Changeset 1434 for applications/doprava/texty/novotny_vyzk_LQ/LQ_rizeni.tex
- Timestamp:
- 02/04/12 00:54:24 (12 years ago)
- Files:
-
- 1 modified
Legend:
- Unmodified
- Added
- Removed
-
applications/doprava/texty/novotny_vyzk_LQ/LQ_rizeni.tex
r1431 r1434 5 5 popsán vektorem proměnných $x(t) = ( x_1(t), ..., x_n(t) )$ 6 6 a my můžeme nastavovat vektor parametrů $u(t) = ( u_1(t), ..., u_n(t) )$. 7 Metoda je popsána a použita v článku \cite{6_tuc_lq} pro nastavování časů zelených na křižovatce.7 Metoda je popsána a použita v článku \cite{6_tuc_lq}. 8 8 Princip přechodu z času $t$ do $t+1$ je popsán lineárním vztahem 9 9 \begin{equation}\label{eq:lq_prechod} … … 23 23 \end{equation} 24 24 kde $Q$ a $R$ jsou diagonální pozitivně semidefinitní matice vah určující významnost jednotlivých členů kritéria. 25 Zpětnovazebná matice $L$ se podle \cite{6_tuc_lq} dostane minimalizací kritéria $J$ jako25 Zpětnovazebná matice $L$ se podle publikace \cite{6_tuc_lq} dostane minimalizací kritéria $J$ jako 26 26 \begin{equation}\label{eq_riccati} 27 27 L = (R + B^T P B)^{-1} B^T P A \;, … … 36 36 Minimalizaci kvadratického kritéria $J$ můžeme omezit da dostatečně dlouhý 37 37 časový horizont do budoucna. Podobný postup je popsán například v \cite{lqg_parallel}. 38 Minimalizaci budeme provádět v proměnných $u(t)$ pro časový horizont $h$, 39 tedy pro vektory $\Delta C(t_0), \Delta C(t_0 + 1), ...,u(t_0 + h)$. Pro zpřehlednění 40 zápisu položíme bez újmy na obecnosti $t_0 = 0$. 38 41 Kvadratické kritérium ve tvaru 39 42 \begin{equation}\label{eq:J} … … 82 85 \right) 83 86 \end{equation} 84 můžeme pomocí QR dekompozice rozložit na součin87 můžeme, podobně jako v publikaci \cite{lqg_parallel}, pomocí QR dekompozice rozložit na součin 85 88 86 89 \begin{equation} … … 92 95 M_R^T M_R = I \;, 93 96 \end{equation} 94 neboť její zloupce jsou vzájemně ortogonální a normované na jednotku.97 neboť její sloupce jsou vzájemně ortogonální a normované na jednotku. 95 98 Z toho plyne, že součin matic $M_0^T M_0$ vyskytující se v členu \ref{eq:J_sloz} 96 99 můžeme pomocí QR rozlkladu převést na tvar … … 100 103 kde 101 104 \begin{equation} 102 M_Q = \left( \begin{array}{cc}105 M_Q =: \left( \begin{array}{cc} 103 106 L_u & L \\ 104 0 & L_ q107 0 & L_x 105 108 \end{array} 106 \right) \;,109 \right) 107 110 \end{equation} 108 111 je horní trojůhelníková matice. … … 111 114 (\Delta C(h-1)^T, x(h - 1)^T ) 112 115 \left( \begin{array}{cc} 113 L_ q^T & 0 \\116 L_x^T & 0 \\ 114 117 L^T & L_u^T 115 118 \end{array} … … 117 120 \left( \begin{array}{cc} 118 121 L_u & L \\ 119 0 & L_ q122 0 & L_x 120 123 \end{array} 121 124 \right) … … 128 131 který můžeme dále upravit na 129 132 \begin{equation} 130 ( L_u u(h-1) + L_ q x(h-1) )^T ( L_uu(h-1) + L_q x(h-1) ) + x(h-1)^T L_q^T L_qx(h-1) \;.133 ( L_u u(h-1) + L_x x(h-1) )^T ( L_uu(h-1) + L_x x(h-1) ) + x(h-1)^T L_x^T L_x x(h-1) \;. 131 134 \end{equation}Pokud tento člen chceme minimalizovat v proměnné $x(h-1)$, musí nutně platit 132 135 \begin{equation} … … 135 138 tím dostáváme vztah, podle kterého nastavujeme řídící proměnnou $u$. Nyní stačí získat matice $L$ a $L_x$ 136 139 pro hodnotu v čase $0$. 137 Zbývající nenulová část $x(h-1)^T L_ q^T L_qx(h-1) $ lze přepsat pomocí rovnice \ref{eq:lq_prechod} do tvaru140 Zbývající nenulová část $x(h-1)^T L_x^T L_x x(h-1) $ lze přepsat pomocí rovnice \ref{eq:lq_prechod} do tvaru 138 141 \begin{equation} 139 x(h-1)^T L_ q^T L_q x(h-1) = ( A x(h-2) + B u(h-2) )^T L_q^T L_q( A x(h-2) + B u(h-2) ) \;,142 x(h-1)^T L_x^T L_x x(h-1) = ( A x(h-2) + B u(h-2) )^T L_x^T L_x ( A x(h-2) + B u(h-2) ) \;, 140 143 \end{equation} 141 144 kde se vyskytuje $u(t)$ pouze pro $t = h-2$. … … 175 178 \end{equation} 176 179 opět převedeme QR dekompozicí do horního trojůhelníkového tvaru a dostaneme vztah pro $u(h-2)$. 177 Tento postup se analogicky aplikuje na každé $u(t)$. Matice $M_0$ je stále st jná, $L_x$ použijeme z předchozího kroku minimalizace.180 Tento postup se analogicky aplikuje na každé $u(t)$. Matice $M_0$ je stále stejná, $L_x$ použijeme z předchozího kroku minimalizace. 178 181 179 182
