#LyX 1.6.7 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 345 \begin_document \begin_header \textclass article \use_default_options true \language english \inputencoding auto \font_roman default \font_sans default \font_typewriter default \font_default_family default \font_sc false \font_osf false \font_sf_scale 100 \font_tt_scale 100 \graphics default \paperfontsize default \use_hyperref false \papersize default \use_geometry false \use_amsmath 1 \use_esint 1 \cite_engine basic \use_bibtopic false \paperorientation portrait \secnumdepth 3 \tocdepth 3 \paragraph_separation indent \defskip medskip \quotes_language english \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \tracking_changes false \output_changes false \author "" \author "" \end_header \begin_body \begin_layout Title PMSM rovnice \end_layout \begin_layout Subsection* Odvození rovnic do \begin_inset Formula $dq$ \end_inset soustavy \end_layout \begin_layout Standard Rovnici pro napětí v obvodu statoru synchroního stroje lze zapsat jako \begin_inset Formula \[ u_{s}=R_{s}i_{s}+u_{i},\] \end_inset tedy součet napětí v obvodu (Ohmův zákon) a indukovaného napětí, přičemž veličiny jsou uvažovány komplexní. Vyjáříme-li indukované napětí, jako změnu toku v čase (Faradayův zákon elektromagnetické indukce) přejde rovnice na tvar \begin_inset Formula \[ u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}.\] \end_inset Pro přechod do rotujícího souřadného systému předpokládáme obecně rotaci o úhel \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset , kterou provedeme vynásobením všech veličin operátorem rotace v komplexních číslech \begin_inset Formula $e^{j\varepsilon}$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $j$ \end_inset značí komplexní jednotku. Tedy \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{s}e^{j\varepsilon} & = & R_{s}i_{s}e^{j\varepsilon}+\frac{d(\psi_{s}e^{j\varepsilon})}{dt},\\ u_{s}e^{j\varepsilon} & \text{=} & R_{s}i_{s}e^{j\varepsilon}+\frac{d\psi_{s}}{dt}e^{j\varepsilon}+\psi_{s}j\omega_{\varepsilon}e^{j\varepsilon},\\ u_{s} & \text{=} & R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}+\psi_{s}j\omega_{\varepsilon},\end{eqnarray*} \end_inset kde symbol \begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}$ \end_inset označuje úhlovou rychlost -- změnu úhlu \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset , jedná se tedy o derivaci \begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}=\frac{d\varepsilon}{dt}$ \end_inset . Tato úhlová rychlost \begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}$ \end_inset odpovídá elektrickým otáčkám \begin_inset Formula $\omega_{el}$ \end_inset a lze ji přepočíst na mechanické otáčky pomocí vztahu \begin_inset Formula $\omega_{el}=p_{p}\omega_{m},$ \end_inset kde \begin_inset Formula $p_{p}$ \end_inset je počet párů polů rotoru a \begin_inset Formula $\omega_{m}$ \end_inset mechanické otáčky. Když pro jednoduchost předpokládáme počet párů polů roven 1, je \begin_inset Formula $\omega_{e}=\omega_{m}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Nyní můžeme přejít k rovnicím v souřadném systému \begin_inset Formula $dq$ \end_inset , který je natočen oproti souřadnému systému statoru ( \begin_inset Formula $\alpha\beta$ \end_inset ) o úhel \begin_inset Formula $\varepsilon=\vartheta$ \end_inset a otáčí se rychlostí \begin_inset Formula $\omega_{m}$ \end_inset . Osa magnetického toku rotoru je osou \begin_inset Formula $d$ \end_inset a v tomto směru uvažujeme reálnou složku komplexních veličin, osa \begin_inset Formula $q$ \end_inset je pak na ní kolmá a bude reprezentovat složku imaginární. Dostáváme tedy \begin_inset Formula \[ u_{d}+ju_{q}\text{=}R_{s}\left(i_{d}+ji_{q}\right)+\frac{d\left(\psi_{d}+j\psi_{q}\right)}{dt}+\left(\psi_{d}+j\psi_{q}\right)j\omega_{m},\] \end_inset což při rozepsání po složkách (reálná a imaginární) vede na rovnice \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & R_{s}i_{d}+\frac{d\psi_{d}}{dt}-\omega_{m}\psi_{q},\\ u_{q} & = & R_{s}i_{q}+\frac{d\psi_{q}}{dt}+\omega_{m}\psi_{d}.\end{eqnarray*} \end_inset Dále uvažujme vztahy pro magnetické toky \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \psi_{d} & = & L_{d}i_{d}+\psi_{pm},\\ \psi_{q} & = & L_{q}i_{q}.\end{eqnarray*} \end_inset Po dosazení získáme rovnice \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{d}\frac{di_{d}}{dt}-\omega_{m}L_{q}i_{q},\\ u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{q}\frac{di_{q}}{dt}+\omega_{m}L_{d}i_{d}+\omega_{m}\psi_{pm}.\end{eqnarray*} \end_inset Vydělením \begin_inset Formula $L_{s}$ \end_inset respektive \begin_inset Formula $L_{q}$ \end_inset získáme \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{d}}i_{d}+\frac{L_{q}}{L_{d}}\omega_{m}i_{q}+\frac{1}{L_{d}}u_{d},\\ \frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{q}}-\frac{\psi_{pm}}{L_{q}}\omega_{m}-\frac{L_{d}}{L_{q}}\omega_{m}i_{d}+\frac{1}{L_{q}}u_{q}.\end{eqnarray*} \end_inset Když ale položíme \begin_inset Formula $L_{d}=L_{q}=L_{s}$ \end_inset dostaneme rovnice \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{s}\frac{di_{d}}{dt}-\omega_{m}L_{s}i_{q},\\ u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{s}\frac{di_{q}}{dt}+\omega_{m}L_{s}i_{d}+\omega_{m}\psi_{pm}.\end{eqnarray*} \end_inset Vydělení \begin_inset Formula $L_{s}$ \end_inset pak vede na tvar \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}+\omega_{m}i_{q}+\frac{u_{d}}{L_{s}},\\ \frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{m}-\omega_{m}i_{d}+\frac{u_{q}}{L_{s}}.\end{eqnarray*} \end_inset Toto vyjádření je shodné s tím, které dostaneme následně. \end_layout \begin_layout Subsection* Odvození rovnic do \begin_inset Formula $\alpha\beta$ \end_inset soustavy \end_layout \begin_layout Standard Opět vyjdeme z rovnice \begin_inset Formula \[ u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}.\] \end_inset Magnetický tok \begin_inset Formula $\psi_{s}$ \end_inset vyjádříme jako tok vytvořený cívkami statoru a dále přičteme tok permanentních magnetů, je však třeba uvažovat, že rotor obsahující permanentní magnety je natočen obecně pod úhlem \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset . Tedy v komplexní rovině lze vyjádřit tok jako \begin_inset Formula \[ \psi_{s}=L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}.\] \end_inset Dosadíme nyní do rovnice a rozepíšeme ji po složkách \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{s} & = & R_{s}i_{s}+\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt},\\ u_{\alpha}+ju_{\beta} & \text{=} & R_{s}\left(i_{\alpha}+ji_{\beta}\right)+\frac{d}{dt}\left(L_{s}\left(i_{\alpha}+ji_{\beta}\right)+\psi_{pm}\left(\cos\vartheta+j\sin\vartheta\right)\right).\end{eqnarray*} \end_inset Rozepsaní na dvě rovnice je pak následující \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{\alpha} & \text{=} & R_{s}i_{\alpha}+L_{s}\frac{di_{\alpha}}{dt}-\frac{d\vartheta}{dt}\psi_{pm}\sin\vartheta,\\ u_{\beta} & = & R_{s}i_{\beta}+L_{s}\frac{di_{\beta}}{dt}+\frac{d\vartheta}{dt}\psi_{pm}\cos\vartheta.\end{eqnarray*} \end_inset Vydělíme-li rovnice indukčností \begin_inset Formula $L_{s}$ \end_inset , vyjádříme z nich derivace proudů a derivace úhlu natočení \family roman \series medium \shape up \size normal \emph off \bar no \noun off \color none označíme jako \begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}$ \end_inset = \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset úhlovou rychlost dostaneme následující rovnice v souřadné soustavě \family default \series default \shape default \size default \emph default \bar default \noun default \color inherit \begin_inset Formula $\alpha\beta$ \end_inset : \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}},\\ \frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}}.\end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Nyní je ještě třeba přidat další dvě diferenciální rovnice pro otáčky \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a polohu \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset . Rovnice pro \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset je triviální a už byla užita, jedná se o \begin_inset Formula \[ \frac{d\vartheta}{dt}=\omega.\] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Rovnice pro \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset získáme následovně ze základních zákonů mechaniky: Pro točivý moment (speciální případ momentu síly pro silovou dvojici, kdy se vektory skládají na nulu, avšak mají točivý účinek, v anglické literatuře označeno jako \emph on torque \emph default ) \emph on \emph default platí obecně vztah \begin_inset Formula \[ \tau=\frac{dL}{dt},\] \end_inset kde \begin_inset Formula $L$ \end_inset označuje moment hybnosti ( \emph on angular momentum \emph default ). Při uvažování působení více točivých momentu momentů pak \begin_inset Formula \[ \tau_{1}+\ldots+\tau_{n}=\sum\tau=\frac{dL}{dt}.\] \end_inset Uvažujeme-li rotaci kolem pevné osy, lze moment hybnosti vyjádřit jako \begin_inset Formula \[ L=J\omega_{m},\] \end_inset kde \begin_inset Formula $J$ \end_inset označuje moment setrvačnosti ( \emph on moment of inertia \emph default ) a \begin_inset Formula $\omega_{m}$ \end_inset je mechanická úhlová rychlost. Po dosazení tedy \begin_inset Formula \[ \sum\tau=\frac{dL}{dt}=\frac{d(J\omega_{m})}{dt}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.\] \end_inset Točivé momenty \begin_inset Formula $\sum\tau$ \end_inset jsou: \end_layout \begin_layout Itemize moment získaný konverzním procesem elektrické energie, který vyjadřuje hlavní vlastnost točivého stroje, a to právě převod elektrické energie na mechanickou, tento mement označíme jako \begin_inset Formula $T_{e}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize zátěžný moment reprezentující zatížení stroje, tedy v podstatě to, co motor pohání, je však třeba uvažovat, že působí v opačném směru a stroj brzdí, označíme ho tedy \begin_inset Formula $-T_{L}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize dále je ještě třeba uvažovat ztráty ve stroji v důsledku tření, tento moment opět působí v opačném směru a uvažujeme jej lineárně závislý na otáčkách \begin_inset Formula $\omega_{m}$ \end_inset , tedy \begin_inset Formula $-B\omega_{m}$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $B$ \end_inset je koeficient viskozity (tření) \end_layout \begin_layout Standard Rovnice po dosazení tedy přejde na tvar \begin_inset Formula \[ T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.\] \end_inset Nyní je ještě třeba vyjádřit točívý moment \begin_inset Formula $T_{e}$ \end_inset na základě elektrických veličin. Toho lze dosáhnout výpočtem přes okamžitý elektrický výkon, pro trojfázový systém \begin_inset Formula \[ P=u_{a}i_{a}+u_{b}i_{b}+u_{c}i_{c}.\] \end_inset Po transformaci do systému \begin_inset Formula $\alpha\beta$ \end_inset získáme vyjádření \begin_inset Formula \[ P=k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right),\] \end_inset kde \begin_inset Formula $k_{p}$ \end_inset označuje Parkovu konstantu s hodnotou \begin_inset Formula $k_{p}=\frac{3}{2}$ \end_inset . Napětí je zde uvažováno indukované \begin_inset Formula $u_{i}=\frac{d\psi_{s}}{dt}=\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\omega\psi_{pm}e^{j\vartheta}$ \end_inset a z něj využijeme pouze složku bez derivace proudu, protože ta slouží k tvorbě samotného magnetického pole stroje a nepodílí se na tvorbě výkonu, tedy \begin_inset Formula $\omega\psi_{pm}j(\cos\vartheta+j\sin\vartheta)$ \end_inset . V systému \begin_inset Formula $\alpha\beta$ \end_inset získáme vyjádření \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{\alpha} & = & -\omega\psi_{pm}\sin\vartheta,\\ u_{\beta} & = & \omega\psi_{pm}\cos\vartheta,\end{eqnarray*} \end_inset tedy po dosazení \begin_inset Formula \[ P=k_{p}\left(-i_{\alpha}\omega\psi_{pm}\sin\vartheta+i_{\beta}\omega\psi_{pm}\cos\vartheta\right).\] \end_inset Moment \begin_inset Formula $T_{e}$ \end_inset lze pak určit ze vztahu \begin_inset Formula $P=\omega_{m}T_{e}$ \end_inset a tedy \begin_inset Formula \[ T_{e}=\frac{P}{\omega_{m}}=k_{p}\frac{i_{\beta}\omega\psi_{pm}\cos\vartheta-i_{\alpha}\omega\psi_{pm}\sin\vartheta}{\omega_{m}}=k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right),\] \end_inset kde jsme využili vztahu \begin_inset Formula $\frac{\omega}{\omega_{m}}=p_{p}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dosazení do rovnice pro momenty pak vede na tvar \begin_inset Formula \[ k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}.\] \end_inset Ještě je třeba upravit rovnici tak, aby v ní nevystupovaly mechanické otáčky \begin_inset Formula $\omega_{m}$ \end_inset , ale otáčky elektrické \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . Toho je možno snadno dosáhnout násobením celé rovnice \begin_inset Formula $p_{p}$ \end_inset . Rovnici ještě vydělíme momentem setrvačnosti \begin_inset Formula $J$ \end_inset a získáme tvar \begin_inset Formula \[ \frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{T_{L}p_{p}}{J}-\frac{B}{J}\omega.\] \end_inset Tedy máme poslední rovnici následující soustavy: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{\alpha}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}}\\ \frac{di_{\beta}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}}\\ \frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\\ \frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega\end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection* Odvození rovnice pro \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset v \begin_inset Formula $dq$ \end_inset soustavě pro různé indukčnosti \end_layout \begin_layout Standard Opět vyjdeme z analogických vztahů jako při předchozím odvození pro \begin_inset Formula $\alpha\beta$ \end_inset , tedy \begin_inset Formula \[ T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt},\] \end_inset kde vyjádříme \begin_inset Formula $T_{e}$ \end_inset ze vztahu \begin_inset Formula \[ T_{e}=\frac{P}{\omega_{m}}.\] \end_inset Tedy transformujeme následující vyjádření pro výkond z \begin_inset Formula $\alpha\beta$ \end_inset do \begin_inset Formula $dq$ \end_inset \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} P & = & k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right),\\ P & = & k_{p}\left(\left(u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta\right)\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right)+\left(u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta\right)\left(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta\right)\right),\\ P & \text{=} & k_{p}\left(u_{d}i_{d}+u_{q}i_{q}\right).\end{eqnarray*} \end_inset Opět dosadíme za \begin_inset Formula $u_{dq}$ \end_inset složky indukovaného napětí bez derivace proudů \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & -\omega L_{q}i_{q},\\ u_{q} & = & \omega L_{d}i_{d}+\omega\psi_{pm}.\end{eqnarray*} \end_inset To vede na \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} P & = & k_{p}\left(-\omega L_{q}i_{q}i_{d}+\left(\omega L_{d}i_{d}+\omega\psi_{pm}\right)i_{q}\right),\\ P & = & k_{p}\omega\left(i_{d}i_{q}\left(L_{d}-L_{q}\right)+\psi_{pm}i_{q}\right).\end{eqnarray*} \end_inset A po dosazení získáme vyjádření pro moment \begin_inset Formula $T_{e}$ \end_inset ve tvaru \begin_inset Formula \[ T_{e}=k_{p}p_{p}\left(i_{d}i_{q}\left(L_{d}-L_{q}\right)+\psi_{pm}i_{q}\right).\] \end_inset Rovnice \begin_inset Formula $T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}$ \end_inset pak po dosazení \begin_inset Formula $T_{e}$ \end_inset , vydělení \begin_inset Formula $J$ \end_inset a násobení \begin_inset Formula $p_{p}$ \end_inset přejde na tvar \begin_inset Formula \[ \frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}.\] \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection* Diskretizace \end_layout \begin_layout Standard Diskretizací pomocí Eulerovy metody s časovým krokem \begin_inset Formula $\Delta t$ \end_inset získáme následující diskrétní rovnice: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{\alpha,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\alpha,t}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{u_{\alpha,t}}{L_{s}}\\ i_{\beta,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\beta,t}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+\frac{u_{\beta,t}}{L_{s}}\\ \omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t\\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t\end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection* Rotace do \begin_inset Formula $dq$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Převod do rotující souřadné soustavy \begin_inset Formula $dq$ \end_inset pootočené o úhel \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset a rotojící rychlostí \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset : \begin_inset Formula \[ \left[\begin{array}{c} x_{d}\\ x_{q}\end{array}\right]\text{=}\left[\begin{array}{cc} \cos\vartheta & \sin\vartheta\\ -\sin\vartheta & \cos\vartheta\end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_{\alpha}\\ x_{\beta}\end{array}\right]\] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard (nebo stejného efektu lze dosáhnout i použítím komplexních souřadnic a zápisem \begin_inset Formula $x_{dq}=e^{j\vartheta}x_{\alpha\beta}$ \end_inset , jako v odvození rovnic rovnou do tvaru v \begin_inset Formula $dq$ \end_inset souřadnicích) \end_layout \begin_layout Standard následně tedy \begin_inset Formula \begin{alignat*}{2} i_{d} & = & i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta\\ i_{q} & = & i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\end{alignat*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard a analogicky pro \begin_inset Formula $u$ \end_inset ; naopak pro opačný směr transformace \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{alignat*}{2} i_{\alpha} & = & i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\\ i_{\beta} & = & i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta\end{alignat*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard a opět anoalogicky pro \begin_inset Formula $u$ \end_inset , což po dosazení do původních diferenciálních rovnic vede na \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{d(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta)}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta)+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta}{L_{s}}\\ \frac{d(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta)}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta)-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta}{L_{s}}\\ \frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{q}\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\\ \frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega\end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard ve třetí rovnici rovnou dosadíme \begin_inset Formula $i_{q}$ \end_inset , čtvrtá se nemění a z prvních dvou vyjádříme rovnice pro proudy a napětí v \begin_inset Formula $d$ \end_inset a \begin_inset Formula $q$ \end_inset , například tak, že první rovnici násobíme \begin_inset Formula $\cos\vartheta$ \end_inset a sečteme s druhou násobenou \begin_inset Formula $\sin\vartheta$ \end_inset , dále pak první rovnici násobenou \begin_inset Formula $-\sin\vartheta$ \end_inset sečteme s druhou násobenou \begin_inset Formula $\cos\vartheta$ \end_inset , tento postup vede na rovnice \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{d}}{dt}-i_{q}\omega & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}+\frac{u_{d}}{L_{s}}\\ \frac{di_{q}}{dt}+i_{d}\omega & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega+\frac{u_{q}}{L_{s}}\\ \frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q}-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\\ \frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega\end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard otázkou je co se členy \begin_inset Formula $-i_{q}\omega$ \end_inset a \begin_inset Formula $i_{d}\omega$ \end_inset na levé straně první a druhé rovnice, protože když bychom nejdříve provedli diskretizaci a až následně převod do \begin_inset Formula $dq$ \end_inset souřadnic, tyto členy zřejmě nevzniknou, nevzniknou také, když soustavu \begin_inset Formula $dq$ \end_inset definujeme ne jako pootočenou o \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset , ale jako soustavu pootočenou o nějaké konstantní \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset , proto se bude vhodné \series bold \shape italic \color red otestovat \series default \shape default \color inherit , jaký je vliv těchto členů \end_layout \begin_layout Standard diskretizovaná verze rovnic v \begin_inset Formula $dq$ \end_inset je tedy \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{d,t+1}+{\color{red}\left(-i_{q,t}\omega_{t}\right)} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{d,t}+\frac{u_{d,t}}{L_{s}}\\ i_{q,t+1}+{\color{red}\left(i_{d,t}\omega_{t}\right)} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{q,t}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{t}+\frac{u_{q,t}}{L_{s}}\\ \omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q,t}-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t\\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t\end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Vliv červených členů: \end_layout \begin_layout Enumerate testováno na simulátoru, který s nimi ale asi nepočítá a tedy je výsledek špatný, dost se to rozkmitá (i když to teda drží tvar křivky), řídící napětí jde na dorazy, prostě je to špatný, jak by to běželo na skutečném motoru je otázka -- \series bold chyba v implementaci !!! \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold opravený závěr: \series default \end_layout \begin_deeper \begin_layout Itemize test na simulátoru, sledováno na omegách (otáčky) \end_layout \begin_layout Itemize s červenýmí členy funguje dobře, v nízkých otáčkách výsledky téměř stejné, liší se jen velmi nepatrně (zanedbatelné řádově) \end_layout \begin_layout Itemize s rostoucími otáčkami prakticky stejné až do určité hodnoty cca 500 otáček, při pomalejší rampě cca 600-700 otáček už regulátor založený na verzi \series bold bez \series default červených členů nezvládne držet krok, což je pravděpodobně způsobeno tím, že řízení jde na dorazy, ty se oříznou a vzniká nelinearita \end_layout \begin_layout Itemize nicméně se to nepokazí úplně, nastane jen trochu pokles a drží to hodnotu, s nenšími kmity \end_layout \begin_layout Itemize regulátor \series bold s \series default červenými členy se pak ukáže jako lepší a dokáže jít o mnoho dál až k cca 3000 otáčkám, pak se opět zastaví na hodnotě a nezvládne jít dál \end_layout \begin_layout Itemize pozn.: před dosažením \begin_inset Quotes eld \end_inset kritické \begin_inset Quotes erd \end_inset hodnoty dochází k menším záchvěvům (ale menším než při prudké změně požadované hodnoty) \end_layout \end_deeper \begin_layout Enumerate současný stav lehce nefunkční - po aktualizaci simulátoru se značně změnilo chování a při zapnutém EKF nefunguje vůbec ani jedno, bez něj se verze bez červených členů dostane na 200 otáček, a verze s jede pořád dál, ale pomaleji, než se po ní chce, dostane se asi na 1200 otáček z 3000 (a nějakej estimátor tam jede i když tam nemá být ???) \end_layout \end_body \end_document