Changeset 1443

Timestamp:

04/02/12 16:25:09 (14 years ago)

Author:

vahalam

Message:

 

Location:

applications/dual/vahala/DP

Files:

• dp_clanky.bib (modified) (1 diff)
• kapitola1.lyx (modified) (11 diffs)
• kapitola1.pdf (modified) (previous)

applications/dual/vahala/DP/dp_clanky.bib

@@ -100 +100 @@
  edition   = {1},
  isbn      = {80-7200-420-4},}
+
+@ARTICLE{TichavskyPCRB, 
+author={Tichavsky, P. and Muravchik, C.H. and Nehorai, A.}, 
+journal={Signal Processing, IEEE Transactions on}, 
+title={Posterior Cramer-Rao bounds for discrete-time nonlinear filtering }, 
+year={1998}, 
+month={may}, 
+volume={46}, 
+number={5}, 
+pages={1386 -1396}, 
+doi={10.1109/78.668800}, 
+ISSN={1053-587X},}
+
+@ARTICLE{BarShalom1974, 
+author={ Bar-Shalom, Y. and Tse, E.}, 
+journal={Automatic Control, IEEE Transactions on}, title={Dual effect, certainty equivalence, and separation in stochastic control}, 
+year={1974}, 
+month={oct}, 
+volume={19}, 
+number={5}, 
+pages={ 494 - 500}, 
+doi={10.1109/TAC.1974.1100635}, 
+ISSN={0018-9286},}

applications/dual/vahala/DP/kapitola1.lyx

@@ -704 +704 @@
 \begin_layout Section
 Model PMSM
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "sec:Model-PMSM"
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
@@ -2012 +2019 @@
  Dalšími nevýhodami jsou vyšší výpočetní a časová náročnost.
  Detailnímu popisu algoritmu rozšířeného Kalmanova filtru a jeho následné
- aplikaci na PMSM bude věnována zvláštní pozornost dále v textu (
+ aplikaci na PMSM bude věnována zvláštní pozornost dále v textu (část 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sub:EKF-popis"
+
+\end_inset
+
+) a (
 \series bold
 odkaz
@@ -2078 +2092 @@
 
 \begin_layout Standard
-Založená na vlastnosti magnetických 
+Metoda je založena na vlastnosti magnetických 
 \begin_inset Quotes gld
 \end_inset
@@ -2088 +2102 @@
  (saliency) především u IPMSM, případně na lokálních anizotropiích v důsledku
  saturace magnetickým tokem typicky pro SMPMSM.
+ Detailněji se základní metodou injetkáže zabývají v 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "PAB1,PAH1,PSJ1"
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Injektovaný signál je přiváděn na vstup stroje spolu s řízením.
+ Generuje točivé nebo střídavé pole ve specifickém, předem určeném prostorovém
+ směru.
+ Tyto dva rozdílné přístupy jsou také označovány jako 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+rotující napěťový vektor
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+pulzující napěťový vektor
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+ v tomto pořadí.
+ Jejich srovnání a aplikaci na oba typy PMSM (SM a I) lze nalézt v 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "PCB1,PCK1"
+
+\end_inset
+
+.
  
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Injektovaný signál je periodický, generuje točivé nebo střídavé pole ve
- specifickém, předem určeném prostorovém směru.
- Tento signál je označován jako 
+Přídavný injektovaný signál je označován jako 
 \begin_inset Quotes gld
 \end_inset
@@ -2102 +2153 @@
 \end_inset
 
- -- periodický na nosné frekvenci vzhledem k času nebo prostoru.
- Nosný signál je modulován aktuální prostorovou orientací anizotropií stroje.
- Přídaný signál je následně extrahován z výstupu stroje a demodulován, tím
- je získán úhel natočení.
+ a je periodický na nosné frekvenci vzhledem k času nebo prostoru.
+ Nosný signál je modulován aktuální prostorovou orientací anizotropií stroje
+ a následně signál je následně extrahován z výstupu stroje a demodulován.
+ Tím postupem je obecně získávána hodnota úhlu natočení.
  
 \end_layout
@@ -2131 +2182 @@
 \begin_layout Standard
 Výhodou injektáží je necitlivost k nepřesné znalosti parametrů stroje.
+ Například články 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "PSL1,PSL3"
+
+\end_inset
+
+ představují injektážní metodu, která nepotřebuje znát parametry stroje.
+ V případě 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "PSL3"
+
+\end_inset
+
+ se navíc snaží kompenzovat i negativní vliv invertoru a rozšířit schopnost
+ detekce anizotropií i na velmi malé nepravidelnosti typické pro SMPMSM.
  Nevýhodou je spotřeba jistého množství napětí, což snižuje dostupné maximální
  napětí.
  Dalším nedostatekem je užití digitálních filtrů pro zpracování a špatný
  dynamický výkon v důsledku jejich užití.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Injektáž velmi vysokých frekvencí
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tento relativně nový postup prezentovaný v 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "PAP1"
+
+\end_inset
+
+ nedetekuje anizotropie v důsledku saturace případně anizotropie samotného
+ rotoru rotoru.
+ Místo toho je založena na neideálních vlastnostech (anizotropiích) samotných
+ permanentních magnetů.
+ Z tohoto důvodu ji lze využít v případech kdy ostatní metody selhávají,
+ například z důvodu nepřítomnosti klasických anizotropií.
+ Pro správnou funkčnost metoda je však nutné užití velmi vysokých frekvencí
+ v řádu stovek 
+\emph on
+kHz
+\emph default
+.
+ Nevýhodou je nutnost volby optimální hodnoty frekvence specificky pro konkrétní
+ typ magnetu.
+ Dále pak to, že se jedná o relativně novou metodu, která zatím není detailněji
+ prozkoumána.
+ 
 \end_layout
 
@@ -2185 +2284 @@
 
 \begin_layout Standard
-Založeno na změně indukčnosti s pozicí magnetů na rotoru.
- Za klidu jsou do statorových fází aplikovány napěťové obdélníkové pulzy
- a z proudů je následně vupočítána informace o poloze.
+Postup je založen na sycení a změně indukčnosti statoru s pozicí magnetů
+ na rotoru.
+ Za klidu jsou do statorových fází aplikovány napěťové pulzy a z proudů
+ je následně vupočítána informace o poloze.
+ Příkladem může být technika představená v 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "PIS1"
+
+\end_inset
+
+, která nevyžaduje znalost parametrů stroje a je možno ji aplikovat i na
+ SMPMSM.
 \end_layout
 
@@ -2216 +2325 @@
 \begin_layout Standard
 Vzhledem k tomu, že každá z výše uvedených metod má své nedostatky, nejlepších
- výsledků je dosahována jejich kombinací.
+ výsledků je dosahováno jejich vhodnou kombinací.
+ Kombinování metod má však i své nedostatky: Obecně komplikuje celý návrh
+ a ten se stává složitějším.
+ Dalším problémem je nutnost řešit správné napojední jednotlivých kombinovaných
+ metod.
+ 
 \end_layout
 
@@ -2248 +2362 @@
 
  je také zaměřen na využití EKF, nyní však v případě IPMSM.
- Návrh je komplikovanější v důsledku anizotropie stroje, autoři se ji však
- snaží využít k vylepšení výkonu systému.
+ Návrh je komplikovanější v důsledku uvažování anizotropií stroje, autoři
+ se ji však snaží využít k vylepšení výkonu systému.
  
 \end_layout
@@ -2278 +2392 @@
 \end_layout
 
+\begin_layout Standard
+Jako hybridní metody budou v textu označovány kombinace nejčastěji používaných
+ přístupů pro PMSM, tedy injektážních a technik založených na zpětné elektromoto
+rické síle.
+ Užití injektáží je vhodné pro nízké a nulové otáčky, zatímco ve vyšších
+ rychlostech způsobuje nežádoucí rušení.
+ Oproti tomu přístupy využívající zpětnou elektromotorickou sílu fungují
+ pří vyšších otáčkách dobře a pro nízké selhávají.
+ Je tedy nasnadě oba typy metod vhodným způsobem zkombinovat a získat tak
+ způsob jak odhadovat stavové veličiny v celém rozsahu rychlostí stroje.
+ Základní idea tedy je pří nízkých otáčkách využívat odhadů z injektáží
+ a při zvýšení otáček injektáže vypnout, aby nezpůsobovali rušení a dále
+ se řídit jen na zákledě odhadů ze zpětné elektromotorické síly.
+ Tento postup je použit v 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "PAP2"
+
+\end_inset
+
+, kdy jako estimátor používají adaptivního pozorovatele s referenčním modelem,
+ který je pro nízké otáčky doplněn základním návrhem injektáže.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Důležitou součástí těchto metod je způsob, jakým se vyřeší 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+bezproblémový
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+ přechod z jednoho estimátoru na jiný.
+ V 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "PHS1"
+
+\end_inset
+
+ je to například řešeno tak, že stále užívají estimátor rotorového toku
+ založený na indukovaných napětích.
+ V nízkých otáčkách je pak doplňován injektáží, ta s rostoucími otáčkami
+ postupně vymizí.
+ Obdobně v 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "PSP1"
+
+\end_inset
+
+ je užit estimátor založený na napěťovém modelu, v nízkých otáčkách je přidána
+ vysokofrekvenční injektáž.
+ Amplituda injektáže s rostoucími otáčkami lineárně klesá a navíc je nad
+ určitou mezní rycholostí úplně vypnuta.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hybridní metody jsou samozřejmě dále vylepšovány.
+ Například v 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "PSP2"
+
+\end_inset
+
+ uzpůsobojí standartní hybridní metodu, zejména její injektážní část, aby
+ fungovala i s invertorem vybaveným na výstupu 
+\emph on
+LC
+\emph default
+ filtrem.
+ Toho se užívá zejména k odstranění problému ve střídavých strojích v důsledku
+ napájení nesinusovým napětím z invertoru s pulzně šířkovou modulací.
+ 
+\end_layout
+
 \begin_layout Subsubsection
 Více modelů
@@ -2284 +2476 @@
 \begin_layout Standard
 sekvenční Monte Carlo metoda -- Particle Filter
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Doplňky
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Rozšířený Kalmanův filtr
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "sub:EKF-popis"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Pro úplnost je zde uvedena základní formulace v textu často zmiňovaného
+ rozšířeného Kalmanova filtru (Extended Kalman Filter, EKF).
+ Typicky je algoritmus standartního Kalmanova filtru používán jako pozorovatel
+ lineárního systému.
+ Je však možno jej zobecnit i pro nelineární systémy a pak hovoříme o rozšířeném
+ Kalmanově filtru.
+ Zobecnění je založeno na jednoduché myšlence, kdy původní nelineární systém
+ linearizujeme v každém časovém kroku v okolí odhadu, střední hodnoty a
+ kovariance.
+ Popis standartního Kalmanova filtru je možno nalézt v 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "BertsekasDPOC"
+
+\end_inset
+
+.
+ Následující popis rozšířeného Kalmanova filtru je převzat z (
+\series bold
+citace
+\series default
+):
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Modelový systém
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Předpokládejme nelineární dynamický systém s aditivním šumem popsaný rovnicemi
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+x_{t} & = & f\left(x_{t-1},u_{t-1}\right)+w_{t-1}\\
+y_{t} & = & h\left(x_{t}\right)+v_{t}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+pro 
+\begin_inset Formula $t=1,\ldots,T$
+\end_inset
+
+, kde 
+\begin_inset Formula $x_{t}$
+\end_inset
+
+ je vektor stavu, 
+\begin_inset Formula $u_{t}$
+\end_inset
+
+ vektor řízení, 
+\begin_inset Formula $y_{t}$
+\end_inset
+
+ vektor pozorování (měření) a vektory 
+\begin_inset Formula $v_{t}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $w_{t}$
+\end_inset
+
+ představují na sobě vzájemně nezávislý Gaussovský bílý šum s nulovou střední
+ hodnotou a kovariančními maticemi 
+\begin_inset Formula $R_{t}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $Q_{t}$
+\end_inset
+
+ v tomto pořadí; obecně nelineární funkce 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ představuje funkci systému a 
+\begin_inset Formula $h$
+\end_inset
+
+ funkci měření a předpokládáme je známé.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Označme nyní 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ Jacobiho matici parciálních derivací 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ dle 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ v bodě odhadu, tedy 
+\begin_inset Formula $\left(A_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right)$
+\end_inset
+
+.
+ Obdobně pro funkci 
+\begin_inset Formula $h$
+\end_inset
+
+ označme 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ matici derivací 
+\begin_inset Formula $\left(C_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial h_{i}}{\partial x_{j}}\left(\overline{\hat{x}}_{t},0\right)$
+\end_inset
+
+, kde 
+\begin_inset Formula $\tilde{x}_{t}$
+\end_inset
+
+ představuje aproximaci stavu vypočtenou z odhadu bez šumu 
+\begin_inset Formula $\tilde{x}_{t}=f\left(\overline{\hat{x}}_{t},u_{t-1},0\right)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Algoritmus
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Samotný algoritmus EKF můžeme rozdělit na dvě fáze.
+ V první označované jako časová oprava (time update) nebo také 
+\emph on
+predikce
+\emph default
+ se vypočítá apriorní odhad stavu a kovarianční matice:
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\overline{\hat{x}}_{t} & = & f\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right)\\
+\overline{P}_{t} & = & A_{t}P_{t-1}A_{t}^{T}+Q_{t-1}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+Ve druhé části označované jako oprava měření (measurement update) neboli
+ 
+\emph on
+korekce
+\emph default
+ pak získáme aposteriorní odhad stavu 
+\begin_inset Formula $\hat{x}_{t}$
+\end_inset
+
+ a kovarianční matice 
+\begin_inset Formula $P_{t}$
+\end_inset
+
+:
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+K_{t} & = & \overline{P}_{t}C_{t}^{T}\left(C_{t}\overline{P}_{t}C_{t}^{T}+R_{t}\right)^{-1}\\
+\hat{x}_{t} & = & \overline{\hat{x}}_{t}+K_{t}\left(y_{t}-h\left(\overline{\hat{x}}_{t},0\right)\right)\\
+P_{t} & = & \left(I-K_{t}C_{t}\right)\overline{P}_{t}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+Pro úplnost je ještě třeba dodat počáteční apriorní odhady 
+\begin_inset Formula $\hat{x}_{0}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $P_{0}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Teoretické zdůvodnění injektáží
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+tady bude odvození, proč vlastně injektáže fungují, jak se to projevuje
+ v rovnicích a co je na výstupu
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Hlavní příčiny neurčitosti v PMSM
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Následující popis 
+\series bold
+částečně
+\series default
+ vychází z 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "Peroutka2009"
+
+\end_inset
+
+ (
+\series bold
+případně najít další zdroje
+\series default
+):
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+skutečná napětí ve stroji -- PWM a invertor
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+efekt mrtvých časů
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+nelineární úbytky napětí v důsledku voltamperové charakteristiky napájecí
+ elektroniky
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+chyby měření -- zaokrouhlovací chyba senzorů
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+zanedbání složitějších efektů v modelu -- závislost parametrů na teplotě,
+ saturace magnetickým tokem
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+nepřesné hodnoty parametrů stroje
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+nedokonalosti samotného motoru -- zařízení není nikdy vyrobeno přesně, výskyt
+ nesymetrií, anizotropických vlastností rotoru, samotných permanentních
+ magnetů a podobně
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+vliv diskretizace rovnic -- Eulerova metoda
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+vliv neznámého zátěžného momentu
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+V důsledku bezsenzorového návrhu dále přibývá neznalost:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+počáteční polohy
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+polohy při provozu stroje
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+velikosti otáček při provozu stroje
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+směru otáčení -- která ze symetrických verzí 
+\begin_inset Formula $\left(\omega,\vartheta\right)$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\left(-\omega,\vartheta+\pi\right)$
+\end_inset
+
+ je realizována
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Metody řízení PMSM
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Cílem řízení systému je obvykle dosažení optimální shody se zadanými požadavky.
+ Ty jsou většinou reprezentovány referenčním signálem, který dostává regulátor
+ na svůj vstup spolu s hodnotami pozorování systému.
+ V mnoha případech regulátorů je obvyklé uvažovat jako referenční hodnotu
+ nulu, příkladem může být PI regulátor nebo standartní lineárně kvadratické
+ řízení.
+ Je-li řízený systém lineární, není řízení na nulové hodnoty problémem,
+ protože pro lineární systémy platí princip superpozice a výsledek pro nenulové
+ požadované hodnoty je možno snadno získat lineární operací.
+ V případě nelineárních systémů je situace komplikovanější a nenulový referenční
+ signál je třeba vhodně ošetřit.
+ Příklad takového postupu představuje úprava lineárně kvadratického řízení
+ pro PMSM v kapitole (
+\series bold
+odkaz
+\series default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+V této kapitole bude nejdříve uvedeno obecné členění řídících algoritmů,
+ následovat bude popis klasických technik užívaných k řízení PMSM.
+ Dále bude věnována pozornost duálnímu řízení a na závěr budou popsány Cramer-Ra
+ovy meze jako nástroj použitelný ke srovnání jednotlivých algoritmů z hlediska,
+ jak dobře dokáží zlepšit pozorovatelnost systému.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Rozdělení řídících algoritmů
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "sec:Rozdeleni-ridicich-algoritmu"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Algoritmy užívané pro řízení systémů, tedy nejen PMSM, lze obecně rozdělit
+ na základě jejich charakteristických vlastností do několika skupin.
+ Toto rozdělení je obzvláště výhodné při práci se suboptimálními metodami.
+ Rozčlenění je provedeno na základě dostupnosti pozorováním (měřením) stavu
+ systému pro návrh řídícího zásahu a vychází z 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "BarShalom1974"
+
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Řídicí strategie založené na otevřené smyčce
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+V otevřené smyčce (open-loop) předpokládáme, že není dostupné žádné měření
+ stavu systému.
+ Řídící zásah je tedy navrhován pouze na základě znalosti struktury systému
+ a stanovených požadavků, například ve formě referenčního signálu.
+ Vzhledem k tomu, že tento přístup pouze navrhuje řídící zásahy a již nijak
+ nevyhodnocuje jejich skutečný dopad, výsledky často nejsou dostačující
+ pro náročnější aplikace.
+ Příkladem užití spolu s PMSM může být skalární volt/herz řízení, viz odstavec
+ 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sub:skalarni-rizeni"
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Zpětnovazební řídící strategie
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Oproti předchozí kategorii je zde zavedena zpětná vazba (feedback), která
+ v každém časovém kroku 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ poskytuje měření 
+\begin_inset Formula $y_{t}$
+\end_inset
+
+.
+ Dostupná znalost o systému v čase 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ jsou tedy, kromě jeho struktury, všechna měření 
+\begin_inset Formula $y_{1},\ldots,y_{t}$
+\end_inset
+
+ až do času 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+.
+ Ale dále již nepředpokládáme žádnou znalost o budoucích měřeních.
+ Tento přístup je také označován jako pasivně adaptivní, protože regulátor
+ se 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+učí
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+ na základě měření, ale nijak tomuto učení aktivně 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+nepomáhá
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+.
+ Tedy informace, které se o systému dozví, získává v jistém smyslu náhodou
+ a ne záměrně.
+ Příklad tohoto přístupu představují klasické techniky pro řízení PMSM jako
+ vektorové řízení založené na PI regulátorech nebo LQ ve spojení s nějakým
+ běžným estimátorem založeným na zpětné elektromotorické síle, například
+ EKF.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Řídící strategie založená na uzavřené smyčce
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Nejdříve je třeba poznamenat, že jak uvádějí autoři 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "BarShalom1974"
+
+\end_inset
+
+, není často v literatuře zdůrazňován a rozlišován rozdíl mezi strategií
+ založené na uzavřené smyčce (closed-loop) a zpětnovazební strategií (feedback).
+ Řídící strategie pracující v uzavřené smyčce uvažuje všechna budoucí pozorování
+ a tedy využívá znalosti, že smyčka zůstane uzavřena až do konce uvažovaného
+ časového horizontu.
+ Tuto znalost se snaží zužitkovat, především v tom smyslu, že současný řídící
+ zásah může ovlivnit nejistotu týkající se budoucích stavů, to je také nazýváno
+ jako 
+\emph on
+duální efekt
+\emph default
+.
+ V tomto případě může vhodný řídící zásah 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+pomoci
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+ učení (odhadování) tím, že snižuje nejistotu budoucích stavů a tento přístup
+ lze označit za aktivně adaptivní.
+ Taté problematice se detailněji věnuje část 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sec:Dualni-rizeni"
+
+\end_inset
+
+ zabývající se duálním řízením.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Klasické metody řízení PMSM
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Skalární řízení
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "sub:skalarni-rizeni"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Skalární řízení je často využíváno v asynchronních strojích, je však možné
+ užit jej i pro PMSM.
+ Detailněji je popsáno například v 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "shfpmsmct2007"
+
+\end_inset
+
+.
+ Jeho velkou výhodou je, že se jedná v podstatě o bezsenzorový návrh řízení,
+ protože funguje na principu nezpětnovazebního řízení.
+ Nevýhodou je pak závislost rychlosti na zátěžném momentu, špatná regulace
+ momentu a horší dynamické vlastnosti.
+ I přes zmíněné nevýhody toto řízení obvykle stačí na jednudušší aplikace
+ jako pohon větráků, čerpadel nebo klimatizací 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "Pacas2011"
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Toto řízení je také označováno jako 
+\begin_inset Formula $V/f$
+\end_inset
+
+ nebo volt/herz řízení, protože regulovanou veličinou je právě poměr napětí
+ a frekvence.
+ Snahou řízení je udržet poměr napětí a frekvence konstantní.
+ Úhlová rychlost rotoru může být určena nepřímo výpočtem z frekvence napájecího
+ napětí.
+ Tato hodnota může být považována za hodnotu skutečných otáček stroje, pokud
+ zátěžný moment nepřesáhne kritickou hodnotu.
+ Pro řízení ale skutečnou hodnotu otáček stroje znát nepotřebujeme, algoritmus
+ totiž pracuje následovně:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Z požadovaných otáček se určí frekvence 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+, ta slouží jako referenční signál pro regulátor.
+ Ten pak řídí poměr napětí a frekvence 
+\begin_inset Formula $V/f$
+\end_inset
+
+ tak, aby byl konstantní.
+ Na jeho výstupu získáme amplitudu napětí 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Řídící napětí pro PMSM v 
+\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
+\end_inset
+
+ souřadnicích je pak ve tvaru 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+u_{\alpha} & = & V\cos(2\pi ft)\\
+u_{\beta} & = & V\sin(2\pi ft)
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Přímé řízení momentu
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Přímé řízení momentu (Direct Torque Control, DTC) se užívá, když je potřeba
+ vysoký výkon vzhledem k dynamice momentu.
+ Je řízen přímo moment stroje a základní princip je následující: Kruhová
+ trajektorie statorového toku se rozdělí na šest symetrických částí.
+ Velikosti vektorů statorového toku a elektromagnetického momentu v souřadnicích
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
+\end_inset
+
+ je pak držena v předem stanovených mezích prostřednictvím vhodného spínání
+ jedné ze šesti kombinací na invertoru.
+ 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "shfpmsmct2007,vcmdtc2006"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Touto metodou text již dále nezabývá a je zde uvedena jen pro úplnost.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Vektorové řízení
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Jedná se asi o nejčastěji využívaný řídící algoritmus.
+ Je užíván pro řízení v kombinaci s estimátorem založeným na zpětné elektromotor
+ické síle, injektáži i v hybridních verzích v naprosté většině citovaných
+ textů z části (
+\series bold
+citace
+\series default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dle 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "shfpmsmct2007"
+
+\end_inset
+
+ vektorové řízení odstraňuje většinu nevýhod skalárního řízení a v porovnání
+ s ním poskytuje velmi dobrý výkon.
+ Jedná se o řízení zpětnovazební a umožňuje samostatné řízení toku i momentu,
+ potřebuje však znát odhady stavových veličin stroje včetně mechanických.
+ Základní struktura je pak založena na vhodné kombinaci PI regulátorů.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+PI regulátor
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+PI (proporcionálně integrační) regulátor je jednoduchý systém, který v sobě
+ kombinuje dvě základní části: Proporcionální část, což je ve své podstatě
+ zesilovač a integrální část reprezentovanou integrátorem.
+ V tomto systému se vyskytují dvě konstanty 
+\begin_inset Formula $K_{p}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $K_{i}$
+\end_inset
+
+, které je třeba vhodně nastavit.
+ Základní implementace je následnovná:
+\begin_inset Formula 
+\[
+x_{t}=\mathrm{PI}\left(e_{t},K_{p},K_{i}\right)=K_{p}e_{t}+K_{i}\intop_{0}^{t}e_{\tau}d\tau.
+\]
+
+\end_inset
+
+Diskrétní verze pak
+\begin_inset Formula 
+\[
+x_{t}=\mathrm{PI}\left(e_{t},K_{p},K_{i}\right)=K_{p}e_{t}+K_{i}\sum_{k=0}^{t}e_{k}.
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tento regulátor je výhodné užít v případě, kdy chceme vyregulovat 
+\begin_inset Formula $e_{k}$
+\end_inset
+
+ obvykle reprezentující odchylku od požadované hodnoty na nulu.
+ V některých případech bychom si vystačili s proporcionální složkou, integrální
+ složka však dodává lepší stabilitu a schopnost odstranit konstatní regulační
+ odchylku.
+ Cenou za to je pomalejší konvergence.
+ (
+\series bold
+citace
+\series default
+)
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Lineárně kvadratické řízení 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Lineárně kvadratické řízení (Linear-Quadratic, 
+\emph on
+LQ
+\emph default
+) je primárně navrženo pro řízení lineárních systémů s kvadratickou ztrátovou
+ funkcí.
+ Často lze v literatuře nalézt i pojem lineárně kvadraticky Gaussovské řízení
+ (Linear-Quadratic-Gaussian, 
+\emph on
+LQG
+\emph default
+), pod kterým je obvykle rozumněno spojení lineárně kvadratického řízení
+ s Kalmanovým filtrem a je tedy užíváno pro lineární systém, kvadratickou
+ ztrátovou funkci a Gaussovský šum.
+ Tato část textu je však zaměřena na řízení a tedy zde bude popsána pouze
+ část LQ.
+ Dále je třeba zmínit, že existuje celá řada různých modifikací a vylepšení
+ základního algoritmu, například pro nelineární systémy nebo lepší numerické
+ vlastnosti.
+ Základní formulace podle 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "BertsekasDPOC"
+
+\end_inset
+
+ je následovná:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Uvažujme lineární systém 
+\begin_inset Formula 
+\[
+x_{t+1}=A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}+w_{t},\quad t=0,1,\ldots,T-1,
+\]
+
+\end_inset
+
+kde obecně vektorová veličina 
+\begin_inset Formula $x_{t}$
+\end_inset
+
+ reprezentuje stav systému v časovém kroku 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+, veličina 
+\begin_inset Formula $u_{t}$
+\end_inset
+
+ řízení v čase 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $w_{t}$
+\end_inset
+
+ je vzájemně nezávislý Gaussovský bílý šum s nulovou střední hodnotou a
+ známou kovarianční maticí; je uvažován konečný diskrétní časový horizont
+ 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ kroků.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Kvadratická ztrátová funkce je
+\begin_inset Formula 
+\[
+\mathbf{E}\left\{ x_{T}^{T}Q_{T}x_{T}+\sum_{t=0}^{T-1}\left(x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}\right)\right\} 
+\]
+
+\end_inset
+
+kde 
+\begin_inset Formula $\mathbf{E}$
+\end_inset
+
+ značí očekávanou hodnotu, 
+\begin_inset Formula $Q_{t}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $R_{t}$
+\end_inset
+
+ jsou penalizační matice stavu systému (splnění požadavků řízení), respektive
+ penalizace vstupů.
+ Při uvažování neúplné informace 
+\begin_inset Formula $I_{t}$
+\end_inset
+
+ o stavu je optimální řízení 
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+\lang english
+
+\begin_inset Formula $\mu_{t}$
+\end_inset
+
+
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang czech
+ v každém časovém kroku rovno
+\begin_inset Formula 
+\[
+\mu_{t}(I_{t})=L_{t}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{t}\mid I_{t}\right\} 
+\]
+
+\end_inset
+
+kde matice 
+\begin_inset Formula $L_{t}$
+\end_inset
+
+ je dána rovností
+\begin_inset Formula 
+\begin{equation}
+L_{t}=-\left(R_{t}+B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}A_{t}\label{eq:riccati-lqg-matice-L}
+\end{equation}
+
+\end_inset
+
+přičemž matice 
+\begin_inset Formula $K_{t}$
+\end_inset
+
+ získáme rekurzivně z Riccatiho rovnice
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray}
+K_{T} & = & Q_{T}\label{eq:riccati-lqg-matice-K}\\
+K_{t} & = & A_{t}^{T}\left(K_{t+1}-K_{t+1}B_{t}\left(R_{t}+B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}\right)A_{t}+Q_{t}\nonumber 
+\end{eqnarray}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Lineárně kvadratický algoritmus s QR rozkladem
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Předchozí výpočet pomocí Riccatiho rovnice (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:riccati-lqg-matice-L"
+
+\end_inset
+
+) a (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:riccati-lqg-matice-K"
+
+\end_inset
+
+) však není příliš vhodným z numerických důvodů (
+\series bold
+nějaká reference
+\series default
+).
+ Místo něj je pro praktické výpočty výhodnější použít algoritmus lineárně
+ kvadratického řízení založený na QR rozkladu (
+\series bold
+reference
+\series default
+).
+ Tento algoritmus má lepší numerické vlastnosti, umožňuje snadnější výpočet
+ maticové inverze (inverze pouze trojúhelníkové matice) a lze pomocí něj
+ implementovat i složitější kvadratickou ztrátovou funkci (nejen dva členy
+ pro penalizaci stavu a vstupů).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Postup je založen na přepisu kvadratické ztráty do tvaru
+\begin_inset Formula 
+\[
+x_{t+1}^{T}Q_{t}x_{t+1}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}=x_{t+1}^{T}\sqrt{Q_{t}}^{T}\sqrt{Q_{t}}x_{t+1}+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t}
+\]
+
+\end_inset
+
+kde 
+\begin_inset Formula $\sqrt{\,}$
+\end_inset
+
+ je vhodná maticová odmocnina.
+ A tedy v každém časovém kroku 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ minimalizujeme funkci
+\begin_inset Formula 
+\[
+x_{t+1}^{T}\sqrt{Q_{t}}^{T}\sqrt{Q_{t}}x_{t+1}+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t}+x_{t+1}^{T}\sqrt{S_{t}}^{T}\sqrt{S_{t}}x_{t+1}
+\]
+
+\end_inset
+
+kde 
+\begin_inset Formula $S_{t}$
+\end_inset
+
+ reprezentuje ztrátu v následujících časových krocích až do konce časového
+ horizontu.
+ Do tohoto kvadratického výrazu je možno dostadit model vývoje pro 
+\begin_inset Formula $x_{t+1}=A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(Ax_{t}+B_{t}u_{t}\right)^{T}\sqrt{Q_{t}}\sqrt{Q_{t}}\left(Ax_{t}+B_{t}u_{t}\right)+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t}+\left(Ax_{t}+B_{t}u_{t}\right)^{T}\sqrt{S_{t}}^{T}\sqrt{S_{t}}\left(Ax_{t}+B_{t}u_{t}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+a následně jej zapsat maticově ve tvaru
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(\begin{array}{c}
+u_{t}\\
+x_{t}
+\end{array}\right)^{T}\left[\begin{array}{cc}
+\sqrt{Q_{t}}B_{t} & \sqrt{Q_{t}}A_{t}\\
+\sqrt{R_{t}} & 0\\
+\sqrt{S_{t}}B_{t} & \sqrt{S_{t}}A_{t}
+\end{array}\right]^{T}\underset{Z}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}
+\sqrt{Q_{t}}B_{t} & \sqrt{Q_{t}}A_{t}\\
+\sqrt{R_{t}} & 0\\
+\sqrt{S_{t}}B_{t} & \sqrt{S_{t}}A_{t}
+\end{array}\right]}}\left(\begin{array}{c}
+u_{t}\\
+x_{t}
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+na matici 
+\begin_inset Formula $Z$
+\end_inset
+
+ následně aplikujeme QR rozklad, to jest 
+\begin_inset Formula $Z=Q_{Z}R_{Z}$
+\end_inset
+
+ a předchozí vztah upravíme na tvar
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(\begin{array}{c}
+u_{t}\\
+x_{t}
+\end{array}\right)^{T}Z^{T}Z\left(\begin{array}{c}
+u_{t}\\
+x_{t}
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
+u_{t}\\
+x_{t}
+\end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}Q_{Z}^{T}Q_{Z}R_{Z}\left(\begin{array}{c}
+u_{t}\\
+x_{t}
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
+u_{t}\\
+x_{t}
+\end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}R_{Z}\left(\begin{array}{c}
+u_{t}\\
+x_{t}
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+a dále využijeme rovnosti 
+\begin_inset Formula $Q_{Z}^{T}Q_{Z}=I$
+\end_inset
+
+.
+ Matice 
+\begin_inset Formula $R_{Z}$
+\end_inset
+
+ je v horním trojúhelníkovém tvaru, tedy blokově zapsáno
+\begin_inset Formula 
+\[
+R_{Z}=\left[\begin{array}{cc}
+R_{uu} & R_{ux}\\
+0 & R_{xx}
+\end{array}\right]
+\]
+
+\end_inset
+
+Ztrátu nyní můžeme zapsat jako
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\left(\begin{array}{c}
+u_{t}\\
+x_{t}
+\end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}R_{Z}\left(\begin{array}{c}
+u_{t}\\
+x_{t}
+\end{array}\right) & = & \left(\begin{array}{c}
+R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\\
+R_{xx}x_{t}
+\end{array}\right)^{T}\left(\begin{array}{c}
+R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\\
+R_{xx}x_{t}
+\end{array}\right)\\
+ & = & \left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)^{T}\left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)+x_{t}^{T}R_{xx}^{T}R_{xx}x_{t}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+kterou, vzhledem k její kvadratičnosti a nezávislosti druhého členu na 
+\begin_inset Formula $u_{t}$
+\end_inset
+
+, zřejmě minimalizujeme volbou 
+\begin_inset Formula $u_{t}$
+\end_inset
+
+ takovou, že 
+\begin_inset Formula $\left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)=0$
+\end_inset
+
+ a tedy volíme 
+\begin_inset Formula 
+\[
+u_{t}=-R_{uu}^{-1}R_{ux}x_{t}
+\]
+
+\end_inset
+
+Matici 
+\begin_inset Formula $R_{xx}^{T}R_{xx}$
+\end_inset
+
+ pak použijeme do předchozího časového kroku jako novou matici 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Duální řízení 
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "sec:Dualni-rizeni"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Duální řízení je obvykle využíváno v systémech s neurčitostí, představovanou
+ například neznámými parametry, nepozorovatelnými stavovými veličinami nebo
+ samotnou strukturou systému.
+ Snahou je tuto neurčitost snížit a poskytnout řízení srovnatelné kvality,
+ jako v případě stejného systému bez neurčitosti.
+ Charakteristickým rysem duálního řízení je, že obsahuje dvě hlavní části:
+ 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+
+\emph on
+opatrn
+\emph default
+ou
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+
+\emph on
+budící
+\emph default
+
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+.
+ 
+\emph on
+Opatrná
+\emph default
+ část, má za cíl pokud možno co nejlépe kontrolovat systém a snažit se dosáhnout
+ optimální shody s požadavky.
+ Oproti tomu 
+\emph on
+budící
+\emph default
+ část hledá optimální budící signál, který pomáhá co nejlépe určit neznámé
+ veličiny systému.
+ Tyto části jdou však proti sobě a cílem duálního řízení je nalézt mezi
+ nimi vhodný kompromis.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Jak již bylo předznamenáno v části 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sec:Rozdeleni-ridicich-algoritmu"
+
+\end_inset
+
+.
+ Většina klasických metod pro řízení a estimaci obecně spadá do kategorie
+ zpětnovazebních streategií a tedy trpí nedostatky, které se snaží duální
+ řízení odstranit: 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Oddělení řídící a estimační část, které následně pracují nezávisle, i když
+ obecně tyto dvě části nezávislé nejsou a navzájem se ovlivňují.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Předpoklad, že odhad poskytnutý estimátorem se rovná skutečné hodnotě stavové
+ veličiny.
+ Tento přístup je označován jako 
+\emph on
+Certainty Equivalence
+\emph default
+ (CE).
+ Oproti tomu duální řízení předpokládá stavové veličiny jako náhodné veličiny
+ a uchovává si o nich statistickou informaci.
+ Odhad z estimátoru tedy uvažuje například ve tvaru střední hodnoty a variance
+ dané veličiny a předpokládá, že skutečná hodnota se nachazí například v
+ konfidenčním intervalu s těmito parametry.
+ Z tohoto pohledu tedy přístup CE předpokládá, že skutečná hodnota je rovna
+ střední hodnotě.
+ Duální řízení tedy narozdíl od ostatních postupů založených na CE principu
+ uvažuje kromě odhadu stavové veličiny i to, jak je tento odhad přesný a
+ tomu také přizpůsobuje řídící zákroky.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Klasický regulátor se při řízení stochastických systémů s neurčitostí obvykle
+ chová 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+opatrně
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+, aby nezvyšoval dopad neurčitostí na celkovou ztrátu.
+ Oproti tomu regulátor využívající duálního efektu může být méně opatrný
+ a přidat budící signál, aby snížil neurčitost v budoucnu a tím celkově
+ vylepšil své výsledky 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "BarShalom1974"
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Výše zmíněné důvody ukazují, proč by duální přístup mohl být obvzláště vhodný
+ pro řízení PMSM.
+ Je ale třeba mít na paměti, že duální řízení s sebou nese i některé nevýhody.
+ Jedná se především o značnou výpočetní náročnost.
+ Ta je problematická zejména, když zamýšlíme i výpočet v reálném čase.
+ Proto se v textu zaměříme hlavně na nejjednodušší algoritmy duálního řízení,
+ které by tento požadevek mohly naplnit.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Úloha duálního řízení
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Formulace úlohy duálního řízení
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Základní formulace problému duálního řízení pro časově diskrétní obecně
+ nelineární systém dle 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "adaptDC2004"
+
+\end_inset
+
+ je:
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+x_{t+1} & = & f_{t}\left(x_{t},p_{t},u_{t},\xi_{t}\right),\quad t=0,1,\ldots,T-1\\
+p{}_{t+1} & = & \upsilon_{t}\left(p_{t},\varepsilon_{t}\right)\\
+y_{t} & = & h_{t}\left(x_{t},\eta_{t}\right)
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+kde 
+\begin_inset Formula $x_{t}$
+\end_inset
+
+ je vektor stavu, 
+\begin_inset Formula $p_{t}$
+\end_inset
+
+ vektor neznámých parametrů, 
+\begin_inset Formula $u_{t}$
+\end_inset
+
+ vektor řídících vstupů, 
+\begin_inset Formula $y_{t}$
+\end_inset
+
+ vektor výstupů systému, vektory 
+\begin_inset Formula $\xi_{t}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\varepsilon_{t}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\eta_{t}$
+\end_inset
+
+ představují nezávislý náhodný bílý šum s nulovou střední hodnotou a známým
+ rozptylem, vše je uvažováno v čase 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $f_{t}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\upsilon_{t}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $h_{t}$
+\end_inset
+
+ jsou známé vektorové funkce.
+ Počáteční hodnoty 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $p_{0}$
+\end_inset
+
+ předpokládáme také známé.
+ Množinu výstupů a vstupů systému dostupných v čase 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ označujeme jako 
+\emph on
+informační vektor
+\emph default
+ 
+\begin_inset Formula $I_{t}=\left\{ y_{t},\ldots,y_{0},u_{t-1},\ldots,u_{0}\right\} $
+\end_inset
+
+, kde 
+\begin_inset Formula $t=1,\ldots,T-1$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $I_{0}=\left\{ y_{0}\right\} $
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ztrátová funkce pro optimalizaci řízení má tvar 
+\begin_inset Formula 
+\begin{equation}
+J=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ \sum_{t=0}^{T-1}g_{t+1}\left(x_{t+1},u_{t}\right)\right\} \label{eq:dclossfunc}
+\end{equation}
+
+\end_inset
+
+kde 
+\begin_inset Formula $g_{t+1}$
+\end_inset
+
+ jsou známe kladné konvexní skalární funkce.
+ Očekáváná hodnota 
+\begin_inset Formula $\mathrm{\mathbf{E}}$
+\end_inset
+
+ je počítána vzhledem k všem náhodným veličinám (
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $p_{0}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\xi_{t}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\varepsilon_{t}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\eta_{t}$
+\end_inset
+
+, kde 
+\begin_inset Formula $t=0,1,\ldots,T-1$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Obecné řešení
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Problémem optimálního adaptivního duálního řízení je nalezení takové řídící
+ strategie 
+\begin_inset Formula $u_{t}=u_{t}(I_{t})$
+\end_inset
+
+ ze známé množiny přípustných hodnot řízení 
+\begin_inset Formula $U_{t}$
+\end_inset
+
+, která minimalizuje ztrátovou funkci 
+\begin_inset Formula $J$
+\end_inset
+
+ v 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:dclossfunc"
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Optimální řešení tohoto problému může být nalezeno rekurzivně užitím dynamického
+ programování, což vede na následující rovnice:
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+J_{T-1}\left(I_{T-1}\right) & = & \min_{u_{T-1}\in U_{T-1}}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ g_{T}\left(x_{T},u_{T-1}\right)\mid I_{T-1}\right\} \\
+J_{t}\left(I_{t}\right) & = & \min_{u_{t}\in U_{t}}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ g_{t+1}\left(x_{t+1},u_{t}\right)+J_{t+1}\left(I_{t+1}\right)\mid I_{t}\right\} 
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+pro 
+\begin_inset Formula $t=T-2,T-3,\ldots,0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Injektáže jako duální řízení
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Na injektáže lze z jistého směru pohlížet také jako na duální řízení.
+ Především v sobě kombinují obě žádoucí vlastnosti, opatrnost a buzení.
+ Opatrnost je reprezentována konkrétním použitým regulátorem, který se snaží
+ co nejlépe sledovat cíl řízení.
+ Injektovaný signál pak představuje buzení, které napomáhá k určení parametrů
+ stroje.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+V základním návrhu je přidáván vysokofrekvenční signál stále, bez ohledu
+ na okolnosti a tedy tento návrh se příliš nesnaží o nalezení kompromisu
+ mezi opatrným řízením a buzením.
+ Velkou výhodou ale je, že to příliš nevadí, obzvláště při nízkých otáčkách,
+ protože vysokofrekvenční signál má minimální vliv na samotný chod stroje.
+ Současně ale poskytuje relativně dobrý odhad natočení rotoru, jehož kvalita
+ nezávisí na otáčkách, ale pouze na rozdílu induktancí.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Jistý krok směrem k hledání kompromisu mezi opatrností a buzením lze pozorovat
+ u hybridních metod, které buď plynule, nebo jednorázově přepínají mezi
+ dvěma modely, s injektáží a bez.
+ Jeden je určen pro dobrou estimaci a druhý pro nízké ztráty při řízení.
+ To vede k velkému zlepšení, protože přídavný signál je injektován, jen,
+ když je opravdu potřeba.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hlavním problémem injektáží z hlediska duálního řízení je, že se jedná spíše
+ o 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+ad hoc
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+ přístup, který byl navržen s využitím konkrétních vlastností PMSM a pro
+ předem určený účel.
+ Injektovaný vysokofrekvenční signál je užívaný jednak z důvodu menšího
+ vlivu na chod samotného stroje.
+ Další důvod pro jeho užití je relativně snadné zpracování a vyhodnocení
+ pomocí metod analýzy signálu, které lze snadno implementovat hardwarově
+ (filtry, demodulace, fázový závěs).
+ Dalším problémem injektovaného signálu jsou pak jeho parametry, jako amplituda
+ a frekvence, ty jsou zpravidla nalézány experimentálně.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Je tedy na místě položit otázku, jestli takovýto přídavný signál může být
+ optimálním buzením a nebo mu být alespoň v nějakém smyslu blízko? Odpovědět
+ samozřejmě není snadné z důvodu praktické neřešitelnosti problému nalezení
+ optimálního duálního řízení.
+ Ve prospěch injektáží, a zejména hybridních metod, mluví výsledky praktických
+ experimentů na skutečných motorech, proti nim pak zejména to, že byly navrhován
+y bez ohledu na optimalitu a hledání kompromisu mezi opatrností a buzením.
+ Nicméně se jedná o dobrý základ, který je vhodný k bližšímu prostudování
+ při návrhu méně náročných metod duálního řízení.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Přehled metod duálního řízení
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Následující přehled představuje vybrané suboptimální algoritmy využitelné
+ k řešení úlohy duálního řízení.
+ Vybírány byly především nejjednodušší algoritmy, které by teoreticky umožnily
+ implementaci v reálném čase pro řízení PMSM.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Bikriteriální metoda
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Bikriteriální metoda je založena na relativně jednoduchém principu.
+ Ve snaze splnit obě hlavní vlastnosti duálního řízení (opatrnost a buzení)
+ je ztrátová funkce rozdělena na dvě části, proto se také metoda nazývá
+ bikriteriální.
+ První ztrátová funkce odpovídá takzvanému 
+\emph on
+opatrnému řízení
+\emph default
+, které navrhuje tím menší řídící zásahy, čím je větší variance neznámých
+ parametrů (proto opatrné).
+ Nesnaží se však primárně tuto varianci nijak snížit.
+ Druhá ztrátová funkce představuje kritérium pro optimální buzení.
+ Tyto dvě ztrátové funkce je třeba současně minimalizovat.
+ Minimalizace těchto dvou funkcí jde ale obecně z podstaty problému proti
+ sobě, navíc optimální budící zásah bude zpravidla neomezeně velký.
+ Proto je zvolen následující postup:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+nejdříve je nalezeno optimální opatrné řízení
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+dále je vytyčena množina přípustných řešení kolem řízení nalezeného v bodě
+ (1.), například se může jednat o interval
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+druhá ztrátová funkce pro optimální buzení je minimalizována již pouze v
+ rámci množiny přípustných řešení z bodu (2.)
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Konkrétní realizace hledání optimálního řízení (minimalizace) pak již závisí
+ na řešeném problému.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+\begin_inset Formula $\rho$
+\end_inset
+
+--aproximace 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Jako 
+\begin_inset Formula $\rho$
+\end_inset
+
+--aproximace označujeme suboptimální přístupy k řešení problému duálního
+ řízení, kdy se snažíme aproximovat pravděpodobnostní míru neznámých stavů
+ a parametrů systému.
+ Dále lze při užití této metody snadno nalézt odpovídající kategorii řídícího
+ algoritmu, viz část 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sec:Rozdeleni-ridicich-algoritmu"
+
+\end_inset
+
+.
+ Dle 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "DAF1,DSF1,adaptDC2004"
+
+\end_inset
+
+ je problematika 
+\begin_inset Formula $\rho$
+\end_inset
+
+--aproximací formulována následovně: Hledání suboptimální řídící strategie
+ je založeno na minimalizaci modifikované ztrátové funkce
+\begin_inset Formula 
+\[
+J_{t}\left(I_{t},\rho_{t}\right)=\mathrm{\mathbf{E}}_{\rho_{t}}\left\{ \sum_{i=t}^{T-1}g_{t+1}\left(x_{i+1},u_{i}\right)\mid I_{k}\right\} 
+\]
+
+\end_inset
+
+V čase 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ je řídící strategie 
+\begin_inset Formula $u_{t}(I_{t})$
+\end_inset
+
+ nalezena pomocí aproximace podmíněné hustoty pravděpodobnosti stavů a parametrů
+ systému pro budoucí časové kroky
+\begin_inset Formula 
+\[
+\rho_{t}=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+pro 
+\begin_inset Formula $i=0,1,\ldots,T-t-1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Pro různé volby 
+\begin_inset Formula $\rho_{t}$
+\end_inset
+
+ pak můžeme získat následující přístupy:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\emph on
+Řídící strategie s otevřenou smyčkou
+\emph default
+ (open-loop, OL) uvažuje systém bez zpětné vazby a optimální řízení je hledáno
+ z apriorní informace o stavech a parametrech systému.
+ Tento zjednodušující předpoklad je ekvivalentní aproximaci
+\begin_inset Formula 
+\[
+\rho_{t}=\left\{ \mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{0}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} 
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\emph on
+Zpětnovazební řídící strategie s otevřenou smyčkou
+\emph default
+ (open-loop feedback, OLF) také uvažuje systém bez zpětné vazby, ale jen
+ pro budoucích časové kroky (
+\begin_inset Formula $t+1$
+\end_inset
+
+ až 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+), v současném časovém kroku 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ zpětnou vazbu uvažuje.
+ Pozorování 
+\begin_inset Formula $y_{t}$
+\end_inset
+
+ jsou tedy použita k estimaci stavů i parametrů systému, ale pouze v součazném
+ časovém kroku 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+, v budoucích již ne.
+ Opět lze formulovat pomocí 
+\begin_inset Formula $\rho$
+\end_inset
+
+--aproximace:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\rho_{t}=\left\{ \mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} 
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Pro srovnání zde bude uvedena i aproximace, která vede na již zmiňovaný
+ přístup 
+\emph on
+Certainty Equivalence 
+\emph default
+(CE):
+\begin_inset Formula 
+\begin{align*}
+\rho_{t} & =\left\{ \mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right)\right.\\
+= & \left.\delta\left(x_{t+i}-\hat{x}_{t+i}\right)\delta\left(p_{t+i}-\hat{p}_{t+i}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} 
+\end{align*}
+
+\end_inset
+
+kde 
+\begin_inset Formula $\delta$
+\end_inset
+
+ značí Diracovu delta funkci a 
+\begin_inset Formula $\hat{x}_{t+i}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{k+i}\mid I_{t+i}\right\} $
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\hat{p}_{t+i}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ p_{k+i}\mid I_{t}\right\} $
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\emph on
+Částečný CE přístup
+\emph default
+ (PCE) je založen na vhodné kombinaci předchozích postupů CE a OLF.
+ Definujme rozšířený stavový vektor jako 
+\begin_inset Formula $z_{t}^{T}=\left(\begin{array}{cc}
+x_{t}^{T} & p_{t}^{T}\end{array}\right)$
+\end_inset
+
+, tedy jako vektor sdružující původní stav systému a jeho neznámé parametry.
+ Tento vektor následně rozdělíme na dvě části s prázdným průnikem 
+\begin_inset Formula $z_{1,t}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $z_{2,t}$
+\end_inset
+
+.
+ Nyní aplikujeme na část 
+\begin_inset Formula $z_{1}$
+\end_inset
+
+ zjednodušující předpoklad CE a na část 
+\begin_inset Formula $z_{2}$
+\end_inset
+
+ předpoklad OLF.
+ To odpovídá následující 
+\begin_inset Formula $\rho$
+\end_inset
+
+--aproximaci:
+\begin_inset Formula 
+\begin{align*}
+\rho_{t} & =\left\{ \mathrm{p}\left(z_{1,t+i},z_{2,t+i}\mid I_{t+i}\right)\right.\\
+= & \left.\delta\left(z_{1,t+i}-\hat{z}_{1,t+i}\right)\mathrm{p}\left(z_{2,t+i}\mid I_{t}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} 
+\end{align*}
+
+\end_inset
+
+kde 
+\begin_inset Formula $\mathrm{p}\left(z_{1,t+i},z_{2,t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(z_{t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right).$
+\end_inset
+
+ Samotné rozdělení vektoru 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ na dvě části je třeba vyřešit s ohledem na konkrétní strukturu systému,
+ pro který je řízení navrhováno.
+ Vhodnou volbou může být například označit jako 
+\begin_inset Formula $z_{1}$
+\end_inset
+
+ stavové veličiny, které jsou přímo pozorovány.
+ Autoři dále poukazují i na možnost kombinace s bikriteriálním přístupem.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Řešení LQG problému pomocí teorie her
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Výpočetně relativně málo náročné řešení diskrétního LQG problému duálního
+ řízení je představeno v 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "DCS1"
+
+\end_inset
+
+.
+ Na řešení problému se užívá teorie her, kde hledáme optimální znáhodněnou
+ strategii.
+ Výsledkem pak je, že optimální řešení přeformulovaného problému duálního
+ řízení je vážený průměr konečného počtu standartních LQG optimálních regulátorů.
+ Jako váhové faktory jsou brány zobecněné věrohodnostní poměry.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Hyperstav
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Algoritmus využívající hyperstav je předložen v 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "Kim2006"
+
+\end_inset
+
+ a z tohoto zdroje také převážně vychází následný popis a implementace v
+ tomto textu.
+ Hlavní rozdíl však je použití spojitého času v uvedeném zdroji, zatímco
+ v tomto textu je využíván čas diskrétní.
+ Základní myšlenka hyperstavu je poměrně jednoduchá: Vyjdeme z klasicky
+ definovaného stavu systému v čase 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+, označme jej jako 
+\begin_inset Formula $x_{t}$
+\end_inset
+
+.
+ Dále předpokládejme, že pro řešení úlohy řízení PMSM užíváme EKF jako extimátor
+u, stejný estimátor je užit i v 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "Kim2006"
+
+\end_inset
+
+.
+ Použití algoritmu EKF nám v každém čase poskytne odhad stavu 
+\begin_inset Formula $\hat{x}_{t}$
+\end_inset
+
+, ale kromě tohoto odhadu poskytuje i odhad kovariance stavu reprezentovaný
+ maticí 
+\begin_inset Formula $P_{t}$
+\end_inset
+
+, viz odstavec 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sub:EKF-popis"
+
+\end_inset
+
+.
+ Nyní definujeme vektor 
+\emph on
+hyperstavu
+\emph default
+ v čase 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ jako původní stav 
+\begin_inset Formula $x_{t}$
+\end_inset
+
+, ke kterému navíc přidáme prvky matice 
+\begin_inset Formula $P_{t}$
+\end_inset
+
+.
+ Z důvodu symetrie není třeba přidávat celou matici 
+\begin_inset Formula $P_{t}$
+\end_inset
+
+.
+ Nyní na systém popsaný hyperstavem aplikujeme klasickým postupem algoritmus
+ EKF a vhodné řízení, například LQ.
+ Algoritmus EKF je tedy aplikován na systém dvakrát, poprvé formálně na
+ původní stav a následně na hyperstav.
+ Výhodou tohoto přístupu je, že kromě odhadu samotných stavových veličin,
+ máme k dispozici i odhad jejích kovariancí a můžeme s nimi pracovat při
+ návrhu řízení.
+ Hlavními nevýhodami jsou růst velikost hyperstavu obecně kvadraticky s
+ velikostí původního stavu a dále komplikace při výpočtu derivací rovnic
+ pro výpočet EKF na stavu.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+PCRB
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Při vyhodnocování efektivity jednotlivých použitých algoritmů je výhodné
+ mít k dispozici prostředek k jejich srovnání.
+ K tomuto účelu lze použít aposteriorních Cramer-Raových mezí (Posterior
+ Cramer-Rao Bounds, PCRB).
+ Interpretace PCRB je zjednodušeně taková, že představují 
+\begin_inset Quotes gld
+\end_inset
+
+množství informace
+\begin_inset Quotes grd
+\end_inset
+
+, které je o dané veličině produkováno na výstupu systému.
+ Konkrétněji se jedná o dolní mez střední kvadratické chyby.
+ Tedy reprezentuje minimální chybu, které se odhadovací algoritmus v uvažovaném
+ případě dopustí.
+ PCRB lze tedy využít ke srovnání jednotlivých uvažovaných duálních algoritmů
+ v tom smyslu, že je možné vyhodnocovat, jak každý z nich dokáže zlepšit
+ odhad stavových veličin a zvýšit pozorovatelnost v kritických režimech.
+ (
+\series bold
+citace
+\series default
+)
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Popis PCRB
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Následující popis PCRB včetně její specializace pro nelineární filtraci
+ a dále pro Gaussovské hustoty je převzat z 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "TichavskyPCRB"
+
+\end_inset
+
+, kde je možné nalézt i detaily odvození zmiňovaných vztahů: 
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Definice
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Nechť 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ představuje vektor měřených dat a 
+\begin_inset Formula $\theta$
+\end_inset
+
+ je 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+-rozměrný odhadovaný náhodný parametr.
+ Dále nechť 
+\begin_inset Formula $p_{x,\theta}\left(X,\Theta\right)$
+\end_inset
+
+ je sdružená hustota pravděpodobnosti dvojice 
+\begin_inset Formula $\left(x,\theta\right)$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $g\left(x\right)$
+\end_inset
+
+ je funkce 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+, která je odhadem 
+\begin_inset Formula $\theta$
+\end_inset
+
+.
+ Pak PCRB chyby odhadu má tvar
+\begin_inset Formula 
+\[
+P=\mathtt{E}\left\{ \left[g(x)-\theta\right]\left[g(x)-\theta\right]^{T}\right\} \geq J^{-1}
+\]
+
+\end_inset
+
+kde 
+\begin_inset Formula $J$
+\end_inset
+
+ je Fischerova informační matice rozměru 
+\begin_inset Formula $r\times r$
+\end_inset
+
+ s prvky
+\begin_inset Formula 
+\[
+J_{ij}=\mathtt{E}\left[-\frac{\partial^{2}\log p_{x,\theta}(X,\Theta)}{\partial\Theta_{i}\partial\Theta_{j}}\right]
+\]
+
+\end_inset
+
+pro 
+\begin_inset Formula $i,j=1,\ldots,r$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Nelineární filtrace
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Pro případ filtrace jsou parametry odhadovány postupně v průběhu času na
+ základě rekurzivních vzorců.
+ Sdruženou hustotu pravděpodobnosti lze rozepsat jako součin podmíněných
+ hustot a výpočítat pro každý čas matici 
+\begin_inset Formula $J_{t}$
+\end_inset
+
+, kde 
+\begin_inset Formula $J_{t}^{-1}$
+\end_inset
+
+ představuje spodní mez střední kvadratické chyby odhadu 
+\begin_inset Formula $x_{t}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Uvažujme nelineární filtrační problém se systémem
+\lang english
+
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray}
+x_{t+1} & = & f_{t}(x_{t},w_{t})\nonumber \\
+z_{t} & = & h_{t}(x_{t},v_{t})\label{eq:PCRB-system}
+\end{eqnarray}
+
+\end_inset
+
+
+\lang czech
+kde 
+\begin_inset Formula $x_{t}$
+\end_inset
+
+ je stav systému v čase 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $z_{t}$
+\end_inset
+
+ je pozorování v čase 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $w$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $v$
+\end_inset
+
+ jsou vzájemně nezávislé bílé procesy a 
+\begin_inset Formula $f_{t}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $h_{t}$
+\end_inset
+
+ jsou obecně nelineární funkce.
+ Pak je možné počítat rekurzivně posloupnost aposteriorních informačních
+ matic 
+\begin_inset Formula $J_{t}$
+\end_inset
+
+ pro odhad stavu 
+\begin_inset Formula $x_{t}$
+\end_inset
+
+ jako
+\begin_inset Formula 
+\[
+J_{t+1}=D_{t}^{22}-D_{t}^{21}\left(J_{t}+D_{t}^{11}\right)^{-1}D_{t}^{12}
+\]
+
+\end_inset
+
+kde matice 
+\begin_inset Formula $D_{t}$
+\end_inset
+
+ jsou dány rovnostmi
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray}
+D_{t}^{11} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t}}^{x_{t}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} \nonumber \\
+D_{t}^{12} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t}}^{x_{t+1}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} \label{eq:PCRB-rovnice-pro-D}\\
+D_{t}^{21} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t+1}}^{x_{t}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} =\left(D_{t}^{12}\right)^{T}\nonumber \\
+D_{t}^{22} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t+1}}^{x_{t+1}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} +\mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t+1}}^{x_{t+1}}\log p(z_{t+1}\mid x_{t+1})\right\} \nonumber 
+\end{eqnarray}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Aditivní Gaussovský šum
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Uvažujme speciální případ filtračního problému s aditivním šumem, kdy rovnice
+ (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:PCRB-system"
+
+\end_inset
+
+) má tvar
+\lang english
+
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray}
+x_{t+1} & = & f_{t}(x_{t})+w_{t}\nonumber \\
+z_{t} & = & h_{t}(x_{t})+v_{t}\label{eq:PCRB-system-adsum}
+\end{eqnarray}
+
+\end_inset
+
+
+\lang czech
+a dále šumy 
+\begin_inset Formula $w$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $v$
+\end_inset
+
+ jsou Gaussovské s nulovou střední hodnotou a kovariančními maticemi 
+\begin_inset Formula $Q_{t}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $R_{t}$
+\end_inset
+
+ v tomto pořadí.
+ Pak lze rovnice (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:PCRB-rovnice-pro-D"
+
+\end_inset
+
+) zjednodušit do tvaru
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray}
+D_{t}^{11} & = & \mathtt{E}\left\{ \left[\nabla_{x_{t}}f_{t}^{T}(x_{t})\right]Q_{t}^{-1}\left[\nabla_{x_{t}}f_{t}^{T}(x_{t})\right]^{T}\right\} \nonumber \\
+D_{t}^{12} & = & -\mathtt{E}\left\{ \nabla_{x_{t}}f_{t}^{T}(x_{t})\right\} Q_{t}^{-1}\label{eq:PCRB-rovnice-pro-D-gauss}\\
+D_{t}^{22} & = & Q_{t}^{-1}+\mathtt{E}\left\{ \left[\nabla_{x_{t+1}}h_{t+1}^{T}(x_{t+1})\right]R_{t+1}^{-1}\left[\nabla_{x_{t+1}}h_{t+1}^{T}(x_{t+1})\right]^{T}\right\} \nonumber 
+\end{eqnarray}
+
+\end_inset
+
+Pro úplnost je vhodné uvést, že v případě lineárního systému, to jest lineárních
+ funkcí 
+\begin_inset Formula $f_{t}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $h_{t}$
+\end_inset
+
+, odpovídá rekurzivní výpočet matice 
+\begin_inset Formula $J_{t}$
+\end_inset
+
+, založený na výše uvedených maticích (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:PCRB-rovnice-pro-D-gauss"
+
+\end_inset
+
+) pro 
+\begin_inset Formula $D_{t}$
+\end_inset
+
+, výpočtu aposteriorní kovarianční matice Kalmanova filtru 
+\begin_inset Formula $P_{t}=J_{t}^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Implementace algoritmů
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Zjednodušení
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Zátěžný moment 
+\begin_inset Formula $T_{L}$
+\end_inset
+
+ předpokládáme nulový.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Diskretizace
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Vzhledem k uvažované implementaci řídících a odhadovacích algoritmů na digitální
+ch počítačích je výhodnější uvažovat diskrétní systém.
+ Diferenciální rovnice (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"
+
+\end_inset
+
+) případně (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"
+
+\end_inset
+
+) je tedy třeba diskretizovat a za tímto účelem bude v textu užito Eulerovy
+ metody, kdy je derivace nahrazena dopřednou diferencí.
+ Toto diskretizační schéma je sice méně přesné, ale oproti tomu je jednoduché
+ na výpočet a tedy odstatečně rychlé.
+ Diskretizační časový krok je totiž volen s ohledem na reálný systém, kde
+ odpovídá vzorkovací frekvenci použitých senzorů.
+ To je obvykle velmi krátký časový okamžik (řádově sto mikrosekund) a chyba
+ v důsledku diskretizace Eulerovou metodou tedy není velká.
+ Významnějším důvodem pro tuto metodu je však uvažování praktické aplikace
+ v reálném čase, kdy je třeba v průběhu jedné vzorkovací periody vypočítat
+ odhad stavových veličin a následně řídící zásah.
+ Jednodušší diferenční rovnice, znamenají jednodušší popis systému a tedy
+ rychlejší výpočet všech uvažovaných algoritmů nezbytný pro potenciální
+ nasazení v reálné aplikaci.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+S užíváním diferenčních rovnic jsou však spojeny jisté komplikace.
+ Zatímco diferenciální rovnice popisující PMSM (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"
+
+\end_inset
+
+) a (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"
+
+\end_inset
+
+) lze libovolně převádět mezi jednotlivýmí souřadnými systémy pomocí vztahů
+ (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"
+
+\end_inset
+
+) a (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"
+
+\end_inset
+
+), pro odpovídající rovnice diferenční to pravda není a jejich převod transforma
+cemi (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"
+
+\end_inset
+
+) a (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"
+
+\end_inset
+
+) nedává vždy dobrý výsledek.
+ Pro odvození diferenčních rovnic v konkrétní souřadné soustavě je tedy
+ třeba postupovat ve dvou krocích.
+ Nejprve převést vybranou soustavu rovnic (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"
+
+\end_inset
+
+) nebo (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"
+
+\end_inset
+
+) do zvolené souřadné soustavy.
+ Následně je pak možné provést diskretizaci.
+ Tato vlastnost neexistence univerzalních diferenčních rovnic převoditelných
+ jednoduchými transformačními vztahy je důvodem, proč nejsou diferenční
+ rovnice PMSM uvedeny již v části (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sec:Model-PMSM"
+
+\end_inset
+
+), ale jsou odvozeny pro každý konkrétní případ až zde.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Diskrétní rovnice pro stejné indukčnosti v souřadné soustavě 
+\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Pro odvození těchto rovnic vyjdeme ze soustavy diferenciálních rovnic (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"
+
+\end_inset
+
+)
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\alpha}\\
+\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\beta}\\
+\frac{d\omega}{dt} & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega\\
+\frac{d\vartheta}{dt} & = & \omega
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+a užijeme zmiňované Eulerovy metody.
+ Derivaci tedy nahradíme konečnou diferencí
+\begin_inset Formula 
+\[
+\frac{dx}{dt}\left(t\right)=\frac{x_{t+1}-x_{t}}{\Delta t}
+\]
+
+\end_inset
+
+kde 
+\begin_inset Formula $\Delta t$
+\end_inset
+
+ představuje diskterizační časový krok.
+ Po úpravě je výsledná diskrétní soustava rovnic ve tvaru
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+i_{\alpha,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\alpha,t}+\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\alpha,t}\\
+i_{\beta,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\beta,t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\beta,t}\\
+\omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t\\
+\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+Pro zjednodušení zavedeme následující značení
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+a & = & 1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\\
+b & = & \frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\Delta t\\
+c & = & \frac{\Delta t}{L_{s}}\\
+d & = & 1-\frac{B}{J}\Delta t\\
+e & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+a jak bylo zmíněno v předchozí části, zátěžný moment předpokládáme nulový,
+ tedy 
+\begin_inset Formula $T_{L}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Rovnice pak přejdou na tvar
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray}
+i_{\alpha,t+1} & \text{=} & ai_{\alpha,t}+b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t}\nonumber \\
+i_{\beta,t+1} & \text{=} & ai_{\beta,t}-b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t}\label{eq:diskretni-system-albe-ls}\\
+\omega_{t+1} & \text{=} & d\omega_{t}+e\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)\nonumber \\
+\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t\nonumber 
+\end{eqnarray}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+EKF
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+V této práci byl jako pozorovatel používán zejména rozšířený Kalmanův filtr.
+ Budeme-li vycházet z popisu PMSM pomocí rovnic (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"
+
+\end_inset
+
+) pro stejné nebo (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"
+
+\end_inset
+
+) pro různé indukčnosti, nabízí se celá řada možností za jakých podmínek
+ algoritmus EKF použí.
+ Pro implementaci je však rozumných pouze několik málo možností.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Především nemá příliš smysl uvažovat EKF v rotorových souřadnicích 
+\begin_inset Formula $d-q$
+\end_inset
+
+.
+ Transformace ze statovorých souřadnic, ve kterých probíhá měření, do rotorových
+ totiž závisí na úhlu natočení 
+\begin_inset Formula $\vartheta$
+\end_inset
+
+, viz rovnice (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"
+
+\end_inset
+
+).
+ Hodnotu tohoto úhlu ale neznáme a navíc se jedná o hlavní veličinu, kterou
+ chceme pomocí EKF určit.
+ Dalším problémem je, že v rovnicích popisujících PMSM (v případě stejných
+ i různých indukčností) v souřadné soustavě 
+\begin_inset Formula $d-q$
+\end_inset
+
+ hodnota 
+\begin_inset Formula $\vartheta$
+\end_inset
+
+ vůbec nevystupuje a tedy ji ani nelze rozumně určit.
+ Jistou možnstí, kdy by mělo smysl uvažovat EKF v souřadné soustavě 
+\begin_inset Formula $d-q$
+\end_inset
+
+, je případ, že bychom znali hodnotu 
+\begin_inset Formula $\vartheta$
+\end_inset
+
+ nebo její odhad z jiného zdroje.
+ Příkladem by mohla být znalost úhlu na základě aplikace vhodné injektážní
+ techniky.
+ Dále však budeme uvažovat EKF pouze ve statorových souřadnicích, konkrétně
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Šum
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Algoritmus EKF předpokládá Gaussovský model šumu.
+ Vzhledem k popisu neurčitostí v PMSM (
+\series bold
+odkaz
+\series default
+) tento předpoklad splněn není.
+ Lze však provést aproximaci hustoty pravděpodobnosti skutečného šumu Gaussovsko
+u hustotou s vhodnými parametry.
+ Tyto parametry lze buď nalézt na základě teoretické analýzy vlastností
+ šumu, jako v 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "Peroutka2009"
+
+\end_inset
+
+ nebo je lze nalézt experimentálně.
+ V této práci posloužily jako výchozí hodnoty stanovené ve zmiňovaném zdroji
+ 
+\begin_inset CommandInset citation
+LatexCommand cite
+key "Peroutka2009"
+
+\end_inset
+
+, které byly následně experimentálně doupraveny.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Plný model
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Prvním diskutovaným případem bude návrh označovaný jako 
+\emph on
+plný model
+\emph default
+ a budou uvažovány stejné indukčnosti v osách 
+\begin_inset Formula $d-q$
+\end_inset
+
+.
+ Všechny 
+\begin_inset Formula $i_{\alpha}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $i_{\beta}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\omega$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\vartheta$
+\end_inset
+
+ popisující PMSM označíme jako stav 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+.
+ Za pozorování 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ budeme považovat proudy 
+\begin_inset Formula $i_{\alpha}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $i_{\beta}$
+\end_inset
+
+ doplněné chybou měření.
+ Plný model je tedy popsán stavem a měřením
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+x_{t} & = & \left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T}\\
+y_{t} & = & \left(y_{\alpha,t},y_{\beta,t}\right)^{T}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ jejichž vývoj v čase je dán rovnicemi modelového systému z části 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sub:EKF-popis"
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+x_{t+1} & = & f\left(x_{t},u_{t}\right)+w_{t}\\
+y_{t} & = & h\left(x_{t}\right)+v_{t}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+kde funkce 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ odpovídá soustavě rovnic (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:diskretni-system-albe-ls"
+
+\end_inset
+
+) a funkce 
+\begin_inset Formula $h$
+\end_inset
+
+ pouze vrací první dvě složky argumentu.
+ Vektory 
+\begin_inset Formula $w_{t}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $v_{t}$
+\end_inset
+
+ pak reprezentují vzájemně nezávislé bílé Gaussovské šumy s nulovou střední
+ hodnotou a známými kovariančními maticemi 
+\begin_inset Formula $Q_{t}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $R_{t}$
+\end_inset
+
+ v tomto pořadí.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Pro výpočet rekurzivního algoritmu EKF je třeba znát Jacobiho matice parciálních
+ derivací 
+\begin_inset Formula $A_{t}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $C_{t}$
+\end_inset
+
+, kde 
+\begin_inset Formula $\left(A_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right)$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\left(C_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial h_{i}}{\partial x_{j}}\left(\overline{\hat{x}}_{t},0\right)$
+\end_inset
+
+.
+ V tomto případě je výpočet poměrně jednoduchý a výsledné matice jsou 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray}
+A_{t} & = & \left[\begin{array}{cccc}
+a & 0 & b\sin\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\\
+0 & a & -b\cos\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}\\
+-e\sin\hat{\vartheta}_{t-1} & e\cos\hat{\vartheta}_{t-1} & d & -e\left(\hat{i}_{\beta,t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}+\hat{i}_{\alpha,t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\right)\\
+0 & 0 & \Delta t & 1
+\end{array}\right]\nonumber \\
+C_{t} & = & C=\left[\begin{array}{cccc}
+1 & 0 & 0 & 0\\
+0 & 1 & 0 & 0
+\end{array}\right]\label{eq:matice-ekf-plnymodel-ls}
+\end{eqnarray}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Redukovaný model
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Redukovaný model se snaží usnadnit výpočet algoritmu EKF tím způsobem, že
+ zmenšuje uvažovaný stav systému.
+ Kritickým místem použití EKF je totiž časově náročná maticová inverze,
+ viz část 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sub:EKF-popis"
+
+\end_inset
+
+.
+ Pro plný model má vektor stavu velikost 
+\begin_inset Formula $4$
+\end_inset
+
+ a tedy je invertována matice o rozměru 
+\begin_inset Formula $4\times4$
+\end_inset
+
+, oproti tomu redukovaný model užívá pouze stavu velikosti 
+\begin_inset Formula $2$
+\end_inset
+
+ a inverze matice 
+\begin_inset Formula $2\times2$
+\end_inset
+
+ je znatelně rychlejší.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hlavní myšlenkou je nezahrnovat proudy 
+\begin_inset Formula $i_{\alpha}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $i_{\beta}$
+\end_inset
+
+ do stavu a rovnou je definovat jako měření, tedy
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+x_{t} & = & \left(\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T}\\
+y_{t} & = & \left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t}\right)^{T}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ Vyjdeme tedy ze stejných diskrétních rovnic popisujících PMSM (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:matice-ekf-plnymodel-ls"
+
+\end_inset
+
+), ale nyní první dvě rovnice představují měření a druhé dvě vývoj systému.
+ Matice pro EKF jsou pak ve tvaru
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray}
+A_{t} & = & \left[\begin{array}{cc}
+d & -e\left(\hat{i}_{\beta,t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}+\hat{i}_{\alpha,t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\right)\\
+\Delta t & 1
+\end{array}\right]\nonumber \\
+C_{t} & = & \left[\begin{array}{cc}
+b\sin\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\\
+-b\cos\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}
+\end{array}\right]\label{eq:matice-ekf-redukovanymodel-ls}
+\end{eqnarray}
+
+\end_inset
+
+Dále je pak třeba ještě upravit hodnoty kovariančních matic pro šumy .
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Různé indukčnosti
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+V případě plného modelu pro různé indukčnosti v osách 
+\begin_inset Formula $d-q$
+\end_inset
+
+ je postup zcela analogický, jen výchozí rovnice jsou jiné.
+ V praxi jsou však rovnice relativně složité, 
+\series bold
+sem se nevejdou a možná pak budou v příloze
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+PCRB
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+PI
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+LQ
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Injektáž
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Bikriteriální
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Hyperstav
+\end_layout
+
+\begin_layout Chapter
+Provedené experimenty
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+vyhodnocení PCRB
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+počáteční rozjezd -- různé chyby počátečního odhadu
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+extrémní otáčky -- kam až to půjde
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+nulové otáčky -- profil konstantní 0
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+nízké otáčky: +-1 trojúhelníky a lichoběžníky
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+průchody 0: +-10 trojúhelníky a lichoběžníky
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+vysoké otáčky: +-200 trojúhelníky a lichoběžníky
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float figure
+wide false
+sideways false
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\align center
+\begin_inset Graphics
+        filename obrazky/testprofily.eps
+        scale 60
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Caption
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\emph on
+Příklad profilů požadovaných otáček na časovém horizontu 
+\begin_inset Formula $15\:\mathrm{s}$
+\end_inset
+
+ s amplitudou 
+\begin_inset Formula $10\:\mathrm{rad}/\mathrm{s}$
+\end_inset
+
+: nahoře trojúhleníky a dole lichoběžníky
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "fig:Priklad-profilu-pozad-otack"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
 \end_layout