#LyX 2.0 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 413
\begin_document
\begin_header
\textclass scrreprt
\begin_preamble
\usepackage[czech]{babel}
\end_preamble
\use_default_options true
\maintain_unincluded_children false
\language czech
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman default
\font_sans default
\font_typewriter default
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100
\font_tt_scale 100

\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_amsmath 1
\use_esint 1
\use_mhchem 1
\use_mathdots 1
\cite_engine basic
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\use_refstyle 1
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 2
\tocdepth 2
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\quotes_language german
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Chapter*
Úvod
\end_layout

\begin_layout Standard
Synchronní motory, a to především ty osazené permanentními magnety, jsou
 v poslední době stále více oblíbené pro řadu praktických aplikací.
 Hlavním nedostatkem pro jejich využití ale je, že za účelem jejich dobrého
 řízení je nutná znalost polohy hřídele.
 Tento problém byl zatím řešen převážně instalací mechanických senzorů,
 které však zvyšují rozměry, poruchovost, ale především cenu celého zařízení.
 Je tedy přirozené, že se objevily snahy o nalezení efektivního způsobu
 řízení bez potřeby těchto čidel.
\end_layout

\begin_layout Standard
V současné době již existuje pro bezsenzorové řízení synchroních strojů
 celá řada postupů a dokonce i pokusy o implementaci bezsenzorového řízení
 v praxi 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Holtz2006,Pacas2011,Yongdong2008"

\end_inset

.
 Hlavním problémem všech dostupných metod však je, že se povětšinou jedná
 o experimentálně nalezené postupy vyvinuté pro konkrétní účel bez hlubšího
 teoretického kontextu.
 Dobré teoretické pozadí pro bezsenzorové řízení by však mohl poskytnout
 právě koncept duálního řízení, které se snaží nalézt kompromis mezi co
 nejpřesnějším řízením a současně dobrým odhadováním neměřených veličin.
 Teorie ohledně duálního řízení je již značně rozvinuta a hojně popsána
 v literatuře.
 Avšak naprostá většina postupů využívajících duálního řízení je extrémně
 výpočetně náročná, což není příliš vhodné pro aplikaci na řízení motoru,
 které je třeba provádět v reálném čase.
\end_layout

\begin_layout Standard
Tato práce si tedy klade za cíl prostudovat jednoduché suboptimální algoritmy
 pro výpočet duálního řízení a pokusit se jejich vybrané zástupce aplikovat
 na bezsenzorové řízení sychronního motoru.
 Dále pak klasifikovat běžně používané přístupy k řízení těchto strojů z
 pohledu konceptu duálního řízení a ukázat případné výhody užití duality.
\end_layout

\begin_layout Standard
V textu bude nejdříve obecně popsán synchronní motor s permanentními magnety,
 jeho matematický model a běžně užívané techniky pro řízení a odhadování
 neměřených veličin.
 Následovat bude kapitola týkající se teorie duálního řízení a výběr jednoduchýc
h suboptimálních metod pro řešení tohoto problému.
 Další kapitola pak bude věnována spojení předchozích dvou, tedy aplikaci
 duálního řízení na synchronní stroj.
 Na závěr pak budou zařazeny experimenty, především teoretická analýza jednotliv
ých užitých algoritmů a výsledky simulací.
 Nedílnou součástí bude i shrnutí dosažených výsledků.
\end_layout

\begin_layout Chapter
Synchronní stroj s permanentními magnety
\end_layout

\begin_layout Standard
Jak napovídá název práce, je text zaměřen na řízení synchronních elektrických
 pohonů.
 Ze skupiny všech těchto strojů se však zaměřuje pouze na jejich specifickou
 podskupinu obsahující permanentní magnety.
 Je tomu tak proto, že oproti synchronním strojům s buzením vykazují synchronní
 stroje s permanentními magnety celou řadu výhod, teší se stále větší oblibě
 a nacházejí mnoho aplikací v praxi 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Pacas2011"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
Zkratkou PMSM bude v textu označován synchronní stroj s permanentními magnety
 (Permanent Magnet Synchronous Machine).
 U tohoto točivého elektrického stroje (motoru) se rotor otáčí stejnou rychlostí
, tedy synchronně, jako točivé magnetické pole statoru.
 Pro generování magnetického pole rotoru je užito místo budícího vinutí
 permanentních magnetů.
 Rostoucí praktická aplikace této konstrukce je umožněna především díky
 snadnější dostupnosti kvalitních permanentních magnetů ze speciálních slitin
 s velkou magnetickou indukcí oproti klasickým feritovým magnetům 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "novak2006,cdern2010"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Konstrukce
\end_layout

\begin_layout Standard
Přiblížení základní konstrukce PMSM je znázorněno na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Ilustrativni-obrazek-konstrukce"

\end_inset

.
 Nákres je pouze ilustrativní, ale zobrazuje hlavní části PMSM: Vnější kruh
 představuje stator se zuby, na kterých je navinuto statorové vinutí (v
 obrázku není zobrazeno).
 Vnitřní kruh reprezentuje rotor, na jehož povrchu jsou umístěny permanentní
 magnety s barevně rozlišenými póly.
 
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/pmsm_spec.eps
	lyxscale 50
	scale 25

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout

\emph on
Ilustrativní obrázek konstrukce PMSM: Vnější kruh představuje stator se
 zuby, na kterých je navinuto statorové vinutí (v obrázku není zobrazeno).
 Vnitřní kruh reprezentuje rotor, na jehož povrchu jsou umístěny permanentní
 magnety s barevně rozlišenými póly.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Ilustrativni-obrazek-konstrukce"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Často se lze setkat i s opačnou konstrukcí, kdy je stator umístěn uvnitř
 a rotor s magnety se otáčí kolem něj.
 Tato konstrukce PMSM naléza využití k pohonu nejrůznějších vozidel, kdy
 lze motor umístit přímo dovnitř kola vozidla, dalším příkladem je pak přímý
 pohon bubnu automatické pračky.
 Existují i však další konstrukce PMSM, například s otočným statorem i rotorem.
\end_layout

\begin_layout Standard
Vyobrazená konstrukce (obrázek 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Ilustrativni-obrazek-konstrukce"

\end_inset

) je označováná jako SMPMSM (
\emph on
Surface Mounted PMSM
\emph default
), tedy PMSM s magnety na povrchu.
 Další častou konstrukcí je IPMSM (
\emph on
Inner PMSM
\emph default
), kde jsou permanentní magnety umístěny uvnitř rotoru.
 Tyto stroje mají nepatrně odlišné vlastnosti, které ale mají významný vliv
 při návrhu řízení těchto strojů, detailněji bude rozebráno dále v textu.
 Pod PMSM se ještě někdy zahrnují reluktanční motory, které jsou založeny
 na poněkud odlišném principu a nebudeme se jimi v textu zabývat.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Výhody a nevýhody
\end_layout

\begin_layout Standard
Specifická konstrukce PMSM stručně popsaná výše má oproti asynchronním strojům
 a synchronním strojům s budícím vinutím celou řadu výhod.
 Má samozřejmě i své nevýhody.
 Následující přehlded základních odlišností od ostatních střídavých strojů
 čerpá ze zdrojů 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "novak2006,cdern2010,Yongdong2008"

\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Výhody
\end_layout

\begin_layout Itemize
rotor neobsahuje vinutí a tedy 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
je možno jej konstruovat menší, což je velmi výhodné v aplikacích, kde záleží
 na co nejmenší velikosti pohonu
\end_layout

\begin_layout Itemize
je možno jej konstruovat lehčí, což snižuje hmotnost celého zařízení 
\end_layout

\begin_layout Itemize
má menší moment setrvačnosti rotoru
\end_layout

\begin_layout Itemize
není třeba
\emph on
 
\emph default
složitě přivádět
\emph on
 
\emph default
napájení
\emph on
 
\emph default
na rotor
\end_layout

\begin_layout Itemize
nedojde k poruše na rotorovém vinutí
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
není třeba motor před rozběhem budit a nepotřebuje zdroj budícího proudu
\end_layout

\begin_layout Itemize
odpadá problém s přívodem proudu do buzení rotoru
\end_layout

\begin_layout Itemize
vyšší účinnost, protože nejsou jouleovy ztráty v:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
rotoru oproti asynchronnímu stroji
\end_layout

\begin_layout Itemize
buzení oproti synchronnímu stroji s buzením
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
momentová přetížitelnost
\end_layout

\begin_layout Itemize
možnost konstrukce pomaluběžného stroje s dostatečným výkonem, který nepotřebuje
 převodovku, a tedy výhody spojené s absencí převodovky
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Nevýhody
\end_layout

\begin_layout Itemize
technologicky složitější výroba kvůli připevňování permanentních magnetů
 na rotor
\end_layout

\begin_layout Itemize
složitější opravy
\end_layout

\begin_layout Itemize
vyšší cena z důvodu nezanetbatelných nákladů na permanentní magnety
\end_layout

\begin_layout Itemize
menší robustnost
\end_layout

\begin_layout Itemize
problematické odbuzování a klesající účinnost při odbuzování
\end_layout

\begin_layout Itemize
závislot magnetických vlastností permanentních magnetů na teplotě a tedy
 nutnost dobrého chlazení
\end_layout

\begin_layout Itemize
stálá přítomnost budícího pole v motoru, následně při využití například
 k pohonu vozidla, dojde-li poruše a následlém odtahu, funguje motor jako
 generátor
\end_layout

\begin_layout Itemize
problematika zkratu, při které může teoreticky dojít až k demagnetizaci
 permanentních magnetů
\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
problematika spojená s návrhem řízení těchto strojů
\emph default
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Právě poslední zmiňovaný nedostatek, to jest komplikace při návrhu řízení
 PMSM a způsoby jak se s tímto nedostatkem vypořádat jsou ústředním tématem
 této práce.
\end_layout

\begin_layout Section
Matematický model PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
Aby bylo možno systém PMSM lépe pochopit, pracovat s ním, odvozovat algoritmy
 pro jeho řízení a simulovat jeho chování je nutné jej vhodným způsobem
 popsat.
 Za tímto účelem bude v této části popsán model tohoto zařízení v podobě
 diferenciálních a případně diferenčních rovnic zachycující jeho chování.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Souřadné soustavy pro popis PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/souradosy.eps
	lyxscale 50
	scale 50

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout

\emph on
Souřadné systémy používané pro popis PMSM znázorněné na zjednodušeném modelu:
 na statorové části jsou umístěny pouze tři cívky reprezentující statorová
 vinutí jednotlivých fází a jako rotor pak slouží jediný permanentní magnet.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Souradne-systemy-pmsm"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
K popisu PMSM se užívá dvou kvalitativně zcela rozdílných typů fyzikálních
 veličin.
 Jedná se o veličiny mechanické jako poloha (úhel natočení rotoru) a otáčky
 (rychlost otáčení), dále pak lze uvažovat zátěžný moment nebo tření.
 Další uvažované veličiny jsou elektrické, především elektrické proudy a
 napětí, a dále indukčnosti a rezistance.
\end_layout

\begin_layout Standard
Elektrické veličiny se nejčastěji uvažují v jednom ze tří souřadných systémů
 vyobrazených na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Souradne-systemy-pmsm"

\end_inset

.
 Souřadný systém 
\begin_inset Formula $a-b-c$
\end_inset

 uvažuje tři osy (
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

) ve směru os vinutí jednotlivých fází.
 Protože však elektrické veličiny v jednotlivých osách systému 
\begin_inset Formula $a-b-c$
\end_inset

 nebývají vzájemně nezávislé a jsou svázány nějakým vztahem, je obvykle
 využíván popis v soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

.
 Tato souřadná soustava je opět svázána se statorem.
 Osa 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 je totožná s osou 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, osa 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 je na osu 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 kolmá a tvoří tak ortogonální systém.
 Pro mnoho aplikací se však ukazuje výhodným přejít do rotující souřadné
 soustavy 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 svázené s rotorem.
 Osa 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 je pak umístěna ve směru osy permanentního magnetu a směřuje k jeho severnímu
 pólu, osa 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 je na ni kolmá.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Transformace souřadnic
\end_layout

\begin_layout Standard
Žádná z výše zmiňovaných souřadných soustav není univerzálně nejlepší.
 Pro každý účel se nejlépe hodí jen některá z nich a proto je důležité umět
 mezi nimi přecházet, tedy převádět jednotlivé veličiny.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Transformace 
\begin_inset Formula $a-b-c\longleftrightarrow\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Tato transformace se označuje také jako Clarkova transformace, rovnice lze
 nalézt například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "fiser2006"

\end_inset

, případně je možné je odvodit.
\end_layout

\begin_layout Standard
Osa 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 je totožná s osou 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, osy 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 pak uvažujeme oproti ní otočeny o 
\begin_inset Formula $\pm120^{\circ}$
\end_inset

.
 Souřadnice v ose 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 tedy získáme následujícím průmětem z os 
\begin_inset Formula $a,\: b,\: c$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\alpha=k\left(a+b\cdot\cos(120^{\circ})+c\cdot\cos(-120^{\circ})\right)=k\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right),
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 značí normovací konstantu 
\begin_inset Formula $k=\frac{2}{3}$
\end_inset

.
 Obdobně postupujeme v případě osy 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

.
 Osa 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 je na ní kolmá a tedy její příspěvek je nulový.
 Osy 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 promítnutne do osy 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 získáme vztah
\begin_inset Formula 
\[
\beta=k\left(b\cdot\sin(120^{\circ})+c\cdot\sin(-120^{\circ})\right)=k\left(\frac{\sqrt{3}}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}c\right).
\]

\end_inset

Celkem tedy máme rovnice
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\alpha & = & \frac{2}{3}\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right),\\
\beta & = & \frac{\sqrt{3}}{3}\left(b-c\right).
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pro inverzní transformaci platí následující vztahy
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
a & = & \alpha+\theta,\\
b & = & \left(-\frac{1}{2}\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta,\\
c & \text{=} & \left(-\frac{1}{2}\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta,
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 představuje takzvanou nulovou složku 
\begin_inset Formula $\theta=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Transformace 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta\longleftrightarrow d-q$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Transformace je označována jako Parkova transformace a představuje přechod
 do rotujícího souřadného systému.
 Rovnice transformace lze najít opět například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "fiser2006"

\end_inset

, ale jedná se běžnou lineární operaci rotace.
\end_layout

\begin_layout Standard
Uvažujeme tedy otočení doustavy 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 oproti 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 o úhel 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 kolem společného počátku souřadných soustav, což vede na převodní vztah
 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\left(\begin{array}{c}
d\\
q
\end{array}\right) & = & \left[\begin{array}{cc}
\cos\phi & \sin\phi\\
-\sin\phi & \cos\phi
\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}
\alpha\\
\beta
\end{array}\right).\label{eq:transformace_al-be_na_d-q}
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Inverzní transformace je 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\left(\begin{array}{c}
\alpha\\
\beta
\end{array}\right) & = & \left[\begin{array}{cc}
\cos\phi & -\sin\phi\\
\sin\phi & \cos\phi
\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}
d\\
q
\end{array}\right).\label{eq:transformace_d-q_na_al-be}
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Model PMSM
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:Model-PMSM"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pro tvorbu modelu PMSM vyjdeme z fyzikálních zákonů popisujících hlavní
 děje odehrávající se v synchronním stroji.
 Jedná se především o jevy elektrické, mechanické a vzájemnou přeměnu elektrické
 a mechanické energie.
 Složitější jevy jako promněnlivost parametrů s teplotou, sycení materiálu
 magnetickým tokem, případně vliv napájecí elektroniky v tomto modelu uvažovány
 nebudou.
 Fyzikální vztahy a zákony pro odvození rovnic PMSM jsou čerpány z 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Feynman1,Feynman2"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Rovnice pro proudy
\end_layout

\begin_layout Standard
Cílem je odvodit rovnice pro PMSM a tedy vyjádřit, jak na sobě hlavní veličiny
 popisující tento systém navzájem závisejí a jak se vyvýjejí v čase.
 Vyjdeme ze vztahu pro napětí v obvodu statoru.
 Statorové napětí 
\begin_inset Formula $u_{s}$
\end_inset

 uvažujeme zapsané ve souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 ve smyslu 
\begin_inset Formula $s=\alpha+j\beta$
\end_inset

 (kde 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 značí komplexní jednotku) a dále uvažujeme, že je obecně funkcí času 
\begin_inset Formula $u_{s}=u_{s}\left(t\right)$
\end_inset

.
 Toto napětí lze vyjádřit jako součet napětí souvisejícího s průchodem proudu
 obvodem a dále jako indukovaného napětí v důsledku elektromagnetické indukce.
 První z těchto členů lze vyjádřit pomocí Ohmova zákona v závislosti na
 proudu.
 Indukované napětí je na základě Faradayova zákona elektromagnetické indukce
 rovno změně magnetického toku v čase.
 Uvažujme tedy, že proud procházející statorem 
\begin_inset Formula $i_{s}$
\end_inset

 i magnetický tok ve stroji 
\begin_inset Formula $\psi_{s}$
\end_inset

 zapsaný ve statorové souřadné soustavě jsou opět funkcemi času: 
\begin_inset Formula $i_{s}=i_{s}\left(t\right)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\psi_{s}=\psi_{s}\left(t\right)$
\end_inset

.
 Rovnici pro napětí pak získáme ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt},\label{eq:odvoz-statorove-napeti}
\end{equation}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $R_{s}$
\end_inset

 je rezistance a předpokládáme ji známou a konstantní.
\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní je třeba vyjádřit hodnotu magnetického toku 
\begin_inset Formula $\psi_{s}$
\end_inset

.
 Magnetický tok vzniká ve stroji jednak ve statorovém vinutí a dále v důsledku
 působení permanentních magnetů.
 Statorové vinutí je z fyzikálního pohledu cívkou a tedy magnetický tok
 je přímo úměrný proudu procházejícímu touto cívkou: 
\begin_inset Formula $\psi_{s}^{civka}=L_{s}i_{s}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset

 označuje indukčnost cívky, kterou předpokládáme konstantní, známou a prozatím
 izotropní.
 Tok permanentních magnetů označíme jako 
\begin_inset Formula $\psi_{pm}$
\end_inset

 a považujeme jej za známou konstantu.
 Rotor obsahující permanentní magnety je však obecně natočen a tok permanentních
 magnetů je směrován pouze do směru osy 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

.
 Úhel natočení, označme jej jako 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

, budeme opět uvažovat jako funkci času 
\begin_inset Formula $\vartheta=\vartheta\left(t\right)$
\end_inset

.
 Rovnice pro celkový magnetický tok ve stroji tedy je 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\psi_{s}=L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta},\label{eq:odvoz-magneticky-tok}
\end{equation}

\end_inset

kde násobení 
\begin_inset Formula $e^{j\vartheta}$
\end_inset

 představuje zmiňovanou rotaci o úhel 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 při použití komplexního zápisu.
\end_layout

\begin_layout Standard
Když nyní dosadíme rovnici (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-magneticky-tok"

\end_inset

) pro magnetický tok do rovnice pro napětí (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-statorove-napeti"

\end_inset

) a provedeme derivaci, získáme
\begin_inset Formula 
\[
u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=R_{s}i_{s}+L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\psi_{pm}\frac{d\vartheta}{dt}e^{j\vartheta}.
\]

\end_inset

V této rovnici nově vystupuje veličina 
\begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}$
\end_inset

 představující změnu polohy v času, označíme ji jako otáčky 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\omega=\frac{d\vartheta}{dt}.\label{eq:definice-otacek}
\end{equation}

\end_inset

Pro obdržení diferenciálních rovnic pro proudy v soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 rozepíšeme zvlášť reálnou a imaginární složku statorove soustavy 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $s=\alpha+j\beta$
\end_inset

).
 Rovnice tedy jsou
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{\alpha} & = & R_{s}i_{\alpha}+L_{s}\frac{di_{\alpha}}{dt}-\psi_{pm}\omega\sin\vartheta,\\
u_{\beta} & = & R_{s}i_{\beta}+L_{s}\frac{di_{\beta}}{dt}+\psi_{pm}\omega\cos\vartheta,
\end{eqnarray*}

\end_inset

a případně je možno je upravit na 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\alpha},\nonumber \\
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\beta}.\label{eq:rovnice-proudy-ls}
\end{eqnarray}

\end_inset

Stejné rovnice používají například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Lee2010,Peroutka2009"

\end_inset

.
 Rovnice v soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 je z nich možno získat aplikováním transformace popsané rovnicí (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"

\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Rovnice pro otáčky
\end_layout

\begin_layout Standard
V odvození rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ls"

\end_inset

) byla zavedena veličina 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

, viz rovice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:definice-otacek"

\end_inset

), popisující hodnotu otáček (změny polohy) v čase.
 Má-li být model PMSM úplný, je třeba odvodit rovnici i pro otáčky 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

.
 Protože se jedná o mechanickou veličinu, budeme vycházet ze základních
 zákonů mechaniky.
 Nejdříve užijeme vztahu pro točivý moment (
\emph on
torque
\emph default
) 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

, který budeme považovat za funkci času 
\begin_inset Formula $T=T\left(t\right)$
\end_inset

.
 Točivý moment lze vyjádřit jako 
\begin_inset Formula $T=\frac{dl}{dt}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $l$
\end_inset

 značí moment hybnosti (
\emph on
angular momentum
\emph default
).
 Pro ten dále platí 
\begin_inset Formula $l=J\omega_{mech}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 označuje moment setrvačnosti (
\emph on
moment of inertia
\emph default
) a předpokládáme ho jako známou konstantu, 
\begin_inset Formula $\omega_{mech}$
\end_inset

 jsou mechanické otáčky.
 Mechanické otáčky odpovídají skutečnému otáčení stroje a liší se od otáček
 elektrických 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 vystupujících v rovnicích (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ls"

\end_inset

) pro proudy a jejich odvození.
 Vztah těchto dvou typů otáček je dán rovnicí 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\omega=p_{p}\omega_{mech},\label{eq:vztah-el-a-mech-omega}
\end{equation}

\end_inset

kde hodnota 
\begin_inset Formula $p_{p}$
\end_inset

 představuje počet párů pólů (tedy polovina počtu pólů) permanentních magnetů
 stroje.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dalším důležitým poznatkem je, že při působení více točivých momentů se
 tyto mementy sčítají a tedy platí
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
T_{1}+\ldots+T_{n}=\frac{dl}{dt}=\frac{d\left(J\omega_{mech}\right)}{dt}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt}.\label{eq:rovnice-momenty-preddosaz}
\end{equation}

\end_inset

Jednotlivé uvažované točivé momenty 
\begin_inset Formula $T_{i}$
\end_inset

 jsou:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
moment získaný konverzním procesem elektrické energie, který vyjadřuje hlavní
 vlastnost elektrického motoru -- převod elektrické energie na mechanickou:
 
\begin_inset Formula $T_{1}=T_{el}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
zátěžný moment reprezentující zatížení stroje, tedy to, co je motorem poháněno;
 působí však v opačném směru (proti pohybu): 
\begin_inset Formula $T_{2}=-T_{L}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
moment v důsledku tření (mechanické ztráty ve stroji), působí opět proti
 pohybu a uvažujeme jej lineárně závislý na otáčkách s koeficientem viskozity
 (tření) 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $T_{3}=-B\omega_{mech}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Celkem tedy rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-momenty-preddosaz"

\end_inset

) po dosazení konkrétních momentů přejde na
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
T_{el}-T_{L}-B\omega_{mech}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt}.\label{eq:rovnice-momenty-dosazeno}
\end{equation}

\end_inset

Zátěžný moment 
\begin_inset Formula $T_{L}$
\end_inset

 sice uvažujeme obecně proměnný v čase, ale vzhledem k tomu, že představuje
 externí zátěž stroje, není možnost jej jakkoliv předvídat, popřípadě vhodně
 vyjádřit na základě jiných veličin.
 V rovnicích tedy bude nadále vystupovat pod označením 
\begin_inset Formula $T_{L}$
\end_inset

 a budeme jej považovat za neznámou funkci času.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Moment 
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset

 však lze vyjádřit na základě elektrických veličin.
 Využijeme k tomu výpočet přes okamžitý výkon.
 Ten je pro trojfázový systém (v souřadnicích 
\begin_inset Formula $a-b-c$
\end_inset

) roven 
\begin_inset Formula $P=u_{a}i_{a}+u_{b}i_{b}+u_{c}i_{c}$
\end_inset

.
 Po provedení transformace do souřadnic 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 je vyjádřen ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
P=k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right),\label{eq:rovnice-vykon}
\end{equation}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $k_{p}$
\end_inset

 značí Parkovu konstantu s hodnotou 
\begin_inset Formula $k_{p}=\frac{3}{2}$
\end_inset

.
 Jako napětí zde uvažujeme indukované napětí 
\begin_inset Formula $u_{ind}$
\end_inset

, to jest druhý člen v rovnici (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-statorove-napeti"

\end_inset

), protože první člen této rovnice je napětí, které se podílí na tepelném
 výkonu stroje -- ztrátách.
 Tedy pro indukované napětí platí, viz rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-statorove-napeti"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-magneticky-tok"

\end_inset

):
\begin_inset Formula 
\[
u_{ind}=\frac{d\psi_{s}}{dt}=\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\psi_{pm}\omega e^{j\vartheta}.
\]

\end_inset

Z indukovaného napětí navíc využijeme pouze složku reprezentovanou druhým
 výrazem, protože první složka obsahující derivace proudů slouži k tvorbě
 samotného magnetického pole stroje a nepodílí se na tvorbě výkonu.
 Následně v souřadném systému 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 získáme vyjádření indukovaných napětí podílejících se na výkonu jako
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{ind,\alpha} & = & -\psi_{pm}\omega\sin\vartheta,\\
u_{ind,\beta} & = & \psi_{pm}\omega\cos\vartheta
\end{eqnarray*}

\end_inset

a po dosazení do (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-vykon"

\end_inset

) je
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
P=k_{p}\left(-\psi_{pm}i_{\alpha}\omega\sin\vartheta+\psi_{pm}i_{\beta}\omega\cos\vartheta\right).\label{eq:rovnice-vykon-dosazano}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Okamžitý výkon lze také vyjádřit z mechanických veličin jako 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
P=\omega_{mech}T_{el}\label{eq:vztah-okam-vykon-a-el-moment}
\end{equation}

\end_inset

 a dosazením z (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-vykon-dosazano"

\end_inset

) již získáme vyjádření pro mement 
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset

 ve tvaru:
\begin_inset Formula 
\[
T_{el}=\frac{P}{\omega_{mech}}=\frac{k_{p}}{\omega_{mech}}\left(-\psi_{pm}i_{\alpha}\omega\sin\vartheta+\psi_{pm}i_{\beta}\omega\cos\vartheta\right),
\]

\end_inset

což lze pomocí vztahu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-el-a-mech-omega"

\end_inset

) upravit na 
\begin_inset Formula 
\[
T_{el}=k_{p}p_{p}\left(-\psi_{pm}i_{\alpha}\sin\vartheta+\psi_{pm}i_{\beta}\cos\vartheta\right).
\]

\end_inset

Stejnou rovnici pro moment 
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset

 používají například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Lee2010"

\end_inset

.
 Dosazení do rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-momenty-dosazeno"

\end_inset

) pak vede na tvar
\begin_inset Formula 
\[
k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(-i_{\alpha}\sin\vartheta+i_{\beta}\cos\vartheta\right)-T_{L}-B\omega_{mech}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt}.
\]

\end_inset

Tuto rovnice lze opět užitím vztahu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-el-a-mech-omega"

\end_inset

) upravit tak, aby v ní vystupovali elektrické otáčky 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a dále z rovnice vyjádřit jejich derivaci
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega.\label{eq:rovnice-pro-omega-ls}
\end{equation}

\end_inset

Rovnici pro otáčky v této podobě (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pro-omega-ls"

\end_inset

) lze nalézt například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Rovnice pro proudy při různých indukčnostech
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro použití s některými, především injektážními, metodami je do modelu PMSM
 třeba zahrnout anizotropie, které následně usnadní odhadování polohy.
 Možností, jak zavést anizotropie je uvažování různých indukčností v osách
 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

.
 Tyto osy jsou svázány s rotorem a tedy i s permanentními magnety na něm,
 viz obrázek 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Souradne-systemy-pmsm"

\end_inset

.
 Tok permanentních magnetů interaguje s cívkami statoru a mění jejich vlastnosti
, což vede právě na rozdílné indukčnosti v osách 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

.
 Tedy místo jediné izotropní 
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset

 nyní uvažujeme různé 
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset

, nadále je však považujeme za známé konstanty.
 Postup odvození rovnic bude analogický předchozímu odvození pro stejné
 indukčnosti s tím rozdílem, že bude užito soustavy 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

.
 Opět vyjdeme z rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-statorove-napeti"

\end_inset

), kde za veličiny ve statorové souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 dosadíme veličiny v rotorové soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 ve smyslu 
\begin_inset Formula $r=d+jq$
\end_inset

 otočené o úhel 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

.
 Tedy
\begin_inset Formula 
\[
u_{r}e^{j\vartheta}=R_{s}i_{r}e^{j\vartheta}+\frac{d\left(\psi_{r}e^{j\vartheta}\right)}{dt}
\]

\end_inset

a po zderivování
\begin_inset Formula 
\[
u_{r}e^{j\vartheta}=R_{s}i_{r}e^{j\vartheta}+\frac{d\psi_{r}}{dt}e^{j\vartheta}+j\psi_{r}\omega e^{j\vartheta}.
\]

\end_inset

Nyní je možné zkrátit člen 
\begin_inset Formula $e^{j\vartheta}$
\end_inset

 představující rotaci a získáme rovnici pro napětí ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
u_{r}=R_{s}i_{r}+\frac{d\psi_{r}}{dt}+j\psi_{r}\omega.\label{eq:odvoz-ldq-rovnice-napeti}
\end{equation}

\end_inset

Magnetický tok v osách 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 je vyjádřen podobně, jako pro stejné indukčnosti, jako součet toku indukovaného
 cívkami a toku permanentních magnetů, tedy
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\psi_{d} & = & L_{d}i_{d}+\psi_{pm},\\
\psi_{q} & = & L_{q}i_{q}
\end{eqnarray*}

\end_inset

a 
\begin_inset Formula $\psi_{pm}$
\end_inset

 se projeví pouze v první rovnici, protože tok permanentních magnetů uvažujeme
 pouze ve směru osy 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

.
 Po dosazení vztahů pro toky do rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-ldq-rovnice-napeti"

\end_inset

) a jejím rozepsání zlvášť na reálnou a imaginární služku rotorové souřadné
 soustavy 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 získáme rovnice
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{d}\frac{di_{d}}{dt}-L_{q}i_{q}\omega,\\
u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{q}\frac{di_{q}}{dt}+\left(L_{d}i_{d}+\psi_{pm}\right)\omega.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Opět je možno vyjádřit derivace proudů a získat rovnice pro proudy v soustavě
 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{d}}i_{d}+\frac{L_{q}}{L_{d}}i_{q}\omega+\frac{1}{L_{d}}u_{d},\nonumber \\
\frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{q}}i_{q}-\frac{L_{d}}{L_{q}}i_{d}\omega-\frac{\psi_{pm}}{L_{q}}\omega+\frac{1}{L_{q}}u_{q}.\label{eq:rovnice-proudy-ldq-v-dq}
\end{eqnarray}

\end_inset

Tyto rovnice používají například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Chen2009,Foo2009,Genduso2010"

\end_inset

.
 Rovnice pro proudy v soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 lze získat transformováním rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ldq-v-dq"

\end_inset

) pomocí vztahu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"

\end_inset

), tyto rovnice však již mají poměrně dosti komplikovaný zápis.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Rovnice pro otáčky při různých indukčnostech
\end_layout

\begin_layout Standard
Postup odvození rovnice pro otáčky při uvažování různých indukčností je
 opět podobný jako v případě stejných indukčností.
 Pro momenty platí opět rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-momenty-dosazeno"

\end_inset

): 
\begin_inset Formula 
\[
T_{el}-T_{L}-B\omega_{mech}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt},
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset

 vypočteme přes okamžitý elektrický výkon.
 Užijeme tedy rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-vykon"

\end_inset

) a provedeme transformaci souřadnic danou vztahem (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"

\end_inset

):
\begin_inset Formula 
\[
P=k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right)=k_{p}\left(u_{d}i_{d}+u_{q}i_{q}\right).
\]

\end_inset

Nyní za napětí dosadíme indukovaná napětí bez složek obsahující derivace
 proudů, tedy
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{ind,d} & = & -L_{q}i_{q}\omega,\\
u_{ind,q} & = & \left(L_{d}i_{d}+\psi_{pm}\right)\omega
\end{eqnarray*}

\end_inset

a následně po dosazení do rovnice pro výkon získáme
\begin_inset Formula 
\[
P=k_{p}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)\omega.
\]

\end_inset

Výsledkem užitím vztahu pro okamžitý výkon 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 a moment 
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset

, viz rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-okam-vykon-a-el-moment"

\end_inset

), a převodního vztahu pro otáčky (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-el-a-mech-omega"

\end_inset

) je rovnice
\begin_inset Formula 
\[
T_{el}=k_{p}p_{p}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)
\]

\end_inset

a po dosazení do rovnice pro momenty (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-momenty-dosazeno"

\end_inset

), užití převodního vztahu pro otáčky (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-el-a-mech-omega"

\end_inset

) a vyjádření derivací získáme rovnici pro otáčky ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega,\label{eq:rovnice-pro-omega-ruzne-ldq}
\end{equation}

\end_inset

který lze rovněž najít v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Chen2009,Genduso2010"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Shrnutí rovnic pro PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro přehlednost je ještě uvedeno shrnutí výše odvozených rovnic popisujících
 PMSM.
 Nejdříve soustava rovnic v souřadnicích 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 při uvažování stejných indukčností, tedy rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ls"

\end_inset

), (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pro-omega-ls"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:definice-otacek"

\end_inset

):
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\alpha},\nonumber \\
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\beta},\label{eq:rovnice-pmsm-albe-ls}\\
\frac{d\omega}{dt} & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega,\nonumber \\
\frac{d\vartheta}{dt} & = & \omega.\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

Následuje soustava pro různé indukčnosti 
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset

 v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 vzniklá spojením rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ldq-v-dq"

\end_inset

), (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pro-omega-ruzne-ldq"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:definice-otacek"

\end_inset

):
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{d}}i_{d}+\frac{L_{q}}{L_{d}}i_{q}\omega+\frac{1}{L_{d}}u_{d},\nonumber \\
\frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{q}}i_{q}-\frac{L_{d}}{L_{q}}i_{d}\omega-\frac{\psi_{pm}}{L_{q}}\omega+\frac{1}{L_{q}}u_{q},\label{eq:rovnice-pmsm-dq-ldq}\\
\frac{d\omega}{dt} & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega,\nonumber \\
\frac{d\vartheta}{dt} & = & \omega.\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Diskretizace
\end_layout

\begin_layout Standard
Vzhledem k uvažované implementaci řídících a odhadovacích algoritmů na digitální
ch počítačích je výhodnější uvažovat diskrétní systém.
 Diferenciální rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"

\end_inset

) případně (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"

\end_inset

) je tedy třeba diskretizovat a za tímto účelem bude v textu užito Eulerovy
 metody, kdy je derivace nahrazena dopřednou diferencí.
 Toto diskretizační schéma je sice méně přesné, ale oproti tomu je jednoduché
 na výpočet a tedy odstatečně rychlé.
 Diskretizační časový krok je totiž volen s ohledem na reálný systém, kde
 odpovídá vzorkovací frekvenci použitých senzorů.
 To je obvykle velmi krátký časový okamžik (řádově sto mikrosekund) a chyba
 v důsledku diskretizace Eulerovou metodou tedy není velká.
 Významnějším důvodem pro tuto metodu je však uvažování praktické aplikace
 v reálném čase, kdy je třeba v průběhu jedné vzorkovací periody vypočítat
 odhad stavových veličin a následně řídící zásah.
 Jednodušší diferenční rovnice, znamenají jednodušší popis systému a tedy
 rychlejší výpočet všech uvažovaných algoritmů nezbytný pro potenciální
 nasazení v reálné aplikaci.
\end_layout

\begin_layout Standard
S užíváním diferenčních rovnic jsou však spojeny jisté komplikace.
 Zatímco diferenciální rovnice popisující PMSM (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"

\end_inset

) lze libovolně převádět mezi jednotlivýmí souřadnými systémy pomocí vztahů
 (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"

\end_inset

), pro odpovídající rovnice diferenční to pravda není a jejich převod transforma
cemi (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"

\end_inset

) nedává vždy dobrý výsledek.
 Pro odvození diferenčních rovnic v konkrétní souřadné soustavě je tedy
 třeba postupovat ve dvou krocích.
 Nejprve převést vybranou soustavu rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"

\end_inset

) nebo (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"

\end_inset

) do zvolené souřadné soustavy.
 Následně je pak možné provést diskretizaci.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Prvním krokem při návrhu řízení motoru je obvykle zvládnutí řízení stroje
 bez zátěže.
 Z tohoto důvodu je často uvažován nulový zátěžný moment a proto pro něj
 budou obvykle uvedeny rovnice zvlášť.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Diskrétní rovnice pro stejné indukčnosti v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pro odvození těchto rovnic vyjdeme ze soustavy diferenciálních rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"

\end_inset

)a užijeme zmiňované Eulerovy metody.
 Derivaci tedy nahradíme konečnou diferencí
\begin_inset Formula 
\[
\frac{dx}{dt}\left(t\right)=\frac{x_{t+1}-x_{t}}{\Delta t},
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\Delta t$
\end_inset

 představuje diskterizační časový krok.
 Po úpravě je výsledná diskrétní soustava rovnic ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
i_{\alpha,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\alpha,t}+\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\alpha,t},\\
i_{\beta,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\beta,t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\beta,t},\\
\omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Pro zjednodušení zavedeme následující značení
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
a & = & 1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t,\nonumber \\
b & = & \frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\Delta t,\nonumber \\
c & = & \frac{\Delta t}{L_{s}},\label{eq:zjednodus-znaceni-konstant}\\
d & = & 1-\frac{B}{J}\Delta t,\nonumber \\
e & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

a předpokládáme-li zátěžný moment nulový 
\begin_inset Formula $T_{L}=0$
\end_inset

, rovnice pak přejdou na tvar
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
i_{\alpha,t+1} & \text{=} & ai_{\alpha,t}+b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t},\nonumber \\
i_{\beta,t+1} & \text{=} & ai_{\beta,t}-b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t},\label{eq:diskretni-system-albe-ls}\\
\omega_{t+1} & \text{=} & d\omega_{t}+e\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right),\nonumber \\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Diskrétní rovnice pro stejné indukčnosti v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Opět vyjdeme ze soustavy diferenciálních rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"

\end_inset

)a pomocí přavodního vztahu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"

\end_inset

) transformujeme první dvě rovnice ze souřadné soustavy 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 do 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right) & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right)+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{1}{L_{s}}\left(u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta\right),\nonumber \\
\frac{d}{dt}\left(i_{d}\sin\vartheta+i_{q}\cos\vartheta\right) & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}\left(i_{d}\sin\vartheta+i_{q}\cos\vartheta\right)-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{1}{L_{s}}\left(u_{d}\sin\vartheta+u_{q}\cos\vartheta\right).\label{eq:uprava-rovnic-z-albe-na-dq-pro-ls}
\end{eqnarray}

\end_inset

Upravíme derivace v předchozích dvou rovncích (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:uprava-rovnic-z-albe-na-dq-pro-ls"

\end_inset

)
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right) & = & \frac{di_{d}}{dt}\cos\vartheta-\frac{di_{q}}{dt}\sin\vartheta-i_{d}\omega\sin\vartheta-i_{q}\omega\cos\vartheta,\\
\frac{d}{dt}\left(i_{d}\sin\vartheta+i_{q}\cos\vartheta\right) & = & \frac{di_{d}}{dt}\sin\vartheta+\frac{di_{q}}{dt}\cos\vartheta+i_{d}\omega\cos\vartheta-i_{q}\omega\sin\vartheta
\end{eqnarray*}

\end_inset

a nyní zřejmě získáme diferenciální rovnici pro 
\begin_inset Formula $i_{d}$
\end_inset

 vynásobením první rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:uprava-rovnic-z-albe-na-dq-pro-ls"

\end_inset

) hodnotou 
\begin_inset Formula $\cos\vartheta$
\end_inset

 a přičtením druhé rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:uprava-rovnic-z-albe-na-dq-pro-ls"

\end_inset

) násobené 
\begin_inset Formula $\sin\vartheta$
\end_inset

.
 Obdobně rovnici pro 
\begin_inset Formula $i_{q}$
\end_inset

 získáme násobením první rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:uprava-rovnic-z-albe-na-dq-pro-ls"

\end_inset

) hodnotou 
\begin_inset Formula $-\sin\vartheta$
\end_inset

 a přičtením druhé rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:uprava-rovnic-z-albe-na-dq-pro-ls"

\end_inset

) násobené 
\begin_inset Formula $\cos\vartheta$
\end_inset

.
 Upravené diferenciální rovnice pro 
\begin_inset Formula $i_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $i_{q}$
\end_inset

 jsou ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{d}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}-i_{q}\omega+\frac{u_{d}}{L_{s}},\\
\frac{di_{q}}{dt} & \text{=} & i_{d}\omega-\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega+\frac{u_{q}}{L_{s}}.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Rovnici pro otáčky 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 lze snadno transformovat na základě faktu, že výraz 
\begin_inset Formula $i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta$
\end_inset

 přímo odpovídá 
\begin_inset Formula $i_{q}$
\end_inset

 a tedy
\begin_inset Formula 
\[
\frac{d\omega}{dt}\text{=}\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q}-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}.
\]

\end_inset

Rovnice popisující změnu polohy v čase je samozřejmě stejná
\begin_inset Formula 
\[
\frac{d\vartheta}{dt}\text{=}\omega.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Provedení diskretizace je analogické jako v předchozím odstavci pro soustavu
 v 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 souřadnicích a výsledkem je následující soustava diskrétních rovnic
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
i_{d,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{d,t},\\
i_{q,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{q,t},\\
\omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q,t}-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Při použití stejného zjednodušujícího značení (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:zjednodus-znaceni-konstant"

\end_inset

) a předpokladu nulového zátěžného momentu jsou rovnice ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
i_{d,t+1} & \text{=} & ai_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+cu_{d,t},\nonumber \\
i_{q,t+1} & \text{=} & ai_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-b\omega_{t}+cu_{q,t},\label{eq:diskretni-system-dq-ls}\\
\omega_{t+1} & \text{=} & d\omega_{t}+ei_{q,t},\nonumber \\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Diskrétní rovnice pro různé indukčnosti v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní vyjdeme ze soustavy diferenciálních rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"

\end_inset

)a diskretizaci provedeme opět stejným způsobem pomocí Eulerovy metody.
 Popis PMSM pomocí diferenčních rovnic v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 při uvažování různých indukčností 
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset

 nyní bude
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
i_{d,t+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{d}}\Delta t\right)i_{d,t}+\frac{L_{q}\Delta t}{L_{d}}i_{q,t}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{d}}u_{d,t},\nonumber \\
i_{q,t+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{q}}\Delta t\right)i_{q,t}-\frac{L_{d}\Delta t}{L_{q}}i_{d,t}\omega_{t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{q}}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{q}}u_{q,t},\label{eq:diskretni-system-dq-ldq}\\
\omega_{t+1} & = & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\Delta t}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d,t}i_{q,t}+\psi_{pm}i_{q,t}\right),\nonumber \\
\vartheta_{t+1} & = & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

Přičemž zátěžný moment 
\begin_inset Formula $T_{L}$
\end_inset

 je opět považován za nulový, ale další zjednodušující označení konstant
 v tomto případě záváděno nebude.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Diskrétní rovnice pro různé indukčnosti v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Postup odvození těchto rovnic je podobný jako v případě rovnic v soustavě
 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 pro stejné indukčnosti.
 Do soustavy (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"

\end_inset

) jsou dosazeny proudy transformované pomocí (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"

\end_inset

) a následně jsou první dvě rovnice násobeny 
\begin_inset Formula $\sin\vartheta$
\end_inset

 nebo 
\begin_inset Formula $\cos\vartheta$
\end_inset

 a sečteny, případně odečteny.
 Výsledné vztahy v soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 mají ale poměrně komplikovaný zápis a proto nebudou uváděny přímo zde v
 textu, lze je však nalézt v příloze.
 
\end_layout

\begin_layout Subsection
Stochastický model
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Stochasticky-model-pmsm"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Lze samozřejmě očekávat, že výše odvozené rovnice nevystihují chování reálného
 stroje zcela přesně.
 Tento fakt má celou řadu nejrůznějších příčin, které nelze obecně odstranit.
 Místo toho je lepší uvažovat jistou míru nepřesnosti užívaných rovnic a
 modelovat ji jako šum.
 
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Hlavní příčiny neurčitosti v PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
Následující popis neurčitostí v PMSM způsobující nepřesnost modelu vychází
 z 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"

\end_inset

 (
\series bold
případně najít další zdroje
\series default
):
\end_layout

\begin_layout Standard
Nepřesnost rovnic popisujících reálný stroj:
\end_layout

\begin_layout Itemize
zanedbání složitějších efektů v modelu jako závislost parametrů na teplotě
 nebo saturace magnetickým tokem
\end_layout

\begin_layout Itemize
nejsou známy přesné hodnoty parametrů stroje
\end_layout

\begin_layout Itemize
vliv neznámého zátěžného momentu
\end_layout

\begin_layout Itemize
vliv diskretizace rovnic a užití jednoduché Eulerovy metody
\end_layout

\begin_layout Standard
Vliv užití reálných zařízení:
\end_layout

\begin_layout Itemize
chyby měření a zaokrouhlovací chyby senzorů
\end_layout

\begin_layout Itemize
skutečná napětí ve stroji se liší od požadovaných v důsledku napájecí elektronik
y (PWM, invertor)
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
efekt mrtvých časů
\end_layout

\begin_layout Itemize
nelineární úbytky napětí v důsledku voltamperové charakteristiky napájecí
 elektroniky
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
nedokonalosti samotného motoru -- zařízení není nikdy vyrobeno přesně, výskyt
 nesymetrií a anizotropických vlastností rotoru nebo samotných permanentních
 magnetů
\end_layout

\begin_layout Standard
V důsledku bezsenzorového návrhu pak dále přibývá neznalost:
\end_layout

\begin_layout Itemize
počáteční polohy
\end_layout

\begin_layout Itemize
polohy při provozu stroje
\end_layout

\begin_layout Itemize
velikosti otáček při provozu stroje
\end_layout

\begin_layout Itemize
směru otáčení -- která ze symetrických verzí 
\begin_inset Formula $\left(\omega,\vartheta\right)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\left(-\omega,\vartheta+\pi\right)$
\end_inset

 je realizována
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Použitý šum
\end_layout

\begin_layout Standard
Seznam výše popsaných vlivů způsobujících nepřesnost uvažovaného modelu
 stroje se pokusíme zahrnout pod vhodný model šumu.
 Skutečný šum, který by se vyskytoval na reálném stroji, lze očekávat velmi
 komplikovaný a jeho popis není ani prakticky realizovatelný.
 Výhodnější tedy je uvažovat některý z klasických modelů šumu a jeho parametry
 nastavit tak, aby co nejlépe zachycoval průběh neurčitosti.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
V tomto textu bude uvažován model aditivního vzájemně nezávislého bílého
 Gaussovského šumu.
 Jedná se sice o relativně jednoduchý model šumu, ale jeho výhodou je, že
 pro něj existuje celá řada efektivních algoritmů.
 Střední hodnota pro šum bude uvažována nulová a kovarianční matice je nutno
 vhodně zvolit s ohledem na výše popsané neurčitosti.
 K této volbě lze přistupovat buď na základě odhadu parametrů normálního
 rozdělení, detailněji popsáno v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"

\end_inset

, nebo je lze volit experimentálně.
\end_layout

\begin_layout Standard
Zmiňovaný šum bude uvažován obecně dvou typů.
 Jedná se šum v samotném systému, který odráží především chyby modelu.
 Budeme předpokládat, že tento šum se projevuje v odvozených rovnicích (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"

\end_inset

) pro popis stavu systému, případně v některé jejich diskrétní verzi.
 Druhý typ šumu bude reprezentovat chybu měření a bude mít přímý vliv na
 měřené veličiny.
\end_layout

\begin_layout Section
Bezsenzorový návrh
\end_layout

\begin_layout Subsection
Mechanické veličiny a senzory
\end_layout

\begin_layout Standard
Jak je patrné z výše odvozeného modelu PMSM, když chceme stroj dobře řídit,
 je potřeba znát s dostatečnou přesností fyzikální veličiny, které zachycují
 jeho stav v daném časovém okamžiku.
 Jako tyto veličiny v základu volíme elektrické proudy a napětí a dále pak
 polohu rotoru a rychlost jeho otáčení.
 Získat dostatečně přesné hodnoty těchto veličin však není vždy zcela jednoduché.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
U elektrických proudů na výstupu stroje předpokládáme, že je měříme s dostatečno
u přesností.
 Elektrická napětí na vstupu předpokládáme známá, protože se obvykle jedná
 o řídící veličiny.
 Je však třeba poznamenat, že napětí požadovaná řídícím algoritmem a skutečná
 napětí dodaná napájecí elektronikou se mohou často značně lišit.
 Vliv a řešení tohoto konkrétního problému bude podrobněji diskutován dále
 v textu (
\series bold
odkaz
\series default
).
\end_layout

\begin_layout Standard
Získání hodnot mechanických veličin v reálném čase je v praxi mnohem komplikovan
ější.
 Je totiž třeba užít speciálních senzorů jako například: pulzní snímače
 na principu vhodného kódu 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "novak2006"

\end_inset

, Hallovy senzory 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PUK1"

\end_inset

 nebo rezolvery 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAH1,novak2006"

\end_inset

.
 Pro praktické aplikace je však třeba ekonomických, robustních a kompaktních
 motorů a využití senzorů přináší obecně mnoho nevýhod jako například 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Pacas2011,Yongdong2008"

\end_inset

: 
\end_layout

\begin_layout Itemize
větší hardwarová složitost zařízení, více vodičů, sběrnic a konektorů, větší
 rozměry
\end_layout

\begin_layout Itemize
vyšší cena, vliv na životní cyklus výrobku
\end_layout

\begin_layout Itemize
menší spolehlivost a menší odolnost proti šumu
\end_layout

\begin_layout Itemize
nutno řešit negativní vlivy na senzory: elektromagnetické pole, oscilace,
 vysoké rychlosti a teploty
\end_layout

\begin_layout Itemize
vyšší nároky na údržbu
\end_layout

\begin_layout Itemize
menší robustnost, problém při selhání senzoru, je-li motor současně využíván
 i jako brzda (detailněji 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PCW1"

\end_inset

)
\end_layout

\begin_layout Standard
Je tedy snahou se užití senzorů vyhnout a k určování polohy a otáček rotoru
 využít jiných, 
\emph on
bezsenzorových
\emph default
, metod.
 Ty jsou obvykle založeny na speciálním algoritmu, který odhaduje hodnoty
 mechanických veličin z hodnot veličin elektrických.
\end_layout

\begin_layout Standard
S bezsenzorovými metodami byly na počátku spojeny problémy s výpočetní náročnost
í.
 To se však změnilo s dostupností moderních výkoných elektronických prvků
 umožňujících implementaci náročnějších algoritmů a tím byl umožněn rozvoj
 bezsenzorového řízení.
 V posledních letech tak byl současně v akademické i průmyslové sféře odstartová
n intenzivní výzkum na poli pokročilých řídících strategií.
 Pro komerční průmyslovou aplikaci je však bezsenzorový návrh rozumný, jen
 pokud se neprodraží více než původně uvažované senzory.
 Nelze tedy bezsenzorový návrh příliš usnadnit přidáním dalších elektrických
 senzorů (napříkad napěťových), užití nejvýkonějších dostupných procesorů,
 případně požadavkem na jinou nebo speciální konstrukci samotného motoru
 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Pacas2011"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Přehled metod pro odhadování stavových veličin PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
K odhadování stavových veličin PMSM v bezsenzorovém návrhu je možno přistupovat
 z různých směrů a lze při tom využít mnoha specifických jevů.
 V důsledku toho byla vyvinuta celá řada více či méně uspěšných metod.
 Následující přehled hlavních reprezentantů těchto metod čerpá svoji osnovu
 z 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Yongdong2008"

\end_inset

, ta je doplněna z 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Holtz2006"

\end_inset

 a dále o konkrétní příklady z dalších zdrojů.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Metody založené na otevřené smyčce
\end_layout

\begin_layout Standard
Nejdříve budou uvedeny nejjednodušší metody odhadování stavových veličin
 založené na otevřené smyčce.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Přímý výpočet 
\end_layout

\begin_layout Standard
Požadované veličiny (poloha a otáčky) jsou přímo vyjádřeny a vypočteny z
 rovnic popisujících PMSM.
 Jedná se o přímočarou a jednoduchou metodu s velmi rychlou dynamickou odezvou.
 Není třeba užití komplikovaného pozorovatele, nicméně metoda je velmi citlivá
 na chyby měření, šum a nepřesné určení parametrů stroje.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Výpočet statorové indukčnosti 
\end_layout

\begin_layout Standard
Používá se pro IPMSM, kde indukčnost statorových fází je funkcí polohy rotoru.
 Poloha rotoru je tedy vypočtena z napětí a proudu ve statorové fázi.
 Problémy nastavají v důsledku nepřesného výpočtu indukčnosti a dále při
 saturaci magnetickým tokem, kdy metoda poskytuje špatné výsledky.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Integrace zpětné elektromotorické síly 
\end_layout

\begin_layout Standard
Metoda využíva toho, že v synchronním stroji rotuje statorový a rotorový
 tok synchronně a tedy ze znalosti statorového toku lze vypočítat, na základě
 rovnic stroje, úhel rotorového toku, tedy polohu hřídele.
 Problém tohoto přístupu je především v citlivosti na chyby a (především
 teplotní) změny rezistance statoru.
 Dále metoda funguje špatně při nízkých otáčkách.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Rozšířená elektromotorická síla 
\end_layout

\begin_layout Standard
Jedná se především o rozšíření konceptu zpětné elektromotorické síly na
 IPMSM, kde navíc vystupují rozdílné indukčnosti.
 Umožňuje tedy užití metod pro SMPMSM založených na EMF i pro IPMSM.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Metody s uzavřenou smyčkou
\end_layout

\begin_layout Standard
Předchozí metody založené na otevřené smyčce jsou limitovány především přesností
, s jakou uvažované parametry v modelu odpovídají skutečným hodnotám stroje.
 Obzvláště při nízkých otáčkách se chyby parametrů mohou nepříznivě ovlivňovat
 dynamiku systému.
 Užitím pozorovatelů založených na uzavřené smyčce lze zvýšit robustnost
 proti nepřesnému určení parametrů, ale i proti šumu v systému obecně 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Holtz2006"

\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Rozšířený Kalmanův filtr 
\end_layout

\begin_layout Standard
Tato metoda poskytuje ve srovnání s ostatními velmi dobré výsledky, je méně
 ovlivněna šumem měření a nepřesností parametrů.
 Je asi nejpoužívanějším nelineárním pozorovatelem pro odhadování stavových
 veličin PMSM.
 Popis jeho aplikace lze naléz například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSB1,PEB2,PEB1,Peroutka2009"

\end_inset

.
 Problematičtější je nutnost vhodné volby kovariančních matic.
 Dále je třeba vyřešit problém s konvergencí ke špatnému řešení (symetrie
 
\begin_inset Formula $\left(\omega,\vartheta\right)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\left(-\omega,\vartheta+\pi\right)$
\end_inset

).
 Užití rozšířeného Kalmanova filtru je také komplikovanější pro IPMSM s
 různými indukčnostmi kvůli složitějšímu popisu.
 Dalšími nevýhodami jsou vyšší výpočetní a časová náročnost.
 Detailnímu popisu algoritmu rozšířeného Kalmanova filtru a jeho následné
 aplikaci na PMSM bude věnována zvláštní pozornost dále v textu (část 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:EKF-popis"

\end_inset

) a (
\series bold
odkaz
\series default
).
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
MRAS (Model Reference Adaptive System)
\end_layout

\begin_layout Standard
Algoritmus využívá redundance dvou různých modelů stroje k určení stejných
 veličin z jiné množiny vstupů.
 Chyba mezi estimovanými veličinami jednotlivých modelů je pak úměrná úhlovému
 posunu mezi dvěma odhadovanými vektory magnetického toku a tedy i úhlu
 natočení stroje.
 Tato chyba je pak obvykle minimalizována PI regulátorem.
 Příkladem je využití napěťového modelu a proudového modelu k určení chyby
 magnetického toku, ze které je určena rychlost.
 Jinou možností je užít jako jeden z modelů samotný PMSM.
 Nevýhodou této metody je silná závislost na přesnosti parametrů stroje,
 obzvláště na rezistanci statoru.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Jednoduché adaptivní řízení 
\end_layout

\begin_layout Standard
Návrh pro případ známé velikosti toku permanentních magnetů.
 Výhodou je zvládnutí kompenzace konstantní posun napětí, avšaj má problémy
 při nízkých otáčkách.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Klouzavý pozorovatel (sliding mode observer)
\end_layout

\begin_layout Standard
Přístup zajišťuje nulovou chybu odhadovaného statorového proudu.
 Dále pak rekonstruuje zpětnou elektromotorickou sílu a vypočítává z ní
 polohu rotoru.
 Opět má problémy při nízkých otáčkách.
 Existuje i iterativní verze klouzavého pozorovatele, viz například 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSK1"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Metody založené na neideálních vlastnostech motoru 
\end_layout

\begin_layout Standard
Jejich výhodou je především odstraňení kritické závislosti na velikosti
 zpětné elektromotorické síly úměrné otáčkám stroje.
 Tyto metody jsou tedy navrhovány se zamýšleným užitím především pro nízké
 a nulové otáčky.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Vyskofrekvenční (HF) injektáž 
\end_layout

\begin_layout Standard
Metoda je založena na vlastnosti magnetických 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

výčnělků
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 (saliency) především u IPMSM, případně na lokálních anizotropiích v důsledku
 saturace magnetickým tokem typicky pro SMPMSM.
 Detailněji se základní metodou injetkáže zabývají v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAB1,PAH1,PSJ1"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Injektovaný signál je přiváděn na vstup stroje spolu s řízením.
 Generuje točivé nebo střídavé pole ve specifickém, předem určeném prostorovém
 směru.
 Tyto dva rozdílné přístupy jsou také označovány jako 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

rotující napěťový vektor
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 a 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

pulzující napěťový vektor
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 v tomto pořadí.
 Jejich srovnání a aplikaci na oba typy PMSM (SM- a I-) lze nalézt v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PCB1,PCK1"

\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Přídavný injektovaný signál je označován jako 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

nosný
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 a je periodický o dané frekvenci vzhledem k času nebo prostoru.
 Nosný signál je modulován aktuální prostorovou orientací anizotropií stroje
 a následně je signál extrahován z výstupu stroje a demodulován.
 Tím postupem je obecně získávána hodnota úhlu natočení.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Výhodné je injektovat do 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 osy, kde nedochází k rušení momentu.
 Dále injektáží do 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 osy lze užít saturace tokem pro motory s nevýraznými výstupky, což však
 není vhodné pro aplikace při silném zatížení.
 Další možností je injektovat ve statorových souřadnicích 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Výhodou injektáží je necitlivost k nepřesné znalosti parametrů stroje.
 Například články 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSL1,PSL3"

\end_inset

 představují injektážní metodu, která nepotřebuje znát parametry stroje.
 V případě 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSL3"

\end_inset

 se navíc snaží kompenzovat i negativní vliv invertoru a rozšířit schopnost
 detekce anizotropií i na velmi malé nepravidelnosti typické pro SMPMSM.
 Nevýhodou injektážních metod je spotřeba jistého množství napětí, což snižuje
 dostupné maximální napětí.
 Dalším nedostatekem je užití digitálních filtrů pro zpracování a špatný
 dynamický výkon v důsledku jejich užití.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Injektáž velmi vysokých frekvencí
\end_layout

\begin_layout Standard
Tento relativně nový postup prezentovaný v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAP1"

\end_inset

 nedetekuje anizotropie v důsledku saturace případně anizotropie samotného
 rotoru rotoru.
 Místo toho je založena na neideálních vlastnostech (anizotropiích) samotných
 permanentních magnetů.
 Z tohoto důvodu ji lze využít v případech kdy ostatní metody selhávají,
 například z důvodu nepřítomnosti klasických anizotropií.
 Pro správnou funkčnost metody je však nutné užití velmi vysokých frekvencí
 v řádu stovek 
\emph on
kHz
\emph default
.
 Nevýhodou je nutnost volby optimální hodnoty frekvence specificky pro konkrétní
 typ magnetu.
 Dále pak to, že se jedná o relativně novou metodu, která zatím není detailněji
 prozkoumána.
 
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Nizkofrekvenční (LF) injektáž 
\end_layout

\begin_layout Standard
Nízkofrekvenční injektáž je založena na injektování nízké frekvence do 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 osy, to způsobí změnu v otáčkách indikující chybu odhadu a z ní je pak
 možné odhadnout polohu.
 Metoda je založeno na jiném principu než vysokofrekvenční injektáže a výstupky
 již nejsou nutnou podmínkou pro její funkčnost.
 Použitelnost tohoto přístupu závisí na momentu setrvačnosti stroje a pro
 jeho velké hodnoty selháva.
 Dalším nedostatkem pak je pomalá dynamická odezva.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
INFORM (Indirect flux detection by on-line reactance measurement) 
\end_layout

\begin_layout Standard
Jedná se o metodu použitelnou pro určení polohy PMSM při nízkých a nulových
 otáčkách.
 Je založena na měření proudové odezvy vyvolané přepínáním invertoru s pulzně-ší
řkovou modulací (PWM) a užitím těchto proudů k výpočtu polohy rotoru.
 Výhodou je jednoduchý výpočet a dále, že není třeba rovnic pro motor a
 tedy metoda je necitlivá na změnu/nepřesné hodnoty parametrů.
 Oproti tomu je však citlivá na chyby toku, které způsobují špatný odhad.
 Další nevýhodou této metody je rušení proudů v ustáleném stavu.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Detekce počáteční polohy 
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro hladký start PMSM je třeba znát počáteční polohu.
 Obvyklým postupem je užití vhodné excitace stroje k získání této informace.
 Hlavní užívané možnosti excitace jsou:
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Užití impulzního napětí 
\end_layout

\begin_layout Standard
Postup je založen na sycení a změně indukčnosti statoru s pozicí magnetů
 na rotoru.
 Za klidu jsou do statorových fází aplikovány napěťové pulzy a z proudů
 je následně vupočítána informace o poloze.
 Příkladem může být technika představená v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PIS1"

\end_inset

, která nevyžaduje znalost parametrů stroje a je možno ji aplikovat i na
 SMPMSM.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Testovací napěťové vektory 
\end_layout

\begin_layout Standard
Napěťové vektory v různých prostorových směrech jsou aplikovány do stroje
 a je měřena proudová odezva.
 Nejvyšší odezva pak indikuje pozici rotoru.
 Funkčnost metody je založena na saturaci statorového jádra.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Vysokofrekvenční (HF) testovací signál 
\end_layout

\begin_layout Standard
Počáteční poloha je získávána z odezvy na injektovaný proudový nebo napěťový
 vysokofrekvenční signál.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Kombinace metod
\end_layout

\begin_layout Standard
Vzhledem k tomu, že každá z výše uvedených metod má své nedostatky, nejlepších
 výsledků je dosahováno jejich vhodnou kombinací.
 Kombinování metod však přináší nové problémy, které je třeba řešit.
 Obecně komplikuje celý návrh a ten se tak stává složitějším.
 Velkým problémem je nutnost navrhnout správné napojední a součinnost jednotlivý
ch kombinovaných metod.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
V 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSB1"

\end_inset

 představují bezsenzorové řízení založené na EKF pozorovateli ve spojení
 s PI regulátory.
 To nepotřebuje znát počáteční natočení rotoru ani zátěžný moment.
 PI regulátor napětí lze nastavit se zamčeným rotorem a ve zmiňovaném zdroji
 je řešen i problém s rozpoznáním 
\begin_inset Formula $\mathrm{sign}\,\omega$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Článek 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PEB2"

\end_inset

 je také zaměřen na využití EKF, nyní však v případě IPMSM.
 Návrh je komplikovanější v důsledku uvažování anizotropií stroje, autoři
 se ji však snaží využít k vylepšení výkonu systému.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
V 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PLU1"

\end_inset

 využívají řízení založené na klouzavém pozorovateli, kde si ale navíc při
 nízkých otáčkách 
\begin_inset Formula $\omega\thickapprox0$
\end_inset

 pomáhají injektováním stejnosměrného proudu do 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 osy.
 Nevyužívají však anizotropií ani nijak zvlášť neanalyzují injektovaný signál.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Hybridní metody s injektáží
\end_layout

\begin_layout Standard
Jako hybridní metody budou v textu označovány kombinace nejčastěji používaných
 přístupů pro PMSM, tedy injektáží a technik založených na zpětné elektromotoric
ké síle.
 Užití injektáží je vhodné pro nízké a nulové otáčky, zatímco ve vyšších
 rychlostech způsobuje nežádoucí rušení.
 Oproti tomu přístupy využívající zpětnou elektromotorickou sílu fungují
 pří vyšších otáčkách dobře a pro nízké selhávají.
 Je tedy nasnadě oba typy metod vhodným způsobem zkombinovat a získat tak
 způsob jak odhadovat stavových veličin v celém rozsahu rychlostí stroje.
 Základní idea tedy je pří nízkých otáčkách využívat odhadů z injektáží
 a při zvýšení otáček injektáže vypnout, aby nezpůsobovali rušení a dále
 se řídit jen na zákledě odhadů ze zpětné elektromotorické síly.
 Tento postup je použit v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAP2"

\end_inset

, kdy jako estimátor používají adaptivního pozorovatele s referenčním modelem,
 který je pro nízké otáčky doplněn základním návrhem injektáže.
\end_layout

\begin_layout Standard
Důležitou součástí těchto metod je způsob, jakým se vyřeší 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

bezproblémový
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 přechod z jednoho estimátoru na jiný.
 V 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PHS1"

\end_inset

 je to například řešeno tak, že stále užívají estimátor rotorového toku
 založený na indukovaných napětích.
 V nízkých otáčkách je pak doplňován injektáží, ta s rostoucími otáčkami
 postupně vymizí.
 Obdobně v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSP1"

\end_inset

 je užit estimátor založený na napěťovém modelu, v nízkých otáčkách je přidána
 vysokofrekvenční injektáž.
 Amplituda injektáže s rostoucími otáčkami lineárně klesá a navíc je nad
 určitou mezní rycholostí úplně vypnuta.
\end_layout

\begin_layout Standard
Hybridní metody jsou samozřejmě dále vylepšovány.
 Například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSP2"

\end_inset

 uzpůsobojí standartní hybridní metodu, zejména její injektážní část, aby
 fungovala i s invertorem vybaveným na výstupu 
\emph on
LC
\emph default
 filtrem.
 Toho se užívá zejména k odstranění problému ve střídavých strojích v důsledku
 napájení nesinusovým napětím z invertoru s pulzně šířkovou modulací.
 
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Užití více modelů
\end_layout

\begin_layout Standard
Poměrně dobrých výsledků je také dosahováno při použití metod užívajících
 více současně běžících modelů.
 Z těchto modelů je pak nějakým způsobem vybrán nejlepší, případně je z
 nich přímo počítán odhad stavových veličin.
 Nevýhody tohoto přístupu jsou zřejmé, především se jedná o velkou výpočetní
 náročnost způsobenou právě současným během více modelů.
 Příkladem může být sekvenční metoda Monte Carlo označovaná také jako Particle
 Filter.
 (
\series bold
citace
\series default
)
\end_layout

\begin_layout Subsection
Přiblížení metody vysokofrekvenční injektáží
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Priblizeni-metody-vysokofrekvenc"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
V tomto odstavci bude přiblížen základní princip fungování vysokofrekvenčních
 injektáží pro PMSM s různýmí indukčnostmi 
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset

.
 Popis je založeno na 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Fernandes2010,Hammel2010"

\end_inset

.
 Uvažována bude injektáž označovaná jako 
\emph on
pulzující napěťový vektor
\emph default
, kdy je injektáž prováděna v rotorové souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

.
 Konkrétně je do estimované osy 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 injektována harmonický signál 
\begin_inset Formula 
\[
u_{d}^{inj}=A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right),
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $A_{inj}$
\end_inset

 je amplituda injektovaného signálu a 
\begin_inset Formula $\omega_{inj}$
\end_inset

 pak jeho frekvence.
 Odezva je získávána z proudu v estimované ose 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Vyjdeme z prvních dvou rovnic ze soustavy rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"

\end_inset

) a dále aplikujeme následující předpoklady 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Fernandes2010"

\end_inset

: 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
frekvence injektovaného signálu je dostatečně velká oproti uvažované frekvenci
 otáčení stroje 
\begin_inset Formula $\omega_{inj}\gg\omega$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
otáčky jsou dostatečně nízké, aby byla zanedbatelná zpětná elektromotorická
 síla a poklesy napětí v důsledku rezistance obvodu
\end_layout

\begin_layout Enumerate
uvažujeme pouze jednoduchou anizotropii, zde reprezentovanou rozdílnými
 indukčnostmi 
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard
Na základě těchto předpokladů je možno vyloučit interakci vysokofrekvenčního
 signálu s 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

mechanickou
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 částí stroje a zjednodušit původní rovnice na vysokofrekvenční model stroje
 ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{di_{d}}{dt} & = & \frac{1}{L_{d}}u_{d},\nonumber \\
\frac{di_{q}}{dt} & = & \frac{1}{L_{q}}u_{q}.\label{eq:inj-hf-model}
\end{eqnarray}

\end_inset

Dále zaveďme označení, kdy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 reprezentuje skutečný úhel natočení rotoru, 
\begin_inset Formula $\hat{\vartheta}$
\end_inset

 jeho odhad a veličina 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 představuje chybu tohoto odhadu 
\begin_inset Formula $\theta=\vartheta-\hat{\vartheta}$
\end_inset

.
 Průběh injektáže je pak následující:
\end_layout

\begin_layout Standard
Nejdříve je injektován vysokofrekvenční signál do estimované osy 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 (označíme jako 
\begin_inset Formula $\hat{d}$
\end_inset

)
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\tilde{u}_{\hat{d}} & = & u_{\hat{d}}+A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right),\\
\tilde{u}_{\hat{q}} & = & u_{\hat{q}},
\end{eqnarray*}

\end_inset

 kde 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 značí řídící zásah navržený regulátorem, tedy bez injektáže, a 
\begin_inset Formula $\tilde{u}$
\end_inset

 řídící zásah s injektáží.
 Následně provedeme transformaci z estimovaného rotorového 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 do (skutečného) statorového 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 souřadného systému pomocí vztahu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"

\end_inset

), tedy rotaci o 
\begin_inset Formula $\hat{\vartheta}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\tilde{u}_{\alpha} & = & u_{\alpha}+A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right)\cos\hat{\vartheta},\\
\tilde{u}_{\beta} & = & u_{\beta}+A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right)\sin\hat{\vartheta},
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $u_{\alpha\beta}$
\end_inset

 představují zjednodušené označení pro transformované původní řídící zásahy
 
\begin_inset Formula $u_{\hat{d}\hat{q}}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Řídící zásahy 
\begin_inset Formula $\tilde{u}_{\alpha\beta}$
\end_inset

 jsou použity ve stroji, ten je reprezentován rovnicemi vysokofrekvečního
 modelu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-hf-model"

\end_inset

) v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 a proto provedeme transformaci (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"

\end_inset

), nyní ale se skutečnou hodnotou 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

, protože uvažujeme, že ta je samotnému stroji (případně jeho simulátoru)
 známa, výsledkem jsou řídící zásahy
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\tilde{u}_{d} & = & u_{d}+A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right)\cos\hat{\vartheta}\cos\vartheta+A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right)\sin\hat{\vartheta}\sin\vartheta,\\
\tilde{u}_{q} & = & u_{q}-A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right)\cos\hat{\vartheta}\sin\vartheta+A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right)\sin\hat{\vartheta}\cos\vartheta,
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde opět 
\begin_inset Formula $u_{dq}$
\end_inset

 značí řídící zásah navržený regulátorem, tedy bez injektáže, a 
\begin_inset Formula $\tilde{u}_{dq}$
\end_inset

 řídící zásah s injektáží, nyní však ve skutečné souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 a nikoliv v estimované.
 Transformované řízení 
\begin_inset Formula $\tilde{u}_{dq}$
\end_inset

 nyní aplikujeme ve vysokofrekvenčním modelu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-hf-model"

\end_inset

) a vypočteme proudy 
\begin_inset Formula $i_{dq}$
\end_inset

, kdy se v podstatě jedná o integraci, dále provedeme zjednodušení výsledných
 vztahů pomocí základních goniometrických vzorců a užijeme označení 
\begin_inset Formula $\theta=\vartheta-\hat{\vartheta}$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\tilde{i}_{d} & = & i_{d}+\frac{A_{inj}}{L_{d}\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\cos\theta,\\
\tilde{i}_{q} & = & i_{q}-\frac{A_{inj}}{L_{q}\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\sin\theta,
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\tilde{i}_{dq}$
\end_inset

 představuje proudy na výstupu a pod označení 
\begin_inset Formula $i_{dq}$
\end_inset

 byly zahrnuty zbývající členy z integrace, tedy integrace napětí 
\begin_inset Formula $u_{dq}$
\end_inset

 a případné integrační konstanty.
\end_layout

\begin_layout Standard
Návrh systému předpokládá měření proudů ve statorových souřadnicích a tedy
 je nutné provést transformaci (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"

\end_inset

) do souřadného systému 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\tilde{i}_{\alpha} & = & i_{\alpha}+\frac{A_{inj}}{\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\left(\frac{\cos\theta\cos\vartheta}{L_{d}}+\frac{\sin\theta\sin\vartheta}{L_{q}}\right),\\
\tilde{i}_{\beta} & = & i_{\beta}+\frac{A_{inj}}{\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\left(\frac{\cos\theta\sin\vartheta}{L_{d}}-\frac{\sin\theta\cos\vartheta}{L_{q}}\right),
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde jako 
\begin_inset Formula $i_{\alpha\beta}$
\end_inset

 označíme transformované proudy 
\begin_inset Formula $i_{dq}$
\end_inset

.
 Dále je ještě třeba převést proudy pomocí transformace (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"

\end_inset

) do estimované rotorové souřadné soustavy 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

, ve které probíhá vyhodnocení
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\tilde{i}_{\hat{d}} & = & i_{\hat{d}}+\frac{A_{inj}}{\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\left(\frac{\cos^{2}\theta}{L_{d}}+\frac{\sin^{2}\theta}{L_{q}}\right),\\
\tilde{i}_{\hat{q}} & = & i_{\hat{q}}+\frac{A_{inj}}{\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\left(\frac{\sin\theta\cos\theta}{L_{d}}-\frac{\sin\theta\cos\theta}{L_{q}}\right).
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní je třeba vhodně získat modulovaný vysokofrekvenční signál na frekvenci
 
\begin_inset Formula $\omega_{inj}$
\end_inset

 z proudu v estimované 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 ose, tento signál označíme 
\begin_inset Formula $i_{q}^{inj}$
\end_inset

 a jeho hodnota v čase je
\begin_inset Formula 
\[
i_{q}^{inj}=\frac{A_{inj}}{\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\sin\theta\cos\theta\left(\frac{1}{L_{d}}-\frac{1}{L_{q}}\right),
\]

\end_inset

tedy na nosném vysokofrekvenčním signálu 
\begin_inset Formula $\sin\left(\omega_{inj}t\right)$
\end_inset

 je modulována hodnota
\begin_inset Formula 
\[
\frac{A_{inj}\left(L_{q}-L_{d}\right)}{2\omega_{inj}L_{d}L_{q}}\sin2\theta.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Izolovat přímo vysokofrekvenční signál však není snadné a proto se používá
 následující postup: Proud v estimované ose 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 násobíme vysokofrekvenčním signálem na frekvenci 
\begin_inset Formula $\omega_{inj}$
\end_inset

 s vhodným časovým posunem.
 Ilustrujme to na funkci 
\begin_inset Formula $\sin\left(\omega_{inj}t\right)$
\end_inset

, kdy získáme
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\tilde{i}_{\hat{q}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)=i_{\hat{q}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)+\frac{A_{inj}\left(L_{q}-L_{d}\right)}{2\omega_{inj}L_{d}L_{q}}\sin2\theta\sin^{2}\left(\omega_{inj}t\right).\label{eq:inj-signal-pred-lpf}
\end{equation}

\end_inset

Na tento signál následně aplikujeme low-pass filtr a získáme hodnotu
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\frac{A_{inj}\left(L_{q}-L_{d}\right)}{4\omega_{inj}L_{d}L_{q}}\sin2\theta.\label{eq:inj-modul-signal}
\end{equation}

\end_inset

Důvodem pro tento výsledek je fakt, že low-pass filtr odstraňuje ze signálu
 vysoké frekvence a ponechává nízké.
 Uvažujme jeho krajní případ, tedy filtr, který ponechá v nějakém časovém
 horizontu pouze nejnižší frekvenci odpovídající střední hodnotě signálu
 a vypočtěme střední hodnotu signálu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-signal-pred-lpf"

\end_inset

) přes jednu periodu.
 Vzhledem k frekvenci signálu 
\begin_inset Formula $\omega_{inj}$
\end_inset

 je periodou například interval 
\begin_inset Formula $\left\langle 0,\frac{2\pi}{\omega_{inj}}\right\rangle $
\end_inset

, dále předpokládejme, že tato perioda je dostatečně krátká, abychom v jejím
 průběhu mohli považovat funkce 
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\strikeout off
\uuline off
\uwave off
\noun off
\color none
\lang english

\begin_inset Formula $i_{\hat{q}}$
\end_inset


\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\strikeout default
\uuline default
\uwave default
\noun default
\color inherit
\lang czech
 a 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 za konstantní v čase.
 Střední hodnota signálu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-signal-pred-lpf"

\end_inset

) přes periodu pak je
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{\omega_{inj}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega_{inj}}}\tilde{i}_{\hat{q}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)dt & = & i_{\hat{q}}\frac{\omega_{inj}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega_{inj}}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)dt+\\
 & + & \frac{A_{inj}\left(L_{q}-L_{d}\right)}{2\omega_{inj}L_{d}L_{q}}\sin2\theta\frac{\omega_{inj}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega_{inj}}}\sin^{2}\left(\omega_{inj}t\right)dt\\
 & = & 0\cdot i_{\hat{q}}+\frac{\omega_{inj}}{2\pi}\cdot\frac{\pi}{\omega_{inj}}\cdot\frac{A_{inj}\left(L_{q}-L_{d}\right)}{2\omega_{inj}L_{d}L_{q}}\sin2\theta\\
 & = & \frac{A_{inj}\left(L_{q}-L_{d}\right)}{4\omega_{inj}L_{d}L_{q}}\sin2\theta.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Výsledek (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-modul-signal"

\end_inset

) lze nalézt například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PCB1,PSJ1,PSP1,PSP2"

\end_inset

.
 Následně lze hodnoty (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-modul-signal"

\end_inset

) použít k získání lepšího odhadu polohy 
\begin_inset Formula $\hat{\vartheta}$
\end_inset

.
 Není však příliš vhodném získávat odhad 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 z (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-modul-signal"

\end_inset

) přímým výpočtem, protože takovýto výsledek by byl velmi nepřesný.
 Je tomu tak proto, že samotná hodnota (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-modul-signal"

\end_inset

) je relativně nepřesná v důsledku demodulace a dále může být značně zatížena
 šumem.
 Výhodnější proto je použít vhodný zpětnovazební regulátor, například PI,
 a regulovat hodnotu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-modul-signal"

\end_inset

) úměrnou chybě odhadu 
\begin_inset Formula $\vartheta-\hat{\vartheta}$
\end_inset

 na nulu.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dále je třeba upozornit na nedostatky injektážní metody, které plynou ze
 zápisu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-modul-signal"

\end_inset

).
 Především je zřejmá nezbytnost předpokladu 
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset

, protože v případě rovnosti je hodnota (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-modul-signal"

\end_inset

) zřejmě rovna nule.
 Dalším problémem je, že v (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-modul-signal"

\end_inset

) nevystupuje přímo hodnota 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

, ale hodnota 
\begin_inset Formula $\sin2\theta$
\end_inset

 a vztah je tedy nelineární.
 Budeme-li chtít využít lineární zpětnovazební regulátor pro regulaci 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 na nulu, lze jej použít pouze pro malé výchylky 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

, kdy dostatečně přesně platí aproximace 
\begin_inset Formula $\sin x\approx x$
\end_inset

.
 I v případě, že tento problém vyřešíme, metoda bude stále fungovat pouze
 pro odchylky 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 v omezeném intervalu 
\begin_inset Formula $\theta\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\rangle $
\end_inset

 v důslekdu kratší periody funkce 
\begin_inset Formula $\sin2x$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Metody řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Tato část bude věnována základním postupům užívaným pro řízení synchronních
 strojů.
 V případě zpětnovazebních strategií je nutno regulátoru poskytnout informace
 o stavu.
 Tato informace je v senzorovém návrhu získávána pomocí čidla, pro bezsenzorový
 návrh je třeba užít některý z přístupů zmiňovaných v předchozí části.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Požadavky pro řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Cílem řízení systému je obvykle dosažení optimální shody se zadanými požadavky.
 Ty jsou většinou reprezentovány referenčním signálem, který dostává regulátor
 na svůj vstup spolu s hodnotami pozorování systému.
 Pro mnoho regulátorů je obvyklé uvažovat jako referenční hodnotu nulu,
 příkladem může být PI regulátor nebo standartní lineárně kvadratický regulátor.
 Požadavek řízení na nulové hodnoty je pak třeba vhodně ošetřit.
 Příklad takového postupu představuje úprava lineárně kvadratického řízení
 pro PMSM v kapitole (
\series bold
odkaz
\series default
).
\end_layout

\begin_layout Standard
Nejen pro PMSM ale pro motory obecně představuje obvykle referenční signál
 požadavek na otáčky.
 Další možností je požadovaný moment nebo případně požadovaná poloha u servomoto
rů.
 Přičemž posledně jmenovaná možnost řízení polohy zatím zřejmě není příliš
 vhodná ve spojení s bezsenzorovým PMSM kvůli problematice určování polohy
 v nízkých a nulových otáčkách.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Skalární řízení
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Skalarni-rizeni"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Skalární řízení je často využíváno v asynchronních strojích, je však možné
 užít jej i pro PMSM.
 Detailněji je popsáno například v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "shfpmsmct2007"

\end_inset

.
 Jeho velkou výhodou je, že se jedná v podstatě o bezsenzorový návrh řízení,
 protože funguje na principu nezpětnovazebního řízení.
 Nevýhodou je pak závislost rychlosti na zátěžném momentu, horší dynamické
 vlastnosti a špatná regulace momentu.
 I přes zmíněné nevýhody toto řízení obvykle stačí na jednudušší aplikace
 jako pohon větráků, čerpadel nebo klimatizací 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Pacas2011"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Toto řízení je také označováno jako 
\begin_inset Formula $V/f$
\end_inset

 nebo volt/herz řízení, protože regulovanou veličinou je právě poměr napětí
 a frekvence.
 Snahou řízení je udržet poměr napětí a frekvence konstantní.
 Úhlová rychlost rotoru může být určena nepřímo výpočtem z frekvence napájecího
 napětí.
 Tato hodnota může být považována za hodnotu skutečných otáček stroje, pokud
 zátěžný moment nepřesáhne kritickou hodnotu.
 Pro řízení ale skutečnou hodnotu otáček stroje znát nepotřebujeme, algoritmus
 totiž pracuje ve stručnosti následovně:
\end_layout

\begin_layout Standard
Z požadovaných otáček se určí frekvence 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, ta slouží jako referenční signál pro regulátor.
 Ten pak řídí poměr napětí a frekvence 
\begin_inset Formula $V/f$
\end_inset

 tak, aby byl konstantní.
 Na jeho výstupu získáme amplitudu napětí 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Řídící napětí pro PMSM v 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 souřadnicích je pak ve tvaru 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{\alpha} & = & V\cos(2\pi ft),\\
u_{\beta} & = & V\sin(2\pi ft).
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Přímé řízení momentu
\end_layout

\begin_layout Standard
Přímé řízení momentu (Direct Torque Control, DTC) se užívá, když je potřeba
 vysoký výkon vzhledem k dynamice momentu.
 Je řízen přímo moment stroje a základní princip je následující: Kruhová
 trajektorie statorového toku se rozdělí na šest symetrických částí.
 Velikosti vektorů statorového toku a elektromagnetického momentu v souřadnicích
 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 je pak držena v předem stanovených mezích prostřednictvím vhodného spínání
 přímo jedné ze šesti kombinací na invertoru.
 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "shfpmsmct2007,vcmdtc2006"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Touto metodou text již dále nezabývá a je zde uvedena jen pro úplnost.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Vektorové řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Jedná se asi o velmi často využívaný řídící algoritmus.
 Je aplikován pro řízení v kombinaci s estimátorem založeným na zpětné elektromo
torické síle, injektáži i v hybridních verzích v mnoha publikovaných textech
 jako 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PEB2,PIC1,PIE1,PSJ1,PSM1,Peroutka2009,PSP1,PSP2,PSL2"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dle 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "shfpmsmct2007"

\end_inset

 vektorové řízení odstraňuje většinu nevýhod skalárního řízení a v porovnání
 s ním poskytuje velmi dobrý výkon.
 Jedná se o řízení zpětnovazební a umožňuje samostatné řízení toku i momentu,
 potřebuje však znát odhady stavových veličin stroje včetně mechanických.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Vektorové řízení je obvykle implementováno na základě vhodné kombinace PI
 regulátorů.
 Jinou možnost nabízí využít lineárně kvadratického regulátoru, který umožní
 daleko větší variabilitu návrhu.
 Jeho implementace v praxi je však komplikovaná z důvodu znatelně větší
 výpočetní náročnosti.
 Užití lineárně kvadratického regulátoru pro řízení PMSM není zatím v literatuře
 příliš zmiňováno, vyjímkou je 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Molavi2008"

\end_inset

, kde ovšem neuvažují bezsenzorový návrh.
\end_layout

\begin_layout Standard
V následujícím odstavci bude popsán PI regulátor a na něm založená implementace
 vektorového řízení.
 Popisu lineárně kvadratického přístupu bude věnována samostatná část v
 následující kapitole (
\series bold
odkaz
\series default
) a jeho aplikace na PMSM pak bude uvedena dále v části (
\series bold
odkaz
\series default
).
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
PI regulátor
\end_layout

\begin_layout Standard
PI (proporcionálně integrační) regulátor je jednoduchý systém, který v sobě
 kombinuje dvě základní části: Proporcionální část, což je ve své podstatě
 zesilovač a integrální část reprezentovanou integrátorem.
 V tomto systému se vyskytují dvě konstanty 
\begin_inset Formula $K_{p}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $K_{i}$
\end_inset

, které je třeba vhodně nastavit.
 Základní implementace je následnovná:
\begin_inset Formula 
\[
x_{t}=\mathrm{PI}\left(e_{t},K_{p},K_{i}\right)=K_{p}e_{t}+K_{i}\intop_{0}^{t}e_{\tau}d\tau.
\]

\end_inset

A v diskrétní verzi pak
\begin_inset Formula 
\[
x_{t}=\mathrm{PI}\left(e_{t},K_{p},K_{i}\right)=K_{p}e_{t}+K_{i}\sum_{k=0}^{t}e_{k}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Tento regulátor je výhodné užít v případě, kdy chceme vyregulovat 
\begin_inset Formula $e_{k}$
\end_inset

, obvykle reprezentující odchylku od požadované hodnoty, na nulu.
 V některých případech bychom si vystačili s proporcionální složkou, integrální
 složka však dodává lepší stabilitu a schopnost odstranit konstatní regulační
 odchylku.
 Cenou za to je pomalejší konvergence.
 (
\series bold
citace
\series default
)
\end_layout

\begin_layout Subsection
Vektorové řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Vektorové PI řízení je implementováno na zákadě popisu v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "shfpmsmct2007,Peroutka2009"

\end_inset

.
 Uvažujeme reprezentaci stroje v 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 souřadném systému.
 Vektorové řízení je zpětnovazební a je tedy potřeba znát odhady úhlu natočení
 
\begin_inset Formula $\hat{\vartheta}$
\end_inset

 a otáček 
\begin_inset Formula $\hat{\omega}$
\end_inset

 rotoru stroje.
 Základní struktura regulátoru pak využije zpětné vazby z otáček, kdy první
 regulátor reguluje odchylku estimovaných otáček 
\begin_inset Formula $\hat{\omega}$
\end_inset

 od požadované referenční hodnoty 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset

 na nulu.
 Výstupem je pak referenční proud 
\begin_inset Formula $\overline{i_{q}}$
\end_inset

.
 Referenční proud 
\begin_inset Formula $\overline{i_{d}}$
\end_inset

 volíme nulový, aby bylo dosaženo maximálního momentu.
 Tento postup bude ilustrován na diskretizované rovnici pro otáčky ze soustavy
 (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:diskretni-system-dq-ls"

\end_inset

)
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\lang english

\begin_inset Formula 
\[
\omega_{t+1}\text{=}d\omega_{t}+ei_{q,t},
\]

\end_inset


\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang czech
přičemž zanedbáváme poslední člen se zátěžným momentem.
 Požadované hodnoty bychom chtěli dosáhnout v následujícím kroku a tedy
 získáme rovnici
\begin_inset Formula 
\[
\overline{\omega}-d\omega=ei_{q}.
\]

\end_inset

 
\begin_inset Formula $\overline{i_{q}}$
\end_inset

 pak můžeme získat pomocí PI regulátoru s vhodnými konstantami 
\begin_inset Formula 
\[
\overline{i_{q}}=\mathrm{PI}(\overline{\omega}-\omega,K_{p,i},K_{i,i}).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Referenční hodnoty proudů jsou následně porovnány s estimovanými hodnotami
 
\begin_inset Formula $i_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $i_{q}$
\end_inset

 a jejich odchylky jsou regulovány na nulu.
 Toto je provedeno pro každou složku zvlášť a výstupem jsou řídící napětí
 v souřadnicích 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

, tedy 
\begin_inset Formula $u_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $u_{q}$
\end_inset

.
 Postupujeme obdobně s rovnicemi proudů ze soustavy (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:diskretni-system-dq-ls"

\end_inset

)
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
i_{d,t+1} & = & ai_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+cu_{d,t},\\
i_{q,t+1} & = & ai_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-b\omega_{t}+cu_{q,t},
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde prozatím zanedbáme členy s 
\begin_inset Formula $\pm\Delta t\cdot i_{q,d}\omega$
\end_inset

, dále pak člen 
\begin_inset Formula $-b\omega_{t}$
\end_inset

 a chceme dosáhnout požadovaných hodnot 
\begin_inset Formula $\overline{i_{d}}=0$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\overline{i_{q}}$
\end_inset

, které byly získány v předchozím kroku.
 To vede na následující tvar
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
-ai_{d} & = & cu_{d},\\
\overline{i_{q}}-ai_{q} & = & cu_{q}.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Napětí 
\begin_inset Formula $u_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $u_{q}$
\end_inset

 měžeme opět získat pomocí PI regulátorů ve tvaru 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{d} & = & \mathrm{PI}(-i_{d},K_{p,u},K_{i,u}),\\
u_{q} & = & \mathrm{PI}(\overline{i_{q}}-i_{q},K_{p,u},K_{i,u}).
\end{eqnarray*}

\end_inset

Následně je ještě vhodné provést korekce v důsledku zanedbaných členů a
 to ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{d} & = & u_{d}-L_{s}\overline{i_{q}}\overline{\omega},\\
u_{q} & = & u_{q}+\psi_{pm}\overline{\omega}.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Konkrétní implementace použitá v simulacích v kapitole (
\series bold
odkaz
\series default
) vychází z 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Chapter
Teorie řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Kapitola se zabývá teoretickým pohledem na problematiku řízení.
 Velká pozornost je zde věnována pojmu duální řízení.
 Tato koncepce zde bude jednak obecně popsána, ale budou uvedeny i konkrétní
 případy jak ji řešit.
 Důraz přitom bude kladen především na jednoduché suboptimální algoritmy,
 které jsou dostatečně jednoduché, aby byla, alespoň teoreticky, možná jejich
 aplikace v reálném čase.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dále budou uvedeny aposteriorní Cramer-Raovy meze jako nástroj využitelnému
 k porovnání jednotlivých algroritmů, především z pohledu, jak dobře dokáží
 zlepšit pozorovatelnost systému.
 Tato kapitola však bude obsahovat i popis klasických technik pro řízení
 a odhadování, které jsou často užívány v této práci.
 Jedná se zejména o algoritmu rozšířeného Kalmanova filtru a lineárně kvadratick
ý regulátor.
\end_layout

\begin_layout Section
Rozdělení řídících algoritmů
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:Rozdeleni-ridicich-algoritmu"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Algoritmy užívané pro řízení systémů obecně, tedy nejen PMSM, lze rozdělit
 na základě jejich charakteristických vlastností do několika skupin.
 Toto rozdělení je obzvláště výhodné při práci se suboptimálními metodami.
 Rozčlenění je provedeno na základě dostupnosti pozorováním (měřením) stavu
 systému pro návrh řídícího zásahu a vychází z 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BarShalom1974"

\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Řídicí strategie založené na otevřené smyčce
\end_layout

\begin_layout Standard
V otevřené smyčce (open-loop) předpokládáme, že není dostupné žádné měření
 stavu systému.
 Řídící zásah je tedy navrhován pouze na základě znalosti struktury systému
 a stanovených požadavků, například ve formě referenčního signálu.
 Vzhledem k tomu, že tento přístup pouze navrhuje řídící zásahy a již nijak
 nevyhodnocuje jejich skutečný dopad, výsledky často nejsou dostačující
 pro náročnější aplikace.
 Příkladem užití s PMSM může být skalární volt/herz řízení, viz odstavec
 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Skalarni-rizeni"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Zpětnovazební řídící strategie
\end_layout

\begin_layout Standard
Oproti předchozí kategorii je zde zavedena zpětná vazba (feedback), která
 v každém časovém kroku 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 poskytuje měření 
\begin_inset Formula $y_{t}$
\end_inset

.
 Dostupná znalost o systému v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 jsou tedy, kromě jeho struktury, všechna měření 
\begin_inset Formula $y_{1},\ldots,y_{t}$
\end_inset

 až do času 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

.
 Dále však již nepředpokládáme žádnou znalost o budoucích měřeních.
 Tento přístup je také označován jako pasivně adaptivní, protože regulátor
 se 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

učí
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 na základě měření, ale nijak tomuto učení aktivně nepomáhá.
 Tedy informace, které se o systému dozví, získává v jistém smyslu náhodou
 a tedy ne záměrně.
 Příklad tohoto přístupu představují klasické techniky pro řízení PMSM jako
 vektorové řízení založené na PI nebo LQ regulátorech ve spojení s nějakým
 běžným estimátorem založeným na zpětné elektromotorické síle, například
 EKF.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Řídící strategie založená na uzavřené smyčce
\end_layout

\begin_layout Standard
Nejdříve je třeba poznamenat, že jak uvádějí autoři 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BarShalom1974"

\end_inset

, není často v literatuře zdůrazňován a rozlišován rozdíl mezi strategií
 založené na uzavřené smyčce (closed-loop) a zpětnovazební strategií (feedback).
 Řídící strategie pracující v uzavřené smyčce uvažuje všechna budoucí pozorování
 a tedy využívá znalosti, že smyčka zůstane uzavřena až do konce uvažovaného
 časového horizontu.
 Tuto znalost se snaží zužitkovat, především v tom smyslu, že současný řídící
 zásah může ovlivnit nejistotu týkající se budoucích stavů, to je také nazýváno
 jako 
\emph on
duální efekt
\emph default
.
 V tomto případě může vhodný řídící zásah 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

pomoci
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 učení (odhadování) tím, že snižuje nejistotu budoucích stavů a přístup
 pak lze označit za aktivně adaptivní.
 Právě této problematice se detailněji věnují následující části zabývající
 se duálním řízením.
\end_layout

\begin_layout Section
Teorie duálního řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Duální řízení je obvykle využíváno v systémech s neurčitostí, představovanou
 například neznámými parametry, nepozorovatelnými stavovými veličinami nebo
 samotnou strukturou systému.
 Snahou je tuto neurčitost snížit a poskytnout řízení srovnatelné kvality,
 jako v případě stejného systému bez neurčitosti.
 Charakteristickým rysem duálního řízení je, že obsahuje dvě hlavní části:
 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset


\emph on
opatrnou
\emph default

\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 a 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset


\emph on
budící
\emph default

\begin_inset Quotes grd
\end_inset

.
 
\emph on
Opatrná
\emph default
 část, má za cíl pokud možno co nejlépe kontrolovat systém a snažit se dosáhnout
 optimální shody s požadavky.
 Oproti tomu 
\emph on
budící
\emph default
 část hledá optimální budící signál, který pomáhá co nejlépe určit neznámé
 veličiny systému.
 Tyto části jdou však proti sobě a cílem duálního řízení je nalézt mezi
 nimi vhodný kompromis.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Jak již bylo předznamenáno v předchozí části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Rozdeleni-ridicich-algoritmu"

\end_inset

, většina klasických metod pro řízení a estimaci obecně spadá do kategorie
 zpětnovazebních streategií a tedy trpí nedostatky, které se snaží duální
 řízení odstranit.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Jedná se o oddělení řídící a estimační části, které následně pracují nezávisle,
 i když obecně tyto dvě části nezávislé nejsou a navzájem se ovlivňují.
 Dalším nedostatkem je předpoklad, že odhad poskytnutý estimátorem se rovná
 skutečné hodnotě stavové veličiny.
 Tento přístup je označován jako 
\emph on
Certainty Equivalence
\emph default
 (CE).
 Oproti tomu duální řízení předpokládá stavové veličiny jako náhodné veličiny
 a uchovává si o nich statistickou informaci.
 Příkladem může být, že odhad z estimátoru uvažujeme ve tvaru střední hodnoty
 a variance dané veličiny a předpokládáme, že skutečná hodnota se nachazí
 například v konfidenčním intervalu s těmito parametry.
 Z tohoto pohledu přístup CE předpokládá, že skutečná hodnota je rovna střední
 hodnotě.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Duální řízení tedy narozdíl od postupů založených na CE principu uvažuje
 kromě odhadu stavové veličiny i to, jak je tento odhad přesný a tomu také
 přizpůsobuje řídící zákroky.
 Klasický regulátor se pak při řízení stochastického systému s neurčitostí
 obvykle chová 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

opatrně
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

, aby nezvyšoval dopad neurčitostí na celkovou ztrátu.
 Oproti tomu regulátor využívající duálního efektu může být méně opatrný
 a přidat budící signál, aby snížil neurčitost v budoucnu a tím celkově
 vylepšil své výsledky 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BarShalom1974"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Výše zmíněné důvody ukazují, proč by duální přístup mohl být obvzláště vhodný
 pro řízení PMSM.
 Je ale třeba mít na paměti, že duální řízení s sebou nese i některé nevýhody.
 Jedná se především o značnou výpočetní náročnost.
 Ta je problematická zejména, když zamýšlíme výpočet v reálném čase.
 Proto se v textu zaměříme hlavně na nejjednodušší algoritmy duálního řízení,
 které by tento požadevek mohly teoreticky naplnit.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Úloha duálního řízení
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:uloha-dualniho-rizeni"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní bude stručně popsána obecná úloha duálního řízení a postup jak nalézt
 její optimální řešení.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Formulace úlohy 
\end_layout

\begin_layout Standard
Základní formulace problému duálního řízení pro časově diskrétní obecně
 nelineární systém dle 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "adaptDC2004"

\end_inset

 je:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
x_{t+1} & = & f_{t}\left(x_{t},p_{t},u_{t},\xi_{t}\right),\quad t=0,1,\ldots,T-1,\\
p{}_{t+1} & = & \upsilon_{t}\left(p_{t},\varepsilon_{t}\right),\\
y_{t} & = & h_{t}\left(x_{t},\eta_{t}\right),
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 je vektor stavu, 
\begin_inset Formula $p_{t}$
\end_inset

 vektor neznámých parametrů, 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

 vektor řídících vstupů, 
\begin_inset Formula $y_{t}$
\end_inset

 vektor výstupů systému, vektory 
\begin_inset Formula $\xi_{t}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\varepsilon_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\eta_{t}$
\end_inset

 představují nezávislý náhodný bílý šum s nulovou střední hodnotou a známým
 rozptylem, vše je uvažováno v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $f_{t}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\upsilon_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $h_{t}$
\end_inset

 jsou známé vektorové funkce.
 Počáteční hodnoty 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $p_{0}$
\end_inset

 předpokládáme také známé.
 Množinu výstupů a vstupů systému dostupných v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 označujeme jako 
\emph on
informační vektor
\emph default
 
\begin_inset Formula $I_{t}=\left\{ y_{t},\ldots,y_{0},u_{t-1},\ldots,u_{0}\right\} $
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $t=1,\ldots,T-1$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $I_{0}=\left\{ y_{0}\right\} $
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Dále uvažujeme, že požadavky na systém jsou zadány v podobě aditivní ztrátové
 funkce ve tvaru 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
J=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ \sum_{t=0}^{T-1}g_{t+1}\left(x_{t+1},u_{t}\right)\right\} ,\label{eq:dclossfunc}
\end{equation}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $g_{t+1}$
\end_inset

 jsou známe kladné konvexní skalární funkce.
 Očekáváná hodnota 
\begin_inset Formula $\mathrm{\mathbf{E}}$
\end_inset

 je počítána vzhledem k všem náhodným veličinám (
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\xi_{t}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\varepsilon_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\eta_{t}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $t=0,1,\ldots,T-1$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Obecné řešení
\end_layout

\begin_layout Standard
Problémem optimálního adaptivního duálního řízení je nalezení takové řídící
 strategie 
\begin_inset Formula $u_{t}=u_{t}(I_{t})$
\end_inset

 ze známé množiny přípustných hodnot řízení 
\begin_inset Formula $U_{t}$
\end_inset

, která minimalizuje ztrátovou funkci 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 danou rovnicí (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:dclossfunc"

\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Standard
Optimální řešení tohoto problému může být nalezeno rekurzivně užitím dynamického
 programování, kdy je v čase zpět prováděna následující minimalizace zapsaná
 pomcí rovnic
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
V_{T-1}\left(I_{T-1}\right) & = & \min_{u_{T-1}\in U_{T-1}}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ g_{T}\left(x_{T},u_{T-1}\right)\mid I_{T-1}\right\} ,\\
V_{t}\left(I_{t}\right) & = & \min_{u_{t}\in U_{t}}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ g_{t+1}\left(x_{t+1},u_{t}\right)+V_{t+1}\left(I_{t+1}\right)\mid I_{t}\right\} ,
\end{eqnarray*}

\end_inset

pro 
\begin_inset Formula $t=T-2,T-3,\ldots,0$
\end_inset

.
 Funkce 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 vystupující v předchozích rovnicích je nazývána jako 
\emph on
Bellmanova 
\emph default
funkce 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "utiaBDM2005"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Komplikace řešení úlohy
\end_layout

\begin_layout Standard
Výše popsaný postup představuje zdánlivě jednoduchý způsob, jak nalézt řešení
 úlohy duálního řízení.
 Skutečné provedení tohoto výpočtu však naráží na celou řadu praktických
 komplikací, které činí úlohu duálního řízení obecně neřešitelnou analyticky
 i numericky.
 Hlavními komplikacemi jsou jednak výpočet střední hodnoty a minimalizace,
 ale hlavně problémy spojené s funkcí 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Bellmanova funkce 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 totiž závisí na informačním vektoru, který zahrnuje všechny předchozí interakce
 se systémem (pozorování a řízení) a proto závisí na obecně značně velkém
 počtu proměnných.
 Tuto funkci je navíc třeba uchovávat mezi jednotlivými časovými kroky v
 její plné reprezentaci jako funkce, ne pouze její hodnotu.
 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "utiaBDM2005"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Optimální řešení úlohy duálního řízení je tedy známo jen v několika málo
 speciálních případech a jinak je třeba spoléhat na užití suboptimálních
 algoritmů.
\end_layout

\begin_layout Section
Metody pro duální řízení
\end_layout

\begin_layout Subsection
Přehled metod 
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Prehled-metod-dualniho-rizeni"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Následující přehled představuje vybrané suboptimální algoritmy využitelné
 k řešení úlohy duálního řízení.
 Vybírány byly především nejjednodušší algoritmy, které by teoreticky umožnily
 implementaci v reálném čase pro řízení synchronních strojů.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Bikriteriální metoda
\end_layout

\begin_layout Standard
Bikriteriální metoda je založena na relativně jednoduchém principu.
 Ve snaze splnit obě hlavní vlastnosti duálního řízení (opatrnost a buzení)
 je ztrátová funkce rozdělena na dvě části, proto se také metoda nazývá
 bikriteriální.
 První ztrátová funkce odpovídá takzvanému 
\emph on
opatrnému řízení
\emph default
, které navrhuje tím menší řídící zásahy, čím je větší variance neznámých
 parametrů (proto opatrné).
 Nesnaží se však primárně tuto varianci nijak snížit.
 Druhá ztrátová funkce představuje kritérium pro optimální buzení.
 Tyto dvě ztrátové funkce je třeba současně minimalizovat.
 Jejich minimalizace ale jde obecně z podstaty problému proti sobě, navíc
 optimální budící zásah bývá zpravidla neomezeně velký.
 Proto je zvolen následující postup:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
nejdříve je nalezeno optimální opatrné řízení
\end_layout

\begin_layout Enumerate
dále je vytyčena množina přípustných řešení kolem řízení nalezeného v bodě
 (1), například se může jednat o interval
\end_layout

\begin_layout Enumerate
druhá ztrátová funkce pro optimální buzení je minimalizována již pouze v
 rámci množiny přípustných řešení z bodu (2)
\end_layout

\begin_layout Standard
Konkrétní realizace hledání optimálního řídícího zásahu (minimalizace) pak
 již závisí na řešeném problému.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

-aproximace 
\end_layout

\begin_layout Standard
Jako 
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

-aproximace označujeme celý soubor suboptimálních přístupů k řešení úlohy
 duálního řízení, kdy se snažíme aproximovat pravděpodobnostní míru neznámých
 stavů a parametrů systému.
 Dále lze při užití této metody snadno nalézt odpovídající kategorii řídícího
 algoritmu, viz část 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Rozdeleni-ridicich-algoritmu"

\end_inset

.
 Dle 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "DAF1,DSF1,adaptDC2004"

\end_inset

 je problematika 
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

-aproximací formulována následovně: 
\end_layout

\begin_layout Standard
Hledání suboptimální řídící strategie je založeno na minimalizaci modifikované
 ztrátové funkce
\begin_inset Formula 
\[
J_{t}\left(I_{t},\rho_{t}\right)=\mathrm{\mathbf{E}}_{\rho_{t}}\left\{ \sum_{i=t}^{T-1}g_{t+1}\left(x_{i+1},u_{i}\right)\mid I_{k}\right\} .
\]

\end_inset

V čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 je řídící strategie 
\begin_inset Formula $u_{t}(I_{t})$
\end_inset

 nalezena pomocí aproximace podmíněné hustoty pravděpodobnosti stavů a parametrů
 systému pro budoucí časové kroky
\begin_inset Formula 
\[
\rho_{t}=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right),
\]

\end_inset

pro 
\begin_inset Formula $i=0,1,\ldots,T-t-1$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $\mathrm{p}$
\end_inset

 značí hustotu pravděpodobnosti.
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro různé volby 
\begin_inset Formula $\rho_{t}$
\end_inset

 pak můžeme získat následující přístupy:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
Řídící strategie s otevřenou smyčkou
\emph default
 (open-loop, OL) uvažuje systém bez zpětné vazby a optimální řízení je hledáno
 z apriorní informace o stavech a parametrech systému.
 Tento zjednodušující předpoklad je ekvivalentní aproximaci
\begin_inset Formula 
\[
\rho_{t}=\left\{ \mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{0}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} .
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
Zpětnovazební řídící strategie s otevřenou smyčkou
\emph default
 (open-loop feedback, OLF) také uvažuje systém bez zpětné vazby, ale jen
 pro budoucích časové kroky (
\begin_inset Formula $t+1$
\end_inset

 až 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

), v současném časovém kroku 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 zpětnou vazbu uvažuje.
 Pozorování 
\begin_inset Formula $y_{t}$
\end_inset

 jsou tedy použita k estimaci stavů i parametrů systému, ale pouze v součazném
 časovém kroku 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

, v budoucích již ne.
 Opět lze formulovat pomocí 
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

-aproximace jako
\begin_inset Formula 
\[
\rho_{t}=\left\{ \mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} .
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Pro srovnání zde bude uvedena i aproximace, která vede na již zmiňovaný
 přístup 
\emph on
Certainty Equivalence 
\emph default
(CE):
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\rho_{t} & =\left\{ \mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right)\right.\\
= & \left.\delta\left(x_{t+i}-\hat{x}_{t+i}\right)\delta\left(p_{t+i}-\hat{p}_{t+i}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} ,
\end{align*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\delta$
\end_inset

 značí Diracovu delta funkci a 
\begin_inset Formula $\hat{x}_{t+i}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{k+i}\mid I_{t+i}\right\} $
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\hat{p}_{t+i}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ p_{k+i}\mid I_{t}\right\} $
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
Částečný CE přístup
\emph default
 (PCE) je založen na vhodné kombinaci předchozích postupů CE a OLF.
 Definujme rozšířený stavový vektor jako 
\begin_inset Formula $z_{t}^{T}=\left(\begin{array}{cc}
x_{t}^{T} & p_{t}^{T}\end{array}\right)$
\end_inset

, tedy jako vektor sdružující původní stav systému a jeho neznámé parametry.
 Tento vektor následně rozdělíme na dvě části s prázdným průnikem 
\begin_inset Formula $z_{1,t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $z_{2,t}$
\end_inset

.
 Nyní aplikujeme na část 
\begin_inset Formula $z_{1}$
\end_inset

 zjednodušující předpoklad CE a na část 
\begin_inset Formula $z_{2}$
\end_inset

 předpoklad OLF.
 To odpovídá následující 
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

-aproximaci
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\rho_{t} & =\left\{ \mathrm{p}\left(z_{1,t+i},z_{2,t+i}\mid I_{t+i}\right)\right.\\
= & \left.\delta\left(z_{1,t+i}-\hat{z}_{1,t+i}\right)\mathrm{p}\left(z_{2,t+i}\mid I_{t}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} ,
\end{align*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\mathrm{p}\left(z_{1,t+i},z_{2,t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(z_{t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right).$
\end_inset

 Samotné rozdělení vektoru 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 na dvě části je třeba vyřešit s ohledem na konkrétní strukturu systému,
 pro který je řízení navrhováno.
 Vhodnou volbou může být například označit jako 
\begin_inset Formula $z_{1}$
\end_inset

 stavové veličiny, které jsou přímo pozorovány.
 Autoři dále poukazují i na možnost kombinace s bikriteriálním přístupem.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Řešení LQG problému pomocí teorie her
\end_layout

\begin_layout Standard
Výpočetně relativně málo náročné řešení diskrétního LQG problému duálního
 řízení je představeno v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "DCS1"

\end_inset

.
 Na řešení problému se užívá teorie her, kde hledáme optimální znáhodněnou
 strategii.
 Výsledkem pak je, že optimální řešení přeformulovaného problému duálního
 řízení je vážený průměr konečného počtu standartních LQG optimálních regulátorů.
 Jako váhové faktory jsou brány zobecněné věrohodnostní poměry.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Hyperstav
\end_layout

\begin_layout Standard
Algoritmus využívající hyperstav je předložen v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Kim2006"

\end_inset

 a z tohoto zdroje také převážně vychází následný popis a implementace v
 tomto textu.
 Hlavní rozdíl však je použití spojitého času v uvedeném zdroji, zatímco
 v tomto textu je využíván čas diskrétní.
 Základní myšlenka hyperstavu je poměrně jednoduchá: 
\end_layout

\begin_layout Standard
Vyjdeme z klasicky definovaného stavu systému v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

, označme jej jako 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

.
 Dále předpokládejme, že pro řešení úlohy nalezení vhodné řídící strategie
 užíváme EKF jako estimátoru, stejný estimátor je užit i v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Kim2006"

\end_inset

.
 Použití algoritmu EKF nám v každém čase poskytne odhad stavu 
\begin_inset Formula $\hat{x}_{t}$
\end_inset

, ale kromě tohoto odhadu poskytuje i odhad kovariance stavu reprezentovaný
 maticí 
\begin_inset Formula $P_{t}$
\end_inset

, detailněji viz odstavec 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:EKF-popis"

\end_inset

.
 Nyní definujme vektor 
\emph on
hyperstavu
\emph default
 v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 jako původní stav 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

, ke kterému navíc přidáme prvky matice 
\begin_inset Formula $P_{t}$
\end_inset

.
 Z důvodu symetrie není třeba přidávat celou matici 
\begin_inset Formula $P_{t}$
\end_inset

, ale stačí jen její horní nebo dolní trojúhleník.
 Nyní na systém popsaný hyperstavem aplikujeme klasickým postupem algoritmus
 EKF a vhodné řízení, například LQ regulátor.
 Algoritmus EKF je tedy aplikován na systém dvakrát, poprvé formálně na
 původní stav a následně na hyperstav.
 Výhodou tohoto přístupu je, že kromě odhadu samotných stavových veličin,
 máme k dispozici i odhad jejích kovariancí a můžeme s nimi pracovat při
 návrhu řízení.
 Hlavními nevýhodami jsou růst velikost hyperstavu (obecně kvadraticky s
 velikostí původního stavu) a dále komplikace při výpočtu derivací rovnic
 pro výpočet EKF na stavu.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Injektáže jako duální řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Na injektáže lze z jistého směru pohlížet také jako na duální řízení.
 Především v sobě kombinují obě žádoucí vlastnosti, opatrnost a buzení.
 Opatrnost je reprezentována konkrétním použitým regulátorem, který se snaží
 co nejlépe sledovat cíl řízení.
 Injektovaný signál pak představuje buzení, které napomáhá k určení parametrů
 stroje.
\end_layout

\begin_layout Standard
V základním návrhu je přidáván vysokofrekvenční signál stále, bez ohledu
 na okolnosti a tedy tento návrh se příliš nesnaží o nalezení kompromisu
 mezi opatrným řízením a buzením.
 Velkou výhodou ale je, že to příliš nevadí, obzvláště při nízkých otáčkách,
 protože vysokofrekvenční signál má minimální vliv na samotný chod stroje.
 Současně ale poskytuje relativně dobrý odhad natočení rotoru, jehož kvalita
 nezávisí na otáčkách, ale pouze na anizotropiích stroje.
\end_layout

\begin_layout Standard
Jistý krok směrem k hledání kompromisu mezi opatrností a buzením lze pozorovat
 u hybridních metod, které buď plynule, nebo jednorázově přepínají mezi
 dvěma modely, s injektáží a bez ní.
 Jeden je určen pro dobrou estimaci a druhý pro nízké ztráty při řízení.
 To vede k velkému zlepšení, protože přídavný signál je injektován, jen,
 když je opravdu potřeba.
\end_layout

\begin_layout Standard
Hlavním problémem injektáží z hlediska duálního řízení je, že se jedná o
 přístup pouze pro jeden konkrétní případ, který byl navržen s využitím
 konkrétních vlastností PMSM a pro předem určený účel.
 Injektovaný vysokofrekvenční signál je užívaný jednak z důvodu menšího
 vlivu na chod samotného stroje.
 Další důvod pro jeho užití je relativně snadné zpracování a vyhodnocení
 pomocí metod analýzy signálu, které lze snadno implementovat hardwarově
 (filtry, demodulace, fázový závěs).
 Problémem injektovaného signálu jsou pak jeho parametry, jako amplituda
 a frekvence, ty jsou zpravidla nalézány experimentálně.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dalším zásadním problémem je, že injektáže fungují pouze na motory s anizotropie
mi nějakého typu a jejich aplikace na SMPMSM je tedy značně omezena.
 Jedná se tedy sice o funkční metodu, kterou však lze aplikovat pouze na
 podskupinu všech dostupných strojů.
\end_layout

\begin_layout Standard
Je tedy na místě položit otázku, jestli takovýto přídavný signál může být
 optimálním buzením a nebo mu být alespoň v nějakém smyslu blízko.
 Odpovědět samozřejmě není snadné z důvodu praktické neřešitelnosti problému
 nalezení optimálního duálního řízení.
 Ve prospěch injektáží, a zejména hybridních metod, mluví výsledky praktických
 experimentů na skutečných motorech, proti nim pak zejména to, že byly navrhován
y bez ohledu na optimalitu a hledání kompromisu mezi opatrností a buzením.
 Nicméně se jedná o dobrý základ, který je vhodný k bližšímu prostudování
 při návrhu méně náročných metod duálního řízení.
\end_layout

\begin_layout Section
Aposteriorní Cramer-Raovy meze
\end_layout

\begin_layout Standard
Při vyhodnocování efektivity jednotlivých použitých algoritmů je výhodné
 mít k dispozici prostředek k jejich srovnání.
 K tomuto účelu lze použít aposteriorních Cramer-Raových mezí (Posterior
 Cramer-Rao Bounds, PCRB).
 Interpretace PCRB je zjednodušeně taková, že představují 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

množství informace
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

, které je o dané veličině produkováno na výstupu systému 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Scharf1993"

\end_inset

.
 Konkrétněji se jedná o dolní mez střední kvadratické chyby 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "TichavskyPCRB"

\end_inset

.
 Tedy reprezentuje minimální chybu, které se odhadovací algoritmus v uvažovaném
 případě dopustí.
 PCRB lze tedy využít ke srovnání jednotlivých uvažovaných duálních algoritmů
 v tom smyslu, že je možné vyhodnocovat, jak každý z nich dokáže zlepšit
 odhad stavových veličin a zvýšit pozorovatelnost v kritických režimech.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Následující popis PCRB včetně její specializace pro nelineární filtraci
 a dále pro Gaussovské hustoty je převzat z 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "TichavskyPCRB"

\end_inset

, kde je možné nalézt i detaily odvození zmiňovaných vztahů.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Definice
\end_layout

\begin_layout Standard
Nechť 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 představuje vektor měřených dat a 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 je 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

-rozměrný odhadovaný náhodný parametr.
 Dále nechť 
\begin_inset Formula $p_{x,\theta}\left(X,\Theta\right)$
\end_inset

 je sdružená hustota pravděpodobnosti dvojice 
\begin_inset Formula $\left(x,\theta\right)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $g\left(x\right)$
\end_inset

 je funkce 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, která je odhadem 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

.
 Pak PCRB chyby odhadu má tvar
\begin_inset Formula 
\[
P=\mathtt{E}\left\{ \left[g(x)-\theta\right]\left[g(x)-\theta\right]^{T}\right\} \geq J^{-1},
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 je Fischerova informační matice rozměru 
\begin_inset Formula $r\times r$
\end_inset

 s prvky
\begin_inset Formula 
\[
J_{ij}=\mathtt{E}\left[-\frac{\partial^{2}\log p_{x,\theta}(X,\Theta)}{\partial\Theta_{i}\partial\Theta_{j}}\right],
\]

\end_inset

pro 
\begin_inset Formula $i,j=1,\ldots,r$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Nelineární filtrace
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro případ filtrace jsou parametry odhadovány postupně v průběhu času na
 základě rekurzivních vzorců.
 Sdruženou hustotu pravděpodobnosti lze rozepsat jako součin podmíněných
 hustot a výpočítat pro každý čas matici 
\begin_inset Formula $J_{t}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $J_{t}^{-1}$
\end_inset

 představuje spodní mez střední kvadratické chyby odhadu 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Uvažujme nelineární filtrační problém se systémem
\lang english

\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
x_{t+1} & = & f_{t}(x_{t},w_{t}),\nonumber \\
z_{t} & = & h_{t}(x_{t},v_{t}),\label{eq:PCRB-system}
\end{eqnarray}

\end_inset


\lang czech
kde 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 je stav systému v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $z_{t}$
\end_inset

 je pozorování v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 jsou vzájemně nezávislé bílé procesy a 
\begin_inset Formula $f_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $h_{t}$
\end_inset

 jsou obecně nelineární funkce.
 Pak je možné počítat rekurzivně posloupnost aposteriorních informačních
 matic 
\begin_inset Formula $J_{t}$
\end_inset

 pro odhad stavu 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 jako
\begin_inset Formula 
\[
J_{t+1}=D_{t}^{22}-D_{t}^{21}\left(J_{t}+D_{t}^{11}\right)^{-1}D_{t}^{12},
\]

\end_inset

kde matice 
\begin_inset Formula $D_{t}$
\end_inset

 jsou dány rovnostmi
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
D_{t}^{11} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t}}^{x_{t}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} ,\nonumber \\
D_{t}^{12} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t}}^{x_{t+1}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} ,\label{eq:PCRB-rovnice-pro-D}\\
D_{t}^{21} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t+1}}^{x_{t}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} =\left(D_{t}^{12}\right)^{T},\nonumber \\
D_{t}^{22} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t+1}}^{x_{t+1}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} +\mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t+1}}^{x_{t+1}}\log p(z_{t+1}\mid x_{t+1})\right\} .\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Aditivní Gaussovský šum
\end_layout

\begin_layout Standard
Uvažujme speciální případ filtračního problému s aditivním šumem, kdy rovnice
 (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:PCRB-system"

\end_inset

) má tvar
\lang english

\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
x_{t+1} & = & f_{t}(x_{t})+w_{t},\nonumber \\
z_{t} & = & h_{t}(x_{t})+v_{t}\label{eq:PCRB-system-adsum}
\end{eqnarray}

\end_inset


\lang czech
a dále šumy 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 jsou Gaussovské s nulovou střední hodnotou a kovariančními maticemi 
\begin_inset Formula $Q_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset

 v tomto pořadí.
 Pak lze rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:PCRB-rovnice-pro-D"

\end_inset

) zjednodušit do tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
D_{t}^{11} & = & \mathtt{E}\left\{ \left[\nabla_{x_{t}}f_{t}^{T}(x_{t})\right]Q_{t}^{-1}\left[\nabla_{x_{t}}f_{t}^{T}(x_{t})\right]^{T}\right\} ,\nonumber \\
D_{t}^{12} & = & -\mathtt{E}\left\{ \nabla_{x_{t}}f_{t}^{T}(x_{t})\right\} Q_{t}^{-1},\label{eq:PCRB-rovnice-pro-D-gauss}\\
D_{t}^{22} & = & Q_{t}^{-1}+\mathtt{E}\left\{ \left[\nabla_{x_{t+1}}h_{t+1}^{T}(x_{t+1})\right]R_{t+1}^{-1}\left[\nabla_{x_{t+1}}h_{t+1}^{T}(x_{t+1})\right]^{T}\right\} .\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

Pro úplnost je vhodné uvést, že v případě lineárního systému, to jest lineárních
 funkcí 
\begin_inset Formula $f_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $h_{t}$
\end_inset

, odpovídá rekurzivní výpočet matice 
\begin_inset Formula $J_{t}$
\end_inset

, založený na výše uvedených maticích (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:PCRB-rovnice-pro-D-gauss"

\end_inset

) pro 
\begin_inset Formula $D_{t}$
\end_inset

, výpočtu aposteriorní kovarianční matice Kalmanova filtru 
\begin_inset Formula $P_{t}=J_{t}^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:LQG-obecne"

\end_inset

Lineárně kvadraticky Gaussovské řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Lineárně kvadraticky Gaussovské řízení (Linear-Quadratic-Gaussian, LQG)
 je jednou ze základních úloh teorie řízení.
 Jak již název této metody napovídá, uplatňuje se pro řízení lineárních
 systémů s kvadratickou ztrátovou funkcí a dále je uvažován aditivní bílý
 Gaussovský šum.
 V takovém případě pak platí separační princip a je možno zvlášť navrhnout
 optimálního pozorovatele a optimální regulátor při současném zachování
 optimality celého návrhu.
 Optimálním pozorovatelem pro tento případ je Kalmanův filtr a optimální
 řešení problému řízení je LQ regulátor.
 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BertsekasDPOC"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Vzhledem k zamýšlené aplikaci na nelineární točivý stroj však nelze LQG
 přístup přímo aplikovat, je však možno použít jeho zobecnění založené na
 linearizaci nelineárního systému.
 Pro nelineární systém ale obecně neplatí separační princip a zobecněné
 LQG nebude optimální a bude se jednat o CE přístup v důsledku oddělení
 estimační a řídící části.
\end_layout

\begin_layout Standard
Zobecnění Kalmanova filtru představuje rozšířený Kalmanův filtr uvedený
 v následujícím odstavci, zobecnění LQ regulátoru pak bude provedeno v odstavci
 následujícím pomocí vhodné linearizace systému.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Rozšířený Kalmanův filtr
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:EKF-popis"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Zde bude uvedena základní formulace v textu často zmiňovaného rozšířeného
 Kalmanova filtru (Extended Kalman Filter, EKF).
 Typicky je algoritmus standartního Kalmanova filtru používán jako pozorovatel
 lineárního systému.
 Je však možno jej zobecnit i pro nelineární systémy a pak hovoříme o rozšířeném
 Kalmanově filtru.
 Zobecnění je založeno na jednoduché myšlence, kdy původní nelineární systém
 linearizujeme v každém časovém kroku v okolí odhadu, střední hodnoty a
 kovariance.
 Popis standartního Kalmanova filtru je možno nalézt v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BertsekasDPOC"

\end_inset

.
 Následující popis rozšířeného Kalmanova filtru je převzat z 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "ekf2004,ekf2006"

\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Modelový systém
\end_layout

\begin_layout Standard
Předpokládejme nelineární dynamický systém s aditivním šumem popsaný rovnicemi
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
x_{t} & = & f\left(x_{t-1},u_{t-1}\right)+w_{t-1},\\
y_{t} & = & h\left(x_{t}\right)+v_{t},
\end{eqnarray*}

\end_inset

pro 
\begin_inset Formula $t=1,\ldots,T$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 je vektor stavu, 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

 vektor řízení, 
\begin_inset Formula $y_{t}$
\end_inset

 vektor pozorování (měření) a vektory 
\begin_inset Formula $v_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $w_{t}$
\end_inset

 představují na sobě vzájemně nezávislý Gaussovský bílý šum s nulovou střední
 hodnotou a kovariančními maticemi 
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $Q_{t}$
\end_inset

 v tomto pořadí; obecně nelineární funkce 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 představuje funkci systému a 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 funkci měření a předpokládáme je známé.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Označme nyní 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 Jacobiho matici parciálních derivací 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 dle 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 v bodě odhadu, tedy 
\begin_inset Formula $\left(A_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right)$
\end_inset

.
 Obdobně pro funkci 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 označme 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 matici derivací 
\begin_inset Formula $\left(C_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial h_{i}}{\partial x_{j}}\left(\overline{\hat{x}}_{t},0\right)$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $\tilde{x}_{t}$
\end_inset

 představuje aproximaci stavu vypočtenou z odhadu bez šumu 
\begin_inset Formula $\tilde{x}_{t}=f\left(\overline{\hat{x}}_{t},u_{t-1},0\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Algoritmus
\end_layout

\begin_layout Standard
Samotný algoritmus EKF můžeme rozdělit na dvě fáze.
 V první označované jako časová oprava (time update) nebo také 
\emph on
predikce
\emph default
 se vypočítá apriorní odhad stavu a kovarianční matice:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\overline{\hat{x}}_{t} & = & f\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right),\nonumber \\
\overline{P}_{t} & = & A_{t}P_{t-1}A_{t}^{T}+Q_{t-1}.\label{eq:EKF-rovnice-time-upd}
\end{eqnarray}

\end_inset

Ve druhé části označované jako oprava měření (measurement update) neboli
 
\emph on
korekce
\emph default
 pak získáme aposteriorní odhad stavu 
\begin_inset Formula $\hat{x}_{t}$
\end_inset

 a kovarianční matice 
\begin_inset Formula $P_{t}$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
K_{t} & = & \overline{P}_{t}C_{t}^{T}\left(C_{t}\overline{P}_{t}C_{t}^{T}+R_{t}\right)^{-1},\nonumber \\
\hat{x}_{t} & = & \overline{\hat{x}}_{t}+K_{t}\left(y_{t}-h\left(\overline{\hat{x}}_{t},0\right)\right),\label{eq:EKF-rovnice-data-upd}\\
P_{t} & = & \left(I-K_{t}C_{t}\right)\overline{P}_{t},\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 značí jednotkovou matici vhodného rozměru.
 Pro úplnost je ještě třeba dodat počáteční apriorní odhady 
\begin_inset Formula $\hat{x}_{0}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $P_{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Lineárně kvadratický regulátor
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Linearne-kvadraticky-regulator-obec-popis"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Lineárně kvadratický regulátor (Linear-Quadratic, LQ) je primárně navržen
 pro řízení lineárních systémů s kvadratickou ztrátovou funkcí.
 Dále je třeba zmínit, že existuje celá řada různých modifikací a vylepšení
 základního algoritmu, například pro nelineární systémy nebo lepší numerické
 vlastnosti.
 Základní formulace podle 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BertsekasDPOC"

\end_inset

 je následovná:
\end_layout

\begin_layout Standard
Uvažujme lineární systém 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
x_{t+1}=A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}+w_{t},\quad t=0,1,\ldots,T-1,\label{eq:lq-obecny-lin-system}
\end{equation}

\end_inset

kde obecně vektorová veličina 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 reprezentuje stav systému v časovém kroku 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

, veličina 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

 řízení v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $w_{t}$
\end_inset

 je vzájemně nezávislý Gaussovský bílý šum s nulovou střední hodnotou a
 známou kovarianční maticí, dále je uvažován konečný diskrétní časový horizont
 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 kroků.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Kvadratická ztrátová funkce je
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\mathbf{E}\left\{ x_{T}^{T}Q_{T}x_{T}+\sum_{t=0}^{T-1}\left(x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}\right)\right\} ,\label{eq:lq-adit-kv-ztrata}
\end{equation}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\mathbf{E}$
\end_inset

 značí očekávanou hodnotu, 
\begin_inset Formula $Q_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset

 jsou penalizační matice stavu systému (splnění požadavků řízení), respektive
 penalizace vstupů.
 Na tyto matice jsou kladeny požadavky, že 
\begin_inset Formula $Q_{t}\geq0$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $R_{t}>0$
\end_inset

.
 Při uvažování neúplné informace 
\begin_inset Formula $I_{t}$
\end_inset

 o stavu je optimální řízení 
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\lang english

\begin_inset Formula $\mu_{t}$
\end_inset


\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang czech
 v každém časovém kroku rovno
\begin_inset Formula 
\[
\mu_{t}(I_{t})=L_{t}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{t}\mid I_{t}\right\} ,
\]

\end_inset

kde matice 
\begin_inset Formula $L_{t}$
\end_inset

 je dána rovností
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
L_{t}=-\left(R_{t}+B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}A_{t},\label{eq:riccati-lqg-matice-L}
\end{equation}

\end_inset

přičemž matice 
\begin_inset Formula $K_{t}$
\end_inset

 získáme rekurzivně z Riccatiho rovnice
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
K_{T} & = & Q_{T},\label{eq:riccati-lqg-matice-K}\\
K_{t} & = & A_{t}^{T}\left(K_{t+1}-K_{t+1}B_{t}\left(R_{t}+B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}\right)A_{t}+Q_{t}.\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Lineárně kvadratický algoritmus s QR rozkladem
\end_layout

\begin_layout Standard
Předchozí výpočet pomocí Riccatiho rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:riccati-lqg-matice-L"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:riccati-lqg-matice-K"

\end_inset

) však není příliš vhodným z numerických důvodů 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Favier1981"

\end_inset

.
 Místo něj je pro praktické výpočty výhodnější použít například algoritmus
 lineárně kvadratického řízení založený na QR rozkladu 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Favoreel1999"

\end_inset

.
 Tento algoritmus má lepší numerické vlastnosti, umožňuje snadnější výpočet
 maticové inverze (inverze pouze trojúhelníkové matice) a lze pomocí něj
 implementovat i složitější kvadratickou ztrátovou funkci (nejen dva členy
 pro penalizaci stavu a vstupů).
\end_layout

\begin_layout Standard
Postup je založen na přepisu kvadratické ztráty do tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
x_{t+1}^{T}Q_{t}x_{t+1}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}=x_{t+1}^{T}\sqrt{Q_{t}}^{T}\sqrt{Q_{t}}x_{t+1}+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t},\label{eq:lq-kv-ztrata-prepis-odmoc}
\end{equation}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\sqrt{\,}$
\end_inset

 je vhodná maticová odmocnina.
 Vzhledem k požadavkům positivní (semi)definitnosti na matice 
\begin_inset Formula $Q_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset

 má tato odmocnina smysl.
 V každém časovém kroku 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 pak minimalizujeme funkci
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
x_{t+1}^{T}\sqrt{Q_{t}}^{T}\sqrt{Q_{t}}x_{t+1}+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t}+x_{t+1}^{T}\sqrt{\Sigma_{t}}^{T}\sqrt{\Sigma_{t}}x_{t+1},\label{eq:lq-odm-ztrata-se-sigma}
\end{equation}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\Sigma_{t}$
\end_inset

 reprezentuje ztrátu v následujících časových krocích až do konce časového
 horizontu, jedná se o rekurzivní součet pozitivních ztrát a tedy maticová
 odmocnina má opět smysl.
 Do tohoto kvadratického výrazu je možno dostadit model vývoje pro 
\begin_inset Formula $x_{t+1}=A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}$
\end_inset

 a následně jej zapsat maticově ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}\left[\begin{array}{cc}
\sqrt{Q_{t}}B_{t} & \sqrt{Q_{t}}A_{t}\\
\sqrt{R_{t}} & 0\\
\sqrt{\Sigma_{t}}B_{t} & \sqrt{\Sigma_{t}}A_{t}
\end{array}\right]^{T}\underset{Z}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}
\sqrt{Q_{t}}B_{t} & \sqrt{Q_{t}}A_{t}\\
\sqrt{R_{t}} & 0\\
\sqrt{\Sigma_{t}}B_{t} & \sqrt{\Sigma_{t}}A_{t}
\end{array}\right]}}\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right).\label{eq:lq-matic-ztrata-pro-qr}
\end{equation}

\end_inset

Na matici 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 následně aplikujeme QR rozklad, to jest 
\begin_inset Formula $Z=Q_{Z}R_{Z}$
\end_inset

 a předchozí vztah upravíme na tvar
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}Z^{T}Z\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}Q_{Z}^{T}Q_{Z}R_{Z}\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}R_{Z}\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)
\]

\end_inset

a dále využijeme vlastnosti 
\begin_inset Formula $Q_{Z}^{T}Q_{Z}=I$
\end_inset

.
 Matice 
\begin_inset Formula $R_{Z}$
\end_inset

 je v horním trojúhelníkovém tvaru, tedy blokově zapsáno
\begin_inset Formula 
\[
R_{Z}=\left[\begin{array}{cc}
R_{uu} & R_{ux}\\
0 & R_{xx}
\end{array}\right].
\]

\end_inset

Ztrátu nyní můžeme zapsat jako
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}R_{Z}\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right) & = & \left(\begin{array}{c}
R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\\
R_{xx}x_{t}
\end{array}\right)^{T}\left(\begin{array}{c}
R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\\
R_{xx}x_{t}
\end{array}\right)\\
 & = & \left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)^{T}\left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)+x_{t}^{T}R_{xx}^{T}R_{xx}x_{t},
\end{eqnarray*}

\end_inset

kterou, vzhledem k její kvadratičnosti a nezávislosti druhého členu na 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

, zřejmě minimalizujeme volbou 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

 takovou, že 
\begin_inset Formula $\left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)=0$
\end_inset

 a tedy volíme 
\begin_inset Formula 
\[
u_{t}=-R_{uu}^{-1}R_{ux}x_{t}.
\]

\end_inset

Matici 
\begin_inset Formula $R_{xx}^{T}R_{xx}$
\end_inset

 pak použijeme do předchozího časového kroku jako novou matici 
\begin_inset Formula $\Sigma$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Chapter
Aplikace duálního řízení na PMSM
\end_layout

\begin_layout Standard
Tato kapitola je věnována spojení předchozích dvou, tedy stručně řečeno
 aplikaci vybraných algoritmů popsaných v kapitole o teorii řízení na konkrétní
 systém PMSM uvedený v první kapitole.
 Nejdříve budou uvedeny konkrétní matice používané pro rozšířený Kalmanův
 filtr a následně i pro výpočet aposteriorních Cramer-Raových mezí.
 Dále budou odvozeny různé verze lineárně kvadratického regulátoru jako
 alternativa ke klasicky užívaným PI regulátorům používaným pro vektorové
 řízení PMSM.
 Následovat bude popis algoritmu využívajícího hyperstav, který vychází
 právě z EKF a LQ regulátoru.
 Na závěr této kapitoly bude ještě popsána vybraná verze bikriteriální metody
 a návrh založený na využití injektáží.
\end_layout

\begin_layout Section
Úloha řízení PMSM
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:uloha-rizeni-PMSM"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Nejdříve je nutno přesně specifikovat úlohu, jakou se vybranými algoritmy
 pokusíme řešit.
 Této specifikace se dále v textu budeme držet, aby byly zajištěny v jistém
 ohledu stejné podmínky pro všechny algoritmy.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Řízeným systémem bude synchronní motor s permanentními magnety.
 Pro možné nasazení metod využívajících anizotropie předpokládáme v tomto
 stroji různé indukčnosti v osách 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

, tedy 
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Dále je uvažován PMSM v bezsenzorovém návrhu, to znamená, že mechanické
 veličiny jako poloha a otáčky nejsou měřeny.
 Měřenými veličinami jsou pouze proudy v osách 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

.
 Řídící veličiny reprezentované napětími v osách 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 předpokládáme známé před vstupem do řídící elektroniky, skutečná napětí
 měřena nejsou.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Napětí jako řídící veličiny navíc neuvažujeme libovolné, ale pouze z daného
 intervalu 
\begin_inset Formula $\left\langle -U_{max},U_{max}\right\rangle $
\end_inset

.
 To vyjadřuje reálná omezení použitého napájecího zdroje.
\end_layout

\begin_layout Standard
V textu uvažujeme výhradně řízení otáček a referenční signál je tedy předpokládá
n v podobě požadované hodnoty otáček 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$
\end_inset

 v daném čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Protože je nejdříve nutné zvládnout řízení stroje bez zátěže je zátěžný
 moment 
\begin_inset Formula $T_{L}$
\end_inset

 uvažován nulový.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dále uvažujeme, že na počátku (v nulovém čase) nemáme žádnou informaci o
 poloze hřídele.
 To lze vyjádřit tak, že rozdělení počáteční polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}$
\end_inset

 je uniformní na intervalu 
\begin_inset Formula $\left(-\pi,\pi\right\rangle $
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Jako univerzální kritérium pro posuzování kvality jednotlivých aplikovaných
 řídících strategií bude brán kvadrát odchylky skutečných a požadovaných
 otáček.
\end_layout

\begin_layout Section
EKF pro PMSM
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:EKF-implementace-matice"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
V této práci byl jako pozorovatel používán zejména rozšířený Kalmanův filtr.
 Budeme-li vycházet z popisu PMSM pomocí rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"

\end_inset

) pro stejné nebo (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"

\end_inset

) pro různé indukčnosti, nabízí se více možností za jakých podmínek algoritmus
 EKF použí.
 Pro implementaci je však rozumných pouze několik málo z nich.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Především nemá příliš smysl uvažovat EKF v rotorových souřadnicích 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

.
 Transformace ze statovorých souřadnic, ve kterých probíhá měření, do rotorových
 totiž závisí na úhlu natočení 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

, viz rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"

\end_inset

).
 Hodnotu tohoto úhlu ale neznáme a navíc se jedná v podstatě o hlavní veličinu,
 kterou chceme pomocí EKF odhadnout.
 Dalším problémem je, že v rovnicích popisujících PMSM (v případě stejných
 i různých indukčností) v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 hodnota 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 vůbec nevystupuje a tedy ji z nich nelze rozumně určit.
 Jistou možnstí, kdy by mělo smysl uvažovat EKF v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

, je případ, že bychom znali hodnotu 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 nebo její odhad z jiného zdroje.
 Příkladem by mohla být znalost úhlu na základě aplikace vhodné injektážní
 techniky.
 Dále však budeme uvažovat EKF pouze ve statorových souřadnicích, konkrétně
 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Šum
\end_layout

\begin_layout Standard
Algoritmus EKF předpokládá Gaussovský model šumu.
 Vzhledem k popisu neurčitostí v PMSM, odstavec 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Stochasticky-model-pmsm"

\end_inset

, tento předpoklad splněn není.
 Lze však provést aproximaci hustoty pravděpodobnosti skutečného šumu Gaussovsko
u hustotou s vhodnými parametry.
 Tyto parametry lze buď nalézt na základě teoretické analýzy vlastností
 šumu, jako v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"

\end_inset

 nebo je lze nalézt experimentálně.
 V této práci posloužily jako výchozí hodnoty stanovené ve zmiňovaném zdroji
 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"

\end_inset

, které byly následně experimentálně doupraveny.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Plný model
\end_layout

\begin_layout Standard
Prvním diskutovaným případem bude návrh dále označovaný jako 
\emph on
plný model
\emph default
 a budou uvažovány stejné indukčnosti v osách 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

.
 Všechny veličiny 
\begin_inset Formula $i_{\alpha}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $i_{\beta}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 popisující PMSM označíme jako stav 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

.
 Za pozorování 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 budeme považovat proudy 
\begin_inset Formula $i_{\alpha}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $i_{\beta}$
\end_inset

 doplněné chybou měření.
 Plný model je tedy popsán stavem a měřením
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
x_{t} & = & \left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T},\\
y_{t} & = & \left(y_{\alpha,t},y_{\beta,t}\right)^{T},
\end{eqnarray*}

\end_inset

 jejichž vývoj v čase je dán rovnicemi modelového systému z části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:EKF-popis"

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
x_{t+1} & = & f\left(x_{t},u_{t}\right)+w_{t},\\
y_{t} & = & h\left(x_{t}\right)+v_{t},
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde funkce 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 odpovídá soustavě rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:diskretni-system-albe-ls"

\end_inset

) a funkce 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 je pouze identitou na první dvou složkách argumentu.
 Vektory 
\begin_inset Formula $w_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $v_{t}$
\end_inset

 pak reprezentují vzájemně nezávislé bílé Gaussovské šumy s nulovou střední
 hodnotou a známými kovariančními maticemi 
\begin_inset Formula $Q_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset

 v tomto pořadí.
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro výpočet rekurzivního algoritmu EKF, rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:EKF-rovnice-time-upd"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:EKF-rovnice-data-upd"

\end_inset

), je třeba znát Jacobiho matice parciálních derivací 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $C_{t}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $\left(A_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\left(C_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial h_{i}}{\partial x_{j}}\left(\overline{\hat{x}}_{t},0\right)$
\end_inset

.
 V tomto případě je výpočet poměrně jednoduchý a výsledné matice jsou 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
A_{t} & = & \left[\begin{array}{cccc}
a & 0 & b\sin\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\\
0 & a & -b\cos\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}\\
-e\sin\hat{\vartheta}_{t-1} & e\cos\hat{\vartheta}_{t-1} & d & -e\left(\hat{i}_{\beta,t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}+\hat{i}_{\alpha,t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\right)\\
0 & 0 & \Delta t & 1
\end{array}\right],\nonumber \\
C_{t} & = & C=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{array}\right].\label{eq:matice-ekf-plnymodel-ls}
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Redukovaný model
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:EKF-Redukovany-model"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Redukovaný model se snaží usnadnit výpočet algoritmu EKF tím způsobem, že
 zmenšuje uvažovaný stav systému.
 Kritickým místem použití EKF je totiž časově náročná maticová inverze,
 viz část 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:EKF-popis"

\end_inset

.
 Pro plný model má vektor stavu velikost 
\begin_inset Formula $4$
\end_inset

 a tedy je invertována matice o rozměru 
\begin_inset Formula $4\times4$
\end_inset

, oproti tomu redukovaný model užívá pouze stavu velikosti 
\begin_inset Formula $2$
\end_inset

 a inverze matice 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

 je znatelně rychlejší.
\end_layout

\begin_layout Standard
Hlavní myšlenkou je nezahrnovat proudy 
\begin_inset Formula $i_{\alpha}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $i_{\beta}$
\end_inset

 do stavu a rovnou je definovat jako měření, tedy
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
x_{t} & = & \left(\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T},\\
y_{t} & = & \left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t}\right)^{T}.
\end{eqnarray*}

\end_inset

 Vyjdeme tedy ze stejných diskrétních rovnic popisujících PMSM (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:matice-ekf-plnymodel-ls"

\end_inset

), ale nyní první dvě rovnice představují měření a druhé dvě vývoj systému.
 Matice pro EKF jsou pak ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
A_{t} & = & \left[\begin{array}{cc}
d & -e\left(\hat{i}_{\beta,t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}+\hat{i}_{\alpha,t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\right)\\
\Delta t & 1
\end{array}\right],\nonumber \\
C_{t} & = & \left[\begin{array}{cc}
b\sin\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\\
-b\cos\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}
\end{array}\right].\label{eq:matice-ekf-redukovanymodel-ls}
\end{eqnarray}

\end_inset

Dále je pak třeba ještě upravit hodnoty kovariančních matic pro šumy.
 Označme kovarianční matice plného stavu jako 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 a předpokládejme, že 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 je blokově diagonální s bloky o rozměru 
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset

, tedy
\begin_inset Formula 
\[
Q=\left[\begin{array}{cc}
Q_{1}\\
 & Q_{2}
\end{array}\right].
\]

\end_inset

 Ze vztahu pro součet dvou normálních náhodných veličin jsou pak kovarianční
 matice pro redukovaný model ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Q_{red} & = & Q_{2},\\
R_{red} & = & R+Q_{1}.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Různé indukčnosti
\end_layout

\begin_layout Standard
V případě plného modelu pro různé indukčnosti 
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset

 je postup zcela analogický, jen výchozí rovnice jsou jiné.
 V praxi jsou však rovnice relativně složité a proto nejsou uvedeny přímo
 zde v textu, lze je však nalézt v příloze.
\end_layout

\begin_layout Standard
Redukovaný model pro různé indukčnosti již v textu ani v příloze uveden
 není, ale jeho případné odvození je možno relativně snadno provést jako
 zjednodušení modelu plného.
 
\series bold
(možná přidat i redukovaný -- je v PCRB)
\end_layout

\begin_layout Section
Rovnice pro PCRB
\end_layout

\begin_layout Subsection
Užité modely
\end_layout

\begin_layout Standard
Obecně byly použity čtyři typy modelů v souřadném systému 
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

.
 Souřadný systém 
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset

 nemá smysl používat, jelikož nejvíce zajímavá mez polohy stále roste, což
 lze jednak usuzovat na základě tvaru ronvic, ale tento fakt byl ověřen
 i experimentálně.
 Jednotlivé modely se liší tím, jestli je uvažován 
\emph on
plný 
\emph default
nebo 
\emph on
redukovaný
\emph default
 stav systému.
 Dále pak jestli byl uvažován model motoru se 
\emph on
stejnými
\emph default
 nebo 
\emph on
různými
\emph default
 indukčnostmi v osách 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

.
 Matice derivací 
\begin_inset Formula $A_{n}=\left[\nabla_{x_{n}}f_{n}^{T}(x_{n})\right]^{T}$
\end_inset

 zobrazení 
\begin_inset Formula $f_{n}$
\end_inset

 a matice 
\begin_inset Formula $C_{n+1}=\left[\nabla_{x_{n+1}}h_{n+1}^{T}(x_{n+1})\right]^{T}$
\end_inset

 zobrazení 
\begin_inset Formula $h_{n+1}$
\end_inset

 dle jednotlivých stavových veličin jsou ekvivalentní maticím používaným
 pro EKF.
 Obdobné je to i s kovariančními maticemi 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Vzorový běh systému
\end_layout

\begin_layout Standard
Výpočet hodnot aposteriorních Cramer-Raových mezí probíhá na vzorovém běhu
 systému.
 Ze vzorového běhu jsou získány průběhy jednotlivých stavových veličin v
 čase, které pak slouží jako zdroj pro výpočet vlastních mezí.
 Jako vzorový běh lze buď přímo zvolit nějaké hodnoty a nebo je získat aplikací
 vhodného regulátoru na model systému.
 Pro tento případ bylo užíváno vektorové PI řízení (implementované jako
 referenční) získávající odhad ze senzorů a řídící na určenou referenční
 hodnotu.
\end_layout

\begin_layout Standard
Použité vzorové běhy shrnuje následující seznam, dále budou označována svým
 číslem položky:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\omega=\overline{\omega}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\vartheta=\int\omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $i_{\alpha}=i_{\beta}=0$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
vektorové PI
\end_layout

\begin_layout Enumerate
vektorové PI + injektáž sin do 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
vektorové PI + injektáž obdélníků do 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
vektorové PI + injektáž konstanty do 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
vektorové PI + náhodná chyba na 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
vektorové PI + injektáž sin do 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
vektorové PI + injektáž obdélníků do 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
vektorové PI + bikriteriální metoda se 
\begin_inset Formula $\mathrm{sign}\omega$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
vektorové PI + náhodný výběr 5 možností budícího zásahu
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
(detailněji popsat předchozí)
\end_layout

\begin_layout Subsection
Omezování hodnot meze
\end_layout

\begin_layout Standard
Vzhledem k tomu, že poloha 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 je vyjádřena jako úhel (v radiánech), má smysl ji uvažovat pouze v intervalu
 
\begin_inset Formula $\left\langle -\pi,\pi\right\rangle $
\end_inset

 (případně s vyloučením jedné z krajních hodnot).
 V modelu pro výpočet PCRB je však 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 uvažována jako náhodná veličina s normálním rozdělením, která nabývat hodnot
 z celé reálné osy a následně může PCRB dosáhnout velmi vysokých hodnot.
 Tyto hodnoty však pro interpretaci ve vztahu k PMSM nemají smysl, protože
 nejhorší případ (ve smyslu největší neznalosti parametru 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

) nastává, když je hodnota 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 rovnoměrně rozdělena v intervalu 
\begin_inset Formula $\left\langle -\pi,\pi\right\rangle $
\end_inset

, tedy o hodnotě úhlu natočení 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 není žádná informace.
 Proto má smysl uvažovat hodnoty PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 jen do velikosti variance rovnoměrného rozdělení na intervalu 
\begin_inset Formula $\left\langle -\pi,\pi\right\rangle $
\end_inset

, tato hodnota je 
\begin_inset Formula $\frac{\pi^{2}}{3}$
\end_inset

.
 Nad touto hranicí nemá smysl PCRB 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 uvažovat a vyšší hodnoty je buď možno oříznout pevnou mezí nebo pomocí
 výpočtu oříznutého normálního rozdělení, který bude užit dále.
 Srovnání obou možností je zachyceno na grafech Obrázek 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Hodnoty-PCRB-polohy"

\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\noindent
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="2" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/orez_val.eps
	scale 45

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/orez_N.eps
	scale 45

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
a) pevná mez
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
b) oříznuté normální rozdělení
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Srovnání metod omezování hodnoty PCRB polohy 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

: První možností je oříznutí pevnou mezí 
\begin_inset Formula $\frac{\pi^{2}}{3}$
\end_inset

 (znázorněna čárkovaně), druhou pak užití oříznutého normálního rozdělení.
 
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Hodnoty-PCRB-polohy"

\end_inset

 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Postup s oříznutím normálního rozdělení je samozřejmě velmi zjednodušený.
 Správný postup by vyžadoval odvodit vztahy pro skutečnou, tedy negaussovskou,
 hustotu úhlu natočení.
 To je však poměrně náročný úkol, především z důvodu, že skutečná hustota
 úhlu natočení není ani přesně známa a proto se dále v textu omezíme na
 přístup využívající ořez normální hustoty.
\end_layout

\begin_layout Paragraph*
Oříznuté normální rozdělení
\end_layout

\begin_layout Standard
Následující popis čerpá z 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Smidl2006"

\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Standard
Oříznuté normální rozdělení pro skalární náhodnou veličinu 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 je definováno jako normální rozdělení 
\begin_inset Formula $\mathrm{N}\left(\mu,r\right)$
\end_inset

 na omezeném supportu 
\begin_inset Formula $a<x\leq b$
\end_inset

.
 Momenty tohoto rozdělení jsou:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\hat{x} & = & \mu-\sqrt{r}\varphi(\mu,r),\\
\hat{x^{2}} & = & r+\mu\hat{x}-\sqrt{r}\kappa(\mu,r),
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\varphi(\mu,r) & = & \frac{\sqrt{2}\left(\exp(-\beta^{2})-\exp(-\alpha^{2})\right)}{\sqrt{\pi}\left(\mathrm{erf}(\beta)-\mathrm{erf}(\alpha)\right)},\\
\kappa(\mu,r) & = & \frac{\sqrt{2}\left(b\exp(-\beta^{2})-a\exp(-\alpha^{2})\right)}{\sqrt{\pi}\left(\mathrm{erf}(\beta)-\mathrm{erf}(\alpha)\right)}
\end{eqnarray*}

\end_inset

a
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\alpha & = & \frac{a-\mu}{\sqrt{2r}},\\
\beta & = & \frac{b-\mu}{\sqrt{2r}}.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní pro speciální případ 
\begin_inset Formula $a=-\pi$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b=\pi$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\mu=0$
\end_inset

 je 
\begin_inset Formula $\alpha=-\frac{\pi}{\sqrt{2r}}=-\beta$
\end_inset

.
 Zřejmě tedy 
\begin_inset Formula $\alpha^{2}=\beta^{2}$
\end_inset

 a čitatel 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 je nulový, tedy 
\begin_inset Formula $\varphi=0$
\end_inset

.
 Z tohoto pak hned vyplývá, že 
\begin_inset Formula $\hat{x}=0$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\mathrm{Var}(x)=\hat{x^{2}}-\hat{x}^{2}=\hat{x^{2}}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\kappa$
\end_inset

 má po dosazení tvar
\begin_inset Formula 
\[
\kappa=\frac{2\sqrt{2}\pi\exp\left(-\frac{\pi^{2}}{2r}\right)}{2\sqrt{\pi}\mathrm{erf}\left(\frac{\pi}{\sqrt{2r}}\right)}.
\]

\end_inset

Hodnota variance 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 je tedy
\begin_inset Formula 
\[
\mathrm{Var}(x)=r-\sqrt{2\pi r}\frac{\exp\left(-\frac{\pi^{2}}{2r}\right)}{\mathrm{erf}\left(\frac{\pi}{\sqrt{2r}}\right)}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Lineárně kvadratický regulátor
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:Linearne-kvadraticky-regulator"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Tento algoritmus předpokládá lineární systém, viz rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:lq-obecny-lin-system"

\end_inset

), kterým PMSM není a je tedy nutné provést linearizaci.
 Nelze ale přímo použít matice derivací odvozené v předchozí části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:EKF-implementace-matice"

\end_inset

.
 Zde je nutné vycházet z Taylorova rozvoje a zohlednit i případné konstantní
 členy.
 Obecně pro funkci 
\begin_inset Formula $f(x)$
\end_inset

 má rozvoj do prvního řádu v nějakém bodě 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 tvar
\begin_inset Formula 
\[
f\left(x\right)\cong f\left(x_{0}\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right),
\]

\end_inset

kde parciální derivací 
\begin_inset Formula $\frac{\partial f}{\partial x}$
\end_inset

 je konkrétní matice 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 z předchozí části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:EKF-implementace-matice"

\end_inset

 týkající se EKF vypočtená v bodě 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 a tedy
\begin_inset Formula 
\[
f\left(x\right)\cong Ax+\left(f\left(x_{0}\right)-Ax_{0}\right)=Ax+\gamma,
\]

\end_inset

kde vektor 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

 představuje konstantní člen (nezávisí na 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

) a předchozí rovnice tedy není homogenní, jak bychom potřebovali jako výsledek
 linearizace pro rovnici (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:lq-obecny-lin-system"

\end_inset

).
 Proto tedy zvětšíme velikost matice 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

 (o jeden sloupec a řádek) a stejně tak zvětšíme i velikost stavu o 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

 (přidáme konstantu) a předchozí rovnici získáme ve tvaru
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{c}
f\left(x\right)\\
1
\end{array}\right)\cong\overline{A}\left(\begin{array}{c}
x\\
1
\end{array}\right),
\]

\end_inset

kde
\begin_inset Formula 
\[
\overline{A}=\left[\begin{array}{cc}
A & \gamma\\
0 & 1
\end{array}\right],
\]

\end_inset

přičemž 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

 zde označuje nulový řádkový vektor vhodné velikosti.
 Tímto postupem lze již získat požadovaný lineární popis systému (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:lq-obecny-lin-system"

\end_inset

), který současně zohledňuje i konstantní členy.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Ztrátová funkce
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:LQR-Ztratova-funkce"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Protože chceme využít lineárně kvadratického algoritmu, je třeba formulovat
 ztrátovou funkci jako aditivní a kvadratickou, obecně ve tvaru daném rovnicí
 (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:lq-adit-kv-ztrata"

\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Standard
Hlavním požadavkem na systém je dosažení požadované hodnoty otáček 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$
\end_inset

 v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

.
 Výše zmíněná ztráta (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:lq-adit-kv-ztrata"

\end_inset

) však vede na řízení pouze na nulovou hodnotu odpovídající 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$
\end_inset

, pro řízení na nenulové požadované otáčky je třeba modifikovat stav systému
 a zavést substituci 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\psi_{t}=\omega_{t}-\overline{\omega}_{t}\label{eq:substituce-psi}
\end{equation}

\end_inset

a veličinu 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 pak již řídíme na nulovou hodnotu.
 Tuto substituci, která závisí na 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset

 jako parametru, je třeba zanést do všech rovnic.
 Ve stavu systému veličina 
\begin_inset Formula $\psi_{t}$
\end_inset

 nahradí veličinu 
\begin_inset Formula $\omega_{t}$
\end_inset

.
 Dále je třeba zahrnout i všechny konstantní členy, které v důsledku substituce
 vzniknou.
\end_layout

\begin_layout Standard
Penalizační matici stavu systému v (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:lq-adit-kv-ztrata"

\end_inset

) budeme vzhledem k požadavku pouze na hodnotu otáček uvažovat nezávislou
 na čase 
\begin_inset Formula $Q_{t}=Q$
\end_inset

 pro všechna 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

, a ve tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
Q=\left[\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & q & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right],\label{eq:matice-Q-lq}
\end{equation}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 je pevně zvolená konstanta a matice 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 má již rozměr 
\begin_inset Formula $5\times5$
\end_inset

, protože byl stav rozšířen o konstantní člen v důsledku linearizace.
 Koncovou matici 
\begin_inset Formula $Q_{T}$
\end_inset

 budeme uvažovat nulovou.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dalším požadavkem je omezení na napětí -- vstupy do systému, vyjádřené pomocí
 maximálního napětí 
\begin_inset Formula $U_{max}$
\end_inset

, které je schopen poskytnout napájecí zdroj.
 Toto omezení můžeme zasat jako 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\left|u_{k,t}\right|\leq U_{max},\label{eq:omezeni}
\end{equation}

\end_inset

tedy omezení na každou složku 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 vektoru 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

 zvlášť.
 Tuto podmínku lze také považovat za definici množiny přípustných řízení
 
\begin_inset Formula $U_{t}$
\end_inset

 v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

.
 Požadavek založený na absolutní hodnotě nelze přímo zapsat jako kvadratickou
 funkci a proto je třeba vhodně zvolit matici 
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset

 v (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:lq-adit-kv-ztrata"

\end_inset

) aby dostatečně penalizovala příliš velké hodnoty řízení 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

 a dále počítat s tím, že při přesažení hodnoty 
\begin_inset Formula $U_{max}$
\end_inset

 dojde k ořezu.
 Výběr vhodných hodnot do matice 
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset

 byl řešen experimentálně a bude mu věnována pozornost v části zabývající
 se experimenty (
\series bold
odkaz
\series default
).
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Rozšíření pro penalizaci přírůstků napětí
\end_layout

\begin_layout Standard
Chceme-li přidat ještě omezení na velikost změny vstupů 
\begin_inset Formula $\left(u_{t+1}-u_{t}\right)^{2}$
\end_inset

 což může v některých případech vylepšit chování LQ algoritmu, lze tak učinit
 přidáním dalšího členu do ztrátové funkce.
 Tento člen budeme volit opět kvadratický a to ve tvaru 
\begin_inset Formula $\left(u_{t}-u_{t-1}\right)^{T}S_{t}\left(u_{t}-u_{t-1}\right)$
\end_inset

.
 Penalizační matice 
\begin_inset Formula $S_{t}$
\end_inset

 budem opět, jako matice 
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset

, nalezena experimentálně, detailněji viz (
\series bold
odkaz
\series default
).
 Takovýto člen ale ve standartní ztrátové funkci LQ řízení nevystupuje a
 jeho přidání již není tak snadné.
 Při implementaci takto modifikovaného algoritmu je třeba vycházet z návrhu
 LQ algoritmu, založeného na maticovém QR rozkladu, viz odstavec 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Linearne-kvadraticky-regulator-obec-popis"

\end_inset

.
 Tento algoritmus totiž relativně snadno umožňuje přidat další kvadratický
 člen, jedinou komplikací je nutnost rozšířit stávající stavový vektor o
 stará řízení 
\begin_inset Formula $u_{t-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Uvažujme novou penalizační matici 
\begin_inset Formula $S_{t}$
\end_inset

 pozitivně semidefinitní a do rovnice 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:lq-kv-ztrata-prepis-odmoc"

\end_inset

 vyjadřující kvadratickou ztrátu přidáme člen
\begin_inset Formula 
\[
\left(u_{t}-u_{t-1}\right)^{T}S_{t}\left(u_{t}-u_{t-1}\right)=\left(u_{t}-u_{t-1}\right)^{T}\sqrt{S_{t}}^{T}\sqrt{S_{t}}\left(u_{t}-u_{t-1}\right).
\]

\end_inset

To následně vede na rovnici 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:lq-matic-ztrata-pro-qr"

\end_inset

 ve tvaru
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
u_{t-1}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}Z^{T}Z\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
u_{t-1}\\
x_{t}
\end{array}\right),
\]

\end_inset

s maticí 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 danou jako
\begin_inset Formula 
\[
Z=\left[\begin{array}{ccc}
\sqrt{Q_{t}}B_{t} & 0 & \sqrt{Q_{t}}A_{t}\\
\sqrt{R_{t}} & 0 & 0\\
\sqrt{S_{t}} & -\sqrt{S_{t}} & 0\\
\left(\sqrt{\Sigma_{t}}\right)_{3,\ldots,7}B_{t} & \left(\sqrt{\Sigma_{t}}\right)_{1,2} & \left(\sqrt{\Sigma_{t}}\right)_{3,\ldots,7}A_{t}
\end{array}\right],
\]

\end_inset

kde 0 představuje nulovou matici vhodných rozměrů a dolní index slouží k
 označení sloupce matice.
 Zbytek popisu algoritmu je již stejný jako v odstavci 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Linearne-kvadraticky-regulator-obec-popis"

\end_inset

 s tím rozdílem, že místo vektoru 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 dále pracujeme s vektorem 
\begin_inset Formula $\left(\begin{array}{c}
u_{t-1}\\
x_{t}
\end{array}\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Souřadné soustavy pro penalizační matice řízení
\end_layout

\begin_layout Standard
Uvažovaná ztrátovou funkcí penalizující obecně i přírůstky řízení je ve
 tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\sum_{t=0}^{T-1}\left(\left(x_{t}-\overline{x}_{t}\right)^{T}Q\left(x_{t}-\overline{x}_{t}\right)+u_{t}^{T}Ru_{t}+\left(u_{t}-u_{t-1}\right)^{T}S\left(u_{t}-u_{t-1}\right)\right),\label{eq:lqr-ztrat-fce-tri-cleny}
\end{equation}

\end_inset

kde řízení 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

 respektive 
\begin_inset Formula $u_{t-1}$
\end_inset

 jsou v souřadnicích 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

.
 Osy 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 jsou zřejmě kvalitativně ekvivalentní a není důvod některou z nich upřednostňov
at, není proto ani žádný důvod uvažovat jinou penalizaci, řízení případně
 jeho přírůstků, v těchto osách.
 Totéž ovšem nelze tvrdit o souřadných osách 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

.
 Z rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:diskretni-system-dq-ls"

\end_inset

) případně (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:diskretni-system-dq-ldq"

\end_inset

) zřejmě plyne, že na otáčení stroje má vliv především 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 složka proudů a tedy potažmo i napětí.
 Může se tedy zdát rozumným volit rozdílnou penalizaci řídících vstupů v
 osách 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Volmě tedy rozdílnou časově nezávislou penalizaci řízení v osách 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 v podobě diagonální matice
\begin_inset Formula 
\[
R^{dq}=diag(r_{d},r_{q}).
\]

\end_inset

Uvažujeme-li ztrátovou funkci v souřadném systému 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

, převedeme penalizační matici 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 do těchto souřadnic a ta se stane závislou na čase
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
R_{t}^{\alpha\beta}=\left[\begin{array}{cc}
\cos\vartheta_{t} & -\sin\vartheta_{t}\\
\sin\vartheta_{t} & \cos\vartheta_{t}
\end{array}\right]R^{dq}\left[\begin{array}{cc}
\cos\vartheta_{t} & \sin\vartheta_{t}\\
-\sin\vartheta_{t} & \cos\vartheta_{t}
\end{array}\right],\label{eq:rotace-rdq-na-ralbe}
\end{equation}

\end_inset

kde se jako úhel 
\begin_inset Formula $\vartheta_{t}$
\end_inset

 využívá jeho odhad v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

.
 Analogický vztah lze použít i pro penalizaci přírůstků (matice 
\begin_inset Formula $S^{dq}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $S_{t}^{\alpha\beta}$
\end_inset

).
 
\end_layout

\begin_layout Subsection
Matice pro stejné indukčnosti
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro případ plného stavu je matice 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

 dána vztahem (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:matice-ekf-plnymodel-ls"

\end_inset

), kde jako hodnoty odhadu stavových veličin (složek vektoru 
\begin_inset Formula $\hat{x}_{t}$
\end_inset

) použijeme hodnoty bodu 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

, ve kterém linearizujeme.
 Konstantní člen 
\begin_inset Formula $\gamma=f\left(x_{0}\right)-A_{t}x_{0}$
\end_inset

 vypočteme jako
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\gamma & = & \left(\begin{array}{c}
-b\omega_{0}\vartheta_{0}\cos\vartheta_{0}\\
-b\omega_{0}\vartheta_{0}\sin\vartheta_{0}\\
e\vartheta_{0}\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right)\\
0
\end{array}\right),
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde dolní index 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

 neznačí nulový čas, ale bod linearizace 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

.
 Matice 
\begin_inset Formula $\overline{A}_{t}$
\end_inset

 vypočtená v bodě 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 (složky 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 budou opět značeny dolním indexem 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

) pak je
\begin_inset Formula 
\[
\left[\begin{array}{ccccc}
a & 0 & b\sin\vartheta_{0} & b\omega_{0}\cos\vartheta_{0} & -b\omega_{0}\vartheta_{0}\cos\vartheta_{0}\\
0 & a & -b\cos\vartheta_{0} & b\omega_{0}\sin\vartheta_{0} & -b\omega_{0}\vartheta_{0}\sin\vartheta_{0}\\
-e\sin\vartheta_{0} & e\cos\vartheta_{0} & d & -e\zeta & e\vartheta_{0}\zeta\\
0 & 0 & \Delta t & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right],
\]

\end_inset

kde
\begin_inset Formula 
\[
\zeta=\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Matici 
\begin_inset Formula $B_{t}$
\end_inset

 derivací 
\begin_inset Formula $f(x_{t},u_{t})$
\end_inset

 dle vstupů 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

 lze volit konstantní a časově nezávislou ve tvaru 
\begin_inset Formula 
\[
B=\left[\begin{array}{cc}
c & 0\\
0 & c\\
0 & 0\\
0 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right],
\]

\end_inset

 protože funkce 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 je ve vstupech 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 lineární.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Substituce kvůli požadovaným otáčkám
\end_layout

\begin_layout Standard
Jak již bylo zmíněno, při požadavku na nenulové referenční otáčky je třeba
 provést substituci a zavést novou stavovou veličinu 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

.
 V důsledku této substituce 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:substituce-psi"

\end_inset

 se rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:diskretni-system-albe-ls"

\end_inset

) změní na
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
i_{\alpha,t+1} & = & ai_{\alpha,t}+b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t},\nonumber \\
i_{\beta,t+1} & = & ai_{\beta,t}-b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t},\label{eq:subst-system-s-psi}\\
\psi_{t+1} & = & d\psi_{t}+e\left(i_{b,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right),\nonumber \\
\vartheta_{t+1} & = & \vartheta_{t}+\Delta t\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right),\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

předpokládáme-li, že pro pro požadované otáčky 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset

 platí 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t+1}\approx d\overline{\omega}_{t}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Derivováním těchto rovnic dle nového (substituovaného) stavu 
\begin_inset Formula $\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\psi_{t},\vartheta_{t}\right)^{T}$
\end_inset

 získáme matici 
\begin_inset Formula 
\[
\tilde{A}_{t}=\left[\begin{array}{cccc}
a & 0 & b\sin\vartheta_{t} & b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\cos\vartheta_{t}\\
0 & a & -b\cos\vartheta_{t} & b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\sin\vartheta_{t}\\
-e\sin\vartheta_{t} & e\cos\vartheta_{t} & d & -e\left(i_{\beta,t}\sin\vartheta_{t}+i_{\alpha,t}\cos\vartheta_{t}\right)\\
0 & 0 & \Delta t & 1
\end{array}\right],
\]

\end_inset

která je hodnotově stejná s maticí 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

 získanou v části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:EKF-implementace-matice"

\end_inset

 týkající se EKF na základě původního nesubstituovaného stavu (to jest s
 
\begin_inset Formula $x^{(3)}=\omega$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Standard
Konstantní člen 
\begin_inset Formula $\gamma=f\left(x_{0}\right)-A_{t}x_{0}$
\end_inset

 je však jiný a závisí na hodnotě 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$
\end_inset

, která do něj vstupuje jako časově proměnný parametr:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\gamma & = & \left(\begin{array}{c}
-b\omega_{0}\vartheta_{0}\cos\vartheta_{0}+b\overline{\omega}_{t}\sin\vartheta_{0}\\
-b\omega_{0}\vartheta_{0}\sin\vartheta_{0}-b\overline{\omega}_{t}\cos\vartheta_{0}\\
e\vartheta_{0}\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right)\\
\Delta t\overline{\omega}_{t}
\end{array}\right).
\end{eqnarray*}

\end_inset

Výsledná matice 
\begin_inset Formula $\overline{A}_{t}$
\end_inset

 je pak ve tvaru
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\left[\begin{array}{ccccc}
a & 0 & b\sin\vartheta_{0} & b\omega_{0}\cos\vartheta_{0} & -b\omega_{0}\vartheta_{0}\cos\vartheta_{0}+b\overline{\omega}_{t}\sin\vartheta_{0}\\
0 & a & -b\cos\vartheta_{0} & b\omega_{0}\sin\vartheta_{0} & -b\omega_{0}\vartheta_{0}\sin\vartheta_{0}-b\overline{\omega}_{t}\cos\vartheta_{0}\\
-e\sin\vartheta_{0} & e\cos\vartheta_{0} & d & -e\zeta & e\vartheta_{0}\zeta\\
0 & 0 & \Delta t & 1 & \Delta t\overline{\omega}_{t}\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right],
\]

\end_inset

kde
\begin_inset Formula 
\[
\zeta=\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Matice pro různé indukčnosti
\end_layout

\begin_layout Standard
Matice 
\begin_inset Formula $\overline{A}_{t}$
\end_inset

 v případě uvažování různých indukčností 
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset

 má, obdobně jako matice pro EKF v tomto případě, relativně komplikovaný
 zápis.
 Z tohoto důvodu nebude opět uvedena zde v textu, ale je zařazena až do
 přílohy.
 Navíc je zde změna i v matici 
\begin_inset Formula $B_{t}$
\end_inset

, která je nyní závislá na čase.
 Tuto matici lze opět nalézt v příloze.
\end_layout

\begin_layout Subsection
LQ regulátor pro redukovaný model
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:LQ-řízení-pro-red-model"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Myšlenka redukovaného modelu již byla popsána pro rozšířený Kalmanův filtr,
 viz odstavec 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:EKF-Redukovany-model"

\end_inset

.
 Řízení je však redukovaný model komplikovanější, protože ve funkci popisující
 vývoj systému explicitně nevystupuje řízení 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

.
 Je tedy třeba vhodným způsobem tento problém vyřešit.
 Jednou z možností je zřetězení dvou LQ regulátorů.
 V prvním kroku považovat za řízení proudy 
\begin_inset Formula $i_{\alpha,\beta}$
\end_inset

, a tedy tento první regulátor na výstupu generuje požadované proudy 
\begin_inset Formula $\overline{i}_{\alpha,\beta}$
\end_inset

.
 Druhý regulátor pak na základě rovnic pro vývoj proudů a referenčních hodnot
 proudů 
\begin_inset Formula $\overline{i}_{\alpha,\beta}$
\end_inset

 nalezl vlastní řízení 
\begin_inset Formula $u_{\alpha,\beta}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Matice pro redukovaný model
\end_layout

\begin_layout Standard
Jak bylo zmíněno, ve funkci 
\begin_inset Formula $f\left(x_{t},y_{t}\right)$
\end_inset

 dané druhými dvěma rovnicemi (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:diskretni-system-albe-ls"

\end_inset

) explicitně nevystupuje řízení 
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset

, je třeba zvolit trochu odlišný přístup, než pro plný model.
 Řízení budeme navrhovat ve dvou krocích.
 V prvním kroku budeme předpokládat, že vstupem jsou proudy 
\begin_inset Formula $i_{\alpha\beta}$
\end_inset

 a lineárně kvadratický algoritmus bude na svém výstupu produkovat požadované
 hodnoty těchto proudů 
\begin_inset Formula $\overline{i}_{\alpha\beta}$
\end_inset

.
 V dalším kroku druhý lineárně kvadratický algoritmus na základě požadovaných
 proudů 
\begin_inset Formula $\overline{i}_{\alpha\beta}$
\end_inset

 již navrhne hodnotu napětí 
\begin_inset Formula $u_{\alpha\beta}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dále provedeme ještě drobné zjednodušení a funkci 
\begin_inset Formula $f\left(x_{t},y_{t}\right)$
\end_inset

 rozdělíme na dvě části
\begin_inset Formula 
\[
f\left(x_{t},y_{t}\right)=\left(\begin{array}{c}
d\omega_{t}\\
\vartheta_{t}+\Delta t\omega_{t}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
e\left(i_{b,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)\\
0
\end{array}\right).
\]

\end_inset

Matici 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

 pak položíme rovnou první , lineární, části systému
\begin_inset Formula 
\[
A=\left[\begin{array}{cc}
d & 0\\
\Delta t & 1
\end{array}\right]
\]

\end_inset

a matici 
\begin_inset Formula $B_{t}$
\end_inset

 pak získáme linearizací druhé části jako
\begin_inset Formula 
\[
B_{t}=\left[\begin{array}{cc}
-e\sin\vartheta_{t} & e\cos\vartheta_{t}\\
0 & 0
\end{array}\right].
\]

\end_inset

Tento postup neodpovídá přesně postupu odvození derivací užitému pro plný
 stav.
 Jeho výhodou však je, že již není třeba přidávat konstantní členy jako
 důsledek linearizace.
 Snadněji se také zahrne požadavek na nenulovou referenční hodnotu 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset

.
 Následně je užito lineárně kvadratického algoritmu s výše popsanými maticemi.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ve druhém kroku pak na základě referenčních hodnot proudů 
\begin_inset Formula $\overline{i}_{\alpha\beta}$
\end_inset

 nalezneme požadované řízení 
\begin_inset Formula $u_{\alpha\beta}$
\end_inset

.
 Využijeme k tomu rovnic pro funkci 
\begin_inset Formula $h(x_{t},y_{t},u_{t})$
\end_inset

 dané prvními dvěma rovnicemi (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:diskretni-system-albe-ls"

\end_inset

)
\begin_inset Formula 
\[
h(x_{t},y_{t},u_{t})=\left(\begin{array}{c}
ai_{\alpha,t}+b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t}\\
ai_{\beta,t}-b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t}
\end{array}\right),
\]

\end_inset

které jsou v proudech 
\begin_inset Formula $i_{\alpha\beta}$
\end_inset

 i napětích 
\begin_inset Formula $u_{\alpha\beta}$
\end_inset

 lineární a lze opět použít lineárně kvadratický algoritmus.
 Členy 
\begin_inset Formula $\pm b\omega_{t}\begin{array}{c}
\sin\\
\cos
\end{array}\vartheta_{t}$
\end_inset

 zde pak vystupují jako konstanty a projeví se jako korekce vynásobená konstanto
u 
\begin_inset Formula $\frac{1}{c}$
\end_inset

 odečtená od výsledku.
\end_layout

\begin_layout Subsection
LQ regulátor v 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 souřadné soustavě 
\end_layout

\begin_layout Standard
Postup je anlogický jako v případě pro 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 souřadnice, vyjdeme však ze soustavy rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:diskretni-system-dq-ls"

\end_inset

).
 Tento tvar rovnic je z hlediska linearizece daleko příznivější, protože
 jedinými nelineárními členy jsou 
\begin_inset Formula $\pm\Delta t\cdot i_{q,d}\omega$
\end_inset

.
 Dále je třeba upozornit na důležitý detail.
 Na první pohled by se mohlo zdát, že jsme z rovnic kompletně odstranili
 závislost na úhlu natočení 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 a nepotřebujeme jej tedy znát.
 To však není pravda, závislost tam stále je, i když skrytá.
 Měření výstupu i poskytování vstupu do systému probíhá v souřadné soustavě
 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

, když navrhujeme řízení v soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 je samozřejmě třeba provést transformaci (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"

\end_inset

) a pak inverzní transformaci (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"

\end_inset

) zpět a obě závisí právě na úhlu natočení 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ztrátovou funkci budeme uvažovat stejnou jako v předchozím případě pro 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 a stav rovnou rozšíříme o konstantu na 
\begin_inset Formula $x_{t}=\left(i_{d,t},i_{q,t},\psi_{t},\vartheta_{t},1\right)$
\end_inset

.
 Vektor řízení je 
\begin_inset Formula $u_{t}=\left(u_{d,t},u_{q,t}\right)$
\end_inset

.
 Upravená matice 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

 se zahrnutím konstantních členů v důsledku linearizace a nenulových referenčníc
h otáček a matice 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 jsou 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
A_{t} & = & \left[\begin{array}{ccccc}
a & \Delta t\cdot\omega & \Delta t\cdot i_{q} & 0 & -\Delta t\cdot i_{q}\left(\omega-\overline{\omega}\right)\\
-\Delta t\cdot\omega & a & -\Delta t\cdot i_{d}-b & 0 & \Delta t\cdot i_{d}\left(\omega-\overline{\omega}\right)-b\overline{\omega}\\
0 & e & d & 0 & 0\\
0 & 0 & \Delta t & 1 & \Delta t\overline{\omega}\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right],\\
B & = & \left[\begin{array}{cc}
c & 0\\
0 & c\\
0 & 0\\
0 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right].
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Hyperstav
\end_layout

\begin_layout Standard
Jak již bylo uvedeno v části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Prehled-metod-dualniho-rizeni"

\end_inset

, hlavní myšlenka využití hyperstavu spočívá v aplikaci EKF v jistém smyslu
 dvakrát.
 To umožňuje získat kromě odhadu samotného stavu i odhad jeho kovarianční
 matice.
 Proč je právě znalost kovarianční matice pro konkrétní uvažovaný systém
 PMSM výhodná bude nejdříve ukázáno pomocí Bellmanovy funkce.
 Pak již bude následovat odvození samotného algoritmu založeného na hyperstavu.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Bellmanova funkce pro PMSM
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:BellmanDP"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Cílem řídícího algoritmu je minimalizovat ztrátovou funkci uvažovanou ve
 tvaru (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:lq-adit-kv-ztrata"

\end_inset

).
 Klasickým postupem pro nalezení optimálního řešení této úlohy je užítí
 Bellmanovy funkce a algoritmu dynamického programování jak bylo popsáno
 v odstavci 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:uloha-dualniho-rizeni"

\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
V koncovém čase 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 položíme
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
V_{T}\left(x_{T}\right)=0\label{eq:bellVkonec}
\end{equation}

\end_inset

a dále počítáme zpět v čase
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
V_{t-1}\left(x_{t-1},u_{t-1}\right)=\min_{u_{t-1}\in U_{t-1}}\mathrm{E}\left\{ x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} ,\label{eq:bellVrek}
\end{equation}

\end_inset

pro 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 od 
\begin_inset Formula $T-1$
\end_inset

 do 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

, kde střední hodnota je podmíněna informačním vektorem 
\begin_inset Formula $\mathcal{I}_{t}$
\end_inset

, který reprezentuje současně dostupnou informaci o systému zahrnující všechna
 měření a řídící vstupy do času 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Uvažovanou kvadratickou ztrátu za jeden časový krok
\begin_inset Formula 
\[
x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t},
\]

\end_inset

pří konkrétní volbě matice 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 ve tvaru (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:matice-Q-lq"

\end_inset

) a zavedení substituce 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:substituce-psi"

\end_inset

  přejde na
\begin_inset Formula 
\[
q\left(x_{t}^{(3)}-\overline{\omega}_{t}\right)^{2}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t},
\]

\end_inset

kde horní index v závorce značí složku vektoru.
 Pak je možno rovnici (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:bellVrek"

\end_inset

) dále zjednodušit
\begin_inset Formula 
\begin{alignat}{1}
V_{t-1} & \left(x_{t-1},u_{t-1}\right)\text{=}\min_{u_{t-1}}\mathrm{E}\left\{ x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \nonumber \\
= & \min_{u_{t-1}}\left(\mathrm{E}\left\{ q\left(x_{t}^{(3)}-\overline{\omega}_{t}\right)^{2}\right\} +\mathrm{E}\left\{ u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \right)\label{eq:bellamn-s-Pome}\\
= & \min_{u_{t-1}}\left(q\left(\mathrm{E}\left\{ \left(x_{t}^{(3)}\right)^{2}\right\} +\mathrm{E}\left\{ \overline{\omega}_{t}^{2}\right\} +\mathrm{E}\left\{ 2x_{t}^{(3)}\overline{\omega}_{t}\right\} \right)+\mathrm{E}\left\{ u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \right)\nonumber \\
= & \min_{u_{t-1}}\left(q\left(\left(\hat{x}_{t}^{(3)}\right)^{2}+\mathrm{Var}\left(x_{t}^{(3)}\right)+\overline{\omega}_{t}^{2}+2\hat{x}_{t}^{(3)}\overline{\omega}_{t}\right)+\mathrm{E}\left\{ u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \right)\nonumber \\
= & \min_{u_{t-1}}\left(q\left(\hat{x}_{t}^{(3)}-\overline{\omega}_{t}\right)+q\mathrm{Var}\left(x_{t}^{(3)}\right)+\mathrm{E}\left\{ u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \right),\nonumber 
\end{alignat}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\hat{x}$
\end_inset

 označuje střední hodnotu 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 a dále jsme využili vztahu 
\begin_inset Formula $\mathrm{Var}\left(x\right)=\mathrm{E}\left\{ x^{2}\right\} -\left(\mathrm{E}\left\{ x\right\} \right)^{2}$
\end_inset

 a toho, že 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$
\end_inset

 je známý parametr a tedy je pro výpočet střední hodnoty konstantou.
 Následně můžeme ve výpočtu Bellmanovy funkce 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 v rovnici (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:bellVrek"

\end_inset

) náhodnou veličinu 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 nahradit její střední hodnotou 
\begin_inset Formula $\hat{x}_{t}$
\end_inset

, když navíc zahrneme do rovnice varianci třetí složky 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

, to jest varianci otáček stroje.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Hyperstav
\end_layout

\begin_layout Standard
Následující algoritmus využívající hyperstav je praktickou realizací postupu
 nastíněného v ostavci 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Prehled-metod-dualniho-rizeni"

\end_inset

.
 Jedná se o analogii s LQG popsaným v předchozích částech, s tím rozdílem,
 že místo stavu je aplikován právě na hyperstav.
 Protože tímto přístupem již značně narůstá dimenzionalita úlohy je z výpočetníc
h důvodů výhodnější užití redukovaného modelu, i přes komplikace, které
 způsobuje při řízení.
\end_layout

\begin_layout Standard
Vyjdeme z redukovaného stavu 
\begin_inset Formula 
\[
x_{t}=\left(\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T}
\]

\end_inset

a na něj formálně aplikujeme EKF.
 Tím získáme, kromě odhadu stavu 
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset

 i odhad jeho kovariance v podobě matice
\begin_inset Formula 
\[
P=\left[\begin{array}{cc}
P_{\omega} & P_{\omega\vartheta}\\
P_{\omega\vartheta} & P_{\vartheta}
\end{array}\right]
\]

\end_inset

a současně rovnice EKF (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:EKF-rovnice-time-upd"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:EKF-rovnice-data-upd"

\end_inset

) představují předpis její výpočet.
 Z důvodu jednoduššího zápisu budou vynechány časové indexy 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 a místo nic je užit horní index 
\begin_inset Formula $+$
\end_inset

 pro hodnotu v následujícím čase 
\begin_inset Formula $t+1$
\end_inset

.
 Použité rovnice pro EKF jsou tedy ve tvaru
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\overline{P} & = & APA^{T}+V,\nonumber \\
S & = & C\overline{P}C^{T}+W,\nonumber \\
K & = & \overline{P}C^{T}S^{-1},\label{eq:ekf-pro-hyperstav}\\
P^{+} & \text{=} & \left(I-KC\right)\overline{P}.\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní definujeme 
\emph on
hyperstav
\emph default
 
\begin_inset Formula $\xi_{t}$
\end_inset

 v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 jako
\begin_inset Formula 
\[
\xi_{t}=\left(\omega_{t},\vartheta_{t},P_{\omega},P_{\omega\vartheta},P_{\vartheta}\right)^{T}.
\]

\end_inset

Na hyperstav následně aplikujeme algoritmus LQG viz část 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:LQG-obecne"

\end_inset

, podobně jako pro EKF a LQ regulátor pro redukovaný model jak bylo popsáno
 v předchozích částech 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:EKF-Redukovany-model"

\end_inset

 a 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:LQ-řízení-pro-red-model"

\end_inset

.
 Větší problém však představuje nalezení matice derivací 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

, protože je třeba navíc derivovat maticové rovnice pro výpočet EKF (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:ekf-pro-hyperstav"

\end_inset

) na stavu 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

.
 Jedním ze způsobů jak je to možné provést je derivovat každou z rovnic
 (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:ekf-pro-hyperstav"

\end_inset

) dle jednotlivých složek 
\begin_inset Formula $\xi_{i}$
\end_inset

 vektoru hyperstavu 
\begin_inset Formula $\xi_{t}$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
\frac{\partial\overline{P}}{\partial\xi_{i}} & = & \frac{\partial A}{\partial\xi_{i}}PA^{T}+A\frac{\partial P}{\partial\xi_{i}}A^{T}+AP\frac{\partial A^{T}}{\partial\xi_{i}},\nonumber \\
\frac{\partial S}{\partial\xi_{i}} & = & \frac{\partial C}{\partial\xi_{i}}\overline{P}C^{T}+C\frac{\partial\overline{P}}{\partial\xi_{i}}C^{T}+C\overline{P}\frac{\partial C^{T}}{\partial\xi_{i}},\nonumber \\
\frac{\partial K}{\partial\xi_{i}} & = & \frac{\partial\overline{P}}{\partial\xi_{i}}C^{T}S^{-1}+\overline{P}\frac{\partial C^{T}}{\partial\xi_{i}}S^{-1}-\overline{P}C^{T}S^{-1}\frac{\partial S}{\partial\xi_{i}}S^{-1},\label{eq:ekf-stav-derivace}\\
\frac{\partial P^{+}}{\partial\xi_{i}} & \text{=} & \frac{\partial\overline{P}}{\partial\xi_{i}}-\frac{\partial K}{\partial\xi_{i}}C\overline{P}-K\frac{\partial C}{\partial\xi_{i}}\overline{P}-KC\frac{\partial\overline{P}}{\partial\xi_{i}},\nonumber 
\end{eqnarray}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\frac{\partial}{\partial\xi_{i}}$
\end_inset

 představuje zápis derivace dle 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

-té složky vektoru 
\begin_inset Formula $\xi$
\end_inset

 a matice 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 uvažujeme jako konstanty v 
\begin_inset Formula $\xi$
\end_inset

.
 Matice linearizovaného vývoje hyperstavu 
\begin_inset Formula $A_{hyp}$
\end_inset

 bude mít nyní blokový tvar
\begin_inset Formula 
\[
A_{hyp}=\left[\begin{array}{ccccc}
A_{1} & A_{2} & 0 & 0 & 0\\
\left(\frac{\partial P^{+}}{\partial\omega}\right)^{sl} & \left(\frac{\partial P^{+}}{\partial\vartheta}\right)^{sl} & \left(\frac{\partial P^{+}}{\partial P_{\omega}}\right)^{sl} & \left(\frac{\partial P^{+}}{\partial P_{\omega\vartheta}}\right)^{sl} & \left(\frac{\partial P^{+}}{\partial P_{\vartheta}}\right)^{sl}
\end{array}\right],
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $A_{i}$
\end_inset

 představuje 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

-tý sloupec původní matice 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

 viz (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:matice-ekf-redukovanymodel-ls"

\end_inset

), 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

 označuje sloupec nul vhodné délky a parciální derivace 
\begin_inset Formula $P^{+}$
\end_inset

 dle složky 
\begin_inset Formula $\xi_{i}$
\end_inset

 v závorce s horním indexem 
\emph on
sl
\emph default
, tedy 
\begin_inset Formula $\left(\frac{\partial P^{+}}{\partial\xi_{i}}\right)^{sl}$
\end_inset

, je myšlena v tom smyslu, že po vypočtení příslušné derivace 
\begin_inset Formula $\frac{\partial P^{+}}{\partial\xi_{i}}$
\end_inset

 z rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:ekf-stav-derivace"

\end_inset

) jsou z této matice vybrány 3 z jejích 4 prvků tvořící horní nebo dolní
 trojúhelník a zapísány ve smyslu tvorby vektoru hyperstavu do sloupce.
 Tedy matice
\begin_inset Formula 
\[
\frac{\partial P^{+}}{\partial\xi_{i}}=\left[\begin{array}{cc}
\frac{\partial P_{\omega}^{+}}{\partial\xi_{i}} & \frac{\partial P_{\omega\vartheta}^{+}}{\partial\xi_{i}}\\
\frac{\partial P_{\omega\vartheta}^{+}}{\partial\xi_{i}} & \frac{\partial P_{\vartheta}^{+}}{\partial\xi_{i}}
\end{array}\right]
\]

\end_inset

je zapsána jako
\begin_inset Formula 
\[
\left(\frac{\partial P^{+}}{\partial\xi_{i}}\right)^{sl}=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial P_{\omega}^{+}}{\partial\xi_{i}} & \frac{\partial P_{\omega\vartheta}^{+}}{\partial\xi_{i}} & \frac{\partial P_{\vartheta}^{+}}{\partial\xi_{i}}\end{array}\right)^{T}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Matici 
\begin_inset Formula $A_{hyp}$
\end_inset

 vzniklou předchozím postupem již můžeme použít v algoritmu EKF pro hyperstav.
 Jako matici pozorování 
\begin_inset Formula $C_{hyp}$
\end_inset

 použijeme původní matici 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 pouze doplněnou nulami na vhodný rozměr.
 Pro lineárně kvadratický regulátor platí opět totéž, co pro jednoduchý
 (tedy bez hyperstavu) a matici 
\begin_inset Formula $A_{hyp}$
\end_inset

 je třeba rozšířit zahrnutím konstantních členů, dále je třeba ošetřit substituc
í řízení (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:substituce-psi"

\end_inset

) na nenulové požadované otáčky 
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset

.
 Kvůli větší složitosti tohoto výpočtu bylo rozšíření matice 
\begin_inset Formula $A_{hyp}$
\end_inset

 prováděno pomocí symbolický výpočtů v programu Matlab, výsledek je pak
 uveden v příloze (
\series bold
zatím teda není
\series default
).
 Protože uvažujeme redukovaný model je třeba dále užít zřetězení dvou LQ
 regulátorů, podobně jako v případě bez hyperstavu v odstavci 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:LQ-řízení-pro-red-model"

\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Výhodou využití hyperstavu je, že máme k dispozici i odhady kovarianční
 matice 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 původního stavu a tedy je možno zahrnout do kritéria například penalizaci
 
\begin_inset Formula $P_{\omega}$
\end_inset

, která vystupuje v Bellmanově funkci viz vzorec (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:bellamn-s-Pome"

\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Subsection
Plný model
\end_layout

\begin_layout Standard
Analogicky lze postupovat i pro plný model, všechny odpovídající matice
 však budou větší, protože velikost hyperstavu narůstá řádově kvadraticky.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro stav
\begin_inset Formula 
\[
x_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T}
\]

\end_inset

vypočteme z rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:ekf-pro-hyperstav"

\end_inset

) EKF kovarianční matici
\begin_inset Formula 
\[
P=\left[\begin{array}{cccc}
P_{5} & P_{6} & P_{8} & P_{11}\\
P_{6} & P_{7} & P_{9} & P_{12}\\
P_{8} & P_{9} & P_{10} & P_{13}\\
P_{11} & P_{12} & P_{13} & P_{14}
\end{array}\right]
\]

\end_inset

a definujeme 
\emph on
hyperstav
\emph default
 
\begin_inset Formula $\xi_{t}$
\end_inset

 v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 jako
\begin_inset Formula 
\[
\xi_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\omega_{t},\vartheta_{t},P_{5},P_{6},P_{7},P_{8},P_{9},P_{10},P_{11},P_{12},P_{13},P_{14}\right)^{T}.
\]

\end_inset

Rovnice pro výpočet matice 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

, a tedy i jejích prvků 
\begin_inset Formula $P_{i}$
\end_inset

, jsou formálně shodné s rovnicemi (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:ekf-stav-derivace"

\end_inset

) pro redukovaný model, pouze rozměry vystupujících matic jsou větší.
 Matice 
\begin_inset Formula $A_{hyp}$
\end_inset

 je pak v blokovém tvaru
\begin_inset Formula 
\[
A_{hyp}=\left[\begin{array}{c}
\begin{split}A\quad & \quad0\end{split}
\\
\left(\frac{\partial P^{+}}{\partial\xi_{i}}\right)_{i\in\left\{ 1\ldots14\right\} }^{sl}
\end{array}\right],
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 značí původní matici 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

 (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:matice-ekf-plnymodel-ls"

\end_inset

) pro EKF standartního plného stavu, 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

 je nulová matice vhodného rozměru a zápis 
\begin_inset Formula $\left(\frac{\partial P^{+}}{\partial\xi_{i}}\right)^{sl}$
\end_inset

 má stejný význam jako v předchozím odstavci, jen vybírá trojúhelník z větší
 matice; tyto sloupcové vektory jsou pak po řadě, dle indexu 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, zapsány do blokové matice 
\begin_inset Formula $A_{hyp}$
\end_inset

.
 Pro LQ regulátor je matici opět třeba rozšířit o konstantní člen, který
 byl počítán symbolicky a je možné jej nalézt v příloze (
\series bold
zatím teda ne
\series default
).
 Výhodou je opět dostupnost odhadu kovarianční matice 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 a oproti redukovanému modelu se zde navíc nevyskytují komplikace při návrhu
 řízení jako pro redukovaný model.
\end_layout

\begin_layout Section
Bikriteriální metoda
\end_layout

\begin_layout Subsection
Základní verze
\end_layout

\begin_layout Standard
Dalším z implementovaných algoritmů je jednoduchý návrh založený na 
\emph on
bikriteriální metodě
\emph default
, viz 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Prehled-metod-dualniho-rizeni"

\end_inset

.
 Její princip je ve stručnosti takový, že nejdříve je nalezeno opatrné řízení.
 Následně je v jeho okolí hledáno optimální buzení.
 Tohoto postupu se ale budeme držet jen částečně.
\end_layout

\begin_layout Standard
Nalezení 
\emph on
opatrného řízení
\emph default
, které se pod tímto pojmem obvykle rozumí není v případě zde uvažovaného
 systému snadné.
 Proto místo něj využijeme některé standartní řízení, například vektorové
 založené na PI nebo LQ regulátorech.
 Toto není z hlediska bikriteriální metody korektní, zde uvažovaný postup
 je ale myšlen jako jednoduchý návrh a je pouze jejím jistým přiblížením.
\end_layout

\begin_layout Standard
Nyní kolem takto nalezeného řízení, označme 
\begin_inset Formula $\tilde{u}$
\end_inset

, stanovíme okolí, ve kterém se budeme snažit minimalizovat ztrátu pro optimální
 buzení.
 Okolí uvažujeme jako dvourozměrný interval popsaný parametrem 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

 ve tvaru 
\begin_inset Formula $\left\langle \tilde{u}_{d}-\varepsilon_{d},\tilde{u}_{d}+\varepsilon_{d}\right\rangle \times\left\langle \tilde{u}_{q}-\varepsilon_{q},\tilde{u}_{q}+\varepsilon_{q}\right\rangle $
\end_inset

.
 Pro odhadování stavu je užit opět rozšířený Kalmanův filtr.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Velikost zpětné elektromotorické síly, na základě které jsou odhadovány
 mechanické veličiny, je přímo úměrná otáčkám a tedy čím jsou vyšší otáčky,
 tím získáváme lepší odhad těchto veličin.
 Můžeme tedy uvažovat, že optimální buzení pro PMSM je takové, které se
 snaží maximalizovat otáčky 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

, nebo přesněji jejich absolutní hodnotu.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Při maximalizaci otáček vyjdeme z rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:diskretni-system-dq-ls"

\end_inset

), kde do třetí rovnice dosadíme z prvních dvou
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\omega_{t+1}=d\omega_{t}+e\left(ai_{q,t-1}-\Delta t\left(ai_{d,t-2}+\Delta t\cdot i_{q,t-2}\omega_{t-2}+cu_{d,t-2}\right)\omega_{t-1}-b\omega_{t-1}+cu_{q,t-1}\right).\label{eq:rovnice_pro_opt_buz}
\end{equation}

\end_inset

Dosazovat by šlo samozřejmě dále, ale již teď je zřejmé, jak volit řídící
 zásahy 
\begin_inset Formula $u_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $u_{q}$
\end_inset

: Chceme maximalizovat 
\begin_inset Formula $\left|\omega\right|$
\end_inset

, budeme tedy volit řízení 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 na okraji intervalu kolem 
\begin_inset Formula $\tilde{u}$
\end_inset

.
 Je třeba rozlišit kladné a záporné otáčky, z rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice_pro_opt_buz"

\end_inset

) získáváme pro 
\begin_inset Formula $u_{q}$
\end_inset

 volbu stejného znaménka jako pro 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 a pro 
\begin_inset Formula $u_{d}$
\end_inset

 znaménko opačné.
 Výsledné řízení je tedy
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray}
u_{d} & = & \tilde{u}_{d}-\varepsilon_{d}\,\mathrm{sign}\,\omega,\nonumber \\
u_{q} & = & \tilde{u}_{q}+\varepsilon_{q}\,\mathrm{sign}\,\omega.\label{eq:zakladni-bikriterialní}
\end{eqnarray}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Časový posun hodnot
\end_layout

\begin_layout Standard
Předchozí návrh byl poměrně přímočarým vyvozením rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:zakladni-bikriterialní"

\end_inset

) pro řízení z rovnice pro otáčky (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice_pro_opt_buz"

\end_inset

) a nebyly při něm respektovány správné časy jednotlivých veličin.
 Chceme-li respektovat správný časový posun uvažovaných veličin, je třeba
 rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:zakladni-bikriterialní"

\end_inset

) přepsat vzhledem k rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice_pro_opt_buz"

\end_inset

) do tvaru
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
u_{d,t} & = & \tilde{u}_{d,t}-\varepsilon_{d}\,\mathrm{sign}\,\omega_{t+3},\\
u_{q,t} & = & \tilde{u}_{q,t}+\varepsilon_{q}\,\mathrm{sign}\,\omega_{t+2}.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Zde vystupující veličiny 
\begin_inset Formula $\omega_{t+2}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\omega_{t+3}$
\end_inset

 lze získat, podobně jako rovnici (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice_pro_opt_buz"

\end_inset

), dosazováním do třetí rovnice z ostatních v soustavě (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:diskretni-system-dq-ls"

\end_inset

).
 Jejich tvar je pak následující
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\omega_{t+2} & \text{=} & \left(d^{2}-be\right)\omega_{t}+\left(a+d\right)ei_{q,t}-e\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}+ceu_{q,t},\\
\omega_{t+3} & \text{=} & d\omega_{t+2}+ceu_{q,t+1}-be\left(a+d\right)\omega_{t}+e\left(a^{2}-be\right)i_{q,t}+aceu_{q,t}-\\
 & - & e\Delta t\left(a+ad\right)i_{d,t}\omega_{t}-ae^{2}\Delta t\cdot i_{d,t}i_{q,t}-ed\left(\Delta t\right)^{2}i_{q,t}\omega_{t}^{2}-e^{2}\left(\Delta t\right)^{2}i_{q,t}^{2}\omega_{t}-\\
 & - & cde\Delta t\cdot\omega_{t}u_{d,t}-ce^{2}\Delta t\cdot i_{q,t}u_{d,t}.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Výpočet řídících zásahů pak probíhá v následujícím pořadí: 
\end_layout

\begin_layout Standard
Nejdříve je vypočtena pomocná veličina
\begin_inset Formula 
\[
\phi=\left(d^{2}-be\right)\omega_{t}+\left(a+d\right)ei_{q,t}-e\Delta ti_{d,t}\omega_{t}
\]

\end_inset

a následně řídící zásah v ose 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
u_{q,t}=\tilde{u}_{q,t}+\varepsilon_{q}\,\mathrm{sign}\,\phi.
\]

\end_inset

To umožní výpočet druhé pomocné veličiny
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\zeta & = & d\phi+aceu_{q,t}-e\left(ab+bd+a\Delta t\left(1+d\right)i_{d,t}\right)\omega_{t}+\\
 & + & e\left(a^{2}-be-ae\Delta t\cdot i_{d,t}\right)i_{q,t}-e\left(\Delta t\right)^{2}\left(d\omega_{t}+ei_{q,t}\right)i_{q,t}\omega_{t}.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Na závěr je vypočten řídící zásah v ose 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
u_{d,t}=\tilde{u}_{d,t}-\varepsilon_{d}\,\mathrm{sign}\,\zeta.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Ještě je třeba zmínit, že bylo zanedbáno budoucí řízení 
\begin_inset Formula $u_{q,t+1}$
\end_inset

, které není známe a předchozím výpočtu je předpokládáno, že 
\begin_inset Formula $u_{q,t+1}=0$
\end_inset

.
 Lepších výsledků by mohlo být dosaženo užitím předpokladu 
\begin_inset Formula $u_{q,t+1}=u_{q,t}$
\end_inset

, pak by se rovnice pro výpočet výsledného řízení změnily na 
\begin_inset Formula $u_{d,t}=\tilde{u}_{d,t}-\varepsilon_{d}\,\mathrm{sign}\,\zeta'$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $\zeta'=\zeta+ceu_{q,t+1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Další verze bikriteriální metody
\end_layout

\begin_layout Itemize
více současně běžících KF a výběr s nejmenší variancí na poloze nebo nejmenší
 determinant
\end_layout

\begin_layout Itemize
konstanta do 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
náhodně 5 možností
\end_layout

\begin_layout Standard
srovnání s pouze přidáním injektáží (
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $d-q,$
\end_inset

 sin, obdelnik, různé frekvence), ale to asi pomocí PCRB
\end_layout

\begin_layout Standard
vybrat vhodného reprezentanta do experimentů
\end_layout

\begin_layout Section
Injektáž (
\series medium
poupravit dle skutečné implementace
\series default
)
\end_layout

\begin_layout Standard
V této části bude popsán návrh regulátoru využívajícího vysokofrekvenční
 injektáže.
 Základní myšlenka je následující: Protože se pomocí techniky injektáží
 se nepodařilo získat dostatečně kvalitní odhad úhlu natočení 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

, aby byl použit přímo pro řízení, je užíván současně i EKF, kdy odhad 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 z injektáže slouží jako další zdroj informace pro EKF.
 Kompletní odhad stavu pro návrh řízení pak poskytuje EKF.
 Jako řídící zásahy jsou generovány vektorovým řízením s LQ regulátorem.
\end_layout

\begin_layout Standard
Celý proces pak probíhá tak, že k řízení navrženému LQ regulátorem je přidáván
 vysokofrekvenční signál do estimované 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 osy.
 Toto řízení je přivedeno na vstup PMSM a na jeho výstupu jsou měřeny proudy.
 Z proudu v estimované 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 ose je určen odhad 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 pomocí násobení původním vysokofrekvenčním signálem a následnou aplikací
 low-pass filtru.
 Odhad 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 je spolu s výstupy PMSM 
\begin_inset Formula $y_{\alpha}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $y_{\beta}$
\end_inset

 dodán rozšířenému Kalmanovu filtru, který pak poskytuje odhad všech stavových
 veličin.
 Ty jsou použity pro návrh řízení v dalším kroku.
 Předpokládáme tedy měření ve tvaru 
\begin_inset Formula $y_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\vartheta\right)^{T}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Větší část zde používaných algoritmů (LQ, EKF) již byla popsána výše v textu,
 proto zde uvedeme pouze případné změny, ty jsou v maticích 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 pro EKF:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\overline{C} & = & \left[\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right],\\
\overline{R} & = & \left[\begin{array}{cc}
R & 0\\
0 & r_{\vartheta}
\end{array}\right],
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $\overline{C}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\overline{R}$
\end_inset

 představují upravené matice a 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 je matice původní, 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

 pak představuje nulový blok vhodné velikosti.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Zpracování signálu
\end_layout

\begin_layout Standard
Jak bylo uvedeno v části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Priblizeni-metody-vysokofrekvenc"

\end_inset

, je pro správnou funkci injektáží nutné splnit podmínku 
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset

, platnost tohoto předpokladu byla stanovena v odstavci 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:uloha-rizeni-PMSM"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Vysokofrekvenční signál užitý pro injektáž byl zvolen jako kosinový signál
 o amplitudě 
\begin_inset Formula $A_{inj}$
\end_inset

 a frekvenci 
\begin_inset Formula $\omega_{inj}$
\end_inset

.
 Volba velikosti amplitudy je problematickou záležitostí.
 Obecně platí, že větší amplituda umožní snadnější zpracování signálu, především
 z důvodu většího odstupu signálu od šumu.
 Naopak ale větší amplituda způsobuje i větší rušení v samotném PMSM.
 Obvykle je v injektážních technikách užívána amplituda menší, řádově v
 jednokách voltů.
 Dalším problémem může být, že zde předkládaný návrh amplitudu nijak neomezuje
 s rostoucími otáčkami, stále je tedy injektován signál o stejné amplitudě.
 To by se mohlo negativně projevit při vyšších otáčkách.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Asi největší komplikací tohoto přístupu, ale i injektáží obecně je vhodný
 postup demodulace.
 Používá se k k tomu obecně digitálních filtrů, jejichž návrh je netriviální
 záležitostí a může mít značný dopad na kvalitu výsledného odhadu 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

.
 Zde používaný filtr je velmi jednoduchý a založený na klouzavých průměrech.
 Poskytované výsledky tedy nejsou příliš dobré.
\end_layout

\begin_layout Standard
Informace o poloze rotoru je amplitudově modulovaná na nosné vysoké frekvenci
 v 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 složce měřeného proudu.
 Není však modulována přímo hodnota 
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset

 ale veličina 
\begin_inset Formula 
\[
\frac{A_{inj}}{\omega_{inj}}\frac{L_{q}-L_{d}}{2L_{d}L_{q}}\sin2\theta,
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $A_{inj}$
\end_inset

 představuje amplitudu a 
\begin_inset Formula $\omega_{inj}$
\end_inset

 úhlovou frekvenci vysokofrekvenčního signálu, 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 je chyba odhadu 
\begin_inset Formula $\theta=\vartheta-\hat{\vartheta}$
\end_inset

.
 Po získání této informace je tedy třeba ještě provést vydělení příslušnou
 konstantou a ideálně ještě funkci 
\begin_inset Formula $\arcsin$
\end_inset

.
 Výpočet 
\begin_inset Formula $\arcsin$
\end_inset

 je však náročný a nedává příliš dobré výsledky z důvodu omezení na jeho
 definiční obor, proto je využita aproximaci 
\begin_inset Formula $\sin x\approx x$
\end_inset

 pro malá 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Chapter
Experimenty
\end_layout

\begin_layout Standard
V této kapitole budou předloženy provedené simulace a jejich výsledky.
 Na tomto základě pak bude diskutován vliv konktrétního algoritmu na výslednou
 kvalitu řízení a jednotlivé algoritmy budou mezi sebou porovnány z různých
 hledisek.
 Na závěr bude rozebrána jejich vhodnost pro různé aplikace.
\end_layout

\begin_layout Section
Návrh simulací
\end_layout

\begin_layout Standard
Nejdříve je nutno uvést základní popis prováděných simulací.
 K simulování běhu skutečného zařízení PMSM bylo užito dvou kvalitativně
 rozdílných přístupů.
 Prvním, jednodušším, způsobem je simulování systému pouze na základě jeho
 rovnic.
 Pro tuto úlohu byl volen model PMSM (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:diskretni-system-dq-ldq"

\end_inset

) a navíc byl přidáván vzájemně nezávislý aditivní bílý Gaussovský šum,
 jak bylo popsáno v části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Stochasticky-model-pmsm"

\end_inset

.
 Střední hodnota šumu byla volena nulová a kovarianční matice pro šum v
 systému a šum měření byly v tomto pořadí
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Q_{šum} & = & \mathrm{diag}\left(\begin{array}{cccc}
1,3e-3 & 1,3e-3 & 5.0e-6 & 1.0e-10\end{array}\right),\\
R_{šum} & = & \mathrm{diag}\left(\begin{array}{cc}
6,0e-4 & 6,0e-4\end{array}\right),
\end{eqnarray*}

\end_inset

příčemž volba těchto hodnot vychází převážně z 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"

\end_inset

 a dály byly experimentálně doupraveny.
 Tento typ simulací bude dále v textu označován jako 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset


\emph on
jednoduchý model
\emph default

\begin_inset Quotes grd
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Druhou užitou možností provádění simulací je využití realistického simulátoru.
 Tento simulátor byl poskytnut vedoucím práce panem Ing.
 Václavem Šmídlem Ph.D.
 a jeho detailnější popis je možno najít v 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"

\end_inset

.
 Simulátor je založen na knihovně BDM a zohledňuje i složitější jevy napájecí
 elektroniky jako úbytky napětí a mrtvé časy.
 Hlavním rozdílem oproti simulacím založených na stochastickém modelu stroje
 je, že simulátor poskytuje chování, které daleko více odpovídá chování
 reálného zařízení.
 Dalším rozdílem pak je, že se snaží přesnějším výpočtem postihnout komplikované
 efekty odehrávající se v reálném stroji místo toho, aby je modeloval jako
 šum a je tedy ve své podstatě deterministický.
 Tento typ simulací pak bude dále v textu označován jako 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset


\emph on
simulátor
\emph default

\begin_inset Quotes grd
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Parametry stroje
\end_layout

\begin_layout Standard
V obou typech výše zmíněných simulací byly použity následující parametry:
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="12" columns="3">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
parametr
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
označení
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
hodnota
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
rezistance
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $R_{s}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
0,28
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
izotropní indukčnost
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
0,003465
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
indukčnost v ose 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
0,003119
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
indukčnost v ose 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
0,003812
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
tok permanentních magnetů
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\psi_{pm}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
0,1989
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Parkova konstanta
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $k_{p}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
1,5
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
počet párů pólů
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $p_{p}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
4
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
moment setrvačnosti rotoru
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $J$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
0,04
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
koeficient viskozity
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $B$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
0
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
zátěžný moment
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $T_{L}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
0
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
vzorkovací perioda
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Delta t$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
0,000125
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Kompenzace úbytků napětí
\end_layout

\begin_layout Standard
Jak již bylo zmíněno, používaný simulátor zahrnuje i složitější vlivy napájecí
 elektroniky.
 Jedním z těchto vlivů jsou i takzvané 
\emph on
úbytky napětí
\emph default
.
 Problém těchto úbytků je stručně takový, že po napájecím zdroji požadujeme
 určité napětí, ale napájecí zdroj dodá napětí menší, proto také označení
 úbytky.
 Skutečná napětí však neměříme a předpokládáme, že požadované napětí se
 rovná skutečnému, viz část 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:uloha-rizeni-PMSM"

\end_inset

.
 Následně může docházet k chybám, protože reálná hodnota napětí ve stroji
 je menší, než navrhl řídící algoritmus a tento algoritmus se o tom navíc
 nedozví.
 Tato situace je zachycena na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Vliv-ubytku-napeti"

\end_inset

 vlevo, kde odhad určený na základě požadovaného napětí přesně sleduje referenčn
í otáčky, ale skutečné otáčky jsou v důsledku úbytku napětí jiné.
\end_layout

\begin_layout Standard
Vhodným způsobem jak tento problém řešit, je úbytky napětí kompenzovat.
 Kompenzace používaná v této práci je velmi jednoduchá.
 Byla vytvořena na základě volt-ampérové charakteristiky stroje využité
 v simulátoru a je založena na předpokladu, že úbytek napětí je úměrný procházej
ícímu proudu.
 Kompenzace pak probíhá tak, že ze známé hodnoty proudu je vypočítán úbytek
 napětí pomocí po částech lineární aproximace volt-ampérové charakteristiky.
 O tento úbytek je následně zvýšena hodnota požadovaného řídícího napětí.
 Nevýhodami takového přístupu je, že taková kompenzace není zpětnovazební
 a dále je v podstatě nastavena na kompenzaci simulátoru a pro reálný stroj
 by bylo třeba vytvořit kompenzaci novou.
 Pozitivní vliv kompenzace je zachycen na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Vliv-ubytku-napeti"

\end_inset

 vpravo, kde je možné srovnat skutečné otáčky simulovaného běhu systému
 s a bez užití kompenzace.
 
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="1" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/kompenzace_odhad.eps
	scale 45

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/kompenzace.eps
	scale 45

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Vliv úbytků napětí a jejich kompenzace na otáčky.
 Na levém obrázku je zachycen negativní důsledek úbytků napětí, kdy se odhad
 kryje s požadovanou hodnotou, ale skutečnost je jiná.
 Na obrázku vpravo jsou pro srovnání zachyceny skutečné otáčky v případě
 bez kompenzace a pak při jejím užití.
 
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Vliv-ubytku-napeti"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Srovnávací kritéria
\end_layout

\begin_layout Standard
Jednotlivé algoritmy budou porovnány na základě několika kritérií.
 Hlavní z nich je, jak již bylo zmíněno v části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:uloha-rizeni-PMSM"

\end_inset

 založeno na kvadrátu odchylky skutečných a požadovaných otáček.
 Toto kritérium v podstatě vystihuje míru shody mezi zadanými požadavky
 v podobě referenčního signálu a jejich skutečným naplněním.
 Výpočet součtu těchto kvadrátů odchylek však není vhodné přímo užít, protože
 je závislý na délce časového horizontu.
 Dále v textu tedy bude uvažováno normované verze takového součtu, která
 odpovídá průměrné kvadratické chybě za jeden časový krok.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dalším posuzovacím kritériem pak bude složitost daného algoritmu, především
 v tom smyslu, jak by byla náročná jeho potenciální aplikace pro řízení
 skutečného stroje v reálném čase.
 Diskutována bude i přesnost jednotlivých algoritmů s jakou stanovují odhady
 stavových veličin.
\end_layout

\begin_layout Standard
Časový horizont pro porovnání použitých metod bude obvykle volen v délce
 15
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

, případně pro posouzení počátečního chování systému kratší.
 Jako referenční signál bude sloužit několik testovacích profilů, v textu
 budou dále označovány jako:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
nulové otáčky
\emph default
: 
\begin_inset Formula $\omega_{ref}\equiv0$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
nízké otáčky
\emph default
: trojúhelníkový a lichoběžníkový profil s amplitudou 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
průchody nulou
\emph default
: trojúhelníkový a lichoběžníkový profil s amplitudou 
\begin_inset Formula $10$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize

\emph on
vysoké otáčky
\emph default
: trojúhelníkový a lichoběžníkový profil s amplitudou 
\begin_inset Formula $200$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Rozdíl mezi trojúhelníkovým a lichoběžníkovým profilem je znázorněn na obrázku
 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Priklad-profilu-pozad-otack"

\end_inset

, kde je znázorněn pro amplitudu 
\begin_inset Formula $10$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/testprofily.eps
	scale 60

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout

\emph on
Příklad profilů požadovaných otáček na časovém horizontu 
\begin_inset Formula $15\:\mathrm{s}$
\end_inset

 s amplitudou 
\begin_inset Formula $10\:\mathrm{rad}/\mathrm{s}$
\end_inset

: nahoře trojúhleníkový a dole lichoběžníkový profil
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Priklad-profilu-pozad-otack"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Výběr parametrů jednotlivých metod
\end_layout

\begin_layout Standard
Protože jednotlivé algoritmy popsané v předchozí části připouštějí více
 různých implementací a různou volbu klíčových parametrů, je v této části
 provedeno jejich experimentální srovnání a následná volba reprezentativních
 zástupců.
\end_layout

\begin_layout Subsection
LQ regulátor
\end_layout

\begin_layout Standard
V části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Linearne-kvadraticky-regulator"

\end_inset

 byl popsán lineárně kvadratickéhý regulátor pro PMSM.
 Některé jeho parametry však nebyly specifikovány a navíc je možná celá
 řada implementací například dle volby ztrátové funkce nebo souřadného systému.
 V následujících odstavcích budou porovnány různé verze LQ regulátoru a
 bude z nich vybrán vhodný zástupce, který bude tuto 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

rodinu
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

 reprezentovat při srovnání s ostatními algritmy, případně bude sloužit
 jako základ pro tvorbu algoritmů složitějších.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Vliv matice R
\end_layout

\begin_layout Standard
Nejdříve bude věnována pozornost volbě matice 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 představující penalizaci řídícího zásahu ve ztrátové funkci (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:lq-adit-kv-ztrata"

\end_inset

).
 Právě hodnoty této matice byly voleny experimentálně tak, aby bylo dosaženo
 co nejlepšího výsledného řízení ve smyslu minimální průměrné kvadratické
 chyby.
 Matice 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 byla volena po vzoru popisu z odstavce 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:LQR-Ztratova-funkce"

\end_inset

 jako diagonální v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 a na výslednou matici 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 v soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 byla převáděna aplikací matice rotace, viz rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rotace-rdq-na-ralbe"

\end_inset

).
 Rozhodující tedy byla volba dvou diagonálních prvků 
\begin_inset Formula $R_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $R_{q}$
\end_inset

.
 Pro různé dvojice těchto prvků byly provedeny experimenty a vyhodnocena
 velikost průměrné kvadratické chyby.
 Jako příklad budou uvedeny dva takové experimenty: První na 
\emph on
jednoduchém modelu
\emph default
 pro referenční profil 
\emph on
vysoké otáčky -- lichoběžník
\emph default
 a druhý pak na 
\emph on
simulátoru
\emph default
 s profilem 
\emph on
průchody nulou -- lichoběžník
\emph default
.
 Výsledek těchto experimentů je zobrazen na grafech v obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Posouzeni-vlivu-matice-R"

\end_inset

.
 
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="1" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/vlivR_exp1.png
	scale 45

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/vlivR_exp2.png
	scale 45

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Posouzení vlivu matice 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 na velikost průměrné kvadratické chyby.
 Vlevo je zachycen výsledek jednoduchého modelu při užití referenčního profilu
 vysoké otáčky -- lichoběžník a vpravo pak výsledek ze simulátoru s profilem
 průchody nulou -- lichoběžník.
 Všechny osy jsou logaritmické a označení 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

 reprezentuje průměrnou kvadratickou chybu.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Posouzeni-vlivu-matice-R"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hodnoty matice 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

, se kterými bylo dosaženo nejlepších výsledků ve smyslu minimální průměrné
 chyby, jsou v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
R_{d} & = & 1,0e-3,\\
R_{q} & = & 1,0e-6.
\end{eqnarray*}

\end_inset

Podobně je možno volit hodnoty i pro matici 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 penalizující přírůstky napětí, viz odstavec 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:LQR-Ztratova-funkce"

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Vliv penalizace řídícího zásahu
\end_layout

\begin_layout Standard
Různé implementace lineárně kvadratického algoritmu lze získat v závislosti
 na volbě tvaru kvadratické ztrátové funkce, viz rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:lqr-ztrat-fce-tri-cleny"

\end_inset

).
 Člen ztrátové funkce týkající se penalizace stavových veličin (dán maticí
 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

), případně jejich odchylky od požadované hodnoty zůstane nezměněn.
 Pro penalizaci řídících zásahů však budeme podrobněji diskutovat tři možnosti:
 Jednak je možné uvažovat pouze penalizaci hodnoty, tedy uvažovat člen s
 maticí 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

.
 Další možností je penalizovat jejich přírůstky, tedy užít člen s maticí
 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

.
 Poslední zkoumanou možností je ponechat členy oba a penalizovat jak samotnou
 hodnotu, tak i její přírůstky.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Testování jednotlivých možností probíhalo na simulátoru i za použití jednoduchéh
o modelu pro různá nastavení a referenční profily.
 Opět byla vyhodnocována průměrná kvadratická chyba, protože však tento
 ukazatel není vhodný pro srovnání za různých simulačních podmínek a na
 různých profilech, byly pouze zaznamenávány počty, kolikrát každá z možností
 penalizace dosáhla nejmenší chyby.
 Na grafu obrázek jsou pak tyto hodnoty zachyceny.
 Jako nejvýhodnější se ukázalo využití pouze penalizace přírůstků.
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/vliv_ss.eps
	scale 80

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Vliv rozdílné penalizace řídícího zásahu.
 Na grafu jsou zachyceny počty, kdy daná kategorie dosáhla nejnižší průměrné
 chyby za různých experimentálních podmínek.
 Význam kategorií je následující: 1 -- penalizace pouze hodnot napětí; 2
 -- penalizace pouze přírůstků napětí; 3 -- penalizace hodnot i přírůstků
 napětí.
 Jednotlivé sloupečky v rámci kategorie představují různé experimentální
 podmínky.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Vliv souřadné soustavy
\end_layout

\begin_layout Standard
Poslední ze zkoumaných možností implementace LQ regulátoru je volba souřadné
 soustavy.
 V části 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Linearne-kvadraticky-regulator"

\end_inset

 byly popsány matice pro implementaci v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

, ale i v 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 a oba tyto případech zde budou uvažovány pro experimentální porovnání.
\end_layout

\begin_layout Standard
V souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 jsou rovnice popisující PMSM lineární až na smíšené členy obsahující součin
 proudu a otáček a v případě zanedbání těchto členů by rovnice byly lineární
 zcela.
 To by přineslo značnou výhodu, protože by bylo možno celý algoritmus LQ
 regulátoru předpočítat a výpočet řícícího zásahu značně usnadnit.
 Zda je však možno zmiňované členy zanedbat a jaké to má důsledky bylo ponecháno
 k experimentálnímu ověření.
 Dalším z uvažovaných modelů pro srovnání je tedy předpočítaný LQ regulátor
 v 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 souřadné soustavě s konstantní maticí 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dále bude ještě uvažován lineárně kvadratický regulátor v souřadné soustavě
 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 pro různé indukčnosti v osách 
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset

.
 A jako referenční bude pro srovnání s ostatními uvažováno i klasické vektorové
 řízení založené na PI regulátorech.
\end_layout

\begin_layout Standard
Vzájemně srovnáváno tedy bylo následujících pět typů algoritmů vektorového
 řízení založeného na:
\end_layout

\begin_layout Itemize
PI regulátorech (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset

)
\end_layout

\begin_layout Itemize
LQ regulátoru v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $LQ_{\alpha-\beta}$
\end_inset

)
\end_layout

\begin_layout Itemize
LQ regulátoru v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $LQ_{d-q}$
\end_inset

)
\end_layout

\begin_layout Itemize
LQ regulátoru v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 s konstantní maticí (
\begin_inset Formula $LQ_{d-q}\; konst.$
\end_inset

)
\end_layout

\begin_layout Itemize
LQ regulátoru v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 pro různé indukčnosti (
\begin_inset Formula $LQ_{\alpha-\beta}\; L_{dq}$
\end_inset

)
\end_layout

\begin_layout Standard
kde v závorce je vždy uvedena zkratka, kterou bude daný algoritmus dále
 označován v tomto odstavci.
 Jednotlivé výše zmiňované metody pro řízení PMSM byly opět porovnávány
 především na základě dosažených průměrných kvadratických chyb, hlavní rysy
 tohoto porovnání však lze vypozorovat již ze samotných průběhů simulací.
\end_layout

\begin_layout Standard
Především je třeba zmínit špatné chování algoritmu (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset

) v blízkosti nulových otáček, kdy dochází k jistému 
\begin_inset Quotes gld
\end_inset

zpoždění
\begin_inset Quotes grd
\end_inset

, než začne regulátor správně pracovat.
 Charakter tohoto jevu je možno detailněji posoudit na výstupech ze simulátoru
 na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:spatne-chovani-PI"

\end_inset

.
 Při nízkých požadovaných otáčkách (profil
\emph on
 nízké otáčky -- trojúhelníky 
\emph default
a 
\emph on
lichoběžníky
\emph default
) pak dojde k tomu, že algoritmus (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset

) vůbec nezačne řídit, otáčky stroje jsou nulové a počáteční poloha rotoru
 zůstane nezměněna.
 Oproti tomu metody řízení založené na LQ regulátoru tímto nedostatkem netrpí
 a dokáží pracovat i s malou amplitudou referenčních otáček.
 Tento výsledek, tedy rozdíl algoritmu (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset

) a obecně nějakého (
\begin_inset Formula $LQ$
\end_inset

) je zachycen na grafech obrázek 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:spatne-chovani-PI"

\end_inset

 a).
\end_layout

\begin_layout Standard
Zmiňované problematické chování (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset

) však má další důsledky i při vyšších otáčkách, kdy vykazuje chyby při
 průchodu nulou.
 Jako průchod nulou je označován proces, kdy požadované otáčky mění znaménko
 a tedy stroj přechází z rotace jedním směrem na rotaci směrem opačným.
 Zřejmě tedy stroj musí na jistý časový okamžik zastavit a to může způsobovat
 problémy.
 Ty jsou patrné opět hlavně pro (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset

) algoritmus a využití LQ regulátoru je umožňuje potlačit.
 Grafické srovnání je zachyceno na obrázku 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:spatne-chovani-PI"

\end_inset

 b).
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="4" columns="2">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<column alignment="center" valignment="top" width="0">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/vss_nt.eps
	scale 45

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/vss_nl.eps
	scale 45

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
a) nízké požadované otáčky
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/vss_pt.eps
	scale 45

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
	filename obrazky/vss_pl.eps
	scale 45

\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
b) problematika průchodů nulou
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption

\begin_layout Plain Layout
Špatné chování algoritmu (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset

) v blízkosti nulových otáček: Nahoře v části a) je zachycen průběh otáček
 a polohy, kdy obecně (
\begin_inset Formula $LQ$
\end_inset

) algoritmus zvládne sledovat nízký profil referenčních otáčkek 
\begin_inset Formula $\omega_{ref}$
\end_inset

 a dobře se s nimi kryje, zatímco algoritmus (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset

) je neaktivní.
 V části b) jsou zachyceny problematické průchody nulou, kdy se algoritmus
 (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset

) dopouští v blízkosti nulových otáček nezanedbatelné chyby, zatímco průběh
 hodnot pro algoritmus (
\begin_inset Formula $LQ$
\end_inset

) je relativně hladký.
 
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:spatne-chovani-PI"

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Výsledky:
\end_layout

\begin_layout Itemize
PI v nízkých otáčkách nic nedělá, kazí průchody nulou a ve vysokých se může
 rozjet na druhou stranu
\end_layout

\begin_layout Itemize
LQ v 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 je srovnatelné s 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

, ve vysokých otáčkách je 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 nepatrně lepší
\end_layout

\begin_layout Itemize
LQ 
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset

 konstantní je dobrou alternativou v nízkých otáčkách, ve vysokých má však
 již mnoho problémů
\end_layout

\begin_layout Itemize
LQ 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 pro různé indukčnosti je nepatrně lepší v nízkých otáčkách, ale znatelně
 horší ve vysokých
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Diskuze a výběr zástupce
\end_layout

\begin_layout Standard
přesnost vs.
 rychlost, rozdíl oproti VYZ
\end_layout

\begin_layout Subsection
Bikriteriální metoda
\end_layout

\begin_layout Subsection
Algoritmus využívající hyperstav
\end_layout

\begin_layout Section
PCRB
\end_layout

\begin_layout Standard
potenciál přídavných signálů a duality
\end_layout

\begin_layout Section
Simulační studie
\end_layout

\begin_layout Subsection
Rozjezd
\end_layout

\begin_layout Subsection
Šum v nule
\end_layout

\begin_layout Subsection
Nízké otáčky
\end_layout

\begin_layout Subsection
Průchody nulou
\end_layout

\begin_layout Subsection
Vysoké otáčky
\end_layout

\begin_layout Section
Diskuze výsledků
\end_layout

\begin_layout Standard

\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset bibtex
LatexCommand bibtex
bibfiles "vyz_clanky,vyz_texty,dp_clanky"
options "czechiso"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Chapter*
Příloha
\end_layout

\begin_layout Standard
V příloze jsou zařazeny komplikovanější formální úpravy výrazů, které nejsou
 zařazeny v hlavní části textu především z důvodu jejich komplikovaného
 zápisu.
 Tyto výpočty byly prováděny především za pomoci symbolických výpočtů v
 programu Matlab (Symbolic Math Toolbox).
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Rovnice v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 pro různé indukčnosti
\end_layout

\begin_layout Standard
Diferenciální rovnice systému v souřadné soustavě 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

 pro různé indukčnosti 
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset

 jsou získány z rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"

\end_inset

), kdy je užito transformací (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"

\end_inset

) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"

\end_inset

):
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & \cos\vartheta\left(\frac{u_{d}}{L_{d}}-\frac{R_{s}i_{d}}{L_{d}}-i_{\beta}\omega\cos\vartheta+i_{\alpha}\omega\sin\vartheta+\frac{L_{q}\omega i_{q}}{L_{d}}\right)\\
 & - & \sin\vartheta\left(\frac{u_{q}}{L_{q}}-\frac{R_{s}i_{q}}{L_{q}}+i_{\alpha}\omega\cos\vartheta+i_{\beta}\omega\sin\vartheta-\frac{\omega\psi_{pm}}{L_{q}}-\frac{L_{d}\omega i_{d}}{L_{q}}\right),
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & \cos\vartheta\left(\frac{u_{q}}{L_{q}}-\frac{R_{s}i_{q}}{L_{q}}+i_{\alpha}\omega\cos\vartheta+i_{\beta}\omega\sin\vartheta-\frac{\omega\psi_{pm}}{L_{q}}+\frac{L_{d}\omega i_{d}}{L_{q}}\right)\\
 & + & \sin\vartheta\left(\frac{u_{d}}{L_{d}}-\frac{R_{s}i_{d}}{L_{d}}-i_{\beta}\omega\cos\vartheta+i_{\alpha}\omega\sin\vartheta+\frac{L_{q}\omega i_{q}}{L_{d}}\right),
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{d\omega}{dt} & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\left(\psi_{pm}i_{q}+\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}\right)}{J}-\frac{B\omega}{J},
\end{eqnarray*}

\end_inset

kde
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
i_{d} & = & i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta,\\
i_{q} & = & i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta,\\
u_{d} & = & u_{\alpha}\cos\vartheta+u_{\beta}\sin\vartheta,\\
u_{q} & = & u_{\beta}\cos\vartheta-u_{\alpha}\sin\vartheta.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Následuje provedení diskretizace náhradou derivace konečnou diferencí
\begin_inset Formula 
\[
\frac{dx}{dt}\left(t\right)=\frac{x_{t+1}-x_{t}}{\Delta t}
\]

\end_inset

a výpočet Jacobiho matice parciálních derivací stavových veličin 
\begin_inset Formula $i_{\alpha,t+1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $i_{\beta,t+1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\omega_{t+1}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\vartheta_{t+1}$
\end_inset

 dle veličin stejného stavu v předchozím čase 
\begin_inset Formula $i_{\alpha,t}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $i_{\beta,t}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\omega_{t}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\vartheta_{t}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Derivace 
\begin_inset Formula $i_{\alpha,t+1}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{\alpha,t+1}}{di_{\alpha,t}} & = & \frac{L_{q}-\Delta tR_{s}\sin^{2}\vartheta}{L_{q}}-\frac{\Delta tL_{q}\left(L_{q}\omega\sin\vartheta\cos\vartheta+R_{s}\cos^{2}\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}+\\
 & + & \frac{\Delta tL_{d}\omega\sin\vartheta\cos\vartheta}{L_{q}}\\
\frac{di_{\alpha,t+1}}{di_{\beta,t}} & = & \frac{\Delta t\left(L_{d}-L_{q}\right)\left(-L_{q}\omega\cos^{2}\vartheta+R_{s}\sin\vartheta\cos\vartheta+L_{d}\omega\sin^{2}\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}\\
\frac{di_{\alpha,t+1}}{di\omega_{t}} & = & \frac{\Delta tL_{d}\left(-L_{d}i_{\beta}\cos^{2}\vartheta+L_{d}i_{\alpha}\sin\vartheta\cos\vartheta+L_{d}i_{\beta}-L_{q}i_{\beta}+\psi_{pm}\sin\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}+\\
 & + & \frac{\Delta tL_{q}^{2}\left(i_{\beta}\cos^{2}\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\cos\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}\\
\frac{di_{\alpha,t+1}}{d\vartheta_{t}} & = & \frac{\Delta t\left(\omega\psi_{pm}\cos\vartheta+R_{s}i_{\beta}\cos2\vartheta-R_{s}i_{\alpha}\sin2\vartheta\right)}{L_{q}}+\\
 & + & \frac{\Delta tL_{d}\left(i_{\alpha}\omega\cos2\vartheta+i_{\beta}\omega\sin2\vartheta\right)}{L_{q}}-\\
 & - & \frac{\Delta tL_{q}\left(L_{q}i_{\alpha}\omega\cos2\vartheta+L_{q}i_{\beta}\omega\sin2\vartheta+R_{s}i_{\beta}\cos2\vartheta-R_{s}i_{\alpha}\sin2\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Derivace 
\begin_inset Formula $i_{\beta,t+1}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{\beta,t+1}}{di_{\alpha,t}} & = & \frac{\Delta t\left(L_{d}-L_{q}\right)\left(-L_{d}\omega\cos^{2}\vartheta+R_{s}\sin\vartheta\cos\vartheta+L_{q}\omega\sin^{2}\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}\\
\frac{di_{\beta,t+1}}{di_{\beta,t}} & = & \frac{L_{q}-\Delta tR_{s}\cos^{2}\vartheta}{L_{q}}-\frac{\Delta tL_{q}\left(-L_{q}\omega\sin\vartheta\cos\vartheta+R_{s}\sin^{2}\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}-\\
 & - & \frac{\Delta tL_{d}\omega\sin\vartheta\cos\vartheta}{L_{q}}\\
\frac{di_{\beta,t+1}}{di\omega_{t}} & = & -\frac{\Delta tL_{d}\left(L_{d}i_{\alpha}\cos^{2}\vartheta+L_{d}i_{\beta}\sin\vartheta\cos\vartheta-L_{q}i_{\alpha}+\psi_{pm}\cos\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}+\\
 & - & \frac{\Delta tL_{q}^{2}\left(-i_{\alpha}\cos^{2}\vartheta-i_{\beta}\sin\vartheta\cos\vartheta+i_{\alpha}\right)}{L_{d}L_{q}}\\
\frac{di_{\beta,t+1}}{d\vartheta_{t}} & = & \frac{\Delta t\left(\omega\psi_{pm}\sin\vartheta+R_{s}i_{\alpha}\cos2\vartheta+R_{s}i_{\beta}\sin2\vartheta\right)}{L_{q}}+\\
 & + & \frac{\Delta tL_{d}\left(-i_{\beta}\omega\cos2\vartheta+i_{\alpha}\omega\sin2\vartheta\right)}{L_{q}}-\\
 & - & \frac{\Delta tL_{q}\left(-L_{q}i_{\beta}\omega\cos2\vartheta+L_{q}i_{\alpha}\omega\sin2\vartheta+R_{s}i_{\alpha}\cos2\vartheta+R_{s}i_{\beta}\sin2\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Derivace 
\begin_inset Formula $\omega_{t+1}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{d\omega_{t+1}}{di_{\alpha,t}} & = & -\frac{\Delta tk_{p}p_{p}^{2}\left(\psi_{pm}\sin\vartheta+\left(L_{d}-L_{q}\right)\left(-i_{\beta}\cos2\vartheta+i_{\alpha}\sin2\vartheta\right)\right)}{J}\\
\frac{d\omega_{t+1}}{di_{\beta,t}} & = & \frac{\Delta tk_{p}p_{p}^{2}\left(\psi_{pm}\cos\vartheta+\left(L_{d}-L_{q}\right)\left(i_{\alpha}\cos2\vartheta+i_{\beta}\sin2\vartheta\right)\right)}{J}\\
\frac{d\omega_{t+1}}{d\omega_{t}} & = & 1-\frac{B\Delta t}{J}\\
\frac{d\omega_{t+1}}{d\vartheta_{t}} & = & -\frac{\Delta tk_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\psi_{pm}\left(i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta\right)\right.+\\
 & + & \left.\left(L_{d}-L_{q}\right)\left(i_{\alpha}^{2}\cos2\vartheta-i_{\beta}^{2}\cos2\vartheta+2i_{\alpha}i_{\beta}\sin2\vartheta\right)\right)
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Derivace 
\begin_inset Formula $\vartheta_{t+1}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\frac{d\vartheta_{t+1}}{di_{\alpha,t}} & = & 0\\
\frac{d\vartheta_{t+1}}{di_{\beta,t}} & = & 0\\
\frac{d\vartheta_{t+1}}{d\omega_{t}} & = & \Delta t\\
\frac{d\vartheta_{t+1}}{d\vartheta_{t}} & = & 1
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Matice pro EKF
\end_layout

\begin_layout Standard
Jednotlivé výše uvedené derivace lze již rovnou použít do matice 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

 rozšířeného Kalmanova filtru, když za příslušné veličiny dosadíme jejich
 odhady v čase 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

.
 Matice 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

 je pak ve tvaru
\begin_inset Formula 
\[
A_{t}=\left[\begin{array}{cccc}
\frac{di_{\alpha,t+1}}{di_{\alpha,t}} & \frac{di_{\alpha,t+1}}{di_{\beta,t}} & \frac{di_{\alpha,t+1}}{d\omega_{t}} & \frac{di_{\alpha,t+1}}{d\vartheta_{t}}\\
\frac{di_{\beta,t+1}}{di_{\alpha,t}} & \frac{di_{\beta,t+1}}{di_{\beta,t}} & \frac{di_{\beta,t+1}}{d\omega_{t}} & \frac{di_{\beta,t+1}}{d\vartheta_{t}}\\
\frac{d\omega_{t+1}}{di_{\alpha,t}} & \frac{d\omega_{t+1}}{di_{\beta,t}} & \frac{d\omega_{t+1}}{d\omega_{t}} & \frac{d\omega_{t+1}}{d\vartheta_{t}}\\
\frac{d\vartheta_{t+1}}{di_{\alpha,t}} & \frac{d\vartheta_{t+1}}{di_{\beta,t}} & \frac{d\vartheta_{t+1}}{d\omega_{t}} & \frac{d\vartheta_{t+1}}{d\vartheta_{t}}
\end{array}\right].
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsubsection
Matice pro LQ regulátor
\end_layout

\begin_layout Standard
Pro použití matice 
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset

 v LQ regulátoru je třeba provést její úpravu zahrnutím konstantních členů
 v důsledku linearizace a řízení na nenulové požadované otáčky, tedy substituce
 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:substituce-psi"

\end_inset

.
 Upravená matice je v blokovém tvaru
\begin_inset Formula 
\[
\overline{A}_{t}=\left[\begin{array}{cc}
A_{t} & \gamma\\
0 & 1
\end{array}\right],
\]

\end_inset

kde 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

 představuje nulový řádek vhodné délky a 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

 je sloupcový vektor
\begin_inset Formula 
\[
\gamma=\left(\begin{array}{c}
\gamma_{1}\\
\gamma_{2}\\
\gamma_{3}\\
\gamma_{4}
\end{array}\right)
\]

\end_inset

 s hodnotami
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\gamma_{1} & = & -\frac{\Delta t}{2L_{d}L_{q}}\left(2L_{d}^{2}i_{\beta}\psi\sin^{2}\vartheta+2L_{q}^{2}i_{\beta}\psi\cos^{2}\vartheta+L_{d}^{2}i_{\alpha}\psi\sin2\vartheta-L_{q}^{2}i_{\alpha}\psi\sin2\vartheta-\right.\\
 & - & 2L_{d}\psi_{pm}\overline{\omega}\sin\vartheta-2L_{d}L_{q}i_{\beta}\psi+2L_{d}R_{s}i_{\beta}\vartheta\cos2\vartheta-2L_{q}R_{s}i_{\beta}\vartheta\cos2\vartheta-\\
 & - & 2L_{d}R_{s}i_{\alpha}\vartheta\sin2\vartheta+2L_{q}R_{s}i_{\alpha}\vartheta\sin2\vartheta+2L_{d}^{2}i_{\alpha}\psi\vartheta\cos2\vartheta-2L_{q}^{2}i_{\alpha}\psi\vartheta\cos2\vartheta+\\
 & + & 2L_{d}^{2}i_{\alpha}\overline{\omega}\vartheta\cos2\vartheta-2L_{q}^{2}i_{\alpha}\overline{\omega}\vartheta\cos2\vartheta+2L_{d}^{2}i_{\beta}\psi\vartheta\sin2\vartheta-2L_{q}^{2}i_{\beta}\psi\vartheta\sin2\vartheta+\\
 & + & \left.2L_{d}^{2}i_{\beta}\overline{\omega}\vartheta\sin2\vartheta-2L_{q}^{2}i_{\beta}\overline{\omega}\vartheta\sin2\vartheta+2L_{d}\psi_{pm}\psi\vartheta\cos\vartheta+2L_{d}\psi_{pm}\overline{\omega}\vartheta\cos\vartheta\right),
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\gamma_{2} & = & \frac{\Delta t}{2L_{d}L_{q}}\left(2L_{q}^{2}i_{\alpha}\psi\sin^{2}\vartheta2L_{d}^{2}i_{\alpha}\psi\cos^{2}\vartheta L_{d}^{2}i_{\beta}\psi\sin2\vartheta-L_{q}^{2}i_{\beta}\psi\sin2\vartheta-\right.\\
 & - & 2L_{d}\psi_{pm}\overline{\omega}\cos\vartheta-2L_{d}L_{q}i_{\alpha}\psi-2L_{d}R_{s}i_{\alpha}\vartheta\cos2\vartheta+2L_{q}R_{s}i_{\alpha}\vartheta\cos2\vartheta-\\
 & - & 2L_{d}R_{s}i_{\beta}\vartheta\sin2\vartheta+2L_{q}R_{s}i_{\beta}\vartheta\sin2\vartheta+2L_{d}^{2}i_{\beta}\psi\vartheta\cos2\vartheta-2L_{q}^{2}i_{\beta}\psi\vartheta\cos2\vartheta+\\
 & + & 2L_{d}^{2}i_{\beta}\overline{\omega}\vartheta\cos2\vartheta-2L_{q}^{2}i_{\beta}\overline{\omega}\vartheta\cos2\vartheta-2L_{d}^{2}i_{\alpha}\psi\vartheta\sin2\vartheta+2L_{q}^{2}i_{\alpha}\psi\vartheta\sin2\vartheta-\\
 & - & \left.2L_{d}^{2}i_{\alpha}\overline{\omega}\vartheta\sin2\vartheta+2L_{q}^{2}i_{\alpha}\overline{\omega}\vartheta\sin2\vartheta-2L_{d}\psi_{pm}\psi\vartheta\sin\vartheta-2L_{d}\psi_{pm}\overline{\omega}\vartheta\sin\vartheta\right),
\end{eqnarray*}

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\gamma_{3} & = & \frac{\Delta t}{2J}\left(L_{d}i_{\alpha}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\sin2\vartheta-2B\overline{\omega}-L_{d}i_{\beta}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\sin2\vartheta-L_{q}i_{\alpha}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\sin2\vartheta+\right.\\
 & + & L_{q}i_{\beta}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\sin2\vartheta+2i_{\alpha}k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}\vartheta\cos\vartheta+2i_{\beta}k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}\vartheta\sin\vartheta-\\
 & - & 2L_{d}i_{\alpha}i_{\beta}k_{p}p_{p}^{2}\cos2\vartheta+2L_{q}i_{\alpha}i_{\beta}k_{p}p_{p}^{2}\cos2\vartheta+2L_{d}i_{\alpha}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\vartheta\cos2\vartheta-\\
 & - & 2L_{d}i_{\beta}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\vartheta\cos2\vartheta-2L_{q}i_{\alpha}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\vartheta\cos2\vartheta+2L_{q}i_{\beta}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\vartheta\cos2\vartheta+\\
 & + & \left.4L_{d}i_{\alpha}i_{\beta}k_{p}p_{p}^{2}\vartheta\sin2\vartheta-4L_{q}i_{\alpha}i_{\beta}k_{p}p_{p}^{2}\vartheta\sin2\vartheta\right),
\end{eqnarray*}

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\gamma_{4}=\Delta t\overline{\omega}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dále je pro LQ regulátor nutno uvést matici 
\begin_inset Formula $B_{t}$
\end_inset

, ta je nyní závislá na čase a má zápis 
\begin_inset Formula 
\[
B_{t}=\left[\begin{array}{cc}
\Delta t\left(\frac{\cos^{2}\vartheta}{L_{d}}+\frac{\sin^{2}\vartheta}{L_{q}}\right) & \frac{\Delta t}{2}\sin2\vartheta\left(\frac{1}{L_{d}}-\frac{1}{L_{q}}\right)\\
\frac{\Delta t}{2}\sin2\vartheta\left(\frac{1}{L_{d}}-\frac{1}{L_{q}}\right) & \Delta t\left(\frac{\cos^{2}\vartheta}{L_{q}}+\frac{\sin^{2}\vartheta}{L_{d}}\right)\\
0 & 0\\
0 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right].
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\end_layout

\end_body
\end_document
