#LyX 2.0 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 413
\begin_document
\begin_header
\textclass scrreprt
\use_default_options true
\maintain_unincluded_children false
\language czech
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman default
\font_sans default
\font_typewriter default
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100
\font_tt_scale 100

\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_amsmath 1
\use_esint 1
\use_mhchem 1
\use_mathdots 1
\cite_engine basic
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\use_refstyle 1
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 2
\tocdepth 2
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\quotes_language german
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Title
LQG s hyperstavem
\end_layout

\begin_layout Section
Systém
\end_layout

\begin_layout Standard
Jako systémem uvažujeme PMSM a předpokládáme jeho popis pomocí následujících
 diskrétních rovnic:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
i_{\alpha,t+1} & = & ai_{\alpha,t}+b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t}\nonumber \\
i_{\beta,t+1} & = & ai_{\beta,t}-b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t}\label{eq:system}\\
\omega_{t+1} & = & d\omega_{t}+e\left(i_{b,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)\nonumber \\
\vartheta_{t+1} & = & \vartheta_{t}+\Delta t\omega_{t}\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $i_{\alpha\beta}$
\end_inset

 představují proudy v osách 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $u_{\alpha\beta}$
\end_inset

 napětí v jednotlivých osách, 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 je hodnota otáček a 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 je poloha (úhel natočení).
 Konstantní na čase nezávislé parametry 
\begin_inset Formula $a,b,c,d,e$
\end_inset

 předpokládáme známé, 
\begin_inset Formula $\Delta t$
\end_inset

 je diskterizační časový krok a dolní indexy 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $t+1$
\end_inset

 představují diskrétní čas.
\end_layout

\begin_layout Standard
Definujme stav systému v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 jako 
\begin_inset Formula 
\[
x_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T}
\]

\end_inset

dále řízení v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 jako 
\begin_inset Formula 
\[
u_{t}=\left(u_{\alpha,t},u_{\beta,t}\right)^{T}
\]

\end_inset

a výstup (měření) v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 jako
\begin_inset Formula 
\[
y_{t}=\left(y_{\alpha,t},y_{\beta,t}\right)^{T}
\]

\end_inset

příčemž význam použítých symbolů vychází z rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:system"

\end_inset

).
 Když dále uvažujeme aditivní bílý gaussovský šum, získáme zápis systému
 ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
x_{t+1} & = & f(x_{t},u_{t})+v_{t}\nonumber \\
y_{t} & = & h(x_{t})+w_{t}\label{eq:systemrovnice}
\end{eqnarray}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $v_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $w_{t}$
\end_inset

 představují náhodné veličiny s normálním rozdělením s nulovou střední hodnotou
 a kovariančními maticemi 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 v tomto pořadí a funkce 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 jsou definovány následovně:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
f(x_{t},u_{t}) & = & \left(\begin{array}{c}
ai_{\alpha,t}+b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t}\\
ai_{\beta,t}-b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t}\\
d\omega_{t}+e\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)\\
\vartheta_{t}+\Delta t\omega_{t}
\end{array}\right)\nonumber \\
h(x_{t}) & = & \left(\begin{array}{c}
i_{\alpha,t}\\
i_{\beta,t}
\end{array}\right)\label{eq:systemsf}
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Redukovaný model
\end_layout

\begin_layout Standard
Z úsporných důvodů může být někdy výhodnější namísto popisu systému uvedeného
 výše (dále budeme označovat jako 
\emph on
plný model
\emph default
), který vychází z rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:systemrovnice"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:systemsf"

\end_inset

) použít jeho redukovanou verzi v následujícím tvaru:
\end_layout

\begin_layout Standard
Vektor stavu 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 bude mít jen dvě složky
\begin_inset Formula 
\[
x_{t}=\left(\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T}
\]

\end_inset

a pro výstup (měření) 
\begin_inset Formula $y_{t}$
\end_inset

 využijeme toho, že proudy přímo měříme (i když ne zcela přesně) 
\begin_inset Formula 
\[
y_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t}\right)^{T}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Rovnice systému (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:systemrovnice"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:systemsf"

\end_inset

) pak zapíšeme ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
x_{t+1} & = & f(x_{t},y_{t})+\overline{v}_{t}\nonumber \\
y_{t} & = & h(x_{t},y_{t},u_{t})+\overline{w}_{t}\label{eq:systemrovnice-reduk}
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
f(x_{t},y_{t}) & = & \left(\begin{array}{c}
d\omega_{t}+e\left(i_{b,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)\\
\vartheta_{t}+\Delta t\omega_{t}
\end{array}\right)\nonumber \\
h(x_{t},y_{t},u_{t}) & = & \left(\begin{array}{c}
ai_{\alpha,t}+b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t}\\
ai_{\beta,t}-b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t}
\end{array}\right)\label{eq:systemsf-reduk}
\end{eqnarray}

\end_inset

dále je pak třeba upravit kovarianční matice šumu 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

.
 Matici 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 je nutno předpokládat v blokově diagonálním tvaru
\begin_inset Formula 
\[
V=\left[\begin{array}{cc}
V_{1} & 0\\
0 & V_{2}
\end{array}\right]
\]

\end_inset

a jako nové kovarianční matice označíme 
\begin_inset Formula $\overline{V}=V_{2}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\overline{W}=V_{1}+W$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
EKF
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:EKF-popis"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Rozšířený Kalmanův filter (EKF) nahrazuje skutečný nelineární systém (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:systemrovnice"

\end_inset

 a 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:systemsf"

\end_inset

 případně 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:systemrovnice-reduk"

\end_inset

 a 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:systemsf-reduk"

\end_inset

 pro redukovaný model) lineárním
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
x_{t+1} & = & A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}+\tilde{v}_{t}\nonumber \\
y_{t} & = & C_{t}x_{t}+\tilde{w}_{t}\label{eq:linearizovany-system}
\end{eqnarray}

\end_inset

kde do šumů 
\begin_inset Formula $\tilde{v}_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\tilde{w}_{t}$
\end_inset

 je možno zahrnout nepřesnosti linearizece tím, že se zvětší jejich kovariance
 oproti původním 
\begin_inset Formula $v_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $w_{t}$
\end_inset

 respektive 
\begin_inset Formula $\overline{v}_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\overline{w}_{t}$
\end_inset

 v případě redukovaného modelu.
 Ostatní označení odpovídá nelineárním rovnicím PMSM (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:systemrovnice"

\end_inset

 a 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:systemsf"

\end_inset

 případně 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:systemrovnice-reduk"

\end_inset

 a 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:systemsf-reduk"

\end_inset

) s tím, že matice 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 vzniknou linearizací jako
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
A_{t} & = & \frac{\partial f(x_{t},u_{t})}{\partial x_{t}}\\
B_{t} & = & \frac{\partial f(x_{t},u_{t})}{\partial u_{t}}\\
C_{t} & = & \frac{\partial h(x_{t})}{\partial x_{t}}
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Matice derivací
\end_layout

\begin_layout Standard
Konkrétně pro PMSM s funkcemi 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 danými vztahem (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:systemsf"

\end_inset

) jsou matice 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 následující:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
A_{t} & = & \left[\begin{array}{cccc}
a & 0 & b\sin\vartheta_{t} & b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}\\
0 & a & -b\cos\vartheta_{t} & b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}\\
-e\sin\vartheta_{t} & e\cos\vartheta_{t} & d & -e\left(i_{\beta,t}\sin\vartheta_{t}+i_{\alpha,t}\cos\vartheta_{t}\right)\\
0 & 0 & \Delta t & 1
\end{array}\right]\nonumber \\
B & = & \left[\begin{array}{cc}
c & 0\\
0 & c\\
0 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right]\label{eq:matice-ekf-plny-stav}\\
C & = & \left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{array}\right]\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pro redukovaný model jsou matice 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
A_{t} & = & \left[\begin{array}{cc}
d & -e\left(i_{\beta,t}\sin\vartheta_{t}+i_{\alpha,t}\cos\vartheta_{t}\right)\\
\Delta t & 1
\end{array}\right]\nonumber \\
C_{t} & = & \left[\begin{array}{cc}
b\sin\vartheta_{t} & b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}\\
-b\cos\vartheta_{t} & b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}
\end{array}\right]\label{eq:matice-ekf-red-stav}
\end{eqnarray}

\end_inset

Matice 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 pro redukovaný model uvedena není, protože pro samotný výpočet EKF není
 třeba a problematika lineárně kvadratického řízení pro redukovaný model
 bude rozebrána dále, viz část (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:LQ-řízení-pro-red-model"

\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Rovnice EKF
\end_layout

\begin_layout Standard
Následně lze užít algoritmu formálně shodného s klasickým Kalmanovým filtrem,
 kde místo lineárního systému je užit systém linearizovaný:
\end_layout

\begin_layout Standard

\emph on
predikce 
\emph default
(time update)
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\overline{\hat{x}}_{t} & = & f\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1}\right)\label{eq:rovnice-ekf-timeupd}\\
\overline{P}_{t} & = & A_{t-1}P_{t-1}A_{t-1}^{T}+V_{t-1}\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\emph on
korekce
\emph default
 (data update)
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
S_{t} & = & C_{t}\overline{P}_{t}C_{t}^{T}+W_{t}\nonumber \\
K_{t} & = & \overline{P}_{t}C_{t}^{T}S_{t}^{-1}\nonumber \\
P_{t} & \text{=} & \left(I-K_{t}C_{t}\right)\overline{P}_{t}\label{eq:rovnice-ekf-dataupd}\\
\hat{y}_{t} & = & y_{t}-h(\overline{\hat{x}}_{t})\nonumber \\
\hat{x}_{t} & = & \overline{\hat{x}}_{t}+K_{t}\hat{y}_{t}\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Lineárně kvadratické řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Tento algoritmus opět předpokládá lineární systém, kterým PMSM není.
 Chceme opět získat systém ve tvaru (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:linearizovany-system"

\end_inset

) a je tedy nutné provést linearizaci.
 Nelze ale přímo použít matice získané v předchozí části (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:EKF-popis"

\end_inset

) zabývající se EKF.
 Zde je nutné vycházet z Taylorova rozvoje a zohlednit i případné konstantní
 členy.
 Obecně pro funkci 
\begin_inset Formula $f(x)$
\end_inset

 má rozvoj do prvního řádu v nějakém bodě 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 tvar
\begin_inset Formula 
\[
f\left(x\right)\cong f\left(x_{0}\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)
\]

\end_inset

kde parciální derivací 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 dle 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 je matice 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 z předchozí části (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:EKF-popis"

\end_inset

) o EKF vypočtená v bodě 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 a tedy
\begin_inset Formula 
\[
f\left(x\right)\cong Ax+\left(f\left(x_{0}\right)-Ax_{0}\right)=Ax+\gamma
\]

\end_inset

kde vektor 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

 představuje konstantní člen (nezávisí na 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

) a předchozí rovnice tedy není homogenní, jak bychom potřebovali jako výsledek
 linearizace (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:linearizovany-system"

\end_inset

).
 Proto tedy zvětšíme matici 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 o 1 (o jeden sloupec a řádek) a stejně tak zvětšíme i stav o 1 (přidáme
 konstantu) a předchozí rovnici získáme ve tvaru
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{c}
f\left(x\right)\\
1
\end{array}\right)\cong\overline{A}\left(\begin{array}{c}
x\\
1
\end{array}\right)
\]

\end_inset

kde
\begin_inset Formula 
\[
\overline{A}=\left[\begin{array}{cc}
A & \left(f\left(x_{0}\right)-Ax_{0}\right)\\
0 & 1
\end{array}\right]
\]

\end_inset

přičemž 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

 zde označuje nulový řádkový vektor vhodné velikosti.
 Tímto postupem lze již získat požadovaný lineární popis (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:linearizovany-system"

\end_inset

), který současně zohledňuje i konstantní členy.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Matice pro LQ 
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro případ plného stavu je matice 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

 dána vztahem (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:matice-ekf-plny-stav"

\end_inset

), kde jako hodnoty stavových veličin (složek vektoru 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

) použijeme hodnoty bodu 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

, ve kterém linearizujeme.
 Konstantní člen 
\begin_inset Formula $\gamma=f\left(x_{0}\right)-A_{t}x_{0}$
\end_inset

 tedy vypočteme jako
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\gamma & = & \left(\begin{array}{c}
-b\omega_{0}\vartheta_{0}\cos\vartheta_{0}\\
-b\omega_{0}\vartheta_{0}\sin\vartheta_{0}\\
e\vartheta_{0}\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right)\\
0
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde dolní index 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

 neznačí nulový čas, ale bod linearizace 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

.
 Matice 
\begin_inset Formula $\overline{A}_{t}$
\end_inset

 vypočtená v bodě 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 (složky 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 budou opět značeny dolním indexem 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

) pak je
\begin_inset Formula 
\[
\left[\begin{array}{ccccc}
a & 0 & b\sin\vartheta_{0} & b\omega_{0}\cos\vartheta_{0} & -b\omega_{0}\vartheta_{0}\cos\vartheta_{0}\\
0 & a & -b\cos\vartheta_{0} & b\omega_{0}\sin\vartheta_{0} & -b\omega_{0}\vartheta_{0}\sin\vartheta_{0}\\
-e\sin\vartheta_{0} & e\cos\vartheta_{0} & d & -e\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right) & e\vartheta_{0}\left(i_{b,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right)\\
0 & 0 & \Delta t & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Matici 
\begin_inset Formula $B_{t}$
\end_inset

 derivací 
\begin_inset Formula $f(x_{t},u_{t})$
\end_inset

 dle vstupů 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

 lze volit konstantní a časově nezávislou ve tvaru (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:matice-ekf-plny-stav"

\end_inset

), protože funkce 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 je ve vstupech 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 lineární.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Ztrátová funkce
\end_layout

\begin_layout Standard
Protože chceme využít lineárně kvadratického algoritmu, je třeba formulovat
 ztrátovou funkci jako aditivní a kvadratickou, obecně ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\mathrm{E}\left\{ x_{T}^{T}Q_{T}x_{T}+\sum_{t=0}^{T-1}\left(x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}\right)\right\} \label{eq:lq-kvadraticka-ztrata}
\end{equation}

\end_inset

kde
\begin_inset Formula $\mathbf{E}$
\end_inset

 značí očekávanou hodnotu, 
\begin_inset Formula $Q_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset

 jsou penalizační matice stavu systému (splnění požadavků řízení) a penalizace
 vstupů.
\end_layout

\begin_layout Standard
Hlavním požadavkem na systém je dosažení požadované hodnoty otáček 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$
\end_inset

 v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

.
 Výše navržená ztráta (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:lq-kvadraticka-ztrata"

\end_inset

) však vede na řízení pouze na nulovou hodnotu odpovídající 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset

, pro řízení na nenulové požadované otáčky je třeba modifikovat stav systému
 a zavést substituci 
\begin_inset Formula 
\[
\psi_{t}=\omega_{t}-\overline{\omega}_{t}
\]

\end_inset

a veličinu 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 pak již řídíme na nulovou hodnotu.
 Tuto substituci, která závisí na parametru 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset

, je třeba zanést do všech rovnic.
 Ve stavu systému veličina 
\begin_inset Formula $\psi_{t}$
\end_inset

 nahradí veličinu 
\begin_inset Formula $\omega_{t}$
\end_inset

.
 Dále je třeba zahrnout i všechny konstantní členy, které v důsledku substituce
 vzniknou.
\end_layout

\begin_layout Standard
Penalizační matici stavu systému v (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:lq-kvadraticka-ztrata"

\end_inset

) budeme uvažovat nezávislou na čase 
\begin_inset Formula $Q_{t}=Q$
\end_inset

 pro všechna 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 a ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
Q=\left[\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & q & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]\label{eq:matice-Q-lq}
\end{equation}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 je pevně zvolená konstanta a matice 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 má již rozměr 5x5, protože byl stav rozšířen o konstantní člen v důsledku
 linearizace.
 Koncovou matici 
\begin_inset Formula $Q_{T}$
\end_inset

 budeme uvažovat nulovou.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dalším požadavkem je omezení na napětí -- vstupy do systému, vyjádřené pomocí
 maximálního napětí 
\begin_inset Formula $U_{max}$
\end_inset

, které je schopen poskytnout napájecí zdroj.
 Toto omezení můžeme zasat jako 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left\Vert u_{t}\right\Vert \leq U_{max}\label{eq:omezeni}
\end{equation}

\end_inset

případně jako omezení na každou složku vektoru 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

 zvlášť.
 Tento požadavek nelze přímo zapsat jako kvadratickou funkci a proto je
 třeba vhodně zvolit matici 
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset

 v (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:lq-kvadraticka-ztrata"

\end_inset

) aby dostatečně penalizovala příliš velké hodnoty řízení 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

 a dále počítat s tím, že při přesažení hodnoty 
\begin_inset Formula $U_{max}$
\end_inset

 dojde k ořezu.
 Penalizační matici řízení opět volíme nezávislou na čase, tj.
 
\begin_inset Formula $R_{t}=R$
\end_inset

 pro všechna 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

, a ve tvaru 
\begin_inset Formula 
\[
R=\left[\begin{array}{cc}
r & 0\\
0 & r
\end{array}\right]
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 je zvolená konstanta.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Substituované rovnice
\end_layout

\begin_layout Standard
V důsledku substituce 
\begin_inset Formula $\psi_{t}=\omega_{t}-\overline{\omega}_{t}$
\end_inset

 se rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:system"

\end_inset

) změní na
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
i_{\alpha,t+1} & = & ai_{\alpha,t}+b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t}\nonumber \\
i_{\beta,t+1} & = & ai_{\beta,t}-b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t}\label{eq:system-s-psi}\\
\psi_{t+1} & = & d\psi_{t}+e\left(i_{b,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)\nonumber \\
\vartheta_{t+1} & = & \vartheta_{t}+\Delta t\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

předpokládáme-li, že pro pro požadované otáčky 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset

 platí 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t+1}=d\overline{\omega}_{t}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Derivováním těchto rovnic dle nového stavu (substituovaného) 
\begin_inset Formula $\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\psi_{t},\vartheta_{t}\right)^{T}$
\end_inset

 získáme matici 
\begin_inset Formula 
\[
A_{t}=\left[\begin{array}{cccc}
a & 0 & b\sin\vartheta_{t} & b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\cos\vartheta_{t}\\
0 & a & -b\cos\vartheta_{t} & b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\sin\vartheta_{t}\\
-e\sin\vartheta_{t} & e\cos\vartheta_{t} & d & -e\left(i_{\beta,t}\sin\vartheta_{t}+i_{\alpha,t}\cos\vartheta_{t}\right)\\
0 & 0 & \Delta t & 1
\end{array}\right]
\]

\end_inset

která je hodnotově stejná s maticí 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

 získanou na základě původního nesubstituovaného stavu (tj.
 s 
\begin_inset Formula $x^{(3)}=\omega$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Standard
Konstantní člen 
\begin_inset Formula $\gamma=f\left(x_{0}\right)-A_{t}x_{0}$
\end_inset

 je však již jiný a závisí na hodnotě 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$
\end_inset

, která do něj vstupuje jako časově proměnný parametr.
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\gamma_{\overline{\omega}_{t}} & = & \left(\begin{array}{c}
-b\omega_{0}\vartheta_{0}\cos\vartheta_{0}+b\overline{\omega}_{t}\sin\vartheta_{0}\\
-b\omega_{0}\vartheta_{0}\sin\vartheta_{0}-b\overline{\omega}_{t}\cos\vartheta_{0}\\
e\vartheta_{0}\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right)\\
\Delta t\overline{\omega}_{t}
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}

\end_inset

Výsledná matice 
\begin_inset Formula $\overline{A}_{t}$
\end_inset

 je pak ve tvaru
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\left[\begin{array}{ccccc}
a & 0 & b\sin\vartheta_{0} & b\omega_{0}\cos\vartheta_{0} & -b\omega_{0}\vartheta_{0}\cos\vartheta_{0}+b\overline{\omega}_{t}\sin\vartheta_{0}\\
0 & a & -b\cos\vartheta_{0} & b\omega_{0}\sin\vartheta_{0} & -b\omega_{0}\vartheta_{0}\sin\vartheta_{0}-b\overline{\omega}_{t}\cos\vartheta_{0}\\
-e\sin\vartheta_{0} & e\cos\vartheta_{0} & d & -e\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right) & e\vartheta_{0}\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right)\\
0 & 0 & \Delta t & 1 & \Delta t\overline{\omega}_{t}\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Bellmanova funkce
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:BellmanDP"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Cílem úlohy je minimalizovat ztrátovou funkci (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:lq-kvadraticka-ztrata"

\end_inset

).
 Klasickým postupem pro řešení této úlohy je užítí Bellmanovy funkce a algoritmu
 dynamického programování: 
\end_layout

\begin_layout Standard
V koncovém čase 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 položíme
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
V_{T}\left(x_{T}\right)=0\label{eq:bellVkonec}
\end{equation}

\end_inset

a dále počítáme zpět v čase
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
V_{t-1}\left(x_{t-1},u_{t-1}\right)=\min_{u_{t-1}}\mathrm{E}\left\{ x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \label{eq:bellVrek}
\end{equation}

\end_inset

pro 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 od 
\begin_inset Formula $T-1$
\end_inset

 do 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

, kde střední hodnota je podmíněna 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}_{t}$
\end_inset

, které reprezentuje současně dostupnou informaci o systému zahrnující všechna
 měření a řídící vstupy do času 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Uvažovanou kvadratickou ztrátu za jeden časový krok
\begin_inset Formula 
\[
x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}
\]

\end_inset

pří konkrétní volbě matice 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 ve tvaru (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:matice-Q-lq"

\end_inset

) přejde na
\begin_inset Formula 
\[
q\left(x_{t}^{(3)}-\overline{\omega}_{t}\right)+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}
\]

\end_inset

kde horní index v závorce značí složku vektoru.
 Pak je možno rovnici (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:bellVrek"

\end_inset

) dále zjednodušit
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
V_{t-1}\left(x_{t-1},u_{t-1}\right) & \text{=} & \min_{u_{t-1}}\mathrm{E}\left\{ x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \nonumber \\
 & = & \min_{u_{t-1}}\left(\mathrm{E}\left\{ q\left(x_{t}^{(3)}-\overline{\omega}_{t}\right)\right\} +\mathrm{E}\left\{ u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \right)\nonumber \\
 & \text{=} & \min_{u_{t-1}}\left(q\mathrm{E}\left\{ \left(x_{t}^{(3)}\right)^{2}+\overline{\omega}_{t}^{2}+2x_{t}^{(3)}\overline{\omega}_{t}\right\} +\mathrm{E}\left\{ u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \right)\label{eq:eq:bellman-sPome}\\
 & = & \min_{u_{t-1}}\left(q\left(\mathrm{E}\left\{ \left(x_{t}^{(3)}\right)^{2}\right\} +\mathrm{E}\left\{ \overline{\omega}_{t}^{2}\right\} +\mathrm{E}\left\{ 2x_{t}^{(3)}\overline{\omega}_{t}\right\} \right)+\mathrm{E}\left\{ u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \right)\nonumber \\
 & = & \min_{u_{t-1}}\left(q\left(\left(\hat{x}_{t}^{(3)}\right)^{2}+\mathrm{Var}\left(x_{t}^{(3)}\right)+\overline{\omega}_{t}^{2}+2\hat{x}_{t}^{(3)}\overline{\omega}_{t}\right)+\mathrm{E}\left\{ u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \right)\nonumber \\
 & = & \min_{u_{t-1}}\left(q\left(\hat{x}_{t}^{(3)}-\overline{\omega}_{t}\right)+q\mathrm{Var}\left(x_{t}^{(3)}\right)+\mathrm{E}\left\{ u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \right)\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\hat{x}$
\end_inset

 označuje střední hodnotu 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 a dále jsme využili toho, že 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$
\end_inset

 je daný parametr a tedy je pro výpočet střední hodnoty konstantou a vztahu
 
\begin_inset Formula $\mathrm{Var}\left(x\right)=\mathrm{E}\left\{ x^{2}\right\} -\left(\mathrm{E}\left\{ x\right\} \right)^{2}$
\end_inset

.
 Tedy ve výpočtu Bellmanovy funkce 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 v rovnici (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:bellVrek"

\end_inset

) můžeme náhodnou veličinu 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 nahradit její střední hodnotou 
\begin_inset Formula $\hat{x}_{t}$
\end_inset

, když navíc zahrneme do rovnice varianci třetí složky 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

, tj.
 varianci otáček stroje.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Výpočet lineárně kvadratického řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro samotný výpočet lineárně kvadratického řízení je užito následujících
 rovnic
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
K_{T} & = & Q_{T}\\
K_{t} & = & A_{t}^{T}\left(K_{t+1}-K_{t+1}B_{t}\left(B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}+R_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}\right)A_{t}+Q_{t}\\
L_{t} & = & -\left(B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}+R_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}A_{t}\\
u_{t} & = & L_{t}x_{t}
\end{eqnarray*}

\end_inset

Tyto rovnice by měly být napočítávány v čase zpět (od koncového času) až
 do aktuálního času.
 Protože ale systém vznikl linearizací v nějakém reprezentativním bodě,
 který se s vývojem systému mění, je třeba celý výpočet znovu provést v
 každém časovém kroku.
 Proto je výhodnější si výpočet usnadnit například využitím ubíhajícího
 horizontu.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Při výpočtu řízení 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

 pomocí matice 
\begin_inset Formula $L_{t}$
\end_inset

 je třeba dosadit za vektor 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 správné hodnoty, konkrétně v důsledku nenulové požadované hodnoty 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset

 za třetí složku vektoru 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 není dosazena hodnota 
\begin_inset Formula $\omega_{t}$
\end_inset

, ale substituovaná 
\begin_inset Formula $\psi_{t}=\omega_{t}-\overline{\omega}_{t}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Předchozí výpočet pomocí Riccatiho rovnice však není příliš vhodným z numerickýc
h důvodů (
\series bold
nějaká reference
\series default
).
 Místo něj pro praktické výpočty použijeme algoritmus lineárně kvadratického
 řízení založený na QR rozkladu (
\series bold
reference
\series default
).
 Tento algoritmus má lepší numerické vlastnosti, umožňuje snadnější výpočet
 maticové inverze (inverze pouze trojúhelníkové matice) a lze pomocí něj
 implementovat i složitější kvadratickou ztrátovou funkci (nejen dva členy
 pro penalizaci stavu a vstupů).
\end_layout

\begin_layout Standard
Postup je založen na přepisu kvadratické ztráty do tvaru
\begin_inset Formula 
\[
x_{t+1}^{T}Q_{t}x_{t+1}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}=x_{t+1}^{T}\sqrt{Q_{t}}^{T}\sqrt{Q_{t}}x_{t+1}+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t}
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\sqrt{}$
\end_inset

 je vhodná maticová odmocnina.
 A tedy v každém časovém kroku 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 minimalizujeme funkci
\begin_inset Formula 
\[
x_{t+1}^{T}\sqrt{Q_{t}}^{T}\sqrt{Q_{t}}x_{t+1}+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t}+x_{t+1}^{T}\sqrt{S_{t}}^{T}\sqrt{S_{t}}x_{t+1}
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $S_{t}$
\end_inset

 reprezentuje ztrátu v následujících časových krocích až do konce časového
 horizontu.
 Do tohoto kvadratického výrazu je možno dostadit model vývoje pro 
\begin_inset Formula $x_{t+1}=A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\left(Ax_{t}+B_{t}u_{t}\right)^{T}\sqrt{Q_{t}}\sqrt{Q_{t}}\left(Ax_{t}+B_{t}u_{t}\right)+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t}+\left(Ax_{t}+B_{t}u_{t}\right)^{T}\sqrt{S_{t}}^{T}\sqrt{S_{t}}\left(Ax_{t}+B_{t}u_{t}\right)
\]

\end_inset

a následně jej zapsat maticově ve tvaru
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}\left[\begin{array}{cc}
\sqrt{Q_{t}}B_{t} & \sqrt{Q_{t}}A_{t}\\
\sqrt{R_{t}} & 0\\
\sqrt{S_{t}}B_{t} & \sqrt{S_{t}}A_{t}
\end{array}\right]^{T}\underset{Z}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}
\sqrt{Q_{t}}B_{t} & \sqrt{Q_{t}}A_{t}\\
\sqrt{R_{t}} & 0\\
\sqrt{S_{t}}B_{t} & \sqrt{S_{t}}A_{t}
\end{array}\right]}}\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)
\]

\end_inset

na matici 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 následně aplikujeme QR rozklad, to jest 
\begin_inset Formula $Z=Q_{Z}R_{Z}$
\end_inset

 a předchozí vztah upravíme na tvar
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}Z^{T}Z\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}Q_{Z}^{T}Q_{Z}R_{Z}\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}R_{Z}\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)
\]

\end_inset

Matice 
\begin_inset Formula $R_{Z}$
\end_inset

 je v horním trojúhelníkovém tvaru, tedy blokově zapsáno
\begin_inset Formula 
\[
R_{Z}=\left[\begin{array}{cc}
R_{uu} & R_{ux}\\
0 & R_{xx}
\end{array}\right]
\]

\end_inset

Ztrátu nyní můžeme zapsat jako
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}R_{Z}\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right) & = & \left(\begin{array}{c}
R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\\
R_{xx}x_{t}
\end{array}\right)^{T}\left(\begin{array}{c}
R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\\
R_{xx}x_{t}
\end{array}\right)\\
 & = & \left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)^{T}\left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)+x_{t}^{T}R_{xx}^{T}R_{xx}x_{t}
\end{eqnarray*}

\end_inset

kterou, vzhledem k její kvadratičnosti a nezávislosti druhého členu na 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

, zřejmě minimalizujeme volbou 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

 takovou, že 
\begin_inset Formula $\left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)=0$
\end_inset

 a tedy volíme 
\begin_inset Formula 
\[
u_{t}=-R_{uu}^{-1}R_{ux}x_{t}
\]

\end_inset

Matici 
\begin_inset Formula $R_{xx}^{T}R_{xx}$
\end_inset

 pak použijeme do předchozího časového kroku jako novou matici 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
LQ řízení pro redukovaný model
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:LQ-řízení-pro-red-model"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pro redukovaný systém samozřejmě platí vše uvedené v předchozím odstavci,
 řízení je ale komplikovanější, protože ve funkci popisující vývoj systému
 explicitně nevystupuje řízení 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

.
 Je tedy třeba vhodným způsobem tento problém vyřešit.
 Jednou z možností je zřetězení dvou LQ regulátory.
 V prvním kroku považovat za řízení proudy 
\begin_inset Formula $i_{\alpha,\beta}$
\end_inset

 a tedy tento první regulátor by na výstupu generoval požadované proudy
 
\begin_inset Formula $\overline{i}_{\alpha,\beta}$
\end_inset

.
 Druhý regulátor by pak na základě rovnic pro vývoj proudů a referenčních
 hodnot proudů 
\begin_inset Formula $\overline{i}_{\alpha,\beta}$
\end_inset

 nalezl řízení 
\begin_inset Formula $u_{\alpha,\beta}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Matice pro redukovaný model
\end_layout

\begin_layout Standard
Protože ve funkci 
\begin_inset Formula $f\left(x_{t},y_{t}\right)$
\end_inset

 v rovnicích (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:systemrovnice-reduk"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:systemsf-reduk"

\end_inset

) explicitně nevystupuje řízení 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

, je třeba zvolit trochu odlišný přístup, než pro plný model.
 Řízení budeme navrhovat ve dvou krocích.
 V prvním kroku budeme předpokládat, že vstupem jsou proudy 
\begin_inset Formula $i_{\alpha\beta}$
\end_inset

 a lineárně kvadratický algoritmus bude na svém výstupu produkovat požadované
 hodnoty těchto proudů 
\begin_inset Formula $\overline{i}_{\alpha\beta}$
\end_inset

.
 V dalším kroku druhý lineárně kvadratický algoritmus na základě požadovaných
 proudů 
\begin_inset Formula $\overline{i}_{\alpha\beta}$
\end_inset

 již navrhne hodnotu napětí 
\begin_inset Formula $u_{\alpha\beta}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dále provedeme ještě drobné zjednodušení a funkci 
\begin_inset Formula $f\left(x_{t},y_{t}\right)$
\end_inset

 rozdělíme na dvě části
\begin_inset Formula 
\[
f\left(x_{t},y_{t}\right)=\left(\begin{array}{c}
d\omega_{t}\\
\vartheta_{t}+\Delta t\omega_{t}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
e\left(i_{b,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)\\
0
\end{array}\right)
\]

\end_inset

Matici 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

 pak položíme rovnou první maticí první, lineární, části systému
\begin_inset Formula 
\[
A=\left[\begin{array}{cc}
d & 0\\
\Delta t & 1
\end{array}\right]
\]

\end_inset

a matici 
\begin_inset Formula $B_{t}$
\end_inset

 pak získáme linearizací druhé části jako
\begin_inset Formula 
\[
B_{t}=\left[\begin{array}{cc}
-e\sin\vartheta_{t} & e\cos\vartheta_{t}\\
0 & 0
\end{array}\right]
\]

\end_inset

Tento postup neodpovídá přesně postupu odvození derivací užitému pro plný
 stav.
 Jeho výhodou však je, že již není třeba přidávat konstantní členy jako
 důsledek linearizace.
 Snadněji se také zahrne požadavek na nenulovou referenční hodnotu 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset

.
 Následně je užito lineárně kvadratického algoritmu s výše popsanými maticemi.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ve druhém kroku pak na základě referenčních hodnot proudů 
\begin_inset Formula $\overline{i}_{\alpha\beta}$
\end_inset

 nalezneme požadované řízení 
\begin_inset Formula $u_{\alpha\beta}$
\end_inset

.
 Využijeme k tomu rovnic pro funkci 
\begin_inset Formula $h(x_{t},y_{t},u_{t})$
\end_inset

 viz (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:systemsf-reduk"

\end_inset

)
\begin_inset Formula 
\[
h(x_{t},y_{t},u_{t})=\left(\begin{array}{c}
ai_{\alpha,t}+b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t}\\
ai_{\beta,t}-b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t}
\end{array}\right)
\]

\end_inset

které jsou v proudech 
\begin_inset Formula $i_{\alpha\beta}$
\end_inset

 i napětích 
\begin_inset Formula $u_{\alpha\beta}$
\end_inset

 lineární a lze opět použít lineárně kvadratický algoritmus.
 Členy 
\begin_inset Formula $\pm b\omega_{t}\begin{array}{c}
\sin\\
\cos
\end{array}\vartheta_{t}$
\end_inset

 zde pak vystupují jako konstanty a projeví se jako korekce vynásobená konstanto
u 
\begin_inset Formula $\frac{1}{c}$
\end_inset

 odečtená od výsledku.
\end_layout

\begin_layout Section
LQG s hyperstavem
\end_layout

\begin_layout Standard
Následující postup s hyperstavem vychází s článku (Kim2006) [Stochastic
 Feedback Controller Design Considering the Dual Effect, Kim J., Rock S.
 M., 2006].
 V tomto článku je však narozdíl od následujícího postupu používán spojitý
 čas.
\end_layout

\begin_layout Standard
Jedná se o analogii s LQG v předchozí části, s tím rozdílem, že použijem
 EKF algoritmus v jistém smyslu jakoby dvakrát.
 Protože tímto přístupem již značně narůstá dimenzionalita úlohy je z výpočetníc
h důvodů výhodnější užití redukovaného modelu, i přes komplikace, které
 způsobuje při řízení.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Hyperstav
\end_layout

\begin_layout Standard
Vyjdeme z redukovaného stavu 
\begin_inset Formula 
\[
x_{t}=\left(\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T}
\]

\end_inset

a na něj formálně aplikujeme EKF.
 Tím získáme, kromě odhadu stavu 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 i odhad jeho variance v podobě matice
\begin_inset Formula 
\[
P=\left[\begin{array}{cc}
P_{\omega} & P_{\omega\vartheta}\\
P_{\omega\vartheta} & P_{\vartheta}
\end{array}\right]
\]

\end_inset

a současně rovnice EKF (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-ekf-timeupd"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-ekf-dataupd"

\end_inset

) představují předpis pro výpočet 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

: 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\overline{P} & = & APA^{T}+V\nonumber \\
S & = & C\overline{P}C^{T}+W\nonumber \\
K & = & \overline{P}C^{T}S^{-1}\label{eq:ekf-stav}\\
P^{+} & \text{=} & \left(I-KC\right)\overline{P}\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

kde jsou z důvodu jednoduššího zápisu vynechány časové indexy 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 a místo nic je užit horní index 
\begin_inset Formula $+$
\end_inset

 pro hodnotu v následujícím čase 
\begin_inset Formula $t+1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní definujeme 
\emph on
hyperstav
\emph default
 
\begin_inset Formula $\xi_{t}$
\end_inset

 v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 jako
\begin_inset Formula 
\[
\xi_{t}=\left(\omega_{t},\vartheta_{t},P_{\omega},P_{\omega\vartheta},P_{\vartheta}\right)^{T}
\]

\end_inset

Na hyperstav již aplikujeme algoritmus pro LQG, jak byl popsán v předchozí
 části.
 Problém však představuje nalezení matice derivací 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, protože je třeba derivovat maticové rovnice pro výpočet EKF (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:ekf-stav"

\end_inset

) pro stavu 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

.
 Jedním ze způsobů jak je to možné provést je derivovat každou z rovnic
 (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:ekf-stav"

\end_inset

) dle jednotlivých složek vektoru 
\begin_inset Formula $\xi$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{\partial\overline{P}}{\partial\xi_{i}} & = & \frac{\partial A}{\partial\xi_{i}}PA^{T}+A\frac{\partial P}{\partial\xi_{i}}A^{T}+AP\frac{\partial A^{T}}{\partial\xi_{i}}\nonumber \\
\frac{\partial S}{\partial\xi_{i}} & = & \frac{\partial C}{\partial\xi_{i}}\overline{P}C^{T}+C\frac{\partial\overline{P}}{\partial\xi_{i}}C^{T}+C\overline{P}\frac{\partial C^{T}}{\partial\xi_{i}}\nonumber \\
\frac{\partial K}{\partial\xi_{i}} & = & \frac{\partial\overline{P}}{\partial\xi_{i}}C^{T}S^{-1}+\overline{P}\frac{\partial C^{T}}{\partial\xi_{i}}S^{-1}-\overline{P}C^{T}S^{-1}\frac{\partial S}{\partial\xi_{i}}S^{-1}\label{eq:ekf-stav-derivace}\\
\frac{\partial P^{+}}{\partial\xi_{i}} & \text{=} & \frac{\partial\overline{P}}{\partial\xi_{i}}-\frac{\partial K}{\partial\xi_{i}}C\overline{P}-K\frac{\partial C}{\partial\xi_{i}}\overline{P}-KC\frac{\partial\overline{P}}{\partial\xi_{i}}\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\frac{\partial}{\partial\xi_{i}}$
\end_inset

 představuje zápis derivace dle 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

-té složky vektoru 
\begin_inset Formula $\xi$
\end_inset

 a matice 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 uvažujeme jako konstanty v 
\begin_inset Formula $\xi$
\end_inset

.
 Matice linearizovaného vývoje hyperstavu 
\begin_inset Formula $A_{hyp}$
\end_inset

 bude mít nyní blokový tvar
\begin_inset Formula 
\[
A_{hyp}=\left[\begin{array}{ccccc}
A_{1} & A_{2} & 0 & 0 & 0\\
\left(\frac{\partial P^{+}}{\partial\omega}\right)^{sl} & \left(\frac{\partial P^{+}}{\partial\vartheta}\right)^{sl} & \left(\frac{\partial P^{+}}{\partial P_{\omega}}\right)^{sl} & \left(\frac{\partial P^{+}}{\partial P_{\omega\vartheta}}\right)^{sl} & \left(\frac{\partial P^{+}}{\partial P_{\vartheta}}\right)^{sl}
\end{array}\right]
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $A_{i}$
\end_inset

 představuje 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

-tý sloupec matice 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, zápis 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

 je sloupec nul vhodné délky a parciální derivace 
\begin_inset Formula $P^{+}$
\end_inset

 dle složky 
\begin_inset Formula $\xi_{i}$
\end_inset

 v závorce s horním indexem 
\emph on
sl
\emph default
 
\begin_inset Formula $\left(\frac{\partial P^{+}}{\partial\xi_{i}}\right)^{sl}$
\end_inset

 je myšlena v tom smyslu, že po vypočtení příslušné derivace 
\begin_inset Formula $\frac{\partial P^{+}}{\partial\xi_{i}}$
\end_inset

 z rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:ekf-stav-derivace"

\end_inset

) jsou z této matice vybrány 3 z jejích 4 prvků tvořící horní nebo dolní
 trojúhelník a zapísány je ve smyslu tvorby vektoru hyperstavu do sloupce:
\begin_inset Formula 
\[
\frac{\partial P^{+}}{\partial\xi_{i}}=\left[\begin{array}{cc}
\frac{\partial P_{\omega}^{+}}{\partial\xi_{i}} & \frac{\partial P_{\omega\vartheta}^{+}}{\partial\xi_{i}}\\
\frac{\partial P_{\omega\vartheta}^{+}}{\partial\xi_{i}} & \frac{\partial P_{\vartheta}^{+}}{\partial\xi_{i}}
\end{array}\right]
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\left(\frac{\partial P^{+}}{\partial\xi_{i}}\right)^{sl}=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial P_{\omega}^{+}}{\partial\xi_{i}} & \frac{\partial P_{\omega\vartheta}^{+}}{\partial\xi_{i}} & \frac{\partial P_{\vartheta}^{+}}{\partial\xi_{i}}\end{array}\right)^{T}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Matici 
\begin_inset Formula $A_{hyp}$
\end_inset

 vzniklou předchozím postupem již můžeme použít v algoritmu EKF pro hyperstav.
 Jako matici pozorování 
\begin_inset Formula $C_{hyp}$
\end_inset

 použijeme původní matici 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 pouze doplněnou nulami na vhodný rozměr.
 Pro lineárně kvadratické řízení platí opět totéž, co pro jednoduché (tj.
 bez hyperstavu) a matici 
\begin_inset Formula $A_{hyp}$
\end_inset

 je tedy třeba rozšířit zahrnutím konstantních členů, dále je třeba ošetřit
 substitucí řízení na nenulové požadované otáčky 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Protože uvažujeme redukovaný model je třeba užít zřetězení dvou LQ regulátorů.
 Výhodou využití hyperstavu ale je, že máme k dispozici i odhady variancí
 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 původního stavu a tedy je možno zahrnout do kritéria například penalizaci
 
\begin_inset Formula $P_{\omega}$
\end_inset

, která vystupuje v Bellmanově funkci viz vzorec (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:eq:bellman-sPome"

\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Subsubsection*
Plný model
\end_layout

\begin_layout Standard
Analogicky lze postupovat i pro plný model, všechny odpovídající matice
 však budou podstatně větší, protože velikost hyperstavu narůstá řádově
 kvadraticky.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Tedy pro stav
\begin_inset Formula 
\[
x_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T}
\]

\end_inset

vypočteme z EKF kovarianční matici
\begin_inset Formula 
\[
P=\left[\begin{array}{cccc}
P_{5} & P_{6} & P_{8} & P_{11}\\
P_{6} & P_{7} & P_{9} & P_{12}\\
P_{8} & P_{9} & P_{10} & P_{13}\\
P_{11} & P_{12} & P_{13} & P_{14}
\end{array}\right]
\]

\end_inset

a definujeme 
\emph on
hyperstav
\emph default
 
\begin_inset Formula $\xi_{t}$
\end_inset

 v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 jako
\begin_inset Formula 
\[
\xi_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\omega_{t},\vartheta_{t},P_{5},P_{6},P_{7},P_{8},P_{9},P_{10},P_{11},P_{12},P_{13},P_{14}\right)^{T}
\]

\end_inset

Rovnice pro výpočet matice 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

, a tedy i jejích prvků 
\begin_inset Formula $P_{i}$
\end_inset

, jsou formálně shodné s rovnicemi pro redukovaný model, pouze rozměry vystupují
cích matic jsou větší.
 A matice 
\begin_inset Formula $A_{hyp}$
\end_inset

 je ve tvaru
\begin_inset Formula 
\[
A_{hyp}=\left[\begin{array}{c}
\begin{split}A\quad & \quad0\end{split}
\\
\left(\frac{\partial P^{+}}{\partial P_{i}}\right)_{i\in\left\{ 1\ldots14\right\} }^{sl}
\end{array}\right]
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Experimenty
\end_layout

\begin_layout Subsection*
Použité nastavení experimentů
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro simulování chování PMSM byly použity dva typy simulátorů.
 Prvním byla pouze jednoduchá implementace rovnic popisujících PMSM.
 Druhou testovanou možností bylo využití simulátoru PMSM (
\series bold
reference
\series default
).
\end_layout

\begin_layout Standard
Testování probíhalo na horizontu 120000 časových vzorků, což odpovídá 15
\emph on
s
\emph default
.
 Ve všech případech byly užity odhadovací a řídící algoritmy předpokládající
 stejnou indukčnost v osách 
\emph on
d
\emph default
 a 
\emph on
q
\emph default
.
 (
\emph on
pro různé indukčnosti jsou složitější rovnice, tedy mnohem složitější matice
 derivací a velmi těžko se napočítávají kompenzace v důsledku konstantních
 členů
\emph default
).
 Testování probíhalo na různých profilech požadovaných (referenčních) otáček:
\end_layout

\begin_layout Description
(
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

) nulové požadované otáčky pro všechna 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Description
(
\begin_inset Formula $\pm1$
\end_inset

) trojúhelníkové pulzy v rozmezí 
\begin_inset Formula $\pm1$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Description
(
\begin_inset Formula $\pm10$
\end_inset

) trojúhelníkové pulzy v rozmezí 
\begin_inset Formula $\pm10$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Description
(
\begin_inset Formula $\pm200$
\end_inset

) trojúhelníkové pulzy v rozmezí 
\begin_inset Formula $\pm200$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dále pak byl testován i vliv špatného počátečního odhadu polohy (úhlu natočení)
 
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Při použití simulátoru PMSM se velmi často vyskytovaly nedostatky způsobené
 úbytky napětí, proto byla testována i verze upraveného simulátoru, která
 se snažila úbytky kompenzovat.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Testovány byly celkem čtyři různé modely: redukovaný model s hyperstavem
 i bez něj a plný model s hyperstavem a bez něj.
\end_layout

\begin_layout Subsection*
Jednoduchý simulátor PMSM na základě rovnic
\end_layout

\begin_layout Standard
Průběhy otáček 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 pro simulace na jednoduchém simulátoru zachycují grafy na obrázcích (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig_grafym_ref0"

\end_inset

), (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig_grafym_ref1"

\end_inset

), (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig_grafym_ref10"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig_grafym_ref200"

\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="4" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/pm2r0s1.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/pm2r0s2.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
1 -- redukovaný model
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2 -- redukovaný model s hyperstavem
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/pm2r0s3.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/pm2r0s4.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3 -- plný model
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4 -- plný model s hyperstavem
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Průběhy otáček 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 pro simulace na jednoduchém simulátoru s nulovými požadovanými otáčkami
\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig_grafym_ref0"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="4" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/pm2r1s1.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/pm2r1s2.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
1 -- redukovaný model
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2 -- redukovaný model s hyperstavem
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/pm2r1s3.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/pm2r1s4.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3 -- plný model
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4 -- plný model s hyperstavem
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Průběhy otáček 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 pro simulace na jednoduchém simulátoru s profilem požadovaných otáček 
\begin_inset Formula $\pm1$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig_grafym_ref1"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="4" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/pm2r10s1.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/pm2r10s2.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
1 -- redukovaný model
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2 -- redukovaný model s hyperstavem
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/pm2r10s3.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/pm2r10s4.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3 -- plný model
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4 -- plný model s hyperstavem
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Průběhy otáček 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 pro simulace na jednoduchém simulátoru s profilem požadovaných otáček 
\begin_inset Formula $\pm10$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig_grafym_ref10"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="4" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/pm2r200s1.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/pm2r200s2.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
1 -- redukovaný model
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2 -- redukovaný model s hyperstavem
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/pm2r200s3.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/pm2r200s4.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3 -- plný model
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4 -- plný model s hyperstavem
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Průběhy otáček 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 pro simulace na jednoduchém simulátoru s profilem požadovaných otáček 
\begin_inset Formula $\pm200$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig_grafym_ref200"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Následující tabulka shrnuje dosažené průměrné ztráty (z 10 běhů) pro jednotlivé
 modely a profily referenčních otáček na jednoduchém simulátoru.
 Jako ztráty jsou zde uvažovány pouze součty kvadrátů odchylek požadovaných
 a skutečných otáček.
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="5" columns="5">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
použitý model 
\backslash
 požadované otáčky
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\pm1$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\pm10$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\pm200$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
1 -- redukovaný model
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2611
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2731
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
28640
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
10815000
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2 -- redukovaný model s hyperstavem
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2377
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2480
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3070
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
439740
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3 -- plný model
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3579
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3163
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4268
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
11168
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4 -- plný model s hyperstavem
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3240
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3797
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3389
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
61902
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Z této tabulky je patrné, že pro redukovaný model dosahuje verze s hyperstavem
 nižší ztráty, což je více patrné zvláště při vyšších otáčkách.
 Naproti tomu nelze říci, že by verze s hyperstavem byla lepší pro plný
 model.
 Výhoda užití hyperstavu se však projeví, když máme špatný počáteční odhad
 polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}$
\end_inset

.
 Uvažujme tedy počáteční odhad 
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}=1,5$
\end_inset

, zatímco skutečná poloha je 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

 (hodnota 
\begin_inset Formula $1,5$
\end_inset

 je volena, protože je dostatečně daleko od 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

, ale ještě nedosahuje 
\begin_inset Formula $\frac{\pi}{2}$
\end_inset

, kdy hrozí nebezpečí otáčení na opačnou stranu).
 Na grafech obrázek (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig_grafym_pocth34"

\end_inset

) je možné pozorovat počátek běhu, při profilu požadovaných otáček 
\begin_inset Formula $\pm200$
\end_inset

, ze kterého je zřejmé lepší zvládnutí špatného počátečního odhadu polohy
 při užití hyperstavu.
 Průměrné ztráty pak jsou: 
\begin_inset Formula $1,1035\cdot10^{7}$
\end_inset

 pro plný model bez hyperstavu a 
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\strikeout off
\uuline off
\uwave off
\noun off
\color none
\lang english

\begin_inset Formula $4,4955\cdot10^{4}$
\end_inset


\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\strikeout default
\uuline default
\uwave default
\noun default
\color inherit
\lang czech
 pro plný model s hyperstavem.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/jinath0r200m3.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/jinath0r200m4.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3 -- plný model
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4 -- plný model s hyperstavem
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Průběhy otáček 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 pro simulace na jednoduchém simulátoru s profilem požadovaných otáček 
\begin_inset Formula $\pm200$
\end_inset

 a volbou počátečního odhadu 
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}=1,5$
\end_inset

 při skutečné hodnotě 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig_grafym_pocth34"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection*
Simulátor PMSM 
\end_layout

\begin_layout Standard
Výsledky ze simulátoru PMSM, který více odpovídá reálnému chování stroje,
 již dopadly hůře.
 Je tomu především z důvodu zahrnutí složitějších efektů do simulátoru,
 jako úbytky napětí a mrtvé časy.
 Pro nulové požadované otáčky při užití kompenzace úbytků napětí i bez ní
 je zdánlivě vše v pořádku, viz graf na obrázku (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:nicsenedej"

\end_inset

 a).
 Ovšem pro profil požadovaných otáček 
\begin_inset Formula $\pm1$
\end_inset

 s i bez kompenzace je výsledný průběh stejný, viz grafy na obrázku (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:nicsenedej"

\end_inset

 b).
 Tedy nic se neděje, i když požadavek je nenulový a tento výsledek je již
 špatný.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/nicnedela.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/nicnedelapm1.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
a) požadovaná hodnota 0
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
b) požadovaná hodnota profil 
\begin_inset Formula $\pm1$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:nicsenedej"

\end_inset

 Pruběh otáček 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 pro simulace na simulátoru PMSM s kompenzací úbytků napětí i bez ní pro
 nulové požadované otáčky a pro profil 
\begin_inset Formula $\pm1$
\end_inset

 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pro profil 
\begin_inset Formula $\pm10$
\end_inset

 otáčky nezůstávají nulové a dosahují požadovaných hodnot 
\begin_inset Formula $10$
\end_inset

 respektive 
\begin_inset Formula $-10$
\end_inset

, objevuje se zde však problém s průchody nulou, viz obrázek (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:spatnypruchod0"

\end_inset

 a).
 V případě užití kompenzace úbytků napětí se situace ještě zhorší, viz obrázek
 (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:spatnypruchod0"

\end_inset

 b).
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/spatnypruch0.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/spatnypruch0horsi.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
a) bez kompenzace úbytků
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
b) s kompenzací úbytků
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:spatnypruchod0"

\end_inset

 Pruběh otáček 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 pro simulace na simulátoru PMSM s kompenzací úbytků napětí i bez ní pro
 reprezentativní model (3 -- plný model bez hyperstavu)
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
V případě profilu požadovaných otáček 
\begin_inset Formula $\pm200$
\end_inset

 poskytuje simulátor PMSM lepší výsledky, je však důležité užít kompenzace
 úbytků napětí.
 Průběhy otáček 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 pro simulátor PMSM bez kompenzace úbytků je zobrazen na grafech obrázek
 (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig_grafy_pmsm200necp"

\end_inset

).
 Přínos kompenzace úbytků je pak patrný ze srovnání s grafy obrázek (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig_grafy_pmsm200scp"

\end_inset

).
 Srovnání dosažených ztrát shrnuje následující tabulka:
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="5" columns="3">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
použitý model 
\backslash
 kompenzace úbytků
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
s kompenzací
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
bez kompenzace
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
1 -- redukovaný model
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $9,84\cdot10^{8}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $8,54\cdot10^{6}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2 -- redukovaný model s hyperstavem
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $1,12\cdot10^{9}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $1,97\cdot10^{5}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3 -- plný model
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $7,98\cdot10^{7}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $2,82\cdot10^{5}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4 -- plný model s hyperstavem
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $4,92\cdot10^{9}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $9,45\cdot10^{5}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="4" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/sim200necp1.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/sim200necp2.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
1 -- redukovaný model
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2 -- redukovaný model s hyperstavem
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/sim200necp3.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/sim200necp4.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3 -- plný model
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4 -- plný model s hyperstavem
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Průběhy otáček 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 při užití simulátoru PMSM bez užití kompenzace úbytků napětí a s profilem
 požadovaných otáček 
\begin_inset Formula $\pm200$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig_grafy_pmsm200necp"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="4" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/sim200cp1.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/sim200cp2.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
1 -- redukovaný model
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2 -- redukovaný model s hyperstavem
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/sim200cp3.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename grafy/lqplots/sim200cp4.eps
	scale 40

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3 -- plný model
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4 -- plný model s hyperstavem
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Průběhy otáček 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 při užití simulátoru PMSM s užitím kompenzace úbytků napětí a s profilem
 požadovaných otáček 
\begin_inset Formula $\pm200$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig_grafy_pmsm200scp"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection*
Shrnutí
\end_layout

\begin_layout Itemize
kompenzace úbytků napětí se daří jen při vyšších otáčkách, při nižším moc
 nefunguje
\end_layout

\begin_layout Itemize
výhoda využití hyperstavu je především v přesnějším řízení pro redukovaný
 model a dále v lepším zvládnutí špatného počátečního odhadu 
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
proti špatným průchodům nulou při nízkých otáčkách zatím nic nepomáhá --
 ani hyperstav ani kompenzace
\end_layout

\end_body
\end_document
