Changeset 1090 for applications/dual/SIDP/text/ch2.tex

Timestamp:

06/13/10 17:27:15 (14 years ago)

Author:

zimamiro

Message:

 

Files:

• applications/dual/SIDP/text/ch2.tex (modified) (7 diffs)

applications/dual/SIDP/text/ch2.tex

@@ -1 @@
-P�likaci matematick� modelov� na ���k�onkr��lohy se obvykle pot�s probl�m, jak ur� konstanty, kter�an�l ur��Zkoum�-li nap�d n�k�k��yst� z rozboru fyzik�� z�nitost�bvykle zn� tvar rovnic, kter�r��eho v� �e, nicm� po�e� podm�y �parametry, kter� rovnic� vystupuj� jsou pro dan��charakteristick�m� z�at pouze nep� obvykle m�n�vhodn�li�. Modifikac�lohy stochastick� ��ro p� p�nosti nezn�ch parametr�zab�to kapitola.
-
+P�likaci matematick� modelov� na ���k�onkr��lohy se obvykle pot�s probl�m, jak ur� konstanty, kter�an�l ur��Zkoum�-li nap�d n�k�k��yst� z rozboru fyzik�� z�nitost�bvykle zn� tvar rovnic, kter�r��eho v� �e, nicm� po�e� podm�y �parametry, kter� rovnic� vystupuj� jsou pro dan��charakteristick�m� z�at pouze nep� obvykle m�n�vhodn�li�. Tato kapitola se zab�difikac�lohy stochastick� ��ro p� p�nosti nezn�ch parametr�
 \section{Formulace � stochastick� �� nep�mi daty}
 Informace o stavu syst� $x_t$ v �e $t$ z��me pomoc�� $y_t$, kter��jako
 \begin{equation}
 \label{poz}
-y_0=h_0(x_0,v_0),\qquad y_t=h_t(x_t,u_{t-1},v_t), \qquad t=1,\ldots,N-1,
+y_0=h_0(x_0,v_0),\qquad y_{t+1}=h_{t+1}(x_{t+1},u_t,v_{t+1}), \qquad t=1,\ldots,N-1,
 \end{equation}
 kde $v_t$ je n�dn�eli�a charakterizuj� chybu m�n�Po�e� stav $x_0$ je d�rozd�n�pravd�dobnosti $P^{x_0}$ a dal���yst� ur�e soustava \eqref{sys}.
@@ -11 +10 @@
 Informace, kter�sou v pr� �� dispozici je zvykem ps�ve form�zv. \emph{informa�ho vektoru}, kter�var
 \begin{equation}
-I_0=y_0,\qquad I_t=(y_{0:t},u_{0:t-1}), \qquad  t=1,\ldots,N-1.
+I_0=y_0,\qquad I_{t+1}=(y_{0:t+1},u_{0:t}), \qquad  t=1,\ldots,N-1.
 \end{equation}
 
-�d� strategie $\pi=\mu_{0:N-1}$ nyn�em�xplicitn��set na stavu syst�, proto�e m� k dispozici pouze informa� vektor. Hled� tedy
+�d� z�h nyn�em�xplicitn��set na stavu syst�, proto�e m� k dispozici pouze informa� vektor. Podobn�ako v p�l�apitole proto zav�me mno�inu  $U(I_t)$ v�ech p�tn�d�ch z�h�informace $I_t$ a p�tnou ��trategi�ude $\pi=\mu_{0:N-1}$ 
 \begin{equation}
 \label{icon}
 \mu_t(I_t)=u_t \, \qquad t=0,1,\ldots,N-1,
 \end{equation}
+kde $u_t \in U(I_t)$ je p�tn�c��h.
 
-PRIPUSTNE STRATEGIE
-
-�olem je naj�p�tnou strategii \eqref{icon}, kter�y minimalizovala o��nou ztr�
+�olem je naj�p�tnou strategii, kter�y minimalizovala o��nou ztr�
 \begin{equation}
 \label{ilos}
-J_\pi=\E_{\substack{x_0,\ w_{0:N-1},\\ v_{0:N-1}}}\left\{g_N(x_N)+\sum_{t=0}^{N-1}g_t(x_t,\mu_t(I_t),w_t)\right\},
+J_\pi=\E_{\substack{x_0,\ w_{0:N-1},\\ v_{0:N-1}}}\left\{\sum_{t=0}^{N-1}g_t(x_{t+1},\mu_t(x_t))\right\},
 \end{equation}
 za podm�k \eqref{sys} a \eqref{poz}.
@@ -39 +37 @@
 
 D� p�me k nov�tr�v�unkci, kterou definujeme jako
-\begin{gather}
-\tilde{g}_N(I_N)=\E_{x_N}\left\{g_N(x_N)|I_N\right\}, \\ \tilde{g}_t(I_t,u_t,w_t)=\E_{x_t}\left\{g_t(x_t,u_t,w_t)|I_t,u_t\right\}, \qquad  t=1,\ldots,N-1.
-\end{gather}
+\begin{equation}
+ \tilde{g}_t(I_{t+1},u_t)=\E_{x_{t+1}}\left\{g_t(x_{t+1},u_t)|I_t,u_t\right\}, \qquad  t=1,\ldots,N-1,
+\end{equation}
+kde $x_{t+1}$ se po��le \eqref{sys} a $x_t$ se pova�uje za n�dnou veli�u podm�nou informa�m vektorem $I_t$.
 
 O��nou ztr� nyn�� ps�ve tvaru
 \begin{gather}
-J_N(I_N)=\tilde{g}_N(I_N)\\
-J_t(I_t)=\min_{u_t \in U_t}\E_{w_t,y_{t+1}}\left\{\tilde{g}_t(I_t,u_t,w_t)+J_{t+1}((I_t,u_t,y_{t+1}))|I_t,u_t\right\} \qquad t=0,\ldots,N-1
+J_N(I_N)=0\\
+J_t(I_t)=\min_{u_t \in U_t}\E_{w_t,y_{t+1}}\left\{\tilde{g}_t(I_{t+1},u_t)+J_{t+1}(I_{t+1})|I_t,u_t\right\} \qquad t=0,\ldots,N-1
 \end{gather}
 
-Tato � ji� m��ena pomoc�ynamick� programov�. P��en�udeme postupovat od konce �� horizontu a postupn�ledat $J_t(I_t)$. Potom libovoln�\pi=\{\mu_0,\ldots,\mu_{N-1}\}$, kter�ab�nim����n�tr� $J_0(y_0)$ je optim��osloupnost rozhodnut�
+Tato � ji� m��ena pomoc�ynamick� programov�. P��en�udeme postupovat od konce �� horizontu a postupn�ledat $J_t(I_t)$. Potom libovoln�\pi=\{\mu_0,\ldots,\mu_{N-1}\}$, kter�ab�nim����n�tr� $J_0(y_0)$ je optim���c�trategie. 
 
 \section{�zen�yst� s nezn�mi parametry}
@@ -57 +56 @@
 \begin{equation}
 \label{poz2}
-y_0=h_0(\theta,v_0),\qquad y_t=h_t(I_{t-1},\theta,u_{t-1},v_t), \qquad t=1,\ldots,N-1,
+y_0=h_0(\theta,v_0),\qquad y_{t+1}=h_t(I_t^{(d)},\theta,u_t,v_{t+1}), \qquad t=0,\ldots,N-1,
 \end{equation}
+kde $I_t^{(d)}=(y_{t:t-d},u_{t-1:t-d})$ a �lo $d$ se naz�d modelu.
 
-Ztr�v�unkce je nyn�\begin{equation}
-\label{los2}
-g(y_{0:N},u_{0:N-1},v_{0:N-1})=g_N(y_N)+\sum_{t=0}^{N-1}g_t(y_t,u_t,v_t).
-\end{equation}
-
-Ozna� $T_t$ testovac�tatistiku pro parametr $\theta$ zalo�enou na informac� dostupn� �e $t$. Do $T_t$ zahrneme rovnez ty cleny $I_t$, kter�ystupuj� \eqref{poz2}, abychom mohli ps�
-\begin{equation}
-\label{poz3}
-y_{t+1}=h_t(T_t,\theta,u_t,v_{t+1}).
-\end{equation}
+Ozna� $T_t$ dostate�u statistiku pro parametr $\theta$ zalo�enou na informac� dostupn� �e $t$. Pokud dostate� statistika neexistuje, pak bude $T_t$ ozna�at n�kou jej�hodnou aproximaci. Ozna� d� $H_t=(I_t^{(d)},T_t)$ tzv. hyperstav syst�.
 
 P�kl�jme d�, �e o parametru $\theta$ m� n�kou apriorn�nformaci v podob�ustoty pravd�dobnosti $f(\theta|T_0)$. Aposteriorn�ustotu $f(\theta|T_{t+1})$ z�� pomoc�ayesova vzorce
 \begin{equation}
 \label{bay}
-f(\theta|T_{t+1})=\frac{f(T_{t+1}|\theta,T_t)f(\theta|T_t)}{\int f(T_{t+1}|\theta,T_t)f(\theta|T_t)\mathrm{d}\theta}
+f(\theta|T_{t+1}) = \frac{f(y_{t+1} | \theta, I_t^{(d)},u_t) f(\theta| T_t)}
+{\int f(y_{t+1} | \theta, I_t^{(d)},u_t) f(\theta| T_t)\mathrm{d}\theta}
 \end{equation}
-Rekurzivn�ou�it�zorce \eqref{bay} pro odhad parametru $\theta$ je postup Bayesovsk� u��cite{peterka1981bayesian}.
+Rekurzivn�ou�it�zorce \eqref{bay} pro odhad parametru $\theta$ se naz�stup Bayesovsk� u��cite{peterka1981bayesian}.
 
-Pro v�estovac�tatistiky v �e m� podle \eqref{bay} ps�
+Pro v�yperstavu $H_t$ v �e m� na z�ad�eqref{bay} ps�
 \begin{equation}
 \label{the}
-T_{t+1}=f_t(T_t,u_t,y_{t+1}), \qquad  t=1,\ldots,N-1.
+H_{t+1}=f_t(H_t,u_t,y_{t+1}), \qquad  t=1,\ldots,N-1.
 \end{equation} 
-Rovnici \eqref{the} m� podobn�ako \eqref{nep} pova�ovat za rovnici syst� \eqref{sys} pro stav $T_t$ a vstup $u_t$ s �umem $y_{t+1}$. 
+Rovnici \eqref{the} m� podobn�ako \eqref{nep} pova�ovat za rovnici syst� \eqref{sys} pro stav $H_t$ a vstup $u_t$ s �umem $y_{t+1}$. 
 
-Hustota pravd�dobnosti pro odhad parametru $\theta$ v rovnici pro v�\eqref{poz3} je v �e $t$ ur�a testovac�tatistikou $T_t$. Rovnice \eqref{the}, \eqref{poz3} a \eqref{los2} potom p�avuj�lohu stochastick� �� nep�mi daty.
+Ztr�v�unkce je nyn�\begin{equation}
+\label{los2}
+g(y_{1:N},u_{0:N-1})=\sum_{t=0}^{N-1}g_t(y_{t+1},u_t).
+\end{equation}
+
+�ohou je nalezen��c�trategie $\pi=\mu_{0:N-1}$, kter�y minimalizovala o��nou ztr�
+\begin{equation}
+\label{ilos2}
+J_\pi=\E_{\theta_0,v_{0:N-1}}\left\{\sum_{t=0}^{N-1}g_t(y_{t+1},\mu_t(H_t))\right\},
+\end{equation}
+za apriorn�nformace $f(\theta|T_0)$, zn�ho rozd�n�umu $v_t$ a podm�k \eqref{the} a \eqref{poz2}.
+
+Rovnice \eqref{the}, \eqref{poz2} a \eqref{los2} potom p�avuj�lohu stochastick� �� nep�mi daty.
+
+�ohu �e pomoc�ynamick� programov�, tedy postupnou minimalizac���n�tr� od konce �� horizontu
+\begin{gather}
+J_N(H_N)=0\\
+\label{los3}
+J_t(H_t)=\min_{u_t \in U_t}\E_{y_{t+1}}\left\{g_t(y_{t+1},u_t)+J_{t+1}(H_{t+1})|H_t,u_t\right\}, \qquad t=0,\ldots,N-1,
+\end{gather}
+kde $H_{t+1}$ se po��le \eqref{the}. St� hodnota vzhledem k $y_{t+1}$ se po��omoc�eqref{poz2} a $f(\theta|T_t)$ jako�to aktu�� odhadu na parametr $\theta$.
 
 \subsection{Kalman�ltr}
@@ -93 +105 @@
 \begin{equation}
 \label{sys2}
-y_{t+1}=\tilde{h}_t(I_t,u_t)+A_t(I_t,u_t))\theta+v_{t+1}, , \qquad t=0,\ldots,N-1.
+y_{t+1}=\tilde{h}_t(I_t,u_t)+A_t(I_t,u_t)\theta+v_{t+1}, , \qquad t=0,\ldots,N-1.
 \end{equation}
 
@@ -106 +118 @@
 \end{gather}
 
-Dosazen�do \eqref{bay} se odvod��e aposteriorn�ustota pravd�dobnosti $f(\theta_{t+1}|I_t)$ je rovn�gaussovsk�a jej�arametry $(\hat{\theta}_{t+1}, P_{t+1})$ spl�
+Dosazen�do \eqref{bay} se odvod��e aposteriorn�ustota pravd�dobnosti $f(\theta|T_{t+1})$ je rovn�gaussovsk�a jej�arametry $(\hat{\theta}_{t+1}, P_{t+1})$ spl� rovnice
 \begin{gather}
 K_t=P_tA_t(A_t^TP_tA_t+Q_t)^{-1}\\
@@ -114 +126 @@
 Odvozen�ze nal� v \cite{peterka1981bayesian}.
 
-Alternativn�dvozen�ez po�adavku gaussovsk� �umu je mo�n�rov� za p�kladu, �e odhadovac�roceduru st� hodnoty parametru $\theta_{t+1}$ budeme hledat ve tvaru line��pravy st� hodnoty $\theta_t$ ��eur�osti v syst�. Tedy �e
+Alternativn�dvozen�ez po�adavku gaussovsk� �umu je mo�n�rov� za p�kladu, �e odhadovac�roceduru st� hodnoty $\hat{\theta}_{t+1}$  nezn�ho parametru $\theta$ budeme hledat ve tvaru line��pravy st� hodnoty $\hat{\theta}_t$ ��eur�osti v syst�. Tedy �e
 \begin{equation}
 \label{opr}