#LyX 2.0 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 413 \begin_document \begin_header \textclass scrreprt \begin_preamble \usepackage[czech]{babel} \end_preamble \use_default_options true \maintain_unincluded_children false \language czech \language_package default \inputencoding auto \fontencoding global \font_roman default \font_sans default \font_typewriter default \font_default_family default \use_non_tex_fonts false \font_sc false \font_osf false \font_sf_scale 100 \font_tt_scale 100 \graphics default \default_output_format default \output_sync 0 \bibtex_command default \index_command default \paperfontsize default \spacing single \use_hyperref false \papersize default \use_geometry false \use_amsmath 1 \use_esint 1 \use_mhchem 1 \use_mathdots 1 \cite_engine basic \use_bibtopic false \use_indices false \paperorientation portrait \suppress_date false \use_refstyle 0 \index Index \shortcut idx \color #008000 \end_index \secnumdepth 2 \tocdepth 2 \paragraph_separation indent \paragraph_indentation default \quotes_language german \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \tracking_changes false \output_changes false \html_math_output 0 \html_css_as_file 0 \html_be_strict false \end_header \begin_body \begin_layout Standard \align left \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash thispagestyle{empty} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \size large České vysoké učení technické v Praze \end_layout \begin_layout Standard \align center \size large Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center Katedra matematiky \end_layout \begin_layout Standard \align center Obor: Inženýrská informatika \end_layout \begin_layout Standard \align center Zaměření: Softwarové inženýrství a matematická informatika \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename /home/michal/Dokumenty/Bakalarka/moje/komplet/logo_cvut.eps lyxscale 20 scale 20 \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \size larger \color black Metody duálního řízení elektrických pohonů \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace smallskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \size larger \color black Dual control methods for electrical drives \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \size largest \color black VÝZKUMNÝ ÚKOL \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace vfill \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center Vypracoval: Michal Vahala \end_layout \begin_layout Standard \align center Vedoucí práce: Ing. Václav Šmídl, Ph.D. \end_layout \begin_layout Standard \align center Rok: 2011 \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash thispagestyle{empty}~ \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace vfill \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection* Prohlášení \end_layout \begin_layout Standard Prohlašuji, že jsem výzkumný úkol vypracoval samostatně a použil jsem pouze podklady uvedené v přiloženém seznamu. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \noindent \align left V Praze dne \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \begin_inset space \hfill{} \end_inset \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \end_layout \begin_layout Standard \noindent \align block \begin_inset space \hfill{} \end_inset Michal Vahala \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout ~~ \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash thispagestyle{empty}~ \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace vfill \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection* Poděkování \end_layout \begin_layout Standard Především bych chtěl poděkovat \begin_inset VSpace defskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset space \hfill{} \end_inset Michal Vahala \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash thispagestyle{empty} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Description \emph on Název \begin_inset space \space{} \end_inset práce: \emph default \color black \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout ~ \end_layout \end_inset \begin_inset Newline newline \end_inset Metody duálního řízení elektrických pohonů \end_layout \begin_layout Description \begin_inset VSpace defskip \end_inset \end_layout \begin_layout Description \emph on Autor: \emph default Michal Vahala \end_layout \begin_layout Description \emph on Obor: \emph default Inženýrská informatika \end_layout \begin_layout Description \emph on Druh \begin_inset space \space{} \end_inset práce: \emph default Výzkumný úkol \end_layout \begin_layout Description \emph on Vedoucí \begin_inset space \space{} \end_inset práce: \emph default Ing. Václav Šmídl, Ph.D. \end_layout \begin_layout Description \emph on Abstrakt: \emph default \end_layout \begin_layout Description \emph on Klíčová \begin_inset space \space{} \end_inset slova: \emph default \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Description \emph on Title: \emph default \color black \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout ~ \end_layout \end_inset \begin_inset Newline newline \end_inset Dual control methods for eletrical drives \end_layout \begin_layout Description \begin_inset VSpace defskip \end_inset \end_layout \begin_layout Description \emph on Author: \emph default Michal Vahala \end_layout \begin_layout Description \emph on Abstract: \emph default \end_layout \begin_layout Description \emph on Key \begin_inset space \space{} \end_inset words: \emph default \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash thispagestyle{empty} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset CommandInset toc LatexCommand tableofcontents \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash thispagestyle{empty} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Chapter* Seznam použitého označení a zkratek \end_layout \begin_layout Subsubsection* Zkratky \end_layout \begin_layout Labeling \labelwidthstring 00.00.0000 \emph on PMSM \emph default synchronní stroj s permanentními magnety ( \emph on Permanent Magnet Synchronous Machine \emph default ) \end_layout \begin_layout Labeling \labelwidthstring 00.00.0000 \emph on SMPMSM \emph default PMSM s magnety na povrchu rotoru ( \emph on Surface Mounted PMSM \emph default ) \end_layout \begin_layout Labeling \labelwidthstring 00.00.0000 \emph on IPMSM \emph default PMSM s magnety uvnitř rotoru ( \emph on Inner PMSM \emph default ) \end_layout \begin_layout Labeling \labelwidthstring 00.00.0000 \emph on LQG \emph default lineárně kvadraticky gaussovské řízení ( \emph on Linear-Quadratic-Gaussian \emph default ) \end_layout \begin_layout Labeling \labelwidthstring 00.00.0000 \emph on PI \emph default proporcionálně integrační regulátor \end_layout \begin_layout Labeling \labelwidthstring 00.00.0000 \emph on EKF \emph default rozšířený Kalmanův filtr ( \emph on Extended Kalman Filter \emph default ) \end_layout \begin_layout Subsubsection* Označení \end_layout \begin_layout Labeling \labelwidthstring 00.00.0000 \begin_inset Formula $\hat{a}$ \end_inset značí odhad veličiny \begin_inset Formula $a$ \end_inset \end_layout \begin_layout Labeling \labelwidthstring 00.00.0000 \begin_inset Formula $j$ \end_inset komplexní jednotka \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Addchap Úvod \end_layout \begin_layout Standard Hlavní náplní této práce je řízení elektrických pohonů, konkrétně synchronního motoru s permanentními magnety (v textu bude označován zkratkou PMSM z anglického \emph on Permanent Magnet Synchronous Machine \emph default ). Jedná se o synchronní stroj, tedy rotor se otáčí současně (synchronně) s točivým magnetickým polem statoru. Na rotoru má ale místo budícího vinutí permanentní magnety. Tato konstrukce nachází v poslední době stále větší uplatnění. Je tomu tak především z důvodu snadnější dostupnosti kvalitních permanentních magnetů, ale také díky možnosti využít stále výkonější polovodičová zařízení pro řízení a napájení těchto strojů. \end_layout \begin_layout Standard Jak se ale ukazuje, řízení takovýchto strojů, zjeména pokud se jedná o takzvaný bezsenzorový návrh je netriviální. Je tedy třeba hledat vhodné řídící algoritmy, které zvládnou motor efektivně řídit i v bezsenzorovém případě a umožní širší nasazení PMSM v praxi. \end_layout \begin_layout Standard V tomto textu je nejdříve stručně popsán samotný PMSM, následuje odvození rovnic popisující tento stroj v nejčastěji používaných souřadných soustavách. Dále je formulována problematika estimace a určovaní stavových veličin, kdy je kladen důraz na bezsenzorový případ. Následuje popis nejčastěji použavaných řídících technik, které jsou současně dostatečně jednoduché, aby mohly být teoreticky nasazeny i pro případ řízení v reálném čase. Zvláštní pozornost je věnována řízení označovanému jako LQG. \end_layout \begin_layout Standard Dále se text věnuje duálnímu řízení, které se zdá být vhodným kandidátem na zvládnutí úlohy řízení PMSM. Protože je však problém duálního řízení obecně velmi složitá úloha, zaměříme se na jeho nejjednodušší případy, které by mohly být nasazeny i v reálném čase. \end_layout \begin_layout Standard Na závěr jsou prezentovány výsledky simulací a jsou navrženy směry a metody, které by mohly vést k úspěšnému řešení problému. \end_layout \begin_layout Paragraph Poznámka \end_layout \begin_layout Standard V celém textu bude \begin_inset Formula $j$ \end_inset označovat komplexní jednotku \begin_inset Formula $j=\sqrt{-1}$ \end_inset . Označení \begin_inset Formula $i$ \end_inset bude obvykle značit elektrický proud, komplexní jednotku však nikdy. \end_layout \begin_layout Chapter Popis PMSM \end_layout \begin_layout Section Vlastnosti \end_layout \begin_layout Subsection Permanentní magnety \end_layout \begin_layout Standard Jak již bylo řečeno pro PMSM mají velký význam kvalitní permanentní magnety. Podle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "cdern2010,novak2006" \end_inset jsou magnety vhodné pro PMSM vyráběny ze speciálních slitin nejčastěji na bázi prvků \begin_inset Formula $Sm-Co$ \end_inset nebo \begin_inset Formula $Nd-Fe-B$ \end_inset . Oproti klasickým feritovým magnetům se vyznačují velkou magnetickou indukcí okolo \begin_inset Formula $1T$ \end_inset oproti přibližne \begin_inset Formula $0,3T$ \end_inset u feritových magnetů. \end_layout \begin_layout Standard Nevýhodou nejen těchto, ale permanentních magnetů obecně je změna jejich magnetických vlastností s teplotou. Jedná se především o hranici označovanou jako \emph on Courieův bod \emph default , kdy materiál přechází z feromagnetického stavu do paramagnetického a s tím je spojen výrazný pokles magnetizmu. Tato hodnota závisí na použítém materiálu a pohybuje se přibližně v rozmezí \begin_inset Formula $200-1000^{\circ}C$ \end_inset . Z toho vyplývá, že je nutné udržovat motor na vhodné provozní teplotě a tedy zajistit odpovídající chlazení. \end_layout \begin_layout Subsection Výhody a nevýhody PMSM \end_layout \begin_layout Standard Následující část popisující výhody a nevýhody čerpá především ze zdrojů \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "cdern2010,novak2006" \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Výhody \end_layout \begin_layout Standard Proč se PMSM využívají a jaké mají výhody oproti jiným motorům. Uveďme především: \end_layout \begin_layout Itemize rotor neobsahuje vinutí a tedy \end_layout \begin_deeper \begin_layout Itemize je možno jej konstruovat menší, což je velmi výhodné v aplikacích, kde záleží na co nejmenší velikosti pohonu, příkladem mohou být dopravní prostředky, kde lze ušetřené místo využít například pro cestující (nízkopodlažní tramvaj) \end_layout \begin_layout Itemize je možno jej konstruovat lehčí, což snižuje hmotnost celého zařízení \end_layout \begin_layout Itemize má menší moment setrvačnosti rotoru \end_layout \begin_layout Itemize není třeba \emph on \emph default složitě přivádět \emph on \emph default napájení \emph on \emph default na rotor \end_layout \end_deeper \begin_layout Itemize není třeba motor před rozběhem budit a nepotřebuje zdroj budícího proudu \end_layout \begin_layout Itemize odpadá problém s přívodem proudu do buzení rotoru \end_layout \begin_layout Itemize vyšší účinnost -- nejsou jouleovy ztráty v rotoru (oproti asynchronnímu stroji) popřipadě v buzení (oproti synchronnímu stroji s buzením) \end_layout \begin_layout Itemize momentová přetížitelnost \end_layout \begin_layout Itemize možnost konstrukce pomaluběžného stroje s dostatečným výkonem, který nepotřebuje převedovku (výhody spojené s absencí převodovky) \end_layout \begin_layout Subsubsection Nevýhody \end_layout \begin_layout Standard Na druhou stranu toto řešení motoru má i své nevýhody, jedná se zejména o: \end_layout \begin_layout Itemize technologicky složitější výroba -- připevnění permanentních magnetů na rotor (nejčastěji lepení) \end_layout \begin_layout Itemize složitější opravy \end_layout \begin_layout Itemize vyšší cena (nezanetbatelné náklady na permanentní magnety) \end_layout \begin_layout Itemize menší robustnost \end_layout \begin_layout Itemize problematické odbuzování \end_layout \begin_layout Itemize nutnost dobrého chlazení -- závislot magnetických vlastností permanentních magnetů na teplotě \end_layout \begin_layout Itemize problematika spojená s návrhem řízení těchto strojů (bude detailněji rozebrána níže) \end_layout \begin_layout Section Konstrukce \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename pmsm_spec.eps scale 35 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename pmsm_simple.eps scale 60 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on Ilustrativní obrázek konstrukce PMSM \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on Zjednodušený model PMSM \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Konstrukce a model PMSM \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "Flo:obr1_ilupmsm" \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "Flo:obr2_simplepmsm" \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Základní konstrukce PMSM je na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "Flo:obr1_ilupmsm" \end_inset . Nákres je pouze ilustrativní, ale zobrazuje hlavní části PMSM: Vnější kruh představuje stator. Na něm jsou zuby, na kterých je navinuto statorové vinutí (v obrázku není zobrazeno). Vnitřní kruh je rotor, na jehož povrchu jsou umístěny právě permanentní magnety. U těchto magnetů je barevně rozlišen severní a jižní pól. \end_layout \begin_layout Standard Často se lze setkat i s opačnou konstrukcí, kdy je stator umístěn uvnitř a rotor s magnety se otáčí kolem něj. Tato konstrukce PMSM se využívá například k pohonu nejrůznějších vozidel, kdy je motor umístěn přímo v kole vozidla, nebo k pohonu bubnu automatické pračky. Existují i další konstrukce PMSM. Zajímavou je například verze, která má otočný stator i rotor a toto zařízení pak může sloužit jako dělič výkonu. \end_layout \begin_layout Standard Vyobrazená konstrukce je někdy také označováná jako SMPMSM ( \emph on Surface Mounted PMSM \emph default ), tedy PMSM s magnety na povrchu. Další častou konstrukcí je IPMSM ( \emph on Inner PMSM \emph default ), kde jsou permanentní magnety umístěny uvnitř rotoru. Tyto verze mají nepatrně odlišné vlastnosti, které ale mají významný vliv při návrhu řízení těchto strojů. Pod PMSM se ještě zahrnují reluktanční motory, které jsou založeny na poněkud odlišném principu a dále se jimi vůbec zabývat nebudeme. \end_layout \begin_layout Standard Pro představu a odvození základních rovnic však nepotřebujeme pracovat s příliš složitou konstrukcí a vystačíme si se zjednodušeným modelem, který je zobrazen na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "Flo:obr2_simplepmsm" \end_inset . Na statoru jsou zde umístěny pouze tři cívky, které představují vinutí jednotlivých fází. Rotor je pak reprezentován jediným permanentním magnetem. Pro základní představu je tento model dostačující, dále ale bude třeba rozšířit model o více párů pólů. PMSM na nákresu (zjednodušený model) má 1 pár pólů, ale reálné motory jich mívají obvykle více. \end_layout \begin_layout Section Souřadné soustavy \end_layout \begin_layout Standard Pro popis a následné odvození rovnic se standartně používá několik souřadných systémů. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename pmsm_simple_abc.eps scale 35 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename pmsm_simple_albe.eps scale 35 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename pmsm_simple_dq.eps scale 35 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on Souřadný systém \begin_inset Formula $a-b-c$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on Souřadný systém \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset - \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on Souřadný systém \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Souřadné systémy \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "Flo:obr3_ssabc" \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "Flo:obr4_ssalbe" \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "Flo:obr5_ssdq" \end_inset \end_layout \end_inset Prvním z nich je souřadný systém \emph on \begin_inset Formula $a-b-c$ \end_inset \emph default znázorněný na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "Flo:obr3_ssabc" \end_inset . Jednotlivé osy tohoto souřadného systému ( \begin_inset Formula $a$ \end_inset , \begin_inset Formula $b$ \end_inset , \begin_inset Formula $c$ \end_inset ) jsou směřují ve směru os vinutí jednotlivých fází a jsou tedy vzájemně pootočeny o \begin_inset Formula $120^{\circ}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Protože ale k popsaní polohy v rovině jsou tři souřadnice (v osách \begin_inset Formula $a$ \end_inset , \begin_inset Formula $b$ \end_inset , \begin_inset Formula $c$ \end_inset ) zbytečné a jedna z nich je vždy závislá, přecházíme k souřadnému systému \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset - \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset , který je znázorněn na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "Flo:obr4_ssalbe" \end_inset . Osa \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset se totožná s osou \emph on \begin_inset Formula $a$ \end_inset \emph default ze souřadného systému \emph on \begin_inset Formula $a-b-c$ \end_inset \emph default , osa \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset ja na ní pak kolmá. Osy \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset - \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset tedy tvoří ortogonální systém. \end_layout \begin_layout Standard Pro většinu aplikací se však ukazuje výhodným přejít do rotující soustavy \emph on \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset \emph default , která je svázána s rotorem. Její vyobrazení je na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "Flo:obr5_ssdq" \end_inset . Opět se jedná o ortogonální systém, kdy osu \emph on \begin_inset Formula $d$ \end_inset \emph default orientujeme ve směru osy permanentního magnetu směřující k jeho severnímu pólu. Osa \emph on \begin_inset Formula $q$ \end_inset \emph default je pak na ní kolmá. \end_layout \begin_layout Section Transformace souřadnic \end_layout \begin_layout Standard Mezi výše zmíněnými souřadnými soustavami platí následující převodní vztahy. \end_layout \begin_layout Subsection Transformace \begin_inset Formula $a-b-c\longleftrightarrow\alpha-\beta$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Tato transformace se označuje také jako Clarkova transformace, rovnice lze nalézt například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "fiser2006" \end_inset , nebo je možné je poměrně snadno odvodit. \end_layout \begin_layout Subsubsection Převod \begin_inset Formula $a-b-c\rightarrow\alpha-\beta$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Osa \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset je totožná s osou \begin_inset Formula $a$ \end_inset osy \begin_inset Formula $b$ \end_inset a \begin_inset Formula $c$ \end_inset jsou pak oproti ní otočeny o \begin_inset Formula $120^{\circ}$ \end_inset respektive \begin_inset Formula $-120^{\circ}$ \end_inset . Tedy souřadnice v ose \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset získáme následujícím průmětem z os \begin_inset Formula $a,\: b,\: c$ \end_inset : \begin_inset Formula \[ \alpha=k\left(a+b\cdot\cos(120^{\circ})+c\cdot\cos(-120^{\circ})\right)=k\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right), \] \end_inset kde \begin_inset Formula $k$ \end_inset značí konstantu \begin_inset Formula $k=\frac{2}{3}$ \end_inset . Obdobně postupujeme v případě osy \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset . Osa \begin_inset Formula $a$ \end_inset je na ní kolmá a tedy její příspěvek je nulový. Osy \begin_inset Formula $b$ \end_inset a \begin_inset Formula $c$ \end_inset promítnutne do osy \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset získáme vztah: \begin_inset Formula \[ \beta=k\left(b\cdot\sin(120^{\circ})+c\cdot\sin(-120^{\circ})\right)=k\left(\frac{\sqrt{3}}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}c\right). \] \end_inset Celkem tedy máme rovnice: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \alpha & = & \frac{2}{3}\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right),\\ \beta & = & \frac{\sqrt{3}}{3}\left(b-c\right). \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Převod \begin_inset Formula $\alpha-\beta\rightarrow a-b-c$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Pro inverzní transformaci platí následující vztahy: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} a & = & \alpha+\theta,\\ b & = & \left(-\frac{1}{2}\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta,\\ c & \text{=} & \left(-\frac{1}{2}\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta, \end{eqnarray*} \end_inset kde \begin_inset Formula $\theta$ \end_inset představuje takzvanou nulovou složku \begin_inset Formula $\theta=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsection Transformace \begin_inset Formula $\alpha-\beta\longleftrightarrow d-q$ \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Transformace_albe_dq" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Transformace je označována jako Parkova transformace a představuje přechod do rotujícího souřadného systému. Rovnice transformace lze najít opět například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "fiser2006" \end_inset nebo je možné je opět odvodit. \end_layout \begin_layout Subsubsection Převod \begin_inset Formula $\alpha-\beta\rightarrow d-q$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Předpokládáme otočení doustavy \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset oproti \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset o úhel \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset kolem společného počátku souřadných soustav a tedy: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} d & = & \alpha\cos\phi+\beta\sin\phi,\\ q & = & -\alpha\sin\phi+\beta\cos\phi. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Převod \begin_inset Formula $d-q\rightarrow\alpha-\beta$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Inverzní transformaci provedeme pouze otočením na druhou stranu: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \alpha & = & d\cos\phi-q\sin\phi,\\ \beta & = & d\sin\phi+q\cos\phi. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Section Odvození rovnic \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sec:Odvození-rovnic" \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Odvození rovnic v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset soustavě \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Odvození-rovnic-vdq" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Rovnice v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset soustavě lze odvodit buď přímo nebo transformací rovnic z jiné soustavy. Přímé odvození bude uvedeno počínaje následujícím odstavcem, transformace z jiné soustavy (konkrétně \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset ) bude pro srovnání a kontrolu uvedeno dále v textu. \end_layout \begin_layout Standard Rovnici pro napětí v obvodu statoru synchroního stroje lze zapsat jako \begin_inset Formula \[ u_{s}=R_{s}i_{s}+u_{i}, \] \end_inset tedy součet napětí v obvodu (Ohmův zákon) a indukovaného napětí, přičemž veličiny jsou uvažovány komplexní. Vyjáříme-li indukované napětí, jako změnu toku v čase (Faradayův zákon elektromagnetické indukce) přejde rovnice na tvar \begin_inset Formula \[ u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}. \] \end_inset Pro přechod do rotujícího souřadného systému předpokládáme obecně rotaci o úhel \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset , kterou provedeme vynásobením všech veličin operátorem rotace v komplexních číslech \begin_inset Formula $e^{j\varepsilon}$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $j$ \end_inset značí komplexní jednotku. Tedy \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{s}e^{j\varepsilon} & = & R_{s}i_{s}e^{j\varepsilon}+\frac{d(\psi_{s}e^{j\varepsilon})}{dt},\\ u_{s}e^{j\varepsilon} & \text{=} & R_{s}i_{s}e^{j\varepsilon}+\frac{d\psi_{s}}{dt}e^{j\varepsilon}+\psi_{s}j\omega_{\varepsilon}e^{j\varepsilon},\\ u_{s} & \text{=} & R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}+\psi_{s}j\omega_{\varepsilon}, \end{eqnarray*} \end_inset kde symbol \begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}$ \end_inset označuje úhlovou rychlost -- změnu úhlu \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset , jedná se tedy o derivaci \begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}=\frac{d\varepsilon}{dt}$ \end_inset . Tato úhlová rychlost \begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}$ \end_inset odpovídá elektrickým otáčkám \begin_inset Formula $\omega_{el}$ \end_inset a lze ji přepočíst na mechanické otáčky pomocí vztahu \begin_inset Formula $\omega_{el}=p_{p}\omega_{m},$ \end_inset kde \begin_inset Formula $p_{p}$ \end_inset je počet párů polů rotoru a \begin_inset Formula $\omega_{m}$ \end_inset mechanické otáčky. Když předpokládáme počet párů polů roven 1, je \begin_inset Formula $\omega_{e}=\omega_{m}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Nyní můžeme přejít k rovnicím v souřadném systému \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset , který je natočen oproti souřadnému systému statoru ( \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset ) o úhel \begin_inset Formula $\varepsilon=\vartheta$ \end_inset a otáčí se rychlostí \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . Osa magnetického toku rotoru je osou \begin_inset Formula $d$ \end_inset a v tomto směru uvažujeme reálnou složku komplexních veličin, osa \begin_inset Formula $q$ \end_inset je pak na ní kolmá a bude reprezentovat složku imaginární. Dostáváme tedy \begin_inset Formula \[ u_{d}+ju_{q}\text{=}R_{s}\left(i_{d}+ji_{q}\right)+\frac{d\left(\psi_{d}+j\psi_{q}\right)}{dt}+\left(\psi_{d}+j\psi_{q}\right)j\omega_{m}, \] \end_inset což při rozepsání po složkách (reálná a imaginární) vede na rovnice \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & R_{s}i_{d}+\frac{d\psi_{d}}{dt}-\omega_{m}\psi_{q},\\ u_{q} & = & R_{s}i_{q}+\frac{d\psi_{q}}{dt}+\omega_{m}\psi_{d}. \end{eqnarray*} \end_inset Dále uvažujme vztahy pro magnetické toky \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \psi_{d} & = & L_{d}i_{d}+\psi_{pm},\\ \psi_{q} & = & L_{q}i_{q}. \end{eqnarray*} \end_inset Po dosazení získáme rovnice \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{d}\frac{di_{d}}{dt}-\omega_{m}L_{q}i_{q},\\ u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{q}\frac{di_{q}}{dt}+\omega_{m}L_{d}i_{d}+\omega_{m}\psi_{pm}. \end{eqnarray*} \end_inset Vydělením \begin_inset Formula $L_{d}$ \end_inset respektive \begin_inset Formula $L_{q}$ \end_inset získáme \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "rovnice_i_dq_ruzneL" \end_inset \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{d}}i_{d}+\frac{L_{q}}{L_{d}}\omega_{m}i_{q}+\frac{1}{L_{d}}u_{d},\\ \frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{q}}-\frac{\psi_{pm}}{L_{q}}\omega_{m}-\frac{L_{d}}{L_{q}}\omega_{m}i_{d}+\frac{1}{L_{q}}u_{q}. \end{eqnarray*} \end_inset Když ale položíme \begin_inset Formula $L_{d}=L_{q}=L_{s}$ \end_inset dostaneme rovnice \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{s}\frac{di_{d}}{dt}-\omega_{m}L_{s}i_{q},\\ u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{s}\frac{di_{q}}{dt}+\omega_{m}L_{s}i_{d}+\omega_{m}\psi_{pm}. \end{eqnarray*} \end_inset Vydělení \begin_inset Formula $L_{s}$ \end_inset pak vede na tvar \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}+\omega_{m}i_{q}+\frac{u_{d}}{L_{s}},\\ \frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{m}-\omega_{m}i_{d}+\frac{u_{q}}{L_{s}}. \end{eqnarray*} \end_inset Toto vyjádření je shodné s tím, které dostaneme následně transformací z \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset souřadné soustavy. \end_layout \begin_layout Subsection Odvození rovnic v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset soustavě \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Odvození-rovnic-valfabeta" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard I když se pro řízení ukazuje být lepší a v praxi více využíváné vyjádření v soustave \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset , rovnice v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset jsou také důležité, protože představují přímý vztah mezi měřenými a řízenými veličinami. Mohou být využity například při návrhu rozšířeného Kalmanova filtru. \end_layout \begin_layout Standard Opět vyjdeme z rovnice \begin_inset Formula \[ u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}. \] \end_inset Magnetický tok \begin_inset Formula $\psi_{s}$ \end_inset vyjádříme jako tok vytvořený cívkami statoru a dále přičteme tok permanentních magnetů, je však třeba uvažovat, že rotor obsahující permanentní magnety je natočen obecně pod úhlem \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset . Tedy v komplexní rovině lze vyjádřit tok jako \begin_inset Formula \[ \psi_{s}=L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}. \] \end_inset Dosadíme nyní do rovnice a rozepíšeme ji po složkách \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{s} & = & R_{s}i_{s}+\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt},\\ u_{\alpha}+ju_{\beta} & \text{=} & R_{s}\left(i_{\alpha}+ji_{\beta}\right)+\frac{d}{dt}\left(L_{s}\left(i_{\alpha}+ji_{\beta}\right)+\psi_{pm}\left(\cos\vartheta+j\sin\vartheta\right)\right). \end{eqnarray*} \end_inset Rozepsaní na dvě rovnice je pak následující \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{\alpha} & \text{=} & R_{s}i_{\alpha}+L_{s}\frac{di_{\alpha}}{dt}-\frac{d\vartheta}{dt}\psi_{pm}\sin\vartheta,\\ u_{\beta} & = & R_{s}i_{\beta}+L_{s}\frac{di_{\beta}}{dt}+\frac{d\vartheta}{dt}\psi_{pm}\cos\vartheta. \end{eqnarray*} \end_inset Rovnice vydělíme indukčností \begin_inset Formula $L_{s}$ \end_inset , vyjádříme z nich derivace proudů a derivace úhlu natočení \family roman \series medium \shape up \size normal \emph off \bar no \noun off \color none označíme jako úhlovou rychlost \begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}$ \end_inset = \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . Následně dostaneme rovnice v souřadné soustavě \family default \series default \shape default \size default \emph default \bar default \noun default \color inherit \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset : \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}},\\ \frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}}. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Nyní je ještě třeba přidat další dvě diferenciální rovnice pro otáčky \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a polohu \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset . Rovnice pro \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset je triviální a už byla užita, jedná se o \begin_inset Formula \[ \frac{d\vartheta}{dt}=\omega. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Rovnice pro \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Rovnice pro \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset získáme následujícím postupem ze základních zákonů mechaniky: Pro točivý moment (speciální případ momentu síly pro silovou dvojici, kdy se vektory skládají na nulu, avšak mají točivý účinek, v anglické literatuře označeno jako \emph on torque \emph default ) \emph on \emph default platí obecně vztah \begin_inset Formula \[ \tau=\frac{dL}{dt}, \] \end_inset kde \begin_inset Formula $L$ \end_inset označuje moment hybnosti ( \emph on angular momentum \emph default ). Při uvažování působení více točivých momentu momentů pak \begin_inset Formula \[ \tau_{1}+\ldots+\tau_{n}=\sum\tau=\frac{dL}{dt}. \] \end_inset Uvažujeme-li rotaci kolem pevné osy, lze moment hybnosti vyjádřit jako \begin_inset Formula \[ L=J\omega_{m}, \] \end_inset kde \begin_inset Formula $J$ \end_inset označuje moment setrvačnosti ( \emph on moment of inertia \emph default ) a \begin_inset Formula $\omega_{m}$ \end_inset je mechanická úhlová rychlost. Po dosazení tedy \begin_inset Formula \[ \sum\tau=\frac{dL}{dt}=\frac{d(J\omega_{m})}{dt}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}. \] \end_inset Točivé momenty \begin_inset Formula $\sum\tau$ \end_inset jsou: \end_layout \begin_layout Itemize moment získaný konverzním procesem elektrické energie, který vyjadřuje hlavní vlastnost točivého stroje, a to právě převod elektrické energie na mechanickou, tento mement označíme jako \begin_inset Formula $T_{e}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize zátěžný moment reprezentující zatížení stroje, tedy v podstatě to, co je motorem poháněno, je však třeba uvažovat, že působí v opačném směru a stroj brzdí, označíme ho tedy \begin_inset Formula $-T_{L}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize dále je ještě třeba uvažovat ztráty ve stroji v důsledku tření, tento moment opět působí v opačném směru a uvažujeme jej lineárně závislý na otáčkách \begin_inset Formula $\omega_{m}$ \end_inset , tedy \begin_inset Formula $-B\omega_{m}$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $B$ \end_inset je koeficient viskozity (tření) \end_layout \begin_layout Standard Rovnice po dosazení tedy přejde na tvar \begin_inset Formula \[ T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}. \] \end_inset Nyní je ještě třeba vyjádřit točívý moment \begin_inset Formula $T_{e}$ \end_inset na základě elektrických veličin. Toho lze dosáhnout výpočtem přes okamžitý elektrický výkon, pro trojfázový systém \begin_inset Formula \[ P=u_{a}i_{a}+u_{b}i_{b}+u_{c}i_{c}. \] \end_inset Po transformaci do systému \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset získáme vyjádření \begin_inset Formula \[ P=k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right), \] \end_inset kde \begin_inset Formula $k_{p}$ \end_inset označuje Parkovu konstantu s hodnotou \begin_inset Formula $k_{p}=\frac{3}{2}$ \end_inset . Napětí je zde uvažováno indukované \begin_inset Formula $u_{i}=\frac{d\psi_{s}}{dt}=\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\omega\psi_{pm}e^{j\vartheta}$ \end_inset a z něj využijeme pouze složku bez derivace proudu, protože ta slouží k tvorbě samotného magnetického pole stroje a nepodílí se na tvorbě výkonu, tedy \begin_inset Formula $\omega\psi_{pm}j(\cos\vartheta+j\sin\vartheta)$ \end_inset . V systému \begin_inset Formula $\alpha\beta$ \end_inset získáme vyjádření \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{\alpha} & = & -\omega\psi_{pm}\sin\vartheta,\\ u_{\beta} & = & \omega\psi_{pm}\cos\vartheta, \end{eqnarray*} \end_inset tedy po dosazení \begin_inset Formula \[ P=k_{p}\left(-i_{\alpha}\omega\psi_{pm}\sin\vartheta+i_{\beta}\omega\psi_{pm}\cos\vartheta\right). \] \end_inset Moment \begin_inset Formula $T_{e}$ \end_inset lze pak určit ze vztahu \begin_inset Formula $P=\omega_{m}T_{e}$ \end_inset a tedy \begin_inset Formula \[ T_{e}=\frac{P}{\omega_{m}}=k_{p}\frac{i_{\beta}\omega\psi_{pm}\cos\vartheta-i_{\alpha}\omega\psi_{pm}\sin\vartheta}{\omega_{m}}=k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right), \] \end_inset kde jsme využili vztahu \begin_inset Formula $\frac{\omega}{\omega_{m}}=p_{p}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dosazení do rovnice pro momenty pak vede na tvar \begin_inset Formula \[ k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}. \] \end_inset Ještě je třeba upravit rovnici tak, aby v ní nevystupovaly mechanické otáčky \begin_inset Formula $\omega_{m}$ \end_inset , ale otáčky elektrické \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . Toho je možno snadno dosáhnout násobením celé rovnice \begin_inset Formula $p_{p}$ \end_inset . Rovnici ještě vydělíme momentem setrvačnosti \begin_inset Formula $J$ \end_inset a získáme tvar \begin_inset Formula \[ \frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{T_{L}p_{p}}{J}-\frac{B}{J}\omega. \] \end_inset Tedy máme poslední rovnici následující soustavy: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{\alpha}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}},\\ \frac{di_{\beta}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}},\\ \frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L},\\ \frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Odvození rovnice pro \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset soustavě pro různé indukčnosti \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Odvození-rovnice-pro-omegavdqruzne-ldq" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Zatím jsme ve většině případů předchozího odvození učinili zjednodušující předpoklad stejných indukčností \begin_inset Formula $L_{d}=L_{q}=L_{s}$ \end_inset . To relativně dobře platí pro případ SMPMSM. Pro IPMSM a přesnější model SMPMSM toto však neplatí a \begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$ \end_inset . Tato vlastnost bude také velmi důležitá při užití estimačních technik označovan ých jako \emph on injektáže \emph default (detailněji dále v textu). Mít tedy k dispozici i rovnice pro různé indukčnosti je velmi žádoucí. Rovnice pro proudy v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadnicích s různými indukčnostmi jsou již uvedeny v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "rovnice_i_dq_ruzneL" \end_inset . Rovnice pro \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset bude odvozena nyní: \end_layout \begin_layout Standard Opět vyjdeme z analogických vztahů jako při předchozím odvození pro \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset , tedy \begin_inset Formula \[ T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}, \] \end_inset kde vyjádříme \begin_inset Formula $T_{e}$ \end_inset ze vztahu \begin_inset Formula \[ T_{e}=\frac{P}{\omega_{m}}. \] \end_inset Tedy transformujeme následující vyjádření pro výkond z \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset do \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} P & = & k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right),\\ P & = & k_{p}\left(\left(u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta\right)\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right)+\left(u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta\right)\left(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta\right)\right),\\ P & \text{=} & k_{p}\left(u_{d}i_{d}+u_{q}i_{q}\right). \end{eqnarray*} \end_inset Opět dosadíme za \begin_inset Formula $u_{d,q}$ \end_inset složky indukovaného napětí bez derivace proudů \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & -\omega L_{q}i_{q},\\ u_{q} & = & \omega L_{d}i_{d}+\omega\psi_{pm}. \end{eqnarray*} \end_inset To vede na \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} P & = & k_{p}\left(-\omega L_{q}i_{q}i_{d}+\left(\omega L_{d}i_{d}+\omega\psi_{pm}\right)i_{q}\right),\\ P & = & k_{p}\omega\left(i_{d}i_{q}\left(L_{d}-L_{q}\right)+\psi_{pm}i_{q}\right). \end{eqnarray*} \end_inset A po dosazení získáme vyjádření pro moment \begin_inset Formula $T_{e}$ \end_inset ve tvaru \begin_inset Formula \[ T_{e}=k_{p}p_{p}\left(i_{d}i_{q}\left(L_{d}-L_{q}\right)+\psi_{pm}i_{q}\right). \] \end_inset Rovnice \begin_inset Formula $T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}$ \end_inset pak po dosazení \begin_inset Formula $T_{e}$ \end_inset , vydělení \begin_inset Formula $J$ \end_inset a násobení \begin_inset Formula $p_{p}$ \end_inset přejde na tvar \begin_inset Formula \[ \frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Diskretizace \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Diskretizace-rovnice-alfabeta" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Výpočty jsou prováděny výhradně na počítači, simulace na PC a v případě řízení reálného stroje se obvykle užívá DSP. Je tedy třeba výše odvozené diferenciální rovnice diskretizovat a převést na rovnice diferenční. Diskretizaci je vhodné volit co možná nejjednodušší, aby se příliš nekomplikova ly výsledné rovnice a aby bylo umožněno jejich případné rychlé zpracování v reálném čase. \end_layout \begin_layout Standard Diskretizací pomocí Eulerovy metody s časovým krokem \begin_inset Formula $\Delta t$ \end_inset získáme následující diskrétní diferenční rovnice: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{\alpha,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\alpha,t}+\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\alpha,t},\\ i_{\beta,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\beta,t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\beta,t},\\ \omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Rotace do \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Rotace-do-dq-problclen" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Nyní ještě provedeme rotaci rovnic ze souřadnic \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset do \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset . Jednak v diferenciálním případě, který bude následovat diskretizace, ale také v diskrétním případě diferenčních rovnic. Oba postupy pak budou srovnány. \end_layout \begin_layout Standard Převod do rotující souřadné soustavy \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset pootočené o úhel \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset a rotojící rychlostí \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset : \begin_inset Formula \[ \left[\begin{array}{c} x_{d}\\ x_{q} \end{array}\right]\text{=}\left[\begin{array}{cc} \cos\vartheta & \sin\vartheta\\ -\sin\vartheta & \cos\vartheta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_{\alpha}\\ x_{\beta} \end{array}\right], \] \end_inset viz \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Transformace_albe_dq" \end_inset nebo stejného efektu lze dosáhnout i použítím komplexních souřadnic a zápisem \begin_inset Formula $x_{dq}=e^{j\vartheta}x_{\alpha\beta}$ \end_inset , jako v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Odvození-rovnic-vdq" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Následně tedy \begin_inset Formula \begin{alignat*}{2} i_{d} & = & i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta,\\ i_{q} & = & i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta, \end{alignat*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard a analogicky pro \begin_inset Formula $u$ \end_inset . Naopak pro inverzní transformaci \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{alignat*}{2} i_{\alpha} & = & i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta,\\ i_{\beta} & = & i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta, \end{alignat*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard a opět anoalogicky pro \begin_inset Formula $u$ \end_inset . To po dosazení do původních diferenciálních rovnic vede na \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{d(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta)}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta)+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta}{L_{s}},\\ \frac{d(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta)}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta)-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta}{L_{s}},\\ \frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{q}\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L},\\ \frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Ve třetí rovnici rovnou dosadíme \begin_inset Formula $i_{q}$ \end_inset , čtvrtá se nemění a z prvních dvou vyjádříme rovnice pro proudy a napětí v \begin_inset Formula $d$ \end_inset a \begin_inset Formula $q$ \end_inset , například tak, že první rovnici násobíme \begin_inset Formula $\cos\vartheta$ \end_inset a sečteme s druhou násobenou \begin_inset Formula $\sin\vartheta$ \end_inset , dále pak první rovnici násobenou \begin_inset Formula $-\sin\vartheta$ \end_inset sečteme s druhou násobenou \begin_inset Formula $\cos\vartheta$ \end_inset , tento postup vede na rovnice \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{d}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}-i_{q}\omega+\frac{u_{d}}{L_{s}},\\ \frac{di_{q}}{dt} & \text{=} & i_{d}\omega-\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega+\frac{u_{q}}{L_{s}},\\ \frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q}-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L},\\ \frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Zde jsou zajímavé členy \begin_inset Formula $-i_{q}\omega$ \end_inset a \begin_inset Formula $i_{d}\omega$ \end_inset v první a druhé rovnici, protože když bychom nejdříve provedli diskretizaci a až následně převod do \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadnic, tyto členy zřejmě nevzniknou. Nevzniknou také, když soustavu \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset definujeme ne jako pootočenou o \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset , ale jako soustavu pootočenou o nějaké konstantní \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset . Z formálního hlediska se jeví jako nejvíce správné řešení zahrnující tyto členy. Pro praktické použití ale je vhodné otestovat, jaký je vliv těchto členů. Diskretizovaná verze rovnic v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset je tedy \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray} i_{d,t+1}+\left|\overline{\underline{\left(-\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}\right)}}\right| & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{d,t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{d,t},\nonumber \\ i_{q,t+1}+\left|\underline{\overline{\left(+\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}\right)}}\right| & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{q,t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{q,t},\label{eq:dqrce-probl-clen}\\ \omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q,t}-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\nonumber \\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t,\nonumber \end{eqnarray} \end_inset kde \begin_inset Quotes gld \end_inset problematické \begin_inset Quotes grd \end_inset členy jsou v rámečku. \end_layout \begin_layout Section Problematika modelu \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sec:Problematika-modelu" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dále budeme pracovat zpravidla převážně s rovnicemi odvozenými v předchozí části a skutečný stroj ustoupí do pozadí. Je však třeba mít na paměti, že za rovnicemi se skrývá fyzikální realita a mnoho jevů, které ji doprovází. Tyto jevy se totiž při aplikaci regulátoru na skutečném stroji projeví. Jedná se především o následující body: \end_layout \begin_layout Itemize \series bold nepřesnost modelu \series default -- chyby způsobené zanedbáním nejrůznějších fyzikálních vlivů a důsledky zjednodušujících předpokladů, například závislosti některých veličin na teplotě, sycení magnetických obvodů, obecně nekonstantní parametry stroje atd. \end_layout \begin_layout Itemize \series bold nedokonalosti stroje \series default -- žádný stroj nebude vyrobený přesně, aby odpovídal modelu, vyskytnou se různé nerovnosti, nesymetrie a podobně \end_layout \begin_layout Itemize \series bold diskretizační a zaokrouhlovací chyby \series default -- řízení je navrhováno pro digitální počítač a tedy dříve nebo později je třeba provést diskretizaci a kvantizaci všech zpracovávaných veličin \end_layout \begin_layout Itemize \series bold chyby měření \series default -- měřící přístroje a čidla, která získávají informace o motoru nejsou přesná, mají pouze určitou rozlišovací schopnost a také omezenou možnost předat informaci, zejména pokud se jedná o digitální zařízení \end_layout \begin_layout Itemize \series bold napájecí zdroj \series default -- zařízení, které dodává regulátorem požadované napětí do stroje není ideální, naopak odpovídá ideálním požadavkům zpravidla velmi špatně, využívá pulzní šířkové modulace (PWM) a invertoru; tyto zařízení pak přinášejí množství negativních efektů \end_layout \begin_layout Standard Tyto jevy se velmi těžko popisují a jejich zachycení v modelu přináší mnoho komplikací. Většinu z nich ani nedokážeme popsat a předvídat. Proto se pokusíme co nejvíce z výše zmíněných problémů zahrnout pod pojem šum. Vzniká pak ale otázka, jak takový šum vhodně nastavit v modelu, aby alespoň přibližně odpovídal problematickým jevům. V rovnicích z předchozí části tedy budeme navíc ještě uvažovat jednoduchý model šumu a to aditivní bílý Gaussovský šum. \end_layout \begin_layout Chapter Algoritmy pro řízení a estimaci \end_layout \begin_layout Section Estimace stavových veličin \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sec:Estimace-stavových-veličin" \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Mechanické veličiny \end_layout \begin_layout Standard Pro řízení PMSM je důležité, že se jedná o synchronní stroj, kdy se rotor otáčí současně (synchronně) s točivým magnetickým polem vytvořeným cívkami statoru. Proto, když chceme navrhnout řízení takového stroje musíme nutně znát polohu rotoru \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset , a to s relativně velkou přesností. Dále, protože se v textu zaměřujeme na řízení rychlosti stroje (regulovanou veličinou jsou otáčky rotoru) potřebujeme znát i hodnotu otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . Problematika získání těchto hodnot se však ukazuje být netriviální. Obecně existuje několik přístupů, které budou detailněji rozebrány dále v textu. \end_layout \begin_layout Paragraph Poznámka: \end_layout \begin_layout Standard Zmiňované veličiny \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset a \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset jsou svázány jdenoduchým diferenciálním vztahem \begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}=\omega$ \end_inset . Při praktickém užití, kdy rovnice diskretizujeme, může být ale výpočet derivace popřípadě integrálu velmi nepřesný. Dáváme tedy přednost metodám estimace těchto veličin, které nám poskytují odhad obou. \end_layout \begin_layout Subsubsection Elektrické veličiny \end_layout \begin_layout Standard Co se týče dalších (elektrických) stavových veličin systému, ve výše uvedených rovnicích vystupují ještě proudy \begin_inset Formula $i$ \end_inset a napětí \begin_inset Formula $u$ \end_inset . Proudy \begin_inset Formula $i$ \end_inset předpokládáme, že měříme, samozřejmě jen s určitou přesností. Napětí \begin_inset Formula $u$ \end_inset pak jsou vstupy, kterými řídíme systém. Ty navrhujeme a tedy je předpokládáme známé, je však třeba uvést, že řízením navržená napětí \begin_inset Formula $u$ \end_inset nejdou přímo do motoru, ale slouží pouze jako referenční hodnoty pro napájecí zdroj. Kontrolu nad napětím na vstupu do motoru tedy nemáme. \end_layout \begin_layout Subsubsection Bezsenzorové řízení \end_layout \begin_layout Standard Dále se v textu hovoří o \emph on bezsenzorovém řízení \emph default . Pod tímto pojmem je vždy bezvýhradně myšleno řízení, které nevyužívá senzorů k měření mechanických veličin. Elektrické veličiny jsou měřeny vždy. \end_layout \begin_layout Subsection Senzorové metody \end_layout \begin_layout Subsubsection* Senzory \end_layout \begin_layout Standard Nejpřímočařejším přístupem pro určování mechanických veličin je osazení stroje senzory. Často se může jednat o pulzní snímače na principu vhodného kódu \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "novak2006" \end_inset . Další možností je využití Hallových senzorů \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PUK1" \end_inset . Využití senzorů přináší obecně mnoho nevýhod. Přidává do zařízení další části a tím zvyšuje jeho cenu i poruchovost. Je třeba řešit jeho připojení k motoru a vodiče pro sběr dat. Řízení využívající senzory je méně robustní a v případě selhání senzoru ztrácíme nad strojem kontrolu. To může být nežádoucí obvzláště, je-li motor využíván současně i jako brzda \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PCW1" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Je tedy snaha se užití senzorů vyhnout a k určování polohy a otáček rotoru využít jiných, \emph on bezsenzorových \emph default , metod. \end_layout \begin_layout Subsubsection* Rezolvery \end_layout \begin_layout Standard Podle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "novak2006" \end_inset a \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PAH1" \end_inset se jedná o v praxi často využívaná zařízení k vyhodnocení úhlu natočení rotoru PMSM. Rezolver je speciální servomechanismus, v podstatě střídavý stroj. Pracuje na principu polohového transformátoru. Na rotoru má umístěné bezkontaktně napájené budící vinutí (primární vinutí transformátoru). Na statoru dvě vinutí posunutá o \begin_inset Formula $90^{\circ}$ \end_inset (představují sekundární vinutí). Zařízení je napájeno vysokofrekvenčním napětím okolo \begin_inset Formula $5-10kHz$ \end_inset o malé amplitudě cca \begin_inset Formula $5V$ \end_inset . Velikosti napětí indukovaných ve statorovách vinutích jsou závislé na úhlovém natočení rotoru ( \begin_inset Formula $\sin$ \end_inset a \begin_inset Formula $\cos$ \end_inset ). To následně může být získáno například pomocí fázového závěsu. \end_layout \begin_layout Standard Rezolvery jsou robustní a vyhodnocují přesně úhel natočení, toho se využívá například v robotice. Je však třeba složitějších obvodů, pro samotné vyhodnocení. Velkou nevýhodou ale je, že se jedná o přídavné zařízení a s tím jsou spojeny problémy již zmiňované u senzorů. \end_layout \begin_layout Standard Dále se ještě nabízí otázka, proč místo užití rezolvéru přímo nepoužít vysokofre kvenční signál v samotném PMSM v rámci některé z injektážních metod. \end_layout \begin_layout Subsection Zpětné elektromotorické síly \end_layout \begin_layout Standard Využítí zpětné elektromotorické síly ( \emph on back electromotiric force, back-EMF \emph default ) je metoda, kdy informaci o úhlu natočení a otáčkách rotoru získáváme z indukovaného napětí. Princip je v podstatě velmi jednoduchý a nejlépe je vidět na rovnicích pro proudy v souřadnicích \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset , které představují přímý vztah mezí řízením systému na vstupu a měřenými výstupu: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}\left|\underline{\overline{+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta}}\right|+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}},\\ \frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}\left|\underline{\overline{-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta}}\right|+\frac{u_{\beta}}{L_{s}}, \end{eqnarray*} \end_inset kde právě zarámované členy odpovídají indukovaným napětím a je z nich možno získat hodnoty \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset a \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . V ideálním případě by stačilo pouze členy extrahovat \begin_inset Formula $e_{\alpha}=\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta$ \end_inset a \begin_inset Formula $e_{\beta}=-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta$ \end_inset a vypočítat \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \vartheta & = & \arctan\left(-\frac{e_{\alpha}}{e_{\beta}}\right),\\ \left|\omega\right| & = & \frac{L_{s}}{\psi_{pm}}\sqrt{e_{\alpha}^{2}+e_{\beta}^{2}}. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Komplikace \end_layout \begin_layout Standard Ve skutečnosti ale postup není tak jednoduchý. Jednak je třeba ještě vyřešit problém se znaménkem \begin_inset Formula $\mathrm{sign\,}\omega$ \end_inset , protože uvedené rovnice jsou symetrické na substituci \begin_inset Formula $\left(\omega,\:\vartheta\right)\longleftrightarrow\left(-\omega,\:\vartheta+\pi\right)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dále do systému vstupuje šum a při malém odstupu signálu od šumu ( \emph on S/N \emph default ) bude výpočet výše značně nepřesný. To také souvisí dalším, největším, problémem tohoto přístupu. Zatímco amplitudu šumu uvažujeme neměnnou, amplituda indukovaných napětí je přímo závislá na otáčkách stroje \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . A tedy při nízkých, nebo dokonce nulových, otáčkách tato metoda naprosto selhává. Tento případ je o to závažnější, že se s ním musíme vyrovnat při každém rozjezdu stroje. Úhel natočení \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset je tedy v tomto případě nepozorovatelný stav. Navíc nemůžeme předpokládat žádnou počáteční hodnotu, protože nám s rotorem mohl otočit nějaký vnější zásah, popřípadě mohl oddriftovat. Je tedy vhodné předpokládat počáteční natočení \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset jako náhodnou veličinu s rovnoměrným rozdělením v intervalu \begin_inset Formula $\left(-\pi,\:\pi\right\rangle $ \end_inset . \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename badekfestim.eps scale 60 \end_inset \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Výsledek odhadování stavu pomocí EKF, který předpokládá počáteční hodnotu \begin_inset Formula $\vartheta_{0}=0$ \end_inset , zatímco skutečná hodnota je jiná (viz legenda). Nahoře odhady otáček \begin_inset Formula $\omega_{est}$ \end_inset (červená přerušovaná čára značí referenční hodnotu \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset témeř přesně sledovanou systémem s řízením se znalostí stavu, tj. \begin_inset Formula $\overline{\omega}\approx\omega_{sys}$ \end_inset ). Vlevo dole skutečné hodnoty úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta_{sys}$ \end_inset a vpravo dole estimované hodnoty \begin_inset Formula $\vartheta_{est}$ \end_inset . \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "Flo:badekfestim" \end_inset \end_layout \end_inset Příkladem toho, jaké výsledky můžeme dosáhnout, když počítáme s očekávanou hodnotou \begin_inset Formula $\vartheta_{0}=0$ \end_inset , zatímco skutečná hodnota je jiná zobrazuje obrázek \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "Flo:badekfestim" \end_inset . Jedná se o jednoduchý příklad odhadování stavu pomocí rozšířeného Kalmanova filtru, v tomto případě neuvažujeme šum. Zde však bylo použito odhadování stavových veličin již běžícího systému, který je řízen regulátorem využívajícím přesnou informaci o stavu. Získaný odhad se tedy nevyužíval pro řízení. Když bychom řídili na základě odhadu stavu, tj. přidali do systému zpětnou vazbu, výsledek by se nepatrně zlepšil viz obrázek \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "Flo:badekfestim2" \end_inset . \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename badekfestim2.eps scale 60 \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Výsledek odhadování a řízení stavu pomocí EKF, který předpokládá počáteční hodnotu \begin_inset Formula $\vartheta_{0}=0$ \end_inset , zatímco skutečná hodnota je jiná (viz legenda). Nahoře průběhy skutečných otáček systému \begin_inset Formula $\omega_{sys}$ \end_inset (červená přerušovaná čára značí referenční hodnotu \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset témeř přesně sledovanou řízením z estimátoru, tj. \begin_inset Formula $\overline{\omega}\approx\omega_{est}$ \end_inset pro všechny volby \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset ). Vlevo dole skutečné hodnoty úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta_{sys}$ \end_inset a vpravo dole estimované hodnoty \begin_inset Formula $\vartheta_{est}$ \end_inset . \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "Flo:badekfestim2" \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Metody \end_layout \begin_layout Standard V praxi se pro určování parametrů z inukovaných napětí dle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PAH1" \end_inset nejčastěji používají nelineární pozorovatelé nebo adaptivní řízení s referenční m modelem (MRAC). Nejčasteji užívaným nelineárním pozorovatelem je pak rozšířený Kalmanův filtr ( \emph on EKF \emph default ). Přístupy založené na EKF lze nalézt například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PEB1,PEB2,PSB1" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard V \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSB1" \end_inset představují bezsenzorové řízení založené na EKF estimátoru ve spojení s PI regulátory. To nepotřebuje znát počáteční natočení rotoru a zátěžný moment. PI regulátor napětí lze nastavit se zamčeným rotorem a je řešen i problém s rozpoznáním \begin_inset Formula $\mathrm{sign}\,\omega$ \end_inset . Článek \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PEB2" \end_inset je také zaměřen na využití EKF, nyní však v případě IPMSM. Návrh je komplikovanější v důsledku anizotropie stroje, autoři se ji však snaží využít k vylepšení výkonu systému. \end_layout \begin_layout Standard Dále kromě EKF je možno použít například klouzavého pozorovatele ( \emph on sliding mode observer, SMO \emph default ), jeho iterativní verzi využívají v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSK1" \end_inset . V \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PLU1" \end_inset využívají také řízení na klouzavém pozorovateli, kde si ale navíc při nízkých otáčkách \begin_inset Formula $\omega\thickapprox0$ \end_inset pomáhají injektováním stejnosměrného proudu do \begin_inset Formula $d$ \end_inset osy. Nevyužívají však anizotropií ani nijak zvlášť neanalyzují injektovaný signál, tento přístup tedy v textu nezařadíme mezi injektáže. \end_layout \begin_layout Standard Pod metody využívající informaci ze zpětné elektromagnetické síly, můžeme zařadit ještě mnoho dalších, které možná na první pohled do této kategorie nespadají. Především se jedná o metody snažící se nějakým způsobem odstranit šum a tedy zvýšit rozlišovací schopnost indukovaných napětí. Opět zde narážíme na problém, že nefungují při \begin_inset Formula $\omega\equiv0$ \end_inset . Jedná se o různé podoby odšumovacích filtrů, tedy filtrů typu dolní propusť (low-pass). V časové oblasti můžeme použít například klouzavé průměry (moving averages - MA) nebo jejich váženou verzi. Ve frekvenční oblasti lze užít (klouzavé) diskrétní Fouriefovy transformace, a buď odstranit vyšší frekvence, nebo si vybrat jen nějakou nízkou. Tím však nezískáváme o moc navíc, protože 0. harmonická odpovídá v podstatě průměru, další harmonické pak vhodně váženému průměru. \end_layout \begin_layout Standard Za zmínku ještě stojí další skupina metod využívající více paralelně běžících odhadů z nichž vybírá jeden, nějakým způsobem optimální. Takovou metodou je například sekvenční Monte Carlo metoda (Particle Filter). \end_layout \begin_layout Standard Dalším příkladem by mohlo být více paralelně běžících modelů, z nichž se vybere ten, jehož výstup nejlépe odpovídá výstupu skutečného systému. Nedostatkem těchto přístupů je poměrně velká výpočetní náročnost, přesto ale poskytují relativně dobré výsledky. Příkladem může být obrázek \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "Flo:multipleest" \end_inset zachycujcí výsledek \begin_inset Formula $12$ \end_inset současně běžících modelů s různým počátečním odhadem \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset rovnoměrně rozloženým v intervalu \begin_inset Formula $\left(-\pi,\:\pi\right\rangle $ \end_inset . Skutečná počáteční hodnota natočení rotoru systému je \begin_inset Formula $\vartheta_{0}=\frac{5}{12}\pi$ \end_inset . \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename multiest3.eps scale 60 \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Grafy znázorňují průběh otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a úhlů natočení systému \begin_inset Formula $\theta$ \end_inset , kdy je k odhadování stavu použito \begin_inset Formula $12$ \end_inset současně běžících modelů, z nichž je v každém kroku vybírán nejlepší na základě shody s výstupem (měřené proudy) skutečného systému. Systém je řízen ze stavu, aby co nejlépe sledoval požadovanou hodnotu otáček, jeho počáteční úhel natočení je \begin_inset Formula $\vartheta_{0}=\frac{5}{12}\pi$ \end_inset . Počáteční \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset odhadovacích modelů jsou rovnoměrně rozloženy v intervalu \begin_inset Formula $\left(-\pi,\:\pi\right\rangle $ \end_inset . \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "Flo:multipleest" \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Kalmanův filtr \end_layout \begin_layout Standard Pro úplnost je zde uvedena i základní formulace v textu často zmiňovaného Kalmanova filtru. Typicky je tento algoritmus používán jako pozorovatel lineárního systému. Je však možno jej zobecnit i pro nelineární systémy a pak hovoříme o rozšířeném Kalmanově filtru (Extended Kalman Filter, EKF). Zobecnění je založeno na jednoduché myšlence, kdy původní nelineární systém aproximujeme systémem lineárním, tedy provedeme v každém časovém kroku linearizaci v nějaké reprezentativní trajektorii. Následující popis Kalmanova filtru je převzat z \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "BertsekasDPOC" \end_inset , kde je možno nalézt i příslušné odvození: \end_layout \begin_layout Paragraph Modelový systém \end_layout \begin_layout Standard Předpokládejme lineární dynamický systém, prozatím bez řízení ( \begin_inset Formula $u_{t}\equiv0$ \end_inset ) popsaný rovnicemi \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} x_{t+1} & = & A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}+w_{t},\\ z_{t} & = & C_{t}x_{t}+v_{t}, \end{eqnarray*} \end_inset pro \begin_inset Formula $t=0,1,\ldots,T-1$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset je vektor stavu, \begin_inset Formula $u_{t}$ \end_inset vektor řízení, \begin_inset Formula $z_{t}$ \end_inset vektor pozorování (měření) a vektory \begin_inset Formula $v_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $w_{t}$ \end_inset představují šum, matice \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset , \begin_inset Formula $B_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $C_{t}$ \end_inset předpokládáme známé. Dále \begin_inset Formula $x_{0},w_{0},\ldots,w_{T-1},v_{0},\ldots,v_{T-1}$ \end_inset jsou vektory nezávislých náhodných veličin s daným rozdělením pravděpodobnosti splňujícím \begin_inset Formula $\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ w_{t}\right\} =\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ v_{t}\right\} =0$ \end_inset , pro \begin_inset Formula $t=0,1,\ldots,T-1$ \end_inset . Označme \begin_inset Formula $S=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ \left(x_{0}-\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{0}\right\} \right)\left(x_{0}-\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{0}\right\} \right)^{T}\right\} $ \end_inset , \begin_inset Formula $M_{t}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ w_{t}w_{t}^{T}\right\} $ \end_inset , \begin_inset Formula $N_{t}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ v_{t}v_{t}^{T}\right\} $ \end_inset a nechť je matice \begin_inset Formula $N_{t}$ \end_inset pozitivně definitní pro všechny časy \begin_inset Formula $t$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dále označme \begin_inset Formula $\hat{x}_{t\mid t-1}$ \end_inset apriorní odhad stavu \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset , tedy odhad v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset na základě informací do času \begin_inset Formula $t-1$ \end_inset . Obdobně \begin_inset Formula $\hat{x}_{t\mid t}$ \end_inset označuje aposteriorní odhad \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset . Analogicky pak označíme apriorní \begin_inset Formula $P_{t\mid t-1}$ \end_inset a aposteriorní \begin_inset Formula $P_{t\mid t}$ \end_inset kovarianční matici stavu systému. \end_layout \begin_layout Paragraph Algoritmus \end_layout \begin_layout Standard Volíme počáteční podmínky \begin_inset Formula $\hat{x}_{0\mid-1}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{0}\right\} $ \end_inset a \begin_inset Formula $P_{0\mid-1}=S$ \end_inset a dále předpokládáme, že máme odhady \begin_inset Formula $\hat{x}_{t\mid t-1}$ \end_inset a \begin_inset Formula $P_{t\mid t-1}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ \left(x_{t}-\hat{x}_{t\mid t-1}\right)\left(x_{t}-\hat{x}_{t\mid t-1}\right)^{T}\right\} .$ \end_inset V čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset získáme měření na výstupu systému \begin_inset Formula $z_{t}=C_{t}x_{t}+v_{t}$ \end_inset a z něj vypočítáme aposteriorní odhad stavu \begin_inset Formula $\hat{x}_{t\mid t}$ \end_inset ve tvaru \begin_inset Formula \begin{equation} \hat{x}_{t\mid t}=\hat{x}_{t\mid t-1}+P_{t\mid t-1}C_{t}^{T}\left(C_{t}P_{t\mid t-1}C_{t}^{T}+N_{t}\right)^{-1}\left(z_{t}-C_{t}\hat{x}_{t\mid t-1}\right).\label{eq:kalman_st_aposter} \end{equation} \end_inset Dále pak získáme apriorní odhad stavu \begin_inset Formula $\hat{x}_{t+1\mid t}$ \end_inset v čase \begin_inset Formula $t+1$ \end_inset jako \begin_inset Formula $\hat{x}_{t+1\mid t}=A_{t}\hat{x}_{t\mid t}$ \end_inset a apriorní kovarianční matici \begin_inset Formula $P_{t+1\mid t}=A_{t}P_{t\mid t}A_{t}^{T}+M_{t}$ \end_inset . Aposteriorní kovarianční matici \begin_inset Formula $P_{t\mid t}$ \end_inset získáme z rovnice \begin_inset Formula \[ P_{t\mid t}=P_{t\mid t-1}-P_{t\mid t-1}C_{t}^{T}\left(C_{t}P_{t\mid t-1}C_{t}^{T}+N_{t}\right)^{-1}C_{t}P_{t\mid t-1}. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Rovnici \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:kalman_st_aposter" \end_inset lze vyjádřit ve tvaru \begin_inset Formula \[ \hat{x}_{t\mid t}=A_{t-1}\hat{x}_{t-1\mid t-1}+P_{t\mid t}C_{t}^{T}N_{t}^{-1}\left(z_{t}-C_{t}A_{t-1}\hat{x}_{t-1\mid t-1}\right). \] \end_inset Nyní, když budeme uvažovat systém se vstupem můžeme modifikací předchozí rovnice získat vyjádření ve tvaru \begin_inset Formula \[ \hat{x}_{t\mid t}=A_{t-1}\hat{x}_{t-1\mid t-1}+B_{t-1}u_{t-1}+P_{t\mid t}C_{t}^{T}N_{t}^{-1}\left(z_{t}-C_{t}A_{t-1}\hat{x}_{t-1\mid t-1}\right), \] \end_inset přičemž rovnice pro výpočet \begin_inset Formula $P_{t\mid t}$ \end_inset zůstávají nezměněny. \end_layout \begin_layout Subsubsection Další vlastnosti \end_layout \begin_layout Standard Metody využívající zpětnou elektromotorickou sílu jsou obvykle založeny na modelu a je tedy důležitá znalost parametrů stroje. Bylo by tedy dobré najít přístupy, které na parametrech nezávisí, popřípadě které jsou odolné na jejich změnu. To se daří u mechanických parametrů stroje, jako je zátěžný moment například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PEB2,PSB1" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Ve vyšších otáčkách poskytuje tento přístup dobré výsledky. Proto je součástí hybridních metod, které kombinují využití zpětné elektromotor ické síly a injektáž. \end_layout \begin_layout Subsection Injektáže \end_layout \begin_layout Standard Injektážemi označujeme v textu metody, které využívají přídavného signálu k detekci anizotropií stroje a usnadňují určení jeho jinak obtížně pozorovateln ých stavů, především úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset . Anizotropie lze rodělit do dvou hlavních kategorií. První jsou vlastní magnetické výčnělky ( \emph on saliency \emph default ) rotoru, ty jsou charakteristické především pro IPMSM. Do druhé kategorie pak spadají lokální anizotropie vzniklé saturací magnetickým tokem, typické pro SMPMSM. Signál je přiváděn na vstup stroje spolu s řízením. Zpravidla je využíván vysokofrekvenční signál, aby docházelo k co možná nejmenšímu narušení průběhu samotného řízení. Tyto metody jsou ale ve většině případů založeny na nějakém \begin_inset Quotes gld \end_inset speciálním \begin_inset Quotes grd \end_inset jevu (anizotropii), v tom smyslu, že jej v základních rovnicích nemáme. V reálném zařízení se samozřejmě vyskytují. \end_layout \begin_layout Standard Nejobvyklejším přístupem je, že anizotropie je v podstatě reprezentována rozdílnými indukčnostimi v osách \begin_inset Formula $d$ \end_inset a \begin_inset Formula $q$ \end_inset , tedy \begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$ \end_inset . Pro IPMSM s permanentními magnety uvnitř rotoru toto platí relativně velmi dobře. V případě SMPMSM je však situace horší, protože rozdíl \begin_inset Formula $L_{q}-L_{d}$ \end_inset je velmi malý, v krajním případě dokonce nulový. Za předpokladu \begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$ \end_inset lze této vlastnosti využít k určení polohy (úhlu natočení) rotoru \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset pomocí injektování vhodného testovacího signálu do stroje. Obvykle se využívá vysokofrekvenčního signálu o frekvenci v řádu stovek \begin_inset Formula $Hz$ \end_inset . Existují však i injektáže využívající nízkofrekvenční signály. \end_layout \begin_layout Standard Injektáž je aplikována jako vysokofrekvenční napěťový harmonický signál o frekvenci přibližně \begin_inset Formula $500\, Hz$ \end_inset . Ten je injektovaný do estimované osy \begin_inset Formula $d$ \end_inset spolu s řídícím napětím. Následně je získána v \begin_inset Formula $q$ \end_inset složce proudu informace o úhlu natočení \begin_inset Formula $\sin2\hat{\vartheta}$ \end_inset . Jedná se o obálku amplitudově modulovanou na nosné frekvenci. Demodulace je provedena vynásobením vysokofrekvenčním nosným signálem a následným užitím low-pass filtru. Je však třeba upozornit na nutnost předpokladu \begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$ \end_inset , protože amplituda \begin_inset Formula $\sin2\hat{\vartheta}$ \end_inset závisí mimo jiné přímo úměrně na rozdílu indukčností \begin_inset Formula $L_{q}-L_{d}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Tato základní metoda je užívána například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PAH1,PAB1" \end_inset . Dále pak v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSJ1" \end_inset , kde se využívá principu, kdy v důsledku magnetického toku permanentních magnetů je syceno jádro vinutí kolem \begin_inset Formula $q$ \end_inset osy. To vytváří magnetickou nepravidelnost v motoru závislou na poloze rotoru. Tato nepravidelnost je následně detekována injektovaným vysokofrekvenčním napětím. Výhodou této metody je, že je přímo navrhována pro užití v SMPMSM. Vysokofrekvenční napěťový signál je opět injektován do estimované \begin_inset Formula $d$ \end_inset osy, informace o poloze rotoru je získána z proudu v ose \begin_inset Formula $q$ \end_inset násobením a low-pass filtrem. \end_layout \begin_layout Standard V článku \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PCB1" \end_inset se zabývají srovnáním dvou metod injektáží. Zaměřují se jak na IPMSM, který má větší rozdíl indukčností \begin_inset Formula $L_{q}-L_{d}$ \end_inset , tak i na SMPMSM. První metoda označovaná jako \begin_inset Quotes gld \end_inset pulzující napěťový vektor \begin_inset Quotes grd \end_inset je v podstatě shodná s injektážní technikou z minulého odstavce. Oproti tomu druhý způsob, nazývaný jako \begin_inset Quotes gld \end_inset rotující napěťový vektor \begin_inset Quotes grd \end_inset , užívá injektáž v souřadnicích \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset . Informaci o úhlu natočení, respektive chybě odhadu úhlu natočení je pak získána násobením a následnou aplikací high-pass filtru. Opět ale platí, že získaná informace je úměrná rozdílu indukčností \begin_inset Formula $L_{q}-L_{d}$ \end_inset . Dále je v článku provedeno srovnání obou metoda na oba typy motorů, kdy je užit stejný stator a měněny rotory (SMPMSM a IPMSM). Mezi injektážními metodami nebyl shledán žádný zásadnější rozdíl. Rozdíly se projevily spíše při použití stejné metody na různé motory, to souvisí s jejich magnetickými vlastnostmi, v tomto textu se tímto však zabývat nebudeme. Srovnáním zmiňovaných dvou metod se zabývají i v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PCK1" \end_inset , zaměřují se však na IPMSM. \end_layout \begin_layout Standard Články \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSL1,PSL3" \end_inset představují injektážní metodu k detekci anizotropií, která nepotřebuje znát parametry stroje. V případě \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSL3" \end_inset se navíc snaží kompenzovat negativní vliv invertoru, především jev označovaný jako \emph on dead-time effect \emph default . Díky tomu jsou schopni detekovat i malé nepravidelnosti typické pro SMPMSM. Je užíván vysokofrekvenční napěťový signál o frekvenci okolo \begin_inset Formula $2\, kHz$ \end_inset . Injektovaný signál je složením dvou signálů rotojících proti sobě. V případě špatného odhadu úhlu \begin_inset Formula $\hat{\vartheta}\neq\vartheta$ \end_inset je vzniká aditivní vysokofrekvenční signál v proudech, ze kterého může být tato chyba získána pomocí pozorovatele \emph on (Tracking Observer \emph default ). \end_layout \begin_layout Standard Zajímavou techniku představují v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PIS1" \end_inset , kde vypočítají absolutní polohu rotoru v klidu. Metoda funguje i pro SMPMSM a je založena na injektování vhodných napěťových pulzů do vinutí každé z fází. Následně dochází k částečnému nasycení statoru, ze kterého je možno spočítat absolutní polohu rotoru i bez znalosti parametrů stroje. \end_layout \begin_layout Standard Další velmi zajímavý přístup je prezentován v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PAP1" \end_inset . Tato metoda nevyužívá anizotropií rotoru, ani výčnělků, místo toho je založena na anizotropii samotných permanentních magnetů. Z tohoto důvodu může být dobře využita při estimaci PMSM, kde ostatní metody selhávají, například z důvodu \begin_inset Formula $L_{q}=L_{d}$ \end_inset . K jejich detekci je ale třeba využít velmi vysokých frekvencí, řádově \begin_inset Formula $100-500\, kHz$ \end_inset . Optimální hodnotu frekvence je navíc třeba naladit pro konkrétní typ magnetu. Tento přístup vypadá velmi slibně, ale jak autoři sami uvádějí, je tato metoda nová a vyvstává kolem ní ještě mnoho nezodpovězených otázek. \end_layout \begin_layout Subsection Hybridní metody \end_layout \begin_layout Standard Hybridními metodami v textu označujeme v podstatě vhodnou kombinaci předchozích dvou zmiňovaných přístupů. Techniky založené na zpětné elektromotorické síle fungují relativně velmi dobře, selhávají ale při nízkých a nulových otáčkách. Naopak užití injektáží je vhodné pro nízké a nulové otáčky, zatímco ve vyšších rychlostech způsobuje nežádoucí rušení. Z tohoto důvodu je snaha obě metody vhodným způsobem zkombinovat a využít předností obou. Základní idea je tedy jednoduchá. Dokud se pohybujeme v nízkých otáčkách, využíváme odhadů založených na injektáži, při vyšších otáčkách injektáž vypneme, aby nezpůsobovala nežádoucí zásahy a užíváme již jen odhadů získaných ze zpětné elektromotorické síly. \end_layout \begin_layout Standard Tento postup je použit například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PAP2" \end_inset , kdy jako estimátor používají adaptivního pozorovatele s referenčním modelem, který je pro nízké otáčky doplněn injektáží v podstatě v základním návrhu popsaném v předcházející části. Důležitou součástí těchto metod je způsob, jakým se vyřeší \begin_inset Quotes gld \end_inset bezproblémový \begin_inset Quotes grd \end_inset přechod z jednoho estimátoru na jiný. V \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PHS1" \end_inset je to například řešeno tak, že užívají estimátor rotorového toku založený na indukovaných napětích, který je funkční pořád. V nízkých otáčkách je pak doplňován injektáží, ta s rostoucími otáčkami postupně vymizí. Obdobně v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSP1" \end_inset je užit estimátor založený na napěťovém modelu, v nízkých otáčkách je přidána vysokofrekvenční injektáž. Ta s rostoucími otáčkami lineárně klesá a navíc je nad určitou mezní rycholostí úplně vypnuta. \end_layout \begin_layout Standard Hybridní metody jsou samozřejmě dále vylepšovány. Například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSP2" \end_inset uzpůsobojí standartní hybridní metodu, zejména její injektážní část, aby fungovala i s invertorem vybaveným na výstupu \emph on LC \emph default filtrem. Toho se užívá zejména k odstranění problému ve střídavých strojích v důsledku napájení nesinusovým napětím z invertoru s pulzně šířkovou modulací. \end_layout \begin_layout Section Řízení \end_layout \begin_layout Standard Jak již bylo zmíněno výše pro správné řízení je nezbytně nutná znalost polohy natočení rotoru \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset a otáček rotoru \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . Jak tyto veličiny, respektive jejich odhady \begin_inset Formula $\hat{\vartheta}$ \end_inset a \begin_inset Formula $\hat{\omega}$ \end_inset , získat bylo uvedeno v předchozí části. Předpokládáme tedy, že známe odhad stavu systému \begin_inset Formula $\left(\hat{i_{\alpha}},\hat{i_{\beta}},\hat{\omega},\hat{\vartheta}\right)$ \end_inset a nyní se zaměříme na to, jak systém správně řídit, tedy naplnit požadavky zadaných kritérií. V textu budeme předpokládat následující požadavky na řízení: \end_layout \begin_layout Itemize dosažení požadovaných otáček -- snaha aby skutečné otáčky systému \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset co nejpřesněji sledovaly zadaný referenční signál požadovaných otáček \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize omezení na vstupy \end_layout \begin_deeper \begin_layout Itemize řízené veličiny jsou napětí na vstupu do systému, ty z fyzikálních důvodů nemohou být libovolně velké, protože napěťový zdroj je schopen poskytnout pouze určité maximální napětí \begin_inset Formula $U_{max}$ \end_inset , tedy na řídící napětí je kladen požadavek \begin_inset Formula $\left|u_{\alpha,\beta}\right|\leq U_{max}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize analogicky napěťový zdroj není schopen produkovat příliš rychle se měnící napětí, například v jednom okamžiku \begin_inset Formula $U_{max}$ \end_inset a v následujícím \begin_inset Formula $-U_{max}$ \end_inset , proto je vhodné mít pod kontrolou i změnu řídícíh napětí v sousedních časových krocích \begin_inset Formula $\left|u_{\alpha,\beta}(t+1)-u_{\alpha,\beta}(t)\right|$ \end_inset \end_layout \end_deeper \begin_layout Standard Než přistoupíme k popisu konkrétních řídících algoritmů je důležité upozornit na jeden problém ve zde užitém postupu. Obecně rozdělení algoritmu na estimační a řídící část při současném zachování optimality je možné pouze pro lineární systémy. Uvažovaný systém synchronního stoje zřejmě lineární není. Navrhování estimace a řízení současně v jednom algoritmu by však bylo v tomto případě velmi složité a proto se dopouštíme zmiňovaného zjednodušení. Tento problém lze dále řešit užitím duálních metod, které řízení a estimaci vzájemně provazují a v ideálním případě by vedly k nalezení optimálního řešení. \end_layout \begin_layout Standard Obecně lze následující řídící algoritmy uvažovat buď v souřadném systému \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset nebo v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset . Řídící napětí dodáváme do stroje, respektive jako referenci do zdroje napájecíh o samotný stroj, v souřadnicích \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset . Proto se návrh v této soustavě jeví jako přímočařejší. \end_layout \begin_layout Standard Na druhou stranu ale většina dále zmiňovaných metod užívá linearizace. Zřejmě již z tvaru rovnic v soustavách \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset viz \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Odvození-rovnic-valfabeta" \end_inset a \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset viz \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Odvození-rovnic-vdq" \end_inset je vidět, že linearicazí rovnic v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadnicích se dopouštíme menší chyby. Jedinými nelineárními členy vystupujícími v těchto rovnicích jsou tvaru \begin_inset Formula $\mp i_{q,d}\omega$ \end_inset v rovnici pro \begin_inset Formula $i_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $i_{q}$ \end_inset . Když uvážíme, že otáčky \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset se v porovnání s proudy \begin_inset Formula $i_{d,q}$ \end_inset mění velmi málo a jsou tedy téměř konstantní, linearizace způsobí velmi malou chybu. Oproti tomu v rovnicích v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset souřadném systému vystupují nelineární členy typu \begin_inset Formula $\omega\sin\vartheta$ \end_inset , \begin_inset Formula $\omega\cos\vartheta$ \end_inset , \begin_inset Formula $i_{\alpha}\sin\vartheta$ \end_inset , \begin_inset Formula $i_{\beta}\cos\vartheta$ \end_inset . Linearizace v nich vystupujících goniometrických funkcí je velmi nepřesná a v důsledku relativně rychlé změny úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset není možné ani žádné učinné zjednodušení. \end_layout \begin_layout Subsection Základní řídící strategie \end_layout \begin_layout Subsubsection PI regulátor (tady to zkontrolovat s nějakou literaturou) \end_layout \begin_layout Standard Naprostá většina dnes využívaných a i v literatuře popisovaných řízení pro PMSM, ale i pro motory obecně, je založena na PI regulátorech. \end_layout \begin_layout Standard PI (proporcionálně integrační) regulátor je jednoduchý systém, který v sobě kombinuje dvě základní části: Proporcionální, což je v podstatě zesilovač a integrální reprezentovanou integrátorem. V tomto systému se vyskytují dvě konstanty \begin_inset Formula $K_{p}$ \end_inset a \begin_inset Formula $K_{i}$ \end_inset , které je třeba vhodně nastavit. Základní implementace je následnovná: \begin_inset Formula \[ x_{t}=\mathrm{PI}\left(e_{t},K_{p},K_{i}\right)=K_{p}e_{t}+K_{i}\intop_{0}^{t}e_{\tau}d\tau. \] \end_inset Diskrétní verze pak \begin_inset Formula \[ x_{t}=\mathrm{PI}\left(e_{t},K_{p},K_{i}\right)=K_{p}e_{t}+K_{i}\sum_{k=0}^{t}e_{k}. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Tento regulátor je výhodné užít v případě, kdy chceme vyregulovat \begin_inset Formula $e_{k}$ \end_inset obvykle reprezentující odchylku od požadované hodnoty na nulu. V některých případech bychom si vystačili s proporcionální složkou, integrální složka však dodává lepší stabilitu a schopnost odstranit konstatní regulační odchylku. Cenou za to je pomalejší konvergence. \end_layout \begin_layout Standard Samotné PI regulátory však představují pouze realizaci nějakého konkrétního algoritmu. Nejčastěji používanými řídícími algoritmy, a to nejen pro PMSM, ale pro střídavé stroje obecně, jsou následující tři. \end_layout \begin_layout Subsubsection Skalární řízení \end_layout \begin_layout Standard Skalární řízení je často využíváno v asynchronních strojích, je ale možné jeho užití i pro PMSM. Detailněji je popsáno například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "shfpmsmct2007" \end_inset . Velkou výhodou je, že se jedná v podstatě o bezsenzorový návrh řízení, funguje na principu nezpětnovazebního řízení (open loop). Nevýhodou je pak závislost rychlosti na zátěžném momentu a horší dynamické vlastnosti. \end_layout \begin_layout Standard Toto řízení je také označováno jako \begin_inset Formula $V/f$ \end_inset řízení, protože regulovanou veličinou je právě poměr napětí a frekvence. Snahou řízení je udržet poměr napětí \begin_inset Formula $/$ \end_inset frekvence konstantní. Úhlová rychlost rotoru může být určena nepřímo výpočtem z frekvence napájecího napětí. Tato hodnota může být považována za hodnotu skutečných otáček stroje, pokud zátěžný moment nepřesáhne kritickou hodnotu. Pro řízení ale skutečnou hodnotu otáček stroje znát nepotřebujeme, algoritmus totiž pracuje následovně: \end_layout \begin_layout Standard Z požadovaných otáček se určí frekvence \begin_inset Formula $f$ \end_inset , ta slouží jako referenční signál pro regulátor. Ten pak řídí poměr napětí a frekvence \begin_inset Formula $V/f$ \end_inset tak, aby byl konstantní. Na jeho výstupu získáme amplitudu napětí \begin_inset Formula $V$ \end_inset . Řídící napětí pro PMSM v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset souřadnicích je pak ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{\alpha} & = & V\cos(2\pi ft)\\ u_{\beta} & = & V\sin(2\pi ft) \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Vektorové řízení \end_layout \begin_layout Standard Jedná se asi o nejčastěji využívaný řídící algoritmus. Je užíván pro řízení v kombinaci s estimátorem založeným na zpětné elektromotor ické síle, injektáži i v hybridních verzích v naprosté většině citovaných textů z části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:Estimace-stavových-veličin" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "shfpmsmct2007" \end_inset vektorové řízení odstraňuje většinu nevýhod skalárního řízení a v porovnání s ním poskytuje velmi dobrý výkon. Jedná se o řízení zpětnovazební a umožňuje samostatné řízení toku i momentu. Uvažujeme reprezentaci stroje v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadném systému. Vektorové řízení je zpětnovazební a je tedy potřeba znát odhady úhlu natočení \begin_inset Formula $\hat{\vartheta}$ \end_inset a otáček \begin_inset Formula $\hat{\omega}$ \end_inset rotoru stroje. Základní struktura regulátoru pak využije zpětné vazby z otáček, kdy první regulátor reguluje odchylku estimovaných otáček \begin_inset Formula $\hat{\omega}$ \end_inset od požadované referenční hodnoty \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset na nulu. Výstupem je pak referenční proud \begin_inset Formula $\overline{i_{q}}$ \end_inset . Referenční proud \begin_inset Formula $\overline{i_{d}}$ \end_inset volíme nulový, aby bylo dosaženo maximálního momentu. Tento postup můmžeme ilustrovat na diskretizované rovnici pro otáčky \family roman \series medium \shape up \size normal \emph off \bar no \noun off \color none \lang english \begin_inset Formula \[ \omega_{t+1}\text{=}\left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q,t}-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t, \] \end_inset \family default \series default \shape default \size default \emph default \bar default \noun default \color inherit \lang czech přičemž zanedbáváme poslední člen se zátěžným momentem. Požadované hodnoty bychom chtěli dosáhnout v následujícím kroku a tedy získáme následující tvar rovnice \begin_inset Formula \[ \overline{\omega}-k_{1}\omega=k_{2}i_{q}. \] \end_inset \begin_inset Formula $\overline{i_{q}}$ \end_inset tedy můžeme získat pomocí PI regulátoru s vhodnými konstantami \begin_inset Formula \[ \overline{i_{q}}=\mathrm{PI}(\overline{\omega}-\omega,K_{p,i},K_{i,i}). \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Referenční hodnoty proudů jsou následně porovnány s estimovanými hodnotami \begin_inset Formula $i_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $i_{q}$ \end_inset a jejich odchylky jsou regulovány na nulu. Toto je provedeno pro každou složku zvlášť a výstupem jsou řídící napětí v souřadnicích \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset , tedy \begin_inset Formula $u_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $u_{q}$ \end_inset . Postupujeme obdobně s rovnicemi proudů \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{d,t+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{d,t},\\ i_{q,t+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{q,t}, \end{eqnarray*} \end_inset kde prozatím zanedbáme členy s \begin_inset Formula $\pm\Delta t\cdot i_{q,d}\omega$ \end_inset , dále pak člen \begin_inset Formula $-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}$ \end_inset a chceme dosáhnout požadovaných hodnot \begin_inset Formula $\overline{i_{d}}=0$ \end_inset a \begin_inset Formula $\overline{i_{q}}$ \end_inset , které byly získány v předchozím kroku. To vede na následující tvar \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} -k_{1}i_{d} & = & k_{2}u_{d},\\ \overline{i_{q}}-k_{1}i_{q} & = & k_{2}u_{q}. \end{eqnarray*} \end_inset Napětí \begin_inset Formula $u_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $u_{q}$ \end_inset měžeme tedy získat pomocí dvou PI regulátorů ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & \mathrm{PI}(-i_{d},K_{p,u},K_{i,u}),\\ u_{q} & = & \mathrm{PI}(\overline{i_{q}}-i_{q},K_{p,u},K_{i,u}). \end{eqnarray*} \end_inset Následně je ještě vhodné provést korekce v důsledku zanedbaných členů a to ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & u_{d}-L_{s}\overline{i_{q}}\overline{\omega},\\ u_{q} & = & u_{q}+\psi_{pm}\overline{\omega}. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Přímé řízení momentu \end_layout \begin_layout Standard Přímé řízení momentu (DTC z Direct Torque Control) dle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "shfpmsmct2007,vcmdtc2006" \end_inset se užívá, když je potřeba vysoký výkon vzhledem k dynamice momentu. Jak již napovídá název, je řízen přímo moment stroje. Základní princip je jednoduchý. Kruhová trajektorie statorového toku se rozdělí na šest symetrických částí. Velikosti vektorů statorového toku a elektromagnetického momentu v souřadnicích \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset je pak držena v předem stanovených mezích prostřednictvím vhodného spínání jedné ze šesti kombinací na invertoru. \end_layout \begin_layout Standard Touto metodou text již dále nezabývá a je zde uvedena jen pro úplnost. \end_layout \begin_layout Subsection Lineářně kvadratické řízení \end_layout \begin_layout Standard Řízení \emph on LQG \emph default (z Linear-Quadratic-Gaussian) je primárně navrženo pro řízení lineárních systémů s kvadratickou ztrátovou funkcí a Gaussovským šumem. Existují však různé modifikace i pro nelineární systémy. Algoritmus \emph on LQG \emph default často využívá jako pozorovatele Kalmanův filtr. Základní formulace podle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "BertsekasDPOC" \end_inset je následovná: \end_layout \begin_layout Standard Uvažujme lineární systém \begin_inset Formula \[ x_{t+1}=A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}+w_{t},\quad t=0,1,\ldots,T-1, \] \end_inset kde obecně vektorová veličina \begin_inset Formula $x_{k}$ \end_inset reprezentuje stav systému v časovém kroku \begin_inset Formula $k$ \end_inset , veličina \begin_inset Formula $u_{k}$ \end_inset řízení v čase \begin_inset Formula $k$ \end_inset a \begin_inset Formula $w_{k}$ \end_inset je Gaussovský bílý šum s nulovou střední hodnotou a známou kovarianční maticí; je uvažován konečný diskrétní časový horizont \begin_inset Formula $N$ \end_inset kroků. \end_layout \begin_layout Standard Kvadratická ztrátová funkce je \begin_inset Formula \[ \mathbf{E}\left\{ x_{N}^{T}Q_{N}x_{N}+\sum_{t=0}^{T-1}\left(x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}\right)\right\} , \] \end_inset kde \begin_inset Formula $\mathbf{E}$ \end_inset značí očekávanou hodnotu, \begin_inset Formula $Q_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $R_{t}$ \end_inset jsou penalizační matice stavu systému (splnění požadavků řízení) respektive penalizace vstupů. Při uvažování neúplné informace \begin_inset Formula $I_{t}$ \end_inset o stavu je optimální řízení \family roman \series medium \shape up \size normal \emph off \bar no \noun off \color none \lang english \begin_inset Formula $\mu_{t}^{*}$ \end_inset \family default \series default \shape default \size default \emph default \bar default \noun default \color inherit \lang czech v každém časovém kroku rovno \begin_inset Formula \[ \mu_{t}^{*}(I_{t})=L_{t}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{t}\mid I_{t}\right\} , \] \end_inset kde matice \begin_inset Formula $L_{t}$ \end_inset je dána rovností \begin_inset Formula \[ L_{t}=-\left(R_{t}+B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}A_{t}, \] \end_inset přičemž matice \begin_inset Formula $K_{t}$ \end_inset získáme rekurzivně z Riccatiho rovnice \begin_inset Formula \begin{eqnarray} K_{T} & = & Q_{T},\label{eq:riccati-lqg}\\ K_{t} & = & A_{t}^{T}\left(K_{t+1}-K_{t+1}B_{t}\left(R_{t}+B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}\right)A_{t}+Q_{t}.\nonumber \end{eqnarray} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Implementace \end_layout \begin_layout Standard Samotná implementace lineářně kvadratického řízení pro PMSM v sobě však nese mnoho komplikací, které je třeba vyřešit. Detailněji budou tyto problémy rozebrány v kapitole \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "cha:Návrh-a-vyhodnocení" \end_inset , zde bude jen stručně nastíněna základní problématika. \end_layout \begin_layout Standard Především řídící matici \begin_inset Formula $L$ \end_inset počítáme z Riccatiho rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:riccati-lqg" \end_inset ) zpětnou integrací (diskrétní) v čase a potřebujeme tedy znát budoucí stavy systému. Pro srovnání uveďme například výpočet Kalmanova filtru, kde počítáme duální rovnici integrací vpřed a problém nevzniká. Řešením může být užití \begin_inset Quotes gld \end_inset ubíhajícího horiznotu \begin_inset Quotes grd \end_inset , kdy matici \begin_inset Formula $L$ \end_inset navrhujeme na pomocném časovém horiznotu, který se posouvá vzhledem k aktuálním u časovému kroku. S tím je spojená komplikace, jak bude stav systému v budoucích časech vypadat. Je tedy potřeba nějak odhadnout budoucí stav a v něm provést výpočet. \end_layout \begin_layout Standard LQ řízení již ze svého názvu předpokládá lineární systém a odvozené rovnice v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:Odvození-rovnic" \end_inset popisující PMSM nejsou lineární. Je tedy potřeba provést linearizaci a ve spojení s diskretizací se užitím tohoto postupu můžeme dopouštět již značné chyby. Samostatnou otázkou je však i samotná linearizace. Nejdříve je totiž nutné zvolit vhodnou souřadnou soustavu, ve ktreré bude vlastní linearizace provedena. Jak se ukazuje na základě simulací, může to mít značný vliv. \end_layout \begin_layout Standard Dalším důležitým krokem je zvážit možnost zanedbání některých méně významných členů. Případně určit které veličiny se mění velmi pomalu v porovnání s ostatními a je možno je považovat téměř za konstantní v průběhu jednoho časového kroku. Při linearizaci totiž dojde k tomu, že zejména matice \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset bude závislá na časovém kroku \begin_inset Formula $t$ \end_inset a tedy ji bude nutné v každém kroku měnit. Kdyby se vhodným zanedbáním členů například podařilo, že by všechny matice systému byly konstantní \begin_inset Formula $M_{t}=M$ \end_inset , bylo by možné z výše popsaných rovnic pro LQ řízení předpočítat řídící matici \begin_inset Formula $L$ \end_inset . To by samozřejmě vedlo ke značnému urychlení výpočtu. \end_layout \begin_layout Standard LQ řízení vyžaduje kvadratickou ztrátovou funkci. Problematické jsou v tomto ohledu zejména omezení na vstupy \begin_inset Formula $\left|u_{\alpha,\beta}\right|\leq U_{max}$ \end_inset . Ty nelze v algoritmu lineárně kvadratického řízení užít přímo a je třeba je nahradit vhodně nastavenou penalizační maticí \begin_inset Formula $R$ \end_inset . Dosažení požadovaných otáček lze pak zvládnout relativně snadno přidáním nové stavové proměnné. Pro omezení na změnu řídících napětí v sousedních časových krocích \begin_inset Formula $\left|u_{\alpha,\beta}(t+1)-u_{\alpha,\beta}(t)\right|$ \end_inset je potřeba provést drobnou modifikaci LQ algoritmu. \end_layout \begin_layout Standard Šum ve skutečném stroji samozřejmě neodpovídá modelu Gaussovského bílého šumu, ale jak již bylo uvedeno v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:Problematika-modelu" \end_inset budeme tento model šumu pro jednoduchost předpokládat. \end_layout \begin_layout Section Duální řízení \end_layout \begin_layout Standard Základní princip duálního řízení spočívá v tom, že obsahuje dvě části, \begin_inset Quotes gld \end_inset řídící \begin_inset Quotes grd \end_inset a \begin_inset Quotes gld \end_inset budící \begin_inset Quotes grd \end_inset . Řídící část, jako u ostatních řídících algoritmů, má za cíl pokud možno co nejlépe kontrolovat systém a snažit se dosáhnout optimální shody s požadavky , referenčním signálem. Oproti tomu budící část hledá optimální budící signál, který by pomohl co nejlépe určit neznámé parametry systému. Tyto snahy jdou samozřejmě proti sobě a cílem duálního řízení je nalézt mezi nimi kompromis. \end_layout \begin_layout Standard Všechny výše zmiňované metody pro řízení a estimaci obecně trpěly dvěma nedostatky, které se snaží duální řízení odstranit. Jednak zcela oddělily řídící a estimační část, které pak pracovaly nezávisle. I v případě injektáží, kdy byl přidáván vysokofrekvenční signál, byl tento signál přidáván stále bez ohledu na okolnosti. Jistý krok směrem k duálnímu přístupu lze pozorovat pouze u hybridních metod, které buď plynule, nebo jednorázově přepínají mezi dvěma modely. Jeden je určen pro dobrou estimaci a druhý pro nízké ztráty při řízení. \end_layout \begin_layout Standard Dalším nedostatkem standartních metod je předpoklad, že odhad poskytnutý estimátorem se rovná skutečné hodnotě stavové veličiny. Tento přístup je označován jako \emph on Certainty Equivalence \emph default (CE). Oproti tomu duální řízení předpokládá stavové veličiny jako náhodné veličiny a uchovává si o nich statistickou informaci. Odhad z estimátoru tedy uvažuje například ve tvaru střední hodnoty a variance dané veličiny a předpokládá, že skutečná hodnota se nachazí například v konfidenčním intervalu s těmito parametry. Z tohoto pohledu tedy přístup CE předpokládá, že skutečná hodnota je rovna střední hodnotě. Duální řízení tedy narozdíl od ostatních založených na CE principu uvažuje kromě odhadu stavové veličiny i to, jak je tento odhad přesný a tomu také přizpůsobuje řídící zákroky. \end_layout \begin_layout Standard Výše zmíněné důvody ukazují, proč by duální přístup mohl být obvzláště vhodný pro řízení PMSM. Je ale třeba mít na paměti, že duální řízení s sebou nese i značné nevýhody. Jedná se především o značnou výpočetní náročnost. To je problematické zejména, když uvažujeme i výpočet v reálném čase. Proto se v textu zaměříme hlavně na nejjednodušší algoritmy duálního řízení, které by tento požadevek mohly naplnit. \end_layout \begin_layout Subsection Adaptivní duální řídící systém \end_layout \begin_layout Standard Adaptivní duální řídící systém může být dle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "DAU1" \end_inset definován jako řídící systém pracující za podmínek neurčitosti, který poskytuje požadovaný výkon díky změně svých parametrů a/nebo struktury. Tím je dosaženo snížení nejistoty a zlepšení chování řízeného systému. Nejistota je zahrnuta do řídící strategie vhodnou volbou řídícího signálu, který má následující dvě vlastnosti: \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Quotes gld \end_inset opatrně \begin_inset Quotes grd \end_inset sleduje cíl řízení \end_layout \begin_layout Itemize budí (excituje) řízený systém za účelem zlepšení jeho estimace \end_layout \begin_layout Standard Z tohoto přístupu plyne několik výhod: Je brána v úvahu přesnost estimace. Regulátor poskytuje optimální buzení pro urychlení estimace. Čas adaptace je kratší a takto navržené řízení poskytuje hladší průběh při přechodových dějích. \end_layout \begin_layout Subsection Formulace problému duálního řízení \end_layout \begin_layout Standard Základní formulace problému duálního řízení pro časově diskrétní obecně nelineární systém dle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "adaptDC2004" \end_inset je: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} x(t+1) & = & f_{t}\left(x(t),p(t),u(t),\xi(t)\right),\quad t=0,1,\ldots,T-1,\\ p(t+1) & = & \upsilon_{t}\left(p(t),\varepsilon(t)\right),\\ y(t) & = & h_{t}\left(x(t),\eta(t)\right), \end{eqnarray*} \end_inset kde \begin_inset Formula $x(t)$ \end_inset je vektor stavu, \begin_inset Formula $p(t)$ \end_inset vektor neznámých parametrů, \begin_inset Formula $u(t)$ \end_inset vektor řídících vstupů, \begin_inset Formula $y(t)$ \end_inset vektor výstupů systému, vektory \begin_inset Formula $\xi(t)$ \end_inset , \begin_inset Formula $\varepsilon(t)$ \end_inset a \begin_inset Formula $\eta(t)$ \end_inset představují nezávislý náhodný bílý šum s nulovou střední hodnotou a známým rozptylem, vše je uvažováno v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset ; \begin_inset Formula $f_{t}(\cdot)$ \end_inset , \begin_inset Formula $\upsilon_{t}(\cdot)$ \end_inset a \begin_inset Formula $h_{t}(\cdot)$ \end_inset jsou jednoduché vektorové funkce. Hustotu pravděpodobnosti počátečních hodnot \begin_inset Formula $\mathrm{p}\left[x(0),p(0)\right]$ \end_inset předpokládáme známou. \end_layout \begin_layout Standard Množinu výstupů a vstupů systému dostupných v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset označujeme jako \emph on informační vektor \emph default \begin_inset Formula $I_{t}=\left\{ y(t),\ldots,y(0),u(t-1),\ldots,u(0)\right\} $ \end_inset , kde \begin_inset Formula $t=1,\ldots,T-1$ \end_inset a \begin_inset Formula $I_{0}=\left\{ y(0)\right\} $ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Ztrátová funkce pro optimalizaci řízení má tvar \begin_inset Formula \begin{equation} J=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ \sum_{t=0}^{T-1}g_{t+1}\left(x(t+1),u(t)\right)\right\} ,\label{eq:dclossfunc} \end{equation} \end_inset kde \begin_inset Formula $g_{t+1}(\cdot)$ \end_inset jsou známe kladné konvexní skalární funkce. Očekáváná hodnota \begin_inset Formula $\mathrm{\mathbf{E}}$ \end_inset je počítána vzhledem k všem náhodným veličinám ( \begin_inset Formula $x(0)$ \end_inset , \begin_inset Formula $p(0)$ \end_inset , \begin_inset Formula $\xi(t)$ \end_inset , \begin_inset Formula $\varepsilon(t)$ \end_inset a \begin_inset Formula $\eta(t)$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $t=0,1,\ldots,T-1$ \end_inset ). \end_layout \begin_layout Standard Problémem optimálního adaptivního duálního řízení je nalezení takové řídící strategie \begin_inset Formula $u(t)=u_{t}(I_{t})$ \end_inset ze známé množiny přípustných hodnot řízení \begin_inset Formula $\Omega_{t}$ \end_inset , která minimalizuje ztrátovou funkci \begin_inset Formula $J$ \end_inset v \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:dclossfunc" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Optimální řešení tohoto problému může být nalezeno rekurzivně užitím dynamického programování, což vede na následující rovnice: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} J_{T-1}\left(I_{T-1}\right) & = & \min_{u(T-1)\in\Omega_{T-1}}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ g_{T}\left(x(T),u(T-1)\right)\mid I_{T-1}\right\} ,\\ J_{t}\left(I_{t}\right) & = & \min_{u(t)\in\Omega_{t}}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ g_{t+1}\left(x(t+1),u(t)\right)+J_{t+1}\left(I_{t+1}\right)\mid I_{t}\right\} , \end{eqnarray*} \end_inset pro \begin_inset Formula $t=T-2,T-3,\ldots,0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsection Stručný přehled duálních metod \end_layout \begin_layout Standard Následující stručný přehled duálních metod je založen na přehledových článcích \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "DAU1,DSF1" \end_inset a 3. kapitole knihy \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "adaptDC2004" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dříve byly řídící metody založeny na principu CE a tedy neuvažovaly neurčitost. Odhady jsou při tomto přístupu považovány za skutečné hodnoty parametrů. Hlavním problémem jsou pak velké přestřely při rychlé adaptaci nebo možnost úplně chybného řízení jako například právě u počátečního úhlu natočení rotoru PMSM. A. Feldbaum ve svých raných pracech z 60. let minulého století ukázal, že CE přístup není vždy optimální, naopak je od optimality značně vzdálen. Dále postuloval, dvě hlavní vlastnosti, které by optimální adaptivní systém měl mít: (1) výstup systému opatrně sleduje požadovanou referenční hodnotu a (2) budí (excituje) systém dostatečně, pro urychlení procesu estimace jeho parametrů, tak aby se zlepšila kvalita řízení v budoucích časových krocích. \end_layout \begin_layout Standard Formální řešení problému optimálního adaptivního duálního řízení lze nalézt pomocí dynamického programování. Avšak řešení takto vzniklých rovnic není možné numericky a již vůbec ne analyticky ani pro relativně jednoduché případy. Je to způsobeno především problémem s rostoucími dimenzemi. Nemožnost řešit původní problém vedla ke vzniku celé řady metod, které se ho snaží nějakým způsobem zjednodušit. Tyto metody samozřejmě nenaleznou optimální řešení, snaží se ale zachovat hlavní duální rysy, můžeme je rozdělit do dvou hlavních skupin: metody založené na aproximacích (implicitní) a založené na reformulaci problému (explicitní). \end_layout \begin_layout Standard Aproximativní metody jsou obvykle složité a výpočetně značně náročné. To vede k volbě hrubějších aproximací, kdy může již dojít ke ztrátě duálních rysů a tedy nedostačujícímu výkonu. Oproti tomu reformulace je více flexibilní a tedy slibnější. Uvažuje speciální ztrátovou funkci s dvěma sečtenými členy. Jeden kontroluje ztrátu v důsledku odchylky od referenční hodnoty a druhý míru nejistoty. Takto vzniklé řízení je jednoduché a výpočetní náročností srovnatelné s CE přístupem. Není však zajištěno trvalé buzení a výkon je opět nedostačující. Je tedy snahou vhodně kombinovat oba zmiňované přístupy a využít výhod obou za současného potlačení jejich nedostatků. Jednou z takových metod například bikriteriální metoda navrhvržená autory \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "DAU1" \end_inset založená na sekvenční minimalizaci dvou ztrátových funkcí. \end_layout \begin_layout Subsection \series bold Vybrané algoritmy pro duální řízení \end_layout \begin_layout Subsubsection Bikriteriální metoda \end_layout \begin_layout Standard Bikriteriální metoda je založena na relativně jednoduchém principu. Ve snaze splnit obě hlavní vlastnosti duálního řízení (opatrnost a buzení) je ztrátová funkce rozdělena na dvě části a proto se také metoda nazývá bikriteriální. První ztrátová funkce odpovídá takzvanému \emph on opatrnému řízení \emph default , které navrhuje tím menší řídící zásahy, čím je větší variance (proto opatrné). Nesnaží se však primárně tuto varianci nijak snížit. Druhá ztrátová funkce představuje kritérium pro optimální buzení. Tyto dvě ztrátové funkce je třeba současně minimalizovat. Minimalizace těchto dvou funkce jde ale obecně z podstaty problému proti sobě, navíc optimální budící zásah bude zpravidla neomezeně velký. Proto je zvolen následující postup: \end_layout \begin_layout Enumerate nejdříve je nalezeno optimální opatrné řízení \end_layout \begin_layout Enumerate dále je vytyčena množina přípustných řešení kolem řízení nalezeného v bodě (1.), například se může jednat o interval \end_layout \begin_layout Enumerate druhá ztrátová funkce pro optimální buzení je minimalizována již pouze v rámci množiny přípustných řešení z bodu (2.) \end_layout \begin_layout Standard Konkrétní realizace hledání optimálního řízení (minimalizace) pak již závisí na řešeném problému. \end_layout \begin_layout Subsubsection \begin_inset Formula $\rho$ \end_inset --aproximace \end_layout \begin_layout Standard Jako \begin_inset Formula $\rho$ \end_inset --aproximace označujeme suboptimální přístupy k řešení problému duálního řízení, kdy se snažíme aproximovat pravděpodobnostní míru neznámých stavů a parametrů systému. Dle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "DAF1,DSF1,adaptDC2004" \end_inset je problematika \begin_inset Formula $\rho$ \end_inset --aproximací formulována následovně: Hledání suboptimální řídící strategie je založeno na minimalizaci modifikované ztrátové funkce \begin_inset Formula \[ J_{t}\left(I_{t},\rho_{t}\right)=\mathrm{\mathbf{E}}_{\rho_{t}}\left\{ \sum_{i=t}^{T-1}g_{t+1}\left(x(i+1),u(i)\right)\mid I_{k}\right\} . \] \end_inset V čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset je řídící strategie \begin_inset Formula $u_{t}(I_{t})$ \end_inset nalezena pomocí aproximace podmíněné hustoty pravděpodobnosti stavů a parametrů systému pro budoucí časové kroky \begin_inset Formula \[ \rho_{t}=\mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{t+i}\right], \] \end_inset pro \begin_inset Formula $i=0,1,\ldots,T-t-1$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Pro různé volby \begin_inset Formula $\rho_{t}$ \end_inset pak můžeme získat následující přístupy: \end_layout \begin_layout Itemize \emph on Řídící strategie s otevřenou smyčkou \emph default (open-loop, OL) uvažuje systém bez zpětné vazby a optimální řízení je hledáno z apriorní informace o stavech a parametrech systému. Tento zjednodušující předpoklad je ekvivalentní aproximaci \begin_inset Formula \[ \rho_{t}=\left\{ \mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{t+i}\right]=\mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{0}\right],i=0,\ldots,T-t-1\right\} . \] \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize \emph on Zpětnovazební řídící strategie s otevřenou smyčkou \emph default (open-loop feedback, OLF) také uvažuje systém bez zpětné vazby, ale jen pro budoucích časové kroky ( \begin_inset Formula $t+1$ \end_inset až \begin_inset Formula $T$ \end_inset ), v současném časovém kroku \begin_inset Formula $t$ \end_inset zpětnou vazbu uvažeje. Pozorování \begin_inset Formula $y(t)$ \end_inset jsou tedy použita k estimaci stavů i parametrů systému, ale pouze v součazném časovém kroku \begin_inset Formula $t$ \end_inset , v budoucích již ne. Opět lze formulovat pomocí \begin_inset Formula $\rho$ \end_inset --aproximace: \begin_inset Formula \[ \rho_{t}=\left\{ \mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{t+i}\right]=\mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{t}\right],i=0,\ldots,T-t-1\right\} . \] \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize Pro srovnání zde bude uvedena i aproximace, která vede na již zmiňovaný přístup \emph on Certainty Equivalence \emph default (CE): \begin_inset Formula \begin{align*} \rho_{t} & =\left\{ \mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{t+i}\right]\right.\\ = & \left.\delta\left[x(t+i)-\hat{x}(t+i)\right]\delta\left[p(t+i)-\hat{p}(t+i)\right],i=0,\ldots,T-t-1\right\} , \end{align*} \end_inset kde \begin_inset Formula $\delta$ \end_inset značí Diracovu delta funkce a \begin_inset Formula $\hat{x}(t+i)=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x(k+i)\mid I_{t+i}\right\} $ \end_inset , \begin_inset Formula $\hat{x}(t+i)=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ p(k+i)\mid I_{t}\right\} $ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \emph on Částečný CE přístup \emph default (PCE) je založen na vhodné kombinaci předchozích postupů CE a OLF. Definujme rozšířený stavový vektor jako \begin_inset Formula $z^{T}(t)=\left[x^{T}(t)\quad p^{T}(t)\right]$ \end_inset , tedy jako vektor sdružující původní stav systému a jeho neznámé parametry. Tento vektor následně rozdělíme na dvě části s prázdným průnikem \begin_inset Formula $z_{1}(t)$ \end_inset a \begin_inset Formula $z_{2}(t)$ \end_inset . Nyní aplikujeme na část \begin_inset Formula $z_{1}$ \end_inset zjednodušující předpoklad CE a na část \begin_inset Formula $z_{2}$ \end_inset předpoklad OLF. To odpovídá následující \begin_inset Formula $\rho$ \end_inset --aproximaci: \begin_inset Formula \begin{align*} \rho_{t} & =\left\{ \mathrm{p}\left[z_{1}(t+i),z_{2}(t+i)\mid I_{t+i}\right]\right.\\ = & \left.\delta\left[z_{1}(t+i)-\hat{z}_{2}(t+i)\right]\mathrm{p}\left[z_{2}(t+i)\mid I_{t}\right],i=0,\ldots,T-t-1\right\} , \end{align*} \end_inset kde \begin_inset Formula $\mathrm{p}\left[z_{1}(t+i),z_{2}(t+i)\mid I_{t+i}\right]=\mathrm{p}\left[z(t+i)\mid I_{t+i}\right]=\mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{t+i}\right].$ \end_inset Samotné rozdělení vektoru \begin_inset Formula $z$ \end_inset na dvě části je třeba vyřešit s ohledem na konkrétní strukturu systému, pro který je řízení navrhováno. Vhodnou volbou může být například označit jako \begin_inset Formula $z_{1}$ \end_inset stavové veličiny, které jsou přímo pozorovány. Autoři dále poukazují i na možnost kombinace s bikriteriálním přístupem. \end_layout \begin_layout Subsubsection Řešení LQG problému pomocí teorie her \end_layout \begin_layout Standard Výpočetně relativně málo náročné řešení diskrétního LQG problému duálního řízení je představeno v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "DCS1" \end_inset . Na řešení problému se užívá teorie her, kde hledáme optimální znáhodněnou strategii. Výsledkem pak je, že optimální řešení přeformulovaného problému duálního řízení je vážený průměr konečného počtu standartních LQG optimálních regulátorů. Jako váhové faktory jsou brány zobecněné věrohodnostní poměry. \end_layout \begin_layout Standard (Popisovaný přístup se jeví z pohledu tohoto textu výhodným ze dvou důvodů. Jednak využívá LQG regulátory, kterými se práce relativně podrobně zbývá, dále pak využívá více modelů, které se také v simulacích pro estimátory ukázaly jako využitelné.) \end_layout \begin_layout Chapter Návrh a vyhodnocení \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "cha:Návrh-a-vyhodnocení" \end_inset \end_layout \begin_layout Section Implementace LQ řízení pro stejné indukčnosti \end_layout \begin_layout Subsection LQ řízení v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Matice systému \end_layout \begin_layout Standard Uvažujeme tedy diskretizované rovnice z části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Diskretizace-rovnice-alfabeta" \end_inset \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{\alpha,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\alpha,t}+\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\alpha,t},\\ i_{\beta,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\beta,t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\beta,t},\\ \omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t. \end{eqnarray*} \end_inset Pro zjednodušení označíme konstanty následovně: \begin_inset Formula $a=1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t$ \end_inset , \begin_inset Formula $b=\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\Delta t$ \end_inset , \begin_inset Formula $c=\frac{\Delta t}{L_{s}}$ \end_inset , \begin_inset Formula $d=1-\frac{B}{J}\Delta t$ \end_inset , \begin_inset Formula $e=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t$ \end_inset . Zátěžný moment předpokládáme prozatím nulový \begin_inset Formula $T_{L}=0$ \end_inset a tedy poslední člen třetí rovnice vypadne. Rovnice tedy přejdou na tvar \begin_inset Formula \begin{eqnarray} i_{\alpha,t+1} & \text{=} & ai_{\alpha,t}+b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t},\nonumber \\ i_{\beta,t+1} & \text{=} & ai_{\beta,t}-b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t},\label{eq:diskretni-system-prolq}\\ \omega_{t+1} & \text{=} & d\omega_{t}+e\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right),\nonumber \\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.\nonumber \end{eqnarray} \end_inset Jedná se o reprezentaci systému se stavem \begin_inset Formula $x_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\omega_{t},\vartheta_{t}\right)$ \end_inset a řízením \begin_inset Formula $u_{t}=\left(u_{\alpha,t},u_{\beta,t}\right)$ \end_inset , kde předchozí rovnice můžeme zapsat pomocí funkcí \begin_inset Formula $f$ \end_inset a \begin_inset Formula $g$ \end_inset jako \begin_inset Formula $x_{t+1}=f(x_{t},u_{t})$ \end_inset . Chceme získat lineární systém ve tvaru \begin_inset Formula $x_{t+1}=A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}$ \end_inset . Provedeme tedy linearizaci pomocí Taylorova rozvoje do prvního řádu v reprezent ativní trajektorii \begin_inset Formula $(x_{0},u_{0})$ \end_inset , tedy \begin_inset Formula \[ f(x_{t},u_{t})=f(x_{0},u_{0})+\frac{\partial f(x,u)}{\partial x}\biggl|_{0}(x-x_{0})+\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}\biggl|_{0}(u-u_{0}). \] \end_inset Pak matice systému dostaneme ve tvaru \begin_inset Formula $A_{t}=\frac{\partial f(x_{t},u_{t})}{\partial x_{t}}$ \end_inset a \begin_inset Formula $B_{t}=\frac{\partial f(x_{t},u_{t})}{\partial u_{t}}$ \end_inset , což vede na \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} A_{t} & = & \left[\begin{array}{cccc} a & 0 & b\sin\vartheta_{t} & b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}\\ 0 & a & -b\cos\vartheta_{t} & b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}\\ -e\sin\vartheta_{t} & e\cos\vartheta_{t} & d & -e\left(i_{\beta,t}\sin\vartheta_{t}+i_{\alpha,t}\cos\vartheta_{t}\right)\\ 0 & 0 & \Delta t & 1 \end{array}\right],\\ B_{t} & = & B=\left[\begin{array}{cc} c & 0\\ 0 & c\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right]. \end{eqnarray*} \end_inset Dále, když budeme chtít jako pozorovatele užít Kalmanův filtr, budeme potřebovat vztah pro výstup systému systému, ten je formulován jako \begin_inset Formula $y_{t}=g(x_{t})=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t}\right)^{T}$ \end_inset . Tato rovnice již lineární je a můžeme tedy rovnou psát \begin_inset Formula $y_{t}=Cx_{t}$ \end_inset , kde \begin_inset Formula \[ C=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Ztrátová funkce \end_layout \begin_layout Standard Kvadratickou ztrátovou funkci pro LQ řízení se snažíme nalézt ve tvaru \family roman \series medium \shape up \size normal \emph off \bar no \noun off \color none \lang english \begin_inset Formula \[ \mathbf{E}\left\{ x_{N}^{T}Q_{N}x_{N}+\sum_{t=0}^{N-1}\left(x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}\right)\right\} . \] \end_inset \family default \series default \shape default \size default \emph default \bar default \noun default \color inherit \lang czech Požadavky na stavové proměnné jsou pouze dosažení požadovaných otáček \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset . To můžeme snadno formulovat pomocí kvadratické funkce v každém časovém kroku jako \begin_inset Formula $q\left(\omega_{t}-\overline{\omega}_{t}\right)^{2}$ \end_inset . Zde ale narážíme na problém, že veličinu \begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$ \end_inset nemáme ve stavu systému a algoritmus LQG s ní tedy nemůže počítat. To obecně při uvažování lineárně kvadratického řízení není problémem, toto řízení řídí vždy na nulu a když máme lineární systém, který tento algoritmus předpokládá, snadno si můžeme výsledek díky linearitě posunout. Uvažovaný systém PMSM však lineární není a je tedy třeba tento problém vyřešit zvlášť. \end_layout \begin_layout Standard Zavedeme do systému novou stavovou proměnou odpovídající referenčnímu signálu \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset a na nulu budeme řídit rozdíl \begin_inset Formula $\omega_{t}-\overline{\omega}_{t}$ \end_inset . Z tohoto důvodu zavedeme substituci \begin_inset Formula $\psi_{t}=\omega_{t}-\overline{\omega}_{t}$ \end_inset a pak \begin_inset Formula $\omega_{t}=\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}$ \end_inset . Dosadíme do rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:diskretni-system-prolq" \end_inset ) a získáme \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{\alpha,t+1} & = & ai_{\alpha,t}+b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t},\\ i_{\beta,t+1} & = & ai_{\beta,t}-b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t},\\ \psi_{t+1} & = & d\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)-\overline{\omega}_{t+1}+e\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right),\\ \vartheta_{t+1} & = & \vartheta_{t}+\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\Delta t\\ \overline{\omega}_{t+1} & = & \overline{\omega}_{t}. \end{eqnarray*} \end_inset Nové matice systému \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset , \begin_inset Formula $B$ \end_inset a \begin_inset Formula $C$ \end_inset jsou pak ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} A_{t} & = & \left[\begin{array}{ccccc} a & 0 & b\sin\vartheta_{t} & b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\cos\vartheta_{t} & b\sin\vartheta_{t}\\ 0 & a & -b\cos\vartheta_{t} & b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\sin\vartheta_{t} & -b\cos\vartheta_{t}\\ -e\sin\vartheta_{t} & e\cos\vartheta_{t} & d & -e\left(i_{\beta}\sin\vartheta_{t}+i_{\alpha}\cos\vartheta_{t}\right) & d-1\\ 0 & 0 & \Delta t & 1 & \Delta t\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right],\\ B & = & \left[\begin{array}{cc} c & 0\\ 0 & c\\ 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right],\\ C & = & \left[\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]. \end{eqnarray*} \end_inset A člen ztrátové funkce pro penalizaci za odchylku od požadované referenční hodnoty pak můžeme formulovat ve tvaru \begin_inset Formula $x_{t}^{T}Qx_{t}$ \end_inset s maticí \begin_inset Formula \[ Q=\left[\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & q & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \] \end_inset kde nyní vektorem \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset označujeme nový stav \begin_inset Formula $x_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\psi_{t},\vartheta_{t},\overline{\omega}_{t}\right)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Omezení na vstupy nelze užít ve tvaru \begin_inset Formula $\left|u_{\alpha,\beta}\right|\leq U_{max}$ \end_inset , protože jej nelze snadno formulovat pomocí kvadratické funkce. Namísto toho si musíme vystačit s penalizací \begin_inset Formula $u_{t}^{T}R_{t}u_{t}$ \end_inset . Volíme tedy jednoduchou realizaci s konstantní maticí \begin_inset Formula $R$ \end_inset s jedním neznámým parametrem \begin_inset Formula $r$ \end_inset \begin_inset Formula \[ R=\left[\begin{array}{cc} r & 0\\ 0 & r \end{array}\right]. \] \end_inset Konkrétní hodnotu \begin_inset Formula $r$ \end_inset je potřeba vhodně zvolit a nastavit při implementaci a nezáleží na její absolutní velikosti, ale na velikosti vzhledem k parametru \begin_inset Formula $q$ \end_inset z matice \begin_inset Formula $Q$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Když chceme přidat ještě omezení na velikost změny vstupů \begin_inset Formula $\left|u_{\alpha,\beta}(t+1)-u_{\alpha,\beta}(t)\right|$ \end_inset , lze tak jednoduše učinit pomocí přidání dalšího členu do ztrátové funkce. Tento člen budeme volit opět kvadratický a to ve tvaru \begin_inset Formula $\left(u_{t}-u_{t-1}\right)^{T}S\left(u_{t}-u_{t-1}\right)$ \end_inset . Penalizační matici budeme opět uvažovat ve tvaru \begin_inset Formula \[ S=\left[\begin{array}{cc} s & 0\\ 0 & s \end{array}\right], \] \end_inset kde \begin_inset Formula $s$ \end_inset představuje vhodně zvolený parametr. Takovýto člen ale ve standartní ztrátové funkci LQ řízení nevystupuje a jeho přidání již není tak snadné. Při implementaci této verze algoritmu však bylo užito jiné verze LQ algoritmu, která je obecnější a tento zápis dovoluje. Zmiňovaný přístup je založen na maticovém QR rozkladu a kromě toho, že umožňuje mnohem obecnější zadání úlohy s lineárním systémem a kvadratickou ztrátovou funkcí, jeho výpočet je i rychlejší z důvodu efektivnějšího provádění maticové inverze, kterou by bylo třeba počítat při řešení Riccatiho rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:riccati-lqg" \end_inset ). \end_layout \begin_layout Subsection LQ řízení v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Postup je anlogický jako v případě pro \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset souřadnice. Vyjdeme z rovnic \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{d,t+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{d,t},\\ i_{q,t+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{q,t},\\ \omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q,t}-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t, \end{eqnarray*} \end_inset pro zjednodušení použijeme stejné označení konstant: \begin_inset Formula $a=1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t$ \end_inset , \begin_inset Formula $b=\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\Delta t$ \end_inset , \begin_inset Formula $c=\frac{\Delta t}{L_{s}}$ \end_inset , \begin_inset Formula $d=1-\frac{B}{J}\Delta t$ \end_inset , \begin_inset Formula $e=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t$ \end_inset . Zátěžný moment opět předpokládáme nulový \begin_inset Formula $T_{L}=0$ \end_inset . Získáme rovnice ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{d,t+1} & = & ai_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+cu_{d,t},\\ i_{q,t+1} & = & ai_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-b\omega_{t}+cu_{q,t},\\ \omega_{t+1} & \text{=} & d\omega_{t}+ei_{q,t},\\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Tento tvar rovnic je z hlediska linearizece daleko příznivější, protože jedinými nelineárními členy jsou \begin_inset Formula $\pm\Delta t\cdot i_{q,d}\omega$ \end_inset . Problematika těchto dvou členů byla již nastíněna v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Rotace-do-dq-problclen" \end_inset , kde v rovnici ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:dqrce-probl-clen" \end_inset ) jsou tyto členy zarámovány. Při jistém pořadí úprav (které ale není zcela korektní) tyto členy nevzniknou a je tedy namístě otázka, co se stane, když je zanedbáme. Pak by systém byl lineární, matici řízení \begin_inset Formula $L$ \end_inset by bylo možno předpočítat a celý návrh řízení by se usnadnil a hlavně urychlil. Jestli je však možné tyto členy zanedbat se ukáže až jako výsledek simulací, z tohoto důvodu zde bude uvedena i verze matic pro systém PMSM bez těchto členů. \end_layout \begin_layout Standard Ještě je třeba upozornit na důležitý detail. Na první pohled by se mohlo zdát, že jsme z rovnic kompletně odstranili závislost na úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset a nepotřebujeme jej tedy znát. To však není pravda, závislost tam stále je, i když skrytá. Měření výstupu i poskytování vstupu do systému probíhá v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset , když navrhujeme řízení v soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset je samozřejmě třeba provést transformaci a pak inverzní transformaci zpět. Tyto transformace byly popsány v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Transformace_albe_dq" \end_inset a zřejmě závisí právě na úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Ztrátovou funkci budeme uvažovat stejnou jako v předchozím případě pro \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset a stav rovnou rozšíříme o referenční signál na \begin_inset Formula $x_{t}=\left(i_{d,t},i_{q,t},\psi_{t},\vartheta_{t},\overline{\omega}_{t}\right)$ \end_inset . Vektor řízení je \begin_inset Formula $u_{t}=\left(u_{d,t},u_{q,t}\right)$ \end_inset . Matice pro systém při neuvažování členů \begin_inset Formula $\pm\Delta t\cdot i_{q,d}\omega$ \end_inset jsou následující: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} A & = & \left[\begin{array}{ccccc} a & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & a & -b & 0 & -b\\ 0 & e & d & 0 & d-1\\ 0 & 0 & \Delta t & 1 & \Delta t\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right],\\ B & = & \left[\begin{array}{cc} c & 0\\ 0 & c\\ 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right]. \end{eqnarray*} \end_inset Když členy \begin_inset Formula $\pm\Delta t\cdot i_{q,d}\omega$ \end_inset uvažovat budeme, je třeba provést linearizaci a matice \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset pak již nebude konstantní \begin_inset Formula \[ A_{t}=\left[\begin{array}{ccccc} a & \Delta t\cdot\omega & \Delta t\cdot i_{q} & 0 & \Delta t\cdot i_{q}\\ -\Delta t\cdot\omega & a & -\Delta t\cdot i_{d}-b & 0 & -\Delta t\cdot i_{d}-b\\ 0 & e & d & 0 & d-1\\ 0 & 0 & \Delta t & 1 & \Delta t\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]. \] \end_inset Matice \begin_inset Formula $B$ \end_inset zůstává stejná. \end_layout \begin_layout Section Konkrétní hodnoty parametrů \end_layout \begin_layout Subsection Parametry PMSM \end_layout \begin_layout Standard Pro simulace byl uvažován model PMSM s následujícími parametry: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} R_{s} & = & 0.28;\\ L_{s} & = & 0.003465;\\ \Psi_{PM} & = & 0.1989;\\ B & = & 0;\\ T_{L} & = & 0;\\ k_{p} & = & 1.5;\\ p_{p} & = & 4.0;\\ J & = & 0.04;\\ \Delta k & = & 0.000125. \end{eqnarray*} \end_inset Což vede na zjednodušené koeficienty: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} a & = & 0.9898;\\ b & = & 0.0072;\\ c & = & 0.0361;\\ d & = & 1.0;\\ e & = & 0.0149. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Kovarianční matice \end_layout \begin_layout Standard Kovarianční matice \begin_inset Formula $M_{k}$ \end_inset a \begin_inset Formula $N_{k}$ \end_inset šumu v systému a šumu měření předpokládáme známé a pro účely testování je volíme následovně: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} M_{k} & = & \mathrm{diag\left(0.0013;\:0.0013;\:5.0e-6;\:1.0e-10\right),}\\ N_{k} & = & \mathrm{diag}\left(0.0006;\:0.0006\right). \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Další hodnoty \end_layout \begin_layout Standard Další hodnoty, jako požadovaná hodnota otáček (referenční signál) \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset , časový horizont \begin_inset Formula $T$ \end_inset , penalizační matice ve ztrátové funkci \begin_inset Formula $Q$ \end_inset , \begin_inset Formula $R$ \end_inset , \begin_inset Formula $S$ \end_inset , budou specifikovány pro konkrétní simulaci. \end_layout \begin_layout Section TODO \end_layout \begin_layout Standard možná něco vlastního v matlabu \end_layout \begin_layout Standard závěry ze simulátoru \end_layout \begin_layout Standard \series bold vypočítat časovou závislot prvků matice L \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Addchap Závěr \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage clearpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset CommandInset bibtex LatexCommand bibtex bibfiles "vyz_clanky,vyz_texty" options "bibtotoc,czechiso" \end_inset \end_layout \end_body \end_document