Index: applications/doprava/texty/novotny_vyzk_LQ/Implementation/Minimalization.tex
===================================================================
--- applications/doprava/texty/novotny_vyzk_LQ/Implementation/Minimalization.tex (revision 1427)
+++ applications/doprava/texty/novotny_vyzk_LQ/Implementation/Minimalization.tex (revision 1429)
@@ -28,145 +28,145 @@
  x(t+1) = Ax(t) + Bu(t) \;,
 \end{equation}
-kde chybí konstantní člen.
-
-Kvadratické kritérium ve tvaru
-\begin{equation}\label{eq:J}
- J = \sum_{t=0}^h x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t) \;,  
-\end{equation}
-kde $Q$ a $R$ jsou diagonální pozitivně definitní matice vah,
-rozepíšeme pomocí vztahu \ref{eq:prechod_mat_po_subs}
-a budeme minimalizovat pro jednotlivá $t$ podle $u(t)$.
-Proměnná $u(h)$ se v kritériu vyskytuje pouze ve členu
-\begin{equation}
-u(h)^T Ru(h)
-\end{equation}
-a tedy musí být $u(h) = 0$. $u(h - 1)$ se vyskytuje ve členech
-\begin{equation}
- u(h - 1)^T Ru(h - 1) + (x(h - 1)^T A^T +u(h - 1)^T B^T ) Q ( A x(h - 1) + B u(h - 1) + I_0) \;,
-\end{equation}
-což lze pomocí složených vektorů a matic přepsat do tvaru
-\begin{equation} \label{eq:J_sloz}
- (u(h-1)^T, x(h - 1)^T ) 
-  \left( \begin{array}{cc}
-          B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T \\
-	  A^T \sqrt{Q}^T & 0
-	  \end{array}
-  \right)  
-  \left( \begin{array}{cc}
-           \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\
-	  \sqrt{R} & 0
-	  \end{array}
-  \right)
-  \left( \begin{array}{c}
-	   u(h-1) \\
-	    x(h - 1)
-	  \end{array}
-  \right) \;,
-\end{equation}
-kde symbolem $\sqrt{Q}$ myslíme matici, pro níž platí $\sqrt{Q}^T \sqrt{Q} = Q$.
-Matice $Q$ a $R$ jsou pozitivně definitní diagonální matice, takže $\sqrt{Q}$ bude také
-pozitivně definitní diagonální a její diagonální prvky budou rovny odmocnině
-příslušných prvků původní matice $Q$.
-Složenou matici
-\begin{equation}  
-  M_0 =  \left( \begin{array}{cc}
-           \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\
-	  \sqrt{R} & 0
-	  \end{array}
-  \right)
-\end{equation}
-můžeme pomocí QR dekompozice rozložit na součin 
-
-\begin{equation}
- M_0 = M_R M_Q ,
-\end{equation}
-kde $M_Q$ je horní trojůhelníková matice a $M_R$ je matice ortonormální.
-Pro ortonormální matici $M_R$ platí
-\begin{equation}
- M_R^T M_R = I \;,
-\end{equation}
-neboť její zloupce jsou vzájemně ortogonální a normované na jednotku.
-Z toho plyne, že součin matic $M_0^T M_0$ vyskytující se v členu \ref{eq:J_sloz}
-můžeme pomocí QR rozlkladu převést na tvar
-\begin{equation}
- M_0^T M_0 = ( M_R M_Q )^T  M_R M_Q = M_Q^T M_R^T M_R M_Q = M_Q^T M_Q \;,
-\end{equation}
-kde
-\begin{equation}
- M_Q =  \left( \begin{array}{cc}
-          L_u & L \\
-	  0 & L_q
-	  \end{array}
-  \right) \;,
-\end{equation}
-je horní trojůhelníková matice.
-Člen \ref{eq:J_sloz} poté přejde na tvar
-\begin{equation}
- (\Delta C(h-1)^T, x(h - 1)^T ) 
-  \left( \begin{array}{cc}
-          L_q^T & 0 \\
-	  L^T & L_u^T
-	  \end{array}
-  \right)  
-  \left( \begin{array}{cc}
-          L_u & L \\
-	  0 & L_q
-	  \end{array}
-  \right)
-  \left( \begin{array}{c}
-	   u(h-1) \\
-	    x(h - 1)
-	  \end{array}
-  \right) \;,
-\end{equation}
-který můžeme dále upravit na
-\begin{equation}
- ( L_u u(h-1) +  L_q x(h-1) )^T ( L_uu(h-1) +  L_q x(h-1) ) + x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) 
-\end{equation}. Pokud tento člen chceme minimalizovat v proměnné $x(h-1)$, musí nutně platit
-\begin{equation}
-u(h-1) = - L_u^{-1} L x(h-1)
-\end{equation}. Zbývající nenulová část $x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) $ lze přepsat pomocí rovnice \ref{eq:prechod} do tvaru 
-\begin{equation}
- x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) = ( A x(h-2) + B u(h-2) )^T L_q^T L_q ( A x(h-2) + B u(h-2) ) \;,
-\end{equation}
-kde se vyskytuje $u(t)$ pouze pro $t = h-2$. 
-Při minimalizaci podle $u(h-2)$ musíme zahrnout i tuto část, člen ve složeném maticovém zápisu
-tudíž nabyde tvaru
-\begin{equation}
- (u(h-2)^T, x(h-2)^T ) 
-  \left( \begin{array}{ccc}
-          B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T & L_x A \\
-	  A^T \sqrt{Q}^T & 0 & L_x B
-	  \end{array}
-  \right)  
-  \left( \begin{array}{cc}
-           \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\
-	  \sqrt{R} & 0 \\
-	  L_x A & L_x B
-	  \end{array}
-  \right)
-  \left( \begin{array}{c}
-	   u(h-2) \\
-	    x(h-2)
-	  \end{array}
-  \right) \;.
-\end{equation}
-Matici
-\begin{equation}
- M = \left( \begin{array}{cc}
-           \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\
-	  \sqrt{R} & 0 \\
-	  L_x A & L_x B
-	  \end{array}
-  \right) = \left( \begin{array}{c}
-           M_0  \\
-	  L_x A	\; L_x B
-	  \end{array}
-  \right)
-\end{equation}
-opět převedeme QR dekompozicí do horního trojůhelníkového tvaru a dostaneme vztah pro $u(h-2)$.
-Tento postup se analogicky aplikuje na každé $u(t)$. Matice $M_0$ je stále stjná, $L_x$ použijeme z předchozího kroku minimalizace.
-
-\subsubsection{Implementace minimalizace}
+kde chybí konstantní člen. Poté již můžeme použít metodu popsanou v kapitole \ref{sec:minim}
+
+% Kvadratické kritérium ve tvaru
+% \begin{equation}\label{eq:J}
+%  J = \sum_{t=0}^h x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t) \;,  
+% \end{equation}
+% kde $Q$ a $R$ jsou diagonální pozitivně definitní matice vah,
+% rozepíšeme pomocí vztahu \ref{eq:prechod_mat_po_subs}
+% a budeme minimalizovat pro jednotlivá $t$ podle $u(t)$.
+% Proměnná $u(h)$ se v kritériu vyskytuje pouze ve členu
+% \begin{equation}
+% u(h)^T Ru(h)
+% \end{equation}
+% a tedy musí být $u(h) = 0$. $u(h - 1)$ se vyskytuje ve členech
+% \begin{equation}
+%  u(h - 1)^T Ru(h - 1) + (x(h - 1)^T A^T +u(h - 1)^T B^T ) Q ( A x(h - 1) + B u(h - 1) + I_0) \;,
+% \end{equation}
+% což lze pomocí složených vektorů a matic přepsat do tvaru
+% \begin{equation} \label{eq:J_sloz}
+%  (u(h-1)^T, x(h - 1)^T ) 
+%   \left( \begin{array}{cc}
+%           B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T \\
+% 	  A^T \sqrt{Q}^T & 0
+% 	  \end{array}
+%   \right)  
+%   \left( \begin{array}{cc}
+%            \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\
+% 	  \sqrt{R} & 0
+% 	  \end{array}
+%   \right)
+%   \left( \begin{array}{c}
+% 	   u(h-1) \\
+% 	    x(h - 1)
+% 	  \end{array}
+%   \right) \;,
+% \end{equation}
+% kde symbolem $\sqrt{Q}$ myslíme matici, pro níž platí $\sqrt{Q}^T \sqrt{Q} = Q$.
+% Matice $Q$ a $R$ jsou pozitivně definitní diagonální matice, takže $\sqrt{Q}$ bude také
+% pozitivně definitní diagonální a její diagonální prvky budou rovny odmocnině
+% příslušných prvků původní matice $Q$.
+% Složenou matici
+% \begin{equation}  
+%   M_0 =  \left( \begin{array}{cc}
+%            \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\
+% 	  \sqrt{R} & 0
+% 	  \end{array}
+%   \right)
+% \end{equation}
+% můžeme pomocí QR dekompozice rozložit na součin 
+% 
+% \begin{equation}
+%  M_0 = M_R M_Q ,
+% \end{equation}
+% kde $M_Q$ je horní trojůhelníková matice a $M_R$ je matice ortonormální.
+% Pro ortonormální matici $M_R$ platí
+% \begin{equation}
+%  M_R^T M_R = I \;,
+% \end{equation}
+% neboť její zloupce jsou vzájemně ortogonální a normované na jednotku.
+% Z toho plyne, že součin matic $M_0^T M_0$ vyskytující se v členu \ref{eq:J_sloz}
+% můžeme pomocí QR rozlkladu převést na tvar
+% \begin{equation}
+%  M_0^T M_0 = ( M_R M_Q )^T  M_R M_Q = M_Q^T M_R^T M_R M_Q = M_Q^T M_Q \;,
+% \end{equation}
+% kde
+% \begin{equation}
+%  M_Q =  \left( \begin{array}{cc}
+%           L_u & L \\
+% 	  0 & L_q
+% 	  \end{array}
+%   \right) \;,
+% \end{equation}
+% je horní trojůhelníková matice.
+% Člen \ref{eq:J_sloz} poté přejde na tvar
+% \begin{equation}
+%  (\Delta C(h-1)^T, x(h - 1)^T ) 
+%   \left( \begin{array}{cc}
+%           L_q^T & 0 \\
+% 	  L^T & L_u^T
+% 	  \end{array}
+%   \right)  
+%   \left( \begin{array}{cc}
+%           L_u & L \\
+% 	  0 & L_q
+% 	  \end{array}
+%   \right)
+%   \left( \begin{array}{c}
+% 	   u(h-1) \\
+% 	    x(h - 1)
+% 	  \end{array}
+%   \right) \;,
+% \end{equation}
+% který můžeme dále upravit na
+% \begin{equation}
+%  ( L_u u(h-1) +  L_q x(h-1) )^T ( L_uu(h-1) +  L_q x(h-1) ) + x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) 
+% \end{equation}. Pokud tento člen chceme minimalizovat v proměnné $x(h-1)$, musí nutně platit
+% \begin{equation}
+% u(h-1) = - L_u^{-1} L x(h-1)
+% \end{equation}. Zbývající nenulová část $x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) $ lze přepsat pomocí rovnice \ref{eq:prechod} do tvaru 
+% \begin{equation}
+%  x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) = ( A x(h-2) + B u(h-2) )^T L_q^T L_q ( A x(h-2) + B u(h-2) ) \;,
+% \end{equation}
+% kde se vyskytuje $u(t)$ pouze pro $t = h-2$. 
+% Při minimalizaci podle $u(h-2)$ musíme zahrnout i tuto část, člen ve složeném maticovém zápisu
+% tudíž nabyde tvaru
+% \begin{equation}
+%  (u(h-2)^T, x(h-2)^T ) 
+%   \left( \begin{array}{ccc}
+%           B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T & L_x A \\
+% 	  A^T \sqrt{Q}^T & 0 & L_x B
+% 	  \end{array}
+%   \right)  
+%   \left( \begin{array}{cc}
+%            \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\
+% 	  \sqrt{R} & 0 \\
+% 	  L_x A & L_x B
+% 	  \end{array}
+%   \right)
+%   \left( \begin{array}{c}
+% 	   u(h-2) \\
+% 	    x(h-2)
+% 	  \end{array}
+%   \right) \;.
+% \end{equation}
+% Matici
+% \begin{equation}
+%  M = \left( \begin{array}{cc}
+%            \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\
+% 	  \sqrt{R} & 0 \\
+% 	  L_x A & L_x B
+% 	  \end{array}
+%   \right) = \left( \begin{array}{c}
+%            M_0  \\
+% 	  L_x A	\; L_x B
+% 	  \end{array}
+%   \right)
+% \end{equation}
+% opět převedeme QR dekompozicí do horního trojůhelníkového tvaru a dostaneme vztah pro $u(h-2)$.
+% Tento postup se analogicky aplikuje na každé $u(t)$. Matice $M_0$ je stále stjná, $L_x$ použijeme z předchozího kroku minimalizace.
+
+\subsubsection{Implementace minimalizace}sec:minim
 
 Minimaizace kvadratického kritéria je v simulaci prováděna metoduo \texttt{mat L( const int horizont )} ve třídě
