#LyX 2.0 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 413
\begin_document
\begin_header
\textclass scrreprt
\begin_preamble
\usepackage[czech]{babel}
\end_preamble
\use_default_options true
\maintain_unincluded_children false
\language czech
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman default
\font_sans default
\font_typewriter default
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100
\font_tt_scale 100

\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_amsmath 1
\use_esint 1
\use_mhchem 1
\use_mathdots 1
\cite_engine basic
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\use_refstyle 1
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 2
\tocdepth 2
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\quotes_language german
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Chapter
Synchronní stroj s permanentními magnety
\end_layout

\begin_layout Standard
Jak napovídá název práce, je text zaměřen na řízení synchronních elektrických
 pohonů.
 Ze skupiny všech těchto strojů se však zaměřuje pouze na jejich specifickou
 podskupinu obsahující permanentní magnety.
 Je tomu tak proto, že oproti synchronním strojům s buzením vykazují synchronní
 stroje s permanentními magnety celou řadu výhod, teší se stále větší oblibě
 a nacházejí mnoho aplikací v praxi 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Pacas2011"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
Zkratkou PMSM bude v textu označován synchronní stroj s permanentními magnety
 (Permanent Magnet Synchronous Machine).
 U tohoto točivého elektrického stroje (motoru) se rotor otáčí stejnou rychlostí
, tedy synchronně, jako točivé magnetické pole statoru.
 Pro generování magnetického pole rotoru je užito místo budícího vinutí
 permanentních magnetů.
 Rostoucí praktická aplikace této konstrukce je umožněna především díky
 snadnější dostupnosti kvalitních permanentních magnetů ze speciálních slitin
 s velkou magnetickou indukcí oproti klasickým feritovým magnetům 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "novak2006,cdern2010"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Konstrukce
\end_layout

\begin_layout Standard
Přiblížení základní konstrukce PMSM je znázorněno na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Ilustrativni-obrazek-konstrukce"

\end_inset

.
 Nákres je pouze ilustrativní, ale zobrazuje hlavní části PMSM: Vnější kruh
 představuje stator se zuby, na kterých je navinuto statorové vinutí (v
 obrázku není zobrazeno).
 Vnitřní kruh reprezentuje rotor, na jehož povrchu jsou umístěny permanentní
 magnety s barevně rozlišenými póly.
 
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/pmsm_spec.eps
	lyxscale 50
	scale 25

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout

\emph on
Ilustrativní obrázek konstrukce PMSM: Vnější kruh představuje stator se
 zuby, na kterých je navinuto statorové vinutí (v obrázku není zobrazeno).
 Vnitřní kruh reprezentuje rotor, na jehož povrchu jsou umístěny permanentní
 magnety s barevně rozlišenými póly.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Ilustrativni-obrazek-konstrukce"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Často se lze setkat i s opačnou konstrukcí, kdy je stator umístěn uvnitř
 a rotor s magnety se otáčí kolem něj.
 Tato konstrukce PMSM naléza využití k pohonu nejrůznějších vozidel, kdy
 lze motor umístit přímo dovnitř kola vozidla, dalším příkladem je pak přímý
 pohon bubnu automatické pračky.
 Existují i však další konstrukce PMSM, například s otočným statorem i rotorem.
\end_layout

\begin_layout Standard
Vyobrazená konstrukce (obrázek 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Ilustrativni-obrazek-konstrukce"

\end_inset

) je označováná jako SMPMSM (
\emph on
Surface Mounted PMSM
\emph default
), tedy PMSM s magnety na povrchu.
 Další častou konstrukcí je IPMSM (
\emph on
Inner PMSM
\emph default
), kde jsou permanentní magnety umístěny uvnitř rotoru.
 Tyto stroje mají nepatrně odlišné vlastnosti, které ale mají významný vliv
 při návrhu řízení těchto strojů, detailněji bude rozebráno dále v textu.
 Pod PMSM se ještě zahrnují reluktanční motory, které jsou založeny na poněkud
 odlišném principu a nebudeme se jimi v textu zabývat.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Výhody a nevýhody
\end_layout

\begin_layout Standard
Specifická konstrukce PMSM popsaná výše má oproti asynchronním strojům a
 synchronním strojům s budícím vinutím celou řadu výhod.
 Má samozřejmě i své nevýhody.
 Následující přehlded základních odlišností od ostatních střídavých strojů
 čerpá především ze zdrojů 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "novak2006,cdern2010,Yongdong2008"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Výhody
\end_layout

\begin_layout Itemize
rotor neobsahuje vinutí a tedy 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
je možno jej konstruovat menší, což je velmi výhodné v aplikacích, kde záleží
 na co nejmenší velikosti pohonu
\end_layout

\begin_layout Itemize
je možno jej konstruovat lehčí, což snižuje hmotnost celého zařízení 
\end_layout

\begin_layout Itemize
má menší moment setrvačnosti rotoru
\end_layout

\begin_layout Itemize
není třeba
\emph on
 
\emph default
složitě přivádět
\emph on
 
\emph default
napájení
\emph on
 
\emph default
na rotor
\end_layout

\begin_layout Itemize
nedojde k poruše na rotorovém vinutí
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
není třeba motor před rozběhem budit a nepotřebuje zdroj budícího proudu
\end_layout

\begin_layout Itemize
odpadá problém s přívodem proudu do buzení rotoru
\end_layout

\begin_layout Itemize
vyšší účinnost, protože nejsou jouleovy ztráty v:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
rotoru oproti asynchronnímu stroji
\end_layout

\begin_layout Itemize
buzení oproti synchronnímu stroji s buzením
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
momentová přetížitelnost
\end_layout

\begin_layout Itemize
možnost konstrukce pomaluběžného stroje s dostatečným výkonem, který nepotřebuje
 převedovku, a tedy výhody spojené s absencí převodovky
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Nevýhody
\end_layout

\begin_layout Itemize
technologicky složitější výroba -- připevnění permanentních magnetů na rotor
\end_layout

\begin_layout Itemize
složitější opravy
\end_layout

\begin_layout Itemize
vyšší cena z důvodu nezanetbatelných nákladů na permanentní magnety
\end_layout

\begin_layout Itemize
menší robustnost
\end_layout

\begin_layout Itemize
problematické odbuzování a klesající účinnost při odbuzování
\end_layout

\begin_layout Itemize
závislot magnetických vlastností permanentních magnetů na teplotě a tedy
 nutnost dobrého chlazení
\end_layout

\begin_layout Itemize
stálá přítomnost budícího pole v motoru, následně při využití například
 k pohonu vozidla, dojde-li poruše a následlém odtahu, funguje motor jako
 generátor
\end_layout

\begin_layout Itemize
problematika zkratu, při které může teoreticky dojít až k demagnetizaci
 permanentních magnetů
\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
problematika spojená s návrhem řízení těchto strojů
\emph default
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Právě poslední zmiňovaný nedostatek, to jest komplikace při návrhu řízení
 PMSM a způsoby jak se s tímto nedostatkem vypořádat jsou ústředním tématem
 této práce.
\end_layout

\begin_layout Section
Souřadné soustavy pro popis PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/souradosy.eps
	lyxscale 50
	scale 50

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout

\emph on
Souřadné systémy používané pro popis PMSM znázorněné na zjednodušeném modelu:
 na statorové části jsou umístěny pouze tři cívky reprezentující statorová
 vinutí jednotlivých fází a jako rotor pak slouží jediný permanentní magnet.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Souradne-systemy-pmsm"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
K popisu PMSM se užívá dvou kvalitativně zcela rozdílných typů fyzikálních
 veličin.
 Jedná se o veličiny mechanické jako poloha (úhel natočení rotoru) a otáčky
 (rychlost otáčení), dále pak lze uvažovat zátěžný moment nebo tření.
 Další uvažované veličiny jsou elektrické, především elektrické proudy a
 napětí, a dále indukčnosti a rezistance.
\end_layout

\begin_layout Standard
Elektrické veličiny se nejčastěji uvažují v jednom ze tří souřadných systémů
 vyobrazených na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Souradne-systemy-pmsm"

\end_inset

.
 Souřadný systém 
\begin_inset Formula $a-b-c$
\end_inset

 uvažuje tři osy (
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

) ve směru os vinutí jednotlivých fází.
 Protože však elektrické veličiny v jednotlivých osách systému 
\begin_inset Formula $a-b-c$
\end_inset

 nebývají vzájemně nezávislé a jsou svázány nějakým vztahem, je obvykle
 využíván popis v soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

.
 Tato souřadná soustava je opět svázána se statorem.
 Osa 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 je totožná s osou 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, osa 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 je na osu 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 kolmá a tvoří tak ortogonální systém.
 Pro většinu aplikací se však ukazuje výhodným přejít do rotující souřadné
 soustavy 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 svázené s rotorem.
 Osa 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 je pak umístěna ve směru osy permanentního magnetu a směřuje k jeho severnímu
 pólu, osa 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 je na ni kolmá.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Transformace souřadnic
\end_layout

\begin_layout Standard
Žádná z výše zmiňovaných souřadných soustav není univerzálně nejlepší.
 Pro každý účel se nejlépe hodí jen některá z nich a proto je důležité umět
 mezi nimi přecházet, tedy převádět jednotlivé veličiny.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Transformace 
\begin_inset Formula $a-b-c\longleftrightarrow\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Tato transformace se označuje také jako Clarkova transformace, rovnice lze
 nalézt například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "fiser2006"

\end_inset

, případně je možné je poměrně snadno odvodit.
\end_layout

\begin_layout Standard
Osa 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 je totožná s osou 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, osy 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 pak uvažujeme oproti ní otočeny o 
\begin_inset Formula $\pm120^{\circ}$
\end_inset

.
 Souřadnice v ose 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 tedy získáme následujícím průmětem z os 
\begin_inset Formula $a,\: b,\: c$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\alpha=k\left(a+b\cdot\cos(120^{\circ})+c\cdot\cos(-120^{\circ})\right)=k\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right)
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 značí normovací konstantu 
\begin_inset Formula $k=\frac{2}{3}$
\end_inset

.
 Obdobně postupujeme v případě osy 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

.
 Osa 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 je na ní kolmá a tedy její příspěvek je nulový.
 Osy 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 promítnutne do osy 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 získáme vztah
\begin_inset Formula 
\[
\beta=k\left(b\cdot\sin(120^{\circ})+c\cdot\sin(-120^{\circ})\right)=k\left(\frac{\sqrt{3}}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}c\right)
\]

\end_inset

Celkem tedy máme rovnice
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\alpha & = & \frac{2}{3}\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right)\\
\beta & = & \frac{\sqrt{3}}{3}\left(b-c\right)
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pro inverzní transformaci platí následující vztahy
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
a & = & \alpha+\theta\\
b & = & \left(-\frac{1}{2}\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta\\
c & \text{=} & \left(-\frac{1}{2}\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 představuje takzvanou nulovou složku 
\begin_inset Formula $\theta=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Transformace 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta\longleftrightarrow d-q$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Transformace je označována jako Parkova transformace a představuje přechod
 do rotujícího souřadného systému.
 Rovnice transformace lze najít opět například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "fiser2006"

\end_inset

, ale jedná se běžnou lineární operaci rotace.
\end_layout

\begin_layout Standard
Uvažujeme tedy otočení doustavy 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 oproti 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 o úhel 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 kolem společného počátku souřadných soustav, což vede na převodní vztah
 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\left(\begin{array}{c}
d\\
q
\end{array}\right) & = & \left[\begin{array}{cc}
\cos\phi & \sin\phi\\
-\sin\phi & \cos\phi
\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}
\alpha\\
\beta
\end{array}\right)\label{eq:transformace_al-be_na_d-q}
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Inverzní transformace je 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\left(\begin{array}{c}
\alpha\\
\beta
\end{array}\right) & = & \left[\begin{array}{cc}
\cos\phi & -\sin\phi\\
\sin\phi & \cos\phi
\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}
d\\
q
\end{array}\right)\label{eq:transformace_d-q_na_al-be}
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Model PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro tvorbu modelu PMSM vyjdeme z fyzikálních zákonů popisujících hlavní
 děje odehrávající se v synchronním stroji.
 Jedná se především o jevy elektrické, mechanické a vzájemnou přeměnu elektrické
 a mechanické energie.
 Složitější jevy jako promněnlivost parametrů s teplotou, sycení materiálu
 magnetickým tokem, případně vliv napájecí elektroniky v tomto modelu uvažovány
 nebudou.
 Fyzikální vztahy a zákony pro odvození rovnic PMSM jsou čerpány z 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Feynman1,Feynman2"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Rovnice pro proudy
\end_layout

\begin_layout Standard
Cílem je odvodit rovnice pro PMSM a tedy vyjádřit, jak na sobě hlavní veličiny
 popisující tento systém navzájem závisejí a jak se vyvýjejí v čase.
 Vyjdeme ze vztahu pro napětí v obvodu statoru.
 Statorové napětí 
\begin_inset Formula $u_{s}$
\end_inset

 uvažujeme zapsané ve souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 ve smyslu 
\begin_inset Formula $s=\alpha+j\beta$
\end_inset

 (kde 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 značí komplexní jednotku) a dále uvažujeme, že je obecně funkcí času 
\begin_inset Formula $u_{s}=u_{s}\left(t\right)$
\end_inset

.
 Toto napětí lze vyjádřit jako součet napětí souvisejícího s průchodem proudu
 obvodem a dále jako indukovaného napětí v důsledku elektromagnetické indukce.
 První z těchto členů lze vyjádřit pomocí Ohmova zákona v závislosti na
 proudu.
 Indukované napětí je na základě Faradayova zákona elektromagnetické indukce
 rovno změně magnetického toku v čase.
 Uvažujme tedy, že proud procházející statorem 
\begin_inset Formula $i_{s}$
\end_inset

 i magnetický tok ve stroji 
\begin_inset Formula $\psi_{s}$
\end_inset

 zapsaný ve statorové souřadné soustavě jsou opět funkcemi času: 
\begin_inset Formula $i_{s}=i_{s}\left(t\right)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\psi_{s}=\psi_{s}\left(t\right)$
\end_inset

.
 Rovnici pro napětí pak získáme ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}\label{eq:odvoz-statorove-napeti}
\end{equation}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $R_{s}$
\end_inset

 je rezistance a předpokládáme ji známou a konstantní.
\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní je třeba vyjádřit hodnotu magnetického toku 
\begin_inset Formula $\psi_{s}$
\end_inset

.
 Magnetický tok vzniká ve stroji jednak ve statorovém vinutí a dále v důsledku
 působení permanentních magnetů.
 Statorové vinutí je z fyzikálního pohledu cívkou a tedy magnetický tok
 je přímo úměrný proudu procházejícímu touto cívkou: 
\begin_inset Formula $\psi_{s}^{civka}=L_{s}i_{s}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset

 označuje indukčnost cívky, kterou předpokládáme konstantní, známou a prozatím
 izotropní.
 Tok permanentních magnetů označíme jako 
\begin_inset Formula $\psi_{pm}$
\end_inset

 a považujeme jej za známou konstantu.
 Rotor obsahující permanentní magnety je však obecně natočen a tok permanentních
 magnetů je směrován pouze do směru osy 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

.
 Úhel natočení, označme jej jako 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

, budeme opět uvažovat jako funkci času 
\begin_inset Formula $\vartheta=\vartheta\left(t\right)$
\end_inset

.
 Rovnice pro celkový magnetický tok ve stroji tedy je 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\psi_{s}=L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\label{eq:odvoz-magneticky-tok}
\end{equation}

\end_inset

kde násobení 
\begin_inset Formula $e^{j\vartheta}$
\end_inset

 představuje zmiňovanou rotaci o úhel 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 při použití komplexního zápisu.
\end_layout

\begin_layout Standard
Když nyní dosadíme rovnici (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-magneticky-tok"

\end_inset

) pro magnetický tok do rovnice pro napětí (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-statorove-napeti"

\end_inset

) a provedeme derivaci, získáme
\begin_inset Formula 
\[
u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=R_{s}i_{s}+L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\psi_{pm}\frac{d\vartheta}{dt}e^{j\vartheta}
\]

\end_inset

V této rovnici nově vystupuje veličina 
\begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}$
\end_inset

, kterou označíme jako otáčky 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\omega=\frac{d\vartheta}{dt}\label{eq:definice-otacek}
\end{equation}

\end_inset

Pro obdržení diferenciálních rovnic pro proudy v soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 rozepíšeme zvlášť reálnou a imaginární složku statorove soustavy 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $s=\alpha+j\beta$
\end_inset

).
 Rovnice tedy jsou
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{\alpha} & = & R_{s}i_{\alpha}+L_{s}\frac{di_{\alpha}}{dt}-\psi_{pm}\omega\sin\vartheta\\
u_{\beta} & = & R_{s}i_{\beta}+L_{s}\frac{di_{\beta}}{dt}+\psi_{pm}\omega\cos\vartheta
\end{eqnarray*}

\end_inset

a případně je možno je upravit na 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\alpha}\nonumber \\
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\beta}\label{eq:rovnice-proudy-ls}
\end{eqnarray}

\end_inset

Stejné rovnice používají například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Lee2010,Peroutka2009"

\end_inset

.
 Rovnice v soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 je z nich možno získat aplikováním transformace popsané rovnicí (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"

\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Subsection
Rovnice pro otáčky
\end_layout

\begin_layout Standard
V odvození rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ls"

\end_inset

) byla zavedena veličina 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

, viz rovice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:definice-otacek"

\end_inset

), popisující hodnotu otáček (změny polohy) v čase.
 Má-li být model PMSM úplný, je třeba odvodit rovnici i pro otáčky 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

.
 Protože se jedná o mechanickou veličinu, budeme vycházet ze základních
 zákonů mechaniky.
 Nejdříve užijeme vztahu pro točivý moment (
\emph on
torque
\emph default
) 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

, který budeme považovat za funkci času 
\begin_inset Formula $T=T\left(t\right)$
\end_inset

.
 Točivý moment lze vyjádřit jako 
\begin_inset Formula $T=\frac{dl}{dt}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $l$
\end_inset

 značí moment hybnosti (
\emph on
angular momentum
\emph default
).
 Pro ten dále platí 
\begin_inset Formula $l=J\omega_{mech}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 označuje moment setrvačnosti (
\emph on
momen
\emph default
t of inertia) a předpokládáme ho jako známou konstantu, 
\begin_inset Formula $\omega_{mech}$
\end_inset

 jsou mechanické otáčky.
 Mechanické otáčky odpovídají skutečnému otáčení stroje a liší se od otáček
 elektrických 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 vystupujících v rovnicích (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ls"

\end_inset

) pro proudy a jejich odvození.
 Vztah těchto dvou typů otáček je dán rovnicí 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\omega=p_{p}\omega_{mech}\label{eq:vztah-el-a-mech-omega}
\end{equation}

\end_inset

kde hodnota 
\begin_inset Formula $p_{p}$
\end_inset

 představuje počet párů pólů (tedy polovina počtu pólů) permanentních magnetů
 stroje.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dalším důležitým poznatkem je, že při působení více točivých momentů se
 tyto mementy sčítají a tedy platí
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
T_{1}+\ldots+T_{n}=\frac{dl}{dt}=\frac{d\left(J\omega_{mech}\right)}{dt}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt}\label{eq:rovnice-momenty-preddosaz}
\end{equation}

\end_inset

Jednotlivé uvažované točivé momenty 
\begin_inset Formula $T_{i}$
\end_inset

 jsou:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
moment získaný konverzním procesem elektrické energie, který vyjadřuje hlavní
 vlastnost elektrického motoru -- převod elektrické energie na mechanickou:
 
\begin_inset Formula $T_{1}=T_{el}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
zátěžný moment reprezentující zatížení stroje, tedy to, co je motorem poháněno;
 působí však v opačném směru (proti pohybu): 
\begin_inset Formula $T_{2}=-T_{L}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
moment v důsledku tření (ztráty ve stroji), působí opět proti pohybu a uvažujeme
 jej lineárně závislý na otáčkách s koeficientem viskozity (tření) 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $T_{3}=-B\omega_{mech}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Celkem tedy rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-momenty-preddosaz"

\end_inset

) po dosazení konkrétních momentů přejde na
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
T_{el}-T_{L}-B\omega_{mech}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt}\label{eq:rovnice-momenty-dosazeno}
\end{equation}

\end_inset

Zátěžný moment 
\begin_inset Formula $T_{L}$
\end_inset

 sice uvažujeme obecně proměnný v čase, ale vzhledem k tomu, že představuje
 externí zátěž stroje, není možnost jej jakkoliv předvídat, popřípadě vhodně
 vyjádřit na základě jiných veličin.
 V rovnicích tedy bude nadále vystupovat pod označením 
\begin_inset Formula $T_{L}$
\end_inset

 a budeme jej považovat za neznámou funkci času.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Moment 
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset

 však je možno vyjádřit na základě elektrických veličin.
 Využijeme k tomu výpočet přes okamžitý výkon.
 Ten je pro trojfázový systém (v souřadnicích 
\begin_inset Formula $a-b-c$
\end_inset

) roven 
\begin_inset Formula $P=u_{a}i_{a}+u_{b}i_{b}+u_{c}i_{c}$
\end_inset

.
 Po provedení transformace do souřadnic 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 je vyjádřen ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
P=k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right)\label{eq:rovnice-vykon}
\end{equation}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $k_{p}$
\end_inset

 značí Parkovu konstantu s hodnotou 
\begin_inset Formula $k_{p}=\frac{3}{2}$
\end_inset

.
 Jako napětí zde uvažujeme indukované napětí 
\begin_inset Formula $u_{ind}$
\end_inset

, to jest druhý člen v rovnici (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-statorove-napeti"

\end_inset

), protože první člen této rovnice je napětí, které se podílí na tepelném
 výkonu stroje -- ztrátách.
 Tedy pro indukované napětí platí, viz rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-statorove-napeti"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-magneticky-tok"

\end_inset

):
\begin_inset Formula 
\[
u_{ind}=\frac{d\psi_{s}}{dt}=\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\psi_{pm}\omega e^{j\vartheta}
\]

\end_inset

Z indukovaného napětí navíc využijeme pouze složku reprezentovanou druhým
 výrazem, protože první složka obsahující derivace proudů slouži k tvorbě
 samotného magnetického pole stroje a nepodílí se na tvorbě výkonu.
 Následně v souřadném systému 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 získáme vyjádření indukovaných napětí podílejících se na výkonu jako
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{ind,\alpha} & = & -\psi_{pm}\omega\sin\vartheta\\
u_{ind,\beta} & = & \psi_{pm}\omega\cos\vartheta
\end{eqnarray*}

\end_inset

a po dosazení do (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-vykon"

\end_inset

) je
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
P=k_{p}\left(-\psi_{pm}i_{\alpha}\omega\sin\vartheta+\psi_{pm}i_{\beta}\omega\cos\vartheta\right)\label{eq:rovnice-vykon-dosazano}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Okamžitý výkon lze také vyjádřit z mechanických veličin jako 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
P=\omega_{mech}T_{el}\label{eq:vztah-okam-vykon-a-el-moment}
\end{equation}

\end_inset

 a dosazením z (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-vykon-dosazano"

\end_inset

) již získáme vyjádření pro mement 
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset

 ve tvaru:
\begin_inset Formula 
\[
T_{el}=\frac{P}{\omega_{mech}}=\frac{k_{p}}{\omega_{mech}}\left(-\psi_{pm}i_{\alpha}\omega\sin\vartheta+\psi_{pm}i_{\beta}\omega\cos\vartheta\right)
\]

\end_inset

což lze pomocí vztahu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-el-a-mech-omega"

\end_inset

) upravit na 
\begin_inset Formula 
\[
T_{el}=k_{p}p_{p}\left(-\psi_{pm}i_{\alpha}\sin\vartheta+\psi_{pm}i_{\beta}\cos\vartheta\right)
\]

\end_inset

Stejnou rovnici pro moment 
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset

 používají například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Lee2010"

\end_inset

.
 Dosazení do rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-momenty-dosazeno"

\end_inset

) pak vede na tvar
\begin_inset Formula 
\[
k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(-i_{\alpha}\sin\vartheta+i_{\beta}\cos\vartheta\right)-T_{L}-B\omega_{mech}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt}
\]

\end_inset

Tuto rovnice lze opět užitím vztahu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-el-a-mech-omega"

\end_inset

) upravit tak, aby v ní vystupovali elektrické otáčky 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a dále z rovnice vyjádřit jejich derivaci
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega\label{eq:rovnice-pro-omega-ls}
\end{equation}

\end_inset

Rovnici pro otáčky v této podobě (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pro-omega-ls"

\end_inset

) lze nalézt například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Rovnice pro proudy při různých indukčnostech
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro použití s některými, především injektážními, metodami je do modelu PMSM
 třeba zahrnout anizotropie, které následně usnadní odhadování polohy.
 Možností, jak zavést anizotropie je uvažování různých indukčností v osách
 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

.
 Tyto osy jsou svázány s rotorem a tedy i s permanentními magnety na něm,
 viz obrázek 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Souradne-systemy-pmsm"

\end_inset

.
 Tok permanentních magnetů interaguje s cívkami statoru a mění jejich vlastnosti
, což vede právě na rozdílné indukčnosti v osách 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

.
 Tedy místo jediné izotropní 
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset

 nyní uvažujeme různé 
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset

, nadále je však považujeme za známé konstanty.
 Postup odvození rovnic bude analogický předchozímu odvození pro stejné
 indukčnosti s tím rozdílem, že bude užito soustavy 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

.
 Opět vyjdeme z rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-statorove-napeti"

\end_inset

), kde za veličiny ve statorové souřadné soustavě dosadíme veličiny v soustavě
 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 otočené o úhel 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

.
 Tedy
\begin_inset Formula 
\[
u_{dq}e^{j\vartheta}=R_{s}i_{dq}e^{j\vartheta}+\frac{d\left(\psi_{dq}e^{j\vartheta}\right)}{dt}
\]

\end_inset

a po zderivování
\begin_inset Formula 
\[
u_{dq}e^{j\vartheta}=R_{s}i_{dq}e^{j\vartheta}+\frac{d\psi_{dq}}{dt}e^{j\vartheta}+j\psi_{dq}\omega e^{j\vartheta}
\]

\end_inset

Nyní je možné zkrátit člen 
\begin_inset Formula $e^{j\vartheta}$
\end_inset

 představující rotaci a získáme rovnici pro napětí ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
u_{dq}=R_{s}i_{dq}+\frac{d\psi_{dq}}{dt}+j\psi_{dq}\omega\label{eq:odvoz-ldq-rovnice-napeti}
\end{equation}

\end_inset

Magnetický tok v osách 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 je vyjádřen podobně, jako pro stejné indukčnosti, jako součet toku indukovaného
 cívkami a toku permanentních magnetů, tedy
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\psi_{d} & = & L_{d}i_{d}+\psi_{pm}\\
\psi_{q} & = & L_{q}i_{q}
\end{eqnarray*}

\end_inset

protože tok permanentních magnetů uvažujeme pouze ve směru osy 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

.
 Po dosazení vztahů pro toky do rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-ldq-rovnice-napeti"

\end_inset

) a jejím rozepsání do jednotlivých os (
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 odpovídá reálné a 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 imaginární ose v komplexním vyjádření) získáme rovnice
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{d}\frac{di_{d}}{dt}-L_{q}i_{q}\omega\\
u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{q}\frac{di_{q}}{dt}+\left(L_{d}i_{d}+\psi_{pm}\right)\omega
\end{eqnarray*}

\end_inset

Opět je možno vyjádřit derivace proudů a získat rovnice pro proudy v soustavě
 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{d}}i_{d}+\frac{L_{q}}{L_{d}}i_{q}\omega+\frac{1}{L_{d}}u_{d}\nonumber \\
\frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{q}}i_{q}-\frac{L_{d}}{L_{q}}i_{d}\omega-\frac{\psi_{pm}}{L_{q}}\omega+\frac{1}{L_{q}}u_{q}\label{eq:rovnice-proudy-ldq-v-dq}
\end{eqnarray}

\end_inset

Tyto rovnice používají například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Chen2009,Foo2009,Genduso2010"

\end_inset

.
 Rovnice pro proudy v soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 lze získat transformováním rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ldq-v-dq"

\end_inset

) pomocí vztahu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"

\end_inset

), tyto rovnice však již mají poměrně dosti komplikovaný zápis.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Rovnice pro otáčky při různých indukčnostech
\end_layout

\begin_layout Standard
Postup odvození rovnice pro otáčky při uvažování různých indukčností je
 opět podobný jako v případě stejných indukčností.
 Pro momenty platí opět rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-momenty-dosazeno"

\end_inset

): 
\begin_inset Formula 
\[
T_{el}-T_{L}-B\omega_{mech}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt}
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset

 vypočteme přes okamžitý elektrický výkon.
 Užijeme tedy rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-vykon"

\end_inset

) a provedeme transformaci souřadnic danou vztahem (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"

\end_inset

):
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
P & = & k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right)\\
 & = & k_{p}\left(\left(u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta\right)\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right)+\left(u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta\right)\left(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta\right)\right)\\
 & = & k_{p}\left(u_{d}i_{d}+u_{q}i_{q}\right)
\end{eqnarray*}

\end_inset

Nyní za napětí dosadíme indukovaná napětí bez složek obsahující derivace
 proudů, tedy
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{ind,d} & = & -L_{q}i_{q}\omega\\
u_{ind,q} & = & \left(L_{d}i_{d}+\psi_{pm}\right)\omega
\end{eqnarray*}

\end_inset

a následně po dosazení do rovnice pro výkon získáme
\begin_inset Formula 
\[
P=k_{p}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)\omega
\]

\end_inset

Výsledkem užitím vztahu pro okamžitý výkon 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 a moment 
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset

, viz rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-okam-vykon-a-el-moment"

\end_inset

), a převodního vztahu pro otáčky (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-el-a-mech-omega"

\end_inset

) je rovnice
\begin_inset Formula 
\[
T_{el}=k_{p}p_{p}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)
\]

\end_inset

a po dosazení do rovnice pro momenty (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-momenty-dosazeno"

\end_inset

), užití převodního vztahu pro otáčky (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-el-a-mech-omega"

\end_inset

) a vyjádření derivací získáme rovnici pro otáčky ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega\label{eq:rovnice-pro-omega-ruzne-ldq}
\end{equation}

\end_inset

který lze rovněž najít v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Chen2009,Genduso2010"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Shrnutí rovnic pro PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní bude pro přehlednost uvedeno shrnutí výše odvozených rovnic popisujících
 PMSM.
 Nejdříve soustava rovnic v souřadnicích 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 při uvažování stejných indukčností, tedy rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ls"

\end_inset

), (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pro-omega-ls"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:definice-otacek"

\end_inset

):
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\alpha}\nonumber \\
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\beta}\label{eq:rovnice-pmsm-albe-ls}\\
\frac{d\omega}{dt} & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega\nonumber \\
\frac{d\vartheta}{dt} & = & \omega\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

Následuje soustavě pro různé indukčnosti 
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset

 v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 vzniklá spojením rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ldq-v-dq"

\end_inset

), (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pro-omega-ruzne-ldq"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:definice-otacek"

\end_inset

):
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{d}}i_{d}+\frac{L_{q}}{L_{d}}i_{q}\omega+\frac{1}{L_{d}}u_{d}\nonumber \\
\frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{q}}i_{q}-\frac{L_{d}}{L_{q}}i_{d}\omega-\frac{\psi_{pm}}{L_{q}}\omega+\frac{1}{L_{q}}u_{q}\label{eq:rovnice-pmsm-dq-ldq}\\
\frac{d\omega}{dt} & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega\nonumber \\
\frac{d\vartheta}{dt} & = & \omega\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Mechanické veličiny a senzory
\end_layout

\begin_layout Standard
Jak je patrné z výše odvozeného modelu PMSM, když chceme stroj dobře řídit,
 je potřeba znát s dostatečnou přesností fyzikální veličiny, které zachycují
 jeho stav v daném časovém okamžiku.
 Jako tyto veličiny v základu volíme elektrické proudy a napětí a dále pak
 polohu rotoru a rychlost jeho otáčení.
 Získat dostatečně přesné hodnoty těchto veličin však není vždy zcela jednoduché.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
U elektrických proudů na výstupu stroje předpokládáme, že je měříme s dostatečno
u přesností.
 Elektrická napětí na vstupu předpokládáme známá, protože se obvykle jedná
 o řídící veličiny.
 Je však třeba poznamenat, že napětí požadovaná řídícím algoritmem a skutečná
 napětí dodaná napájecí elektronikou se mohou často značně lišit.
 Vliv tohoto konkrétního problému bude podrobněji diskutován dále v textu.
\end_layout

\begin_layout Standard
Získání hodnot mechanických veličin v reálném čase je v praxi mnohem komplikovan
ější.
 Je totiž třeba užít speciálních senzorů jako například: pulzní snímače
 na principu vhodného kódu 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "novak2006"

\end_inset

, Hallovy senzory 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PUK1"

\end_inset

 nebo rezolvery 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAH1,novak2006"

\end_inset

.
 Pro praktické aplikace je však třeba ekonomických, robustních a kompaktních
 motorů a využití senzorů přináší obecně mnoho nevýhod jako například 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Pacas2011,Yongdong2008"

\end_inset

: 
\end_layout

\begin_layout Itemize
větší hardwarová složitost zařízení, více vodičů, sběrnic a konektorů, větší
 rozměry
\end_layout

\begin_layout Itemize
vyšší cena, vliv na životní cyklus výrobku
\end_layout

\begin_layout Itemize
menší spolehlivost a menší odolnost proti šumu
\end_layout

\begin_layout Itemize
nutno řešit negativní vlivy na senzory: elektromagnetické pole, oscilace,
 vysoké rychlosti a teploty
\end_layout

\begin_layout Itemize
vyšší nároky na údržbu
\end_layout

\begin_layout Itemize
menší robustnost, problém při selhání senzoru, je-li motor současně využíván
 i jako brzda 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PCW1"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Je tedy snahou se užití senzorů vyhnout a k určování polohy a otáček rotoru
 využít jiných, 
\emph on
bezsenzorových
\emph default
, metod.
 Ty jsou obvykle založeny na speciálním algoritmu, který odhaduje hodnoty
 mechanických veličin z hodnot veličin elektrických.
\end_layout

\begin_layout Standard
S bezsenzorovými metodami byly na počátku spojeny problémy s výpočetní náročnost
í.
 To se však změnilo s dostupností moderních výkoných elektronických prvků
 umožňujících implementaci náročnějších algoritmů a tím byl umožněn rozvoj
 bezsenzorového řízení.
 V posledních letech tak byl současně v akademické i průmyslové sféře odstartová
n intenzivní výzkum na poli pokročilých řídících strategií.
 Pro komerční průmyslovou aplikaci je však bezsenzorový návrh rozumný, jen
 pokud se neprodraží více než původně uvažované senzory.
 Nelze tedy bezsenzorový návrh příliš usnadnit přidáním dalších elektrických
 senzorů (napříkad napěťových), užití nejvýkonějších dostupných procesorů,
 případně požadavkem na jinou nebo speciální konstrukci samotného motoru
 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Pacas2011"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Metody pro odhadování stavových veličin PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
K odhadování stavových veličin PMSM v bezsenzorovém návrhu je možno přistupovat
 z různých směrů a lze při tom využít mnoha specifických jevů.
 V důsledku toho byla vyvinuta celá řada více či méně uspěšných metod.
 Následující přehled čerpá svoji osnovu z 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Yongdong2008"

\end_inset

, ta je dále doplněna o konkrétní příklady z dalších zdrojů.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Metody založené na otevřené smyčce
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Přímý výpočet 
\end_layout

\begin_layout Standard
Požadované veličiny (poloha a otáčky) jsou přímo vyjádřeny a vypočteny z
 rovnic popisujících PMSM.
 Jedná se o přímočarou a jednoduchou metodu s velmi rychlou dynamickou odezvou.
 Není třeba užití komplikovaného pozorovatele, nicméně metoda je velmi citlivá
 na chyby měření, šum a nepřesné určení parametrů stroje.
\end_layout

\begin_layout Standard
Příkladem může být následující postup při použití rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"

\end_inset

) v souřadné soustave 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

: Vyjdeme z
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\alpha}\\
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\beta}
\end{eqnarray*}

\end_inset

vyjádříme 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\varepsilon_{\alpha}=\omega\sin\vartheta & = & \frac{L_{s}}{\psi_{pm}}\frac{di_{\alpha}}{dt}+\frac{R_{s}}{\psi_{pm}}i_{\alpha}-\frac{1}{\psi_{pm}}u_{\alpha}\\
\varepsilon_{\beta}=\omega\cos\vartheta & = & -\frac{L_{s}}{\psi_{pm}}\frac{di_{\beta}}{dt}-\frac{R_{s}}{\psi_{pm}}i_{\beta}+\frac{1}{\psi_{pm}}u_{\beta}
\end{eqnarray*}

\end_inset

a na závěr vypočteme
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\left|\omega\right| & = & \sqrt{\varepsilon_{\alpha}^{2}+\varepsilon_{\beta}^{2}}\\
\vartheta & = & \arctan\frac{\varepsilon_{\alpha}}{\varepsilon_{\beta}}
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Výpočet statorové indukčnosti 
\end_layout

\begin_layout Standard
Používá se pro IPMSM, kde indukčnost statorových fází je funkcí polohy rotoru.
 Poloha rotoru je tedy vypočtena z napětí a proudu ve statorové fázi.
 Problémy nastavají v důsledku nepřesného výpočtu indukčnosti a dále při
 saturaci magnetickým tokem, kdy metoda poskytuje špatné výsledky.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Integrace zpětné elektromotorické síly 
\end_layout

\begin_layout Standard
Metoda využíva toho, že v synchronním stroji rotuje statorový a rotorový
 tok synchronně a tedy ze znalosti statorového toku lze vypočítat, na základě
 rovnic stroje, úhel rotorového toku, tedy polohu hřídele.
 Problém tohoto přístupu je především v citlivosti na chyby a (především
 teplotní) změny rezistance statoru.
 Dále metoda funguje špatně při nízkých otáčkách.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Rozšířená elektromotorická síla 
\end_layout

\begin_layout Standard
Jedná se především o rozšíření konceptu zpětné elektromotorické síly na
 IPMSM, kde navíc vystupují rozdílné indukčnosti.
 Umožňuje tedy užití metod pro SMPMSM založených na EMF i pro IPMSM.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Metody s uzavřenou smyčkou
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Rozšířený Kalmanův filtr 
\end_layout

\begin_layout Standard
Tato metoda poskytuje ve srovnání s ostatními velmi dobré výsledky, je méně
 ovlivněna šumem měření a nepřesností parametrů.
 Je asi nejpoužívanějším nelineárním pozorovatelem pro odhadování stavových
 veličin PMSM.
 Popis jeho aplikace lze naléz například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSB1,PEB2,PEB1,Peroutka2009"

\end_inset

.
 Problematičtější je nutnost vhodné volby kovariančních matic.
 Dále je třeba vhodně vyřešit problém s konvergencí ke špatnému řešení (symetrie
 
\begin_inset Formula $\left(\omega,\vartheta\right)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\left(-\omega,\vartheta+\pi\right)$
\end_inset

).
 Postup je také problematičtější pro IPMSM s různými indukčnostmi.
 Dalšími nevýhodami jsou vyšší výpočetní a časová náročnost.
 Detailnímu popisu algoritmu rozšířeného Kalmanova filtru a jeho následné
 aplikaci na PMSM bude věnována zvláštní pozornost dále v textu (
\series bold
odkaz
\series default
).
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
MRAS 
\end_layout

\begin_layout Standard
Algoritmus využívá redundance dvou různých modelů stroje k určení stejných
 veličin z jiné množiny vstupů.
 Chyba mezi estimovanými veličinami jednotlivých modelů je pak úměrná úhlovému
 posunu mezi dvěma odhadovanými vektory toku.
 Tato chyba je pak obvykle minimalizována PI regulátorem.
 Příkladem je využití napěťového modelu a proudového modelu k určení chyby
 toku, ze které je určena rychlost.
 Jinou možností je užít jako jeden z modelů samotný PMSM.
 Nevýhodou je silná závislost na přesnosti parametrů stroje.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Jednoduché adaptivní řízení 
\end_layout

\begin_layout Standard
Návrh pro případ známé velikosti toku permanentních magnetů.
 Výhodou je zvládnutí kompenzace konstantní posun napětí, avšaj má problémy
 při nízkých otáčkách.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Klouzavý pozorovatel (sliding mode observer)
\end_layout

\begin_layout Standard
Přístup zajišťuje nulovou chybu odhadovaného statorového proudu.
 Dále pak rekonstruuje zpětnou elektromotorickou sílu a vypočítává z ní
 polohu rotoru.
 Opět má problémy při nízkých otáčkách.
 Existuje i iterativní verze klouzavého pozorovatele, viz například 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSK1"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Metody založené na neideálních vlastnostech motoru 
\end_layout

\begin_layout Standard
Odstraňují kritickou závislost na velikosti zpětné elektromotorické síly
 úměrné otáčkám stroje.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Vyskofrekvenční (HF) injektáž 
\end_layout

\begin_layout Standard
Založená na vlastnosti magnetických 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

výčnělků
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 (saliency) především u IPMSM, případně na lokálních anizotropiích v důsledku
 saturace magnetickým tokem typicky pro SMPMSM.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Injektovaný signál je periodický, generuje točivé nebo střídavé pole ve
 specifickém, předem určeném prostorovém směru.
 Tento signál je označován jako 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

nosný
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 -- periodický na nosné frekvenci vzhledem k času nebo prostoru.
 Nosný signál je modulován aktuální prostorovou orientací anizotropií stroje.
 Přídaný signál je následně extrahován z výstupu stroje a demodulován, tím
 je získán úhel natočení.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Výhodné je injektovat do 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 osy, kde nedochází k rušení momentu.
 Dále injektáží do 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 osy lze užít saturace tokem pro motory s nevýraznými výstupky, to však
 není vhodné pro aplikace při silném zatížení.
 Další možností je injektovat ve statorových souřadnicích 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Výhodou injektáží je necitlivost k nepřesné znalosti parametrů stroje.
 Nevýhodou je spotřeba jistého množství napětí, což snižuje dostupné maximální
 napětí.
 Dalším nedostatekem je užití digitálních filtrů pro zpracování a špatný
 dynamický výkon v důsledku jejich užití.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Nizkofrekvenční (LF) injektáž 
\end_layout

\begin_layout Standard
Injektování nízké frekvence do 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 osy.
 To způsobí změnu v otáčkách indikující chybu odhadu.
 Z ní je pak možné odhadnout polohu.
 Založeno na jiném principu než vysokofrekvenční injektáže a výstupky již
 nejsou nutnou podmínkou pro tuto metodu.
 Funkčnost závisí na momentu setrvačnosti stroje a pro jeho velké hodnoty
 selháva.
 Dalším nedostatkem je pomalá dynamická odezva.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
INFORM (Indirect flux detection by on-line reactance measurement) 
\end_layout

\begin_layout Standard
Použití pro určení polohy PMSM při nízkých a nulových otáčkách.
 Založeno na měření proudové odezvy vyvolané napěťovým vektorem aplikovaným
 v různých prostorových směrech a užitím tohoto proudu k identifikaci změny
 induktance.
 Výhodou je jednoduchý výpočet a dále není třeba rovnic pro motor.
 Tedy metoda je necitlivá na změnu/nepřesné hodnoty parametrů.
 Je však citlivá na chyby toku způsobující špatný odhad.
 Dále tato metoda způsobuje rušení proudů v ustáleném stavu.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Detekce počáteční polohy 
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro hladký start PMSM je třeba znát počáteční polohu.
 Obvykle je užito vhodné excitace stroje k získání informace o poloze.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Užití impulzního napětí 
\end_layout

\begin_layout Standard
Založeno na změně indukčnosti s pozicí magnetů na rotoru.
 Za klidu jsou do statorových fází aplikovány napěťové obdélníkové pulzy
 a z proudů je následně vupočítána informace o poloze.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Testovací napěťové vektory 
\end_layout

\begin_layout Standard
Napěťové vektory v různých prostorových směrech jsou aplikovány do stroje
 a je měřena proudová odezva.
 Nejvyšší odezva pak indikuje pozici rotoru.
 Funkčnost metody je založena na saturaci statorového jádra.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Vysokofrekvenční (HF) testovací signál 
\end_layout

\begin_layout Standard
Počáteční poloha je získávána z odezvy na injektovaný proudový nebo napěťový
 vysokofrekvenční signál.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Kombinace metod
\end_layout

\begin_layout Standard
Vzhledem k tomu, že každá z výše uvedených metod má své nedostatky, nejlepších
 výsledků je dosahována jejich kombinací.
\end_layout

\begin_layout Standard
V 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSB1"

\end_inset

 představují bezsenzorové řízení založené na EKF estimátoru ve spojení s
 PI regulátory.
 To nepotřebuje znát počáteční natočení rotoru a zátěžný moment.
 PI regulátor napětí lze nastavit se zamčeným rotorem a je řešen i problém
 s rozpoznáním 
\begin_inset Formula $\mathrm{sign}\,\omega$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Článek 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PEB2"

\end_inset

 je také zaměřen na využití EKF, nyní však v případě IPMSM.
 Návrh je komplikovanější v důsledku anizotropie stroje, autoři se ji však
 snaží využít k vylepšení výkonu systému.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
V 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PLU1"

\end_inset

 využívají řízení založené na klouzavém pozorovateli, kde si ale navíc při
 nízkých otáčkách 
\begin_inset Formula $\omega\thickapprox0$
\end_inset

 pomáhají injektováním stejnosměrného proudu do 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 osy.
 Nevyužívají však anizotropií ani nijak zvlášť neanalyzují injektovaný signál.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Hybridní metody s injektáží
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Více modelů
\end_layout

\begin_layout Standard
sekvenční Monte Carlo metoda -- Particle Filter
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset bibtex
LatexCommand bibtex
bibfiles "vyz_clanky,vyz_texty,dp_clanky"
options "czechiso"

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document
