| 36 | | \subsection{Použití LQ řízení ve strategii TUC} |
| 37 | | LQ řízení bylo použito v \cite{6_tuc_lq} k nalezení optimální délky zelených v systému |
| 38 | | 13-ti signálních skupin. Proměnné $x_i(t)$ zde představují obsazenost ramene $i$ |
| 39 | | spojující křižovatky $M$ a $N$. Účelem strategie je nalezení optimální délky zelených |
| 40 | | $g$, $g_{N,i}$ značí délku zelené na signální skupiny křižovatky $N$ zprůjezdňující |
| 41 | | směr do ramene $i$. Předpokládaný vztah pro přechod systému z času $t$ do času $t+1$ je |
| 42 | | \begin{equation}\label{eq_tuc_1} |
| 43 | | x_i(t+1) = x_i(t) + T [ q_i(t) + s_i(t) + d_i(t) + u_i(t) ] \;, |
| 44 | | \end{equation} kde proměnné značí: |
| 45 | | |
| 46 | | \begin{itemize} |
| 47 | | \item $T$ - časový krok |
| 48 | | \item $q_i(t)$ - přírůstek vozidel z křižovatek |
| 49 | | \item $u_i(t)$ - úbytek vozidel do ostatních křižovatek |
| 50 | | \item $s_i(t)$ - přírůstek vozidel z okolí sítě |
| 51 | | \item $d_i(t)$ - úbytek vozidel mimo síť |
| 52 | | \end{itemize} |
| 53 | | |
| 54 | | Přírůstek vozidel z křižovatek je dán vztahem |
| 55 | | \begin{equation} |
| 56 | | q_i(t) = \sum_{k\in I_m} t_{k,i} u_k(t) \;, |
| 57 | | \end{equation} |
| 58 | | je to tedy součet úbytků vozidel z ramen ústících do křižovatky $N$ vynásobených |
| 59 | | koeficinety $t_{k,i}$, což jsou odbočovací poměry z ramene $k$ do ramene $i$. |
| 60 | | V podovném tvaru se předpokládá $s_i(t)$ |
| 61 | | \begin{equation} |
| 62 | | s_i(t) = t_{i,0} q_i(t) \;, |
| 63 | | \end{equation} |
| 64 | | kde $t_{i,0}$ je odbočovací koeficient ramene $i$ mimo sledovanou síť. |
| 65 | | Při délce cyklu $C$, saturovaném toku $S_i$ a délce zelených $g_{N,i}(t)$ ramene $i$ platí |
| 66 | | \begin{equation} \label{eq:tuc_u} |
| 67 | | u_i(t) = \frac{S_i \sum g_{N,i}(t)}{C} |
| 68 | | \end{equation}. |
| 69 | | Rovnice \ref{eq_tuc_1} tedy přechází do tvaru |
| 70 | | \begin{equation}\label{eq_tuc_2} |
| 71 | | x_i(t+1) = x_i(t) + T \left[ |
| 72 | | (1-t_{i,0}) \sum_{k\in I_m} t_{k,i} \frac{S_k \sum g_{M,k}(t)}{C} |
| 73 | | - \frac{S_i \sum g_{N,i}(t)}{C} |
| 74 | | + d_i(t) \right] |
| 75 | | \end{equation}. Uvažujeme-li nominální hodnoty $d^n$ a $g^n$ vedoucí |
| 76 | | vždy na stav $x^n$, platí podle rovnice \ref{eq_tuc_2} |
| 77 | | \begin{equation}\label{eq_tuc_nom} |
| 78 | | 0 = T \left[ |
| 79 | | (1-t_{i,0}) \sum_{k\in I_m} t_{k,i} \frac{S_k \sum g_{M,k}^n}{C} |
| 80 | | - \frac{S_i \sum g_{N,i}^n}{C} |
| 81 | | + d_i^n \right] |
| 82 | | \end{equation}. Označíme-li |
| 83 | | \begin{equation}\label{eq_delta_g} |
| 84 | | \Delta g(t) = g(t) - g^n |
| 85 | | \end{equation}, můžeme psát rovnici \ref{eq_tuc_2} jako |
| 86 | | \begin{equation}\label{eq_tuc_3} |
| 87 | | x_i(t+1) = x_i(t) + T \left[ |
| 88 | | (1-t_{i,0}) \sum_{k\in I_m} t_{k,i} \frac{S_k \sum \Delta g_{M,k}(t)}{C} |
| 89 | | - \frac{S_i \sum \Delta g_{N,i}(t)}{C} |
| 90 | | \right] |
| 91 | | \end{equation}, což dovoluje tuto rovnici zapsat pomocí matic v požadovaném tvaru |
| 92 | | \begin{equation}\label{eq_tuc_4} |
| 93 | | x(t+1) = A x(t) + B \Delta g(t) |
| 94 | | \end{equation}, kde $A$ je jednotková matice. |
| 95 | | |
| 96 | | \subsubsection{Kvadratické kritérium} |
| 97 | | Účelem lagoritmu je minimalizovat obsazenost ramen, tedy vektor $x(t)$ |
| 98 | | a penalizovat změnu délky trvání zelené oproti nominálním hodnotám. |
| 99 | | Kvadratické kritérium optimálního řízení \ref{eq_quadratic_criterion} jetedy v \cite{6_tuc_lq} |
| 100 | | definováno vztahem |
| 101 | | \begin{equation}\label{eq_tuc_crit} |
| 102 | | J = \sum_{t=0}^{\infty} x(t)^T Q x(t) + \Delta g(t)^T R \Delta g(t) |
| 103 | | \end{equation}. Diagonální matice $Q$ je zde zodpovědná za vyvažování |
| 104 | | počtu vozidel jednotlivých úseků. V \cite{6_tuc_lq} je každý diagonální |
| 105 | | prvek $Q_{i,i}$ matice $Q$ položen převrácené hodnotě maximálního |
| 106 | | povoleného počtu vozidel daného úseku $i$. $R = rI$ penalizuje změnu |
| 107 | | časů zelených. Parametr $r$ ovlivňuje míru reakce systému a ja volen metodu pokus-oprava. |
| 108 | | Minimalizací tohoto kritéria pomcí \ref{eq_riccati} získáme zpětnovazebnou matici $L$, |
| 109 | | která určuje $g(t)$. Z rovnic \ref{eq_lq_feedback} a \ref{eq_delta_g} dostaneme výsledný vztah |
| 110 | | \begin{equation}\label{eq_tuc_feedback} |
| 111 | | g(t) = g^n - L x(t) |
| 112 | | \end{equation}. Toto řešení předpokládá, že známe hodnotu $g^n$, při které systém |
| 113 | | zůstává ve stavu $x^n$. Tak tomu ale většinou není. Při absenci znalosti $g^n$ |
| 114 | | podle \cite{6_tuc_lq} odečteme $g(t) - g(t-1)$ a rovnice \ref{eq_tuc_feedback} nabývá tvaru |
| 115 | | \begin{equation}\label{eq_tuc_feedback_2} |
| 116 | | g(t) = g(t-1) - L( x(t) - x(t-1) ) |
| 117 | | \end{equation}. |
