Show
Ignore:
Timestamp:
02/03/12 16:39:52 (12 years ago)
Author:
jabu
Message:

presunuti minimalizace do kapitoly o LQ rizeni

Files:
1 modified

Legend:

Unmodified
Added
Removed

  • applications/doprava/texty/novotny_vyzk_LQ/LQ_rizeni.tex

    r1427 r1429  
    44Jedná se obecně o metodu, kdy je systém v diskrétním časovém kroku $t$  
    55popsán vektorem proměnných $x(t) = ( x_1(t), ..., x_n(t) )$ 
    6 a my můžeme nastavovat vektor parametrů $y(t) = ( y_1(t), ..., y_n(t) )$. 
     6a my můžeme nastavovat vektor parametrů $u(t) = ( u_1(t), ..., u_n(t) )$. 
    77Metoda je popsána a použita v článku \cite{6_tuc_lq} pro nastavování časů zelených na křižovatce. 
    88Princip přechodu z času $t$ do $t+1$ je popsán lineárním vztahem 
    9 \begin{equation} 
    10   x(t+1) = A x(t) + B y(t) \;, 
     9\begin{equation}\label{eq:lq_prechod} 
     10  x(t+1) = A x(t) + B u(t) \;, 
    1111\end{equation} 
    1212 
    1313kde matice $A$ a $B$ jsou matice stavů a vstupů vyjadřující odezvu systému vzhledem  
    14 k $x(t)$ a $y(t)$. Účelem LQ řízení je najít optimální hodnoty $y(t)$ v závislosti 
     14k $x(t)$ a $u(t)$. Účelem LQ řízení je najít optimální hodnoty $u(t)$ v závislosti 
    1515na $x(t)$ dané zpětnovazebnou maticí $L$ vztahem  
    1616\begin{equation}\label{eq_lq_feedback} 
    17 y(t) = -L x(t) \;. 
     17u(t) = -L x(t) \;. 
    1818\end{equation} 
    1919Optimalita je definována pomocí 
    2020kvadratického kritéria  
    2121\begin{equation}\label{eq_quadratic_criterion} 
    22 J = \sum_{t=1}^{\infty} x(t)^T Q x(t) + y(t)^T R y(t) \;, 
     22J = \sum_{t=1}^{\infty} x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t) \;, 
    2323\end{equation} 
    2424kde $Q$ a $R$ jsou diagonální pozitivně semidefinitní matice vah určující významnost jednotlivých členů kritéria. 
    … …  
    3232\end{equation} 
    3333Rovnici a její řešení popisuje například \cite{7_lq_methods}. 
     34 
     35\subsection{Minimalizace kritéria na horizontu}\label{sec:minim} 
     36Minimalizaci kvadratického kritéria $J$ můžeme omezit da dostatečně dlouhý 
     37časový horizont do budoucna. Podobný postup je popsán například v \cite{lqg_parallel}. 
     38Kvadratické kritérium ve tvaru 
     39\begin{equation}\label{eq:J} 
     40 J = \sum_{t=0}^h x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t) \;,   
     41\end{equation} 
     42kde $Q$ a $R$ jsou diagonální pozitivně definitní matice vah, 
     43rozepíšeme pomocí vztahu \ref{eq:prechod_mat_po_subs} 
     44a budeme minimalizovat pro jednotlivá $t$ podle $u(t)$. 
     45Proměnná $u(h)$ se v kritériu vyskytuje pouze ve členu 
     46\begin{equation} 
     47u(h)^T Ru(h) 
     48\end{equation} 
     49a tedy musí být $u(h) = 0$. $u(h - 1)$ se vyskytuje ve členech 
     50\begin{equation} 
     51 u(h - 1)^T Ru(h - 1) + (x(h - 1)^T A^T +u(h - 1)^T B^T ) Q ( A x(h - 1) + B u(h - 1) + I_0) \;, 
     52\end{equation} 
     53což lze pomocí složených vektorů a matic přepsat do tvaru 
     54\begin{equation} \label{eq:J_sloz} 
     55 (u(h-1)^T, x(h - 1)^T )  
     56  \left( \begin{array}{cc} 
     57          B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T \\ 
     58          A^T \sqrt{Q}^T & 0 
     59          \end{array} 
     60  \right)   
     61  \left( \begin{array}{cc} 
     62           \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ 
     63          \sqrt{R} & 0 
     64          \end{array} 
     65  \right) 
     66  \left( \begin{array}{c} 
     67           u(h-1) \\ 
     68            x(h - 1) 
     69          \end{array} 
     70  \right) \;, 
     71\end{equation} 
     72kde symbolem $\sqrt{Q}$ myslíme matici, pro níž platí $\sqrt{Q}^T \sqrt{Q} = Q$. 
     73Matice $Q$ a $R$ jsou pozitivně definitní diagonální matice, takže $\sqrt{Q}$ bude také 
     74pozitivně definitní diagonální a její diagonální prvky budou rovny odmocnině 
     75příslušných prvků původní matice $Q$. 
     76Složenou matici 
     77\begin{equation}   
     78  M_0 =  \left( \begin{array}{cc} 
     79           \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ 
     80          \sqrt{R} & 0 
     81          \end{array} 
     82  \right) 
     83\end{equation} 
     84můžeme pomocí QR dekompozice rozložit na součin  
     85 
     86\begin{equation} 
     87 M_0 = M_R M_Q , 
     88\end{equation} 
     89kde $M_Q$ je horní trojůhelníková matice a $M_R$ je matice ortonormální. 
     90Pro ortonormální matici $M_R$ platí 
     91\begin{equation} 
     92 M_R^T M_R = I \;, 
     93\end{equation} 
     94neboť její zloupce jsou vzájemně ortogonální a normované na jednotku. 
     95Z toho plyne, že součin matic $M_0^T M_0$ vyskytující se v členu \ref{eq:J_sloz} 
     96můžeme pomocí QR rozlkladu převést na tvar 
     97\begin{equation} 
     98 M_0^T M_0 = ( M_R M_Q )^T  M_R M_Q = M_Q^T M_R^T M_R M_Q = M_Q^T M_Q \;, 
     99\end{equation} 
     100kde 
     101\begin{equation} 
     102 M_Q =  \left( \begin{array}{cc} 
     103          L_u & L \\ 
     104          0 & L_q 
     105          \end{array} 
     106  \right) \;, 
     107\end{equation} 
     108je horní trojůhelníková matice. 
     109Člen \ref{eq:J_sloz} poté přejde na tvar 
     110\begin{equation} 
     111 (\Delta C(h-1)^T, x(h - 1)^T )  
     112  \left( \begin{array}{cc} 
     113          L_q^T & 0 \\ 
     114          L^T & L_u^T 
     115          \end{array} 
     116  \right)   
     117  \left( \begin{array}{cc} 
     118          L_u & L \\ 
     119          0 & L_q 
     120          \end{array} 
     121  \right) 
     122  \left( \begin{array}{c} 
     123           u(h-1) \\ 
     124            x(h - 1) 
     125          \end{array} 
     126  \right) \;, 
     127\end{equation} 
     128který můžeme dále upravit na 
     129\begin{equation} 
     130 ( L_u u(h-1) +  L_q x(h-1) )^T ( L_uu(h-1) +  L_q x(h-1) ) + x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) \;. 
     131\end{equation}Pokud tento člen chceme minimalizovat v proměnné $x(h-1)$, musí nutně platit 
     132\begin{equation} 
     133u(h-1) = - L_u^{-1} L x(h-1) \;, 
     134\end{equation} 
     135tím dostáváme vztah, podle kterého nastavujeme řídící proměnnou $u$. Nyní stačí získat matice $L$ a $L_x$ 
     136pro hodnotu v čase $0$. 
     137Zbývající nenulová část $x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) $ lze přepsat pomocí rovnice \ref{eq:lq_prechod} do tvaru  
     138\begin{equation} 
     139 x(h-1)^T L_q^T L_q x(h-1) = ( A x(h-2) + B u(h-2) )^T L_q^T L_q ( A x(h-2) + B u(h-2) ) \;, 
     140\end{equation} 
     141kde se vyskytuje $u(t)$ pouze pro $t = h-2$.  
     142Při minimalizaci podle $u(h-2)$ musíme zahrnout i tuto část, člen ve složeném maticovém zápisu 
     143tudíž nabyde tvaru 
     144\begin{equation} 
     145 (u(h-2)^T, x(h-2)^T )  
     146  \left( \begin{array}{ccc} 
     147          B^T \sqrt{Q}^T & \sqrt{R}^T & L_x A \\ 
     148          A^T \sqrt{Q}^T & 0 & L_x B 
     149          \end{array} 
     150  \right)   
     151  \left( \begin{array}{cc} 
     152           \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ 
     153          \sqrt{R} & 0 \\ 
     154          L_x A & L_x B 
     155          \end{array} 
     156  \right) 
     157  \left( \begin{array}{c} 
     158           u(h-2) \\ 
     159            x(h-2) 
     160          \end{array} 
     161  \right) \;. 
     162\end{equation} 
     163Matici 
     164\begin{equation} 
     165 M = \left( \begin{array}{cc} 
     166           \sqrt{Q} B & \sqrt{Q} A \\ 
     167          \sqrt{R} & 0 \\ 
     168          L_x A & L_x B 
     169          \end{array} 
     170  \right) = \left( \begin{array}{c} 
     171           M_0  \\ 
     172          L_x A \; L_x B 
     173          \end{array} 
     174  \right) 
     175\end{equation} 
     176opět převedeme QR dekompozicí do horního trojůhelníkového tvaru a dostaneme vztah pro $u(h-2)$. 
     177Tento postup se analogicky aplikuje na každé $u(t)$. Matice $M_0$ je stále stjná, $L_x$ použijeme z předchozího kroku minimalizace. 
    34178 
    35179 
    … …  
    47191 
    48192 
    49  
    50