Changeset 1350 for applications

Timestamp:

05/03/11 19:02:26 (14 years ago)

Author:

vahalam

Message:

 

Location:

applications/dual/VYZ

Files:

• vyz_text.lyx (modified) (2 diffs)
• vyz_text.pdf (modified) (previous)

applications/dual/VYZ/vyz_text.lyx

@@ -3620 +3620 @@
 
 \begin_layout Subsubsection
+Kalmanův filtr
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Pro úplnost je zde uvedena i základní formulace v textu často zmiňovaného
+ Kalmanova filtru.
+ Typicky je tento algoritmus používán jako pozorovatel lineárního systému.
+ Je však možno jej zobecnit i pro nelineární systémy a pak hovoříme o rozšířeném
+ Kalmanově filtru (Extended Kalman Filter, EKF).
+ Zobecnění je založeno na jednoduché myšlence, kdy původní nelineární systém
+ aproximujeme systémem lineárním, tedy provedeme v každém časovém kroku
+ linearizaci v nějaké reprezentativní trajektorii.
+ Následující popis Kalmanova filtru je převzat z 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "BertsekasDPOC"
+
+\end_inset
+
+, kde je možno nalézt i příslušné odvození:
+\end_layout
+
+\begin_layout Paragraph
+Modelový systém
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Předpokládejme lineární dynamický systém, prozatím bez řízení (
+\begin_inset Formula $u_{t}\equiv0$
+\end_inset
+
+) popsaný rovnicemi
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+x_{t+1} & = & A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}+w_{t},\\
+z_{t} & = & C_{t}x_{t}+v_{t},
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+pro 
+\begin_inset Formula $t=0,1,\ldots,T-1$
+\end_inset
+
+, kde 
+\begin_inset Formula $x_{t}$
+\end_inset
+
+ je vektor stavu, 
+\begin_inset Formula $u_{t}$
+\end_inset
+
+ vektor řízení, 
+\begin_inset Formula $z_{t}$
+\end_inset
+
+ vektor pozorování (měření) a vektory 
+\begin_inset Formula $v_{t}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $w_{t}$
+\end_inset
+
+ představují šum, matice 
+\begin_inset Formula $A_{t}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $B_{t}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $C_{t}$
+\end_inset
+
+ předpokládáme známé.
+ Dále 
+\begin_inset Formula $x_{0},w_{0},\ldots,w_{T-1},v_{0},\ldots,v_{T-1}$
+\end_inset
+
+ jsou vektory nezávislých náhodných veličin s daným rozdělením pravděpodobnosti
+ splňujícím 
+\begin_inset Formula $\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ w_{t}\right\} =\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ v_{t}\right\} =0$
+\end_inset
+
+, pro 
+\begin_inset Formula $t=0,1,\ldots,T-1$
+\end_inset
+
+.
+ Označme 
+\begin_inset Formula $S=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ \left(x_{0}-\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{0}\right\} \right)\left(x_{0}-\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{0}\right\} \right)^{T}\right\} $
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $M_{t}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ w_{t}w_{t}^{T}\right\} $
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $N_{t}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ v_{t}v_{t}^{T}\right\} $
+\end_inset
+
+ a nechť je matice 
+\begin_inset Formula $N_{t}$
+\end_inset
+
+ pozitivně definitní pro všechny časy 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dále označme 
+\begin_inset Formula $\hat{x}_{t\mid t-1}$
+\end_inset
+
+ apriorní odhad stavu 
+\begin_inset Formula $x_{t}$
+\end_inset
+
+, tedy odhad v čase 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ na základě informací do času 
+\begin_inset Formula $t-1$
+\end_inset
+
+.
+ Obdobně 
+\begin_inset Formula $\hat{x}_{t\mid t}$
+\end_inset
+
+ označuje aposteriorní odhad 
+\begin_inset Formula $x_{t}$
+\end_inset
+
+.
+ Analogicky pak označíme apriorní 
+\begin_inset Formula $P_{t\mid t-1}$
+\end_inset
+
+ a aposteriorní 
+\begin_inset Formula $P_{t\mid t}$
+\end_inset
+
+ kovarianční matici stavu systému.
+\end_layout
+
+\begin_layout Paragraph
+Algoritmus
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Volíme počáteční podmínky 
+\begin_inset Formula $\hat{x}_{0\mid-1}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{0}\right\} $
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $P_{0\mid-1}=S$
+\end_inset
+
+ a dále předpokládáme, že máme odhady 
+\begin_inset Formula $\hat{x}_{t\mid t-1}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $P_{t\mid t-1}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ \left(x_{t}-\hat{x}_{t\mid t-1}\right)\left(x_{t}-\hat{x}_{t\mid t-1}\right)^{T}\right\} .$
+\end_inset
+
+ V čase 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ získáme měření na výstupu systému 
+\begin_inset Formula $z_{t}=C_{t}x_{t}+v_{t}$
+\end_inset
+
+ a z něj vypočítáme aposteriorní odhad stavu 
+\begin_inset Formula $\hat{x}_{t\mid t}$
+\end_inset
+
+ ve tvaru
+\begin_inset Formula 
+\begin{equation}
+\hat{x}_{t\mid t}=\hat{x}_{t\mid t-1}+P_{t\mid t-1}C_{t}^{T}\left(C_{t}P_{t\mid t-1}C_{t}^{T}+N_{t}\right)^{-1}\left(z_{t}-C_{t}\hat{x}_{t\mid t-1}\right).\label{eq:kalman_st_aposter}
+\end{equation}
+
+\end_inset
+
+Dále pak získáme apriorní odhad stavu 
+\begin_inset Formula $\hat{x}_{t+1\mid t}$
+\end_inset
+
+ v čase 
+\begin_inset Formula $t+1$
+\end_inset
+
+ jako 
+\begin_inset Formula $\hat{x}_{t+1\mid t}=A_{t}\hat{x}_{t\mid t}$
+\end_inset
+
+ a apriorní kovarianční matici 
+\begin_inset Formula $P_{t+1\mid t}=A_{t}P_{t\mid t}A_{t}^{T}+M_{t}$
+\end_inset
+
+.
+ Aposteriorní kovarianční matici 
+\begin_inset Formula $P_{t\mid t}$
+\end_inset
+
+ získáme z rovnice 
+\begin_inset Formula 
+\[
+P_{t\mid t}=P_{t\mid t-1}-P_{t\mid t-1}C_{t}^{T}\left(C_{t}P_{t\mid t-1}C_{t}^{T}+N_{t}\right)^{-1}C_{t}P_{t\mid t-1}.
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Rovnici 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:kalman_st_aposter"
+
+\end_inset
+
+ lze vyjádřit ve tvaru
+\begin_inset Formula 
+\[
+\hat{x}_{t\mid t}=A_{t-1}\hat{x}_{t-1\mid t-1}+P_{t\mid t}C_{t}^{T}N_{t}^{-1}\left(z_{t}-C_{t}A_{t-1}\hat{x}_{t-1\mid t-1}\right).
+\]
+
+\end_inset
+
+ Nyní, když budeme uvažovat systém se vstupem můžeme modifikací předchozí
+ rovnice získat vyjádření ve tvaru
+\begin_inset Formula 
+\[
+\hat{x}_{t\mid t}=A_{t-1}\hat{x}_{t-1\mid t-1}+B_{t-1}u_{t-1}+P_{t\mid t}C_{t}^{T}N_{t}^{-1}\left(z_{t}-C_{t}A_{t-1}\hat{x}_{t-1\mid t-1}\right),
+\]
+
+\end_inset
+
+přičemž rovnice pro výpočet 
+\begin_inset Formula $P_{t\mid t}$
+\end_inset
+
+ zůstávají nezměněny.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
 Další vlastnosti
 \end_layout
@@ -6190 +6448 @@
 \end_layout
 
+\begin_layout Section
+Konkrétní hodnoty parametrů
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Parametry PMSM
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Pro simulace byl uvažován model PMSM s následujícími parametry:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+R_{s} & = & 0.28;\\
+L_{s} & = & 0.003465;\\
+\Psi_{PM} & = & 0.1989;\\
+B & = & 0;\\
+T_{L} & = & 0;\\
+k_{p} & = & 1.5;\\
+p_{p} & = & 4.0;\\
+J & = & 0.04;\\
+\Delta k & = & 0.000125.
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+Což vede na zjednodušené koeficienty:
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+a & = & 0.9898;\\
+b & = & 0.0072;\\
+c & = & 0.0361;\\
+d & = & 1.0;\\
+e & = & 0.0149.
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Kovarianční matice
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Kovarianční matice 
+\begin_inset Formula $M_{k}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $N_{k}$
+\end_inset
+
+ šumu v systému a šumu měření předpokládáme známé a pro účely testování
+ je volíme následovně:
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+M_{k} & = & \mathrm{diag\left(0.0013;\:0.0013;\:5.0e-6;\:1.0e-10\right),}\\
+N_{k} & = & \mathrm{diag}\left(0.0006;\:0.0006\right).
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Další hodnoty
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Další hodnoty, jako požadovaná hodnota otáček (referenční signál) 
+\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
+\end_inset
+
+, časový horizont 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+, penalizační matice ve ztrátové funkci 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+, budou specifikovány pro konkrétní simulaci.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+TODO
+\end_layout
+
 \begin_layout Standard
 možná něco vlastního v matlabu