30 | | kde chybí konstantní člen. |
31 | | |
32 | | Kvadratické kritérium ve tvaru |
33 | | \begin{equation}\label{eq:J} |
34 | | J = \sum_{t=0}^h x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t) \;, |
35 | | \end{equation} |
36 | | kde $Q$ a $R$ jsou diagonální pozitivně definitní matice vah, |
37 | | rozepíšeme pomocí vztahu \ref{eq:prechod_mat_po_subs} |
38 | | a budeme minimalizovat pro jednotlivá $t$ podle $u(t)$. |
39 | | Proměnná $u(h)$ se v kritériu vyskytuje pouze ve členu |
40 | | \begin{equation} |
41 | | u(h)^T Ru(h) |
42 | | \end{equation} |
43 | | a tedy musí být $u(h) = 0$. $u(h - 1)$ se vyskytuje ve členech |
44 | | \begin{equation} |
45 | | u(h - 1)^T Ru(h - 1) + (x(h - 1)^T A^T +u(h - 1)^T B^T ) Q ( A x(h - 1) + B u(h - 1) + I_0) \;, |
46 | | \end{equation} |
47 | | což lze pomocí složených vektorů a matic přepsat do tvaru |
48 | | \begin{equation} \label{eq:J_sloz} |
49 | | (u(h-1)^T, x(h - 1)^T ) |
50 | | \left( \begin{array}{cc} |
51 | | B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T \\ |
52 | | A^T \sqrt{Q}^T & 0 |
53 | | \end{array} |
54 | | \right) |
55 | | \left( \begin{array}{cc} |
56 | | \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
57 | | \sqrt{R} & 0 |
58 | | \end{array} |
59 | | \right) |
60 | | \left( \begin{array}{c} |
61 | | u(h-1) \\ |
62 | | x(h - 1) |
63 | | \end{array} |
64 | | \right) \;, |
65 | | \end{equation} |
66 | | kde symbolem $\sqrt{Q}$ myslíme matici, pro níž platí $\sqrt{Q}^T \sqrt{Q} = Q$. |
67 | | Matice $Q$ a $R$ jsou pozitivně definitní diagonální matice, takže $\sqrt{Q}$ bude také |
68 | | pozitivně definitní diagonální a její diagonální prvky budou rovny odmocnině |
69 | | příslušných prvků původní matice $Q$. |
70 | | Složenou matici |
71 | | \begin{equation} |
72 | | M_0 = \left( \begin{array}{cc} |
73 | | \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
74 | | \sqrt{R} & 0 |
75 | | \end{array} |
76 | | \right) |
77 | | \end{equation} |
78 | | můžeme pomocí QR dekompozice rozložit na součin |
79 | | |
80 | | \begin{equation} |
81 | | M_0 = M_R M_Q , |
82 | | \end{equation} |
83 | | kde $M_Q$ je horní trojůhelníková matice a $M_R$ je matice ortonormální. |
84 | | Pro ortonormální matici $M_R$ platí |
85 | | \begin{equation} |
86 | | M_R^T M_R = I \;, |
87 | | \end{equation} |
88 | | neboť její zloupce jsou vzájemně ortogonální a normované na jednotku. |
89 | | Z toho plyne, že součin matic $M_0^T M_0$ vyskytující se v členu \ref{eq:J_sloz} |
90 | | můžeme pomocí QR rozlkladu převést na tvar |
91 | | \begin{equation} |
92 | | M_0^T M_0 = ( M_R M_Q )^T M_R M_Q = M_Q^T M_R^T M_R M_Q = M_Q^T M_Q \;, |
93 | | \end{equation} |
94 | | kde |
95 | | \begin{equation} |
96 | | M_Q = \left( \begin{array}{cc} |
97 | | L_u & L \\ |
98 | | 0 & L_q |
99 | | \end{array} |
100 | | \right) \;, |
101 | | \end{equation} |
102 | | je horní trojůhelníková matice. |
103 | | Člen \ref{eq:J_sloz} poté přejde na tvar |
104 | | \begin{equation} |
105 | | (\Delta C(h-1)^T, x(h - 1)^T ) |
106 | | \left( \begin{array}{cc} |
107 | | L_q^T & 0 \\ |
108 | | L^T & L_u^T |
109 | | \end{array} |
110 | | \right) |
111 | | \left( \begin{array}{cc} |
112 | | L_u & L \\ |
113 | | 0 & L_q |
114 | | \end{array} |
115 | | \right) |
116 | | \left( \begin{array}{c} |
117 | | u(h-1) \\ |
118 | | x(h - 1) |
119 | | \end{array} |
120 | | \right) \;, |
121 | | \end{equation} |
122 | | který můžeme dále upravit na |
123 | | \begin{equation} |
124 | | ( L_u u(h-1) + L_q x(h-1) )^T ( L_uu(h-1) + L_q x(h-1) ) + x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) |
125 | | \end{equation}. Pokud tento člen chceme minimalizovat v proměnné $x(h-1)$, musí nutně platit |
126 | | \begin{equation} |
127 | | u(h-1) = - L_u^{-1} L x(h-1) |
128 | | \end{equation}. Zbývající nenulová část $x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) $ lze přepsat pomocí rovnice \ref{eq:prechod} do tvaru |
129 | | \begin{equation} |
130 | | x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) = ( A x(h-2) + B u(h-2) )^T L_q^T L_q ( A x(h-2) + B u(h-2) ) \;, |
131 | | \end{equation} |
132 | | kde se vyskytuje $u(t)$ pouze pro $t = h-2$. |
133 | | Při minimalizaci podle $u(h-2)$ musíme zahrnout i tuto část, člen ve složeném maticovém zápisu |
134 | | tudíž nabyde tvaru |
135 | | \begin{equation} |
136 | | (u(h-2)^T, x(h-2)^T ) |
137 | | \left( \begin{array}{ccc} |
138 | | B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T & L_x A \\ |
139 | | A^T \sqrt{Q}^T & 0 & L_x B |
140 | | \end{array} |
141 | | \right) |
142 | | \left( \begin{array}{cc} |
143 | | \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
144 | | \sqrt{R} & 0 \\ |
145 | | L_x A & L_x B |
146 | | \end{array} |
147 | | \right) |
148 | | \left( \begin{array}{c} |
149 | | u(h-2) \\ |
150 | | x(h-2) |
151 | | \end{array} |
152 | | \right) \;. |
153 | | \end{equation} |
154 | | Matici |
155 | | \begin{equation} |
156 | | M = \left( \begin{array}{cc} |
157 | | \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
158 | | \sqrt{R} & 0 \\ |
159 | | L_x A & L_x B |
160 | | \end{array} |
161 | | \right) = \left( \begin{array}{c} |
162 | | M_0 \\ |
163 | | L_x A \; L_x B |
164 | | \end{array} |
165 | | \right) |
166 | | \end{equation} |
167 | | opět převedeme QR dekompozicí do horního trojůhelníkového tvaru a dostaneme vztah pro $u(h-2)$. |
168 | | Tento postup se analogicky aplikuje na každé $u(t)$. Matice $M_0$ je stále stjná, $L_x$ použijeme z předchozího kroku minimalizace. |
169 | | |
170 | | \subsubsection{Implementace minimalizace} |
| 30 | kde chybí konstantní člen. Poté již můžeme použít metodu popsanou v kapitole \ref{sec:minim} |
| 31 | |
| 32 | % Kvadratické kritérium ve tvaru |
| 33 | % \begin{equation}\label{eq:J} |
| 34 | % J = \sum_{t=0}^h x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t) \;, |
| 35 | % \end{equation} |
| 36 | % kde $Q$ a $R$ jsou diagonální pozitivně definitní matice vah, |
| 37 | % rozepíšeme pomocí vztahu \ref{eq:prechod_mat_po_subs} |
| 38 | % a budeme minimalizovat pro jednotlivá $t$ podle $u(t)$. |
| 39 | % Proměnná $u(h)$ se v kritériu vyskytuje pouze ve členu |
| 40 | % \begin{equation} |
| 41 | % u(h)^T Ru(h) |
| 42 | % \end{equation} |
| 43 | % a tedy musí být $u(h) = 0$. $u(h - 1)$ se vyskytuje ve členech |
| 44 | % \begin{equation} |
| 45 | % u(h - 1)^T Ru(h - 1) + (x(h - 1)^T A^T +u(h - 1)^T B^T ) Q ( A x(h - 1) + B u(h - 1) + I_0) \;, |
| 46 | % \end{equation} |
| 47 | % což lze pomocí složených vektorů a matic přepsat do tvaru |
| 48 | % \begin{equation} \label{eq:J_sloz} |
| 49 | % (u(h-1)^T, x(h - 1)^T ) |
| 50 | % \left( \begin{array}{cc} |
| 51 | % B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T \\ |
| 52 | % A^T \sqrt{Q}^T & 0 |
| 53 | % \end{array} |
| 54 | % \right) |
| 55 | % \left( \begin{array}{cc} |
| 56 | % \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
| 57 | % \sqrt{R} & 0 |
| 58 | % \end{array} |
| 59 | % \right) |
| 60 | % \left( \begin{array}{c} |
| 61 | % u(h-1) \\ |
| 62 | % x(h - 1) |
| 63 | % \end{array} |
| 64 | % \right) \;, |
| 65 | % \end{equation} |
| 66 | % kde symbolem $\sqrt{Q}$ myslíme matici, pro níž platí $\sqrt{Q}^T \sqrt{Q} = Q$. |
| 67 | % Matice $Q$ a $R$ jsou pozitivně definitní diagonální matice, takže $\sqrt{Q}$ bude také |
| 68 | % pozitivně definitní diagonální a její diagonální prvky budou rovny odmocnině |
| 69 | % příslušných prvků původní matice $Q$. |
| 70 | % Složenou matici |
| 71 | % \begin{equation} |
| 72 | % M_0 = \left( \begin{array}{cc} |
| 73 | % \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
| 74 | % \sqrt{R} & 0 |
| 75 | % \end{array} |
| 76 | % \right) |
| 77 | % \end{equation} |
| 78 | % můžeme pomocí QR dekompozice rozložit na součin |
| 79 | % |
| 80 | % \begin{equation} |
| 81 | % M_0 = M_R M_Q , |
| 82 | % \end{equation} |
| 83 | % kde $M_Q$ je horní trojůhelníková matice a $M_R$ je matice ortonormální. |
| 84 | % Pro ortonormální matici $M_R$ platí |
| 85 | % \begin{equation} |
| 86 | % M_R^T M_R = I \;, |
| 87 | % \end{equation} |
| 88 | % neboť její zloupce jsou vzájemně ortogonální a normované na jednotku. |
| 89 | % Z toho plyne, že součin matic $M_0^T M_0$ vyskytující se v členu \ref{eq:J_sloz} |
| 90 | % můžeme pomocí QR rozlkladu převést na tvar |
| 91 | % \begin{equation} |
| 92 | % M_0^T M_0 = ( M_R M_Q )^T M_R M_Q = M_Q^T M_R^T M_R M_Q = M_Q^T M_Q \;, |
| 93 | % \end{equation} |
| 94 | % kde |
| 95 | % \begin{equation} |
| 96 | % M_Q = \left( \begin{array}{cc} |
| 97 | % L_u & L \\ |
| 98 | % 0 & L_q |
| 99 | % \end{array} |
| 100 | % \right) \;, |
| 101 | % \end{equation} |
| 102 | % je horní trojůhelníková matice. |
| 103 | % Člen \ref{eq:J_sloz} poté přejde na tvar |
| 104 | % \begin{equation} |
| 105 | % (\Delta C(h-1)^T, x(h - 1)^T ) |
| 106 | % \left( \begin{array}{cc} |
| 107 | % L_q^T & 0 \\ |
| 108 | % L^T & L_u^T |
| 109 | % \end{array} |
| 110 | % \right) |
| 111 | % \left( \begin{array}{cc} |
| 112 | % L_u & L \\ |
| 113 | % 0 & L_q |
| 114 | % \end{array} |
| 115 | % \right) |
| 116 | % \left( \begin{array}{c} |
| 117 | % u(h-1) \\ |
| 118 | % x(h - 1) |
| 119 | % \end{array} |
| 120 | % \right) \;, |
| 121 | % \end{equation} |
| 122 | % který můžeme dále upravit na |
| 123 | % \begin{equation} |
| 124 | % ( L_u u(h-1) + L_q x(h-1) )^T ( L_uu(h-1) + L_q x(h-1) ) + x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) |
| 125 | % \end{equation}. Pokud tento člen chceme minimalizovat v proměnné $x(h-1)$, musí nutně platit |
| 126 | % \begin{equation} |
| 127 | % u(h-1) = - L_u^{-1} L x(h-1) |
| 128 | % \end{equation}. Zbývající nenulová část $x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) $ lze přepsat pomocí rovnice \ref{eq:prechod} do tvaru |
| 129 | % \begin{equation} |
| 130 | % x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) = ( A x(h-2) + B u(h-2) )^T L_q^T L_q ( A x(h-2) + B u(h-2) ) \;, |
| 131 | % \end{equation} |
| 132 | % kde se vyskytuje $u(t)$ pouze pro $t = h-2$. |
| 133 | % Při minimalizaci podle $u(h-2)$ musíme zahrnout i tuto část, člen ve složeném maticovém zápisu |
| 134 | % tudíž nabyde tvaru |
| 135 | % \begin{equation} |
| 136 | % (u(h-2)^T, x(h-2)^T ) |
| 137 | % \left( \begin{array}{ccc} |
| 138 | % B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T & L_x A \\ |
| 139 | % A^T \sqrt{Q}^T & 0 & L_x B |
| 140 | % \end{array} |
| 141 | % \right) |
| 142 | % \left( \begin{array}{cc} |
| 143 | % \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
| 144 | % \sqrt{R} & 0 \\ |
| 145 | % L_x A & L_x B |
| 146 | % \end{array} |
| 147 | % \right) |
| 148 | % \left( \begin{array}{c} |
| 149 | % u(h-2) \\ |
| 150 | % x(h-2) |
| 151 | % \end{array} |
| 152 | % \right) \;. |
| 153 | % \end{equation} |
| 154 | % Matici |
| 155 | % \begin{equation} |
| 156 | % M = \left( \begin{array}{cc} |
| 157 | % \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ |
| 158 | % \sqrt{R} & 0 \\ |
| 159 | % L_x A & L_x B |
| 160 | % \end{array} |
| 161 | % \right) = \left( \begin{array}{c} |
| 162 | % M_0 \\ |
| 163 | % L_x A \; L_x B |
| 164 | % \end{array} |
| 165 | % \right) |
| 166 | % \end{equation} |
| 167 | % opět převedeme QR dekompozicí do horního trojůhelníkového tvaru a dostaneme vztah pro $u(h-2)$. |
| 168 | % Tento postup se analogicky aplikuje na každé $u(t)$. Matice $M_0$ je stále stjná, $L_x$ použijeme z předchozího kroku minimalizace. |
| 169 | |
| 170 | \subsubsection{Implementace minimalizace}sec:minim |