položíme 
\begin_inset Formula $L_{d}=L_{q}=L_{s}$
\end_inset

 dostaneme rovnice
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{s}\frac{di_{d}}{dt}-\omega_{m}L_{s}i_{q},\\
u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{s}\frac{di_{q}}{dt}+\omega_{m}L_{s}i_{d}+\omega_{m}\psi_{pm}.\end{eqnarray*}

\end_inset

Vydělení 
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset

 pak vede na tvar
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}+\omega_{m}i_{q}+\frac{u_{d}}{L_{s}},\\
\frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{m}-\omega_{m}i_{d}+\frac{u_{q}}{L_{s}}.\end{eqnarray*}

\end_inset

Toto vyjádření je shodné s tím, které dostaneme následně.
\end_layout

\begin_layout Subsection*
Odvození rovnic do 
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

 soustavy
\end_layout

\begin_layout Standard
Opět vyjdeme z rovnice
\begin_inset Formula \[
u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}.\]

\end_inset

Magnetický tok 
\begin_inset Formula $\psi_{s}$
\end_inset

 vyjádříme jako tok vytvořený cívkami statoru a dále přičteme tok permanentních
 magnetů, je však třeba uvažovat, že rotor obsahující permanentní magnety
 je natočen obecně pod úhlem 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

.
 Tedy v komplexní rovině lze vyjádřit tok jako 
\begin_inset Formula \[
\psi_{s}=L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}.\]

\end_inset

Dosadíme nyní do rovnice a rozepíšeme ji po složkách
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{s} & = & R_{s}i_{s}+\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt},\\
u_{\alpha}+ju_{\beta} & \text{=} & R_{s}\left(i_{\alpha}+ji_{\beta}\right)+\frac{d}{dt}\left(L_{s}\left(i_{\alpha}+ji_{\beta}\right)+\psi_{pm}\left(\cos\vartheta+j\sin\vartheta\right)\right).\end{eqnarray*}

\end_inset

Rozepsaní na dvě rovnice je pak následující
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{\alpha} & \text{=} & R_{s}i_{\alpha}+L_{s}\frac{di_{\alpha}}{dt}-\frac{d\vartheta}{dt}\psi_{pm}\sin\vartheta,\\
u_{\beta} & = & R_{s}i_{\beta}+L_{s}\frac{di_{\beta}}{dt}+\frac{d\vartheta}{dt}\psi_{pm}\cos\vartheta.\end{eqnarray*}

\end_inset

Vydělíme-li rovnice indukčností 
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset

, vyjádříme z nich derivace proudů a derivace úhlu natočení 
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
označíme jako 
\begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}$
\end_inset

=
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 úhlovou rychlost dostaneme následující rovnice v souřadné soustavě
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
 
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

:
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}},\\
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}}.\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní je ještě třeba přidat další dvě diferenciální rovnice pro otáčky 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a polohu 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

.
 Rovnice pro 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 je triviální a už byla užita, jedná se o
\begin_inset Formula \[
\frac{d\vartheta}{dt}=\omega.\]

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard
Rovnice pro 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 získáme následovně ze základních zákonů mechaniky: Pro točivý moment (speciální
 případ momentu síly pro silovou dvojici, kdy se vektory skládají na nulu,
 avšak mají točivý účinek, v anglické literatuře označeno jako 
\emph on
torque
\emph default
)
\emph on
 
\emph default
platí obecně vztah
\begin_inset Formula \[
\tau=\frac{dL}{dt},\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 označuje moment hybnosti (
\emph on
angular momentum
\emph default
).
 Při uvažování působení více točivých momentu momentů pak
\begin_inset Formula \[
\tau_{1}+\ldots+\tau_{n}=\sum\tau=\frac{dL}{dt}.\]

\end_inset

Uvažujeme-li rotaci kolem pevné osy, lze moment hybnosti vyjádřit jako
\begin_inset Formula \[
L=J\omega_{m},\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 označuje moment setrvačnosti (
\emph on
moment of inertia
\emph default
) a 
\begin_inset Formula $\omega_{m}$
\end_inset

 je mechanická úhlová rychlost.
 Po dosazení tedy
\begin_inset Formula \[
\sum\tau=\frac{dL}{dt}=\frac{d(J\omega_{m})}{dt}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.\]

\end_inset

Točivé momenty 
\begin_inset Formula $\sum\tau$
\end_inset

 jsou: 
\end_layout

\begin_layout Itemize
moment získaný konverzním procesem elektrické energie, který vyjadřuje hlavní
 vlastnost točivého stroje, a to právě převod elektrické energie na mechanickou,
 tento mement označíme jako 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
zátěžný moment reprezentující zatížení stroje, tedy v podstatě to, co motor
 pohání, je však třeba uvažovat, že působí v opačném směru a stroj brzdí,
 označíme ho tedy 
\begin_inset Formula $-T_{L}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
dále je ještě třeba uvažovat ztráty ve stroji v důsledku tření, tento moment
 opět působí v opačném směru a uvažujeme jej lineárně závislý na otáčkách
 
\begin_inset Formula $\omega_{m}$
\end_inset

, tedy 
\begin_inset Formula $-B\omega_{m}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 je koeficient viskozity (tření)
\end_layout

\begin_layout Standard
Rovnice po dosazení tedy přejde na tvar
\begin_inset Formula \[
T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.\]

\end_inset

Nyní je ještě třeba vyjádřit točívý moment 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 na základě elektrických veličin.
 Toho lze dosáhnout výpočtem přes okamžitý elektrický výkon, pro trojfázový
 systém
\begin_inset Formula \[
P=u_{a}i_{a}+u_{b}i_{b}+u_{c}i_{c}.\]

\end_inset

Po transformaci do systému 
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

 získáme vyjádření
\begin_inset Formula \[
P=k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right),\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $k_{p}$
\end_inset

 označuje Parkovu konstantu s hodnotou 
\begin_inset Formula $k_{p}=\frac{3}{2}$
\end_inset

.
 Napětí je zde uvažováno indukované 
\begin_inset Formula $u_{i}=\frac{d\psi_{s}}{dt}=\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\omega\psi_{pm}e^{j\vartheta}$
\end_inset

 a z něj využijeme pouze složku bez derivace proudu, protože ta slouží k
 tvorbě samotného magnetického pole stroje a nepodílí se na tvorbě výkonu,
 tedy 
\begin_inset Formula $\omega\psi_{pm}j(\cos\vartheta+j\sin\vartheta)$
\end_inset

.
 V systému 
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

 získáme vyjádření
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{\alpha} & = & -\omega\psi_{pm}\sin\vartheta,\\
u_{\beta} & = & \omega\psi_{pm}\cos\vartheta,\end{eqnarray*}

\end_inset

tedy po dosazení
\begin_inset Formula \[
P=k_{p}\left(-i_{\alpha}\omega\psi_{pm}\sin\vartheta+i_{\beta}\omega\psi_{pm}\cos\vartheta\right).\]

\end_inset

Moment 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 lze pak určit ze vztahu 
\begin_inset Formula $P=\omega_{m}T_{e}$
\end_inset

 a tedy
\begin_inset Formula \[
T_{e}=\frac{P}{\omega_{m}}=k_{p}\frac{i_{\beta}\omega\psi_{pm}\cos\vartheta-i_{\alpha}\omega\psi_{pm}\sin\vartheta}{\omega_{m}}=k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right),\]

\end_inset

kde jsme využili vztahu 
\begin_inset Formula $\frac{\omega}{\omega_{m}}=p_{p}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dosazení do rovnice pro momenty pak vede na tvar
\begin_inset Formula \[
k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.\]

\end_inset

Ještě je třeba upravit rovnici tak, aby v ní nevystupovaly mechanické otáčky
 
\begin_inset Formula $\omega_{m}$
\end_inset

, ale otáčky elektrické 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

.
 Toho je možno snadno dosáhnout násobením celé rovnice 
\begin_inset Formula $p_{p}$
\end_inset

.
 Rovnici ještě vydělíme momentem setrvačnosti 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 a získáme tvar
\begin_inset Formula \[
\frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{T_{L}p_{p}}{J}-\frac{B}{J}\omega.\]

\end_inset

Tedy máme poslední rovnici následující soustavy:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}}\\
\frac{di_{\beta}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}}\\
\frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\\
\frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection*
Odvození rovnice pro 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 v 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 soustavě pro různé indukčnosti
\end_layout

\begin_layout Standard
Opět vyjdeme z analogických vztahů jako při předchozím odvození pro 
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

, tedy
\begin_inset Formula \[
T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt},\]

\end_inset

kde vyjádříme 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 ze vztahu
\begin_inset Formula \[
T_{e}=\frac{P}{\omega_{m}}.\]

\end_inset

Tedy transformujeme následující vyjádření pro výkond z 
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

 do 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
P & = & k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right),\\
P & = & k_{p}\left(\left(u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta\right)\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right)+\left(u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta\right)\left(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta\right)\right),\\
P & \text{=} & k_{p}\left(u_{d}i_{d}+u_{q}i_{q}\right).\end{eqnarray*}

\end_inset

Opět dosadíme za 
\begin_inset Formula $u_{dq}$
\end_inset

 složky indukovaného napětí bez derivace proudů
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{d} & = & -\omega L_{q}i_{q},\\
u_{q} & = & \omega L_{d}i_{d}+\omega\psi_{pm}.\end{eqnarray*}

\end_inset

To vede na
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
P & = & k_{p}\left(-\omega L_{q}i_{q}i_{d}+\left(\omega L_{d}i_{d}+\omega\psi_{pm}\right)i_{q}\right),\\
P & = & k_{p}\omega\left(i_{d}i_{q}\left(L_{d}-L_{q}\right)+\psi_{pm}i_{q}\right).\end{eqnarray*}

\end_inset

A po dosazení získáme vyjádření pro moment 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 ve tvaru
\begin_inset Formula \[
T_{e}=k_{p}p_{p}\left(i_{d}i_{q}\left(L_{d}-L_{q}\right)+\psi_{pm}i_{q}\right).\]

\end_inset

Rovnice 
\begin_inset Formula $T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}$
\end_inset

 pak po dosazení 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

, vydělení 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 a násobení 
\begin_inset Formula $p_{p}$
\end_inset

 přejde na tvar
\begin_inset Formula \[
\frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}.\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection*
Diskretizace
\end_layout

\begin_layout Standard
Diskretizací pomocí Eulerovy metody s časovým krokem 
\begin_inset Formula $\Delta t$
\end_inset

 získáme následující diskrétní rovnice:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
i_{\alpha,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\alpha,t}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{u_{\alpha,t}}{L_{s}}\\
i_{\beta,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\beta,t}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+\frac{u_{\beta,t}}{L_{s}}\\
\omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t\\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection*
Rotace do 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Převod do rotující souřadné soustavy 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 pootočené o úhel 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 a rotojící rychlostí 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

:
\begin_inset Formula \[
\left[\begin{array}{c}
x_{d}\\
x_{q}\end{array}\right]\text{=}\left[\begin{array}{cc}
\cos\vartheta & \sin\vartheta\\
-\sin\vartheta & \cos\vartheta\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x_{\alpha}\\
x_{\beta}\end{array}\right]\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
(nebo stejného efektu lze dosáhnout i použítím komplexních souřadnic a zápisem
 
\begin_inset Formula $x_{dq}=e^{j\vartheta}x_{\alpha\beta}$
\end_inset

, jako v odvození rovnic rovnou do tvaru v 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 souřadnicích)
\end_layout

\begin_layout Standard
následně tedy
\begin_inset Formula \begin{alignat*}{2}
i_{d} & = & i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta\\
i_{q} & = & i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\end{alignat*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
a analogicky pro 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

; naopak pro opačný směr transformace
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{alignat*}{2}
i_{\alpha} & = & i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\\
i_{\beta} & = & i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta\end{alignat*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
a opět anoalogicky pro 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

, což po dosazení do původních diferenciálních rovnic vede na
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{d(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta)}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta)+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta}{L_{s}}\\
\frac{d(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta)}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta)-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta}{L_{s}}\\
\frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{q}\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\\
\frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
ve třetí rovnici rovnou dosadíme 
\begin_inset Formula $i_{q}$
\end_inset

, čtvrtá se nemění a z prvních dvou vyjádříme rovnice pro proudy a napětí
 v 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

, například tak, že první rovnici násobíme 
\begin_inset Formula $\cos\vartheta$
\end_inset

 a sečteme s druhou násobenou 
\begin_inset Formula $\sin\vartheta$
\end_inset

, dále pak první rovnici násobenou 
\begin_inset Formula $-\sin\vartheta$
\end_inset

 sečteme s druhou násobenou 
\begin_inset Formula $\cos\vartheta$
\end_inset

, tento postup vede na rovnice
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{di_{d}}{dt}-i_{q}\omega & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}+\frac{u_{d}}{L_{s}}\\
\frac{di_{q}}{dt}+i_{d}\omega & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega+\frac{u_{q}}{L_{s}}\\
\frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q}-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\\
\frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
otázkou je co se členy 
\begin_inset Formula $-i_{q}\omega$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $i_{d}\omega$
\end_inset

 na levé straně první a druhé rovnice, protože když bychom nejdříve provedli
 diskretizaci a až následně převod do 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 souřadnic, tyto členy zřejmě nevzniknou, nevzniknou také, když soustavu
 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 definujeme ne jako pootočenou o 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

, ale jako soustavu pootočenou o nějaké konstantní 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, proto se bude vhodné 
\series bold
\shape italic
\color red
otestovat
\series default
\shape default
\color inherit
, jaký je vliv těchto členů
\end_layout

\begin_layout Standard
diskretizovaná verze rovnic v 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 je tedy
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
i_{d,t+1}+{\color{red}\left(-i_{q,t}\omega_{t}\right)} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{d,t}+\frac{u_{d,t}}{L_{s}}\\
i_{q,t+1}+{\color{red}\left(i_{d,t}\omega_{t}\right)} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{q,t}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{t}+\frac{u_{q,t}}{L_{s}}\\
\omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q,t}-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t\\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Vliv červených členů: 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
testováno na simulátoru, který s nimi ale asi nepočítá a tedy je výsledek
 špatný, dost se to rozkmitá (i když to teda drží tvar křivky), řídící napětí
 jde na dorazy, prostě je to špatný, jak by to běželo na skutečném motoru
 je otázka -- 
\series bold
chyba v implementaci !!!
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
opravený závěr:
\series default
 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
test na simulátoru, sledováno na omegách (otáčky)
\end_layout

\begin_layout Itemize
s červenýmí členy funguje dobře, v nízkých otáčkách výsledky téměř stejné,
 liší se jen velmi nepatrně (zanedbatelné řádově) 
\end_layout

\begin_layout Itemize
s rostoucími otáčkami prakticky stejné až do určité hodnoty cca 500 otáček,
 při pomalejší rampě cca 600-700 otáček už regulátor založený na verzi 
\series bold
bez
\series default
 červených členů nezvládne držet krok, což je pravděpodobně způsobeno tím,
 že řízení jde na dorazy, ty se oříznou a vzniká nelinearita
\end_layout

\begin_layout Itemize
nicméně se to nepokazí úplně, nastane jen trochu pokles a drží to hodnotu,
 s nenšími kmity
\end_layout

\begin_layout Itemize
regulátor 
\series bold
s
\series default
 červenými členy se pak ukáže jako lepší a dokáže jít o mnoho dál až k cca
 3000 otáčkám, pak se opět zastaví na hodnotě a nezvládne jít dál
\end_layout

\begin_layout Itemize
pozn.: před dosažením 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

kritické
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 hodnoty dochází k menším záchvěvům (ale menším než při prudké změně požadované
 hodnoty)
\end_layout

\end_deeper
\end_body
\end_document