#LyX 1.6.7 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 345
\begin_document
\begin_header
\textclass scrreprt
\begin_preamble
\usepackage[czech]{babel}
\end_preamble
\use_default_options true
\language czech
\inputencoding auto
\font_roman default
\font_sans default
\font_typewriter default
\font_default_family default
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100
\font_tt_scale 100
\graphics default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_amsmath 1
\use_esint 1
\cite_engine basic
\use_bibtopic false
\paperorientation portrait
\secnumdepth 2
\tocdepth 2
\paragraph_separation indent
\defskip medskip
\quotes_language german
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\author ""
\author ""
\end_header
\begin_body
\begin_layout Standard
\align left
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\backslash
thispagestyle{empty}
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\align center
\size large
České vysoké učení technické v Praze
\end_layout
\begin_layout Standard
\align center
\size large
Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\align center
Katedra matematiky
\end_layout
\begin_layout Standard
\align center
Obor: Inženýrská informatika
\end_layout
\begin_layout Standard
\align center
Zaměření: Softwarové inženýrství a matematická informatika
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Graphics
filename /home/michal/Dokumenty/Bakalarka/moje/komplet/logo_cvut.eps
lyxscale 20
scale 20
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\align center
\size larger
\color black
Metody duálního řízení elektrických pohonů
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace smallskip
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\align center
\size larger
\color black
Dual control methods for electrical drives
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\align center
\size largest
\color black
VÝZKUMNÝ ÚKOL
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace vfill
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\align center
Vypracoval: Michal Vahala
\end_layout
\begin_layout Standard
\align center
Vedoucí práce: Ing.
Václav Šmídl, Ph.D.
\end_layout
\begin_layout Standard
\align center
Rok: 2011
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\backslash
thispagestyle{empty}~
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace vfill
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection*
Prohlášení
\end_layout
\begin_layout Standard
Prohlašuji, že jsem výzkumný úkol vypracoval samostatně a použil jsem pouze
podklady uvedené v přiloženém seznamu.
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\noindent
\align left
V Praze dne \SpecialChar \ldots{}
\SpecialChar \ldots{}
\SpecialChar \ldots{}
\SpecialChar \ldots{}
\SpecialChar \ldots{}
\begin_inset space \hfill{}
\end_inset
\SpecialChar \ldots{}
\SpecialChar \ldots{}
\SpecialChar \ldots{}
\SpecialChar \ldots{}
\SpecialChar \ldots{}
\SpecialChar \ldots{}
\end_layout
\begin_layout Standard
\noindent
\align block
\begin_inset space \hfill{}
\end_inset
Michal Vahala
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
~~
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\backslash
thispagestyle{empty}~
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace vfill
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection*
Poděkování
\end_layout
\begin_layout Standard
Především bych chtěl poděkovat
\begin_inset VSpace defskip
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset space \hfill{}
\end_inset
Michal Vahala
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\backslash
thispagestyle{empty}
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Description
\emph on
Název
\begin_inset space \space{}
\end_inset
práce:
\emph default
\color black
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
~
\end_layout
\end_inset
\begin_inset Newline newline
\end_inset
Metody duálního řízení elektrických pohonů
\end_layout
\begin_layout Description
\begin_inset VSpace defskip
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Description
\emph on
Autor:
\emph default
Michal Vahala
\end_layout
\begin_layout Description
\emph on
Obor:
\emph default
Inženýrská informatika
\end_layout
\begin_layout Description
\emph on
Druh
\begin_inset space \space{}
\end_inset
práce:
\emph default
Výzkumný úkol
\end_layout
\begin_layout Description
\emph on
Vedoucí
\begin_inset space \space{}
\end_inset
práce:
\emph default
Ing.
Václav Šmídl, Ph.D.
\end_layout
\begin_layout Description
\emph on
Abstrakt:
\emph default
\end_layout
\begin_layout Description
\emph on
Klíčová
\begin_inset space \space{}
\end_inset
slova:
\emph default
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset VSpace bigskip
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Description
\emph on
Title:
\emph default
\color black
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
~
\end_layout
\end_inset
\begin_inset Newline newline
\end_inset
Dual control methods for eletrical drives
\end_layout
\begin_layout Description
\begin_inset VSpace defskip
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Description
\emph on
Author:
\emph default
Michal Vahala
\end_layout
\begin_layout Description
\emph on
Abstract:
\emph default
\end_layout
\begin_layout Description
\emph on
Key
\begin_inset space \space{}
\end_inset
words:
\emph default
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\backslash
thispagestyle{empty}
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset toc
LatexCommand tableofcontents
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
\backslash
thispagestyle{empty}
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Chapter*
Seznam použitého označení a zkratek
\end_layout
\begin_layout Subsubsection*
Zkratky
\end_layout
\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\emph on
PMSM
\emph default
synchronní stroj s permanentními magnety (
\emph on
Permanent Magnet Synchronous Machine
\emph default
)
\end_layout
\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\emph on
SMPMSM
\emph default
PMSM s magnety na povrchu rotoru (
\emph on
Surface Mounted PMSM
\emph default
)
\end_layout
\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\emph on
IPMSM
\emph default
PMSM s magnety uvnitř rotoru (
\emph on
Inner PMSM
\emph default
)
\end_layout
\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\emph on
LQG
\emph default
lineárně kvadraticky gaussovské řízení (
\emph on
Linear-Quadratic-Gaussian
\emph default
)
\end_layout
\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\emph on
PI
\emph default
proporcionálně integrační regulátor
\end_layout
\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\emph on
EKF
\emph default
rozšířený Kalmanův filtr (
\emph on
Extended Kalman Filter
\emph default
)
\end_layout
\begin_layout Subsubsection*
Označení
\end_layout
\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $\hat{a}$
\end_inset
značí odhad veličiny
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $j$
\end_inset
komplexní jednotka
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Addchap
Úvod
\end_layout
\begin_layout Standard
Hlavní náplní této práce je řízení elektrických pohonů, konkrétně synchronního
motoru s permanentními magnety (v textu bude označován zkratkou PMSM z
anglického
\emph on
Permanent Magnet Synchronous Machine
\emph default
).
Jedná se o synchronní stroj, tedy rotor se otáčí současně (synchronně)
s točivým magnetickým polem statoru.
Na rotoru má ale místo budícího vinutí permanentní magnety.
Tato konstrukce nachází v poslední době stále větší uplatnění.
Je tomu tak především z důvodu snadnější dostupnosti kvalitních permanentních
magnetů, ale také díky možnosti využít stále výkonější polovodičová zařízení
pro řízení a napájení těchto strojů.
\end_layout
\begin_layout Standard
Jak se ale ukazuje, řízení takovýchto strojů, zjeména pokud se jedná o takzvaný
bezsenzorový návrh je netriviální.
Je tedy třeba hledat vhodné řídící algoritmy, které zvládnou motor efektivně
řídit i v bezsenzorovém případě a umožní širší nasazení PMSM v praxi.
\end_layout
\begin_layout Standard
V tomto textu je nejdříve stručně popsán samotný PMSM, následuje odvození
rovnic popisující tento stroj v nejčastěji používaných souřadných soustavách.
Dále je formulována problematika estimace a určovaní stavových veličin,
kdy je kladen důraz na bezsenzorový případ.
Následuje popis nejčastěji použavaných řídících technik, které jsou současně
dostatečně jednoduché, aby mohly být teoreticky nasazeny i pro případ řízení
v reálném čase.
Zvláštní pozornost je věnována řízení označovanému jako LQG.
\end_layout
\begin_layout Standard
Dále se text věnuje duálnímu řízení, které se zdá být vhodným kandidátem
na zvládnutí úlohy řízení PMSM.
Protože je však problém duálního řízení obecně velmi složitá úloha, zaměříme
se na jeho nejjednodušší případy, které by mohly být nasazeny i v reálném
čase.
\end_layout
\begin_layout Standard
Na závěr jsou prezentovány výsledky simulací a jsou navrženy směry a metody,
které by mohly vést k úspěšnému řešení problému.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
Poznámka
\end_layout
\begin_layout Standard
V celém textu bude
\begin_inset Formula $j$
\end_inset
označovat komplexní jednotku
\begin_inset Formula $j=\sqrt{-1}$
\end_inset
.
Označení
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
bude obvykle značit elektrický proud, komplexní jednotku však nikdy.
\end_layout
\begin_layout Chapter
Popis PMSM
\end_layout
\begin_layout Section
Vlastnosti
\end_layout
\begin_layout Subsection
Permanentní magnety
\end_layout
\begin_layout Standard
Jak již bylo řečeno pro PMSM mají velký význam kvalitní permanentní magnety.
Podle
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "cdern2010,novak2006"
\end_inset
jsou magnety vhodné pro PMSM vyráběny ze speciálních slitin nejčastěji
na bázi prvků
\begin_inset Formula $Sm-Co$
\end_inset
nebo
\begin_inset Formula $Nd-Fe-B$
\end_inset
.
Oproti klasickým feritovým magnetům se vyznačují velkou magnetickou indukcí
okolo
\begin_inset Formula $1T$
\end_inset
oproti přibližne
\begin_inset Formula $0,3T$
\end_inset
u feritových magnetů.
\end_layout
\begin_layout Standard
Nevýhodou nejen těchto, ale permanentních magnetů obecně je změna jejich
magnetických vlastností s teplotou.
Jedná se především o hranici označovanou jako
\emph on
Courieův bod
\emph default
, kdy materiál přechází z feromagnetického stavu do paramagnetického a s
tím je spojen výrazný pokles magnetizmu.
Tato hodnota závisí na použítém materiálu a pohybuje se přibližně v rozmezí
\begin_inset Formula $200-1000^{\circ}C$
\end_inset
.
Z toho vyplývá, že je nutné udržovat motor na vhodné provozní teplotě a
tedy zajistit odpovídající chlazení.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Výhody a nevýhody PMSM
\end_layout
\begin_layout Standard
Následující část popisující výhody a nevýhody čerpá především ze zdrojů
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "cdern2010,novak2006"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Výhody
\end_layout
\begin_layout Standard
Proč se PMSM využívají a jaké mají výhody oproti jiným motorům.
Uveďme především:
\end_layout
\begin_layout Itemize
rotor neobsahuje vinutí a tedy
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Itemize
je možno jej konstruovat menší, což je velmi výhodné v aplikacích, kde záleží
na co nejmenší velikosti pohonu, příkladem mohou být dopravní prostředky,
kde lze ušetřené místo využít například pro cestující (nízkopodlažní tramvaj)
\end_layout
\begin_layout Itemize
je možno jej konstruovat lehčí, což snižuje hmotnost celého zařízení
\end_layout
\begin_layout Itemize
má menší moment setrvačnosti rotoru
\end_layout
\begin_layout Itemize
není třeba
\emph on
\emph default
složitě přivádět
\emph on
\emph default
napájení
\emph on
\emph default
na rotor
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Itemize
není třeba motor před rozběhem budit a nepotřebuje zdroj budícího proudu
\end_layout
\begin_layout Itemize
odpadá problém s přívodem proudu do buzení rotoru
\end_layout
\begin_layout Itemize
vyšší účinnost -- nejsou jouleovy ztráty v rotoru (oproti asynchronnímu
stroji) popřipadě v buzení (oproti synchronnímu stroji s buzením)
\end_layout
\begin_layout Itemize
momentová přetížitelnost
\end_layout
\begin_layout Itemize
možnost konstrukce pomaluběžného stroje s dostatečným výkonem, který nepotřebuje
převedovku (výhody spojené s absencí převodovky)
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Nevýhody
\end_layout
\begin_layout Standard
Na druhou stranu toto řešení motoru má i své nevýhody, jedná se zejména
o:
\end_layout
\begin_layout Itemize
technologicky složitější výroba -- připevnění permanentních magnetů na rotor
(nejčastěji lepení)
\end_layout
\begin_layout Itemize
složitější opravy
\end_layout
\begin_layout Itemize
vyšší cena (nezanetbatelné náklady na permanentní magnety)
\end_layout
\begin_layout Itemize
menší robustnost
\end_layout
\begin_layout Itemize
problematické odbuzování
\end_layout
\begin_layout Itemize
nutnost dobrého chlazení -- závislot magnetických vlastností permanentních
magnetů na teplotě
\end_layout
\begin_layout Itemize
problematika spojená s návrhem řízení těchto strojů (bude detailněji rozebrána
níže)
\end_layout
\begin_layout Section
Konstrukce
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename pmsm_spec.eps
scale 35
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename pmsm_simple.eps
scale 60
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\emph on
Ilustrativní obrázek konstrukce PMSM
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\emph on
Zjednodušený model PMSM
\end_layout
\end_inset
|
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
Konstrukce a model PMSM
\end_layout
\end_inset
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:obr1_ilupmsm"
\end_inset
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:obr2_simplepmsm"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Základní konstrukce PMSM je na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:obr1_ilupmsm"
\end_inset
.
Nákres je pouze ilustrativní, ale zobrazuje hlavní části PMSM: Vnější kruh
představuje stator.
Na něm jsou zuby, na kterých je navinuto statorové vinutí (v obrázku není
zobrazeno).
Vnitřní kruh je rotor, na jehož povrchu jsou umístěny právě permanentní
magnety.
U těchto magnetů je barevně rozlišen severní a jižní pól.
\end_layout
\begin_layout Standard
Často se lze setkat i s opačnou konstrukcí, kdy je stator umístěn uvnitř
a rotor s magnety se otáčí kolem něj.
Tato konstrukce PMSM se využívá například k pohonu nejrůznějších vozidel,
kdy je motor umístěn přímo v kole vozidla, nebo k pohonu bubnu automatické
pračky.
Existují i další konstrukce PMSM.
Zajímavou je například verze, která má otočný stator i rotor a toto zařízení
pak může sloužit jako dělič výkonu.
\end_layout
\begin_layout Standard
Vyobrazená konstrukce je někdy také označováná jako SMPMSM (
\emph on
Surface Mounted PMSM
\emph default
), tedy PMSM s magnety na povrchu.
Další častou konstrukcí je IPMSM (
\emph on
Inner PMSM
\emph default
), kde jsou permanentní magnety umístěny uvnitř rotoru.
Tyto verze mají nepatrně odlišné vlastnosti, které ale mají významný vliv
při návrhu řízení těchto strojů.
Pod PMSM se ještě zahrnují reluktanční motory, které jsou založeny na poněkud
odlišném principu a dále se jimi vůbec zabývat nebudeme.
\end_layout
\begin_layout Standard
Pro představu a odvození základních rovnic však nepotřebujeme pracovat s
příliš složitou konstrukcí a vystačíme si se zjednodušeným modelem, který
je zobrazen na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:obr2_simplepmsm"
\end_inset
.
Na statoru jsou zde umístěny pouze tři cívky, které představují vinutí
jednotlivých fází.
Rotor je pak reprezentován jediným permanentním magnetem.
Pro základní představu je tento model dostačující, dále ale bude třeba
rozšířit model o více párů pólů.
PMSM na nákresu (zjednodušený model) má 1 pár pólů, ale reálné motory jich
mívají obvykle více.
\end_layout
\begin_layout Section
Souřadné soustavy
\end_layout
\begin_layout Standard
Pro popis a následné odvození rovnic se standartně používá několik souřadných
systémů.
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename pmsm_simple_abc.eps
scale 35
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename pmsm_simple_albe.eps
scale 35
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename pmsm_simple_dq.eps
scale 35
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\emph on
Souřadný systém
\begin_inset Formula $a-b-c$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\emph on
Souřadný systém
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset
-
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\emph on
Souřadný systém
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
Souřadné systémy
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:obr3_ssabc"
\end_inset
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:obr4_ssalbe"
\end_inset
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:obr5_ssdq"
\end_inset
\end_layout
\end_inset
Prvním z nich je souřadný systém
\emph on
\begin_inset Formula $a-b-c$
\end_inset
\emph default
znázorněný na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:obr3_ssabc"
\end_inset
.
Jednotlivé osy tohoto souřadného systému (
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $b$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $c$
\end_inset
) jsou směřují ve směru os vinutí jednotlivých fází a jsou tedy vzájemně
pootočeny o
\begin_inset Formula $120^{\circ}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Protože ale k popsaní polohy v rovině jsou tři souřadnice (v osách
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $b$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $c$
\end_inset
) zbytečné a jedna z nich je vždy závislá, přecházíme k souřadnému systému
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset
-
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset
, který je znázorněn na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:obr4_ssalbe"
\end_inset
.
Osa
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset
se totožná s osou
\emph on
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
\emph default
ze souřadného systému
\emph on
\begin_inset Formula $a-b-c$
\end_inset
\emph default
, osa
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset
ja na ní pak kolmá.
Osy
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset
-
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset
tedy tvoří ortogonální systém.
\end_layout
\begin_layout Standard
Pro většinu aplikací se však ukazuje výhodným přejít do rotující soustavy
\emph on
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
\emph default
, která je svázána s rotorem.
Její vyobrazení je na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:obr5_ssdq"
\end_inset
.
Opět se jedná o ortogonální systém, kdy osu
\emph on
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
\emph default
orientujeme ve směru osy permanentního magnetu směřující k jeho severnímu
pólu.
Osa
\emph on
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
\emph default
je pak na ní kolmá.
\end_layout
\begin_layout Section
Transformace souřadnic
\end_layout
\begin_layout Standard
Mezi výše zmíněnými souřadnými soustavami platí následující převodní vztahy.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Transformace
\begin_inset Formula $a-b-c\longleftrightarrow\alpha-\beta$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Tato transformace se označuje také jako Clarkova transformace, rovnice lze
nalézt například v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "fiser2006"
\end_inset
, nebo je možné je poměrně snadno odvodit.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Převod
\begin_inset Formula $a-b-c\rightarrow\alpha-\beta$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Osa
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset
je totožná s osou
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
osy
\begin_inset Formula $b$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $c$
\end_inset
jsou pak oproti ní otočeny o
\begin_inset Formula $120^{\circ}$
\end_inset
respektive
\begin_inset Formula $-120^{\circ}$
\end_inset
.
Tedy souřadnice v ose
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset
získáme následujícím průmětem z os
\begin_inset Formula $a,\: b,\: c$
\end_inset
:
\begin_inset Formula \[
\alpha=k\left(a+b\cdot\cos(120^{\circ})+c\cdot\cos(-120^{\circ})\right)=k\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right),\]
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $k$
\end_inset
značí konstantu
\begin_inset Formula $k=\frac{2}{3}$
\end_inset
.
Obdobně postupujeme v případě osy
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset
.
Osa
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
je na ní kolmá a tedy její příspěvek je nulový.
Osy
\begin_inset Formula $b$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $c$
\end_inset
promítnutne do osy
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset
získáme vztah:
\begin_inset Formula \[
\beta=k\left(b\cdot\sin(120^{\circ})+c\cdot\sin(-120^{\circ})\right)=k\left(\frac{\sqrt{3}}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}c\right).\]
\end_inset
Celkem tedy máme rovnice:
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\alpha & = & \frac{2}{3}\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right),\\
\beta & = & \frac{\sqrt{3}}{3}\left(b-c\right).\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Převod
\begin_inset Formula $\alpha-\beta\rightarrow a-b-c$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Pro inverzní transformaci platí následující vztahy:
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
a & = & \alpha+\theta,\\
b & = & \left(-\frac{1}{2}\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta,\\
c & \text{=} & \left(-\frac{1}{2}\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta,\end{eqnarray*}
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
představuje takzvanou nulovou složku
\begin_inset Formula $\theta=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Transformace
\begin_inset Formula $\alpha-\beta\longleftrightarrow d-q$
\end_inset
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Transformace_albe_dq"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Transformace je označována jako Parkova transformace a představuje přechod
do rotujícího souřadného systému.
Rovnice transformace lze najít opět například v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "fiser2006"
\end_inset
nebo je možné je opět odvodit.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Převod
\begin_inset Formula $\alpha-\beta\rightarrow d-q$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Předpokládáme otočení doustavy
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
oproti
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
o úhel
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset
kolem společného počátku souřadných soustav a tedy:
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
d & = & \alpha\cos\phi+\beta\sin\phi,\\
q & = & -\alpha\sin\phi+\beta\cos\phi.\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Převod
\begin_inset Formula $d-q\rightarrow\alpha-\beta$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Inverzní transformaci provedeme pouze otočením na druhou stranu:
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\alpha & = & d\cos\phi-q\sin\phi,\\
\beta & = & d\sin\phi+q\cos\phi.\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Section
Odvození rovnic
\end_layout
\begin_layout Subsection
Odvození rovnic v
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
soustavě
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Odvození-rovnic-vdq"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Rovnice v
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
soustavě lze odvodit buď přímo nebo transformací rovnic z jiné soustavy.
Přímé odvození bude uvedeno počínaje následujícím odstavcem, transformace
z jiné soustavy (konkrétně
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
) bude pro srovnání a kontrolu uvedeno dále v textu.
\end_layout
\begin_layout Standard
Rovnici pro napětí v obvodu statoru synchroního stroje lze zapsat jako
\begin_inset Formula \[
u_{s}=R_{s}i_{s}+u_{i},\]
\end_inset
tedy součet napětí v obvodu (Ohmův zákon) a indukovaného napětí, přičemž
veličiny jsou uvažovány komplexní.
Vyjáříme-li indukované napětí, jako změnu toku v čase (Faradayův zákon
elektromagnetické indukce) přejde rovnice na tvar
\begin_inset Formula \[
u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}.\]
\end_inset
Pro přechod do rotujícího souřadného systému předpokládáme obecně rotaci
o úhel
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset
, kterou provedeme vynásobením všech veličin operátorem rotace v komplexních
číslech
\begin_inset Formula $e^{j\varepsilon}$
\end_inset
, kde
\begin_inset Formula $j$
\end_inset
značí komplexní jednotku.
Tedy
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{s}e^{j\varepsilon} & = & R_{s}i_{s}e^{j\varepsilon}+\frac{d(\psi_{s}e^{j\varepsilon})}{dt},\\
u_{s}e^{j\varepsilon} & \text{=} & R_{s}i_{s}e^{j\varepsilon}+\frac{d\psi_{s}}{dt}e^{j\varepsilon}+\psi_{s}j\omega_{\varepsilon}e^{j\varepsilon},\\
u_{s} & \text{=} & R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}+\psi_{s}j\omega_{\varepsilon},\end{eqnarray*}
\end_inset
kde symbol
\begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}$
\end_inset
označuje úhlovou rychlost -- změnu úhlu
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset
, jedná se tedy o derivaci
\begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}=\frac{d\varepsilon}{dt}$
\end_inset
.
Tato úhlová rychlost
\begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}$
\end_inset
odpovídá elektrickým otáčkám
\begin_inset Formula $\omega_{el}$
\end_inset
a lze ji přepočíst na mechanické otáčky pomocí vztahu
\begin_inset Formula $\omega_{el}=p_{p}\omega_{m},$
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $p_{p}$
\end_inset
je počet párů polů rotoru a
\begin_inset Formula $\omega_{m}$
\end_inset
mechanické otáčky.
Když předpokládáme počet párů polů roven 1, je
\begin_inset Formula $\omega_{e}=\omega_{m}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Nyní můžeme přejít k rovnicím v souřadném systému
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
, který je natočen oproti souřadnému systému statoru (
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
) o úhel
\begin_inset Formula $\varepsilon=\vartheta$
\end_inset
a otáčí se rychlostí
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
.
Osa magnetického toku rotoru je osou
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
a v tomto směru uvažujeme reálnou složku komplexních veličin, osa
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
je pak na ní kolmá a bude reprezentovat složku imaginární.
Dostáváme tedy
\begin_inset Formula \[
u_{d}+ju_{q}\text{=}R_{s}\left(i_{d}+ji_{q}\right)+\frac{d\left(\psi_{d}+j\psi_{q}\right)}{dt}+\left(\psi_{d}+j\psi_{q}\right)j\omega_{m},\]
\end_inset
což při rozepsání po složkách (reálná a imaginární) vede na rovnice
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{d} & = & R_{s}i_{d}+\frac{d\psi_{d}}{dt}-\omega_{m}\psi_{q},\\
u_{q} & = & R_{s}i_{q}+\frac{d\psi_{q}}{dt}+\omega_{m}\psi_{d}.\end{eqnarray*}
\end_inset
Dále uvažujme vztahy pro magnetické toky
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\psi_{d} & = & L_{d}i_{d}+\psi_{pm},\\
\psi_{q} & = & L_{q}i_{q}.\end{eqnarray*}
\end_inset
Po dosazení získáme rovnice
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{d}\frac{di_{d}}{dt}-\omega_{m}L_{q}i_{q},\\
u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{q}\frac{di_{q}}{dt}+\omega_{m}L_{d}i_{d}+\omega_{m}\psi_{pm}.\end{eqnarray*}
\end_inset
Vydělením
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset
respektive
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset
získáme
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "rovnice_i_dq_ruzneL"
\end_inset
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{d}}i_{d}+\frac{L_{q}}{L_{d}}\omega_{m}i_{q}+\frac{1}{L_{d}}u_{d},\\
\frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{q}}-\frac{\psi_{pm}}{L_{q}}\omega_{m}-\frac{L_{d}}{L_{q}}\omega_{m}i_{d}+\frac{1}{L_{q}}u_{q}.\end{eqnarray*}
\end_inset
Když ale položíme
\begin_inset Formula $L_{d}=L_{q}=L_{s}$
\end_inset
dostaneme rovnice
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{s}\frac{di_{d}}{dt}-\omega_{m}L_{s}i_{q},\\
u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{s}\frac{di_{q}}{dt}+\omega_{m}L_{s}i_{d}+\omega_{m}\psi_{pm}.\end{eqnarray*}
\end_inset
Vydělení
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset
pak vede na tvar
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}+\omega_{m}i_{q}+\frac{u_{d}}{L_{s}},\\
\frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{m}-\omega_{m}i_{d}+\frac{u_{q}}{L_{s}}.\end{eqnarray*}
\end_inset
Toto vyjádření je shodné s tím, které dostaneme následně transformací z
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
souřadné soustavy.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Odvození rovnic v
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
soustavě
\end_layout
\begin_layout Standard
I když se pro řízení ukazuje být lepší a v praxi více využíváné vyjádření
v soustave
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
, rovnice v
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
jsou také důležité, protože představují přímý vztah mezi měřenými a řízenými
veličinami.
Mohou být využity například při návrhu rozšířeného Kalmanova filtru.
\end_layout
\begin_layout Standard
Opět vyjdeme z rovnice
\begin_inset Formula \[
u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}.\]
\end_inset
Magnetický tok
\begin_inset Formula $\psi_{s}$
\end_inset
vyjádříme jako tok vytvořený cívkami statoru a dále přičteme tok permanentních
magnetů, je však třeba uvažovat, že rotor obsahující permanentní magnety
je natočen obecně pod úhlem
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
.
Tedy v komplexní rovině lze vyjádřit tok jako
\begin_inset Formula \[
\psi_{s}=L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}.\]
\end_inset
Dosadíme nyní do rovnice a rozepíšeme ji po složkách
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{s} & = & R_{s}i_{s}+\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt},\\
u_{\alpha}+ju_{\beta} & \text{=} & R_{s}\left(i_{\alpha}+ji_{\beta}\right)+\frac{d}{dt}\left(L_{s}\left(i_{\alpha}+ji_{\beta}\right)+\psi_{pm}\left(\cos\vartheta+j\sin\vartheta\right)\right).\end{eqnarray*}
\end_inset
Rozepsaní na dvě rovnice je pak následující
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{\alpha} & \text{=} & R_{s}i_{\alpha}+L_{s}\frac{di_{\alpha}}{dt}-\frac{d\vartheta}{dt}\psi_{pm}\sin\vartheta,\\
u_{\beta} & = & R_{s}i_{\beta}+L_{s}\frac{di_{\beta}}{dt}+\frac{d\vartheta}{dt}\psi_{pm}\cos\vartheta.\end{eqnarray*}
\end_inset
Rovnice vydělíme indukčností
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset
, vyjádříme z nich derivace proudů a derivace úhlu natočení
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
označíme jako úhlovou rychlost
\begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}$
\end_inset
=
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
.
Následně dostaneme rovnice v souřadné soustavě
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
:
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}},\\
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}}.\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Nyní je ještě třeba přidat další dvě diferenciální rovnice pro otáčky
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
a polohu
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
.
Rovnice pro
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
je triviální a už byla užita, jedná se o
\begin_inset Formula \[
\frac{d\vartheta}{dt}=\omega.\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Rovnice pro
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Rovnice pro
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
získáme následujícím postupem ze základních zákonů mechaniky: Pro točivý
moment (speciální případ momentu síly pro silovou dvojici, kdy se vektory
skládají na nulu, avšak mají točivý účinek, v anglické literatuře označeno
jako
\emph on
torque
\emph default
)
\emph on
\emph default
platí obecně vztah
\begin_inset Formula \[
\tau=\frac{dL}{dt},\]
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $L$
\end_inset
označuje moment hybnosti (
\emph on
angular momentum
\emph default
).
Při uvažování působení více točivých momentu momentů pak
\begin_inset Formula \[
\tau_{1}+\ldots+\tau_{n}=\sum\tau=\frac{dL}{dt}.\]
\end_inset
Uvažujeme-li rotaci kolem pevné osy, lze moment hybnosti vyjádřit jako
\begin_inset Formula \[
L=J\omega_{m},\]
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
označuje moment setrvačnosti (
\emph on
moment of inertia
\emph default
) a
\begin_inset Formula $\omega_{m}$
\end_inset
je mechanická úhlová rychlost.
Po dosazení tedy
\begin_inset Formula \[
\sum\tau=\frac{dL}{dt}=\frac{d(J\omega_{m})}{dt}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.\]
\end_inset
Točivé momenty
\begin_inset Formula $\sum\tau$
\end_inset
jsou:
\end_layout
\begin_layout Itemize
moment získaný konverzním procesem elektrické energie, který vyjadřuje hlavní
vlastnost točivého stroje, a to právě převod elektrické energie na mechanickou,
tento mement označíme jako
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Itemize
zátěžný moment reprezentující zatížení stroje, tedy v podstatě to, co je
motorem poháněno, je však třeba uvažovat, že působí v opačném směru a stroj
brzdí, označíme ho tedy
\begin_inset Formula $-T_{L}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Itemize
dále je ještě třeba uvažovat ztráty ve stroji v důsledku tření, tento moment
opět působí v opačném směru a uvažujeme jej lineárně závislý na otáčkách
\begin_inset Formula $\omega_{m}$
\end_inset
, tedy
\begin_inset Formula $-B\omega_{m}$
\end_inset
, kde
\begin_inset Formula $B$
\end_inset
je koeficient viskozity (tření)
\end_layout
\begin_layout Standard
Rovnice po dosazení tedy přejde na tvar
\begin_inset Formula \[
T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.\]
\end_inset
Nyní je ještě třeba vyjádřit točívý moment
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset
na základě elektrických veličin.
Toho lze dosáhnout výpočtem přes okamžitý elektrický výkon, pro trojfázový
systém
\begin_inset Formula \[
P=u_{a}i_{a}+u_{b}i_{b}+u_{c}i_{c}.\]
\end_inset
Po transformaci do systému
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
získáme vyjádření
\begin_inset Formula \[
P=k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right),\]
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $k_{p}$
\end_inset
označuje Parkovu konstantu s hodnotou
\begin_inset Formula $k_{p}=\frac{3}{2}$
\end_inset
.
Napětí je zde uvažováno indukované
\begin_inset Formula $u_{i}=\frac{d\psi_{s}}{dt}=\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\omega\psi_{pm}e^{j\vartheta}$
\end_inset
a z něj využijeme pouze složku bez derivace proudu, protože ta slouží k
tvorbě samotného magnetického pole stroje a nepodílí se na tvorbě výkonu,
tedy
\begin_inset Formula $\omega\psi_{pm}j(\cos\vartheta+j\sin\vartheta)$
\end_inset
.
V systému
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset
získáme vyjádření
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{\alpha} & = & -\omega\psi_{pm}\sin\vartheta,\\
u_{\beta} & = & \omega\psi_{pm}\cos\vartheta,\end{eqnarray*}
\end_inset
tedy po dosazení
\begin_inset Formula \[
P=k_{p}\left(-i_{\alpha}\omega\psi_{pm}\sin\vartheta+i_{\beta}\omega\psi_{pm}\cos\vartheta\right).\]
\end_inset
Moment
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset
lze pak určit ze vztahu
\begin_inset Formula $P=\omega_{m}T_{e}$
\end_inset
a tedy
\begin_inset Formula \[
T_{e}=\frac{P}{\omega_{m}}=k_{p}\frac{i_{\beta}\omega\psi_{pm}\cos\vartheta-i_{\alpha}\omega\psi_{pm}\sin\vartheta}{\omega_{m}}=k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right),\]
\end_inset
kde jsme využili vztahu
\begin_inset Formula $\frac{\omega}{\omega_{m}}=p_{p}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Dosazení do rovnice pro momenty pak vede na tvar
\begin_inset Formula \[
k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.\]
\end_inset
Ještě je třeba upravit rovnici tak, aby v ní nevystupovaly mechanické otáčky
\begin_inset Formula $\omega_{m}$
\end_inset
, ale otáčky elektrické
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
.
Toho je možno snadno dosáhnout násobením celé rovnice
\begin_inset Formula $p_{p}$
\end_inset
.
Rovnici ještě vydělíme momentem setrvačnosti
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
a získáme tvar
\begin_inset Formula \[
\frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{T_{L}p_{p}}{J}-\frac{B}{J}\omega.\]
\end_inset
Tedy máme poslední rovnici následující soustavy:
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}},\\
\frac{di_{\beta}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}},\\
\frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L},\\
\frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega.\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsection
Odvození rovnice pro
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
v
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
soustavě pro různé indukčnosti
\end_layout
\begin_layout Standard
Zatím jsme ve většině případů předchozího odvození učinili zjednodušující
předpoklad stejných indukčností
\begin_inset Formula $L_{d}=L_{q}=L_{s}$
\end_inset
.
To relativně dobře platí pro případ SMPMSM.
Pro IPMSM a přesnější model SMPMSM toto však neplatí a
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset
.
Tato vlastnost bude také velmi důležitá při užití estimačních technik označovan
ých jako
\emph on
injektáže
\emph default
(detailněji dále v textu).
Mít tedy k dispozici i rovnice pro různé indukčnosti je velmi žádoucí.
Rovnice pro proudy v
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
souřadnicích s různými indukčnostmi jsou již uvedeny v části
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "rovnice_i_dq_ruzneL"
\end_inset
.
Rovnice pro
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
bude odvozena nyní:
\end_layout
\begin_layout Standard
Opět vyjdeme z analogických vztahů jako při předchozím odvození pro
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
, tedy
\begin_inset Formula \[
T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt},\]
\end_inset
kde vyjádříme
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset
ze vztahu
\begin_inset Formula \[
T_{e}=\frac{P}{\omega_{m}}.\]
\end_inset
Tedy transformujeme následující vyjádření pro výkond z
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
do
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
P & = & k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right),\\
P & = & k_{p}\left(\left(u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta\right)\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right)+\left(u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta\right)\left(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta\right)\right),\\
P & \text{=} & k_{p}\left(u_{d}i_{d}+u_{q}i_{q}\right).\end{eqnarray*}
\end_inset
Opět dosadíme za
\begin_inset Formula $u_{d,q}$
\end_inset
složky indukovaného napětí bez derivace proudů
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
u_{d} & = & -\omega L_{q}i_{q},\\
u_{q} & = & \omega L_{d}i_{d}+\omega\psi_{pm}.\end{eqnarray*}
\end_inset
To vede na
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
P & = & k_{p}\left(-\omega L_{q}i_{q}i_{d}+\left(\omega L_{d}i_{d}+\omega\psi_{pm}\right)i_{q}\right),\\
P & = & k_{p}\omega\left(i_{d}i_{q}\left(L_{d}-L_{q}\right)+\psi_{pm}i_{q}\right).\end{eqnarray*}
\end_inset
A po dosazení získáme vyjádření pro moment
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset
ve tvaru
\begin_inset Formula \[
T_{e}=k_{p}p_{p}\left(i_{d}i_{q}\left(L_{d}-L_{q}\right)+\psi_{pm}i_{q}\right).\]
\end_inset
Rovnice
\begin_inset Formula $T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}$
\end_inset
pak po dosazení
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset
, vydělení
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
a násobení
\begin_inset Formula $p_{p}$
\end_inset
přejde na tvar
\begin_inset Formula \[
\frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}.\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsection
Diskretizace
\end_layout
\begin_layout Standard
Výpočty jsou prováděny výhradně na počítači, simulace na PC a v případě
řízení reálného stroje se obvykle užívá DSP.
Je tedy třeba výše odvozené diferenciální rovnice diskretizovat a převést
na rovnice diferenční.
Diskretizaci je vhodné volit co možná nejjednodušší, aby se příliš nekomplikova
ly výsledné rovnice a aby bylo umožněno jejich případné rychlé zpracování
v reálném čase.
\end_layout
\begin_layout Standard
Diskretizací pomocí Eulerovy metody s časovým krokem
\begin_inset Formula $\Delta t$
\end_inset
získáme následující diskrétní diferenční rovnice:
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
i_{\alpha,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\alpha,t}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{u_{\alpha,t}}{L_{s}}\\
i_{\beta,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\beta,t}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+\frac{u_{\beta,t}}{L_{s}}\\
\omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t\\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsection
Rotace do
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Nyní ještě provedeme rotaci rovnic ze souřadnic
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
do
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
.
Jednak v diferenciálním případě, který bude následovat diskretizace, ale
také v diskrétním případě diferenčních rovnic.
Oba postupy pak budou srovnány.
\end_layout
\begin_layout Standard
Převod do rotující souřadné soustavy
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
pootočené o úhel
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
a rotojící rychlostí
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
:
\begin_inset Formula \[
\left[\begin{array}{c}
x_{d}\\
x_{q}\end{array}\right]\text{=}\left[\begin{array}{cc}
\cos\vartheta & \sin\vartheta\\
-\sin\vartheta & \cos\vartheta\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x_{\alpha}\\
x_{\beta}\end{array}\right],\]
\end_inset
viz
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Transformace_albe_dq"
\end_inset
nebo stejného efektu lze dosáhnout i použítím komplexních souřadnic a zápisem
\begin_inset Formula $x_{dq}=e^{j\vartheta}x_{\alpha\beta}$
\end_inset
, jako v části
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Odvození-rovnic-vdq"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Následně tedy
\begin_inset Formula \begin{alignat*}{2}
i_{d} & = & i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta,\\
i_{q} & = & i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta,\end{alignat*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
a analogicky pro
\begin_inset Formula $u$
\end_inset
.
Naopak pro inverzní transformaci
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{alignat*}{2}
i_{\alpha} & = & i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta,\\
i_{\beta} & = & i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta,\end{alignat*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
a opět anoalogicky pro
\begin_inset Formula $u$
\end_inset
.
To po dosazení do původních diferenciálních rovnic vede na
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{d(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta)}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta)+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta}{L_{s}},\\
\frac{d(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta)}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta)-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta}{L_{s}},\\
\frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{q}\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L},\\
\frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega.\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Ve třetí rovnici rovnou dosadíme
\begin_inset Formula $i_{q}$
\end_inset
, čtvrtá se nemění a z prvních dvou vyjádříme rovnice pro proudy a napětí
v
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
, například tak, že první rovnici násobíme
\begin_inset Formula $\cos\vartheta$
\end_inset
a sečteme s druhou násobenou
\begin_inset Formula $\sin\vartheta$
\end_inset
, dále pak první rovnici násobenou
\begin_inset Formula $-\sin\vartheta$
\end_inset
sečteme s druhou násobenou
\begin_inset Formula $\cos\vartheta$
\end_inset
, tento postup vede na rovnice
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{di_{d}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}-i_{q}\omega+\frac{u_{d}}{L_{s}},\\
\frac{di_{q}}{dt} & \text{=} & i_{d}\omega-\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega+\frac{u_{q}}{L_{s}},\\
\frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q}-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L},\\
\frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega.\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Zde jsou zajímavé členy
\begin_inset Formula $-i_{q}\omega$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $i_{d}\omega$
\end_inset
v první a druhé rovnici, protože když bychom nejdříve provedli diskretizaci
a až následně převod do
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
souřadnic, tyto členy zřejmě nevzniknou.
Nevzniknou také, když soustavu
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
definujeme ne jako pootočenou o
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
, ale jako soustavu pootočenou o nějaké konstantní
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset
.
Z formálního hlediska se jeví jako nejvíce správné řešení zahrnující tyto
členy.
Pro praktické použití ale je vhodné otestovat, jaký je vliv těchto členů.
Diskretizovaná verze rovnic v
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
je tedy
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
i_{d,t+1}+\left|\overline{\underline{\left(-i_{q,t}\omega_{t}\right)}}\right| & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{d,t}+\frac{u_{d,t}}{L_{s}},\\
i_{q,t+1}+\left|\underline{\overline{\left(+i_{d,t}\omega_{t}\right)}}\right| & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{q,t}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{t}+\frac{u_{q,t}}{L_{s}},\\
\omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q,t}-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t,\end{eqnarray*}
\end_inset
kde
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
problematické
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
členy jsou v rámečku.
\end_layout
\begin_layout Section
Problematika modelu
\end_layout
\begin_layout Standard
Dále budeme pracovat zpravidla převážně s rovnicemi odvozenými v předchozí
části a skutečný stroj ustoupí do pozadí.
Je však třeba mít na paměti, že za rovnicemi se skrývá fyzikální realita
a mnoho jevů, které ji doprovází.
Tyto jevy se totiž při aplikaci regulátoru na skutečném stroji projeví.
Jedná se především o následující body:
\end_layout
\begin_layout Itemize
\series bold
nepřesnost modelu
\series default
-- chyby způsobené zanedbáním nejrůznějších fyzikálních vlivů a důsledky
zjednodušujících předpokladů, například závislosti některých veličin na
teplotě, sycení magnetických obvodů, obecně nekonstantní parametry stroje
atd.
\end_layout
\begin_layout Itemize
\series bold
nedokonalosti stroje
\series default
-- žádný stroj nebude vyrobený přesně, aby odpovídal modelu, vyskytnou
se různé nerovnosti, nesymetrie a podobně
\end_layout
\begin_layout Itemize
\series bold
diskretizační a zaokrouhlovací chyby
\series default
-- řízení je navrhováno pro digitální počítač a tedy dříve nebo později
je třeba provést diskretizaci a kvantizaci všech zpracovávaných veličin
\end_layout
\begin_layout Itemize
\series bold
chyby měření
\series default
-- měřící přístroje a čidla, která získávají informace o motoru nejsou
přesná, mají pouze určitou rozlišovací schopnost a také omezenou možnost
předat informaci, zejména pokud se jedná o digitální zařízení
\end_layout
\begin_layout Itemize
\series bold
napájecí zdroj
\series default
-- zařízení, které dodává regulátorem požadované napětí do stroje není
ideální, naopak odpovídá ideálním požadavkům zpravidla velmi špatně, využívá
pulzní šířkové modulace (PWM) a invertoru; tyto zařízení pak přinášejí
množství negativních efektů
\end_layout
\begin_layout Standard
Tyto jevy se velmi těžko popisují a jejich zachycení v modelu přináší mnoho
komplikací.
Většinu z nich ani nedokážeme popsat a předvídat.
Proto se pokusíme co nejvíce z výše zmíněných problémů zahrnout pod pojem
šum.
Vzniká pak ale otázka, jak takový šum vhodně nastavit v modelu, aby alespoň
přibližně odpovídal problematickým jevům.
V rovnicích z předchozí části tedy budeme navíc ještě uvažovat jednoduchý
model šumu a to aditivní bílý Gaussovský šum.
\end_layout
\begin_layout Section
Estimace stavových veličin
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Mechanické veličiny
\end_layout
\begin_layout Standard
Pro řízení PMSM je důležité, že se jedná o synchronní stroj, kdy se rotor
otáčí současně (synchronně) s točivým magnetickým polem vytvořeným cívkami
statoru.
Proto, když chceme navrhnout řízení takového stroje musíme nutně znát polohu
rotoru
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
, a to s relativně velkou přesností.
Dále, protože se v textu zaměřujeme na řízení rychlosti stroje (regulovanou
veličinou jsou otáčky rotoru) potřebujeme znát i hodnotu otáček
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
.
Problematika získání těchto hodnot se však ukazuje být netriviální.
Obecně existuje několik přístupů, které budou detailněji rozebrány dále
v textu.
\end_layout
\begin_layout Paragraph
Poznámka:
\end_layout
\begin_layout Standard
Zmiňované veličiny
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
jsou svázány jdenoduchým diferenciálním vztahem
\begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}=\omega$
\end_inset
.
Při praktickém užití, kdy rovnice diskretizujeme, může být ale výpočet
derivace popřípadě integrálu velmi nepřesný.
Dáváme tedy přednost metodám estimace těchto veličin, které nám poskytují
odhad obou.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Elektrické veličiny
\end_layout
\begin_layout Standard
Co se týče dalších (elektrických) stavových veličin systému, ve výše uvedených
rovnicích vystupují ještě proudy
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
a napětí
\begin_inset Formula $u$
\end_inset
.
Proudy
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
předpokládáme, že měříme, samozřejmě jen s určitou přesností.
Napětí
\begin_inset Formula $u$
\end_inset
pak jsou vstupy, kterými řídíme systém.
Ty navrhujeme a tedy je předpokládáme známé, je však třeba uvést, že řízením
navržená napětí
\begin_inset Formula $u$
\end_inset
nejdou přímo do motoru, ale slouží pouze jako referenční hodnoty pro napájecí
zdroj.
Kontrolu nad napětím na vstupu do motoru tedy nemáme.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Bezsenzorové řízení
\end_layout
\begin_layout Standard
Dále se v textu hovoří o
\emph on
bezsenzorovém řízení
\emph default
.
Pod tímto pojmem je vždy bezvýhradně myšleno řízení, které nevyužívá senzorů
k měření mechanických veličin.
Elektrické veličiny jsou měřeny vždy.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Senzorové metody
\end_layout
\begin_layout Subsubsection*
Senzory
\end_layout
\begin_layout Standard
Nejpřímočařejším přístupem pro určování mechanických veličin je osazení
stroje senzory.
Často se může jednat o pulzní snímače na principu vhodného kódu
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "novak2006"
\end_inset
.
Další možností je využití Hallových senzorů
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PUK1"
\end_inset
.
Využití senzorů přináší obecně mnoho nevýhod.
Přidává do zařízení další části a tím zvyšuje jeho cenu i poruchovost.
Je třeba řešit jeho připojení k motoru a vodiče pro sběr dat.
Řízení využívající senzory je méně robustní a v případě selhání senzoru
ztrácíme nad strojem kontrolu.
To může být nežádoucí obvzláště, je-li motor využíván současně i jako brzda
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PCW1"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Je tedy snaha se užití senzorů vyhnout a k určování polohy a otáček rotoru
využít jiných,
\emph on
bezsenzorových
\emph default
, metod.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection*
Rezolvery
\end_layout
\begin_layout Standard
Podle
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "novak2006"
\end_inset
a
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAH1"
\end_inset
se jedná o v praxi často využívaná zařízení k vyhodnocení úhlu natočení
rotoru PMSM.
Rezolver je speciální servomechanismus, v podstatě střídavý stroj.
Pracuje na principu polohového transformátoru.
Na rotoru má umístěné bezkontaktně napájené budící vinutí (primární vinutí
transformátoru).
Na statoru dvě vinutí posunutá o
\begin_inset Formula $90^{\circ}$
\end_inset
(představují sekundární vinutí).
Zařízení je napájeno vysokofrekvenčním napětím okolo
\begin_inset Formula $5-10kHz$
\end_inset
o malé amplitudě cca
\begin_inset Formula $5V$
\end_inset
.
Velikosti napětí indukovaných ve statorovách vinutích jsou závislé na úhlovém
natočení rotoru (
\begin_inset Formula $\sin$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $\cos$
\end_inset
).
To následně může být získáno například pomocí fázového závěsu.
\end_layout
\begin_layout Standard
Rezolvery jsou robustní a vyhodnocují přesně úhel natočení, toho se využívá
například v robotice.
Je však třeba složitějších obvodů, pro samotné vyhodnocení.
Velkou nevýhodou ale je, že se jedná o přídavné zařízení a s tím jsou spojeny
problémy již zmiňované u senzorů.
\end_layout
\begin_layout Standard
Dále se ještě nabízí otázka, proč místo užití rezolvéru přímo nepoužít vysokofre
kvenční signál v samotném PMSM v rámci některé z injektážních metod.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Zpětné elektromotorické síly
\end_layout
\begin_layout Standard
Využítí zpětné elektromotorické síly (
\emph on
back electromotiric force, back-EMF
\emph default
) je metoda, kdy informaci o úhlu natočení a otáčkách rotoru získáváme z
indukovaného napětí.
Princip je v podstatě velmi jednoduchý a nejlépe je vidět na rovnicích
pro proudy v souřadnicích
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
, které představují přímý vztah mezí řízením systému na vstupu a měřenými
výstupu:
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}\left|\underline{\overline{+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta}}\right|+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}},\\
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}\left|\underline{\overline{-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta}}\right|+\frac{u_{\beta}}{L_{s}},\end{eqnarray*}
\end_inset
kde právě zarámované členy odpovídají indukovaným napětím a je z nich možno
získat hodnoty
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
.
V ideálním případě by stačilo pouze členy extrahovat
\begin_inset Formula $e_{\alpha}=\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $e_{\beta}=-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta$
\end_inset
a vypočítat
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\vartheta & = & \arctan\left(-\frac{e_{\alpha}}{e_{\beta}}\right),\\
\left|\omega\right| & = & \frac{L_{s}}{\psi_{pm}}\sqrt{e_{\alpha}^{2}+e_{\beta}^{2}}.\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Komplikace
\end_layout
\begin_layout Standard
Ve skutečnosti ale postup není tak jednoduchý.
Jednak je třeba ještě vyřešit problém se znaménkem
\begin_inset Formula $\mathrm{sign\,}\omega$
\end_inset
, protože uvedené rovnice jsou symetrické na substituci
\begin_inset Formula $\left(\omega,\:\vartheta\right)\longleftrightarrow\left(-\omega,\:\vartheta+\pi\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Dále do systému vstupuje šum a při malém odstupu signálu od šumu (
\emph on
S/N
\emph default
) bude výpočet výše značně nepřesný.
To také souvisí dalším, největším, problémem tohoto přístupu.
Zatímco amplitudu šumu uvažujeme neměnnou, amplituda indukovaných napětí
je přímo závislá na otáčkách stroje
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
.
A tedy při nízkých, nebo dokonce nulových, otáčkách tato metoda naprosto
selhává.
Tento případ je o to závažnější, že se s ním musíme vyrovnat při každém
rozjezdu stroje.
Úhel natočení
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
je tedy v tomto případě nepozorovatelný stav.
Navíc nemůžeme předpokládat žádnou počáteční hodnotu, protože nám s rotorem
mohl otočit nějaký vnější zásah, popřípadě mohl oddriftovat.
Je tedy vhodné předpokládat počáteční natočení
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}$
\end_inset
jako náhodnou veličinu s rovnoměrným rozdělením v intervalu
\begin_inset Formula $\left(-\pi,\:\pi\right\rangle $
\end_inset
.
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename badekfestim.eps
scale 60
\end_inset
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
Výsledek odhadování stavu pomocí EKF, který předpokládá počáteční hodnotu
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}=0$
\end_inset
, zatímco skutečná hodnota je jiná (viz legenda).
Nahoře odhady otáček
\begin_inset Formula $\omega_{est}$
\end_inset
(červená přerušovaná čára značí referenční hodnotu
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset
témeř přesně sledovanou systémem s řízením se znalostí stavu, tj.
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\approx\omega_{sys}$
\end_inset
).
Vlevo dole skutečné hodnoty úhlu natočení
\begin_inset Formula $\vartheta_{sys}$
\end_inset
a vpravo dole estimované hodnoty
\begin_inset Formula $\vartheta_{est}$
\end_inset
.
\end_layout
\end_inset
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:badekfestim"
\end_inset
\end_layout
\end_inset
Příkladem toho, jaké výsledky můžeme dosáhnout, když počítáme s očekávanou
hodnotou
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}=0$
\end_inset
, zatímco skutečná hodnota je jiná zobrazuje obrázek
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:badekfestim"
\end_inset
.
Jedná se o jednoduchý příklad odhadování stavu pomocí rozšířeného Kalmanova
filtru, v tomto případě neuvažujeme šum.
Zde však bylo použito odhadování stavových veličin již běžícího systému,
který je řízen regulátorem využívajícím přesnou informaci o stavu.
Získaný odhad se tedy nevyužíval pro řízení.
Když bychom řídili na základě odhadu stavu, tj.
přidali do systému zpětnou vazbu, výsledek by se nepatrně zlepšil viz obrázek
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:badekfestim2"
\end_inset
.
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename badekfestim2.eps
scale 60
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
Výsledek odhadování a řízení stavu pomocí EKF, který předpokládá počáteční
hodnotu
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}=0$
\end_inset
, zatímco skutečná hodnota je jiná (viz legenda).
Nahoře průběhy skutečných otáček systému
\begin_inset Formula $\omega_{sys}$
\end_inset
(červená přerušovaná čára značí referenční hodnotu
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset
témeř přesně sledovanou řízením z estimátoru, tj.
\begin_inset Formula $\overline{\omega}\approx\omega_{est}$
\end_inset
pro všechny volby
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}$
\end_inset
).
Vlevo dole skutečné hodnoty úhlu natočení
\begin_inset Formula $\vartheta_{sys}$
\end_inset
a vpravo dole estimované hodnoty
\begin_inset Formula $\vartheta_{est}$
\end_inset
.
\end_layout
\end_inset
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:badekfestim2"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Metody
\end_layout
\begin_layout Standard
V praxi se pro určování parametrů z inukovaných napětí dle
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAH1"
\end_inset
nejčastěji používají nelineární pozorovatelé nebo adaptivní řízení s referenční
m modelem (MRAC).
Nejčasteji užívaným nelineárním pozorovatelem je pak rozšířený Kalmanův
filtr (
\emph on
EKF
\emph default
).
Přístupy založené na EKF lze nalézt například v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PEB1,PEB2,PSB1"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
V
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSB1"
\end_inset
představují bezsenzorové řízení založené na EKF estimátoru ve spojení s
PI regulátory.
To nepotřebuje znát počáteční natočení rotoru a zátěžný moment.
PI regulátor napětí lze nastavit se zamčeným rotorem a je řešen i problém
s rozpoznáním
\begin_inset Formula $\mathrm{sign}\,\omega$
\end_inset
.
Článek
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PEB2"
\end_inset
je také zaměřen na využití EKF, nyní však v případe IPMSM.
Návrh je komplikovanější v důsledku anizotropie stroje, autoři se ji však
snaží využít k vylepšení výkonu systému.
\end_layout
\begin_layout Standard
Dále kromě EKF je možno použít například klouzavého pozorovatele (
\emph on
sliding mode observer, SMO
\emph default
), jeho iterativní verzi využívají v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSK1"
\end_inset
.
V
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PLU1"
\end_inset
využívají také řízení na klouzavém pozorovateli, kde si ale navíc při nízkých
otáčkách
\begin_inset Formula $\omega\thickapprox0$
\end_inset
pomáhají injektováním stejnosměrného proudu do
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
osy.
Nevyužívají však anizotropií ani nijak zvlášť neanalyzují injektovaný signál,
tento přístup tedy v textu nezařadíme mezi injektáže.
\end_layout
\begin_layout Standard
Pod metody využívající informaci ze zpětné elektromagnetické síly, můžeme
zařadit ještě mnoho dalších, které možná na první pohled do této kategorie
nespadají.
Především se jedná o metody snažící se nějakým způsobem odstranit šum a
tedy zvýšit rozlišovací schopnost indukovaných napětí.
Opět zde narážíme na problém, že nefungují při
\begin_inset Formula $\omega\equiv0$
\end_inset
.
Jedná se o různé podoby odšumovacích filtrů, tedy filtrů typu dolní propusť
(low-pass).
V časové oblasti můžeme použít například klouzavé průměry (moving averages
- MA) nebo jejich váženou verzi.
Ve frekvenční oblasti lze užít (klouzavé) diskrétní Fouriefovy transformace,
a buď odstranit vyšší frekvence, nebo si vybrat jen nějakou nízkou.
Tím však nezískáváme o moc navíc, protože 0.
harmonická odpovídá v podstatě průměru, další harmonické pak vhodně váženému
průměru.
\end_layout
\begin_layout Standard
Za zmínku ještě stojí další skupina metod využívající více paralelně běžících
odhadů z nichž vybírá jeden, nějakým způsobem optimální.
Takovou metodou je například sekvenční Monte Carlo metoda (Particle Filter).
\end_layout
\begin_layout Standard
Dalším příkladem by mohlo být více paralelně běžících modelů, z nichž se
vybere ten, jehož výstup nejlépe odpovídá výstupu skutečného systému.
Nedostatkem těchto přístupů je poměrně velká výpočetní náročnost, přesto
ale poskytují relativně dobré výsledky.
Příkladem může být obrázek
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "Flo:multipleest"
\end_inset
zachycujcí výsledek
\begin_inset Formula $12$
\end_inset
současně běžících modelů s různým počátečním odhadem
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}$
\end_inset
rovnoměrně rozloženým v intervalu
\begin_inset Formula $\left(-\pi,\:\pi\right\rangle $
\end_inset
.
Skutečná počáteční hodnota natočení rotoru systému je
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}=\frac{5}{12}\pi$
\end_inset
.
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename multiest3.eps
scale 60
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
Grafy znázorňují průběh otáček
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
a úhlů natočení systému
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
, kdy je k odhadování stavu použito
\begin_inset Formula $12$
\end_inset
současně běžících modelů, z nichž je v každém kroku vybírán nejlepší na
základě shody s výstupem (měřené proudy) skutečného systému.
Systém je řízen ze stavu, aby co nejlépe sledoval požadovanou hodnotu otáček,
jeho počáteční úhel natočení je
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}=\frac{5}{12}\pi$
\end_inset
.
Počáteční
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}$
\end_inset
odhadovacích modelů jsou rovnoměrně rozloženy v intervalu
\begin_inset Formula $\left(-\pi,\:\pi\right\rangle $
\end_inset
.
\end_layout
\end_inset
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "Flo:multipleest"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Další vlastnosti
\end_layout
\begin_layout Standard
Metody využívající zpětnou elektromotorickou sílu jsou obvykle založeny
na modelu a je tedy důležitá znalost parametrů stroje.
Bylo by tedy dobré najít přístupy, které na parametrech nezávisí, popřípadě
které jsou odolné na jejich změnu.
To se daří u mechanických parametrů stroje, jako je zátěžný moment například
v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PEB2,PSB1"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Ve vyšších otáčkách poskytuje tento přístup dobré výsledky.
Proto je součástí hybridních metod, které kombinují využití zpětné elektromotor
ické síly a injektáž.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Injektáže
\end_layout
\begin_layout Standard
Injektážemi označujeme v textu metody, které využívají přídavného signálu
k detekci anizotropií stroje a usnadňují určení jeho jinak obtížně pozorovateln
ých stavů, především úhlu natočení
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
.
Anizotropie lze rodělit do dvou hlavních kategorií.
První jsou vlastní magnetické výčnělky (
\emph on
saliency
\emph default
) rotoru, ty jsou charakteristické především pro IPMSM.
Do druhé kategorie pak spadají lokální anizotropie vzniklé saturací magnetickým
tokem, typické pro SMPMSM.
Signál je přiváděn na vstup stroje spolu s řízením.
Zpravidla je využíván vysokofrekvenční signál, aby docházelo k co možná
nejmenšímu narušení průběhu samotného řízení.
Tyto metody jsou ale ve většině případů založeny na nějakém
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
speciálním
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
jevu (anizotropii), v tom smyslu, že jej v základních rovnicích nemáme.
V reálném zařízení se samozřejmě vyskytují.
\end_layout
\begin_layout Standard
Nejobvyklejším přístupem je, že anizotropie je v podstatě reprezentována
rozdílnými indukčnostimi v osách
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
, tedy
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset
.
Pro IPMSM s permanentními magnety uvnitř rotoru toto platí relativně velmi
dobře.
V případě SMPMSM je však situace horší, protože rozdíl
\begin_inset Formula $L_{q}-L_{d}$
\end_inset
je velmi malý, v krajním případě dokonce nulový.
Za předpokladu
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset
lze této vlastnosti využít k určení polohy (úhlu natočení) rotoru
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
pomocí injektování vhodného testovacího signálu do stroje.
Obvykle se využívá vysokofrekvenčního signálu o frekvenci v řádu stovek
\begin_inset Formula $Hz$
\end_inset
.
Existují však i injektáže využívající nízkofrekvenční signály.
\end_layout
\begin_layout Standard
Injektáž je aplikována jako vysokofrekvenční napěťový harmonický signál
o frekvenci přibližně
\begin_inset Formula $500\, Hz$
\end_inset
.
Ten je injektovaný do estimované osy
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
spolu s řídícím napětím.
Následně je získána v
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
složce proudu informace o úhlu natočení
\begin_inset Formula $\sin2\hat{\vartheta}$
\end_inset
.
Jedná se o obálku amplitudově modulovanou na nosné frekvenci.
Demodulace je provedena vynásobením vysokofrekvenčním nosným signálem a
následným užitím low-pass filtru.
Je však třeba upozornit na nutnost předpokladu
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset
, protože amplituda
\begin_inset Formula $\sin2\hat{\vartheta}$
\end_inset
závisí mimo jiné přímo úměrně na rozdílu indukčností
\begin_inset Formula $L_{q}-L_{d}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Tato základní metoda je užívána například v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAH1,PAB1"
\end_inset
.
Dále pak v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSJ1"
\end_inset
, kde se využívá principu, kdy v důsledku magnetického toku permanentních
magnetů je syceno jádro vinutí kolem
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
osy.
To vytváří magnetickou nepravidelnost v motoru závislou na poloze rotoru.
Tato nepravidelnost je následně detekována injektovaným vysokofrekvenčním
napětím.
Výhodou této metody je, že je přímo navrhována pro užití v SMPMSM.
Vysokofrekvenční napěťový signál je opět injektován do estimované
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
osy, informace o poloze rotoru je získána z proudu v ose
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
násobením a low-pass filtrem.
\end_layout
\begin_layout Standard
V článku
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PCB1"
\end_inset
se zabývají srovnáním dvou metod injektáží.
Zaměřují se jak na IPMSM, který má větší rozdíl indukčností
\begin_inset Formula $L_{q}-L_{d}$
\end_inset
, tak i na SMPMSM.
První metoda označovaná jako
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
pulzující napěťový vektor
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
je v podstatě shodná s injektážní technikou z minulého odstavce.
Oproti tomu druhý způsob, nazývaný jako
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
rotující napěťový vektor
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
, užívá injektáž v souřadnicích
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
.
Informaci o úhlu natočení, respektive chybě odhadu úhlu natočení je pak
získána násobením a následnou aplikací high-pass filtru.
Opět ale platí, že získaná informace je úměrná rozdílu indukčností
\begin_inset Formula $L_{q}-L_{d}$
\end_inset
.
Dále je v článku provedeno srovnání obou metoda na oba typy motorů, kdy
je užit stejný stator a měněny rotory (SMPMSM a IPMSM).
Mezi injektážními metodami nebyl shledán žádný zásadnější rozdíl.
Rozdíly se projevily spíše při použití stejné metody na různé motory, to
souvisí s jejich magnetickými vlastnostmi, v tomto textu se tímto však
zabývat nebudeme.
Srovnáním zmiňovaných dvou metod se zabývají i v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PCK1"
\end_inset
, zaměřují se však na IPMSM.
\end_layout
\begin_layout Standard
Články
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSL1,PSL3"
\end_inset
představují injektážní metodu k detekci anizotropií, která nepotřebuje
znát parametry stroje.
V případě
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSL3"
\end_inset
se navíc snaží kompenzovat negativní vliv invertoru, především jev označovaný
jako
\emph on
dead-time effect
\emph default
.
Díky tomu jsou schopni detekovat i malé nepravidelnosti typické pro SMPMSM.
Je užíván vysokofrekvenční napěťový signál o frekvenci okolo
\begin_inset Formula $2\, kHz$
\end_inset
.
Injektovaný signál je složením dvou signálů rotojících proti sobě.
V případě špatného odhadu úhlu
\begin_inset Formula $\hat{\vartheta}\neq\vartheta$
\end_inset
je vzniká aditivní vysokofrekvenční signál v proudech, ze kterého může
být tato chyba získána pomocí pozorovatele
\emph on
(Tracking Observer
\emph default
).
\end_layout
\begin_layout Standard
Zajímavou techniku představují v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PIS1"
\end_inset
, kde vypočítají absolutní polohu rotoru v klidu.
Metoda funguje i pro SMPMSM a je založena na injektování vhodných napěťových
pulzů do vinutí každé z fází.
Následně dochází k částečnému nasycení statoru, ze kterého je možno spočítat
absolutní polohu rotoru i bez znalosti parametrů stroje.
\end_layout
\begin_layout Standard
Další velmi zajímavý přístup je prezentován v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAP1"
\end_inset
.
Tato metoda nevyužívá anizotropií rotoru, ani výčnělků, místo toho je založena
na anizotropii samotných permanentních magnetů.
Z tohoto důvodu může být dobře využita při estimaci PMSM, kde ostatní metody
selhávají, například z důvodu
\begin_inset Formula $L_{q}=L_{d}$
\end_inset
.
K jejich detekci je ale třeba využít velmi vysokých frekvencí, řádově
\begin_inset Formula $100-500\, kHz$
\end_inset
.
Optimální hodnotu frekvence je navíc třeba naladit pro konkrétní typ magnetu.
Tento přístup vypadá velmi slibně, ale jak autoři sami uvádějí, je tato
metoda nová a vyvstává kolem ní ještě mnoho nezodpovězených otázek.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Hybridní metody
\end_layout
\begin_layout Standard
Hybridními metodami v textu označujeme v podstatě vhodnou kombinaci předchozích
dvou zmiňovaných přístupů.
Techniky založené na zpětné elektromotorické síle fungují relativně velmi
dobře, selhávají ale při nízkých a nulových otáčkách.
Naopak užití injektáží je vhodné pro nízké a nulové otáčky, zatímco ve
vyšších rychlostech způsobuje nežádoucí rušení.
Z tohoto důvodu je snaha obě metody vhodným způsobem zkombinovat a využít
předností obou.
Základní idea je tedy jednoduchá.
Dokud se pohybujeme v nízkých otáčkách, využíváme odhadů založených na
injektáži, při vyšších otáčkách injektáž vypneme, aby nezpůsobovala nežádoucí
zásahy a užíváme již jen odhadů získaných ze zpětné elektromotorické síly.
\end_layout
\begin_layout Standard
Tento postup je použit například v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAP2"
\end_inset
, kdy jako estimátor používají adaptivního pozorovatele s referenčním modelem,
který je pro nízké otáčky doplněn injektáží v podstatě v základním návrhu
popsaném v předcházející části.
Důležitou součástí těchto metod je způsob, jakým se vyřeší
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
bezproblémový
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
přechod z jednoho estimátoru na jiný.
V
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PHS1"
\end_inset
je to například řešeno tak, že užívají estimátor rotorového toku založený
na indukovaných napětích, který je funkční pořád.
V nízkých otáčkách je pak doplňován injektáží, ta s rostoucími otáčkami
postupně vymizí.
\end_layout
\begin_layout Section
Řízení
\end_layout
\begin_layout Standard
oddělit, potřeba dobrého odhadu, řízení v
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
oprodi
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsection*
řídící strategii
\end_layout
\begin_layout Standard
návrh standartně PI (vektorové), nebo přes LQ, zmínit DTC
\end_layout
\begin_layout Subsection*
současný stav
\end_layout
\begin_layout Standard
nejlepší je hybridní, ale třeba přepínat více modelů, řízení PI
\end_layout
\begin_layout Subsection*
duální přístup
\end_layout
\begin_layout Standard
výhody duálního přístupu, proč se na to laicky hodí, problém s reálným časem,
jednoduché metody
\end_layout
\begin_layout Section
Duální řízení
\end_layout
\begin_layout Standard
stručně popis, proč jednoduché, jaké? - třeba filatov...
\end_layout
\begin_layout Chapter
snaha o návrh
\end_layout
\begin_layout Standard
injektáž-závěs-klaman-lq
\end_layout
\begin_layout Chapter
vyhodnoncení a simulace
\end_layout
\begin_layout Standard
možná něco vlastního v matlabu
\end_layout
\begin_layout Standard
závěry ze simulátoru
\end_layout
\begin_layout Standard
hlavně otestování toho
\begin_inset Quotes eld
\end_inset
snaha o návrh
\begin_inset Quotes erd
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
podloženo simulacemi i z těch předchozích sekcí
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Addchap
Závěr
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset bibtex
LatexCommand bibtex
bibfiles "vyz_clanky,vyz_texty"
options "bibtotoc,czechiso"
\end_inset
\end_layout
\end_body
\end_document