Changeset 1447

Timestamp:

04/09/12 22:18:33 (13 years ago)

Author:

vahalam

Message:

 

Location:

applications/dual/vahala/DP

Files:

• prac_verz.lyx (modified) (56 diffs)
• prac_verz.pdf (modified) (previous)

applications/dual/vahala/DP/prac_verz.lyx

@@ -2339 +2339 @@
 \begin_layout Subsection
 Stochastický model
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "sub:Stochasticky-model-pmsm"
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
@@ -5828 +5835 @@
 \begin_layout Subsection
 Lineárně kvadratický regulátor
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "sub:Linearne-kvadraticky-regulator-obec-popis"
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
@@ -6026 +6040 @@
 Postup je založen na přepisu kvadratické ztráty do tvaru
 \begin_inset Formula 
-\[
-x_{t+1}^{T}Q_{t}x_{t+1}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}=x_{t+1}^{T}\sqrt{Q_{t}}^{T}\sqrt{Q_{t}}x_{t+1}+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t}
-\]
+\begin{equation}
+x_{t+1}^{T}Q_{t}x_{t+1}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}=x_{t+1}^{T}\sqrt{Q_{t}}^{T}\sqrt{Q_{t}}x_{t+1}+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t}\label{eq:lq-kv-ztrata-prepis-odmoc}
+\end{equation}
 
 \end_inset
@@ -6052 +6066 @@
  pak minimalizujeme funkci
 \begin_inset Formula 
-\[
-x_{t+1}^{T}\sqrt{Q_{t}}^{T}\sqrt{Q_{t}}x_{t+1}+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t}+x_{t+1}^{T}\sqrt{S_{t}}^{T}\sqrt{S_{t}}x_{t+1}
-\]
+\begin{equation}
+x_{t+1}^{T}\sqrt{Q_{t}}^{T}\sqrt{Q_{t}}x_{t+1}+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t}+x_{t+1}^{T}\sqrt{\Sigma_{t}}^{T}\sqrt{\Sigma_{t}}x_{t+1}\label{eq:lq-odm-ztrata-se-sigma}
+\end{equation}
 
 \end_inset
 
 kde 
-\begin_inset Formula $S_{t}$
+\begin_inset Formula $\Sigma_{t}$
 \end_inset
 
@@ -6071 +6085 @@
  a následně jej zapsat maticově ve tvaru
 \begin_inset Formula 
-\[
+\begin{equation}
 \left(\begin{array}{c}
 u_{t}\\
@@ -6078 +6092 @@
 \sqrt{Q_{t}}B_{t} & \sqrt{Q_{t}}A_{t}\\
 \sqrt{R_{t}} & 0\\
-\sqrt{S_{t}}B_{t} & \sqrt{S_{t}}A_{t}
+\sqrt{\Sigma_{t}}B_{t} & \sqrt{\Sigma_{t}}A_{t}
 \end{array}\right]^{T}\underset{Z}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}
 \sqrt{Q_{t}}B_{t} & \sqrt{Q_{t}}A_{t}\\
 \sqrt{R_{t}} & 0\\
-\sqrt{S_{t}}B_{t} & \sqrt{S_{t}}A_{t}
+\sqrt{\Sigma_{t}}B_{t} & \sqrt{\Sigma_{t}}A_{t}
 \end{array}\right]}}\left(\begin{array}{c}
 u_{t}\\
 x_{t}
-\end{array}\right)
-\]
+\end{array}\right)\label{eq:lq-matic-ztrata-pro-qr}
+\end{equation}
 
 \end_inset
@@ -6191 +6205 @@
 
  pak použijeme do předchozího časového kroku jako novou matici 
-\begin_inset Formula $S$
+\begin_inset Formula $\Sigma$
 \end_inset
 
@@ -6201 +6215 @@
 \end_layout
 
+\begin_layout Standard
+Tato kapitola je věnována spojení předchozích dvou, tedy stručně řečeno
+ aplikaci vybraných algoritmů popsaných v kapitole o teorii řízení na konkrétní
+ systém PMSM uvedený v první kapitole.
+ Nejdříve budou uvedeny konkrétní matice používané pro rozšířený Kalmanův
+ filtr a následně i pro výpočet aposteriorních Cramer-Raových mezí.
+ Dále budou odvozeny různé verze lineárně kvadratického regulátoru jako
+ alternativa ke klasicky užívaným PI regulátorům používaným pro vektorové
+ řízení PMSM.
+ Následovat bude popis algoritmu využívajícího hyperstav, který vychází
+ právě z EKF a LQ regulátoru.
+ Na závěr této kapitoly bude ještě popsána vybraná verze bikriteriální metody
+ a návrh založený na využití injektáží.
+\end_layout
+
 \begin_layout Section
-Zjednodušení a předpoklady
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Zátěžný moment 
+Úloha řízení PMSM
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Nejdříve je nutno přesně specifikovat úlohu, jakou se vybranými algoritmy
+ pokusíme řešit.
+ Této specifikace se dále v textu budeme držet, aby byly zajištěny v jistém
+ ohledu stejné podmínky pro všechny algoritmy.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Řízeným systémem bude synchronní motor s permanentními magnety.
+ Pro možné nasazení metod využívajících anizotropie předpokládáme v tomto
+ stroji různé indukčnosti v osách 
+\begin_inset Formula $d-q$
+\end_inset
+
+, tedy 
+\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dále je uvažován PMSM v bezsenzorovém návrhu, to znamená, že mechanické
+ veličiny jako poloha a otáčky nejsou měřeny.
+ Měřenými veličinami jsou pouze proudy v osách 
+\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
+\end_inset
+
+.
+ Řídící veličiny reprezentované napětími v osách 
+\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
+\end_inset
+
+ předpokládáme známé před vstupem do řídící elektroniky, skutečná napětí
+ měřena nejsou.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Napětí jako řídící veličiny navíc neuvažujeme libovolné, ale pouze z daného
+ intervalu 
+\begin_inset Formula $\left\langle -U_{max},U_{max}\right\rangle $
+\end_inset
+
+.
+ To vyjadřuje reálná omezení použitého napájecího zdroje.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+V textu uvažujeme výhradně řízení otáček a referenční signál je tedy předpokládá
+n v podobě požadované hodnoty otáček 
+\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$
+\end_inset
+
+ v daném čase 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Protože je nejdříve nutné zvládnout řízení stroje bez zátěže je zátěžný
+ moment 
 \begin_inset Formula $T_{L}$
 \end_inset
 
- předpokládáme nulový.
+ uvažován nulový.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dále uvažujeme, že na počátku (v nulovém čase) nemáme žádnou informaci o
+ poloze hřídele.
+ To lze vyjádřit tak, že rozdělení počáteční polohy 
+\begin_inset Formula $\vartheta_{0}$
+\end_inset
+
+ je uniformní na intervalu 
+\begin_inset Formula $\left(-\pi,\pi\right\rangle $
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Jako univerzální kriterium pro posuzování kvality jednotlivých aplikovaných
+ řídících strategií bude brán kvadrát odchylky skutečných a požadovaných
+ otáček.
 \end_layout
 
@@ -6240 +6354 @@
 \end_inset
 
-) pro různé indukčnosti, nabízí se celá řada možností za jakých podmínek
- algoritmus EKF použí.
- Pro implementaci je však rozumných pouze několik málo možností.
+) pro různé indukčnosti, nabízí se více možností za jakých podmínek algoritmus
+ EKF použí.
+ Pro implementaci je však rozumných pouze několik málo z nich.
  
 \end_layout
@@ -6265 +6379 @@
 
 ).
- Hodnotu tohoto úhlu ale neznáme a navíc se jedná o hlavní veličinu, kterou
- chceme pomocí EKF určit.
+ Hodnotu tohoto úhlu ale neznáme a navíc se jedná v podstatě o hlavní veličinu,
+ kterou chceme pomocí EKF odhadnout.
  Dalším problémem je, že v rovnicích popisujících PMSM (v případě stejných
  i různých indukčností) v souřadné soustavě 
@@ -6276 +6390 @@
 \end_inset
 
- vůbec nevystupuje a tedy ji ani nelze rozumně určit.
+ vůbec nevystupuje a tedy ji z nich nelze rozumně určit.
  Jistou možnstí, kdy by mělo smysl uvažovat EKF v souřadné soustavě 
 \begin_inset Formula $d-q$
@@ -6302 +6416 @@
 \begin_layout Standard
 Algoritmus EKF předpokládá Gaussovský model šumu.
- Vzhledem k popisu neurčitostí v PMSM (
-\series bold
-odkaz
-\series default
-) tento předpoklad splněn není.
+ Vzhledem k popisu neurčitostí v PMSM, odstavec 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sub:Stochasticky-model-pmsm"
+
+\end_inset
+
+, tento předpoklad splněn není.
  Lze však provést aproximaci hustoty pravděpodobnosti skutečného šumu Gaussovsko
 u hustotou s vhodnými parametry.
@@ -6334 +6451 @@
 
 \begin_layout Standard
-Prvním diskutovaným případem bude návrh označovaný jako 
+Prvním diskutovaným případem bude návrh dále označovaný jako 
 \emph on
 plný model
@@ -6343 +6460 @@
 
 .
- Všechny 
+ Všechny veličiny 
 \begin_inset Formula $i_{\alpha}$
 \end_inset
@@ -6417 +6534 @@
 \end_inset
 
- pouze vrací první dvě složky argumentu.
+ je pouze identitou na první dvou složkách argumentu.
  Vektory 
 \begin_inset Formula $w_{t}$
@@ -6439 +6556 @@
 
 \begin_layout Standard
-Pro výpočet rekurzivního algoritmu EKF je třeba znát Jacobiho matice parciálních
- derivací 
+Pro výpočet rekurzivního algoritmu EKF, rovnice (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:EKF-rovnice-time-upd"
+
+\end_inset
+
+) a (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:EKF-rovnice-data-upd"
+
+\end_inset
+
+), je třeba znát Jacobiho matice parciálních derivací 
 \begin_inset Formula $A_{t}$
 \end_inset
@@ -6479 +6609 @@
 \begin_layout Subsection
 Redukovaný model
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "sub:EKF-Redukovany-model"
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
@@ -6612 +6749 @@
 \end_layout
 
+\begin_layout Standard
+Redukovaný model pro různé indukčnosti již v textu ani v příloze uveden
+ není, ale jeho případné odvození je možno relativně snadno provést jako
+ zjednodušení modelu plného.
+ 
+\series bold
+(možná přidat i redukovaný -- je v PCRB)
+\end_layout
+
 \begin_layout Section
 Rovnice pro PCRB
@@ -6630 +6776 @@
 \end_inset
 
- totiž nemá smysl používat, jelikož mez stále roste, což lze jednak usuzovat
- na základě tvaru ronvic, ale tento fakt byl ověřen i experimentálně.
+ nemá smysl používat, jelikož nejvíce zajímavá mez polohy stále roste, což
+ lze jednak usuzovat na základě tvaru ronvic, ale tento fakt byl ověřen
+ i experimentálně.
  Jednotlivé modely se liší tím, jestli je uvažován 
 \emph on
@@ -6688 +6835 @@
 
 \begin_layout Subsection
-Užitá řízení
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Použitá řízení shrnuje následující seznam, dále budou označována svým číslem
- položky:
+Vzorový běh systému
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Výpočet hodnot aposteriorních Cramer-Raových mezí probíhá na vzorovém běhu
+ systému.
+ Ze vzorového běhu jsou získány průběhy jednotlivých stavových veličin v
+ čase, které pak slouží jako zdroj pro výpočet vlastních mezí.
+ Jako vzorový běh lze buď přímo zvolit nějaké hodnoty a nebo je získat aplikací
+ vhodného regulátoru na model systému.
+ Pro tento případ bylo užíváno vektorové PI řízení (implementované jako
+ referenční) získávající odhad ze senzorů a řídící na určenou referenční
+ hodnotu.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Použité vzorové běhy shrnuje následující seznam, dále budou označována svým
+ číslem položky:
 \end_layout
 
@@ -6712 +6871 @@
 
 \begin_layout Enumerate
-PI
+vektorové PI
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
-PI + injektáž sin do 
+vektorové PI + injektáž sin do 
 \begin_inset Formula $d-q$
 \end_inset
@@ -6724 +6883 @@
 
 \begin_layout Enumerate
-PI + injektáž obdélníků do 
+vektorové PI + injektáž obdélníků do 
 \begin_inset Formula $d-q$
 \end_inset
@@ -6732 +6891 @@
 
 \begin_layout Enumerate
-PI + injektáž konstanty do 
+vektorové PI + injektáž konstanty do 
 \begin_inset Formula $d$
 \end_inset
@@ -6740 +6899 @@
 
 \begin_layout Enumerate
-PI + náhodná chyba na 
+vektorové PI + náhodná chyba na 
 \begin_inset Formula $\overline{\omega}$
 \end_inset
@@ -6748 +6907 @@
 
 \begin_layout Enumerate
-PI + injektáž sin do 
+vektorové PI + injektáž sin do 
 \begin_inset Formula $\alpha-\beta$
 \end_inset
@@ -6756 +6915 @@
 
 \begin_layout Enumerate
-PI + injektáž obdélníků do 
+vektorové PI + injektáž obdélníků do 
 \begin_inset Formula $\alpha-\beta$
 \end_inset
@@ -6764 +6923 @@
 
 \begin_layout Enumerate
-PI + bikriteriální metoda se 
+vektorové PI + bikriteriální metoda se 
 \begin_inset Formula $\mathrm{sign}\omega$
 \end_inset
@@ -6772 +6931 @@
 
 \begin_layout Enumerate
-PI + bikriteriální metoda náhodný výběr 5 možností
+vektorové PI + náhodný výběr 5 možností budícího zásahu
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+(detailněji popsat předchozí)
 \end_layout
 
@@ -6794 +6959 @@
 \end_inset
 
- uvažována jako náhodná veličina s normálním rozdělením, které může nabývat
- hodnot z celé reálné osy a následně může PCRB nabývat velmi vysokých hodnot.
+ uvažována jako náhodná veličina s normálním rozdělením, která nabývat hodnot
+ z celé reálné osy a následně může PCRB dosáhnout velmi vysokých hodnot.
  Tyto hodnoty však pro interpretaci ve vztahu k PMSM nemají smysl, protože
  nejhorší případ (ve smyslu největší neznalosti parametru 
@@ -6937 +7102 @@
 \end_inset
 
-
+ 
+\series bold
+předělat na černobílý
 \end_layout
 
@@ -7090 +7257 @@
 
 \begin_layout Standard
-Tento algoritmus opět předpokládá lineární systém, viz rovnice (
+Tento algoritmus předpokládá lineární systém, viz rovnice (
 \begin_inset CommandInset ref
 LatexCommand ref
@@ -7098 +7265 @@
 
 ), kterým PMSM není a je tedy nutné provést linearizaci.
- Nelze ale přímo použít matice odvozené v předchozí části 
+ Nelze ale přímo použít matice derivací odvozené v předchozí části 
 \begin_inset CommandInset ref
 LatexCommand ref
@@ -7125 +7292 @@
 
 kde parciální derivací 
-\begin_inset Formula $f$
-\end_inset
-
- dle 
-\begin_inset Formula $x$
+\begin_inset Formula $\frac{\partial f}{\partial x}$
 \end_inset
 
@@ -7143 +7306 @@
 \end_inset
 
- o EKF vypočtená v bodě 
+ týkající se EKF vypočtená v bodě 
 \begin_inset Formula $x_{0}$
 \end_inset
@@ -7180 +7343 @@
 \end_inset
 
- (o jeden sloupec a řádek) a stejně tak zvětšíme i velikost stav o 
+ (o jeden sloupec a řádek) a stejně tak zvětšíme i velikost stavu o 
 \begin_inset Formula $1$
 \end_inset
@@ -7202 +7365 @@
 \[
 \overline{A}=\left[\begin{array}{cc}
-A & \left(f\left(x_{0}\right)-Ax_{0}\right)\\
+A & \gamma\\
 0 & 1
 \end{array}\right]
@@ -7225 +7388 @@
 
 \begin_layout Subsection
-Matice pro LQ pro stejné indukčnosti
+Ztrátová funkce
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Protože chceme využít lineárně kvadratického algoritmu, je třeba formulovat
+ ztrátovou funkci jako aditivní a kvadratickou, obecně ve tvaru daném rovnicí
+ (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:lq-adit-kv-ztrata"
+
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Hlavním požadavkem na systém je dosažení požadované hodnoty otáček 
+\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$
+\end_inset
+
+ v čase 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+.
+ Výše zmíněná ztráta (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:lq-adit-kv-ztrata"
+
+\end_inset
+
+) však vede na řízení pouze na nulovou hodnotu odpovídající 
+\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
+\end_inset
+
+, pro řízení na nenulové požadované otáčky je třeba modifikovat stav systému
+ a zavést substituci 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\psi_{t}=\omega_{t}-\overline{\omega}_{t}
+\]
+
+\end_inset
+
+a veličinu 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ pak již řídíme na nulovou hodnotu.
+ Tuto substituci, která závisí na 
+\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
+\end_inset
+
+ jako parametru, je třeba zanést do všech rovnic.
+ Ve stavu systému veličina 
+\begin_inset Formula $\psi_{t}$
+\end_inset
+
+ nahradí veličinu 
+\begin_inset Formula $\omega_{t}$
+\end_inset
+
+.
+ Dále je třeba zahrnout i všechny konstantní členy, které v důsledku substituce
+ vzniknou.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Penalizační matici stavu systému v (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:lq-adit-kv-ztrata"
+
+\end_inset
+
+) budeme vzhledem k požadavku pouze na hodnotu otáček uvažovat nezávislou
+ na čase 
+\begin_inset Formula $Q_{t}=Q$
+\end_inset
+
+ pro všechna 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+, a ve tvaru
+\begin_inset Formula 
+\begin{equation}
+Q=\left[\begin{array}{ccccc}
+0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+0 & 0 & q & 0 & 0\\
+0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+0 & 0 & 0 & 0 & 0
+\end{array}\right]\label{eq:matice-Q-lq}
+\end{equation}
+
+\end_inset
+
+kde 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ je pevně zvolená konstanta a matice 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ má již rozměr 
+\begin_inset Formula $5\times5$
+\end_inset
+
+, protože byl stav rozšířen o konstantní člen v důsledku linearizace.
+ Koncovou matici 
+\begin_inset Formula $Q_{T}$
+\end_inset
+
+ budeme uvažovat nulovou.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dalším požadavkem je omezení na napětí -- vstupy do systému, vyjádřené pomocí
+ maximálního napětí 
+\begin_inset Formula $U_{max}$
+\end_inset
+
+, které je schopen poskytnout napájecí zdroj.
+ Toto omezení můžeme zasat jako 
+\begin_inset Formula 
+\begin{equation}
+\left|u_{k,t}\right|\leq U_{max}\label{eq:omezeni}
+\end{equation}
+
+\end_inset
+
+jako omezení na každou složku 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ vektoru 
+\begin_inset Formula $u_{t}$
+\end_inset
+
+ zvlášť.
+ Tuto podmínku lze také považovat za definici množiny přípustných řízení
+ 
+\begin_inset Formula $U_{t}$
+\end_inset
+
+ v čase 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+.
+ Požadavek založený na absolutní hodnotě nelze přímo zapsat jako kvadratickou
+ funkci a proto je třeba vhodně zvolit matici 
+\begin_inset Formula $R_{t}$
+\end_inset
+
+ v (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:lq-adit-kv-ztrata"
+
+\end_inset
+
+) aby dostatečně penalizovala příliš velké hodnoty řízení 
+\begin_inset Formula $u_{t}$
+\end_inset
+
+ a dále počítat s tím, že při přesažení hodnoty 
+\begin_inset Formula $U_{max}$
+\end_inset
+
+ dojde k ořezu.
+ Výběr vhodných hodnot do matice 
+\begin_inset Formula $R_{t}$
+\end_inset
+
+ byl řešen experimentálně a bude mu věnována pozornost v části zabývající
+ se experimenty (
+\series bold
+odkaz
+\series default
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Rozšíření pro penalizaci přírůstků napětí
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Chceme-li přidat ještě omezení na velikost změny vstupů 
+\begin_inset Formula $\left(u_{t+1}-u_{t}\right)^{2}$
+\end_inset
+
+ což může v některých případech vylepšit chování LQ algoritmu, lze tak učinit
+ přidáním dalšího členu do ztrátové funkce.
+ Tento člen budeme volit opět kvadratický a to ve tvaru 
+\begin_inset Formula $\left(u_{t}-u_{t-1}\right)^{T}S_{t}\left(u_{t}-u_{t-1}\right)$
+\end_inset
+
+.
+ Penalizační matice 
+\begin_inset Formula $S_{t}$
+\end_inset
+
+ budem opět, jako matice 
+\begin_inset Formula $R_{t}$
+\end_inset
+
+, nalezena experimentálně, detailněji viz (
+\series bold
+odkaz
+\series default
+).
+ Takovýto člen ale ve standartní ztrátové funkci LQ řízení nevystupuje a
+ jeho přidání již není tak snadné.
+ Při implementaci takto modifikovaného algoritmu je třeba vycházet z návrhu
+ LQ algoritmu, založeného na maticovém QR rozkladu, viz odstavec 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sub:Linearne-kvadraticky-regulator-obec-popis"
+
+\end_inset
+
+.
+ Tento algoritmus totiž relativně snadno umožňuje přidat další kvadratický
+ člen, jedinou komplikací je nutnost rozšířit stávající stavový vektor o
+ stará řízení 
+\begin_inset Formula $u_{t-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Uvažujme novou penalizační matici 
+\begin_inset Formula $S_{t}$
+\end_inset
+
+ pozitivně semidefinitní a do rovnice 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:lq-kv-ztrata-prepis-odmoc"
+
+\end_inset
+
+ vyjadřující kvadratickou ztrátu přidáme člen
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(u_{t}-u_{t-1}\right)^{T}S_{t}\left(u_{t}-u_{t-1}\right)=\left(u_{t}-u_{t-1}\right)^{T}\sqrt{S_{t}}^{T}\sqrt{S_{t}}\left(u_{t}-u_{t-1}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+To následně vede na rovnici 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:lq-matic-ztrata-pro-qr"
+
+\end_inset
+
+ ve tvaru
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(\begin{array}{c}
+u_{t}\\
+u_{t-1}\\
+x_{t}
+\end{array}\right)^{T}Z^{T}Z\left(\begin{array}{c}
+u_{t}\\
+u_{t-1}\\
+x_{t}
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+s maticí 
+\begin_inset Formula $Z$
+\end_inset
+
+ danou jako
+\begin_inset Formula 
+\[
+Z=\left[\begin{array}{ccc}
+\sqrt{Q_{t}}B_{t} & 0 & \sqrt{Q_{t}}A_{t}\\
+\sqrt{R_{t}} & 0 & 0\\
+\sqrt{S_{t}} & -\sqrt{S_{t}} & 0\\
+\left(\sqrt{\Sigma_{t}}\right)_{3,\ldots,7}B_{t} & \left(\sqrt{\Sigma_{t}}\right)_{1,2} & \left(\sqrt{\Sigma_{t}}\right)_{3,\ldots,7}A_{t}
+\end{array}\right]
+\]
+
+\end_inset
+
+kde 0 představuje nulovou matici vhodných rozměrů a dolní index slouží k
+ označení sloupce matice.
+ Zbytek popisu algoritmu je již stejný jako v odstavci 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sub:Linearne-kvadraticky-regulator-obec-popis"
+
+\end_inset
+
+ s tím rozdílem, že místo vektoru 
+\begin_inset Formula $x_{t}$
+\end_inset
+
+ dále pracujeme s vektorem 
+\begin_inset Formula $\left(\begin{array}{c}
+u_{t-1}\\
+x_{t}
+\end{array}\right)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsubsection
+Souřadné soustavy pro penalizační matice řízení
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Uvažovaná ztrátovou funkcí penalizující obecně i přírůstky řízení je ve
+ tvaru
+\begin_inset Formula 
+\[
+\sum_{t=0}^{T-1}\left(\left(x_{t}-\overline{x}_{t}\right)^{T}Q\left(x_{t}-\overline{x}_{t}\right)+u_{t}^{T}Ru_{t}+\left(u_{t}-u_{t-1}\right)^{T}S\left(u_{t}-u_{t-1}\right)\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+ kde řízení 
+\begin_inset Formula $u_{t}$
+\end_inset
+
+ respektive 
+\begin_inset Formula $u_{t-1}$
+\end_inset
+
+ jsou v souřadnicích 
+\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
+\end_inset
+
+.
+ Osy 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ jsou zřejmě kvalitativně ekvivalentní a není důvod některou z nich upřednostňov
+at, není proto ani žádný důvod uvažovat jinou penalizaci, řízení případně
+ jeho přírůstků, v těchto osách.
+ Totéž ovšem nelze tvrdit o souřadných osách 
+\begin_inset Formula $d-q$
+\end_inset
+
+.
+ Z rovnic (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:diskretni-system-dq-ls"
+
+\end_inset
+
+) případně (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:diskretni-system-dq-ldq"
+
+\end_inset
+
+) zřejmě plyne, že na otáčení stroje má vliv především 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ složka proudů a tedy potažmo i napětí.
+ Může se tedy zdát rozumným volit rozdílnou penalizaci řídících vstupů v
+ osách 
+\begin_inset Formula $d-q$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Volmě tedy rozdílnou časově nezávislou penalizaci řízení v osách 
+\begin_inset Formula $d-q$
+\end_inset
+
+ v podobě diagonální matice
+\begin_inset Formula 
+\[
+R^{dq}=diag(r_{d},r_{q})
+\]
+
+\end_inset
+
+Uvažujeme-li ztrátovou funkci v souřadném systému 
+\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
+\end_inset
+
+, převedeme penalizační matici 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ do těchto souřadnic a ta se stane závislou na čase
+\begin_inset Formula 
+\[
+R_{t}^{\alpha\beta}=\left[\begin{array}{cc}
+\cos\vartheta_{t} & -\sin\vartheta_{t}\\
+\sin\vartheta_{t} & \cos\vartheta_{t}
+\end{array}\right]R^{dq}\left[\begin{array}{cc}
+\cos\vartheta_{t} & \sin\vartheta_{t}\\
+-\sin\vartheta_{t} & \cos\vartheta_{t}
+\end{array}\right]
+\]
+
+\end_inset
+
+kde se jako úhel 
+\begin_inset Formula $\vartheta_{t}$
+\end_inset
+
+ využívá jeho odhad v čase 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+.
+ Analogický vztah lze použít i pro penalizaci přírůstků (matice 
+\begin_inset Formula $S^{dq}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $S_{t}^{\alpha\beta}$
+\end_inset
+
+).
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Matice pro stejné indukčnosti
 \end_layout
 
@@ -7253 +7863 @@
 \end_inset
 
- tedy vypočteme jako
+ vypočteme jako
 \begin_inset Formula 
 \begin{eqnarray*}
@@ -7297 +7907 @@
 a & 0 & b\sin\vartheta_{0} & b\omega_{0}\cos\vartheta_{0} & -b\omega_{0}\vartheta_{0}\cos\vartheta_{0}\\
 0 & a & -b\cos\vartheta_{0} & b\omega_{0}\sin\vartheta_{0} & -b\omega_{0}\vartheta_{0}\sin\vartheta_{0}\\
--e\sin\vartheta_{0} & e\cos\vartheta_{0} & d & -e\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right) & e\vartheta_{0}\left(i_{b,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right)\\
+-e\sin\vartheta_{0} & e\cos\vartheta_{0} & d & -e\zeta & e\vartheta_{0}\zeta\\
 0 & 0 & \Delta t & 1 & 0\\
 0 & 0 & 0 & 0 & 1
 \end{array}\right]
+\]
+
+\end_inset
+
+kde
+\begin_inset Formula 
+\[
+\zeta=\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right)
 \]
 
@@ -7346 +7964 @@
 \end_layout
 
-\begin_layout Subsection
-Ztrátová funkce
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Protože chceme využít lineárně kvadratického algoritmu, je třeba formulovat
- ztrátovou funkci jako aditivní a kvadratickou, obecně ve tvaru daném rovnicí
- (
-\begin_inset CommandInset ref
-LatexCommand ref
-reference "eq:lq-adit-kv-ztrata"
-
-\end_inset
-
-).
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Hlavním požadavkem na systém je dosažení požadované hodnoty otáček 
-\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$
-\end_inset
-
- v čase 
-\begin_inset Formula $t$
-\end_inset
-
-.
- Výše zmíněná ztráta (
-\begin_inset CommandInset ref
-LatexCommand ref
-reference "eq:lq-adit-kv-ztrata"
-
-\end_inset
-
-) však vede na řízení pouze na nulovou hodnotu odpovídající 
-\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
-\end_inset
-
-, pro řízení na nenulové požadované otáčky je třeba modifikovat stav systému
- a zavést substituci 
-\begin_inset Formula 
-\[
-\psi_{t}=\omega_{t}-\overline{\omega}_{t}
-\]
-
-\end_inset
-
-a veličinu 
+\begin_layout Subsubsection
+Substituce kvůli požadovaným otáčkám
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Jak již bylo zmíněno, při požadavku na nenulové referenční otáčky je třeba
+ provést substituci a zavést novou stavovou veličinu 
 \begin_inset Formula $\psi$
 \end_inset
 
- pak již řídíme na nulovou hodnotu.
- Tuto substituci, která závisí na parametru 
-\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
-\end_inset
-
-, je třeba zanést do všech rovnic.
- Ve stavu systému veličina 
-\begin_inset Formula $\psi_{t}$
-\end_inset
-
- nahradí veličinu 
-\begin_inset Formula $\omega_{t}$
-\end_inset
-
-.
- Dále je třeba zahrnout i všechny konstantní členy, které v důsledku substituce
- vzniknou.
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Penalizační matici stavu systému v (
-\begin_inset CommandInset ref
-LatexCommand ref
-reference "eq:lq-adit-kv-ztrata"
-
-\end_inset
-
-) budeme uvažovat nezávislou na čase 
-\begin_inset Formula $Q_{t}=Q$
-\end_inset
-
- pro všechna 
-\begin_inset Formula $t$
-\end_inset
-
- a ve tvaru
-\begin_inset Formula 
-\begin{equation}
-Q=\left[\begin{array}{ccccc}
-0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
-0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
-0 & 0 & q & 0 & 0\\
-0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
-0 & 0 & 0 & 0 & 0
-\end{array}\right]\label{eq:matice-Q-lq}
-\end{equation}
-
-\end_inset
-
-kde 
-\begin_inset Formula $q$
-\end_inset
-
- je pevně zvolená konstanta a matice 
-\begin_inset Formula $Q$
-\end_inset
-
- má již rozměr 
-\begin_inset Formula $5\times5$
-\end_inset
-
-, protože byl stav rozšířen o konstantní člen v důsledku linearizace.
- Koncovou matici 
-\begin_inset Formula $Q_{T}$
-\end_inset
-
- budeme uvažovat nulovou.
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Dalším požadavkem je omezení na napětí -- vstupy do systému, vyjádřené pomocí
- maximálního napětí 
-\begin_inset Formula $U_{max}$
-\end_inset
-
-, které je schopen poskytnout napájecí zdroj.
- Toto omezení můžeme zasat jako 
-\begin_inset Formula 
-\begin{equation}
-\left\Vert u_{t}\right\Vert \leq U_{max}\label{eq:omezeni}
-\end{equation}
-
-\end_inset
-
-případně jako omezení na každou složku vektoru 
-\begin_inset Formula $u_{t}$
-\end_inset
-
- zvlášť.
- Tuto podmínku lze také považovat za definici množiny přípustných řízení
- 
-\begin_inset Formula $U_{t}$
-\end_inset
-
- v čase 
-\begin_inset Formula $t$
-\end_inset
-
-, viz (
-\series bold
-odkaz
-\series default
-).
- požadavek nelze přímo zapsat jako kvadratickou funkci a proto je třeba
- vhodně zvolit matici 
-\begin_inset Formula $R_{t}$
-\end_inset
-
- v (
-\begin_inset CommandInset ref
-LatexCommand ref
-reference "eq:lq-adit-kv-ztrata"
-
-\end_inset
-
-) aby dostatečně penalizovala příliš velké hodnoty řízení 
-\begin_inset Formula $u_{t}$
-\end_inset
-
- a dále počítat s tím, že při přesažení hodnoty 
-\begin_inset Formula $U_{max}$
-\end_inset
-
- dojde k ořezu.
- Výběr vhodných hodnot do matice 
-\begin_inset Formula $R_{t}$
-\end_inset
-
- byl řešen experimentálně a bude mu věnována pozornost v části zabývající
- se experimenty (
-\series bold
-odkaz
-\series default
-).
-\end_layout
-
-\begin_layout Subsubsection
-Substituované rovnice
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-V důsledku substituce 
+.
+ V důsledku této substituce 
 \begin_inset Formula $\psi_{t}=\omega_{t}-\overline{\omega}_{t}$
 \end_inset
@@ -7565 +8002 @@
 
  platí 
-\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t+1}=d\overline{\omega}_{t}$
+\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t+1}\approx d\overline{\omega}_{t}$
 \end_inset
 
@@ -7573 +8010 @@
 
 \begin_layout Standard
-Derivováním těchto rovnic dle nového stavu (substituovaného) 
+Derivováním těchto rovnic dle nového (substituovaného) stavu 
 \begin_inset Formula $\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\psi_{t},\vartheta_{t}\right)^{T}$
 \end_inset
@@ -7580 +8017 @@
 \begin_inset Formula 
 \[
-A_{t}=\left[\begin{array}{cccc}
+\tilde{A}_{t}=\left[\begin{array}{cccc}
 a & 0 & b\sin\vartheta_{t} & b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\cos\vartheta_{t}\\
 0 & a & -b\cos\vartheta_{t} & b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\sin\vartheta_{t}\\
@@ -7601 +8038 @@
 \end_inset
 
- týkající se EKF na základě původního nesubstituovaného stavu (tj.
- s 
+ týkající se EKF na základě původního nesubstituovaného stavu (to jest s
+ 
 \begin_inset Formula $x^{(3)}=\omega$
 \end_inset
@@ -7614 +8051 @@
 \end_inset
 
- je však již jiný a závisí na hodnotě 
+ je však jiný a závisí na hodnotě 
 \begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$
 \end_inset
@@ -7621 +8058 @@
 \begin_inset Formula 
 \begin{eqnarray*}
-\gamma_{\overline{\omega}_{t}} & = & \left(\begin{array}{c}
+\gamma & = & \left(\begin{array}{c}
 -b\omega_{0}\vartheta_{0}\cos\vartheta_{0}+b\overline{\omega}_{t}\sin\vartheta_{0}\\
 -b\omega_{0}\vartheta_{0}\sin\vartheta_{0}-b\overline{\omega}_{t}\cos\vartheta_{0}\\
@@ -7644 +8081 @@
 a & 0 & b\sin\vartheta_{0} & b\omega_{0}\cos\vartheta_{0} & -b\omega_{0}\vartheta_{0}\cos\vartheta_{0}+b\overline{\omega}_{t}\sin\vartheta_{0}\\
 0 & a & -b\cos\vartheta_{0} & b\omega_{0}\sin\vartheta_{0} & -b\omega_{0}\vartheta_{0}\sin\vartheta_{0}-b\overline{\omega}_{t}\cos\vartheta_{0}\\
--e\sin\vartheta_{0} & e\cos\vartheta_{0} & d & -e\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right) & e\vartheta_{0}\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right)\\
+-e\sin\vartheta_{0} & e\cos\vartheta_{0} & d & -e\zeta & e\vartheta_{0}\zeta\\
 0 & 0 & \Delta t & 1 & \Delta t\overline{\omega}_{t}\\
 0 & 0 & 0 & 0 & 1
@@ -7652 +8089 @@
 \end_inset
 
+kde
+\begin_inset Formula 
+\[
+\zeta=\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
 
 \end_layout
 
 \begin_layout Subsection
-Matice LQ regulátoru pro různé indukčnosti
+Matice pro různé indukčnosti
 \end_layout
 
@@ -7676 +8121 @@
  Z tohoto důvodu nebude opět uvedena zde v textu, ale je zařazena až do
  přílohy.
- Navíc je zde jiná i matice 
+ Navíc je zde změna i v matici 
 \begin_inset Formula $B_{t}$
 \end_inset
@@ -7685 +8130 @@
 
 \begin_layout Subsection
-LQ řízení pro redukovaný model
+LQ regulátor pro redukovaný model
 \begin_inset CommandInset label
 LatexCommand label
@@ -7696 +8141 @@
 
 \begin_layout Standard
-Pro redukovaný systém samozřejmě platí vše uvedené v předchozím odstavci,
- řízení je ale komplikovanější, protože ve funkci popisující vývoj systému
- explicitně nevystupuje řízení 
+Myšlenka redukovaného modelu již byla popsána pro rozšířený Kalmanův filtr,
+ viz odstavec 
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "sub:EKF-Redukovany-model"
+
+\end_inset
+
+.
+ Řízení je však redukovaný model komplikovanější, protože ve funkci popisující
+ vývoj systému explicitně nevystupuje řízení 
 \begin_inset Formula $u_{t}$
 \end_inset
@@ -7704 +8157 @@
 .
  Je tedy třeba vhodným způsobem tento problém vyřešit.
- Jednou z možností je zřetězení dvou LQ regulátory.
+ Jednou z možností je zřetězení dvou LQ regulátorů.
  V prvním kroku považovat za řízení proudy 
 \begin_inset Formula $i_{\alpha,\beta}$
 \end_inset
 
- a tedy tento první regulátor by na výstupu generoval požadované proudy
- 
+, a tedy tento první regulátor na výstupu generuje požadované proudy 
 \begin_inset Formula $\overline{i}_{\alpha,\beta}$
 \end_inset
 
 .
- Druhý regulátor by pak na základě rovnic pro vývoj proudů a referenčních
- hodnot proudů 
+ Druhý regulátor pak na základě rovnic pro vývoj proudů a referenčních hodnot
+ proudů 
 \begin_inset Formula $\overline{i}_{\alpha,\beta}$
 \end_inset
 
- nalezl řízení 
+ nalezl vlastní řízení 
 \begin_inset Formula $u_{\alpha,\beta}$
 \end_inset
@@ -7732 +8184 @@
 
 \begin_layout Standard
-Protože ve funkci 
+Jak bylo zmíněno, ve funkci 
 \begin_inset Formula $f\left(x_{t},y_{t}\right)$
 \end_inset
 
- v rovnicích (
-\begin_inset CommandInset ref
-LatexCommand ref
-reference "eq:systemrovnice-reduk"
-
-\end_inset
-
-) a (
-\begin_inset CommandInset ref
-LatexCommand ref
-reference "eq:systemsf-reduk"
+ dané druhými dvěma rovnicemi (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:diskretni-system-albe-ls"
 
 \end_inset
@@ -7801 +8246 @@
 \end_inset
 
- pak položíme rovnou první maticí první, lineární, části systému
+ pak položíme rovnou první , lineární, části systému
 \begin_inset Formula 
 \[
@@ -7853 +8298 @@
 \end_inset
 
- viz (
-\begin_inset CommandInset ref
-LatexCommand ref
-reference "eq:systemsf-reduk"
+ dané prvními dvěma rovnicemi (
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "eq:diskretni-system-albe-ls"
 
 \end_inset
@@ -7896 +8341 @@
 
 \begin_layout Subsection
-Rozšíření pro penalizaci přírůstků napětí
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Když chceme přidat ještě omezení na velikost změny vstupů 
-\begin_inset Formula $\left|u_{t+1}-u_{t}\right|$
-\end_inset
-
- což může v některých případech vylepšit chování LQG algoritmu, lze tak
- učinit přidáním dalšího členu do ztrátové funkce.
- Tento člen budeme volit opět kvadratický a to ve tvaru 
-\begin_inset Formula $\left(u_{t}-u_{t-1}\right)^{T}S_{t}\left(u_{t}-u_{t-1}\right)$
-\end_inset
-
-.
- Penalizační matice 
-\begin_inset Formula $S_{t}$
-\end_inset
-
- budem opět, jako matice 
-\begin_inset Formula $R_{t}$
-\end_inset
-
-, nalezena experimentálně.
- Takovýto člen ale ve standartní ztrátové funkci LQ řízení nevystupuje a
- jeho přidání již není tak snadné.
- Při implementaci takto modifikovaného algoritmu bylo užito návrhu LQ řízení,
- založeného na maticovém QR rozkladu.
-\end_layout
-
-\begin_layout Subsubsection
-Rozdíl v souřadných soustavách
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-PMSM se ztrátovou funkcí penalizující přírůstky řízení ve tvaru
-\begin_inset Formula 
-\[
-\sum_{t=0}^{T-1}\left(\left(x_{t}-\overline{x}_{t}\right)^{T}Q\left(x_{t}-\overline{x}_{t}\right)+u_{t}^{T}Ru_{t}+\left(u_{t}-u_{t-1}\right)^{T}S\left(u_{t}-u_{t-1}\right)\right)
-\]
-
-\end_inset
-
-respektive se z ní výcházející ztrátovou funkcí pro návrh využívající hyperstav
- (tj.
- navíc penalizace 
-\begin_inset Formula $P_{\omega}$
-\end_inset
-
-).
- Uvažované řízení 
-\begin_inset Formula $u_{t}$
-\end_inset
-
- jsou v osách 
-\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
-\end_inset
-
- a penalizační matice jsou 
-\begin_inset Formula 
-\[
-R=diag(r,r)
-\]
-
-\end_inset
-
-
-\begin_inset Formula 
-\[
-S=diag(rd,rd)
-\]
-
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-V osách 
+LQ regulátor v 
 \begin_inset Formula $d-q$
 \end_inset
 
- je ztrátová funkce je formálně shodná s tím rozdílem, že matice 
-\begin_inset Formula $R$
-\end_inset
-
- a 
-\begin_inset Formula $S$
-\end_inset
-
- závisejí na čase a vyjadřují penalizaci v osách 
-\begin_inset Formula $d-q$
-\end_inset
-
- a hodnota diagonálních prvků je různá.
- Tedy
-\begin_inset Formula 
-\[
-R^{dq}=diag(r_{d},r_{q})
-\]
-
-\end_inset
-
-a následně pak
-\begin_inset Formula 
-\[
-R_{t}^{\alpha\beta}=\left[\begin{array}{cc}
-\cos\vartheta_{t} & -\sin\vartheta_{t}\\
-\sin\vartheta_{t} & \cos\vartheta_{t}
-\end{array}\right]R^{dq}\left[\begin{array}{cc}
-\cos\vartheta_{t} & \sin\vartheta_{t}\\
--\sin\vartheta_{t} & \cos\vartheta_{t}
-\end{array}\right]
-\]
-
-\end_inset
-
-kde se jako úhel 
-\begin_inset Formula $\vartheta_{t}$
-\end_inset
-
- použije jeho odhad v čase 
-\begin_inset Formula $t$
-\end_inset
-
-.
- Analogický vztah platí pro penalizaci přírůstků (matice 
-\begin_inset Formula $S^{dq}$
-\end_inset
-
- a 
-\begin_inset Formula $S_{t}^{\alpha\beta}$
-\end_inset
-
-).
- 
-\end_layout
-
-\begin_layout Subsection
-LQ řízení v 
-\begin_inset Formula $d-q$
-\end_inset
-
- 
+ souřadné soustavě 
 \end_layout