Changeset 891 for applications/dual

Timestamp:

04/04/10 15:43:06 (14 years ago)

Author:

zimamiro

Message:

 

Location:

applications/dual/SIDP/text

Files:

• baksimple.pdf (modified) (previous)
• baksimple.tex (modified) (2 diffs)
• ch1.tex (modified) (3 diffs)
• ch2.tex (modified) (3 diffs)
• ch3.tex (modified) (1 diff)
• ch4.tex (added)
• uvod.tex (modified) (2 diffs)
• znaceni.tex (added)

applications/dual/SIDP/text/baksimple.tex

@@ -35 +35 @@
 \newpage % SEM NESAHEJTE!
 
+\chapter*{Zna��
+\input{znaceni.tex}
+
 \chapter*{�od} \addcontentsline{toc}{chapter}{�od} % SEM NESAHEJTE!
 \input{uvod.tex}  % text � (bez nadpisu) je vkl�n z jin� souboru; lze upravit jm� souboru, resp. smazat tento � a text � napsat p�sem (ale znep�dn�e to)
@@ -41 +44 @@
 \chapter{�oha stochastick� ��
 \input{ch1.tex}
-\chapter{Suboptim���py k � stochastick� ��
+\chapter{�oha stochastick� �� nep�mi daty}
 \input{ch2.tex}
+\chapter{Suboptim���py k � du�� ��
+\input{ch3.tex}
 \chapter{Srovn� suboptim���p� ��ednoduch� syst�}
-\input{ch3.tex}
+\input{ch4.tex}
 
 \chapter*{Z�r} \addcontentsline{toc}{chapter}{Z�r}   % SEM NESAHEJTE!

applications/dual/SIDP/text/ch1.tex

@@ +1 @@
+DEFINICNI OBORY
 \section{Formulace � stochastick� ��
-�t�m pojmem v teorii ��e \emph{syst�. Syst�je �t sv�, kterou chceme poznat ��. Informace o stavu syt� z��me prost�ctv�jeho v�. �zen�tj. ovliv�n�tavu syst�, m� prov�t  vstup�t� pr� budeme p�kl�t, �e v� charakterizuj�tav syst� �. To nemus��cn�ravda, postup p�zen� nedokonal�formacemi o stavu syst� je uveden nap�d v []. Obecn�e d�k�t, �e � s ��yst� s ne�mi informacemi o stavu se d�kvivalentn�ransformovat na � ��yst� s �mi informacemi o stavu.
-
-Budeme-li p�kl�t diskr��ovahu �u m� syst�v �ov� okam�iku $t$ popsat syst�m rovnic 
+�t�m pojmem v teorii ��e \emph{syst�. Syst�je �t sv�, kterou chceme poznat ��. Informace o stavu syt� z��me prost�ctv�\emph{v�}. V t� kapitole budeme p�kl�t, �e m� stav syst� m�t p� P�em nep�o m�n� nezn�mi parametry se zab�sleduj� kapitola. �zen�tj. ovliv�n�tavu syst�, m� prov�t pomoc�emph{vstup�
+Budeme-li p�kl�t diskr��ovahu �u, m� stav syst�v �ov� okam�iku $t$ pod��� horizontu d�y $N$ popsat syst�m rovnic
 \begin{equation}
 \label{sys}
 x_{t+1}=f_k(x_t,u_t,w_t), \qquad t=0,1,\ldots,N-1,
 \end{equation}
-kde $x_t$ je v�v �e $t$, $u_t$ je vstup v �e t a $w_t$ je n�dn�eli�a.
- 
-D� m� p�s�u ztr�vou funkci
+kde $x_t$ je stav syst� v �e $t$, $u_t$ je vstup v �e $t$ a $w_t$ n�dn�eli�a reprezentuj� p�nost �umu.
+
+D� m� p�sanou ztr�vou funkci
 \begin{equation}
-g(x_0,\ldots,x_N,u_0,\ldots,u_{N-1},w_0,\ldots,w_{N-1})
+g(x_{0:N},u_{0:N-1},w_{0:N-1}).
 \end{equation}
 
-Posloupnost��c� strategi�\pi=\{\mu_0,\ldots,\mu_{N-1}\}$ budeme rozum�posloupnost zobrazen�\begin{equation}
+Posloupnost��c� strategi�\pi=\mu_{0:N-1}$ budeme rozum�posloupnost zobrazen�\begin{equation}
 \label{con}
 \mu_t(x_t)=u_t \, \qquad t=0,1,\ldots,N-1,
-\end{equation} 
+\end{equation}
+
+PRIPUSTNE STRATEGIE
 
 Pro danou ��trategii ozna� o��nou ztr� jako
-\begin{multline}
+\begin{equation}
 \label{los}
-J_\pi(x_0)=\\
-\E_{w_0,\ldots,w_{N-1}}\left\{g(x_0\ldots,x_N,\mu_0(x_0),\ldots,\mu_{N-1}(x_{N-1}),w_0,\ldots,w_{N-1})\right\}
-\end{multline} 
+J_\pi(x_0)=\E_{w_{0:N-1}}\left\{g(x_{0:N},\mu_{0:N-1}(x_{0:N-1}),w_{0:N-1})\right\}
+\end{equation}
 
 �ohou je potom naj�takovou $\pi^*$, pro kterou plat�\begin{equation}
@@ -37 +38 @@
 \begin{equation}
 \label{adi}
-g(x_0,\ldots,x_N,u_0,\ldots,u_{N-1},w_0,\ldots,w_{N-1})=g_N(x_N)+\sum_{t=0}^{N-1}g_t(x_t,u_t,w_t)
+g(x_{0:N},u_{0:N-1},w_{0:N-1})=g_N(x_N)+\sum_{t=0}^{N-1}g_t(x_t,u_t,w_t)
 \end{equation}
 
-O��nou ztr� \eqref{los} tedy m� p�t do tvaru
+O��nou ztr� \eqref{los} potom m� p�t do tvaru
 \begin{equation}
-J_\pi(x_0)=\E_{w_0,\ldots,w_{N-1}}\left\{g_N(x_N)+\sum_{t=0}^N(g_t(x_t,\mu_t(x_t),w_t))\right\}
+J_\pi(x_0)=\E_{w_{0:N-1}}\left\{g_N(x_N)+\sum_{t=0}^Ng_t(x_t,\mu_t(x_t),w_t)\right\}
 \end{equation}
 
 Takto specifikovan�loha se d�e�it pou�it�dynamick� programov� []. Dynamick�rogramov� je p�p k ��ptimaliza�ch � na kter�e m� d�t jako na posloupnost rozhodnut�pro kter�lat�zv. princip optimality.  Ten � �e optim��osloupnost rozhodnut��u vlastnost, �e pro libovoln�te� stav a rozhudnut�us��chna n�eduj� rozhodnut�ptim��zhledem k v��zhodnut�rvn�. D� �e pro ztr� tvaru \eqref{adi} plat�rincip optimality je snadn�e ho nal� nap�d v [].
 
-P��en�lohy stochastick� �� aditivn�tr�u je tedy mo�n�ostupovat, jak je u ���moc�ynamick� programov� zvykem. Minim��odnotu st� ztr� od okam�iku $t$ do $N$ v z�slosti na $x_t$ ozna�e $J_t(x_t)$ a m� pro ni ps�
-
-\begin{equation}
-J_N(x_N)=g_N(x_N)
-\end{equation}
-\begin{equation}
+P��en�lohy stochastick� �� aditivn�tr�u je tedy mo�n�ostupovat, jak je u ���moc�ynamick� programov� zvykem. Minim��odnotu st� ztr� od okam�iku $t$ do $N$ v z�slosti na $x_t$ ozna�e $J_t(x_t)$. M� pro ni ps�
+\begin{gather}
+J_N(x_N)=g_N(x_N)\\
 J_t(x_t)=\min_{u_t \in U(x_t)}\E_{w_t}\left\{g_k(x_t,u_t,w_t)+J_{t+1}(f_t(x_t,u_t,w_t))\right\} \qquad t=0,\ldots,N-1
-\end{equation}
+\end{gather}
 
 P��en�udeme postupovat od konce �� horizontu a postupn�ledat $J_t(x_t)$. Potom libovoln�\pi=\{\mu_0,\ldots,\mu_{N-1}\}$, kter�pl� syst�rovnic
@@ -61 +59 @@
 J_t(x_t)=\E_{w_t}\left\{g_k(x_t,\mu_t(x_t),w_t)+J_{t+1}(f_t(x_t,\mu_t(x_t),w_t))\right\} \qquad t=0,\ldots,N-1
 \end{equation}
-je optim��osloupnost rozhodnut�Na syst�rovnic \eqref{impl} se tedy m� d�t jako na implicitn��s pro $\pi$.
+je optim��osloupnost rozhodnut�Na syst�rovnic \eqref{impl} se tedy m� d�t jako na implicitn��s pro $\pi$. 

applications/dual/SIDP/text/ch2.tex

@@ -1 @@
-\section{Nutnost p� k suboptim��metod�
-A�liv dynamick� programov� p����ok v ��lohy stochastick� ��analytick�e�en�bvykle nen�o�n��at. V ka�d��ov�kroku se toti� pot�se dv� obecn�bt��obl�my: 1) v� st� hodnoty vzhledem k $w_k$ a 2) n�edn�inimalizace vzhledem k $u_k$. Oba probl� obecn�emaj�nalytick�e�en� bez dal��pecifikace � je proto t�p� k aproxima�m metod�  
+P�likaci matematick� modelov� na ���k�onkr��lohy se obvykle pot�s probl�m, jak ur� konstanty, kter�an�l ur��Zkoum�-li nap�d n�k�k��yst� z rozboru fyzik�� z�nitost�bvykle zn� tvar rovnic, kter�r��eho v� �e, nicm� po�e� podm�y �parametry, kter� rovnic� vystupuj� jsou pro dan��charakteristick�m� z�at pouze nep� obvykle m�n�vhodn�li�. Modifikac�lohy stochastick� ��ro p� p�nosti nezn�ch parametr�zab�to kapitola.
 
-\section{Du���n�
-�stou situac� � stochastick� ��e, �e syst�popsan��m rovnic \eqref{sys} obvykle z�s�a n�k�parametru $\theta$, o kter�m� k dispozici pouze n�kou apriorn�nformaci. K �n� ��e tedy vhodn�ejen inimalizovat aktu��tr�, ale rovn�z�at o syst� co nejv� informac�ro minimalizaci budouc� ztr� Tento postup se naz����n�ref].
+\section{Formulace � stochastick� �� nep�mi daty}
+Informace o stavu syst� $x_t$ v �e $t$ z��me pomoc�� $y_t$, kter��jako
+\begin{equation}
+\label{poz}
+y_0=h_0(x_0,v_0),\qquad y_t=h_t(x_t,u_{t-1},v_t), \qquad t=1,\ldots,N-1,
+\end{equation}
+kde $v_t$ je n�dn�eli�a charakterizuj� chybu m�n�Po�e� stav $x_0$ je d�rozd�n�pravd�dobnosti $P^{x_0}$ a dal���yst� ur�e soustava \eqref{sys}.
+
+Informace, kter�sou v pr� �� dispozici je zvykem ps�ve form�zv. \emph{informa�ho vektoru}, kter�var
+\begin{equation}
+I_0=y_0,\qquad I_t=(y_{0:t},u_{0:t-1}), \qquad  t=1,\ldots,N-1.
+\end{equation}
+
+�d� strategie $\pi=\mu_{0:N-1}$ nyn�em�xplicitn��set na stavu syst�, proto�e m� k dispozici pouze informa� vektor. Hled� tedy
+\begin{equation}
+\label{icon}
+\mu_t(I_t)=u_t \, \qquad t=0,1,\ldots,N-1,
+\end{equation}
+
+PRIPUSTNE STRATEGIE
+
+�olem je naj�p�tnou strategii \eqref{icon}, kter�y minimalizovala o��nou ztr�
+\begin{equation}
+\label{ilos}
+J_\pi=\E_{\substack{x_0,\ w_{0:N-1},\\ v_{0:N-1}}}\left\{g_N(x_N)+\sum_{t=0}^{N-1}g_t(x_t,\mu_t(I_t),w_t)\right\},
+\end{equation}
+za podm�k \eqref{sys} a \eqref{poz}.
+
+\section{P� na � s �mi daty}
+Proto�e v �e $t$ nem� k dispozici p�stav syst� $x_t$, ale pouze informa� vektor $I_t$, nem� pou��postup z p�oz�apitoly. P��je pot�� vhodn�ransformovat. Za t�o �m zap�me informa� vektor ve tvaru
+\begin{equation}
+I_0=y_0,\qquad I_{t+1}=(I_t,u_t,y_{t+1}), \qquad  t=1,\ldots,N-1.
+\end{equation}
+
+Na tuto rovnost m� pohl�t jako na rovnice syst� \eqref{sys}. Stav v �e $t$ je nyn�I_t$, vstup $u_t$ a $y_{t+1}$ n�dn�eli�a podm�n�I_t$ a $u_t$ p�eqref{poz}.
+
+D� p�me k nov�tr�v�unkci, kterou definujeme jako
+\begin{gather}
+\tilde{g}_N(I_N)=\E_{x_N}\left\{g_N(x_N)|I_N\right\}, \\ \tilde{g}_t(I_t,u_t,w_t)=\E_{x_t}\left\{g_t(x_t,u_t,w_t)|I_t,u_t\right\}, \qquad  t=1,\ldots,N-1.
+\end{gather}
+
+O��nou ztr� nyn�� ps�ve tvaru
+\begin{equation}
+J_N(I_N)=\tilde{g}_N(I_N)
+\end{equation}
+\begin{equation}
+J_t(I_t)=\min_{u_t \in U_t}\E_{w_t,y_{t+1}}\left\{\tilde{g}_t(I_t,u_t,w_t)+J_{t+1}((I_t,u_t,y_{t+1}))|I_t,u_t\right\} \qquad t=0,\ldots,N-1
+\end{equation}
+
+Tato � ji� m��ena pomoc�ynamick� programov�. P��en�udeme postupovat od konce �� horizontu a postupn�ledat $J_t(I_t)$. Potom libovoln�\pi=\{\mu_0,\ldots,\mu_{N-1}\}$, kter�ab�nim����n�tr� $J_0(y_0)$ je optim��osloupnost rozhodnut�
+
+\section{�zen�yst� s nezn�mi parametry}
+Pokud rovnice syst� obsahuje n�k�� parametr $\theta$, m� vyu��znalosti ��robl� s ne�mi informacemi. 
+
+Hledan��n�y m� nejen minimalizovat aktu��tr�, ale rovn�z�at o syst� co nejv� informac�ro minimalizaci budouc� ztr� Tento postup se naz����n�ref].
+
+V � du�� ��� v� syst� $y_t$ pops� jako 
+\begin{equation}
+\label{poz2}
+y_0=h_0(\theta,v_0),\qquad y_t=h_t(\theta, I_{t-1},u_{t-1},v_t), \qquad t=1,\ldots,N-1,
+\end{equation}
+
+Ztr�v�unkce je nyn�\begin{equation}
+\label{los2}
+g(y_{0:N},u_{0:N-1},w_{0:N-1})=g_N(y_N)+\sum_{t=0}^{N-1}g_t(y_t,u_t,w_t).
+\end{equation}
+
+P�kl�jme d�, �e o parametru $\theta$ m� n�kou apriorn�nformaci $\theta_0$ a  odhadovac�roceduru tvaru
+\begin{equation}
+\label{the}
+\theta_{t+1}=f_t(\theta_t,I_t,y_{t+1},u_t), \qquad  t=1,\ldots,N-1.
+\end{equation} 
+
+Rovnici \eqref{the} m� pova�ovat za rovnici syst� \eqref{sys} pro stav $(\theta_t,I_t)$ a vstup $(y_{t+1},u_t)$ bez p�nosti �umu. Do rovnice \eqref{poz2} dosad� za $\theta$ jeho aktu��dhad, tedy
+\begin{equation}
+\label{poz3}
+y_0=h_0(\theta_0,v_0),\qquad y_t=h_t(\theta_{t-1}, I_{t-1},u_{t-1},v_t), \qquad t=1,\ldots,N-1,
+\end{equation} 
+
+Rovnice \eqref{the}, \eqref{poz3} a \eqref{los2} p�avuj�lohu stochastick� �� nep�mi daty.
+
 \subsection{Bayesovsk���
-P�ar�up jak pro parametr $\theta$ z�at aposteriorn�ustotu pravd�dobnosti $f(\theta|X)$, je-li k dispozici apriorn�ustota pravd�dobnosti $f(\theta)$ a soubor m�n�X$, je aplikace Bayesova vzorce
+P�ar�up, jak pro nezn� parametr $\theta$ z�at aposteriorn�ustotu pravd�dobnosti $f(\theta_{t+1}|I_t)$, je-li k dispozici apriorn�ustota pravd�dobnosti $f(\theta_t)$ a informa� vektor $I_t$, je aplikace Bayesova vzorce
 \begin{equation}
 \label{bay}
-f(\theta|X)=\frac{f(X|\theta)f(\theta)}{\int f(X|\theta)f(\theta)\mathrm{d}\theta}
+f(\theta_{t+1}|I_t)=\frac{f(I_t|\theta_{t+1})f(\theta_t)}{\int f(I_t|\theta_{t+1})f(\theta_t)\mathrm{d}\theta_t}
 \end{equation}
 Rekurzivn�ou�it�zorce \eqref{bay} pro odhad parametru $\theta$ je postup Bayesovsk� u��ref].
- 
-P�nkr��vypo� m��ak tento p�p dv�ev� 1) nikdy nem� k dispozici $f(X|\theta)$, ale pouze jej�proximaci z m�n� a 2) aposteriorn�ustota pravd�dobnosti nemus��analytick�yj�en�co� jej�ou�it� dal��v� komplikuje.
+
+P�nkr��vypo� m��ak tento p�p dv�ev� 1) nikdy nem� k dispozici $f(I_t|\theta_{t+1})$, ale pouze aproximaci z m�n�I_t$ a 2) aposteriorn�ustota pravd�dobnosti nemus��analytick�yj�en�co� jej�ou�it� dal��v� komplikuje.
 
 \subsection{Kalman�ltr}
-Pokud je p�tem ��yst� s gausovk�em, ve kter�nezn� parametry vystupuj�ako line� �ny situace se zna� zjednodu��ref]. Syst�\eqref{sys} m� �e $t$ tedy tvar
+Pokud v rovnic� \eqref{poz2} popisuj�ch v�syst� vystupuje gausovk�a nezn� parametr je separov�jako line� �n, situace se zna� zjednodu��
 
+Dle p�kladu m��v �e $t$ tvar
 \begin{equation}
 \label{sys2}
-x_{t+1}=f_k(x_t,u_t)+A_t(x_t,u_t)\theta_t+w_t
+y_{t+1}=\tilde{h}_t(I_t,u_t)+A_t(I_t,u_t))\theta_t+v_{t+1}, , \qquad t=0,\ldots,N-1.
 \end{equation}
 
-, kde $A_t(x_t,u_t)$ je zn� matice z�s� na p�oz�stavu syst� a vstupu. D� p�kl�jme gausovsk�ozlo�en�umu $w_t$ se zn�m rozptylem, gausovsk�ozlo�en�ezn�ho parametru $\theta$ a jejich nekorelovanost, tedy
+kde $\tilde{h}_t(I_t,u_t)$, resp. $A_t(I_t,u_t)$ je zn� funkce, resp. matice z�s� na informa�m vektoru a aktu��stupu. D� p�kl�me gausovsk�ozlo�en�umu $v_{t+1}$ se zn�m rozptylem
 \begin{equation}
-\theta_t\sim N(\hat{\theta},P_t),
+v_{t+1}\sim N(0,Q_{t+1}),
 \end{equation}
+gausovsk�ozlo�en�dhadu nezn�ho parametru $\theta_t$ a jejich nekorelovanost, tedy
+\begin{gather}
+\theta_t\sim N(\hat{\theta},P_t),\\
+\cov(v_{t+1},\theta)=0.
+\end{gather}
+
+Budeme po�adovat, aby odhadovac�rocedura \eqref{the} st� hodnoty parametru $\theta_{t+1}$ byla tvaru line��pravy st� hodnoty $\theta_t$ ��eur�osti v syst�. Tedy �e
 \begin{equation}
-w_t\sim N(0,Q_t),
+\label{opr}
+\hat{\theta}_{t+1}=\hat{\theta}_t+K_t(y_{t+1}-\tilde{h}_t(I_t,u_t)-A_t\hat{\theta}_t),
 \end{equation}
+kde $K_t$ je nezn� matice, kterou ur�e z po�adavku minimalizace v��atice rozptylu $P_{t+1}$. Pro ni jako funkci $K_t$ m� ps�
 \begin{equation}
-\cov(w_t,\theta_t)=0.
+P_{t+1}(K_t)=\E[(\theta-\hat{\theta}_{t+1})(\theta-\hat{\theta}_{t+1})^T].
 \end{equation}
 
-Na z�ad�dezvy syst� $x_{t+1}$ a $\theta_t$ chceme z�at n�k� odhad parametru $\theta_{t+1}$. Budeme p�kl�t, �e $\theta_{t+1}$ z�� line��pravou $\theta_t$ �ou neur�osti v syst�. Tedy �e
-\begin{equation}
-\label{opr}
-\hat{\theta}_{t+1}=\hat{\theta}_t+K_t(x_{t+1}-f_t(x_t,u_t)-A_t\hat{\theta}_t)
-\end{equation}
-, kde $K_t$ je nezn� matice, kterou ur�e z po�adavku minimalizace v��atice rozptylu $P_{t+1}$. Pro ni jako funkci $K_t$ m� ps�
-\begin{equation}
-P_{t+1}(K_t)=\E[(\theta-\hat{\theta}_{t+1})(\theta-\hat{\theta}_{t+1})^T].
-\end{equation} 
-Dosazen�za $\hat{\theta}_{t+1}$ ze \eqref{opr} a za $x_t$ ze \eqref{sys2} a �ou dostaneme (pro libovolnou matici $B$ budeme pro lep��itelnost nam�o $BB^T$ ps�zkr�n�B^2$)
+Dosazen�za $\hat{\theta}_{t+1}$ z \eqref{opr} a za $y_t$ ze \eqref{sys2} a �ou dostaneme (pro libovolnou matici $B$ budeme pro lep��itelnost nam�o $BB^T$ ps�zkr�n�B^2$)
 \begin{align}
-P_{t+1}(K_t)&=\E[(\theta-\theta_t-K_t(x_{t+1}-f_t(x_t,u_t)-A_t\hat{\theta}_t))^2] \nonumber \\
-&=\E[((I-K_tA_t)(\theta-\theta_t)-K_tw_t)^2] \nonumber \\
-&=(I-K_tA_t)\E[(\theta-\theta_t)^2](I-K_tA_t)^T-(I-K_tA_t)\cov(\theta,w_t)K_t^T-\nonumber \\
-&-K_t\cov(\theta,w_t)(I-K_tA_t)^T+K_t\E[w_t^2]K_t^T.
+P_{t+1}(K_t)&=\E_{\theta,v_t}\left\{(\theta-\hat{\theta}_t-K_t(y_{t+1}-\tilde{h}_t(I_t,u_t)-A_t\hat{\theta}_t))^2\right\} \nonumber \\
+&=\E_{\theta,v_t}\left\{((I-K_tA_t)(\theta-\hat{\theta}_t)-K_tv_t)^2\right\} \nonumber \\
+&=(I-K_tA_t)\E\left\{(\theta-\hat{\theta_t})^2\right\}(I-K_tA_t)^T-(I-K_tA_t)\cov(\theta,v_t)K_t^T-\nonumber \\
+&-K_t\cov(\theta,v_t)(I-K_tA_t)^T+K_t\E\left\{v_t^2\right\}K_t^T.
 \end{align}
 
-Pou�it�definice $P_t$, $Q_t$ a p�kladu $\cov(\theta,w_t)=0$ m�
+Pou�it�definice $P_t$, $Q_t$ a p�kladu $\cov(\theta,v_t)=0$ m�
 \begin{equation}
 \label{Pt+1}
@@ -57 +136 @@
 Proto�e po�adujeme minim��ozptyl odhadu $\hat{\theta}_{t+1}$, ur�e $K_t$ z rovnice
 \begin{equation}
-\frac{\partial \tr( P_t)}{\partial K_t}.
+\frac{\partial \tr( P_t)}{\partial K_t}=0.
 \end{equation}
-K proveden�derivace pou�ijeme vzorce*ODVOZENI BUDE ASI AZ V DODATKU* 
-\begin{equation}
-\frac{\partial\tr(MXN)}{\partial X}=M^TN^T
-\end{equation}
-\begin{equation}
-\frac{\partial\tr(MXNX^TO)}{\partial X}=M^TO^TXN+OMXN.
-\end{equation}
+
+K proveden�derivace pou�ijeme vzorce*ODVOZENI BUDE ASI AZ V DODATKU*
+\begin{gather}
+\frac{\partial\tr(MXN)}{\partial X}=M^TN^T,\\
+\frac{\partial\tr(MXNX^TO)}{\partial X}=M^TO^TXN+OMXN,
+\end{gather}
+kde $M,N$ a $O$ jsou konstantn�atice.
+
 T�z�� line��ovnici pro $K_t$ tvaru
 \begin{equation}
--P_t^TA_t-P_tA_t+K_tA_tP_tK_t+K_tA_t^TP_tK_t+2QK_t=0,
+-P_t^TA_t-P_tA_t+K_tA_tP_tK_t+K_tA_t^TP_tK_t+2Q_tK_t=0,
 \end{equation}
 kter��e�en�\begin{equation}
 \label{Kt}
-K_t=\frac{P_tA_t}{A_t^TP_tA_t+Q}
+K_t=\frac{P_tA_t}{A_t^TP_tA_t+Q_t}
 \end{equation}
-Dosazen�\eqref{Kt} do \eqref{Pt+1} po uprav�ostaneme
+Dosazen�\eqref{Kt} do \eqref{Pt+1} po ��ostaneme
 \begin{equation}
 \label{Pt+12}
@@ -89 +169 @@
 \end{equation}
 
-\section{P�py k du�� ��
-nektere mozne pristupy, jak odhaduji suboptimalni $u_t$
-\subsection{Certainty equivalecnce control}
-\subsection{Metoda separace}
-\subsection{SIDP}
+Tato odhadovac�rocedura se naz�lman�ltr.

applications/dual/SIDP/text/ch3.tex

@@ -1 @@
-\section{Popis syst�}
-\section{Transformace syst�}
-\section{Srovn� jednotliv��up�
+A�liv pou�it�ynamick� programov� p����ok v ��lohy du�� ��analytick�e�en�bvykle nen�o�n��at. V ka�d��ov�kroku se toti� pot�se dv� obecn�bt��obl�my: 1) v� st� hodnoty a 2) minimalizace vzhledem k $u_t$. Oba probl� obecn�emaj�nalytick�e�en� bez dal��pecifikace � je proto t�p� k aproxima�m metod�
+
+V t� kapitole p��me popis n�lika mo�n��up�proximativn� ��lohy du�� ��P�e� �e �u du�� ��je nalezen��c�trategie $\pi=\mu_{0:N-1}$, kter�y minimalizovala o��nou ztr�
+\begin{equation}
+\label{ilos}
+J_\pi=\E_{y_0,w_{0:N-1}}\left\{g_N(y_N)+\sum_{t=0}^{N-1}g_t(y_t,\mu_t(I_t),w_t)\right\},
+\end{equation}
+za podm�k
+\begin{gather}
+\label{the2}
+\theta_{t+1}=h_t(\theta_t,I_t,y_{t+1},u_t),\\
+\label{poz3}
+y_0=h_0(\theta_0,v_0),\qquad y_{t+1}=h_t(\theta_t, I_t,u_t,v_{t+1}), \qquad t=0,\ldots,N-1,
+\end{gather}
+
+\section{Certainty equivalecnce control}
+\section{Metoda separace}
+\section{SIDP} 

applications/dual/SIDP/text/uvod.tex

@@ -1 @@
-V technick�raxi, stejn�ako b���ivot�jsme nuceni d�t rozhodnut�A� u� se jedn� ��� linky �hled� opti�� spojen�ezi dv� m�y, na�e rozhodnut�ych�j�e znalost�kter� sv� m�. Chceme-li �it �n�ozhodnut�je t�vy� dv�lohy: 1) ��kt co nejl� poznat a 2) dos�ut c�, kter� si vyty�i. Tyto dva � jsou v�ak v�inou v rozporu: syst�se nejl� pozn�kdy� se nechov�odle na�ich po�adavk�re��sv� nav�existuj��dn�evy, poruchy a nep�v�n�ituace, kter�ednotn�az�neur�ost�Tato skute�st zp�je, �e na�e znalost syst� nebude nikdy dokonal�
+V technick�raxi, stejn�ako b���ivot�jsme nuceni d�t rozhodnut�A� u� se jedn� ��� linky �hled� optim�� spojen�ezi dv� m�y, na�e rozhodnut�ych�j�e znalost�kter� sv� m�. Chceme-li �it �n�ozhodnut�je t�vy� dv�lohy: 1) ��kt co nejl� poznat a 2) dos�out c�, kter� si vyty�i. Tyto dva � jsou v�ak v�inou v rozporu: syst�se nejl� pozn�kdy� se nechov�odle na�ich po�adavk�re��sv� nav�existuj��dn�evy, poruchy a nep�dan�ituace, kter�ednotn�az�neur�ost�Tato skute�st zp�je, �e na�e znalost syst� nen�ikdy dokonal�
 
-Za �m ��yst�, kter�sou bu�atolik slo�it��e jejich deterministick�s je nemo�n�o obsahuj�ch n�dn�rvky ji� ze sv�odstaty, vzniklo stochastick��n�nebo-li optim���n�a neur�osti. C�m stochastick� ��e minimalizovat velikost  odchylek syst� od po�adovan� stavu optimalizac��c� z�h�
-Jeden z p�p�e�en�ohoto prob� je dynamick�rogramov�, kter�avrhl americk�matik Richard Bellman[]. Jedn�e o metodu, kter� vyu�it�zp�� chodu minimalizuje hodnotu o��n�t�v�unkce. Tento p�p m�nalytick�e�en�ouze v p��nalosti v�ech parametr�t�. V �edes�ch letech 20. stolet�avrhl Alexander Aronovich Feldbaum ��ou�it�takzvan� du�� ��Hlavn�y�lenkou tohoto p�pu bylo, �e ��us�ejen minimalizovat aktu��tr�, ale rovn�mus��at o syst� co nejv� informac�ro minimalizaci budouc� ztr�
+Za �m ��yst�, kter�sou bu�atolik slo�it��e jejich deterministick�s je nemo�n�o obsahuj��dn�rvky ji� ze sv�odstaty, vzniklo stochastick��n�nebo-li optim���n�a neur�osti. C�m stochastick� ��e minimalizovat velikost  odchylek syst� od po�adovan� stavu optimalizac��c� z�h�
+Jeden z p�p�e�en�ohoto prob� je dynamick�rogramov�, kter�avrhl americk�matik Richard Bellman[]. Jedn�e o metodu, kter� vyu�it�zp�� chodu minimalizuje hodnotu o��n�t�v�unkce. 
+
+Tento p�p m�nalytick�e�en�ouze v p��nalosti v�ech parametr�t�, co� je v�inou nemo�n�V �edes�ch letech 20. stolet�avrhl Alexander Aronovich Feldbaum ��ou�it�takzvan� du�� ��Hlavn�y�lenkou tohoto p�pu bylo, �e ��us�ejen minimalizovat aktu��tr�, ale rovn�mus��at o syst� co nejv� informac�ro minimalizaci budouc� ztr�
 
 P�aplikace tohoto postupu je v�ak bohu�el i u pom��ednoduch�a� komplikov� slo�itost��.  K ��lohy je proto vhodn�o��aproxima�ch metod.
@@ -11 +13 @@
 \item
 Formulace � stochastick� ��\item
-��en�lohy stochastick� ��omoc�u�� ��\item
+��en�lohy stochastick� �� aditivn�tr�uvou funkc�omoc�u�� ��\item
+Formulace � stochastick� ��a ne�ch informac� jej��en�a � s �mi znalostmi syst�
+\item
 P�aven��er�roxima�ch p�p�u�� ��zejm� pak stochastick� iterativn� dynamick� programov�
 \item