#LyX 2.0 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 413 \begin_document \begin_header \textclass scrreprt \begin_preamble \usepackage[czech]{babel} \end_preamble \use_default_options true \maintain_unincluded_children false \language czech \language_package default \inputencoding auto \fontencoding global \font_roman default \font_sans default \font_typewriter default \font_default_family default \use_non_tex_fonts false \font_sc false \font_osf false \font_sf_scale 100 \font_tt_scale 100 \graphics default \default_output_format default \output_sync 0 \bibtex_command default \index_command default \paperfontsize default \spacing single \use_hyperref false \papersize default \use_geometry false \use_amsmath 1 \use_esint 1 \use_mhchem 1 \use_mathdots 1 \cite_engine basic \use_bibtopic false \use_indices false \paperorientation portrait \suppress_date false \use_refstyle 0 \index Index \shortcut idx \color #008000 \end_index \secnumdepth 2 \tocdepth 2 \paragraph_separation indent \paragraph_indentation default \quotes_language german \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \tracking_changes false \output_changes false \html_math_output 0 \html_css_as_file 0 \html_be_strict false \end_header \begin_body \begin_layout Standard \align left \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash thispagestyle{empty} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \size large České vysoké učení technické v Praze \end_layout \begin_layout Standard \align center \size large Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center Katedra matematiky \end_layout \begin_layout Standard \align center Obor: Inženýrská informatika \end_layout \begin_layout Standard \align center Zaměření: Softwarové inženýrství a matematická informatika \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename /home/michal/Dokumenty/Bakalarka/moje/komplet/logo_cvut.eps lyxscale 20 scale 20 \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \size larger \color black Metody duálního řízení elektrických pohonů \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace smallskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \size larger \color black Dual control methods for electrical drives \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \size largest \color black VÝZKUMNÝ ÚKOL \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace vfill \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center Vypracoval: Michal Vahala \end_layout \begin_layout Standard \align center Vedoucí práce: Ing. Václav Šmídl, Ph.D. \end_layout \begin_layout Standard \align center Rok: 2011 \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash thispagestyle{empty}~ \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace vfill \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection* Prohlášení \end_layout \begin_layout Standard Prohlašuji, že jsem výzkumný úkol vypracoval samostatně a použil jsem pouze podklady uvedené v přiloženém seznamu. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \noindent \align left V Praze dne \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \begin_inset space \hfill{} \end_inset \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \end_layout \begin_layout Standard \noindent \align block \begin_inset space \hfill{} \end_inset Michal Vahala \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout ~~ \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash thispagestyle{empty}~ \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace vfill \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection* Poděkování \end_layout \begin_layout Standard Především bych chtěl poděkovat vedoucímu práce Ing. Václavu Šmídlovi, Ph. \begin_inset space \thinspace{} \end_inset D. za odborné vedení, hodnotné rady a připomínky. Dále pak Ing. Davidu Vošmikovi za přečtení textu a připomínky k praktickým tématům. Na závěr patří poděkování přítelkyni Bc. \begin_inset space ~ \end_inset Pavle Procházkové za pečlivé přečtení textu a pomoc s opravou gramatických chyb. \begin_inset VSpace defskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset space \hfill{} \end_inset Michal Vahala \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash thispagestyle{empty} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Description \emph on Název \begin_inset space \space{} \end_inset práce: \emph default \color black \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout ~ \end_layout \end_inset \begin_inset Newline newline \end_inset Metody duálního řízení elektrických pohonů \end_layout \begin_layout Description \begin_inset VSpace defskip \end_inset \end_layout \begin_layout Description \emph on Autor: \emph default Michal Vahala \end_layout \begin_layout Description \emph on Obor: \emph default Inženýrská informatika \end_layout \begin_layout Description \emph on Druh \begin_inset space \space{} \end_inset práce: \emph default Výzkumný úkol \end_layout \begin_layout Description \emph on Vedoucí \begin_inset space \space{} \end_inset práce: \emph default Ing. Václav Šmídl, Ph.D. \end_layout \begin_layout Description \emph on Abstrakt: \emph default Text je zaměřen na řízení synchronního stroje s permanentními magnety, především na možnost využití technik duálního řízení. Snahou je vytvořit takzvaný \begin_inset Quotes gld \end_inset bezsenzorový \begin_inset Quotes grd \end_inset návrh řízení. Pozornost je nejdříve věnována jak samotnému stroji a jeho matematickému popisu v různých souřadných soustavách, tak i běžně využívaným algoritmům pro odhadování stavových veličin a pro řízení. Dále se text zabývá duálním řízením. Jsou uvažovány zejména jednoduché algoritmy použitelné i pro řízení v reálném čase. Na tomto základě jsou navrženy a provedeny simulace. Hlavním záměrem je posouzení kvality duálních řídících algoritmů v porovnání s ostatními uvažovanými. \end_layout \begin_layout Description \emph on Klíčová \begin_inset space \space{} \end_inset slova: \emph default synchronní stroj s permanentními magnety (PMSM), bezsenzorový návrh řízení, duální řízení, injektáž signálu, LQG \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Description \emph on Title: \emph default \color black \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout ~ \end_layout \end_inset \begin_inset Newline newline \end_inset Dual control methods for eletrical drives \end_layout \begin_layout Description \begin_inset VSpace defskip \end_inset \end_layout \begin_layout Description \emph on Author: \emph default Michal Vahala \end_layout \begin_layout Description \emph on Abstract: \emph default This text is focused on a peramanent magnet synchronous machine control, especially on a possible dual control usage. The main objective is to design so called \begin_inset Quotes gld \end_inset sensorless \begin_inset Quotes grd \end_inset control. Attention is at first paid to the machine itself, its mathematical description in various coordinate systems and commonly used algorithms for estimation and control. Next, the text is concerned with a dual control. Above all, simple algorithms applicable in real time are studied. On this basis, simulations are designed and realized. Main intention is to review quality of dual control algorithms in comparsion with others under consideration. \end_layout \begin_layout Description \emph on Key \begin_inset space \space{} \end_inset words: \emph default permanent magnet synchronous machine (PMSM), sensorless control, dual control, signal injection, LQG \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash thispagestyle{empty} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset CommandInset toc LatexCommand tableofcontents \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash thispagestyle{empty} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Chapter* Seznam použitého označení a zkratek \end_layout \begin_layout Subsubsection* Zkratky \end_layout \begin_layout Labeling \labelwidthstring 00.00.0000 \emph on PMSM \emph default synchronní stroj s permanentními magnety ( \emph on Permanent Magnet Synchronous Machine \emph default ) \end_layout \begin_layout Labeling \labelwidthstring 00.00.0000 \emph on SMPMSM \emph default PMSM s magnety na povrchu rotoru ( \emph on Surface Mounted PMSM \emph default ) \end_layout \begin_layout Labeling \labelwidthstring 00.00.0000 \emph on IPMSM \emph default PMSM s magnety uvnitř rotoru ( \emph on Inner PMSM \emph default ) \end_layout \begin_layout Labeling \labelwidthstring 00.00.0000 \emph on LQG \emph default lineárně kvadraticky gaussovské řízení ( \emph on Linear-Quadratic-Gaussian \emph default ) \end_layout \begin_layout Labeling \labelwidthstring 00.00.0000 \emph on PI \emph default proporcionálně integrační regulátor \end_layout \begin_layout Labeling \labelwidthstring 00.00.0000 \emph on EKF \emph default rozšířený Kalmanův filtr ( \emph on Extended Kalman Filter \emph default ) \end_layout \begin_layout Subsubsection* Označení \end_layout \begin_layout Labeling \labelwidthstring 00.00.0000 \begin_inset Formula $\hat{a}$ \end_inset značí odhad veličiny \begin_inset Formula $a$ \end_inset \end_layout \begin_layout Labeling \labelwidthstring 00.00.0000 \begin_inset Formula $j$ \end_inset komplexní jednotka \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Addchap Úvod \end_layout \begin_layout Standard Hlavní náplní této práce je řízení elektrických pohonů, konkrétně synchronního motoru s permanentními magnety (v textu bude označován zkratkou PMSM z anglického \emph on Permanent Magnet Synchronous Machine \emph default ). Jedná se o točivý elektrický stroj, u kterého se rotor otáčí stejnou rychlostí (synchronně) jako točivé magnetické pole statoru. Na rotoru má ale místo budícího vinutí permanentní magnety. Tato konstrukce nachází v poslední době stále větší uplatnění. Je tomu tak především z důvodu snadnější dostupnosti kvalitních permanentních magnetů, ale také díky možnosti využít stále výkonnější polovodičová zařízení pro řízení a napájení těchto strojů. Dalším důvodem je pak velký poměr výkon/rozměry, který je výhodný při omezeném zástavbovém prostoru. \end_layout \begin_layout Standard Jak se ale ukazuje, řízení takovýchto strojů, zejména pokud se jedná o takzvaný bezsenzorový návrh, je netriviální. Je tedy třeba hledat vhodné řídící algoritmy, které zvládnou motor efektivně řídit i v bezsenzorovém případě a umožní širší nasazení PMSM v praxi. \end_layout \begin_layout Standard V tomto textu je nejdříve stručně popsán samotný PMSM, následuje odvození rovnic popisujících tento stroj v nejčastěji používaných souřadných soustavách. Dále je formulována problematika odhadování a určování stavových veličin, kdy je kladen důraz na bezsenzorový případ. Následuje popis nejčastěji používaných řídících technik, které jsou současně dostatečně jednoduché, aby mohly být teoreticky nasazeny i pro případ řízení v reálném čase. Zvláštní pozornost je věnována řízení označovanému jako LQG. \end_layout \begin_layout Standard Dále se text věnuje duálnímu řízení, které se zdá být vhodným kandidátem na zvládnutí úlohy řízení PMSM. Protože je však problém duálního řízení obecně velmi složitá úloha, zaměříme se na jeho nejjednodušší případy, které by mohly být nasazeny i v reálném čase. \end_layout \begin_layout Standard Na závěr jsou prezentovány výsledky simulací a jsou navrženy směry a metody, které by mohly vést k úspěšnému řešení problému. \end_layout \begin_layout Paragraph Poznámka \end_layout \begin_layout Standard V celém textu bude \begin_inset Formula $j$ \end_inset označovat komplexní jednotku \begin_inset Formula $j=\sqrt{-1}$ \end_inset . Písmeno \begin_inset Formula $i$ \end_inset bude obvykle značit elektrický proud, komplexní jednotku však nikdy. \end_layout \begin_layout Chapter Popis PMSM \end_layout \begin_layout Section Vlastnosti \end_layout \begin_layout Subsection Permanentní magnety \end_layout \begin_layout Standard Jak již bylo řečeno, pro PMSM mají velký význam kvalitní permanentní magnety. Podle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "cdern2010,novak2006" \end_inset jsou magnety vhodné pro PMSM vyráběny ze speciálních slitin nejčastěji na bázi prvků \begin_inset Formula $Sm-Co$ \end_inset nebo \begin_inset Formula $Nd-Fe-B$ \end_inset . Oproti klasickým feritovým magnetům se vyznačují velkou magnetickou indukcí okolo \begin_inset Formula $1T$ \end_inset oproti přibližně \begin_inset Formula $0,3T$ \end_inset u feritových magnetů. \end_layout \begin_layout Standard Nevýhodou nejen těchto, ale permanentních magnetů obecně, je změna jejich magnetických vlastností s teplotou. Jedná se především o hranici označovanou jako \emph on Courieův bod \emph default , kdy materiál přechází z feromagnetického stavu do paramagnetického a s tím je spojen výrazný pokles magnetizmu. Tato hodnota závisí na použitém materiálu a pohybuje se přibližně v rozmezí \begin_inset Formula $200-1000^{\circ}C$ \end_inset . Z toho vyplývá, že je nutné udržovat motor na vhodné provozní teplotě a zajistit odpovídající chlazení. \end_layout \begin_layout Subsection Výhody a nevýhody PMSM \end_layout \begin_layout Standard Následující část popisující výhody a nevýhody čerpá především ze zdrojů \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "cdern2010,novak2006" \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Výhody \end_layout \begin_layout Standard Proč se PMSM využívají a jaké mají výhody oproti jiným motorům. Uveďme především: \end_layout \begin_layout Itemize rotor neobsahuje vinutí a tedy \end_layout \begin_deeper \begin_layout Itemize je možno jej konstruovat menší, což je velmi výhodné v aplikacích, kde záleží na co nejmenší velikosti pohonu, příkladem mohou být dopravní prostředky, kde lze ušetřené místo využít například pro cestující (nízkopodlažní tramvaj) \end_layout \begin_layout Itemize je možno jej konstruovat lehčí, což snižuje hmotnost celého zařízení \end_layout \begin_layout Itemize má menší moment setrvačnosti rotoru \end_layout \begin_layout Itemize není třeba \emph on \emph default složitě přivádět \emph on \emph default napájení \emph on \emph default na rotor \end_layout \end_deeper \begin_layout Itemize není třeba motor před rozběhem budit a nepotřebuje zdroj budícího proudu \end_layout \begin_layout Itemize odpadá problém s přívodem proudu do buzení rotoru \end_layout \begin_layout Itemize vyšší účinnost -- nejsou jouleovy ztráty v rotoru (oproti asynchronnímu stroji), popřípadě v buzení (oproti synchronnímu stroji s buzením) \end_layout \begin_layout Itemize momentová přetížitelnost \end_layout \begin_layout Itemize možnost konstrukce pomaluběžného stroje s dostatečným výkonem, který nepotřebuje převodovku (výhody spojené s absencí převodovky) \end_layout \begin_layout Subsubsection Nevýhody \end_layout \begin_layout Standard Na druhou stranu toto řešení motoru má i své nevýhody, jedná se zejména o: \end_layout \begin_layout Itemize technologicky složitější výroba -- připevnění permanentních magnetů na rotor (nejčastěji lepení) \end_layout \begin_layout Itemize složitější opravy \end_layout \begin_layout Itemize vyšší cena (nezanedbatelné náklady na permanentní magnety) \end_layout \begin_layout Itemize menší robustnost \end_layout \begin_layout Itemize problematické odbuzování a klesající účinnost při odbuzování \end_layout \begin_layout Itemize nutnost dobrého chlazení -- závislost magnetických vlastností permanentních magnetů na teplotě \end_layout \begin_layout Itemize stálá přítomnost budícího pole v motoru -- při využití například k pohonu vozidla, dojde-li poruše a následném odtahu, funguje motor jako generátor \end_layout \begin_layout Itemize problematika zkratu -- teoreticky může dojít až k demagnetizaci permanentních magnetů \end_layout \begin_layout Itemize problematika spojená s návrhem řízení těchto strojů (bude detailněji rozebrána níže) \end_layout \begin_layout Section Konstrukce \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename pmsm_spec.eps scale 35 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename pmsm_simple.eps scale 60 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on Ilustrativní obrázek konstrukce PMSM \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on Zjednodušený model PMSM \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Konstrukce a model PMSM \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "Flo:obr1_ilupmsm" \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "Flo:obr2_simplepmsm" \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Základní konstrukce PMSM je na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "Flo:obr1_ilupmsm" \end_inset . Nákres je pouze ilustrativní, ale zobrazuje hlavní části PMSM: Vnější kruh představuje stator. Na něm jsou zuby, na kterých je navinuto statorové vinutí (v obrázku není zobrazeno). Vnitřní kruh je rotor, na jehož povrchu jsou umístěny právě permanentní magnety. U těchto magnetů je barevně rozlišen severní a jižní pól. \end_layout \begin_layout Standard Často se lze setkat i s opačnou konstrukcí, kdy je stator umístěn uvnitř a rotor s magnety se otáčí kolem něj. Tato konstrukce PMSM se využívá například k pohonu nejrůznějších vozidel, kdy je motor umístěn přímo v kole vozidla, nebo k pohonu bubnu automatické pračky. Existují i další konstrukce PMSM. Zajímavou je například verze, která má otočný stator i rotor a toto zařízení pak může sloužit jako dělič výkonu. \end_layout \begin_layout Standard Vyobrazená konstrukce je někdy také označováná jako SMPMSM ( \emph on Surface Mounted PMSM \emph default ), tedy PMSM s magnety na povrchu. Další častou konstrukcí je IPMSM ( \emph on Inner PMSM \emph default ), kde jsou permanentní magnety umístěny uvnitř rotoru. Tyto verze mají nepatrně odlišné vlastnosti, které ale mají významný vliv při návrhu řízení těchto strojů. Pod PMSM se ještě zahrnují reluktanční motory, které jsou založeny na poněkud odlišném principu a dále se jimi vůbec zabývat nebudeme. \end_layout \begin_layout Standard Pro představu a odvození základních rovnic však nepotřebujeme pracovat s příliš složitou konstrukcí a vystačíme si se zjednodušeným modelem, který je zobrazen na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "Flo:obr2_simplepmsm" \end_inset . Na statoru jsou zde umístěny pouze tři cívky, které představují vinutí jednotlivých fází. Rotor je pak reprezentován jediným permanentním magnetem. Pro základní představu je tento model dostačující, dále ale bude třeba rozšířit model o více párů pólů. PMSM na nákresu (zjednodušený model) má 1 pár pólů, ale reálné motory jich mívají obvykle více. \end_layout \begin_layout Section Souřadné soustavy \end_layout \begin_layout Standard Pro popis a následné odvození rovnic se standartně používá několik souřadných systémů. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename pmsm_simple_abc.eps scale 35 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename pmsm_simple_albe.eps scale 35 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename pmsm_simple_dq.eps scale 35 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on Souřadný systém \begin_inset Formula $a-b-c$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on Souřadný systém \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset - \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on Souřadný systém \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Souřadné systémy \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "Flo:obr3_ssabc" \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "Flo:obr4_ssalbe" \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "Flo:obr5_ssdq" \end_inset \end_layout \end_inset Prvním z nich je souřadný systém \emph on \begin_inset Formula $a-b-c$ \end_inset \emph default znázorněný na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "Flo:obr3_ssabc" \end_inset . Jednotlivé osy tohoto souřadného systému ( \begin_inset Formula $a$ \end_inset , \begin_inset Formula $b$ \end_inset , \begin_inset Formula $c$ \end_inset ) směřují ve směru os vinutí jednotlivých fází a jsou tedy vzájemně pootočeny o \begin_inset Formula $120^{\circ}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Protože ale k popsání polohy v rovině jsou tři souřadnice (v osách \begin_inset Formula $a$ \end_inset , \begin_inset Formula $b$ \end_inset , \begin_inset Formula $c$ \end_inset ) zbytečné a jedna z nich je vždy závislá, přecházíme k souřadnému systému \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset - \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset , který je znázorněn na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "Flo:obr4_ssalbe" \end_inset . Osa \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset je totožná s osou \emph on \begin_inset Formula $a$ \end_inset \emph default ze souřadného systému \emph on \begin_inset Formula $a-b-c$ \end_inset \emph default , osa \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset je na ni pak kolmá. Osy \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset - \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset tedy tvoří ortogonální systém. \end_layout \begin_layout Standard Pro většinu aplikací se však ukazuje výhodné přejít do rotující soustavy \emph on \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset \emph default , která je svázána s rotorem. Její vyobrazení je na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "Flo:obr5_ssdq" \end_inset . Opět se jedná o ortogonální systém, kdy osu \emph on \begin_inset Formula $d$ \end_inset \emph default orientujeme ve směru osy permanentního magnetu směřující k jeho severnímu pólu. Osa \emph on \begin_inset Formula $q$ \end_inset \emph default je pak na ni kolmá. \end_layout \begin_layout Section Transformace souřadnic \end_layout \begin_layout Standard Mezi výše zmíněnými souřadnými soustavami platí následující převodní vztahy. \end_layout \begin_layout Subsection Transformace \begin_inset Formula $a-b-c\longleftrightarrow\alpha-\beta$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Tato transformace se označuje také jako Clarkova transformace, rovnice lze nalézt například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "fiser2006" \end_inset nebo je možné je poměrně snadno odvodit. \end_layout \begin_layout Subsubsection Převod \begin_inset Formula $a-b-c\rightarrow\alpha-\beta$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Osa \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset je totožná s osou \begin_inset Formula $a$ \end_inset , osy \begin_inset Formula $b$ \end_inset a \begin_inset Formula $c$ \end_inset jsou pak oproti ní otočeny o \begin_inset Formula $120^{\circ}$ \end_inset , respektive \begin_inset Formula $-120^{\circ}$ \end_inset . Tedy souřadnice v ose \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset získáme následujícím průmětem z os \begin_inset Formula $a,\: b,\: c$ \end_inset : \begin_inset Formula \[ \alpha=k\left(a+b\cdot\cos(120^{\circ})+c\cdot\cos(-120^{\circ})\right)=k\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right), \] \end_inset kde \begin_inset Formula $k$ \end_inset značí konstantu \begin_inset Formula $k=\frac{2}{3}$ \end_inset . Obdobně postupujeme v případě osy \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset . Osa \begin_inset Formula $a$ \end_inset je na ni kolmá a její příspěvek je tedy nulový. Osy \begin_inset Formula $b$ \end_inset a \begin_inset Formula $c$ \end_inset promítnutne do osy \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset získáme vztah: \begin_inset Formula \[ \beta=k\left(b\cdot\sin(120^{\circ})+c\cdot\sin(-120^{\circ})\right)=k\left(\frac{\sqrt{3}}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}c\right). \] \end_inset Celkem tedy máme rovnice: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \alpha & = & \frac{2}{3}\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right),\\ \beta & = & \frac{\sqrt{3}}{3}\left(b-c\right). \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Převod \begin_inset Formula $\alpha-\beta\rightarrow a-b-c$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Pro inverzní transformaci platí následující vztahy: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} a & = & \alpha+\theta,\\ b & = & \left(-\frac{1}{2}\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta,\\ c & \text{=} & \left(-\frac{1}{2}\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta, \end{eqnarray*} \end_inset kde \begin_inset Formula $\theta$ \end_inset představuje takzvanou nulovou složku \begin_inset Formula $\theta=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsection Transformace \begin_inset Formula $\alpha-\beta\longleftrightarrow d-q$ \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Transformace_albe_dq" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Transformace je označována jako Parkova transformace a představuje přechod do rotujícího souřadného systému. Rovnice transformace lze najít opět například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "fiser2006" \end_inset nebo je možné je odvodit. \end_layout \begin_layout Subsubsection Převod \begin_inset Formula $\alpha-\beta\rightarrow d-q$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Předpokládáme otočení doustavy \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset oproti \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset o úhel \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset kolem společného počátku souřadných soustav a tedy: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} d & = & \alpha\cos\phi+\beta\sin\phi,\\ q & = & -\alpha\sin\phi+\beta\cos\phi. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Převod \begin_inset Formula $d-q\rightarrow\alpha-\beta$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Inverzní transformaci provedeme pouze otočením na druhou stranu: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \alpha & = & d\cos\phi-q\sin\phi,\\ \beta & = & d\sin\phi+q\cos\phi. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Section Odvození rovnic \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sec:Odvození-rovnic" \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Odvození rovnic v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset soustavě \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Odvození-rovnic-vdq" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Rovnice v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset soustavě lze odvodit buď přímo, nebo transformací rovnic z jiné soustavy. Přímé odvození bude uvedeno počínaje následujícím odstavcem, transformace z jiné soustavy (konkrétně \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset ) bude pro srovnání a kontrolu uvedena dále v textu. \end_layout \begin_layout Standard Rovnici pro napětí v obvodu statoru synchronního stroje lze zapsat jako \begin_inset Formula \[ u_{s}=R_{s}i_{s}+u_{i}, \] \end_inset tedy součet napětí v obvodu (Ohmův zákon) a indukovaného napětí, přičemž veličiny jsou uvažovány komplexní. Vyjádříme-li indukované napětí jako změnu toku v čase (Faradayův zákon elektromagnetické indukce), přejde rovnice na tvar \begin_inset Formula \[ u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}. \] \end_inset Pro přechod do rotujícího souřadného systému předpokládáme obecně rotaci o úhel \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset , kterou provedeme vynásobením všech veličin operátorem rotace v komplexních číslech \begin_inset Formula $e^{j\varepsilon}$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $j$ \end_inset značí komplexní jednotku. Tedy \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{s}e^{j\varepsilon} & = & R_{s}i_{s}e^{j\varepsilon}+\frac{d(\psi_{s}e^{j\varepsilon})}{dt},\\ u_{s}e^{j\varepsilon} & \text{=} & R_{s}i_{s}e^{j\varepsilon}+\frac{d\psi_{s}}{dt}e^{j\varepsilon}+\psi_{s}j\omega_{\varepsilon}e^{j\varepsilon},\\ u_{s} & \text{=} & R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}+\psi_{s}j\omega_{\varepsilon}, \end{eqnarray*} \end_inset kde symbol \begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}$ \end_inset označuje úhlovou rychlost -- změnu úhlu \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset , jedná se tedy o derivaci \begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}=\frac{d\varepsilon}{dt}$ \end_inset . Tato úhlová rychlost \begin_inset Formula $\omega_{\varepsilon}$ \end_inset odpovídá elektrickým otáčkám \begin_inset Formula $\omega_{e}$ \end_inset a lze ji přepočíst na mechanické otáčky pomocí vztahu \begin_inset Formula $\omega_{e}=p_{p}\omega_{m},$ \end_inset kde \begin_inset Formula $p_{p}$ \end_inset je počet párů polů rotoru a \begin_inset Formula $\omega_{m}$ \end_inset mechanické otáčky. Když předpokládáme počet párů polů roven 1, je \begin_inset Formula $\omega_{e}=\omega_{m}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Nyní můžeme přejít k rovnicím v souřadném systému \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset , který je natočen oproti souřadnému systému statoru ( \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset ) o úhel \begin_inset Formula $\varepsilon=\vartheta$ \end_inset a otáčí se rychlostí \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . Osa magnetického toku rotoru je osou \begin_inset Formula $d$ \end_inset a v tomto směru uvažujeme reálnou složku komplexních veličin, osa \begin_inset Formula $q$ \end_inset je pak na ni kolmá a bude reprezentovat složku imaginární. Dostáváme tedy \begin_inset Formula \[ u_{d}+ju_{q}\text{=}R_{s}\left(i_{d}+ji_{q}\right)+\frac{d\left(\psi_{d}+j\psi_{q}\right)}{dt}+\left(\psi_{d}+j\psi_{q}\right)j\omega_{m}, \] \end_inset což při rozepsání po složkách (reálná a imaginární) vede na rovnice \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & R_{s}i_{d}+\frac{d\psi_{d}}{dt}-\omega_{m}\psi_{q},\\ u_{q} & = & R_{s}i_{q}+\frac{d\psi_{q}}{dt}+\omega_{m}\psi_{d}. \end{eqnarray*} \end_inset Dále uvažujme vztahy pro magnetické toky \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \psi_{d} & = & L_{d}i_{d}+\psi_{pm},\\ \psi_{q} & = & L_{q}i_{q}. \end{eqnarray*} \end_inset To po dosazení vede na rovnice \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{d}\frac{di_{d}}{dt}-\omega_{m}L_{q}i_{q},\\ u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{q}\frac{di_{q}}{dt}+\omega_{m}L_{d}i_{d}+\omega_{m}\psi_{pm}. \end{eqnarray*} \end_inset Vydělením \begin_inset Formula $L_{d}$ \end_inset , respektive \begin_inset Formula $L_{q}$ \end_inset získáme \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "rovnice_i_dq_ruzneL" \end_inset \begin_inset Formula \begin{eqnarray} \frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{d}}i_{d}+\frac{L_{q}}{L_{d}}\omega_{m}i_{q}+\frac{1}{L_{d}}u_{d},\label{eq:rovnice_ruzneL_proi}\\ \frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{q}}-\frac{\psi_{pm}}{L_{q}}\omega_{m}-\frac{L_{d}}{L_{q}}\omega_{m}i_{d}+\frac{1}{L_{q}}u_{q}.\nonumber \end{eqnarray} \end_inset Když ale položíme \begin_inset Formula $L_{d}=L_{q}=L_{s}$ \end_inset , dostaneme rovnice \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{s}\frac{di_{d}}{dt}-\omega_{m}L_{s}i_{q},\\ u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{s}\frac{di_{q}}{dt}+\omega_{m}L_{s}i_{d}+\omega_{m}\psi_{pm}. \end{eqnarray*} \end_inset Vydělení \begin_inset Formula $L_{s}$ \end_inset pak vede na tvar \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}+\omega_{m}i_{q}+\frac{u_{d}}{L_{s}},\\ \frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega_{m}-\omega_{m}i_{d}+\frac{u_{q}}{L_{s}}. \end{eqnarray*} \end_inset Toto vyjádření je shodné s tím, které dostaneme následně transformací z \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset souřadné soustavy. \end_layout \begin_layout Subsection Odvození rovnic v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset soustavě \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Odvození-rovnic-valfabeta" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard I když se pro řízení ukazuje být lepší a v praxi více využíváné vyjádření v soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset , rovnice v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset jsou také důležité, protože představují přímý vztah mezi měřenými a řízenými veličinami. Mohou být využity například při návrhu rozšířeného Kalmanova filtru. \end_layout \begin_layout Standard Opět vyjdeme z rovnice \begin_inset Formula \[ u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt}. \] \end_inset Magnetický tok \begin_inset Formula $\psi_{s}$ \end_inset vyjádříme jako tok vytvořený cívkami statoru a dále přičteme tok permanentních magnetů, je však třeba uvažovat, že rotor obsahující permanentní magnety je natočen obecně pod úhlem \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset . Tedy v komplexní rovině lze vyjádřit tok jako \begin_inset Formula \[ \psi_{s}=L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}. \] \end_inset Dosadíme nyní do rovnice a rozepíšeme ji po složkách \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{s} & = & R_{s}i_{s}+\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt},\\ u_{\alpha}+ju_{\beta} & \text{=} & R_{s}\left(i_{\alpha}+ji_{\beta}\right)+\frac{d}{dt}\left(L_{s}\left(i_{\alpha}+ji_{\beta}\right)+\psi_{pm}\left(\cos\vartheta+j\sin\vartheta\right)\right). \end{eqnarray*} \end_inset Rozepsání na dvě rovnice je pak následující \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{\alpha} & \text{=} & R_{s}i_{\alpha}+L_{s}\frac{di_{\alpha}}{dt}-\frac{d\vartheta}{dt}\psi_{pm}\sin\vartheta,\\ u_{\beta} & = & R_{s}i_{\beta}+L_{s}\frac{di_{\beta}}{dt}+\frac{d\vartheta}{dt}\psi_{pm}\cos\vartheta. \end{eqnarray*} \end_inset Rovnice vydělíme indukčností \begin_inset Formula $L_{s}$ \end_inset , vyjádříme z nich derivace proudů a derivace úhlu natočení \family roman \series medium \shape up \size normal \emph off \bar no \noun off \color none označíme jako úhlovou rychlost \begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}$ \end_inset = \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . Následně dostaneme rovnice v souřadné soustavě \family default \series default \shape default \size default \emph default \bar default \noun default \color inherit \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset : \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}},\\ \frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}}. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Nyní je ještě třeba přidat další dvě diferenciální rovnice pro otáčky \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a polohu \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset . Rovnice pro \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset je triviální a už byla užita, jedná se o \begin_inset Formula \[ \frac{d\vartheta}{dt}=\omega. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Rovnice pro \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Rovnice pro \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset získáme následujícím postupem ze základních zákonů mechaniky: Pro točivý moment (speciální případ momentu síly pro silovou dvojici, kdy se vektory skládají na nulu, avšak mají točivý účinek, v anglické literatuře označeno jako \emph on torque \emph default ) \emph on \emph default platí obecně vztah \begin_inset Formula \[ \tau=\frac{dL}{dt}, \] \end_inset kde \begin_inset Formula $L$ \end_inset označuje moment hybnosti ( \emph on angular momentum \emph default ). Při uvažování působení více točivých momentu momentů pak \begin_inset Formula \[ \tau_{1}+\ldots+\tau_{n}=\sum\tau=\frac{dL}{dt}. \] \end_inset Uvažujeme-li rotaci kolem pevné osy, lze moment hybnosti vyjádřit jako \begin_inset Formula \[ L=J\omega_{m}, \] \end_inset kde \begin_inset Formula $J$ \end_inset označuje moment setrvačnosti ( \emph on moment of inertia \emph default ) a \begin_inset Formula $\omega_{m}$ \end_inset je mechanická úhlová rychlost. Po dosazení tedy \begin_inset Formula \[ \sum\tau=\frac{dL}{dt}=\frac{d(J\omega_{m})}{dt}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}. \] \end_inset Točivé momenty \begin_inset Formula $\sum\tau$ \end_inset jsou: \end_layout \begin_layout Itemize moment získaný konverzním procesem elektrické energie, který vyjadřuje hlavní vlastnost točivého stroje, a to právě převod elektrické energie na mechanickou, tento moment označíme jako \begin_inset Formula $T_{e}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize zátěžný moment reprezentující zatížení stroje, tedy v podstatě to, co je motorem poháněno, je však třeba uvažovat, že působí v opačném směru a stroj brzdí, označíme ho tedy \begin_inset Formula $-T_{L}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize dále je ještě třeba uvažovat ztráty ve stroji v důsledku tření, tento moment opět působí v opačném směru a uvažujeme jej lineárně závislý na otáčkách \begin_inset Formula $\omega_{m}$ \end_inset , tedy \begin_inset Formula $-B\omega_{m}$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $B$ \end_inset je koeficient viskozity (tření) \end_layout \begin_layout Standard Rovnice po dosazení tedy přejde na tvar \begin_inset Formula \[ T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}. \] \end_inset Nyní je ještě třeba vyjádřit točivý moment \begin_inset Formula $T_{e}$ \end_inset na základě elektrických veličin. Toho lze dosáhnout výpočtem přes okamžitý elektrický výkon, pro trojfázový systém \begin_inset Formula \[ P=u_{a}i_{a}+u_{b}i_{b}+u_{c}i_{c}. \] \end_inset Po transformaci do systému \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset získáme vyjádření \begin_inset Formula \[ P=k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right), \] \end_inset kde \begin_inset Formula $k_{p}$ \end_inset označuje Parkovu konstantu s hodnotou \begin_inset Formula $k_{p}=\frac{3}{2}$ \end_inset . Napětí je zde uvažováno indukované \begin_inset Formula $u_{i}=\frac{d\psi_{s}}{dt}=\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\omega\psi_{pm}e^{j\vartheta}$ \end_inset a z něj využijeme pouze složku bez derivace proudu, protože ta slouží k tvorbě samotného magnetického pole stroje a nepodílí se na tvorbě výkonu, tedy \begin_inset Formula $\omega\psi_{pm}j(\cos\vartheta+j\sin\vartheta)$ \end_inset . V systému \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset získáme vyjádření \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{\alpha} & = & -\omega\psi_{pm}\sin\vartheta,\\ u_{\beta} & = & \omega\psi_{pm}\cos\vartheta, \end{eqnarray*} \end_inset po dosazení \begin_inset Formula \[ P=k_{p}\left(-i_{\alpha}\omega\psi_{pm}\sin\vartheta+i_{\beta}\omega\psi_{pm}\cos\vartheta\right). \] \end_inset Moment \begin_inset Formula $T_{e}$ \end_inset lze pak určit ze vztahu \begin_inset Formula $P=\omega_{m}T_{e}$ \end_inset a tedy \begin_inset Formula \[ T_{e}=\frac{P}{\omega_{m}}=k_{p}\frac{i_{\beta}\omega\psi_{pm}\cos\vartheta-i_{\alpha}\omega\psi_{pm}\sin\vartheta}{\omega_{m}}=k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right), \] \end_inset kde jsme využili vztahu \begin_inset Formula $\frac{\omega}{\omega_{m}}=p_{p}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dosazení do rovnice pro momenty pak vede na tvar \begin_inset Formula \[ k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}. \] \end_inset Ještě je třeba upravit rovnici tak, aby v ní nevystupovaly mechanické otáčky \begin_inset Formula $\omega_{m}$ \end_inset , ale otáčky elektrické \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . Toho je možno snadno dosáhnout násobením celé rovnice \begin_inset Formula $p_{p}$ \end_inset . Rovnici ještě vydělíme momentem setrvačnosti \begin_inset Formula $J$ \end_inset a získáme tvar \begin_inset Formula \[ \frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{T_{L}p_{p}}{J}-\frac{B}{J}\omega. \] \end_inset Tedy máme poslední rovnici následující soustavy: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{\alpha}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}},\\ \frac{di_{\beta}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{\beta}}{L_{s}},\\ \frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L},\\ \frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Odvození rovnice pro \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset soustavě pro různé indukčnosti \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Odvození-rovnice-pro-omegavdqruzne-ldq" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Zatím jsme ve většině případů předchozího odvození učinili zjednodušující předpoklad stejných indukčností \begin_inset Formula $L_{d}=L_{q}=L_{s}$ \end_inset . To relativně dobře platí pro případ SMPMSM. Pro IPMSM a přesnější model SMPMSM toto však neplatí a \begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$ \end_inset . Tato vlastnost bude také velmi důležitá při užití estimačních technik označovan ých jako \emph on injektáže \emph default (detailněji dále v textu). Mít tedy k dispozici i rovnice pro různé indukčnosti je velmi žádoucí. Rovnice pro proudy v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadnicích s různými indukčnostmi jsou již uvedeny v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "rovnice_i_dq_ruzneL" \end_inset . Rovnice pro \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset bude odvozena nyní: \end_layout \begin_layout Standard Opět vyjdeme z analogických vztahů jako při předchozím odvození pro \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset , tedy \begin_inset Formula \[ T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}, \] \end_inset kde vyjádříme \begin_inset Formula $T_{e}$ \end_inset ze vztahu \begin_inset Formula \[ T_{e}=\frac{P}{\omega_{m}}. \] \end_inset Tedy transformujeme následující vyjádření pro výkon z \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset do \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} P & = & k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right),\\ P & = & k_{p}\left(\left(u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta\right)\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right)+\left(u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta\right)\left(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta\right)\right),\\ P & \text{=} & k_{p}\left(u_{d}i_{d}+u_{q}i_{q}\right). \end{eqnarray*} \end_inset Opět dosadíme za \begin_inset Formula $u_{d,q}$ \end_inset složky indukovaného napětí bez derivace proudů \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & -\omega L_{q}i_{q},\\ u_{q} & = & \omega L_{d}i_{d}+\omega\psi_{pm}. \end{eqnarray*} \end_inset To vede na \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} P & = & k_{p}\left(-\omega L_{q}i_{q}i_{d}+\left(\omega L_{d}i_{d}+\omega\psi_{pm}\right)i_{q}\right),\\ P & = & k_{p}\omega\left(i_{d}i_{q}\left(L_{d}-L_{q}\right)+\psi_{pm}i_{q}\right). \end{eqnarray*} \end_inset A po dosazení získáme vyjádření pro moment \begin_inset Formula $T_{e}$ \end_inset ve tvaru \begin_inset Formula \[ T_{e}=k_{p}p_{p}\left(i_{d}i_{q}\left(L_{d}-L_{q}\right)+\psi_{pm}i_{q}\right). \] \end_inset Rovnice \begin_inset Formula $T_{e}-T_{L}-B\omega_{m}=J\frac{d\omega_{m}}{dt}$ \end_inset pak po dosazení \begin_inset Formula $T_{e}$ \end_inset , vydělení \begin_inset Formula $J$ \end_inset a násobení \begin_inset Formula $p_{p}$ \end_inset přejde na tvar \begin_inset Formula \begin{equation} \frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}.\label{eq:rovnice_ruzneL_omega} \end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Diskretizace \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Diskretizace-rovnice-alfabeta" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Výpočty jsou prováděny výhradně na počítači, simulace na PC a v případě řízení reálného stroje se obvykle užívá DSP. Je tedy třeba výše odvozené diferenciální rovnice diskretizovat a převést na rovnice diferenční. Diskretizaci je vhodné volit co možná nejjednodušší, aby se příliš nekomplikova ly výsledné rovnice a aby bylo umožněno jejich případné rychlé zpracování v reálném čase. \end_layout \begin_layout Standard Diskretizací pomocí Eulerovy metody s časovým krokem \begin_inset Formula $\Delta t$ \end_inset získáme následující diskrétní diferenční rovnice: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{\alpha,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\alpha,t}+\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\alpha,t},\\ i_{\beta,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\beta,t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\beta,t},\\ \omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Rotace do \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Rotace-do-dq-problclen" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Nyní ještě provedeme rotaci rovnic ze souřadnic \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset do \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset . Jednak v diferenciálním případě, kde po rotaci bude následovat diskretizace, ale také v diskrétním případě diferenčních rovnic. Oba postupy pak budou srovnány. \end_layout \begin_layout Standard Převod do rotující souřadné soustavy \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset pootočené o úhel \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset a rotojící rychlostí \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset : \begin_inset Formula \[ \left[\begin{array}{c} x_{d}\\ x_{q} \end{array}\right]\text{=}\left[\begin{array}{cc} \cos\vartheta & \sin\vartheta\\ -\sin\vartheta & \cos\vartheta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_{\alpha}\\ x_{\beta} \end{array}\right], \] \end_inset viz \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Transformace_albe_dq" \end_inset nebo stejného efektu lze dosáhnout i použitím komplexních souřadnic a zápisem \begin_inset Formula $x_{dq}=e^{j\vartheta}x_{\alpha\beta}$ \end_inset , jako v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Odvození-rovnic-vdq" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Následně tedy \begin_inset Formula \begin{alignat*}{2} i_{d} & = & i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta,\\ i_{q} & = & i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta, \end{alignat*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard a analogicky pro \begin_inset Formula $u$ \end_inset . Naopak pro inverzní transformaci \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{alignat*}{2} i_{\alpha} & = & i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta,\\ i_{\beta} & = & i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta, \end{alignat*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard a opět anoalogicky pro \begin_inset Formula $u$ \end_inset . To po dosazení do původních diferenciálních rovnic vede na \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{d(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta)}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta)+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta}{L_{s}},\\ \frac{d(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta)}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}(i_{q}\cos\vartheta+i_{d}\sin\vartheta)-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{u_{q}\cos\vartheta+u_{d}\sin\vartheta}{L_{s}},\\ \frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{q}\right)-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L},\\ \frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Ve třetí rovnici rovnou dosadíme \begin_inset Formula $i_{q}$ \end_inset , čtvrtá se nemění a z prvních dvou vyjádříme rovnice pro proudy a napětí v \begin_inset Formula $d$ \end_inset a \begin_inset Formula $q$ \end_inset , například tak, že první rovnici násobíme \begin_inset Formula $\cos\vartheta$ \end_inset a sečteme s druhou násobenou \begin_inset Formula $\sin\vartheta$ \end_inset , dále pak první rovnici násobenou \begin_inset Formula $-\sin\vartheta$ \end_inset sečteme s druhou násobenou \begin_inset Formula $\cos\vartheta$ \end_inset , tento postup vede na rovnice \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{d}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}-i_{q}\omega+\frac{u_{d}}{L_{s}},\\ \frac{di_{q}}{dt} & \text{=} & i_{d}\omega-\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega+\frac{u_{q}}{L_{s}},\\ \frac{d\omega}{dt} & \text{=} & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q}-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L},\\ \frac{d\vartheta}{dt} & \text{=} & \omega. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Zde jsou zajímavé členy \begin_inset Formula $-i_{q}\omega$ \end_inset a \begin_inset Formula $i_{d}\omega$ \end_inset v první a druhé rovnici, protože když bychom nejdříve provedli diskretizaci a až následně převod do \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadnic, tyto členy zřejmě nevzniknou. Nevzniknou také, když soustavu \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset definujeme ne jako pootočenou o \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset , ale jako soustavu pootočenou o nějaké konstantní \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset . Z formálního hlediska se jeví jako nejvíce správné řešení zahrnující tyto členy. Pro praktické použití ale je vhodné otestovat, jaký je vliv těchto členů. Diskretizovaná verze rovnic v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset je tedy \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray} i_{d,t+1}+\left|\overline{\underline{\left(-\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}\right)}}\right| & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{d,t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{d,t},\nonumber \\ i_{q,t+1}+\left|\underline{\overline{\left(+\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}\right)}}\right| & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{q,t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{q,t},\label{eq:dqrce-probl-clen}\\ \omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q,t}-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\nonumber \\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t,\nonumber \end{eqnarray} \end_inset kde \begin_inset Quotes gld \end_inset problematické \begin_inset Quotes grd \end_inset členy jsou v rámečku. \end_layout \begin_layout Section Problematika modelu \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sec:Problematika-modelu" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dále budeme pracovat zpravidla převážně s rovnicemi odvozenými v předchozí části a skutečný stroj ustoupí do pozadí. Je však třeba mít na paměti, že za rovnicemi se skrývá fyzikální realita a mnoho jevů, které ji doprovází. Tyto jevy se totiž při aplikaci regulátoru na skutečném stroji projeví. Jedná se především o následující body: \end_layout \begin_layout Itemize \series bold nepřesnost modelu \series default -- chyby způsobené zanedbáním nejrůznějších fyzikálních vlivů a důsledky zjednodušujících předpokladů, například závislosti některých veličin na teplotě, sycení magnetických obvodů, obecně nekonstantní parametry stroje atd. \end_layout \begin_layout Itemize \series bold nedokonalosti stroje \series default -- žádný stroj nebude vyrobený přesně, aby odpovídal modelu, vyskytnou se různé nerovnosti, nesymetrie a podobně \end_layout \begin_layout Itemize \series bold diskretizační a zaokrouhlovací chyby \series default -- řízení je navrhováno pro digitální počítač a dříve nebo později je tedy třeba provést diskretizaci a kvantizaci všech zpracovávaných veličin \end_layout \begin_layout Itemize \series bold chyby měření \series default -- měřící přístroje a čidla, které získávají informace o motoru, nejsou přesná; mají pouze určitou rozlišovací schopnost a také omezenou možnost předat informaci, zejména pokud se jedná o digitální zařízení \end_layout \begin_layout Itemize \series bold napájecí zdroj \series default -- zařízení, které dodává regulátorem požadované napětí do stroje, není ideální; naopak odpovídá ideálním požadavkům zpravidla velmi špatně, využívá pulzní šířkové modulace (PWM) a invertoru; tyto zařízení pak přinášejí množství negativních efektů \end_layout \begin_layout Standard Tyto jevy se velmi těžko popisují a jejich zachycení v modelu přináší mnoho komplikací. Většinu z nich ani nedokážeme popsat a předvídat. Proto se pokusíme co nejvíce z výše zmíněných problémů zahrnout pod pojem šum. Vzniká pak ale otázka, jak takový šum vhodně nastavit v modelu, aby alespoň přibližně odpovídal problematickým jevům. V rovnicích z předchozí části tedy budeme navíc ještě uvažovat jednoduchý model šumu a to aditivní bílý Gaussovský šum. \end_layout \begin_layout Chapter Algoritmy pro odhadování stavových veličin \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sec:Estimace-stavových-veličin" \end_inset \end_layout \begin_layout Section Rozdělení stavových veličin \end_layout \begin_layout Subsection Mechanické veličiny \end_layout \begin_layout Standard Pro řízení PMSM je důležité, že se jedná o synchronní stroj, kdy se rotor otáčí současně (synchronně) s točivým magnetickým polem vytvořeným cívkami statoru. Proto když chceme navrhnout řízení takového stroje, musíme nutně znát polohu rotoru \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset , a to s relativně velkou přesností. Protože se v textu zaměřujeme na řízení rychlosti stroje (regulovanou veličinou jsou otáčky rotoru), potřebujeme znát i hodnotu otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . Problematika získání těchto hodnot se však ukazuje být netriviální. Obecně existuje několik přístupů, které budou detailněji rozebrány dále v textu. \end_layout \begin_layout Paragraph Poznámka: \end_layout \begin_layout Standard Zmiňované veličiny \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset a \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset jsou svázány jednoduchým diferenciálním vztahem \begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}=\omega$ \end_inset . Při praktickém užití, kdy rovnice diskretizujeme, může být ale výpočet derivace či integrálu velmi nepřesný. Dáváme tedy přednost metodám estimace těchto veličin, které nám poskytují odhad obou. \end_layout \begin_layout Subsection Elektrické veličiny \end_layout \begin_layout Standard Co se týče dalších (elektrických) stavových veličin systému, ve výše uvedených rovnicích vystupují ještě proudy \begin_inset Formula $i$ \end_inset a napětí \begin_inset Formula $u$ \end_inset . Proudy \begin_inset Formula $i$ \end_inset předpokládáme, že měříme, samozřejmě jen s určitou přesností. Napětí \begin_inset Formula $u$ \end_inset pak jsou vstupy, kterými řídíme systém. Ty navrhujeme a tedy je předpokládáme známé, je však třeba uvést, že řízením navržená napětí \begin_inset Formula $u$ \end_inset nejdou přímo do motoru, ale slouží pouze jako referenční hodnoty pro napájecí zdroj. Kontrolu nad napětím na vstupu do motoru tedy nemáme. \end_layout \begin_layout Subsection Bezsenzorové řízení \end_layout \begin_layout Standard Dále se v textu hovoří o \emph on bezsenzorovém řízení \emph default . Pod tímto pojmem je vždy bezvýhradně myšleno řízení, které nevyužívá senzorů k měření mechanických veličin. Elektrické veličiny jsou měřeny vždy. \end_layout \begin_layout Section Senzorové metody \end_layout \begin_layout Subsection Senzory \end_layout \begin_layout Standard Nejpřímočařejším přístupem pro určování mechanických veličin je osazení stroje senzory. Často se může jednat o pulzní snímače na principu vhodného kódu \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "novak2006" \end_inset . Další možností je využití Hallových senzorů \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PUK1" \end_inset . Využití senzorů přináší obecně mnoho nevýhod. Přidává do zařízení další části, a tím zvyšuje jeho cenu i poruchovost. Je třeba řešit jeho připojení k motoru a vodiče pro sběr dat. Řízení využívající senzory je méně robustní a v případě selhání senzoru ztrácíme nad strojem kontrolu. To může být nežádoucí obvzláště, je-li motor využíván současně i jako brzda \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PCW1" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Je tedy snaha se užití senzorů vyhnout a k určování polohy a otáček rotoru využít jiných, \emph on bezsenzorových \emph default metod. \end_layout \begin_layout Subsection Rezolvery \end_layout \begin_layout Standard Podle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "novak2006" \end_inset a \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PAH1" \end_inset se jedná o v praxi často využívaná zařízení k vyhodnocení úhlu natočení rotoru PMSM. Rezolver je speciální servomechanismus, v podstatě střídavý stroj. Pracuje na principu polohového transformátoru. Na rotoru má umístěné bezkontaktně napájené budící vinutí (primární vinutí transformátoru). Na statoru dvě vinutí posunutá o \begin_inset Formula $90^{\circ}$ \end_inset (představují sekundární vinutí). Zařízení je napájeno vysokofrekvenčním napětím okolo \begin_inset Formula $5-10kHz$ \end_inset o malé amplitudě cca \begin_inset Formula $5V$ \end_inset . Velikosti napětí indukovaných ve statorových vinutích jsou závislé na úhlovém natočení rotoru ( \begin_inset Formula $\sin$ \end_inset a \begin_inset Formula $\cos$ \end_inset ). To může být následně získáno například pomocí fázového závěsu. \end_layout \begin_layout Standard Rezolvery jsou robustní a vyhodnocují přesně úhel natočení, toho se využívá například v robotice. Pro samotné vyhodnocení je však třeba složitějších obvodů. Velkou nevýhodou ale je, že se jedná o přídavné zařízení -- s tím jsou spojeny problémy již zmiňované u senzorů. \end_layout \begin_layout Standard Dále se ještě nabízí otázka, proč místo užití rezolveru přímo nepoužít vysokofre kvenční signál v samotném PMSM v rámci některé z injektážních metod. \end_layout \begin_layout Section Zpětné elektromotorické síly \end_layout \begin_layout Standard Využití zpětné elektromotorické síly ( \emph on back electromotiric force, back-EMF \emph default ) je metoda, kdy informaci o úhlu natočení a otáčkách rotoru získáváme z indukovaného napětí. Princip je v podstatě velmi jednoduchý a nejlépe je vidět na rovnicích pro proudy v souřadnicích \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset , které představují přímý vztah mezi řízením systému na vstupu a měřenými výstupy: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}\left|\underline{\overline{+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta}}\right|+\frac{u_{\alpha}}{L_{s}},\\ \frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}\left|\underline{\overline{-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta}}\right|+\frac{u_{\beta}}{L_{s}}, \end{eqnarray*} \end_inset kde právě zarámované členy odpovídají indukovaným napětím a je z nich možno získat hodnoty \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset a \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . V ideálním případě by stačilo pouze členy extrahovat \begin_inset Formula $e_{\alpha}=\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta$ \end_inset a \begin_inset Formula $e_{\beta}=-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta$ \end_inset a vypočítat \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \vartheta & = & \arctan\left(-\frac{e_{\alpha}}{e_{\beta}}\right),\\ \left|\omega\right| & = & \frac{L_{s}}{\psi_{pm}}\sqrt{e_{\alpha}^{2}+e_{\beta}^{2}}. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Komplikace \end_layout \begin_layout Standard Ve skutečnosti ale postup není tak jednoduchý. Jednak je třeba ještě vyřešit problém se znaménkem \begin_inset Formula $\mathrm{sign\,}\omega$ \end_inset , protože uvedené rovnice jsou symetrické na substituci \begin_inset Formula $\left(\omega,\:\vartheta\right)\longleftrightarrow\left(-\omega,\:\vartheta+\pi\right)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dále do systému vstupuje šum a při malém odstupu signálu od šumu ( \emph on S/N \emph default ) bude výpočet výše značně nepřesný. To také souvisí dalším, největším problémem tohoto přístupu. Zatímco amplitudu šumu uvažujeme neměnnou, amplituda indukovaných napětí je přímo závislá na otáčkách stroje \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . A tedy při nízkých, nebo dokonce nulových otáčkách, tato metoda naprosto selhává. Tento případ je o to závažnější, že se s ním musíme vyrovnat při každém rozjezdu stroje. Úhel natočení \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset je tedy v tomto případě nepozorovatelný stav. Navíc nemůžeme předpokládat žádnou počáteční hodnotu, protože nám s rotorem mohl otočit nějaký vnější zásah, popřípadě mohl oddriftovat. Je tedy vhodné předpokládat počáteční natočení \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset jako náhodnou veličinu s rovnoměrným rozdělením v intervalu \begin_inset Formula $\left(-\pi,\:\pi\right\rangle $ \end_inset . \begin_inset Float figure wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename badekfestim.eps scale 60 \end_inset \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Výsledek odhadování stavu pomocí EKF, který předpokládá počáteční hodnotu \begin_inset Formula $\vartheta_{0}=0$ \end_inset , zatímco skutečná hodnota je jiná (viz legenda). Nahoře odhady otáček \begin_inset Formula $\omega_{est}$ \end_inset (červená přerušovaná čára značí referenční hodnotu \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset téměř přesně sledovanou systémem s řízením se znalostí stavu, tj. \begin_inset Formula $\overline{\omega}\approx\omega_{sys}$ \end_inset ). Vlevo dole skutečné hodnoty úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta_{sys}$ \end_inset a vpravo dole estimované hodnoty \begin_inset Formula $\vartheta_{est}$ \end_inset . \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "Flo:badekfestim" \end_inset \end_layout \end_inset Příkladem toho, jaké výsledky můžeme dosáhnout, když počítáme s očekávanou hodnotou \begin_inset Formula $\vartheta_{0}=0$ \end_inset , zatímco skutečná hodnota je jiná, zobrazuje obrázek \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "Flo:badekfestim" \end_inset . Jedná se o jednoduchý příklad odhadování stavu pomocí rozšířeného Kalmanova filtru, v tomto případě neuvažujeme šum. Zde však bylo použito odhadování stavových veličin již běžícího systému, který je řízen regulátorem využívajícím přesnou informaci o stavu. Získaný odhad se tedy nevyužíval pro řízení. Když bychom řídili na základě odhadu stavu, tj. přidali do systému zpětnou vazbu, výsledek by se zlepšil viz obrázek \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "Flo:badekfestim2" \end_inset . \begin_inset Float figure wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename badekfestim2.eps scale 60 \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Výsledek odhadování a řízení stavu pomocí EKF, který předpokládá počáteční hodnotu \begin_inset Formula $\vartheta_{0}=0$ \end_inset , zatímco skutečná hodnota je jiná (viz legenda). Nahoře průběhy skutečných otáček systému \begin_inset Formula $\omega_{sys}$ \end_inset (červená přerušovaná čára značí referenční hodnotu \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset témeř přesně sledovanou řízením z estimátoru, tj. \begin_inset Formula $\overline{\omega}\approx\omega_{est}$ \end_inset pro všechny volby \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset ). Vlevo dole skutečné hodnoty úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta_{sys}$ \end_inset a vpravo dole estimované hodnoty \begin_inset Formula $\vartheta_{est}$ \end_inset . \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "Flo:badekfestim2" \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Metody \end_layout \begin_layout Standard V praxi se pro určování parametrů z inukovaných napětí dle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PAH1" \end_inset nejčastěji používají nelineární pozorovatelé nebo adaptivní řízení s referenční m modelem (MRAC). Nejčastěji užívaným nelineárním pozorovatelem je pak rozšířený Kalmanův filtr ( \emph on EKF \emph default ). Přístupy založené na EKF lze nalézt například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PEB1,PEB2,PSB1" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard V \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSB1" \end_inset představují bezsenzorové řízení založené na EKF estimátoru ve spojení s PI regulátory. To nepotřebuje znát počáteční natočení rotoru a zátěžný moment. PI regulátor napětí lze nastavit se zamčeným rotorem a je řešen i problém s rozpoznáním \begin_inset Formula $\mathrm{sign}\,\omega$ \end_inset . Článek \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PEB2" \end_inset je také zaměřen na využití EKF, nyní však v případě IPMSM. Návrh je komplikovanější v důsledku anizotropie stroje, autoři se jí však snaží využít k vylepšení výkonu systému. \end_layout \begin_layout Standard Dále je možno kromě EKF použít například klouzavého pozorovatele ( \emph on sliding mode observer, SMO \emph default ), jeho iterativní verzi využívají v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSK1" \end_inset . V \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PLU1" \end_inset využívají také řízení založené na klouzavém pozorovateli, kde si ale navíc při nízkých otáčkách \begin_inset Formula $\omega\thickapprox0$ \end_inset pomáhají injektováním stejnosměrného proudu do \begin_inset Formula $d$ \end_inset osy. Nevyužívají však anizotropií ani nijak zvlášť neanalyzují injektovaný signál, tento přístup tedy v textu nezařadíme mezi injektáže. \end_layout \begin_layout Standard Pod metody využívající informaci ze zpětné elektromagnetické síly můžeme zařadit ještě mnoho dalších, které možná na první pohled do této kategorie nespadají. Především se jedná o metody snažící se nějakým způsobem odstranit šum a tedy zvýšit rozlišovací schopnost indukovaných napětí. Opět zde narážíme na problém, že nefungují při \begin_inset Formula $\omega\equiv0$ \end_inset . Jedná se o různé podoby odšumovacích filtrů, tedy filtrů typu dolní propusť (low-pass). V časové oblasti můžeme použít například klouzavé průměry (moving averages - MA) nebo jejich váženou verzi. Ve frekvenční oblasti lze užít (klouzavé) diskrétní Fouriefovy transformace, a buď odstranit vyšší frekvence, nebo si vybrat jen nějakou nízkou. Tím však nezískáváme o moc navíc, protože 0. harmonická odpovídá v podstatě průměru, další harmonické pak vhodně váženému průměru. \end_layout \begin_layout Standard Za zmínku ještě stojí další skupina metod využívajících více paralelně běžících odhadů z nichž vybírá jeden, nějakým způsobem optimální. Takovou metodou je například sekvenční Monte Carlo metoda (Particle Filter). \end_layout \begin_layout Standard Dalším příkladem by mohlo být více paralelně běžících modelů, z nichž se vybere ten, jehož výstup nejlépe odpovídá výstupu skutečného systému. Nedostatkem těchto přístupů je poměrně velká výpočetní náročnost, přesto ale poskytují relativně dobré výsledky. Příkladem může být obrázek \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "Flo:multipleest" \end_inset zachycující výsledek \begin_inset Formula $12$ \end_inset současně běžících modelů s různým počátečním odhadem \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset rovnoměrně rozloženým v intervalu \begin_inset Formula $\left(-\pi,\:\pi\right\rangle $ \end_inset . Skutečná počáteční hodnota natočení rotoru systému je \begin_inset Formula $\vartheta_{0}=\frac{5}{12}\pi$ \end_inset . \begin_inset Float figure wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename multiest3.eps scale 60 \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Grafy znázorňují průběh otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a úhlů natočení systému \begin_inset Formula $\theta$ \end_inset , kdy je k odhadování stavu použito \begin_inset Formula $12$ \end_inset současně běžících modelů, z nichž je v každém kroku vybírán nejlepší na základě shody s výstupem (měřené proudy) skutečného systému. Systém je řízen ze stavu, aby co nejlépe sledoval požadovanou hodnotu otáček, jeho počáteční úhel natočení je \begin_inset Formula $\vartheta_{0}=\frac{5}{12}\pi$ \end_inset . Počáteční \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset odhadovacích modelů jsou rovnoměrně rozloženy v intervalu \begin_inset Formula $\left(-\pi,\:\pi\right\rangle $ \end_inset . \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "Flo:multipleest" \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Další vlastnosti \end_layout \begin_layout Standard Metody využívající zpětnou elektromotorickou sílu jsou obvykle založeny na modelu a je důležitá znalost parametrů stroje. Bylo by tedy dobré najít přístupy, které na parametrech nezávisí, popřípadě které jsou odolné na jejich změnu. To se daří u mechanických parametrů stroje jako je zátěžný moment například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PEB2,PSB1" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Ve vyšších otáčkách poskytuje tento přístup dobré výsledky. Proto je součástí hybridních metod, které kombinují využití zpětné elektromotor ické síly a injektáž. \end_layout \begin_layout Subsection Rozšířený Kalmanův filtr \end_layout \begin_layout Standard Pro úplnost je zde uvedena i základní formulace v textu často zmiňovaného rozšířeného Kalmanova filtru. Typicky je algoritmus standartního Kalmanova filtru používán jako pozorovatel lineárního systému. Je však možno jej zobecnit i pro nelineární systémy a pak hovoříme o rozšířeném Kalmanově filtru (Extended Kalman Filter, EKF). Zobecnění je založeno na jednoduché myšlence, kdy původní nelineární systém linearizujeme v každém časovém kroku v okolí odhadu, střední hodnoty a kovariance. Popis standartního Kalmanova filtru je možno nalézt v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "BertsekasDPOC" \end_inset . Následující popis rozšířeného Kalmanova filtru je převzat z \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "ekf2006" \end_inset : \end_layout \begin_layout Subsubsection Modelový systém \end_layout \begin_layout Standard Předpokládejme dynamický systém popsaný rovnicemi \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} x_{t} & = & f\left(x_{t-1},u_{t-1},w_{t-1}\right),\\ z_{t} & = & h\left(x_{t},v_{t}\right), \end{eqnarray*} \end_inset pro \begin_inset Formula $t=1,\ldots,T$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset je vektor stavu, \begin_inset Formula $u_{t}$ \end_inset vektor řízení, \begin_inset Formula $z_{t}$ \end_inset vektor pozorování (měření) a vektory \begin_inset Formula $v_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $w_{t}$ \end_inset představují na sobě vzájemně nezávislý Gaussovský bílý šum s nulovou střední hodnotou a kovariančními maticemi \begin_inset Formula $R_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $Q_{t}$ \end_inset v tomto pořadí; obecně nelineární funkce \begin_inset Formula $f$ \end_inset představuje funkci systému a \begin_inset Formula $h$ \end_inset funkci měření a předpokládáme je známé. \end_layout \begin_layout Standard Označme nyní \begin_inset Formula $A$ \end_inset Jacobiho matici parciálních derivací \begin_inset Formula $f$ \end_inset dle \begin_inset Formula $x$ \end_inset v bodě odhadu, tedy \begin_inset Formula $\left(A_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right)$ \end_inset . Obdobně \begin_inset Formula $W$ \end_inset představuje \begin_inset Formula $\left(W_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial f_{i}}{\partial w_{j}}\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right)$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $\hat{x}_{t}$ \end_inset reprezentuje aposteriorní odhad stavu \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset (na základě předcházejících \begin_inset Formula $t$ \end_inset kroků). Analogicky pro funkci \begin_inset Formula $h$ \end_inset označme \begin_inset Formula $\left(H_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial h_{i}}{\partial x_{j}}\left(\tilde{x}_{t},0\right)$ \end_inset a \begin_inset Formula $\left(V_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial h_{i}}{\partial v_{j}}\left(\tilde{x}_{t},0\right)$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $\tilde{x}_{t}$ \end_inset představuje aproximaci stavu vypočtenou z odhadu bez šumu \begin_inset Formula $\tilde{x}_{t}=f\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection Algoritmus \end_layout \begin_layout Standard Samotný algoritmus EKF můžeme rozdělit na dvě fáze. V první označované jako časová oprava (time update) nebo také \emph on predikce \emph default se vypočítá apriorní odhad stavu a kovarianční matice: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \overline{\hat{x}}_{t} & = & f\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right),\\ \overline{P}_{t} & = & A_{t}P_{t-1}A_{t}^{T}+W_{t}Q_{t-1}W_{t}^{T}. \end{eqnarray*} \end_inset Ve druhé části označované jako oprava měření (measurement update) neboli \emph on korekce \emph default pak získáme aposteriorní odhad stavu \begin_inset Formula $\hat{x}_{t}$ \end_inset a kovarianční matice \begin_inset Formula $P_{t}$ \end_inset : \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} K_{t} & = & \overline{P}_{t}H_{t}^{T}\left(H_{t}\overline{P}_{t}H_{t}^{T}+V_{t}R_{t}V_{t}^{T}\right)^{-1},\\ \hat{x}_{t} & = & \overline{\hat{x}}_{t}+K_{t}\left(z_{t}-h\left(\overline{\hat{x}}_{t},0\right)\right)\\ P_{t} & = & \left(I-K_{t}H_{t}\right)\overline{P}_{t}. \end{eqnarray*} \end_inset Pro úplnost je ještě třeba dodat počáteční odhady \begin_inset Formula $\hat{x}_{0}$ \end_inset a \begin_inset Formula $P_{0}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Section Injektáže \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sec:Injektáže" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Injektážemi označujeme v textu metody, které využívají přídavného signálu k detekci anizotropií stroje a usnadňují určení jeho jinak obtížně pozorovateln ých stavů, především úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset . Anizotropie lze rozdělit do dvou hlavních kategorií. První jsou vlastní magnetické výčnělky ( \emph on saliency \emph default ) rotoru, ty jsou charakteristické především pro IPMSM. Do druhé kategorie pak spadají lokální anizotropie vzniklé saturací magnetickým tokem, typické pro SMPMSM. Signál je přiváděn na vstup stroje spolu s řízením. Zpravidla je využíván vysokofrekvenční signál, aby docházelo k co možná nejmenšímu narušení průběhu samotného řízení. Tyto metody jsou ale ve většině případů založeny na nějakém \begin_inset Quotes gld \end_inset speciálním \begin_inset Quotes grd \end_inset jevu (anizotropii) v tom smyslu, že jej v základních rovnicích nemáme. V reálném zařízení se samozřejmě vyskytují. \end_layout \begin_layout Standard Nejobvyklejším přístupem je, že anizotropie je v podstatě reprezentována rozdílnými indukčnostmi v osách \begin_inset Formula $d$ \end_inset a \begin_inset Formula $q$ \end_inset , tedy \begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$ \end_inset . Pro IPMSM s permanentními magnety uvnitř rotoru toto platí relativně velmi dobře. V případě SMPMSM je však situace horší, protože rozdíl \begin_inset Formula $L_{q}-L_{d}$ \end_inset je velmi malý, v krajním případě dokonce nulový. Za předpokladu \begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$ \end_inset lze této vlastnosti využít k určení polohy (úhlu natočení) rotoru \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset pomocí injektování vhodného testovacího signálu do stroje. Obvykle se využívá vysokofrekvenčního signálu o frekvenci v řádu stovek \begin_inset Formula $Hz$ \end_inset . Existují však i injektáže využívající nízkofrekvenční signály. \end_layout \begin_layout Subsection Základní postup užití injektáže \end_layout \begin_layout Standard Injektáž je aplikována jako vysokofrekvenční napěťový harmonický signál o frekvenci přibližně \begin_inset Formula $500\, Hz$ \end_inset . Ten je injektovaný do estimované osy \begin_inset Formula $d$ \end_inset spolu s řídícím napětím. Následně je získána v \begin_inset Formula $q$ \end_inset složce proudu informace o úhlu natočení \begin_inset Formula $\sin2\hat{\vartheta}$ \end_inset . Jedná se o obálku amplitudově modulovanou na nosné frekvenci. Demodulace je provedena vynásobením vysokofrekvenčním nosným signálem a následným užitím low-pass filtru. Je však třeba upozornit na nutnost předpokladu \begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$ \end_inset , protože amplituda \begin_inset Formula $\sin2\hat{\vartheta}$ \end_inset závisí mimo jiné přímo úměrně na rozdílu indukčností \begin_inset Formula $L_{q}-L_{d}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsection Metody \end_layout \begin_layout Standard Tato základní metoda je užívána například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PAH1,PAB1" \end_inset . Dále pak v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSJ1" \end_inset , kde se využívá principu, kdy v důsledku magnetického toku permanentních magnetů je syceno jádro vinutí kolem \begin_inset Formula $q$ \end_inset osy. To vytváří magnetickou nepravidelnost v motoru závislou na poloze rotoru. Tato nepravidelnost je následně detekována injektovaným vysokofrekvenčním napětím. Výhodou této metody je, že je přímo navrhována pro užití v SMPMSM. Vysokofrekvenční napěťový signál je opět injektován do estimované \begin_inset Formula $d$ \end_inset osy, informace o poloze rotoru je získána z proudu v ose \begin_inset Formula $q$ \end_inset násobením a low-pass filtrem. \end_layout \begin_layout Standard V článku \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PCB1" \end_inset se zabývají srovnáním dvou metod injektáží. Zaměřují se jak na IPMSM, který má větší rozdíl indukčností \begin_inset Formula $L_{q}-L_{d}$ \end_inset , tak i na SMPMSM. První metoda označovaná jako \begin_inset Quotes gld \end_inset pulzující napěťový vektor \begin_inset Quotes grd \end_inset je v podstatě shodná s injektážní technikou z minulého odstavce. Oproti tomu druhý způsob, nazývaný jako \begin_inset Quotes gld \end_inset rotující napěťový vektor \begin_inset Quotes grd \end_inset , užívá injektáž v souřadnicích \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset . Informace o úhlu natočení, respektive chybě odhadu úhlu natočení je pak získána násobením a následnou aplikací high-pass filtru. Opět ale platí, že získaná informace je úměrná rozdílu indukčností \begin_inset Formula $L_{q}-L_{d}$ \end_inset . Dále je v článku provedeno srovnání obou metoda na oba typy motorů, kdy je užit stejný stator a měněny rotory (SMPMSM a IPMSM). Mezi injektážními metodami nebyl shledán žádný zásadnější rozdíl. Rozdíly se projevily spíše při použití stejné metody na různé motory, to souvisí s jejich magnetickými vlastnostmi, v tomto textu se tímto však zabývat nebudeme. Srovnáním zmiňovaných dvou metod se zabývají i v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PCK1" \end_inset , zaměřují se však na IPMSM. \end_layout \begin_layout Standard Články \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSL1,PSL3" \end_inset představují injektážní metodu k detekci anizotropií, která nepotřebuje znát parametry stroje. V případě \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSL3" \end_inset se navíc snaží kompenzovat negativní vliv invertoru, především jev označovaný jako \emph on dead-time effect \emph default . Díky tomu jsou schopni detekovat i malé nepravidelnosti typické pro SMPMSM. Je užíván vysokofrekvenční napěťový signál o frekvenci okolo \begin_inset Formula $2\, kHz$ \end_inset . Injektovaný signál je složením dvou signálů rotojících proti sobě. V případě špatného odhadu úhlu \begin_inset Formula $\hat{\vartheta}\neq\vartheta$ \end_inset vzniká aditivní vysokofrekvenční signál v proudech, ze kterého může být tato chyba získána pomocí pozorovatele \emph on (Tracking Observer \emph default ). \end_layout \begin_layout Standard Zajímavou techniku představují v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PIS1" \end_inset , kde vypočítají absolutní polohu rotoru v klidu. Metoda funguje i pro SMPMSM a je založena na injektování vhodných napěťových pulzů do vinutí každé z fází. Následně dochází k částečnému nasycení statoru, ze kterého je možno spočítat absolutní polohu rotoru i bez znalosti parametrů stroje. \end_layout \begin_layout Standard Další velmi zajímavý přístup je prezentován v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PAP1" \end_inset . Tato metoda nevyužívá anizotropií rotoru, ani výčnělků, místo toho je založena na anizotropii samotných permanentních magnetů. Z tohoto důvodu může být dobře využita při estimaci PMSM, kde ostatní metody selhávají, například z důvodu \begin_inset Formula $L_{q}=L_{d}$ \end_inset . K jejich detekci je ale třeba využít velmi vysokých frekvencí, řádově \begin_inset Formula $100-500\, kHz$ \end_inset . Optimální hodnotu frekvence je navíc třeba naladit pro konkrétní typ magnetu. Tento přístup vypadá velmi slibně, ale jak autoři sami uvádějí, tato metoda je nová a vyvstává kolem ní ještě mnoho nezodpovězených otázek. \end_layout \begin_layout Section Hybridní metody \end_layout \begin_layout Standard Hybridními metodami v textu označujeme v podstatě vhodnou kombinaci předchozích dvou zmiňovaných přístupů. Techniky založené na zpětné elektromotorické síle fungují relativně velmi dobře, selhávají ale při nízkých a nulových otáčkách. Naopak užití injektáží je vhodné pro nízké a nulové otáčky, zatímco ve vyšších rychlostech způsobuje nežádoucí rušení. Z tohoto důvodu je snaha obě metody vhodným způsobem zkombinovat a využít předností obou. Základní idea je tedy jednoduchá. Dokud se pohybujeme v nízkých otáčkách, využíváme odhadů založených na injektáži, při vyšších otáčkách injektáž vypneme, aby nezpůsobovala nežádoucí zásahy a užíváme již jen odhadů získaných ze zpětné elektromotorické síly. \end_layout \begin_layout Standard Tento postup je použit například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PAP2" \end_inset , kdy jako estimátor používají adaptivního pozorovatele s referenčním modelem, který je pro nízké otáčky doplněn injektáží v podstatě v základním návrhu popsaném v předcházející části. Důležitou součástí těchto metod je způsob, jakým se vyřeší \begin_inset Quotes gld \end_inset bezproblémový \begin_inset Quotes grd \end_inset přechod z jednoho estimátoru na jiný. V \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PHS1" \end_inset je to například řešeno tak, že užívají estimátor rotorového toku založený na indukovaných napětích, který je funkční pořád. V nízkých otáčkách je pak doplňován injektáží, ta s rostoucími otáčkami postupně vymizí. Obdobně v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSP1" \end_inset je užit estimátor založený na napěťovém modelu, v nízkých otáčkách je přidána vysokofrekvenční injektáž. Ta s rostoucími otáčkami lineárně klesá a navíc je nad určitou mezní rychlostí úplně vypnuta. \end_layout \begin_layout Standard Hybridní metody jsou samozřejmě dále vylepšovány. Například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSP2" \end_inset uzpůsobují standartní hybridní metodu, zejména její injektážní část, aby fungovala i s invertorem vybaveným na výstupu \emph on LC \emph default filtrem. Toho se užívá zejména k odstranění problému ve střídavých strojích v důsledku napájení nesinusovým napětím z invertoru s pulzně šířkovou modulací. \end_layout \begin_layout Chapter Řízení \end_layout \begin_layout Standard Jak již bylo zmíněno výše, pro správné řízení je nezbytně nutná znalost polohy natočení rotoru \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset a otáček rotoru \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . Postup získání těchto veličin, respektive jejich odhadů \begin_inset Formula $\hat{\vartheta}$ \end_inset a \begin_inset Formula $\hat{\omega}$ \end_inset , byl uveden v předchozí části. Předpokládáme tedy, že známe odhad stavu systému \begin_inset Formula $\left(\hat{i_{\alpha}},\hat{i_{\beta}},\hat{\omega},\hat{\vartheta}\right)$ \end_inset , a nyní se zaměříme na to, jak systém správně řídit, tedy naplnit požadavky zadaných kritérií. V textu budeme předpokládat následující požadavky na řízení: \end_layout \begin_layout Itemize dosažení požadovaných otáček -- snaha, aby skutečné otáčky systému \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset co nejpřesněji sledovaly zadaný referenční signál požadovaných otáček \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize omezení na vstupy -- řízené veličiny jsou napětí na vstupu do systému, ty z fyzikálních důvodů nemohou být libovolně velké, protože napěťový zdroj je schopen poskytnout pouze určité maximální napětí \begin_inset Formula $U_{max}$ \end_inset , tedy na řídící napětí je kladen požadavek \begin_inset Formula $\left|u_{\alpha,\beta}\right|\leq U_{max}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Než přistoupíme k popisu konkrétních řídících algoritmů, je důležité upozornit na jeden problém ve zde užitém postupu. Obecně rozdělení algoritmu na estimační a řídící část při současném zachování optimality je možné pouze pro lineární systémy. Uvažovaný systém synchronního stroje zřejmě lineární není. Navrhování estimace a řízení současně v jednom algoritmu by však bylo v tomto případě velmi složité, a proto se dopouštíme zmiňovaného zjednodušení. Tento problém lze dále řešit užitím duálních metod, které řízení a estimaci vzájemně provazují a v ideálním případě by vedly k nalezení optimálního řešení. \end_layout \begin_layout Standard Obecně lze následující řídící algoritmy uvažovat buď v souřadném systému \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset nebo v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset . Řídící napětí dodáváme do stroje, respektive jako referenci do zdroje napájecíh o samotný stroj, v souřadnicích \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset . Proto se návrh v této soustavě jeví jako přímočařejší. \end_layout \begin_layout Standard Na druhou stranu ale většina dále zmiňovaných metod užívá linearizace. Zřejmě již z tvaru rovnic v soustavách \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset viz \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Odvození-rovnic-valfabeta" \end_inset a \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset viz \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Odvození-rovnic-vdq" \end_inset je vidět, že linearizací rovnic v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadnicích se dopouštíme menší chyby. Jedinými nelineárními členy vystupujícími v těchto rovnicích jsou členy tvaru \begin_inset Formula $\mp i_{q,d}\omega$ \end_inset v rovnici pro \begin_inset Formula $i_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $i_{q}$ \end_inset . Když uvážíme, že otáčky \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset se v porovnání s proudy \begin_inset Formula $i_{d,q}$ \end_inset mění velmi málo a jsou tedy téměř konstantní, linearizace způsobí velmi malou chybu. Oproti tomu v rovnicích v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset souřadném systému vystupují nelineární členy typu \begin_inset Formula $\omega\sin\vartheta$ \end_inset , \begin_inset Formula $\omega\cos\vartheta$ \end_inset , \begin_inset Formula $i_{\alpha}\sin\vartheta$ \end_inset , \begin_inset Formula $i_{\beta}\cos\vartheta$ \end_inset . Linearizace v nich vystupujících goniometrických funkcí je velmi nepřesná a v důsledku relativně rychlé změny úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset není možné ani žádné učinné zjednodušení. \end_layout \begin_layout Section Základní řídící strategie \end_layout \begin_layout Subsection PI regulátor \end_layout \begin_layout Standard Naprostá většina dnes využívaných a i v literatuře popisovaných řízení pro PMSM, ale i pro motory obecně, je založena na PI regulátorech. \end_layout \begin_layout Standard PI (proporcionálně integrační) regulátor je jednoduchý systém, který v sobě kombinuje dvě základní části: Proporcionální, což je v podstatě zesilovač, a integrální reprezentovanou integrátorem. V tomto systému se vyskytují dvě konstanty \begin_inset Formula $K_{p}$ \end_inset a \begin_inset Formula $K_{i}$ \end_inset , které je třeba vhodně nastavit. Základní implementace je následující: \begin_inset Formula \[ x_{t}=\mathrm{PI}\left(e_{t},K_{p},K_{i}\right)=K_{p}e_{t}+K_{i}\intop_{0}^{t}e_{\tau}d\tau. \] \end_inset Diskrétní verze pak \begin_inset Formula \[ x_{t}=\mathrm{PI}\left(e_{t},K_{p},K_{i}\right)=K_{p}e_{t}+K_{i}\sum_{k=0}^{t}e_{k}. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Tento regulátor je výhodné užít v případě, kdy chceme vyregulovat \begin_inset Formula $e_{k}$ \end_inset obvykle reprezentující odchylku od požadované hodnoty na nulu. V některých případech bychom si vystačili s proporcionální složkou, integrální složka však dodává lepší stabilitu a schopnost odstranit konstatní regulační odchylku. Cenou za to je pomalejší konvergence. \end_layout \begin_layout Standard Samotné PI regulátory však představují pouze realizaci nějakého konkrétního algoritmu. Nejčastěji používanými řídícími algoritmy, a to nejen pro PMSM, ale pro střídavé stroje obecně, jsou následující tři. \end_layout \begin_layout Subsection Skalární řízení \end_layout \begin_layout Standard Skalární řízení je často využíváno v asynchronních strojích, je ale možné jeho užití i pro PMSM. Detailněji je popsáno například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "shfpmsmct2007" \end_inset . Velkou výhodou je, že se jedná v podstatě o bezsenzorový návrh řízení, funguje na principu nezpětnovazebního řízení (open loop). Nevýhodou je pak závislost rychlosti na zátěžném momentu a horší dynamické vlastnosti. \end_layout \begin_layout Standard Toto řízení je také označováno jako \begin_inset Formula $V/f$ \end_inset řízení, protože regulovanou veličinou je právě poměr napětí a frekvence. Snahou řízení je udržet poměr napětí \begin_inset Formula $/$ \end_inset frekvence konstantní. Úhlová rychlost rotoru může být určena nepřímo výpočtem z frekvence napájecího napětí. Tato hodnota může být považována za hodnotu skutečných otáček stroje, pokud zátěžný moment nepřesáhne kritickou hodnotu. Pro řízení ale skutečnou hodnotu otáček stroje znát nepotřebujeme, algoritmus totiž pracuje následovně: \end_layout \begin_layout Standard Z požadovaných otáček se určí frekvence \begin_inset Formula $f$ \end_inset , ta slouží jako referenční signál pro regulátor. Ten pak řídí poměr napětí a frekvence \begin_inset Formula $V/f$ \end_inset tak, aby byl konstantní. Na jeho výstupu získáme amplitudu napětí \begin_inset Formula $V$ \end_inset . Řídící napětí pro PMSM v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset souřadnicích je pak ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{\alpha} & = & V\cos(2\pi ft)\\ u_{\beta} & = & V\sin(2\pi ft) \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Vektorové řízení \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Vektorové-řízení" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Jedná se asi o nejčastěji využívaný řídící algoritmus. Je užíván pro řízení v kombinaci s estimátorem založeným na zpětné elektromotor ické síle, injektáži i v hybridních verzích v naprosté většině citovaných textů z části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:Estimace-stavových-veličin" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "shfpmsmct2007" \end_inset vektorové řízení odstraňuje většinu nevýhod skalárního řízení a v porovnání s ním poskytuje velmi dobrý výkon. Jedná se o řízení zpětnovazební a umožňuje samostatné řízení toku i momentu. Uvažujeme reprezentaci stroje v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadném systému. Vektorové řízení je zpětnovazební a je tedy potřeba znát odhady úhlu natočení \begin_inset Formula $\hat{\vartheta}$ \end_inset a otáček \begin_inset Formula $\hat{\omega}$ \end_inset rotoru stroje. Základní struktura regulátoru je následující: Využije se zpětné vazby z otáček, kdy první regulátor reguluje odchylku estimovaných otáček \begin_inset Formula $\hat{\omega}$ \end_inset od požadované referenční hodnoty \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset na nulu. Výstupem je pak referenční proud \begin_inset Formula $\overline{i_{q}}$ \end_inset . Referenční proud \begin_inset Formula $\overline{i_{d}}$ \end_inset volíme nulový, aby bylo dosaženo maximálního momentu. Tento postup můžeme ilustrovat na diskretizované rovnici pro otáčky \family roman \series medium \shape up \size normal \emph off \bar no \noun off \color none \lang english \begin_inset Formula \[ \omega_{t+1}\text{=}\left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q,t}-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t, \] \end_inset \family default \series default \shape default \size default \emph default \bar default \noun default \color inherit \lang czech přičemž zanedbáváme poslední člen se zátěžným momentem. Požadované hodnoty bychom chtěli dosáhnout v následujícím kroku a získáme následující tvar rovnice \begin_inset Formula \[ \overline{\omega}-k_{1}\omega=k_{2}i_{q}. \] \end_inset \begin_inset Formula $\overline{i_{q}}$ \end_inset tedy můžeme získat pomocí PI regulátoru s vhodnými konstantami \begin_inset Formula \[ \overline{i_{q}}=\mathrm{PI}(\overline{\omega}-\omega,K_{p,i},K_{i,i}). \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Referenční hodnoty proudů jsou následně porovnány s estimovanými hodnotami \begin_inset Formula $i_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $i_{q}$ \end_inset a jejich odchylky jsou regulovány na nulu. Toto je provedeno pro každou složku zvlášť a výstupem jsou řídící napětí v souřadnicích \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset , tedy \begin_inset Formula $u_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $u_{q}$ \end_inset . Postupujeme obdobně s rovnicemi proudů \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{d,t+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{d,t},\\ i_{q,t+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{q,t}, \end{eqnarray*} \end_inset kde prozatím zanedbáme členy s \begin_inset Formula $\pm\Delta t\cdot i_{q,d}\omega$ \end_inset , dále pak člen \begin_inset Formula $-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}$ \end_inset a chceme dosáhnout požadovaných hodnot \begin_inset Formula $\overline{i_{d}}=0$ \end_inset a \begin_inset Formula $\overline{i_{q}}$ \end_inset , které byly získány v předchozím kroku. To vede na následující tvar \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} -k_{1}i_{d} & = & k_{2}u_{d},\\ \overline{i_{q}}-k_{1}i_{q} & = & k_{2}u_{q}. \end{eqnarray*} \end_inset Napětí \begin_inset Formula $u_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $u_{q}$ \end_inset měžeme tedy získat pomocí dvou PI regulátorů ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & \mathrm{PI}(-i_{d},K_{p,u},K_{i,u}),\\ u_{q} & = & \mathrm{PI}(\overline{i_{q}}-i_{q},K_{p,u},K_{i,u}). \end{eqnarray*} \end_inset Následně je ještě vhodné provést korekce v důsledku zanedbaných členů a to ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & u_{d}-L_{s}\overline{i_{q}}\overline{\omega},\\ u_{q} & = & u_{q}+\psi_{pm}\overline{\omega}. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Přímé řízení momentu \end_layout \begin_layout Standard Přímé řízení momentu (DTC z Direct Torque Control) dle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "shfpmsmct2007,vcmdtc2006" \end_inset se užívá, když je potřeba vysoký výkon vzhledem k dynamice momentu. Jak již napovídá název, je řízen přímo moment stroje. Základní princip je jednoduchý. Kruhová trajektorie statorového toku se rozdělí na šest symetrických částí. Velikosti vektorů statorového toku a elektromagnetického momentu v souřadnicích \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset je pak držena v předem stanovených mezích prostřednictvím vhodného spínání jedné ze šesti kombinací na invertoru. \end_layout \begin_layout Standard Touto metodou se text již dále nezabývá, je zde uvedena jen pro úplnost. \end_layout \begin_layout Section Lineárně kvadratické řízení \end_layout \begin_layout Standard Řízení \emph on LQG \emph default (z Linear-Quadratic-Gaussian) je primárně navrženo pro řízení lineárních systémů s kvadratickou ztrátovou funkcí a Gaussovským šumem. Existují však různé modifikace i pro nelineární systémy. Algoritmus \emph on LQG \emph default často využívá jako pozorovatele Kalmanův filtr. Základní formulace podle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "BertsekasDPOC" \end_inset je následovná: \end_layout \begin_layout Standard Uvažujme lineární systém \begin_inset Formula \[ x_{t+1}=A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}+w_{t},\quad t=0,1,\ldots,T-1, \] \end_inset kde obecně vektorová veličina \begin_inset Formula $x_{k}$ \end_inset reprezentuje stav systému v časovém kroku \begin_inset Formula $k$ \end_inset , veličina \begin_inset Formula $u_{k}$ \end_inset řízení v čase \begin_inset Formula $k$ \end_inset a \begin_inset Formula $w_{k}$ \end_inset je Gaussovský bílý šum s nulovou střední hodnotou a známou kovarianční maticí; je uvažován konečný diskrétní časový horizont \begin_inset Formula $N$ \end_inset kroků. \end_layout \begin_layout Standard Kvadratická ztrátová funkce je \begin_inset Formula \[ \mathbf{E}\left\{ x_{N}^{T}Q_{N}x_{N}+\sum_{t=0}^{T-1}\left(x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}\right)\right\} , \] \end_inset kde \begin_inset Formula $\mathbf{E}$ \end_inset značí očekávanou hodnotu, \begin_inset Formula $Q_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $R_{t}$ \end_inset jsou penalizační matice stavu systému (splnění požadavků řízení), respektive penalizace vstupů. Při uvažování neúplné informace \begin_inset Formula $I_{t}$ \end_inset o stavu je optimální řízení \family roman \series medium \shape up \size normal \emph off \bar no \noun off \color none \lang english \begin_inset Formula $\mu_{t}^{*}$ \end_inset \family default \series default \shape default \size default \emph default \bar default \noun default \color inherit \lang czech v každém časovém kroku rovno \begin_inset Formula \[ \mu_{t}^{*}(I_{t})=L_{t}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{t}\mid I_{t}\right\} , \] \end_inset kde matice \begin_inset Formula $L_{t}$ \end_inset je dána rovností \begin_inset Formula \[ L_{t}=-\left(R_{t}+B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}A_{t}, \] \end_inset přičemž matice \begin_inset Formula $K_{t}$ \end_inset získáme rekurzivně z Riccatiho rovnice \begin_inset Formula \begin{eqnarray} K_{T} & = & Q_{T},\label{eq:riccati-lqg}\\ K_{t} & = & A_{t}^{T}\left(K_{t+1}-K_{t+1}B_{t}\left(R_{t}+B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}\right)A_{t}+Q_{t}.\nonumber \end{eqnarray} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Implementace \end_layout \begin_layout Standard Samotná implementace lineárně kvadratického řízení pro PMSM v sobě však nese mnoho komplikací, které je třeba vyřešit. Detailněji budou tyto problémy rozebrány v kapitole \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "cha:Návrh-a-vyhodnocení" \end_inset , zde bude jen stručně nastíněna základní problematika. \end_layout \begin_layout Standard Především řídící matici \begin_inset Formula $L$ \end_inset počítáme z Riccatiho rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:riccati-lqg" \end_inset ) zpětnou integrací (diskrétní) v čase a potřebujeme tedy znát budoucí stavy systému. Pro srovnání uveďme například výpočet Kalmanova filtru, kde počítáme duální rovnici integrací vpřed a problém nevzniká. Řešením může být užití \begin_inset Quotes gld \end_inset ubíhajícího horizontu \begin_inset Quotes grd \end_inset , kdy matici \begin_inset Formula $L$ \end_inset navrhujeme na pomocném časovém horizontu, který se posouvá vzhledem k aktuálním u časovému kroku. S tím je spojená komplikace, jak bude stav systému v budoucích časech vypadat. Je tedy potřeba nějak odhadnout budoucí stav a v něm provést výpočet. \end_layout \begin_layout Standard LQ řízení již ze svého názvu předpokládá lineární systém a odvozené rovnice v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:Odvození-rovnic" \end_inset popisující PMSM nejsou lineární. Je tedy potřeba provést linearizaci a ve spojení s diskretizací se užitím tohoto postupu můžeme dopouštět již značné chyby. Samostatnou otázkou je však i samotná linearizace. Nejdříve je totiž nutné zvolit vhodnou souřadnou soustavu, ve které bude vlastní linearizace provedena. Jak se ukazuje na základě simulací, může to mít značný vliv. \end_layout \begin_layout Standard Dalším důležitým krokem je zvážit možnost zanedbání některých méně významných členů. Případně určit, které veličiny se mění velmi pomalu v porovnání s ostatními a je možno je považovat téměř za konstantní v průběhu jednoho časového kroku. Při linearizaci totiž dojde k tomu, že zejména matice \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset bude závislá na časovém kroku \begin_inset Formula $t$ \end_inset a bude ji nutné v každém kroku měnit. Kdyby se vhodným zanedbáním členů například podařilo, že by všechny matice systému byly konstantní \begin_inset Formula $M_{t}=M$ \end_inset , bylo by možné z výše popsaných rovnic pro LQ řízení předpočítat řídící matici \begin_inset Formula $L$ \end_inset . To by samozřejmě vedlo ke značnému urychlení výpočtu. \end_layout \begin_layout Standard LQ řízení vyžaduje kvadratickou ztrátovou funkci. Problematické jsou v tomto ohledu zejména omezení na vstupy \begin_inset Formula $\left|u_{\alpha,\beta}\right|\leq U_{max}$ \end_inset . Ty nelze v algoritmu lineárně kvadratického řízení užít přímo a je třeba je nahradit vhodně nastavenou penalizační maticí \begin_inset Formula $R$ \end_inset . Dosažení požadovaných otáček lze pak zvládnout relativně snadno přidáním nové stavové proměnné. \end_layout \begin_layout Standard Někdy může být vhodné pro lineárně kvadratické řízení omezit změnu řídících napětí v sousedních časových krocích \begin_inset Formula $\left|u_{\alpha,\beta}(t+1)-u_{\alpha,\beta}(t)\right|$ \end_inset . Za tímto účelem je ale potřeba provést drobnou modifikaci LQ algoritmu. \end_layout \begin_layout Standard Šum ve skutečném stroji samozřejmě neodpovídá modelu Gaussovského bílého šumu, ale jak již bylo uvedeno v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:Problematika-modelu" \end_inset , budeme tento model šumu pro jednoduchost předpokládat. \end_layout \begin_layout Section Duální řízení \end_layout \begin_layout Standard Duální řízení je obvykle využíváno v systémech s neurčitostí, představovanou například neznámými parametry, nepozorovatelnými stavovými veličinami nebo samotnou strukturou systému. Snahou je tuto neurčitost snížit a poskytnout řízení srovnatelné kvality, jako v případě stejného systému bez neurčitosti. Základní princip duálního řízení spočívá v tom, že obsahuje dvě části: \begin_inset Quotes gld \end_inset \emph on opatrn \emph default ou \begin_inset Quotes grd \end_inset a \begin_inset Quotes gld \end_inset \emph on budící \emph default \begin_inset Quotes grd \end_inset . \emph on Opatrná \emph default část má za cíl pokud možno co nejlépe kontrolovat systém a snažit se dosáhnout optimální shody s požadavky, referenčním signálem. Oproti tomu \emph on budící \emph default část hledá optimální budící signál, který pomáhá co nejlépe určit neznámé veličiny systému. Tyto snahy jdou samozřejmě proti sobě a cílem duálního řízení je nalézt mezi nimi vhodný kompromis. \end_layout \begin_layout Standard Většina výše zmiňovaných metod pro řízení a estimaci obecně trpěla dvěma nedostatky, které se snaží duální řízení odstranit. Jednak zcela oddělily řídící a estimační část, které pak pracovaly nezávisle. Dalším nedostatkem standartních metod je předpoklad, že odhad poskytnutý estimátorem se rovná skutečné hodnotě stavové veličiny. Tento přístup je označován jako \emph on Certainty Equivalence \emph default (CE). Oproti tomu duální řízení předpokládá stavové veličiny jako náhodné veličiny a uchovává si o nich statistickou informaci. Odhad z estimátoru tedy uvažuje například ve tvaru střední hodnoty a variance dané veličiny a předpokládá, že skutečná hodnota se nachází například v konfidenčním intervalu s těmito parametry. Z tohoto pohledu tedy přístup CE předpokládá, že skutečná hodnota je rovna střední hodnotě. Duální řízení tedy narozdíl od ostatních založených na CE principu uvažuje kromě odhadu stavové veličiny i to, jak je tento odhad přesný a tomu také přizpůsobuje řídící zákroky. \end_layout \begin_layout Standard Výše zmíněné důvody ukazují, proč by duální přístup mohl být obzvláště vhodný pro řízení PMSM. Je ale třeba mít na paměti, že duální řízení s sebou nese i nevýhody. Jedná se především o značnou výpočetní náročnost. Ta je problematická zejména, když uvažujeme i výpočet v reálném čase. Proto se v textu zaměříme hlavně na nejjednodušší algoritmy duálního řízení, které by tento požadevek mohly naplnit. \end_layout \begin_layout Subsection Formulace problému duálního řízení \end_layout \begin_layout Standard Základní formulace problému duálního řízení pro časově diskrétní obecně nelineární systém dle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "adaptDC2004" \end_inset je: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} x(t+1) & = & f_{t}\left(x(t),p(t),u(t),\xi(t)\right),\quad t=0,1,\ldots,T-1,\\ p(t+1) & = & \upsilon_{t}\left(p(t),\varepsilon(t)\right),\\ y(t) & = & h_{t}\left(x(t),\eta(t)\right), \end{eqnarray*} \end_inset kde \begin_inset Formula $x(t)$ \end_inset je vektor stavu, \begin_inset Formula $p(t)$ \end_inset vektor neznámých parametrů, \begin_inset Formula $u(t)$ \end_inset vektor řídících vstupů, \begin_inset Formula $y(t)$ \end_inset vektor výstupů systému, vektory \begin_inset Formula $\xi(t)$ \end_inset , \begin_inset Formula $\varepsilon(t)$ \end_inset a \begin_inset Formula $\eta(t)$ \end_inset představují nezávislý náhodný bílý šum s nulovou střední hodnotou a známým rozptylem, vše je uvažováno v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset ; \begin_inset Formula $f_{t}(\cdot)$ \end_inset , \begin_inset Formula $\upsilon_{t}(\cdot)$ \end_inset a \begin_inset Formula $h_{t}(\cdot)$ \end_inset jsou jednoduché vektorové funkce. Hustotu pravděpodobnosti počátečních hodnot \begin_inset Formula $\mathrm{p}\left[x(0),p(0)\right]$ \end_inset předpokládáme známou. \end_layout \begin_layout Standard Množinu výstupů a vstupů systému dostupných v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset označujeme jako \emph on informační vektor \emph default \begin_inset Formula $I_{t}=\left\{ y(t),\ldots,y(0),u(t-1),\ldots,u(0)\right\} $ \end_inset , kde \begin_inset Formula $t=1,\ldots,T-1$ \end_inset a \begin_inset Formula $I_{0}=\left\{ y(0)\right\} $ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Ztrátová funkce pro optimalizaci řízení má tvar \begin_inset Formula \begin{equation} J=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ \sum_{t=0}^{T-1}g_{t+1}\left(x(t+1),u(t)\right)\right\} ,\label{eq:dclossfunc} \end{equation} \end_inset kde \begin_inset Formula $g_{t+1}(\cdot)$ \end_inset jsou známe kladné konvexní skalární funkce. Očekávaná hodnota \begin_inset Formula $\mathrm{\mathbf{E}}$ \end_inset je počítána vzhledem ke všem náhodným veličinám ( \begin_inset Formula $x(0)$ \end_inset , \begin_inset Formula $p(0)$ \end_inset , \begin_inset Formula $\xi(t)$ \end_inset , \begin_inset Formula $\varepsilon(t)$ \end_inset a \begin_inset Formula $\eta(t)$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $t=0,1,\ldots,T-1$ \end_inset ). \end_layout \begin_layout Standard Problémem optimálního adaptivního duálního řízení je nalezení takové řídící strategie \begin_inset Formula $u(t)=u_{t}(I_{t})$ \end_inset ze známé množiny přípustných hodnot řízení \begin_inset Formula $\Omega_{t}$ \end_inset , která minimalizuje ztrátovou funkci \begin_inset Formula $J$ \end_inset v \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:dclossfunc" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Optimální řešení tohoto problému může být nalezeno rekurzivně užitím dynamického programování, což vede na následující rovnice: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} J_{T-1}\left(I_{T-1}\right) & = & \min_{u(T-1)\in\Omega_{T-1}}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ g_{T}\left(x(T),u(T-1)\right)\mid I_{T-1}\right\} ,\\ J_{t}\left(I_{t}\right) & = & \min_{u(t)\in\Omega_{t}}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ g_{t+1}\left(x(t+1),u(t)\right)+J_{t+1}\left(I_{t+1}\right)\mid I_{t}\right\} , \end{eqnarray*} \end_inset pro \begin_inset Formula $t=T-2,T-3,\ldots,0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsection Stručný přehled duálních metod \end_layout \begin_layout Standard Následující stručný přehled duálních metod je založen na přehledových článcích \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "DAU1,DSF1" \end_inset a 3. kapitole knihy \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "adaptDC2004" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dříve byly řídící metody založeny na principu CE a neuvažovaly neurčitost. Odhady jsou při tomto přístupu považovány za skutečné hodnoty parametrů. Hlavním problémem jsou pak velké přestřely při rychlé adaptaci nebo možnost úplně chybného řízení jako například právě u počátečního úhlu natočení rotoru PMSM. A. Feldbaum ve svých raných pracích z 60. let minulého století ukázal, že CE přístup není vždy optimální, naopak je od optimality značně vzdálen. Dále postuloval dvě hlavní vlastnosti, které by optimální adaptivní systém měl mít: (1) výstup systému opatrně sleduje požadovanou referenční hodnotu a (2) budí (excituje) systém dostatečně, pro urychlení procesu estimace jeho parametrů tak, aby se zlepšila kvalita řízení v budoucích časových krocích. \end_layout \begin_layout Standard Formální řešení problému optimálního adaptivního duálního řízení lze nalézt pomocí dynamického programování. Avšak řešení takto vzniklých rovnic není možné numericky a již vůbec ne analyticky ani pro relativně jednoduché případy. Je to způsobeno především problémem s rostoucími dimenzemi. Nemožnost řešit původní problém vedla ke vzniku celé řady metod, které se ho snaží nějakým způsobem zjednodušit. Tyto metody samozřejmě nenaleznou optimální řešení, snaží se ale zachovat hlavní duální rysy, můžeme je rozdělit do dvou hlavních skupin: metody založené na aproximacích (implicitní) a založené na reformulaci problému (explicitní). \end_layout \begin_layout Standard Aproximativní metody jsou obvykle složité a výpočetně značně náročné. To vede k volbě hrubějších aproximací, kdy může již dojít ke ztrátě duálních rysů a tedy nedostačujícímu výkonu. Oproti tomu reformulace je více flexibilní a slibnější. Uvažuje speciální ztrátovou funkci se dvěma sečtenými členy. Jeden kontroluje ztrátu v důsledku odchylky od referenční hodnoty a druhý míru nejistoty. Takto vzniklé řízení je jednoduché a výpočetní náročností srovnatelné s CE přístupem. Není však zajištěno trvalé buzení a výkon je opět nedostačující. Je snahou vhodně kombinovat oba zmiňované přístupy a využít výhod obou za současného potlačení jejich nedostatků. Jednou z takových metod například bikriteriální metoda navržená autory \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "DAU1" \end_inset založená na sekvenční minimalizaci dvou ztrátových funkcí. \end_layout \begin_layout Subsection \series bold Vybrané algoritmy pro duální řízení \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Vybrané-algoritmy-proDC" \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Bikriteriální metoda \end_layout \begin_layout Standard Bikriteriální metoda je založena na relativně jednoduchém principu. Ve snaze splnit obě hlavní vlastnosti duálního řízení (opatrnost a buzení) je ztrátová funkce rozdělena na dvě části, proto se také metoda nazývá bikriteriální. První ztrátová funkce odpovídá takzvanému \emph on opatrnému řízení \emph default , které navrhuje tím menší řídící zásahy, čím je větší variance neznámých parametrů (proto opatrné). Nesnaží se však primárně tuto varianci nijak snížit. Druhá ztrátová funkce představuje kritérium pro optimální buzení. Tyto dvě ztrátové funkce je třeba současně minimalizovat. Minimalizace těchto dvou funkcí jde ale obecně z podstaty problému proti sobě, navíc optimální budící zásah bude zpravidla neomezeně velký. Proto je zvolen následující postup: \end_layout \begin_layout Enumerate nejdříve je nalezeno optimální opatrné řízení \end_layout \begin_layout Enumerate dále je vytyčena množina přípustných řešení kolem řízení nalezeného v bodě (1.), například se může jednat o interval \end_layout \begin_layout Enumerate druhá ztrátová funkce pro optimální buzení je minimalizována již pouze v rámci množiny přípustných řešení z bodu (2.) \end_layout \begin_layout Standard Konkrétní realizace hledání optimálního řízení (minimalizace) pak již závisí na řešeném problému. \end_layout \begin_layout Subsubsection \begin_inset Formula $\rho$ \end_inset --aproximace \end_layout \begin_layout Standard Jako \begin_inset Formula $\rho$ \end_inset --aproximace označujeme suboptimální přístupy k řešení problému duálního řízení, kdy se snažíme aproximovat pravděpodobnostní míru neznámých stavů a parametrů systému. Dle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "DAF1,DSF1,adaptDC2004" \end_inset je problematika \begin_inset Formula $\rho$ \end_inset --aproximací formulována následovně: Hledání suboptimální řídící strategie je založeno na minimalizaci modifikované ztrátové funkce \begin_inset Formula \[ J_{t}\left(I_{t},\rho_{t}\right)=\mathrm{\mathbf{E}}_{\rho_{t}}\left\{ \sum_{i=t}^{T-1}g_{t+1}\left(x(i+1),u(i)\right)\mid I_{k}\right\} . \] \end_inset V čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset je řídící strategie \begin_inset Formula $u_{t}(I_{t})$ \end_inset nalezena pomocí aproximace podmíněné hustoty pravděpodobnosti stavů a parametrů systému pro budoucí časové kroky \begin_inset Formula \[ \rho_{t}=\mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{t+i}\right], \] \end_inset pro \begin_inset Formula $i=0,1,\ldots,T-t-1$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Pro různé volby \begin_inset Formula $\rho_{t}$ \end_inset pak můžeme získat následující přístupy: \end_layout \begin_layout Itemize \emph on Řídící strategie s otevřenou smyčkou \emph default (open-loop, OL) uvažuje systém bez zpětné vazby a optimální řízení je hledáno z apriorní informace o stavech a parametrech systému. Tento zjednodušující předpoklad je ekvivalentní aproximaci \begin_inset Formula \[ \rho_{t}=\left\{ \mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{t+i}\right]=\mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{0}\right],i=0,\ldots,T-t-1\right\} . \] \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize \emph on Zpětnovazební řídící strategie s otevřenou smyčkou \emph default (open-loop feedback, OLF) také uvažuje systém bez zpětné vazby, ale jen pro budoucích časové kroky ( \begin_inset Formula $t+1$ \end_inset až \begin_inset Formula $T$ \end_inset ), v současném časovém kroku \begin_inset Formula $t$ \end_inset zpětnou vazbu uvažuje. Pozorování \begin_inset Formula $y(t)$ \end_inset jsou tedy použita k estimaci stavů i parametrů systému, ale pouze v současném časovém kroku \begin_inset Formula $t$ \end_inset , v budoucích již ne. Opět lze formulovat pomocí \begin_inset Formula $\rho$ \end_inset --aproximace: \begin_inset Formula \[ \rho_{t}=\left\{ \mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{t+i}\right]=\mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{t}\right],i=0,\ldots,T-t-1\right\} . \] \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize Pro srovnání zde bude uvedena i aproximace, která vede na již zmiňovaný přístup \emph on Certainty Equivalence \emph default (CE): \begin_inset Formula \begin{align*} \rho_{t} & =\left\{ \mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{t+i}\right]\right.\\ = & \left.\delta\left[x(t+i)-\hat{x}(t+i)\right]\delta\left[p(t+i)-\hat{p}(t+i)\right],i=0,\ldots,T-t-1\right\} , \end{align*} \end_inset kde \begin_inset Formula $\delta$ \end_inset značí Diracovu delta funkci a \begin_inset Formula $\hat{x}(t+i)=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x(k+i)\mid I_{t+i}\right\} $ \end_inset , \begin_inset Formula $\hat{x}(t+i)=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ p(k+i)\mid I_{t}\right\} $ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \emph on Částečný CE přístup \emph default (PCE) je založen na vhodné kombinaci předchozích postupů CE a OLF. Definujme rozšířený stavový vektor jako \begin_inset Formula $z^{T}(t)=\left[x^{T}(t)\quad p^{T}(t)\right]$ \end_inset , tedy jako vektor sdružující původní stav systému a jeho neznámé parametry. Tento vektor následně rozdělíme na dvě části s prázdným průnikem \begin_inset Formula $z_{1}(t)$ \end_inset a \begin_inset Formula $z_{2}(t)$ \end_inset . Nyní aplikujeme na část \begin_inset Formula $z_{1}$ \end_inset zjednodušující předpoklad CE a na část \begin_inset Formula $z_{2}$ \end_inset předpoklad OLF. To odpovídá následující \begin_inset Formula $\rho$ \end_inset --aproximaci: \begin_inset Formula \begin{align*} \rho_{t} & =\left\{ \mathrm{p}\left[z_{1}(t+i),z_{2}(t+i)\mid I_{t+i}\right]\right.\\ = & \left.\delta\left[z_{1}(t+i)-\hat{z}_{2}(t+i)\right]\mathrm{p}\left[z_{2}(t+i)\mid I_{t}\right],i=0,\ldots,T-t-1\right\} , \end{align*} \end_inset kde \begin_inset Formula $\mathrm{p}\left[z_{1}(t+i),z_{2}(t+i)\mid I_{t+i}\right]=\mathrm{p}\left[z(t+i)\mid I_{t+i}\right]=\mathrm{p}\left[x(t+i),p(t+i)\mid I_{t+i}\right].$ \end_inset Samotné rozdělení vektoru \begin_inset Formula $z$ \end_inset na dvě části je třeba vyřešit s ohledem na konkrétní strukturu systému, pro který je řízení navrhováno. Vhodnou volbou může být například označit jako \begin_inset Formula $z_{1}$ \end_inset stavové veličiny, které jsou přímo pozorovány. Autoři dále poukazují i na možnost kombinace s bikriteriálním přístupem. \end_layout \begin_layout Subsubsection Řešení LQG problému pomocí teorie her \end_layout \begin_layout Standard Výpočetně relativně málo náročné řešení diskrétního LQG problému duálního řízení je představeno v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "DCS1" \end_inset . Na řešení problému se užívá teorie her, kde hledáme optimální znáhodněnou strategii. Výsledkem pak je, že optimální řešení přeformulovaného problému duálního řízení je vážený průměr konečného počtu standartních LQG optimálních regulátorů. Jako váhové faktory jsou brány zobecněné věrohodnostní poměry. \end_layout \begin_layout Standard Popisovaný přístup se jeví z pohledu tohoto textu zajímavým ze dvou důvodů. Jednak využívá LQG regulátory, kterými se práce relativně podrobně zbývá, dále pak využívá více modelů, které se také v simulacích pro estimátory ukázaly jako využitelné. \end_layout \begin_layout Subsection Injektáže a duální řízení \end_layout \begin_layout Standard Na injektáže lze z jistého směru pohlížet také jako na duální řízení. Především v sobě kombinují obě žádoucí vlastnosti, opatrnost a buzení. Opatrnost je reprezentována konkrétním použitým regulátorem, který se snaží co nejlépe sledovat cíl řízení. Injektovaný signál pak představuje buzení, které napomáhá k určení parametrů stroje. \end_layout \begin_layout Standard V základním návrhu je přidáván vysokofrekvenční signál stále, bez ohledu na okolnosti a tento návrh se příliš nesnaží o nalezení kompromisu mezi opatrným řízením a buzením. Velkou výhodou ale je, že to příliš nevadí, obzvláště při nízkých otáčkách, protože vysokofrekvenční signál má minimální vliv na samotný chod stroje. Současně ale poskytuje relativně dobrý odhad natočení rotoru, jehož kvalita nezávisí na otáčkách, ale pouze na rozdílu induktancí. \end_layout \begin_layout Standard Jistý krok směrem k hledání kompromisu mezi opatrností a buzením lze pozorovat u hybridních metod, které buď plynule, nebo jednorázově přepínají mezi dvěma modely, s injektáží a bez. Jeden je určen pro dobrou estimaci a druhý pro nízké ztráty při řízení. To vede k velkému zlepšení, protože přídavný signál je injektován jen, když je opravdu potřeba. \end_layout \begin_layout Standard Hlavním problémem injektáží z hlediska duálního řízení je, že se jedná spíše o \begin_inset Quotes gld \end_inset ad hoc \begin_inset Quotes grd \end_inset přístup, který byl navržen s využitím konkrétních vlastností PMSM a pro předem určený účel. Injektovaný vysokofrekvenční signál je užívaný z důvodu menšího vlivu na chod samotného stroje. Další důvod pro jeho užití je relativně snadné zpracování a vyhodnocení pomocí metod analýzy signálu, které lze snadno implementovat hardwarově (filtry, detekce obálky, fázový závěs). Dalším problémem injektovaného signálu jsou pak jeho parametry, jako amplituda a frekvence, ty jsou zpravidla nalézány experimentálně. \end_layout \begin_layout Standard Je tedy na místě položit otázku, jestli takový přídavný signál může být optimálním buzením a nebo mu být alespoň v nějakém smyslu blízko? Odpovědět samozřejmě není snadné z důvodu praktické neřešitelnosti problému nalezení optimálního duálního řízení. Ve prospěch injektáží, a zejména hybridních metod, mluví výsledky praktických experimentů na skutečných motorech, proti nim pak zejména to, že byly navrhován y bez ohledu na optimalitu a hledání kompromisu mezi opatrností a buzením. Nicméně se jedná o dobrý základ, který je vhodný k bližšímu prostudování při návrhu méně náročných metod duálního řízení. \end_layout \begin_layout Chapter Návrh a implementace algoritmů \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "cha:Návrh-a-vyhodnocení" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Tato kapitola se zaměřuje na detaily implementace vybraných algoritmů pro provedení simulací a porovnání výsledků. Konkrétní hodnoty parametrů uvažovaného PMSM a vlastní simulace budou uvedeny v následující kapitole. \end_layout \begin_layout Section Vektorové řízení založené na PI regulátorech \end_layout \begin_layout Standard Jak již bylo zmíněno v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Vektorové-řízení" \end_inset , jedná se o velmi často využívaný řídící algoritmus. Z tohoto důvodu je zde zařazen především jako referenční pro srovnání s ostatními navrhovanými algoritmy. Jeho implementace je relativně jednoduchá. Pracuje s veličinami v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadném systému a vlastní návrh byl popsán rovněž v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Vektorové-řízení" \end_inset . Je ale ještě potřeba dodat hodnoty konstant vystupujících v rovnicích \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \overline{i_{q}} & = & \mathrm{PI}(\overline{\omega}-\omega,K_{p,i},K_{i,i}),\\ u_{d} & = & \mathrm{PI}(-i_{d},K_{p,u},K_{i,u}),\\ u_{q} & = & \mathrm{PI}(\overline{i_{q}}-i_{q},K_{p,u},K_{i,u}), \end{eqnarray*} \end_inset tedy \begin_inset Formula $K_{p,i}$ \end_inset , \begin_inset Formula $K_{i,i}$ \end_inset , \begin_inset Formula $K_{p,u}$ \end_inset a \begin_inset Formula $K_{i,u}$ \end_inset . Dobré výsledky poskytují následující hodnoty \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} K_{p,i} & = & 3.0;\\ K_{i,i} & = & 0.00375;\\ K_{p,u} & = & 20.0;\\ K_{i,u} & = & 0.05. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Section Implementace LQ řízení v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Matice systému \end_layout \begin_layout Standard Uvažujeme diskretizované rovnice pro stejné indukčnosti z části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Diskretizace-rovnice-alfabeta" \end_inset \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{\alpha,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\alpha,t}+\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\alpha,t},\\ i_{\beta,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\beta,t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\beta,t},\\ \omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t. \end{eqnarray*} \end_inset Pro zjednodušení označíme konstanty následovně: \begin_inset Formula $a=1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t$ \end_inset , \begin_inset Formula $b=\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\Delta t$ \end_inset , \begin_inset Formula $c=\frac{\Delta t}{L_{s}}$ \end_inset , \begin_inset Formula $d=1-\frac{B}{J}\Delta t$ \end_inset , \begin_inset Formula $e=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t$ \end_inset . Zátěžný moment předpokládáme nulový \begin_inset Formula $T_{L}=0$ \end_inset , tudíž poslední člen třetí rovnice vypadne. Rovnice přejdou na tvar \begin_inset Formula \begin{eqnarray} i_{\alpha,t+1} & \text{=} & ai_{\alpha,t}+b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t},\nonumber \\ i_{\beta,t+1} & \text{=} & ai_{\beta,t}-b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t},\label{eq:diskretni-system-prolq}\\ \omega_{t+1} & \text{=} & d\omega_{t}+e\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right),\nonumber \\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.\nonumber \end{eqnarray} \end_inset Jedná se o reprezentaci systému se stavem \begin_inset Formula $x_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T}$ \end_inset a řízením \begin_inset Formula $u_{t}=\left(u_{\alpha,t},u_{\beta,t}\right)^{T}$ \end_inset , kde předchozí rovnice můžeme zapsat pomocí funkcí \begin_inset Formula $f$ \end_inset a \begin_inset Formula $g$ \end_inset jako \begin_inset Formula $x_{t+1}=f(x_{t},u_{t})$ \end_inset . Chceme získat lineární systém ve tvaru \begin_inset Formula $x_{t+1}=A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}$ \end_inset . Provedeme tedy linearizaci pomocí Taylorova rozvoje do prvního řádu v reprezent ativní trajektorii \begin_inset Formula $(x_{0},u_{0})$ \end_inset : \begin_inset Formula \[ f(x_{t},u_{t})=f(x_{0},u_{0})+\frac{\partial f(x,u)}{\partial x}\biggl|_{0}(x-x_{0})+\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}\biggl|_{0}(u-u_{0}). \] \end_inset Pak matice systému dostaneme ve tvaru \begin_inset Formula $A_{t}=\frac{\partial f(x_{t},u_{t})}{\partial x_{t}}$ \end_inset a \begin_inset Formula $B_{t}=\frac{\partial f(x_{t},u_{t})}{\partial u_{t}}$ \end_inset , což vede na \begin_inset Formula \begin{eqnarray} A_{t} & = & \left[\begin{array}{cccc} a & 0 & b\sin\vartheta_{t} & b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}\\ 0 & a & -b\cos\vartheta_{t} & b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}\\ -e\sin\vartheta_{t} & e\cos\vartheta_{t} & d & -e\left(i_{\beta,t}\sin\vartheta_{t}+i_{\alpha,t}\cos\vartheta_{t}\right)\\ 0 & 0 & \Delta t & 1 \end{array}\right],\label{eq:matice_stind_alfabeta44}\\ B_{t} & = & B=\left[\begin{array}{cc} c & 0\\ 0 & c\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right].\nonumber \end{eqnarray} \end_inset Dále, když budeme chtít jako pozorovatele užít Kalmanův filtr, budeme potřebovat vztah pro výstup systému, ten je formulován jako \begin_inset Formula $y_{t}=g(x_{t})=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t}\right)^{T}$ \end_inset . Tato rovnice již lineární je a můžeme tedy rovnou psát \begin_inset Formula $y_{t}=Cx_{t}$ \end_inset , kde \begin_inset Formula \[ C=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Ztrátová funkce \end_layout \begin_layout Standard Kvadratickou ztrátovou funkci pro LQ řízení se snažíme nalézt ve tvaru \family roman \series medium \shape up \size normal \emph off \bar no \noun off \color none \lang english \begin_inset Formula \[ \mathbf{E}\left\{ x_{N}^{T}Q_{N}x_{N}+\sum_{t=0}^{N-1}\left(x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}\right)\right\} . \] \end_inset \family default \series default \shape default \size default \emph default \bar default \noun default \color inherit \lang czech Požadavky na stavové proměnné jsou pouze dosažení požadovaných otáček \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset . To můžeme snadno formulovat pomocí kvadratické funkce v každém časovém kroku jako \begin_inset Formula $q\left(\omega_{t}-\overline{\omega}_{t}\right)^{2}$ \end_inset . Zde ale narážíme na problém, že veličinu \begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$ \end_inset nemáme ve stavu systému a algoritmus LQG s ní tedy nemůže počítat. To obecně při uvažování lineárně kvadratického řízení není problémem, toto řízení řídí vždy na nulu a když máme lineární systém, který tento algoritmus předpokládá, snadno si můžeme výsledek díky linearitě posunout. Uvažovaný systém PMSM však lineární není a je tedy třeba tento problém vyřešit zvlášť. \end_layout \begin_layout Standard Zavedeme do systému novou stavovou proměnou odpovídající referenčnímu signálu \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset a na nulu budeme řídit rozdíl \begin_inset Formula $\omega_{t}-\overline{\omega}_{t}$ \end_inset . Z tohoto důvodu zavedeme substituci \begin_inset Formula $\psi_{t}=\omega_{t}-\overline{\omega}_{t}$ \end_inset a pak \begin_inset Formula $\omega_{t}=\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}$ \end_inset . Dosadíme do rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:diskretni-system-prolq" \end_inset ) a získáme \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{\alpha,t+1} & = & ai_{\alpha,t}+b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t},\\ i_{\beta,t+1} & = & ai_{\beta,t}-b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t},\\ \psi_{t+1} & = & d\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)-\overline{\omega}_{t+1}+e\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right),\\ \vartheta_{t+1} & = & \vartheta_{t}+\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\Delta t\\ \overline{\omega}_{t+1} & = & \overline{\omega}_{t}. \end{eqnarray*} \end_inset Nové matice systému \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset , \begin_inset Formula $B$ \end_inset a \begin_inset Formula $C$ \end_inset jsou pak ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray} A_{t} & = & \left[\begin{array}{ccccc} a & 0 & b\sin\vartheta_{t} & b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\cos\vartheta_{t} & b\sin\vartheta_{t}\\ 0 & a & -b\cos\vartheta_{t} & b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\sin\vartheta_{t} & -b\cos\vartheta_{t}\\ -e\sin\vartheta_{t} & e\cos\vartheta_{t} & d & -e\left(i_{\beta}\sin\vartheta_{t}+i_{\alpha}\cos\vartheta_{t}\right) & d-1\\ 0 & 0 & \Delta t & 1 & \Delta t\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right],\label{eq:matice_stind_alfabeta55}\\ B & = & \left[\begin{array}{cc} c & 0\\ 0 & c\\ 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right],\nonumber \\ C & = & \left[\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].\nonumber \end{eqnarray} \end_inset A člen ztrátové funkce pro penalizaci za odchylku od požadované referenční hodnoty pak můžeme formulovat ve tvaru \begin_inset Formula $x_{t}^{T}Qx_{t}$ \end_inset s maticí \begin_inset Formula \[ Q=\left[\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & q & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \] \end_inset kde nyní vektorem \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset označujeme nový stav \begin_inset Formula $x_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\psi_{t},\vartheta_{t},\overline{\omega}_{t}\right)^{T}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Omezení na vstupy nelze užít ve tvaru \begin_inset Formula $\left|u_{\alpha,\beta}\right|\leq U_{max}$ \end_inset , protože jej nelze snadno formulovat pomocí kvadratické funkce. Namísto toho si musíme vystačit s penalizací \begin_inset Formula $u_{t}^{T}R_{t}u_{t}$ \end_inset . Volíme tedy jednoduchou realizaci s konstantní maticí \begin_inset Formula $R$ \end_inset s jedním neznámým parametrem \begin_inset Formula $r$ \end_inset \begin_inset Formula \[ R=\left[\begin{array}{cc} r & 0\\ 0 & r \end{array}\right]. \] \end_inset Konkrétní hodnotu \begin_inset Formula $r$ \end_inset je potřeba vhodně zvolit a nastavit při implementaci a nezáleží na její absolutní velikosti, ale na velikosti vzhledem k parametru \begin_inset Formula $q$ \end_inset z matice \begin_inset Formula $Q$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Když chceme přidat ještě omezení na velikost změny vstupů \begin_inset Formula $\left|u_{\alpha,\beta}(t+1)-u_{\alpha,\beta}(t)\right|$ \end_inset , což může v některých případech vylepšit chování LQG algoritmu, lze tak učinit přidáním dalšího členu do ztrátové funkce. Tento člen budeme volit opět kvadratický, a to ve tvaru \begin_inset Formula $\left(u_{t}-u_{t-1}\right)^{T}S\left(u_{t}-u_{t-1}\right)$ \end_inset . Penalizační matici budeme uvažovat ve tvaru \begin_inset Formula \[ S=\left[\begin{array}{cc} s & 0\\ 0 & s \end{array}\right], \] \end_inset kde \begin_inset Formula $s$ \end_inset představuje vhodně zvolený parametr. Takový člen ale ve standartní ztrátové funkci LQ řízení nevystupuje a jeho přidání již není tak snadné. Při implementaci takto modifikovaného algoritmu bylo užito jiného návrhu LQ řízení, které je obecnější a tento zápis dovoluje. Zmiňovaný přístup je založen na maticovém QR rozkladu a kromě toho, že umožňuje mnohem obecnější zadání úlohy s lineárním systémem a kvadratickou ztrátovou funkcí, jeho výpočet je i rychlejší z důvodu efektivnějšího provádění maticové inverze, kterou je třeba počítat při řešení Riccatiho rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:riccati-lqg" \end_inset ). \end_layout \begin_layout Subsection Problém simulací \end_layout \begin_layout Standard Implementujeme-li LQG řízení s užitím výše odvozených rovnic, objevuje se v simulacích problém. I když matice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:matice_stind_alfabeta44" \end_inset ) dává dobré výsledky při použití v rozšířeném Kalmanově filtru, při užití matice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:matice_stind_alfabeta44" \end_inset ), respektive z ní vycházející rozšířené matice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:matice_stind_alfabeta55" \end_inset ) pro výpočet LQ řízení dostáváme špatné výsledky. Systém se nežádoucím způsobem rozkmitá, jak je možné pozorovat na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "obr_vylepseni_lq_alfabeta" \end_inset , a postup nevede k nalezení použitelného řídícího algoritmu. \begin_inset Float figure wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename lqalfabeta2.eps lyxscale 80 scale 38 rotateAngle 270 \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Výsledky simulátoru pro LQ řízení v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset souřadnicích před a po úpravě matice \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset . První graf zachycuje požadované otáčky (referenční signál) \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset . Druhý pak skutečný průběh \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset v systému jako výsledek řízení s maticí \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset před úpravou. Třetí totéž co druhý, jen s maticí \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset po úpravě. \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "obr_vylepseni_lq_alfabeta" \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Tento problém lze vyřešit drobnou úpravou matice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:matice_stind_alfabeta44" \end_inset ), respektive ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:matice_stind_alfabeta55" \end_inset ), kdy zanedbáme některé její členy (parciální derivace prvních tří rovnic dle \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset ) a položíme je rovny nule. Upravená matice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:matice_stind_alfabeta44" \end_inset ) je \begin_inset Formula \[ A_{t}=\left[\begin{array}{cccc} a & 0 & b\sin\vartheta_{t} & 0\\ 0 & a & -b\cos\vartheta_{t} & 0\\ -e\sin\vartheta_{t} & e\cos\vartheta_{t} & d & 0\\ 0 & 0 & \Delta t & 1 \end{array}\right]. \] \end_inset Rozšíření na upravenou matici ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:matice_stind_alfabeta55" \end_inset ) je již snadné. \end_layout \begin_layout Standard Při užití takto upravené matice \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset v algoritmu LQ řízení již získáme dobré výsledky srovnatelné s ostatními zde uváděnými přístupy, viz obrázek \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "obr_vylepseni_lq_alfabeta" \end_inset . \end_layout \begin_layout Section LQ řízení v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Postup je anlogický jako v případě pro \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset souřadnice. Vyjdeme z rovnic pro stejné indukčnosti \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{d,t+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{d,t},\\ i_{q,t+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{q,t},\\ \omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q,t}-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t, \end{eqnarray*} \end_inset pro zjednodušení použijeme stejné označení konstant: \begin_inset Formula $a=1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t$ \end_inset , \begin_inset Formula $b=\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\Delta t$ \end_inset , \begin_inset Formula $c=\frac{\Delta t}{L_{s}}$ \end_inset , \begin_inset Formula $d=1-\frac{B}{J}\Delta t$ \end_inset , \begin_inset Formula $e=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t$ \end_inset . Zátěžný moment opět předpokládáme nulový \begin_inset Formula $T_{L}=0$ \end_inset . Získáme rovnice ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray} i_{d,t+1} & = & ai_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+cu_{d,t},\nonumber \\ i_{q,t+1} & = & ai_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-b\omega_{t}+cu_{q,t},\label{eq:rovnice_jedn_dq}\\ \omega_{t+1} & \text{=} & d\omega_{t}+ei_{q,t},\nonumber \\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.\nonumber \end{eqnarray} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Tento tvar rovnic je z hlediska linearizace daleko příznivější, protože jedinými nelineárními členy jsou \begin_inset Formula $\pm\Delta t\cdot i_{q,d}\omega$ \end_inset . Problematika těchto dvou členů byla již nastíněna v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Rotace-do-dq-problclen" \end_inset , kde v rovnici ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:dqrce-probl-clen" \end_inset ) jsou tyto členy zarámovány. Při jistém pořadí úprav (které ale není zcela korektní) tyto členy nevzniknou a je tedy namístě otázka, co se stane, když je zanedbáme. Pak by systém byl lineární, matici řízení \begin_inset Formula $L$ \end_inset by bylo možno předpočítat a celý návrh řízení by se usnadnil a hlavně urychlil. Jestli je však možné tyto členy zanedbat a jaké to má důsledky, bude ukázáno dále jako výsledek simulací. Z tohoto důvodu zde bude uvedena i verze matic pro systém PMSM bez těchto členů. \end_layout \begin_layout Standard Ještě je třeba upozornit na důležitý detail. Na první pohled by se mohlo zdát, že jsme z rovnic kompletně odstranili závislost na úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset a nepotřebujeme jej tedy znát. To však není pravda, závislost tam stále je, i když skrytá. Měření výstupu i poskytování vstupu do systému probíhá v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset , když navrhujeme řízení v soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset je samozřejmě třeba provést transformaci a pak inverzní transformaci zpět. Tyto transformace byly popsány v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Transformace_albe_dq" \end_inset a zřejmě závisí právě na úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Ztrátovou funkci budeme uvažovat stejnou jako v předchozím případě pro \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset a stav rovnou rozšíříme o referenční signál na \begin_inset Formula $x_{t}=\left(i_{d,t},i_{q,t},\psi_{t},\vartheta_{t},\overline{\omega}_{t}\right)$ \end_inset . Vektor řízení je \begin_inset Formula $u_{t}=\left(u_{d,t},u_{q,t}\right)$ \end_inset . Matice pro systém při neuvažování členů \begin_inset Formula $\pm\Delta t\cdot i_{q,d}\omega$ \end_inset jsou následující: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} A & = & \left[\begin{array}{ccccc} a & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & a & -b & 0 & -b\\ 0 & e & d & 0 & d-1\\ 0 & 0 & \Delta t & 1 & \Delta t\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right],\\ B & = & \left[\begin{array}{cc} c & 0\\ 0 & c\\ 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right]. \end{eqnarray*} \end_inset Když členy \begin_inset Formula $\pm\Delta t\cdot i_{q,d}\omega$ \end_inset uvažovat budeme, je třeba provést linearizaci a matice \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset pak již nebude konstantní \begin_inset Formula \begin{equation} A_{t}=\left[\begin{array}{ccccc} a & \Delta t\cdot\omega & \Delta t\cdot i_{q} & 0 & \Delta t\cdot i_{q}\\ -\Delta t\cdot\omega & a & -\Delta t\cdot i_{d}-b & 0 & -\Delta t\cdot i_{d}-b\\ 0 & e & d & 0 & d-1\\ 0 & 0 & \Delta t & 1 & \Delta t\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].\label{eq:maticeA_lq_dq_scleny} \end{equation} \end_inset Matice \begin_inset Formula $B$ \end_inset zůstává stejná. \end_layout \begin_layout Standard Analogicky jako u LQ řízení v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset se na základě simulací ukazuje, že v případě uvažování \begin_inset Formula $\pm\Delta t\cdot i_{q,d}\omega$ \end_inset poskytuje lepší výsledky nežli matice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:maticeA_lq_dq_scleny" \end_inset ), její upravená verze vzniklá zanedbáním některých členů. To vede na matici \begin_inset Formula \[ A_{t}=\left[\begin{array}{ccccc} a & \Delta t\cdot\omega & 0 & 0 & 0\\ -\Delta t\cdot\omega & a & -b & 0 & -b\\ 0 & e & d & 0 & d-1\\ 0 & 0 & \Delta t & 1 & \Delta t\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Section Využití injektáží \end_layout \begin_layout Standard V této části bude popsán jednoduchý návrh řízení využívajícího injektáží. Jedná se o velmi základní návrh, který trpí některými nedostatky, především při zpracování výstupního signálu a analýze v něm modulované informace. Dále je tento postup implementován pouze jako simulace v \family typewriter Matlabu \family default . Implementace v simulátoru naráží na celou řadu potíží, především potřebu zpracovávat informaci ze signálu ještě před vstupem do estimátoru (používaný je EKF). \end_layout \begin_layout Standard Základní myšlenka je následující: Pomocí techniky injektáží se nepodařilo získat dostatečně kvalitní odhad úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset , aby byl použit přímo pro řízení. Je tedy užíváno současně i EKF, kdy odhad \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset z injektáže slouží jako další zdroj informace pro EKF. Kompletní odhad stavu pro řízení pak poskytuje EKF. Jako řízení je využíváno LQ řízení v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadné soustavě. \end_layout \begin_layout Standard Celý proces pak probíhá tak, že k řízení navrženému LQ regulátorem je přidáván vysokofrekvenční signál do estimované \begin_inset Formula $d$ \end_inset osy. Toto řízení je přivedeno na vstup PMSM a na jeho výstupu jsou měřeny proudy. Z proudu v estimované \begin_inset Formula $q$ \end_inset ose je určen odhad \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset pomocí násobení původním vysokofrekvenčním signálem a následnou aplikací low-pass filtru. Odhad \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset je spolu s výstupy PMSM \begin_inset Formula $y_{\alpha}$ \end_inset a \begin_inset Formula $y_{\beta}$ \end_inset dodán rozšířenému Kalmanovu filtru, který pak poskytuje odhad všech stavových veličin. Ty jsou použity pro návrh řízení v dalším kroku. Předpokládáme tedy měření ve tvaru \begin_inset Formula $y_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\vartheta\right)^{T}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Větší část zde používaných algoritmů (LQ, EKF) již byla popsána v textu výše, proto zde uvedeme pouze případné změny. Mění se matice \begin_inset Formula $C$ \end_inset a \begin_inset Formula $R$ \end_inset pro EKF: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} C & = & \left[\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right],\\ R & = & \left[\begin{array}{ccc} r & 0 & 0\\ 0 & r & 0\\ 0 & 0 & r_{\vartheta} \end{array}\right]. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Zpracování signálu \end_layout \begin_layout Standard Jak bylo uvedeno v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:Injektáže" \end_inset , je pro správnou funkci injektáží nutné splnit podmínku \begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$ \end_inset . Z tohoto důvodu je třeba upravit i samotný simulátor a založit jej na rovnicích ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice_ruzneL_proi" \end_inset ) a ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice_ruzneL_omega" \end_inset ), které uvažují různé indukčnosti. Pro jednodušší zpracování byly zvoleny indukčnosti \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} L_{d} & = & 1.5L_{s},\\ L_{q} & = & L_{s}. \end{eqnarray*} \end_inset Tato volba samozřejmě neodpovídá SMPMSM, kde je rozdíl indukčností v osách \begin_inset Formula $d$ \end_inset a \begin_inset Formula $q$ \end_inset velmi malý. Zde užité hodnoty jsou voleny pro usnadnění návrhu. \end_layout \begin_layout Standard Vysokofrekvenční signál užitý pro injektáž byl zvolen jako kosinový signál o amplitudě \begin_inset Formula $10V$ \end_inset a frekvenci \begin_inset Formula $500Hz$ \end_inset . Volba velikosti amplitudy je opět komplikovanou záležitostí. Obecně platí, že větší amplituda umožní snadnější zpracování signálu, především z důvodu většího odstupu signálu od šumu. Naopak ale větší amplituda způsobuje i větší rušení v samotném PMSM. Obvykle je v injektážních technikách užívána amplituda menší, zde zvolená hodnota je vyšší, aby opět usnadnila zpracování. Dalším problémem může být, že zde předkládaný návrh amplitudu nijak neomezuje s rostoucími otáčkami, stále je tedy injektován signál o stejné amplitudě. To by se mohlo negativně projevit při vyšších otáčkách. \end_layout \begin_layout Standard Asi největší komplikací tohoto přístupu, ale i injektáží obecně, je vhodný návrh low-pass filtru. Používá se k získání amplitudově modulované informace o poloze rotoru. Návrh filtrů je obecně netriviální záležitostí a může mít značný dopad na kvalitu výsledného odhadu \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset . Zde používaný filtr je velmi jednoduchý a založený na klouzavých průměrech. Poskytované výsledky tedy nejsou příliš dobré. \end_layout \begin_layout Standard Informace o poloze rotoru je amplitudově modulovaná na nosné vysoké frekvenci v \begin_inset Formula $q$ \end_inset složce měřeného proudu. Není však modulována přímo hodnota \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset , ale veličina \begin_inset Formula \[ \frac{V_{hf}}{\omega_{hf}}\frac{L_{q}-L_{d}}{2L_{d}L_{q}}\sin2\theta, \] \end_inset kde \begin_inset Formula $V_{hf}$ \end_inset představuje amplitudu a \begin_inset Formula $\omega_{hf}$ \end_inset úhlovou frekvenci vysokofrekvenčního signálu, \begin_inset Formula $\theta$ \end_inset je chyba odhadu \begin_inset Formula $\theta=\vartheta_{sys}-\vartheta_{est}$ \end_inset . Po získání této informace je tedy třeba ještě provést vydělení příslušnou konstantou a ideálně ještě funkci \begin_inset Formula $\arcsin$ \end_inset . Výpočet \begin_inset Formula $\arcsin$ \end_inset je však náročný a nedává příliš dobré výsledky z důvodu omezení na jeho definiční obor, proto je výhodné využít aproximaci \begin_inset Formula $\sin x\approx x$ \end_inset pro malá \begin_inset Formula $x$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsection Nedostatky přístupu \end_layout \begin_layout Standard Popisovaný návrh jednoduchého využití injektáží trpí celou řadou více či méně závažných nedostatků, většina z nich již byla zmíněna v předchozím popisu. Hlavními problematickými body, které poskytují prostor pro vylepšení, jsou: \end_layout \begin_layout Itemize užití hodnot zjednodušujících určení úhlu natočení -- oproti zde užívanému experimentu lze očekávat, že reálná hodnota rozdílu indukčností bude nižší \end_layout \begin_layout Itemize nepříliš dobrý low-pass filtr -- navrhnutí lepšího filtru by mohlo značně zlepšit demodulaci informace obsažené v \begin_inset Formula $q$ \end_inset složce proudu \end_layout \begin_layout Itemize použité řízení je LQ v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadnicích, ale jeho návrh předpokládá stejné indukčnosti \begin_inset Formula $L_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $L_{q}$ \end_inset -- při zde užívaném velkém rozdílu indukčností by to mohlo působit problémy, ale při uvažovaném nasazení na SMPSMS s téměř stejnými indukčnostmi je toto zjednodušení zanedbatelné vzhledem k ostatním nedostatkům \end_layout \begin_layout Itemize amplituda injektovaného signálu není nijak omezována s rostoucími otáčkami -- může docházet k většímu rušení při vysokých otáčkách, řešením by bylo amplitudu omezovat podobně jako u hybridních metod \end_layout \begin_layout Itemize omezený rozsah detekce natočení -- obecně předpokládáme počáteční úhel natočení v intervalu \begin_inset Formula $\left(-\pi,\pi\right\rangle $ \end_inset , v důsledku symetrie rovnic na substituci \begin_inset Formula $\omega\longleftrightarrow-\omega$ \end_inset a \begin_inset Formula $\vartheta\longleftrightarrow\vartheta+\pi$ \end_inset , které zde nijak nedetekujeme je třeba omezit počáteční úhel na \begin_inset Formula $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\rangle $ \end_inset ; dále pak z injektáže dostáváme informaci o \begin_inset Formula $2\theta$ \end_inset , z čehož plyne omezení na \begin_inset Formula $\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right\rangle $ \end_inset ; výsledný interval použitelnosti je tedy velmi malý a bez dalších úprav představuje velkou překážku \end_layout \begin_layout Standard I přes výše zmíněné nedostatky se na základě simulací ukazuje, že tento přístup pomáhá k rychlejšímu určení počátečního natočení rotoru než zvládají standartní metody. \end_layout \begin_layout Section Duální algoritmus \end_layout \begin_layout Standard Posledním z implementovaných algoritmů je následující \emph on jednoduchý duální návrh \emph default . Hlavní myšlenka je založena na \emph on bikriteriální metodě \emph default , viz \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Vybrané-algoritmy-proDC" \end_inset . Její princip je ve stručnosti takový, že nejdříve je nalezeno opatrné řízení. Následně je v jeho okolí hledáno optimální buzení. Tohoto postupu se ale budeme držet jen částečně. \end_layout \begin_layout Standard Nalezení \emph on opatrného řízení \emph default , které se pod tímto pojmem obvykle rozumí, není v případě zde uvažovaného systému snadné. Proto místo něj využijeme opět LQ řízení v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadnicích. Toto není z hlediska bikriteriální metody korektní, zde uvažovaný postup je ale myšlen jako jednoduchý duální návrh a je pouze jejím jistým přiblížením. \end_layout \begin_layout Standard Nyní kolem takto nalezeného řízení, označme \begin_inset Formula $\tilde{u}$ \end_inset , stanovíme okolí, ve kterém se budeme snažit minimalizovat ztrátu pro optimální buzení. Okolí uvažujeme jako dvourozměrný interval popsaný parametrem \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset ve tvaru \begin_inset Formula $\left\langle \tilde{u}_{d}-\varepsilon,\tilde{u}_{d}+\varepsilon\right\rangle \times\left\langle \tilde{u}_{q}-\varepsilon,\tilde{u}_{q}+\varepsilon\right\rangle $ \end_inset . Pro odhadování stavu je užit opět rozšířený Kalmanův filtr. \end_layout \begin_layout Standard Jak již bylo uvedeno v kapitole \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:Estimace-stavových-veličin" \end_inset , čím jsou vyšší otáčky, tím získáváme lepší odhad stavových veličin \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset , protože na otáčkách přímo úměrně závisí velikost zpětné elektromotorické síly. Na tomto základě můžeme uvažovat, že optimální buzení pro PMSM je takové, které se snaží maximalizovat otáčky \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset , nebo přesněji jejich absolutní hodnotu. \end_layout \begin_layout Standard Při maximalizaci otáček vyjdeme z rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice_jedn_dq" \end_inset ) \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{d,t+1} & = & ai_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+cu_{d,t},\\ i_{q,t+1} & = & ai_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-b\omega_{t}+cu_{q,t},\\ \omega_{t+1} & \text{=} & d\omega_{t}+ei_{q,t},\\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t, \end{eqnarray*} \end_inset kde do třetí rovnice dosadíme z prvních dvou \begin_inset Formula \begin{equation} \omega_{t+1}=d\omega_{t}+e\left(ai_{q,t-1}-\Delta t\left(ai_{d,t-2}+\Delta t\cdot i_{q,t-2}\omega_{t-2}+cu_{d,t-2}\right)\omega_{t-1}-b\omega_{t-1}+cu_{q,t-1}\right).\label{eq:rovnice_pro_opt_buz} \end{equation} \end_inset Dosazovat by šlo samozřejmě dále, ale již teď je vidět, jak je vhodné volit \begin_inset Formula $u_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $u_{q}$ \end_inset . Chceme maximalizovat \begin_inset Formula $\left|\omega\right|$ \end_inset , budeme tedy volit řízení \begin_inset Formula $u$ \end_inset na okraji intervalu kolem \begin_inset Formula $\tilde{u}$ \end_inset . Je třeba rozlišit kladné a záporné otáčky, z rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice_pro_opt_buz" \end_inset ) získáváme pro \begin_inset Formula $u_{q}$ \end_inset volbu stejného znaménka jako pro \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a pro \begin_inset Formula $u_{d}$ \end_inset znaménko opačné. Výsledné řízení je tedy \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & \tilde{u}_{d}-\varepsilon\,\mathrm{sign}\,\omega,\\ u_{q} & = & \tilde{u}_{q}+\varepsilon\,\mathrm{sign}\,\omega. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Tento postup je relativně jednoduchou modifikací předchozího LQ algoritmu, ale jak ukazují simulace, může přinést značnou výhodu při určování počátečního natočení rotoru. \end_layout \begin_layout Chapter Provedené simulace \end_layout \begin_layout Standard Popisované simulace jsou dvou druhů. Větší část simulací byla provedena v programu \family typewriter Matlab \family default . Některé, zejména jednodušší simulace pak byly implementovány i na simulátoru PMSM poskytnutém vedoucím práce panem Ing. Václavem Šmídlem Ph.D. Tento simulátor se daleko více blíží reálnému stroji a zahrnuje i komplikovaněj ší elektrické efekty, jako například vliv invertoru. \end_layout \begin_layout Section Volba parametrů \end_layout \begin_layout Standard Nejdříve uvádíme parametry uvažovaného PMSM, se kterými byly následné simulace prováděny. \end_layout \begin_layout Subsection Parametry PMSM \end_layout \begin_layout Standard Pro simulace byl uvažován model PMSM s následujícími parametry: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} R_{s} & = & 0.28;\\ L_{s} & = & 0.003465;\\ \psi_{pm} & = & 0.1989;\\ B & = & 0;\\ T_{L} & = & 0;\\ k_{p} & = & 1.5;\\ p_{p} & = & 4.0;\\ J & = & 0.04;\\ \Delta t & = & 0.000125. \end{eqnarray*} \end_inset Předpokládáme pro jednoduchost koeficient viskozity \begin_inset Formula $B$ \end_inset a zátěžný moment \begin_inset Formula $T_{L}$ \end_inset nulový. Často užívané zjednodušené koeficienty mají následující hodnoty: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} a & = & 1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t=0.9898;\\ b & = & \frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\Delta t=0.0072;\\ c & = & \frac{\Delta t}{L_{s}}=0.0361;\\ d & = & 1-\frac{B}{J}\Delta t=1.0;\\ e & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t=0.0149. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Penalizační a kovarianční matice \end_layout \begin_layout Subsubsection Kovarianční matice šumu \end_layout \begin_layout Standard V modelu PMSM předpokládáme Gaussovský bílý šum s nulovou střední hodnotou, kterým jsou obecně zatíženy stavové veličiny systému \begin_inset Formula $x$ \end_inset i měření \begin_inset Formula $y$ \end_inset . Uvažujme stav \begin_inset Formula $x_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T}$ \end_inset a měření \begin_inset Formula $y_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t}\right)^{T}$ \end_inset . Při zahrnutí šumu jsou pak stav \begin_inset Formula $\tilde{x}_{t}$ \end_inset i měření \begin_inset Formula $\tilde{y}_{t}$ \end_inset náhodné veličiny s normálním rozdělením \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \tilde{x}_{t} & \sim & \mathcal{N}\left(x_{t},M_{t}\right),\\ \tilde{y}_{t} & \sim & \mathcal{N}\left(y_{t},N_{t}\right). \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Kovarianční matice \begin_inset Formula $M_{k}$ \end_inset a \begin_inset Formula $N_{k}$ \end_inset šumu v systému a šumu měření předpokládáme známé a pro účely testování je volíme následovně: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} M_{t} & = & \mathrm{diag\left(0.0013;\:0.0013;\:5.0e-6;\:1.0e-10\right),}\\ N_{t} & = & \mathrm{diag}\left(0.0006;\:0.0006\right). \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Matice EKF \end_layout \begin_layout Standard Matice použité při výpočtu rozšířeného Kalmanova filtru jsou následující: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} Q_{EKF} & = & \mathrm{diag}\left(0.1;\:0.1;\:0.1;\:0.001\right),\\ R_{EKF} & = & \mathrm{diag}\left(0.05;\:0.05\right). \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Matice LQ řízení \end_layout \begin_layout Standard Pro použité LQ řídící algoritmy byly užity matice \begin_inset Formula $Q$ \end_inset , \begin_inset Formula $R$ \end_inset a \begin_inset Formula $S$ \end_inset s parametry \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} q & = & 1.0,\\ r & = & 0.01,\\ s & = & 0.1. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Další hodnoty \end_layout \begin_layout Itemize Požadovaná hodnota otáček (referenční signál) \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset je znázorněna pro konkrétní simulace. \end_layout \begin_layout Itemize Časový horizont lze vyčíst z osy x příslušných grafů, ty jsou obvykle popisovány v sekundách. Časový horizont v diskrétních časových krocích lze získat vydělením \begin_inset Formula $\Delta t$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize Délka ubíhajícího časového horizontu je \begin_inset Formula $10$ \end_inset kroků. \end_layout \begin_layout Itemize Maximální absolutní přípustná hodnota napětí je \begin_inset Formula $u_{MAX}=100.0V$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize Parametr \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset jednoduchého duálního návrhu je volen \begin_inset Formula $\varepsilon=7.0$ \end_inset . Tato hodnota byla nalezena experimentálně, aby nezpůsobovala příliš velké rušení požadovaného průběhu otáček, ale současně poskytovala dostatečně rychlé nalezení správných hodnot. Hodnotu konstanty je možné zmenšit, nikoliv ale řádově, bez většího vlivu na funkčnost metody. \end_layout \begin_layout Section Kvalita sledování referenčního signálu \end_layout \begin_layout Standard Nyní přistoupíme k porovnání jednotlivých řídících algoritmů. Nejdříve se zaměříme na kvalitu řízení, tedy jak dobře je sledován referenční signál \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset . Všechny algoritmy využívají k odhadování EKF, uvažujeme šum v systému i šum měření a volíme známé počáteční natočení rotoru \begin_inset Formula $\vartheta_{0}=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Výsledek experimentu je na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "obrazek_omegadif" \end_inset . \begin_inset Float figure wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename omdif2.eps lyxscale 70 scale 38 rotateAngle 270 \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Znázornění odchylek od požadované hodnoty \begin_inset Formula $\omega-\overline{\omega}$ \end_inset pro jednotlivé algoritmy. Horní graf představuje průběh požadované hodnoty \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset a je pro všechny algoritmy společný (společný i pro simulátor a simulace v \family typewriter Matlabu \family default ). Čtyři grafy uprostřed znázorňují průběh odchylky od požadované hodnoty pro jednotlivé algoritmy: vektorové PI řízení (PI), LQ řízení v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset souřadnicích (LQ \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset ) a LQ řízení v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadnicích se zanedbanými členy (LQ d-q) a se zahrnutými členy (LQ d-q 2). Jedná se o výsledky ze simulátoru. Dva grafy dole představují odchylky pro jednoduchý injektážní návrh (Inj) a jednoduchý duální návrh založený na bikriteriální metodě (DB). Jedná se ovšem o výsledek simulace v \family typewriter Matlabu \family default . Grafy (Inj) a (DB) nejsou tedy vhodné pro srovnání s ostatními, protože se jedná o jiný simulátor, i když se stejným nastavením. Navíc (Inj) má na ose y jiný rozsah a dosahuje daleko větší chyby. \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "obrazek_omegadif" \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset Na grafech je možno pozorovat, že při zvoleném referenčním signálu dosahuje LQ řízení srovnatelných výsledků jako vektorové. LQ řízení obecně více kmitá, ale má tendenci odchylku vzniklou v důsledku náhlé změny referenčního signálu redukovat směrem k nule. U vektorového řízení zůstává odchylka více méně konstantní. Dále je možno pozorovat, že řízení v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset souřadnicích se dopouští větší chyby než v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset . Při srovnání LQ řízení v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadném systému, (LQ d-q) a (LQ d-q 2) téměř nenalezneme rozdíl. Hlavní rozdíl je však v rychlosti, protože v případě (LQ d-q) lze řídící matici předpočítat a výpočetní nároky na řízení jsou při běhu minimální. \end_layout \begin_layout Standard V porovnání s ostatními algoritmy dosahuje jednoduchá injektážní metoda (Inj) velké chyby až přibližně \begin_inset Formula $\pm20$ \end_inset \family roman \series medium \shape up \size normal \emph off \bar no \strikeout off \uuline off \uwave off \noun off \color none \lang english rad/s \family default \series default \shape default \size default \emph default \bar default \strikeout default \uuline default \uwave default \noun default \color inherit \lang czech . Chyba se projevuje zejména při vyšší absolutní hodnotě otáček. Tento jev však lze očekávat, protože zde užívaný návrh injektáže nijak neomezuje amplitudu injektovaného signálu s rostoucími otáčkami. Vysokofrekvenční signál pak způsobuje při vyšších otáčkách větší rušení. Z této simulace je tedy vidět, že není vhodné injektovat signál stále, ale přidávat ho pouze při nízkých otáčkách, což řeší hybridní metody injektáží. Dále ještě metoda vykazuje problematické chování ve střední části ( \begin_inset Formula $7-9$ \end_inset s), kdy se požadované otáčky \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset vracejí k nulové hodnotě. To se jeví jako další problematický bod této implementace vzhledem k zamýšleném u užití při nízkých otáčkách. \end_layout \begin_layout Standard Dále je ještě možno si povšimnout relativně menší odchylky \begin_inset Formula $\omega-\overline{\omega}$ \end_inset pro jednoduchý duální návrh (DB). Není však vhodné srovnávat tento graf s výstupem z jiného simulátoru. \end_layout \begin_layout Standard Kvalitu sledování referenčního signálu pro jednotlivé algoritmy je dále možno posoudit na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "obrazek_topdif" \end_inset . \begin_inset Float figure wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename topdif2.eps lyxscale 40 scale 38 rotateAngle 270 \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Výřez průběhu otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset (modrá) a referenčního signálu \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset (červená) pro jednotlivé algoritmy. \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "obrazek_topdif" \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset Jedná se o přiblížení horní části lichoběžníku referenčního signálu a jsou zahrnuty pouze algoritmy implementované na simulátoru. Je zde možné spatřit obecnou tendenci, která se však projevuje i v simulacích v \family typewriter Matlabu \family default : Vektorové řízení (PI) řídí na nepatrně větší hodnotu, než je požadovaná. Naopak LQ řízení v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadnicích (LQ d-q) a (LQ d-q 2) řídí na hodnotu nepatrně nižší. U LQ řízení v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset souřadnicích (LQ \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset ) lze pozorovat také mírně vyšší hodnotu. \end_layout \begin_layout Standard Závěry co se týče kvality sledování referenčního signálu pro jednotlivé algoritmy jsou tedy následující: \end_layout \begin_layout Itemize Jednotlivé verze LQ řízení dosahují srovnatelných výsledků s referenčním vektorovým PI řízením. \end_layout \begin_layout Itemize LQ algoritmy v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadné soustavě se ukazují jako lepší než v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize Vektorové a LQ řízení v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset řídí na nepatrně vyšší hodnotu než je požadovaná, LQ řízení v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset na hodnotu nepatrně nižší. \end_layout \begin_layout Itemize Rozdíl v kvalitě mezi LQ řízením v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadnicích při uvažování/zanedbání členů zatím nebyl pozorován. \end_layout \begin_layout Itemize Jednoduchý injektážní návrh se bez dalších úprav nehodí k využití při vyšších otáčkách. \end_layout \begin_layout Itemize Jednoduchý duální návrh poskytuje dobré výsledky při sledování referenčního signálu, není však možné jeho srovnání s ostatními algoritmy v důsledku chybějící implementace na simulátoru. \end_layout \begin_layout Section Maximální otáčky \end_layout \begin_layout Standard Další simulací bude otestování, jaké zvládne konkrétní řídící algoritmus maximální otáčky. Zde je třeba upozornit na praktický problém. V reálném stroji je třeba pro dosahování vyšších otáček provádět takzvané odbuzování. Tento jev je však poměrně složitý a v simulacích zahrnut není. Chování simulací při vyšších otáčkách tedy neodpovídá chování reálného stroje. Jedná se pak spíše o testování toho, jak dobře zvládne algoritmus řídit model bez vztahu k reálnému stroji. Naopak ale lze očekávat, že když řídící algoritmus nezvládne dosáhnout určitou hodnotu otáček při řízení modelu, nezvládne to ani na skutečném stroji. \end_layout \begin_layout Standard Pro testování maximálních otáček byl zvolen referenční signál \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset ve tvaru lineární funkce času. Ta roste z \begin_inset Formula $0$ \end_inset na \begin_inset Formula $3000$ \end_inset rad/s v čase \begin_inset Formula $12$ \end_inset s. Hodnota \begin_inset Formula $3000$ \end_inset rad/s odpovídá při \begin_inset Formula $4$ \end_inset párech pólů \begin_inset Formula $7162$ \end_inset mechanických otáček za minutu, což je již značně vysoká hodnota. \end_layout \begin_layout Standard Výsledek ze simulátoru je zachycen na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "obrazek_rampa" \end_inset . \begin_inset Float figure wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename ramp2.eps lyxscale 40 scale 38 rotateAngle 270 \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Maximální dosažitelné otáčky na simulátoru při užití jednotlivých algoritmů. Červenou barvou jsou znázorněny požadované otáčky \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset , modře pak skutečná hodnota otáček stroje \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "obrazek_rampa" \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset Vektorové PI řízení zvládá v simulaci sledovat otáčky relativně dobře. Za zmínku stojí drobné \begin_inset Quotes gld \end_inset zaváhání \begin_inset Quotes grd \end_inset na hodnotě přibližně \begin_inset Formula $650$ \end_inset rad/s, které je možné v grafu pozorovat jako malý \begin_inset Quotes gld \end_inset zub \begin_inset Quotes grd \end_inset . V tomto místě se na okamžik zdá, že se růst otáček zastaví. Dále pak vektorové řízení řídí na vyšší hodnotu, než je požadovaná. Tento rozdíl postupně narůstá a při maximálních \begin_inset Formula $3000$ \end_inset rad/s dosahuje přibližně \begin_inset Formula $30$ \end_inset rad/s. Tato chyba se již může zdát hodnotově velká, ale v procentuálním vyjádření se jedná o \begin_inset Formula $1\%$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard LQ řízení v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset a v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadnicích bez uvažování členů se zastaví na hodnotě \begin_inset Formula $575$ \end_inset rad/s a dále již neroste. Vyšší hodnoty otáček tedy nejsou těmito algoritmy zvládnutelné. LQ řízení v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadnicích s uvažováním členů zvládne sledovat požadovanou hodnotu až do maximálních \begin_inset Formula $3000$ \end_inset rad/s. Také zde vzniká chyba podobně jako u vektorového řízení a její velikost je opět přibližně \begin_inset Formula $30$ \end_inset rad/s. Je tedy vhodné předpokládat, že tato chyba nevzniká jako důsledek řízení a její příčinu je třeba hledat jinde. Jako nejpravděpodobnější příčina této chyby se jeví rozšířený Kalmanův filtr, který je použit u všech algoritmů stejný. \end_layout \begin_layout Standard Nyní můžeme doplnit hodnocení použitých řídících algoritmů: Rozdíl mezi LQ řízením v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadnicích při uvažování, respektive zanedbání členů je, kromě rychlosti výpočtu, v maximálních dosažitelných otáčkách. Když se budeme pohybovat do maximální hodnoty \begin_inset Formula $575$ \end_inset rad/s, lze s výhodou využít rychlejší algoritmus se zanedbanými členy. Pro vyšší hodnoty otáček je třeba uvažovat verzi algoritmu, který členy uvažuje. Je však třeba zvážit, jestli jsme již nepřekročili hranici nutnou pro odbuzován í, protože pak nemusí ani algoritmus uvažující členy fungovat správně. \end_layout \begin_layout Section Počáteční rozběh \end_layout \begin_layout Standard V této části se zaměříme na vliv, jaký má špatný odhad počátečního úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset . Jak již bylo úkázáno na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "Flo:badekfestim2" \end_inset , tento problém se projevuje zejména při rozběhu a při využití EKF postupně vymizí. Tedy i špatný odhad \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset postupně konverguje k dobré hodnotě, jen je potřeba delší čas. \end_layout \begin_layout Standard Právě zde se mohou projevit výhody duálního přístupu, duální metoda totiž dokáže rychleji odstranit neurčitost při odhadu \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset a dříve najít správnou hodnotu. Následující simulace již byly prováděny pouze v \family typewriter Matlabu \family default , kde je dostupná implementace všech uvažovaných algoritmů a je umožněna snadnější volba \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset . Označme \begin_inset Formula $\vartheta_{0}^{sys}$ \end_inset skutečný počáteční úhel natočení rotoru. Dále pak označme \begin_inset Formula $\vartheta_{0}^{est}$ \end_inset počáteční úhel natočení rotoru předpokládaný estimátorem. Volíme \begin_inset Formula $\vartheta_{0}^{est}\equiv0$ \end_inset pro všechny algoritmy a veličinu, kterou budeme nastavovat je \begin_inset Formula $\vartheta_{0}^{sys}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Lze očekávat, že algoritmy založené na \emph on CE \emph default přístupu budou všechny podávat stejné výsledky co se týče schopnosti co nejrychleji nalézt správnou hodnotu počátečních otáček. Na základě simulací se ukazuje, že tomu skutečně tak je. Z tohoto důvodu zde nebudeme uvádět všechny tyto metody, ale vybereme z nich pouze jednoho zástupce. Tímto zástupcem bude LQ řízení v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadnicích s uvažováním členů, protože jsou na něm založeny i jednoduché injektáže a jednoduché duální řízení. \end_layout \begin_layout Standard Dále tedy budeme označovat \emph on CE \emph default přístupem všechny následující metody: vektorové PI řízení, LQ řízení v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset a v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadnicích s i bez uvažování členů. Jejich výsledky bude reprezentovat již zmiňovaný zástupce. \end_layout \begin_layout Subsection Počáteční úhel \begin_inset Formula $\vartheta_{0}^{sys}=0$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Volba nulového počátečního úhlu natočení, tedy takového, jaký předpokládá estimátor, se může zdát nepříliš zajímavou. Lze na ní však ilustrovat, jak jednotlivé metody zvládají šum. \begin_inset Float figure wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Graphics filename porovnani0.pdf lyxscale 50 scale 36 \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Porovnání skutečného úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta^{sys}$ \end_inset (modrá) s jeho odhadem \begin_inset Formula $\vartheta^{est}$ \end_inset (zelená) pro různé algoritmy při uvažování počáteční hodnoty \begin_inset Formula $\vartheta_{0}^{sys}=\vartheta_{0}^{est}=0$ \end_inset . V levém sloupci jsou vždy výsledky bez uvažování šumu ve stroji a šumu měření, v pravém s šumem. Použité algoritmy: nahoře CE, uprostřed jednoduchá injektáž, dole jednoduchý duální přístup. \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "obrazek_rozbeh_th0" \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset Výsledek simulace je znázorněn na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "obrazek_rozbeh_th0" \end_inset . Je vždy zobrazen průběh se šumem v systému a šumem měření a bez šumu. Grafy zahrnující šum odpovídají více reálnému průběhu ve stroji, je však třeba mít na paměti, že šum se generuje náhodně a každá jeho realizace je jiná. Z tohoto důvodu je zahrnuta i verze grafů bez šumu, kde je možné snáze pozorovat chování systému a řízení (více patrné to bude ve výsledcích dalších simulací s jiným počátečním úhlem). \end_layout \begin_layout Standard Z grafů bez šumu stojí za povšimnutí zejména prostřední obrázek týkající se jednoduché injektážní metody. Znázorňuje průběh odhadu úhlu natočení, který kmitá kolem skutečné hodnoty (na grafu je z důvodu překrytí špatně vidět, že skutečná hodnota otáček nekmitá, ale je tvoří hladkou křivku podobně jako v obrázcích pod a nad). Příčinou kmitání je právě přidávaný vysokofrekvenční signál, který lze při dostatečném přiblížení (v obrázku zahrnuto není) v \begin_inset Quotes gld \end_inset tučné \begin_inset Quotes grd \end_inset části nalézt. \end_layout \begin_layout Standard Na obrázcích s šumem lze dobře sledovat, jak dobře metody zvládají šum. V případě \emph on CE \emph default metody je vliv šumu velký a získáváme značně nepřesný odhad hodnoty otáček. Jednoduchá injektážní metoda situaci nepatrně vylepšuje. Nejlepší zvládnutí šumu z uvažovaných metod pak vykazuje jednoduchý duální návrh. \end_layout \begin_layout Subsection Počáteční úhel \begin_inset Formula $\vartheta_{0}^{sys}=\frac{2}{9}\pi$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Počáteční hodnota \begin_inset Formula $\frac{2}{9}\pi$ \end_inset je volena tak, aby byla dostatečně velká, ale současně menší než \begin_inset Formula $\frac{\pi}{4}=\frac{2}{8}\pi$ \end_inset , což je, jak již bylo uvedeno při popisu jednoduché injektážní metody, mez, do které by tato metoda měla fungovat. Výsledky simulací s takto nastavenou počáteční hodnotou jsou zobrazeny na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "obrazek_rozj_th29" \end_inset . \begin_inset Float figure wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Graphics filename /home/michal/source/kst/porovnani29.pdf lyxscale 50 scale 36 \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Porovnání skutečného úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta^{sys}$ \end_inset (modrá) s jeho odhadem \begin_inset Formula $\vartheta^{est}$ \end_inset (zelená) pro různé algoritmy při uvažování počáteční hodnoty \begin_inset Formula $\vartheta_{0}^{sys}=\frac{2}{9}\pi$ \end_inset . V levém sloupci jsou vždy výsledky bez uvažování šumu ve stroji a šumu měření, v pravém s šumem. Použité algoritmy: nahoře CE, uprostřed jednoduchá injektáž, dole jednoduchý duální přístup. \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "obrazek_rozj_th29" \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Opět jsou uváděny grafy s šumem i bez šumu, především z důvodu, že na obrázcích bez šumu je daleko lépe poznat, kdy je dosaženo správné hodnoty. Naopak grafy s šumem dávají lepší náhled na skutečný průběh odhadu veličiny. \end_layout \begin_layout Standard Z uvedených grafů je velmi dobře patrné, jaké výhody přináší duální přístup při nalezení správné hodnoty při špatném počátečním odhadu. Metodám založeným na \emph on CE \emph default přístupu trvá nalezení správné hodnoty přibližně \begin_inset Formula $0.7$ \end_inset sekundy. Že je správná hodnota vůbec nalezena již bylo diskutováno a jedná se o vlastnost rozšířeného Kalmanova filtru. V případě zahrnutí šumu do systému je výsledek obvykle horší, jak ilustruje odpovídající graf napravo. Užití jednoduché injektážní metody přináší značné zlepšení, kdy je správná hodnota nalezena již přibližně za \begin_inset Formula $0.1$ \end_inset sekundy. Je však třeba podotknout, že se zatím nacházíme v \begin_inset Quotes gld \end_inset bezpečném \begin_inset Quotes grd \end_inset intervalu hodnot pro tuto metodu. Nejlepší výsledky poskytuje jednoduchý duální návrh, kde je čas nalezení správné hodnoty oproti injektážní metodě přibližně poloviční \begin_inset Formula $0.05$ \end_inset sekundy. V důsledku šumu je navíc patrné jen velmi malé zhoršení. \end_layout \begin_layout Subsection Počáteční úhel \begin_inset Formula $\vartheta_{0}^{sys}=\frac{\pi}{2}-0.1$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Poslední z testovaných hodnot je \begin_inset Formula $\frac{\pi}{2}-0.1$ \end_inset , tedy hodnota nepatrně nižší než \begin_inset Formula $\frac{\pi}{2}$ \end_inset . Další hodnoty již testovány nebudou, protože žádný z algoritmů zatím neřeší problém se symetrií rovnic na substituci \begin_inset Formula $\omega\longleftrightarrow-\omega$ \end_inset a \begin_inset Formula $\vartheta\longleftrightarrow\vartheta+\pi$ \end_inset . Algoritmus by tedy začal otáčet rotorem stroje na opačnou stranu. Jak již bylo zmiňovánu v popisu jednoduché injektážní metody, volba hodnoty mimo interval \begin_inset Formula $\left\langle -\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right\rangle $ \end_inset není pro tuto metodu bezpečná a lze tedy očekávat, že jednoduchá injektážní metoda v tomto případě selže. Výsledky simulací s počátečním úhlem natočení \begin_inset Formula $\vartheta_{0}^{sys}=\frac{\pi}{2}-0.1$ \end_inset obsahuje obrázek \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "obrazek_rozj_thp2" \end_inset . \begin_inset Float figure wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Graphics filename porovnanip2.pdf lyxscale 50 scale 36 \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Porovnání skutečného úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta^{sys}$ \end_inset (modrá) s jeho odhadem \begin_inset Formula $\vartheta^{est}$ \end_inset (zelená) pro různé algoritmy při uvažování počáteční hodnoty \begin_inset Formula $\vartheta_{0}^{sys}=\frac{\pi}{2}-0.1$ \end_inset . V levém sloupci jsou vždy výsledky bez uvažování šumu ve stroji a šumu měření, v pravém s šumem. Použité algoritmy: nahoře CE, uprostřed jednoduchá injektáž, dole jednoduchý duální přístup. \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "obrazek_rozj_thp2" \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Výsledky pro \emph on CE \emph default přístup jsou velmi podobné jako v předchozím případě, jen trvá o něco déle, než je nalezena správná hodnota otáček, přibližně \begin_inset Formula $0.8$ \end_inset sekundy. V případě uvažování šumu je situace dokonce lepší. To však nelze brát jako obecný závěr, protože může dosti záležet na konkrétní realizaci šumu. \end_layout \begin_layout Standard Největší zhoršení pozorujeme u jednoduché injektážní metody. Uvažovaná hodnota počátečního úhlu natočení již neleží v intervalu, pro který metoda spolehlivě funguje, a to se projevuje na výsledku. Stále však tako metoda poskytuje lepší výsledky, než \emph on CE \emph default přístup, a správné hodnoty dosahuje okolo \begin_inset Formula $0.3$ \end_inset sekundy. V případě uvažování šumu je výsledek přibližně stejný. \end_layout \begin_layout Standard Důležitým zjištěním je výsledek týkající se jednoduché duální metody. Ta totiž poskytuje opět dobrý výsledek, jak při uvažování šumu tak i bez něj. Správnou hodnotu nalezne za přibližně \begin_inset Formula $0.05$ \end_inset sekundy. \end_layout \begin_layout Section Závěrečné hodnocení použitých algoritmů \end_layout \begin_layout Standard V této kapitole bylo hodnoceno několik řídících algoritmů pro PMSM. Jedná se o: \end_layout \begin_layout Itemize vektorové PI řízení \end_layout \begin_layout Itemize LQ řízení v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize LQ řízení v souřadné soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset se zanedbáním členů viz rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:dqrce-probl-clen" \end_inset ) \end_layout \begin_layout Itemize LQ řízení v souřadné soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset při uvažování členů viz rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:dqrce-probl-clen" \end_inset ) \end_layout \begin_layout Itemize Jednoduchý návrh řízení využívajícího injektáže \end_layout \begin_layout Itemize Jednoduchý návrh duálního řízení založený na bikriteriální metodě \end_layout \begin_layout Standard Na základě výsledků simulací bylo shledány následující závěry: \end_layout \begin_layout Standard Všechna tři uvažovaná LQ řízení včetně jednoduchého duálního návrhu jsou srovnatelná co do kvality sledování požadovaného signálu s vektorovým PI řízením, které sloužilo jako referenční. V rámci LQ řízení se ukazuje jako lepší využití souřadné soustavy \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset . Otázka, zda je vhodné členy v rovnici ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:dqrce-probl-clen" \end_inset ) uvažovat, závisí především na maximálních otáčkách, které budou od řízení požadovány. Když tato hodnota nepřekročí hranici \begin_inset Formula $575$ \end_inset rad/s, je možno členy zanedbat a získat tak algoritmus, který je výpočetně daleko méně náročný a tedy rychlejší. \end_layout \begin_layout Standard Využití jednoduchého injektážního algoritmu se v současné implementaci nejeví jako vhodné. Zejména se jedná o problémy s rušením při vyšších otáčkách. Řešením by mohlo být omezování amplitudy injektovaného signálu s rostoucími otáčkami. Tím se dostáváme k hybridním metodám injektáží. Naopak ale implementovaná injektážní technika prokázala lepší schopnost odhadování neznámé hodnoty otáček oproti \emph on CE \emph default přístupům. Její spolehlivá funkčnost je ovšem pouze v omezeném rozsahu. I když se tedy jednoduchý injektážní návrh ukazuje být bez dalších modifikací nepoužitelný, rozhodně se jedná o zajímavý směr, který by mohl vést ke kvalitnímu řídícímu algoritmu. \end_layout \begin_layout Standard Nejlepší výsledky z implementovaných metod poskytl jednoduchý duální návrh. I když se jedná pouze o základní rozšíření původních algoritmů, poskytuje v porovnání s nimi lepší výsledky. Jako jeho největší výhody uveďme lepší zvládnutí šumu a dále rychlé nalezení správné hodnoty otáček. I zde je však značný prostor pro zlepšení. Zejména je třeba vyřešit problém se symetrií rovnic a roztočením stroje na opačnou stranu. Tím by se podařilo zajistit funkčnost pro počáteční úhel natočení z celého intervalu \begin_inset Formula $\left\langle -\pi,\pi\right\rangle $ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard V každém případě se ale ukazuje, že duální algoritmy poskytují daleko lepší řízení oproti řídícím algoritmům založeným na \emph on CE \emph default předpokladu. Jsou tedy vhodnou cestou, kterou se vydat při řešení problému řízení PMSM. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Addchap Závěr \end_layout \begin_layout Standard Hlavním záměrem této práce byla možnost využití duálního řízení pro PMSM při uvažování bezsenzorového návrhu. Za tímto účelem byl nejdříve popsán samotný PMSM, především jeho rovnice v různých souřadných soustavách. Z těchto rovnic se pak vychází při aplikaci řídících a estimačních algoritmů v celém dalším textu. \end_layout \begin_layout Standard Dále je věnována pozornost odhadování stavových veličin. Jsou uvedeny klasické a nejčastěji používané přístupy k řešení tohoto problému. Jsou zahrnuty i injektážní techniky a na nich založené hybridní metody, které se v praxi nejvíce využívají při bezsenzorovém návrhu, zejména z důvodu jejich využitelnosti při nízkých a nulových otáčkách. \end_layout \begin_layout Standard Následující kapitola se věnuje řízení. Je popsáno obvykle využívané vektorové řízení založené na PI regulátorech a dále lineárně kvadratické řízení. Větší pozornost je věnována duálnímu řízení. Jedná se však o velmi složité a výpočetně náročné metody, proto jsou uvažovány pouze nejjednodušší možnosti. Je tomu tak především z důvodu požadavku na následné využití řízení PMSM v reálném čase. \end_layout \begin_layout Standard Vybrané algoritmy byly implementovány, otestovány a porovnány v simulacích. Jedná se o vektorové řízení, lineárně kvadratické řízení v různých souřadných soustavách, jednoduchý injektážní návrh a jednoduchý duální návrh založený na bikriteriální metodě. Jako pozorovatel byl užíván rozšířený Kalmanův filtr. Provedené simulace jsou obecně dvou druhů, některé byly provedeny na simulátoru PMSM, zbylé v programu \family typewriter Matlab \family default . \end_layout \begin_layout Standard Nejdříve byla posouzena kvalita jednotlivých algoritmů, jak dobře dokáží sledovat referenční signál. Všechny uvažované algoritmy s výjimkou jednoduchých injektáží se ukázaly srovnatelné s vektorovým řízením, které sloužilo jako referenční. Dále byly zkoumány rozdíly mezi lineárně kvadratickými řízeními v různých soustavách a jako výhodnější se zde ukazuje \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadná soustava. \end_layout \begin_layout Standard Důležitou simulací byla snaha o zjištění, jak dobře se dokáží jednotlivé metody přizpůsobit neznámému počátečnímu úhlu natočení. Zde se jednoznačně ukázaly výhody a přednosti duálních algoritmů před neduálním i. Jednoduchá injektážní metoda a především jednoduchá duální metoda zvládly nalézt správnou hodnotu daleko rychleji než neduální algoritmy využívající pouze rozšířený Kalmanův filtr. \end_layout \begin_layout Standard Hlavní závěry tohoto textu tedy jsou: \end_layout \begin_layout Standard Lineárně kvadratické řízení zvládne poskytnout stejně dobré řízení jako vektorové a lze z něj vycházet při tvorbě komplikovanějších řídících algoritmů. Je však třeba upozornit na jeho větší výpočetní náročnost. Tu lze snížit užitím verze LQ řízení s předpočítanou řídící maticí, která má ale omezený rozsah použitelnosti vzhledem k otáčkám stroje. \end_layout \begin_layout Standard Jednoduchá injektážní metoda se v současné implementaci ukazuje jako nepoužiteln á. Zejména nezvládá vyšší otáčky a má omezený interval počátečních úhlů natočení, kdy ji lze užít. \end_layout \begin_layout Standard Jednoduché duální řízení založené na bikriteriální metodě poskytuje v porovnání s ostatními velmi dobré výsledky. Je zde však ještě prostor pro vylepšení. Zejména je třeba doplnit algoritmus o detekci problému s roztočením na opačnou stranu. Dále je vhodné zkoumat možnost zmenšení parametru velikosti okoli \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset , které by bylo vhodnější pro reálnou aplikaci. Nicméně se ukazuje, že se jedná o vhodnou cestu k nalezení řešení problému bezsenzorového řízení PMSM. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage clearpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset CommandInset bibtex LatexCommand bibtex bibfiles "vyz_clanky,vyz_texty" options "bibtotoc,czechiso" \end_inset \end_layout \end_body \end_document