52 | | q_j(t+1) = q_j(t) + T \left( i_{j,0}(t) + \sum_{k \in I_j} \alpha_{k,j} S_k g_k^N \left( 1 - LC(t)^{-1} \right) - S_j g_j^N \left( 1 - LC(t)^{-1} \right) \right) |
53 | | \end{equation}. |
54 | | Pokud budeme podobně jako v \cite{6_tuc_lq} předpokládat existenci nominální délky cyklu $C^N$, při níž se |
55 | | nemění délka fronty, platíc( |
56 | | \begin{equation}\label{eq:my_trans_nom} |
57 | | 0 = T \left( i_{j,0}(t) + \sum_{k \in I_j} \alpha_{k,j} S_k g_k^N \left( 1 - LC^{N -1} \right) - S_j g_j^N \left( 1 - LC^{N -1} \right) \right) |
58 | | \end{equation}. Odečtením rovnice \ref{eq:my_trans_nom} od \ref{eq:my_trans_02} dostaneme |
59 | | \begin{equation}\label{eq:my_trans_03} |
60 | | q_j(t+1) = q_j(t) + T \left( - \sum_{k \in I_j} \alpha_{k,j} S_k g_k^N + S_j g_j^N \right) L \Delta C^{-1}(t) |
61 | | \end{equation}, kde $ \Delta C^{-1}(t) = C(t)^{-1} - C^{N -1}$. Pro ramena $j \in J_A$ náležící agentovi $A$ se |
62 | | tedy rovnice pro fronty dají zapsat maticově ve tvaru |
| 52 | q_j(t+1) = q_j(t) + T \left( i_{j,0}(t) + \sum_{k \in I_j} \alpha_{k,j} S_k g_k^N \left( 1 - LC(t)^{-1} \right) - S_j g_j^N \left( 1 - LC(t)^{-1} \right) \right) . |
| 53 | \end{equation} |
| 54 | |
| 55 | % Nebudeme delat trik s nominální hodnotou, ale pouzijeme u(t) = 1 - LC(t)^{-1} |
| 56 | % Pokud budeme podobně jako v \cite{6_tuc_lq} předpokládat existenci nominální délky cyklu $C^N$, při níž se |
| 57 | % nemění délka fronty, platíc( |
| 58 | % \begin{equation}\label{eq:my_trans_nom} |
| 59 | % 0 = T \left( i_{j,0}(t) + \sum_{k \in I_j} \alpha_{k,j} S_k g_k^N \left( 1 - LC^{N -1} \right) - S_j g_j^N \left( 1 - LC^{N -1} \right) \right) |
| 60 | % \end{equation}. Odečtením rovnice \ref{eq:my_trans_nom} od \ref{eq:my_trans_02} dostaneme |
| 61 | % \begin{equation}\label{eq:my_trans_03} |
| 62 | % q_j(t+1) = q_j(t) + T \left( - \sum_{k \in I_j} \alpha_{k,j} S_k g_k^N + S_j g_j^N \right) L \Delta C^{-1}(t) |
| 63 | % \end{equation}, kde $ \Delta C^{-1}(t) = C(t)^{-1} - C^{N -1}$. Pro ramena $j \in J_A$ náležící agentovi $A$ se |
| 64 | % tedy rovnice pro fronty dají zapsat maticově ve tvaru |
| 65 | % \begin{equation}\label{eq:my_trans_mat} |
| 66 | % \vec{q}(t+1) = A \vec{q}(t) + B \Delta C^{-1}(t) |
| 67 | % \end{equation} |
| 68 | |
| 69 | Za řídící proměnnou tedy vezmeme |
| 70 | \begin{equation} |
| 71 | u(t) = 1 - LC(t)^{-1} . |
| 72 | \end{equation} |
| 73 | takže můžeme rovnici \ref{eq:my_trans_02} přepsat do maticové formy |
144 | | . Pokud budeme podobně jako v rovnici \ref{eq:my_trans_nom} uvažovat nominální $C^N$, pro které se $q(t+1)$ rovná $q(t)$, |
145 | | dostaneme dosazením $\Delta C^{-1}(t) = C(t)^{-1} - C^{N -1} $ do \ref{eq:my_trans_mod_tok_03} rovnici |
146 | | |
147 | | \begin{equation}\label{eq:my_trans_mod_tok_04} |
148 | | \begin{array}{ccc} |
149 | | q_j(t+1) &= q_j(t) +& L \left( \delta_j g_j^N q_j(t) - \sum_{k \in I_j} \alpha_{k,j} \delta_k g_k^N q_k(t) \right) C(t)^{-1} +\\ |
150 | | & & + L T \left( \delta_j i_{0,j} g_j^N - \sum_{k \in I_j} \alpha_{k,j} \delta_k i_{0,k} g_k^N \right) C(t)^{-1} |
151 | | \end{array} |
152 | | \end{equation} |
| 161 | % . Pokud budeme podobně jako v rovnici \ref{eq:my_trans_nom} uvažovat nominální $C^N$, pro které se $q(t+1)$ rovná $q(t)$, |
| 162 | % dostaneme dosazením $\Delta C^{-1}(t) = C(t)^{-1} - C^{N -1} $ do \ref{eq:my_trans_mod_tok_03} rovnici |
| 163 | % |
| 164 | % \begin{equation}\label{eq:my_trans_mod_tok_04} |
| 165 | % \begin{array}{ccc} |
| 166 | % q_j(t+1) &= q_j(t) +& L \left( \delta_j g_j^N q_j(t) - \sum_{k \in I_j} \alpha_{k,j} \delta_k g_k^N q_k(t) \right) C(t)^{-1} +\\ |
| 167 | % & & + L T \left( \delta_j i_{0,j} g_j^N - \sum_{k \in I_j} \alpha_{k,j} \delta_k i_{0,k} g_k^N \right) C(t)^{-1} |
| 168 | % \end{array} |
| 169 | % \end{equation} |
169 | | \begin{equation} |
170 | | q(t+1) = Aq(t) + Bq(t) |
171 | | \end{equation} a budeme minimalizovat pro jednotlivá $t$ podle $\Delta C(t)$. |
172 | | $\Delta C(h)$ se v kritériu vyskytuje pouze jako člen |
173 | | \begin{equation} |
174 | | \Delta C(h)^T R \Delta C(h) |
175 | | \end{equation} |
176 | | a tedy musí být $\Delta C(h) 0$. $\Delta C(h - 1)$ se vyskytuje ve tvaru |
177 | | \begin{equation} |
178 | | \Delta C(h - 1)^T R \Delta C(h - 1) + (q(h - 1)^T A^T + \Delta C(h - 1)^T B^T ) Q ( A q(h - 1) + B \Delta C(h - 1)) |
| 186 | \begin{equation}\label{eq:prechod} |
| 187 | q(t+1) = Aq(t) + Bu(t) + I_0(t) |
| 188 | \end{equation} |
| 189 | a budeme minimalizovat pro jednotlivá $t$ podle $u(t)$. |
| 190 | Matici $I_0(t)$, která vyjadřuje příjezd vozidel z okolí do sledované sítě, |
| 191 | budeme v rámci minimalizačního horizontu považovat za konstantu značenou $I_0$. |
| 192 | $u(h)$ se v kritériu vyskytuje pouze jako člen |
| 193 | \begin{equation} |
| 194 | u(h)^T Ru(h) |
| 195 | \end{equation} |
| 196 | a tedy musí být $u(h) = 0$. $u(h - 1)$ se vyskytuje ve členech |
| 197 | \begin{equation} |
| 198 | u(h - 1)^T Ru(h - 1) + (q(h - 1)^T A^T +u(h - 1)^T B^T ) Q ( A q(h - 1) + B u(h - 1) + I_0) |
182 | | (\Delta C(h-1)^T, q(h - 1)^T ) |
183 | | \left( \begin{array}{cc} |
| 202 | (u(h-1)^T, q(h - 1)^T ) |
| 203 | \left( \begin{array}{cc} |
| 204 | B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T \\ |
| 205 | A^T \sqrt{Q}^T & 0 |
| 206 | \end{array} |
| 207 | \right) |
| 208 | \left( \begin{array}{cc} |
| 209 | \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
| 210 | \sqrt{R} & 0 |
| 211 | \end{array} |
| 212 | \right) |
| 213 | \left( \begin{array}{c} |
| 214 | u(h-1) \\ |
| 215 | q(h - 1) |
| 216 | \end{array} |
| 217 | \right) |
| 218 | \end{equation}, kde symbolem $\sqrt{Q}$ myslíme matici, pro níž platí $\sqrt{Q}^T \sqrt{Q} = Q$. |
| 219 | Matice $Q$ a $R$ jsou pozitivně definitní diagonální matice, takže $\sqrt{Q}$ bude také |
| 220 | pozitivně definitní diagonální a její diagonální prvky budou rovny odmocnině |
| 221 | příslušných prvků původní matice $Q$. |
| 222 | Složenou matici |
| 223 | \begin{equation} |
| 224 | M_0 = \left( \begin{array}{cc} |
| 228 | \right) |
| 229 | \end{equation} |
| 230 | můžeme pomocí QR dekompozice na součin |
| 231 | |
| 232 | \begin{equation} |
| 233 | M_0 = M_R M_Q , |
| 234 | \end{equation} |
| 235 | kde $M_Q$ je horní trojůhelníková matice a $M_R$ je matice ortonormální. |
| 236 | Pro ortonormální matici $M_R$ platí |
| 237 | \begin{equation} |
| 238 | M_R^T M_R = I , |
| 239 | \end{equation} |
| 240 | neboť její zloupce jsou vzájemně ortogonální a normované na jednotku. |
| 241 | Z toho plyne, že součin matic $M_0^T M_0$, vyskytující se ve vztahu |
| 242 | |
| 243 | Člen \ref{eq:J_sloz} poté přejde na tvar |
| 244 | \begin{equation} |
| 245 | (\Delta C(h-1)^T, q(h - 1)^T ) |
| 246 | \left( \begin{array}{cc} |
| 247 | L_q^T & 0 \\ |
| 248 | L^T & L_u^T |
| 249 | \end{array} |
198 | | \end{equation}, kde $\sqrt{Q}$ je matice, pro níž platí $\sqrt{Q} \sqrt{Q} = Q$. |
199 | | Složenou matici |
200 | | \begin{equation} |
201 | | |
202 | | \left( \begin{array}{cc} |
203 | | B^T \sqrt{Q} & \sqrt{R} \\ |
204 | | A^T \sqrt{Q} & 0 |
205 | | \end{array} |
206 | | \right) |
207 | | \left( \begin{array}{cc} |
208 | | \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
209 | | \sqrt{R} & 0 |
210 | | \end{array} |
211 | | \right) = |
212 | | \left( \begin{array}{cc} |
213 | | B^T Q B + R & B^T Q A \\ |
214 | | A^T Q B & A^T Q A |
215 | | \end{array} |
216 | | \right) |
217 | | \end{equation} |
218 | | můžeme pomocí Choleského dekompozici na součin dolní a horní trojúhelníkové matice. |
219 | | Rovnice |
220 | | |
| 261 | \end{equation}, který můžeme dále upravit na |
| 262 | \begin{equation} |
| 263 | ( L_u u(h-1) + L_q q(h-1) )^T ( L_uu(h-1) + L_q q(h-1) ) + q(h-1)^T L_q^T L_q q(h-1) |
| 264 | \end{equation}. Pokud tento člen chceme minimalizovat v proměnné $q(h-1)$, musí nutně platit |
| 265 | \begin{equation} |
| 266 | u(h-1) = - L_u^{-1} L q(h-1) |
| 267 | \end{equation}. Zbývající nenulová část $q(h-1)^T L_q^T L_q q(h-1) $ lze přepsat pomocí rovnice \ref{eq:prechod} do tvaru |
| 268 | \begin{equation} |
| 269 | q(h-1)^T L_q^T L_q q(h-1) = ( A q(h-2) + B u(h-2) )^T L_q^T L_q ( A q(h-2) + B u(h-2) ) |
| 270 | \end{equation}, kde se vyskytuje $u(t)$ pouze pro $t = h-2$. Minimalizace přes |
| 271 | $u(h-2)$ bude probíhat analogicky, pouze se matice $Q$ nahradí maticí |
| 272 | \begin{equation} |
| 273 | \widetilde{Q} = Q + L_q^T L_q |
| 274 | \end{equation}, která zahrnuje zbytek po členu s $u(h-1)$. |
| 275 | Pro další $u(t)$ se pouze upraví matice $\widetilde{Q}$ výše popsaným způsoen a minimalizace již probíhá stejně.\\ |