root/applications/dual/vahala/pcrb/pcrb3.lyx @ 1433

#LyX 2.0 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 413
\begin_document
\begin_header
\textclass article
\use_default_options true
\maintain_unincluded_children false
\language english
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman default
\font_sans default
\font_typewriter default
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100
\font_tt_scale 100

\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_amsmath 1
\use_esint 1
\use_mhchem 1
\use_mathdots 1
\cite_engine basic
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\use_refstyle 1
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\quotes_language english
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Title
Výpočet PCRB
\end_layout

\begin_layout Subsection*
PCRB obecně
\end_layout

\begin_layout Standard
Výpočet PCRB (Posterior Cramer-Rao Bound) dle [Posterior Cramer-Rao Bounds
 for Discrete-Time Nonlinear Filtering, 1998, Tichavský P.
 et al.] jako:
\begin_inset Formula 
\[
P\triangleq\mathtt{E}\left\{ \left[g(x)-\theta\right]\left[g(x)-\theta\right]^{T}\right\} \geq J^{-1}
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 reprezentuje vektor měřených dat, 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 je vektorový estimovaný náhodný parametr a 
\begin_inset Formula $g(x)$
\end_inset

 je funkce 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, která je odhadem 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 je (Fisherova) informační matice
\begin_inset Formula 
\[
J_{ij}=\mathtt{E}\left[-\frac{\partial^{2}\log p_{x,\theta}(X,\Theta)}{\partial\Theta_{i}\partial\Theta_{j}}\right]
\]

\end_inset

kde 
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\strikeout off
\uuline off
\uwave off
\noun off
\color none

\begin_inset Formula $p_{x,\theta}(X,\Theta)$
\end_inset

 je sdružená hustota pravděpodobnosti dvojice 
\begin_inset Formula $(x,\theta)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection*
PCRB nelineární filtrace
\end_layout

\begin_layout Standard
Spodní mez pro nelineární filtrační problém systému
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
x_{n+1} & = & f_{n}(x_{n},w_{n})\\
z_{n} & = & h_{n}(x_{n},v_{n})
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $x_{n}$
\end_inset

 je stav systému v čase 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $z_{n}$
\end_inset

 je pozorování v čase 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 jsou vzájemně nezávislé bílé procesy a 
\begin_inset Formula $f_{n}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $h_{n}$
\end_inset

 jsou obecně nelineární funkce.
 Pak je možné počítat rekurzivně posloupnost matic 
\begin_inset Formula $J_{n}$
\end_inset

 jako:
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
J_{n+1}=D_{n}^{22}-D_{n}^{21}\left(J_{n}+D_{n}^{11}\right)^{-1}D_{n}^{12}\label{eq: rekurze J}
\end{equation}

\end_inset

kde se matice 
\begin_inset Formula $D_{n}$
\end_inset

 počítají jako
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
D_{n}^{11} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{n}}^{x_{n}}\log p(x_{n+1}\mid x_{n})\right\} \nonumber \\
D_{n}^{12} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{n}}^{x_{n+1}}\log p(x_{n+1}\mid x_{n})\right\} \label{eq:matice Dn}\\
D_{n}^{21} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{n+1}}^{x_{n}}\log p(x_{n+1}\mid x_{n})\right\} =\left(D_{n}^{12}\right)^{T}\nonumber \\
D_{n}^{22} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{n+1}}^{x_{n+1}}\log p(x_{n+1}\mid x_{n})\right\} +\mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{n+1}}^{x_{n+1}}\log p(z_{n+1}\mid x_{n+1})\right\} \nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection*
PCRB Gaussovské
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro aditivní Gaussovský šum s nulovou střední hodnotou a invertovatelnými
 kovariančními maticemi 
\begin_inset Formula $Q_{n}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $R_{n}$
\end_inset

 platí následující vztahy pro výpočet matic 
\begin_inset Formula $D_{n}$
\end_inset

 jako speciální případ (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:matice Dn"

\end_inset

):
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
D_{n}^{11} & = & \mathtt{E}\left\{ \left[\nabla_{x_{n}}f_{n}^{T}(x_{n})\right]Q_{n}^{-1}\left[\nabla_{x_{n}}f_{n}^{T}(x_{n})\right]^{T}\right\} \nonumber \\
D_{n}^{12} & = & -\mathtt{E}\left\{ \nabla_{x_{n}}f_{n}^{T}(x_{n})\right\} Q_{n}^{-1}\label{eq:matice Dn gauss}\\
D_{n}^{22} & = & Q_{n}^{-1}+\mathtt{E}\left\{ \left[\nabla_{x_{n+1}}h_{n+1}^{T}(x_{n+1})\right]R_{n+1}^{-1}\left[\nabla_{x_{n+1}}h_{n+1}^{T}(x_{n+1})\right]^{T}\right\} \nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

V případě linearity funkcí 
\begin_inset Formula $f_{n}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $h_{n}$
\end_inset

 pak rekurzivní výpočet matice 
\begin_inset Formula $J_{n}$
\end_inset

 (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq: rekurze J"

\end_inset

) spolu s dosazením výše uvedených matic 
\begin_inset Formula $D_{n}$
\end_inset

 (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:matice Dn gauss"

\end_inset

) odpovídá výpočtu aposteriorní kovarianční matice 
\begin_inset Formula $P_{n}$
\end_inset

 Kalmanova filtru při označení 
\begin_inset Formula $\left(P_{n}\right)^{-1}=J_{n}$
\end_inset

.
 Uvažovaný systém (PMSM) je však nelineární, je tedy užíváno rozšířeného
 Kalmanova filtru (EKF), ve kterém se do napočtených matic derivací dosazují
 odhady stavu.
 
\end_layout

\begin_layout Subsection*
Užité modely
\end_layout

\begin_layout Standard
Obecně byly použity čtyři typy modelů v souřadném systému 
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

.
 Souřadný systém 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 totiž nemá smysl používat, jelikož mez stále roste, což lze jednak usuzovat
 na základě tvaru ronvic, ale bylo ověřeno i experimentálně.
 Tyto modely se liší tím, jestli je uvažován 
\emph on
plný 
\emph default
nebo 
\emph on
redukovaný
\emph default
 stav systému.
 Dále pak jestli byl uvažován model motoru (PMSM) se stejnými (
\series bold
Ls
\series default
) nebo různými (
\series bold
Ldq
\series default
) indukčnostmi v osách 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

.
 Budou následovat matice derivací 
\begin_inset Formula $A_{n}=\left[\nabla_{x_{n}}f_{n}^{T}(x_{n})\right]^{T}$
\end_inset

 zobrazení 
\begin_inset Formula $f_{n}$
\end_inset

 a matice 
\begin_inset Formula $C_{n+1}=\left[\nabla_{x_{n+1}}h_{n+1}^{T}(x_{n+1})\right]^{T}$
\end_inset

 zobrazení 
\begin_inset Formula $h_{n+1}$
\end_inset

 dle jednotlivých stavových veličin.
 Tyto matice však budou uvedeny pouze pro případ stejných indukčností.
\begin_inset Formula 
\[
A_{full}^{Ls}=\left[\begin{array}{cccc}
a & 0 & b\sin\vartheta & b\omega\cos\vartheta\\
0 & a & -b\cos\vartheta & b\omega\sin\vartheta\\
-e\sin\vartheta & e\cos\vartheta & d & -e\left(i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta\right)\\
0 & 0 & \Delta t & 1
\end{array}\right]
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
C_{full}^{Ls}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{array}\right]
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
A_{red}^{Ls}=\left[\begin{array}{cc}
d & -e\left(i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta\right)\\
\Delta t & 1
\end{array}\right]
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
C_{red}^{Ls}=\left[\begin{array}{cc}
b\sin\vartheta & b\omega\cos\vartheta\\
-b\cos\vartheta & b\omega\sin\vartheta
\end{array}\right]
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pro přehlednost je souhrn použitých modelů uveden v následující tabulce:
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="3" columns="3">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $L_{dq}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
full
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
1
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
red
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dále pak budou jednotlivé modely oznáčovány jejich číslem z tabulky.
\end_layout

\begin_layout Subsection*
Užitá řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Použitá řízení shrnuje následující seznam, dále budou označována svým číslem
 položky:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\omega=\overline{\omega}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\vartheta=\int\omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $i_{\alpha}=i_{\beta}=0$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
PI
\end_layout

\begin_layout Enumerate
PI + injektáž sin do 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
PI + injektáž obdélníků do 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
PI + injektáž konstanty do 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
PI + náhodná chyba na 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
PI + injektáž sin do 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
PI + injektáž obdélníků do 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
PI + bikriteriální metoda se 
\begin_inset Formula $\mathrm{sign}\omega$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
PI + bikriteriální metoda náhodný výběr 5 možností
\end_layout

\begin_layout Subsection*
Kovarianční matice
\end_layout

\begin_layout Standard
Testování proběhlo s následujícími kovariančními maticemi: 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Q & = & \mathrm{diag}\left[\begin{array}{cccc}
0.01 & 0.01 & 0.001 & 0.00001\end{array}\right]\\
R & = & \mathrm{diag}\left[\begin{array}{cc}
0.005 & 0.005\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
V
\begin_inset space ~
\end_inset

případě redukovaných modelů mají odpovídající kovarianční matice tvar:
\begin_inset Formula 
\[
Q_{red}=\mathrm{diag}\left(\left[\begin{array}{cc}
Q_{33} & Q_{44}\end{array}\right]\right)
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
R_{red}=R+\mathrm{diag}\left(\left[\begin{array}{cc}
Q_{11} & Q_{22}\end{array}\right]\right)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection*
Omezování hodnot meze
\end_layout

\begin_layout Standard
Vzhledem k tomu, že poloha 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 je vyjádřena jako úhel (v radiánech), má smysl ji uvažovat pouze v intervalu
 
\begin_inset Formula $\left\langle -\pi,\pi\right\rangle $
\end_inset

 (případně s vyloučením jedné z krajních hodnot).
 V modelu pro výpočet PCRB je však 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 uvažována jako náhodná veličina s normálním rozdělením, které může nabývat
 hodnot z celé reálné osy a následně může PCRB nabývat velmi vysokých hodnot.
 Tyto hodnoty však pro interpretaci ve vztahu k PMSM nemají smysl, protože
 nejhorší případ (ve smyslu největší neznalosti parametru 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

) nastává, když je hodnota 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 rovnoměrně rozdělena v intervalu 
\begin_inset Formula $\left\langle -\pi,\pi\right\rangle $
\end_inset

, tj.
 o hodnotě úhlu natočení 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 není žádná informace.
 Proto má smysl uvažovat hodnoty PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 jen do velikosti variance rovnoměrného rozdělení na intervalu 
\begin_inset Formula $\left\langle -\pi,\pi\right\rangle $
\end_inset

, tato hodnota je 
\begin_inset Formula $\frac{\pi^{2}}{3}$
\end_inset

.
 Nad touto hranicí nemá smysl PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 uvažovat a vyšší hodnoty je buď možno oříznout pevnou mezí nebo pomocí
 výpočtu oříznutého normálního rozdělení, který bude užit dále.
 Srovnání obou možností je zachyceno na grafech (Figure 1).
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\noindent
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/amp5cutpi23ex.eps
        scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/amp5cutex.eps
        scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
a) oříznutí pevnou mezí 
\begin_inset Formula $\frac{\pi^{2}}{3}$
\end_inset

 (čárkovaně)
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
b) oříznutí pomocí oříznutého normálního rozdělení
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Hodnoty PCRB polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 v závislosti na amplitudě injektovaného konstantního signálu (viz legenda).
 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Paragraph*
Oříznuté normální rozdělení
\end_layout

\begin_layout Standard
[The Variational Bayes Method in Signal Processing, 2006, Šmídl V., Quinn
 A.]
\end_layout

\begin_layout Standard
Oříznuté normální rozdělení pro skalární váhodnou veličinu 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 je definováno jako normální rozdělení 
\begin_inset Formula $\mathrm{N}\left(\mu,r\right)$
\end_inset

 na omezeném supportu 
\begin_inset Formula $a<x\leq b$
\end_inset

.
 Momenty tohoto rozdělení jsou:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\hat{x} & = & \mu-\sqrt{r}\varphi(\mu,r)\\
\hat{x^{2}} & = & r+\mu\hat{x}-\sqrt{r}\kappa(\mu,r)
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\varphi(\mu,r) & = & \frac{\sqrt{2}\left(\exp(-\beta^{2})-\exp(-\alpha^{2})\right)}{\sqrt{\pi}\left(\mathrm{erf}(\beta)-\mathrm{erf}(\alpha)\right)}\\
\kappa(\mu,r) & = & \frac{\sqrt{2}\left(b\exp(-\beta^{2})-a\exp(-\alpha^{2})\right)}{\sqrt{\pi}\left(\mathrm{erf}(\beta)-\mathrm{erf}(\alpha)\right)}
\end{eqnarray*}

\end_inset

a
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\alpha & = & \frac{a-\mu}{\sqrt{2r}}\\
\beta & = & \frac{b-\mu}{\sqrt{2r}}
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní pro speciální případ 
\begin_inset Formula $a=-\pi$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b=\pi$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\mu=0$
\end_inset

 je 
\begin_inset Formula $\alpha=-\frac{\pi}{\sqrt{2r}}=-\beta$
\end_inset

.
 Zřejmě tedy 
\begin_inset Formula $\alpha^{2}=\beta^{2}$
\end_inset

 a čitatel 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 je nulový, tedy 
\begin_inset Formula $\varphi=0$
\end_inset

.
 Z tohoto pak hned vyplývá, že 
\begin_inset Formula $\hat{x}=0$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\mathrm{Var}(x)=\hat{x^{2}}-\hat{x}^{2}=\hat{x^{2}}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\kappa$
\end_inset

 má po dosazení tvar
\begin_inset Formula 
\[
\kappa=\frac{2\sqrt{2}\pi\exp\left(-\frac{\pi^{2}}{2r}\right)}{2\sqrt{\pi}\mathrm{erf}\left(\frac{\pi}{\sqrt{2r}}\right)}
\]

\end_inset

Hodnota variance 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 je tedy
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{Var}(x)=r-\sqrt{2\pi r}\frac{\exp\left(-\frac{\pi^{2}}{2r}\right)}{\mathrm{erf}\left(\frac{\pi}{\sqrt{2r}}\right)}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection*
Experimenty
\end_layout

\begin_layout Standard
Následující experimenty byly prováděny s ohledem na následující poznatky:
\end_layout

\begin_layout Itemize
variance na proudech se ve všech případech ukazovaly jako malé (stále kolem
 
\begin_inset Formula $0.0367$
\end_inset

) a dále již pak nebyly testovány
\end_layout

\begin_layout Itemize
modely pro stejné (Ls) a různé (Ldq) indukčnosti a při uvažování plného
 a redukovaného modelu lze relativně dobře porovnat při různých řízeních
 na grafech (Figure 6 a 7)
\end_layout

\begin_layout Itemize
nastavení kovariančních matic 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 nemá vliv na tvar křivek znázorňujících PCRB (neuvažujeme-li ořez), ovlivňuje
 však značně jejich hodnoty v absolutním měřítku, proto je třeba nastavit
 dostatečně malé
\end_layout

\begin_layout Itemize
hodnoty počáteční kovariance 
\begin_inset Formula $P_{0}$
\end_inset

 se projevují pouze na počátku a jejich vliv s rostoucím časem asymptoticky
 vymizí
\end_layout

\begin_layout Itemize
dále je třeba zkoumat především vliv jednotlivých řízení, a tedy i amplitud
 a případně frekvencí injektovaných signálů
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Závislost PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 na použité amplitudě přídavného budícího signálu pro PI řízení s konstantní
 injektáží do osy 
\emph on
d
\end_layout

\begin_layout Itemize
Testované řízení: 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

5 -- PI + injection (const.
 -> ud)
\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Použitý model: 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

alpha-beta Ls
\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Injektovaný signál:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
amplituda: různá, konstantní -- 
\emph on
předmět experimentu
\end_layout

\begin_layout Itemize
frekvence: 
\begin_inset Formula $\omega_{inj}\equiv0$
\end_inset

, tj.
 neperiodický konstantní signál
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
Kovarianční matice systému: 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Q & = & \mathrm{diag}\left[\begin{array}{cccc}
0.01 & 0.01 & 0.001 & 0.00001\end{array}\right]\\
R & = & \mathrm{diag}\left[\begin{array}{cc}
0.005 & 0.005\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Časový horizont: standartní 120000 vzorků, tj.
 15s
\end_layout

\begin_layout Itemize
Referenční signál: nulový 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}=0$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Počáteční kovariance: 
\begin_inset Formula $1\mathrm{Eye}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Výsledné hodnoty PCRB polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 v závislosti na amplitudě injektáže zachycuje graf (Figure 2).
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
        filename grafy/amp5cut.eps
        scale 60

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Hodnoty PCRB polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 v závislosti na amplitudě injektovaného konstantního signálu (viz legenda).
 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Porovnání PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 pro jednotlivá řízení a užité modely
\end_layout

\begin_layout Itemize
Testovaná řízení: 1 -- 10
\end_layout

\begin_layout Itemize
Použitý model: plný i redukovaný alpha-beta se stejnými (Ls) i různými (Ldq)
 indukčnostimi
\end_layout

\begin_layout Itemize
Injektovaný signál:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
amplituda: 
\begin_inset Formula $amp=10.0$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
frekvence: 
\begin_inset Formula $\omega_{inj}=1000$
\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
Kovarianční matice systému: 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Q & = & \mathrm{diag}\left[\begin{array}{cccc}
0.01 & 0.01 & 0.001 & 0.00001\end{array}\right]\\
R & = & \mathrm{diag}\left[\begin{array}{cc}
0.005 & 0.005\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Časový horizont: standartní 120000 vzorků, tj.
 15s
\end_layout

\begin_layout Itemize
Referenční signál: 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
nulový 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Itemize
profil 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}=\left[\begin{array}{cccccccccccccccc}
0 & -1 & 3 & 6 & 9 & 6 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & -6 & -3\end{array}\right]$
\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
Počáteční kovariance: 
\begin_inset Formula $1\mathrm{Eye}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Výsledné hodnoty PCRB polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 v závislosti na užitém referenčním signálu a použitém řízení zachycují
 grafy (Figure 3 a 4).
 Některé výsledky jsou prakticky totožné, proto z podobných řízení bude
 zobrazen pouze vybraný zástupce.
 Hodnota PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 je omezována pomocí oříznutého normálního rozdělení na interval 
\begin_inset Formula $\left\langle -\pi,\pi\right\rangle $
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="8" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ntc2z.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ntc2n.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
a) Řízení č.
 1 a 2, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
b) Řízení č.
 1 a 2, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ntc7z.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ntc7n.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
c) Řízení č.
 3 a 7, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
d) Řízení č.
 3 a 7, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ntc8z.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ntc8n.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
e) Řízení č.
 4 a 8, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
f) Řízení č.
 4 a 8, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ntc5z.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ntc5n.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
g) Řízení č.
 5, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
h) Řízení č.
 5, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Hodnoty PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 dle volby řízení, referenčního signálu a použitého modelu.
 Ve grafech a) a b) splývají křivky 1 s 2 a 3 s 4, pro g) a h) pak splývá
 vše (1-4).
 Čárkovaná přímka představuje limitní hodnotu -- varianci rovnoměrného rozdělení
 na 
\begin_inset Formula $\left\langle -\pi,\pi\right\rangle $
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="6" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ntc6z.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ntc6n.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
i) Řízení č.
 6, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
j) Řízení č.
 6, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ntc9z.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ntc9n.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
k) Řízení č.
 9, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
l) Řízení č.
 9, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ntc10z.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
        filename grafy/ntc10n.eps
        scale 30

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
m) Řízení č.
 10, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
n) Řízení č.
 10, ref.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{profile}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Hodnoty PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 dle volby řízení, referenčního signálu a použitého modelu.
 V grafech i) až l) splývají křivky pro téměř všechny modely.
 Čárkovaná přímka představuje limitní hodnotu -- varianci rovnoměrného rozdělení
 na 
\begin_inset Formula $\left\langle -\pi,\pi\right\rangle $
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document