Changeset 1006 for applications/dual

Timestamp:

05/27/10 15:41:42 (15 years ago)

Author:

vahalam

Message:

 

Location:

applications/dual/IterativeLocal/text

Files:

• barsP001.eps (added)
• barsP01.eps (added)
• barsP1.eps (added)
• barsP10.eps (added)
• bpkomplet.lyx (modified) (40 diffs)
• bpkomplet.pdf (modified) (previous)
• comptray.eps (added)
• pmsm001.eps (added)
• pmsm01.eps (added)
• pmsm1.eps (added)
• pmsm10.eps (added)
• tubeCE.eps (added)
• tubeILDP.eps (added)
• tubeILQG.eps (added)
• tubeLQ.eps (added)
• tubeSLQ.eps (added)

applications/dual/IterativeLocal/text/bpkomplet.lyx ¶

@@ -609 +609 @@
 \begin_layout Labeling
 \labelwidthstring 00.00.0000
-iLDP iterativní lokální dynamické programování
+
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ iterativní lokální dynamické programování
 \end_layout
 
 \begin_layout Labeling
 \labelwidthstring 00.00.0000
-LQG lineáně kvadraticky gaussovské řízení (Linear-Quadratic-Gaussian)
+
+\emph on
+LQG
+\emph default
+ lineáně kvadraticky gaussovské řízení (Linear-Quadratic-Gaussian)
 \end_layout
 
 \begin_layout Labeling
 \labelwidthstring 00.00.0000
-iLQG iterativní LQG
+
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+ iterativní LQG
 \end_layout
 
@@ -693 +705 @@
 iterativního lokálního dynamického programování 
 \emph default
-(iLDP) jako jedna z metod pro řešení problému duálního řízení.
+(
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+) jako jedna z metod pro řešení problému duálního řízení.
  Algoritmus byl navržen a popsán v článku 
 \color black
@@ -739 +755 @@
  Otestovat jeho funkčnost a schopnost řídit a to i v porovnání s jinými
  metodami a algoritmy.
- Dále se pokusit implementovat algoritmus iLDP pro složitější systém blíže
- praktické aplikaci, konkrétně se jedná o synchronní motor s permanentními
- magnety.
+ Dále se pokusit implementovat algoritmus 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ pro složitější systém blíže praktické aplikaci, konkrétně se jedná o synchronní
+ motor s permanentními magnety.
  Otestovat funkčnost a případně srovnat s dostupnými výsledky jiných řídících
  strategii
@@ -755 +774 @@
 
 \begin_layout Standard
-Hlavním přínosem práce je otestování vlastností algoritmu iLDP na jiných
- problémech, než pro které byla vyvinuta autory.
+Hlavním přínosem práce je otestování vlastností algoritmu 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ na jiných problémech, než pro které byla vyvinuta autory.
  Objevení kladů a záporů algoritmu a dále díky srovnání s jinými algoritmy
  získání přehledu, pro které praktické aplikace je vhodnější respektive
  méně vhodný než srovnávané metody.
- Prvotní očekávání pro srovnání algoritmu iLDP a řízení získaného pomocí
- principu separace jsou, že iLDP bude pomalejší co do výpočetního času,
- avšak přesnost získaných výsledků bude lepší.
+ Prvotní očekávání pro srovnání algoritmu 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ a řízení získaného pomocí principu separace jsou, že 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ bude pomalejší co do výpočetního času, avšak přesnost získaných výsledků
+ bude lepší.
  Dále je očekávána nezanedbatelná závislost výsledného řízení na volbě použitých
- aproximací a apriorní řídící strategie.
+ aproximací.
 \end_layout
 
@@ -776 +805 @@
 \begin_layout Chapter
 Teorie duálního řízení
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "cha:Teorie-duálního-řízení"
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
@@ -2955 +2991 @@
  Příkladem může být 
 \emph on
-diferenciální dynamické programování
-\emph default
- (DDP).
- Tento algoritmus zůstává lokální metodou ve smyslu, že uchovává pouzve
- jedinou trajektorii, která je lokálně vylepšována.
- Vylepšení však není založeno na řešení soustavy obyčejných diferenciálních
- rovnic, ale na dynamickém programování aplikovaném na okolí - 
-\begin_inset Quotes eld
-\end_inset
-
-trubici
-\begin_inset Quotes erd
-\end_inset
-
- podél současné trajektorie.
- Jedná se o algoritmus s konvergencí druhého řádu.
- Ještě efektivnější je metoda podobná DDP, 
-\emph on
 iterativní LQG
 \emph default
- (iLQG).
+ (
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+).
  Tento algoritmus je založen na linearizaci nelineární úlohy v každém bodě
  reprezentativní trajektorie a následném řešení modifikované Riccatiho rovnice.
- Výhodou DDP i iLQG je, že jejich výsledkem je zpětnovazební řízení.
- Obě metody jsou ale stále deterministické a nedokáží se vypořádat s nekvadratic
-kými ztrátovými funkcemi a požadavky na omezené řízení.
+ Výhodou 
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+ je, že jejím výsledkem je zpětnovazební řízení.
+ Metoda je ale stále deterministická a nedokáže se vypořádat s nekvadratickými
+ ztrátovými funkcemi a požadavky na omezené řízení.
  
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-S výše zmíněnými problémy se snaží vypořádat modifikovaná iLQG, která bude
- použita pro srovnání s ústřední metodou této práce iLDP.
- Dále pak do kategorie smíšených metod spadá právě i metoda iLDP, která
- bude podrobně popsána v následující kapitole.
+S výše zmíněnými problémy se snaží vypořádat modifikovaná 
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+, která bude použita pro srovnání s ústřední metodou této práce 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+.
+ Dále pak do kategorie smíšených metod spadá právě i metoda 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+, která bude podrobně popsána v následující kapitole.
  
 \end_layout
@@ -2994 +3030 @@
 \begin_layout Chapter
 Algoritmy pro návrh řízení
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "cha:Algoritmy-pro-návrh"
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
@@ -3073 +3116 @@
 
 \begin_layout Standard
-Řízení LQG (z anglického 
+Řízení 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+ (z anglického 
 \begin_inset Quotes gld
 \end_inset
@@ -3084 +3131 @@
  funkci a Gaussovským šumem.
  Existují však různé modifikace i pro nelineární systémy.
- Algoritmus LQG je založen právě na 
+ Algoritmus 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+ je založen právě na 
 \emph on
 principu separace 
@@ -3173 +3224 @@
 zobecněného iterativního LQG 
 \emph default
-řízení (iLQG) pro účely nalezení lokálního zpětnovazebního řízení nelineárních
- stochastických systémů s kvadratickou ztrátou, ale navíc lze požadovat
- i omezené vstupy.
+řízení (
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+) pro účely nalezení lokálního zpětnovazebního řízení nelineárních stochastickýc
+h systémů s kvadratickou ztrátou, ale navíc lze požadovat i omezené vstupy.
  Obecně zahrnutí požadavku na omezené vstupy do ztrátové funkce způsobí
  porušení její kvadratičnosti, zmiňovaný algoritmus však řeší problém jinak,
@@ -3181 +3235 @@
  Dále s nelinearitou se algoritmus vypořádává tak, že systém v každém časovém
  kroku linearizuje vzhledem k reprezentativní trajektorii.
- Linearizovaný systém je pak řešen klasickým přístupem LQG, avšak v jeho
- průběhu je do výpočtů ještě zasahováno.
+ Linearizovaný systém je pak řešen klasickým přístupem 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+, avšak v jeho průběhu je do výpočtů ještě zasahováno.
  Jsou prováděny úpravy dílčích výsledků a opravy chyb z důvodu práce s linearozo
 vaným nelineárním systémem pro zajištění konvergence algoritmu.
@@ -3393 +3450 @@
 
 \begin_layout Standard
-Algoritmus iLDP byl vytvořen pro účely nalezení stochastického optimálního
- řízení v mnohadimenzionálních stavových a řídících prostorech.
+Algoritmus 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ byl vytvořen pro účely nalezení stochastického optimálního řízení v mnohadimenz
+ionálních stavových a řídících prostorech.
  Tento případ je častý zejména při řízení biologických pohybů.
  Metoda je popsána autory v článku 
@@ -3930 +3991 @@
 abychom měli dostatek dat pro určení koeficientů aproximací.
  I když nám volnost ve volbě aproximací přináší relativně velkou svobodu
- při návrhu algoritmu iLDP, jedná se současně i o největší slabinu, protože
- autoři explicitně neuvadějí jaké aproximace volit.
+ při návrhu algoritmu 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+, jedná se současně i o největší slabinu, protože autoři explicitně neuvadějí
+ jaké aproximace volit.
  Následně, při implementaci algoritmu pro systém s větším počtem dimenzí,
  může být Bellmanova funkce velmi složitá a právě její vhodnou aproximaci
@@ -4091 +4156 @@
 \begin_layout Subsection
 Předběžný odhad vlatností algoritmu
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "sub:Předběžný-odhad-vlatností"
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
@@ -4108 +4180 @@
  simulací, aby bylo zřejmé, která očekávání byla naplněna, a která nikoliv.
  Tento postup může být velmi užitečný zejména z důvodu posouzení, které
- charakteristické vlastnosti algoritmu iLDP jsou patrny pouze při letmém
- prostudovaní a naopak, pro které je nutno algoritmus implementovat a otestovat.
+ charakteristické vlastnosti algoritmu 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ jsou patrny pouze při letmém prostudovaní a naopak, pro které je nutno
+ algoritmus implementovat a otestovat.
 \end_layout
 
@@ -4118 +4194 @@
 \begin_layout Itemize
 duální metoda (lépe se vypořádá s neznalostí oproti neduálním metodám, například
- LQG)
+ 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+)
 \end_layout
 
@@ -4134 +4214 @@
 
 \begin_layout Itemize
-univerzálnost (vychází z obecných principů)
-\end_layout
-
-\begin_layout Itemize
-svoboda ve výběru konkrétních aproximací a minimalizací
+univerzálnost (vychází z obecných principů) a svoboda výběru konkrétních
+ aproximací a minimalizací
 \end_layout
 
@@ -4154 +4231 @@
 
 \begin_layout Itemize
-nepřesnost v důsledku aproximace klíčových funkcí v algoritmu
+nepřesnost v důsledku aproximace klíčových funkcí v algoritmu a problémy
+ s jejich volbou
 \end_layout
 
 \begin_layout Itemize
 implementační složitost
-\end_layout
-
-\begin_layout Itemize
-problémy s volbou aproximací
 \end_layout
 
@@ -4625 +4699 @@
 
 \begin_layout Standard
-Algoritmus LQG (
+Algoritmus 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+ (
 \begin_inset Quotes gld
 \end_inset
@@ -4639 +4717 @@
 jednoduchého systému
 \emph default
-, ale algoritmus LQG není duální.
+, ale algoritmus 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+ není duální.
  Nedokáže si tedy poradit s neznámým parametrem 
 \begin_inset Formula $b$
@@ -4654 +4736 @@
 
 .
- LQG algoritmus využívá Kalmanova filtru a dokáže tedy lépe zvládat šumy
- a nepřesnosti měření.
+ 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+ algoritmus využívá Kalmanova filtru a dokáže tedy lépe zvládat šumy a nepřesnos
+ti měření.
 \end_layout
 
@@ -4663 +4749 @@
 
 \begin_layout Standard
-Jak již bylo zmíněno v předchozím textu, řízení LQG je založeno na principu
- separace, tedy estimátor a regulátor jsou navrhovány zvlášť.
+Jak již bylo zmíněno v předchozím textu, řízení 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+ je založeno na principu separace, tedy estimátor a regulátor jsou navrhovány
+ zvlášť.
  Máme-li k dispozici matice, popisující systém, stačí pro nalezení řízení
  pouze dosadit do rovnic v částech 
@@ -4874 +4964 @@
 
 \begin_layout Standard
-Metoda iLQG je v podstatě rozšířením základního algoritmu pro nalezení LQ
- řízení a v triviálním případě se na tento algoritmus i redukuje.
+Metoda 
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+ je v podstatě rozšířením základního algoritmu pro nalezení LQ řízení a
+ v triviálním případě se na tento algoritmus i redukuje.
  Proto většinu z veličin charakterizujících systém, potřebných pro výpočet
- iLQG řízení, můžeme převzít z předchozí části o aplikaci LQG regulátoru.
+ 
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+ řízení, můžeme převzít z předchozí části o aplikaci 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+ regulátoru.
  Postup jejich výpočtu je totiž prakticky totožný.
  
@@ -5260 +5362 @@
 \begin_layout Section
 Synchronní motor s permanentními magnety
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "sec:Synchronní-motor-PMSP-upravy"
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
@@ -5633 +5742 @@
 
 \begin_layout Standard
-K implementaci iLDP algoritmu, je nutno podotknout, že jsem zatím nevytvořil
- funkční verzi.
+K implementaci 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ algoritmu, je nutno podotknout, že jsem zatím nevytvořil funkční verzi.
  Je to zejména z důvodu, že se nepodařilo nalézt vhodnou aproximaci Bellmanovy
  funkce.
- Přesto zde uvedu postup aplikace tohoto algoritmu.
+ Přesto je zde uveden postup aplikace tohoto algoritmu.
 \end_layout
 
@@ -5645 +5757 @@
 
 \begin_layout Standard
-Pro aplikaci iLDP metody je vhodné nejdříve zavést postačující statistiku.
+Pro aplikaci 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ metody je vhodné nejdříve zavést postačující statistiku.
  Volme tedy 
 \begin_inset Formula $\tilde{S}_{k}=\left(\hat{x}_{k},P_{k}\right)$
@@ -5762 +5878 @@
 
  předpokládáme jako zadanou konstantu.
- Pro minimalizaci v algoritmu iLDP je tedy třeba užít omezené minimalizace,
- zde je použita minimalizační funkce programu 
+ Pro minimalizaci v algoritmu 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ je tedy třeba užít omezené minimalizace, zde je použita minimalizační funkce
+ programu 
 \emph on
 Matlab 
@@ -5896 +6016 @@
  V případě vícerozměrného nelineárního systému to může být velmi náročné
  a nahodilé zkoušení volby různých aproximací zřejmě nemusí vést k cíli.
- Jednou z možností je, vyjít z jednodušší metody, například LQG nebo modifikovan
-é iLQG, a aproximace vytvořit po vzoru jejích funkcí.
+ Jednou z možností je, vyjít z jednodušší metody, například 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+ nebo modifikované 
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+, a aproximace vytvořit po vzoru jejích funkcí.
  Pak bychom však obdrželi v podstatě stejně 
 \begin_inset Quotes gld
@@ -5906 +6033 @@
 \end_inset
 
- metodu, jako je ta, ze které jsme vyšli, jenom by byl náš algoritmus iLDP
+ metodu, jako je ta, ze které jsme vyšli, jenom by byl náš algoritmus
+\emph on
+ iLDP
+\emph default
  časově náročnější z důvodu numerických výpočtů.
- Vhodným kandidátem na metodu z níž by bylo možné vyjít je algoritmus LQG,
- pomocí kterého se podařilo implementovat funkční řízení.
+ Vhodným kandidátem na metodu z níž by bylo možné vyjít je algoritmus 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+, pomocí kterého se podařilo implementovat funkční řízení.
 \end_layout
 
@@ -5917 +6050 @@
 
 \begin_layout Standard
-Zde navržený algoritmu LQG není duální, neurčitosti v systému tedy zvládá
- hůře než případná duální metoda.
+Zde navržený algoritmu 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+ není duální, neurčitosti v systému tedy zvládá hůře než případná duální
+ metoda.
  Dále algoritmus předpokládá lineární systém a kvadratickou ztrátu.
  Ztrátu jsme, z důvodu jednoduchosti, jako kvadratickou volili již na počátku,
  je ale třeba linearizovat systém v každém časovém kroku.
- Dále LQG je založeno na principu separace, tedy estimátor a regulátor navrhujem
-e zvlášť.
+ Dále 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+ je založeno na principu separace, tedy estimátor a regulátor navrhujeme
+ zvlášť.
  Estimátorem zvolíme rozšířený Kalmanův filtr, jehož rovnice jsou uvedeny
  v části 
@@ -6104 +6245 @@
 
 \begin_layout Standard
+Ještě je třeba zmínit, že pro nalezení řízení synchronního motoru není využito
+ 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+ návrhu přesně tak, jak byl popsán v kapitole 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "cha:Algoritmy-pro-návrh"
+
+\end_inset
+
+, ale algoritmus je zde drobně vylepšen pomocí takzvaného 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+ubíhajícího horiznontu
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+ (v anglické literatuře označováno jako 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+receding horizon
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+).
+ Princip spočívá v tom, že řízení není předpočteno pro celý časový horizont,
+ pro který jej navrhujeme, ale vypočteme jej pouze pro pevně stanovený pomocný
+ časový horizont.
+ Tento pomocný horizont pak v každém časovém kroku posouváme po původní
+ celkové časové ose, tak aby pomocný horizont začínal vždy v časovém kroku
+ 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ celkové časové osy, pro který chceme navrhnout řízení.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
 \begin_inset Newpage newpage
 \end_inset
@@ -6126 +6309 @@
 
 \begin_layout Standard
-Pro testované systémy viz kapitola
+Pro testované systémy viz kapitola 
 \begin_inset CommandInset ref
 LatexCommand ref
@@ -6155 +6338 @@
  odchylek výstupu od požadované hodnoty, tedy
 \begin_inset Formula \[
-J_{alg}=\sum_{k=0}^{N-1}\left(y_{k+1}-r_{k+1}\right)^{2}.\]
+J_{alg}=\sum_{k=0}^{K-1}\left(y_{k+1}-r_{k+1}\right)^{2}.\]
 
 \end_inset
 
 Při porovnávání jednotlivých algoritmů nebyly samozřejmě uvažovány výsledky
- jednoho běhu výpočtu, ale provedlo se běhů více a následně byly výsledky
- zpracovány statisticky.
+ jednoho běhu výpočtu, ale provedlo se běhů více a následně byla pro výsledky
+ vypočtena jejich střední hodnota.
 \end_layout
 
@@ -6191 +6374 @@
 
  v čase 
-\begin_inset Formula $k=0$
+\begin_inset Formula $k=1$
 \end_inset
 
@@ -6211 +6394 @@
 \begin_layout Labeling
 \labelwidthstring 00.00.0000
-\begin_inset Formula $\mathrm{E}b$
+\begin_inset Formula $\hat{b}$
 \end_inset
 
@@ -6275 +6458 @@
 \end_layout
 
+\begin_layout Subsection
+Testovací shémata jednoduchého systému
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Pro porovnání jednotlivých algortimů stačí zadat do skriptu konkrétní hodnoty
+ parametrů, které budou pro jednotlivá schémata uvedena dále.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Jednotlivé algoritmy z části 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sec:Jednoduchý-systém-pro-testovani"
+
+\end_inset
+
+ budou v následujícím textu označeny po řadě zkratkami:
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\emph on
+CE
+\emph default
+ triviální CE regulátor;
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\emph on
+sLQ
+\emph default
+ jednoduchá verze LQ regulátoru;
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\emph on
+LQ
+\emph default
+ druhá verze LQG řízení s odhadem parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+;
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+ řízení iLQG;
+\end_layout
+
+\begin_layout Labeling
+\labelwidthstring 00.00.0000
+
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ algoritmus iterativního lokálního dynamického programování.
+\end_layout
+
 \begin_layout Section
-Výsledky algoritmu iLDP
+Výsledky algoritmů pro jednoduchý systém
 \end_layout
 
@@ -6284 +6536 @@
 
 \begin_layout Standard
-(testování možná i jen pro iLDP bez ostatních)
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-(použité počáteční hodnoty)
+Volba počáteční nastavení, tedy parametrů skriptu pro volání funkcí byla
+ v jednotlivých testovacích schématech následující: 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Počáteční hodnota a referenční signál byly voleny jako
+\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
+y_{0} & = & 0,\\
+y_{r} & = & 1.\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ Z důvodu linearity úlohy je možné je libovolně posunout a přeškálovat,
+ není tedy uvažováno testování pro jiné hodnoty.
+ Variance šumu 
+\begin_inset Formula $\sigma^{2}$
+\end_inset
+
+ je volena pomocí odchylky
+\begin_inset Formula \[
+\sigma=0,1.\]
+
+\end_inset
+
+Pro metodu 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ je pak parametr okolí položen 
+\begin_inset Formula $\rho=0,5$
+\end_inset
+
+, není-li uvedeno jinak.
+ Časový horizont pro výpočty je 
+\begin_inset Formula $K=5$
+\end_inset
+
+, což se jeví dostatečným pro dosažení požadované hodnoty.
+ Dále je v testovacích schématech použit počet vzorkových trajektorií 
+\begin_inset Formula $N=100$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Středem našeho zájmu je volba střední hodnoty a variance neznámého parametru
+ 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+.
+ Zejména volbou variance 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ určujeme míru neznalosti parametru a tedy i nutnost užití duální metody.
+ Bude-li 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ velmi malé, skutečná hodnota 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ se přiblíží střední hodnotě 
+\begin_inset Formula $\hat{b}$
+\end_inset
+
+ a dobré řízení nám poskytnou i neduální metody založené na předpokladu,
+ že 
+\begin_inset Formula $b=\hat{b}$
+\end_inset
+
+.
+ S rostoucí variancí 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ se však začnou vyskytovat realizace, kdy se skutečná hodnota 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ výrazně odlišuje od střední hodnoty 
+\begin_inset Formula $\hat{b}$
+\end_inset
+
+ a právě tam neduální metody dosáhnou příliš velké ztráty, nebo úplně selžou
+ v úkolu řízení.
+ Z tohoto důvodu byly testovány všechny kombinace pro volby parametrů
+\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
+\hat{b} & = & 0;\;1;\;10;\\
+P & = & 0,01;\;0,1;\;1;\;10.\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Výsledky porovnání algoritmů
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Nyní porovnáme výsledky jednotlivých algoritmů a to hlavně podle dosažené
+ hodnoty průměrné ztráty.
+ Průměrná ztráta pro každý algoritmus je počítáma jako aritmetický průměr
+ 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ ztrát 
+\begin_inset Formula $J_{alg}$
+\end_inset
+
+ dosažených pro každou z 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ vzorkových simulačních trajektorií.
+ Tento postup, založený na průměrné ztrátě, je volen především z důvodu
+ omezení vlivu šumu, který se pro každou konkrétní realizaci může nagenerovat
+ jinak, více či méně 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+příznivě
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+ pro daný algoritmus.
+ Pro srovnání, je minimální ztráta, které algoritmus může dosáhnout rovna
+ 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+.
+ Je to způsobeno tím, že počáteční nastavení v prvním časovém kroku je voleno
+ jako počáteční podmínka 
+\begin_inset Formula $y_{1}=0$
+\end_inset
+
+, přičemž ale požadovaná hodnota 
+\begin_inset Formula $y_{r}=1.$
+\end_inset
+
+ Ideální řízení může dosáhnout požadované hodnoty nejdříve v čase 
+\begin_inset Formula $2$
+\end_inset
+
+ a tedy vždy bude ztráta nejméně 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+.
+ Dále je třeba uvažovat chybu v důsledku šumu, který se generuje náhodně.
+ Řízení se s ním ale vypořádává až následně, tedy nelze chybě v důsledku
+ šumu předcházet a je ji nutno zahrnout do úvažování o minimální možné ztrátě.
+ Naopak, pro srovnání, když uvažujeme nulové řízení na celém časovém horizontu,
+ hodnota 
+\begin_inset Formula $y_{k}$
+\end_inset
+
+ se drží přibližně, až na odchylky v důsledku šumu, na nulové hodnotě.
+ Tento stav můžeme zřejmě označit za nesplnění našeho cíle řízení, protože
+ veličina 
+\begin_inset Formula $y_{k}$
+\end_inset
+
+ zůstává konstantně na nule i když se chceme dostat na 
+\begin_inset Formula $y_{r}=1$
+\end_inset
+
+.
+ Přitom ztráta dosažená v tomto negativním případě je na zvoleném časovém
+ horizontu rovna 
+\begin_inset Formula $J=5$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Při porovnávání výsledků pro všechny volby parametrů 
+\begin_inset Formula $\hat{b}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ je postupováno s rostoucí variancí, od nejnižšího 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ až k 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ nejvyššímu, tedy ve směru růstu potřeby duálního přístupu.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Volba variance 
+\begin_inset Formula $P=0,01$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Při porovnání průměrných ztrát pro 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=10$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+ v grafu Obrázek 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "Flo:bars001"
+
+\end_inset
+
+, kde je volena malá variance 
+\begin_inset Formula $P=0,01$
+\end_inset
+
+, je vidět, že i neduální metody poskytují dobré řízení.
+ Rozdíly ztrát jsou téměř zanedbatelné, a která metoda dosáhla nepatrně
+ vyšší nebo nižší ztráty je ovlivněno prakticky jen konkrétní realizací
+ šumu.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Velký problém však nastává při volbě 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=0$
+\end_inset
+
+, tedy střední hodnota neznámého parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ je nulová a jeho variance je velmi malá.
+ Z tohoto důvodu je naprostá většina skutečných realizací parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ velmi blízko nule, a právě to způsobuje některým algoritmům značné problémy.
+ Jedná se zejména o algoritmus 
+\emph on
+sLQ
+\emph default
+ jehož řešení a následně i ztráta jsou nedefinovány (
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+NaN
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+ v grafu je z anglického Not-a-Number; tuto hodnotu produkuje program 
+\emph on
+Matlab
+\emph default
+ při nedefinované operaci, nejčastěji typu 
+\begin_inset Formula $0\cdot\infty$
+\end_inset
+
+).
+ Dále značně velké ztráty dosahuje algoritmus 
+\emph on
+CE
+\emph default
+.
+ Jak bylo zmíněno v části 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sub:Aplikace-metody-CE-naJS"
+
+\end_inset
+
+, tato metoda má problematické chování, když se skutečná hodnota 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ blíží k 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+.
+ Částečně tento problém řeší přídání pomocného parametru 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+, avšak ztráta stále dosahuje velmi vysokých hodnot a algoritmus se v tomto
+ případě jeví nepoužitelným.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Vyšší hodnoty průměrné ztráty dosahuje i algoritmus 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+, který v implementaci použité v této práci vykazuje obecně špatné chování
+ v blízkosti nulové hodnoty pro neznámý parametr 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+.
+ Tento problém bude ještě podrobněji rozebrán v diskuzi k této metodě.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Volba variance 
+\begin_inset Formula $P=0,1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dosažené průměrné ztráty na grafu Obrázek 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "Flo:bars01"
+
+\end_inset
+
+ pro vyšší hodnutu variance 
+\begin_inset Formula $P=0,1$
+\end_inset
+
+ jsou pro střední hodnoty 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=10$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+ opět přibližně stejné u všech algoritmů.
+ Je zde ale již patrný vliv větší variance, kdy nejjednodušší algoritmy
+ 
+\emph on
+CE
+\emph default
+ a 
+\emph on
+sLQ
+\emph default
+ dosahují průměrné ztráty nepatrně vyšší.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+V případě střední hodnoty neznámého parametru rovné 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=0$
+\end_inset
+
+ selhává řízení 
+\emph on
+sLQ
+\emph default
+ stejně jako pro varianci 
+\begin_inset Formula $P=0,01$
+\end_inset
+
+.
+ Podobně ztráta dosažená metodou 
+\emph on
+CE
+\emph default
+ je ještě o několik řádů vyšší než v předchozím případě.
+ Nejznatelnější zhoršení je však na straně algoritmu 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+, který pro 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=0$
+\end_inset
+
+ vůbec nenalezne řešení.
+ Dokonce ani v jednom z testovacích spuštění skriptu pro uvažované hodnoty
+ nedoběhl algoritmus 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ do konce a vždy zhavaroval v průběhu výpočtu, zpravidla kvůli počítání
+ s hodnotami 
+\emph on
+NaN
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Volba variance 
+\begin_inset Formula $P=1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Graf Obrázek 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "Flo:bars1"
+
+\end_inset
+
+ zobrazuje hodnoty dosažených průměrných ztrát pro hodnotu variance 
+\begin_inset Formula $P=1$
+\end_inset
+
+.
+ Při volbě střední hodnoty 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=10$
+\end_inset
+
+ jsou průměrné ztráty velmi nízké a poměrně vyrovnané.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Střední hodnota 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+ již může být pro některé algoritmy problematická, protože současně je variance
+ volena jako 
+\begin_inset Formula $P=1$
+\end_inset
+
+ a tedy značně narůstá pravděpodobnost konkrétní realizace parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ jehož skutečná hodnota bude velmi blízko nuly.
+ Právě to se nejvýrazněji projevuje u algoritmů 
+\emph on
+CE
+\emph default
+,
+\emph on
+ sLQ
+\emph default
+ a 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Volba 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=0$
+\end_inset
+
+ pak dává prakticky stejné výsledky jako předchozí případ pro 
+\begin_inset Formula $P=0,1$
+\end_inset
+
+, kdy metoda 
+\emph on
+CE
+\emph default
+ dosahuje nepřijatelně velké ztráty a algortimy 
+\emph on
+sLQ
+\emph default
+ a 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ vůbec nenaleznou řešení.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Volba variance 
+\begin_inset Formula $P=10$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Pro relativně velkou hodnotu variance 
+\begin_inset Formula $P=10$
+\end_inset
+
+ jsou průměrné dosažené ztráty jednotlivých algoritmů zachyceny na grafu
+ Obrázek 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "Flo:bars10"
+
+\end_inset
+
+.
+ Při střední hodnotě 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=10$
+\end_inset
+
+ je dosaženo nízkých a vyrovnaných hodnot ztráty.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Volba 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+ je opět problematická pro metody 
+\emph on
+CE
+\emph default
+ a 
+\emph on
+sLQ 
+\emph default
+a algoritmus 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ v tomto případě vůbec nenalezne řešení.
+ Jako jediné použitelné se v tomto případě jeví algoritmy 
+\emph on
+LQ
+\emph default
+ a 
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Problematická volba střední hodnoty 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=0$
+\end_inset
+
+ pak dává výsledky analogické předchozím dvěma volbám variance 
+\begin_inset Formula $P=1$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $P=0,1$
+\end_inset
+
+, tedy algoritmy 
+\emph on
+sLQ 
+\emph default
+a 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ nenalézají řešení a 
+\emph on
+CE
+\emph default
+ dosahuje extrémní průměrné ztráty.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Chování jednotlivých algoritmů
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Oproti porovnání ztrát algoritmů mezi sebou, v této části porovnáme průměrné
+ ztráty každého konkrétního algorimu pro různé volby parametrů 
+\begin_inset Formula $\hat{b}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+.
+ Tímto postupem získáme lepší představu, pro jaké volby parametrů je algoritmus
+ vhodnější, méně vhodný, popřípadě nepoužitelný.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+CE
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Následující tabulka obsahuje hodnoty průměrných ztrát dosažených pomocí
+ metody 
+\emph on
+CE
+\emph default
+ pro různé volby parametrů 
+\begin_inset Formula $\hat{b}$
+\end_inset
+
+ (řádek) a 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ (sloupec).
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="5" columns="4">
+<features>
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<column alignment="center" valignment="middle" width="0">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $P\setminus\hat{b}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+10
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0,01
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="middle" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0432
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0909
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+4.4083e+17
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0,1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0851
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.2129
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.3361e+22
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0609
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+103.4646
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+6.2953e+25
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+10
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.2402
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+2.2735e+06
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+7.8254e+29
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Z tabulky je patrno, že řízení 
+\emph on
+CE
+\emph default
+ dosahuje nízké ztráty při dostatečné znalosti neznámého parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+, tedy při nízké varianci 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+, ovšem za předpokladu, že se se střední hodnotou parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ nacházíme dostatečně daleko od nuly.
+ Právě nulová hodnota je pro metodu 
+\emph on
+CE
+\emph default
+ kritická, což se snažíme do jisté míry kompenzovat přidáním malého parametru
+ 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+.
+ Jak je ale vidět v posledním sloupci tabulky, pro volbu 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=0$
+\end_inset
+
+ se jeví 
+\emph on
+CE
+\emph default
+ jako nepoužitelné.
+ Dále se jedná o neduální metodu a tedy při velké varianci a tedy neznalosti
+ o skutečné hodnotě parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ dosahujeme velké ztráty.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+sLQ
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="5" columns="4">
+<features>
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $P\setminus\hat{b}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+10
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0,01
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0485
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0325
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+NaN
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0,1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0635
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.2078
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+NaN
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0729
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+18.6880
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+NaN
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+10
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.1987
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+5.7873e+05
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+NaN
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\color black
+Pro algortimus 
+\emph on
+sLQ
+\emph default
+ je z tabulky průměrných ztrát zřejmé, že algoritmus zcela selhává pro střední
+ hodnotu 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=0$
+\end_inset
+
+ a v tomto případě vůbec nenalézá řízení.
+ Pro střední hodnoty 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=10$
+\end_inset
+
+, které jsou dostatečně daleko od nuly, již metoda nalézá ve většině případů
+ použitelné řízení a ztráta je pak vyrovnaná, zejména při konkrétní volbě
+ 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=10$
+\end_inset
+
+.
+ V důsledku neduálnosti algoritmu se však projevuje nárůst variance zvýšením
+ průměrné ztráty.
+ Při volbě 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+ je ztráta již příliš vysoká pro variance 
+\begin_inset Formula $P=1$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $P=10$
+\end_inset
+
+ a řízení dosahuje nepřijatelně velké ztráty.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+LQ
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="5" columns="4">
+<features>
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $P\setminus\hat{b}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+10
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0,01
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0323
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0461
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0237
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0,1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0447
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0994
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0592
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0626
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0252
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0622
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+10
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0762
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0329
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0472
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Algoritmus 
+\emph on
+LQ
+\emph default
+ se jeví jako nejlepší ze zde testovaných algoritmů.
+ A to ve srovnání s ostatnímí, ale i jak je patrno z tabulky průměrných
+ ztrát.
+ Dosažená hodnota průměrné ztráty je velmi nízká a to pro všechny případy
+ volby parametrů 
+\begin_inset Formula $\hat{b}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+.
+ Uvažujeme samozřejmě verzi LQ řízení pro upravený systém, kdy je zahrnut
+ do stavových proměných i odhad skutečného parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ v podobě jeho střední hodnoty a variance jako postačující statistiky.
+ Jedná se tedy v podstatě o duální přístup, který je však narozdíl od složitější
+ch algoritmů, řešen pouze linearizací v každém časovém kroku, ale bez aproximací
+ a numerických výpočtů.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+iLQG
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="5" columns="4">
+<features>
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $P\setminus\hat{b}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+10
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0,01
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0374
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0418
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.9138
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0,1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0372
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0663
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+2.1010
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0445
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.5009
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+2.2043
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+10
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0691
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.9873
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+2.2035
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ztráty dosažené aplikací 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ na jednoduchý systém, jak je vidět v tabulce, jsou celkově relativně nízké.
+ Problematičtější chování vykazuje metoda při volbě střední hodnoty 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=0$
+\end_inset
+
+, kdy se ztráta pro všechny volby variance 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ pohybuje okolo 
+\begin_inset Formula $2$
+\end_inset
+
+.
+ I když hodnota ztráty v tomto případě není ideální, nemusí to však přímo
+ znamenat nedosažení požadované hodnoty.
+ Chování výstupní trajektorie je patrné z uvedených grafů v části 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sub:Průběh-skutečné-hodnoty-y"
+
+\end_inset
+
+.
+ Pro 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+ začne ztráta znatelně růst až při volbě variance 
+\begin_inset Formula $P=1$
+\end_inset
+
+ a více, tedy když se začnou vyskytovat realizace skutečného parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ blízko problematické nuly.
+ Střední hodnota 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=10$
+\end_inset
+
+ pak není problematická pro žádnou hodnotu 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+iLDP
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="5" columns="4">
+<features>
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $P\setminus\hat{b}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+10
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0,01
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0571
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0820
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+6.4312
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0,1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0423
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.1202
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+NaN
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.0432
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.5862e+016
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+NaN
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+10
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1.1097
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+NaN
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+NaN
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Algoritmus 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ se vyznačuje problematickým chováním, jak už bylo uvedeno v porovnání s
+ ostatními metodami, pro skutečnou hodnotu neznámého parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ blízko nuly.
+ V tabulce průměrných ztrát můžeme vypozorovat, že ztráta je příliš vysoká
+ právě v případě kdy je střední hodnota 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=0$
+\end_inset
+
+, a dále je-li 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+ a současně je variance 
+\begin_inset Formula $P=1$
+\end_inset
+
+ nebo 
+\begin_inset Formula $P=10$
+\end_inset
+
+, tedy je vyšší pravděpodobnost výskytu realizací skutečné hodnoty 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ blízkých nule.
+ V ostatních případech dosahuje řízení získané pomocí algoritmu 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ relativně nízké průměrné ztráty.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Průběh skutečné hodnoty 
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "sub:Průběh-skutečné-hodnoty-y"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Pro ilustraci vývoje hodnoty veličiny 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+, kterou chceme řídit z 
+\begin_inset Formula $y_{0}$
+\end_inset
+
+ na požadovanou hodnotu 
+\begin_inset Formula $y_{r}$
+\end_inset
+
+, jsou v této části uvedeny příklady grafů průběhů 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ pro jednotlivé algoritmy.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Na grafech Obrázek 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "Flo:porovnani-prubehu-y"
+
+\end_inset
+
+ je možné porovnat průběhy 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ jako řešení jednotlivých algoritmů.
+ V obou případech je volena střední hodnota 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+ a variance je na prvním grafu 
+\begin_inset Formula $P=0,01$
+\end_inset
+
+ a na druhém 
+\begin_inset Formula $P=0,1$
+\end_inset
+
+.
+ Je možno pozorovat, jak s rostoucí variancí poskytují některé algoritmy
+ horší výsledek.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Grafy Obrázek 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "Flo:prubeh-y-ce"
+
+\end_inset
+
+ zobrazují průběhy hodnot 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ při užití řízení 
+\emph on
+CE
+\emph default
+.
+ Je volena střední hodnota 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+ a postupně všechny testované variance 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+.
+ Každá z barevných čar pak reprezentuje jednu vzorkovou trajektorii, kterých
+ bylo celkem 
+\begin_inset Formula $100$
+\end_inset
+
+.
+ Šum způsobuje, že každá z generovaných trajektorií má trochu jiný průběh
+ a tedy všechny nesplývají v jednu, ale tvoří jakousi 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+trubici
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+.
+ To je nejvíce patrné zejména pro volbu variance 
+\begin_inset Formula $P=0,01$
+\end_inset
+
+.
+ Průměrováním této 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+trubice
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+ je pak získávána průměrná trajektorie použitá například v grafu Obrázek
+ 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "Flo:porovnani-prubehu-y"
+
+\end_inset
+
+.
+ Při vyšších variancích 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ se pak již projevuje i vliv chyby v důsledku neznalosti skutečné hodnoty
+ parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+, protože jej předpokládáme rovný jeho střední hodnotě.
+ Pro 
+\begin_inset Formula $P=0,1$
+\end_inset
+
+ lze pozorovat, že některé trajektorie, jedná se o ty, kdy je skutečná hodnota
+ 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ blízko střední hodnotě 
+\begin_inset Formula $\hat{b}$
+\end_inset
+
+, mají požadovaný průběh.
+ Naopak lze zřetelně odlišit případy, kdy došlo k nepříznivé realizaci 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+.
+ V těchto případech 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ vůbec nedosahuje požadované hodnoty 
+\begin_inset Formula $y_{r}$
+\end_inset
+
+ a naopak kolem ní osciluje.
+ Při volbě ještě větších variancí pak narůstá četnost trajektorií, které
+ místo příblížení požadované hodnotě dokonce divergují.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Průběhy 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ při volbě 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+ s 
+\emph on
+sLQ
+\emph default
+ řízením jsou zobrazeny na grafech Obrázek 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "Flo:prubeh-y-slq"
+
+\end_inset
+
+.
+ Význam jednotlivých barevných čar je v tomto i následujících bodech analogický
+ jako v předchozím bodě.
+ Podobně je možno pozorovat růst počtu 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+nevyhovujících
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+ trajektorií 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ s růstem variance 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Při 
+\emph on
+LQ
+\emph default
+ řízení, s průběhy 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ na grafech Obrázek 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "Flo:prubeh-y-lq"
+
+\end_inset
+
+, je dosaženo dobrých výsledků, kdy 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ již od času 
+\begin_inset Formula $2$
+\end_inset
+
+ sleduje požadovanou hotnotu 
+\begin_inset Formula $y_{r}$
+\end_inset
+
+.
+ Samozřejmě je zde nutno přihlédnout k chybě v důsledku šumu, tedy jednotlivé
+ vzorkové trajektorie opět tvoří 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+trubici
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+ okolo požadované hodnoty.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Grafy Obrázek 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "Flo:prubeh-y-ilqg"
+
+\end_inset
+
+ zobrazují trajektorie 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ pro 
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+ řízení.
+ Zde je zajímavé, že narozdíl od případů pro 
+\emph on
+CE
+\emph default
+ a 
+\emph on
+sLQ
+\emph default
+ řízení, kdy docházelo k oscilacím a divergujícím trajektoriím, v tomto
+ případě, dochází spíše k odchýlení trajektorie od požadovaného průběhu.
+ První dvě řízení totiž nejsou duální a užíváme principu 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+certainty equivalence
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+.
+ Tedy algoritmy navrhnou řídící zákrok, ten je ale vzhledem k chybnému předpokla
+du o hodnotě parametu 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ špatný a 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ nabude jiné hodnoty, než jsme zamýšleli.
+ V dalším kroku se snažíme vrátit, ale řídící zákrok je opět špatný.
+ Následně může dojít k oscilacím nebo dokonce k divergenci.
+ Chyby jsou zde způsobeny velkým rozdílem skutečné hodnoty parametu 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ od jeho střední hodnoty, se kterou počítáme.
+ Naproti tomu v případě 
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+ odhadujeme neznámý parametr 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ a chyby jsou zde v důsledku nepřesných výpočtů a následné linearizace vůči
+ špatné trajektorii.
+ Zejména při skutečné hodnotě 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ blízko nuly.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Na závěr grafy průběhů 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ pro algoritmus 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ jsou na Obrázku 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "Flo:prubeh-y-ildp"
+
+\end_inset
+
+.
+ Pro tento algoritmus je problematická skutečná hodnota parametru 
+\begin_inset Formula $b=0$
+\end_inset
+
+.
+ A protože algoritmus využívá výpočtů na vzorkových trajektoriích reprezentující
+ch okolí, dokonce i jedna z trajektorií, která se výrazným způsobem odchýlí
+ od ostatních, a tedy od očekávaného průběhu 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+, může narušit výsledek, nebo dokonce samotný běh algoritmu.
+ To je možno pozorovat pro volbu 
+\begin_inset Formula $P=1$
+\end_inset
+
+, kdy 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ výrazně diverguje od požadované hodnoty 
+\begin_inset Formula $y_{r}$
+\end_inset
+
+.
+ A dále v případě 
+\begin_inset Formula $P=10$
+\end_inset
+
+ algroritmus vůbec nedokončí výpočet.
+ 
 \end_layout
 
 \begin_layout Section
-Výsledky ostatních použitých metod
+Výsledky pro synchronní motor
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+V této části jsou uvedeny výsledky pro úlohu nalezení řízení synchronního
+ motoru s permanentními magnety.
+ Funkční řízení se však podařilo nalézt pouze pomocí algoritmu 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+.
+ Použitelnou implementaci algoritmu 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ se nepodařilo vytvořit, tento problém bude rozebrán v diskuzi (část 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sec:Diskuze"
+
+\end_inset
+
+), a tedy budou uvedeny výsledky pouze pro metodu 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+.
 \end_layout
 
 \begin_layout Subsection
-Pozorované výsledky 
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-(získané výsledky v podobě tabulek, grafů a bar-grafů)
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-(slovní závěry pro jednotlivé metody)
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-(charakteristické rysy budou rekapitulovány v závěru)
+Specifikace parametrů a konstant
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Pro výpočet řízení modelu synchronního motoru s permanentními magnety byly
+ v části 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sec:Synchronní-motor-PMSP-upravy"
+
+\end_inset
+
+ uvedeny příslušné rovnice.
+ Následně byly odvozeny detaily konkrétních implementace pro použité algoritmy.
+ Pro získání výsledků a ověření použitelnosti řízení je však ještě třeba
+ specifikovat konkrétní hodnoty jednotlivých konstant a parametrů.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Konstanty v rovnicích motoru
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Pro účely testování algoritmů volíme konstanty následovně:
+\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
+R_{s} & = & 0,28;\\
+L_{s} & = & 0,003465;\\
+\Psi_{PM} & = & 0,1989;\\
+B & = & 0;\\
+T_{L} & = & 0;\\
+k_{p} & = & 1,5;\\
+p_{p} & = & 4,0;\\
+J & = & 0,04;\\
+\Delta k & = & 0,000125.\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+Což vede na zjednodušené koeficienty:
+\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
+a & = & 0,9898;\\
+b & = & 0,0072;\\
+c & = & 0,0361;\\
+d & = & 1;\\
+e & = & 0,0149.\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Kovarianční matice
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Kovarianční matice 
+\begin_inset Formula $M_{k}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $N_{k}$
+\end_inset
+
+ předpokládámé známe a pro účely testování je volíme následovně:
+\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
+M_{k} & = & \mathrm{diag\left(0,0013;\:0,0013;\:5e-6;\:1e-10\right),}\\
+N_{k} & = & \mathrm{diag}\left(0,0006;\:0,0006\right).\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Omezení na vstupy
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Na vstupy 
+\begin_inset Formula $u_{k}$
+\end_inset
+
+ klademe omezení 
+\begin_inset Formula $u_{\alpha}^{2}+u_{\beta}^{2}\leq u_{max}^{2}$
+\end_inset
+
+, kde volíme
+\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
+u_{max} & = & 100.\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Ztrátová funkce
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Do ztrátové funkce je třeba zvolit jediný parametr a to prvek 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ na diagonále matice 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+.
+ Tento parametr odpovídá penalizaci za vstupy, ale vstupy chceme upravit
+ pouze tak, aby splňovaly výše uvedenou podmínku.
+ Je tedy třeba parametr 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ experimentálně naladit.
+ Jako vhodná volba se na základě experimentů jeví hodnota
+\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
+r & = & 0,000001.\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Časový horizont a vzorky
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Časový horizont je volen 
+\begin_inset Formula $K=20$
+\end_inset
+
+ a vzorkových trajektorií je podobně jako v předchozím případě jednoduchého
+ systému zvoleno 
+\begin_inset Formula $N=100$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Požadovaná hodnota
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Jako hodnotu požadovaných otáček volíme
+\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
+\overline{\omega} & = & 1,15.\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+Uvážíme-li relativně malou periodu vzorkování 
+\begin_inset Formula $\Delta k$
+\end_inset
+
+, tato hodnota se jeví jako dosažitelnou z počáteční hodnoty 
+\begin_inset Formula $\omega_{0}$
+\end_inset
+
+ při použitém časovém horizontu 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Počáteční podmínky
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Poslední, co je třeba zvolit, jsou počáteční podmínky pro testovaný systém.
+ Ty samozřejmě neznáme přesně.
+ Nemůžeme totiž měřit stav, zejména polohu a otáčky hřídele.
+ Abychom mohli testovat chování algoritmu při rostoucí potřebě duálního
+ přístupu, podobně jako pro jednoduchý systém, budeme volit stejné střední
+ hodnoty, ale postupně rostoucí varianci.
+ To se bude týkat variance polohy hřídele, to jest úhlu natočení.
+ Volíme tedy počáteční střední hodnoty:
+\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
+\hat{i}_{\alpha,0} & = & 0,\\
+\hat{i}_{\beta,0} & = & 0,\\
+\hat{\omega}_{0} & = & 1,\\
+\hat{\vartheta}_{0} & = & \frac{\pi}{2}.\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+A počáteční variance variance postupně: 
+\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
+P_{0} & = & \mathrm{diag\left(0,01;\:0,01;\:0,01;\:0,01\right),}\\
+P_{0} & = & \mathrm{diag}\left(0,01;\:0,01;\:0,01;\:0,1\right),\\
+P_{0} & = & \mathrm{diag}\left(0,01;\:0,01;\:0,01;\:1\right),\\
+P_{0} & = & \mathrm{diag}\left(0,01;\:0,01;\:0,01;\:10\right).\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
 \begin_layout Subsection
-CE
-\end_layout
-
-\begin_layout Subsection
+Pozorované výsledky
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Algoritmus 
+\emph on
 LQG
-\end_layout
-
-\begin_layout Subsection
-iLQG
+\emph default
+ implementovaný pro účely nalezení řízení synchronního motoru v této práci
+ je sice navržen tak, aby dobře zvládal šum (pomocí rozšířeného Kalmanova
+ filtru), ale nejedná se o duální metodu.
+ Tedy s rostoucí variancí neznámých hodnot stavu, zejména polohy hřídele
+ motoru, kterou sledujeme, poskytuje algoritmus horší řízení a dosahuje
+ tedy i vyšší ztráty.
+ O tom se můžeme přesvědčit v tabulce průměrných ztrát sestavené na základě
+ simulací.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Simulace byly provedeny analogickým postupem jako pro jednoduchý systém,
+ kdy průměrná ztráta je střední hodnotou ze ztrát dosažených pro každou
+ z 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ vzorkových trajektorií s různou náhodnou realizací počátečních podmínek
+ a šumu.
+ Ztráta pro jednotlivou vzorkovou trajektorii je opět počítána pouze na
+ základě odchylky od požadované hodnoty, tedy jako 
+\begin_inset Formula \[
+J=\sum_{k=0}^{K-1}\left(\omega_{k+1}-\overline{\omega}_{k+1}\right)^{2}=\sum_{k=0}^{K-1}\psi_{k+1}^{2}.\]
+
+\end_inset
+
+Dále označíme 
+\begin_inset Formula $P_{\vartheta}=P_{0}^{(4,4)}$
+\end_inset
+
+, tedy právě počáteční varianci polohy hřídele, kterou budeme měnit a v
+ závislosti na této změně pozorovat dosažené ztráty.
+ Pak jsou dosažené průměrné ztráty 
+\begin_inset Formula $\overline{J}$
+\end_inset
+
+ pomocí algoritmu 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+ následující:
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Tabulka průměrných ztrát
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="2" columns="5">
+<features>
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<column alignment="center" valignment="top" width="0">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $P_{\vartheta}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0,01
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0,1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+10
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\emph on
+\begin_inset Formula $\overline{J}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0,0776
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+0,1074
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+3,3982
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+NaN
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Průběhy stavových veličin
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ještě lépe je možno pozorovat výsledky algoritmu při rostoucí varianci na
+ grafech průběhů stavových veličin systému.
+ Podobně jako pro jednoduchý systém jsou zde různými barvami zobrazeny jednotliv
+é vzorkové trajektorie, které tvoří 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+trubici
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+ v důsledku šumu.
+ Protože je algoritmus 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+ neduální, s rostoucí variancí poskytuje špatné řízení a to zpravidla v
+ těch případech, kdy skutečné hodnoty polohy hřídele 
+\begin_inset Formula $\vartheta$
+\end_inset
+
+ jsou vzdáleny střední hodnotě, se kterou počítáme.
+ Jednotlivé průběhy jsou zachyceny v grafech: Obrázek 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "Flo:pmsm-prubeh-pth-001"
+
+\end_inset
+
+ pro volbu variance 
+\begin_inset Formula $P_{\vartheta}=0,01$
+\end_inset
+
+, Obrázek 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "Flo:pmsm-prubeh-pth-01"
+
+\end_inset
+
+ pro 
+\begin_inset Formula $P_{\vartheta}=0,1$
+\end_inset
+
+, pro 
+\begin_inset Formula $P_{\vartheta}=1$
+\end_inset
+
+ pak Obrázek 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "Flo:pmsm-prubeh-pth-1"
+
+\end_inset
+
+ a nazávěr pro 
+\begin_inset Formula $P_{\vartheta}=10$
+\end_inset
+
+ je Obrázek 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "Flo:pmsm-prubeh-pth-10"
+
+\end_inset
+
+.
+ 
 \end_layout
 
 \begin_layout Section
-Srovnání
-\end_layout
-
-\begin_layout Subsection
-Získané výsledky
+Diskuze
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "sec:Diskuze"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Nyní srovnáme dosažené výsledky pro jednotlivé algortimy a budeme diskutovat
+ jejich přednosti, nedostatky a použitelnost na řešení konkrétních úloh.
+ Pro úlohu nalezení řízení synchronního motoru s permanentními magnety byly
+ implementovány dva algoritmy.
+ Konkrétně se jednolo o algoritmy 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ a 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+, přičemž je třeba podotknout, že funkční implementaci 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ se nepodařilo vytvořit.
+ K dispozici je pro tuto úlohu pouze jeden algoritmus, který nalezne řízení
+ a srovnání tedy není možné.
+ Z tohoto důvodu budou tedy jendotlivé algoritmy srovnány pouze na základě
+ výsledků pro jednoduchý systém.
+ Algoritmus 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+, na který je zaměřena tato práce, bude diskutován v samostatné části.
 \end_layout
 
@@ -6335 +9344 @@
 \end_layout
 
+\begin_layout Standard
+Algoritmy jsou porovnány na základě výsledků simulací pro jednoduchý systém.
+ Jedná se o integrátor s neznámým ziskem, tedy lineární a časově invariantní
+ systém.
+ Jde však o systém na mezi stability, což může být příčinou problémů některých
+ algoritmů.
+ Další problém může nastat, když by hodnota neznámého parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ byla nulová.
+ Z rovnice jednoduchého systému
+\begin_inset Formula \[
+y_{k+1}=y_{k}+bu_{k}+\sigma e_{k},\]
+
+\end_inset
+
+pak plyne, že neexistuje žádné řízení 
+\begin_inset Formula $u_{k}$
+\end_inset
+
+, které by dosáhlo změny stavu 
+\begin_inset Formula $y_{k}$
+\end_inset
+
+ na požadovanou hodnotu (není-li již tato hodnota triviálně dosažena).
+ Přičemž neznámý parametr 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ považujeme za náhodnou veličinu s normálním rozdělením a tedy neuvažujeme-li
+ degenerované rozdělení, je pravděpodobnost dosažení přesné hodnoty 
+\begin_inset Formula $b=0$
+\end_inset
+
+ nulová.
+ Degenerované rozdělení ale dostáváme, když považujeme hodnotu 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ za známou například použítím principu 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+certainty equivalence
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+, kdy předpokládáme hodnotu parametu rovnou jeho střední hodnotě.
+ Je-li současně střední hodnota rovna nule, nastává kritický případ, kdy
+ řízení založeno na tomto předpokladu musí selhat.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+CE
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Řízení 
+\emph on
+CE
+\emph default
+ je nejjednodušší metodou použitou v této práci.
+ Využíváme předpokladu, že skutečnou hodnotu neznámého parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ známe a tedy ji pokládáme rovnu jeho střední hodnotě 
+\begin_inset Formula $\mathrm{E}b$
+\end_inset
+
+.
+ Je-li ale skutečná hodnota neznámého parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ příliš vzdálená od střední hodnoty, se kterou počítáme, řízení samozřejmě
+ selhává.
+ Tento přístup tedy není duální a jak bylo možno pozorovat na výsledcích
+ simulací, s rostoucí variancí 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ dosahuje větší ztráty.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dalším problémem tohoto přístupu je volba střední hodnoty 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+, kdy zřejmě, z tvaru rovnice regulátoru hrozí dělení nulou.
+ Přičtením malého parametru 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+ sice můžeme problém dělení nulou odstranit, ale použitelné řízení nezískáme.
+ Potřebovali bychom tedy přičíst větší hodnotu 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+, což ale způsobí nepřesnost při střední hodnotě 
+\begin_inset Formula $\mathrm{E}b$
+\end_inset
+
+ dále od nuly.
+ Ideální by tedy bylo vždy 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+naladit
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+ parametr 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+ podle konkrétní volby střední hodnoty 
+\begin_inset Formula $\mathrm{E}b$
+\end_inset
+
+, což ale velmi snižuje univerzálnost metody.
+ Dalším možným způsobem je, místo malého parametu 
+\begin_inset Formula $\varepsilon$
+\end_inset
+
+ přičítat varianci 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+.
+ Na základě tohoto postupu byl pak vytvořen návrh aproximace regulátoru
+ pro algoritmus 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+.
+ Zdokonalování návrhu řízení 
+\emph on
+CE
+\emph default
+ však nebylo předmětné v této práci, protože záměrem bylo využít 
+\emph on
+CE
+\emph default
+ jako nejjednoduššího neduálního přístupu pro srovnání s ostatními 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+dokonalejšími
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+ algoritmy.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Návrh řízení 
+\emph on
+CE
+\emph default
+ tedy můžeme stručně zhodnotit tak, že je sice velmi jednoduchý, ale neduální
+ a vykazuje značně problematické chování pro střední hodnotu 
+\begin_inset Formula $\mathrm{E}b=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+sLQ
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Označení 
+\emph on
+sLQ
+\emph default
+ bylo použito pro klasické LQ řízení aplikováno na základní verzi jednoduchého
+ systému bez dodatečných úprav.
+ Protože je ale skutečná hodnota parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ v rovnicích neznámá a není nijak odhadována algoritmem, využívá se zde
+ principu 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+ceratinty equivalence
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+ a předpokládáme, že skutečná hodnota parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ je rovna jeho střední hodnotě 
+\begin_inset Formula $\mathrm{E}b$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+LQ řízení je primárně navrženo pro řízení lineárních systémů s kvadratickou
+ ztrátovou funkcí.
+ Tomuto zadání základní verze jednoduchého systému plně vyhovuje.
+ Řízení je pak hledáno ve tvaru lineární funkce, kde řízení je lineární
+ funkcí stavu.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Již z tvaru rovnice základní verze jednoduchého systému je zřejmě, že předpoklád
+áme-li parametr 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ rovný střední hodnotě 
+\begin_inset Formula $\mathrm{E}b=0$
+\end_inset
+
+, úloha nemá smysl, protože libovolné řízení 
+\begin_inset Formula $u_{k}$
+\end_inset
+
+ nemůže dosáhnout změny stavu.
+ V tomto případě řízení 
+\emph on
+sLQ
+\emph default
+ nelze použít, jak je také vidět v tabulce průměrných ztrát.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Je třeba uvést, že se nejedná o duální metodu a tedy s rostoucí variancí
+ neznámého parametru dosahujeme vyšší ztráty.
+ Dosažené výsledky jsou pak podobné jako u 
+\emph on
+CE
+\emph default
+.
+ Kromě případu 
+\begin_inset Formula $\mathrm{E}b=0$
+\end_inset
+
+, kdy 
+\emph on
+sLQ
+\emph default
+ zcela selhává, je však dosaženo nepatrně nižší průměrné ztráty.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+LQ
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Přístupem 
+\emph on
+LQ
+\emph default
+ je označena verze lineárně-kvadratického řízení, aplikovaného na upravené
+ rovnice jednoduchého systému.
+ Upravená verze rovnic již odhaduje neznámý parametr 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ pomocí odhadů jeho střední hodnoty 
+\begin_inset Formula $\hat{b}$
+\end_inset
+
+ a variance 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+, kdy se tyto dva parametry spolu se stavem 
+\begin_inset Formula $y_{k}$
+\end_inset
+
+ vyvíjejí v čase.
+ Získané rovnice pak již nejsou lineární, linearizujeme je tedy v každém
+ časovém kroku a následně aplikujeme výpočet klasického LQ řízení.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Narozdíl od složitějších algoritmů, nevyužívá 
+\emph on
+LQ
+\emph default
+, kromě linearizace, žádné další nepřesné přístupy, jako aproximace nebo
+ výpočty na vzorkových trajektoriích.
+ To se v simulacích ukazuje velmi výhodným, kdy algoritmus 
+\emph on
+LQ
+\emph default
+ dosahuje ve srovnání s ostatními přístupy nejlepších výsledků a dosahuje
+ nízké ztráty ve všech případech volby parametrů.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+iLQG
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Algoritmus 
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+ je rozšířením základního LQG řízení a je určen i pro složitěší systémy.
+ Lze jej aplikovat i na nelineární systémy s nekvadratickou ztrátovou funkcí
+ v důsledku požadavku na omezení vstupů.
+ V této práci je 
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+ použit jako mezikrok mezi jednodušším přístupem 
+\emph on
+LQ
+\emph default
+ a složitějším algoritmem 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Základní postup využívaný 
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+ je nejprve linearizace a pak vyjádření vztahů pomocí matic, které mohou
+ být ještě dále upravovány z důvodu, například omezení vstupů nebo zajištění
+ regularity.
+ Dále je třeba zmínit, že se v podstatě jedná o lokální metodu, protože
+ linearizace je prováděna vzhledem k reprezentativní trajektorii a následně
+ se pak počítá v odchylkách od této trajektorie.
+ Reprezentativní trajektorii můžeme získat například simulací bezšumového
+ vývoje systému nebo průměrováním dostatečného počtu vzorkových trajektorií.
+ Algoritmus 
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+ pak aplikujeme na upravenou verzi rovnic jednoduchého systému, podobně
+ jako v případě 
+\emph on
+LQ
+\emph default
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Jak je možné přesvědčit se v tabulce průměrných ztrát, 
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+ dosahuje velmi dobrých výsledků (to jest nízké ztráty), je-li zajištěn
+ nízký výskyt realizací skutečné hodnoty 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ blízko nuly.
+ Konkrétně se jedná o případ volby 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=10$
+\end_inset
+
+, a 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+ a současně 
+\begin_inset Formula $P=0,01$
+\end_inset
+
+ nebo 
+\begin_inset Formula $P=0.1$
+\end_inset
+
+.
+ V opačném případě, pro 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=0$
+\end_inset
+
+ nebo 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+ a současně 
+\begin_inset Formula $P=1$
+\end_inset
+
+ nebo 
+\begin_inset Formula $P=10$
+\end_inset
+
+, je dosaženo vyšší průměrné ztráty (okolo hodnoty 
+\begin_inset Formula $2$
+\end_inset
+
+).
+ Z grafů průběhu pro 
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+ je pak zřejmé, že v těchto negativních případech mají některé trajektorie
+ dobrý průběh a některé naopak špatný.
+ To je ovšem z hlediska řízení nepřijatelné, aby regulátor někdy poskytl
+ dobré řízení a někdy naopak téměř nepoužitelné.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+S velkou pravděpodobností je tento problém opět způsoben problematickým
+ chováním algoritmu 
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+ v okolí nuly.
+ Výpočet řízení je totiž při použití tohoto algoritmu značně závislý na
+ volbě reprezentativní trajektorie, kterou, když vygenerujeme špatně, dostaneme
+ i špatné řízení.
+ Právě v blízkosti nuly může dochjít k nepříznivému generování reprezentativní
+ trajektorie.
+ Vycházíme z 
+\begin_inset Formula $y_{0}=0$
+\end_inset
+
+ a tedy, při kladném parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+, generujeme trajektorii do kladných hodnot, nebo se naopak dostáváme do
+ záporných čísel, je-li skutečná hodnota parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ záporná.
+ Tento rozpor pak může způsobit problémy, jako špatné řízení a dosažení
+ vyšší ztráty.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Hodnocení algoritmu iLDP
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Algoritmu 
+\emph on
+iterativního lokálního dynamického programování 
+\emph default
+(
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+) je hlavním námětem této práce.
+ Jeho výsledky tedy popíšeme detailněji.
+ Nejdříve uveďme výsledky v porovnání s ostatními algoritmy pro jednoduchý
+ systém.
+ Dále bude zařazena diskuze negativních vlastností algoritmu, které mohli
+ vést k tomu, že se nepodařilo vytvořit funkční implementaci pro sychronní
+ motor.
+ Na závěr bude v samostatné části zařazeno porovnání pozorovaných vlastností
+ 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ s prvotními očekáváními.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Algoritmus 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ je nejsložitější ze zde prezentovaných metod pro nalezení optimálního řízení,
+ zejména při nutnosti duálního přístupu.
+ Je založen na obecných principech, jmenovitě Hamilton-Jacobi-Bellmanova
+ rovnost a Pontryaginův princip minima.
+ Jedná se o iterační metodu, kdy vycházíme od jistého počátečního řízení
+ a to v iteracích 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+vylepšuje
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+ za účelem dosažení optima.
+ Počáteční řízení však musíme dodat algoritmu jako apriorní informaci a
+ špatné řízení může způsobit nutnost velkého počtu iterací k nalezení optimálníh
+o řízení nebo v extrémním případě dokonce nenalezení vhodného řízení.
+ Dále algoritmus 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ je lokální metoda a tedy výpočty probíhají na okolí nějaké reprezentativní
+ trajektorie.
+ Toto okolí je třeba zvolit při konkrétní implementaci algoritmu a jeho
+ volba může mít nezanedbatelný vliv, na výsledky, které následně 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ poskytne.
+ Algoritmus pak odpovídá obecnému schématu dynamického programování, kde
+ se v diskrétních časových okamžicích napočítávají od nejvýššího času zpět
+ optimální hodnoty Hamiltoniánů, které se postupně uchovávají v Bellmanově
+ funkci.
+ Z nich je také následně odvozeno i optimální řízení.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Srovnání pro jednoduchý systém
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Při srovnání výsledků pro jednoduchý systém s ostatními algoritmy poskytuje
+ 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ dobré řízení ve všech případech, kdy se skutečné realizace neznámého parametru
+ 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ vyskytují dostatečně daleko od nuly.
+ Tento bod je právě pro algoritmus 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ kritický a výpočet řízení tam zpravidla selhává.
+ Tedy pro volby 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=10$
+\end_inset
+
+ a současně 
+\begin_inset Formula $P=0,01$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $P=0,1$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $P=1$
+\end_inset
+
+, dále pak pro 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+ a současně 
+\begin_inset Formula $P=0,01$
+\end_inset
+
+ dosahuje 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ velmi nízké průměrné ztráty.
+ Nízké průměrné ztráty dosahuje pak ještě pro volbu 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=10$
+\end_inset
+
+ a současně 
+\begin_inset Formula $P=10$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+ a současně 
+\begin_inset Formula $P=0,1$
+\end_inset
+
+.
+ Je-li parametr 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+, pak při 
+\begin_inset Formula $P=1$
+\end_inset
+
+ je dosaženo extrémní hodnoty ztráty a při 
+\begin_inset Formula $P=10$
+\end_inset
+
+ algoritmus dokonce vůbec nenalezne řešení.
+ Podobně pro 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=0$
+\end_inset
+
+ při volbě 
+\begin_inset Formula $P=0,01$
+\end_inset
+
+ je dosaženo nepřijatelné průměrné ztráty a pro ostatní vobly 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ již vůbec nenalézáme řešení.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tedy ve srovnání s ostatními poskytuje 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ sice výsledky, které patří mezi nejlepší, ale pouze za předpokladu, že
+ je zaručeno realizování skutečných hodnot 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ dostatečně daleko od nuly.
+ Při srovnávání konkrétních hodnot průměrných ztrát je třeba mít na vědomí,
+ že se hodnoty mohou nepatrně lišit v závislosti na realizaci šumu.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Diskuze negativních vlastností algoritmu
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+V průběhu implementace a testování 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ se objevily jisté komplikace a projevili se negativní vlastnosti tohoto
+ algoritmu.
+ Jedná se zejména o problematické chování při realizaci skutečné hodnoty
+ neznámého parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ blízko nuly pro jednoduchý systém.
+ Dalším problémem je pak otázka vhodné volby aproximací funkcí pro synchronní
+ motor.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Problematické chování při 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ blízko nuly
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Nejprve se tedy zaměřme na obtíže týkající se jednoduchého systému.
+ Jedním z důvodů, proč se systém vykazuje problematické chování pro 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ blízko hodnoty 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+, by mohla být volba aproximace regulátoru.
+ Ten je totiž volen jako
+\begin_inset Formula \[
+\pi(k,x)=\frac{r_{k+1}-K_{1}y_{k}}{K_{2}\hat{b}_{k}+K_{3}P_{k}+K_{4}}.\]
+
+\end_inset
+
+Algoritmus 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ je duální a odhaduje skutečnou hodnotu neznámého parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ pomocí jeho střední hodnoty 
+\begin_inset Formula $\hat{b}$
+\end_inset
+
+ a variance 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+.
+ Za předpokladu, že by odhadování proběhlo dobře a efektivně, odhad 
+\begin_inset Formula $\hat{b}$
+\end_inset
+
+ se bude blížit skutečné hodnotě 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+, která je ovšem blízko u nuly.
+ Další vlastností předpokládaného dobrého odhadu je, si jím budeme téměř
+ jisti a tedy variance 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ se bude také blížit nule.
+ A vyhodnotil-li algoritmus v předchozí iteraci koeficient 
+\begin_inset Formula $K_{4}$
+\end_inset
+
+ jako nepodstatný pro tvar funkce regulátoru, to jest 
+\begin_inset Formula $K_{4}$
+\end_inset
+
+ je opět téměř nulový, dostáváme ve jmenovateli velmi malé číslo, téměř
+ nulové.
+ Funkce regulátoru 
+\begin_inset Formula $\pi$
+\end_inset
+
+ pak vrací i pro malou odchylku 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ od požadované hodnoty (například v důsledku šumu) velký řídící zásah.
+ To je ale principiálně dobře, protože při 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ blízko 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+ musíme volit extrémně vysoké řídící zásahy, a to téměř blížící se nekonečnu.
+ Na druhou stranu si je ale třeba uvědomit, že uvažovaná funkce regulátoru
+ je pouze aproximací a tedy se dopouští jisté chyby.
+ Tato chyba samozřejmě pak při velkém řídícím zásahu také narůstá.
+ Dalším problémem je, že výpočty jsou prováděny na počítači, ten je při
+ výpočtech s malými čísly blízko nuly nebo naopak s velkými čísly značně
+ nepřesný.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Možností jak se vyhnout tomuto problému by bylo volit jiný tvar funkce regulátor
+u, otázkou by pak ale bylo jaký.
+ Zvolený tvar regulátoru má totiž několik výhod.
+ Za prvé koeficienty 
+\begin_inset Formula $K_{i}$
+\end_inset
+
+ je možno určit metodou nejmenších čtverců a tedy jejich výpočet z množiny
+ dvojic 
+\begin_inset Formula $\left\{ x^{(n)},u^{(n)}\right\} $
+\end_inset
+
+ je poměrně jednoduchý.
+ Další výhodou je, že obecný tvar funkce regulátoru vznikl na základě vyjádření
+ řízení 
+\begin_inset Formula $u$
+\end_inset
+
+ z rovnice jednoduchého systému, při požadavku dosažení požadované hodnoty
+ v jednom časovém kroku.
+ Získaná funkce by pak měla relativně dobře aproximovat skutečné optimální
+ řízení.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset VSpace defskip
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Druhým z možných důvodů problematického chování u nuly je lokalita metody.
+ Výpočty jsou totiž prováděny na okolí tvořeném množinou reprezentativních
+ trajektorií.
+ Generujeme-li reprezentativní trajektorie pro parametr 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ blízko nuly, s velkou pravděpodobností dojde k tomu, že část trajektorií
+ se vygeneruje s předpokladem kladného 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ a část předpokládající 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ záporné.
+ Ovšem pro malé, téměř nulové, hodnoty parametru 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ je optimální řídící zásah, jak už bylo zmíněno, extrémně vysoký a v závislosti
+ na tom, je-li předpokládáno 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ kladné nebo záporné, mění se odpovídajícím způsobem i znaménka řídících
+ zásahů.
+ Jako shrnutí popsané situace dostáváme část reprezentativních trajektorií
+ navrhující extrémně vysoký kladný řídící zásah a pak druhou část navrhující
+ naopak extrémně vysoký záporný řídící zásah.
+ Zřejmě z takovýchto dat nelze získat použitelnou a už vůbec ne správnou
+ hodnotu optimálního řízení.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Vyhnout se výše popsanému problému by bylo možno pouze jinou volbou okolí.
+ Narážíme zde ale opět na obtíže, jak jiné okolí zvolit, abychom se vyhli
+ výše popsanému problému.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Protože ale spolu obě navržené možnosti způsobující problematické chování
+ při 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ blízko 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+ do určité míry souvisí, je pravděpodobný i vliv kombinace obou dvou.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Obtíže s volbou aproximací
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Již byla diskutována problematika volby aproximace okolí a aproximace funkce
+ řízení.
+ Problémy byly popsány pro konkrétní případ jednoduchého systému.
+ Další aproximací, kterou je třeba volit, je aproximace Bellmanovy funkce.
+ Jedná se o skalární funkci více proměnných, která v sobě zachycuje v podstatě
+ celou dynamiku a vývoj systému.
+ Je zpravidla velmi složitá, ale pro potřeby algoritmu se ji snažíme aproximovat
+ lineární kombinací zvolených základních funkcí.
+ Má-li být tato aproximace dostatečně jednoduchá pro výpočty jejích hodnot,
+ ale i koeficientů, může být velmi nepřesnou aproximací skutečné Bellmanovy
+ funkce.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Protože Bellmanova funkce je základní částí algoritmu 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ chyby, kterých se dopustíme její aproximací se následně přenášejí prakticky
+ do všech ostatních částí algoritmu.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Na druhou stranu se ale chyby v důsledku aproximace dopustíme velmi snadno.
+ Bellmanova funkce může být totiž u složitějších systému značně komplikovaná
+ na to, aby ji bylo možno aproximovat lineární kombinací základních funkcí.
+ Dalším problémem je pak počet těchto funkcí.
+ Ten s rostoucí dimenzí stavového prostoru rychle narůstá a následně je
+ třeba zajistit dostatek dat v podobě vzorkových trajektorií pro vypočtení
+ jejich koeficientů.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Volba vhodné aproximace Bellmanovy funkce se tedy jeví jako nejkomplikovanější
+ z dílčích problémů ponechaných autory algoritmu 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ k dořešení při konkrétní implementaci.
+ V článku 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "TodorovTassaILDP"
+
+\end_inset
+
+ je sice poskytnut návod volby aproximace ve tvaru lineární kombinace základních
+ funkcí, ale tato volba nemusí být vždy správná.
+ Kdybychom si chtěli udělat představu o průběhu skutečné Bellmanovy funkce,
+ abychom mohli snadněji určitě vhodnou aproximaci, narážíme na problém,
+ že Bellmanovu funkci máme zadanou pomocí Hamilto-Jacobi-Bellmanovy rovnosti.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset VSpace defskip
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Shrnutí výše zmiňovaných problémů nám tedy dává následující závěr: Svoboda
+ ve výběru aproximací nám poskytuje značnou volnost a činí algoritmus univerzáln
+ím.
+ Na druhou stranu je ale značně omezující, zejména když se nám nepodaří
+ vhodnou aproximaci nalézt.
+\end_layout
+
 \begin_layout Subsection
 Konfrontace s prvotními očekáváními
 \end_layout
 
-\begin_layout Section
-Diskuze pro metodu iLDP
-\end_layout
-
+\begin_layout Standard
+Nyní porovnáme dosažené výsledky algoritmu iLDP s prvotními očekáváními
+ uvedenými v části 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sub:Předběžný-odhad-vlatností"
+
+\end_inset
+
+.
+ Vždy je uvedeno nejdříve prvotní očekávání a následně je komentováno, jestli
+ bylo potvrzeno:
+\end_layout
+
+\begin_layout Paragraph
+Výhody
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+duální metoda (lépe se vypořádá s neznalostí oproti neduálním metodám)
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+toto očekávání bylo potvrzeno, iLDP dosahuje lepších výsledků než neduální
+ metody, což je patrné při rostoucí neznalosti 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+je však třeba podotknout, že musíme mít zajištěnu dostatečnou vzdálenost
+ od kritických bodů pro iLDP, kde pak samozřejmě algoritmus selhává
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+lepší zvládnutí šumu
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+zvládání šumu lze z provedených simulací těžko posoudit, ovšem lze předpokládat,
+ že iLDP zvládne šum lépe než metody, které přítomnost šumu vůbec neuvažují
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+rychlejší dosažení požadované hodnoty
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+na rychlost dosažení požadované hodnoty lze na základě výsledků pro jednoduchý
+ systém těžko usuzovat, protože prakticky všechny použité metody dosahují
+ požadované hodnoty (v příznivém případě, kdy nalézají použitelné řízení)
+ hned v čase 
+\begin_inset Formula $k=2$
+\end_inset
+
+, tedy v prvním možném říditelném kroce 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+pro složitější systém synchronního motoru, kde by bylo srovnání zřetelnější
+ se nepodařilo implementovat funkční verzi iLDP algoritmu
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+možnost aplikace na mnoharozměrové stavové a řídící prostory
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+tuto vlastnost uvádějí sami autoři algoritmu iLDP, protože se jedná o lokální
+ metodu, je možné vyhnout se problémům globálních metod a aplikovat algoritmus
+ i na systémy s více rozměry, zůstává zde však problém volby aproximací,
+ který je pak třeba řešit a který se ukazuje jako netriviální
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+univerzálnost (vychází z obecných principů) a svoboda výběru konkrétních
+ aproximací a minimalizací
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+algoritmus je zřejmě značně univerzální, protože umožňuje zvolit mnoho detailů
+ až při konkrétní implementaci
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+naopak se tato vlastnost v mnoha případech ukazuje být na škodu a dokonce
+ může být i jednou z největších slabin algoritmu iLDP, jelikož nám základní
+ popis algoritmu neříká, jak konkrétní detaily volit
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Paragraph
+Nevýhody
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+vyšší časová náročnost
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+vyšší časová náročnost byla potvrzena v průběhu simulací pro potřeby této
+ práce
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+ve srovnání s ostatními přístupy, které řeší danou úlohu vesměs analyticky
+ a jsou založeny hlavně na maticových operacích, algoritmus iLDP používá
+ aproximací, numerické minimalizace a výpočtů na vzorkových trajektoriích
+ a tedy výpočetní čas je řádově několikrát delší než pro ostatní metody
+ (konkrétní příklad je výpočet 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ vzorkových trajektorií pro vytvoření průběhů 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ pro jednoduchý systém, který trval pro iLDP o tři řády déle než pro všechny
+ ostatní algortimy) 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+numerické výpočty (minimalizace)
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+pro numerickou minimalizaci je jednak nutno zvolit vhodné minimalizační
+ algoritmy (v implementacích v této práci byly použity funkce programu 
+\emph on
+Matlab
+\emph default
+ 
+\family typewriter
+fminunc
+\family default
+ a 
+\family typewriter
+fmincon
+\family default
+ pro neomezenou a omezenou minimalizaci), dále numerická minimalizace hledá
+ zpravidla jen lokální minima, je náročnější na výpočetní čas a je méně
+ přesná a to zejména při výpočtech na aproximovaných funkcích, kde i malá
+ odchylka od správného průběhu původní funkce může dát špatný výsledek velmi
+ vzdálený od správné hodnoty
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+nepřesnost v důsledku aproximace klíčových funkcí v algoritmu a problémy
+ s jejich volbou
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+algoritmus iLDP pracuje s aproximacemi funkcí řízení a dále s aproximací
+ Bellmanovy funkce, na které je postaven prakticky celý algoritmus; v důsledku
+ toho se chyby způsobené použitím aproximace přenášejí prakticky do všech
+ ostatních výpočtů v algoritmu
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+dalším problémem je pak samotná volba aproximací, která již byla diskutována
+ výše
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+implementační složitost
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+z jednoho pohledu je implementace algoritmu iLDP jednoduchá, protože je
+ popsán jednoduchou osnovou složenou pouze ze čtyř bodů
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+naopak je ale třeba vyřešit mnoho dílčích detailů, vytvořit aproximace funkcí
+ i vhodnou reprezentaci okolí pro výpočet a samotná implementace se tedy
+ může velmi zkomplikovat a dokonce se nemusí ani podařit snadno vytvořit
+ funkční verzi algoritmu
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+lokálnost metody a tedy i nalezeného řešení
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+jak již bylo zmíněno iLDP hledá optimální řízení v okolí nějaké reprezentativní
+ trajektorie a tedy zpravidla není zajištěna optimalita nalezeného řízení
+ v celém stavovém a řídícím prostoru
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+volba okolí (lokální metoda)
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+při implementaci iLDP je třeba zvolit konkrétní reprezentaci okolí
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+v používaných implementacích je volena jednoduchá možnost, kdy je okolí
+ reprezentováno množinou vzorkových trajektorií, na které jsou pak prováděny
+ další výpočty
+\end_layout
+
+\end_deeper
 \begin_layout Standard
 \begin_inset Newpage newpage
@@ -6352 +10485 @@
 \begin_layout Addchap
 Závěr
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+V kapitole 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "cha:Teorie-duálního-řízení"
+
+\end_inset
+
+ této práce je stručně popsána základní teorie duálního řízení a další teoretick
+é poznatky potřebné k popisu konkrétních algortimů pro nalezení optimálního
+ řízení.
+ V další kapitole pak následuje přiblížení jednotlivých algoritmů použitých
+ pro srovnání s ústředním algoritmem této práce 
+\emph on
+iterativním lokálním dynamickým programováním
+\emph default
+ (
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+).
+ Jemu je pak věnována druhá polovina kapitoly 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "cha:Algoritmy-pro-návrh"
+
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Algoritmus 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ byl implementován pro jednoduchý systém.
+ Pro tento systém byly následně implementovány i další algoritmy pro srovnání.
+ Implementace 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ pro složitější systém, synchronní motor s permanentními magnety, se nezdařila
+ z důvodů obtíží při volbě aproximací.
+ Nepodařilo se nalézt takové aproximace zpětnovazebního řízení a Bellmanovy
+ funkce, aby na jejich základě algoritmus 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ nalezl použitelné řízení.
+ Pro složitější systém byl však implementován algoritmus 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+, který nalézá funkční řízení.
+ Jedná se ale o neduální metodu a tedy s rostoucí neznalostí selhává.
+ Konkrétní popisy testovaných systémů a úpravy jejich rovnic pro potřeby
+ jednotlivých algoritmů lze nalézt v kapitole 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "cha:Systémy-pro-testování"
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Kapitola 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "cha:Výsledky"
+
+\end_inset
+
+ obsahuje získané výsledky na základě simulací.
+ Algoritmus 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ je porovnán s ostatními testovanými algoritmy podle dosažených výsledků
+ pro jednoduchý systém.
+ Dále jsou uvedeny výsledky pro složitější systém získané pomocí 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+.
+ Na závěr jsou diskutovány problémy týkající se algoritmu 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+, které vedly v jistých případech k problematickému chovaní u jednoduchého
+ systému.
+ Následuje diskuze obtíží implementace 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ pro složitější systém.
+ Nakonec jsou v bodech porovnány skutečné výsledky získané ze simulací a
+ v průběhu implementace s prvotními očekáváními týkajícími se algoritmu
+ 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Algoritmus 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ byl v této práci otestován i na jiných problémech, než pro které byl vyvinut
+ svými autory.
+ Dále byly objeveny některé kladné, ale hlavně i záporné stránky týkající
+ se jeho implementace a použitelnosti na konkrétní úlohy.
+ V závěrečné kapitole práce byly výsledky dosažené pomocí 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ srovnány s výsledky dosaženými užitím principu separace, tedy pomocí řízení
+ 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+.
+ Pro jednoduchý systém bylo provedeno srovnání i s dalšími metodami návrhu
+ řízení.
+ Naopak pro složitější systém jsou k dispozici pouze výsleky získané pomocí
+ 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Výsledky je možno shrnout tak, že 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ je řádově několikrát náročnější na výpočetní čas, ale při větší neznalosti
+ dosahuje lepších výsledků.
+ Je ovšem třeba zajistit, aby se nerealizovaly problematické hodnoty pro
+ tento algoritmus.
+ Naproti tomu 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+ je rychlejší, ale s rostoucí neznalostí dosahuje špatných výsledků nebo
+ dokonce selhává.
+ Co se týče algoritmu 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ je třeba ještě zmínit problém týkající se volby aproximací, který se ukazuje
+ být největší slabinou této metody.
 \end_layout
 
@@ -6396 +10690 @@
 \end_layout
 
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Newpage newpage
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Addchap
+Obrazová příloha
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float figure
+wide false
+sideways false
+status collapsed
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+        filename barsP001.eps
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Caption
+
+\begin_layout Plain Layout
+Dosažené ztráty jednotlivých algoritmů pro 
+\begin_inset Formula $P=0,01$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "Flo:bars001"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float figure
+wide false
+sideways false
+status collapsed
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+        filename barsP01.eps
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Caption
+
+\begin_layout Plain Layout
+Dosažené ztráty jednotlivých algoritmů pro 
+\begin_inset Formula $P=0,1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "Flo:bars01"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float figure
+wide false
+sideways false
+status collapsed
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+        filename barsP1.eps
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Caption
+
+\begin_layout Plain Layout
+Dosažené ztráty jednotlivých algoritmů pro 
+\begin_inset Formula $P=1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "Flo:bars1"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float figure
+wide false
+sideways false
+status collapsed
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+        filename barsP10.eps
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Caption
+
+\begin_layout Plain Layout
+Dosažené ztráty jednotlivých algoritmů pro 
+\begin_inset Formula $P=10$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "Flo:bars10"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float figure
+wide false
+sideways false
+status collapsed
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+        filename comptray.eps
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Caption
+
+\begin_layout Plain Layout
+Porovnání průběhu hodnoty 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ pro jednotlivé algoritmy
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "Flo:porovnani-prubehu-y"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float figure
+wide false
+sideways false
+status collapsed
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+        filename tubeCE.eps
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Caption
+
+\begin_layout Plain Layout
+Průběhy hodnot 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ pro algoritmus 
+\emph on
+CE
+\emph default
+ při volbě 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "Flo:prubeh-y-ce"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float figure
+wide false
+sideways false
+status collapsed
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+        filename tubeSLQ.eps
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Caption
+
+\begin_layout Plain Layout
+Průběhy hodnot 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ pro algoritmus 
+\emph on
+sLQ
+\emph default
+ při volbě 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "Flo:prubeh-y-slq"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float figure
+wide false
+sideways false
+status collapsed
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+        filename tubeLQ.eps
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Caption
+
+\begin_layout Plain Layout
+Průběhy hodnot 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ pro algoritmus 
+\emph on
+LQ
+\emph default
+ při volbě 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "Flo:prubeh-y-lq"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float figure
+wide false
+sideways false
+status collapsed
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+        filename tubeILQG.eps
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Caption
+
+\begin_layout Plain Layout
+Průběhy hodnot 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ pro algoritmus 
+\emph on
+iLQG
+\emph default
+ při volbě 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "Flo:prubeh-y-ilqg"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float figure
+wide false
+sideways false
+status collapsed
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+        filename tubeILDP.eps
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Caption
+
+\begin_layout Plain Layout
+Průběhy hodnot 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ pro algoritmus 
+\emph on
+iLDP
+\emph default
+ při volbě 
+\begin_inset Formula $\hat{b}=1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "Flo:prubeh-y-ildp"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float figure
+wide false
+sideways false
+status collapsed
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+        filename pmsm001.eps
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Caption
+
+\begin_layout Plain Layout
+Průběhy hodnot stavových veličin pro volbu 
+\begin_inset Formula $P_{\vartheta}=0,01$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "Flo:pmsm-prubeh-pth-001"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float figure
+wide false
+sideways false
+status collapsed
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+        filename pmsm01.eps
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Caption
+
+\begin_layout Plain Layout
+Průběhy hodnot stavových veličin pro volbu 
+\begin_inset Formula $P_{\vartheta}=0,1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "Flo:pmsm-prubeh-pth-01"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float figure
+wide false
+sideways false
+status collapsed
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+        filename pmsm1.eps
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Caption
+
+\begin_layout Plain Layout
+Průběhy hodnot stavových veličin pro volbu 
+\begin_inset Formula $P_{\vartheta}=1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "Flo:pmsm-prubeh-pth-1"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float figure
+wide false
+sideways false
+status collapsed
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Graphics
+        filename pmsm10.eps
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Caption
+
+\begin_layout Plain Layout
+Průběhy hodnot stavových veličin pro volbu 
+\begin_inset Formula $P_{\vartheta}=10$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "Flo:pmsm-prubeh-pth-10"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
 \end_body
 \end_document