Show
Ignore:
Timestamp:
02/03/12 16:39:52 (14 years ago)
Author:
jabu
Message:

presunuti minimalizace do kapitoly o LQ rizeni

Files:
1 modified

Legend:

Unmodified
Added
Removed

  • applications/doprava/texty/novotny_vyzk_LQ/Implementation/Minimalization.tex

    r1427 r1429  
    2828 x(t+1) = Ax(t) + Bu(t) \;, 
    2929\end{equation} 
    30 kde chybí konstantní člen. 
    31  
    32 Kvadratické kritérium ve tvaru 
    33 \begin{equation}\label{eq:J} 
    34  J = \sum_{t=0}^h x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t) \;,   
    35 \end{equation} 
    36 kde $Q$ a $R$ jsou diagonální pozitivně definitní matice vah, 
    37 rozepíšeme pomocí vztahu \ref{eq:prechod_mat_po_subs} 
    38 a budeme minimalizovat pro jednotlivá $t$ podle $u(t)$. 
    39 Proměnná $u(h)$ se v kritériu vyskytuje pouze ve členu 
    40 \begin{equation} 
    41 u(h)^T Ru(h) 
    42 \end{equation} 
    43 a tedy musí být $u(h) = 0$. $u(h - 1)$ se vyskytuje ve členech 
    44 \begin{equation} 
    45  u(h - 1)^T Ru(h - 1) + (x(h - 1)^T A^T +u(h - 1)^T B^T ) Q ( A x(h - 1) + B u(h - 1) + I_0) \;, 
    46 \end{equation} 
    47 což lze pomocí složených vektorů a matic přepsat do tvaru 
    48 \begin{equation} \label{eq:J_sloz} 
    49  (u(h-1)^T, x(h - 1)^T )  
    50   \left( \begin{array}{cc} 
    51           B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T \\ 
    52           A^T \sqrt{Q}^T & 0 
    53           \end{array} 
    54   \right)   
    55   \left( \begin{array}{cc} 
    56            \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ 
    57           \sqrt{R} & 0 
    58           \end{array} 
    59   \right) 
    60   \left( \begin{array}{c} 
    61            u(h-1) \\ 
    62             x(h - 1) 
    63           \end{array} 
    64   \right) \;, 
    65 \end{equation} 
    66 kde symbolem $\sqrt{Q}$ myslíme matici, pro níž platí $\sqrt{Q}^T \sqrt{Q} = Q$. 
    67 Matice $Q$ a $R$ jsou pozitivně definitní diagonální matice, takže $\sqrt{Q}$ bude také 
    68 pozitivně definitní diagonální a její diagonální prvky budou rovny odmocnině 
    69 příslušných prvků původní matice $Q$. 
    70 Složenou matici 
    71 \begin{equation}   
    72   M_0 =  \left( \begin{array}{cc} 
    73            \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ 
    74           \sqrt{R} & 0 
    75           \end{array} 
    76   \right) 
    77 \end{equation} 
    78 můžeme pomocí QR dekompozice rozložit na součin  
    79  
    80 \begin{equation} 
    81  M_0 = M_R M_Q , 
    82 \end{equation} 
    83 kde $M_Q$ je horní trojůhelníková matice a $M_R$ je matice ortonormální. 
    84 Pro ortonormální matici $M_R$ platí 
    85 \begin{equation} 
    86  M_R^T M_R = I \;, 
    87 \end{equation} 
    88 neboť její zloupce jsou vzájemně ortogonální a normované na jednotku. 
    89 Z toho plyne, že součin matic $M_0^T M_0$ vyskytující se v členu \ref{eq:J_sloz} 
    90 můžeme pomocí QR rozlkladu převést na tvar 
    91 \begin{equation} 
    92  M_0^T M_0 = ( M_R M_Q )^T  M_R M_Q = M_Q^T M_R^T M_R M_Q = M_Q^T M_Q \;, 
    93 \end{equation} 
    94 kde 
    95 \begin{equation} 
    96  M_Q =  \left( \begin{array}{cc} 
    97           L_u & L \\ 
    98           0 & L_q 
    99           \end{array} 
    100   \right) \;, 
    101 \end{equation} 
    102 je horní trojůhelníková matice. 
    103 Člen \ref{eq:J_sloz} poté přejde na tvar 
    104 \begin{equation} 
    105  (\Delta C(h-1)^T, x(h - 1)^T )  
    106   \left( \begin{array}{cc} 
    107           L_q^T & 0 \\ 
    108           L^T & L_u^T 
    109           \end{array} 
    110   \right)   
    111   \left( \begin{array}{cc} 
    112           L_u & L \\ 
    113           0 & L_q 
    114           \end{array} 
    115   \right) 
    116   \left( \begin{array}{c} 
    117            u(h-1) \\ 
    118             x(h - 1) 
    119           \end{array} 
    120   \right) \;, 
    121 \end{equation} 
    122 který můžeme dále upravit na 
    123 \begin{equation} 
    124  ( L_u u(h-1) +  L_q x(h-1) )^T ( L_uu(h-1) +  L_q x(h-1) ) + x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1)  
    125 \end{equation}. Pokud tento člen chceme minimalizovat v proměnné $x(h-1)$, musí nutně platit 
    126 \begin{equation} 
    127 u(h-1) = - L_u^{-1} L x(h-1) 
    128 \end{equation}. Zbývající nenulová část $x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) $ lze přepsat pomocí rovnice \ref{eq:prechod} do tvaru  
    129 \begin{equation} 
    130  x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) = ( A x(h-2) + B u(h-2) )^T L_q^T L_q ( A x(h-2) + B u(h-2) ) \;, 
    131 \end{equation} 
    132 kde se vyskytuje $u(t)$ pouze pro $t = h-2$.  
    133 Při minimalizaci podle $u(h-2)$ musíme zahrnout i tuto část, člen ve složeném maticovém zápisu 
    134 tudíž nabyde tvaru 
    135 \begin{equation} 
    136  (u(h-2)^T, x(h-2)^T )  
    137   \left( \begin{array}{ccc} 
    138           B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T & L_x A \\ 
    139           A^T \sqrt{Q}^T & 0 & L_x B 
    140           \end{array} 
    141   \right)   
    142   \left( \begin{array}{cc} 
    143            \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ 
    144           \sqrt{R} & 0 \\ 
    145           L_x A & L_x B 
    146           \end{array} 
    147   \right) 
    148   \left( \begin{array}{c} 
    149            u(h-2) \\ 
    150             x(h-2) 
    151           \end{array} 
    152   \right) \;. 
    153 \end{equation} 
    154 Matici 
    155 \begin{equation} 
    156  M = \left( \begin{array}{cc} 
    157            \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ 
    158           \sqrt{R} & 0 \\ 
    159           L_x A & L_x B 
    160           \end{array} 
    161   \right) = \left( \begin{array}{c} 
    162            M_0  \\ 
    163           L_x A \; L_x B 
    164           \end{array} 
    165   \right) 
    166 \end{equation} 
    167 opět převedeme QR dekompozicí do horního trojůhelníkového tvaru a dostaneme vztah pro $u(h-2)$. 
    168 Tento postup se analogicky aplikuje na každé $u(t)$. Matice $M_0$ je stále stjná, $L_x$ použijeme z předchozího kroku minimalizace. 
    169  
    170 \subsubsection{Implementace minimalizace} 
     30kde chybí konstantní člen. Poté již můžeme použít metodu popsanou v kapitole \ref{sec:minim} 
     31 
     32% Kvadratické kritérium ve tvaru 
     33% \begin{equation}\label{eq:J} 
     34% J = \sum_{t=0}^h x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t) \;,   
     35% \end{equation} 
     36% kde $Q$ a $R$ jsou diagonální pozitivně definitní matice vah, 
     37% rozepíšeme pomocí vztahu \ref{eq:prechod_mat_po_subs} 
     38% a budeme minimalizovat pro jednotlivá $t$ podle $u(t)$. 
     39% Proměnná $u(h)$ se v kritériu vyskytuje pouze ve členu 
     40% \begin{equation} 
     41% u(h)^T Ru(h) 
     42% \end{equation} 
     43% a tedy musí být $u(h) = 0$. $u(h - 1)$ se vyskytuje ve členech 
     44% \begin{equation} 
     45% u(h - 1)^T Ru(h - 1) + (x(h - 1)^T A^T +u(h - 1)^T B^T ) Q ( A x(h - 1) + B u(h - 1) + I_0) \;, 
     46% \end{equation} 
     47% což lze pomocí složených vektorů a matic přepsat do tvaru 
     48% \begin{equation} \label{eq:J_sloz} 
     49% (u(h-1)^T, x(h - 1)^T )  
     50%   \left( \begin{array}{cc} 
     51%           B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T \\ 
     52%         A^T \sqrt{Q}^T & 0 
     53%         \end{array} 
     54%   \right)   
     55%   \left( \begin{array}{cc} 
     56%            \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ 
     57%         \sqrt{R} & 0 
     58%         \end{array} 
     59%   \right) 
     60%   \left( \begin{array}{c} 
     61%          u(h-1) \\ 
     62%           x(h - 1) 
     63%         \end{array} 
     64%   \right) \;, 
     65% \end{equation} 
     66% kde symbolem $\sqrt{Q}$ myslíme matici, pro níž platí $\sqrt{Q}^T \sqrt{Q} = Q$. 
     67% Matice $Q$ a $R$ jsou pozitivně definitní diagonální matice, takže $\sqrt{Q}$ bude také 
     68% pozitivně definitní diagonální a její diagonální prvky budou rovny odmocnině 
     69% příslušných prvků původní matice $Q$. 
     70% Složenou matici 
     71% \begin{equation}   
     72%   M_0 =  \left( \begin{array}{cc} 
     73%            \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ 
     74%         \sqrt{R} & 0 
     75%         \end{array} 
     76%   \right) 
     77% \end{equation} 
     78% můžeme pomocí QR dekompozice rozložit na součin  
     79%  
     80% \begin{equation} 
     81% M_0 = M_R M_Q , 
     82% \end{equation} 
     83% kde $M_Q$ je horní trojůhelníková matice a $M_R$ je matice ortonormální. 
     84% Pro ortonormální matici $M_R$ platí 
     85% \begin{equation} 
     86% M_R^T M_R = I \;, 
     87% \end{equation} 
     88% neboť její zloupce jsou vzájemně ortogonální a normované na jednotku. 
     89% Z toho plyne, že součin matic $M_0^T M_0$ vyskytující se v členu \ref{eq:J_sloz} 
     90% můžeme pomocí QR rozlkladu převést na tvar 
     91% \begin{equation} 
     92% M_0^T M_0 = ( M_R M_Q )^T  M_R M_Q = M_Q^T M_R^T M_R M_Q = M_Q^T M_Q \;, 
     93% \end{equation} 
     94% kde 
     95% \begin{equation} 
     96% M_Q =  \left( \begin{array}{cc} 
     97%           L_u & L \\ 
     98%         0 & L_q 
     99%         \end{array} 
     100%   \right) \;, 
     101% \end{equation} 
     102% je horní trojůhelníková matice. 
     103% Člen \ref{eq:J_sloz} poté přejde na tvar 
     104% \begin{equation} 
     105% (\Delta C(h-1)^T, x(h - 1)^T )  
     106%   \left( \begin{array}{cc} 
     107%           L_q^T & 0 \\ 
     108%         L^T & L_u^T 
     109%         \end{array} 
     110%   \right)   
     111%   \left( \begin{array}{cc} 
     112%           L_u & L \\ 
     113%         0 & L_q 
     114%         \end{array} 
     115%   \right) 
     116%   \left( \begin{array}{c} 
     117%          u(h-1) \\ 
     118%           x(h - 1) 
     119%         \end{array} 
     120%   \right) \;, 
     121% \end{equation} 
     122% který můžeme dále upravit na 
     123% \begin{equation} 
     124% ( L_u u(h-1) +  L_q x(h-1) )^T ( L_uu(h-1) +  L_q x(h-1) ) + x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1)  
     125% \end{equation}. Pokud tento člen chceme minimalizovat v proměnné $x(h-1)$, musí nutně platit 
     126% \begin{equation} 
     127% u(h-1) = - L_u^{-1} L x(h-1) 
     128% \end{equation}. Zbývající nenulová část $x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) $ lze přepsat pomocí rovnice \ref{eq:prechod} do tvaru  
     129% \begin{equation} 
     130% x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) = ( A x(h-2) + B u(h-2) )^T L_q^T L_q ( A x(h-2) + B u(h-2) ) \;, 
     131% \end{equation} 
     132% kde se vyskytuje $u(t)$ pouze pro $t = h-2$.  
     133% Při minimalizaci podle $u(h-2)$ musíme zahrnout i tuto část, člen ve složeném maticovém zápisu 
     134% tudíž nabyde tvaru 
     135% \begin{equation} 
     136% (u(h-2)^T, x(h-2)^T )  
     137%   \left( \begin{array}{ccc} 
     138%           B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T & L_x A \\ 
     139%         A^T \sqrt{Q}^T & 0 & L_x B 
     140%         \end{array} 
     141%   \right)   
     142%   \left( \begin{array}{cc} 
     143%            \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ 
     144%         \sqrt{R} & 0 \\ 
     145%         L_x A & L_x B 
     146%         \end{array} 
     147%   \right) 
     148%   \left( \begin{array}{c} 
     149%          u(h-2) \\ 
     150%           x(h-2) 
     151%         \end{array} 
     152%   \right) \;. 
     153% \end{equation} 
     154% Matici 
     155% \begin{equation} 
     156% M = \left( \begin{array}{cc} 
     157%            \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ 
     158%         \sqrt{R} & 0 \\ 
     159%         L_x A & L_x B 
     160%         \end{array} 
     161%   \right) = \left( \begin{array}{c} 
     162%            M_0  \\ 
     163%         L_x A \; L_x B 
     164%         \end{array} 
     165%   \right) 
     166% \end{equation} 
     167% opět převedeme QR dekompozicí do horního trojůhelníkového tvaru a dostaneme vztah pro $u(h-2)$. 
     168% Tento postup se analogicky aplikuje na každé $u(t)$. Matice $M_0$ je stále stjná, $L_x$ použijeme z předchozího kroku minimalizace. 
     169 
     170\subsubsection{Implementace minimalizace}sec:minim 
    171171 
    172172Minimaizace kvadratického kritéria je v simulaci prováděna metoduo \texttt{mat L( const int horizont )} ve třídě