#LyX 1.6.7 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 345
\begin_document
\begin_header
\textclass scrreprt
\begin_preamble
\usepackage[czech]{babel}
\end_preamble
\use_default_options true
\language czech
\inputencoding auto
\font_roman default
\font_sans default
\font_typewriter default
\font_default_family default
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100
\font_tt_scale 100

\graphics default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_amsmath 1
\use_esint 1
\cite_engine basic
\use_bibtopic false
\paperorientation portrait
\secnumdepth 2
\tocdepth 2
\paragraph_separation indent
\defskip medskip
\quotes_language german
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\author "" 
\author "" 
\end_header

\begin_body

\begin_layout Title
Popis PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset toc
LatexCommand tableofcontents

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Addchap
Úvod
\end_layout

\begin_layout Standard
Hlavní náplní této práce je řízení elektrických pohonů, konkrétně synchronního
 motoru s permanentními magnety (v textu bude označován zkratkou PMSM z
 anglického 
\emph on
Permanent Magnet Synchronous Machine
\emph default
).
 Jedná se o synchronní stroj, tedy rotor se otáčí současně (synchronně)
 s točivým magnetickým polem statoru.
 Na rotoru má ale místo budícího vinutí permanentní magnety.
 Tato konstrukce nachází v poslední době stále větší uplatnění.
 Je tomu tak především z důvodu snadnější dostupnosti kvalitních permanentních
 magnetů, ale také díky možnosti využít stále výkonější polovodičová zařízení
 pro řízení a napájení těchto strojů.
\end_layout

\begin_layout Chapter
Popis PMSM
\end_layout

\begin_layout Section
Vlastnosti
\end_layout

\begin_layout Subsection
Permanentní magnety
\end_layout

\begin_layout Standard
Jak již bylo řečeno pro PMSM mají velký význam kvalitní permanentní magnety.
 Podle 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "cdern2010,novak2006"

\end_inset

 jsou vyráběny ze speciálních slitin nejčastěji na bázi prvků 
\begin_inset Formula $Sm-Co$
\end_inset

 nebo 
\begin_inset Formula $Nd-Fe-B$
\end_inset

.
 Oproti klasickým feritovým magnetům se vyznačují velkou magnetickou indukcí
 okolo 
\begin_inset Formula $1T$
\end_inset

 oproti přibližne 
\begin_inset Formula $0,3T$
\end_inset

 u feritových magnetů.
\end_layout

\begin_layout Standard
Nevýhodou nejen těchto, ale permanentních magnetů obecně je změna jejich
 magnetických vlastností s teplotou.
 Jedná se především o hranici označovanou jako 
\emph on
Courieův bod
\emph default
, kdy materiál přechází z feromagnetického stavu do paramagnetického a s
 tím je spojen výrazný pokles magnetizmu.
 Tato hodnota závisí na použítém materiálu a pohybuje se přibližně v rozmezí
 
\begin_inset Formula $200-1000^{\circ}C$
\end_inset

.
 Z toho vyplývá, že je nutné udržovat motor na vhodné provozní teplotě a
 tedy zajistit odpovídající chlazení.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Výhody a nevýhody PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
Následující část popisující výhody a nevýhody čerpá především ze zdrojů
 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "cdern2010,novak2006"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Výhody
\end_layout

\begin_layout Standard
Proč se ale PMSM využívají a jaké mají výhody oproti jiným motorům.
 Uveďme především:
\end_layout

\begin_layout Itemize
rotor neobsahuje vinutí a tedy 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
je možno jej konstruovat menší, což je velmi výhodné v aplikacích, kde záleží
 na co nejmenší velikosti pohonu, příkladem mohou být dopravní prostředky,
 kde lze ušetřené místo využít například pro cestující (nízkopodlažní tramvaj)
\end_layout

\begin_layout Itemize
je možno jej konstruovat lehčí, což snižuje hmotnost celého zařízení 
\end_layout

\begin_layout Itemize
má menší moment setrvačnosti rotoru
\end_layout

\begin_layout Itemize
není třeba
\emph on
 
\emph default
složitě přivádět
\emph on
 
\emph default
napájení
\emph on
 
\emph default
na rotor
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
není třeba motor před rozběhem budit a nepotřebuje zdroj budícího proudu
\end_layout

\begin_layout Itemize
odpadá problém s přívodem proudu do buzení rotoru
\end_layout

\begin_layout Itemize
vyšší účinnost -- nejsou jouleovy ztráty v rotoru (oproti asynchronnímu
 stroji) popřipadě v buzení (oproti synchronnímu stroji s buzením)
\end_layout

\begin_layout Itemize
momentová přetížitelnost
\end_layout

\begin_layout Itemize
možnost konstrukce pomaluběžného stroje s dostatečným výkonem, který nepotřebuje
 převedovku (výhody spojené s absencí převodovky)
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Nevýhody
\end_layout

\begin_layout Standard
Na druhou stranu toto řešení motoru má i své nevýhody, jedná se zejména
 o:
\end_layout

\begin_layout Itemize
technologicky složitější výroba -- připevnění permanentních magnetů na rotor
 (nejčastěji lepení)
\end_layout

\begin_layout Itemize
složitější opravy
\end_layout

\begin_layout Itemize
vyšší cena (nezanetbatelné náklady na permanentní magnety)
\end_layout

\begin_layout Itemize
menší robustnost
\end_layout

\begin_layout Itemize
problematické odbuzování
\end_layout

\begin_layout Itemize
nutnost dobrého chlazení -- závislot magnetických vlastností magnetů na
 teplotě
\end_layout

\begin_layout Itemize
problematika spojená s návrhem řízení těchto strojů (bude detailněji rozebrána
 níže)
\end_layout

\begin_layout Section
Konstrukce
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename pmsm_spec.eps
	scale 65

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Ilustrativní obrázek konstrukce PMSM
\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:obr1_ilupmsm"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Základní konstrukce PMSM je na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:obr1_ilupmsm"

\end_inset

.
 Nákres je pouze ilustrativní, ale zobrazuje hlavní části PMSM: Vnější kruh
 představuje stator.
 Na něm jsou zuby, na kterých je navinuto statorové vinutí (v obrázku není
 zobrazeno).
 Vnitřní kruh je rotor, na jehož povrchu jsou umístěny právě permanentní
 magnety.
 U těchto magnetů je barevně rozlišen severní a jižní pól.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Často se lze setkat i s opačnou konstrukcí, kdy je stator umístěn uvnitř
 a rotor s magnety se otáčí kolem něj.
 Tato konstrukce PMSM se využívá například k pohonu nejrůznějších vozidel,
 kdy je motor umístěn přímo v kole vozidla.
 Existují i další konstrukce PMSM.
 Zajímavou je například verze, která má otočný stator i rotor a toto zařízení
 pak může sloužit jako dělič výkonu.
\end_layout

\begin_layout Standard
Vyobrazená konstrukce je někdy také označováná jako SMPMSM (
\emph on
Surface Mounted PMSM
\emph default
), tedy PMSM s magnety na povrchu.
 Další častou konstrukcí je IPMSM (
\emph on
Inner PMSM
\emph default
), kde jsou permanentní magnety umístěny uvnitř rotoru.
 Tyto verze mají nepatrně odlišné vlastnosti, které ale mají významný vliv
 při návrhu řízení těchto strojů.
 Pod PMSM se ještě zahrnují reluktanční motory, které jsou založeny na poněkud
 odlišném principu a dále se jimi vůbec zabývat nebudeme.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename pmsm_simple.eps

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Zjednodušený model PMSM
\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:obr2_simplepmsm"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pro představu a odvození základních rovnic však nepotřebujeme pracovat s
 příliš složitou konstrukcí a vystačíme si se zjednodušeným modelem, který
 je zobrazen na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:obr2_simplepmsm"

\end_inset

.
 Na statoru jsou zde umístěny pouze tři cívky, které představují vinutí
 jednotlivých fází.
 Rotor je pak reprezentován jediným permanentním magnetem.
 Pro základní představu je tento model dostačující, dále ale bude třeba
 rozšířit model o více párů pólů.
 PMSM na nákresu má 1 pár pólů, ale reálné motory jich mívají obvykle více.
\end_layout

\begin_layout Section
Souřadné soustavy
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro popis a následné odvození rovnic se standartně používá několik souřadných
 systémů.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename pmsm_simple_abc.eps

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Souřadný systém 
\emph on
a-b-c
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:obr3_ssabc"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset

Prvním z nich je souřadný systém 
\emph on
a-b-c
\emph default
 znázorněný na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:obr3_ssabc"

\end_inset

.
 Jednotlivé osy tohoto souřadného systému (a, b, c) jsou směřují ve směru
 os vinutí jednotlivých fází a jsou tedy vzájemně pootočeny o 
\begin_inset Formula $120^{\circ}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename pmsm_simple_albe.eps

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Souřadný systém 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

-
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:obr4_ssalbe"

\end_inset


\end_layout

\end_inset

Protože ale k popsaní polohy v rovině jsou tři souřadnice (v osách a, b,
 c) zbytečné a jedna z nich je vždy závislá, přecházíme k souřadnému systému
 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

-
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

, který je znázorněn na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:obr4_ssalbe"

\end_inset

.
 Osa 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 se totožná s osou 
\emph on
a
\emph default
 ze souřadného systému 
\emph on
a-b-c
\emph default
, osa 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 ja na ní pak kolmá.
 Osy 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

-
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 tedy tvoří ortogonální systém.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename pmsm_simple_dq.eps

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Souřadný systém 
\emph on
d-q
\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:obr5_ssdq"

\end_inset


\end_layout

\end_inset

Pro většinu aplikací se však ukazuje výhodným přejít do rotující soustavy
 
\emph on
d-q
\emph default
, která je svázána s rotorem.
 Její vyobrazení je na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:obr5_ssdq"

\end_inset

.
 Opět se jedná o ortogonální systém, kdy osu 
\emph on
d
\emph default
 orientujeme ve směru osy permanentního magnetu směřující k jeho severnímu
 pólu.
 Osa 
\emph on
q
\emph default
 je pak na ní kolmá.
\end_layout

\begin_layout Section
Transformace souřadnic
\end_layout

\begin_layout Standard
Mezi výše zmíněnými souřadnými soustavami platí následující převodní vztahy.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Transformace 
\begin_inset Formula $a-b-c\longleftrightarrow\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Tato transformace se označuje také jako Clarkova transformace, rovnice lze
 nalézt například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "fiser2006"

\end_inset

, nebo je možné je poměrně snadno odvodit.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Převod 
\begin_inset Formula $a-b-c\rightarrow\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Osa 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 je totožná s osou 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 osy 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 jsou pak oproti ní otočeny o 
\begin_inset Formula $120^{\circ}$
\end_inset

 respektive 
\begin_inset Formula $-120^{\circ}$
\end_inset

.
 Tedy souřadnice v ose 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 získáme následujícím průmětem z os 
\begin_inset Formula $a,\: b,\: c$
\end_inset

:
\begin_inset Formula \[
\alpha=k\left(a+b\cdot\cos(120^{\circ})+c\cdot\cos(-120^{\circ})\right)=k\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right),\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 značí konstantu 
\begin_inset Formula $k=\frac{2}{3}$
\end_inset

.
 Obdobně postupujeme v případě osy 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

.
 Osa 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 je na ní kolmá a tedy její příspěvek je nulový.
 Osa 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 je od ní otočena o 
\begin_inset Formula $30^{\circ}$
\end_inset

 a osa 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $150^{\circ}$
\end_inset

.
 Promítnutím do osy 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 tedy získáme vztah:
\begin_inset Formula \[
\beta=k\left(b\cdot\cos(30^{\circ})+c\cdot\cos(150^{\circ})\right)=k\left(b\cdot\sin(120^{\circ})+c\cdot\sin(-120^{\circ})\right)=k\left(\frac{\sqrt{3}}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}c\right).\]

\end_inset

Celkem tedy máme rovnice:
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\alpha & = & \frac{2}{3}\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right),\\
\beta & = & \frac{\sqrt{3}}{3}\left(b-c\right).\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Převod 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta\rightarrow a-b-c$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pro inverzní transformaci platí následující vztahy:
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
a & = & \alpha+\theta,\\
b & = & \left(-\frac{1}{2}\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta,\\
c & \text{=} & \left(-\frac{1}{2}\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta,\end{eqnarray*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 představuje takzvanou nulovou složku 
\begin_inset Formula $\theta=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Transformace 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta\longleftrightarrow d-q$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Transformace je označována jako Parkova transformace a představuje přechod
 do rotujícího souřadného systému.
 Rovnice transformace lze najít opět například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "fiser2006"

\end_inset

 nebo je možné je opět odvodit.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Převod 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta\rightarrow d-q$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Předpokládáme otočení doustavy 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 oproti 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 o úhel 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 kolem společného počátku souřadných soustav a tedy:
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
d & = & \alpha\cos\phi+\beta\sin\phi,\\
q & = & -\alpha\sin\phi+\beta\cos\phi.\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Převod 
\begin_inset Formula $d-q\rightarrow\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Inverzní transformaci provedeme pouze otočením na druhou stranu:
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\alpha & = & d\cos\phi-q\sin\phi,\\
\beta & = & d\sin\phi+q\cos\phi.\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Odvození rovnic
\end_layout

\begin_layout Subsection
Odvození rovnic do 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 soustavy
\end_layout

\begin_layout Standard
Rovnici pro napětí v obvodu statoru synchroního stroje lze zapsat jako
\begin_inset Formula \[
u_{s}=R_{s}i_{s}+u_{i},\]

\end_inset

tedy součet napětí v obvodu (Ohmův zákon) a indukovaného napětí, přičemž
 veličiny jsou uvažovány komplexní.
 Vyjáříme-li indukované napětí, jako změnu toku v čase (Faradayův zákon
 elektromagnetické indukce) přejde rovnice na tvar
\begin_inset Formula \[
u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}.\]

\end_inset

Pro přechod do rotujícího souřadného systému předpokládáme obecně rotaci
 o úhel 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, kterou provedeme vynásobením všech veličin operátorem rotace v komplexních
 číslech 
\begin_inset Formula $e^{j\varepsilon}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 značí komplexní jednotku.
 Tedy
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{s}e^{j\varepsilon} & = & R_{s}i_{s}e^{j\varepsilon}+\frac{d(\psi_{s}e^{j\varepsilon})}{dt},\\
u_{s}e^{j\varepsilon} & \text{=} & R_{s}i_{s}e^{j\varepsilon}+\frac{d\psi_{s}}{dt}e^{j\varepsilon}+\psi_{s}j\omega_{\varepsilon}e^{j\varepsilon},\\
u_{s} & \text{=} & R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}+\psi_{s}j\omega_{\varepsilon},\end{eqnarray*}

\end_inset

kde symbol 
\begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}$
\end_inset

 označuje úhlovou rychlost -- změnu úhlu 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, jedná se tedy o derivaci 
\begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}=\frac{d\varepsilon}{dt}$
\end_inset

.
 Tato úhlová rychlost 
\begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}$
\end_inset

 odpovídá elektrickým otáčkám 
\begin_inset Formula $\omega_{el}$
\end_inset

 a lze ji přepočíst na mechanické otáčky pomocí vztahu 
\begin_inset Formula $\omega_{el}=p_{p}\omega_{m},$
\end_inset

 kde 
\begin_inset Formula $p_{p}$
\end_inset

 je počet párů polů rotoru a 
\begin_inset Formula $\omega_{m}$
\end_inset

 mechanické otáčky.
 Když pro jednoduchost předpokládáme počet párů polů roven 1, je 
\begin_inset Formula $\omega_{e}=\omega_{m}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní můžeme přejít k rovnicím v souřadném systému 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

, který je natočen oproti souřadnému systému statoru (
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

) o úhel 
\begin_inset Formula $\varepsilon=\vartheta$
\end_inset

 a otáčí se rychlostí 
\begin_inset Formula $\omega_{m}$
\end_inset

.
 Osa magnetického toku rotoru je osou 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 a v tomto směru uvažujeme reálnou složku komplexních veličin, osa 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 je pak na ní kolmá a bude reprezentovat složku imaginární.
 Dostáváme tedy 
\begin_inset Formula \[
u_{d}+ju_{q}\text{=}R_{s}\left(i_{d}+ji_{q}\right)+\frac{d\left(\psi_{d}+j\psi_{q}\right)}{dt}+\left(\psi_{d}+j\psi_{q}\right)j\omega_{m},\]

\end_inset

což při rozepsání po složkách (reálná a imaginární) vede na rovnice
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{d} & = & R_{s}i_{d}+\frac{d\psi_{d}}{dt}-\omega_{m}\psi_{q},\\
u_{q} & = & R_{s}i_{q}+\frac{d\psi_{q}}{dt}+\omega_{m}\psi_{d}.\end{eqnarray*}

\end_inset

Dále uvažujme vztahy pro magnetické toky
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\psi_{d} & = & L_{d}i_{d}+\psi_{pm},\\
\psi_{q} & = & L_{q}i_{q}.\end{eqnarray*}

\end_inset

Po dosazení získáme rovnice
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{d}\frac{di_{d}}{dt}-\omega_{m}L_{q}i_{q},\\
u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{q}\frac{di_{q}}{dt}+\omega_{m}L_{d}i_{d}+\omega_{m}\psi_{pm}.\end{eqnarray*}

\end_inset

Vydělením 
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset

 respektive 
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset

 získáme
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{d}}i_{d}+\frac{L_{q}}{L_{d}}\omega_{m}i_{q}+\frac{1}{L_{d}}u_{d},\\
\frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{q}}-\frac{\psi_{pm}}{L_{q}}\omega_{m}-\frac{L_{d}}{L_{q}}\omega_{m}i_{d}+\frac{1}{L_{q}}u_{q}.\end{eqnarray*}

\end_inset

Když ale položíme 
\begin_inset Formula $L_{d}=L_{q}=L_{s}$
\end_inset

 dostaneme rovnice
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{s}\frac{di_{d}}{dt}-\omega_{m}L_{s}i_{q},\\
u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{s}\frac{di_{q}}{dt}+\omega_{m}L_{s}i_{d}+\omega_{m}\psi_{pm}.\end{eqnarray*}

\end_inset

Vydělení 
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset

 pak vede na tvar
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}+\omega_{m}i_{q}+\frac{u_{d}}{L_{s}},\\
\frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{m}-\omega_{m}i_{d}+\frac{u_{q}}{L_{s}}.\end{eqnarray*}

\end_inset

Toto vyjádření je shodné s tím, které dostaneme následně.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Odvození rovnic do 
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

 soustavy
\end_layout

\begin_layout Standard
Opět vyjdeme z rovnice
\begin_inset Formula \[
u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}.\]

\end_inset

Magnetický tok 
\begin_inset Formula $\psi_{s}$
\end_inset

 vyjádříme jako tok vytvořený cívkami statoru a dále přičteme tok permanentních
 magnetů, je však třeba uvažovat, že rotor obsahující permanentní magnety
 je natočen obecně pod úhlem 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

.
 Tedy v komplexní rovině lze vyjádřit tok jako 
\begin_inset Formula \[
\psi_{s}=L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}.\]

\end_inset

Dosadíme nyní do rovnice a rozepíšeme ji po složkách
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{s} & = & R_{s}i_{s}+\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt},\\
u_{\alpha}+ju_{\beta} & \text{=} & R_{s}\left(i_{\alpha}+ji_{\beta}\right)+\frac{d}{dt}\left(L_{s}\left(i_{\alpha}+ji_{\beta}\right)+\psi_{pm}\left(\cos\vartheta+j\sin\vartheta\right)\right).\end{eqnarray*}

\end_inset

Rozepsaní na dvě rovnice je pak následující
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{\alpha} & \text{=} & R_{s}i_{\alpha}+L_{s}\frac{di_{\alpha}}{dt}-\frac{d\vartheta}{dt}\psi_{pm}\sin\vartheta,\\
u_{\beta} & = & R_{s}i_{\beta}+L_{s}\frac{di_{\beta}}{dt}+\frac{d\vartheta}{dt}\psi_{pm}\cos\vartheta.\end{eqnarray*}

\end_inset

Vydělíme-li rovnice indukčností 
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset

, vyjádříme z nich derivace proudů a derivace úhlu natočení 
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
označíme jako 
\begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}$
\end_inset

=
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 úhlovou rychlost dostaneme následující rovnice v souřadné soustavě
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
 
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

:
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}},\\
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}}.\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní je ještě třeba přidat další dvě diferenciální rovnice pro otáčky 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a polohu 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

.
 Rovnice pro 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 je triviální a už byla užita, jedná se o
\begin_inset Formula \[
\frac{d\vartheta}{dt}=\omega.\]

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard
Rovnice pro 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 získáme následovně ze základních zákonů mechaniky: Pro točivý moment (speciální
 případ momentu síly pro silovou dvojici, kdy se vektory skládají na nulu,
 avšak mají točivý účinek, v anglické literatuře označeno jako 
\emph on
torque
\emph default
)
\emph on
 
\emph default
platí obecně vztah
\begin_inset Formula \[
\tau=\frac{dL}{dt},\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 označuje moment hybnosti (
\emph on
angular momentum
\emph default
).
 Při uvažování působení více točivých momentu momentů pak
\begin_inset Formula \[
\tau_{1}+\ldots+\tau_{n}=\sum\tau=\frac{dL}{dt}.\]

\end_inset

Uvažujeme-li rotaci kolem pevné osy, lze moment hybnosti vyjádřit jako
\begin_inset Formula \[
L=J\omega_{m},\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 označuje moment setrvačnosti (
\emph on
moment of inertia
\emph default
) a 
\begin_inset Formula $\omega_{m}$
\end_inset

 je mechanická úhlová rychlost.
 Po dosazení tedy
\begin_inset Formula \[
\sum\tau=\frac{dL}{dt}=\frac{d(J\omega_{m})}{dt}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.\]

\end_inset

Točivé momenty 
\begin_inset Formula $\sum\tau$
\end_inset

 jsou: 
\end_layout

\begin_layout Itemize
moment získaný konverzním procesem elektrické energie, který vyjadřuje hlavní
 vlastnost točivého stroje, a to právě převod elektrické energie na mechanickou,
 tento mement označíme jako 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
zátěžný moment reprezentující zatížení stroje, tedy v podstatě to, co motor
 pohání, je však třeba uvažovat, že působí v opačném směru a stroj brzdí,
 označíme ho tedy 
\begin_inset Formula $-T_{L}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
dále je ještě třeba uvažovat ztráty ve stroji v důsledku tření, tento moment
 opět působí v opačném směru a uvažujeme jej lineárně závislý na otáčkách
 
\begin_inset Formula $\omega_{m}$
\end_inset

, tedy 
\begin_inset Formula $-B\omega_{m}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 je koeficient viskozity (tření)
\end_layout

\begin_layout Standard
Rovnice po dosazení tedy přejde na tvar
\begin_inset Formula \[
T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.\]

\end_inset

Nyní je ještě třeba vyjádřit točívý moment 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 na základě elektrických veličin.
 Toho lze dosáhnout výpočtem přes okamžitý elektrický výkon, pro trojfázový
 systém
\begin_inset Formula \[
P=u_{a}i_{a}+u_{b}i_{b}+u_{c}i_{c}.\]

\end_inset

Po transformaci do systému 
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

 získáme vyjádření
\begin_inset Formula \[
P=k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right),\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $k_{p}$
\end_inset

 označuje Parkovu konstantu s hodnotou 
\begin_inset Formula $k_{p}=\frac{3}{2}$
\end_inset

.
 Napětí je zde uvažováno indukované 
\begin_inset Formula $u_{i}=\frac{d\psi_{s}}{dt}=\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\omega\psi_{pm}e^{j\vartheta}$
\end_inset

 a z něj využijeme pouze složku bez derivace proudu, protože ta slouží k
 tvorbě samotného magnetického pole stroje a nepodílí se na tvorbě výkonu,
 tedy 
\begin_inset Formula $\omega\psi_{pm}j(\cos\vartheta+j\sin\vartheta)$
\end_inset

.
 V systému 
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

 získáme vyjádření
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{\alpha} & = & -\omega\psi_{pm}\sin\vartheta,\\
u_{\beta} & = & \omega\psi_{pm}\cos\vartheta,\end{eqnarray*}

\end_inset

tedy po dosazení
\begin_inset Formula \[
P=k_{p}\left(-i_{\alpha}\omega\psi_{pm}\sin\vartheta+i_{\beta}\omega\psi_{pm}\cos\vartheta\right).\]

\end_inset

Moment 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 lze pak určit ze vztahu 
\begin_inset Formula $P=\omega_{m}T_{e}$
\end_inset

 a tedy
\begin_inset Formula \[
T_{e}=\frac{P}{\omega_{m}}=k_{p}\frac{i_{\beta}\omega\psi_{pm}\cos\vartheta-i_{\alpha}\omega\psi_{pm}\sin\vartheta}{\omega_{m}}=k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right),\]

\end_inset

kde jsme využili vztahu 
\begin_inset Formula $\frac{\omega}{\omega_{m}}=p_{p}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dosazení do rovnice pro momenty pak vede na tvar
\begin_inset Formula \[
k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.\]

\end_inset

Ještě je třeba upravit rovnici tak, aby v ní nevystupovaly mechanické otáčky
 
\begin_inset Formula $\omega_{m}$
\end_inset

, ale otáčky elektrické 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

.
 Toho je možno snadno dosáhnout násobením celé rovnice 
\begin_inset Formula $p_{p}$
\end_inset

.
 Rovnici ještě vydělíme momentem setrvačnosti 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 a získáme tvar
\begin_inset Formula \[
\frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{T_{L}p_{p}}{J}-\frac{B}{J}\omega.\]

\end_inset

Tedy máme poslední rovnici následující soustavy:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}}\\
\frac{di_{\beta}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}}\\
\frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\\
\frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Odvození rovnice pro 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 v 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 soustavě pro různé indukčnosti
\end_layout

\begin_layout Standard
Opět vyjdeme z analogických vztahů jako při předchozím odvození pro 
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

, tedy
\begin_inset Formula \[
T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt},\]

\end_inset

kde vyjádříme 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 ze vztahu
\begin_inset Formula \[
T_{e}=\frac{P}{\omega_{m}}.\]

\end_inset

Tedy transformujeme následující vyjádření pro výkond z 
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

 do 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
P & = & k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right),\\
P & = & k_{p}\left(\left(u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta\right)\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right)+\left(u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta\right)\left(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta\right)\right),\\
P & \text{=} & k_{p}\left(u_{d}i_{d}+u_{q}i_{q}\right).\end{eqnarray*}

\end_inset

Opět dosadíme za 
\begin_inset Formula $u_{dq}$
\end_inset

 složky indukovaného napětí bez derivace proudů
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{d} & = & -\omega L_{q}i_{q},\\
u_{q} & = & \omega L_{d}i_{d}+\omega\psi_{pm}.\end{eqnarray*}

\end_inset

To vede na
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
P & = & k_{p}\left(-\omega L_{q}i_{q}i_{d}+\left(\omega L_{d}i_{d}+\omega\psi_{pm}\right)i_{q}\right),\\
P & = & k_{p}\omega\left(i_{d}i_{q}\left(L_{d}-L_{q}\right)+\psi_{pm}i_{q}\right).\end{eqnarray*}

\end_inset

A po dosazení získáme vyjádření pro moment 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 ve tvaru
\begin_inset Formula \[
T_{e}=k_{p}p_{p}\left(i_{d}i_{q}\left(L_{d}-L_{q}\right)+\psi_{pm}i_{q}\right).\]

\end_inset

Rovnice 
\begin_inset Formula $T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}$
\end_inset

 pak po dosazení 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

, vydělení 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 a násobení 
\begin_inset Formula $p_{p}$
\end_inset

 přejde na tvar
\begin_inset Formula \[
\frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}.\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Diskretizace
\end_layout

\begin_layout Standard
Diskretizací pomocí Eulerovy metody s časovým krokem 
\begin_inset Formula $\Delta t$
\end_inset

 získáme následující diskrétní rovnice:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
i_{\alpha,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\alpha,t}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{u_{\alpha,t}}{L_{s}}\\
i_{\beta,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\beta,t}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+\frac{u_{\beta,t}}{L_{s}}\\
\omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t\\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Rotace do 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Převod do rotující souřadné soustavy 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 pootočené o úhel 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 a rotojící rychlostí 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

:
\begin_inset Formula \[
\left[\begin{array}{c}
x_{d}\\
x_{q}\end{array}\right]\text{=}\left[\begin{array}{cc}
\cos\vartheta & \sin\vartheta\\
-\sin\vartheta & \cos\vartheta\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x_{\alpha}\\
x_{\beta}\end{array}\right]\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
(nebo stejného efektu lze dosáhnout i použítím komplexních souřadnic a zápisem
 
\begin_inset Formula $x_{dq}=e^{j\vartheta}x_{\alpha\beta}$
\end_inset

, jako v odvození rovnic rovnou do tvaru v 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 souřadnicích)
\end_layout

\begin_layout Standard
následně tedy
\begin_inset Formula \begin{alignat*}{2}
i_{d} & = & i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta\\
i_{q} & = & i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\end{alignat*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
a analogicky pro 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

; naopak pro opačný směr transformace
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{alignat*}{2}
i_{\alpha} & = & i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\\
i_{\beta} & = & i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta\end{alignat*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
a opět anoalogicky pro 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

, což po dosazení do původních diferenciálních rovnic vede na
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{d(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta)}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta)+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta}{L_{s}}\\
\frac{d(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta)}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta)-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta}{L_{s}}\\
\frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{q}\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\\
\frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
ve třetí rovnici rovnou dosadíme 
\begin_inset Formula $i_{q}$
\end_inset

, čtvrtá se nemění a z prvních dvou vyjádříme rovnice pro proudy a napětí
 v 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

, například tak, že první rovnici násobíme 
\begin_inset Formula $\cos\vartheta$
\end_inset

 a sečteme s druhou násobenou 
\begin_inset Formula $\sin\vartheta$
\end_inset

, dále pak první rovnici násobenou 
\begin_inset Formula $-\sin\vartheta$
\end_inset

 sečteme s druhou násobenou 
\begin_inset Formula $\cos\vartheta$
\end_inset

, tento postup vede na rovnice
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{di_{d}}{dt}-i_{q}\omega & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}+\frac{u_{d}}{L_{s}}\\
\frac{di_{q}}{dt}+i_{d}\omega & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega+\frac{u_{q}}{L_{s}}\\
\frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q}-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\\
\frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
otázkou je co se členy 
\begin_inset Formula $-i_{q}\omega$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $i_{d}\omega$
\end_inset

 na levé straně první a druhé rovnice, protože když bychom nejdříve provedli
 diskretizaci a až následně převod do 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 souřadnic, tyto členy zřejmě nevzniknou, nevzniknou také, když soustavu
 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 definujeme ne jako pootočenou o 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

, ale jako soustavu pootočenou o nějaké konstantní 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, proto se bude vhodné 
\series bold
\shape italic
\color red
otestovat
\series default
\shape default
\color inherit
, jaký je vliv těchto členů
\end_layout

\begin_layout Standard
diskretizovaná verze rovnic v 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 je tedy
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
i_{d,t+1}+{\color{red}\left(-i_{q,t}\omega_{t}\right)} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{d,t}+\frac{u_{d,t}}{L_{s}}\\
i_{q,t+1}+{\color{red}\left(i_{d,t}\omega_{t}\right)} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{q,t}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{t}+\frac{u_{q,t}}{L_{s}}\\
\omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q,t}-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t\\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Problematika modelu
\end_layout

\begin_layout Standard
Dále budeme pracovat zpravidla převážně s rovnicemi odvozenými v předchozí
 části a skutečný stroj ustoupí do pozadí.
 Je však třeba mít na paměti, že za rovnicemi se skrývá fyzikální realita
 a mnoho jevů, které ji doprovází.
 Tyto jevy se totiž při aplikaci regulátoru na skutečném stroji projeví.
 Jedná se především o následující body:
\end_layout

\begin_layout Itemize
nepřesnost modelu -- chyby způsobené zanedbáním nejrůznějších fyzikálních
 vlivů a důsledky zjednodušujících předpokladů, například závislosti některých
 veličin na teplotě, sycení magnetických obvodů, obecně nekonstantní parametry
 stroje atd.
\end_layout

\begin_layout Itemize
nedokonalosti stroje -- žádný stroj nebude vyrobený přesně, aby odpovídal
 modelu, vyskytnou se různé nerovnosti, nesymetrie a podobně
\end_layout

\begin_layout Itemize
diskretizační a zaokrouhlovací chyby -- řízení je navrhováno pro digitální
 počítač a tedy dříve nebo později je třeba provést diskretizaci a kvantizaci
 všech zpracovávaných veličin
\end_layout

\begin_layout Itemize
chyby měření -- měřící přístroje a čidla, která získávají informace o motoru
 nejsou přesná, mají pouze určitou rozlišovací schopnost a také omezenou
 možnost předat informaci, zejména pokud se jedná o digitální zařízení
\end_layout

\begin_layout Itemize
napájecí zdroj -- zařízení, které dodává regulátorem požadované napětí do
 stroje není ideální, naopak odpovídá ideálním požadavkům zpravidla velmi
 špatně, využívá pulzní šířkové modulace (PWM), invertorů a často i střídačů;
 tyto zařízení pak přinášejí množství negativních efektů
\end_layout

\begin_layout Standard
Tyto jevy se velmi těžko popisují a jejich zachycení v modelu přináší mnoho
 komplikací.
 Většinu z nich ani nedokážeme popsat a předvídat.
 Proto se pokusíme co nejvíce z výše zmíněných problémů zahrnout pod pojem
 šum.
 Vzniká pak ale otázka, jak takový šum vhodně nastavit, aby alespoň přibližně
 odpovídal problematickým jevům.
 V rovnicích z předchozí části tedy budeme navíc ještě uvažovat jednoduchý
 model šumu a to aditivní bílý Gaussovský šum.
\end_layout

\begin_layout Section
Estimace stavových veličin
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Mechanické veličiny
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro řízení PMSM je důležité, že se jedná o synchronní stroj, kdy se rotor
 otáčí současně (synchronně) s točivým magnetickým polem vytvořeným cívkami
 statoru.
 Proto, když chceme navrhnout řízení takového stroje musíme nutně znát polohu
 rotoru 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

, a to s relativně velkou přesností.
 Dále, protože se v textu zaměřujeme na řízení rychlosti stroje (regulovanou
 veličinou jsou otáčky rotoru) potřebujeme znát i hodnotu otáček 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

.
 Problematika získání těchto hodnot se však ukazuje být netriviální.
 Obecně existuje několik přístupů, které budou detailněji rozebrány dále
 v textu.
\end_layout

\begin_layout Paragraph
Poznámka: 
\end_layout

\begin_layout Standard
Zmiňované veličiny 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 jsou svázány jdenoduchým diferenciálním vztahem 
\begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}=\omega$
\end_inset

.
 Při praktickém užití, kdy rovnice diskretizujeme, může být ale výpočet
 derivace popřípadě integrálu velmi nepřesný.
 Dáváme tedy přednost metodám estimace těchto veličin, které nám poskytují
 odhad obou.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Elektrické veličiny
\end_layout

\begin_layout Standard
Co se týče dalších (elektrických) stavových veličin systému, ve výše uvedených
 rovnicích vystupují ještě proudy 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 a napětí 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

.
 Proudy 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 předpokládáme, že měříme, samozřejmě jen s určitou přesností.
 Napětí 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 pak jsou vstupy, kterými řídíme systém.
 Ty navrhujeme a tedy je předpokládáme známé, je však třeba uvést, že řízením
 navržená napětí 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 nejdou přímo do motoru, ale slouží pouze jako referenční hodnoty pro napájecí
 zdroj.
 Kontrolu nad napětím na vstupu do motoru tedy nemáme.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Bezsenzorové řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Dále se v textu hovoří o 
\emph on
bezsenzorovém řízení
\emph default
.
 Pod tímto pojmem je vždy bezvýhradně myšleno řízení, které nevyužívá senzorů
 k měření mechanických veličin.
 Elektrické veličiny jsou měřeny vždy.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Přehled estimačních metod
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Senzory
\end_layout

\begin_layout Standard
Nejpřímočařejším přístupem pro určování mechanických veličin je osazení
 stroje senzory.
 Často se může jednat o pulzní snímače na principu vhodného kódu 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "novak2006"

\end_inset

.
 Další možností je využití Hallových senzorů 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PUK1"

\end_inset

.
 Využití senzorů přináší obecně mnoho nevýhod.
 Přidává do zařízení další části a tím zvyšuje jeho cenu i poruchovost.
 Je třeba řešit jeho připojení k motoru a vodiče pro sběr dat.
 Řízení využívající senzory je méně robustní a v případě selhání senzoru
 ztrácíme nad strojem kontrolu.
 To může být nežádoucí obvzláště, je-li motor využíván současně i jako brzda
 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PCW1"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Resolvery
\end_layout

\begin_layout Standard
malé motorky, možná disertačka nebo text a i nějakej článek asi přehledovej
\end_layout

\begin_layout Standard
stručně jak to funguje, proč je to špatný a proč třeba rovnou použít místo
 pomocnýho motoru hlavní motor
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
back-EMF
\end_layout

\begin_layout Standard
měření bemf a využití modelu, články co to řeší a vylepšujou, jaké to má
 problémy, hlavně při nízkých a nulových otáčkách, články
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
bEMF frekvenční
\end_layout

\begin_layout Standard
lepší bemf, na pomezí injektáží a frekvenčních metod, ale stejně jen zaobalené
 bemf, články
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Injektáže
\end_layout

\begin_layout Standard
založeny hlavně na nesymetriích různého původu, výrobní, magnetické, rozdíl
 induktancí, saturace, drážkování, vyšší harmonické a kdo ví co ještě, články
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Kombinace
\end_layout

\begin_layout Standard
hybridní modely, články
\end_layout

\begin_layout Standard
lze uvažovat i senzory s nízkým rozlišením, které slouží jako náhrada injektážní
 metody v hybridním modelu
\end_layout

\begin_layout Subsection*
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

amplitudové
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 metody
\end_layout

\begin_layout Standard
kalman, model, šum
\end_layout

\begin_layout Subsection*
frekvenční metody
\end_layout

\begin_layout Standard
injektáže, fázový závěs, dft?, lepší proti šumu
\end_layout

\begin_layout Standard
volba frekvence a amplitudy
\end_layout

\begin_layout Subsection*
problematika řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
(ne)jde oddělit, potřeba dobrého odhadu, řízení v 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 oprodi 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection*
řídící strategii 
\end_layout

\begin_layout Standard
návrh standartně PI (vektorové), nebo přes LQ
\end_layout

\begin_layout Subsection*
současný stav
\end_layout

\begin_layout Standard
nejlepší je hybridní, ale třeba přepínat více modelů, řízení PI
\end_layout

\begin_layout Subsection*
duální přístup
\end_layout

\begin_layout Standard
výhody duálního přístupu, proč se na to laicky hodí, problém s reálným časem,
 jednoduché metody
\end_layout

\begin_layout Subsection*
duální řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
stručně popis, proč jednoduché, jaké? - třeba filatov...
\end_layout

\begin_layout Subsection*
snaha o návrh
\end_layout

\begin_layout Standard
injektáž-závěs-klaman-lq
\end_layout

\begin_layout Subsection*
vyhodnoncení a simulace
\end_layout

\begin_layout Standard
možná něco vlastního v matlabu
\end_layout

\begin_layout Standard
závěry ze simulátoru
\end_layout

\begin_layout Standard
hlavně otestování toho 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

snaha o návrh
\begin_inset Quotes erd
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
podloženo simulacemi i z těch předchozích sekcí
\end_layout

\begin_layout Addchap
Závěr
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset bibtex
LatexCommand bibtex
bibfiles "vyz_clanky,vyz_texty"
options "bibtotoc,czechiso"

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document
