#LyX 2.0 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 413
\begin_document
\begin_header
\textclass scrreprt
\begin_preamble
\usepackage[czech]{babel}
\end_preamble
\use_default_options true
\maintain_unincluded_children false
\language czech
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman default
\font_sans default
\font_typewriter default
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100
\font_tt_scale 100

\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_amsmath 1
\use_esint 1
\use_mhchem 1
\use_mathdots 1
\cite_engine basic
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\use_refstyle 0
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 2
\tocdepth 2
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\quotes_language german
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Standard
\align left
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
thispagestyle{empty}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center

\size large
České vysoké učení technické v Praze
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center

\size large
Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
Katedra matematiky
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
Obor: Inženýrská informatika
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
Zaměření: Softwarové inženýrství a matematická informatika
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Graphics
	filename /home/michal/Dokumenty/Bakalarka/moje/komplet/logo_cvut.eps
	lyxscale 20
	scale 20

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center

\size larger
\color black
Metody duálního řízení elektrických pohonů
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace smallskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center

\size larger
\color black
Dual control methods for electrical drives
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center

\size largest
\color black
VÝZKUMNÝ ÚKOL
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace vfill
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
Vypracoval: Michal Vahala
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
Vedoucí práce: Ing.
 Václav Šmídl, Ph.D.
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
Rok: 2011
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
thispagestyle{empty}~
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace vfill
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Prohlášení
\end_layout

\begin_layout Standard
Prohlašuji, že jsem výzkumný úkol vypracoval samostatně a použil jsem pouze
 podklady uvedené v přiloženém seznamu.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
\align left
V Praze dne \SpecialChar \ldots{}
\SpecialChar \ldots{}
\SpecialChar \ldots{}
\SpecialChar \ldots{}
\SpecialChar \ldots{}
 
\begin_inset space \hfill{}
\end_inset

\SpecialChar \ldots{}
\SpecialChar \ldots{}
\SpecialChar \ldots{}
\SpecialChar \ldots{}
\SpecialChar \ldots{}
\SpecialChar \ldots{}

\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
\align block
\begin_inset space \hfill{}
\end_inset

Michal Vahala
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

~~
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
thispagestyle{empty}~
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace vfill
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Poděkování
\end_layout

\begin_layout Standard
Především bych chtěl poděkovat 
\begin_inset VSpace defskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset space \hfill{}
\end_inset

Michal Vahala
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
thispagestyle{empty}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Description

\emph on
Název
\begin_inset space \space{}
\end_inset

práce: 
\emph default
\color black

\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

~
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Newline newline
\end_inset

Metody duálního řízení elektrických pohonů
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset VSpace defskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Description

\emph on
Autor:
\emph default
 Michal Vahala
\end_layout

\begin_layout Description

\emph on
Obor:
\emph default
 Inženýrská informatika
\end_layout

\begin_layout Description

\emph on
Druh
\begin_inset space \space{}
\end_inset

práce:
\emph default
 Výzkumný úkol
\end_layout

\begin_layout Description

\emph on
Vedoucí
\begin_inset space \space{}
\end_inset

práce:
\emph default
 Ing.
 Václav Šmídl, Ph.D.
\end_layout

\begin_layout Description

\emph on
Abstrakt:
\emph default
 
\end_layout

\begin_layout Description

\emph on
Klíčová
\begin_inset space \space{}
\end_inset

slova:
\emph default
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Description

\emph on
Title: 
\emph default
\color black

\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

~
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Newline newline
\end_inset

Dual control methods for eletrical drives
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset VSpace defskip
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Description

\emph on
Author:
\emph default
 Michal Vahala
\end_layout

\begin_layout Description

\emph on
Abstract:
\emph default
 
\end_layout

\begin_layout Description

\emph on
Key
\begin_inset space \space{}
\end_inset

words:
\emph default
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
thispagestyle{empty}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset toc
LatexCommand tableofcontents

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
thispagestyle{empty}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Chapter*
Seznam použitého označení a zkratek
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Zkratky
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000

\emph on
PMSM
\emph default
 synchronní stroj s permanentními magnety (
\emph on
Permanent Magnet Synchronous Machine
\emph default
)
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000

\emph on
SMPMSM
\emph default
 PMSM s magnety na povrchu rotoru (
\emph on
Surface Mounted PMSM
\emph default
)
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000

\emph on
IPMSM
\emph default
 PMSM s magnety uvnitř rotoru (
\emph on
Inner PMSM
\emph default
)
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000

\emph on
LQG
\emph default
 lineárně kvadraticky gaussovské řízení (
\emph on
Linear-Quadratic-Gaussian
\emph default
)
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000

\emph on
PI 
\emph default
proporcionálně integrační regulátor
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000

\emph on
EKF 
\emph default
rozšířený Kalmanův filtr (
\emph on
Extended Kalman Filter
\emph default
)
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Označení
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $\hat{a}$
\end_inset

 značí odhad veličiny 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 komplexní jednotka 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Addchap
Úvod
\end_layout

\begin_layout Standard
Hlavní náplní této práce je řízení elektrických pohonů, konkrétně synchronního
 motoru s permanentními magnety (v textu bude označován zkratkou PMSM z
 anglického 
\emph on
Permanent Magnet Synchronous Machine
\emph default
).
 Jedná se o synchronní stroj, tedy rotor se otáčí současně (synchronně)
 s točivým magnetickým polem statoru.
 Na rotoru má ale místo budícího vinutí permanentní magnety.
 Tato konstrukce nachází v poslední době stále větší uplatnění.
 Je tomu tak především z důvodu snadnější dostupnosti kvalitních permanentních
 magnetů, ale také díky možnosti využít stále výkonější polovodičová zařízení
 pro řízení a napájení těchto strojů.
\end_layout

\begin_layout Standard
Jak se ale ukazuje, řízení takovýchto strojů, zjeména pokud se jedná o takzvaný
 bezsenzorový návrh je netriviální.
 Je tedy třeba hledat vhodné řídící algoritmy, které zvládnou motor efektivně
 řídit i v bezsenzorovém případě a umožní širší nasazení PMSM v praxi.
\end_layout

\begin_layout Standard
V tomto textu je nejdříve stručně popsán samotný PMSM, následuje odvození
 rovnic popisující tento stroj v nejčastěji používaných souřadných soustavách.
 Dále je formulována problematika estimace a určovaní stavových veličin,
 kdy je kladen důraz na bezsenzorový případ.
 Následuje popis nejčastěji použavaných řídících technik, které jsou současně
 dostatečně jednoduché, aby mohly být teoreticky nasazeny i pro případ řízení
 v reálném čase.
 Zvláštní pozornost je věnována řízení označovanému jako LQG.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Dále se text věnuje duálnímu řízení, které se zdá být vhodným kandidátem
 na zvládnutí úlohy řízení PMSM.
 Protože je však problém duálního řízení obecně velmi složitá úloha, zaměříme
 se na jeho nejjednodušší případy, které by mohly být nasazeny i v reálném
 čase.
\end_layout

\begin_layout Standard
Na závěr jsou prezentovány výsledky simulací a jsou navrženy směry a metody,
 které by mohly vést k úspěšnému řešení problému.
\end_layout

\begin_layout Paragraph
Poznámka
\end_layout

\begin_layout Standard
V celém textu bude 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 označovat komplexní jednotku 
\begin_inset Formula $j=\sqrt{-1}$
\end_inset

.
 Označení 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 bude obvykle značit elektrický proud, komplexní jednotku však nikdy.
\end_layout

\begin_layout Chapter
Popis PMSM
\end_layout

\begin_layout Section
Vlastnosti
\end_layout

\begin_layout Subsection
Permanentní magnety
\end_layout

\begin_layout Standard
Jak již bylo řečeno pro PMSM mají velký význam kvalitní permanentní magnety.
 Podle 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "cdern2010,novak2006"

\end_inset

 jsou magnety vhodné pro PMSM vyráběny ze speciálních slitin nejčastěji
 na bázi prvků 
\begin_inset Formula $Sm-Co$
\end_inset

 nebo 
\begin_inset Formula $Nd-Fe-B$
\end_inset

.
 Oproti klasickým feritovým magnetům se vyznačují velkou magnetickou indukcí
 okolo 
\begin_inset Formula $1T$
\end_inset

 oproti přibližne 
\begin_inset Formula $0,3T$
\end_inset

 u feritových magnetů.
\end_layout

\begin_layout Standard
Nevýhodou nejen těchto, ale permanentních magnetů obecně je změna jejich
 magnetických vlastností s teplotou.
 Jedná se především o hranici označovanou jako 
\emph on
Courieův bod
\emph default
, kdy materiál přechází z feromagnetického stavu do paramagnetického a s
 tím je spojen výrazný pokles magnetizmu.
 Tato hodnota závisí na použítém materiálu a pohybuje se přibližně v rozmezí
 
\begin_inset Formula $200-1000^{\circ}C$
\end_inset

.
 Z toho vyplývá, že je nutné udržovat motor na vhodné provozní teplotě a
 tedy zajistit odpovídající chlazení.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Výhody a nevýhody PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
Následující část popisující výhody a nevýhody čerpá především ze zdrojů
 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "cdern2010,novak2006"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Výhody
\end_layout

\begin_layout Standard
Proč se PMSM využívají a jaké mají výhody oproti jiným motorům.
 Uveďme především:
\end_layout

\begin_layout Itemize
rotor neobsahuje vinutí a tedy 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
je možno jej konstruovat menší, což je velmi výhodné v aplikacích, kde záleží
 na co nejmenší velikosti pohonu, příkladem mohou být dopravní prostředky,
 kde lze ušetřené místo využít například pro cestující (nízkopodlažní tramvaj)
\end_layout

\begin_layout Itemize
je možno jej konstruovat lehčí, což snižuje hmotnost celého zařízení 
\end_layout

\begin_layout Itemize
má menší moment setrvačnosti rotoru
\end_layout

\begin_layout Itemize
není třeba
\emph on
 
\emph default
složitě přivádět
\emph on
 
\emph default
napájení
\emph on
 
\emph default
na rotor
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
není třeba motor před rozběhem budit a nepotřebuje zdroj budícího proudu
\end_layout

\begin_layout Itemize
odpadá problém s přívodem proudu do buzení rotoru
\end_layout

\begin_layout Itemize
vyšší účinnost -- nejsou jouleovy ztráty v rotoru (oproti asynchronnímu
 stroji) popřipadě v buzení (oproti synchronnímu stroji s buzením)
\end_layout

\begin_layout Itemize
momentová přetížitelnost
\end_layout

\begin_layout Itemize
možnost konstrukce pomaluběžného stroje s dostatečným výkonem, který nepotřebuje
 převedovku (výhody spojené s absencí převodovky)
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Nevýhody
\end_layout

\begin_layout Standard
Na druhou stranu toto řešení motoru má i své nevýhody, jedná se zejména
 o:
\end_layout

\begin_layout Itemize
technologicky složitější výroba -- připevnění permanentních magnetů na rotor
 (nejčastěji lepení)
\end_layout

\begin_layout Itemize
složitější opravy
\end_layout

\begin_layout Itemize
vyšší cena (nezanetbatelné náklady na permanentní magnety)
\end_layout

\begin_layout Itemize
menší robustnost
\end_layout

\begin_layout Itemize
problematické odbuzování
\end_layout

\begin_layout Itemize
nutnost dobrého chlazení -- závislot magnetických vlastností permanentních
 magnetů na teplotě
\end_layout

\begin_layout Itemize
problematika spojená s návrhem řízení těchto strojů (bude detailněji rozebrána
 níže)
\end_layout

\begin_layout Section
Konstrukce
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename pmsm_spec.eps
	scale 35

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename pmsm_simple.eps
	scale 60

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\emph on
Ilustrativní obrázek konstrukce PMSM
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\emph on
Zjednodušený model PMSM
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Konstrukce a model PMSM
\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:obr1_ilupmsm"

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:obr2_simplepmsm"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Základní konstrukce PMSM je na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:obr1_ilupmsm"

\end_inset

.
 Nákres je pouze ilustrativní, ale zobrazuje hlavní části PMSM: Vnější kruh
 představuje stator.
 Na něm jsou zuby, na kterých je navinuto statorové vinutí (v obrázku není
 zobrazeno).
 Vnitřní kruh je rotor, na jehož povrchu jsou umístěny právě permanentní
 magnety.
 U těchto magnetů je barevně rozlišen severní a jižní pól.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Často se lze setkat i s opačnou konstrukcí, kdy je stator umístěn uvnitř
 a rotor s magnety se otáčí kolem něj.
 Tato konstrukce PMSM se využívá například k pohonu nejrůznějších vozidel,
 kdy je motor umístěn přímo v kole vozidla, nebo k pohonu bubnu automatické
 pračky.
 Existují i další konstrukce PMSM.
 Zajímavou je například verze, která má otočný stator i rotor a toto zařízení
 pak může sloužit jako dělič výkonu.
\end_layout

\begin_layout Standard
Vyobrazená konstrukce je někdy také označováná jako SMPMSM (
\emph on
Surface Mounted PMSM
\emph default
), tedy PMSM s magnety na povrchu.
 Další častou konstrukcí je IPMSM (
\emph on
Inner PMSM
\emph default
), kde jsou permanentní magnety umístěny uvnitř rotoru.
 Tyto verze mají nepatrně odlišné vlastnosti, které ale mají významný vliv
 při návrhu řízení těchto strojů.
 Pod PMSM se ještě zahrnují reluktanční motory, které jsou založeny na poněkud
 odlišném principu a dále se jimi vůbec zabývat nebudeme.
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro představu a odvození základních rovnic však nepotřebujeme pracovat s
 příliš složitou konstrukcí a vystačíme si se zjednodušeným modelem, který
 je zobrazen na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:obr2_simplepmsm"

\end_inset

.
 Na statoru jsou zde umístěny pouze tři cívky, které představují vinutí
 jednotlivých fází.
 Rotor je pak reprezentován jediným permanentním magnetem.
 Pro základní představu je tento model dostačující, dále ale bude třeba
 rozšířit model o více párů pólů.
 PMSM na nákresu (zjednodušený model) má 1 pár pólů, ale reálné motory jich
 mívají obvykle více.
\end_layout

\begin_layout Section
Souřadné soustavy
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro popis a následné odvození rovnic se standartně používá několik souřadných
 systémů.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="2" columns="3">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename pmsm_simple_abc.eps
	scale 35

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename pmsm_simple_albe.eps
	scale 35

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename pmsm_simple_dq.eps
	scale 35

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\emph on
Souřadný systém 
\begin_inset Formula $a-b-c$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\emph on
Souřadný systém 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

-
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\emph on
Souřadný systém 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Souřadné systémy
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:obr3_ssabc"

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:obr4_ssalbe"

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:obr5_ssdq"

\end_inset


\end_layout

\end_inset

Prvním z nich je souřadný systém 
\emph on

\begin_inset Formula $a-b-c$
\end_inset


\emph default
 znázorněný na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:obr3_ssabc"

\end_inset

.
 Jednotlivé osy tohoto souřadného systému (
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

) jsou směřují ve směru os vinutí jednotlivých fází a jsou tedy vzájemně
 pootočeny o 
\begin_inset Formula $120^{\circ}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Protože ale k popsaní polohy v rovině jsou tři souřadnice (v osách 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

) zbytečné a jedna z nich je vždy závislá, přecházíme k souřadnému systému
 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

-
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

, který je znázorněn na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:obr4_ssalbe"

\end_inset

.
 Osa 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 se totožná s osou 
\emph on

\begin_inset Formula $a$
\end_inset


\emph default
 ze souřadného systému 
\emph on

\begin_inset Formula $a-b-c$
\end_inset


\emph default
, osa 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 ja na ní pak kolmá.
 Osy 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

-
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 tedy tvoří ortogonální systém.
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro většinu aplikací se však ukazuje výhodným přejít do rotující soustavy
 
\emph on

\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset


\emph default
, která je svázána s rotorem.
 Její vyobrazení je na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:obr5_ssdq"

\end_inset

.
 Opět se jedná o ortogonální systém, kdy osu 
\emph on

\begin_inset Formula $d$
\end_inset


\emph default
 orientujeme ve směru osy permanentního magnetu směřující k jeho severnímu
 pólu.
 Osa 
\emph on

\begin_inset Formula $q$
\end_inset


\emph default
 je pak na ní kolmá.
\end_layout

\begin_layout Section
Transformace souřadnic
\end_layout

\begin_layout Standard
Mezi výše zmíněnými souřadnými soustavami platí následující převodní vztahy.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Transformace 
\begin_inset Formula $a-b-c\longleftrightarrow\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Tato transformace se označuje také jako Clarkova transformace, rovnice lze
 nalézt například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "fiser2006"

\end_inset

, nebo je možné je poměrně snadno odvodit.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Převod 
\begin_inset Formula $a-b-c\rightarrow\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Osa 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 je totožná s osou 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 osy 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 jsou pak oproti ní otočeny o 
\begin_inset Formula $120^{\circ}$
\end_inset

 respektive 
\begin_inset Formula $-120^{\circ}$
\end_inset

.
 Tedy souřadnice v ose 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 získáme následujícím průmětem z os 
\begin_inset Formula $a,\: b,\: c$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
\alpha=k\left(a+b\cdot\cos(120^{\circ})+c\cdot\cos(-120^{\circ})\right)=k\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right),
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 značí konstantu 
\begin_inset Formula $k=\frac{2}{3}$
\end_inset

.
 Obdobně postupujeme v případě osy 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

.
 Osa 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 je na ní kolmá a tedy její příspěvek je nulový.
 Osy 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 promítnutne do osy 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 získáme vztah:
\begin_inset Formula 
\[
\beta=k\left(b\cdot\sin(120^{\circ})+c\cdot\sin(-120^{\circ})\right)=k\left(\frac{\sqrt{3}}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}c\right).
\]

\end_inset

Celkem tedy máme rovnice:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\alpha & = & \frac{2}{3}\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right),\\
\beta & = & \frac{\sqrt{3}}{3}\left(b-c\right).
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Převod 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta\rightarrow a-b-c$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pro inverzní transformaci platí následující vztahy:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
a & = & \alpha+\theta,\\
b & = & \left(-\frac{1}{2}\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta,\\
c & \text{=} & \left(-\frac{1}{2}\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta,
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 představuje takzvanou nulovou složku 
\begin_inset Formula $\theta=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Transformace 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta\longleftrightarrow d-q$
\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Transformace_albe_dq"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Transformace je označována jako Parkova transformace a představuje přechod
 do rotujícího souřadného systému.
 Rovnice transformace lze najít opět například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "fiser2006"

\end_inset

 nebo je možné je opět odvodit.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Převod 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta\rightarrow d-q$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Předpokládáme otočení doustavy 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 oproti 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 o úhel 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 kolem společného počátku souřadných soustav a tedy:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
d & = & \alpha\cos\phi+\beta\sin\phi,\\
q & = & -\alpha\sin\phi+\beta\cos\phi.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Převod 
\begin_inset Formula $d-q\rightarrow\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Inverzní transformaci provedeme pouze otočením na druhou stranu:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\alpha & = & d\cos\phi-q\sin\phi,\\
\beta & = & d\sin\phi+q\cos\phi.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Odvození rovnic
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:Odvození-rovnic"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Odvození rovnic v 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 soustavě
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Odvození-rovnic-vdq"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Rovnice v 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 soustavě lze odvodit buď přímo nebo transformací rovnic z jiné soustavy.
 Přímé odvození bude uvedeno počínaje následujícím odstavcem, transformace
 z jiné soustavy (konkrétně 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

) bude pro srovnání a kontrolu uvedeno dále v textu.
\end_layout

\begin_layout Standard
Rovnici pro napětí v obvodu statoru synchroního stroje lze zapsat jako
\begin_inset Formula 
\[
u_{s}=R_{s}i_{s}+u_{i},
\]

\end_inset

tedy součet napětí v obvodu (Ohmův zákon) a indukovaného napětí, přičemž
 veličiny jsou uvažovány komplexní.
 Vyjáříme-li indukované napětí, jako změnu toku v čase (Faradayův zákon
 elektromagnetické indukce) přejde rovnice na tvar
\begin_inset Formula 
\[
u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}.
\]

\end_inset

Pro přechod do rotujícího souřadného systému předpokládáme obecně rotaci
 o úhel 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, kterou provedeme vynásobením všech veličin operátorem rotace v komplexních
 číslech 
\begin_inset Formula $e^{j\varepsilon}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 značí komplexní jednotku.
 Tedy
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{s}e^{j\varepsilon} & = & R_{s}i_{s}e^{j\varepsilon}+\frac{d(\psi_{s}e^{j\varepsilon})}{dt},\\
u_{s}e^{j\varepsilon} & \text{=} & R_{s}i_{s}e^{j\varepsilon}+\frac{d\psi_{s}}{dt}e^{j\varepsilon}+\psi_{s}j\omega_{\varepsilon}e^{j\varepsilon},\\
u_{s} & \text{=} & R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}+\psi_{s}j\omega_{\varepsilon},
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde symbol 
\begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}$
\end_inset

 označuje úhlovou rychlost -- změnu úhlu 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, jedná se tedy o derivaci 
\begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}=\frac{d\varepsilon}{dt}$
\end_inset

.
 Tato úhlová rychlost 
\begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}$
\end_inset

 odpovídá elektrickým otáčkám 
\begin_inset Formula $\omega_{el}$
\end_inset

 a lze ji přepočíst na mechanické otáčky pomocí vztahu 
\begin_inset Formula $\omega_{el}=p_{p}\omega_{m},$
\end_inset

 kde 
\begin_inset Formula $p_{p}$
\end_inset

 je počet párů polů rotoru a 
\begin_inset Formula $\omega_{m}$
\end_inset

 mechanické otáčky.
 Když předpokládáme počet párů polů roven 1, je 
\begin_inset Formula $\omega_{e}=\omega_{m}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní můžeme přejít k rovnicím v souřadném systému 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

, který je natočen oproti souřadnému systému statoru (
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

) o úhel 
\begin_inset Formula $\varepsilon=\vartheta$
\end_inset

 a otáčí se rychlostí 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

.
 Osa magnetického toku rotoru je osou 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 a v tomto směru uvažujeme reálnou složku komplexních veličin, osa 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 je pak na ní kolmá a bude reprezentovat složku imaginární.
 Dostáváme tedy 
\begin_inset Formula 
\[
u_{d}+ju_{q}\text{=}R_{s}\left(i_{d}+ji_{q}\right)+\frac{d\left(\psi_{d}+j\psi_{q}\right)}{dt}+\left(\psi_{d}+j\psi_{q}\right)j\omega_{m},
\]

\end_inset

což při rozepsání po složkách (reálná a imaginární) vede na rovnice
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{d} & = & R_{s}i_{d}+\frac{d\psi_{d}}{dt}-\omega_{m}\psi_{q},\\
u_{q} & = & R_{s}i_{q}+\frac{d\psi_{q}}{dt}+\omega_{m}\psi_{d}.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Dále uvažujme vztahy pro magnetické toky
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\psi_{d} & = & L_{d}i_{d}+\psi_{pm},\\
\psi_{q} & = & L_{q}i_{q}.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Po dosazení získáme rovnice
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{d}\frac{di_{d}}{dt}-\omega_{m}L_{q}i_{q},\\
u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{q}\frac{di_{q}}{dt}+\omega_{m}L_{d}i_{d}+\omega_{m}\psi_{pm}.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Vydělením 
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset

 respektive 
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset

 získáme
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "rovnice_i_dq_ruzneL"

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{d}}i_{d}+\frac{L_{q}}{L_{d}}\omega_{m}i_{q}+\frac{1}{L_{d}}u_{d},\\
\frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{q}}-\frac{\psi_{pm}}{L_{q}}\omega_{m}-\frac{L_{d}}{L_{q}}\omega_{m}i_{d}+\frac{1}{L_{q}}u_{q}.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Když ale položíme 
\begin_inset Formula $L_{d}=L_{q}=L_{s}$
\end_inset

 dostaneme rovnice
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{s}\frac{di_{d}}{dt}-\omega_{m}L_{s}i_{q},\\
u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{s}\frac{di_{q}}{dt}+\omega_{m}L_{s}i_{d}+\omega_{m}\psi_{pm}.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Vydělení 
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset

 pak vede na tvar
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}+\omega_{m}i_{q}+\frac{u_{d}}{L_{s}},\\
\frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{m}-\omega_{m}i_{d}+\frac{u_{q}}{L_{s}}.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Toto vyjádření je shodné s tím, které dostaneme následně transformací z
 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 souřadné soustavy.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Odvození rovnic v 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 soustavě
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Odvození-rovnic-valfabeta"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
I když se pro řízení ukazuje být lepší a v praxi více využíváné vyjádření
 v soustave 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

, rovnice v 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 jsou také důležité, protože představují přímý vztah mezi měřenými a řízenými
 veličinami.
 Mohou být využity například při návrhu rozšířeného Kalmanova filtru.
\end_layout

\begin_layout Standard
Opět vyjdeme z rovnice
\begin_inset Formula 
\[
u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}.
\]

\end_inset

Magnetický tok 
\begin_inset Formula $\psi_{s}$
\end_inset

 vyjádříme jako tok vytvořený cívkami statoru a dále přičteme tok permanentních
 magnetů, je však třeba uvažovat, že rotor obsahující permanentní magnety
 je natočen obecně pod úhlem 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

.
 Tedy v komplexní rovině lze vyjádřit tok jako 
\begin_inset Formula 
\[
\psi_{s}=L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}.
\]

\end_inset

Dosadíme nyní do rovnice a rozepíšeme ji po složkách
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{s} & = & R_{s}i_{s}+\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt},\\
u_{\alpha}+ju_{\beta} & \text{=} & R_{s}\left(i_{\alpha}+ji_{\beta}\right)+\frac{d}{dt}\left(L_{s}\left(i_{\alpha}+ji_{\beta}\right)+\psi_{pm}\left(\cos\vartheta+j\sin\vartheta\right)\right).
\end{eqnarray*}

\end_inset

Rozepsaní na dvě rovnice je pak následující
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{\alpha} & \text{=} & R_{s}i_{\alpha}+L_{s}\frac{di_{\alpha}}{dt}-\frac{d\vartheta}{dt}\psi_{pm}\sin\vartheta,\\
u_{\beta} & = & R_{s}i_{\beta}+L_{s}\frac{di_{\beta}}{dt}+\frac{d\vartheta}{dt}\psi_{pm}\cos\vartheta.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Rovnice vydělíme indukčností 
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset

, vyjádříme z nich derivace proudů a derivace úhlu natočení 
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
označíme jako úhlovou rychlost 
\begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}$
\end_inset

=
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

.
 Následně dostaneme rovnice v souřadné soustavě
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}},\\
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}}.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní je ještě třeba přidat další dvě diferenciální rovnice pro otáčky 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a polohu 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

.
 Rovnice pro 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 je triviální a už byla užita, jedná se o
\begin_inset Formula 
\[
\frac{d\vartheta}{dt}=\omega.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Rovnice pro 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard
Rovnice pro 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 získáme následujícím postupem ze základních zákonů mechaniky: Pro točivý
 moment (speciální případ momentu síly pro silovou dvojici, kdy se vektory
 skládají na nulu, avšak mají točivý účinek, v anglické literatuře označeno
 jako 
\emph on
torque
\emph default
)
\emph on
 
\emph default
platí obecně vztah
\begin_inset Formula 
\[
\tau=\frac{dL}{dt},
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 označuje moment hybnosti (
\emph on
angular momentum
\emph default
).
 Při uvažování působení více točivých momentu momentů pak
\begin_inset Formula 
\[
\tau_{1}+\ldots+\tau_{n}=\sum\tau=\frac{dL}{dt}.
\]

\end_inset

Uvažujeme-li rotaci kolem pevné osy, lze moment hybnosti vyjádřit jako
\begin_inset Formula 
\[
L=J\omega_{m},
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 označuje moment setrvačnosti (
\emph on
moment of inertia
\emph default
) a 
\begin_inset Formula $\omega_{m}$
\end_inset

 je mechanická úhlová rychlost.
 Po dosazení tedy
\begin_inset Formula 
\[
\sum\tau=\frac{dL}{dt}=\frac{d(J\omega_{m})}{dt}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.
\]

\end_inset

Točivé momenty 
\begin_inset Formula $\sum\tau$
\end_inset

 jsou: 
\end_layout

\begin_layout Itemize
moment získaný konverzním procesem elektrické energie, který vyjadřuje hlavní
 vlastnost točivého stroje, a to právě převod elektrické energie na mechanickou,
 tento mement označíme jako 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
zátěžný moment reprezentující zatížení stroje, tedy v podstatě to, co je
 motorem poháněno, je však třeba uvažovat, že působí v opačném směru a stroj
 brzdí, označíme ho tedy 
\begin_inset Formula $-T_{L}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
dále je ještě třeba uvažovat ztráty ve stroji v důsledku tření, tento moment
 opět působí v opačném směru a uvažujeme jej lineárně závislý na otáčkách
 
\begin_inset Formula $\omega_{m}$
\end_inset

, tedy 
\begin_inset Formula $-B\omega_{m}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 je koeficient viskozity (tření)
\end_layout

\begin_layout Standard
Rovnice po dosazení tedy přejde na tvar
\begin_inset Formula 
\[
T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.
\]

\end_inset

Nyní je ještě třeba vyjádřit točívý moment 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 na základě elektrických veličin.
 Toho lze dosáhnout výpočtem přes okamžitý elektrický výkon, pro trojfázový
 systém
\begin_inset Formula 
\[
P=u_{a}i_{a}+u_{b}i_{b}+u_{c}i_{c}.
\]

\end_inset

Po transformaci do systému 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 získáme vyjádření
\begin_inset Formula 
\[
P=k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right),
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $k_{p}$
\end_inset

 označuje Parkovu konstantu s hodnotou 
\begin_inset Formula $k_{p}=\frac{3}{2}$
\end_inset

.
 Napětí je zde uvažováno indukované 
\begin_inset Formula $u_{i}=\frac{d\psi_{s}}{dt}=\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\omega\psi_{pm}e^{j\vartheta}$
\end_inset

 a z něj využijeme pouze složku bez derivace proudu, protože ta slouží k
 tvorbě samotného magnetického pole stroje a nepodílí se na tvorbě výkonu,
 tedy 
\begin_inset Formula $\omega\psi_{pm}j(\cos\vartheta+j\sin\vartheta)$
\end_inset

.
 V systému 
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

 získáme vyjádření
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{\alpha} & = & -\omega\psi_{pm}\sin\vartheta,\\
u_{\beta} & = & \omega\psi_{pm}\cos\vartheta,
\end{eqnarray*}

\end_inset

tedy po dosazení
\begin_inset Formula 
\[
P=k_{p}\left(-i_{\alpha}\omega\psi_{pm}\sin\vartheta+i_{\beta}\omega\psi_{pm}\cos\vartheta\right).
\]

\end_inset

Moment 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 lze pak určit ze vztahu 
\begin_inset Formula $P=\omega_{m}T_{e}$
\end_inset

 a tedy
\begin_inset Formula 
\[
T_{e}=\frac{P}{\omega_{m}}=k_{p}\frac{i_{\beta}\omega\psi_{pm}\cos\vartheta-i_{\alpha}\omega\psi_{pm}\sin\vartheta}{\omega_{m}}=k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right),
\]

\end_inset

kde jsme využili vztahu 
\begin_inset Formula $\frac{\omega}{\omega_{m}}=p_{p}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dosazení do rovnice pro momenty pak vede na tvar
\begin_inset Formula 
\[
k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.
\]

\end_inset

Ještě je třeba upravit rovnici tak, aby v ní nevystupovaly mechanické otáčky
 
\begin_inset Formula $\omega_{m}$
\end_inset

, ale otáčky elektrické 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

.
 Toho je možno snadno dosáhnout násobením celé rovnice 
\begin_inset Formula $p_{p}$
\end_inset

.
 Rovnici ještě vydělíme momentem setrvačnosti 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 a získáme tvar
\begin_inset Formula 
\[
\frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{T_{L}p_{p}}{J}-\frac{B}{J}\omega.
\]

\end_inset

Tedy máme poslední rovnici následující soustavy:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}},\\
\frac{di_{\beta}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}},\\
\frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L},\\
\frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Odvození rovnice pro 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 v 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 soustavě pro různé indukčnosti
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Odvození-rovnice-pro-omegavdqruzne-ldq"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Zatím jsme ve většině případů předchozího odvození učinili zjednodušující
 předpoklad stejných indukčností 
\begin_inset Formula $L_{d}=L_{q}=L_{s}$
\end_inset

.
 To relativně dobře platí pro případ SMPMSM.
 Pro IPMSM a přesnější model SMPMSM toto však neplatí a 
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset

.
 Tato vlastnost bude také velmi důležitá při užití estimačních technik označovan
ých jako 
\emph on
injektáže
\emph default
 (detailněji dále v textu).
 Mít tedy k dispozici i rovnice pro různé indukčnosti je velmi žádoucí.
 Rovnice pro proudy v 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 souřadnicích s různými indukčnostmi jsou již uvedeny v části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "rovnice_i_dq_ruzneL"

\end_inset

.
 Rovnice pro 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 bude odvozena nyní:
\end_layout

\begin_layout Standard
Opět vyjdeme z analogických vztahů jako při předchozím odvození pro 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

, tedy
\begin_inset Formula 
\[
T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt},
\]

\end_inset

kde vyjádříme 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 ze vztahu
\begin_inset Formula 
\[
T_{e}=\frac{P}{\omega_{m}}.
\]

\end_inset

Tedy transformujeme následující vyjádření pro výkond z 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 do 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
P & = & k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right),\\
P & = & k_{p}\left(\left(u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta\right)\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right)+\left(u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta\right)\left(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta\right)\right),\\
P & \text{=} & k_{p}\left(u_{d}i_{d}+u_{q}i_{q}\right).
\end{eqnarray*}

\end_inset

Opět dosadíme za 
\begin_inset Formula $u_{d,q}$
\end_inset

 složky indukovaného napětí bez derivace proudů
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{d} & = & -\omega L_{q}i_{q},\\
u_{q} & = & \omega L_{d}i_{d}+\omega\psi_{pm}.
\end{eqnarray*}

\end_inset

To vede na
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
P & = & k_{p}\left(-\omega L_{q}i_{q}i_{d}+\left(\omega L_{d}i_{d}+\omega\psi_{pm}\right)i_{q}\right),\\
P & = & k_{p}\omega\left(i_{d}i_{q}\left(L_{d}-L_{q}\right)+\psi_{pm}i_{q}\right).
\end{eqnarray*}

\end_inset

A po dosazení získáme vyjádření pro moment 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 ve tvaru
\begin_inset Formula 
\[
T_{e}=k_{p}p_{p}\left(i_{d}i_{q}\left(L_{d}-L_{q}\right)+\psi_{pm}i_{q}\right).
\]

\end_inset

Rovnice 
\begin_inset Formula $T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}$
\end_inset

 pak po dosazení 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

, vydělení 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 a násobení 
\begin_inset Formula $p_{p}$
\end_inset

 přejde na tvar
\begin_inset Formula 
\[
\frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Diskretizace
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Diskretizace-rovnice-alfabeta"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Výpočty jsou prováděny výhradně na počítači, simulace na PC a v případě
 řízení reálného stroje se obvykle užívá DSP.
 Je tedy třeba výše odvozené diferenciální rovnice diskretizovat a převést
 na rovnice diferenční.
 Diskretizaci je vhodné volit co možná nejjednodušší, aby se příliš nekomplikova
ly výsledné rovnice a aby bylo umožněno jejich případné rychlé zpracování
 v reálném čase.
\end_layout

\begin_layout Standard
Diskretizací pomocí Eulerovy metody s časovým krokem 
\begin_inset Formula $\Delta t$
\end_inset

 získáme následující diskrétní diferenční rovnice:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
i_{\alpha,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\alpha,t}+\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\alpha,t},\\
i_{\beta,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\beta,t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\beta,t},\\
\omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Rotace do 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Rotace-do-dq-problclen"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní ještě provedeme rotaci rovnic ze souřadnic 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 do 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

.
 Jednak v diferenciálním případě, který bude následovat diskretizace, ale
 také v diskrétním případě diferenčních rovnic.
 Oba postupy pak budou srovnány.
\end_layout

\begin_layout Standard
Převod do rotující souřadné soustavy 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 pootočené o úhel 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 a rotojící rychlostí 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
\left[\begin{array}{c}
x_{d}\\
x_{q}
\end{array}\right]\text{=}\left[\begin{array}{cc}
\cos\vartheta & \sin\vartheta\\
-\sin\vartheta & \cos\vartheta
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x_{\alpha}\\
x_{\beta}
\end{array}\right],
\]

\end_inset

viz 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Transformace_albe_dq"

\end_inset

 nebo stejného efektu lze dosáhnout i použítím komplexních souřadnic a zápisem
 
\begin_inset Formula $x_{dq}=e^{j\vartheta}x_{\alpha\beta}$
\end_inset

, jako v části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Odvození-rovnic-vdq"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Následně tedy
\begin_inset Formula 
\begin{alignat*}{2}
i_{d} & = & i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta,\\
i_{q} & = & i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta,
\end{alignat*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
a analogicky pro 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

.
 Naopak pro inverzní transformaci
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{alignat*}{2}
i_{\alpha} & = & i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta,\\
i_{\beta} & = & i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta,
\end{alignat*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
a opět anoalogicky pro 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

.
 To po dosazení do původních diferenciálních rovnic vede na
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{d(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta)}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta)+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta}{L_{s}},\\
\frac{d(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta)}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta)-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta}{L_{s}},\\
\frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{q}\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L},\\
\frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Ve třetí rovnici rovnou dosadíme 
\begin_inset Formula $i_{q}$
\end_inset

, čtvrtá se nemění a z prvních dvou vyjádříme rovnice pro proudy a napětí
 v 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

, například tak, že první rovnici násobíme 
\begin_inset Formula $\cos\vartheta$
\end_inset

 a sečteme s druhou násobenou 
\begin_inset Formula $\sin\vartheta$
\end_inset

, dále pak první rovnici násobenou 
\begin_inset Formula $-\sin\vartheta$
\end_inset

 sečteme s druhou násobenou 
\begin_inset Formula $\cos\vartheta$
\end_inset

, tento postup vede na rovnice
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{d}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}-i_{q}\omega+\frac{u_{d}}{L_{s}},\\
\frac{di_{q}}{dt} & \text{=} & i_{d}\omega-\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega+\frac{u_{q}}{L_{s}},\\
\frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q}-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L},\\
\frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Zde jsou zajímavé členy 
\begin_inset Formula $-i_{q}\omega$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $i_{d}\omega$
\end_inset

 v první a druhé rovnici, protože když bychom nejdříve provedli diskretizaci
 a až následně převod do 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 souřadnic, tyto členy zřejmě nevzniknou.
 Nevzniknou také, když soustavu 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 definujeme ne jako pootočenou o 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

, ale jako soustavu pootočenou o nějaké konstantní 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

.
 Z formálního hlediska se jeví jako nejvíce správné řešení zahrnující tyto
 členy.
 Pro praktické použití ale je vhodné otestovat, jaký je vliv těchto členů.
 Diskretizovaná verze rovnic v 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 je tedy
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
i_{d,t+1}+\left|\overline{\underline{\left(-\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}\right)}}\right| & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{d,t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{d,t},\nonumber \\
i_{q,t+1}+\left|\underline{\overline{\left(+\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}\right)}}\right| & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{q,t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{q,t},\label{eq:dqrce-probl-clen}\\
\omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q,t}-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\nonumber \\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t,\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

kde 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

problematické
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 členy jsou v rámečku.
\end_layout

\begin_layout Section
Problematika modelu
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:Problematika-modelu"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dále budeme pracovat zpravidla převážně s rovnicemi odvozenými v předchozí
 části a skutečný stroj ustoupí do pozadí.
 Je však třeba mít na paměti, že za rovnicemi se skrývá fyzikální realita
 a mnoho jevů, které ji doprovází.
 Tyto jevy se totiž při aplikaci regulátoru na skutečném stroji projeví.
 Jedná se především o následující body:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
nepřesnost modelu
\series default
 -- chyby způsobené zanedbáním nejrůznějších fyzikálních vlivů a důsledky
 zjednodušujících předpokladů, například závislosti některých veličin na
 teplotě, sycení magnetických obvodů, obecně nekonstantní parametry stroje
 atd.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
nedokonalosti stroje
\series default
 -- žádný stroj nebude vyrobený přesně, aby odpovídal modelu, vyskytnou
 se různé nerovnosti, nesymetrie a podobně
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
diskretizační a zaokrouhlovací chyby
\series default
 -- řízení je navrhováno pro digitální počítač a tedy dříve nebo později
 je třeba provést diskretizaci a kvantizaci všech zpracovávaných veličin
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
chyby měření
\series default
 -- měřící přístroje a čidla, která získávají informace o motoru nejsou
 přesná, mají pouze určitou rozlišovací schopnost a také omezenou možnost
 předat informaci, zejména pokud se jedná o digitální zařízení
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
napájecí zdroj
\series default
 -- zařízení, které dodává regulátorem požadované napětí do stroje není
 ideální, naopak odpovídá ideálním požadavkům zpravidla velmi špatně, využívá
 pulzní šířkové modulace (PWM) a invertoru; tyto zařízení pak přinášejí
 množství negativních efektů
\end_layout

\begin_layout Standard
Tyto jevy se velmi těžko popisují a jejich zachycení v modelu přináší mnoho
 komplikací.
 Většinu z nich ani nedokážeme popsat a předvídat.
 Proto se pokusíme co nejvíce z výše zmíněných problémů zahrnout pod pojem
 šum.
 Vzniká pak ale otázka, jak takový šum vhodně nastavit v modelu, aby alespoň
 přibližně odpovídal problematickým jevům.
 V rovnicích z předchozí části tedy budeme navíc ještě uvažovat jednoduchý
 model šumu a to aditivní bílý Gaussovský šum.
\end_layout

\begin_layout Chapter
Algoritmy pro řízení a estimaci
\end_layout

\begin_layout Section
Estimace stavových veličin
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:Estimace-stavových-veličin"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Mechanické veličiny
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro řízení PMSM je důležité, že se jedná o synchronní stroj, kdy se rotor
 otáčí současně (synchronně) s točivým magnetickým polem vytvořeným cívkami
 statoru.
 Proto, když chceme navrhnout řízení takového stroje musíme nutně znát polohu
 rotoru 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

, a to s relativně velkou přesností.
 Dále, protože se v textu zaměřujeme na řízení rychlosti stroje (regulovanou
 veličinou jsou otáčky rotoru) potřebujeme znát i hodnotu otáček 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

.
 Problematika získání těchto hodnot se však ukazuje být netriviální.
 Obecně existuje několik přístupů, které budou detailněji rozebrány dále
 v textu.
\end_layout

\begin_layout Paragraph
Poznámka: 
\end_layout

\begin_layout Standard
Zmiňované veličiny 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 jsou svázány jdenoduchým diferenciálním vztahem 
\begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}=\omega$
\end_inset

.
 Při praktickém užití, kdy rovnice diskretizujeme, může být ale výpočet
 derivace popřípadě integrálu velmi nepřesný.
 Dáváme tedy přednost metodám estimace těchto veličin, které nám poskytují
 odhad obou.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Elektrické veličiny
\end_layout

\begin_layout Standard
Co se týče dalších (elektrických) stavových veličin systému, ve výše uvedených
 rovnicích vystupují ještě proudy 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 a napětí 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

.
 Proudy 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 předpokládáme, že měříme, samozřejmě jen s určitou přesností.
 Napětí 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 pak jsou vstupy, kterými řídíme systém.
 Ty navrhujeme a tedy je předpokládáme známé, je však třeba uvést, že řízením
 navržená napětí 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 nejdou přímo do motoru, ale slouží pouze jako referenční hodnoty pro napájecí
 zdroj.
 Kontrolu nad napětím na vstupu do motoru tedy nemáme.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Bezsenzorové řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Dále se v textu hovoří o 
\emph on
bezsenzorovém řízení
\emph default
.
 Pod tímto pojmem je vždy bezvýhradně myšleno řízení, které nevyužívá senzorů
 k měření mechanických veličin.
 Elektrické veličiny jsou měřeny vždy.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Senzorové metody
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Senzory
\end_layout

\begin_layout Standard
Nejpřímočařejším přístupem pro určování mechanických veličin je osazení
 stroje senzory.
 Často se může jednat o pulzní snímače na principu vhodného kódu 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "novak2006"

\end_inset

.
 Další možností je využití Hallových senzorů 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PUK1"

\end_inset

.
 Využití senzorů přináší obecně mnoho nevýhod.
 Přidává do zařízení další části a tím zvyšuje jeho cenu i poruchovost.
 Je třeba řešit jeho připojení k motoru a vodiče pro sběr dat.
 Řízení využívající senzory je méně robustní a v případě selhání senzoru
 ztrácíme nad strojem kontrolu.
 To může být nežádoucí obvzláště, je-li motor využíván současně i jako brzda
 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PCW1"

\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Je tedy snaha se užití senzorů vyhnout a k určování polohy a otáček rotoru
 využít jiných, 
\emph on
bezsenzorových
\emph default
, metod.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Rezolvery
\end_layout

\begin_layout Standard
Podle 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "novak2006"

\end_inset

 a 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAH1"

\end_inset

 se jedná o v praxi často využívaná zařízení k vyhodnocení úhlu natočení
 rotoru PMSM.
 Rezolver je speciální servomechanismus, v podstatě střídavý stroj.
 Pracuje na principu polohového transformátoru.
 Na rotoru má umístěné bezkontaktně napájené budící vinutí (primární vinutí
 transformátoru).
 Na statoru dvě vinutí posunutá o 
\begin_inset Formula $90^{\circ}$
\end_inset

 (představují sekundární vinutí).
 Zařízení je napájeno vysokofrekvenčním napětím okolo 
\begin_inset Formula $5-10kHz$
\end_inset

 o malé amplitudě cca 
\begin_inset Formula $5V$
\end_inset

.
 Velikosti napětí indukovaných ve statorovách vinutích jsou závislé na úhlovém
 natočení rotoru (
\begin_inset Formula $\sin$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\cos$
\end_inset

).
 To následně může být získáno například pomocí fázového závěsu.
\end_layout

\begin_layout Standard
Rezolvery jsou robustní a vyhodnocují přesně úhel natočení, toho se využívá
 například v robotice.
 Je však třeba složitějších obvodů, pro samotné vyhodnocení.
 Velkou nevýhodou ale je, že se jedná o přídavné zařízení a s tím jsou spojeny
 problémy již zmiňované u senzorů.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dále se ještě nabízí otázka, proč místo užití rezolvéru přímo nepoužít vysokofre
kvenční signál v samotném PMSM v rámci některé z injektážních metod.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Zpětné elektromotorické síly
\end_layout

\begin_layout Standard
Využítí zpětné elektromotorické síly (
\emph on
back electromotiric force, back-EMF
\emph default
) je metoda, kdy informaci o úhlu natočení a otáčkách rotoru získáváme z
 indukovaného napětí.
 Princip je v podstatě velmi jednoduchý a nejlépe je vidět na rovnicích
 pro proudy v souřadnicích 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

, které představují přímý vztah mezí řízením systému na vstupu a měřenými
 výstupu:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}\left|\underline{\overline{+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta}}\right|+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}},\\
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}\left|\underline{\overline{-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta}}\right|+\frac{u_{\beta}}{L_{s}},
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde právě zarámované členy odpovídají indukovaným napětím a je z nich možno
 získat hodnoty 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

.
 V ideálním případě by stačilo pouze členy extrahovat 
\begin_inset Formula $e_{\alpha}=\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $e_{\beta}=-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta$
\end_inset

 a vypočítat
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\vartheta & = & \arctan\left(-\frac{e_{\alpha}}{e_{\beta}}\right),\\
\left|\omega\right| & = & \frac{L_{s}}{\psi_{pm}}\sqrt{e_{\alpha}^{2}+e_{\beta}^{2}}.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Komplikace
\end_layout

\begin_layout Standard
Ve skutečnosti ale postup není tak jednoduchý.
 Jednak je třeba ještě vyřešit problém se znaménkem 
\begin_inset Formula $\mathrm{sign\,}\omega$
\end_inset

, protože uvedené rovnice jsou symetrické na substituci 
\begin_inset Formula $\left(\omega,\:\vartheta\right)\longleftrightarrow\left(-\omega,\:\vartheta+\pi\right)$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Dále do systému vstupuje šum a při malém odstupu signálu od šumu (
\emph on
S/N
\emph default
) bude výpočet výše značně nepřesný.
 To také souvisí dalším, největším, problémem tohoto přístupu.
 Zatímco amplitudu šumu uvažujeme neměnnou, amplituda indukovaných napětí
 je přímo závislá na otáčkách stroje 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

.
 A tedy při nízkých, nebo dokonce nulových, otáčkách tato metoda naprosto
 selhává.
 Tento případ je o to závažnější, že se s ním musíme vyrovnat při každém
 rozjezdu stroje.
 Úhel natočení 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 je tedy v tomto případě nepozorovatelný stav.
 Navíc nemůžeme předpokládat žádnou počáteční hodnotu, protože nám s rotorem
 mohl otočit nějaký vnější zásah, popřípadě mohl oddriftovat.
 Je tedy vhodné předpokládat počáteční natočení 
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}$
\end_inset

 jako náhodnou veličinu s rovnoměrným rozdělením v intervalu 
\begin_inset Formula $\left(-\pi,\:\pi\right\rangle $
\end_inset

.
 
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename badekfestim.eps
	scale 60

\end_inset


\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Výsledek odhadování stavu pomocí EKF, který předpokládá počáteční hodnotu
 
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}=0$
\end_inset

, zatímco skutečná hodnota je jiná (viz legenda).
 Nahoře odhady otáček 
\begin_inset Formula $\omega_{est}$
\end_inset

 (červená přerušovaná čára značí referenční hodnotu 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset

 témeř přesně sledovanou systémem s řízením se znalostí stavu, tj.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\approx\omega_{sys}$
\end_inset

).
 Vlevo dole skutečné hodnoty úhlu natočení 
\begin_inset Formula $\vartheta_{sys}$
\end_inset

 a vpravo dole estimované hodnoty 
\begin_inset Formula $\vartheta_{est}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:badekfestim"

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 Příkladem toho, jaké výsledky můžeme dosáhnout, když počítáme s očekávanou
 hodnotou 
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}=0$
\end_inset

, zatímco skutečná hodnota je jiná zobrazuje obrázek 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:badekfestim"

\end_inset

.
 Jedná se o jednoduchý příklad odhadování stavu pomocí rozšířeného Kalmanova
 filtru, v tomto případě neuvažujeme šum.
 Zde však bylo použito odhadování stavových veličin již běžícího systému,
 který je řízen regulátorem využívajícím přesnou informaci o stavu.
 Získaný odhad se tedy nevyužíval pro řízení.
 Když bychom řídili na základě odhadu stavu, tj.
 přidali do systému zpětnou vazbu, výsledek by se nepatrně zlepšil viz obrázek
 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:badekfestim2"

\end_inset

.
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename badekfestim2.eps
	scale 60

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Výsledek odhadování a řízení stavu pomocí EKF, který předpokládá počáteční
 hodnotu 
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}=0$
\end_inset

, zatímco skutečná hodnota je jiná (viz legenda).
 Nahoře průběhy skutečných otáček systému 
\begin_inset Formula $\omega_{sys}$
\end_inset

 (červená přerušovaná čára značí referenční hodnotu 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset

 témeř přesně sledovanou řízením z estimátoru, tj.
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\approx\omega_{est}$
\end_inset

 pro všechny volby 
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}$
\end_inset

).
 Vlevo dole skutečné hodnoty úhlu natočení 
\begin_inset Formula $\vartheta_{sys}$
\end_inset

 a vpravo dole estimované hodnoty 
\begin_inset Formula $\vartheta_{est}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:badekfestim2"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Metody
\end_layout

\begin_layout Standard
V praxi se pro určování parametrů z inukovaných napětí dle 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAH1"

\end_inset

 nejčastěji používají nelineární pozorovatelé nebo adaptivní řízení s referenční
m modelem (MRAC).
 Nejčasteji užívaným nelineárním pozorovatelem je pak rozšířený Kalmanův
 filtr (
\emph on
EKF
\emph default
).
 Přístupy založené na EKF lze nalézt například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PEB1,PEB2,PSB1"

\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
V 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSB1"

\end_inset

 představují bezsenzorové řízení založené na EKF estimátoru ve spojení s
 PI regulátory.
 To nepotřebuje znát počáteční natočení rotoru a zátěžný moment.
 PI regulátor napětí lze nastavit se zamčeným rotorem a je řešen i problém
 s rozpoznáním 
\begin_inset Formula $\mathrm{sign}\,\omega$
\end_inset

.
 Článek 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PEB2"

\end_inset

 je také zaměřen na využití EKF, nyní však v případě IPMSM.
 Návrh je komplikovanější v důsledku anizotropie stroje, autoři se ji však
 snaží využít k vylepšení výkonu systému.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Dále kromě EKF je možno použít například klouzavého pozorovatele (
\emph on
sliding mode observer, SMO
\emph default
), jeho iterativní verzi využívají v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSK1"

\end_inset

.
 V 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PLU1"

\end_inset

 využívají také řízení na klouzavém pozorovateli, kde si ale navíc při nízkých
 otáčkách 
\begin_inset Formula $\omega\thickapprox0$
\end_inset

 pomáhají injektováním stejnosměrného proudu do 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 osy.
 Nevyužívají však anizotropií ani nijak zvlášť neanalyzují injektovaný signál,
 tento přístup tedy v textu nezařadíme mezi injektáže.
\end_layout

\begin_layout Standard
Pod metody využívající informaci ze zpětné elektromagnetické síly, můžeme
 zařadit ještě mnoho dalších, které možná na první pohled do této kategorie
 nespadají.
 Především se jedná o metody snažící se nějakým způsobem odstranit šum a
 tedy zvýšit rozlišovací schopnost indukovaných napětí.
 Opět zde narážíme na problém, že nefungují při 
\begin_inset Formula $\omega\equiv0$
\end_inset

.
 Jedná se o různé podoby odšumovacích filtrů, tedy filtrů typu dolní propusť
 (low-pass).
 V časové oblasti můžeme použít například klouzavé průměry (moving averages
 - MA) nebo jejich váženou verzi.
 Ve frekvenční oblasti lze užít (klouzavé) diskrétní Fouriefovy transformace,
 a buď odstranit vyšší frekvence, nebo si vybrat jen nějakou nízkou.
 Tím však nezískáváme o moc navíc, protože 0.
 harmonická odpovídá v podstatě průměru, další harmonické pak vhodně váženému
 průměru.
\end_layout

\begin_layout Standard
Za zmínku ještě stojí další skupina metod využívající více paralelně běžících
 odhadů z nichž vybírá jeden, nějakým způsobem optimální.
 Takovou metodou je například sekvenční Monte Carlo metoda (Particle Filter).
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Dalším příkladem by mohlo být více paralelně běžících modelů, z nichž se
 vybere ten, jehož výstup nejlépe odpovídá výstupu skutečného systému.
 Nedostatkem těchto přístupů je poměrně velká výpočetní náročnost, přesto
 ale poskytují relativně dobré výsledky.
 Příkladem může být obrázek 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:multipleest"

\end_inset

 zachycujcí výsledek 
\begin_inset Formula $12$
\end_inset

 současně běžících modelů s různým počátečním odhadem 
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}$
\end_inset

 rovnoměrně rozloženým v intervalu 
\begin_inset Formula $\left(-\pi,\:\pi\right\rangle $
\end_inset

.
 Skutečná počáteční hodnota natočení rotoru systému je 
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}=\frac{5}{12}\pi$
\end_inset

.
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename multiest3.eps
	scale 60

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Grafy znázorňují průběh otáček 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a úhlů natočení systému 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

, kdy je k odhadování stavu použito 
\begin_inset Formula $12$
\end_inset

 současně běžících modelů, z nichž je v každém kroku vybírán nejlepší na
 základě shody s výstupem (měřené proudy) skutečného systému.
 Systém je řízen ze stavu, aby co nejlépe sledoval požadovanou hodnotu otáček,
 jeho počáteční úhel natočení je 
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}=\frac{5}{12}\pi$
\end_inset

.
 Počáteční 
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}$
\end_inset

 odhadovacích modelů jsou rovnoměrně rozloženy v intervalu 
\begin_inset Formula $\left(-\pi,\:\pi\right\rangle $
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:multipleest"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Kalmanův filtr
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro úplnost je zde uvedena i základní formulace v textu často zmiňovaného
 Kalmanova filtru.
 Typicky je tento algoritmus používán jako pozorovatel lineárního systému.
 Je však možno jej zobecnit i pro nelineární systémy a pak hovoříme o rozšířeném
 Kalmanově filtru (Extended Kalman Filter, EKF).
 Zobecnění je založeno na jednoduché myšlence, kdy původní nelineární systém
 aproximujeme systémem lineárním, tedy provedeme v každém časovém kroku
 linearizaci v nějaké reprezentativní trajektorii.
 Následující popis Kalmanova filtru je převzat z 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BertsekasDPOC"

\end_inset

, kde je možno nalézt i příslušné odvození:
\end_layout

\begin_layout Paragraph
Modelový systém
\end_layout

\begin_layout Standard
Předpokládejme lineární dynamický systém, prozatím bez řízení (
\begin_inset Formula $u_{t}\equiv0$
\end_inset

) popsaný rovnicemi
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
x_{t+1} & = & A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}+w_{t},\\
z_{t} & = & C_{t}x_{t}+v_{t},
\end{eqnarray*}

\end_inset

pro 
\begin_inset Formula $t=0,1,\ldots,T-1$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 je vektor stavu, 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

 vektor řízení, 
\begin_inset Formula $z_{t}$
\end_inset

 vektor pozorování (měření) a vektory 
\begin_inset Formula $v_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $w_{t}$
\end_inset

 představují šum, matice 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $B_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $C_{t}$
\end_inset

 předpokládáme známé.
 Dále 
\begin_inset Formula $x_{0},w_{0},\ldots,w_{T-1},v_{0},\ldots,v_{T-1}$
\end_inset

 jsou vektory nezávislých náhodných veličin s daným rozdělením pravděpodobnosti
 splňujícím 
\begin_inset Formula $\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ w_{t}\right\} =\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ v_{t}\right\} =0$
\end_inset

, pro 
\begin_inset Formula $t=0,1,\ldots,T-1$
\end_inset

.
 Označme 
\begin_inset Formula $S=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ \left(x_{0}-\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{0}\right\} \right)\left(x_{0}-\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{0}\right\} \right)^{T}\right\} $
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M_{t}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ w_{t}w_{t}^{T}\right\} $
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N_{t}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ v_{t}v_{t}^{T}\right\} $
\end_inset

 a nechť je matice 
\begin_inset Formula $N_{t}$
\end_inset

 pozitivně definitní pro všechny časy 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dále označme 
\begin_inset Formula $\hat{x}_{t\mid t-1}$
\end_inset

 apriorní odhad stavu 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

, tedy odhad v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 na základě informací do času 
\begin_inset Formula $t-1$
\end_inset

.
 Obdobně 
\begin_inset Formula $\hat{x}_{t\mid t}$
\end_inset

 označuje aposteriorní odhad 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

.
 Analogicky pak označíme apriorní 
\begin_inset Formula $P_{t\mid t-1}$
\end_inset

 a aposteriorní 
\begin_inset Formula $P_{t\mid t}$
\end_inset

 kovarianční matici stavu systému.
\end_layout

\begin_layout Paragraph
Algoritmus
\end_layout

\begin_layout Standard
Volíme počáteční podmínky 
\begin_inset Formula $\hat{x}_{0\mid-1}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{0}\right\} $
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $P_{0\mid-1}=S$
\end_inset

 a dále předpokládáme, že máme odhady 
\begin_inset Formula $\hat{x}_{t\mid t-1}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $P_{t\mid t-1}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ \left(x_{t}-\hat{x}_{t\mid t-1}\right)\left(x_{t}-\hat{x}_{t\mid t-1}\right)^{T}\right\} .$
\end_inset

 V čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 získáme měření na výstupu systému 
\begin_inset Formula $z_{t}=C_{t}x_{t}+v_{t}$
\end_inset

 a z něj vypočítáme aposteriorní odhad stavu 
\begin_inset Formula $\hat{x}_{t\mid t}$
\end_inset

 ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\hat{x}_{t\mid t}=\hat{x}_{t\mid t-1}+P_{t\mid t-1}C_{t}^{T}\left(C_{t}P_{t\mid t-1}C_{t}^{T}+N_{t}\right)^{-1}\left(z_{t}-C_{t}\hat{x}_{t\mid t-1}\right).\label{eq:kalman_st_aposter}
\end{equation}

\end_inset

Dále pak získáme apriorní odhad stavu 
\begin_inset Formula $\hat{x}_{t+1\mid t}$
\end_inset

 v čase 
\begin_inset Formula $t+1$
\end_inset

 jako 
\begin_inset Formula $\hat{x}_{t+1\mid t}=A_{t}\hat{x}_{t\mid t}$
\end_inset

 a apriorní kovarianční matici 
\begin_inset Formula $P_{t+1\mid t}=A_{t}P_{t\mid t}A_{t}^{T}+M_{t}$
\end_inset

.
 Aposteriorní kovarianční matici 
\begin_inset Formula $P_{t\mid t}$
\end_inset

 získáme z rovnice 
\begin_inset Formula 
\[
P_{t\mid t}=P_{t\mid t-1}-P_{t\mid t-1}C_{t}^{T}\left(C_{t}P_{t\mid t-1}C_{t}^{T}+N_{t}\right)^{-1}C_{t}P_{t\mid t-1}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Rovnici 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:kalman_st_aposter"

\end_inset

 lze vyjádřit ve tvaru
\begin_inset Formula 
\[
\hat{x}_{t\mid t}=A_{t-1}\hat{x}_{t-1\mid t-1}+P_{t\mid t}C_{t}^{T}N_{t}^{-1}\left(z_{t}-C_{t}A_{t-1}\hat{x}_{t-1\mid t-1}\right).
\]

\end_inset

 Nyní, když budeme uvažovat systém se vstupem můžeme modifikací předchozí
 rovnice získat vyjádření ve tvaru
\begin_inset Formula 
\[
\hat{x}_{t\mid t}=A_{t-1}\hat{x}_{t-1\mid t-1}+B_{t-1}u_{t-1}+P_{t\mid t}C_{t}^{T}N_{t}^{-1}\left(z_{t}-C_{t}A_{t-1}\hat{x}_{t-1\mid t-1}\right),
\]

\end_inset

přičemž rovnice pro výpočet 
\begin_inset Formula $P_{t\mid t}$
\end_inset

 zůstávají nezměněny.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Další vlastnosti
\end_layout

\begin_layout Standard
Metody využívající zpětnou elektromotorickou sílu jsou obvykle založeny
 na modelu a je tedy důležitá znalost parametrů stroje.
 Bylo by tedy dobré najít přístupy, které na parametrech nezávisí, popřípadě
 které jsou odolné na jejich změnu.
 To se daří u mechanických parametrů stroje, jako je zátěžný moment například
 v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PEB2,PSB1"

\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Ve vyšších otáčkách poskytuje tento přístup dobré výsledky.
 Proto je součástí hybridních metod, které kombinují využití zpětné elektromotor
ické síly a injektáž.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Injektáže
\end_layout

\begin_layout Standard
Injektážemi označujeme v textu metody, které využívají přídavného signálu
 k detekci anizotropií stroje a usnadňují určení jeho jinak obtížně pozorovateln
ých stavů, především úhlu natočení 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

.
 Anizotropie lze rodělit do dvou hlavních kategorií.
 První jsou vlastní magnetické výčnělky (
\emph on
saliency
\emph default
) rotoru, ty jsou charakteristické především pro IPMSM.
 Do druhé kategorie pak spadají lokální anizotropie vzniklé saturací magnetickým
 tokem, typické pro SMPMSM.
 Signál je přiváděn na vstup stroje spolu s řízením.
 Zpravidla je využíván vysokofrekvenční signál, aby docházelo k co možná
 nejmenšímu narušení průběhu samotného řízení.
 Tyto metody jsou ale ve většině případů založeny na nějakém 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

speciálním
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 jevu (anizotropii), v tom smyslu, že jej v základních rovnicích nemáme.
 V reálném zařízení se samozřejmě vyskytují.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Nejobvyklejším přístupem je, že anizotropie je v podstatě reprezentována
 rozdílnými indukčnostimi v osách 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

, tedy 
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset

.
 Pro IPMSM s permanentními magnety uvnitř rotoru toto platí relativně velmi
 dobře.
 V případě SMPMSM je však situace horší, protože rozdíl 
\begin_inset Formula $L_{q}-L_{d}$
\end_inset

 je velmi malý, v krajním případě dokonce nulový.
 Za předpokladu 
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset

 lze této vlastnosti využít k určení polohy (úhlu natočení) rotoru 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 pomocí injektování vhodného testovacího signálu do stroje.
 Obvykle se využívá vysokofrekvenčního signálu o frekvenci v řádu stovek
 
\begin_inset Formula $Hz$
\end_inset

.
 Existují však i injektáže využívající nízkofrekvenční signály.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Injektáž je aplikována jako vysokofrekvenční napěťový harmonický signál
 o frekvenci přibližně 
\begin_inset Formula $500\, Hz$
\end_inset

.
 Ten je injektovaný do estimované osy 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 spolu s řídícím napětím.
 Následně je získána v 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 složce proudu informace o úhlu natočení 
\begin_inset Formula $\sin2\hat{\vartheta}$
\end_inset

.
 Jedná se o obálku amplitudově modulovanou na nosné frekvenci.
 Demodulace je provedena vynásobením vysokofrekvenčním nosným signálem a
 následným užitím low-pass filtru.
 Je však třeba upozornit na nutnost předpokladu 
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset

, protože amplituda 
\begin_inset Formula $\sin2\hat{\vartheta}$
\end_inset

 závisí mimo jiné přímo úměrně na rozdílu indukčností 
\begin_inset Formula $L_{q}-L_{d}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Tato základní metoda je užívána například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAH1,PAB1"

\end_inset

.
 Dále pak v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSJ1"

\end_inset

, kde se využívá principu, kdy v důsledku magnetického toku permanentních
 magnetů je syceno jádro vinutí kolem 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 osy.
 To vytváří magnetickou nepravidelnost v motoru závislou na poloze rotoru.
 Tato nepravidelnost je následně detekována injektovaným vysokofrekvenčním
 napětím.
 Výhodou této metody je, že je přímo navrhována pro užití v SMPMSM.
 Vysokofrekvenční napěťový signál je opět injektován do estimované 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 osy, informace o poloze rotoru je získána z proudu v ose 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 násobením a low-pass filtrem.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
V článku 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PCB1"

\end_inset

 se zabývají srovnáním dvou metod injektáží.
 Zaměřují se jak na IPMSM, který má větší rozdíl indukčností 
\begin_inset Formula $L_{q}-L_{d}$
\end_inset

, tak i na SMPMSM.
 První metoda označovaná jako 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

pulzující napěťový vektor
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 je v podstatě shodná s injektážní technikou z minulého odstavce.
 Oproti tomu druhý způsob, nazývaný jako 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

rotující napěťový vektor
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

, užívá injektáž v souřadnicích 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

.
 Informaci o úhlu natočení, respektive chybě odhadu úhlu natočení je pak
 získána násobením a následnou aplikací high-pass filtru.
 Opět ale platí, že získaná informace je úměrná rozdílu indukčností 
\begin_inset Formula $L_{q}-L_{d}$
\end_inset

.
 Dále je v článku provedeno srovnání obou metoda na oba typy motorů, kdy
 je užit stejný stator a měněny rotory (SMPMSM a IPMSM).
 Mezi injektážními metodami nebyl shledán žádný zásadnější rozdíl.
 Rozdíly se projevily spíše při použití stejné metody na různé motory, to
 souvisí s jejich magnetickými vlastnostmi, v tomto textu se tímto však
 zabývat nebudeme.
 Srovnáním zmiňovaných dvou metod se zabývají i v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PCK1"

\end_inset

, zaměřují se však na IPMSM.
\end_layout

\begin_layout Standard
Články 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSL1,PSL3"

\end_inset

 představují injektážní metodu k detekci anizotropií, která nepotřebuje
 znát parametry stroje.
 V případě 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSL3"

\end_inset

 se navíc snaží kompenzovat negativní vliv invertoru, především jev označovaný
 jako 
\emph on
dead-time effect
\emph default
.
 Díky tomu jsou schopni detekovat i malé nepravidelnosti typické pro SMPMSM.
 Je užíván vysokofrekvenční napěťový signál o frekvenci okolo 
\begin_inset Formula $2\, kHz$
\end_inset

.
 Injektovaný signál je složením dvou signálů rotojících proti sobě.
 V případě špatného odhadu úhlu 
\begin_inset Formula $\hat{\vartheta}\neq\vartheta$
\end_inset

 je vzniká aditivní vysokofrekvenční signál v proudech, ze kterého může
 být tato chyba získána pomocí pozorovatele 
\emph on
(Tracking Observer
\emph default
).
\end_layout

\begin_layout Standard
Zajímavou techniku představují v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PIS1"

\end_inset

, kde vypočítají absolutní polohu rotoru v klidu.
 Metoda funguje i pro SMPMSM a je založena na injektování vhodných napěťových
 pulzů do vinutí každé z fází.
 Následně dochází k částečnému nasycení statoru, ze kterého je možno spočítat
 absolutní polohu rotoru i bez znalosti parametrů stroje.
\end_layout

\begin_layout Standard
Další velmi zajímavý přístup je prezentován v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAP1"

\end_inset

.
 Tato metoda nevyužívá anizotropií rotoru, ani výčnělků, místo toho je založena
 na anizotropii samotných permanentních magnetů.
 Z tohoto důvodu může být dobře využita při estimaci PMSM, kde ostatní metody
 selhávají, například z důvodu 
\begin_inset Formula $L_{q}=L_{d}$
\end_inset

.
 K jejich detekci je ale třeba využít velmi vysokých frekvencí, řádově 
\begin_inset Formula $100-500\, kHz$
\end_inset

.
 Optimální hodnotu frekvence je navíc třeba naladit pro konkrétní typ magnetu.
 Tento přístup vypadá velmi slibně, ale jak autoři sami uvádějí, je tato
 metoda nová a vyvstává kolem ní ještě mnoho nezodpovězených otázek.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Hybridní metody
\end_layout

\begin_layout Standard
Hybridními metodami v textu označujeme v podstatě vhodnou kombinaci předchozích
 dvou zmiňovaných přístupů.
 Techniky založené na zpětné elektromotorické síle fungují relativně velmi
 dobře, selhávají ale při nízkých a nulových otáčkách.
 Naopak užití injektáží je vhodné pro nízké a nulové otáčky, zatímco ve
 vyšších rychlostech způsobuje nežádoucí rušení.
 Z tohoto důvodu je snaha obě metody vhodným způsobem zkombinovat a využít
 předností obou.
 Základní idea je tedy jednoduchá.
 Dokud se pohybujeme v nízkých otáčkách, využíváme odhadů založených na
 injektáži, při vyšších otáčkách injektáž vypneme, aby nezpůsobovala nežádoucí
 zásahy a užíváme již jen odhadů získaných ze zpětné elektromotorické síly.
\end_layout

\begin_layout Standard
Tento postup je použit například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAP2"

\end_inset

, kdy jako estimátor používají adaptivního pozorovatele s referenčním modelem,
 který je pro nízké otáčky doplněn injektáží v podstatě v základním návrhu
 popsaném v předcházející části.
 Důležitou součástí těchto metod je způsob, jakým se vyřeší 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

bezproblémový
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 přechod z jednoho estimátoru na jiný.
 V 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PHS1"

\end_inset

 je to například řešeno tak, že užívají estimátor rotorového toku založený
 na indukovaných napětích, který je funkční pořád.
 V nízkých otáčkách je pak doplňován injektáží, ta s rostoucími otáčkami
 postupně vymizí.
 Obdobně v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSP1"

\end_inset

 je užit estimátor založený na napěťovém modelu, v nízkých otáčkách je přidána
 vysokofrekvenční injektáž.
 Ta s rostoucími otáčkami lineárně klesá a navíc je nad určitou mezní rycholostí
 úplně vypnuta.
\end_layout

\begin_layout Standard
Hybridní metody jsou samozřejmě dále vylepšovány.
 Například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSP2"

\end_inset

 uzpůsobojí standartní hybridní metodu, zejména její injektážní část, aby
 fungovala i s invertorem vybaveným na výstupu 
\emph on
LC
\emph default
 filtrem.
 Toho se užívá zejména k odstranění problému ve střídavých strojích v důsledku
 napájení nesinusovým napětím z invertoru s pulzně šířkovou modulací.
 
\end_layout

\begin_layout Section
Řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Jak již bylo zmíněno výše pro správné řízení je nezbytně nutná znalost polohy
 natočení rotoru 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 a otáček rotoru 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

.
 Jak tyto veličiny, respektive jejich odhady 
\begin_inset Formula $\hat{\vartheta}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\hat{\omega}$
\end_inset

, získat bylo uvedeno v předchozí části.
 Předpokládáme tedy, že známe odhad stavu systému 
\begin_inset Formula $\left(\hat{i_{\alpha}},\hat{i_{\beta}},\hat{\omega},\hat{\vartheta}\right)$
\end_inset

 a nyní se zaměříme na to, jak systém správně řídit, tedy naplnit požadavky
 zadaných kritérií.
 V textu budeme předpokládat následující požadavky na řízení:
\end_layout

\begin_layout Itemize
dosažení požadovaných otáček -- snaha aby skutečné otáčky systému 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 co nejpřesněji sledovaly zadaný referenční signál požadovaných otáček 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
omezení na vstupy 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
řízené veličiny jsou napětí na vstupu do systému, ty z fyzikálních důvodů
 nemohou být libovolně velké, protože napěťový zdroj je schopen poskytnout
 pouze určité maximální napětí 
\begin_inset Formula $U_{max}$
\end_inset

, tedy na řídící napětí je kladen požadavek 
\begin_inset Formula $\left|u_{\alpha,\beta}\right|\leq U_{max}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
analogicky napěťový zdroj není schopen produkovat příliš rychle se měnící
 napětí, například v jednom okamžiku 
\begin_inset Formula $U_{max}$
\end_inset

 a v následujícím 
\begin_inset Formula $-U_{max}$
\end_inset

, proto je vhodné mít pod kontrolou i změnu řídícíh napětí v sousedních
 časových krocích 
\begin_inset Formula $\left|u_{\alpha,\beta}(t+1)-u_{\alpha,\beta}(t)\right|$
\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Než přistoupíme k popisu konkrétních řídících algoritmů je důležité upozornit
 na jeden problém ve zde užitém postupu.
 Obecně rozdělení algoritmu na estimační a řídící část při současném zachování
 optimality je možné pouze pro lineární systémy.
 Uvažovaný systém synchronního stoje zřejmě lineární není.
 Navrhování estimace a řízení současně v jednom algoritmu by však bylo v
 tomto případě velmi složité a proto se dopouštíme zmiňovaného zjednodušení.
 Tento problém lze dále řešit užitím duálních metod, které řízení a estimaci
 vzájemně provazují a v ideálním případě by vedly k nalezení optimálního
 řešení.
\end_layout

\begin_layout Standard
Obecně lze následující řídící algoritmy uvažovat buď v souřadném systému
 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 nebo v 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

.
 Řídící napětí dodáváme do stroje, respektive jako referenci do zdroje napájecíh
o samotný stroj, v souřadnicích 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

.
 Proto se návrh v této soustavě jeví jako přímočařejší.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Na druhou stranu ale většina dále zmiňovaných metod užívá linearizace.
 Zřejmě již z tvaru rovnic v soustavách 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 viz 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Odvození-rovnic-valfabeta"

\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 viz 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Odvození-rovnic-vdq"

\end_inset

 je vidět, že linearicazí rovnic v 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 souřadnicích se dopouštíme menší chyby.
 Jedinými nelineárními členy vystupujícími v těchto rovnicích jsou tvaru
 
\begin_inset Formula $\mp i_{q,d}\omega$
\end_inset

 v rovnici pro 
\begin_inset Formula $i_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $i_{q}$
\end_inset

.
 Když uvážíme, že otáčky 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 se v porovnání s proudy 
\begin_inset Formula $i_{d,q}$
\end_inset

 mění velmi málo a jsou tedy téměř konstantní, linearizace způsobí velmi
 malou chybu.
 Oproti tomu v rovnicích v 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 souřadném systému vystupují nelineární členy typu 
\begin_inset Formula $\omega\sin\vartheta$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\omega\cos\vartheta$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $i_{\alpha}\sin\vartheta$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $i_{\beta}\cos\vartheta$
\end_inset

.
 Linearizace v nich vystupujících goniometrických funkcí je velmi nepřesná
 a v důsledku relativně rychlé změny úhlu natočení 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 není možné ani žádné učinné zjednodušení.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Základní řídící strategie
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
PI regulátor (tady to zkontrolovat s nějakou literaturou)
\end_layout

\begin_layout Standard
Naprostá většina dnes využívaných a i v literatuře popisovaných řízení pro
 PMSM, ale i pro motory obecně, je založena na PI regulátorech.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
PI (proporcionálně integrační) regulátor je jednoduchý systém, který v sobě
 kombinuje dvě základní části: Proporcionální, což je v podstatě zesilovač
 a integrální reprezentovanou integrátorem.
 V tomto systému se vyskytují dvě konstanty 
\begin_inset Formula $K_{p}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $K_{i}$
\end_inset

, které je třeba vhodně nastavit.
 Základní implementace je následnovná:
\begin_inset Formula 
\[
x_{t}=\mathrm{PI}\left(e_{t},K_{p},K_{i}\right)=K_{p}e_{t}+K_{i}\intop_{0}^{t}e_{\tau}d\tau.
\]

\end_inset

Diskrétní verze pak
\begin_inset Formula 
\[
x_{t}=\mathrm{PI}\left(e_{t},K_{p},K_{i}\right)=K_{p}e_{t}+K_{i}\sum_{k=0}^{t}e_{k}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Tento regulátor je výhodné užít v případě, kdy chceme vyregulovat 
\begin_inset Formula $e_{k}$
\end_inset

 obvykle reprezentující odchylku od požadované hodnoty na nulu.
 V některých případech bychom si vystačili s proporcionální složkou, integrální
 složka však dodává lepší stabilitu a schopnost odstranit konstatní regulační
 odchylku.
 Cenou za to je pomalejší konvergence.
\end_layout

\begin_layout Standard
Samotné PI regulátory však představují pouze realizaci nějakého konkrétního
 algoritmu.
 Nejčastěji používanými řídícími algoritmy, a to nejen pro PMSM, ale pro
 střídavé stroje obecně, jsou následující tři.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Skalární řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Skalární řízení je často využíváno v asynchronních strojích, je ale možné
 jeho užití i pro PMSM.
 Detailněji je popsáno například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "shfpmsmct2007"

\end_inset

.
 Velkou výhodou je, že se jedná v podstatě o bezsenzorový návrh řízení,
 funguje na principu nezpětnovazebního řízení (open loop).
 Nevýhodou je pak závislost rychlosti na zátěžném momentu a horší dynamické
 vlastnosti.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Toto řízení je také označováno jako 
\begin_inset Formula $V/f$
\end_inset

 řízení, protože regulovanou veličinou je právě poměr napětí a frekvence.
 Snahou řízení je udržet poměr napětí
\begin_inset Formula $/$
\end_inset

frekvence konstantní.
 Úhlová rychlost rotoru může být určena nepřímo výpočtem z frekvence napájecího
 napětí.
 Tato hodnota může být považována za hodnotu skutečných otáček stroje, pokud
 zátěžný moment nepřesáhne kritickou hodnotu.
 Pro řízení ale skutečnou hodnotu otáček stroje znát nepotřebujeme, algoritmus
 totiž pracuje následovně:
\end_layout

\begin_layout Standard
Z požadovaných otáček se určí frekvence 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, ta slouží jako referenční signál pro regulátor.
 Ten pak řídí poměr napětí a frekvence 
\begin_inset Formula $V/f$
\end_inset

 tak, aby byl konstantní.
 Na jeho výstupu získáme amplitudu napětí 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Řídící napětí pro PMSM v 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 souřadnicích je pak ve tvaru 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{\alpha} & = & V\cos(2\pi ft)\\
u_{\beta} & = & V\sin(2\pi ft)
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Vektorové řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Jedná se asi o nejčastěji využívaný řídící algoritmus.
 Je užíván pro řízení v kombinaci s estimátorem založeným na zpětné elektromotor
ické síle, injektáži i v hybridních verzích v naprosté většině citovaných
 textů z části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Estimace-stavových-veličin"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dle 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "shfpmsmct2007"

\end_inset

 vektorové řízení odstraňuje většinu nevýhod skalárního řízení a v porovnání
 s ním poskytuje velmi dobrý výkon.
 Jedná se o řízení zpětnovazební a umožňuje samostatné řízení toku i momentu.
 Uvažujeme reprezentaci stroje v 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 souřadném systému.
 Vektorové řízení je zpětnovazební a je tedy potřeba znát odhady úhlu natočení
 
\begin_inset Formula $\hat{\vartheta}$
\end_inset

 a otáček 
\begin_inset Formula $\hat{\omega}$
\end_inset

 rotoru stroje.
 Základní struktura regulátoru pak využije zpětné vazby z otáček, kdy první
 regulátor reguluje odchylku estimovaných otáček 
\begin_inset Formula $\hat{\omega}$
\end_inset

 od požadované referenční hodnoty 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset

 na nulu.
 Výstupem je pak referenční proud 
\begin_inset Formula $\overline{i_{q}}$
\end_inset

.
 Referenční proud 
\begin_inset Formula $\overline{i_{d}}$
\end_inset

 volíme nulový, aby bylo dosaženo maximálního momentu.
 Tento postup můmžeme ilustrovat na diskretizované rovnici pro otáčky
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\lang english

\begin_inset Formula 
\[
\omega_{t+1}\text{=}\left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q,t}-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,
\]

\end_inset


\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang czech
přičemž zanedbáváme poslední člen se zátěžným momentem.
 Požadované hodnoty bychom chtěli dosáhnout v následujícím kroku a tedy
 získáme následující tvar rovnice
\begin_inset Formula 
\[
\overline{\omega}-k_{1}\omega=k_{2}i_{q}.
\]

\end_inset

 
\begin_inset Formula $\overline{i_{q}}$
\end_inset

 tedy můžeme získat pomocí PI regulátoru s vhodnými konstantami 
\begin_inset Formula 
\[
\overline{i_{q}}=\mathrm{PI}(\overline{\omega}-\omega,K_{p,i},K_{i,i}).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Referenční hodnoty proudů jsou následně porovnány s estimovanými hodnotami
 
\begin_inset Formula $i_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $i_{q}$
\end_inset

 a jejich odchylky jsou regulovány na nulu.
 Toto je provedeno pro každou složku zvlášť a výstupem jsou řídící napětí
 v souřadnicích 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

, tedy 
\begin_inset Formula $u_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $u_{q}$
\end_inset

.
 Postupujeme obdobně s rovnicemi proudů
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
i_{d,t+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{d,t},\\
i_{q,t+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{q,t},
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde prozatím zanedbáme členy s 
\begin_inset Formula $\pm\Delta t\cdot i_{q,d}\omega$
\end_inset

, dále pak člen 
\begin_inset Formula $-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}$
\end_inset

 a chceme dosáhnout požadovaných hodnot 
\begin_inset Formula $\overline{i_{d}}=0$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\overline{i_{q}}$
\end_inset

, které byly získány v předchozím kroku.
 To vede na následující tvar
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
-k_{1}i_{d} & = & k_{2}u_{d},\\
\overline{i_{q}}-k_{1}i_{q} & = & k_{2}u_{q}.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Napětí 
\begin_inset Formula $u_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $u_{q}$
\end_inset

 měžeme tedy získat pomocí dvou PI regulátorů ve tvaru 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{d} & = & \mathrm{PI}(-i_{d},K_{p,u},K_{i,u}),\\
u_{q} & = & \mathrm{PI}(\overline{i_{q}}-i_{q},K_{p,u},K_{i,u}).
\end{eqnarray*}

\end_inset

Následně je ještě vhodné provést korekce v důsledku zanedbaných členů a
 to ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{d} & = & u_{d}-L_{s}\overline{i_{q}}\overline{\omega},\\
u_{q} & = & u_{q}+\psi_{pm}\overline{\omega}.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Přímé řízení momentu
\end_layout

\begin_layout Standard
Přímé řízení momentu (DTC z Direct Torque Control) dle 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "shfpmsmct2007,vcmdtc2006"

\end_inset

 se užívá, když je potřeba vysoký výkon vzhledem k dynamice momentu.
 Jak již napovídá název, je řízen přímo moment stroje.
 Základní princip je jednoduchý.
 Kruhová trajektorie statorového toku se rozdělí na šest symetrických částí.
 Velikosti vektorů statorového toku a elektromagnetického momentu v souřadnicích
 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 je pak držena v předem stanovených mezích prostřednictvím vhodného spínání
 jedné ze šesti kombinací na invertoru.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Touto metodou text již dále nezabývá a je zde uvedena jen pro úplnost.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Lineářně kvadratické řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Řízení 
\emph on
LQG
\emph default
 (z Linear-Quadratic-Gaussian) je primárně navrženo pro řízení lineárních
 systémů s kvadratickou ztrátovou funkcí a Gaussovským šumem.
 Existují však různé modifikace i pro nelineární systémy.
 Algoritmus 
\emph on
LQG
\emph default
 často využívá jako pozorovatele Kalmanův filtr.
 Základní formulace podle 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BertsekasDPOC"

\end_inset

 je následovná:
\end_layout

\begin_layout Standard
Uvažujme lineární systém 
\begin_inset Formula 
\[
x_{t+1}=A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}+w_{t},\quad t=0,1,\ldots,T-1,
\]

\end_inset

kde obecně vektorová veličina 
\begin_inset Formula $x_{k}$
\end_inset

 reprezentuje stav systému v časovém kroku 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, veličina 
\begin_inset Formula $u_{k}$
\end_inset

 řízení v čase 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $w_{k}$
\end_inset

 je Gaussovský bílý šum s nulovou střední hodnotou a známou kovarianční
 maticí; je uvažován konečný diskrétní časový horizont 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 kroků.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Kvadratická ztrátová funkce je
\begin_inset Formula 
\[
\mathbf{E}\left\{ x_{N}^{T}Q_{N}x_{N}+\sum_{t=0}^{T-1}\left(x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}\right)\right\} ,
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\mathbf{E}$
\end_inset

 značí očekávanou hodnotu, 
\begin_inset Formula $Q_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset

 jsou penalizační matice stavu systému (splnění požadavků řízení) respektive
 penalizace vstupů.
 Při uvažování neúplné informace 
\begin_inset Formula $I_{t}$
\end_inset

 o stavu je optimální řízení 
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\lang english

\begin_inset Formula $\mu_{t}^{*}$
\end_inset


\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang czech
 v každém časovém kroku rovno
\begin_inset Formula 
\[
\mu_{t}^{*}(I_{t})=L_{t}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{t}\mid I_{t}\right\} ,
\]

\end_inset

kde matice 
\begin_inset Formula $L_{t}$
\end_inset

 je dána rovností
\begin_inset Formula 
\[
L_{t}=-\left(R_{t}+B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}A_{t},
\]

\end_inset

přičemž matice 
\begin_inset Formula $K_{t}$
\end_inset

 získáme rekurzivně z Riccatiho rovnice
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
K_{T} & = & Q_{T},\label{eq:riccati-lqg}\\
K_{t} & = & A_{t}^{T}\left(K_{t+1}-K_{t+1}B_{t}\left(R_{t}+B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}\right)A_{t}+Q_{t}.\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Implementace
\end_layout

\begin_layout Standard
Samotná implementace lineářně kvadratického řízení pro PMSM v sobě však
 nese mnoho komplikací, které je třeba vyřešit.
 Detailněji budou tyto problémy rozebrány v kapitole 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "cha:Návrh-a-vyhodnocení"

\end_inset

, zde bude jen stručně nastíněna základní problématika.
\end_layout

\begin_layout Standard
Především řídící matici 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 počítáme z Riccatiho rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:riccati-lqg"

\end_inset

) zpětnou integrací (diskrétní) v čase a potřebujeme tedy znát budoucí stavy
 systému.
 Pro srovnání uveďme například výpočet Kalmanova filtru, kde počítáme duální
 rovnici integrací vpřed a problém nevzniká.
 Řešením může být užití 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

ubíhajícího horiznotu
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

, kdy matici 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 navrhujeme na pomocném časovém horiznotu, který se posouvá vzhledem k aktuálním
u časovému kroku.
 S tím je spojená komplikace, jak bude stav systému v budoucích časech vypadat.
 Je tedy potřeba nějak odhadnout budoucí stav a v něm provést výpočet.
\end_layout

\begin_layout Standard
LQ řízení již ze svého názvu předpokládá lineární systém a odvozené rovnice
 v části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Odvození-rovnic"

\end_inset

 popisující PMSM nejsou lineární.
 Je tedy potřeba provést linearizaci a ve spojení s diskretizací se užitím
 tohoto postupu můžeme dopouštět již značné chyby.
 Samostatnou otázkou je však i samotná linearizace.
 Nejdříve je totiž nutné zvolit vhodnou souřadnou soustavu, ve ktreré bude
 vlastní linearizace provedena.
 Jak se ukazuje na základě simulací, může to mít značný vliv.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Dalším důležitým krokem je zvážit možnost zanedbání některých méně významných
 členů.
 Případně určit které veličiny se mění velmi pomalu v porovnání s ostatními
 a je možno je považovat téměř za konstantní v průběhu jednoho časového
 kroku.
 Při linearizaci totiž dojde k tomu, že zejména matice 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

 bude závislá na časovém kroku 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 a tedy ji bude nutné v každém kroku měnit.
 Kdyby se vhodným zanedbáním členů například podařilo, že by všechny matice
 systému byly konstantní 
\begin_inset Formula $M_{t}=M$
\end_inset

, bylo by možné z výše popsaných rovnic pro LQ řízení předpočítat řídící
 matici 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

.
 To by samozřejmě vedlo ke značnému urychlení výpočtu.
\end_layout

\begin_layout Standard
LQ řízení vyžaduje kvadratickou ztrátovou funkci.
 Problematické jsou v tomto ohledu zejména omezení na vstupy 
\begin_inset Formula $\left|u_{\alpha,\beta}\right|\leq U_{max}$
\end_inset

.
 Ty nelze v algoritmu lineárně kvadratického řízení užít přímo a je třeba
 je nahradit vhodně nastavenou penalizační maticí 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

.
 Dosažení požadovaných otáček lze pak zvládnout relativně snadno přidáním
 nové stavové proměnné.
 Pro omezení na změnu řídících napětí v sousedních časových krocích 
\begin_inset Formula $\left|u_{\alpha,\beta}(t+1)-u_{\alpha,\beta}(t)\right|$
\end_inset

 je potřeba provést drobnou modifikaci LQ algoritmu.
\end_layout

\begin_layout Standard
Šum ve skutečném stroji samozřejmě neodpovídá modelu Gaussovského bílého
 šumu, ale jak již bylo uvedeno v části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Problematika-modelu"

\end_inset

 budeme tento model šumu pro jednoduchost předpokládat.
\end_layout

\begin_layout Section
Duální řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Základní princip duálního řízení spočívá v tom, že obsahuje dvě části, 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

řídící
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 a 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

budící
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

.
 Řídící část, jako u ostatních řídících algoritmů, má za cíl pokud možno
 co nejlépe kontrolovat systém a snažit se dosáhnout optimální shody s požadavky
, referenčním signálem.
 Oproti tomu budící část hledá optimální budící signál, který by pomohl
 co nejlépe určit neznámé parametry systému.
 Tyto snahy jdou samozřejmě proti sobě a cílem duálního řízení je nalézt
 mezi nimi kompromis.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Všechny výše zmiňované metody pro řízení a estimaci obecně trpěly dvěma
 nedostatky, které se snaží duální řízení odstranit.
 Jednak zcela oddělily řídící a estimační část, které pak pracovaly nezávisle.
 I v případě injektáží, kdy byl přidáván vysokofrekvenční signál, byl tento
 signál přidáván stále bez ohledu na okolnosti.
 Jistý krok směrem k duálnímu přístupu lze pozorovat pouze u hybridních
 metod, které buď plynule, nebo jednorázově přepínají mezi dvěma modely.
 Jeden je určen pro dobrou estimaci a druhý pro nízké ztráty při řízení.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dalším nedostatkem standartních metod je předpoklad, že odhad poskytnutý
 estimátorem se rovná skutečné hodnotě stavové veličiny.
 Tento přístup je označován jako 
\emph on
Certainty Equivalence
\emph default
 (CE).
 Oproti tomu duální řízení předpokládá stavové veličiny jako náhodné veličiny
 a uchovává si o nich statistickou informaci.
 Odhad z estimátoru tedy uvažuje například ve tvaru střední hodnoty a variance
 dané veličiny a předpokládá, že skutečná hodnota se nachazí například v
 konfidenčním intervalu s těmito parametry.
 Z tohoto pohledu tedy přístup CE předpokládá, že skutečná hodnota je rovna
 střední hodnotě.
 Duální řízení tedy narozdíl od ostatních založených na CE principu uvažuje
 kromě odhadu stavové veličiny i to, jak je tento odhad přesný a tomu také
 přizpůsobuje řídící zákroky.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Výše zmíněné důvody ukazují, proč by duální přístup mohl být obvzláště vhodný
 pro řízení PMSM.
 Je ale třeba mít na paměti, že duální řízení s sebou nese i značné nevýhody.
 Jedná se především o značnou výpočetní náročnost.
 To je problematické zejména, když uvažujeme i výpočet v reálném čase.
 Proto se v textu zaměříme hlavně na nejjednodušší algoritmy duálního řízení,
 které by tento požadevek mohly naplnit.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Adaptivní duální řídící systém
\end_layout

\begin_layout Standard
Adaptivní duální řídící systém může být dle 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "DAU1"

\end_inset

 definován jako řídící systém pracující za podmínek neurčitosti, který poskytuje
 požadovaný výkon díky změně svých parametrů a/nebo struktury.
 Tím je dosaženo snížení nejistoty a zlepšení chování řízeného systému.
 Nejistota je zahrnuta do řídící strategie vhodnou volbou řídícího signálu,
 který má následující dvě vlastnosti:
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

opatrně
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 sleduje cíl řízení
\end_layout

\begin_layout Itemize
budí (excituje) řízený systém za účelem zlepšení jeho estimace
\end_layout

\begin_layout Standard
Z tohoto přístupu plyne několik výhod: Je brána v úvahu přesnost estimace.
 Regulátor poskytuje optimální buzení pro urychlení estimace.
 Čas adaptace je kratší a takto navržené řízení poskytuje hladší průběh
 při přechodových dějích.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Formulace problému duálního řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Základní formulace problému duálního řízení pro časově diskrétní obecně
 nelineární systém dle 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "adaptDC2004"

\end_inset

 je:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
x(t+1) & = & f_{t}\left(x(t),p(t),u(t),\xi(t)\right),\quad t=0,1,\ldots,T-1,\\
p(t+1) & = & \upsilon_{t}\left(p(t),\varepsilon(t)\right),\\
y(t) & = & h_{t}\left(x(t),\eta(t)\right),
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $x(t)$
\end_inset

 je vektor stavu, 
\begin_inset Formula $p(t)$
\end_inset

 vektor neznámých parametrů, 
\begin_inset Formula $u(t)$
\end_inset

 vektor řídících vstupů, 
\begin_inset Formula $y(t)$
\end_inset

 vektor výstupů systému, vektory 
\begin_inset Formula $\xi(t)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\varepsilon(t)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\eta(t)$
\end_inset

 představují nezávislý náhodný bílý šum s nulovou střední hodnotou a známým
 rozptylem, vše je uvažováno v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $f_{t}(\cdot)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\upsilon_{t}(\cdot)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $h_{t}(\cdot)$
\end_inset

 jsou jednoduché vektorové funkce.
 Hustotu pravděpodobnosti počátečních hodnot 
\begin_inset Formula $\mathrm{p}\left[x(0),p(0)\right]$
\end_inset

 předpokládáme známou.
\end_layout

\begin_layout Standard
Množinu výstupů a vstupů systému dostupných v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 označujeme jako 
\emph on
informační vektor
\emph default
 
\begin_inset Formula $I_{t}=\left\{ y(t),\ldots,y(0),u(t-1),\ldots,u(0)\right\} $
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $t=1,\ldots,T-1$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $I_{0}=\left\{ y(0)\right\} $
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ztrátová funkce pro optimalizaci řízení má tvar 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
J=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ \sum_{t=0}^{T-1}g_{t+1}\left(x(t+1),u(t)\right)\right\} ,\label{eq:dclossfunc}
\end{equation}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $g_{t+1}(\cdot)$
\end_inset

 jsou známe kladné konvexní skalární funkce.
 Očekáváná hodnota 
\begin_inset Formula $\mathrm{\mathbf{E}}$
\end_inset

 je počítána vzhledem k všem náhodným veličinám (
\begin_inset Formula $x(0)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p(0)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\xi(t)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\varepsilon(t)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\eta(t)$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $t=0,1,\ldots,T-1$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Standard
Problémem optimálního adaptivního duálního řízení je nalezení takové řídící
 strategie 
\begin_inset Formula $u(t)=u_{t}(I_{t})$
\end_inset

 ze známé množiny přípustných hodnot řízení 
\begin_inset Formula $\Omega_{t}$
\end_inset

, která minimalizuje ztrátovou funkci 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 v 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:dclossfunc"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Optimální řešení tohoto problému může být nalezeno rekurzivně užitím dynamického
 programování, což vede na následující rovnice:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
J_{T-1}\left(I_{T-1}\right) & = & \min_{u(T-1)\in\Omega_{T-1}}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ g_{T}\left(x(T),u(T-1)\right)\mid I_{T-1}\right\} ,\\
J_{t}\left(I_{t}\right) & = & \min_{u(t)\in\Omega_{t}}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ g_{t+1}\left(x(t+1),u(t)\right)+J_{t+1}\left(I_{t+1}\right)\mid I_{t}\right\} ,
\end{eqnarray*}

\end_inset

pro 
\begin_inset Formula $t=T-2,T-3,\ldots,0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Stručný přehled duálních metod
\end_layout

\begin_layout Standard
Následující stručný přehled duálních metod je založen na přehledových článcích
 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "DAU1,DSF1"

\end_inset

 a 3.
 kapitole knihy 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "adaptDC2004"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dříve byly řídící metody založeny na principu CE a tedy neuvažovaly neurčitost.
 Odhady jsou při tomto přístupu považovány za skutečné hodnoty parametrů.
 Hlavním problémem jsou pak velké přestřely při rychlé adaptaci nebo možnost
 úplně chybného řízení jako například právě u počátečního úhlu natočení
 rotoru PMSM.
 A.
 Feldbaum ve svých raných pracech z 60.
 let minulého století ukázal, že CE přístup není vždy optimální, naopak
 je od optimality značně vzdálen.
 Dále postuloval, dvě hlavní vlastnosti, které by optimální adaptivní systém
 měl mít: (1) výstup systému opatrně sleduje požadovanou referenční hodnotu
 a (2) budí (excituje) systém dostatečně, pro urychlení procesu estimace
 jeho parametrů, tak aby se zlepšila kvalita řízení v budoucích časových
 krocích.
\end_layout

\begin_layout Standard
Formální řešení problému optimálního adaptivního duálního řízení lze nalézt
 pomocí dynamického programování.
 Avšak řešení takto vzniklých rovnic není možné numericky a již vůbec ne
 analyticky ani pro relativně jednoduché případy.
 Je to způsobeno především problémem s rostoucími dimenzemi.
 Nemožnost řešit původní problém vedla ke vzniku celé řady metod, které
 se ho snaží nějakým způsobem zjednodušit.
 Tyto metody samozřejmě nenaleznou optimální řešení, snaží se ale zachovat
 hlavní duální rysy, můžeme je rozdělit do dvou hlavních skupin: metody
 založené na aproximacích (implicitní) a založené na reformulaci problému
 (explicitní).
\end_layout

\begin_layout Standard
Aproximativní metody jsou obvykle složité a výpočetně značně náročné.
 To vede k volbě hrubějších aproximací, kdy může již dojít ke ztrátě duálních
 rysů a tedy nedostačujícímu výkonu.
 Oproti tomu reformulace je více flexibilní a tedy slibnější.
 Uvažuje speciální ztrátovou funkci s dvěma sečtenými členy.
 Jeden kontroluje ztrátu v důsledku odchylky od referenční hodnoty a druhý
 míru nejistoty.
 Takto vzniklé řízení je jednoduché a výpočetní náročností srovnatelné s
 CE přístupem.
 Není však zajištěno trvalé buzení a výkon je opět nedostačující.
 Je tedy snahou vhodně kombinovat oba zmiňované přístupy a využít výhod
 obou za současného potlačení jejich nedostatků.
 Jednou z takových metod například bikriteriální metoda navrhvržená autory
 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "DAU1"

\end_inset

 založená na sekvenční minimalizaci dvou ztrátových funkcí.
\end_layout

\begin_layout Subsection

\series bold
Vybrané algoritmy pro duální řízení
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Bikriteriální metoda
\end_layout

\begin_layout Standard
Bikriteriální metoda je založena na relativně jednoduchém principu.
 Ve snaze splnit obě hlavní vlastnosti duálního řízení (opatrnost a buzení)
 je ztrátová funkce rozdělena na dvě části a proto se také metoda nazývá
 bikriteriální.
 První ztrátová funkce odpovídá takzvanému 
\emph on
opatrnému řízení
\emph default
, které navrhuje tím menší řídící zásahy, čím je větší variance (proto opatrné).
 Nesnaží se však primárně tuto varianci nijak snížit.
 Druhá ztrátová funkce představuje kritérium pro optimální buzení.
 Tyto dvě ztrátové funkce je třeba současně minimalizovat.
 Minimalizace těchto dvou funkce jde ale obecně z podstaty problému proti
 sobě, navíc optimální budící zásah bude zpravidla neomezeně velký.
 Proto je zvolen následující postup:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
nejdříve je nalezeno optimální opatrné řízení
\end_layout

\begin_layout Enumerate
dále je vytyčena množina přípustných řešení kolem řízení nalezeného v bodě
 (1.), například se může jednat o interval
\end_layout

\begin_layout Enumerate
druhá ztrátová funkce pro optimální buzení je minimalizována již pouze v
 rámci množiny přípustných řešení z bodu (2.)
\end_layout

\begin_layout Standard
Konkrétní realizace hledání optimálního řízení (minimalizace) pak již závisí
 na řešeném problému.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

--aproximace
\end_layout

\begin_layout Standard
Jako 
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

--aproximace označujeme suboptimální přístupy k řešení problému duálního
 řízení, kdy se snažíme aproximovat pravděpodobnostní míru neznámých stavů
 a parametrů systému.
 Dle 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "DAF1,DSF1,adaptDC2004"

\end_inset

 je problematika 
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

--aproximací formulována následovně: Hledání suboptimální řídící strategie
 je založeno na minimalizaci modifikované ztrátové funkce
\begin_inset Formula 
\[
J_{t}\left(I_{t},\rho_{t}\right)=\mathrm{\mathbf{E}}_{\rho_{t}}\left\{ \sum_{i=t}^{T-1}g_{t+1}\left(x(i+1),u(i)\right)\mid I_{k}\right\} .
\]

\end_inset

V čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 je řídící strategie 
\begin_inset Formula $u_{t}(I_{t})$
\end_inset

 nalezena pomocí aproximace podmíněné hustoty pravděpodobnosti stavů a parametrů
 systému pro budoucí časové kroky
\begin_inset Formula 
\[
\rho_{t}=\mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{t+i}\right],
\]

\end_inset

pro 
\begin_inset Formula $i=0,1,\ldots,T-t-1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro různé volby 
\begin_inset Formula $\rho_{t}$
\end_inset

 pak můžeme získat následující přístupy:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
Řídící strategie s otevřenou smyčkou
\emph default
 (open-loop, OL) uvažuje systém bez zpětné vazby a optimální řízení je hledáno
 z apriorní informace o stavech a parametrech systému.
 Tento zjednodušující předpoklad je ekvivalentní aproximaci
\begin_inset Formula 
\[
\rho_{t}=\left\{ \mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{t+i}\right]=\mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{0}\right],i=0,\ldots,T-t-1\right\} .
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
Zpětnovazební řídící strategie s otevřenou smyčkou
\emph default
 (open-loop feedback, OLF) také uvažuje systém bez zpětné vazby, ale jen
 pro budoucích časové kroky (
\begin_inset Formula $t+1$
\end_inset

 až 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

), v současném časovém kroku 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 zpětnou vazbu uvažeje.
 Pozorování 
\begin_inset Formula $y(t)$
\end_inset

 jsou tedy použita k estimaci stavů i parametrů systému, ale pouze v součazném
 časovém kroku 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

, v budoucích již ne.
 Opět lze formulovat pomocí 
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

--aproximace:
\begin_inset Formula 
\[
\rho_{t}=\left\{ \mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{t+i}\right]=\mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{t}\right],i=0,\ldots,T-t-1\right\} .
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Pro srovnání zde bude uvedena i aproximace, která vede na již zmiňovaný
 přístup 
\emph on
Certainty Equivalence 
\emph default
(CE):
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\rho_{t} & =\left\{ \mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{t+i}\right]\right.\\
= & \left.\delta\left[x(t+i)-\hat{x}(t+i)\right]\delta\left[p(t+i)-\hat{p}(t+i)\right],i=0,\ldots,T-t-1\right\} ,
\end{align*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\delta$
\end_inset

 značí Diracovu delta funkce a 
\begin_inset Formula $\hat{x}(t+i)=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x(k+i)\mid I_{t+i}\right\} $
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\hat{x}(t+i)=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ p(k+i)\mid I_{t}\right\} $
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
Částečný CE přístup
\emph default
 (PCE) je založen na vhodné kombinaci předchozích postupů CE a OLF.
 Definujme rozšířený stavový vektor jako 
\begin_inset Formula $z^{T}(t)=\left[x^{T}(t)\quad p^{T}(t)\right]$
\end_inset

, tedy jako vektor sdružující původní stav systému a jeho neznámé parametry.
 Tento vektor následně rozdělíme na dvě části s prázdným průnikem 
\begin_inset Formula $z_{1}(t)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $z_{2}(t)$
\end_inset

.
 Nyní aplikujeme na část 
\begin_inset Formula $z_{1}$
\end_inset

 zjednodušující předpoklad CE a na část 
\begin_inset Formula $z_{2}$
\end_inset

 předpoklad OLF.
 To odpovídá následující 
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

--aproximaci:
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\rho_{t} & =\left\{ \mathrm{p}\left[z_{1}(t+i),z_{2}(t+i)\mid I_{t+i}\right]\right.\\
= & \left.\delta\left[z_{1}(t+i)-\hat{z}_{2}(t+i)\right]\mathrm{p}\left[z_{2}(t+i)\mid I_{t}\right],i=0,\ldots,T-t-1\right\} ,
\end{align*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\mathrm{p}\left[z_{1}(t+i),z_{2}(t+i)\mid I_{t+i}\right]=\mathrm{p}\left[z(t+i)\mid I_{t+i}\right]=\mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{t+i}\right].$
\end_inset

 Samotné rozdělení vektoru 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 na dvě části je třeba vyřešit s ohledem na konkrétní strukturu systému,
 pro který je řízení navrhováno.
 Vhodnou volbou může být například označit jako 
\begin_inset Formula $z_{1}$
\end_inset

 stavové veličiny, které jsou přímo pozorovány.
 Autoři dále poukazují i na možnost kombinace s bikriteriálním přístupem.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Řešení LQG problému pomocí teorie her
\end_layout

\begin_layout Standard
Výpočetně relativně málo náročné řešení diskrétního LQG problému duálního
 řízení je představeno v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "DCS1"

\end_inset

.
 Na řešení problému se užívá teorie her, kde hledáme optimální znáhodněnou
 strategii.
 Výsledkem pak je, že optimální řešení přeformulovaného problému duálního
 řízení je vážený průměr konečného počtu standartních LQG optimálních regulátorů.
 Jako váhové faktory jsou brány zobecněné věrohodnostní poměry.
\end_layout

\begin_layout Standard
(Popisovaný přístup se jeví z pohledu tohoto textu výhodným ze dvou důvodů.
 Jednak využívá LQG regulátory, kterými se práce relativně podrobně zbývá,
 dále pak využívá více modelů, které se také v simulacích pro estimátory
 ukázaly jako využitelné.)
\end_layout

\begin_layout Chapter
Návrh a vyhodnocení
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "cha:Návrh-a-vyhodnocení"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Implementace LQ řízení pro stejné indukčnosti
\end_layout

\begin_layout Subsection
LQ řízení v 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Matice systému
\end_layout

\begin_layout Standard
Uvažujeme tedy diskretizované rovnice z části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Diskretizace-rovnice-alfabeta"

\end_inset

 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
i_{\alpha,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\alpha,t}+\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\alpha,t},\\
i_{\beta,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\beta,t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\beta,t},\\
\omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Pro zjednodušení označíme konstanty následovně: 
\begin_inset Formula $a=1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b=\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\Delta t$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c=\frac{\Delta t}{L_{s}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $d=1-\frac{B}{J}\Delta t$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $e=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t$
\end_inset

.
 Zátěžný moment předpokládáme prozatím nulový 
\begin_inset Formula $T_{L}=0$
\end_inset

 a tedy poslední člen třetí rovnice vypadne.
 Rovnice tedy přejdou na tvar
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
i_{\alpha,t+1} & \text{=} & ai_{\alpha,t}+b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t},\nonumber \\
i_{\beta,t+1} & \text{=} & ai_{\beta,t}-b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t},\label{eq:diskretni-system-prolq}\\
\omega_{t+1} & \text{=} & d\omega_{t}+e\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right),\nonumber \\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

Jedná se o reprezentaci systému se stavem 
\begin_inset Formula $x_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\omega_{t},\vartheta_{t}\right)$
\end_inset

 a řízením 
\begin_inset Formula $u_{t}=\left(u_{\alpha,t},u_{\beta,t}\right)$
\end_inset

, kde předchozí rovnice můžeme zapsat pomocí funkcí 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 jako 
\begin_inset Formula $x_{t+1}=f(x_{t},u_{t})$
\end_inset

.
 Chceme získat lineární systém ve tvaru 
\begin_inset Formula $x_{t+1}=A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}$
\end_inset

.
 Provedeme tedy linearizaci pomocí Taylorova rozvoje do prvního řádu v reprezent
ativní trajektorii 
\begin_inset Formula $(x_{0},u_{0})$
\end_inset

, tedy 
\begin_inset Formula 
\[
f(x_{t},u_{t})=f(x_{0},u_{0})+\frac{\partial f(x,u)}{\partial x}\biggl|_{0}(x-x_{0})+\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}\biggl|_{0}(u-u_{0}).
\]

\end_inset

Pak matice systému dostaneme ve tvaru 
\begin_inset Formula $A_{t}=\frac{\partial f(x_{t},u_{t})}{\partial x_{t}}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $B_{t}=\frac{\partial f(x_{t},u_{t})}{\partial u_{t}}$
\end_inset

, což vede na 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
A_{t} & = & \left[\begin{array}{cccc}
a & 0 & b\sin\vartheta_{t} & b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}\\
0 & a & -b\cos\vartheta_{t} & b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}\\
-e\sin\vartheta_{t} & e\cos\vartheta_{t} & d & -e\left(i_{\beta,t}\sin\vartheta_{t}+i_{\alpha,t}\cos\vartheta_{t}\right)\\
0 & 0 & \Delta t & 1
\end{array}\right],\\
B_{t} & = & B=\left[\begin{array}{cc}
c & 0\\
0 & c\\
0 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right].
\end{eqnarray*}

\end_inset

Dále, když budeme chtít jako pozorovatele užít Kalmanův filtr, budeme potřebovat
 vztah pro výstup systému systému, ten je formulován jako 
\begin_inset Formula $y_{t}=g(x_{t})=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t}\right)^{T}$
\end_inset

.
 Tato rovnice již lineární je a můžeme tedy rovnou psát 
\begin_inset Formula $y_{t}=Cx_{t}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula 
\[
C=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{array}\right].
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Ztrátová funkce
\end_layout

\begin_layout Standard
Kvadratickou ztrátovou funkci pro LQ řízení se snažíme nalézt ve tvaru
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\lang english

\begin_inset Formula 
\[
\mathbf{E}\left\{ x_{N}^{T}Q_{N}x_{N}+\sum_{t=0}^{N-1}\left(x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}\right)\right\} .
\]

\end_inset


\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang czech
Požadavky na stavové proměnné jsou pouze dosažení požadovaných otáček 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset

.
 To můžeme snadno formulovat pomocí kvadratické funkce v každém časovém
 kroku jako 
\begin_inset Formula $q\left(\omega_{t}-\overline{\omega}_{t}\right)^{2}$
\end_inset

.
 Zde ale narážíme na problém, že veličinu 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$
\end_inset

 nemáme ve stavu systému a algoritmus LQG s ní tedy nemůže počítat.
 To obecně při uvažování lineárně kvadratického řízení není problémem, toto
 řízení řídí vždy na nulu a když máme lineární systém, který tento algoritmus
 předpokládá, snadno si můžeme výsledek díky linearitě posunout.
 Uvažovaný systém PMSM však lineární není a je tedy třeba tento problém
 vyřešit zvlášť.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Zavedeme do systému novou stavovou proměnou odpovídající referenčnímu signálu
 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset

 a na nulu budeme řídit rozdíl 
\begin_inset Formula $\omega_{t}-\overline{\omega}_{t}$
\end_inset

.
 Z tohoto důvodu zavedeme substituci 
\begin_inset Formula $\psi_{t}=\omega_{t}-\overline{\omega}_{t}$
\end_inset

 a pak 
\begin_inset Formula $\omega_{t}=\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}$
\end_inset

.
 Dosadíme do rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:diskretni-system-prolq"

\end_inset

) a získáme
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
i_{\alpha,t+1} & = & ai_{\alpha,t}+b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t},\\
i_{\beta,t+1} & = & ai_{\beta,t}-b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t},\\
\psi_{t+1} & = & d\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)-\overline{\omega}_{t+1}+e\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right),\\
\vartheta_{t+1} & = & \vartheta_{t}+\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\Delta t\\
\overline{\omega}_{t+1} & = & \overline{\omega}_{t}.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Nové matice systému 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 jsou pak ve tvaru 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
A_{t} & = & \left[\begin{array}{ccccc}
a & 0 & b\sin\vartheta_{t} & b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\cos\vartheta_{t} & b\sin\vartheta_{t}\\
0 & a & -b\cos\vartheta_{t} & b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\sin\vartheta_{t} & -b\cos\vartheta_{t}\\
-e\sin\vartheta_{t} & e\cos\vartheta_{t} & d & -e\left(i_{\beta}\sin\vartheta_{t}+i_{\alpha}\cos\vartheta_{t}\right) & d-1\\
0 & 0 & \Delta t & 1 & \Delta t\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right],\\
B & = & \left[\begin{array}{cc}
c & 0\\
0 & c\\
0 & 0\\
0 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right],\\
C & = & \left[\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right].
\end{eqnarray*}

\end_inset

A člen ztrátové funkce pro penalizaci za odchylku od požadované referenční
 hodnoty pak můžeme formulovat ve tvaru 
\begin_inset Formula $x_{t}^{T}Qx_{t}$
\end_inset

 s maticí
\begin_inset Formula 
\[
Q=\left[\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & q & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right],
\]

\end_inset

kde nyní vektorem 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 označujeme nový stav 
\begin_inset Formula $x_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\psi_{t},\vartheta_{t},\overline{\omega}_{t}\right)$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Omezení na vstupy nelze užít ve tvaru 
\begin_inset Formula $\left|u_{\alpha,\beta}\right|\leq U_{max}$
\end_inset

, protože jej nelze snadno formulovat pomocí kvadratické funkce.
 Namísto toho si musíme vystačit s penalizací 
\begin_inset Formula $u_{t}^{T}R_{t}u_{t}$
\end_inset

.
 Volíme tedy jednoduchou realizaci s konstantní maticí 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 s jedním neznámým parametrem 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 
\begin_inset Formula 
\[
R=\left[\begin{array}{cc}
r & 0\\
0 & r
\end{array}\right].
\]

\end_inset

Konkrétní hodnotu 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 je potřeba vhodně zvolit a nastavit při implementaci a nezáleží na její
 absolutní velikosti, ale na velikosti vzhledem k parametru 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 z matice 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Když chceme přidat ještě omezení na velikost změny vstupů 
\begin_inset Formula $\left|u_{\alpha,\beta}(t+1)-u_{\alpha,\beta}(t)\right|$
\end_inset

 , lze tak jednoduše učinit pomocí přidání dalšího členu do ztrátové funkce.
 Tento člen budeme volit opět kvadratický a to ve tvaru 
\begin_inset Formula $\left(u_{t}-u_{t-1}\right)^{T}S\left(u_{t}-u_{t-1}\right)$
\end_inset

.
 Penalizační matici budeme opět uvažovat ve tvaru
\begin_inset Formula 
\[
S=\left[\begin{array}{cc}
s & 0\\
0 & s
\end{array}\right],
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 představuje vhodně zvolený parametr.
 Takovýto člen ale ve standartní ztrátové funkci LQ řízení nevystupuje a
 jeho přidání již není tak snadné.
 Při implementaci této verze algoritmu však bylo užito jiné verze LQ algoritmu,
 která je obecnější a tento zápis dovoluje.
 Zmiňovaný přístup je založen na maticovém QR rozkladu a kromě toho, že
 umožňuje mnohem obecnější zadání úlohy s lineárním systémem a kvadratickou
 ztrátovou funkcí, jeho výpočet je i rychlejší z důvodu efektivnějšího provádění
 maticové inverze, kterou by bylo třeba počítat při řešení Riccatiho rovnice
 (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:riccati-lqg"

\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Subsection
LQ řízení v 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard
Postup je anlogický jako v případě pro 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 souřadnice.
 Vyjdeme z rovnic
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
i_{d,t+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{d,t},\\
i_{q,t+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{q,t},\\
\omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q,t}-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t,
\end{eqnarray*}

\end_inset

pro zjednodušení použijeme stejné označení konstant: 
\begin_inset Formula $a=1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b=\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\Delta t$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c=\frac{\Delta t}{L_{s}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $d=1-\frac{B}{J}\Delta t$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $e=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t$
\end_inset

.
 Zátěžný moment opět předpokládáme nulový 
\begin_inset Formula $T_{L}=0$
\end_inset

.
 Získáme rovnice ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
i_{d,t+1} & = & ai_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+cu_{d,t},\\
i_{q,t+1} & = & ai_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-b\omega_{t}+cu_{q,t},\\
\omega_{t+1} & \text{=} & d\omega_{t}+ei_{q,t},\\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Tento tvar rovnic je z hlediska linearizece daleko příznivější, protože
 jedinými nelineárními členy jsou 
\begin_inset Formula $\pm\Delta t\cdot i_{q,d}\omega$
\end_inset

.
 Problematika těchto dvou členů byla již nastíněna v části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Rotace-do-dq-problclen"

\end_inset

, kde v rovnici (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:dqrce-probl-clen"

\end_inset

) jsou tyto členy zarámovány.
 Při jistém pořadí úprav (které ale není zcela korektní) tyto členy nevzniknou
 a je tedy namístě otázka, co se stane, když je zanedbáme.
 Pak by systém byl lineární, matici řízení 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 by bylo možno předpočítat a celý návrh řízení by se usnadnil a hlavně urychlil.
 Jestli je však možné tyto členy zanedbat se ukáže až jako výsledek simulací,
 z tohoto důvodu zde bude uvedena i verze matic pro systém PMSM bez těchto
 členů.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Ještě je třeba upozornit na důležitý detail.
 Na první pohled by se mohlo zdát, že jsme z rovnic kompletně odstranili
 závislost na úhlu natočení 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 a nepotřebujeme jej tedy znát.
 To však není pravda, závislost tam stále je, i když skrytá.
 Měření výstupu i poskytování vstupu do systému probíhá v souřadné soustavě
 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

, když navrhujeme řízení v soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 je samozřejmě třeba provést transformaci a pak inverzní transformaci zpět.
 Tyto transformace byly popsány v části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Transformace_albe_dq"

\end_inset

 a zřejmě závisí právě na úhlu natočení 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ztrátovou funkci budeme uvažovat stejnou jako v předchozím případě pro 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 a stav rovnou rozšíříme o referenční signál na 
\begin_inset Formula $x_{t}=\left(i_{d,t},i_{q,t},\psi_{t},\vartheta_{t},\overline{\omega}_{t}\right)$
\end_inset

.
 Vektor řízení je 
\begin_inset Formula $u_{t}=\left(u_{d,t},u_{q,t}\right)$
\end_inset

.
 Matice pro systém při neuvažování členů 
\begin_inset Formula $\pm\Delta t\cdot i_{q,d}\omega$
\end_inset

 jsou následující:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
A & = & \left[\begin{array}{ccccc}
a & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & a & -b & 0 & -b\\
0 & e & d & 0 & d-1\\
0 & 0 & \Delta t & 1 & \Delta t\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right],\\
B & = & \left[\begin{array}{cc}
c & 0\\
0 & c\\
0 & 0\\
0 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right].
\end{eqnarray*}

\end_inset

Když členy 
\begin_inset Formula $\pm\Delta t\cdot i_{q,d}\omega$
\end_inset

 uvažovat budeme, je třeba provést linearizaci a matice 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

 pak již nebude konstantní
\begin_inset Formula 
\[
A_{t}=\left[\begin{array}{ccccc}
a & \Delta t\cdot\omega & \Delta t\cdot i_{q} & 0 & \Delta t\cdot i_{q}\\
-\Delta t\cdot\omega & a & -\Delta t\cdot i_{d}-b & 0 & -\Delta t\cdot i_{d}-b\\
0 & e & d & 0 & d-1\\
0 & 0 & \Delta t & 1 & \Delta t\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right].
\]

\end_inset

Matice 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 zůstává stejná.
\end_layout

\begin_layout Section
Konkrétní hodnoty parametrů
\end_layout

\begin_layout Subsection
Parametry PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro simulace byl uvažován model PMSM s následujícími parametry:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
R_{s} & = & 0.28;\\
L_{s} & = & 0.003465;\\
\Psi_{PM} & = & 0.1989;\\
B & = & 0;\\
T_{L} & = & 0;\\
k_{p} & = & 1.5;\\
p_{p} & = & 4.0;\\
J & = & 0.04;\\
\Delta k & = & 0.000125.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Což vede na zjednodušené koeficienty:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
a & = & 0.9898;\\
b & = & 0.0072;\\
c & = & 0.0361;\\
d & = & 1.0;\\
e & = & 0.0149.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Kovarianční matice
\end_layout

\begin_layout Standard
Kovarianční matice 
\begin_inset Formula $M_{k}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $N_{k}$
\end_inset

 šumu v systému a šumu měření předpokládáme známé a pro účely testování
 je volíme následovně:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
M_{k} & = & \mathrm{diag\left(0.0013;\:0.0013;\:5.0e-6;\:1.0e-10\right),}\\
N_{k} & = & \mathrm{diag}\left(0.0006;\:0.0006\right).
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Další hodnoty
\end_layout

\begin_layout Standard
Další hodnoty, jako požadovaná hodnota otáček (referenční signál) 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset

, časový horizont 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

, penalizační matice ve ztrátové funkci 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, budou specifikovány pro konkrétní simulaci.
\end_layout

\begin_layout Section
TODO
\end_layout

\begin_layout Standard
možná něco vlastního v matlabu
\end_layout

\begin_layout Standard
závěry ze simulátoru
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
vypočítat časovou závislot prvků matice L
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Addchap
Závěr
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage clearpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset bibtex
LatexCommand bibtex
bibfiles "vyz_clanky,vyz_texty"
options "bibtotoc,czechiso"

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document
