root/applications/dual/vahala/pcrb/pcrb2.lyx @ 1418

#LyX 2.0 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 413
\begin_document
\begin_header
\textclass article
\use_default_options true
\maintain_unincluded_children false
\language english
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman default
\font_sans default
\font_typewriter default
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100
\font_tt_scale 100

\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_amsmath 1
\use_esint 1
\use_mhchem 1
\use_mathdots 1
\cite_engine basic
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\use_refstyle 1
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\quotes_language english
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Title
Výpočet PCRB
\end_layout

\begin_layout Subsection*
PCRB obecně
\end_layout

\begin_layout Standard
Výpočet PCRB (Posterior Cramer-Rao Bound) dle [Posterior Cramer-Rao Bounds
 for Discrete-Time Nonlinear Filtering, 1998, Tichavský P.
 et al.] jako:
\begin_inset Formula 
\[
P\triangleq\mathtt{E}\left\{ \left[g(x)-\theta\right]\left[g(x)-\theta\right]^{T}\right\} \geq J^{-1}
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 reprezentuje vektor měřených dat, 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 je vektorový estimovaný náhodný parametr a 
\begin_inset Formula $g(x)$
\end_inset

 je funkce 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, která je odhadem 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 je (Fisherova) informační matice
\begin_inset Formula 
\[
J_{ij}=\mathtt{E}\left[-\frac{\partial^{2}\log p_{x,\theta}(X,\Theta)}{\partial\Theta_{i}\partial\Theta_{j}}\right]
\]

\end_inset

kde 
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\strikeout off
\uuline off
\uwave off
\noun off
\color none

\begin_inset Formula $p_{x,\theta}(X,\Theta)$
\end_inset

 je sdružená hustota pravděpodobnosti dvojice 
\begin_inset Formula $(x,\theta)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection*
PCRB nelineární filtrace
\end_layout

\begin_layout Standard
Spodní mez pro nelineární filtrační problém systému
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
x_{n+1} & = & f_{n}(x_{n},w_{n})\\
z_{n} & = & h_{n}(x_{n},v_{n})
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $x_{n}$
\end_inset

 je stav systému v čase 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $z_{n}$
\end_inset

 je pozorování v čase 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 jsou vzájemně nezávislé bílé procesy a 
\begin_inset Formula $f_{n}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $h_{n}$
\end_inset

 jsou obecně nelineární funkce.
 Pak je možné počítat rekurzivně posloupnost matic 
\begin_inset Formula $J_{n}$
\end_inset

 jako:
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
J_{n+1}=D_{n}^{22}-D_{n}^{21}\left(J_{n}+D_{n}^{11}\right)^{-1}D_{n}^{12}\label{eq: rekurze J}
\end{equation}

\end_inset

kde se matice 
\begin_inset Formula $D_{n}$
\end_inset

 počítají jako
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
D_{n}^{11} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{n}}^{x_{n}}\log p(x_{n+1}\mid x_{n})\right\} \nonumber \\
D_{n}^{12} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{n}}^{x_{n+1}}\log p(x_{n+1}\mid x_{n})\right\} \label{eq:matice Dn}\\
D_{n}^{21} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{n+1}}^{x_{n}}\log p(x_{n+1}\mid x_{n})\right\} =\left(D_{n}^{12}\right)^{T}\nonumber \\
D_{n}^{22} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{n+1}}^{x_{n+1}}\log p(x_{n+1}\mid x_{n})\right\} +\mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{n+1}}^{x_{n+1}}\log p(z_{n+1}\mid x_{n+1})\right\} \nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection*
PCRB Gaussovské
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro aditivní Gaussovský šum s nulovou střední hodnotou a invertovatelnými
 kovariančními maticemi 
\begin_inset Formula $Q_{n}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $R_{n}$
\end_inset

 platí následující vztahy pro výpočet matic 
\begin_inset Formula $D_{n}$
\end_inset

 jako speciální případ (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:matice Dn"

\end_inset

):
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
D_{n}^{11} & = & \mathtt{E}\left\{ \left[\nabla_{x_{n}}f_{n}^{T}(x_{n})\right]Q_{n}^{-1}\left[\nabla_{x_{n}}f_{n}^{T}(x_{n})\right]^{T}\right\} \nonumber \\
D_{n}^{12} & = & -\mathtt{E}\left\{ \nabla_{x_{n}}f_{n}^{T}(x_{n})\right\} Q_{n}^{-1}\label{eq:matice Dn gauss}\\
D_{n}^{22} & = & Q_{n}^{-1}+\mathtt{E}\left\{ \left[\nabla_{x_{n+1}}h_{n+1}^{T}(x_{n+1})\right]R_{n+1}^{-1}\left[\nabla_{x_{n+1}}h_{n+1}^{T}(x_{n+1})\right]^{T}\right\} \nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

V případě linearity funkcí 
\begin_inset Formula $f_{n}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $h_{n}$
\end_inset

 pak rekurzivní výpočet matice 
\begin_inset Formula $J_{n}$
\end_inset

 (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq: rekurze J"

\end_inset

) spolu s dosazením výše uvedených matic 
\begin_inset Formula $D_{n}$
\end_inset

 (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:matice Dn gauss"

\end_inset

) odpovídá výpočtu aposteriorní kovarianční matice 
\begin_inset Formula $P_{n}$
\end_inset

 Kalmanova filtru při označení 
\begin_inset Formula $\left(P_{n}\right)^{-1}=J_{n}$
\end_inset

.
 Uvažovaný systém (PMSM) je však nelineární, je tedy užíváno rozšířeného
 Kalmanova filtru (EKF), ve kterém se do napočtených matic derivací dosazují
 odhady stavu.
 Oproti tomu ve výše uvedených rovnicích (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:matice Dn gauss"

\end_inset

) je počítána střední hodnota derivací (respektive jejich kvadrátů).
 Jak významný je rozdíl dvou takto různě provedených výpočtů bude předmětem
 testů v následujících experimentech.
 Správný výpočet střední hodnoty derivace bude označován jako 
\series bold
E
\series default
 a dosazení očekávané hodnoty do napočtené derivace pak jako 
\series bold
nE
\series default
.
 Dále je třeba poznamenat, že správné výpočty střední hodnoty (E) je třeba
 provést analyticky (symbolicky), což je i pro Gaussovská rozdělení velmi
 výpočetně náročná úloha a proto byla provedena za předpokladu nezávislosti
 a časové invariance, tedy kovarianční matice 
\begin_inset Formula $Q_{n}$
\end_inset

 je diagonální a konstantní v čase, 
\begin_inset Formula $Q_{n}=Q=\mathrm{diag}([q_{i}]_{i=1}^{\mathrm{dim}(x)})$
\end_inset

.
 Matice 
\begin_inset Formula $R_{n}$
\end_inset

 je také použita konstantní a diagonální, ovšem těchto předpokladů není
 třeba, protože použité zobrazení 
\begin_inset Formula $h_{n}$
\end_inset

 je lineární a nezávislé na čase a jeho derivací je konstantní matice.
\end_layout

\begin_layout Subsection*
Užité modely
\end_layout

\begin_layout Standard
Obecně byly použity čtyři typy modelů v souřadném systému 
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

.
 Souřadný systém 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 totiž nemá smysl používat, jelikož mez stále roste, což lze jednak usuzovat
 na základě tvaru ronvic, ale bylo ověřeno i experimentálně.
 Tyto modely se liší tím, jestli je uvažován 
\emph on
plný 
\emph default
nebo 
\emph on
redukovaný
\emph default
 stav systému.
 Dále pak jestli byl uvažován model motoru (PMSM) se stejnými (
\series bold
Ls
\series default
) nebo různými (
\series bold
Ldq
\series default
) indukčnostmi v osách 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

.
 Budou následovat matice derivací 
\begin_inset Formula $A_{n}=\left[\nabla_{x_{n}}f_{n}^{T}(x_{n})\right]^{T}$
\end_inset

 zobrazení 
\begin_inset Formula $f_{n}$
\end_inset

 a matice 
\begin_inset Formula $C_{n+1}=\left[\nabla_{x_{n+1}}h_{n+1}^{T}(x_{n+1})\right]^{T}$
\end_inset

 zobrazení 
\begin_inset Formula $h_{n+1}$
\end_inset

 dle jednotlivých stavových veličin.
 Tyto matice však budou uvedeny pouze pro případ stejných indukčností.
\begin_inset Formula 
\[
A_{full}^{Ls}=\left[\begin{array}{cccc}
a & 0 & b\sin\vartheta & b\omega\cos\vartheta\\
0 & a & -b\cos\vartheta & b\omega\sin\vartheta\\
-e\sin\vartheta & e\cos\vartheta & d & -e\left(i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta\right)\\
0 & 0 & \Delta t & 1
\end{array}\right]
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
C_{full}^{Ls}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{array}\right]
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
A_{red}^{Ls}=\left[\begin{array}{cc}
d & -e\left(i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta\right)\\
\Delta t & 1
\end{array}\right]
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
C_{red}^{Ls}=\left[\begin{array}{cc}
b\sin\vartheta & b\omega\cos\vartheta\\
-b\cos\vartheta & b\omega\sin\vartheta
\end{array}\right]
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pro přehlednost je souhrn použitých modelů uveden v následující tabulce:
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="3" columns="3">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $L_{dq}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
full
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
1
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
red
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dále pak budou jednotlivé modely oznáčovány jejich číslem z tabulky.
\end_layout

\begin_layout Subsection*
Užitá řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Použitá řízení shrnuje následující seznam, dále budou označována svým číslem
 položky:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\omega=\overline{\omega}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\vartheta=\int\omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $i_{\alpha}=i_{\beta}=0$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
PI
\end_layout

\begin_layout Enumerate
PI + injektáž sin do 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
PI + injektáž obdélníků do 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
PI + injektáž konstanty do 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
PI + náhodná chyba na 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
PI + injektáž sin do 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
PI + injektáž obdélníků do 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
PI + bikriteriální metoda se 
\begin_inset Formula $\mathrm{sign}\omega$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
PI + bikriteriální metoda náhodný výběr 5 možností
\end_layout

\begin_layout Subsection*
Kovarianční matice
\end_layout

\begin_layout Standard
Testování proběhlo s následujícími kovariančními maticemi:
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
šumové 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Q & = & \mathrm{diag}\left(\left[\begin{array}{cccc}
0.0013 & 0.0013 & 5.0e-6 & 1.0e-10\end{array}\right]\right)\\
R & = & \mathrm{diag\left(\left[\begin{array}{cc}
0.0006 & 0.0006\end{array}\right]\right)}
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
ekf 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Q & = & \mathrm{diag}\left(\left[\begin{array}{cccc}
0.1 & 0.1 & 0.1 & 0.001\end{array}\right]\right)\\
R & = & \mathrm{diag\left(\left[\begin{array}{cc}
0.05 & 0.05\end{array}\right]\right)}
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
t1 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Q & = & \mathrm{diag}\left(\left[\begin{array}{cccc}
0.1 & 0.1 & 0.1 & 0.1\end{array}\right]\right)\\
R & = & \mathrm{diag\left(\left[\begin{array}{cc}
0.05 & 0.05\end{array}\right]\right)}
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
t2 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Q & = & \mathrm{diag}\left(\left[\begin{array}{cccc}
0.1 & 0.1 & 0.1 & 1.0\end{array}\right]\right)\\
R & = & \mathrm{diag\left(\left[\begin{array}{cc}
0.05 & 0.05\end{array}\right]\right)}
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
t3 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Q & = & \mathrm{diag}\left(\left[\begin{array}{cccc}
0.1 & 0.1 & 0.1 & 10.0\end{array}\right]\right)\\
R & = & \mathrm{diag\left(\left[\begin{array}{cc}
0.5 & 0.5\end{array}\right]\right)}
\end{eqnarray*}

\end_inset

V případě redukovaných modelů se první dva diagonální prvky 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 nevyužijí.
\end_layout

\begin_layout Subsection*
Experimenty
\end_layout

\begin_layout Standard
Následující experimenty byly prováděny s ohledem na následující poznatky:
\end_layout

\begin_layout Itemize
variance na proudech se ve všech případech ukazovaly jako malé (stále kolem
 
\begin_inset Formula $0.0367$
\end_inset

) a dále již pak nebyly testovány
\end_layout

\begin_layout Itemize
redukované modely díky výpočtu střední hodnoty přes 
\begin_inset Formula $x_{n+1}$
\end_inset

 vykazují lepší vlastnosti PCR meze, která již v nulových otáčkách neroste
 stále, ale zastavuje se na určité maximální hodnotě
\end_layout

\begin_layout Itemize
modely pro stejné (Ls) a různé (Ldq) indukčnosti dávají obvykle téměř shodné
 výsledky, injektáží periodického signálu (sinus, obdélníky) lze vylepšít
 (snížit) mez pro různé indukčnosti (Ldq), toto 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

zlepšení
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 pak závisí na frekvenci injektovaného signálu, obecně vyšší frekvence dává
 lepší výsledek
\end_layout

\begin_layout Itemize
nastavení kovariančních matic 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 nemá vliv na tvar křivek znázorňujících PCRB, ovlivňuje však značně jejich
 hodnoty v absolutním měřítku
\end_layout

\begin_layout Itemize
hodnoty počáteční kovariance 
\begin_inset Formula $P_{0}$
\end_inset

 se projevují pouze na počátku a jejich vliv s rostoucím časem asymptoticky
 vymizí
\end_layout

\begin_layout Itemize
existuje vliv na volbě referenční hodnoty 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset

, tj.
 hodnoty kterou sledují skutečné otáčky 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

; tento vliv je zřejmý, ale je zde ještě další charakterový vliv, při uvažování
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset

 některá řízení fungují dobře, tj.
 omezují PCRB, jiná však ne a fungují pouze u, alespoň částečně, nenulových
 referenčních hodnot; toto lze předběžně interpretovat tak, že některá řízení
 fungují dobře pořád a některá, jen když se nejdříve něco 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

dozvědí
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

, tj.
 již mají nějakou informaci
\end_layout

\begin_layout Itemize
dále je třeba zkoumat především vliv jednotlivých řízení, a tedy i amplitud
 a případně frekvencí injektovaných signálů
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Závislost PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 na použité amplitudě přídavného budícího signálu pro PI řízení s konstantní
 injektáží do osy 
\emph on
d
\end_layout

\begin_layout Itemize
Testované řízení: 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

5 -- PI + injection (const.
 -> ud)
\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Použitý model: 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

alpha-beta Ls
\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Injektovaný signál:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
amplituda: různá, konstantní -- 
\emph on
předmět experimentu
\end_layout

\begin_layout Itemize
frekvence: 
\begin_inset Formula $\omega_{inj}\equiv0$
\end_inset

, tj.
 neperiodický konstantní signál
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
Kovarianční matice systému: typ 
\emph on
ekf
\emph default

\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Q & = & \mathrm{diag}\left[\begin{array}{cccc}
0.1 & 0.1 & 0.1 & 0.001\end{array}\right]\\
R & = & \mathrm{diag}\left[\begin{array}{cc}
0.05 & 0.05\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Časový horizont: standartní 120000 vzorků, tj.
 15s
\end_layout

\begin_layout Itemize
Referenční signál: nulový 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}=0$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Počáteční kovariance: dva testované případy 
\begin_inset Formula $100\mathrm{Eye}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $1\mathrm{Eye}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Výsledné hodnoty PCRB polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 v závislosti na amplitudě injektáže
\begin_inset Foot
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
pro případ bez injektáže, tj.
 
\begin_inset Formula $amp\equiv0$
\end_inset

, variance stále lineárně roste
\end_layout

\end_inset

 zachycují grafy (Figure 1 a 2).
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
        filename /home/michal/Plocha/DP/grafy/ampdepctr5hsvpoklze100.eps
        scale 60

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Hodnoty PCRB polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 v závislosti na amplitudě injektovaného konstantního signálu (viz legenda)
 pro počáteční kovarianci 
\begin_inset Formula $100\mathrm{Eye}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
        filename /home/michal/Plocha/DP/grafy/ampdepctr5hsvrustz1.eps
        scale 60

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Hodnoty PCRB polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 v závislosti na amplitudě injektovaného konstantního signálu (viz legenda)
 pro počáteční kovarianci 
\begin_inset Formula $1\mathrm{Eye}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Porovnání PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 pro jednotlivá řízení dle užitého referenčního signálu
\end_layout

\begin_layout Itemize
Testovaná řízení: 1 -- 10
\end_layout

\begin_layout Itemize
Použitý model: 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

alpha-beta Ls
\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Injektovaný signál:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
amplituda: 
\begin_inset Formula $amp=10.0$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
frekvence: 
\begin_inset Formula $\omega_{inj}=5000$
\end_inset

, (
\emph on
pozor
\emph default
 -- vysoká hodnota)
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
Kovarianční matice systému: typ 
\emph on
ekf
\emph default

\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Q & = & \mathrm{diag}\left[\begin{array}{cccc}
0.1 & 0.1 & 0.1 & 0.001\end{array}\right]\\
R & = & \mathrm{diag}\left[\begin{array}{cc}
0.05 & 0.05\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Časový horizont: standartní 120000 vzorků, tj.
 15s
\end_layout

\begin_layout Itemize
Referenční signál: 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
nulový 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Itemize
profil 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}=\left[\begin{array}{cccccccccccccccc}
0 & -1 & 3 & 6 & 9 & 6 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & -6 & -3\end{array}\right]$
\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
Počáteční kovariance: 
\begin_inset Formula $1\mathrm{Eye}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Výsledné hodnoty PCRB polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 v závislosti na užitém referenčním signálu zachycují grafy (Figure 3 a
 4).
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ref0comctrl.eps
        scale 60

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Porovnání hodnot PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 pro jednotlivá užitá řízení při referenčním signálu 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset

.
 Přitom křívky pro 1,2 a 9 splývají pod barvou 9; dále 3 splývá se 7 pod
 barvou 7 a 4 splývá s 8 pod barvou 8; křivka pro 5 pak splývá s 6 pod barvou
 6.
 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
        filename grafy/reflowcomctrl1je2a34je78.eps
        scale 60

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Porovnání hodnot PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 pro jednotlivá užitá řízení při referenčním signálu 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}$
\end_inset

.
 Přitom křívky pro 1 a 2 splývají pod barvou 2; dále 3 splývá se 7 pod barvou
 7 a 4 splývá s 8 pod barvou 8; křivka pro 5 pak splývá s 6 pod barvou 6.
 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Na dvou předchozích grafech (Figure 3 a 4) již může být pozorován jev zmiňovaný
 v úvodních poznámkách k experimentům, tj.
 o vlivu referenční hodnoty.
 Konkrétně se jedná o řízení č.
 9.
 Pro názornost bude uvažovaný jev ještě zobrazen na grafech (Figure 5) srovnávaj
ící řízení č.
 2 (PI) a č.
 9 (PI + bikriteriální 
\begin_inset Formula $\mathrm{sign}\omega$
\end_inset

).
 
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/comp29ome_2.eps
        scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/comp29ome_9.eps
        scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
a) Řízení č.
 2 (PI)
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
b) řízení č.
 9 (PI + bikriteriální 
\begin_inset Formula $\mathrm{sign}\omega$
\end_inset

)
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Srovnání PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 pro řízení č.
 2 a č.
 9 při referenčních signálech 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}$
\end_inset

 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset

 Tento jev lze vysvětlit tak, že řízení č.
 9 (PI + bikriteriální 
\begin_inset Formula $\mathrm{sign}\omega$
\end_inset

) při nulovém referenčním signálu, a tedy stále nepozorovatelnému stavu
 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

, nezvládne nijak pozitivně ovlivnit PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

.
 V případě, že ale stav 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 nějaký čas pozoruje, a tedy o něm dostane nějakou informaci, zvládne pak
 pozitině ovlivnit, tj.
 snížit, PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

.
 Na grafu (Figure 5b) lze i pozorovat jakousi mez, kdy je 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

získána
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 schopnost omezovat PCRB a v tu chvíli hodnota rychle klesá a dále již nepřerůst
á jistou mez.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Porovnání PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 pro jednotlivá řízení a užité modely
\end_layout

\begin_layout Itemize
Testovaná řízení: 1 -- 10
\end_layout

\begin_layout Itemize
Použitý model: plný i redukovaný alpha-beta se stejnými (Ls) i různými (Ldq)
 indukčnostimi
\end_layout

\begin_layout Itemize
Injektovaný signál:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
amplituda: 
\begin_inset Formula $amp=10.0$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
frekvence: 
\begin_inset Formula $\omega_{inj}=1000$
\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
Kovarianční matice systému: typ 
\emph on
ekf
\emph default

\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Q & = & \mathrm{diag}\left[\begin{array}{cccc}
0.1 & 0.1 & 0.1 & 0.001\end{array}\right]\\
R & = & \mathrm{diag}\left[\begin{array}{cc}
0.05 & 0.05\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Časový horizont: standartní 120000 vzorků, tj.
 15s
\end_layout

\begin_layout Itemize
Referenční signál: 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
nulový 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Itemize
profil 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}=\left[\begin{array}{cccccccccccccccc}
0 & -1 & 3 & 6 & 9 & 6 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & -6 & -3\end{array}\right]$
\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
Počáteční kovariance: 
\begin_inset Formula $1\mathrm{Eye}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Výsledné hodnoty PCRB polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 v závislosti na užitém referenčním signálu a použitém řízení zachycují
 grafy (Figure 6 a 7).
 Některé výsledky jsou prakticky totožné, proto z podobných řízení bude
 zobrazen pouze vybraný zástupce.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="8" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ctrl2.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ctrl2o2.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
a) Řízení č.
 1 a 2, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
b) Řízení č.
 1 a 2, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ctrl7.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ctrl7o2.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
c) Řízení č.
 3 a 7, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
d) Řízení č.
 3 a 7, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ctrl8.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ctrl8o2.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
e) Řízení č.
 4 a 8, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
f) Řízení č.
 4 a 8, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ctrl5.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ctrl5o2.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
g) Řízení č.
 5, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
h) Řízení č.
 5, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Hodnoty PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 dle volby řízení, referenčního signálu a použitého modelu.
 Ve všech zde uvedených grafech (a-h) splývají křivky pro modely 3 a 4,
 v případech a) a b) splývají i 1 a 2, a pro g) a h) pak splývá téměř vše
 (1-4).
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="6" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ctrl6.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ctrl6o2.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
i) Řízení č.
 6, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
j) Řízení č.
 6, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ctrl9.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ctrl9o2.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
k) Řízení č.
 9, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
l) Řízení č.
 9, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ctrl10.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ctrl10o2.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
m) Řízení č.
 10, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
n) Řízení č.
 10, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Hodnoty PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 dle volby řízení, referenčního signálu a použitého modelu.
 V grafech k) až n) splývají křivky pro modely 3 a 4, pro k) a l) pak splývá
 dále 1 a 2, v i) a j) pak téměř splývají 2 a 4.
 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document