#LyX 2.0 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 413 \begin_document \begin_header \textclass scrreprt \use_default_options true \maintain_unincluded_children false \language czech \language_package default \inputencoding auto \fontencoding global \font_roman default \font_sans default \font_typewriter default \font_default_family default \use_non_tex_fonts false \font_sc false \font_osf false \font_sf_scale 100 \font_tt_scale 100 \graphics default \default_output_format default \output_sync 0 \bibtex_command default \index_command default \paperfontsize default \spacing single \use_hyperref false \papersize default \use_geometry false \use_amsmath 1 \use_esint 1 \use_mhchem 1 \use_mathdots 1 \cite_engine basic \use_bibtopic false \use_indices false \paperorientation portrait \suppress_date false \use_refstyle 1 \index Index \shortcut idx \color #008000 \end_index \secnumdepth 2 \tocdepth 2 \paragraph_separation indent \paragraph_indentation default \quotes_language german \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \tracking_changes false \output_changes false \html_math_output 0 \html_css_as_file 0 \html_be_strict false \end_header \begin_body \begin_layout Title LQG s hyperstavem \end_layout \begin_layout Section Systém \end_layout \begin_layout Standard Jako systémem uvažujeme PMSM a předpokládáme jeho popis pomocí následujících diskrétních rovnic: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray} i_{\alpha,t+1} & = & ai_{\alpha,t}+b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t}\nonumber \\ i_{\beta,t+1} & = & ai_{\beta,t}-b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t}\label{eq:system}\\ \omega_{t+1} & = & d\omega_{t}+e\left(i_{b,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)\nonumber \\ \vartheta_{t+1} & = & \vartheta_{t}+\Delta t\omega_{t}\nonumber \end{eqnarray} \end_inset kde \begin_inset Formula $i_{\alpha\beta}$ \end_inset představují proudy v osách \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset a \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset , \begin_inset Formula $u_{\alpha\beta}$ \end_inset napětí v jednotlivých osách, \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset je hodnota otáček a \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset je poloha (úhel natočení). Konstantní na čase nezávislé parametry \begin_inset Formula $a,b,c,d,e$ \end_inset předpokládáme známé, \begin_inset Formula $\Delta t$ \end_inset je diskterizační časový krok a dolní indexy \begin_inset Formula $t$ \end_inset a \begin_inset Formula $t+1$ \end_inset představují diskrétní čas. \end_layout \begin_layout Standard Definujme stav systému v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset jako \begin_inset Formula \[ x_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T} \] \end_inset dále řízení v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset jako \begin_inset Formula \[ u_{t}=\left(u_{\alpha,t},u_{\beta,t}\right)^{T} \] \end_inset a výstup (měření) v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset jako \begin_inset Formula \[ y_{t}=\left(y_{\alpha,t},y_{\beta,t}\right)^{T} \] \end_inset příčemž význam použítých symbolů vychází z rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:system" \end_inset ). Když dále uvažujeme aditivní bílý gaussovský šum, získáme zápis systému ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray} x_{t+1} & = & f(x_{t},u_{t})+v_{t}\nonumber \\ y_{t} & = & h(x_{t})+w_{t}\label{eq:systemrovnice} \end{eqnarray} \end_inset kde \begin_inset Formula $v_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $w_{t}$ \end_inset představují náhodné veličiny s normálním rozdělením s nulovou střední hodnotou a kovariančními maticemi \begin_inset Formula $V$ \end_inset a \begin_inset Formula $W$ \end_inset v tomto pořadí a funkce \begin_inset Formula $f$ \end_inset a \begin_inset Formula $h$ \end_inset jsou definovány následovně: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray} f(x_{t},u_{t}) & = & \left(\begin{array}{c} ai_{\alpha,t}+b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t}\\ ai_{\beta,t}-b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t}\\ d\omega_{t}+e\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)\\ \vartheta_{t}+\Delta t\omega_{t} \end{array}\right)\nonumber \\ h(x_{t}) & = & \left(\begin{array}{c} i_{\alpha,t}\\ i_{\beta,t} \end{array}\right)\label{eq:systemsf} \end{eqnarray} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Redukovaný model \end_layout \begin_layout Standard Z úsporných důvodů může být někdy výhodnější namísto popisu systému uvedeného výše (dále budeme označovat jako \emph on plný model \emph default ), který vychází z rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:systemrovnice" \end_inset ) a ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:systemsf" \end_inset ) použít jeho redukovanou verzi v následujícím tvaru: \end_layout \begin_layout Standard Vektor stavu \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset bude mít jen dvě složky \begin_inset Formula \[ x_{t}=\left(\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T} \] \end_inset a pro výstup (měření) \begin_inset Formula $y_{t}$ \end_inset využijeme toho, že proudy přímo měříme (i když ne zcela přesně) \begin_inset Formula \[ y_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t}\right)^{T} \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Rovnice systému ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:systemrovnice" \end_inset ) a ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:systemsf" \end_inset ) pak zapíšeme ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray} x_{t+1} & = & f(x_{t},y_{t})+\overline{v}_{t}\nonumber \\ y_{t} & = & h(x_{t},y_{t},u_{t})+\overline{w}_{t}\label{eq:systemrovnice-reduk} \end{eqnarray} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray} f(x_{t},y_{t}) & = & \left(\begin{array}{c} d\omega_{t}+e\left(i_{b,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)\\ \vartheta_{t}+\Delta t\omega_{t} \end{array}\right)\nonumber \\ h(x_{t},y_{t},u_{t}) & = & \left(\begin{array}{c} ai_{\alpha,t}+b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t}\\ ai_{\beta,t}-b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t} \end{array}\right)\label{eq:systemsf-reduk} \end{eqnarray} \end_inset dále je pak třeba upravit kovarianční matice šumu \begin_inset Formula $V$ \end_inset a \begin_inset Formula $W$ \end_inset . Matici \begin_inset Formula $V$ \end_inset je nutno předpokládat v blokově diagonálním tvaru \begin_inset Formula \[ V=\left[\begin{array}{cc} V_{1} & 0\\ 0 & V_{2} \end{array}\right] \] \end_inset a jako nové kovarianční matice označíme \begin_inset Formula $\overline{V}=V_{2}$ \end_inset a \begin_inset Formula $\overline{W}=V_{1}+W$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Section EKF \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:EKF-popis" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Rozšířený Kalmanův filter (EKF) nahrazuje skutečný nelineární systém ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:systemrovnice" \end_inset a \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:systemsf" \end_inset případně \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:systemrovnice-reduk" \end_inset a \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:systemsf-reduk" \end_inset pro redukovaný model) lineárním \begin_inset Formula \begin{eqnarray} x_{t+1} & = & A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}+\tilde{v}_{t}\nonumber \\ y_{t} & = & C_{t}x_{t}+\tilde{w}_{t}\label{eq:linearizovany-system} \end{eqnarray} \end_inset kde do šumů \begin_inset Formula $\tilde{v}_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $\tilde{w}_{t}$ \end_inset je možno zahrnout nepřesnosti linearizece tím, že se zvětší jejich kovariance oproti původním \begin_inset Formula $v_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $w_{t}$ \end_inset respektive \begin_inset Formula $\overline{v}_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $\overline{w}_{t}$ \end_inset v případě redukovaného modelu. Ostatní označení odpovídá nelineárním rovnicím PMSM ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:systemrovnice" \end_inset a \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:systemsf" \end_inset případně \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:systemrovnice-reduk" \end_inset a \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:systemsf-reduk" \end_inset ) s tím, že matice \begin_inset Formula $A$ \end_inset , \begin_inset Formula $B$ \end_inset a \begin_inset Formula $C$ \end_inset vzniknou linearizací jako \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} A_{t} & = & \frac{\partial f(x_{t},u_{t})}{\partial x_{t}}\\ B_{t} & = & \frac{\partial f(x_{t},u_{t})}{\partial u_{t}}\\ C_{t} & = & \frac{\partial h(x_{t})}{\partial x_{t}} \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection* Matice derivací \end_layout \begin_layout Standard Konkrétně pro PMSM s funkcemi \begin_inset Formula $f$ \end_inset a \begin_inset Formula $h$ \end_inset danými vztahem ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:systemsf" \end_inset ) jsou matice \begin_inset Formula $A$ \end_inset , \begin_inset Formula $B$ \end_inset a \begin_inset Formula $C$ \end_inset následující: \begin_inset Formula \begin{eqnarray} A_{t} & = & \left[\begin{array}{cccc} a & 0 & b\sin\vartheta_{t} & b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}\\ 0 & a & -b\cos\vartheta_{t} & b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}\\ -e\sin\vartheta_{t} & e\cos\vartheta_{t} & d & -e\left(i_{\beta,t}\sin\vartheta_{t}+i_{\alpha,t}\cos\vartheta_{t}\right)\\ 0 & 0 & \Delta t & 1 \end{array}\right]\nonumber \\ B & = & \left[\begin{array}{cc} c & 0\\ 0 & c\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right]\label{eq:matice-ekf-plny-stav}\\ C & = & \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]\nonumber \end{eqnarray} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Pro redukovaný model jsou matice \begin_inset Formula $A$ \end_inset a \begin_inset Formula $C$ \end_inset ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray} A_{t} & = & \left[\begin{array}{cc} d & -e\left(i_{\beta,t}\sin\vartheta_{t}+i_{\alpha,t}\cos\vartheta_{t}\right)\\ \Delta t & 1 \end{array}\right]\nonumber \\ C_{t} & = & \left[\begin{array}{cc} b\sin\vartheta_{t} & b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}\\ -b\cos\vartheta_{t} & b\omega_{t}\sin\vartheta_{t} \end{array}\right]\label{eq:matice-ekf-red-stav} \end{eqnarray} \end_inset Matice \begin_inset Formula $B$ \end_inset pro redukovaný model uvedena není, protože pro samotný výpočet EKF není třeba a problematika lineárně kvadratického řízení pro redukovaný model bude rozebrána dále, viz část ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:LQ-řízení-pro-red-model" \end_inset ). \end_layout \begin_layout Subsubsection Rovnice EKF \end_layout \begin_layout Standard Následně lze užít algoritmu formálně shodného s klasickým Kalmanovým filtrem, kde místo lineárního systému je užit systém linearizovaný: \end_layout \begin_layout Standard \emph on predikce \emph default (time update) \begin_inset Formula \begin{eqnarray} \overline{\hat{x}}_{t} & = & f\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1}\right)\label{eq:rovnice-ekf-timeupd}\\ \overline{P}_{t} & = & A_{t-1}P_{t-1}A_{t-1}^{T}+V_{t-1}\nonumber \end{eqnarray} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \emph on korekce \emph default (data update) \begin_inset Formula \begin{eqnarray} S_{t} & = & C_{t}\overline{P}_{t}C_{t}^{T}+W_{t}\nonumber \\ K_{t} & = & \overline{P}_{t}C_{t}^{T}S_{t}^{-1}\nonumber \\ P_{t} & \text{=} & \left(I-K_{t}C_{t}\right)\overline{P}_{t}\label{eq:rovnice-ekf-dataupd}\\ \hat{y}_{t} & = & y_{t}-h(\overline{\hat{x}}_{t})\nonumber \\ \hat{x}_{t} & = & \overline{\hat{x}}_{t}+K_{t}\hat{y}_{t}\nonumber \end{eqnarray} \end_inset \end_layout \begin_layout Section Lineárně kvadratické řízení \end_layout \begin_layout Standard Tento algoritmus opět předpokládá lineární systém, kterým PMSM není. Chceme opět získat systém ve tvaru ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:linearizovany-system" \end_inset ) a je tedy nutné provést linearizaci. Nelze ale přímo použít matice získané v předchozí části ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:EKF-popis" \end_inset ) zabývající se EKF. Zde je nutné vycházet z Taylorova rozvoje a zohlednit i případné konstantní členy. Obecně pro funkci \begin_inset Formula $f(x)$ \end_inset má rozvoj do prvního řádu v nějakém bodě \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset tvar \begin_inset Formula \[ f\left(x\right)\cong f\left(x_{0}\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right) \] \end_inset kde parciální derivací \begin_inset Formula $f$ \end_inset dle \begin_inset Formula $x$ \end_inset je matice \begin_inset Formula $A$ \end_inset z předchozí části ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:EKF-popis" \end_inset ) o EKF vypočtená v bodě \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset a tedy \begin_inset Formula \[ f\left(x\right)\cong Ax+\left(f\left(x_{0}\right)-Ax_{0}\right)=Ax+\gamma \] \end_inset kde vektor \begin_inset Formula $\gamma$ \end_inset představuje konstantní člen (nezávisí na \begin_inset Formula $x$ \end_inset ) a předchozí rovnice tedy není homogenní, jak bychom potřebovali jako výsledek linearizace ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:linearizovany-system" \end_inset ). Proto tedy zvětšíme matici \begin_inset Formula $A$ \end_inset o 1 (o jeden sloupec a řádek) a stejně tak zvětšíme i stav o 1 (přidáme konstantu) a předchozí rovnici získáme ve tvaru \begin_inset Formula \[ \left(\begin{array}{c} f\left(x\right)\\ 1 \end{array}\right)\cong\overline{A}\left(\begin{array}{c} x\\ 1 \end{array}\right) \] \end_inset kde \begin_inset Formula \[ \overline{A}=\left[\begin{array}{cc} A & \left(f\left(x_{0}\right)-Ax_{0}\right)\\ 0 & 1 \end{array}\right] \] \end_inset přičemž \begin_inset Formula $0$ \end_inset zde označuje nulový řádkový vektor vhodné velikosti. Tímto postupem lze již získat požadovaný lineární popis ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:linearizovany-system" \end_inset ), který současně zohledňuje i konstantní členy. \end_layout \begin_layout Subsubsection* Matice pro LQ \end_layout \begin_layout Standard Pro případ plného stavu je matice \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset dána vztahem ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:matice-ekf-plny-stav" \end_inset ), kde jako hodnoty stavových veličin (složek vektoru \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset ) použijeme hodnoty bodu \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset , ve kterém linearizujeme. Konstantní člen \begin_inset Formula $\gamma=f\left(x_{0}\right)-A_{t}x_{0}$ \end_inset tedy vypočteme jako \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \gamma & = & \left(\begin{array}{c} -b\omega_{0}\vartheta_{0}\cos\vartheta_{0}\\ -b\omega_{0}\vartheta_{0}\sin\vartheta_{0}\\ e\vartheta_{0}\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right)\\ 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*} \end_inset kde dolní index \begin_inset Formula $0$ \end_inset neznačí nulový čas, ale bod linearizace \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset . Matice \begin_inset Formula $\overline{A}_{t}$ \end_inset vypočtená v bodě \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset (složky \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset budou opět značeny dolním indexem \begin_inset Formula $0$ \end_inset ) pak je \begin_inset Formula \[ \left[\begin{array}{ccccc} a & 0 & b\sin\vartheta_{0} & b\omega_{0}\cos\vartheta_{0} & -b\omega_{0}\vartheta_{0}\cos\vartheta_{0}\\ 0 & a & -b\cos\vartheta_{0} & b\omega_{0}\sin\vartheta_{0} & -b\omega_{0}\vartheta_{0}\sin\vartheta_{0}\\ -e\sin\vartheta_{0} & e\cos\vartheta_{0} & d & -e\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right) & e\vartheta_{0}\left(i_{b,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right)\\ 0 & 0 & \Delta t & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Matici \begin_inset Formula $B_{t}$ \end_inset derivací \begin_inset Formula $f(x_{t},u_{t})$ \end_inset dle vstupů \begin_inset Formula $u_{t}$ \end_inset lze volit konstantní a časově nezávislou ve tvaru ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:matice-ekf-plny-stav" \end_inset ), protože funkce \begin_inset Formula $f$ \end_inset je ve vstupech \begin_inset Formula $u$ \end_inset lineární. \end_layout \begin_layout Subsubsection* Ztrátová funkce \end_layout \begin_layout Standard Protože chceme využít lineárně kvadratického algoritmu, je třeba formulovat ztrátovou funkci jako aditivní a kvadratickou, obecně ve tvaru \begin_inset Formula \begin{equation} \mathrm{E}\left\{ x_{T}^{T}Q_{T}x_{T}+\sum_{t=0}^{T-1}\left(x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}\right)\right\} \label{eq:lq-kvadraticka-ztrata} \end{equation} \end_inset kde \begin_inset Formula $\mathbf{E}$ \end_inset značí očekávanou hodnotu, \begin_inset Formula $Q_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $R_{t}$ \end_inset jsou penalizační matice stavu systému (splnění požadavků řízení) a penalizace vstupů. \end_layout \begin_layout Standard Hlavním požadavkem na systém je dosažení požadované hodnoty otáček \begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$ \end_inset v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset . Výše navržená ztráta ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:lq-kvadraticka-ztrata" \end_inset ) však vede na řízení pouze na nulovou hodnotu odpovídající \begin_inset Formula $\overline{\omega}\equiv0$ \end_inset , pro řízení na nenulové požadované otáčky je třeba modifikovat stav systému a zavést substituci \begin_inset Formula \[ \psi_{t}=\omega_{t}-\overline{\omega}_{t} \] \end_inset a veličinu \begin_inset Formula $\psi$ \end_inset pak již řídíme na nulovou hodnotu. Tuto substituci, která závisí na parametru \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset , je třeba zanést do všech rovnic. Ve stavu systému veličina \begin_inset Formula $\psi_{t}$ \end_inset nahradí veličinu \begin_inset Formula $\omega_{t}$ \end_inset . Dále je třeba zahrnout i všechny konstantní členy, které v důsledku substituce vzniknou. \end_layout \begin_layout Standard Penalizační matici stavu systému v ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:lq-kvadraticka-ztrata" \end_inset ) budeme uvažovat nezávislou na čase \begin_inset Formula $Q_{t}=Q$ \end_inset pro všechna \begin_inset Formula $t$ \end_inset a ve tvaru \begin_inset Formula \begin{equation} Q=\left[\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & q & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\label{eq:matice-Q-lq} \end{equation} \end_inset kde \begin_inset Formula $q$ \end_inset je pevně zvolená konstanta a matice \begin_inset Formula $Q$ \end_inset má již rozměr 5x5, protože byl stav rozšířen o konstantní člen v důsledku linearizace. Koncovou matici \begin_inset Formula $Q_{T}$ \end_inset budeme uvažovat nulovou. \end_layout \begin_layout Standard Dalším požadavkem je omezení na napětí -- vstupy do systému, vyjádřené pomocí maximálního napětí \begin_inset Formula $U_{max}$ \end_inset , které je schopen poskytnout napájecí zdroj. Toto omezení můžeme zasat jako \begin_inset Formula \begin{equation} \left\Vert u_{t}\right\Vert \leq U_{max}\label{eq:omezeni} \end{equation} \end_inset případně jako omezení na každou složku vektoru \begin_inset Formula $u_{t}$ \end_inset zvlášť. Tento požadavek nelze přímo zapsat jako kvadratickou funkci a proto je třeba vhodně zvolit matici \begin_inset Formula $R_{t}$ \end_inset v ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:lq-kvadraticka-ztrata" \end_inset ) aby dostatečně penalizovala příliš velké hodnoty řízení \begin_inset Formula $u_{t}$ \end_inset a dále počítat s tím, že při přesažení hodnoty \begin_inset Formula $U_{max}$ \end_inset dojde k ořezu. Penalizační matici řízení opět volíme nezávislou na čase, tj. \begin_inset Formula $R_{t}=R$ \end_inset pro všechna \begin_inset Formula $t$ \end_inset , a ve tvaru \begin_inset Formula \[ R=\left[\begin{array}{cc} r & 0\\ 0 & r \end{array}\right] \] \end_inset kde \begin_inset Formula $r$ \end_inset je zvolená konstanta. \end_layout \begin_layout Subsubsection* Substituované rovnice \end_layout \begin_layout Standard V důsledku substituce \begin_inset Formula $\psi_{t}=\omega_{t}-\overline{\omega}_{t}$ \end_inset se rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:system" \end_inset ) změní na \begin_inset Formula \begin{eqnarray} i_{\alpha,t+1} & = & ai_{\alpha,t}+b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t}\nonumber \\ i_{\beta,t+1} & = & ai_{\beta,t}-b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t}\label{eq:system-s-psi}\\ \psi_{t+1} & = & d\psi_{t}+e\left(i_{b,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)\nonumber \\ \vartheta_{t+1} & = & \vartheta_{t}+\Delta t\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\nonumber \end{eqnarray} \end_inset předpokládáme-li, že pro pro požadované otáčky \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset platí \begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t+1}=d\overline{\omega}_{t}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Derivováním těchto rovnic dle nového stavu (substituovaného) \begin_inset Formula $\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\psi_{t},\vartheta_{t}\right)^{T}$ \end_inset získáme matici \begin_inset Formula \[ A_{t}=\left[\begin{array}{cccc} a & 0 & b\sin\vartheta_{t} & b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\cos\vartheta_{t}\\ 0 & a & -b\cos\vartheta_{t} & b\left(\psi_{t}+\overline{\omega}_{t}\right)\sin\vartheta_{t}\\ -e\sin\vartheta_{t} & e\cos\vartheta_{t} & d & -e\left(i_{\beta,t}\sin\vartheta_{t}+i_{\alpha,t}\cos\vartheta_{t}\right)\\ 0 & 0 & \Delta t & 1 \end{array}\right] \] \end_inset která je hodnotově stejná s maticí \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset získanou na základě původního nesubstituovaného stavu (tj. s \begin_inset Formula $x^{(3)}=\omega$ \end_inset ). \end_layout \begin_layout Standard Konstantní člen \begin_inset Formula $\gamma=f\left(x_{0}\right)-A_{t}x_{0}$ \end_inset je však již jiný a závisí na hodnotě \begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$ \end_inset , která do něj vstupuje jako časově proměnný parametr. \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \gamma_{\overline{\omega}_{t}} & = & \left(\begin{array}{c} -b\omega_{0}\vartheta_{0}\cos\vartheta_{0}+b\overline{\omega}_{t}\sin\vartheta_{0}\\ -b\omega_{0}\vartheta_{0}\sin\vartheta_{0}-b\overline{\omega}_{t}\cos\vartheta_{0}\\ e\vartheta_{0}\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right)\\ \Delta t\overline{\omega}_{t} \end{array}\right) \end{eqnarray*} \end_inset Výsledná matice \begin_inset Formula $\overline{A}_{t}$ \end_inset je pak ve tvaru \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \[ \left[\begin{array}{ccccc} a & 0 & b\sin\vartheta_{0} & b\omega_{0}\cos\vartheta_{0} & -b\omega_{0}\vartheta_{0}\cos\vartheta_{0}+b\overline{\omega}_{t}\sin\vartheta_{0}\\ 0 & a & -b\cos\vartheta_{0} & b\omega_{0}\sin\vartheta_{0} & -b\omega_{0}\vartheta_{0}\sin\vartheta_{0}-b\overline{\omega}_{t}\cos\vartheta_{0}\\ -e\sin\vartheta_{0} & e\cos\vartheta_{0} & d & -e\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right) & e\vartheta_{0}\left(i_{\beta,0}\sin\vartheta_{0}+i_{\alpha,0}\cos\vartheta_{0}\right)\\ 0 & 0 & \Delta t & 1 & \Delta t\overline{\omega}_{t}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \] \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection* Bellmanova funkce \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:BellmanDP" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Cílem úlohy je minimalizovat ztrátovou funkci ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:lq-kvadraticka-ztrata" \end_inset ). Klasickým postupem pro řešení této úlohy je užítí Bellmanovy funkce a algoritmu dynamického programování: \end_layout \begin_layout Standard V koncovém čase \begin_inset Formula $T$ \end_inset položíme \begin_inset Formula \begin{equation} V_{T}\left(x_{T}\right)=0\label{eq:bellVkonec} \end{equation} \end_inset a dále počítáme zpět v čase \begin_inset Formula \begin{equation} V_{t-1}\left(x_{t-1},u_{t-1}\right)=\min_{u_{t-1}}\mathrm{E}\left\{ x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \label{eq:bellVrek} \end{equation} \end_inset pro \begin_inset Formula $t$ \end_inset od \begin_inset Formula $T-1$ \end_inset do \begin_inset Formula $1$ \end_inset , kde střední hodnota je podmíněna \begin_inset Formula $\mathcal{I}_{t}$ \end_inset , které reprezentuje současně dostupnou informaci o systému zahrnující všechna měření a řídící vstupy do času \begin_inset Formula $t$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Uvažovanou kvadratickou ztrátu za jeden časový krok \begin_inset Formula \[ x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t} \] \end_inset pří konkrétní volbě matice \begin_inset Formula $Q$ \end_inset ve tvaru ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:matice-Q-lq" \end_inset ) přejde na \begin_inset Formula \[ q\left(x_{t}^{(3)}-\overline{\omega}_{t}\right)+u_{t}^{T}R_{t}u_{t} \] \end_inset kde horní index v závorce značí složku vektoru. Pak je možno rovnici ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:bellVrek" \end_inset ) dále zjednodušit \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray} V_{t-1}\left(x_{t-1},u_{t-1}\right) & \text{=} & \min_{u_{t-1}}\mathrm{E}\left\{ x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \nonumber \\ & = & \min_{u_{t-1}}\left(\mathrm{E}\left\{ q\left(x_{t}^{(3)}-\overline{\omega}_{t}\right)\right\} +\mathrm{E}\left\{ u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \right)\nonumber \\ & \text{=} & \min_{u_{t-1}}\left(q\mathrm{E}\left\{ \left(x_{t}^{(3)}\right)^{2}+\overline{\omega}_{t}^{2}+2x_{t}^{(3)}\overline{\omega}_{t}\right\} +\mathrm{E}\left\{ u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \right)\label{eq:eq:bellman-sPome}\\ & = & \min_{u_{t-1}}\left(q\left(\mathrm{E}\left\{ \left(x_{t}^{(3)}\right)^{2}\right\} +\mathrm{E}\left\{ \overline{\omega}_{t}^{2}\right\} +\mathrm{E}\left\{ 2x_{t}^{(3)}\overline{\omega}_{t}\right\} \right)+\mathrm{E}\left\{ u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \right)\nonumber \\ & = & \min_{u_{t-1}}\left(q\left(\left(\hat{x}_{t}^{(3)}\right)^{2}+\mathrm{Var}\left(x_{t}^{(3)}\right)+\overline{\omega}_{t}^{2}+2\hat{x}_{t}^{(3)}\overline{\omega}_{t}\right)+\mathrm{E}\left\{ u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \right)\nonumber \\ & = & \min_{u_{t-1}}\left(q\left(\hat{x}_{t}^{(3)}-\overline{\omega}_{t}\right)+q\mathrm{Var}\left(x_{t}^{(3)}\right)+\mathrm{E}\left\{ u_{t}^{T}R_{t}u_{t}+V_{t}\left(x_{t},u_{t}\right)\mid\mathcal{I}_{t}\right\} \right)\nonumber \end{eqnarray} \end_inset kde \begin_inset Formula $\hat{x}$ \end_inset označuje střední hodnotu \begin_inset Formula $x$ \end_inset a dále jsme využili toho, že \begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$ \end_inset je daný parametr a tedy je pro výpočet střední hodnoty konstantou a vztahu \begin_inset Formula $\mathrm{Var}\left(x\right)=\mathrm{E}\left\{ x^{2}\right\} -\left(\mathrm{E}\left\{ x\right\} \right)^{2}$ \end_inset . Tedy ve výpočtu Bellmanovy funkce \begin_inset Formula $V$ \end_inset v rovnici ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:bellVrek" \end_inset ) můžeme náhodnou veličinu \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset nahradit její střední hodnotou \begin_inset Formula $\hat{x}_{t}$ \end_inset , když navíc zahrneme do rovnice varianci třetí složky \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset , tj. varianci otáček stroje. \end_layout \begin_layout Subsubsection* Výpočet lineárně kvadratického řízení \end_layout \begin_layout Standard Pro samotný výpočet lineárně kvadratického řízení je užito následujících rovnic \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} K_{T} & = & Q_{T}\\ K_{t} & = & A_{t}^{T}\left(K_{t+1}-K_{t+1}B_{t}\left(B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}+R_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}\right)A_{t}+Q_{t}\\ L_{t} & = & -\left(B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}+R_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}A_{t}\\ u_{t} & = & L_{t}x_{t} \end{eqnarray*} \end_inset Tyto rovnice by měly být napočítávány v čase zpět (od koncového času) až do aktuálního času. Protože ale systém vznikl linearizací v nějakém reprezentativním bodě, který se s vývojem systému mění, je třeba celý výpočet znovu provést v každém časovém kroku. Proto je výhodnější si výpočet usnadnit například využitím ubíhajícího horizontu. \end_layout \begin_layout Standard Při výpočtu řízení \begin_inset Formula $u_{t}$ \end_inset pomocí matice \begin_inset Formula $L_{t}$ \end_inset je třeba dosadit za vektor \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset správné hodnoty, konkrétně v důsledku nenulové požadované hodnoty \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset za třetí složku vektoru \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset není dosazena hodnota \begin_inset Formula $\omega_{t}$ \end_inset , ale substituovaná \begin_inset Formula $\psi_{t}=\omega_{t}-\overline{\omega}_{t}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Předchozí výpočet pomocí Riccatiho rovnice však není příliš vhodným z numerickýc h důvodů ( \series bold nějaká reference \series default ). Místo něj pro praktické výpočty použijeme algoritmus lineárně kvadratického řízení založený na QR rozkladu ( \series bold reference \series default ). Tento algoritmus má lepší numerické vlastnosti, umožňuje snadnější výpočet maticové inverze (inverze pouze trojúhelníkové matice) a lze pomocí něj implementovat i složitější kvadratickou ztrátovou funkci (nejen dva členy pro penalizaci stavu a vstupů). \end_layout \begin_layout Standard Postup je založen na přepisu kvadratické ztráty do tvaru \begin_inset Formula \[ x_{t+1}^{T}Q_{t}x_{t+1}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}=x_{t+1}^{T}\sqrt{Q_{t}}^{T}\sqrt{Q_{t}}x_{t+1}+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t} \] \end_inset kde \begin_inset Formula $\sqrt{}$ \end_inset je vhodná maticová odmocnina. A tedy v každém časovém kroku \begin_inset Formula $t$ \end_inset minimalizujeme funkci \begin_inset Formula \[ x_{t+1}^{T}\sqrt{Q_{t}}^{T}\sqrt{Q_{t}}x_{t+1}+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t}+x_{t+1}^{T}\sqrt{S_{t}}^{T}\sqrt{S_{t}}x_{t+1} \] \end_inset kde \begin_inset Formula $S_{t}$ \end_inset reprezentuje ztrátu v následujících časových krocích až do konce časového horizontu. Do tohoto kvadratického výrazu je možno dostadit model vývoje pro \begin_inset Formula $x_{t+1}=A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}$ \end_inset \begin_inset Formula \[ \left(Ax_{t}+B_{t}u_{t}\right)^{T}\sqrt{Q_{t}}\sqrt{Q_{t}}\left(Ax_{t}+B_{t}u_{t}\right)+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t}+\left(Ax_{t}+B_{t}u_{t}\right)^{T}\sqrt{S_{t}}^{T}\sqrt{S_{t}}\left(Ax_{t}+B_{t}u_{t}\right) \] \end_inset a následně jej zapsat maticově ve tvaru \begin_inset Formula \[ \left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right)^{T}\left[\begin{array}{cc} \sqrt{Q_{t}}B_{t} & \sqrt{Q_{t}}A_{t}\\ \sqrt{R_{t}} & 0\\ \sqrt{S_{t}}B_{t} & \sqrt{S_{t}}A_{t} \end{array}\right]^{T}\underset{Z}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc} \sqrt{Q_{t}}B_{t} & \sqrt{Q_{t}}A_{t}\\ \sqrt{R_{t}} & 0\\ \sqrt{S_{t}}B_{t} & \sqrt{S_{t}}A_{t} \end{array}\right]}}\left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right) \] \end_inset na matici \begin_inset Formula $Z$ \end_inset následně aplikujeme QR rozklad, to jest \begin_inset Formula $Z=Q_{Z}R_{Z}$ \end_inset a předchozí vztah upravíme na tvar \begin_inset Formula \[ \left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right)^{T}Z^{T}Z\left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}Q_{Z}^{T}Q_{Z}R_{Z}\left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}R_{Z}\left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right) \] \end_inset Matice \begin_inset Formula $R_{Z}$ \end_inset je v horním trojúhelníkovém tvaru, tedy blokově zapsáno \begin_inset Formula \[ R_{Z}=\left[\begin{array}{cc} R_{uu} & R_{ux}\\ 0 & R_{xx} \end{array}\right] \] \end_inset Ztrátu nyní můžeme zapsat jako \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}R_{Z}\left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right) & = & \left(\begin{array}{c} R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\\ R_{xx}x_{t} \end{array}\right)^{T}\left(\begin{array}{c} R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\\ R_{xx}x_{t} \end{array}\right)\\ & = & \left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)^{T}\left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)+x_{t}^{T}R_{xx}^{T}R_{xx}x_{t} \end{eqnarray*} \end_inset kterou, vzhledem k její kvadratičnosti a nezávislosti druhého členu na \begin_inset Formula $u_{t}$ \end_inset , zřejmě minimalizujeme volbou \begin_inset Formula $u_{t}$ \end_inset takovou, že \begin_inset Formula $\left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)=0$ \end_inset a tedy volíme \begin_inset Formula \[ u_{t}=-R_{uu}^{-1}R_{ux}x_{t} \] \end_inset Matici \begin_inset Formula $R_{xx}^{T}R_{xx}$ \end_inset pak použijeme do předchozího časového kroku jako novou matici \begin_inset Formula $S$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection LQ řízení pro redukovaný model \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:LQ-řízení-pro-red-model" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Pro redukovaný systém samozřejmě platí vše uvedené v předchozím odstavci, řízení je ale komplikovanější, protože ve funkci popisující vývoj systému explicitně nevystupuje řízení \begin_inset Formula $u_{t}$ \end_inset . Je tedy třeba vhodným způsobem tento problém vyřešit. Jednou z možností je zřetězení dvou LQ regulátory. V prvním kroku považovat za řízení proudy \begin_inset Formula $i_{\alpha,\beta}$ \end_inset a tedy tento první regulátor by na výstupu generoval požadované proudy \begin_inset Formula $\overline{i}_{\alpha,\beta}$ \end_inset . Druhý regulátor by pak na základě rovnic pro vývoj proudů a referenčních hodnot proudů \begin_inset Formula $\overline{i}_{\alpha,\beta}$ \end_inset nalezl řízení \begin_inset Formula $u_{\alpha,\beta}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection* Matice pro redukovaný model \end_layout \begin_layout Standard Protože ve funkci \begin_inset Formula $f\left(x_{t},y_{t}\right)$ \end_inset v rovnicích ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:systemrovnice-reduk" \end_inset ) a ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:systemsf-reduk" \end_inset ) explicitně nevystupuje řízení \begin_inset Formula $u_{t}$ \end_inset , je třeba zvolit trochu odlišný přístup, než pro plný model. Řízení budeme navrhovat ve dvou krocích. V prvním kroku budeme předpokládat, že vstupem jsou proudy \begin_inset Formula $i_{\alpha\beta}$ \end_inset a lineárně kvadratický algoritmus bude na svém výstupu produkovat požadované hodnoty těchto proudů \begin_inset Formula $\overline{i}_{\alpha\beta}$ \end_inset . V dalším kroku druhý lineárně kvadratický algoritmus na základě požadovaných proudů \begin_inset Formula $\overline{i}_{\alpha\beta}$ \end_inset již navrhne hodnotu napětí \begin_inset Formula $u_{\alpha\beta}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dále provedeme ještě drobné zjednodušení a funkci \begin_inset Formula $f\left(x_{t},y_{t}\right)$ \end_inset rozdělíme na dvě části \begin_inset Formula \[ f\left(x_{t},y_{t}\right)=\left(\begin{array}{c} d\omega_{t}\\ \vartheta_{t}+\Delta t\omega_{t} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} e\left(i_{b,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)\\ 0 \end{array}\right) \] \end_inset Matici \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset pak položíme rovnou první maticí první, lineární, části systému \begin_inset Formula \[ A=\left[\begin{array}{cc} d & 0\\ \Delta t & 1 \end{array}\right] \] \end_inset a matici \begin_inset Formula $B_{t}$ \end_inset pak získáme linearizací druhé části jako \begin_inset Formula \[ B_{t}=\left[\begin{array}{cc} -e\sin\vartheta_{t} & e\cos\vartheta_{t}\\ 0 & 0 \end{array}\right] \] \end_inset Tento postup neodpovídá přesně postupu odvození derivací užitému pro plný stav. Jeho výhodou však je, že již není třeba přidávat konstantní členy jako důsledek linearizace. Snadněji se také zahrne požadavek na nenulovou referenční hodnotu \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset . Následně je užito lineárně kvadratického algoritmu s výše popsanými maticemi. \end_layout \begin_layout Standard Ve druhém kroku pak na základě referenčních hodnot proudů \begin_inset Formula $\overline{i}_{\alpha\beta}$ \end_inset nalezneme požadované řízení \begin_inset Formula $u_{\alpha\beta}$ \end_inset . Využijeme k tomu rovnic pro funkci \begin_inset Formula $h(x_{t},y_{t},u_{t})$ \end_inset viz ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:systemsf-reduk" \end_inset ) \begin_inset Formula \[ h(x_{t},y_{t},u_{t})=\left(\begin{array}{c} ai_{\alpha,t}+b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t}\\ ai_{\beta,t}-b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t} \end{array}\right) \] \end_inset které jsou v proudech \begin_inset Formula $i_{\alpha\beta}$ \end_inset i napětích \begin_inset Formula $u_{\alpha\beta}$ \end_inset lineární a lze opět použít lineárně kvadratický algoritmus. Členy \begin_inset Formula $\pm b\omega_{t}\begin{array}{c} \sin\\ \cos \end{array}\vartheta_{t}$ \end_inset zde pak vystupují jako konstanty a projeví se jako korekce vynásobená konstanto u \begin_inset Formula $\frac{1}{c}$ \end_inset odečtená od výsledku. \end_layout \begin_layout Section LQG s hyperstavem \end_layout \begin_layout Standard Následující postup s hyperstavem vychází s článku (Kim2006) [Stochastic Feedback Controller Design Considering the Dual Effect, Kim J., Rock S. M., 2006]. V tomto článku je však narozdíl od následujícího postupu používán spojitý čas. \end_layout \begin_layout Standard Jedná se o analogii s LQG v předchozí části, s tím rozdílem, že použijem EKF algoritmus v jistém smyslu jakoby dvakrát. Protože tímto přístupem již značně narůstá dimenzionalita úlohy je z výpočetníc h důvodů výhodnější užití redukovaného modelu, i přes komplikace, které způsobuje při řízení. \end_layout \begin_layout Subsubsection* Hyperstav \end_layout \begin_layout Standard Vyjdeme z redukovaného stavu \begin_inset Formula \[ x_{t}=\left(\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T} \] \end_inset a na něj formálně aplikujeme EKF. Tím získáme, kromě odhadu stavu \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset i odhad jeho variance v podobě matice \begin_inset Formula \[ P=\left[\begin{array}{cc} P_{\omega} & P_{\omega\vartheta}\\ P_{\omega\vartheta} & P_{\vartheta} \end{array}\right] \] \end_inset a současně rovnice EKF ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-ekf-timeupd" \end_inset ) a ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-ekf-dataupd" \end_inset ) představují předpis pro výpočet \begin_inset Formula $P$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray} \overline{P} & = & APA^{T}+V\nonumber \\ S & = & C\overline{P}C^{T}+W\nonumber \\ K & = & \overline{P}C^{T}S^{-1}\label{eq:ekf-stav}\\ P^{+} & \text{=} & \left(I-KC\right)\overline{P}\nonumber \end{eqnarray} \end_inset kde jsou z důvodu jednoduššího zápisu vynechány časové indexy \begin_inset Formula $t$ \end_inset a místo nic je užit horní index \begin_inset Formula $+$ \end_inset pro hodnotu v následujícím čase \begin_inset Formula $t+1$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Nyní definujeme \emph on hyperstav \emph default \begin_inset Formula $\xi_{t}$ \end_inset v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset jako \begin_inset Formula \[ \xi_{t}=\left(\omega_{t},\vartheta_{t},P_{\omega},P_{\omega\vartheta},P_{\vartheta}\right)^{T} \] \end_inset Na hyperstav již aplikujeme algoritmus pro LQG, jak byl popsán v předchozí části. Problém však představuje nalezení matice derivací \begin_inset Formula $A$ \end_inset , protože je třeba derivovat maticové rovnice pro výpočet EKF ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:ekf-stav" \end_inset ) pro stavu \begin_inset Formula $x$ \end_inset . Jedním ze způsobů jak je to možné provést je derivovat každou z rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:ekf-stav" \end_inset ) dle jednotlivých složek vektoru \begin_inset Formula $\xi$ \end_inset : \begin_inset Formula \begin{eqnarray} \frac{\partial\overline{P}}{\partial\xi_{i}} & = & \frac{\partial A}{\partial\xi_{i}}PA^{T}+A\frac{\partial P}{\partial\xi_{i}}A^{T}+AP\frac{\partial A^{T}}{\partial\xi_{i}}\nonumber \\ \frac{\partial S}{\partial\xi_{i}} & = & \frac{\partial C}{\partial\xi_{i}}\overline{P}C^{T}+C\frac{\partial\overline{P}}{\partial\xi_{i}}C^{T}+C\overline{P}\frac{\partial C^{T}}{\partial\xi_{i}}\nonumber \\ \frac{\partial K}{\partial\xi_{i}} & = & \frac{\partial\overline{P}}{\partial\xi_{i}}C^{T}S^{-1}+\overline{P}\frac{\partial C^{T}}{\partial\xi_{i}}S^{-1}-\overline{P}C^{T}S^{-1}\frac{\partial S}{\partial\xi_{i}}S^{-1}\label{eq:ekf-stav-derivace}\\ \frac{\partial P^{+}}{\partial\xi_{i}} & \text{=} & \frac{\partial\overline{P}}{\partial\xi_{i}}-\frac{\partial K}{\partial\xi_{i}}C\overline{P}-K\frac{\partial C}{\partial\xi_{i}}\overline{P}-KC\frac{\partial\overline{P}}{\partial\xi_{i}}\nonumber \end{eqnarray} \end_inset kde \begin_inset Formula $\frac{\partial}{\partial\xi_{i}}$ \end_inset představuje zápis derivace dle \begin_inset Formula $i$ \end_inset -té složky vektoru \begin_inset Formula $\xi$ \end_inset a matice \begin_inset Formula $V$ \end_inset a \begin_inset Formula $W$ \end_inset uvažujeme jako konstanty v \begin_inset Formula $\xi$ \end_inset . Matice linearizovaného vývoje hyperstavu \begin_inset Formula $A_{hyp}$ \end_inset bude mít nyní blokový tvar \begin_inset Formula \[ A_{hyp}=\left[\begin{array}{ccccc} A_{1} & A_{2} & 0 & 0 & 0\\ \left(\frac{\partial P^{+}}{\partial\omega}\right)^{sl} & \left(\frac{\partial P^{+}}{\partial\vartheta}\right)^{sl} & \left(\frac{\partial P^{+}}{\partial P_{\omega}}\right)^{sl} & \left(\frac{\partial P^{+}}{\partial P_{\omega\vartheta}}\right)^{sl} & \left(\frac{\partial P^{+}}{\partial P_{\vartheta}}\right)^{sl} \end{array}\right] \] \end_inset kde \begin_inset Formula $A_{i}$ \end_inset představuje \begin_inset Formula $i$ \end_inset -tý sloupec matice \begin_inset Formula $A$ \end_inset , zápis \begin_inset Formula $0$ \end_inset je sloupec nul vhodné délky a parciální derivace \begin_inset Formula $P^{+}$ \end_inset dle složky \begin_inset Formula $\xi_{i}$ \end_inset v závorce s horním indexem \emph on sl \emph default \begin_inset Formula $\left(\frac{\partial P^{+}}{\partial\xi_{i}}\right)^{sl}$ \end_inset je myšlena v tom smyslu, že po vypočtení příslušné derivace \begin_inset Formula $\frac{\partial P^{+}}{\partial\xi_{i}}$ \end_inset z rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:ekf-stav-derivace" \end_inset ) jsou z této matice vybrány 3 z jejích 4 prvků tvořící horní nebo dolní trojúhelník a zapísány je ve smyslu tvorby vektoru hyperstavu do sloupce: \begin_inset Formula \[ \frac{\partial P^{+}}{\partial\xi_{i}}=\left[\begin{array}{cc} \frac{\partial P_{\omega}^{+}}{\partial\xi_{i}} & \frac{\partial P_{\omega\vartheta}^{+}}{\partial\xi_{i}}\\ \frac{\partial P_{\omega\vartheta}^{+}}{\partial\xi_{i}} & \frac{\partial P_{\vartheta}^{+}}{\partial\xi_{i}} \end{array}\right] \] \end_inset \begin_inset Formula \[ \left(\frac{\partial P^{+}}{\partial\xi_{i}}\right)^{sl}=\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial P_{\omega}^{+}}{\partial\xi_{i}} & \frac{\partial P_{\omega\vartheta}^{+}}{\partial\xi_{i}} & \frac{\partial P_{\vartheta}^{+}}{\partial\xi_{i}}\end{array}\right)^{T} \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Matici \begin_inset Formula $A_{hyp}$ \end_inset vzniklou předchozím postupem již můžeme použít v algoritmu EKF pro hyperstav. Jako matici pozorování \begin_inset Formula $C_{hyp}$ \end_inset použijeme původní matici \begin_inset Formula $C$ \end_inset pouze doplněnou nulami na vhodný rozměr. Pro lineárně kvadratické řízení platí opět totéž, co pro jednoduché (tj. bez hyperstavu) a matici \begin_inset Formula $A_{hyp}$ \end_inset je tedy třeba rozšířit zahrnutím konstantních členů, dále je třeba ošetřit substitucí řízení na nenulové požadované otáčky \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Protože uvažujeme redukovaný model je třeba užít zřetězení dvou LQ regulátorů. Výhodou využití hyperstavu ale je, že máme k dispozici i odhady variancí \begin_inset Formula $P$ \end_inset původního stavu a tedy je možno zahrnout do kritéria například penalizaci \begin_inset Formula $P_{\omega}$ \end_inset , která vystupuje v Bellmanově funkci viz vzorec ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:eq:bellman-sPome" \end_inset ). \end_layout \begin_layout Subsubsection* Plný model \end_layout \begin_layout Standard Analogicky lze postupovat i pro plný model, všechny odpovídající matice však budou podstatně větší, protože velikost hyperstavu narůstá řádově kvadraticky. \end_layout \begin_layout Standard Tedy pro stav \begin_inset Formula \[ x_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T} \] \end_inset vypočteme z EKF kovarianční matici \begin_inset Formula \[ P=\left[\begin{array}{cccc} P_{5} & P_{6} & P_{8} & P_{11}\\ P_{6} & P_{7} & P_{9} & P_{12}\\ P_{8} & P_{9} & P_{10} & P_{13}\\ P_{11} & P_{12} & P_{13} & P_{14} \end{array}\right] \] \end_inset a definujeme \emph on hyperstav \emph default \begin_inset Formula $\xi_{t}$ \end_inset v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset jako \begin_inset Formula \[ \xi_{t}=\left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\omega_{t},\vartheta_{t},P_{5},P_{6},P_{7},P_{8},P_{9},P_{10},P_{11},P_{12},P_{13},P_{14}\right)^{T} \] \end_inset Rovnice pro výpočet matice \begin_inset Formula $P$ \end_inset , a tedy i jejích prvků \begin_inset Formula $P_{i}$ \end_inset , jsou formálně shodné s rovnicemi pro redukovaný model, pouze rozměry vystupují cích matic jsou větší. A matice \begin_inset Formula $A_{hyp}$ \end_inset je ve tvaru \begin_inset Formula \[ A_{hyp}=\left[\begin{array}{c} \begin{split}A\quad & \quad0\end{split} \\ \left(\frac{\partial P^{+}}{\partial P_{i}}\right)_{i\in\left\{ 1\ldots14\right\} }^{sl} \end{array}\right] \] \end_inset \end_layout \begin_layout Section Experimenty \end_layout \begin_layout Subsection* Použité nastavení experimentů \end_layout \begin_layout Standard Pro simulování chování PMSM byly použity dva typy simulátorů. Prvním byla pouze jednoduchá implementace rovnic popisujících PMSM. Druhou testovanou možností bylo využití simulátoru PMSM ( \series bold reference \series default ). \end_layout \begin_layout Standard Testování probíhalo na horizontu 120000 časových vzorků, což odpovídá 15 \emph on s \emph default . Ve všech případech byly užity odhadovací a řídící algoritmy předpokládající stejnou indukčnost v osách \emph on d \emph default a \emph on q \emph default . ( \emph on pro různé indukčnosti jsou složitější rovnice, tedy mnohem složitější matice derivací a velmi těžko se napočítávají kompenzace v důsledku konstantních členů \emph default ). Testování probíhalo na různých profilech požadovaných (referenčních) otáček: \end_layout \begin_layout Description ( \begin_inset Formula $0$ \end_inset ) nulové požadované otáčky pro všechna \begin_inset Formula $t$ \end_inset \end_layout \begin_layout Description ( \begin_inset Formula $\pm1$ \end_inset ) trojúhelníkové pulzy v rozmezí \begin_inset Formula $\pm1$ \end_inset \end_layout \begin_layout Description ( \begin_inset Formula $\pm10$ \end_inset ) trojúhelníkové pulzy v rozmezí \begin_inset Formula $\pm10$ \end_inset \end_layout \begin_layout Description ( \begin_inset Formula $\pm200$ \end_inset ) trojúhelníkové pulzy v rozmezí \begin_inset Formula $\pm200$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dále pak byl testován i vliv špatného počátečního odhadu polohy (úhlu natočení) \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Při použití simulátoru PMSM se velmi často vyskytovaly nedostatky způsobené úbytky napětí, proto byla testována i verze upraveného simulátoru, která se snažila úbytky kompenzovat. \end_layout \begin_layout Standard Testovány byly celkem čtyři různé modely: redukovaný model s hyperstavem i bez něj a plný model s hyperstavem a bez něj. \end_layout \begin_layout Subsection* Jednoduchý simulátor PMSM na základě rovnic \end_layout \begin_layout Standard Průběhy otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a polohy \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset pro simulace na jednoduchém simulátoru zachycují grafy na obrázcích ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig_grafym_ref0" \end_inset ), ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig_grafym_ref1" \end_inset ), ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig_grafym_ref10" \end_inset ) a ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig_grafym_ref200" \end_inset ). \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/pm2r0s1.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/pm2r0s2.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 1 -- redukovaný model \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2 -- redukovaný model s hyperstavem \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/pm2r0s3.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/pm2r0s4.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3 -- plný model \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 4 -- plný model s hyperstavem \end_layout \end_inset \end_inset \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Průběhy otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a polohy \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset pro simulace na jednoduchém simulátoru s nulovými požadovanými otáčkami \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig_grafym_ref0" \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/pm2r1s1.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/pm2r1s2.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 1 -- redukovaný model \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2 -- redukovaný model s hyperstavem \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/pm2r1s3.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/pm2r1s4.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3 -- plný model \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 4 -- plný model s hyperstavem \end_layout \end_inset \end_inset \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Průběhy otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a polohy \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset pro simulace na jednoduchém simulátoru s profilem požadovaných otáček \begin_inset Formula $\pm1$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig_grafym_ref1" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/pm2r10s1.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/pm2r10s2.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 1 -- redukovaný model \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2 -- redukovaný model s hyperstavem \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/pm2r10s3.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/pm2r10s4.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3 -- plný model \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 4 -- plný model s hyperstavem \end_layout \end_inset \end_inset \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Průběhy otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a polohy \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset pro simulace na jednoduchém simulátoru s profilem požadovaných otáček \begin_inset Formula $\pm10$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig_grafym_ref10" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/pm2r200s1.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/pm2r200s2.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 1 -- redukovaný model \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2 -- redukovaný model s hyperstavem \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/pm2r200s3.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/pm2r200s4.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3 -- plný model \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 4 -- plný model s hyperstavem \end_layout \end_inset \end_inset \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Průběhy otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a polohy \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset pro simulace na jednoduchém simulátoru s profilem požadovaných otáček \begin_inset Formula $\pm200$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig_grafym_ref200" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Následující tabulka shrnuje dosažené průměrné ztráty (z 10 běhů) pro jednotlivé modely a profily referenčních otáček na jednoduchém simulátoru. Jako ztráty jsou zde uvažovány pouze součty kvadrátů odchylek požadovaných a skutečných otáček. \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold použitý model \backslash požadované otáčky \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $0$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\pm1$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\pm10$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\pm200$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 1 -- redukovaný model \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2611 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2731 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 28640 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 10815000 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2 -- redukovaný model s hyperstavem \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2377 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2480 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3070 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 439740 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3 -- plný model \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3579 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3163 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 4268 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 11168 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 4 -- plný model s hyperstavem \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3240 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3797 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3389 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 61902 \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Z této tabulky je patrné, že pro redukovaný model dosahuje verze s hyperstavem nižší ztráty, což je více patrné zvláště při vyšších otáčkách. Naproti tomu nelze říci, že by verze s hyperstavem byla lepší pro plný model. Výhoda užití hyperstavu se však projeví, když máme špatný počáteční odhad polohy \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset . Uvažujme tedy počáteční odhad \begin_inset Formula $\vartheta_{0}=1,5$ \end_inset , zatímco skutečná poloha je \begin_inset Formula $0$ \end_inset (hodnota \begin_inset Formula $1,5$ \end_inset je volena, protože je dostatečně daleko od \begin_inset Formula $0$ \end_inset , ale ještě nedosahuje \begin_inset Formula $\frac{\pi}{2}$ \end_inset , kdy hrozí nebezpečí otáčení na opačnou stranu). Na grafech obrázek ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig_grafym_pocth34" \end_inset ) je možné pozorovat počátek běhu, při profilu požadovaných otáček \begin_inset Formula $\pm200$ \end_inset , ze kterého je zřejmé lepší zvládnutí špatného počátečního odhadu polohy při užití hyperstavu. Průměrné ztráty pak jsou: \begin_inset Formula $1,1035\cdot10^{7}$ \end_inset pro plný model bez hyperstavu a \family roman \series medium \shape up \size normal \emph off \bar no \strikeout off \uuline off \uwave off \noun off \color none \lang english \begin_inset Formula $4,4955\cdot10^{4}$ \end_inset \family default \series default \shape default \size default \emph default \bar default \strikeout default \uuline default \uwave default \noun default \color inherit \lang czech pro plný model s hyperstavem. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/jinath0r200m3.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/jinath0r200m4.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3 -- plný model \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 4 -- plný model s hyperstavem \end_layout \end_inset \end_inset \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Průběhy otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a polohy \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset pro simulace na jednoduchém simulátoru s profilem požadovaných otáček \begin_inset Formula $\pm200$ \end_inset a volbou počátečního odhadu \begin_inset Formula $\vartheta_{0}=1,5$ \end_inset při skutečné hodnotě \begin_inset Formula $0$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig_grafym_pocth34" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection* Simulátor PMSM \end_layout \begin_layout Standard Výsledky ze simulátoru PMSM, který více odpovídá reálnému chování stroje, již dopadly hůře. Je tomu především z důvodu zahrnutí složitějších efektů do simulátoru, jako úbytky napětí a mrtvé časy. Pro nulové požadované otáčky při užití kompenzace úbytků napětí i bez ní je zdánlivě vše v pořádku, viz graf na obrázku ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:nicsenedej" \end_inset a). Ovšem pro profil požadovaných otáček \begin_inset Formula $\pm1$ \end_inset s i bez kompenzace je výsledný průběh stejný, viz grafy na obrázku ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:nicsenedej" \end_inset b). Tedy nic se neděje, i když požadavek je nenulový a tento výsledek je již špatný. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/nicnedela.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/nicnedelapm1.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout a) požadovaná hodnota 0 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout b) požadovaná hodnota profil \begin_inset Formula $\pm1$ \end_inset \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:nicsenedej" \end_inset Pruběh otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a polohy \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset pro simulace na simulátoru PMSM s kompenzací úbytků napětí i bez ní pro nulové požadované otáčky a pro profil \begin_inset Formula $\pm1$ \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Pro profil \begin_inset Formula $\pm10$ \end_inset otáčky nezůstávají nulové a dosahují požadovaných hodnot \begin_inset Formula $10$ \end_inset respektive \begin_inset Formula $-10$ \end_inset , objevuje se zde však problém s průchody nulou, viz obrázek ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:spatnypruchod0" \end_inset a). V případě užití kompenzace úbytků napětí se situace ještě zhorší, viz obrázek ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:spatnypruchod0" \end_inset b). \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/spatnypruch0.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/spatnypruch0horsi.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout a) bez kompenzace úbytků \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout b) s kompenzací úbytků \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:spatnypruchod0" \end_inset Pruběh otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a polohy \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset pro simulace na simulátoru PMSM s kompenzací úbytků napětí i bez ní pro reprezentativní model (3 -- plný model bez hyperstavu) \end_layout \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard V případě profilu požadovaných otáček \begin_inset Formula $\pm200$ \end_inset poskytuje simulátor PMSM lepší výsledky, je však důležité užít kompenzace úbytků napětí. Průběhy otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a polohy \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset pro simulátor PMSM bez kompenzace úbytků je zobrazen na grafech obrázek ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig_grafy_pmsm200necp" \end_inset ). Přínos kompenzace úbytků je pak patrný ze srovnání s grafy obrázek ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig_grafy_pmsm200scp" \end_inset ). Srovnání dosažených ztrát shrnuje následující tabulka: \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold použitý model \backslash kompenzace úbytků \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout s kompenzací \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout bez kompenzace \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 1 -- redukovaný model \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $9,84\cdot10^{8}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $8,54\cdot10^{6}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2 -- redukovaný model s hyperstavem \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $1,12\cdot10^{9}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $1,97\cdot10^{5}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3 -- plný model \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $7,98\cdot10^{7}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $2,82\cdot10^{5}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 4 -- plný model s hyperstavem \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $4,92\cdot10^{9}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $9,45\cdot10^{5}$ \end_inset \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/sim200necp1.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/sim200necp2.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 1 -- redukovaný model \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2 -- redukovaný model s hyperstavem \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/sim200necp3.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/sim200necp4.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3 -- plný model \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 4 -- plný model s hyperstavem \end_layout \end_inset \end_inset \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Průběhy otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a polohy \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset při užití simulátoru PMSM bez užití kompenzace úbytků napětí a s profilem požadovaných otáček \begin_inset Formula $\pm200$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig_grafy_pmsm200necp" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/sim200cp1.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/sim200cp2.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 1 -- redukovaný model \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2 -- redukovaný model s hyperstavem \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/sim200cp3.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename grafy/lqplots/sim200cp4.eps scale 40 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3 -- plný model \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 4 -- plný model s hyperstavem \end_layout \end_inset \end_inset \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Průběhy otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a polohy \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset při užití simulátoru PMSM s užitím kompenzace úbytků napětí a s profilem požadovaných otáček \begin_inset Formula $\pm200$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig_grafy_pmsm200scp" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection* Shrnutí \end_layout \begin_layout Itemize kompenzace úbytků napětí se daří jen při vyšších otáčkách, při nižším moc nefunguje \end_layout \begin_layout Itemize výhoda využití hyperstavu je především v přesnějším řízení pro redukovaný model a dále v lepším zvládnutí špatného počátečního odhadu \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize proti špatným průchodům nulou při nízkých otáčkách zatím nic nepomáhá -- ani hyperstav ani kompenzace \end_layout \end_body \end_document