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smidl

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@@ -123 +123 @@
 \form#122:$ \phi<1 $
 \form#123:$ [d_1, d_2, \ldots d_t] $
+\form#124:$\theta$
+\form#125:$\mathbf{X}$
+\form#126:$n \times n$
+\form#127:\[ \mathbf{X} = \mathbf{F}^T \mathbf{F} \]
+\form#128:$\mathbf{F}$
+\form#129:\[ \mathbf{X} = \mathbf{F}^H \mathbf{F} \]
+\form#130:\[ \det(\mathbf{X}) = \det(\mathbf{P}^T \mathbf{L}) \det(\mathbf{U}) = \det(\mathbf{P}^T) \prod(\mathrm{diag}(\mathbf{U})) \]
+\form#131:$ \pm 1$
+\form#132:$\mathbf{d}(d_0, d_1, \ldots, d_{n-1})$
+\form#133:$\mathbf{v}_i, \: i=0, \ldots, n-1$
+\form#134:$\mathbf{A}$
+\form#135:\[ \mathbf{A} \mathbf{v}_i = d_i \mathbf{v}_i\: i=0, \ldots, n-1. \]
+\form#136:$ \mathbf{Y} \mathbf{X} = \mathbf{I}$
+\form#137:$Ax=b$
+\form#138:$A$
+\form#139:$AX=B$
+\form#140:$m \times n$
+\form#141:$m \geq n$
+\form#142:$m \leq n$
+\form#143:\[ \mathbf{X} = \mathbf{P}^T \mathbf{L} \mathbf{U} , \]
+\form#144:$\mathbf{L}$
+\form#145:$\mathbf{U}$
+\form#146:$\mathbf{P}$
+\form#147:\[ \mathbf{A} = \mathbf{Q} \mathbf{R} , \]
+\form#148:$\mathbf{Q}$
+\form#149:$m \times m$
+\form#150:$\mathbf{R}$
+\form#151:$\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{R}$
+\form#152:$\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}=\mathbf{R}^{T}\mathbf{R}$
+\form#153:\[ \mathbf{A} \mathbf{P} = \mathbf{Q} \mathbf{R} , \]
+\form#154:$\mathbf{A}^{H}\mathbf{A}=\mathbf{R}^{H}\mathbf{R}$
+\form#155:$ \mathbf{A} $
+\form#156:\[ \mathbf{U} \mathbf{T} \mathbf{U}^{T} = \mathbf{A} \]
+\form#157:$ \mathbf{U} $
+\form#158:$ \mathbf{T} $
+\form#159:$ \mathbf{U}^{T} $
+\form#160:$ 2 \times 2 $
+\form#161:\[ \mathbf{U} \mathbf{T} \mathbf{U}^{H} = \mathbf{A} \]
+\form#162:$ \mathbf{U}^{H} $
+\form#163:$s$
+\form#164:\[ \mathrm{diag}(\mathbf{U}^T \mathbf{A} \mathbf{V}) = \mathbf{s} = \sigma_1, \ldots, \sigma_p \]
+\form#165:$\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \ldots \sigma_p \geq 0$
+\form#166:\[ \mathbf{A} = \mathbf{U} \mathbf{S} \mathbf{V}^T \]
+\form#167:$ \mathrm{diag}(\mathbf{S}) = \mathbf{s} $
+\form#168:\[ \mathrm{diag}(\mathbf{U}^H \mathbf{A} \mathbf{V}) = \mathbf{s} = \sigma_1, \ldots, \sigma_p \]
+\form#169:\[ \mathbf{A} = \mathbf{U} \mathbf{S} \mathbf{V}^H \]
+\form#170:$\mathbf{s}$
+\form#171:\[ J_{\nu}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{ (-1)^{k} }{k! \Gamma(\nu+k+1) } \left(\frac{x}{2}\right)^{\nu+2k} \]
+\form#172:$\nu$
+\form#173:$ 0 < x < \infty $
+\form#174:\[ Y_{\nu}(x) = \frac{J_{\nu}(x) \cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)} \]
+\form#175:\[ I_{\nu}(x) = i^{-\nu} J_{\nu}(ix) \]
+\form#176:\[ K_{\nu}(x) = \frac{\pi}{2} i^{\nu+1} [J_{\nu}(ix) + i Y_{\nu}(ix)] \]
+\form#177:\[ \mathbf{X} = \mathbf{X}^H \]
+\form#178:\[ \mathbf{X}^H = \mathbf{X}^{-1} \]
+\form#179:$n+|K| \times n+|K|$
+\form#180:$n = min(r, c)$
+\form#181:$r \times c$
+\form#182:$n-1$
+\form#183:\[ \int_a^b f(x) dx \]
+\form#184:\[ x \sim \Gamma(\alpha,\beta) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1} \exp(-\beta x) \]
+\form#185:$\alpha=1$
+\form#186:$\Theta(n\log n)$
+\form#187:$\Theta(n^2)$
+\form#188:$g(x) = x^{10} + x^9 + x^8 + x^6 + x^5 + x^3 + 1$
+\form#189:$ r(t) $
+\form#190:\[ r(t) = a(t) * s(t), \]
+\form#191:$ s(t) $
+\form#192:$ a(t) $
+\form#193:$ \|a(t)\| $
+\form#194:\[ R(\tau) = E[a^*(t) a(t+\tau)] = J_0(2 \pi f_\mathrm{max} \tau), \]
+\form#195:$ f_\mathrm{max} $
+\form#196:\[ f_\mathrm{max} = \frac{v}{\lambda} = \frac{v}{c_0} f_c. \]
+\form#197:$ c_0 $
+\form#198:$ f_c $
+\form#199:$ f_\mathrm{max} T_s $
+\form#200:$ T_s $
+\form#201:$ R(\tau) $
+\form#202:\[ h(t) = \sum_{k=0}^{N_\mathrm{taps}-1} a_k \exp (-j \theta_k ) \delta(t-\tau_k), \]
+\form#203:$ N_\mathrm{taps} $
+\form#204:$ a_k $
+\form#205:$ \tau_k $
+\form#206:$ \theta_k $
+\form#207:$ k^{th} $
+\form#208:\[ \mathbf{a} = [a_0, a_1, \ldots, a_{N_\mathrm{taps}-1}] \]
+\form#209:\[ \mathbf{\tau} = [\tau_0, \tau_1, \ldots, \tau_{N_\mathrm{taps}-1}], \]
+\form#210:$ \tau_0 = 0 $
+\form#211:$ \tau_0 < \tau_1 < \ldots < \tau_{N_\mathrm{taps}-1} $
+\form#212:$ h(t) $
+\form#213:$ \tau_k = d_k T_s $
+\form#214:$ d_k $
+\form#215:\[ \rho \exp(2 \pi f_\rho t + \theta_\rho), \]
+\form#216:$ \rho $
+\form#217:$ f_\rho $
+\form#218:$ \theta_\rho $
+\form#219:$ f_\rho = 0.7 f_\mathrm{max} $
+\form#220:\[ \tilde \mu_i(t) = \sum_{n=1}^{N_i} c_{i,n} \cos(2\pi f_{i,n} t + \theta_{i,n}) \]
+\form#221:$ c_{i,n} $
+\form#222:$ f_{i,n} $
+\form#223:$ \theta_{i,n} $
+\form#224:$ N_i \rightarrow \infty $
+\form#225:\[ \tilde \mu(t) = \tilde \mu_1(t) + j \tilde \mu_2(t) \]
+\form#226:$ N_i $
+\form#227:$ N_\mathrm{fft} $
+\form#228:\[ h(t) = \sum_{k=0}^{N_\mathrm{taps}-1} a_k \exp (-j \theta_k) \delta(t-\tau_k), \]
+\form#229:$ N_{taps} $
+\form#230:$ \mathbf{a} $
+\form#231:$ \mathbf{\tau} $
+\form#232:$N_0/2$
+\form#233:$N_0$
+\form#234:$ f_{norm} = f_{max} T_{s} $
+\form#235:$ f_{max} $
+\form#236:$ T_{s} $
+\form#237:\[ \max_{p_0,...,p_{n-1}} \sum_{i=0}^{n-1} \log\left(1+p_i\alpha_i\right) \]
+\form#238:\[ \sum_{i=0}^{n-1} p_i \le P \]
+\form#239:$\alpha_0,...,\alpha_{n-1}$
+\form#240:$p_0,...,p_{n-1}$
+\form#241:$O(n^2)$
+\form#242:$2^{K-1}$
+\form#243:$ H = [H_{1} H_{2}] $
+\form#244:$ H_{2} $
+\form#245:$ [H_{1} H_{2}][I; G'] = 0 $
+\form#246:\[ L = \log \frac{P(b=0)}{P(b=1)} \]
+\form#247:\[ \mbox{QLLR} = \mbox{round} \left(2^{\mbox{Dint1}}\cdot \mbox{LLR}\right) \]
+\form#248:\[ 2^{-(Dint1-Dint3)} \]
+\form#249:\[ \log(\exp(a)+\exp(b)) \]
+\form#250:\[ \mbox{sign}(a) * \mbox{sign}(b) * \mbox{min}(|a|,|b|) + f(|a+b|) - f(|a-b|) \]
+\form#251:\[ f(x) = \log(1+\exp(-x)) \]
+\form#252:\[r_k = c_k s_k + n_k,\]
+\form#253:$c_k$
+\form#254:$s_k$
+\form#255:$n_k$
+\form#256:$M = 2^k$
+\form#257:$k = 1, 2, \ldots $
+\form#258:$\{-(\sqrt{M}-1), \ldots, -3, -1, 1, 3, \ldots, (\sqrt{M}-1)\}$
+\form#259:$\sqrt{2(M-1)/3}$
+\form#260:$(1, 0)$
+\form#261:$M = 4$
+\form#262:$M = 2$
+\form#263:$0 \rightarrow 1+0i$
+\form#264:$1 \rightarrow -1+0i$
+\form#265:$0 \rightarrow 1$
+\form#266:$1 \rightarrow -1$
+\form#267:$\{-(M-1), \ldots, -3, -1, 1, 3, \ldots, (M-1)\}$
+\form#268:$ \sqrt{(M^2-1)/3}$
+\form#269:\[\log \left( \frac{P(b_i=0|r)}{P(b_i=1|r)} \right) = \log \left( \frac{\sum_{s_i \in S_0} \exp \left( -\frac{|r_k - s_i|^2}{N_0} \right)} {\sum_{s_i \in S_1} \exp \left( -\frac{|r_k - s_i|^2}{N_0} \right)} \right) \]
+\form#270:$d_0 = |r_k - s_0|$
+\form#271:$d_1 = |r_k - s_1|$
+\form#272:\[\frac{d_1^2 - d_0^2}{N_0}\]
+\form#273:$c_k = 1$
+\form#274:$L_c$
+\form#275:\[\log \left( \frac{P(b_i=0|r)}{P(b_i=1|r)} \right) = \log \left( \frac{\sum_{s_i \in S_0} \exp \left( -\frac{|r_k - c_k s_i|^2}{N_0} \right)} {\sum_{s_i \in S_1} \exp \left( -\frac{|r_k - c_k s_i|^2}{N_0} \right)} \right) \]
+\form#276:$d_0 = |r_k - c_k s_0|$
+\form#277:$d_1 = |r_k - c_k s_1|$
+\form#278:$r_k$
+\form#279:\[\log \left( \frac{P(b=0|r)}{P(b=1|r)} \right) = \frac{2 \sqrt{2}}{N_0} \Im\{r_k \exp \left(j \frac{\Pi}{4} \right) \}\]
+\form#280:\[\log \left( \frac{P(b=0|r)}{P(b=1|r)} \right) = \frac{2 \sqrt{2}}{N_0} \Re\{r_k \exp \left(j \frac{\Pi}{4} \right) \}\]
+\form#281:$r$
+\form#282:\[\log \left( \frac{P(b=0|r)}{P(b=1|r)} \right) = \frac{2 \sqrt{2}}{N_0} \Im\{r_k c_k \exp \left(j \frac{\Pi}{4} \right) \}\]
+\form#283:\[\log \left( \frac{P(b=0|r)}{P(b=1|r)} \right) = \frac{2 \sqrt{2}}{N_0} \Re\{r_k c_k \exp \left(j \frac{\Pi}{4} \right) \}\]
+\form#284:$c$
+\form#285:\[\log \left( \frac{P(b=0|r)}{P(b=1|r)} \right) = \frac{4 \Re\{r\}} {N_0}\]
+\form#286:\[\log \left( \frac{P(b=0|r)}{P(b=1|r)} \right) = \frac{4 \Re\{r c^{*}\}}{N_0}\]
+\form#287:\[\log \left( \frac{P(b=0|r)}{P(b=1|r)} \right) = \frac{4 r}{N_0}\]
+\form#288:$c = 1$
+\form#289:\[ y = Hx+e \]
+\form#290:$n_r\times n_t$
+\form#291:$y$
+\form#292:$n_r$
+\form#293:$n_t$
+\form#294:$e$
+\form#295:\[ G = \left[ \begin{array}{cc} H_r & -H_i \\ H_i & H_r \end{array} \right] \]
+\form#296:\[ \log \left( \frac {\sum_{s:b_k=0} \exp(-x^2) P(s)} {\sum_{s:b_k=1} \exp(-x^2) P(s)} \right) \]
+\form#297:\[ \log \left( \frac {\sum_{s:b_k=0} \exp (-x^2) P(s)} {\sum_{s:b_k=1} \exp (-x^2) P(s)} \right) \]
+\form#298:\[ LLR(k) = \log \left( \frac {\sum_{s:b_k=0} \exp \left( -\frac{|y - Hs|^2}{2\sigma^2} \right) P(s)} {\sum_{s:b_k=1} \exp \left( -\frac{|y - Hs|^2}{2\sigma^2} \right) P(s)} \right) \]
+\form#299:$H = \mbox{diag}(h)$
+\form#300:$|y-Hs|$
+\form#301:\[ LLR(k) = \log \left( \frac {\sum_{s:b_k=0} \exp \left( -\frac{|y - Hs|^2}{\sigma^2} \right) P(s)} {\sum_{s:b_k=1} \exp \left( -\frac{|y - Hs|^2}{\sigma^2} \right) P(s)} \right) \]
+\form#302:\[ \mbox{min} |y - Hs| \]
+\form#303:$n_r\times 1$
+\form#304:$ \alpha $
+\form#305:\[ p(t) = \frac{\sin(\pi t / T)}{\pi t / T} \frac{\cos(\alpha \pi t / T)}{1 - (2 \alpha t / T)^2} \]
+\form#306:\[ p(t) = \frac{4 \alpha}{\pi \sqrt{T}} \frac{\cos((1+\alpha)\pi t / T) + T \sin((1-\alpha)\pi t / T) / (4 \alpha t) }{1 - (4 \pi t / T)^2} \]
+\form#307:$2^m$
+\form#308:$2^m-1$
+\form#309:$N = 2^{deg} - 1$
+\form#310:$deg = \{ 5, 7, 8, 9 \}$
+\form#311:$L \times N$
+\form#312:\[ r_k = h_k c_k + w_k \]
+\form#313:$h_k$
+\form#314:$\{-\sqrt{E_c},+\sqrt{E_c}\}$
+\form#315:$w_k$
+\form#316:\[ z_k = \hat{h}_k^{*} r_k \]
+\form#317:$\hat{h}_k^{*}$
+\form#318:\[ L_c = 4\sqrt{E_c} / {N_0} \]
+\form#319:\[ s(1), p_{1,1}(1), p_{1,2}(1), \ldots , p_{1,n_1}(1), p_{2,1}(1), p_{2,2}(1), \ldots , p_{2,n_2}(1), s(2), \ldots \]
+\form#320:$s(n)$
+\form#321:$p_{l,k}(n)$
+\form#322:\[ t_1(1), pt_{1,1}(1), pt_{1,2}(1), \ldots , pt_{1,n_1}(1), \ldots pt_{1,n_1}(m) \]
+\form#323:$f(\mathbf{x})$
+\form#324:$\mathbf{x}$
+\form#325:\[ \left\| \mathbf{f}'(\mathbf{x})\right\|_{\infty} \leq \varepsilon_1 \]
+\form#326:\[ \left\| d\mathbf{x}\right\|_{2} \leq \varepsilon_2 (\varepsilon_2 + \| \mathbf{x} \|_{2} ) \]
+\form#327:$\varepsilon_1 = 10^{-4}$
+\form#328:$\varepsilon_2 = 10^{-8}$
+\form#329:$\mathbf{h}$
+\form#330:\[ \varphi(\alpha) = f(\mathbf{x} + \alpha \mathbf{h}) \]
+\form#331:$\alpha_s$
+\form#332:$f$
+\form#333:\[ \phi(\alpha_s) \leq \varphi(0) + \alpha_s \rho \varphi'(0) \]
+\form#334:\[ \varphi'(\alpha_s) \geq \beta \varphi'(0),\: \rho < \beta \]
+\form#335:$\rho = 10^{-3}$
+\form#336:$\beta = 0.99$
+\form#337:\[ \| \varphi(\alpha_s)\| \leq \rho \| \varphi'(0) \| \]
+\form#338:\[ b-a \leq \beta b, \]
+\form#339:$\left[a,b\right]$
+\form#340:$\beta = 10^{-3}$
+\form#341:$a_1$
+\form#342:$a_2$
+\form#343:$\epsilon$
+\form#344:\[ y(n) = b(0)*x(n) + b(1)*x(n-1) + ... + b(N)*x(n-N) \]
+\form#345:\[ a(0)*y(n) = x(n) - a(1)*y(n-1) - ... - a(N)*y(n-N) \]
+\form#346:\[ a(0)*y(n) = b(0)*x(n) + b(1)*x(n-1) + \ldots + b(N_b)*x(n-N_b) - a(1)*y(n-1) - \ldots - a(N_a)*y(n-N_a) \]
+\form#347:$max(N_a, n_b) - 1$
+\form#348:$\pi$
+\form#349:$N>n$
+\form#350:$N = 4 n$
+\form#351:$R(k) = 0, \forall \|k\| > m$
+\form#352:$2(m+n)$
+\form#353:$N+1$
+\form#354:\[ p_0 x^N + p_1 x^{N-1} + \ldots + p_{N-1} x + p_N \]
+\form#355:\[ T(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \cos(n\arccos(x)),& |x| \leq 0 \\ \cosh(n\mathrm{arccosh}(x)),& x > 1 \\ (-1)^n \cosh(n\mathrm{arccosh}(-x)),& x < -1 \end{array} \right. \]
+\form#356:$X$
+\form#357:$N$
+\form#358:\[ X(k) = \sum_{j=0}^{N-1} x(j) e^{-2\pi j k \cdot i / N} \]
+\form#359:\[ x(j) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X(k) e^{2\pi j k \cdot i / N} \]
+\form#360:\[ X(k) = w(k) \sum_{j=0}^{N-1} x(j) \cos \left(\frac{(2j+1)k \pi}{2N} \right) \]
+\form#361:\[ x(j) = \sum_{k=0}^{N-1} w(k) X(k) \cos \left(\frac{(2j+1)k \pi}{2N} \right) \]
+\form#362:$w(k) = 1/sqrt{N}$
+\form#363:$k=0$
+\form#364:$w(k) = sqrt{2/N}$
+\form#365:$k\geq 1$
+\form#366:$i$
+\form#367:\[ w_i = 0.54 - 0.46 \cos(2\pi i/(n-1)) \]
+\form#368:\[ w_i = 0.5(1 - \cos(2\pi (i+1)/(n+1)) \]
+\form#369:\[ w_i = 0.5(1 - \cos(2\pi i/(n-1)) \]
+\form#370:\[ w_i = 0.42 - 0.5\cos(2\pi i/(n-1)) + 0.08\cos(4\pi i/(n-1)) \]
+\form#371:\[ w_i = w_{n-i-1} = \frac{2(i+1)}{n+1} \]
+\form#372:\[ w_i = w_{n-i-1} = \frac{2i+1}{n} \]
+\form#373:\[ W[k] = \frac{T_M\left(\beta \cos\left(\frac{\pi k}{M}\right) \right)}{T_M(\beta)},k = 0, 1, 2, \ldots, M - 1 \]
+\form#374:$ \mathbf{x} $
+\form#375:\[ m_r = \mathrm{E}[x-\mu]^r = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} (x_i - \mu)^r \]
+\form#376:\[ \gamma_1 = \frac{\mathrm{E}[x-\mu]^3}{\sigma^3} \]
+\form#377:$\sigma$
+\form#378:\[ \gamma_1 = \frac{k_3}{{k_2}^{3/2}} \]
+\form#379:\[ k_2 = \frac{n}{n-1} m_2 \]
+\form#380:\[ k_3 = \frac{n^2}{(n-1)(n-2)} m_3 \]
+\form#381:$m_2$
+\form#382:$m_3$
+\form#383:\[ \gamma_2 = \frac{\mathrm{E}[x-\mu]^4}{\sigma^4} - 3 \]
+\form#384:\[ \gamma_2 = \frac{k_4}{{k_2}^2} \]
+\form#385:\[ k_4 = \frac{n^2 [(n+1)m_4 - 3(n-1){m_2}^2]}{(n-1)(n-2)(n-3)} \]
+\form#386:$m_4$
+\form#387:\[ \gamma_2 = \frac{\mathrm{E}[x-\mu]^4}{\sigma^4} \]
+\form#388:$ w_{new} = [ \alpha \cdot w_{A} ~~~ \beta \cdot w_{B} ]^T $
+\form#389:$ w_{new} $
+\form#390:$ w_{A} $
+\form#391:$ w_{B} $
+\form#392:$ \alpha = K_A / (K_A + KB_in) $
+\form#393:$ \beta = 1-\alpha $
+\form#394:$ K_A $
+\form#395:$ KB_in $
+\form#396:$ -\frac{D}{2}\log(2\pi) -\frac{1}{2}\log(|\Sigma|) $
+\form#397:$ D $
+\form#398:$ |\Sigma| $
+\form#399:$ \Sigma $