Changeset 1090 for applications/dual/SIDP/text/ch1.tex

Timestamp:

06/13/10 17:27:15 (14 years ago)

Author:

zimamiro

Message:

 

Files:

• applications/dual/SIDP/text/ch1.tex (modified) (3 diffs)

applications/dual/SIDP/text/ch1.tex

@@ -1 +1 @@
 DEFINICNI OBORY
 \section{Formulace � stochastick� ��
-�t�m pojmem v teorii ��e \emph{syst�. Syst�je �t sv�, kterou chceme poznat ��. Budeme-li p�kl�t diskr��ovahu �u, stav syst� v �ov� okam�iku $t$ pod��� horizontu d�y $N$ popisuje syst�rovnic
+�t�m pojmem v teorii ��e \emph{syst�. Syst�je �t sv�, kterou chceme poznat ��. Budeme-li p�kl�t diskr��ovahu �u, stav syst� v �ov�okam�iku $t$ pod��� horizontu d�y $N$ popisuje syst�rovnic
 \begin{equation}
 \label{sys}
@@ -10 +10 @@
 V � ��� v�dy p�sanou ztr�vou (resp. �vou) funkci
 \begin{equation}
-g(x_{0:N},u_{0:N-1},w_{0:N-1}).
+g(x_{1:N},u_{0:N-1}).
 \end{equation}
 
-Ozna� $U(x_t)$ mno�inu p�tn�d�ch z�h� syst�ve stavu $x_t$. Posloupnost��c� strategi�\pi=\mu_{0:N-1}$ budeme rozum�posloupnost zobrazen�\begin{equation}
+Ozna� $U(x_t)$ mno�inu p�tn�d�ch z�h� syst�ve stavu $x_t$. P�tnou ��trategi�\pi=\mu_{0:N-1}$ budeme rozum�posloupnost zobrazen�\begin{equation}
 \label{con}
 \mu_t(x_t)=u_t \, \qquad t=0,1,\ldots,N-1,
@@ -22 +22 @@
 \begin{equation}
 \label{los}
-J_\pi(x_0)=\E_{w_{0:N-1}}\left\{g(x_{0:N},\mu_{0:N-1}(x_{0:N-1}),w_{0:N-1})\right\}.
+J_\pi(x_0)=\E_{w_{0:N-1}}\left\{g(x_{1:N},\mu_{0:N-1}(x_{0:N-1}))\right\}.
 \end{equation}
 
 �ohou je potom naj�takovou $\pi^*$, pro kterou plat�\begin{equation}
-J_{\pi^*}(x_0)=\min_{\pi \in \Pi}J_\pi(x_0).
+J_{\pi^*}(x_0)=\min_{\pi \in \Pi}J_\pi(x_0),
 \end{equation}
+kde $\Pi$ zna�mno�inu v�ech p�tn�d�ch strategi�
 
 Celkov�e tedy jedn� optimaliza� � nal� takovou posloupnost funkc�eqref{con}, kter�inimalizuje o��nou ztr�vu \eqref{los} za podm�k \eqref{sys}.
 
 \section{Pou�it�ynamick� programov� p��en�lohy stochastick� �� aditivn�tr�u}
-�ohu stochastick� ��ak, jak byla definov� v p�oz��i, nelze obecn�e�it. Je tedy pot�� n�k bl� specifikovat. V tomto sm� je mo�n�mezit se na n�k�i��var ztr�v�unkce \eqref{los}. Jako vhodn�e�en�e ukazuje uva�ovat tzv. aditivn�var ztr�v�unkce, tedy �e existuj�unkce $g_t$ takov��e m� ps�
+�ohu stochastick� ��ak, jak byla definov� v p�oz��i, nelze obecn�e�it. Je tedy pot�� n�k bl� specifikovat. V tomto sm� je mo�n�mezit se na n�k�i��var ztr�v�unkce \eqref{los}. Jako vhodn�e ukazuje uva�ovat tzv. aditivn�var ztr�v�unkce, tedy �e existuj�unkce $g_t$ takov��e m� ps�
 \begin{equation}
 \label{adi}
-g(x_{0:N},u_{0:N-1},w_{0:N-1})=g_N(x_N)+\sum_{t=0}^{N-1}g_t(x_t,u_t,w_t)
+g(x_{1:N},u_{0:N-1})=\sum_{t=1}^{N-1}g_t(x_{t+1},u_t).
 \end{equation}
 
 O��nou ztr� \eqref{los} potom m� p�t do tvaru
 \begin{equation}
-J_\pi(x_0)=\E_{w_{0:N-1}}\left\{g_N(x_N)+\sum_{t=0}^{N-1}g_t(x_t,\mu_t(x_t),w_t)\right\}
+J_\pi(x_0)=\E_{w_{0:N-1}}\left\{\sum_{t=0}^{N-1}g_t(x_{t+1},\mu_t(x_t))\right\}.
 \end{equation}
 
-Takto specifikovan�loha se d�e�it pou�it�dynamick� programov� []. Dynamick�rogramov� je p�p k ��ptimaliza�ch � na kter�e m� d�t jako na posloupnost rozhodnut�pro kter�lat�zv. princip optimality.  Ten � �e optim��osloupnost rozhodnut��u vlastnost, �e pro libovoln�te� stav a rozhudnut�us��chna n�eduj� rozhodnut�ptim��zhledem k v��zhodnut�rvn�. D� �e pro ztr� tvaru \eqref{adi} plat�rincip optimality je snadn�e ho nal� nap�d v [ref].
+Takto specifikovan�loha se d�e�it pou�it�dynamick� programov� \cite{bellman1957dynamic}. Dynamick�rogramov� je p�p k ��ptimaliza�ch � na kter�e m� d�t jako na posloupnost rozhodnut�pro kter�lat�zv. princip optimality.  Ten � �e optim��osloupnost rozhodnut��u vlastnost, �e pro libovoln�te� stav a rozhudnut�us��chna n�eduj� rozhodnut�ptim��zhledem k v��zhodnut�rvn�. D� �e pro ztr� tvaru \eqref{adi} plat�rincip optimality je snadn�e ho nal� nap�d v \cite{bertsekas1995dynamic}.
 
 P��en�lohy stochastick� �� aditivn�tr�u je tedy mo�n�ostupovat, jak je u ���moc�ynamick� programov� zvykem. Minim��odnotu st� ztr� od okam�iku $t$ do $N$ v z�slosti na $x_t$ ozna�e $J_t(x_t)$. M� pro ni ps�
 \begin{gather}
-J_N(x_N)=g_N(x_N)\\
-J_t(x_t)=\min_{u_t \in U(x_t)}\E_{w_t}\left\{g_k(x_t,u_t,w_t)+J_{t+1}(f_t(x_t,u_t,w_t))\right\} \qquad t=0,\ldots,N-1
+J_N(x_N)=0\\
+J_t(x_t)=\min_{u_t \in U(x_t)}\E_{w_t}\left\{g_k(x_{t+1},u_t)+J_{t+1}(x_{t+1})\right\} \qquad t=0,\ldots,N-1.
 \end{gather}
 
-P��en�udeme postupovat od konce �� horizontu a postupn�ledat $J_t(x_t)$. Potom libovoln�\pi=\{\mu_0,\ldots,\mu_{N-1}\}$, kter�pl� syst�rovnic
+P��en�udeme postupovat od konce �� horizontu a postupn�ledat $J_t(x_t)$. Pro v� $x_{t+1}$ se pou�ije rovnice \eqref{sys}. 
+Libovolnou ��trategii $\pi=\{\mu_0,\ldots,\mu_{N-1}\}$, kter�pl� syst�rovnic
 \begin{equation}
 \label{impl}
 J_t(x_t)=\E_{w_t}\left\{g_k(x_t,\mu_t(x_t),w_t)+J_{t+1}(f_t(x_t,\mu_t(x_t),w_t))\right\} \qquad t=0,\ldots,N-1
 \end{equation}
-je optim��osloupnost rozhodnut�
+pak nazveme optim��osloupnost�ozhodnut�