#LyX 2.0 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 413
\begin_document
\begin_header
\textclass scrreprt
\begin_preamble
\usepackage[czech]{babel}
\end_preamble
\use_default_options true
\maintain_unincluded_children false
\language czech
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman default
\font_sans default
\font_typewriter default
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100
\font_tt_scale 100

\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_amsmath 1
\use_esint 1
\use_mhchem 1
\use_mathdots 1
\cite_engine basic
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\use_refstyle 1
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 2
\tocdepth 2
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\quotes_language german
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Chapter
Synchronní stroj s permanentními magnety
\end_layout

\begin_layout Standard
Jak napovídá název práce, je text zaměřen na řízení synchronních elektrických
 pohonů.
 Ze skupiny všech těchto strojů se však zaměřuje pouze na jejich specifickou
 podskupinu obsahující permanentní magnety.
 Je tomu tak proto, že oproti synchronním strojům s buzením vykazují synchronní
 stroje s permanentními magnety celou řadu výhod, teší se stále větší oblibě
 a nacházejí mnoho aplikací v praxi 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Pacas2011"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
Zkratkou PMSM bude v textu označován synchronní stroj s permanentními magnety
 (Permanent Magnet Synchronous Machine).
 U tohoto točivého elektrického stroje (motoru) se rotor otáčí stejnou rychlostí
, tedy synchronně, jako točivé magnetické pole statoru.
 Pro generování magnetického pole rotoru je užito místo budícího vinutí
 permanentních magnetů.
 Rostoucí praktická aplikace této konstrukce je umožněna především díky
 snadnější dostupnosti kvalitních permanentních magnetů ze speciálních slitin
 s velkou magnetickou indukcí oproti klasickým feritovým magnetům 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "novak2006,cdern2010"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Konstrukce
\end_layout

\begin_layout Standard
Přiblížení základní konstrukce PMSM je znázorněno na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Ilustrativni-obrazek-konstrukce"

\end_inset

.
 Nákres je pouze ilustrativní, ale zobrazuje hlavní části PMSM: Vnější kruh
 představuje stator se zuby, na kterých je navinuto statorové vinutí (v
 obrázku není zobrazeno).
 Vnitřní kruh reprezentuje rotor, na jehož povrchu jsou umístěny permanentní
 magnety s barevně rozlišenými póly.
 
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/pmsm_spec.eps
	lyxscale 50
	scale 25

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout

\emph on
Ilustrativní obrázek konstrukce PMSM: Vnější kruh představuje stator se
 zuby, na kterých je navinuto statorové vinutí (v obrázku není zobrazeno).
 Vnitřní kruh reprezentuje rotor, na jehož povrchu jsou umístěny permanentní
 magnety s barevně rozlišenými póly.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Ilustrativni-obrazek-konstrukce"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Často se lze setkat i s opačnou konstrukcí, kdy je stator umístěn uvnitř
 a rotor s magnety se otáčí kolem něj.
 Tato konstrukce PMSM naléza využití k pohonu nejrůznějších vozidel, kdy
 lze motor umístit přímo dovnitř kola vozidla, dalším příkladem je pak přímý
 pohon bubnu automatické pračky.
 Existují i však další konstrukce PMSM, například s otočným statorem i rotorem.
\end_layout

\begin_layout Standard
Vyobrazená konstrukce (obrázek 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Ilustrativni-obrazek-konstrukce"

\end_inset

) je označováná jako SMPMSM (
\emph on
Surface Mounted PMSM
\emph default
), tedy PMSM s magnety na povrchu.
 Další častou konstrukcí je IPMSM (
\emph on
Inner PMSM
\emph default
), kde jsou permanentní magnety umístěny uvnitř rotoru.
 Tyto stroje mají nepatrně odlišné vlastnosti, které ale mají významný vliv
 při návrhu řízení těchto strojů, detailněji bude rozebráno dále v textu.
 Pod PMSM se ještě zahrnují reluktanční motory, které jsou založeny na poněkud
 odlišném principu a nebudeme se jimi v textu zabývat.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Výhody a nevýhody
\end_layout

\begin_layout Standard
Specifická konstrukce PMSM popsaná výše má oproti asynchronním strojům a
 synchronním strojům s budícím vinutím celou řadu výhod.
 Má samozřejmě i své nevýhody.
 Následující přehlded základních odlišností od ostatních střídavých strojů
 čerpá především ze zdrojů 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "novak2006,cdern2010,Yongdong2008"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Výhody
\end_layout

\begin_layout Itemize
rotor neobsahuje vinutí a tedy 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
je možno jej konstruovat menší, což je velmi výhodné v aplikacích, kde záleží
 na co nejmenší velikosti pohonu
\end_layout

\begin_layout Itemize
je možno jej konstruovat lehčí, což snižuje hmotnost celého zařízení 
\end_layout

\begin_layout Itemize
má menší moment setrvačnosti rotoru
\end_layout

\begin_layout Itemize
není třeba
\emph on
 
\emph default
složitě přivádět
\emph on
 
\emph default
napájení
\emph on
 
\emph default
na rotor
\end_layout

\begin_layout Itemize
nedojde k poruše na rotorovém vinutí
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
není třeba motor před rozběhem budit a nepotřebuje zdroj budícího proudu
\end_layout

\begin_layout Itemize
odpadá problém s přívodem proudu do buzení rotoru
\end_layout

\begin_layout Itemize
vyšší účinnost, protože nejsou jouleovy ztráty v:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
rotoru oproti asynchronnímu stroji
\end_layout

\begin_layout Itemize
buzení oproti synchronnímu stroji s buzením
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
momentová přetížitelnost
\end_layout

\begin_layout Itemize
možnost konstrukce pomaluběžného stroje s dostatečným výkonem, který nepotřebuje
 převedovku, a tedy výhody spojené s absencí převodovky
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Nevýhody
\end_layout

\begin_layout Itemize
technologicky složitější výroba -- připevnění permanentních magnetů na rotor
\end_layout

\begin_layout Itemize
složitější opravy
\end_layout

\begin_layout Itemize
vyšší cena z důvodu nezanetbatelných nákladů na permanentní magnety
\end_layout

\begin_layout Itemize
menší robustnost
\end_layout

\begin_layout Itemize
problematické odbuzování a klesající účinnost při odbuzování
\end_layout

\begin_layout Itemize
závislot magnetických vlastností permanentních magnetů na teplotě a tedy
 nutnost dobrého chlazení
\end_layout

\begin_layout Itemize
stálá přítomnost budícího pole v motoru, následně při využití například
 k pohonu vozidla, dojde-li poruše a následlém odtahu, funguje motor jako
 generátor
\end_layout

\begin_layout Itemize
problematika zkratu, při které může teoreticky dojít až k demagnetizaci
 permanentních magnetů
\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
problematika spojená s návrhem řízení těchto strojů
\emph default
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Právě poslední zmiňovaný nedostatek, to jest komplikace při návrhu řízení
 PMSM a způsoby jak se s tímto nedostatkem vypořádat jsou ústředním tématem
 této práce.
\end_layout

\begin_layout Section
Souřadné soustavy pro popis PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/souradosy.eps
	lyxscale 50
	scale 50

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout

\emph on
Souřadné systémy používané pro popis PMSM znázorněné na zjednodušeném modelu:
 na statorové části jsou umístěny pouze tři cívky reprezentující statorová
 vinutí jednotlivých fází a jako rotor pak slouží jediný permanentní magnet.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Souradne-systemy-pmsm"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
K popisu PMSM se užívá dvou kvalitativně zcela rozdílných typů fyzikálních
 veličin.
 Jedná se o veličiny mechanické jako poloha (úhel natočení rotoru) a otáčky
 (rychlost otáčení), dále pak lze uvažovat zátěžný moment nebo tření.
 Další uvažované veličiny jsou elektrické, především elektrické proudy a
 napětí, a dále indukčnosti a rezistance.
\end_layout

\begin_layout Standard
Elektrické veličiny se nejčastěji uvažují v jednom ze tří souřadných systémů
 vyobrazených na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Souradne-systemy-pmsm"

\end_inset

.
 Souřadný systém 
\begin_inset Formula $a-b-c$
\end_inset

 uvažuje tři osy (
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

) ve směru os vinutí jednotlivých fází.
 Protože však elektrické veličiny v jednotlivých osách systému 
\begin_inset Formula $a-b-c$
\end_inset

 nebývají vzájemně nezávislé a jsou svázány nějakým vztahem, je obvykle
 využíván popis v soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

.
 Tato souřadná soustava je opět svázána se statorem.
 Osa 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 je totožná s osou 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, osa 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 je na osu 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 kolmá a tvoří tak ortogonální systém.
 Pro většinu aplikací se však ukazuje výhodným přejít do rotující souřadné
 soustavy 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 svázené s rotorem.
 Osa 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 je pak umístěna ve směru osy permanentního magnetu a směřuje k jeho severnímu
 pólu, osa 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 je na ni kolmá.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Transformace souřadnic
\end_layout

\begin_layout Standard
Žádná z výše zmiňovaných souřadných soustav není univerzálně nejlepší.
 Pro každý účel se nejlépe hodí jen některá z nich a proto je důležité umět
 mezi nimi přecházet, tedy převádět jednotlivé veličiny.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Transformace 
\begin_inset Formula $a-b-c\longleftrightarrow\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Tato transformace se označuje také jako Clarkova transformace, rovnice lze
 nalézt například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "fiser2006"

\end_inset

, případně je možné je poměrně snadno odvodit.
\end_layout

\begin_layout Standard
Osa 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 je totožná s osou 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, osy 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 pak uvažujeme oproti ní otočeny o 
\begin_inset Formula $\pm120^{\circ}$
\end_inset

.
 Souřadnice v ose 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 tedy získáme následujícím průmětem z os 
\begin_inset Formula $a,\: b,\: c$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\alpha=k\left(a+b\cdot\cos(120^{\circ})+c\cdot\cos(-120^{\circ})\right)=k\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right)
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 značí normovací konstantu 
\begin_inset Formula $k=\frac{2}{3}$
\end_inset

.
 Obdobně postupujeme v případě osy 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

.
 Osa 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 je na ní kolmá a tedy její příspěvek je nulový.
 Osy 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 promítnutne do osy 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 získáme vztah
\begin_inset Formula 
\[
\beta=k\left(b\cdot\sin(120^{\circ})+c\cdot\sin(-120^{\circ})\right)=k\left(\frac{\sqrt{3}}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}c\right)
\]

\end_inset

Celkem tedy máme rovnice
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\alpha & = & \frac{2}{3}\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right)\\
\beta & = & \frac{\sqrt{3}}{3}\left(b-c\right)
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pro inverzní transformaci platí následující vztahy
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
a & = & \alpha+\theta\\
b & = & \left(-\frac{1}{2}\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta\\
c & \text{=} & \left(-\frac{1}{2}\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 představuje takzvanou nulovou složku 
\begin_inset Formula $\theta=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Transformace 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta\longleftrightarrow d-q$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Transformace je označována jako Parkova transformace a představuje přechod
 do rotujícího souřadného systému.
 Rovnice transformace lze najít opět například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "fiser2006"

\end_inset

, ale jedná se běžnou lineární operaci rotace.
\end_layout

\begin_layout Standard
Uvažujeme tedy otočení doustavy 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 oproti 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 o úhel 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 kolem společného počátku souřadných soustav, což vede na převodní vztah
 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\left(\begin{array}{c}
d\\
q
\end{array}\right) & = & \left[\begin{array}{cc}
\cos\phi & \sin\phi\\
-\sin\phi & \cos\phi
\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}
\alpha\\
\beta
\end{array}\right)\label{eq:transformace_al-be_na_d-q}
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Inverzní transformace je 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\left(\begin{array}{c}
\alpha\\
\beta
\end{array}\right) & = & \left[\begin{array}{cc}
\cos\phi & -\sin\phi\\
\sin\phi & \cos\phi
\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}
d\\
q
\end{array}\right)\label{eq:transformace_d-q_na_al-be}
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Model PMSM
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:Model-PMSM"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pro tvorbu modelu PMSM vyjdeme z fyzikálních zákonů popisujících hlavní
 děje odehrávající se v synchronním stroji.
 Jedná se především o jevy elektrické, mechanické a vzájemnou přeměnu elektrické
 a mechanické energie.
 Složitější jevy jako promněnlivost parametrů s teplotou, sycení materiálu
 magnetickým tokem, případně vliv napájecí elektroniky v tomto modelu uvažovány
 nebudou.
 Fyzikální vztahy a zákony pro odvození rovnic PMSM jsou čerpány z 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Feynman1,Feynman2"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Rovnice pro proudy
\end_layout

\begin_layout Standard
Cílem je odvodit rovnice pro PMSM a tedy vyjádřit, jak na sobě hlavní veličiny
 popisující tento systém navzájem závisejí a jak se vyvýjejí v čase.
 Vyjdeme ze vztahu pro napětí v obvodu statoru.
 Statorové napětí 
\begin_inset Formula $u_{s}$
\end_inset

 uvažujeme zapsané ve souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 ve smyslu 
\begin_inset Formula $s=\alpha+j\beta$
\end_inset

 (kde 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 značí komplexní jednotku) a dále uvažujeme, že je obecně funkcí času 
\begin_inset Formula $u_{s}=u_{s}\left(t\right)$
\end_inset

.
 Toto napětí lze vyjádřit jako součet napětí souvisejícího s průchodem proudu
 obvodem a dále jako indukovaného napětí v důsledku elektromagnetické indukce.
 První z těchto členů lze vyjádřit pomocí Ohmova zákona v závislosti na
 proudu.
 Indukované napětí je na základě Faradayova zákona elektromagnetické indukce
 rovno změně magnetického toku v čase.
 Uvažujme tedy, že proud procházející statorem 
\begin_inset Formula $i_{s}$
\end_inset

 i magnetický tok ve stroji 
\begin_inset Formula $\psi_{s}$
\end_inset

 zapsaný ve statorové souřadné soustavě jsou opět funkcemi času: 
\begin_inset Formula $i_{s}=i_{s}\left(t\right)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\psi_{s}=\psi_{s}\left(t\right)$
\end_inset

.
 Rovnici pro napětí pak získáme ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}\label{eq:odvoz-statorove-napeti}
\end{equation}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $R_{s}$
\end_inset

 je rezistance a předpokládáme ji známou a konstantní.
\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní je třeba vyjádřit hodnotu magnetického toku 
\begin_inset Formula $\psi_{s}$
\end_inset

.
 Magnetický tok vzniká ve stroji jednak ve statorovém vinutí a dále v důsledku
 působení permanentních magnetů.
 Statorové vinutí je z fyzikálního pohledu cívkou a tedy magnetický tok
 je přímo úměrný proudu procházejícímu touto cívkou: 
\begin_inset Formula $\psi_{s}^{civka}=L_{s}i_{s}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset

 označuje indukčnost cívky, kterou předpokládáme konstantní, známou a prozatím
 izotropní.
 Tok permanentních magnetů označíme jako 
\begin_inset Formula $\psi_{pm}$
\end_inset

 a považujeme jej za známou konstantu.
 Rotor obsahující permanentní magnety je však obecně natočen a tok permanentních
 magnetů je směrován pouze do směru osy 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

.
 Úhel natočení, označme jej jako 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

, budeme opět uvažovat jako funkci času 
\begin_inset Formula $\vartheta=\vartheta\left(t\right)$
\end_inset

.
 Rovnice pro celkový magnetický tok ve stroji tedy je 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\psi_{s}=L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\label{eq:odvoz-magneticky-tok}
\end{equation}

\end_inset

kde násobení 
\begin_inset Formula $e^{j\vartheta}$
\end_inset

 představuje zmiňovanou rotaci o úhel 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 při použití komplexního zápisu.
\end_layout

\begin_layout Standard
Když nyní dosadíme rovnici (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-magneticky-tok"

\end_inset

) pro magnetický tok do rovnice pro napětí (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-statorove-napeti"

\end_inset

) a provedeme derivaci, získáme
\begin_inset Formula 
\[
u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=R_{s}i_{s}+L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\psi_{pm}\frac{d\vartheta}{dt}e^{j\vartheta}
\]

\end_inset

V této rovnici nově vystupuje veličina 
\begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}$
\end_inset

, kterou označíme jako otáčky 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\omega=\frac{d\vartheta}{dt}\label{eq:definice-otacek}
\end{equation}

\end_inset

Pro obdržení diferenciálních rovnic pro proudy v soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 rozepíšeme zvlášť reálnou a imaginární složku statorove soustavy 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $s=\alpha+j\beta$
\end_inset

).
 Rovnice tedy jsou
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{\alpha} & = & R_{s}i_{\alpha}+L_{s}\frac{di_{\alpha}}{dt}-\psi_{pm}\omega\sin\vartheta\\
u_{\beta} & = & R_{s}i_{\beta}+L_{s}\frac{di_{\beta}}{dt}+\psi_{pm}\omega\cos\vartheta
\end{eqnarray*}

\end_inset

a případně je možno je upravit na 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\alpha}\nonumber \\
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\beta}\label{eq:rovnice-proudy-ls}
\end{eqnarray}

\end_inset

Stejné rovnice používají například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Lee2010,Peroutka2009"

\end_inset

.
 Rovnice v soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 je z nich možno získat aplikováním transformace popsané rovnicí (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"

\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Subsection
Rovnice pro otáčky
\end_layout

\begin_layout Standard
V odvození rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ls"

\end_inset

) byla zavedena veličina 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

, viz rovice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:definice-otacek"

\end_inset

), popisující hodnotu otáček (změny polohy) v čase.
 Má-li být model PMSM úplný, je třeba odvodit rovnici i pro otáčky 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

.
 Protože se jedná o mechanickou veličinu, budeme vycházet ze základních
 zákonů mechaniky.
 Nejdříve užijeme vztahu pro točivý moment (
\emph on
torque
\emph default
) 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

, který budeme považovat za funkci času 
\begin_inset Formula $T=T\left(t\right)$
\end_inset

.
 Točivý moment lze vyjádřit jako 
\begin_inset Formula $T=\frac{dl}{dt}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $l$
\end_inset

 značí moment hybnosti (
\emph on
angular momentum
\emph default
).
 Pro ten dále platí 
\begin_inset Formula $l=J\omega_{mech}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 označuje moment setrvačnosti (
\emph on
momen
\emph default
t of inertia) a předpokládáme ho jako známou konstantu, 
\begin_inset Formula $\omega_{mech}$
\end_inset

 jsou mechanické otáčky.
 Mechanické otáčky odpovídají skutečnému otáčení stroje a liší se od otáček
 elektrických 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 vystupujících v rovnicích (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ls"

\end_inset

) pro proudy a jejich odvození.
 Vztah těchto dvou typů otáček je dán rovnicí 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\omega=p_{p}\omega_{mech}\label{eq:vztah-el-a-mech-omega}
\end{equation}

\end_inset

kde hodnota 
\begin_inset Formula $p_{p}$
\end_inset

 představuje počet párů pólů (tedy polovina počtu pólů) permanentních magnetů
 stroje.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dalším důležitým poznatkem je, že při působení více točivých momentů se
 tyto mementy sčítají a tedy platí
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
T_{1}+\ldots+T_{n}=\frac{dl}{dt}=\frac{d\left(J\omega_{mech}\right)}{dt}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt}\label{eq:rovnice-momenty-preddosaz}
\end{equation}

\end_inset

Jednotlivé uvažované točivé momenty 
\begin_inset Formula $T_{i}$
\end_inset

 jsou:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
moment získaný konverzním procesem elektrické energie, který vyjadřuje hlavní
 vlastnost elektrického motoru -- převod elektrické energie na mechanickou:
 
\begin_inset Formula $T_{1}=T_{el}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
zátěžný moment reprezentující zatížení stroje, tedy to, co je motorem poháněno;
 působí však v opačném směru (proti pohybu): 
\begin_inset Formula $T_{2}=-T_{L}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
moment v důsledku tření (ztráty ve stroji), působí opět proti pohybu a uvažujeme
 jej lineárně závislý na otáčkách s koeficientem viskozity (tření) 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $T_{3}=-B\omega_{mech}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Celkem tedy rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-momenty-preddosaz"

\end_inset

) po dosazení konkrétních momentů přejde na
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
T_{el}-T_{L}-B\omega_{mech}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt}\label{eq:rovnice-momenty-dosazeno}
\end{equation}

\end_inset

Zátěžný moment 
\begin_inset Formula $T_{L}$
\end_inset

 sice uvažujeme obecně proměnný v čase, ale vzhledem k tomu, že představuje
 externí zátěž stroje, není možnost jej jakkoliv předvídat, popřípadě vhodně
 vyjádřit na základě jiných veličin.
 V rovnicích tedy bude nadále vystupovat pod označením 
\begin_inset Formula $T_{L}$
\end_inset

 a budeme jej považovat za neznámou funkci času.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Moment 
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset

 však je možno vyjádřit na základě elektrických veličin.
 Využijeme k tomu výpočet přes okamžitý výkon.
 Ten je pro trojfázový systém (v souřadnicích 
\begin_inset Formula $a-b-c$
\end_inset

) roven 
\begin_inset Formula $P=u_{a}i_{a}+u_{b}i_{b}+u_{c}i_{c}$
\end_inset

.
 Po provedení transformace do souřadnic 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 je vyjádřen ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
P=k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right)\label{eq:rovnice-vykon}
\end{equation}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $k_{p}$
\end_inset

 značí Parkovu konstantu s hodnotou 
\begin_inset Formula $k_{p}=\frac{3}{2}$
\end_inset

.
 Jako napětí zde uvažujeme indukované napětí 
\begin_inset Formula $u_{ind}$
\end_inset

, to jest druhý člen v rovnici (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-statorove-napeti"

\end_inset

), protože první člen této rovnice je napětí, které se podílí na tepelném
 výkonu stroje -- ztrátách.
 Tedy pro indukované napětí platí, viz rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-statorove-napeti"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-magneticky-tok"

\end_inset

):
\begin_inset Formula 
\[
u_{ind}=\frac{d\psi_{s}}{dt}=\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\psi_{pm}\omega e^{j\vartheta}
\]

\end_inset

Z indukovaného napětí navíc využijeme pouze složku reprezentovanou druhým
 výrazem, protože první složka obsahující derivace proudů slouži k tvorbě
 samotného magnetického pole stroje a nepodílí se na tvorbě výkonu.
 Následně v souřadném systému 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 získáme vyjádření indukovaných napětí podílejících se na výkonu jako
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{ind,\alpha} & = & -\psi_{pm}\omega\sin\vartheta\\
u_{ind,\beta} & = & \psi_{pm}\omega\cos\vartheta
\end{eqnarray*}

\end_inset

a po dosazení do (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-vykon"

\end_inset

) je
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
P=k_{p}\left(-\psi_{pm}i_{\alpha}\omega\sin\vartheta+\psi_{pm}i_{\beta}\omega\cos\vartheta\right)\label{eq:rovnice-vykon-dosazano}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Okamžitý výkon lze také vyjádřit z mechanických veličin jako 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
P=\omega_{mech}T_{el}\label{eq:vztah-okam-vykon-a-el-moment}
\end{equation}

\end_inset

 a dosazením z (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-vykon-dosazano"

\end_inset

) již získáme vyjádření pro mement 
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset

 ve tvaru:
\begin_inset Formula 
\[
T_{el}=\frac{P}{\omega_{mech}}=\frac{k_{p}}{\omega_{mech}}\left(-\psi_{pm}i_{\alpha}\omega\sin\vartheta+\psi_{pm}i_{\beta}\omega\cos\vartheta\right)
\]

\end_inset

což lze pomocí vztahu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-el-a-mech-omega"

\end_inset

) upravit na 
\begin_inset Formula 
\[
T_{el}=k_{p}p_{p}\left(-\psi_{pm}i_{\alpha}\sin\vartheta+\psi_{pm}i_{\beta}\cos\vartheta\right)
\]

\end_inset

Stejnou rovnici pro moment 
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset

 používají například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Lee2010"

\end_inset

.
 Dosazení do rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-momenty-dosazeno"

\end_inset

) pak vede na tvar
\begin_inset Formula 
\[
k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(-i_{\alpha}\sin\vartheta+i_{\beta}\cos\vartheta\right)-T_{L}-B\omega_{mech}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt}
\]

\end_inset

Tuto rovnice lze opět užitím vztahu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-el-a-mech-omega"

\end_inset

) upravit tak, aby v ní vystupovali elektrické otáčky 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a dále z rovnice vyjádřit jejich derivaci
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega\label{eq:rovnice-pro-omega-ls}
\end{equation}

\end_inset

Rovnici pro otáčky v této podobě (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pro-omega-ls"

\end_inset

) lze nalézt například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Rovnice pro proudy při různých indukčnostech
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro použití s některými, především injektážními, metodami je do modelu PMSM
 třeba zahrnout anizotropie, které následně usnadní odhadování polohy.
 Možností, jak zavést anizotropie je uvažování různých indukčností v osách
 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

.
 Tyto osy jsou svázány s rotorem a tedy i s permanentními magnety na něm,
 viz obrázek 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Souradne-systemy-pmsm"

\end_inset

.
 Tok permanentních magnetů interaguje s cívkami statoru a mění jejich vlastnosti
, což vede právě na rozdílné indukčnosti v osách 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

.
 Tedy místo jediné izotropní 
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset

 nyní uvažujeme různé 
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset

, nadále je však považujeme za známé konstanty.
 Postup odvození rovnic bude analogický předchozímu odvození pro stejné
 indukčnosti s tím rozdílem, že bude užito soustavy 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

.
 Opět vyjdeme z rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-statorove-napeti"

\end_inset

), kde za veličiny ve statorové souřadné soustavě dosadíme veličiny v soustavě
 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 otočené o úhel 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

.
 Tedy
\begin_inset Formula 
\[
u_{dq}e^{j\vartheta}=R_{s}i_{dq}e^{j\vartheta}+\frac{d\left(\psi_{dq}e^{j\vartheta}\right)}{dt}
\]

\end_inset

a po zderivování
\begin_inset Formula 
\[
u_{dq}e^{j\vartheta}=R_{s}i_{dq}e^{j\vartheta}+\frac{d\psi_{dq}}{dt}e^{j\vartheta}+j\psi_{dq}\omega e^{j\vartheta}
\]

\end_inset

Nyní je možné zkrátit člen 
\begin_inset Formula $e^{j\vartheta}$
\end_inset

 představující rotaci a získáme rovnici pro napětí ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
u_{dq}=R_{s}i_{dq}+\frac{d\psi_{dq}}{dt}+j\psi_{dq}\omega\label{eq:odvoz-ldq-rovnice-napeti}
\end{equation}

\end_inset

Magnetický tok v osách 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 je vyjádřen podobně, jako pro stejné indukčnosti, jako součet toku indukovaného
 cívkami a toku permanentních magnetů, tedy
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\psi_{d} & = & L_{d}i_{d}+\psi_{pm}\\
\psi_{q} & = & L_{q}i_{q}
\end{eqnarray*}

\end_inset

protože tok permanentních magnetů uvažujeme pouze ve směru osy 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

.
 Po dosazení vztahů pro toky do rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-ldq-rovnice-napeti"

\end_inset

) a jejím rozepsání do jednotlivých os (
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 odpovídá reálné a 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 imaginární ose v komplexním vyjádření) získáme rovnice
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{d}\frac{di_{d}}{dt}-L_{q}i_{q}\omega\\
u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{q}\frac{di_{q}}{dt}+\left(L_{d}i_{d}+\psi_{pm}\right)\omega
\end{eqnarray*}

\end_inset

Opět je možno vyjádřit derivace proudů a získat rovnice pro proudy v soustavě
 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{d}}i_{d}+\frac{L_{q}}{L_{d}}i_{q}\omega+\frac{1}{L_{d}}u_{d}\nonumber \\
\frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{q}}i_{q}-\frac{L_{d}}{L_{q}}i_{d}\omega-\frac{\psi_{pm}}{L_{q}}\omega+\frac{1}{L_{q}}u_{q}\label{eq:rovnice-proudy-ldq-v-dq}
\end{eqnarray}

\end_inset

Tyto rovnice používají například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Chen2009,Foo2009,Genduso2010"

\end_inset

.
 Rovnice pro proudy v soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 lze získat transformováním rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ldq-v-dq"

\end_inset

) pomocí vztahu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"

\end_inset

), tyto rovnice však již mají poměrně dosti komplikovaný zápis.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Rovnice pro otáčky při různých indukčnostech
\end_layout

\begin_layout Standard
Postup odvození rovnice pro otáčky při uvažování různých indukčností je
 opět podobný jako v případě stejných indukčností.
 Pro momenty platí opět rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-momenty-dosazeno"

\end_inset

): 
\begin_inset Formula 
\[
T_{el}-T_{L}-B\omega_{mech}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt}
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset

 vypočteme přes okamžitý elektrický výkon.
 Užijeme tedy rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-vykon"

\end_inset

) a provedeme transformaci souřadnic danou vztahem (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"

\end_inset

):
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
P & = & k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right)\\
 & = & k_{p}\left(\left(u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta\right)\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right)+\left(u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta\right)\left(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta\right)\right)\\
 & = & k_{p}\left(u_{d}i_{d}+u_{q}i_{q}\right)
\end{eqnarray*}

\end_inset

Nyní za napětí dosadíme indukovaná napětí bez složek obsahující derivace
 proudů, tedy
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{ind,d} & = & -L_{q}i_{q}\omega\\
u_{ind,q} & = & \left(L_{d}i_{d}+\psi_{pm}\right)\omega
\end{eqnarray*}

\end_inset

a následně po dosazení do rovnice pro výkon získáme
\begin_inset Formula 
\[
P=k_{p}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)\omega
\]

\end_inset

Výsledkem užitím vztahu pro okamžitý výkon 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 a moment 
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset

, viz rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-okam-vykon-a-el-moment"

\end_inset

), a převodního vztahu pro otáčky (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-el-a-mech-omega"

\end_inset

) je rovnice
\begin_inset Formula 
\[
T_{el}=k_{p}p_{p}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)
\]

\end_inset

a po dosazení do rovnice pro momenty (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-momenty-dosazeno"

\end_inset

), užití převodního vztahu pro otáčky (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-el-a-mech-omega"

\end_inset

) a vyjádření derivací získáme rovnici pro otáčky ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega\label{eq:rovnice-pro-omega-ruzne-ldq}
\end{equation}

\end_inset

který lze rovněž najít v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Chen2009,Genduso2010"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Shrnutí rovnic pro PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní bude pro přehlednost uvedeno shrnutí výše odvozených rovnic popisujících
 PMSM.
 Nejdříve soustava rovnic v souřadnicích 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 při uvažování stejných indukčností, tedy rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ls"

\end_inset

), (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pro-omega-ls"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:definice-otacek"

\end_inset

):
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\alpha}\nonumber \\
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\beta}\label{eq:rovnice-pmsm-albe-ls}\\
\frac{d\omega}{dt} & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega\nonumber \\
\frac{d\vartheta}{dt} & = & \omega\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

Následuje soustavě pro různé indukčnosti 
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset

 v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 vzniklá spojením rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ldq-v-dq"

\end_inset

), (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pro-omega-ruzne-ldq"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:definice-otacek"

\end_inset

):
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{d}}i_{d}+\frac{L_{q}}{L_{d}}i_{q}\omega+\frac{1}{L_{d}}u_{d}\nonumber \\
\frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{q}}i_{q}-\frac{L_{d}}{L_{q}}i_{d}\omega-\frac{\psi_{pm}}{L_{q}}\omega+\frac{1}{L_{q}}u_{q}\label{eq:rovnice-pmsm-dq-ldq}\\
\frac{d\omega}{dt} & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega\nonumber \\
\frac{d\vartheta}{dt} & = & \omega\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Mechanické veličiny a senzory
\end_layout

\begin_layout Standard
Jak je patrné z výše odvozeného modelu PMSM, když chceme stroj dobře řídit,
 je potřeba znát s dostatečnou přesností fyzikální veličiny, které zachycují
 jeho stav v daném časovém okamžiku.
 Jako tyto veličiny v základu volíme elektrické proudy a napětí a dále pak
 polohu rotoru a rychlost jeho otáčení.
 Získat dostatečně přesné hodnoty těchto veličin však není vždy zcela jednoduché.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
U elektrických proudů na výstupu stroje předpokládáme, že je měříme s dostatečno
u přesností.
 Elektrická napětí na vstupu předpokládáme známá, protože se obvykle jedná
 o řídící veličiny.
 Je však třeba poznamenat, že napětí požadovaná řídícím algoritmem a skutečná
 napětí dodaná napájecí elektronikou se mohou často značně lišit.
 Vliv tohoto konkrétního problému bude podrobněji diskutován dále v textu.
\end_layout

\begin_layout Standard
Získání hodnot mechanických veličin v reálném čase je v praxi mnohem komplikovan
ější.
 Je totiž třeba užít speciálních senzorů jako například: pulzní snímače
 na principu vhodného kódu 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "novak2006"

\end_inset

, Hallovy senzory 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PUK1"

\end_inset

 nebo rezolvery 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAH1,novak2006"

\end_inset

.
 Pro praktické aplikace je však třeba ekonomických, robustních a kompaktních
 motorů a využití senzorů přináší obecně mnoho nevýhod jako například 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Pacas2011,Yongdong2008"

\end_inset

: 
\end_layout

\begin_layout Itemize
větší hardwarová složitost zařízení, více vodičů, sběrnic a konektorů, větší
 rozměry
\end_layout

\begin_layout Itemize
vyšší cena, vliv na životní cyklus výrobku
\end_layout

\begin_layout Itemize
menší spolehlivost a menší odolnost proti šumu
\end_layout

\begin_layout Itemize
nutno řešit negativní vlivy na senzory: elektromagnetické pole, oscilace,
 vysoké rychlosti a teploty
\end_layout

\begin_layout Itemize
vyšší nároky na údržbu
\end_layout

\begin_layout Itemize
menší robustnost, problém při selhání senzoru, je-li motor současně využíván
 i jako brzda 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PCW1"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Je tedy snahou se užití senzorů vyhnout a k určování polohy a otáček rotoru
 využít jiných, 
\emph on
bezsenzorových
\emph default
, metod.
 Ty jsou obvykle založeny na speciálním algoritmu, který odhaduje hodnoty
 mechanických veličin z hodnot veličin elektrických.
\end_layout

\begin_layout Standard
S bezsenzorovými metodami byly na počátku spojeny problémy s výpočetní náročnost
í.
 To se však změnilo s dostupností moderních výkoných elektronických prvků
 umožňujících implementaci náročnějších algoritmů a tím byl umožněn rozvoj
 bezsenzorového řízení.
 V posledních letech tak byl současně v akademické i průmyslové sféře odstartová
n intenzivní výzkum na poli pokročilých řídících strategií.
 Pro komerční průmyslovou aplikaci je však bezsenzorový návrh rozumný, jen
 pokud se neprodraží více než původně uvažované senzory.
 Nelze tedy bezsenzorový návrh příliš usnadnit přidáním dalších elektrických
 senzorů (napříkad napěťových), užití nejvýkonějších dostupných procesorů,
 případně požadavkem na jinou nebo speciální konstrukci samotného motoru
 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Pacas2011"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Metody pro odhadování stavových veličin PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
K odhadování stavových veličin PMSM v bezsenzorovém návrhu je možno přistupovat
 z různých směrů a lze při tom využít mnoha specifických jevů.
 V důsledku toho byla vyvinuta celá řada více či méně uspěšných metod.
 Následující přehled čerpá svoji osnovu z 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Yongdong2008"

\end_inset

, ta je dále doplněna o konkrétní příklady z dalších zdrojů.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Metody založené na otevřené smyčce
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Přímý výpočet 
\end_layout

\begin_layout Standard
Požadované veličiny (poloha a otáčky) jsou přímo vyjádřeny a vypočteny z
 rovnic popisujících PMSM.
 Jedná se o přímočarou a jednoduchou metodu s velmi rychlou dynamickou odezvou.
 Není třeba užití komplikovaného pozorovatele, nicméně metoda je velmi citlivá
 na chyby měření, šum a nepřesné určení parametrů stroje.
\end_layout

\begin_layout Standard
Příkladem může být následující postup při použití rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"

\end_inset

) v souřadné soustave 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

: Vyjdeme z
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\alpha}\\
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\beta}
\end{eqnarray*}

\end_inset

vyjádříme 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\varepsilon_{\alpha}=\omega\sin\vartheta & = & \frac{L_{s}}{\psi_{pm}}\frac{di_{\alpha}}{dt}+\frac{R_{s}}{\psi_{pm}}i_{\alpha}-\frac{1}{\psi_{pm}}u_{\alpha}\\
\varepsilon_{\beta}=\omega\cos\vartheta & = & -\frac{L_{s}}{\psi_{pm}}\frac{di_{\beta}}{dt}-\frac{R_{s}}{\psi_{pm}}i_{\beta}+\frac{1}{\psi_{pm}}u_{\beta}
\end{eqnarray*}

\end_inset

a na závěr vypočteme
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\left|\omega\right| & = & \sqrt{\varepsilon_{\alpha}^{2}+\varepsilon_{\beta}^{2}}\\
\vartheta & = & \arctan\frac{\varepsilon_{\alpha}}{\varepsilon_{\beta}}
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Výpočet statorové indukčnosti 
\end_layout

\begin_layout Standard
Používá se pro IPMSM, kde indukčnost statorových fází je funkcí polohy rotoru.
 Poloha rotoru je tedy vypočtena z napětí a proudu ve statorové fázi.
 Problémy nastavají v důsledku nepřesného výpočtu indukčnosti a dále při
 saturaci magnetickým tokem, kdy metoda poskytuje špatné výsledky.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Integrace zpětné elektromotorické síly 
\end_layout

\begin_layout Standard
Metoda využíva toho, že v synchronním stroji rotuje statorový a rotorový
 tok synchronně a tedy ze znalosti statorového toku lze vypočítat, na základě
 rovnic stroje, úhel rotorového toku, tedy polohu hřídele.
 Problém tohoto přístupu je především v citlivosti na chyby a (především
 teplotní) změny rezistance statoru.
 Dále metoda funguje špatně při nízkých otáčkách.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Rozšířená elektromotorická síla 
\end_layout

\begin_layout Standard
Jedná se především o rozšíření konceptu zpětné elektromotorické síly na
 IPMSM, kde navíc vystupují rozdílné indukčnosti.
 Umožňuje tedy užití metod pro SMPMSM založených na EMF i pro IPMSM.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Metody s uzavřenou smyčkou
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Rozšířený Kalmanův filtr 
\end_layout

\begin_layout Standard
Tato metoda poskytuje ve srovnání s ostatními velmi dobré výsledky, je méně
 ovlivněna šumem měření a nepřesností parametrů.
 Je asi nejpoužívanějším nelineárním pozorovatelem pro odhadování stavových
 veličin PMSM.
 Popis jeho aplikace lze naléz například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSB1,PEB2,PEB1,Peroutka2009"

\end_inset

.
 Problematičtější je nutnost vhodné volby kovariančních matic.
 Dále je třeba vhodně vyřešit problém s konvergencí ke špatnému řešení (symetrie
 
\begin_inset Formula $\left(\omega,\vartheta\right)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\left(-\omega,\vartheta+\pi\right)$
\end_inset

).
 Postup je také problematičtější pro IPMSM s různými indukčnostmi.
 Dalšími nevýhodami jsou vyšší výpočetní a časová náročnost.
 Detailnímu popisu algoritmu rozšířeného Kalmanova filtru a jeho následné
 aplikaci na PMSM bude věnována zvláštní pozornost dále v textu (část 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:EKF-popis"

\end_inset

) a (
\series bold
odkaz
\series default
).
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
MRAS 
\end_layout

\begin_layout Standard
Algoritmus využívá redundance dvou různých modelů stroje k určení stejných
 veličin z jiné množiny vstupů.
 Chyba mezi estimovanými veličinami jednotlivých modelů je pak úměrná úhlovému
 posunu mezi dvěma odhadovanými vektory toku.
 Tato chyba je pak obvykle minimalizována PI regulátorem.
 Příkladem je využití napěťového modelu a proudového modelu k určení chyby
 toku, ze které je určena rychlost.
 Jinou možností je užít jako jeden z modelů samotný PMSM.
 Nevýhodou je silná závislost na přesnosti parametrů stroje.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Jednoduché adaptivní řízení 
\end_layout

\begin_layout Standard
Návrh pro případ známé velikosti toku permanentních magnetů.
 Výhodou je zvládnutí kompenzace konstantní posun napětí, avšaj má problémy
 při nízkých otáčkách.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Klouzavý pozorovatel (sliding mode observer)
\end_layout

\begin_layout Standard
Přístup zajišťuje nulovou chybu odhadovaného statorového proudu.
 Dále pak rekonstruuje zpětnou elektromotorickou sílu a vypočítává z ní
 polohu rotoru.
 Opět má problémy při nízkých otáčkách.
 Existuje i iterativní verze klouzavého pozorovatele, viz například 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSK1"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Metody založené na neideálních vlastnostech motoru 
\end_layout

\begin_layout Standard
Odstraňují kritickou závislost na velikosti zpětné elektromotorické síly
 úměrné otáčkám stroje.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Vyskofrekvenční (HF) injektáž 
\end_layout

\begin_layout Standard
Metoda je založena na vlastnosti magnetických 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

výčnělků
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 (saliency) především u IPMSM, případně na lokálních anizotropiích v důsledku
 saturace magnetickým tokem typicky pro SMPMSM.
 Detailněji se základní metodou injetkáže zabývají v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAB1,PAH1,PSJ1"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Injektovaný signál je přiváděn na vstup stroje spolu s řízením.
 Generuje točivé nebo střídavé pole ve specifickém, předem určeném prostorovém
 směru.
 Tyto dva rozdílné přístupy jsou také označovány jako 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

rotující napěťový vektor
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 a 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

pulzující napěťový vektor
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 v tomto pořadí.
 Jejich srovnání a aplikaci na oba typy PMSM (SM a I) lze nalézt v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PCB1,PCK1"

\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Přídavný injektovaný signál je označován jako 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

nosný
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 a je periodický na nosné frekvenci vzhledem k času nebo prostoru.
 Nosný signál je modulován aktuální prostorovou orientací anizotropií stroje
 a následně signál je následně extrahován z výstupu stroje a demodulován.
 Tím postupem je obecně získávána hodnota úhlu natočení.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Výhodné je injektovat do 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 osy, kde nedochází k rušení momentu.
 Dále injektáží do 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 osy lze užít saturace tokem pro motory s nevýraznými výstupky, to však
 není vhodné pro aplikace při silném zatížení.
 Další možností je injektovat ve statorových souřadnicích 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Výhodou injektáží je necitlivost k nepřesné znalosti parametrů stroje.
 Například články 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSL1,PSL3"

\end_inset

 představují injektážní metodu, která nepotřebuje znát parametry stroje.
 V případě 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSL3"

\end_inset

 se navíc snaží kompenzovat i negativní vliv invertoru a rozšířit schopnost
 detekce anizotropií i na velmi malé nepravidelnosti typické pro SMPMSM.
 Nevýhodou je spotřeba jistého množství napětí, což snižuje dostupné maximální
 napětí.
 Dalším nedostatekem je užití digitálních filtrů pro zpracování a špatný
 dynamický výkon v důsledku jejich užití.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Injektáž velmi vysokých frekvencí
\end_layout

\begin_layout Standard
Tento relativně nový postup prezentovaný v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAP1"

\end_inset

 nedetekuje anizotropie v důsledku saturace případně anizotropie samotného
 rotoru rotoru.
 Místo toho je založena na neideálních vlastnostech (anizotropiích) samotných
 permanentních magnetů.
 Z tohoto důvodu ji lze využít v případech kdy ostatní metody selhávají,
 například z důvodu nepřítomnosti klasických anizotropií.
 Pro správnou funkčnost metoda je však nutné užití velmi vysokých frekvencí
 v řádu stovek 
\emph on
kHz
\emph default
.
 Nevýhodou je nutnost volby optimální hodnoty frekvence specificky pro konkrétní
 typ magnetu.
 Dále pak to, že se jedná o relativně novou metodu, která zatím není detailněji
 prozkoumána.
 
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Nizkofrekvenční (LF) injektáž 
\end_layout

\begin_layout Standard
Injektování nízké frekvence do 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 osy.
 To způsobí změnu v otáčkách indikující chybu odhadu.
 Z ní je pak možné odhadnout polohu.
 Založeno na jiném principu než vysokofrekvenční injektáže a výstupky již
 nejsou nutnou podmínkou pro tuto metodu.
 Funkčnost závisí na momentu setrvačnosti stroje a pro jeho velké hodnoty
 selháva.
 Dalším nedostatkem je pomalá dynamická odezva.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
INFORM (Indirect flux detection by on-line reactance measurement) 
\end_layout

\begin_layout Standard
Použití pro určení polohy PMSM při nízkých a nulových otáčkách.
 Založeno na měření proudové odezvy vyvolané napěťovým vektorem aplikovaným
 v různých prostorových směrech a užitím tohoto proudu k identifikaci změny
 induktance.
 Výhodou je jednoduchý výpočet a dále není třeba rovnic pro motor.
 Tedy metoda je necitlivá na změnu/nepřesné hodnoty parametrů.
 Je však citlivá na chyby toku způsobující špatný odhad.
 Dále tato metoda způsobuje rušení proudů v ustáleném stavu.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Detekce počáteční polohy 
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro hladký start PMSM je třeba znát počáteční polohu.
 Obvykle je užito vhodné excitace stroje k získání informace o poloze.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Užití impulzního napětí 
\end_layout

\begin_layout Standard
Postup je založen na sycení a změně indukčnosti statoru s pozicí magnetů
 na rotoru.
 Za klidu jsou do statorových fází aplikovány napěťové pulzy a z proudů
 je následně vupočítána informace o poloze.
 Příkladem může být technika představená v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PIS1"

\end_inset

, která nevyžaduje znalost parametrů stroje a je možno ji aplikovat i na
 SMPMSM.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Testovací napěťové vektory 
\end_layout

\begin_layout Standard
Napěťové vektory v různých prostorových směrech jsou aplikovány do stroje
 a je měřena proudová odezva.
 Nejvyšší odezva pak indikuje pozici rotoru.
 Funkčnost metody je založena na saturaci statorového jádra.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Vysokofrekvenční (HF) testovací signál 
\end_layout

\begin_layout Standard
Počáteční poloha je získávána z odezvy na injektovaný proudový nebo napěťový
 vysokofrekvenční signál.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Kombinace metod
\end_layout

\begin_layout Standard
Vzhledem k tomu, že každá z výše uvedených metod má své nedostatky, nejlepších
 výsledků je dosahováno jejich vhodnou kombinací.
 Kombinování metod má však i své nedostatky: Obecně komplikuje celý návrh
 a ten se stává složitějším.
 Dalším problémem je nutnost řešit správné napojední jednotlivých kombinovaných
 metod.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
V 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSB1"

\end_inset

 představují bezsenzorové řízení založené na EKF estimátoru ve spojení s
 PI regulátory.
 To nepotřebuje znát počáteční natočení rotoru a zátěžný moment.
 PI regulátor napětí lze nastavit se zamčeným rotorem a je řešen i problém
 s rozpoznáním 
\begin_inset Formula $\mathrm{sign}\,\omega$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Článek 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PEB2"

\end_inset

 je také zaměřen na využití EKF, nyní však v případě IPMSM.
 Návrh je komplikovanější v důsledku uvažování anizotropií stroje, autoři
 se ji však snaží využít k vylepšení výkonu systému.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
V 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PLU1"

\end_inset

 využívají řízení založené na klouzavém pozorovateli, kde si ale navíc při
 nízkých otáčkách 
\begin_inset Formula $\omega\thickapprox0$
\end_inset

 pomáhají injektováním stejnosměrného proudu do 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 osy.
 Nevyužívají však anizotropií ani nijak zvlášť neanalyzují injektovaný signál.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Hybridní metody s injektáží
\end_layout

\begin_layout Standard
Jako hybridní metody budou v textu označovány kombinace nejčastěji používaných
 přístupů pro PMSM, tedy injektážních a technik založených na zpětné elektromoto
rické síle.
 Užití injektáží je vhodné pro nízké a nulové otáčky, zatímco ve vyšších
 rychlostech způsobuje nežádoucí rušení.
 Oproti tomu přístupy využívající zpětnou elektromotorickou sílu fungují
 pří vyšších otáčkách dobře a pro nízké selhávají.
 Je tedy nasnadě oba typy metod vhodným způsobem zkombinovat a získat tak
 způsob jak odhadovat stavové veličiny v celém rozsahu rychlostí stroje.
 Základní idea tedy je pří nízkých otáčkách využívat odhadů z injektáží
 a při zvýšení otáček injektáže vypnout, aby nezpůsobovali rušení a dále
 se řídit jen na zákledě odhadů ze zpětné elektromotorické síly.
 Tento postup je použit v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAP2"

\end_inset

, kdy jako estimátor používají adaptivního pozorovatele s referenčním modelem,
 který je pro nízké otáčky doplněn základním návrhem injektáže.
\end_layout

\begin_layout Standard
Důležitou součástí těchto metod je způsob, jakým se vyřeší 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

bezproblémový
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 přechod z jednoho estimátoru na jiný.
 V 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PHS1"

\end_inset

 je to například řešeno tak, že stále užívají estimátor rotorového toku
 založený na indukovaných napětích.
 V nízkých otáčkách je pak doplňován injektáží, ta s rostoucími otáčkami
 postupně vymizí.
 Obdobně v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSP1"

\end_inset

 je užit estimátor založený na napěťovém modelu, v nízkých otáčkách je přidána
 vysokofrekvenční injektáž.
 Amplituda injektáže s rostoucími otáčkami lineárně klesá a navíc je nad
 určitou mezní rycholostí úplně vypnuta.
\end_layout

\begin_layout Standard
Hybridní metody jsou samozřejmě dále vylepšovány.
 Například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSP2"

\end_inset

 uzpůsobojí standartní hybridní metodu, zejména její injektážní část, aby
 fungovala i s invertorem vybaveným na výstupu 
\emph on
LC
\emph default
 filtrem.
 Toho se užívá zejména k odstranění problému ve střídavých strojích v důsledku
 napájení nesinusovým napětím z invertoru s pulzně šířkovou modulací.
 
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Více modelů
\end_layout

\begin_layout Standard
sekvenční Monte Carlo metoda -- Particle Filter
\end_layout

\begin_layout Section
Doplňky
\end_layout

\begin_layout Subsection
Rozšířený Kalmanův filtr
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:EKF-popis"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pro úplnost je zde uvedena základní formulace v textu často zmiňovaného
 rozšířeného Kalmanova filtru (Extended Kalman Filter, EKF).
 Typicky je algoritmus standartního Kalmanova filtru používán jako pozorovatel
 lineárního systému.
 Je však možno jej zobecnit i pro nelineární systémy a pak hovoříme o rozšířeném
 Kalmanově filtru.
 Zobecnění je založeno na jednoduché myšlence, kdy původní nelineární systém
 linearizujeme v každém časovém kroku v okolí odhadu, střední hodnoty a
 kovariance.
 Popis standartního Kalmanova filtru je možno nalézt v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BertsekasDPOC"

\end_inset

.
 Následující popis rozšířeného Kalmanova filtru je převzat z (
\series bold
citace
\series default
):
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Modelový systém
\end_layout

\begin_layout Standard
Předpokládejme nelineární dynamický systém s aditivním šumem popsaný rovnicemi
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
x_{t} & = & f\left(x_{t-1},u_{t-1}\right)+w_{t-1}\\
y_{t} & = & h\left(x_{t}\right)+v_{t}
\end{eqnarray*}

\end_inset

pro 
\begin_inset Formula $t=1,\ldots,T$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 je vektor stavu, 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

 vektor řízení, 
\begin_inset Formula $y_{t}$
\end_inset

 vektor pozorování (měření) a vektory 
\begin_inset Formula $v_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $w_{t}$
\end_inset

 představují na sobě vzájemně nezávislý Gaussovský bílý šum s nulovou střední
 hodnotou a kovariančními maticemi 
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $Q_{t}$
\end_inset

 v tomto pořadí; obecně nelineární funkce 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 představuje funkci systému a 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 funkci měření a předpokládáme je známé.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Označme nyní 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 Jacobiho matici parciálních derivací 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 dle 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 v bodě odhadu, tedy 
\begin_inset Formula $\left(A_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right)$
\end_inset

.
 Obdobně pro funkci 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 označme 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 matici derivací 
\begin_inset Formula $\left(C_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial h_{i}}{\partial x_{j}}\left(\overline{\hat{x}}_{t},0\right)$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $\tilde{x}_{t}$
\end_inset

 představuje aproximaci stavu vypočtenou z odhadu bez šumu 
\begin_inset Formula $\tilde{x}_{t}=f\left(\overline{\hat{x}}_{t},u_{t-1},0\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Algoritmus
\end_layout

\begin_layout Standard
Samotný algoritmus EKF můžeme rozdělit na dvě fáze.
 V první označované jako časová oprava (time update) nebo také 
\emph on
predikce
\emph default
 se vypočítá apriorní odhad stavu a kovarianční matice:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\overline{\hat{x}}_{t} & = & f\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right)\\
\overline{P}_{t} & = & A_{t}P_{t-1}A_{t}^{T}+Q_{t-1}
\end{eqnarray*}

\end_inset

Ve druhé části označované jako oprava měření (measurement update) neboli
 
\emph on
korekce
\emph default
 pak získáme aposteriorní odhad stavu 
\begin_inset Formula $\hat{x}_{t}$
\end_inset

 a kovarianční matice 
\begin_inset Formula $P_{t}$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
K_{t} & = & \overline{P}_{t}C_{t}^{T}\left(C_{t}\overline{P}_{t}C_{t}^{T}+R_{t}\right)^{-1}\\
\hat{x}_{t} & = & \overline{\hat{x}}_{t}+K_{t}\left(y_{t}-h\left(\overline{\hat{x}}_{t},0\right)\right)\\
P_{t} & = & \left(I-K_{t}C_{t}\right)\overline{P}_{t}
\end{eqnarray*}

\end_inset

Pro úplnost je ještě třeba dodat počáteční apriorní odhady 
\begin_inset Formula $\hat{x}_{0}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $P_{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Teoretické zdůvodnění injektáží
\end_layout

\begin_layout Standard
tady bude odvození, proč vlastně injektáže fungují, jak se to projevuje
 v rovnicích a co je na výstupu
\end_layout

\begin_layout Subsection
Hlavní příčiny neurčitosti v PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
Následující popis 
\series bold
částečně
\series default
 vychází z 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"

\end_inset

 (
\series bold
případně najít další zdroje
\series default
):
\end_layout

\begin_layout Itemize
skutečná napětí ve stroji -- PWM a invertor
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
efekt mrtvých časů
\end_layout

\begin_layout Itemize
nelineární úbytky napětí v důsledku voltamperové charakteristiky napájecí
 elektroniky
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
chyby měření -- zaokrouhlovací chyba senzorů
\end_layout

\begin_layout Itemize
zanedbání složitějších efektů v modelu -- závislost parametrů na teplotě,
 saturace magnetickým tokem
\end_layout

\begin_layout Itemize
nepřesné hodnoty parametrů stroje
\end_layout

\begin_layout Itemize
nedokonalosti samotného motoru -- zařízení není nikdy vyrobeno přesně, výskyt
 nesymetrií, anizotropických vlastností rotoru, samotných permanentních
 magnetů a podobně
\end_layout

\begin_layout Itemize
vliv diskretizace rovnic -- Eulerova metoda
\end_layout

\begin_layout Itemize
vliv neznámého zátěžného momentu
\end_layout

\begin_layout Standard
V důsledku bezsenzorového návrhu dále přibývá neznalost:
\end_layout

\begin_layout Itemize
počáteční polohy
\end_layout

\begin_layout Itemize
polohy při provozu stroje
\end_layout

\begin_layout Itemize
velikosti otáček při provozu stroje
\end_layout

\begin_layout Itemize
směru otáčení -- která ze symetrických verzí 
\begin_inset Formula $\left(\omega,\vartheta\right)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\left(-\omega,\vartheta+\pi\right)$
\end_inset

 je realizována
\end_layout

\begin_layout Chapter
Metody řízení PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
Cílem řízení systému je obvykle dosažení optimální shody se zadanými požadavky.
 Ty jsou většinou reprezentovány referenčním signálem, který dostává regulátor
 na svůj vstup spolu s hodnotami pozorování systému.
 V mnoha případech regulátorů je obvyklé uvažovat jako referenční hodnotu
 nulu, příkladem může být PI regulátor nebo standartní lineárně kvadratické
 řízení.
 Je-li řízený systém lineární, není řízení na nulové hodnoty problémem,
 protože pro lineární systémy platí princip superpozice a výsledek pro nenulové
 požadované hodnoty je možno snadno získat lineární operací.
 V případě nelineárních systémů je situace komplikovanější a nenulový referenční
 signál je třeba vhodně ošetřit.
 Příklad takového postupu představuje úprava lineárně kvadratického řízení
 pro PMSM v kapitole (
\series bold
odkaz
\series default
).
\end_layout

\begin_layout Standard
V této kapitole bude nejdříve uvedeno obecné členění řídících algoritmů,
 následovat bude popis klasických technik užívaných k řízení PMSM.
 Dále bude věnována pozornost duálnímu řízení a na závěr budou popsány Cramer-Ra
ovy meze jako nástroj použitelný ke srovnání jednotlivých algoritmů z hlediska,
 jak dobře dokáží zlepšit pozorovatelnost systému.
\end_layout

\begin_layout Section
Rozdělení řídících algoritmů
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:Rozdeleni-ridicich-algoritmu"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Algoritmy užívané pro řízení systémů, tedy nejen PMSM, lze obecně rozdělit
 na základě jejich charakteristických vlastností do několika skupin.
 Toto rozdělení je obzvláště výhodné při práci se suboptimálními metodami.
 Rozčlenění je provedeno na základě dostupnosti pozorováním (měřením) stavu
 systému pro návrh řídícího zásahu a vychází z 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BarShalom1974"

\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Subsection
Řídicí strategie založené na otevřené smyčce
\end_layout

\begin_layout Standard
V otevřené smyčce (open-loop) předpokládáme, že není dostupné žádné měření
 stavu systému.
 Řídící zásah je tedy navrhován pouze na základě znalosti struktury systému
 a stanovených požadavků, například ve formě referenčního signálu.
 Vzhledem k tomu, že tento přístup pouze navrhuje řídící zásahy a již nijak
 nevyhodnocuje jejich skutečný dopad, výsledky často nejsou dostačující
 pro náročnější aplikace.
 Příkladem užití spolu s PMSM může být skalární volt/herz řízení, viz odstavec
 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:skalarni-rizeni"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Zpětnovazební řídící strategie
\end_layout

\begin_layout Standard
Oproti předchozí kategorii je zde zavedena zpětná vazba (feedback), která
 v každém časovém kroku 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 poskytuje měření 
\begin_inset Formula $y_{t}$
\end_inset

.
 Dostupná znalost o systému v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 jsou tedy, kromě jeho struktury, všechna měření 
\begin_inset Formula $y_{1},\ldots,y_{t}$
\end_inset

 až do času 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

.
 Ale dále již nepředpokládáme žádnou znalost o budoucích měřeních.
 Tento přístup je také označován jako pasivně adaptivní, protože regulátor
 se 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

učí
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 na základě měření, ale nijak tomuto učení aktivně 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

nepomáhá
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

.
 Tedy informace, které se o systému dozví, získává v jistém smyslu náhodou
 a ne záměrně.
 Příklad tohoto přístupu představují klasické techniky pro řízení PMSM jako
 vektorové řízení založené na PI regulátorech nebo LQ ve spojení s nějakým
 běžným estimátorem založeným na zpětné elektromotorické síle, například
 EKF.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Řídící strategie založená na uzavřené smyčce
\end_layout

\begin_layout Standard
Nejdříve je třeba poznamenat, že jak uvádějí autoři 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BarShalom1974"

\end_inset

, není často v literatuře zdůrazňován a rozlišován rozdíl mezi strategií
 založené na uzavřené smyčce (closed-loop) a zpětnovazební strategií (feedback).
 Řídící strategie pracující v uzavřené smyčce uvažuje všechna budoucí pozorování
 a tedy využívá znalosti, že smyčka zůstane uzavřena až do konce uvažovaného
 časového horizontu.
 Tuto znalost se snaží zužitkovat, především v tom smyslu, že současný řídící
 zásah může ovlivnit nejistotu týkající se budoucích stavů, to je také nazýváno
 jako 
\emph on
duální efekt
\emph default
.
 V tomto případě může vhodný řídící zásah 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

pomoci
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 učení (odhadování) tím, že snižuje nejistotu budoucích stavů a tento přístup
 lze označit za aktivně adaptivní.
 Taté problematice se detailněji věnuje část 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Dualni-rizeni"

\end_inset

 zabývající se duálním řízením.
\end_layout

\begin_layout Section
Klasické metody řízení PMSM
\end_layout

\begin_layout Subsection
Skalární řízení
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:skalarni-rizeni"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Skalární řízení je často využíváno v asynchronních strojích, je však možné
 užit jej i pro PMSM.
 Detailněji je popsáno například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "shfpmsmct2007"

\end_inset

.
 Jeho velkou výhodou je, že se jedná v podstatě o bezsenzorový návrh řízení,
 protože funguje na principu nezpětnovazebního řízení.
 Nevýhodou je pak závislost rychlosti na zátěžném momentu, špatná regulace
 momentu a horší dynamické vlastnosti.
 I přes zmíněné nevýhody toto řízení obvykle stačí na jednudušší aplikace
 jako pohon větráků, čerpadel nebo klimatizací 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Pacas2011"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Toto řízení je také označováno jako 
\begin_inset Formula $V/f$
\end_inset

 nebo volt/herz řízení, protože regulovanou veličinou je právě poměr napětí
 a frekvence.
 Snahou řízení je udržet poměr napětí a frekvence konstantní.
 Úhlová rychlost rotoru může být určena nepřímo výpočtem z frekvence napájecího
 napětí.
 Tato hodnota může být považována za hodnotu skutečných otáček stroje, pokud
 zátěžný moment nepřesáhne kritickou hodnotu.
 Pro řízení ale skutečnou hodnotu otáček stroje znát nepotřebujeme, algoritmus
 totiž pracuje následovně:
\end_layout

\begin_layout Standard
Z požadovaných otáček se určí frekvence 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, ta slouží jako referenční signál pro regulátor.
 Ten pak řídí poměr napětí a frekvence 
\begin_inset Formula $V/f$
\end_inset

 tak, aby byl konstantní.
 Na jeho výstupu získáme amplitudu napětí 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Řídící napětí pro PMSM v 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 souřadnicích je pak ve tvaru 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{\alpha} & = & V\cos(2\pi ft)\\
u_{\beta} & = & V\sin(2\pi ft)
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Přímé řízení momentu
\end_layout

\begin_layout Standard
Přímé řízení momentu (Direct Torque Control, DTC) se užívá, když je potřeba
 vysoký výkon vzhledem k dynamice momentu.
 Je řízen přímo moment stroje a základní princip je následující: Kruhová
 trajektorie statorového toku se rozdělí na šest symetrických částí.
 Velikosti vektorů statorového toku a elektromagnetického momentu v souřadnicích
 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 je pak držena v předem stanovených mezích prostřednictvím vhodného spínání
 jedné ze šesti kombinací na invertoru.
 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "shfpmsmct2007,vcmdtc2006"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Touto metodou text již dále nezabývá a je zde uvedena jen pro úplnost.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Vektorové řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Jedná se asi o nejčastěji využívaný řídící algoritmus.
 Je užíván pro řízení v kombinaci s estimátorem založeným na zpětné elektromotor
ické síle, injektáži i v hybridních verzích v naprosté většině citovaných
 textů z části (
\series bold
citace
\series default
).
\end_layout

\begin_layout Standard
Dle 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "shfpmsmct2007"

\end_inset

 vektorové řízení odstraňuje většinu nevýhod skalárního řízení a v porovnání
 s ním poskytuje velmi dobrý výkon.
 Jedná se o řízení zpětnovazební a umožňuje samostatné řízení toku i momentu,
 potřebuje však znát odhady stavových veličin stroje včetně mechanických.
 Základní struktura je pak založena na vhodné kombinaci PI regulátorů.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
PI regulátor
\end_layout

\begin_layout Standard
PI (proporcionálně integrační) regulátor je jednoduchý systém, který v sobě
 kombinuje dvě základní části: Proporcionální část, což je ve své podstatě
 zesilovač a integrální část reprezentovanou integrátorem.
 V tomto systému se vyskytují dvě konstanty 
\begin_inset Formula $K_{p}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $K_{i}$
\end_inset

, které je třeba vhodně nastavit.
 Základní implementace je následnovná:
\begin_inset Formula 
\[
x_{t}=\mathrm{PI}\left(e_{t},K_{p},K_{i}\right)=K_{p}e_{t}+K_{i}\intop_{0}^{t}e_{\tau}d\tau.
\]

\end_inset

Diskrétní verze pak
\begin_inset Formula 
\[
x_{t}=\mathrm{PI}\left(e_{t},K_{p},K_{i}\right)=K_{p}e_{t}+K_{i}\sum_{k=0}^{t}e_{k}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Tento regulátor je výhodné užít v případě, kdy chceme vyregulovat 
\begin_inset Formula $e_{k}$
\end_inset

 obvykle reprezentující odchylku od požadované hodnoty na nulu.
 V některých případech bychom si vystačili s proporcionální složkou, integrální
 složka však dodává lepší stabilitu a schopnost odstranit konstatní regulační
 odchylku.
 Cenou za to je pomalejší konvergence.
 (
\series bold
citace
\series default
)
\end_layout

\begin_layout Section
Lineárně kvadratické řízení 
\end_layout

\begin_layout Standard
Lineárně kvadratické řízení (Linear-Quadratic, 
\emph on
LQ
\emph default
) je primárně navrženo pro řízení lineárních systémů s kvadratickou ztrátovou
 funkcí.
 Často lze v literatuře nalézt i pojem lineárně kvadraticky Gaussovské řízení
 (Linear-Quadratic-Gaussian, 
\emph on
LQG
\emph default
), pod kterým je obvykle rozumněno spojení lineárně kvadratického řízení
 s Kalmanovým filtrem a je tedy užíváno pro lineární systém, kvadratickou
 ztrátovou funkci a Gaussovský šum.
 Tato část textu je však zaměřena na řízení a tedy zde bude popsána pouze
 část LQ.
 Dále je třeba zmínit, že existuje celá řada různých modifikací a vylepšení
 základního algoritmu, například pro nelineární systémy nebo lepší numerické
 vlastnosti.
 Základní formulace podle 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BertsekasDPOC"

\end_inset

 je následovná:
\end_layout

\begin_layout Standard
Uvažujme lineární systém 
\begin_inset Formula 
\[
x_{t+1}=A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}+w_{t},\quad t=0,1,\ldots,T-1,
\]

\end_inset

kde obecně vektorová veličina 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 reprezentuje stav systému v časovém kroku 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

, veličina 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

 řízení v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $w_{t}$
\end_inset

 je vzájemně nezávislý Gaussovský bílý šum s nulovou střední hodnotou a
 známou kovarianční maticí; je uvažován konečný diskrétní časový horizont
 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 kroků.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Kvadratická ztrátová funkce je
\begin_inset Formula 
\[
\mathbf{E}\left\{ x_{T}^{T}Q_{T}x_{T}+\sum_{t=0}^{T-1}\left(x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}\right)\right\} 
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\mathbf{E}$
\end_inset

 značí očekávanou hodnotu, 
\begin_inset Formula $Q_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset

 jsou penalizační matice stavu systému (splnění požadavků řízení), respektive
 penalizace vstupů.
 Při uvažování neúplné informace 
\begin_inset Formula $I_{t}$
\end_inset

 o stavu je optimální řízení 
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\lang english

\begin_inset Formula $\mu_{t}$
\end_inset


\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang czech
 v každém časovém kroku rovno
\begin_inset Formula 
\[
\mu_{t}(I_{t})=L_{t}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{t}\mid I_{t}\right\} 
\]

\end_inset

kde matice 
\begin_inset Formula $L_{t}$
\end_inset

 je dána rovností
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
L_{t}=-\left(R_{t}+B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}A_{t}\label{eq:riccati-lqg-matice-L}
\end{equation}

\end_inset

přičemž matice 
\begin_inset Formula $K_{t}$
\end_inset

 získáme rekurzivně z Riccatiho rovnice
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
K_{T} & = & Q_{T}\label{eq:riccati-lqg-matice-K}\\
K_{t} & = & A_{t}^{T}\left(K_{t+1}-K_{t+1}B_{t}\left(R_{t}+B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}\right)A_{t}+Q_{t}\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Lineárně kvadratický algoritmus s QR rozkladem
\end_layout

\begin_layout Standard
Předchozí výpočet pomocí Riccatiho rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:riccati-lqg-matice-L"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:riccati-lqg-matice-K"

\end_inset

) však není příliš vhodným z numerických důvodů (
\series bold
nějaká reference
\series default
).
 Místo něj je pro praktické výpočty výhodnější použít algoritmus lineárně
 kvadratického řízení založený na QR rozkladu (
\series bold
reference
\series default
).
 Tento algoritmus má lepší numerické vlastnosti, umožňuje snadnější výpočet
 maticové inverze (inverze pouze trojúhelníkové matice) a lze pomocí něj
 implementovat i složitější kvadratickou ztrátovou funkci (nejen dva členy
 pro penalizaci stavu a vstupů).
\end_layout

\begin_layout Standard
Postup je založen na přepisu kvadratické ztráty do tvaru
\begin_inset Formula 
\[
x_{t+1}^{T}Q_{t}x_{t+1}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}=x_{t+1}^{T}\sqrt{Q_{t}}^{T}\sqrt{Q_{t}}x_{t+1}+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t}
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\sqrt{\,}$
\end_inset

 je vhodná maticová odmocnina.
 A tedy v každém časovém kroku 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 minimalizujeme funkci
\begin_inset Formula 
\[
x_{t+1}^{T}\sqrt{Q_{t}}^{T}\sqrt{Q_{t}}x_{t+1}+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t}+x_{t+1}^{T}\sqrt{S_{t}}^{T}\sqrt{S_{t}}x_{t+1}
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $S_{t}$
\end_inset

 reprezentuje ztrátu v následujících časových krocích až do konce časového
 horizontu.
 Do tohoto kvadratického výrazu je možno dostadit model vývoje pro 
\begin_inset Formula $x_{t+1}=A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\left(Ax_{t}+B_{t}u_{t}\right)^{T}\sqrt{Q_{t}}\sqrt{Q_{t}}\left(Ax_{t}+B_{t}u_{t}\right)+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t}+\left(Ax_{t}+B_{t}u_{t}\right)^{T}\sqrt{S_{t}}^{T}\sqrt{S_{t}}\left(Ax_{t}+B_{t}u_{t}\right)
\]

\end_inset

a následně jej zapsat maticově ve tvaru
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}\left[\begin{array}{cc}
\sqrt{Q_{t}}B_{t} & \sqrt{Q_{t}}A_{t}\\
\sqrt{R_{t}} & 0\\
\sqrt{S_{t}}B_{t} & \sqrt{S_{t}}A_{t}
\end{array}\right]^{T}\underset{Z}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}
\sqrt{Q_{t}}B_{t} & \sqrt{Q_{t}}A_{t}\\
\sqrt{R_{t}} & 0\\
\sqrt{S_{t}}B_{t} & \sqrt{S_{t}}A_{t}
\end{array}\right]}}\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)
\]

\end_inset

na matici 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 následně aplikujeme QR rozklad, to jest 
\begin_inset Formula $Z=Q_{Z}R_{Z}$
\end_inset

 a předchozí vztah upravíme na tvar
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}Z^{T}Z\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}Q_{Z}^{T}Q_{Z}R_{Z}\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}R_{Z}\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)
\]

\end_inset

a dále využijeme rovnosti 
\begin_inset Formula $Q_{Z}^{T}Q_{Z}=I$
\end_inset

.
 Matice 
\begin_inset Formula $R_{Z}$
\end_inset

 je v horním trojúhelníkovém tvaru, tedy blokově zapsáno
\begin_inset Formula 
\[
R_{Z}=\left[\begin{array}{cc}
R_{uu} & R_{ux}\\
0 & R_{xx}
\end{array}\right]
\]

\end_inset

Ztrátu nyní můžeme zapsat jako
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}R_{Z}\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right) & = & \left(\begin{array}{c}
R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\\
R_{xx}x_{t}
\end{array}\right)^{T}\left(\begin{array}{c}
R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\\
R_{xx}x_{t}
\end{array}\right)\\
 & = & \left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)^{T}\left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)+x_{t}^{T}R_{xx}^{T}R_{xx}x_{t}
\end{eqnarray*}

\end_inset

kterou, vzhledem k její kvadratičnosti a nezávislosti druhého členu na 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

, zřejmě minimalizujeme volbou 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

 takovou, že 
\begin_inset Formula $\left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)=0$
\end_inset

 a tedy volíme 
\begin_inset Formula 
\[
u_{t}=-R_{uu}^{-1}R_{ux}x_{t}
\]

\end_inset

Matici 
\begin_inset Formula $R_{xx}^{T}R_{xx}$
\end_inset

 pak použijeme do předchozího časového kroku jako novou matici 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Duální řízení 
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:Dualni-rizeni"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Duální řízení je obvykle využíváno v systémech s neurčitostí, představovanou
 například neznámými parametry, nepozorovatelnými stavovými veličinami nebo
 samotnou strukturou systému.
 Snahou je tuto neurčitost snížit a poskytnout řízení srovnatelné kvality,
 jako v případě stejného systému bez neurčitosti.
 Charakteristickým rysem duálního řízení je, že obsahuje dvě hlavní části:
 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset


\emph on
opatrn
\emph default
ou
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 a 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset


\emph on
budící
\emph default

\begin_inset Quotes grd
\end_inset

.
 
\emph on
Opatrná
\emph default
 část, má za cíl pokud možno co nejlépe kontrolovat systém a snažit se dosáhnout
 optimální shody s požadavky.
 Oproti tomu 
\emph on
budící
\emph default
 část hledá optimální budící signál, který pomáhá co nejlépe určit neznámé
 veličiny systému.
 Tyto části jdou však proti sobě a cílem duálního řízení je nalézt mezi
 nimi vhodný kompromis.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Jak již bylo předznamenáno v části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Rozdeleni-ridicich-algoritmu"

\end_inset

.
 Většina klasických metod pro řízení a estimaci obecně spadá do kategorie
 zpětnovazebních streategií a tedy trpí nedostatky, které se snaží duální
 řízení odstranit: 
\end_layout

\begin_layout Itemize
Oddělení řídící a estimační část, které následně pracují nezávisle, i když
 obecně tyto dvě části nezávislé nejsou a navzájem se ovlivňují.
 
\end_layout

\begin_layout Itemize
Předpoklad, že odhad poskytnutý estimátorem se rovná skutečné hodnotě stavové
 veličiny.
 Tento přístup je označován jako 
\emph on
Certainty Equivalence
\emph default
 (CE).
 Oproti tomu duální řízení předpokládá stavové veličiny jako náhodné veličiny
 a uchovává si o nich statistickou informaci.
 Odhad z estimátoru tedy uvažuje například ve tvaru střední hodnoty a variance
 dané veličiny a předpokládá, že skutečná hodnota se nachazí například v
 konfidenčním intervalu s těmito parametry.
 Z tohoto pohledu tedy přístup CE předpokládá, že skutečná hodnota je rovna
 střední hodnotě.
 Duální řízení tedy narozdíl od ostatních postupů založených na CE principu
 uvažuje kromě odhadu stavové veličiny i to, jak je tento odhad přesný a
 tomu také přizpůsobuje řídící zákroky.
 
\end_layout

\begin_layout Itemize
Klasický regulátor se při řízení stochastických systémů s neurčitostí obvykle
 chová 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

opatrně
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

, aby nezvyšoval dopad neurčitostí na celkovou ztrátu.
 Oproti tomu regulátor využívající duálního efektu může být méně opatrný
 a přidat budící signál, aby snížil neurčitost v budoucnu a tím celkově
 vylepšil své výsledky 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BarShalom1974"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Výše zmíněné důvody ukazují, proč by duální přístup mohl být obvzláště vhodný
 pro řízení PMSM.
 Je ale třeba mít na paměti, že duální řízení s sebou nese i některé nevýhody.
 Jedná se především o značnou výpočetní náročnost.
 Ta je problematická zejména, když zamýšlíme i výpočet v reálném čase.
 Proto se v textu zaměříme hlavně na nejjednodušší algoritmy duálního řízení,
 které by tento požadevek mohly naplnit.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Úloha duálního řízení
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Formulace úlohy duálního řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Základní formulace problému duálního řízení pro časově diskrétní obecně
 nelineární systém dle 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "adaptDC2004"

\end_inset

 je:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
x_{t+1} & = & f_{t}\left(x_{t},p_{t},u_{t},\xi_{t}\right),\quad t=0,1,\ldots,T-1\\
p{}_{t+1} & = & \upsilon_{t}\left(p_{t},\varepsilon_{t}\right)\\
y_{t} & = & h_{t}\left(x_{t},\eta_{t}\right)
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 je vektor stavu, 
\begin_inset Formula $p_{t}$
\end_inset

 vektor neznámých parametrů, 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

 vektor řídících vstupů, 
\begin_inset Formula $y_{t}$
\end_inset

 vektor výstupů systému, vektory 
\begin_inset Formula $\xi_{t}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\varepsilon_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\eta_{t}$
\end_inset

 představují nezávislý náhodný bílý šum s nulovou střední hodnotou a známým
 rozptylem, vše je uvažováno v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $f_{t}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\upsilon_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $h_{t}$
\end_inset

 jsou známé vektorové funkce.
 Počáteční hodnoty 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $p_{0}$
\end_inset

 předpokládáme také známé.
 Množinu výstupů a vstupů systému dostupných v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 označujeme jako 
\emph on
informační vektor
\emph default
 
\begin_inset Formula $I_{t}=\left\{ y_{t},\ldots,y_{0},u_{t-1},\ldots,u_{0}\right\} $
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $t=1,\ldots,T-1$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $I_{0}=\left\{ y_{0}\right\} $
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Ztrátová funkce pro optimalizaci řízení má tvar 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
J=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ \sum_{t=0}^{T-1}g_{t+1}\left(x_{t+1},u_{t}\right)\right\} \label{eq:dclossfunc}
\end{equation}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $g_{t+1}$
\end_inset

 jsou známe kladné konvexní skalární funkce.
 Očekáváná hodnota 
\begin_inset Formula $\mathrm{\mathbf{E}}$
\end_inset

 je počítána vzhledem k všem náhodným veličinám (
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\xi_{t}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\varepsilon_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\eta_{t}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $t=0,1,\ldots,T-1$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Obecné řešení
\end_layout

\begin_layout Standard
Problémem optimálního adaptivního duálního řízení je nalezení takové řídící
 strategie 
\begin_inset Formula $u_{t}=u_{t}(I_{t})$
\end_inset

 ze známé množiny přípustných hodnot řízení 
\begin_inset Formula $U_{t}$
\end_inset

, která minimalizuje ztrátovou funkci 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 v 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:dclossfunc"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Optimální řešení tohoto problému může být nalezeno rekurzivně užitím dynamického
 programování, což vede na následující rovnice:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
J_{T-1}\left(I_{T-1}\right) & = & \min_{u_{T-1}\in U_{T-1}}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ g_{T}\left(x_{T},u_{T-1}\right)\mid I_{T-1}\right\} \\
J_{t}\left(I_{t}\right) & = & \min_{u_{t}\in U_{t}}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ g_{t+1}\left(x_{t+1},u_{t}\right)+J_{t+1}\left(I_{t+1}\right)\mid I_{t}\right\} 
\end{eqnarray*}

\end_inset

pro 
\begin_inset Formula $t=T-2,T-3,\ldots,0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Injektáže jako duální řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Na injektáže lze z jistého směru pohlížet také jako na duální řízení.
 Především v sobě kombinují obě žádoucí vlastnosti, opatrnost a buzení.
 Opatrnost je reprezentována konkrétním použitým regulátorem, který se snaží
 co nejlépe sledovat cíl řízení.
 Injektovaný signál pak představuje buzení, které napomáhá k určení parametrů
 stroje.
\end_layout

\begin_layout Standard
V základním návrhu je přidáván vysokofrekvenční signál stále, bez ohledu
 na okolnosti a tedy tento návrh se příliš nesnaží o nalezení kompromisu
 mezi opatrným řízením a buzením.
 Velkou výhodou ale je, že to příliš nevadí, obzvláště při nízkých otáčkách,
 protože vysokofrekvenční signál má minimální vliv na samotný chod stroje.
 Současně ale poskytuje relativně dobrý odhad natočení rotoru, jehož kvalita
 nezávisí na otáčkách, ale pouze na rozdílu induktancí.
\end_layout

\begin_layout Standard
Jistý krok směrem k hledání kompromisu mezi opatrností a buzením lze pozorovat
 u hybridních metod, které buď plynule, nebo jednorázově přepínají mezi
 dvěma modely, s injektáží a bez.
 Jeden je určen pro dobrou estimaci a druhý pro nízké ztráty při řízení.
 To vede k velkému zlepšení, protože přídavný signál je injektován, jen,
 když je opravdu potřeba.
\end_layout

\begin_layout Standard
Hlavním problémem injektáží z hlediska duálního řízení je, že se jedná spíše
 o 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

ad hoc
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 přístup, který byl navržen s využitím konkrétních vlastností PMSM a pro
 předem určený účel.
 Injektovaný vysokofrekvenční signál je užívaný jednak z důvodu menšího
 vlivu na chod samotného stroje.
 Další důvod pro jeho užití je relativně snadné zpracování a vyhodnocení
 pomocí metod analýzy signálu, které lze snadno implementovat hardwarově
 (filtry, demodulace, fázový závěs).
 Dalším problémem injektovaného signálu jsou pak jeho parametry, jako amplituda
 a frekvence, ty jsou zpravidla nalézány experimentálně.
\end_layout

\begin_layout Standard
Je tedy na místě položit otázku, jestli takovýto přídavný signál může být
 optimálním buzením a nebo mu být alespoň v nějakém smyslu blízko? Odpovědět
 samozřejmě není snadné z důvodu praktické neřešitelnosti problému nalezení
 optimálního duálního řízení.
 Ve prospěch injektáží, a zejména hybridních metod, mluví výsledky praktických
 experimentů na skutečných motorech, proti nim pak zejména to, že byly navrhován
y bez ohledu na optimalitu a hledání kompromisu mezi opatrností a buzením.
 Nicméně se jedná o dobrý základ, který je vhodný k bližšímu prostudování
 při návrhu méně náročných metod duálního řízení.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Přehled metod duálního řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Následující přehled představuje vybrané suboptimální algoritmy využitelné
 k řešení úlohy duálního řízení.
 Vybírány byly především nejjednodušší algoritmy, které by teoreticky umožnily
 implementaci v reálném čase pro řízení PMSM.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Bikriteriální metoda
\end_layout

\begin_layout Standard
Bikriteriální metoda je založena na relativně jednoduchém principu.
 Ve snaze splnit obě hlavní vlastnosti duálního řízení (opatrnost a buzení)
 je ztrátová funkce rozdělena na dvě části, proto se také metoda nazývá
 bikriteriální.
 První ztrátová funkce odpovídá takzvanému 
\emph on
opatrnému řízení
\emph default
, které navrhuje tím menší řídící zásahy, čím je větší variance neznámých
 parametrů (proto opatrné).
 Nesnaží se však primárně tuto varianci nijak snížit.
 Druhá ztrátová funkce představuje kritérium pro optimální buzení.
 Tyto dvě ztrátové funkce je třeba současně minimalizovat.
 Minimalizace těchto dvou funkcí jde ale obecně z podstaty problému proti
 sobě, navíc optimální budící zásah bude zpravidla neomezeně velký.
 Proto je zvolen následující postup:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
nejdříve je nalezeno optimální opatrné řízení
\end_layout

\begin_layout Enumerate
dále je vytyčena množina přípustných řešení kolem řízení nalezeného v bodě
 (1.), například se může jednat o interval
\end_layout

\begin_layout Enumerate
druhá ztrátová funkce pro optimální buzení je minimalizována již pouze v
 rámci množiny přípustných řešení z bodu (2.)
\end_layout

\begin_layout Standard
Konkrétní realizace hledání optimálního řízení (minimalizace) pak již závisí
 na řešeném problému.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

--aproximace 
\end_layout

\begin_layout Standard
Jako 
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

--aproximace označujeme suboptimální přístupy k řešení problému duálního
 řízení, kdy se snažíme aproximovat pravděpodobnostní míru neznámých stavů
 a parametrů systému.
 Dále lze při užití této metody snadno nalézt odpovídající kategorii řídícího
 algoritmu, viz část 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Rozdeleni-ridicich-algoritmu"

\end_inset

.
 Dle 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "DAF1,DSF1,adaptDC2004"

\end_inset

 je problematika 
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

--aproximací formulována následovně: Hledání suboptimální řídící strategie
 je založeno na minimalizaci modifikované ztrátové funkce
\begin_inset Formula 
\[
J_{t}\left(I_{t},\rho_{t}\right)=\mathrm{\mathbf{E}}_{\rho_{t}}\left\{ \sum_{i=t}^{T-1}g_{t+1}\left(x_{i+1},u_{i}\right)\mid I_{k}\right\} 
\]

\end_inset

V čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 je řídící strategie 
\begin_inset Formula $u_{t}(I_{t})$
\end_inset

 nalezena pomocí aproximace podmíněné hustoty pravděpodobnosti stavů a parametrů
 systému pro budoucí časové kroky
\begin_inset Formula 
\[
\rho_{t}=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right)
\]

\end_inset

pro 
\begin_inset Formula $i=0,1,\ldots,T-t-1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro různé volby 
\begin_inset Formula $\rho_{t}$
\end_inset

 pak můžeme získat následující přístupy:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
Řídící strategie s otevřenou smyčkou
\emph default
 (open-loop, OL) uvažuje systém bez zpětné vazby a optimální řízení je hledáno
 z apriorní informace o stavech a parametrech systému.
 Tento zjednodušující předpoklad je ekvivalentní aproximaci
\begin_inset Formula 
\[
\rho_{t}=\left\{ \mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{0}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} 
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
Zpětnovazební řídící strategie s otevřenou smyčkou
\emph default
 (open-loop feedback, OLF) také uvažuje systém bez zpětné vazby, ale jen
 pro budoucích časové kroky (
\begin_inset Formula $t+1$
\end_inset

 až 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

), v současném časovém kroku 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 zpětnou vazbu uvažuje.
 Pozorování 
\begin_inset Formula $y_{t}$
\end_inset

 jsou tedy použita k estimaci stavů i parametrů systému, ale pouze v součazném
 časovém kroku 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

, v budoucích již ne.
 Opět lze formulovat pomocí 
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

--aproximace:
\begin_inset Formula 
\[
\rho_{t}=\left\{ \mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} 
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Pro srovnání zde bude uvedena i aproximace, která vede na již zmiňovaný
 přístup 
\emph on
Certainty Equivalence 
\emph default
(CE):
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\rho_{t} & =\left\{ \mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right)\right.\\
= & \left.\delta\left(x_{t+i}-\hat{x}_{t+i}\right)\delta\left(p_{t+i}-\hat{p}_{t+i}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} 
\end{align*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\delta$
\end_inset

 značí Diracovu delta funkci a 
\begin_inset Formula $\hat{x}_{t+i}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{k+i}\mid I_{t+i}\right\} $
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\hat{p}_{t+i}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ p_{k+i}\mid I_{t}\right\} $
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
Částečný CE přístup
\emph default
 (PCE) je založen na vhodné kombinaci předchozích postupů CE a OLF.
 Definujme rozšířený stavový vektor jako 
\begin_inset Formula $z_{t}^{T}=\left(\begin{array}{cc}
x_{t}^{T} & p_{t}^{T}\end{array}\right)$
\end_inset

, tedy jako vektor sdružující původní stav systému a jeho neznámé parametry.
 Tento vektor následně rozdělíme na dvě části s prázdným průnikem 
\begin_inset Formula $z_{1,t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $z_{2,t}$
\end_inset

.
 Nyní aplikujeme na část 
\begin_inset Formula $z_{1}$
\end_inset

 zjednodušující předpoklad CE a na část 
\begin_inset Formula $z_{2}$
\end_inset

 předpoklad OLF.
 To odpovídá následující 
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

--aproximaci:
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\rho_{t} & =\left\{ \mathrm{p}\left(z_{1,t+i},z_{2,t+i}\mid I_{t+i}\right)\right.\\
= & \left.\delta\left(z_{1,t+i}-\hat{z}_{1,t+i}\right)\mathrm{p}\left(z_{2,t+i}\mid I_{t}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} 
\end{align*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\mathrm{p}\left(z_{1,t+i},z_{2,t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(z_{t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right).$
\end_inset

 Samotné rozdělení vektoru 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 na dvě části je třeba vyřešit s ohledem na konkrétní strukturu systému,
 pro který je řízení navrhováno.
 Vhodnou volbou může být například označit jako 
\begin_inset Formula $z_{1}$
\end_inset

 stavové veličiny, které jsou přímo pozorovány.
 Autoři dále poukazují i na možnost kombinace s bikriteriálním přístupem.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Řešení LQG problému pomocí teorie her
\end_layout

\begin_layout Standard
Výpočetně relativně málo náročné řešení diskrétního LQG problému duálního
 řízení je představeno v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "DCS1"

\end_inset

.
 Na řešení problému se užívá teorie her, kde hledáme optimální znáhodněnou
 strategii.
 Výsledkem pak je, že optimální řešení přeformulovaného problému duálního
 řízení je vážený průměr konečného počtu standartních LQG optimálních regulátorů.
 Jako váhové faktory jsou brány zobecněné věrohodnostní poměry.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Hyperstav
\end_layout

\begin_layout Standard
Algoritmus využívající hyperstav je předložen v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Kim2006"

\end_inset

 a z tohoto zdroje také převážně vychází následný popis a implementace v
 tomto textu.
 Hlavní rozdíl však je použití spojitého času v uvedeném zdroji, zatímco
 v tomto textu je využíván čas diskrétní.
 Základní myšlenka hyperstavu je poměrně jednoduchá: Vyjdeme z klasicky
 definovaného stavu systému v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

, označme jej jako 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

.
 Dále předpokládejme, že pro řešení úlohy řízení PMSM užíváme EKF jako extimátor
u, stejný estimátor je užit i v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Kim2006"

\end_inset

.
 Použití algoritmu EKF nám v každém čase poskytne odhad stavu 
\begin_inset Formula $\hat{x}_{t}$
\end_inset

, ale kromě tohoto odhadu poskytuje i odhad kovariance stavu reprezentovaný
 maticí 
\begin_inset Formula $P_{t}$
\end_inset

, viz odstavec 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:EKF-popis"

\end_inset

.
 Nyní definujeme vektor 
\emph on
hyperstavu
\emph default
 v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 jako původní stav 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

, ke kterému navíc přidáme prvky matice 
\begin_inset Formula $P_{t}$
\end_inset

.
 Z důvodu symetrie není třeba přidávat celou matici 
\begin_inset Formula $P_{t}$
\end_inset

.
 Nyní na systém popsaný hyperstavem aplikujeme klasickým postupem algoritmus
 EKF a vhodné řízení, například LQ.
 Algoritmus EKF je tedy aplikován na systém dvakrát, poprvé formálně na
 původní stav a následně na hyperstav.
 Výhodou tohoto přístupu je, že kromě odhadu samotných stavových veličin,
 máme k dispozici i odhad jejích kovariancí a můžeme s nimi pracovat při
 návrhu řízení.
 Hlavními nevýhodami jsou růst velikost hyperstavu obecně kvadraticky s
 velikostí původního stavu a dále komplikace při výpočtu derivací rovnic
 pro výpočet EKF na stavu.
\end_layout

\begin_layout Section
PCRB
\end_layout

\begin_layout Standard
Při vyhodnocování efektivity jednotlivých použitých algoritmů je výhodné
 mít k dispozici prostředek k jejich srovnání.
 K tomuto účelu lze použít aposteriorních Cramer-Raových mezí (Posterior
 Cramer-Rao Bounds, PCRB).
 Interpretace PCRB je zjednodušeně taková, že představují 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

množství informace
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

, které je o dané veličině produkováno na výstupu systému.
 Konkrétněji se jedná o dolní mez střední kvadratické chyby.
 Tedy reprezentuje minimální chybu, které se odhadovací algoritmus v uvažovaném
 případě dopustí.
 PCRB lze tedy využít ke srovnání jednotlivých uvažovaných duálních algoritmů
 v tom smyslu, že je možné vyhodnocovat, jak každý z nich dokáže zlepšit
 odhad stavových veličin a zvýšit pozorovatelnost v kritických režimech.
 (
\series bold
citace
\series default
)
\end_layout

\begin_layout Subsection
Popis PCRB
\end_layout

\begin_layout Standard
Následující popis PCRB včetně její specializace pro nelineární filtraci
 a dále pro Gaussovské hustoty je převzat z 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "TichavskyPCRB"

\end_inset

, kde je možné nalézt i detaily odvození zmiňovaných vztahů: 
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Definice
\end_layout

\begin_layout Standard
Nechť 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 představuje vektor měřených dat a 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 je 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

-rozměrný odhadovaný náhodný parametr.
 Dále nechť 
\begin_inset Formula $p_{x,\theta}\left(X,\Theta\right)$
\end_inset

 je sdružená hustota pravděpodobnosti dvojice 
\begin_inset Formula $\left(x,\theta\right)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $g\left(x\right)$
\end_inset

 je funkce 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, která je odhadem 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

.
 Pak PCRB chyby odhadu má tvar
\begin_inset Formula 
\[
P=\mathtt{E}\left\{ \left[g(x)-\theta\right]\left[g(x)-\theta\right]^{T}\right\} \geq J^{-1}
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 je Fischerova informační matice rozměru 
\begin_inset Formula $r\times r$
\end_inset

 s prvky
\begin_inset Formula 
\[
J_{ij}=\mathtt{E}\left[-\frac{\partial^{2}\log p_{x,\theta}(X,\Theta)}{\partial\Theta_{i}\partial\Theta_{j}}\right]
\]

\end_inset

pro 
\begin_inset Formula $i,j=1,\ldots,r$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Nelineární filtrace
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro případ filtrace jsou parametry odhadovány postupně v průběhu času na
 základě rekurzivních vzorců.
 Sdruženou hustotu pravděpodobnosti lze rozepsat jako součin podmíněných
 hustot a výpočítat pro každý čas matici 
\begin_inset Formula $J_{t}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $J_{t}^{-1}$
\end_inset

 představuje spodní mez střední kvadratické chyby odhadu 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Uvažujme nelineární filtrační problém se systémem
\lang english

\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
x_{t+1} & = & f_{t}(x_{t},w_{t})\nonumber \\
z_{t} & = & h_{t}(x_{t},v_{t})\label{eq:PCRB-system}
\end{eqnarray}

\end_inset


\lang czech
kde 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 je stav systému v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $z_{t}$
\end_inset

 je pozorování v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 jsou vzájemně nezávislé bílé procesy a 
\begin_inset Formula $f_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $h_{t}$
\end_inset

 jsou obecně nelineární funkce.
 Pak je možné počítat rekurzivně posloupnost aposteriorních informačních
 matic 
\begin_inset Formula $J_{t}$
\end_inset

 pro odhad stavu 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 jako
\begin_inset Formula 
\[
J_{t+1}=D_{t}^{22}-D_{t}^{21}\left(J_{t}+D_{t}^{11}\right)^{-1}D_{t}^{12}
\]

\end_inset

kde matice 
\begin_inset Formula $D_{t}$
\end_inset

 jsou dány rovnostmi
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
D_{t}^{11} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t}}^{x_{t}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} \nonumber \\
D_{t}^{12} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t}}^{x_{t+1}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} \label{eq:PCRB-rovnice-pro-D}\\
D_{t}^{21} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t+1}}^{x_{t}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} =\left(D_{t}^{12}\right)^{T}\nonumber \\
D_{t}^{22} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t+1}}^{x_{t+1}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} +\mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t+1}}^{x_{t+1}}\log p(z_{t+1}\mid x_{t+1})\right\} \nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Aditivní Gaussovský šum
\end_layout

\begin_layout Standard
Uvažujme speciální případ filtračního problému s aditivním šumem, kdy rovnice
 (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:PCRB-system"

\end_inset

) má tvar
\lang english

\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
x_{t+1} & = & f_{t}(x_{t})+w_{t}\nonumber \\
z_{t} & = & h_{t}(x_{t})+v_{t}\label{eq:PCRB-system-adsum}
\end{eqnarray}

\end_inset


\lang czech
a dále šumy 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 jsou Gaussovské s nulovou střední hodnotou a kovariančními maticemi 
\begin_inset Formula $Q_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset

 v tomto pořadí.
 Pak lze rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:PCRB-rovnice-pro-D"

\end_inset

) zjednodušit do tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
D_{t}^{11} & = & \mathtt{E}\left\{ \left[\nabla_{x_{t}}f_{t}^{T}(x_{t})\right]Q_{t}^{-1}\left[\nabla_{x_{t}}f_{t}^{T}(x_{t})\right]^{T}\right\} \nonumber \\
D_{t}^{12} & = & -\mathtt{E}\left\{ \nabla_{x_{t}}f_{t}^{T}(x_{t})\right\} Q_{t}^{-1}\label{eq:PCRB-rovnice-pro-D-gauss}\\
D_{t}^{22} & = & Q_{t}^{-1}+\mathtt{E}\left\{ \left[\nabla_{x_{t+1}}h_{t+1}^{T}(x_{t+1})\right]R_{t+1}^{-1}\left[\nabla_{x_{t+1}}h_{t+1}^{T}(x_{t+1})\right]^{T}\right\} \nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

Pro úplnost je vhodné uvést, že v případě lineárního systému, to jest lineárních
 funkcí 
\begin_inset Formula $f_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $h_{t}$
\end_inset

, odpovídá rekurzivní výpočet matice 
\begin_inset Formula $J_{t}$
\end_inset

, založený na výše uvedených maticích (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:PCRB-rovnice-pro-D-gauss"

\end_inset

) pro 
\begin_inset Formula $D_{t}$
\end_inset

, výpočtu aposteriorní kovarianční matice Kalmanova filtru 
\begin_inset Formula $P_{t}=J_{t}^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Chapter
Implementace algoritmů
\end_layout

\begin_layout Section
Zjednodušení
\end_layout

\begin_layout Standard
Zátěžný moment 
\begin_inset Formula $T_{L}$
\end_inset

 předpokládáme nulový.
\end_layout

\begin_layout Section
Diskretizace
\end_layout

\begin_layout Standard
Vzhledem k uvažované implementaci řídících a odhadovacích algoritmů na digitální
ch počítačích je výhodnější uvažovat diskrétní systém.
 Diferenciální rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"

\end_inset

) případně (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"

\end_inset

) je tedy třeba diskretizovat a za tímto účelem bude v textu užito Eulerovy
 metody, kdy je derivace nahrazena dopřednou diferencí.
 Toto diskretizační schéma je sice méně přesné, ale oproti tomu je jednoduché
 na výpočet a tedy odstatečně rychlé.
 Diskretizační časový krok je totiž volen s ohledem na reálný systém, kde
 odpovídá vzorkovací frekvenci použitých senzorů.
 To je obvykle velmi krátký časový okamžik (řádově sto mikrosekund) a chyba
 v důsledku diskretizace Eulerovou metodou tedy není velká.
 Významnějším důvodem pro tuto metodu je však uvažování praktické aplikace
 v reálném čase, kdy je třeba v průběhu jedné vzorkovací periody vypočítat
 odhad stavových veličin a následně řídící zásah.
 Jednodušší diferenční rovnice, znamenají jednodušší popis systému a tedy
 rychlejší výpočet všech uvažovaných algoritmů nezbytný pro potenciální
 nasazení v reálné aplikaci.
\end_layout

\begin_layout Standard
S užíváním diferenčních rovnic jsou však spojeny jisté komplikace.
 Zatímco diferenciální rovnice popisující PMSM (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"

\end_inset

) lze libovolně převádět mezi jednotlivýmí souřadnými systémy pomocí vztahů
 (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"

\end_inset

), pro odpovídající rovnice diferenční to pravda není a jejich převod transforma
cemi (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"

\end_inset

) nedává vždy dobrý výsledek.
 Pro odvození diferenčních rovnic v konkrétní souřadné soustavě je tedy
 třeba postupovat ve dvou krocích.
 Nejprve převést vybranou soustavu rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"

\end_inset

) nebo (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"

\end_inset

) do zvolené souřadné soustavy.
 Následně je pak možné provést diskretizaci.
 Tato vlastnost neexistence univerzalních diferenčních rovnic převoditelných
 jednoduchými transformačními vztahy je důvodem, proč nejsou diferenční
 rovnice PMSM uvedeny již v části (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Model-PMSM"

\end_inset

), ale jsou odvozeny pro každý konkrétní případ až zde.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Diskrétní rovnice pro stejné indukčnosti v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pro odvození těchto rovnic vyjdeme ze soustavy diferenciálních rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"

\end_inset

)
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\alpha}\\
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\beta}\\
\frac{d\omega}{dt} & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega\\
\frac{d\vartheta}{dt} & = & \omega
\end{eqnarray*}

\end_inset

a užijeme zmiňované Eulerovy metody.
 Derivaci tedy nahradíme konečnou diferencí
\begin_inset Formula 
\[
\frac{dx}{dt}\left(t\right)=\frac{x_{t+1}-x_{t}}{\Delta t}
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\Delta t$
\end_inset

 představuje diskterizační časový krok.
 Po úpravě je výsledná diskrétní soustava rovnic ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
i_{\alpha,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\alpha,t}+\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\alpha,t}\\
i_{\beta,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\beta,t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\beta,t}\\
\omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t\\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t
\end{eqnarray*}

\end_inset

Pro zjednodušení zavedeme následující značení
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
a & = & 1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\\
b & = & \frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\Delta t\\
c & = & \frac{\Delta t}{L_{s}}\\
d & = & 1-\frac{B}{J}\Delta t\\
e & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t
\end{eqnarray*}

\end_inset

a jak bylo zmíněno v předchozí části, zátěžný moment předpokládáme nulový,
 tedy 
\begin_inset Formula $T_{L}=0$
\end_inset

.
 Rovnice pak přejdou na tvar
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
i_{\alpha,t+1} & \text{=} & ai_{\alpha,t}+b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t}\nonumber \\
i_{\beta,t+1} & \text{=} & ai_{\beta,t}-b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t}\label{eq:diskretni-system-albe-ls}\\
\omega_{t+1} & \text{=} & d\omega_{t}+e\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)\nonumber \\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
EKF
\end_layout

\begin_layout Standard
V této práci byl jako pozorovatel používán zejména rozšířený Kalmanův filtr.
 Budeme-li vycházet z popisu PMSM pomocí rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"

\end_inset

) pro stejné nebo (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"

\end_inset

) pro různé indukčnosti, nabízí se celá řada možností za jakých podmínek
 algoritmus EKF použí.
 Pro implementaci je však rozumných pouze několik málo možností.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Především nemá příliš smysl uvažovat EKF v rotorových souřadnicích 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

.
 Transformace ze statovorých souřadnic, ve kterých probíhá měření, do rotorových
 totiž závisí na úhlu natočení 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

, viz rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"

\end_inset

).
 Hodnotu tohoto úhlu ale neznáme a navíc se jedná o hlavní veličinu, kterou
 chceme pomocí EKF určit.
 Dalším problémem je, že v rovnicích popisujících PMSM (v případě stejných
 i různých indukčností) v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 hodnota 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 vůbec nevystupuje a tedy ji ani nelze rozumně určit.
 Jistou možnstí, kdy by mělo smysl uvažovat EKF v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

, je případ, že bychom znali hodnotu 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 nebo její odhad z jiného zdroje.
 Příkladem by mohla být znalost úhlu na základě aplikace vhodné injektážní
 techniky.
 Dále však budeme uvažovat EKF pouze ve statorových souřadnicích, konkrétně
 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Šum
\end_layout

\begin_layout Standard
Algoritmus EKF předpokládá Gaussovský model šumu.
 Vzhledem k popisu neurčitostí v PMSM (
\series bold
odkaz
\series default
) tento předpoklad splněn není.
 Lze však provést aproximaci hustoty pravděpodobnosti skutečného šumu Gaussovsko
u hustotou s vhodnými parametry.
 Tyto parametry lze buď nalézt na základě teoretické analýzy vlastností
 šumu, jako v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"

\end_inset

 nebo je lze nalézt experimentálně.
 V této práci posloužily jako výchozí hodnoty stanovené ve zmiňovaném zdroji
 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"

\end_inset

, které byly následně experimentálně doupraveny.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Plný model
\end_layout

\begin_layout Standard
Prvním diskutovaným případem bude návrh označovaný jako 
\emph on
plný model
\emph default
 a budou uvažovány stejné indukčnosti v osách 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

.
 Všechny 
\begin_inset Formula $i_{\alpha}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $i_{\beta}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 popisující PMSM označíme jako stav 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

.
 Za pozorování 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 budeme považovat proudy 
\begin_inset Formula $i_{\alpha}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $i_{\beta}$
\end_inset

 doplněné chybou měření.
 Plný model je tedy popsán stavem a měřením
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
x_{t} & = & \left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T}\\
y_{t} & = & \left(y_{\alpha,t},y_{\beta,t}\right)^{T}
\end{eqnarray*}

\end_inset

 jejichž vývoj v čase je dán rovnicemi modelového systému z části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:EKF-popis"

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
x_{t+1} & = & f\left(x_{t},u_{t}\right)+w_{t}\\
y_{t} & = & h\left(x_{t}\right)+v_{t}
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde funkce 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 odpovídá soustavě rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:diskretni-system-albe-ls"

\end_inset

) a funkce 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 pouze vrací první dvě složky argumentu.
 Vektory 
\begin_inset Formula $w_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $v_{t}$
\end_inset

 pak reprezentují vzájemně nezávislé bílé Gaussovské šumy s nulovou střední
 hodnotou a známými kovariančními maticemi 
\begin_inset Formula $Q_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset

 v tomto pořadí.
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro výpočet rekurzivního algoritmu EKF je třeba znát Jacobiho matice parciálních
 derivací 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $C_{t}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $\left(A_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\left(C_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial h_{i}}{\partial x_{j}}\left(\overline{\hat{x}}_{t},0\right)$
\end_inset

.
 V tomto případě je výpočet poměrně jednoduchý a výsledné matice jsou 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
A_{t} & = & \left[\begin{array}{cccc}
a & 0 & b\sin\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\\
0 & a & -b\cos\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}\\
-e\sin\hat{\vartheta}_{t-1} & e\cos\hat{\vartheta}_{t-1} & d & -e\left(\hat{i}_{\beta,t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}+\hat{i}_{\alpha,t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\right)\\
0 & 0 & \Delta t & 1
\end{array}\right]\nonumber \\
C_{t} & = & C=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{array}\right]\label{eq:matice-ekf-plnymodel-ls}
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Redukovaný model
\end_layout

\begin_layout Standard
Redukovaný model se snaží usnadnit výpočet algoritmu EKF tím způsobem, že
 zmenšuje uvažovaný stav systému.
 Kritickým místem použití EKF je totiž časově náročná maticová inverze,
 viz část 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:EKF-popis"

\end_inset

.
 Pro plný model má vektor stavu velikost 
\begin_inset Formula $4$
\end_inset

 a tedy je invertována matice o rozměru 
\begin_inset Formula $4\times4$
\end_inset

, oproti tomu redukovaný model užívá pouze stavu velikosti 
\begin_inset Formula $2$
\end_inset

 a inverze matice 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

 je znatelně rychlejší.
\end_layout

\begin_layout Standard
Hlavní myšlenkou je nezahrnovat proudy 
\begin_inset Formula $i_{\alpha}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $i_{\beta}$
\end_inset

 do stavu a rovnou je definovat jako měření, tedy
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
x_{t} & = & \left(\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T}\\
y_{t} & = & \left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t}\right)^{T}
\end{eqnarray*}

\end_inset

 Vyjdeme tedy ze stejných diskrétních rovnic popisujících PMSM (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:matice-ekf-plnymodel-ls"

\end_inset

), ale nyní první dvě rovnice představují měření a druhé dvě vývoj systému.
 Matice pro EKF jsou pak ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
A_{t} & = & \left[\begin{array}{cc}
d & -e\left(\hat{i}_{\beta,t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}+\hat{i}_{\alpha,t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\right)\\
\Delta t & 1
\end{array}\right]\nonumber \\
C_{t} & = & \left[\begin{array}{cc}
b\sin\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\\
-b\cos\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}
\end{array}\right]\label{eq:matice-ekf-redukovanymodel-ls}
\end{eqnarray}

\end_inset

Dále je pak třeba ještě upravit hodnoty kovariančních matic pro šumy .
\end_layout

\begin_layout Subsection
Různé indukčnosti
\end_layout

\begin_layout Standard
V případě plného modelu pro různé indukčnosti v osách 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 je postup zcela analogický, jen výchozí rovnice jsou jiné.
 V praxi jsou však rovnice relativně složité, 
\series bold
sem se nevejdou a možná pak budou v příloze
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Section
PCRB
\end_layout

\begin_layout Section
PI
\end_layout

\begin_layout Section
LQ
\end_layout

\begin_layout Section
Injektáž
\end_layout

\begin_layout Section
Bikriteriální
\end_layout

\begin_layout Section
Hyperstav
\end_layout

\begin_layout Chapter
Provedené experimenty
\end_layout

\begin_layout Itemize
vyhodnocení PCRB
\end_layout

\begin_layout Itemize
počáteční rozjezd -- různé chyby počátečního odhadu
\end_layout

\begin_layout Itemize
extrémní otáčky -- kam až to půjde
\end_layout

\begin_layout Itemize
nulové otáčky -- profil konstantní 0
\end_layout

\begin_layout Itemize
nízké otáčky: +-1 trojúhelníky a lichoběžníky
\end_layout

\begin_layout Itemize
průchody 0: +-10 trojúhelníky a lichoběžníky
\end_layout

\begin_layout Itemize
vysoké otáčky: +-200 trojúhelníky a lichoběžníky
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/testprofily.eps
	scale 60

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout

\emph on
Příklad profilů požadovaných otáček na časovém horizontu 
\begin_inset Formula $15\:\mathrm{s}$
\end_inset

 s amplitudou 
\begin_inset Formula $10\:\mathrm{rad}/\mathrm{s}$
\end_inset

: nahoře trojúhleníky a dole lichoběžníky
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Priklad-profilu-pozad-otack"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset bibtex
LatexCommand bibtex
bibfiles "vyz_clanky,vyz_texty,dp_clanky"
options "czechiso"

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document
