\section{LQ řízení}

LQ je zkratka slovního spojení linaer-quadratic, tedy lineárně kvadratický. 
Jedná se obecně o metodu, kdy je systém v diskrétním časovém kroku $t$ 
popsán vektorem proměnných $x(t) = ( x_1(t), ..., x_n(t) )$
a my můžeme nastavovat vektor parametrů $y(t) = ( y_1(t), ..., y_n(t) )$.
Metoda je popsána a použita v článku \cite{6_tuc_lq} pro nastavování časů zelených na křižovatce.
Princip přechodu z času $t$ do $t+1$ je popsán lineárním vztahem
\begin{equation}
  x(t+1) = A x(t) + B y(t)
\end{equation}
.
kde matice $A$ a $B$ jsou matice stavů a vstupů vyjadřující odezvu systému vzhledem 
k $x(t)$ a $y(t)$. Účelem LQ řízení je najít optimální hodnoty $y(t)$ v závislosti
na $x(t)$ dané zpětnovazebnou maticí $L$ vztahem 
\begin{equation}\label{eq_lq_feedback}
y(t) = -L x(t)
\end{equation}
. Optimalita je definována pomocí
kvadratického kritéria 
\begin{equation}\label{eq_quadratic_criterion}
J = \sum_{t=1}^{\infty} x(t)^t Q x(t) + y(t)^t R y(t) 
\end{equation}


, kde $Q$ a $R$ jsou diagonální pozitivně semidefinitní matice vah určující významnost jednotlivých členů kritéria.
Zpětnovazebná matice $L$ se podle \cite{6_tuc_lq} dostane minimalizací kritéria $J$ pomocí řešení
Riccatiho rovnice pro diskrétní časový krok
\begin{equation}\label{eq_riccati}
L = 
\end{equation}

\begin{equation}\label{eq_riccati_2}
P = Q + A^T ( P - P B ( R + B^T P B ) B^T P ) A
\end{equation}
, popsané například v \cite{7_lq_methods}.


\subsection{Použití LQ řízení ve strategii TUC}
LQ řízení bylo použito v \cite{6_tuc_lq} k nalezení optimální délky zelených v systému 
13-ti signálních skupin. Proměnné $x_i(t)$ zde představují obsazenost ramene $i$ 
spojující křižovatky $M$ a $N$. Účelem strategie je nalezení optimální délky zelených
$g$, $g_{N,i}$ značí délku zelené na signální skupiny křižovatky $N$ zprůjezdňující
směr do ramene $i$. Předpokládaný vztah pro přechod systému z času $t$ do času $t+1$ je
\begin{equation}\label{eq_tuc_1}
 x_i(t+1) = x_i(t) + T [ q_i(t) + s_i(t) + d_i(t) + u_i(t) ]
\end{equation}, kde proměnné značí:

\begin{itemize}
 \item $T$ - časový krok
 \item $q_i(t)$ - přírůstek vozidel z křižovatek
 \item $u_i(t)$ - úbytek vozidel do křižovatek
 \item $s_i(t)$ - přírůstek vozidel z okolí sítě
 \item $d_i(t)$ - úbytek vozidel mimo síť
\end{itemize}

Přírůstek vozidel z křižovatek je dán vztahem
\begin{equation}
 q_i(t) = \sum_{k\in I_m} t_{k,i} u_k(t)
\end{equation}
, je to tedy součet úbytků vozidel z ramen ústících do křižovatky $N$ vynásobených
koeficinety $t_{k,i}$, což jsou odbočovací poměry z ramene $k$ do ramene $i$.
V podovném tvaru se předpokládá $s_i(t)$
\begin{equation}
s_i(t) = t_{i,0} q_i(t)
\end{equation}
, kde $t_{i,0}$ je odbočovací koeficient ramene $i$ mimo sledovanou síť.
Při délce cyklu $C$, saturovaném toku $S_i$ a délce zelených $g_{N,i}(t)$ remene $i$ platí
\begin{equation}
 u_i(t) = \frac{S_i \sum g_{N,i}(t)}{C}
\end{equation}.
Rovnice \ref{eq_tuc_1} tedy přechází do tvaru
\begin{equation}\label{eq_tuc_2}
 x_i(t+1) = x_i(t) + T \left[ 
    (1-t_{i,0}) \sum_{k\in I_m} t_{k,i} \frac{S_k \sum g_{M,k}(t)}{C} 
    - \frac{S_i \sum g_{N,i}(t)}{C}
    + d_i(t) \right]
\end{equation}. Uvažujeme-li nominální hodnoty $d^n$ a $g^n$ vedoucí
vždy na stav $x^n$, platí podle rovnice \ref{eq_tuc_2} 
\begin{equation}\label{eq_tuc_nom}
 0 = T \left[ 
    (1-t_{i,0}) \sum_{k\in I_m} t_{k,i} \frac{S_k \sum g_{M,k}^n}{C} 
    - \frac{S_i \sum g_{N,i}^n}{C}
    + d_i^n \right]
\end{equation}. Označíme-li 
\begin{equation}\label{eq_delta_g}
 \Delta g(t) = g(t) - g^n
\end{equation}, můžeme psát rovnici \ref{eq_tuc_2} jako
\begin{equation}\label{eq_tuc_3}
 x_i(t+1) = x_i(t) + T \left[ 
    (1-t_{i,0}) \sum_{k\in I_m} t_{k,i} \frac{S_k \sum \Delta g_{M,k}(t)}{C} 
    - \frac{S_i \sum \Delta g_{N,i}(t)}{C}
     \right]
\end{equation}, což dovoluje tuto rovnici zapsat pomocí matic v požadovaném tvaru
\begin{equation}\label{eq_tuc_4}
 x(t+1) = A x(t) + B \Delta g(t)
\end{equation}, kde $A$ je jednotková matice. 

\subsubsection{Kvadratické kritérium}
Účelem lagoritmu je minimalizovat obsazenost ramen, tedy vektor $x(t)$
a penalizovat změnu délky trvání zelené oproti nominálním hodnotám.
Kvadratické kritérium optimálního řízení \ref{eq_quadratic_criterion} jetedy v \cite{6_tuc_lq}
definováno vztahem
\begin{equation}\label{eq_tuc_crit}
 J = \sum_{t=0}^{\infty} x^T Q x + \Delta g^T R \Delta g
\end{equation}. Diagonální matice $Q$ je zde zodpovědná za vyvažování
počtu vozidel jednotlivých úseků. V \cite{6_tuc_lq} je každý diagonální
prvek $Q_{i,i}$ matice $Q$ položen převrácené hodnotě maximálního
povoleného počtu vozidel daného úseku $i$. $R = rI$ penalizuje změnu
časů zelených. Parametr $r$ ovlivňuje míru reakce systému a ja volen metodu pokus-oprava.
Minimalizací tohoto kritéria pomcí \ref{eq_riccati} získáme zpětnovazebnou matici $L$,
která určuje $g(t)$. Z rovnic \ref{eq_lq_feedback} a \ref{eq_delta_g} dostaneme výsledný vztah
\begin{equation}\label{eq_tuc_feedback}
 g(t) = g^n - L x(t)
\end{equation}. Toto řešení předpokládá, že známe hodnotu $g^n$, při které systém
zůstává ve stavu $x^n$. Tak tomu ale většinou není. Při absenci znalosti $g^n$
podle \cite{6_tuc_lq} odečteme $g(t) - g(t-1)$ a rovnice \ref{eq_tuc_feedback} nabývá tvaru
\begin{equation}\label{eq_tuc_feedback_2}
 g(t) = g(t-1) - L( x(t) - x(t-1) )
\end{equation}.