#LyX 2.0 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 413
\begin_document
\begin_header
\textclass scrreprt
\begin_preamble
\usepackage[czech]{babel}
\end_preamble
\use_default_options true
\maintain_unincluded_children false
\language czech
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman default
\font_sans default
\font_typewriter default
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100
\font_tt_scale 100
\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_amsmath 1
\use_esint 1
\use_mhchem 1
\use_mathdots 1
\cite_engine basic
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\use_refstyle 1
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 2
\tocdepth 2
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\quotes_language german
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header
\begin_body
\begin_layout Chapter*
Úvod
\end_layout
\begin_layout Standard
Synchronní motory, a to především ty osazené permanentními magnety, jsou
v poslední době stále více oblíbené pro řadu praktických aplikací.
Hlavním nedostatkem pro jejich využití ale je, že za účelem jejich dobrého
řízení je nutná znalost polohy hřídele.
Tento problém byl zatím řešen převážně instalací mechanických senzorů,
které však zvyšují rozměry, poruchovost, ale především cenu celého zařízení.
Je tedy přirozené, že se objevily snahy o nalezení efektivního způsobu
řízení bez potřeby těchto čidel.
\end_layout
\begin_layout Standard
V současné době již existuje pro bezsenzorové řízení synchroních strojů
celá řada postupů a dokonce i pokusy o implementaci bezsenzorového řízení
v praxi
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Holtz2006,Pacas2011,Yongdong2008"
\end_inset
.
Hlavním problémem všech dostupných metod však je, že se povětšinou jedná
o experimentálně nalezené postupy vyvinuté pro konkrétní účel bez hlubšího
teoretického kontextu.
Dobré teoretické pozadí pro bezsenzorové řízení by však mohl poskytnout
právě koncept duálního řízení, které se snaží nalézt kompromis mezi co
nejpřesnějším řízením a současně dobrým odhadováním neměřených veličin.
Teorie ohledně duálního řízení je již značně rozvinuta a hojně popsána
v literatuře, například
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "adaptDC2004,BertsekasDPOC"
\end_inset
.
Avšak naprostá většina postupů využívajících duálního řízení je extrémně
výpočetně náročná, což není příliš vhodné pro aplikaci na řízení motoru,
které je třeba provádět v reálném čase.
\end_layout
\begin_layout Standard
Tato práce si tedy klade za cíl prostudovat jednoduché suboptimální algoritmy
pro výpočet duálního řízení a pokusit se jejich vybrané zástupce aplikovat
na bezsenzorové řízení sychronního motoru.
Dále pak klasifikovat běžně používané přístupy k řízení těchto strojů z
pohledu konceptu duálního řízení a ukázat případné výhody užití duality.
\end_layout
\begin_layout Standard
V textu bude nejdříve obecně popsán synchronní motor s permanentními magnety,
jeho matematický model a běžně užívané techniky pro řízení a odhadování
neměřených veličin.
Následovat bude kapitola týkající se teorie duálního řízení a výběr jednoduchýc
h suboptimálních metod pro řešení tohoto problému.
Další kapitola pak bude věnována spojení předchozích dvou, tedy aplikaci
duálního řízení na synchronní stroj.
Na závěr pak budou zařazeny experimenty, především teoretická analýza jednotliv
ých užitých algoritmů a výsledky simulací.
Nedílnou součástí bude i shrnutí dosažených výsledků.
\end_layout
\begin_layout Chapter
Synchronní stroj s permanentními magnety
\end_layout
\begin_layout Standard
Jak napovídá název práce, je text zaměřen na řízení synchronních elektrických
pohonů.
Ze skupiny všech těchto strojů se však zaměřuje pouze na jejich specifickou
podskupinu obsahující permanentní magnety.
Je tomu tak proto, že oproti synchronním strojům s buzením vykazují synchronní
stroje s permanentními magnety celou řadu výhod, teší se stále větší oblibě
a nacházejí mnoho aplikací v praxi
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Pacas2011"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Section
PMSM
\end_layout
\begin_layout Standard
Zkratkou PMSM bude v textu označován synchronní stroj s permanentními magnety
(Permanent Magnet Synchronous Machine).
U tohoto točivého elektrického stroje (motoru) se rotor otáčí stejnou rychlostí
, tedy synchronně, jako točivé magnetické pole statoru.
Pro generování magnetického pole rotoru je užito místo budícího vinutí
permanentních magnetů.
Rostoucí praktická aplikace této konstrukce je umožněna především díky
snadnější dostupnosti kvalitních permanentních magnetů ze speciálních slitin
s velkou magnetickou indukcí oproti klasickým feritovým magnetům
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "novak2006,cdern2010"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Konstrukce
\end_layout
\begin_layout Standard
Přiblížení základní konstrukce PMSM je znázorněno na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Ilustrativni-obrazek-konstrukce"
\end_inset
.
Nákres je pouze ilustrativní, ale zobrazuje hlavní části PMSM: Vnější kruh
představuje stator se zuby, na kterých je navinuto statorové vinutí (v
obrázku není zobrazeno).
Vnitřní kruh reprezentuje rotor, na jehož povrchu jsou umístěny permanentní
magnety s barevně rozlišenými póly.
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
filename obrazky/pmsm_spec.eps
lyxscale 50
scale 25
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
\emph on
Ilustrativní obrázek konstrukce PMSM: Vnější kruh představuje stator se
zuby, na kterých je navinuto statorové vinutí (v obrázku není zobrazeno).
Vnitřní kruh reprezentuje rotor, na jehož povrchu jsou umístěny permanentní
magnety s barevně rozlišenými póly.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Ilustrativni-obrazek-konstrukce"
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Často se lze setkat i s opačnou konstrukcí, kdy je stator umístěn uvnitř
a rotor s magnety se otáčí kolem něj.
Tato konstrukce PMSM naléza využití k pohonu nejrůznějších vozidel, kdy
lze motor umístit přímo dovnitř kola vozidla, dalším příkladem je pak přímý
pohon bubnu automatické pračky.
Existují i však další konstrukce PMSM, například s otočným statorem i rotorem.
\end_layout
\begin_layout Standard
Vyobrazená konstrukce (obrázek
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Ilustrativni-obrazek-konstrukce"
\end_inset
) je označováná jako SMPMSM (
\emph on
Surface Mounted PMSM
\emph default
), tedy PMSM s magnety na povrchu.
Další častou konstrukcí je IPMSM (
\emph on
Inner PMSM
\emph default
), kde jsou permanentní magnety umístěny uvnitř rotoru.
Tyto stroje mají nepatrně odlišné vlastnosti, které ale mají významný vliv
při návrhu řízení těchto strojů, detailněji bude rozebráno dále v textu.
Pod PMSM se ještě někdy zahrnují reluktanční motory, které jsou založeny
na poněkud odlišném principu a nebudeme se jimi v textu zabývat.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Výhody a nevýhody
\end_layout
\begin_layout Standard
Specifická konstrukce PMSM stručně popsaná výše má oproti asynchronním strojům
a synchronním strojům s budícím vinutím celou řadu výhod.
Má samozřejmě i své nevýhody.
Následující přehlded základních odlišností od ostatních střídavých strojů
čerpá ze zdrojů
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "novak2006,cdern2010,Yongdong2008"
\end_inset
:
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Výhody
\end_layout
\begin_layout Itemize
rotor neobsahuje vinutí a tedy
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Itemize
je možno jej konstruovat menší, což je velmi výhodné v aplikacích, kde záleží
na co nejmenší velikosti pohonu
\end_layout
\begin_layout Itemize
je možno jej konstruovat lehčí, což snižuje hmotnost celého zařízení
\end_layout
\begin_layout Itemize
má menší moment setrvačnosti rotoru
\end_layout
\begin_layout Itemize
není třeba
\emph on
\emph default
složitě přivádět
\emph on
\emph default
napájení
\emph on
\emph default
na rotor
\end_layout
\begin_layout Itemize
nedojde k poruše na rotorovém vinutí
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Itemize
není třeba motor před rozběhem budit a nepotřebuje zdroj budícího proudu
\end_layout
\begin_layout Itemize
odpadá problém s přívodem proudu do buzení rotoru
\end_layout
\begin_layout Itemize
vyšší účinnost, protože nejsou jouleovy ztráty v:
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Itemize
rotoru oproti asynchronnímu stroji
\end_layout
\begin_layout Itemize
buzení oproti synchronnímu stroji s buzením
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Itemize
momentová přetížitelnost
\end_layout
\begin_layout Itemize
možnost konstrukce pomaluběžného stroje s dostatečným výkonem, který nepotřebuje
převodovku, a tedy výhody spojené s absencí převodovky
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Nevýhody
\end_layout
\begin_layout Itemize
technologicky složitější výroba kvůli připevňování permanentních magnetů
na rotor
\end_layout
\begin_layout Itemize
složitější opravy
\end_layout
\begin_layout Itemize
vyšší cena z důvodu nezanetbatelných nákladů na permanentní magnety
\end_layout
\begin_layout Itemize
menší robustnost
\end_layout
\begin_layout Itemize
problematické odbuzování a klesající účinnost při odbuzování
\end_layout
\begin_layout Itemize
závislot magnetických vlastností permanentních magnetů na teplotě a tedy
nutnost dobrého chlazení
\end_layout
\begin_layout Itemize
stálá přítomnost budícího pole v motoru, následně při využití například
k pohonu vozidla, dojde-li poruše a následlém odtahu, funguje motor jako
generátor
\end_layout
\begin_layout Itemize
problematika zkratu, při které může teoreticky dojít až k demagnetizaci
permanentních magnetů
\end_layout
\begin_layout Itemize
\emph on
problematika spojená s návrhem řízení těchto strojů
\emph default
\end_layout
\begin_layout Standard
Právě poslední zmiňovaný nedostatek, to jest komplikace při návrhu řízení
PMSM a způsoby jak se s tímto nedostatkem vypořádat jsou ústředním tématem
této práce.
\end_layout
\begin_layout Section
Matematický model PMSM
\end_layout
\begin_layout Standard
Aby bylo možno systém PMSM lépe pochopit, pracovat s ním, odvozovat algoritmy
pro jeho řízení a simulovat jeho chování je nutné jej vhodným způsobem
popsat.
Za tímto účelem bude v této části popsán model tohoto zařízení v podobě
diferenciálních a případně diferenčních rovnic zachycující jeho chování.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Souřadné soustavy pro popis PMSM
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
filename obrazky/souradosy.eps
lyxscale 50
scale 50
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
\emph on
Souřadné systémy používané pro popis PMSM znázorněné na zjednodušeném modelu:
na statorové části jsou umístěny pouze tři cívky reprezentující statorová
vinutí jednotlivých fází a jako rotor pak slouží jediný permanentní magnet.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Souradne-systemy-pmsm"
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
K popisu PMSM se užívá dvou kvalitativně zcela rozdílných typů fyzikálních
veličin.
Jedná se o veličiny mechanické jako poloha (úhel natočení rotoru) a otáčky
(rychlost otáčení), dále pak lze uvažovat zátěžný moment nebo tření.
Další uvažované veličiny jsou elektrické, především elektrické proudy a
napětí, a dále indukčnosti a rezistance.
\end_layout
\begin_layout Standard
Elektrické veličiny se nejčastěji uvažují v jednom ze tří souřadných systémů
vyobrazených na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Souradne-systemy-pmsm"
\end_inset
.
Souřadný systém
\begin_inset Formula $a-b-c$
\end_inset
uvažuje tři osy (
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $b$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $c$
\end_inset
) ve směru os vinutí jednotlivých fází.
Protože však elektrické veličiny v jednotlivých osách systému
\begin_inset Formula $a-b-c$
\end_inset
nebývají vzájemně nezávislé a jsou svázány nějakým vztahem, je obvykle
využíván popis v soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
.
Tato souřadná soustava je opět svázána se statorem.
Osa
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset
je totožná s osou
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
, osa
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset
je na osu
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset
kolmá a tvoří tak ortogonální systém.
Pro mnoho aplikací se však ukazuje výhodným přejít do rotující souřadné
soustavy
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
svázené s rotorem.
Osa
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
je pak umístěna ve směru osy permanentního magnetu a směřuje k jeho severnímu
pólu, osa
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
je na ni kolmá.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Transformace souřadnic
\end_layout
\begin_layout Standard
Žádná z výše zmiňovaných souřadných soustav není univerzálně nejlepší.
Pro každý účel se nejlépe hodí jen některá z nich a proto je důležité umět
mezi nimi přecházet, tedy převádět jednotlivé veličiny.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Transformace
\begin_inset Formula $a-b-c\longleftrightarrow\alpha-\beta$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Tato transformace se označuje také jako Clarkova transformace, rovnice lze
nalézt například v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "fiser2006"
\end_inset
, případně je možné je odvodit.
\end_layout
\begin_layout Standard
Osa
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset
je totožná s osou
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
, osy
\begin_inset Formula $b$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $c$
\end_inset
pak uvažujeme oproti ní otočeny o
\begin_inset Formula $\pm120^{\circ}$
\end_inset
.
Souřadnice v ose
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset
tedy získáme následujícím průmětem z os
\begin_inset Formula $a,\: b,\: c$
\end_inset
\begin_inset Formula
\[
\alpha=k\left(a+b\cdot\cos(120^{\circ})+c\cdot\cos(-120^{\circ})\right)=k\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right),
\]
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $k$
\end_inset
značí normovací konstantu
\begin_inset Formula $k=\frac{2}{3}$
\end_inset
.
Obdobně postupujeme v případě osy
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset
.
Osa
\begin_inset Formula $a$
\end_inset
je na ní kolmá a tedy její příspěvek je nulový.
Osy
\begin_inset Formula $b$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $c$
\end_inset
promítnutne do osy
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset
získáme vztah
\begin_inset Formula
\[
\beta=k\left(b\cdot\sin(120^{\circ})+c\cdot\sin(-120^{\circ})\right)=k\left(\frac{\sqrt{3}}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}c\right).
\]
\end_inset
Celkem tedy máme rovnice
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\alpha & = & \frac{2}{3}\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right),\\
\beta & = & \frac{\sqrt{3}}{3}\left(b-c\right).
\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Pro inverzní transformaci platí následující vztahy
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
a & = & \alpha+\theta,\\
b & = & \left(-\frac{1}{2}\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta,\\
c & \text{=} & \left(-\frac{1}{2}\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta,
\end{eqnarray*}
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
představuje takzvanou nulovou složku
\begin_inset Formula $\theta=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Transformace
\begin_inset Formula $\alpha-\beta\longleftrightarrow d-q$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Transformace je označována jako Parkova transformace a představuje přechod
do rotujícího souřadného systému.
Rovnice transformace lze najít opět například v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "fiser2006"
\end_inset
, ale jedná se běžnou lineární operaci rotace.
\end_layout
\begin_layout Standard
Uvažujeme tedy otočení doustavy
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
oproti
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
o úhel
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset
kolem společného počátku souřadných soustav, což vede na převodní vztah
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
\left(\begin{array}{c}
d\\
q
\end{array}\right) & = & \left[\begin{array}{cc}
\cos\phi & \sin\phi\\
-\sin\phi & \cos\phi
\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}
\alpha\\
\beta
\end{array}\right).\label{eq:transformace_al-be_na_d-q}
\end{eqnarray}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Inverzní transformace je
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
\left(\begin{array}{c}
\alpha\\
\beta
\end{array}\right) & = & \left[\begin{array}{cc}
\cos\phi & -\sin\phi\\
\sin\phi & \cos\phi
\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}
d\\
q
\end{array}\right).\label{eq:transformace_d-q_na_al-be}
\end{eqnarray}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsection
Model PMSM
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:Model-PMSM"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Pro tvorbu modelu PMSM vyjdeme z fyzikálních zákonů popisujících hlavní
děje odehrávající se v synchronním stroji.
Jedná se především o jevy elektrické, mechanické a vzájemnou přeměnu elektrické
a mechanické energie.
Složitější jevy jako promněnlivost parametrů s teplotou, sycení materiálu
magnetickým tokem, případně vliv napájecí elektroniky v tomto modelu uvažovány
nebudou.
Fyzikální vztahy a zákony pro odvození rovnic PMSM jsou čerpány z
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Feynman1,Feynman2"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Rovnice pro proudy
\end_layout
\begin_layout Standard
Cílem je odvodit rovnice pro PMSM a tedy vyjádřit, jak na sobě hlavní veličiny
popisující tento systém navzájem závisejí a jak se vyvýjejí v čase.
Vyjdeme ze vztahu pro napětí v obvodu statoru.
Statorové napětí
\begin_inset Formula $u_{s}$
\end_inset
uvažujeme zapsané ve souřadné soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
ve smyslu
\begin_inset Formula $s=\alpha+j\beta$
\end_inset
(kde
\begin_inset Formula $j$
\end_inset
značí komplexní jednotku) a dále uvažujeme, že je obecně funkcí času
\begin_inset Formula $u_{s}=u_{s}\left(t\right)$
\end_inset
.
Toto napětí lze vyjádřit jako součet napětí souvisejícího s průchodem proudu
obvodem a dále jako indukovaného napětí v důsledku elektromagnetické indukce.
První z těchto členů lze vyjádřit pomocí Ohmova zákona v závislosti na
proudu.
Indukované napětí je na základě Faradayova zákona elektromagnetické indukce
rovno změně magnetického toku v čase.
Uvažujme tedy, že proud procházející statorem
\begin_inset Formula $i_{s}$
\end_inset
i magnetický tok ve stroji
\begin_inset Formula $\psi_{s}$
\end_inset
zapsaný ve statorové souřadné soustavě jsou opět funkcemi času:
\begin_inset Formula $i_{s}=i_{s}\left(t\right)$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $\psi_{s}=\psi_{s}\left(t\right)$
\end_inset
.
Rovnici pro napětí pak získáme ve tvaru
\begin_inset Formula
\begin{equation}
u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt},\label{eq:odvoz-statorove-napeti}
\end{equation}
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $R_{s}$
\end_inset
je rezistance a předpokládáme ji známou a konstantní.
\end_layout
\begin_layout Standard
Nyní je třeba vyjádřit hodnotu magnetického toku
\begin_inset Formula $\psi_{s}$
\end_inset
.
Magnetický tok vzniká ve stroji jednak ve statorovém vinutí a dále v důsledku
působení permanentních magnetů.
Statorové vinutí je z fyzikálního pohledu cívkou a tedy magnetický tok
je přímo úměrný proudu procházejícímu touto cívkou:
\begin_inset Formula $\psi_{s}^{civka}=L_{s}i_{s}$
\end_inset
, kde
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset
označuje indukčnost cívky, kterou předpokládáme konstantní, známou a prozatím
izotropní.
Tok permanentních magnetů označíme jako
\begin_inset Formula $\psi_{pm}$
\end_inset
a považujeme jej za známou konstantu.
Rotor obsahující permanentní magnety je však obecně natočen a tok permanentních
magnetů je směrován pouze do směru osy
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
.
Úhel natočení, označme jej jako
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
, budeme opět uvažovat jako funkci času
\begin_inset Formula $\vartheta=\vartheta\left(t\right)$
\end_inset
.
Rovnice pro celkový magnetický tok ve stroji tedy je
\begin_inset Formula
\begin{equation}
\psi_{s}=L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta},\label{eq:odvoz-magneticky-tok}
\end{equation}
\end_inset
kde násobení
\begin_inset Formula $e^{j\vartheta}$
\end_inset
představuje zmiňovanou rotaci o úhel
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
při použití komplexního zápisu.
\end_layout
\begin_layout Standard
Když nyní dosadíme rovnici (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-magneticky-tok"
\end_inset
) pro magnetický tok do rovnice pro napětí (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-statorove-napeti"
\end_inset
) a provedeme derivaci, získáme
\begin_inset Formula
\[
u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=R_{s}i_{s}+L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\psi_{pm}\frac{d\vartheta}{dt}e^{j\vartheta}.
\]
\end_inset
V této rovnici nově vystupuje veličina
\begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}$
\end_inset
představující změnu polohy v času, označíme ji jako otáčky
\begin_inset Formula
\begin{equation}
\omega=\frac{d\vartheta}{dt}.\label{eq:definice-otacek}
\end{equation}
\end_inset
Pro obdržení diferenciálních rovnic pro proudy v soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
rozepíšeme zvlášť reálnou a imaginární složku statorove soustavy
\begin_inset Formula $s$
\end_inset
(
\begin_inset Formula $s=\alpha+j\beta$
\end_inset
).
Rovnice tedy jsou
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
u_{\alpha} & = & R_{s}i_{\alpha}+L_{s}\frac{di_{\alpha}}{dt}-\psi_{pm}\omega\sin\vartheta,\\
u_{\beta} & = & R_{s}i_{\beta}+L_{s}\frac{di_{\beta}}{dt}+\psi_{pm}\omega\cos\vartheta,
\end{eqnarray*}
\end_inset
a případně je možno je upravit na
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\alpha},\nonumber \\
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\beta}.\label{eq:rovnice-proudy-ls}
\end{eqnarray}
\end_inset
Stejné rovnice používají například v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Lee2010,Peroutka2009"
\end_inset
.
Rovnice v soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
je z nich možno získat aplikováním transformace popsané rovnicí (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"
\end_inset
).
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Rovnice pro otáčky
\end_layout
\begin_layout Standard
V odvození rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ls"
\end_inset
) byla zavedena veličina
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
, viz rovice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:definice-otacek"
\end_inset
), popisující hodnotu otáček (změny polohy) v čase.
Má-li být model PMSM úplný, je třeba odvodit rovnici i pro otáčky
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
.
Protože se jedná o mechanickou veličinu, budeme vycházet ze základních
zákonů mechaniky.
Nejdříve užijeme vztahu pro točivý moment (
\emph on
torque
\emph default
)
\begin_inset Formula $T$
\end_inset
, který budeme považovat za funkci času
\begin_inset Formula $T=T\left(t\right)$
\end_inset
.
Točivý moment lze vyjádřit jako
\begin_inset Formula $T=\frac{dl}{dt}$
\end_inset
, kde
\begin_inset Formula $l$
\end_inset
značí moment hybnosti (
\emph on
angular momentum
\emph default
).
Pro ten dále platí
\begin_inset Formula $l=J\omega_{mech}$
\end_inset
, kde
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
označuje moment setrvačnosti (
\emph on
moment of inertia
\emph default
) a předpokládáme ho jako známou konstantu,
\begin_inset Formula $\omega_{mech}$
\end_inset
jsou mechanické otáčky.
Mechanické otáčky odpovídají skutečnému otáčení stroje a liší se od otáček
elektrických
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
vystupujících v rovnicích (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ls"
\end_inset
) pro proudy a jejich odvození.
Vztah těchto dvou typů otáček je dán rovnicí
\begin_inset Formula
\begin{equation}
\omega=p_{p}\omega_{mech},\label{eq:vztah-el-a-mech-omega}
\end{equation}
\end_inset
kde hodnota
\begin_inset Formula $p_{p}$
\end_inset
představuje počet párů pólů (tedy polovina počtu pólů) permanentních magnetů
stroje.
\end_layout
\begin_layout Standard
Dalším důležitým poznatkem je, že při působení více točivých momentů se
tyto mementy sčítají a tedy platí
\begin_inset Formula
\begin{equation}
T_{1}+\ldots+T_{n}=\frac{dl}{dt}=\frac{d\left(J\omega_{mech}\right)}{dt}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt}.\label{eq:rovnice-momenty-preddosaz}
\end{equation}
\end_inset
Jednotlivé uvažované točivé momenty
\begin_inset Formula $T_{i}$
\end_inset
jsou:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
moment získaný konverzním procesem elektrické energie, který vyjadřuje hlavní
vlastnost elektrického motoru -- převod elektrické energie na mechanickou:
\begin_inset Formula $T_{1}=T_{el}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
zátěžný moment reprezentující zatížení stroje, tedy to, co je motorem poháněno;
působí však v opačném směru (proti pohybu):
\begin_inset Formula $T_{2}=-T_{L}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
moment v důsledku tření (mechanické ztráty ve stroji), působí opět proti
pohybu a uvažujeme jej lineárně závislý na otáčkách s koeficientem viskozity
(tření)
\begin_inset Formula $B$
\end_inset
:
\begin_inset Formula $T_{3}=-B\omega_{mech}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Celkem tedy rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-momenty-preddosaz"
\end_inset
) po dosazení konkrétních momentů přejde na
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula
\begin{equation}
T_{el}-T_{L}-B\omega_{mech}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt}.\label{eq:rovnice-momenty-dosazeno}
\end{equation}
\end_inset
Zátěžný moment
\begin_inset Formula $T_{L}$
\end_inset
sice uvažujeme obecně proměnný v čase, ale vzhledem k tomu, že představuje
externí zátěž stroje, není možnost jej jakkoliv předvídat, popřípadě vhodně
vyjádřit na základě jiných veličin.
V rovnicích tedy bude nadále vystupovat pod označením
\begin_inset Formula $T_{L}$
\end_inset
a budeme jej považovat za neznámou funkci času.
\end_layout
\begin_layout Standard
Moment
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset
však lze vyjádřit na základě elektrických veličin.
Využijeme k tomu výpočet přes okamžitý výkon.
Ten je pro trojfázový systém (v souřadnicích
\begin_inset Formula $a-b-c$
\end_inset
) roven
\begin_inset Formula $P=u_{a}i_{a}+u_{b}i_{b}+u_{c}i_{c}$
\end_inset
.
Po provedení transformace do souřadnic
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
je vyjádřen ve tvaru
\begin_inset Formula
\begin{equation}
P=k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right),\label{eq:rovnice-vykon}
\end{equation}
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $k_{p}$
\end_inset
značí Parkovu konstantu s hodnotou
\begin_inset Formula $k_{p}=\frac{3}{2}$
\end_inset
.
Jako napětí zde uvažujeme indukované napětí
\begin_inset Formula $u_{ind}$
\end_inset
, to jest druhý člen v rovnici (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-statorove-napeti"
\end_inset
), protože první člen této rovnice je napětí, které se podílí na tepelném
výkonu stroje -- ztrátách.
Tedy pro indukované napětí platí, viz rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-statorove-napeti"
\end_inset
) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-magneticky-tok"
\end_inset
):
\begin_inset Formula
\[
u_{ind}=\frac{d\psi_{s}}{dt}=\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\psi_{pm}\omega e^{j\vartheta}.
\]
\end_inset
Z indukovaného napětí navíc využijeme pouze složku reprezentovanou druhým
výrazem, protože první složka obsahující derivace proudů slouži k tvorbě
samotného magnetického pole stroje a nepodílí se na tvorbě výkonu.
Následně v souřadném systému
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
získáme vyjádření indukovaných napětí podílejících se na výkonu jako
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
u_{ind,\alpha} & = & -\psi_{pm}\omega\sin\vartheta,\\
u_{ind,\beta} & = & \psi_{pm}\omega\cos\vartheta
\end{eqnarray*}
\end_inset
a po dosazení do (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-vykon"
\end_inset
) je
\begin_inset Formula
\begin{equation}
P=k_{p}\left(-\psi_{pm}i_{\alpha}\omega\sin\vartheta+\psi_{pm}i_{\beta}\omega\cos\vartheta\right).\label{eq:rovnice-vykon-dosazano}
\end{equation}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Okamžitý výkon lze také vyjádřit z mechanických veličin jako
\begin_inset Formula
\begin{equation}
P=\omega_{mech}T_{el}\label{eq:vztah-okam-vykon-a-el-moment}
\end{equation}
\end_inset
a dosazením z (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-vykon-dosazano"
\end_inset
) již získáme vyjádření pro mement
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset
ve tvaru:
\begin_inset Formula
\[
T_{el}=\frac{P}{\omega_{mech}}=\frac{k_{p}}{\omega_{mech}}\left(-\psi_{pm}i_{\alpha}\omega\sin\vartheta+\psi_{pm}i_{\beta}\omega\cos\vartheta\right),
\]
\end_inset
což lze pomocí vztahu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-el-a-mech-omega"
\end_inset
) upravit na
\begin_inset Formula
\[
T_{el}=k_{p}p_{p}\left(-\psi_{pm}i_{\alpha}\sin\vartheta+\psi_{pm}i_{\beta}\cos\vartheta\right).
\]
\end_inset
Stejnou rovnici pro moment
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset
používají například v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Lee2010"
\end_inset
.
Dosazení do rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-momenty-dosazeno"
\end_inset
) pak vede na tvar
\begin_inset Formula
\[
k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(-i_{\alpha}\sin\vartheta+i_{\beta}\cos\vartheta\right)-T_{L}-B\omega_{mech}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt}.
\]
\end_inset
Tuto rovnice lze opět užitím vztahu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-el-a-mech-omega"
\end_inset
) upravit tak, aby v ní vystupovali elektrické otáčky
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
a dále z rovnice vyjádřit jejich derivaci
\begin_inset Formula
\begin{equation}
\frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega.\label{eq:rovnice-pro-omega-ls}
\end{equation}
\end_inset
Rovnici pro otáčky v této podobě (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pro-omega-ls"
\end_inset
) lze nalézt například v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Rovnice pro proudy při různých indukčnostech
\end_layout
\begin_layout Standard
Pro použití s některými, především injektážními, metodami je do modelu PMSM
třeba zahrnout anizotropie, které následně usnadní odhadování polohy.
Možností, jak zavést anizotropie je uvažování různých indukčností v osách
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
.
Tyto osy jsou svázány s rotorem a tedy i s permanentními magnety na něm,
viz obrázek
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Souradne-systemy-pmsm"
\end_inset
.
Tok permanentních magnetů interaguje s cívkami statoru a mění jejich vlastnosti
, což vede právě na rozdílné indukčnosti v osách
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
.
Tedy místo jediné izotropní
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset
nyní uvažujeme různé
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset
, nadále je však považujeme za známé konstanty.
Postup odvození rovnic bude analogický předchozímu odvození pro stejné
indukčnosti s tím rozdílem, že bude užito soustavy
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
.
Opět vyjdeme z rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-statorove-napeti"
\end_inset
), kde za veličiny ve statorové souřadné soustavě
\begin_inset Formula $s$
\end_inset
dosadíme veličiny v rotorové soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
ve smyslu
\begin_inset Formula $r=d+jq$
\end_inset
otočené o úhel
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
.
Tedy
\begin_inset Formula
\[
u_{r}e^{j\vartheta}=R_{s}i_{r}e^{j\vartheta}+\frac{d\left(\psi_{r}e^{j\vartheta}\right)}{dt}
\]
\end_inset
a po zderivování
\begin_inset Formula
\[
u_{r}e^{j\vartheta}=R_{s}i_{r}e^{j\vartheta}+\frac{d\psi_{r}}{dt}e^{j\vartheta}+j\psi_{r}\omega e^{j\vartheta}.
\]
\end_inset
Nyní je možné zkrátit člen
\begin_inset Formula $e^{j\vartheta}$
\end_inset
představující rotaci a získáme rovnici pro napětí ve tvaru
\begin_inset Formula
\begin{equation}
u_{r}=R_{s}i_{r}+\frac{d\psi_{r}}{dt}+j\psi_{r}\omega.\label{eq:odvoz-ldq-rovnice-napeti}
\end{equation}
\end_inset
Magnetický tok v osách
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
je vyjádřen podobně, jako pro stejné indukčnosti, jako součet toku indukovaného
cívkami a toku permanentních magnetů, tedy
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\psi_{d} & = & L_{d}i_{d}+\psi_{pm},\\
\psi_{q} & = & L_{q}i_{q}
\end{eqnarray*}
\end_inset
a
\begin_inset Formula $\psi_{pm}$
\end_inset
se projeví pouze v první rovnici, protože tok permanentních magnetů uvažujeme
pouze ve směru osy
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
.
Po dosazení vztahů pro toky do rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:odvoz-ldq-rovnice-napeti"
\end_inset
) a jejím rozepsání zlvášť na reálnou a imaginární služku rotorové souřadné
soustavy
\begin_inset Formula $r$
\end_inset
získáme rovnice
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{d}\frac{di_{d}}{dt}-L_{q}i_{q}\omega,\\
u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{q}\frac{di_{q}}{dt}+\left(L_{d}i_{d}+\psi_{pm}\right)\omega.
\end{eqnarray*}
\end_inset
Opět je možno vyjádřit derivace proudů a získat rovnice pro proudy v soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
ve tvaru
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
\frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{d}}i_{d}+\frac{L_{q}}{L_{d}}i_{q}\omega+\frac{1}{L_{d}}u_{d},\nonumber \\
\frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{q}}i_{q}-\frac{L_{d}}{L_{q}}i_{d}\omega-\frac{\psi_{pm}}{L_{q}}\omega+\frac{1}{L_{q}}u_{q}.\label{eq:rovnice-proudy-ldq-v-dq}
\end{eqnarray}
\end_inset
Tyto rovnice používají například v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Chen2009,Foo2009,Genduso2010"
\end_inset
.
Rovnice pro proudy v soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
lze získat transformováním rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ldq-v-dq"
\end_inset
) pomocí vztahu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"
\end_inset
), tyto rovnice však již mají poměrně dosti komplikovaný zápis.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Rovnice pro otáčky při různých indukčnostech
\end_layout
\begin_layout Standard
Postup odvození rovnice pro otáčky při uvažování různých indukčností je
opět podobný jako v případě stejných indukčností.
Pro momenty platí opět rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-momenty-dosazeno"
\end_inset
):
\begin_inset Formula
\[
T_{el}-T_{L}-B\omega_{mech}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt},
\]
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset
vypočteme přes okamžitý elektrický výkon.
Užijeme tedy rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-vykon"
\end_inset
) a provedeme transformaci souřadnic danou vztahem (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"
\end_inset
):
\begin_inset Formula
\[
P=k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right)=k_{p}\left(u_{d}i_{d}+u_{q}i_{q}\right).
\]
\end_inset
Nyní za napětí dosadíme indukovaná napětí bez složek obsahující derivace
proudů, tedy
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
u_{ind,d} & = & -L_{q}i_{q}\omega,\\
u_{ind,q} & = & \left(L_{d}i_{d}+\psi_{pm}\right)\omega
\end{eqnarray*}
\end_inset
a následně po dosazení do rovnice pro výkon získáme
\begin_inset Formula
\[
P=k_{p}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)\omega.
\]
\end_inset
Výsledkem užitím vztahu pro okamžitý výkon
\begin_inset Formula $P$
\end_inset
a moment
\begin_inset Formula $T_{el}$
\end_inset
, viz rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-okam-vykon-a-el-moment"
\end_inset
), a převodního vztahu pro otáčky (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-el-a-mech-omega"
\end_inset
) je rovnice
\begin_inset Formula
\[
T_{el}=k_{p}p_{p}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)
\]
\end_inset
a po dosazení do rovnice pro momenty (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-momenty-dosazeno"
\end_inset
), užití převodního vztahu pro otáčky (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:vztah-el-a-mech-omega"
\end_inset
) a vyjádření derivací získáme rovnici pro otáčky ve tvaru
\begin_inset Formula
\begin{equation}
\frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega,\label{eq:rovnice-pro-omega-ruzne-ldq}
\end{equation}
\end_inset
který lze rovněž najít v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Chen2009,Genduso2010"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Shrnutí rovnic pro PMSM
\end_layout
\begin_layout Standard
Pro přehlednost je ještě uvedeno shrnutí výše odvozených rovnic popisujících
PMSM.
Nejdříve soustava rovnic v souřadnicích
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
při uvažování stejných indukčností, tedy rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ls"
\end_inset
), (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pro-omega-ls"
\end_inset
) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:definice-otacek"
\end_inset
):
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\alpha},\nonumber \\
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\beta},\label{eq:rovnice-pmsm-albe-ls}\\
\frac{d\omega}{dt} & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega,\nonumber \\
\frac{d\vartheta}{dt} & = & \omega.\nonumber
\end{eqnarray}
\end_inset
Následuje soustava pro různé indukčnosti
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset
v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
vzniklá spojením rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-proudy-ldq-v-dq"
\end_inset
), (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pro-omega-ruzne-ldq"
\end_inset
) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:definice-otacek"
\end_inset
):
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
\frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{d}}i_{d}+\frac{L_{q}}{L_{d}}i_{q}\omega+\frac{1}{L_{d}}u_{d},\nonumber \\
\frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{q}}i_{q}-\frac{L_{d}}{L_{q}}i_{d}\omega-\frac{\psi_{pm}}{L_{q}}\omega+\frac{1}{L_{q}}u_{q},\label{eq:rovnice-pmsm-dq-ldq}\\
\frac{d\omega}{dt} & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega,\nonumber \\
\frac{d\vartheta}{dt} & = & \omega.\nonumber
\end{eqnarray}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsection
Diskretizace
\end_layout
\begin_layout Standard
Vzhledem k uvažované implementaci řídících a odhadovacích algoritmů na digitální
ch počítačích je výhodnější uvažovat diskrétní systém.
Diferenciální rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"
\end_inset
) případně (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"
\end_inset
) je tedy třeba diskretizovat a za tímto účelem bude v textu užito Eulerovy
metody, kdy je derivace nahrazena dopřednou diferencí.
Toto diskretizační schéma je sice méně přesné, ale oproti tomu je jednoduché
na výpočet a tedy odstatečně rychlé.
Diskretizační časový krok je totiž volen s ohledem na reálný systém, kde
odpovídá vzorkovací frekvenci použitých senzorů.
To je obvykle velmi krátký časový okamžik (řádově sto mikrosekund) a chyba
v důsledku diskretizace Eulerovou metodou tedy není velká.
Významnějším důvodem pro tuto metodu je však uvažování praktické aplikace
v reálném čase, kdy je třeba v průběhu jedné vzorkovací periody vypočítat
odhad stavových veličin a následně řídící zásah.
Jednodušší diferenční rovnice, znamenají jednodušší popis systému a tedy
rychlejší výpočet všech uvažovaných algoritmů nezbytný pro potenciální
nasazení v reálné aplikaci.
\end_layout
\begin_layout Standard
S užíváním diferenčních rovnic jsou však spojeny jisté komplikace.
Zatímco diferenciální rovnice popisující PMSM (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"
\end_inset
) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"
\end_inset
) lze libovolně převádět mezi jednotlivýmí souřadnými systémy pomocí vztahů
(
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"
\end_inset
) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"
\end_inset
), pro odpovídající rovnice diferenční to pravda není a jejich převod transforma
cemi (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"
\end_inset
) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"
\end_inset
) nedává vždy dobrý výsledek.
Pro odvození diferenčních rovnic v konkrétní souřadné soustavě je tedy
třeba postupovat ve dvou krocích.
Nejprve převést vybranou soustavu rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"
\end_inset
) nebo (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"
\end_inset
) do zvolené souřadné soustavy.
Následně je pak možné provést diskretizaci.
\end_layout
\begin_layout Standard
Prvním krokem při návrhu řízení motoru je obvykle zvládnutí řízení stroje
bez zátěže.
Z tohoto důvodu je často uvažován nulový zátěžný moment a proto pro něj
budou obvykle uvedeny rovnice zvlášť.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Diskrétní rovnice pro stejné indukčnosti v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Pro odvození těchto rovnic vyjdeme ze soustavy diferenciálních rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"
\end_inset
)a užijeme zmiňované Eulerovy metody.
Derivaci tedy nahradíme konečnou diferencí
\begin_inset Formula
\[
\frac{dx}{dt}\left(t\right)=\frac{x_{t+1}-x_{t}}{\Delta t},
\]
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $\Delta t$
\end_inset
představuje diskterizační časový krok.
Po úpravě je výsledná diskrétní soustava rovnic ve tvaru
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
i_{\alpha,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\alpha,t}+\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\alpha,t},\\
i_{\beta,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\beta,t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\beta,t},\\
\omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.
\end{eqnarray*}
\end_inset
Pro zjednodušení zavedeme následující značení
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
a & = & 1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t,\nonumber \\
b & = & \frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\Delta t,\nonumber \\
c & = & \frac{\Delta t}{L_{s}},\label{eq:zjednodus-znaceni-konstant}\\
d & = & 1-\frac{B}{J}\Delta t,\nonumber \\
e & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\nonumber
\end{eqnarray}
\end_inset
a předpokládáme-li zátěžný moment nulový
\begin_inset Formula $T_{L}=0$
\end_inset
, rovnice pak přejdou na tvar
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
i_{\alpha,t+1} & \text{=} & ai_{\alpha,t}+b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t},\nonumber \\
i_{\beta,t+1} & \text{=} & ai_{\beta,t}-b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t},\label{eq:diskretni-system-albe-ls}\\
\omega_{t+1} & \text{=} & d\omega_{t}+e\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right),\nonumber \\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.\nonumber
\end{eqnarray}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Diskrétní rovnice pro stejné indukčnosti v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Opět vyjdeme ze soustavy diferenciálních rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"
\end_inset
)a pomocí přavodního vztahu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"
\end_inset
) transformujeme první dvě rovnice ze souřadné soustavy
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
do
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
:
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right) & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right)+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{1}{L_{s}}\left(u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta\right),\nonumber \\
\frac{d}{dt}\left(i_{d}\sin\vartheta+i_{q}\cos\vartheta\right) & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}\left(i_{d}\sin\vartheta+i_{q}\cos\vartheta\right)-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{1}{L_{s}}\left(u_{d}\sin\vartheta+u_{q}\cos\vartheta\right).\label{eq:uprava-rovnic-z-albe-na-dq-pro-ls}
\end{eqnarray}
\end_inset
Upravíme derivace v předchozích dvou rovncích (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:uprava-rovnic-z-albe-na-dq-pro-ls"
\end_inset
)
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right) & = & \frac{di_{d}}{dt}\cos\vartheta-\frac{di_{q}}{dt}\sin\vartheta-i_{d}\omega\sin\vartheta-i_{q}\omega\cos\vartheta,\\
\frac{d}{dt}\left(i_{d}\sin\vartheta+i_{q}\cos\vartheta\right) & = & \frac{di_{d}}{dt}\sin\vartheta+\frac{di_{q}}{dt}\cos\vartheta+i_{d}\omega\cos\vartheta-i_{q}\omega\sin\vartheta
\end{eqnarray*}
\end_inset
a nyní zřejmě získáme diferenciální rovnici pro
\begin_inset Formula $i_{d}$
\end_inset
vynásobením první rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:uprava-rovnic-z-albe-na-dq-pro-ls"
\end_inset
) hodnotou
\begin_inset Formula $\cos\vartheta$
\end_inset
a přičtením druhé rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:uprava-rovnic-z-albe-na-dq-pro-ls"
\end_inset
) násobené
\begin_inset Formula $\sin\vartheta$
\end_inset
.
Obdobně rovnici pro
\begin_inset Formula $i_{q}$
\end_inset
získáme násobením první rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:uprava-rovnic-z-albe-na-dq-pro-ls"
\end_inset
) hodnotou
\begin_inset Formula $-\sin\vartheta$
\end_inset
a přičtením druhé rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:uprava-rovnic-z-albe-na-dq-pro-ls"
\end_inset
) násobené
\begin_inset Formula $\cos\vartheta$
\end_inset
.
Upravené diferenciální rovnice pro
\begin_inset Formula $i_{d}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $i_{q}$
\end_inset
jsou ve tvaru
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{d}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}-i_{q}\omega+\frac{u_{d}}{L_{s}},\\
\frac{di_{q}}{dt} & \text{=} & i_{d}\omega-\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega+\frac{u_{q}}{L_{s}}.
\end{eqnarray*}
\end_inset
Rovnici pro otáčky
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
lze snadno transformovat na základě faktu, že výraz
\begin_inset Formula $i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta$
\end_inset
přímo odpovídá
\begin_inset Formula $i_{q}$
\end_inset
a tedy
\begin_inset Formula
\[
\frac{d\omega}{dt}\text{=}\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q}-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}.
\]
\end_inset
Rovnice popisující změnu polohy v čase je samozřejmě stejná
\begin_inset Formula
\[
\frac{d\vartheta}{dt}\text{=}\omega.
\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Provedení diskretizace je analogické jako v předchozím odstavci pro soustavu
v
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
souřadnicích a výsledkem je následující soustava diskrétních rovnic
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
i_{d,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{d,t},\\
i_{q,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{q,t},\\
\omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q,t}-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.
\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Při použití stejného zjednodušujícího značení (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:zjednodus-znaceni-konstant"
\end_inset
) a předpokladu nulového zátěžného momentu jsou rovnice ve tvaru
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
i_{d,t+1} & \text{=} & ai_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+cu_{d,t},\nonumber \\
i_{q,t+1} & \text{=} & ai_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-b\omega_{t}+cu_{q,t},\label{eq:diskretni-system-dq-ls}\\
\omega_{t+1} & \text{=} & d\omega_{t}+ei_{q,t},\nonumber \\
\vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.\nonumber
\end{eqnarray}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Diskrétní rovnice pro různé indukčnosti v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Nyní vyjdeme ze soustavy diferenciálních rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"
\end_inset
)a diskretizaci provedeme opět stejným způsobem pomocí Eulerovy metody.
Popis PMSM pomocí diferenčních rovnic v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
při uvažování různých indukčností
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset
nyní bude
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
i_{d,t+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{d}}\Delta t\right)i_{d,t}+\frac{L_{q}\Delta t}{L_{d}}i_{q,t}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{d}}u_{d,t},\nonumber \\
i_{q,t+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{q}}\Delta t\right)i_{q,t}-\frac{L_{d}\Delta t}{L_{q}}i_{d,t}\omega_{t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{q}}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{q}}u_{q,t},\label{eq:diskretni-system-dq-ldq}\\
\omega_{t+1} & = & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\Delta t}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d,t}i_{q,t}+\psi_{pm}i_{q,t}\right),\nonumber \\
\vartheta_{t+1} & = & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.\nonumber
\end{eqnarray}
\end_inset
Přičemž zátěžný moment
\begin_inset Formula $T_{L}$
\end_inset
je opět považován za nulový, ale další zjednodušující označení konstant
v tomto případě záváděno nebude.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Diskrétní rovnice pro různé indukčnosti v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Postup odvození těchto rovnic je podobný jako v případě rovnic v soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
pro stejné indukčnosti.
Do soustavy (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"
\end_inset
) jsou dosazeny proudy transformované pomocí (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"
\end_inset
) a následně jsou první dvě rovnice násobeny
\begin_inset Formula $\sin\vartheta$
\end_inset
nebo
\begin_inset Formula $\cos\vartheta$
\end_inset
a sečteny, případně odečteny.
Výsledné vztahy v soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
mají ale poměrně komplikovaný zápis a proto nebudou uváděny přímo zde v
textu, lze je však nalézt v příloze.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Stochastický model
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Stochasticky-model-pmsm"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Lze samozřejmě očekávat, že výše odvozené rovnice nevystihují chování reálného
stroje zcela přesně.
Tento fakt má celou řadu nejrůznějších příčin, které nelze obecně odstranit.
Místo toho je lepší uvažovat jistou míru nepřesnosti užívaných rovnic a
modelovat ji jako šum.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Hlavní příčiny neurčitosti v PMSM
\end_layout
\begin_layout Standard
Následující popis neurčitostí v PMSM způsobující nepřesnost modelu vychází
z
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"
\end_inset
(
\series bold
případně najít další zdroje
\series default
):
\end_layout
\begin_layout Standard
Nepřesnost rovnic popisujících reálný stroj:
\end_layout
\begin_layout Itemize
zanedbání složitějších efektů v modelu jako závislost parametrů na teplotě
nebo saturace magnetickým tokem
\end_layout
\begin_layout Itemize
nejsou známy přesné hodnoty parametrů stroje
\end_layout
\begin_layout Itemize
vliv neznámého zátěžného momentu
\end_layout
\begin_layout Itemize
vliv diskretizace rovnic a užití jednoduché Eulerovy metody
\end_layout
\begin_layout Standard
Vliv užití reálných zařízení:
\end_layout
\begin_layout Itemize
chyby měření a zaokrouhlovací chyby senzorů
\end_layout
\begin_layout Itemize
skutečná napětí ve stroji se liší od požadovaných v důsledku napájecí elektronik
y (PWM, invertor)
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Itemize
efekt mrtvých časů
\end_layout
\begin_layout Itemize
nelineární úbytky napětí v důsledku voltamperové charakteristiky napájecí
elektroniky
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Itemize
nedokonalosti samotného motoru -- zařízení není nikdy vyrobeno přesně, výskyt
nesymetrií a anizotropických vlastností rotoru nebo samotných permanentních
magnetů
\end_layout
\begin_layout Standard
V důsledku bezsenzorového návrhu pak dále přibývá neznalost:
\end_layout
\begin_layout Itemize
počáteční polohy
\end_layout
\begin_layout Itemize
polohy při provozu stroje
\end_layout
\begin_layout Itemize
velikosti otáček při provozu stroje
\end_layout
\begin_layout Itemize
směru otáčení -- která ze symetrických verzí
\begin_inset Formula $\left(\omega,\vartheta\right)$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $\left(-\omega,\vartheta+\pi\right)$
\end_inset
je realizována (
\series bold
tohle ještě dostatečně zdůraznit a upozornit na to v odhadovacích metodách,
kde to je
\series default
) To je u PMSM obecně velkým problémem a příčinu tohoto jevu lze snadno
vysledovat už v rovnicích modelu tohoto stroje.
Ty jsou totiž symetrické na substituci stavových veličin
\begin_inset Formula $\left(\omega,\vartheta\right)\longleftrightarrow\left(-\omega,\vartheta+\pi\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Použitý šum
\end_layout
\begin_layout Standard
Seznam výše popsaných vlivů způsobujících nepřesnost uvažovaného modelu
stroje se pokusíme zahrnout pod vhodný model šumu.
Skutečný šum, který by se vyskytoval na reálném stroji, lze očekávat velmi
komplikovaný a jeho popis není ani prakticky realizovatelný.
Výhodnější tedy je uvažovat některý z klasických modelů šumu a jeho parametry
nastavit tak, aby co nejlépe zachycoval průběh neurčitosti.
\end_layout
\begin_layout Standard
V tomto textu bude uvažován model aditivního vzájemně nezávislého bílého
Gaussovského šumu.
Jedná se sice o relativně jednoduchý model šumu, ale jeho výhodou je, že
pro něj existuje celá řada efektivních algoritmů.
Střední hodnota pro šum bude uvažována nulová a kovarianční matice je nutno
vhodně zvolit s ohledem na výše popsané neurčitosti.
K této volbě lze přistupovat buď na základě odhadu parametrů normálního
rozdělení, detailněji popsáno v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"
\end_inset
, nebo je lze volit experimentálně.
\end_layout
\begin_layout Standard
Zmiňovaný šum bude uvažován obecně dvou typů.
Jedná se šum v samotném systému, který odráží především chyby modelu.
Budeme předpokládat, že tento šum se projevuje v odvozených rovnicích (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"
\end_inset
) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"
\end_inset
) pro popis stavu systému, případně v některé jejich diskrétní verzi.
Druhý typ šumu bude reprezentovat chybu měření a bude mít přímý vliv na
měřené veličiny.
\end_layout
\begin_layout Section
Bezsenzorový návrh
\end_layout
\begin_layout Subsection
Mechanické veličiny a senzory
\end_layout
\begin_layout Standard
Jak je patrné z výše odvozeného modelu PMSM, když chceme stroj dobře řídit,
je potřeba znát s dostatečnou přesností fyzikální veličiny, které zachycují
jeho stav v daném časovém okamžiku.
Jako tyto veličiny v základu volíme elektrické proudy a napětí a dále pak
polohu rotoru a rychlost jeho otáčení.
Získat dostatečně přesné hodnoty těchto veličin však není vždy zcela jednoduché.
\end_layout
\begin_layout Standard
U elektrických proudů na výstupu stroje předpokládáme, že je měříme s dostatečno
u přesností.
Elektrická napětí na vstupu předpokládáme známá, protože se obvykle jedná
o řídící veličiny.
Je však třeba poznamenat, že napětí požadovaná řídícím algoritmem a skutečná
napětí dodaná napájecí elektronikou se mohou často značně lišit.
Vliv a řešení tohoto konkrétního problému bude podrobněji diskutován dále
v textu (
\series bold
odkaz
\series default
).
\end_layout
\begin_layout Standard
Získání hodnot mechanických veličin v reálném čase je v praxi mnohem komplikovan
ější.
Je totiž třeba užít speciálních senzorů jako například: pulzní snímače
na principu vhodného kódu
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "novak2006"
\end_inset
, Hallovy senzory
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PUK1"
\end_inset
nebo rezolvery
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAH1,novak2006"
\end_inset
.
Pro praktické aplikace je však třeba ekonomických, robustních a kompaktních
motorů a využití senzorů přináší obecně mnoho nevýhod jako například
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Pacas2011,Yongdong2008"
\end_inset
:
\end_layout
\begin_layout Itemize
větší hardwarová složitost zařízení, více vodičů, sběrnic a konektorů, větší
rozměry
\end_layout
\begin_layout Itemize
vyšší cena, vliv na životní cyklus výrobku
\end_layout
\begin_layout Itemize
menší spolehlivost a menší odolnost proti šumu
\end_layout
\begin_layout Itemize
nutno řešit negativní vlivy na senzory: elektromagnetické pole, oscilace,
vysoké rychlosti a teploty
\end_layout
\begin_layout Itemize
vyšší nároky na údržbu
\end_layout
\begin_layout Itemize
menší robustnost, problém při selhání senzoru, je-li motor současně využíván
i jako brzda (detailněji
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PCW1"
\end_inset
)
\end_layout
\begin_layout Standard
Je tedy snahou se užití senzorů vyhnout a k určování polohy a otáček rotoru
využít jiných,
\emph on
bezsenzorových
\emph default
, metod.
Ty jsou obvykle založeny na speciálním algoritmu, který odhaduje hodnoty
mechanických veličin z hodnot veličin elektrických.
\end_layout
\begin_layout Standard
S bezsenzorovými metodami byly na počátku spojeny problémy s výpočetní náročnost
í.
To se však změnilo s dostupností moderních výkoných elektronických prvků
umožňujících implementaci náročnějších algoritmů a tím byl umožněn rozvoj
bezsenzorového řízení.
V posledních letech tak byl současně v akademické i průmyslové sféře odstartová
n intenzivní výzkum na poli pokročilých řídících strategií.
Pro komerční průmyslovou aplikaci je však bezsenzorový návrh rozumný, jen
pokud se neprodraží více než původně uvažované senzory.
Nelze tedy bezsenzorový návrh příliš usnadnit přidáním dalších elektrických
senzorů (napříkad napěťových), užití nejvýkonějších dostupných procesorů,
případně požadavkem na jinou nebo speciální konstrukci samotného motoru
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Pacas2011"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Přehled metod pro odhadování stavových veličin PMSM
\end_layout
\begin_layout Standard
K odhadování stavových veličin PMSM v bezsenzorovém návrhu je možno přistupovat
z různých směrů a lze při tom využít mnoha specifických jevů.
V důsledku toho byla vyvinuta celá řada více či méně uspěšných metod.
Následující přehled hlavních reprezentantů těchto metod čerpá svoji osnovu
z
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Yongdong2008"
\end_inset
, ta je doplněna z
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Holtz2006"
\end_inset
a dále o konkrétní příklady z dalších zdrojů.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Metody založené na otevřené smyčce
\end_layout
\begin_layout Standard
Nejdříve budou uvedeny nejjednodušší metody odhadování stavových veličin
založené na otevřené smyčce.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Přímý výpočet
\end_layout
\begin_layout Standard
Požadované veličiny (poloha a otáčky) jsou přímo vyjádřeny a vypočteny z
rovnic popisujících PMSM.
Jedná se o přímočarou a jednoduchou metodu s velmi rychlou dynamickou odezvou.
Není třeba užití komplikovaného pozorovatele, nicméně metoda je velmi citlivá
na chyby měření, šum a nepřesné určení parametrů stroje.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Výpočet statorové indukčnosti
\end_layout
\begin_layout Standard
Používá se pro IPMSM, kde indukčnost statorových fází je funkcí polohy rotoru.
Poloha rotoru je tedy vypočtena z napětí a proudu ve statorové fázi.
Problémy nastavají v důsledku nepřesného výpočtu indukčnosti a dále při
saturaci magnetickým tokem, kdy metoda poskytuje špatné výsledky.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Integrace zpětné elektromotorické síly
\end_layout
\begin_layout Standard
Metoda využíva toho, že v synchronním stroji rotuje statorový a rotorový
tok synchronně a tedy ze znalosti statorového toku lze vypočítat, na základě
rovnic stroje, úhel rotorového toku, tedy polohu hřídele.
Problém tohoto přístupu je především v citlivosti na chyby a (především
teplotní) změny rezistance statoru.
Dále metoda funguje špatně při nízkých otáčkách.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Rozšířená elektromotorická síla
\end_layout
\begin_layout Standard
Jedná se především o rozšíření konceptu zpětné elektromotorické síly na
IPMSM, kde navíc vystupují rozdílné indukčnosti.
Umožňuje tedy užití metod pro SMPMSM založených na EMF i pro IPMSM.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Metody s uzavřenou smyčkou
\end_layout
\begin_layout Standard
Předchozí metody založené na otevřené smyčce jsou limitovány především přesností
, s jakou uvažované parametry v modelu odpovídají skutečným hodnotám stroje.
Obzvláště při nízkých otáčkách se chyby parametrů mohou nepříznivě ovlivňovat
dynamiku systému.
Užitím pozorovatelů založených na uzavřené smyčce lze zvýšit robustnost
proti nepřesnému určení parametrů, ale i proti šumu v systému obecně
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Holtz2006"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Rozšířený Kalmanův filtr
\end_layout
\begin_layout Standard
Tato metoda poskytuje ve srovnání s ostatními velmi dobré výsledky, je méně
ovlivněna šumem měření a nepřesností parametrů.
Je asi nejpoužívanějším nelineárním pozorovatelem pro odhadování stavových
veličin PMSM.
Popis jeho aplikace lze naléz například v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSB1,PEB2,PEB1,Peroutka2009"
\end_inset
.
Problematičtější je nutnost vhodné volby kovariančních matic.
Dále je třeba vyřešit problém s konvergencí ke špatnému řešení (symetrie
\begin_inset Formula $\left(\omega,\vartheta\right)$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $\left(-\omega,\vartheta+\pi\right)$
\end_inset
).
Užití rozšířeného Kalmanova filtru je také komplikovanější pro IPMSM s
různými indukčnostmi kvůli složitějšímu popisu.
Dalšími nevýhodami jsou vyšší výpočetní a časová náročnost.
Detailnímu popisu algoritmu rozšířeného Kalmanova filtru a jeho následné
aplikaci na PMSM bude věnována zvláštní pozornost dále v textu (část
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:EKF-popis"
\end_inset
) a (
\series bold
odkaz
\series default
).
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
MRAS (Model Reference Adaptive System)
\end_layout
\begin_layout Standard
Algoritmus využívá redundance dvou různých modelů stroje k určení stejných
veličin z jiné množiny vstupů.
Chyba mezi estimovanými veličinami jednotlivých modelů je pak úměrná úhlovému
posunu mezi dvěma odhadovanými vektory magnetického toku a tedy i úhlu
natočení stroje.
Tato chyba je pak obvykle minimalizována PI regulátorem.
Příkladem je využití napěťového modelu a proudového modelu k určení chyby
magnetického toku, ze které je určena rychlost.
Jinou možností je užít jako jeden z modelů samotný PMSM.
Nevýhodou této metody je silná závislost na přesnosti parametrů stroje,
obzvláště na rezistanci statoru.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Jednoduché adaptivní řízení
\end_layout
\begin_layout Standard
Návrh pro případ známé velikosti toku permanentních magnetů.
Výhodou je zvládnutí kompenzace konstantní posun napětí, avšaj má problémy
při nízkých otáčkách.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Klouzavý pozorovatel (sliding mode observer)
\end_layout
\begin_layout Standard
Přístup zajišťuje nulovou chybu odhadovaného statorového proudu.
Dále pak rekonstruuje zpětnou elektromotorickou sílu a vypočítává z ní
polohu rotoru.
Opět má problémy při nízkých otáčkách.
Existuje i iterativní verze klouzavého pozorovatele, viz například
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSK1"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Metody založené na neideálních vlastnostech motoru
\end_layout
\begin_layout Standard
Jejich výhodou je především odstraňení kritické závislosti na velikosti
zpětné elektromotorické síly úměrné otáčkám stroje.
Tyto metody jsou tedy navrhovány se zamýšleným užitím především pro nízké
a nulové otáčky.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Vyskofrekvenční (HF) injektáž
\end_layout
\begin_layout Standard
Metoda je založena na vlastnosti magnetických
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
výčnělků
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
(saliency) především u IPMSM, případně na lokálních anizotropiích v důsledku
saturace magnetickým tokem typicky pro SMPMSM.
Detailněji se základní metodou injetkáže zabývají v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAB1,PAH1,PSJ1"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Injektovaný signál je přiváděn na vstup stroje spolu s řízením.
Generuje točivé nebo střídavé pole ve specifickém, předem určeném prostorovém
směru.
Tyto dva rozdílné přístupy jsou také označovány jako
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
rotující napěťový vektor
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
a
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
pulzující napěťový vektor
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
v tomto pořadí.
Jejich srovnání a aplikaci na oba typy PMSM (SM- a I-) lze nalézt v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PCB1,PCK1"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Přídavný injektovaný signál je označován jako
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
nosný
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
a je periodický o dané frekvenci vzhledem k času nebo prostoru.
Nosný signál je modulován aktuální prostorovou orientací anizotropií stroje
a následně je signál extrahován z výstupu stroje a demodulován.
Tím postupem je obecně získávána hodnota úhlu natočení.
\end_layout
\begin_layout Standard
Výhodné je injektovat do
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
osy, kde nedochází k rušení momentu.
Dále injektáží do
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
osy lze užít saturace tokem pro motory s nevýraznými výstupky, což však
není vhodné pro aplikace při silném zatížení.
Další možností je injektovat ve statorových souřadnicích
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Výhodou injektáží je necitlivost k nepřesné znalosti parametrů stroje.
Například články
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSL1,PSL3"
\end_inset
představují injektážní metodu, která nepotřebuje znát parametry stroje.
V případě
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSL3"
\end_inset
se navíc snaží kompenzovat i negativní vliv invertoru a rozšířit schopnost
detekce anizotropií i na velmi malé nepravidelnosti typické pro SMPMSM.
Nevýhodou injektážních metod je spotřeba jistého množství napětí, což snižuje
dostupné maximální napětí.
Dalším nedostatekem je užití digitálních filtrů pro zpracování a špatný
dynamický výkon v důsledku jejich užití.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Injektáž velmi vysokých frekvencí
\end_layout
\begin_layout Standard
Tento relativně nový postup prezentovaný v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAP1"
\end_inset
nedetekuje anizotropie v důsledku saturace případně anizotropie samotného
rotoru rotoru.
Místo toho je založena na neideálních vlastnostech (anizotropiích) samotných
permanentních magnetů.
Z tohoto důvodu ji lze využít v případech kdy ostatní metody selhávají,
například z důvodu nepřítomnosti klasických anizotropií.
Pro správnou funkčnost metody je však nutné užití velmi vysokých frekvencí
v řádu stovek
\emph on
kHz
\emph default
.
Nevýhodou je nutnost volby optimální hodnoty frekvence specificky pro konkrétní
typ magnetu.
Dále pak to, že se jedná o relativně novou metodu, která zatím není detailněji
prozkoumána.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Nizkofrekvenční (LF) injektáž
\end_layout
\begin_layout Standard
Nízkofrekvenční injektáž je založena na injektování nízké frekvence do
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
osy, to způsobí změnu v otáčkách indikující chybu odhadu a z ní je pak
možné odhadnout polohu.
Metoda je založeno na jiném principu než vysokofrekvenční injektáže a výstupky
již nejsou nutnou podmínkou pro její funkčnost.
Použitelnost tohoto přístupu závisí na momentu setrvačnosti stroje a pro
jeho velké hodnoty selháva.
Dalším nedostatkem pak je pomalá dynamická odezva.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
INFORM (Indirect flux detection by on-line reactance measurement)
\end_layout
\begin_layout Standard
Jedná se o metodu použitelnou pro určení polohy PMSM při nízkých a nulových
otáčkách.
Je založena na měření proudové odezvy vyvolané přepínáním invertoru s pulzně-ší
řkovou modulací (PWM) a užitím těchto proudů k výpočtu polohy rotoru.
Výhodou je jednoduchý výpočet a dále, že není třeba rovnic pro motor a
tedy metoda je necitlivá na změnu/nepřesné hodnoty parametrů.
Oproti tomu je však citlivá na chyby toku, které způsobují špatný odhad.
Další nevýhodou této metody je rušení proudů v ustáleném stavu.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Detekce počáteční polohy
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Detekce-počáteční-polohy"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Pro hladký start PMSM je třeba znát počáteční polohu.
Obvyklým postupem je užití vhodné excitace stroje k získání této informace.
Hlavní užívané možnosti excitace jsou:
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Užití impulzního napětí
\end_layout
\begin_layout Standard
Postup je založen na sycení a změně indukčnosti statoru s pozicí magnetů
na rotoru.
Za klidu jsou do statorových fází aplikovány napěťové pulzy a z proudů
je následně vupočítána informace o poloze.
Příkladem může být technika představená v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PIS1"
\end_inset
, která nevyžaduje znalost parametrů stroje a je možno ji aplikovat i na
SMPMSM.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Testovací napěťové vektory
\end_layout
\begin_layout Standard
Napěťové vektory v různých prostorových směrech jsou aplikovány do stroje
a je měřena proudová odezva.
Nejvyšší odezva pak indikuje pozici rotoru.
Funkčnost metody je založena na saturaci statorového jádra.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Vysokofrekvenční (HF) testovací signál
\end_layout
\begin_layout Standard
Počáteční poloha je získávána z odezvy na injektovaný proudový nebo napěťový
vysokofrekvenční signál.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Kombinace metod
\end_layout
\begin_layout Standard
Vzhledem k tomu, že každá z výše uvedených metod má své nedostatky, nejlepších
výsledků je dosahováno jejich vhodnou kombinací.
Kombinování metod však přináší nové problémy, které je třeba řešit.
Obecně komplikuje celý návrh a ten se tak stává složitějším.
Velkým problémem je nutnost navrhnout správné napojední a součinnost jednotlivý
ch kombinovaných metod.
\end_layout
\begin_layout Standard
V
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSB1"
\end_inset
představují bezsenzorové řízení založené na EKF pozorovateli ve spojení
s PI regulátory.
To nepotřebuje znát počáteční natočení rotoru ani zátěžný moment.
PI regulátor napětí lze nastavit se zamčeným rotorem a ve zmiňovaném zdroji
je řešen i problém s rozpoznáním
\begin_inset Formula $\mathrm{sign}\,\omega$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Článek
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PEB2"
\end_inset
je také zaměřen na využití EKF, nyní však v případě IPMSM.
Návrh je komplikovanější v důsledku uvažování anizotropií stroje, autoři
se ji však snaží využít k vylepšení výkonu systému.
\end_layout
\begin_layout Standard
V
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PLU1"
\end_inset
využívají řízení založené na klouzavém pozorovateli, kde si ale navíc při
nízkých otáčkách
\begin_inset Formula $\omega\thickapprox0$
\end_inset
pomáhají injektováním stejnosměrného proudu do
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
osy.
Nevyužívají však anizotropií ani nijak zvlášť neanalyzují injektovaný signál.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Hybridní metody s injektáží
\end_layout
\begin_layout Standard
Jako hybridní metody budou v textu označovány kombinace nejčastěji používaných
přístupů pro PMSM, tedy injektáží a technik založených na zpětné elektromotoric
ké síle.
Užití injektáží je vhodné pro nízké a nulové otáčky, zatímco ve vyšších
rychlostech způsobuje nežádoucí rušení.
Oproti tomu přístupy využívající zpětnou elektromotorickou sílu fungují
pří vyšších otáčkách dobře a pro nízké selhávají.
Je tedy nasnadě oba typy metod vhodným způsobem zkombinovat a získat tak
způsob jak odhadovat stavových veličin v celém rozsahu rychlostí stroje.
Základní idea tedy je pří nízkých otáčkách využívat odhadů z injektáží
a při zvýšení otáček injektáže vypnout, aby nezpůsobovali rušení a dále
se řídit jen na zákledě odhadů ze zpětné elektromotorické síly.
Tento postup je použit v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PAP2"
\end_inset
, kdy jako estimátor používají adaptivního pozorovatele s referenčním modelem,
který je pro nízké otáčky doplněn základním návrhem injektáže.
\end_layout
\begin_layout Standard
Důležitou součástí těchto metod je způsob, jakým se vyřeší
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
bezproblémový
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
přechod z jednoho estimátoru na jiný.
V
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PHS1"
\end_inset
je to například řešeno tak, že stále užívají estimátor rotorového toku
založený na indukovaných napětích.
V nízkých otáčkách je pak doplňován injektáží, ta s rostoucími otáčkami
postupně vymizí.
Obdobně v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSP1"
\end_inset
je užit estimátor založený na napěťovém modelu, v nízkých otáčkách je přidána
vysokofrekvenční injektáž.
Amplituda injektáže s rostoucími otáčkami lineárně klesá a navíc je nad
určitou mezní rycholostí úplně vypnuta.
\end_layout
\begin_layout Standard
Hybridní metody jsou samozřejmě dále vylepšovány.
Například v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PSP2"
\end_inset
uzpůsobojí standartní hybridní metodu, zejména její injektážní část, aby
fungovala i s invertorem vybaveným na výstupu
\emph on
LC
\emph default
filtrem.
Toho se užívá zejména k odstranění problému ve střídavých strojích v důsledku
napájení nesinusovým napětím z invertoru s pulzně šířkovou modulací.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Užití více modelů
\end_layout
\begin_layout Standard
Poměrně dobrých výsledků je také dosahováno při použití metod užívajících
více současně běžících modelů.
Z těchto modelů je pak nějakým způsobem vybrán nejlepší, případně je z
nich přímo počítán odhad stavových veličin.
Nevýhody tohoto přístupu jsou zřejmé, především se jedná o velkou výpočetní
náročnost způsobenou právě současným během více modelů.
Příkladem může být sekvenční metoda Monte Carlo označovaná také jako Particle
Filter.
(
\series bold
citace
\series default
)
\end_layout
\begin_layout Subsection
Přiblížení metody vysokofrekvenční injektáží
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Priblizeni-metody-vysokofrekvenc"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
V tomto odstavci bude přiblížen základní princip fungování vysokofrekvenčních
injektáží pro PMSM s různýmí indukčnostmi
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset
.
Popis je založeno na
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Fernandes2010,Hammel2010"
\end_inset
.
Uvažována bude injektáž označovaná jako
\emph on
pulzující napěťový vektor
\emph default
, kdy je injektáž prováděna v rotorové souřadné soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
.
Konkrétně je do estimované osy
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
injektována harmonický signál
\begin_inset Formula
\[
u_{d}^{inj}=A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right),
\]
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $A_{inj}$
\end_inset
je amplituda injektovaného signálu a
\begin_inset Formula $\omega_{inj}$
\end_inset
pak jeho frekvence.
Odezva je získávána z proudu v estimované ose
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Vyjdeme z prvních dvou rovnic ze soustavy rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"
\end_inset
) a dále aplikujeme následující předpoklady
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Fernandes2010"
\end_inset
:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
frekvence injektovaného signálu je dostatečně velká oproti uvažované frekvenci
otáčení stroje
\begin_inset Formula $\omega_{inj}\gg\omega$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Enumerate
otáčky jsou dostatečně nízké, aby byla zanedbatelná zpětná elektromotorická
síla a poklesy napětí v důsledku rezistance obvodu
\end_layout
\begin_layout Enumerate
uvažujeme pouze jednoduchou anizotropii, zde reprezentovanou rozdílnými
indukčnostmi
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Na základě těchto předpokladů je možno vyloučit interakci vysokofrekvenčního
signálu s
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
mechanickou
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
částí stroje a zjednodušit původní rovnice na vysokofrekvenční model stroje
ve tvaru
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
\frac{di_{d}}{dt} & = & \frac{1}{L_{d}}u_{d},\nonumber \\
\frac{di_{q}}{dt} & = & \frac{1}{L_{q}}u_{q}.\label{eq:inj-hf-model}
\end{eqnarray}
\end_inset
Dále zaveďme označení, kdy
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
reprezentuje skutečný úhel natočení rotoru,
\begin_inset Formula $\hat{\vartheta}$
\end_inset
jeho odhad a veličina
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
představuje chybu tohoto odhadu
\begin_inset Formula $\theta=\vartheta-\hat{\vartheta}$
\end_inset
.
Průběh injektáže je pak následující:
\end_layout
\begin_layout Standard
Nejdříve je injektován vysokofrekvenční signál do estimované osy
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
(označíme jako
\begin_inset Formula $\hat{d}$
\end_inset
)
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\tilde{u}_{\hat{d}} & = & u_{\hat{d}}+A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right),\\
\tilde{u}_{\hat{q}} & = & u_{\hat{q}},
\end{eqnarray*}
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $u$
\end_inset
značí řídící zásah navržený regulátorem, tedy bez injektáže, a
\begin_inset Formula $\tilde{u}$
\end_inset
řídící zásah s injektáží.
Následně provedeme transformaci z estimovaného rotorového
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
do (skutečného) statorového
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
souřadného systému pomocí vztahu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"
\end_inset
), tedy rotaci o
\begin_inset Formula $\hat{\vartheta}$
\end_inset
:
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\tilde{u}_{\alpha} & = & u_{\alpha}+A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right)\cos\hat{\vartheta},\\
\tilde{u}_{\beta} & = & u_{\beta}+A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right)\sin\hat{\vartheta},
\end{eqnarray*}
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $u_{\alpha\beta}$
\end_inset
představují zjednodušené označení pro transformované původní řídící zásahy
\begin_inset Formula $u_{\hat{d}\hat{q}}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Řídící zásahy
\begin_inset Formula $\tilde{u}_{\alpha\beta}$
\end_inset
jsou použity ve stroji, ten je reprezentován rovnicemi vysokofrekvečního
modelu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-hf-model"
\end_inset
) v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
a proto provedeme transformaci (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"
\end_inset
), nyní ale se skutečnou hodnotou
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
, protože uvažujeme, že ta je samotnému stroji (případně jeho simulátoru)
známa, výsledkem jsou řídící zásahy
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\tilde{u}_{d} & = & u_{d}+A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right)\cos\hat{\vartheta}\cos\vartheta+A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right)\sin\hat{\vartheta}\sin\vartheta,\\
\tilde{u}_{q} & = & u_{q}-A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right)\cos\hat{\vartheta}\sin\vartheta+A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right)\sin\hat{\vartheta}\cos\vartheta,
\end{eqnarray*}
\end_inset
kde opět
\begin_inset Formula $u_{dq}$
\end_inset
značí řídící zásah navržený regulátorem, tedy bez injektáže, a
\begin_inset Formula $\tilde{u}_{dq}$
\end_inset
řídící zásah s injektáží, nyní však ve skutečné souřadné soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
a nikoliv v estimované.
Transformované řízení
\begin_inset Formula $\tilde{u}_{dq}$
\end_inset
nyní aplikujeme ve vysokofrekvenčním modelu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-hf-model"
\end_inset
) a vypočteme proudy
\begin_inset Formula $i_{dq}$
\end_inset
, kdy se v podstatě jedná o integraci, dále provedeme zjednodušení výsledných
vztahů pomocí základních goniometrických vzorců a užijeme označení
\begin_inset Formula $\theta=\vartheta-\hat{\vartheta}$
\end_inset
:
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\tilde{i}_{d} & = & i_{d}+\frac{A_{inj}}{L_{d}\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\cos\theta,\\
\tilde{i}_{q} & = & i_{q}-\frac{A_{inj}}{L_{q}\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\sin\theta,
\end{eqnarray*}
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $\tilde{i}_{dq}$
\end_inset
představuje proudy na výstupu a pod označení
\begin_inset Formula $i_{dq}$
\end_inset
byly zahrnuty zbývající členy z integrace, tedy integrace napětí
\begin_inset Formula $u_{dq}$
\end_inset
a případné integrační konstanty.
\end_layout
\begin_layout Standard
Návrh systému předpokládá měření proudů ve statorových souřadnicích a tedy
je nutné provést transformaci (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"
\end_inset
) do souřadného systému
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
:
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\tilde{i}_{\alpha} & = & i_{\alpha}+\frac{A_{inj}}{\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\left(\frac{\cos\theta\cos\vartheta}{L_{d}}+\frac{\sin\theta\sin\vartheta}{L_{q}}\right),\\
\tilde{i}_{\beta} & = & i_{\beta}+\frac{A_{inj}}{\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\left(\frac{\cos\theta\sin\vartheta}{L_{d}}-\frac{\sin\theta\cos\vartheta}{L_{q}}\right),
\end{eqnarray*}
\end_inset
kde jako
\begin_inset Formula $i_{\alpha\beta}$
\end_inset
označíme transformované proudy
\begin_inset Formula $i_{dq}$
\end_inset
.
Dále je ještě třeba převést proudy pomocí transformace (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"
\end_inset
) do estimované rotorové souřadné soustavy
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
, ve které probíhá vyhodnocení
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\tilde{i}_{\hat{d}} & = & i_{\hat{d}}+\frac{A_{inj}}{\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\left(\frac{\cos^{2}\theta}{L_{d}}+\frac{\sin^{2}\theta}{L_{q}}\right),\\
\tilde{i}_{\hat{q}} & = & i_{\hat{q}}+\frac{A_{inj}}{\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\left(\frac{\sin\theta\cos\theta}{L_{d}}-\frac{\sin\theta\cos\theta}{L_{q}}\right).
\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Nyní je třeba vhodně získat modulovaný vysokofrekvenční signál na frekvenci
\begin_inset Formula $\omega_{inj}$
\end_inset
z proudu v estimované
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
ose, tento signál označíme
\begin_inset Formula $i_{q}^{inj}$
\end_inset
a jeho hodnota v čase je
\begin_inset Formula
\[
i_{q}^{inj}=\frac{A_{inj}}{\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\sin\theta\cos\theta\left(\frac{1}{L_{d}}-\frac{1}{L_{q}}\right),
\]
\end_inset
tedy na nosném vysokofrekvenčním signálu
\begin_inset Formula $\sin\left(\omega_{inj}t\right)$
\end_inset
je modulována hodnota
\begin_inset Formula
\[
\frac{A_{inj}\left(L_{q}-L_{d}\right)}{2\omega_{inj}L_{d}L_{q}}\sin2\theta.
\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Izolovat přímo vysokofrekvenční signál však není snadné a proto se používá
následující postup: Proud v estimované ose
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
násobíme vysokofrekvenčním signálem na frekvenci
\begin_inset Formula $\omega_{inj}$
\end_inset
s vhodným časovým posunem.
Ilustrujme to na funkci
\begin_inset Formula $\sin\left(\omega_{inj}t\right)$
\end_inset
, kdy získáme
\begin_inset Formula
\begin{equation}
\tilde{i}_{\hat{q}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)=i_{\hat{q}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)+\frac{A_{inj}\left(L_{q}-L_{d}\right)}{2\omega_{inj}L_{d}L_{q}}\sin2\theta\sin^{2}\left(\omega_{inj}t\right).\label{eq:inj-signal-pred-lpf}
\end{equation}
\end_inset
Na tento signál následně aplikujeme low-pass filtr a získáme hodnotu
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula
\begin{equation}
\frac{A_{inj}\left(L_{q}-L_{d}\right)}{4\omega_{inj}L_{d}L_{q}}\sin2\theta.\label{eq:inj-modul-signal}
\end{equation}
\end_inset
Důvodem pro tento výsledek je fakt, že low-pass filtr odstraňuje ze signálu
vysoké frekvence a ponechává nízké.
Uvažujme jeho krajní případ, tedy filtr, který ponechá v nějakém časovém
horizontu pouze nejnižší frekvenci odpovídající střední hodnotě signálu
a vypočtěme střední hodnotu signálu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-signal-pred-lpf"
\end_inset
) přes jednu periodu.
Vzhledem k frekvenci signálu
\begin_inset Formula $\omega_{inj}$
\end_inset
je periodou například interval
\begin_inset Formula $\left\langle 0,\frac{2\pi}{\omega_{inj}}\right\rangle $
\end_inset
, dále předpokládejme, že tato perioda je dostatečně krátká, abychom v jejím
průběhu mohli považovat funkce
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\strikeout off
\uuline off
\uwave off
\noun off
\color none
\lang english
\begin_inset Formula $i_{\hat{q}}$
\end_inset
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\strikeout default
\uuline default
\uwave default
\noun default
\color inherit
\lang czech
a
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
za konstantní v čase.
Střední hodnota signálu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-signal-pred-lpf"
\end_inset
) přes periodu pak je
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\frac{\omega_{inj}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega_{inj}}}\tilde{i}_{\hat{q}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)dt & = & i_{\hat{q}}\frac{\omega_{inj}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega_{inj}}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)dt+\\
& + & \frac{A_{inj}\left(L_{q}-L_{d}\right)}{2\omega_{inj}L_{d}L_{q}}\sin2\theta\frac{\omega_{inj}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega_{inj}}}\sin^{2}\left(\omega_{inj}t\right)dt\\
& = & 0\cdot i_{\hat{q}}+\frac{\omega_{inj}}{2\pi}\cdot\frac{\pi}{\omega_{inj}}\cdot\frac{A_{inj}\left(L_{q}-L_{d}\right)}{2\omega_{inj}L_{d}L_{q}}\sin2\theta\\
& = & \frac{A_{inj}\left(L_{q}-L_{d}\right)}{4\omega_{inj}L_{d}L_{q}}\sin2\theta.
\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Výsledek (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-modul-signal"
\end_inset
) lze nalézt například v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PCB1,PSJ1,PSP1,PSP2"
\end_inset
.
Následně lze hodnoty (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-modul-signal"
\end_inset
) použít k získání lepšího odhadu polohy
\begin_inset Formula $\hat{\vartheta}$
\end_inset
.
Není však příliš vhodném získávat odhad
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
z (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-modul-signal"
\end_inset
) přímým výpočtem, protože takovýto výsledek by byl velmi nepřesný.
Je tomu tak proto, že samotná hodnota (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-modul-signal"
\end_inset
) je relativně nepřesná v důsledku demodulace a dále může být značně zatížena
šumem.
Výhodnější proto je použít vhodný zpětnovazební regulátor, například PI,
a regulovat hodnotu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-modul-signal"
\end_inset
) úměrnou chybě odhadu
\begin_inset Formula $\vartheta-\hat{\vartheta}$
\end_inset
na nulu.
\end_layout
\begin_layout Standard
Dále je třeba upozornit na nedostatky injektážní metody, které plynou ze
zápisu (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-modul-signal"
\end_inset
).
Především je zřejmá nezbytnost předpokladu
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset
, protože v případě rovnosti je hodnota (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-modul-signal"
\end_inset
) zřejmě rovna nule.
Dalším problémem je, že v (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:inj-modul-signal"
\end_inset
) nevystupuje přímo hodnota
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
, ale hodnota
\begin_inset Formula $\sin2\theta$
\end_inset
a vztah je tedy nelineární.
Budeme-li chtít využít lineární zpětnovazební regulátor pro regulaci
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
na nulu, lze jej použít pouze pro malé výchylky
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
, kdy dostatečně přesně platí aproximace
\begin_inset Formula $\sin x\approx x$
\end_inset
.
I v případě, že tento problém vyřešíme, metoda bude stále fungovat pouze
pro odchylky
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
v omezeném intervalu
\begin_inset Formula $\theta\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\rangle $
\end_inset
v důslekdu kratší periody funkce
\begin_inset Formula $\sin2x$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Section
Metody řízení
\end_layout
\begin_layout Standard
Tato část bude věnována základním postupům užívaným pro řízení synchronních
strojů.
V případě zpětnovazebních strategií je nutno regulátoru poskytnout informace
o stavu.
Tato informace je v senzorovém návrhu získávána pomocí čidla, pro bezsenzorový
návrh je třeba užít některý z přístupů zmiňovaných v předchozí části.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Požadavky pro řízení
\end_layout
\begin_layout Standard
Cílem řízení systému je obvykle dosažení optimální shody se zadanými požadavky.
Ty jsou většinou reprezentovány referenčním signálem, který dostává regulátor
na svůj vstup spolu s hodnotami pozorování systému.
Pro mnoho regulátorů je obvyklé uvažovat jako referenční hodnotu nulu,
příkladem může být PI regulátor nebo standartní lineárně kvadratický regulátor.
Požadavek řízení na nulové hodnoty je pak třeba vhodně ošetřit.
Příklad takového postupu představuje úprava lineárně kvadratického řízení
pro PMSM v kapitole (
\series bold
odkaz
\series default
).
\end_layout
\begin_layout Standard
Nejen pro PMSM ale pro motory obecně představuje obvykle referenční signál
požadavek na otáčky.
Další možností je požadovaný moment nebo případně požadovaná poloha u servomoto
rů.
Přičemž posledně jmenovaná možnost řízení polohy zatím zřejmě není příliš
vhodná ve spojení s bezsenzorovým PMSM kvůli problematice určování polohy
v nízkých a nulových otáčkách.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Skalární řízení
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Skalarni-rizeni"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Skalární řízení je často využíváno v asynchronních strojích, je však možné
užít jej i pro PMSM.
Detailněji je popsáno například v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "shfpmsmct2007"
\end_inset
.
Jeho velkou výhodou je, že se jedná v podstatě o bezsenzorový návrh řízení,
protože funguje na principu nezpětnovazebního řízení.
Nevýhodou je pak závislost rychlosti na zátěžném momentu, horší dynamické
vlastnosti a špatná regulace momentu.
I přes zmíněné nevýhody toto řízení obvykle stačí na jednudušší aplikace
jako pohon větráků, čerpadel nebo klimatizací
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Pacas2011"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Toto řízení je také označováno jako
\begin_inset Formula $V/f$
\end_inset
nebo volt/herz řízení, protože regulovanou veličinou je právě poměr napětí
a frekvence.
Snahou řízení je udržet poměr napětí a frekvence konstantní.
Úhlová rychlost rotoru může být určena nepřímo výpočtem z frekvence napájecího
napětí.
Tato hodnota může být považována za hodnotu skutečných otáček stroje, pokud
zátěžný moment nepřesáhne kritickou hodnotu.
Pro řízení ale skutečnou hodnotu otáček stroje znát nepotřebujeme, algoritmus
totiž pracuje ve stručnosti následovně:
\end_layout
\begin_layout Standard
Z požadovaných otáček se určí frekvence
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
, ta slouží jako referenční signál pro regulátor.
Ten pak řídí poměr napětí a frekvence
\begin_inset Formula $V/f$
\end_inset
tak, aby byl konstantní.
Na jeho výstupu získáme amplitudu napětí
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
.
Řídící napětí pro PMSM v
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
souřadnicích je pak ve tvaru
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
u_{\alpha} & = & V\cos(2\pi ft),\\
u_{\beta} & = & V\sin(2\pi ft).
\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsection
Přímé řízení momentu
\end_layout
\begin_layout Standard
Přímé řízení momentu (Direct Torque Control, DTC) se užívá, když je potřeba
vysoký výkon vzhledem k dynamice momentu.
Je řízen přímo moment stroje a základní princip je následující: Kruhová
trajektorie statorového toku se rozdělí na šest symetrických částí.
Velikosti vektorů statorového toku a elektromagnetického momentu v souřadnicích
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
je pak držena v předem stanovených mezích prostřednictvím vhodného spínání
přímo jedné ze šesti kombinací na invertoru.
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "shfpmsmct2007,vcmdtc2006"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Touto metodou text již dále nezabývá a je zde uvedena jen pro úplnost.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Vektorové řízení
\end_layout
\begin_layout Standard
Jedná se asi o velmi často využívaný řídící algoritmus.
Je aplikován pro řízení v kombinaci s estimátorem založeným na zpětné elektromo
torické síle, injektáži i v hybridních verzích v mnoha publikovaných textech
jako
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "PEB2,PIC1,PIE1,PSJ1,PSM1,Peroutka2009,PSP1,PSP2,PSL2"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Dle
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "shfpmsmct2007"
\end_inset
vektorové řízení odstraňuje většinu nevýhod skalárního řízení a v porovnání
s ním poskytuje velmi dobrý výkon.
Jedná se o řízení zpětnovazební a umožňuje samostatné řízení toku i momentu,
potřebuje však znát odhady stavových veličin stroje včetně mechanických.
\end_layout
\begin_layout Standard
Vektorové řízení je obvykle implementováno na základě vhodné kombinace PI
regulátorů.
Jinou možnost nabízí využít lineárně kvadratického regulátoru, který umožní
daleko větší variabilitu návrhu.
Jeho implementace v praxi je však komplikovaná z důvodu znatelně větší
výpočetní náročnosti.
Užití lineárně kvadratického regulátoru pro řízení PMSM není zatím v literatuře
příliš zmiňováno, vyjímkou je
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Molavi2008"
\end_inset
, kde ovšem neuvažují bezsenzorový návrh.
\end_layout
\begin_layout Standard
V následujícím odstavci bude popsán PI regulátor a na něm založená implementace
vektorového řízení.
Popisu lineárně kvadratického přístupu bude věnována samostatná část v
následující kapitole (
\series bold
odkaz
\series default
) a jeho aplikace na PMSM pak bude uvedena dále v části (
\series bold
odkaz
\series default
).
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
PI regulátor
\end_layout
\begin_layout Standard
PI (proporcionálně integrační) regulátor je jednoduchý systém, který v sobě
kombinuje dvě základní části: Proporcionální část, což je ve své podstatě
zesilovač a integrální část reprezentovanou integrátorem.
V tomto systému se vyskytují dvě konstanty
\begin_inset Formula $K_{p}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $K_{i}$
\end_inset
, které je třeba vhodně nastavit.
Základní implementace je následnovná:
\begin_inset Formula
\[
x_{t}=\mathrm{PI}\left(e_{t},K_{p},K_{i}\right)=K_{p}e_{t}+K_{i}\intop_{0}^{t}e_{\tau}d\tau.
\]
\end_inset
A v diskrétní verzi pak
\begin_inset Formula
\[
x_{t}=\mathrm{PI}\left(e_{t},K_{p},K_{i}\right)=K_{p}e_{t}+K_{i}\sum_{k=0}^{t}e_{k}.
\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Tento regulátor je výhodné užít v případě, kdy chceme vyregulovat
\begin_inset Formula $e_{k}$
\end_inset
, obvykle reprezentující odchylku od požadované hodnoty, na nulu.
V některých případech bychom si vystačili s proporcionální složkou, integrální
složka však dodává lepší stabilitu a schopnost odstranit konstatní regulační
odchylku.
Cenou za to je pomalejší konvergence.
(
\series bold
citace
\series default
)
\end_layout
\begin_layout Subsection
Vektorové řízení
\end_layout
\begin_layout Standard
Vektorové PI řízení je implementováno na zákadě popisu v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "shfpmsmct2007,Peroutka2009"
\end_inset
.
Uvažujeme reprezentaci stroje v
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
souřadném systému.
Vektorové řízení je zpětnovazební a je tedy potřeba znát odhady úhlu natočení
\begin_inset Formula $\hat{\vartheta}$
\end_inset
a otáček
\begin_inset Formula $\hat{\omega}$
\end_inset
rotoru stroje.
Základní struktura regulátoru pak využije zpětné vazby z otáček, kdy první
regulátor reguluje odchylku estimovaných otáček
\begin_inset Formula $\hat{\omega}$
\end_inset
od požadované referenční hodnoty
\begin_inset Formula $\overline{\omega}$
\end_inset
na nulu.
Výstupem je pak referenční proud
\begin_inset Formula $\overline{i_{q}}$
\end_inset
.
Referenční proud
\begin_inset Formula $\overline{i_{d}}$
\end_inset
volíme nulový, aby bylo dosaženo maximálního momentu.
Tento postup bude ilustrován na diskretizované rovnici pro otáčky ze soustavy
(
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:diskretni-system-dq-ls"
\end_inset
)
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\lang english
\begin_inset Formula
\[
\omega_{t+1}\text{=}d\omega_{t}+ei_{q,t},
\]
\end_inset
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang czech
přičemž zanedbáváme poslední člen se zátěžným momentem.
Požadované hodnoty bychom chtěli dosáhnout v následujícím kroku a tedy
získáme rovnici
\begin_inset Formula
\[
\overline{\omega}-d\omega=ei_{q}.
\]
\end_inset
\begin_inset Formula $\overline{i_{q}}$
\end_inset
pak můžeme získat pomocí PI regulátoru s vhodnými konstantami
\begin_inset Formula
\[
\overline{i_{q}}=\mathrm{PI}(\overline{\omega}-\omega,K_{p,i},K_{i,i}).
\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Referenční hodnoty proudů jsou následně porovnány s estimovanými hodnotami
\begin_inset Formula $i_{d}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $i_{q}$
\end_inset
a jejich odchylky jsou regulovány na nulu.
Toto je provedeno pro každou složku zvlášť a výstupem jsou řídící napětí
v souřadnicích
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
, tedy
\begin_inset Formula $u_{d}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $u_{q}$
\end_inset
.
Postupujeme obdobně s rovnicemi proudů ze soustavy (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:diskretni-system-dq-ls"
\end_inset
)
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
i_{d,t+1} & = & ai_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+cu_{d,t},\\
i_{q,t+1} & = & ai_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-b\omega_{t}+cu_{q,t},
\end{eqnarray*}
\end_inset
kde prozatím zanedbáme členy s
\begin_inset Formula $\pm\Delta t\cdot i_{q,d}\omega$
\end_inset
, dále pak člen
\begin_inset Formula $-b\omega_{t}$
\end_inset
a chceme dosáhnout požadovaných hodnot
\begin_inset Formula $\overline{i_{d}}=0$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $\overline{i_{q}}$
\end_inset
, které byly získány v předchozím kroku.
To vede na následující tvar
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
-ai_{d} & = & cu_{d},\\
\overline{i_{q}}-ai_{q} & = & cu_{q}.
\end{eqnarray*}
\end_inset
Napětí
\begin_inset Formula $u_{d}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $u_{q}$
\end_inset
měžeme opět získat pomocí PI regulátorů ve tvaru
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
u_{d} & = & \mathrm{PI}(-i_{d},K_{p,u},K_{i,u}),\\
u_{q} & = & \mathrm{PI}(\overline{i_{q}}-i_{q},K_{p,u},K_{i,u}).
\end{eqnarray*}
\end_inset
Následně je ještě vhodné provést korekce v důsledku zanedbaných členů a
to ve tvaru
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
u_{d} & = & u_{d}-L_{s}\overline{i_{q}}\overline{\omega},\\
u_{q} & = & u_{q}+\psi_{pm}\overline{\omega}.
\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Konkrétní implementace použitá v simulacích v kapitole (
\series bold
odkaz
\series default
) vychází z
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Chapter
Teorie řízení
\end_layout
\begin_layout Standard
Kapitola se zabývá teoretickým pohledem na problematiku řízení.
Velká pozornost je zde věnována pojmu duální řízení.
Tato koncepce zde bude jednak obecně popsána, ale budou uvedeny i konkrétní
případy jak ji řešit.
Důraz přitom bude kladen především na jednoduché suboptimální algoritmy,
které jsou dostatečně jednoduché, aby byla, alespoň teoreticky, možná jejich
aplikace v reálném čase.
\end_layout
\begin_layout Standard
Dále budou uvedeny aposteriorní Cramer-Raovy meze jako nástroj využitelnému
k porovnání jednotlivých algroritmů, především z pohledu, jak dobře dokáží
zlepšit pozorovatelnost systému.
Tato kapitola však bude obsahovat i popis klasických technik pro řízení
a odhadování, které jsou často užívány v této práci.
Jedná se zejména o algoritmu rozšířeného Kalmanova filtru a lineárně kvadratick
ý regulátor.
\end_layout
\begin_layout Section
Rozdělení řídících algoritmů
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:Rozdeleni-ridicich-algoritmu"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Algoritmy užívané pro řízení systémů obecně, tedy nejen PMSM, lze rozdělit
na základě jejich charakteristických vlastností do několika skupin.
Toto rozdělení je obzvláště výhodné při práci se suboptimálními metodami.
Rozčlenění je provedeno na základě dostupnosti pozorováním (měřením) stavu
systému pro návrh řídícího zásahu a vychází z
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BarShalom1974"
\end_inset
:
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Řídicí strategie založené na otevřené smyčce
\end_layout
\begin_layout Standard
V otevřené smyčce (open-loop) předpokládáme, že není dostupné žádné měření
stavu systému.
Řídící zásah je tedy navrhován pouze na základě znalosti struktury systému
a stanovených požadavků, například ve formě referenčního signálu.
Vzhledem k tomu, že tento přístup pouze navrhuje řídící zásahy a již nijak
nevyhodnocuje jejich skutečný dopad, výsledky často nejsou dostačující
pro náročnější aplikace.
Příkladem užití s PMSM může být skalární volt/herz řízení, viz odstavec
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Skalarni-rizeni"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Zpětnovazební řídící strategie
\end_layout
\begin_layout Standard
Oproti předchozí kategorii je zde zavedena zpětná vazba (feedback), která
v každém časovém kroku
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
poskytuje měření
\begin_inset Formula $y_{t}$
\end_inset
.
Dostupná znalost o systému v čase
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
jsou tedy, kromě jeho struktury, všechna měření
\begin_inset Formula $y_{1},\ldots,y_{t}$
\end_inset
až do času
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
.
Dále však již nepředpokládáme žádnou znalost o budoucích měřeních.
Tento přístup je také označován jako pasivně adaptivní, protože regulátor
se
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
učí
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
na základě měření, ale nijak tomuto učení aktivně nepomáhá.
Tedy informace, které se o systému dozví, získává v jistém smyslu náhodou
a tedy ne záměrně.
Příklad tohoto přístupu představují klasické techniky pro řízení PMSM jako
vektorové řízení založené na PI nebo LQ regulátorech ve spojení s nějakým
běžným estimátorem založeným na zpětné elektromotorické síle, například
EKF.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Řídící strategie založená na uzavřené smyčce
\end_layout
\begin_layout Standard
Nejdříve je třeba poznamenat, že jak uvádějí autoři
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BarShalom1974"
\end_inset
, není často v literatuře zdůrazňován a rozlišován rozdíl mezi strategií
založené na uzavřené smyčce (closed-loop) a zpětnovazební strategií (feedback).
Řídící strategie pracující v uzavřené smyčce uvažuje všechna budoucí pozorování
a tedy využívá znalosti, že smyčka zůstane uzavřena až do konce uvažovaného
časového horizontu.
Tuto znalost se snaží zužitkovat, především v tom smyslu, že současný řídící
zásah může ovlivnit nejistotu týkající se budoucích stavů, to je také nazýváno
jako
\emph on
duální efekt
\emph default
.
V tomto případě může vhodný řídící zásah
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
pomoci
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
učení (odhadování) tím, že snižuje nejistotu budoucích stavů a přístup
pak lze označit za aktivně adaptivní.
Právě této problematice se detailněji věnují následující části zabývající
se duálním řízením.
\end_layout
\begin_layout Section
Teorie duálního řízení
\end_layout
\begin_layout Standard
Duální řízení je obvykle využíváno v systémech s neurčitostí, představovanou
například neznámými parametry, nepozorovatelnými stavovými veličinami nebo
samotnou strukturou systému.
Snahou je tuto neurčitost snížit a poskytnout řízení srovnatelné kvality,
jako v případě stejného systému bez neurčitosti.
Charakteristickým rysem duálního řízení je, že obsahuje dvě hlavní části:
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
\emph on
opatrnou
\emph default
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
a
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
\emph on
budící
\emph default
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
.
\emph on
Opatrná
\emph default
část, má za cíl pokud možno co nejlépe kontrolovat systém a snažit se dosáhnout
optimální shody s požadavky.
Oproti tomu
\emph on
budící
\emph default
část hledá optimální budící signál, který pomáhá co nejlépe určit neznámé
veličiny systému.
Tyto části jdou však proti sobě a cílem duálního řízení je nalézt mezi
nimi vhodný kompromis.
\end_layout
\begin_layout Standard
Jak již bylo předznamenáno v předchozí části
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Rozdeleni-ridicich-algoritmu"
\end_inset
, většina klasických metod pro řízení a estimaci obecně spadá do kategorie
zpětnovazebních streategií a tedy trpí nedostatky, které se snaží duální
řízení odstranit.
\end_layout
\begin_layout Standard
Jedná se o oddělení řídící a estimační části, které následně pracují nezávisle,
i když obecně tyto dvě části nezávislé nejsou a navzájem se ovlivňují.
Dalším nedostatkem je předpoklad, že odhad poskytnutý estimátorem se rovná
skutečné hodnotě stavové veličiny.
Tento přístup je označován jako
\emph on
Certainty Equivalence
\emph default
(CE).
Oproti tomu duální řízení předpokládá stavové veličiny jako náhodné veličiny
a uchovává si o nich statistickou informaci.
Příkladem může být, že odhad z estimátoru uvažujeme ve tvaru střední hodnoty
a variance dané veličiny a předpokládáme, že skutečná hodnota se nachazí
například v konfidenčním intervalu s těmito parametry.
Z tohoto pohledu přístup CE předpokládá, že skutečná hodnota je rovna střední
hodnotě.
\end_layout
\begin_layout Standard
Duální řízení tedy narozdíl od postupů založených na CE principu uvažuje
kromě odhadu stavové veličiny i to, jak je tento odhad přesný a tomu také
přizpůsobuje řídící zákroky.
Klasický regulátor se pak při řízení stochastického systému s neurčitostí
obvykle chová
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
opatrně
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
, aby nezvyšoval dopad neurčitostí na celkovou ztrátu.
Oproti tomu regulátor využívající duálního efektu může být méně opatrný
a přidat budící signál, aby snížil neurčitost v budoucnu a tím celkově
vylepšil své výsledky
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BarShalom1974"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Výše zmíněné důvody ukazují, proč by duální přístup mohl být obvzláště vhodný
pro řízení PMSM.
Je ale třeba mít na paměti, že duální řízení s sebou nese i některé nevýhody.
Jedná se především o značnou výpočetní náročnost.
Ta je problematická zejména, když zamýšlíme výpočet v reálném čase.
Proto se v textu zaměříme hlavně na nejjednodušší algoritmy duálního řízení,
které by tento požadevek mohly teoreticky naplnit.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Úloha duálního řízení
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:uloha-dualniho-rizeni"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Nyní bude stručně popsána obecná úloha duálního řízení a postup jak nalézt
její optimální řešení.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Formulace úlohy
\end_layout
\begin_layout Standard
Základní formulace problému duálního řízení pro časově diskrétní obecně
nelineární systém dle
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "adaptDC2004"
\end_inset
je:
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
x_{t+1} & = & f_{t}\left(x_{t},p_{t},u_{t},\xi_{t}\right),\quad t=0,1,\ldots,T-1,\\
p{}_{t+1} & = & \upsilon_{t}\left(p_{t},\varepsilon_{t}\right),\\
y_{t} & = & h_{t}\left(x_{t},\eta_{t}\right),
\end{eqnarray*}
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset
je vektor stavu,
\begin_inset Formula $p_{t}$
\end_inset
vektor neznámých parametrů,
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset
vektor řídících vstupů,
\begin_inset Formula $y_{t}$
\end_inset
vektor výstupů systému, vektory
\begin_inset Formula $\xi_{t}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $\varepsilon_{t}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $\eta_{t}$
\end_inset
představují nezávislý náhodný bílý šum s nulovou střední hodnotou a známým
rozptylem, vše je uvažováno v čase
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $f_{t}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $\upsilon_{t}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $h_{t}$
\end_inset
jsou známé vektorové funkce.
Počáteční hodnoty
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $p_{0}$
\end_inset
předpokládáme také známé.
Množinu výstupů a vstupů systému dostupných v čase
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
označujeme jako
\emph on
informační vektor
\emph default
\begin_inset Formula $I_{t}=\left\{ y_{t},\ldots,y_{0},u_{t-1},\ldots,u_{0}\right\} $
\end_inset
, kde
\begin_inset Formula $t=1,\ldots,T-1$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $I_{0}=\left\{ y_{0}\right\} $
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Dále uvažujeme, že požadavky na systém jsou zadány v podobě aditivní ztrátové
funkce ve tvaru
\begin_inset Formula
\begin{equation}
J=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ \sum_{t=0}^{T-1}g_{t+1}\left(x_{t+1},u_{t}\right)\right\} ,\label{eq:dclossfunc}
\end{equation}
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $g_{t+1}$
\end_inset
jsou známe kladné konvexní skalární funkce.
Očekáváná hodnota
\begin_inset Formula $\mathrm{\mathbf{E}}$
\end_inset
je počítána vzhledem k všem náhodným veličinám (
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $p_{0}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $\xi_{t}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $\varepsilon_{t}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $\eta_{t}$
\end_inset
, kde
\begin_inset Formula $t=0,1,\ldots,T-1$
\end_inset
).
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Obecné řešení
\end_layout
\begin_layout Standard
Problémem optimálního adaptivního duálního řízení je nalezení takové řídící
strategie
\begin_inset Formula $u_{t}=u_{t}(I_{t})$
\end_inset
ze známé množiny přípustných hodnot řízení
\begin_inset Formula $U_{t}$
\end_inset
, která minimalizuje ztrátovou funkci
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
danou rovnicí (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:dclossfunc"
\end_inset
).
\end_layout
\begin_layout Standard
Optimální řešení tohoto problému může být nalezeno rekurzivně užitím dynamického
programování, kdy je v čase zpět prováděna následující minimalizace zapsaná
pomcí rovnic
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
V_{T-1}\left(I_{T-1}\right) & = & \min_{u_{T-1}\in U_{T-1}}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ g_{T}\left(x_{T},u_{T-1}\right)\mid I_{T-1}\right\} ,\\
V_{t}\left(I_{t}\right) & = & \min_{u_{t}\in U_{t}}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ g_{t+1}\left(x_{t+1},u_{t}\right)+V_{t+1}\left(I_{t+1}\right)\mid I_{t}\right\} ,
\end{eqnarray*}
\end_inset
pro
\begin_inset Formula $t=T-2,T-3,\ldots,0$
\end_inset
.
Funkce
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
vystupující v předchozích rovnicích je nazývána jako
\emph on
Bellmanova
\emph default
funkce
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "utiaBDM2005"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Komplikace řešení úlohy
\end_layout
\begin_layout Standard
Výše popsaný postup představuje zdánlivě jednoduchý způsob, jak nalézt řešení
úlohy duálního řízení.
Skutečné provedení tohoto výpočtu však naráží na celou řadu praktických
komplikací, které činí úlohu duálního řízení obecně neřešitelnou analyticky
i numericky.
Hlavními komplikacemi jsou jednak výpočet střední hodnoty a minimalizace,
ale hlavně problémy spojené s funkcí
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
.
Bellmanova funkce
\begin_inset Formula $V$
\end_inset
totiž závisí na informačním vektoru, který zahrnuje všechny předchozí interakce
se systémem (pozorování a řízení) a proto závisí na obecně značně velkém
počtu proměnných.
Tuto funkci je navíc třeba uchovávat mezi jednotlivými časovými kroky v
její plné reprezentaci jako funkce, ne pouze její hodnotu.
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "utiaBDM2005"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Optimální řešení úlohy duálního řízení je tedy známo jen v několika málo
speciálních případech a jinak je třeba spoléhat na užití suboptimálních
algoritmů.
\end_layout
\begin_layout Section
Metody pro duální řízení
\end_layout
\begin_layout Subsection
Přehled metod
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Prehled-metod-dualniho-rizeni"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Následující přehled představuje vybrané suboptimální algoritmy využitelné
k řešení úlohy duálního řízení.
Vybírány byly především nejjednodušší algoritmy, které by teoreticky umožnily
implementaci v reálném čase pro řízení synchronních strojů.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Bikriteriální metoda
\end_layout
\begin_layout Standard
Bikriteriální metoda je založena na relativně jednoduchém principu.
Ve snaze splnit obě hlavní vlastnosti duálního řízení (opatrnost a buzení)
je ztrátová funkce rozdělena na dvě části, proto se také metoda nazývá
bikriteriální.
První ztrátová funkce odpovídá takzvanému
\emph on
opatrnému řízení
\emph default
, které navrhuje tím menší řídící zásahy, čím je větší variance neznámých
parametrů (proto opatrné).
Nesnaží se však primárně tuto varianci nijak snížit.
Druhá ztrátová funkce představuje kritérium pro optimální buzení.
Tyto dvě ztrátové funkce je třeba současně minimalizovat.
Jejich minimalizace ale jde obecně z podstaty problému proti sobě, navíc
optimální budící zásah bývá zpravidla neomezeně velký.
Proto je zvolen následující postup:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
nejdříve je nalezeno optimální opatrné řízení
\end_layout
\begin_layout Enumerate
dále je vytyčena množina přípustných řešení kolem řízení nalezeného v bodě
(1), například se může jednat o interval
\end_layout
\begin_layout Enumerate
druhá ztrátová funkce pro optimální buzení je minimalizována již pouze v
rámci množiny přípustných řešení z bodu (2)
\end_layout
\begin_layout Standard
Konkrétní realizace hledání optimálního řídícího zásahu (minimalizace) pak
již závisí na řešeném problému.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset
-aproximace
\end_layout
\begin_layout Standard
Jako
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset
-aproximace označujeme celý soubor suboptimálních přístupů k řešení úlohy
duálního řízení, kdy se snažíme aproximovat pravděpodobnostní míru neznámých
stavů a parametrů systému.
Dále lze při užití této metody snadno nalézt odpovídající kategorii řídícího
algoritmu, viz část
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Rozdeleni-ridicich-algoritmu"
\end_inset
.
Dle
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "DAF1,DSF1,adaptDC2004"
\end_inset
je problematika
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset
-aproximací formulována následovně:
\end_layout
\begin_layout Standard
Hledání suboptimální řídící strategie je založeno na minimalizaci modifikované
ztrátové funkce
\begin_inset Formula
\[
J_{t}\left(I_{t},\rho_{t}\right)=\mathrm{\mathbf{E}}_{\rho_{t}}\left\{ \sum_{i=t}^{T-1}g_{t+1}\left(x_{i+1},u_{i}\right)\mid I_{k}\right\} .
\]
\end_inset
V čase
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
je řídící strategie
\begin_inset Formula $u_{t}(I_{t})$
\end_inset
nalezena pomocí aproximace podmíněné hustoty pravděpodobnosti stavů a parametrů
systému pro budoucí časové kroky
\begin_inset Formula
\[
\rho_{t}=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right),
\]
\end_inset
pro
\begin_inset Formula $i=0,1,\ldots,T-t-1$
\end_inset
, kde
\begin_inset Formula $\mathrm{p}$
\end_inset
značí hustotu pravděpodobnosti.
\end_layout
\begin_layout Standard
Pro různé volby
\begin_inset Formula $\rho_{t}$
\end_inset
pak můžeme získat následující přístupy:
\end_layout
\begin_layout Itemize
\emph on
Řídící strategie s otevřenou smyčkou
\emph default
(open-loop, OL) uvažuje systém bez zpětné vazby a optimální řízení je hledáno
z apriorní informace o stavech a parametrech systému.
Tento zjednodušující předpoklad je ekvivalentní aproximaci
\begin_inset Formula
\[
\rho_{t}=\left\{ \mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{0}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} .
\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Itemize
\emph on
Zpětnovazební řídící strategie s otevřenou smyčkou
\emph default
(open-loop feedback, OLF) také uvažuje systém bez zpětné vazby, ale jen
pro budoucích časové kroky (
\begin_inset Formula $t+1$
\end_inset
až
\begin_inset Formula $T$
\end_inset
), v současném časovém kroku
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
zpětnou vazbu uvažuje.
Pozorování
\begin_inset Formula $y_{t}$
\end_inset
jsou tedy použita k estimaci stavů i parametrů systému, ale pouze v součazném
časovém kroku
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
, v budoucích již ne.
Opět lze formulovat pomocí
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset
-aproximace jako
\begin_inset Formula
\[
\rho_{t}=\left\{ \mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} .
\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Itemize
Pro srovnání zde bude uvedena i aproximace, která vede na již zmiňovaný
přístup
\emph on
Certainty Equivalence
\emph default
(CE):
\begin_inset Formula
\begin{align*}
\rho_{t} & =\left\{ \mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right)\right.\\
= & \left.\delta\left(x_{t+i}-\hat{x}_{t+i}\right)\delta\left(p_{t+i}-\hat{p}_{t+i}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} ,
\end{align*}
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $\delta$
\end_inset
značí Diracovu delta funkci a
\begin_inset Formula $\hat{x}_{t+i}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{k+i}\mid I_{t+i}\right\} $
\end_inset
,
\begin_inset Formula $\hat{p}_{t+i}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ p_{k+i}\mid I_{t}\right\} $
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Itemize
\emph on
Částečný CE přístup
\emph default
(PCE) je založen na vhodné kombinaci předchozích postupů CE a OLF.
Definujme rozšířený stavový vektor jako
\begin_inset Formula $z_{t}^{T}=\left(\begin{array}{cc}
x_{t}^{T} & p_{t}^{T}\end{array}\right)$
\end_inset
, tedy jako vektor sdružující původní stav systému a jeho neznámé parametry.
Tento vektor následně rozdělíme na dvě části s prázdným průnikem
\begin_inset Formula $z_{1,t}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $z_{2,t}$
\end_inset
.
Nyní aplikujeme na část
\begin_inset Formula $z_{1}$
\end_inset
zjednodušující předpoklad CE a na část
\begin_inset Formula $z_{2}$
\end_inset
předpoklad OLF.
To odpovídá následující
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset
-aproximaci
\begin_inset Formula
\begin{align*}
\rho_{t} & =\left\{ \mathrm{p}\left(z_{1,t+i},z_{2,t+i}\mid I_{t+i}\right)\right.\\
= & \left.\delta\left(z_{1,t+i}-\hat{z}_{1,t+i}\right)\mathrm{p}\left(z_{2,t+i}\mid I_{t}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} ,
\end{align*}
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $\mathrm{p}\left(z_{1,t+i},z_{2,t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(z_{t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right).$
\end_inset
Samotné rozdělení vektoru
\begin_inset Formula $z$
\end_inset
na dvě části je třeba vyřešit s ohledem na konkrétní strukturu systému,
pro který je řízení navrhováno.
Vhodnou volbou může být například označit jako
\begin_inset Formula $z_{1}$
\end_inset
stavové veličiny, které jsou přímo pozorovány.
Autoři dále poukazují i na možnost kombinace s bikriteriálním přístupem.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Řešení LQG problému pomocí teorie her
\end_layout
\begin_layout Standard
Výpočetně relativně málo náročné řešení diskrétního LQG problému duálního
řízení je představeno v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "DCS1"
\end_inset
.
Na řešení problému se užívá teorie her, kde hledáme optimální znáhodněnou
strategii.
Výsledkem pak je, že optimální řešení přeformulovaného problému duálního
řízení je vážený průměr konečného počtu standartních LQG optimálních regulátorů.
Jako váhové faktory jsou brány zobecněné věrohodnostní poměry.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Hyperstav
\end_layout
\begin_layout Standard
Algoritmus využívající hyperstav je předložen v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Kim2006"
\end_inset
a z tohoto zdroje také převážně vychází následný popis a implementace v
tomto textu.
Hlavní rozdíl však je použití spojitého času v uvedeném zdroji, zatímco
v tomto textu je využíván čas diskrétní.
Základní myšlenka hyperstavu je poměrně jednoduchá:
\end_layout
\begin_layout Standard
Vyjdeme z klasicky definovaného stavu systému v čase
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
, označme jej jako
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset
.
Dále předpokládejme, že pro řešení úlohy nalezení vhodné řídící strategie
užíváme EKF jako estimátoru, stejný estimátor je užit i v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Kim2006"
\end_inset
.
Použití algoritmu EKF nám v každém čase poskytne odhad stavu
\begin_inset Formula $\hat{x}_{t}$
\end_inset
, ale kromě tohoto odhadu poskytuje i odhad kovariance stavu reprezentovaný
maticí
\begin_inset Formula $P_{t}$
\end_inset
, detailněji viz odstavec
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:EKF-popis"
\end_inset
.
Nyní definujme vektor
\emph on
hyperstavu
\emph default
v čase
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
jako původní stav
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset
, ke kterému navíc přidáme prvky matice
\begin_inset Formula $P_{t}$
\end_inset
.
Z důvodu symetrie není třeba přidávat celou matici
\begin_inset Formula $P_{t}$
\end_inset
, ale stačí jen její horní nebo dolní trojúhleník.
Nyní na systém popsaný hyperstavem aplikujeme klasickým postupem algoritmus
EKF a vhodné řízení, například LQ regulátor.
Algoritmus EKF je tedy aplikován na systém dvakrát, poprvé formálně na
původní stav a následně na hyperstav.
Výhodou tohoto přístupu je, že kromě odhadu samotných stavových veličin,
máme k dispozici i odhad jejích kovariancí a můžeme s nimi pracovat při
návrhu řízení.
Hlavními nevýhodami jsou růst velikost hyperstavu (obecně kvadraticky s
velikostí původního stavu) a dále komplikace při výpočtu derivací rovnic
pro výpočet EKF na stavu.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Injektáže jako duální řízení
\end_layout
\begin_layout Standard
Na injektáže lze z jistého směru pohlížet také jako na duální řízení.
Především v sobě kombinují obě žádoucí vlastnosti, opatrnost a buzení.
Opatrnost je reprezentována konkrétním použitým regulátorem, který se snaží
co nejlépe sledovat cíl řízení.
Injektovaný signál pak představuje buzení, které napomáhá k určení parametrů
stroje.
\end_layout
\begin_layout Standard
V základním návrhu je přidáván vysokofrekvenční signál stále, bez ohledu
na okolnosti a tedy tento návrh se příliš nesnaží o nalezení kompromisu
mezi opatrným řízením a buzením.
Velkou výhodou ale je, že to příliš nevadí, obzvláště při nízkých otáčkách,
protože vysokofrekvenční signál má minimální vliv na samotný chod stroje.
Současně ale poskytuje relativně dobrý odhad natočení rotoru, jehož kvalita
nezávisí na otáčkách, ale pouze na anizotropiích stroje.
\end_layout
\begin_layout Standard
Jistý krok směrem k hledání kompromisu mezi opatrností a buzením lze pozorovat
u hybridních metod, které buď plynule, nebo jednorázově přepínají mezi
dvěma modely, s injektáží a bez ní.
Jeden je určen pro dobrou estimaci a druhý pro nízké ztráty při řízení.
To vede k velkému zlepšení, protože přídavný signál je injektován, jen,
když je opravdu potřeba.
\end_layout
\begin_layout Standard
Hlavním problémem injektáží z hlediska duálního řízení je, že se jedná o
přístup pouze pro jeden konkrétní případ, který byl navržen s využitím
konkrétních vlastností PMSM a pro předem určený účel.
Injektovaný vysokofrekvenční signál je užívaný jednak z důvodu menšího
vlivu na chod samotného stroje.
Další důvod pro jeho užití je relativně snadné zpracování a vyhodnocení
pomocí metod analýzy signálu, které lze snadno implementovat hardwarově
(filtry, demodulace, fázový závěs).
Problémem injektovaného signálu jsou pak jeho parametry, jako amplituda
a frekvence, ty jsou zpravidla nalézány experimentálně.
\end_layout
\begin_layout Standard
Dalším zásadním problémem je, že injektáže fungují pouze na motory s anizotropie
mi nějakého typu a jejich aplikace na SMPMSM je tedy značně omezena.
Jedná se tedy sice o funkční metodu, kterou však lze aplikovat pouze na
podskupinu všech dostupných strojů.
\end_layout
\begin_layout Standard
Je tedy na místě položit otázku, jestli takovýto přídavný signál může být
optimálním buzením a nebo mu být alespoň v nějakém smyslu blízko.
Odpovědět samozřejmě není snadné z důvodu praktické neřešitelnosti problému
nalezení optimálního duálního řízení.
Ve prospěch injektáží, a zejména hybridních metod, mluví výsledky praktických
experimentů na skutečných motorech, proti nim pak zejména to, že byly navrhován
y bez ohledu na optimalitu a hledání kompromisu mezi opatrností a buzením.
Nicméně se jedná o dobrý základ, který je vhodný k bližšímu prostudování
při návrhu méně náročných metod duálního řízení.
\end_layout
\begin_layout Section
Aposteriorní Cramer-Raovy meze
\end_layout
\begin_layout Standard
Při vyhodnocování efektivity jednotlivých použitých algoritmů je výhodné
mít k dispozici prostředek k jejich srovnání.
K tomuto účelu lze použít aposteriorních Cramer-Raových mezí (Posterior
Cramer-Rao Bounds, PCRB).
Interpretace PCRB je zjednodušeně taková, že představují
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
množství informace
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
, které je o dané veličině produkováno na výstupu systému
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Scharf1993"
\end_inset
.
Konkrétněji se jedná o dolní mez střední kvadratické chyby
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "TichavskyPCRB"
\end_inset
.
Tedy reprezentuje minimální chybu, které se odhadovací algoritmus v uvažovaném
případě dopustí.
PCRB lze tedy využít ke srovnání jednotlivých uvažovaných duálních algoritmů
v tom smyslu, že je možné vyhodnocovat, jak každý z nich dokáže zlepšit
odhad stavových veličin a zvýšit pozorovatelnost v kritických režimech.
\end_layout
\begin_layout Standard
Následující popis PCRB včetně její specializace pro nelineární filtraci
a dále pro Gaussovské hustoty je převzat z
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "TichavskyPCRB"
\end_inset
, kde je možné nalézt i detaily odvození zmiňovaných vztahů.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Definice
\end_layout
\begin_layout Standard
Nechť
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
představuje vektor měřených dat a
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
je
\begin_inset Formula $r$
\end_inset
-rozměrný odhadovaný náhodný parametr.
Dále nechť
\begin_inset Formula $p_{x,\theta}\left(X,\Theta\right)$
\end_inset
je sdružená hustota pravděpodobnosti dvojice
\begin_inset Formula $\left(x,\theta\right)$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $g\left(x\right)$
\end_inset
je funkce
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
, která je odhadem
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset
.
Pak PCRB chyby odhadu má tvar
\begin_inset Formula
\[
P=\mathtt{E}\left\{ \left[g(x)-\theta\right]\left[g(x)-\theta\right]^{T}\right\} \geq J^{-1},
\]
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
je Fischerova informační matice rozměru
\begin_inset Formula $r\times r$
\end_inset
s prvky
\begin_inset Formula
\[
J_{ij}=\mathtt{E}\left[-\frac{\partial^{2}\log p_{x,\theta}(X,\Theta)}{\partial\Theta_{i}\partial\Theta_{j}}\right],
\]
\end_inset
pro
\begin_inset Formula $i,j=1,\ldots,r$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Nelineární filtrace
\end_layout
\begin_layout Standard
Pro případ filtrace jsou parametry odhadovány postupně v průběhu času na
základě rekurzivních vzorců.
Sdruženou hustotu pravděpodobnosti lze rozepsat jako součin podmíněných
hustot a výpočítat pro každý čas matici
\begin_inset Formula $J_{t}$
\end_inset
, kde
\begin_inset Formula $J_{t}^{-1}$
\end_inset
představuje spodní mez střední kvadratické chyby odhadu
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Uvažujme nelineární filtrační problém se systémem
\lang english
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
x_{t+1} & = & f_{t}(x_{t},w_{t}),\nonumber \\
z_{t} & = & h_{t}(x_{t},v_{t}),\label{eq:PCRB-system}
\end{eqnarray}
\end_inset
\lang czech
kde
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset
je stav systému v čase
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $z_{t}$
\end_inset
je pozorování v čase
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $w$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
jsou vzájemně nezávislé bílé procesy a
\begin_inset Formula $f_{t}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $h_{t}$
\end_inset
jsou obecně nelineární funkce.
Pak je možné počítat rekurzivně posloupnost aposteriorních informačních
matic
\begin_inset Formula $J_{t}$
\end_inset
pro odhad stavu
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset
jako
\begin_inset Formula
\begin{equation}
J_{t+1}=D_{t}^{22}-D_{t}^{21}\left(J_{t}+D_{t}^{11}\right)^{-1}D_{t}^{12},\label{eq:PCRB-rovnice-obecny-vypoecet}
\end{equation}
\end_inset
kde matice
\begin_inset Formula $D_{t}$
\end_inset
jsou dány rovnostmi
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
D_{t}^{11} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t}}^{x_{t}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} ,\nonumber \\
D_{t}^{12} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t}}^{x_{t+1}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} ,\label{eq:PCRB-rovnice-pro-D}\\
D_{t}^{21} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t+1}}^{x_{t}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} =\left(D_{t}^{12}\right)^{T},\nonumber \\
D_{t}^{22} & = & \mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t+1}}^{x_{t+1}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} +\mathtt{E}\left\{ -\triangle_{x_{t+1}}^{x_{t+1}}\log p(z_{t+1}\mid x_{t+1})\right\} .\nonumber
\end{eqnarray}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Aditivní Gaussovský šum
\end_layout
\begin_layout Standard
Uvažujme speciální případ filtračního problému s aditivním šumem, kdy rovnice
(
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:PCRB-system"
\end_inset
) má tvar
\lang english
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
x_{t+1} & = & f_{t}(x_{t})+w_{t},\nonumber \\
z_{t} & = & h_{t}(x_{t})+v_{t}\label{eq:PCRB-system-adsum}
\end{eqnarray}
\end_inset
\lang czech
a dále šumy
\begin_inset Formula $w$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $v$
\end_inset
jsou Gaussovské s nulovou střední hodnotou a kovariančními maticemi
\begin_inset Formula $Q_{t}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset
v tomto pořadí.
Pak lze rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:PCRB-rovnice-pro-D"
\end_inset
) zjednodušit do tvaru
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
D_{t}^{11} & = & \mathtt{E}\left\{ \left[\nabla_{x_{t}}f_{t}^{T}(x_{t})\right]Q_{t}^{-1}\left[\nabla_{x_{t}}f_{t}^{T}(x_{t})\right]^{T}\right\} ,\nonumber \\
D_{t}^{12} & = & -\mathtt{E}\left\{ \nabla_{x_{t}}f_{t}^{T}(x_{t})\right\} Q_{t}^{-1},\label{eq:PCRB-rovnice-pro-D-gauss}\\
D_{t}^{22} & = & Q_{t}^{-1}+\mathtt{E}\left\{ \left[\nabla_{x_{t+1}}h_{t+1}^{T}(x_{t+1})\right]R_{t+1}^{-1}\left[\nabla_{x_{t+1}}h_{t+1}^{T}(x_{t+1})\right]^{T}\right\} .\nonumber
\end{eqnarray}
\end_inset
Pro úplnost je vhodné uvést, že v případě lineárního systému, to jest lineárních
funkcí
\begin_inset Formula $f_{t}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $h_{t}$
\end_inset
, odpovídá rekurzivní výpočet matice
\begin_inset Formula $J_{t}$
\end_inset
, založený na výše uvedených maticích (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:PCRB-rovnice-pro-D-gauss"
\end_inset
) pro
\begin_inset Formula $D_{t}$
\end_inset
, výpočtu aposteriorní kovarianční matice Kalmanova filtru
\begin_inset Formula $P_{t}=J_{t}^{-1}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Section
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:LQG-obecne"
\end_inset
Lineárně kvadraticky Gaussovské řízení
\end_layout
\begin_layout Standard
Lineárně kvadraticky Gaussovské řízení (Linear-Quadratic-Gaussian, LQG)
je jednou ze základních úloh teorie řízení.
Jak již název této metody napovídá, uplatňuje se pro řízení lineárních
systémů s kvadratickou ztrátovou funkcí a dále je uvažován aditivní bílý
Gaussovský šum.
V takovém případě pak platí separační princip a je možno zvlášť navrhnout
optimálního pozorovatele a optimální regulátor při současném zachování
optimality celého návrhu.
Optimálním pozorovatelem pro tento případ je Kalmanův filtr a optimální
řešení problému řízení je LQ regulátor.
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BertsekasDPOC"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Vzhledem k zamýšlené aplikaci na nelineární točivý stroj však nelze LQG
přístup přímo aplikovat, je však možno použít jeho zobecnění založené na
linearizaci nelineárního systému.
Pro nelineární systém ale obecně neplatí separační princip a zobecněné
LQG nebude optimální a bude se jednat o CE přístup v důsledku oddělení
estimační a řídící části.
\end_layout
\begin_layout Standard
Zobecnění Kalmanova filtru představuje rozšířený Kalmanův filtr uvedený
v následujícím odstavci, zobecnění LQ regulátoru pak bude provedeno v odstavci
následujícím pomocí vhodné linearizace systému.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Rozšířený Kalmanův filtr
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:EKF-popis"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Zde bude uvedena základní formulace v textu často zmiňovaného rozšířeného
Kalmanova filtru (Extended Kalman Filter, EKF).
Typicky je algoritmus standartního Kalmanova filtru používán jako pozorovatel
lineárního systému.
Je však možno jej zobecnit i pro nelineární systémy a pak hovoříme o rozšířeném
Kalmanově filtru.
Zobecnění je založeno na jednoduché myšlence, kdy původní nelineární systém
linearizujeme v každém časovém kroku v okolí odhadu, střední hodnoty a
kovariance.
Popis standartního Kalmanova filtru je možno nalézt v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BertsekasDPOC"
\end_inset
.
Následující popis rozšířeného Kalmanova filtru je převzat z
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "ekf2004,ekf2006"
\end_inset
:
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Modelový systém
\end_layout
\begin_layout Standard
Předpokládejme nelineární dynamický systém s aditivním šumem popsaný rovnicemi
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
x_{t} & = & f\left(x_{t-1},u_{t-1}\right)+w_{t-1},\\
y_{t} & = & h\left(x_{t}\right)+v_{t},
\end{eqnarray*}
\end_inset
pro
\begin_inset Formula $t=1,\ldots,T$
\end_inset
, kde
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset
je vektor stavu,
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset
vektor řízení,
\begin_inset Formula $y_{t}$
\end_inset
vektor pozorování (měření) a vektory
\begin_inset Formula $v_{t}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $w_{t}$
\end_inset
představují na sobě vzájemně nezávislý Gaussovský bílý šum s nulovou střední
hodnotou a kovariančními maticemi
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $Q_{t}$
\end_inset
v tomto pořadí; obecně nelineární funkce
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
představuje funkci systému a
\begin_inset Formula $h$
\end_inset
funkci měření a předpokládáme je známé.
\end_layout
\begin_layout Standard
Označme nyní
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
Jacobiho matici parciálních derivací
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
dle
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
v bodě odhadu, tedy
\begin_inset Formula $\left(A_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right)$
\end_inset
.
Obdobně pro funkci
\begin_inset Formula $h$
\end_inset
označme
\begin_inset Formula $C$
\end_inset
matici derivací
\begin_inset Formula $\left(C_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial h_{i}}{\partial x_{j}}\left(\overline{\hat{x}}_{t},0\right)$
\end_inset
, kde
\begin_inset Formula $\tilde{x}_{t}$
\end_inset
představuje aproximaci stavu vypočtenou z odhadu bez šumu
\begin_inset Formula $\tilde{x}_{t}=f\left(\overline{\hat{x}}_{t},u_{t-1},0\right)$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Algoritmus
\end_layout
\begin_layout Standard
Samotný algoritmus EKF můžeme rozdělit na dvě fáze.
V první označované jako časová oprava (time update) nebo také
\emph on
predikce
\emph default
se vypočítá apriorní odhad stavu a kovarianční matice:
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
\overline{\hat{x}}_{t} & = & f\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right),\nonumber \\
\overline{P}_{t} & = & A_{t}P_{t-1}A_{t}^{T}+Q_{t-1}.\label{eq:EKF-rovnice-time-upd}
\end{eqnarray}
\end_inset
Ve druhé části označované jako oprava měření (measurement update) neboli
\emph on
korekce
\emph default
pak získáme aposteriorní odhad stavu
\begin_inset Formula $\hat{x}_{t}$
\end_inset
a kovarianční matice
\begin_inset Formula $P_{t}$
\end_inset
:
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
K_{t} & = & \overline{P}_{t}C_{t}^{T}\left(C_{t}\overline{P}_{t}C_{t}^{T}+R_{t}\right)^{-1},\nonumber \\
\hat{x}_{t} & = & \overline{\hat{x}}_{t}+K_{t}\left(y_{t}-h\left(\overline{\hat{x}}_{t},0\right)\right),\label{eq:EKF-rovnice-data-upd}\\
P_{t} & = & \left(I-K_{t}C_{t}\right)\overline{P}_{t},\nonumber
\end{eqnarray}
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $I$
\end_inset
značí jednotkovou matici vhodného rozměru.
Pro úplnost je ještě třeba dodat počáteční apriorní odhady
\begin_inset Formula $\hat{x}_{0}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $P_{0}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Lineárně kvadratický regulátor
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:Linearne-kvadraticky-regulator-obec-popis"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Lineárně kvadratický regulátor (Linear-Quadratic, LQ) je primárně navržen
pro řízení lineárních systémů s kvadratickou ztrátovou funkcí.
Dále je třeba zmínit, že existuje celá řada různých modifikací a vylepšení
základního algoritmu, například pro nelineární systémy nebo lepší numerické
vlastnosti.
Základní formulace podle
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "BertsekasDPOC"
\end_inset
je následovná:
\end_layout
\begin_layout Standard
Uvažujme lineární systém
\begin_inset Formula
\begin{equation}
x_{t+1}=A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}+w_{t},\quad t=0,1,\ldots,T-1,\label{eq:lq-obecny-lin-system}
\end{equation}
\end_inset
kde obecně vektorová veličina
\begin_inset Formula $x_{t}$
\end_inset
reprezentuje stav systému v časovém kroku
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
, veličina
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset
řízení v čase
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $w_{t}$
\end_inset
je vzájemně nezávislý Gaussovský bílý šum s nulovou střední hodnotou a
známou kovarianční maticí, dále je uvažován konečný diskrétní časový horizont
\begin_inset Formula $T$
\end_inset
kroků.
\end_layout
\begin_layout Standard
Kvadratická ztrátová funkce je
\begin_inset Formula
\begin{equation}
\mathbf{E}\left\{ x_{T}^{T}Q_{T}x_{T}+\sum_{t=0}^{T-1}\left(x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}\right)\right\} ,\label{eq:lq-adit-kv-ztrata}
\end{equation}
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $\mathbf{E}$
\end_inset
značí očekávanou hodnotu,
\begin_inset Formula $Q_{t}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset
jsou penalizační matice stavu systému (splnění požadavků řízení), respektive
penalizace vstupů.
Na tyto matice jsou kladeny požadavky, že
\begin_inset Formula $Q_{t}\geq0$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $R_{t}>0$
\end_inset
.
Při uvažování neúplné informace
\begin_inset Formula $I_{t}$
\end_inset
o stavu je optimální řízení
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\lang english
\begin_inset Formula $\mu_{t}$
\end_inset
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang czech
v každém časovém kroku rovno
\begin_inset Formula
\[
\mu_{t}(I_{t})=L_{t}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{t}\mid I_{t}\right\} ,
\]
\end_inset
kde matice
\begin_inset Formula $L_{t}$
\end_inset
je dána rovností
\begin_inset Formula
\begin{equation}
L_{t}=-\left(R_{t}+B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}A_{t},\label{eq:riccati-lqg-matice-L}
\end{equation}
\end_inset
přičemž matice
\begin_inset Formula $K_{t}$
\end_inset
získáme rekurzivně z Riccatiho rovnice
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
K_{T} & = & Q_{T},\label{eq:riccati-lqg-matice-K}\\
K_{t} & = & A_{t}^{T}\left(K_{t+1}-K_{t+1}B_{t}\left(R_{t}+B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}\right)A_{t}+Q_{t}.\nonumber
\end{eqnarray}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Lineárně kvadratický algoritmus s QR rozkladem
\end_layout
\begin_layout Standard
Předchozí výpočet pomocí Riccatiho rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:riccati-lqg-matice-L"
\end_inset
) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:riccati-lqg-matice-K"
\end_inset
) však není příliš vhodným z numerických důvodů
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Favier1981"
\end_inset
.
Místo něj je pro praktické výpočty výhodnější použít například algoritmus
lineárně kvadratického řízení založený na QR rozkladu
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Favoreel1999"
\end_inset
.
Tento algoritmus má lepší numerické vlastnosti, umožňuje snadnější výpočet
maticové inverze (inverze pouze trojúhelníkové matice) a lze pomocí něj
implementovat i složitější kvadratickou ztrátovou funkci (nejen dva členy
pro penalizaci stavu a vstupů).
\end_layout
\begin_layout Standard
Postup je založen na přepisu kvadratické ztráty do tvaru
\begin_inset Formula
\begin{equation}
x_{t+1}^{T}Q_{t}x_{t+1}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}=x_{t+1}^{T}\sqrt{Q_{t}}^{T}\sqrt{Q_{t}}x_{t+1}+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t},\label{eq:lq-kv-ztrata-prepis-odmoc}
\end{equation}
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $\sqrt{\,}$
\end_inset
je vhodná maticová odmocnina.
Vzhledem k požadavkům positivní (semi)definitnosti na matice
\begin_inset Formula $Q_{t}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset
má tato odmocnina smysl.
V každém časovém kroku
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
pak minimalizujeme funkci
\begin_inset Formula
\begin{equation}
x_{t+1}^{T}\sqrt{Q_{t}}^{T}\sqrt{Q_{t}}x_{t+1}+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t}+x_{t+1}^{T}\sqrt{\Sigma_{t}}^{T}\sqrt{\Sigma_{t}}x_{t+1},\label{eq:lq-odm-ztrata-se-sigma}
\end{equation}
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $\Sigma_{t}$
\end_inset
reprezentuje ztrátu v následujících časových krocích až do konce časového
horizontu, jedná se o rekurzivní součet pozitivních ztrát a tedy maticová
odmocnina má opět smysl.
Do tohoto kvadratického výrazu je možno dostadit model vývoje pro
\begin_inset Formula $x_{t+1}=A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}$
\end_inset
a následně jej zapsat maticově ve tvaru
\begin_inset Formula
\begin{equation}
\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}\left[\begin{array}{cc}
\sqrt{Q_{t}}B_{t} & \sqrt{Q_{t}}A_{t}\\
\sqrt{R_{t}} & 0\\
\sqrt{\Sigma_{t}}B_{t} & \sqrt{\Sigma_{t}}A_{t}
\end{array}\right]^{T}\underset{Z}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}
\sqrt{Q_{t}}B_{t} & \sqrt{Q_{t}}A_{t}\\
\sqrt{R_{t}} & 0\\
\sqrt{\Sigma_{t}}B_{t} & \sqrt{\Sigma_{t}}A_{t}
\end{array}\right]}}\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right).\label{eq:lq-matic-ztrata-pro-qr}
\end{equation}
\end_inset
Na matici
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset
následně aplikujeme QR rozklad, to jest
\begin_inset Formula $Z=Q_{Z}R_{Z}$
\end_inset
a předchozí vztah upravíme na tvar
\begin_inset Formula
\[
\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}Z^{T}Z\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}Q_{Z}^{T}Q_{Z}R_{Z}\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}R_{Z}\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)
\]
\end_inset
a dále využijeme vlastnosti
\begin_inset Formula $Q_{Z}^{T}Q_{Z}=I$
\end_inset
.
Matice
\begin_inset Formula $R_{Z}$
\end_inset
je v horním trojúhelníkovém tvaru, tedy blokově zapsáno
\begin_inset Formula
\[
R_{Z}=\left[\begin{array}{cc}
R_{uu} & R_{ux}\\
0 & R_{xx}
\end{array}\right].
\]
\end_inset
Ztrátu nyní můžeme zapsat jako
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}R_{Z}\left(\begin{array}{c}
u_{t}\\
x_{t}
\end{array}\right) & = & \left(\begin{array}{c}
R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\\
R_{xx}x_{t}
\end{array}\right)^{T}\left(\begin{array}{c}
R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\\
R_{xx}x_{t}
\end{array}\right)\\
& = & \left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)^{T}\left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)+x_{t}^{T}R_{xx}^{T}R_{xx}x_{t},
\end{eqnarray*}
\end_inset
kterou, vzhledem k její kvadratičnosti a nezávislosti druhého členu na
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset
, zřejmě minimalizujeme volbou
\begin_inset Formula $u_{t}$
\end_inset
takovou, že
\begin_inset Formula $\left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)=0$
\end_inset
a tedy volíme
\begin_inset Formula
\[
u_{t}=-R_{uu}^{-1}R_{ux}x_{t}.
\]
\end_inset
Matici
\begin_inset Formula $R_{xx}^{T}R_{xx}$
\end_inset
pak použijeme do předchozího časového kroku jako novou matici
\begin_inset Formula $\Sigma$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Chapter
Aplikace duálního řízení na PMSM
\end_layout
\begin_layout Standard
Tato kapitola je věnována spojení předchozích dvou, tedy stručně řečeno
aplikaci vybraných algoritmů popsaných v kapitole o teorii řízení na konkrétní
systém PMSM uvedený v první kapitole.
Nejdříve budou uvedeny konkrétní matice používané pro rozšířený Kalmanův
filtr a následně i pro výpočet aposteriorních Cramer-Raových mezí.
Dále budou odvozeny různé verze lineárně kvadratického regulátoru jako
alternativa ke klasicky užívaným PI regulátorům používaným pro vektorové
řízení PMSM.
Následovat bude popis algoritmu využívajícího hyperstav, který vychází
právě z EKF a LQ regulátoru.
Na závěr této kapitoly bude ještě popsána vybraná verze bikriteriální metody
a návrh založený na využití injektáží.
\end_layout
\begin_layout Section
Úloha řízení PMSM
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:uloha-rizeni-PMSM"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Nejdříve je nutno přesně specifikovat úlohu, jakou se vybranými algoritmy
pokusíme řešit.
Této specifikace se dále v textu budeme držet, aby byly zajištěny v jistém
ohledu stejné podmínky pro všechny algoritmy.
\end_layout
\begin_layout Standard
Řízeným systémem bude synchronní motor s permanentními magnety.
Pro možné nasazení metod využívajících anizotropie předpokládáme v tomto
stroji různé indukčnosti v osách
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
, tedy
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Dále je uvažován PMSM v bezsenzorovém návrhu, to znamená, že mechanické
veličiny jako poloha a otáčky nejsou měřeny.
Měřenými veličinami jsou pouze proudy v osách
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
.
Řídící veličiny reprezentované napětími v osách
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
předpokládáme známé před vstupem do řídící elektroniky, skutečná napětí
měřena nejsou.
\end_layout
\begin_layout Standard
Napětí jako řídící veličiny navíc neuvažujeme libovolné, ale pouze z daného
intervalu
\begin_inset Formula $\left\langle -U_{max},U_{max}\right\rangle $
\end_inset
.
To vyjadřuje reálná omezení použitého napájecího zdroje.
\end_layout
\begin_layout Standard
V textu uvažujeme výhradně řízení otáček a referenční signál je tedy předpokládá
n v podobě požadované hodnoty otáček
\begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$
\end_inset
v daném čase
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Protože je nejdříve nutné zvládnout řízení stroje bez zátěže je zátěžný
moment
\begin_inset Formula $T_{L}$
\end_inset
uvažován nulový.
\end_layout
\begin_layout Standard
Dále uvažujeme, že na počátku (v nulovém čase) nemáme žádnou informaci o
poloze hřídele.
To lze vyjádřit tak, že rozdělení počáteční polohy
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}$
\end_inset
je uniformní na intervalu
\begin_inset Formula $\left(-\pi,\pi\right\rangle $
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Jako univerzální kritérium pro posuzování kvality jednotlivých aplikovaných
řídících strategií bude brán kvadrát odchylky skutečných a požadovaných
otáček.
\end_layout
\begin_layout Section
EKF pro PMSM
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:EKF-implementace-matice"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
V této práci byl jako pozorovatel používán zejména rozšířený Kalmanův filtr.
Budeme-li vycházet z popisu PMSM pomocí rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls"
\end_inset
) pro stejné nebo (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"
\end_inset
) pro různé indukčnosti, nabízí se více možností za jakých podmínek algoritmus
EKF použí.
Pro implementaci je však rozumných pouze několik málo z nich.
\end_layout
\begin_layout Standard
Především nemá příliš smysl uvažovat EKF v rotorových souřadnicích
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
.
Transformace ze statovorých souřadnic, ve kterých probíhá měření, do rotorových
totiž závisí na úhlu natočení
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
, viz rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"
\end_inset
).
Hodnotu tohoto úhlu ale neznáme a navíc se jedná v podstatě o hlavní veličinu,
kterou chceme pomocí EKF odhadnout.
Dalším problémem je, že v rovnicích popisujících PMSM (v případě stejných
i různých indukčností) v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
hodnota
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
vůbec nevystupuje a tedy ji z nich nelze rozumně určit.
Jistou možnstí, kdy by mělo smysl uvažovat EKF v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
, je případ, že bychom znali hodnotu
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
nebo její odhad z jiného zdroje.
Příkladem by mohla být znalost úhlu na základě aplikace vhodné injektážní
techniky.
Dále však budeme uvažovat EKF pouze ve statorových souřadnicích, konkrétně
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Šum
\end_layout
\begin_layout Standard
Algoritmus EKF předpokládá Gaussovský model šumu.
Vzhledem k popisu neurčitostí v PMSM, odstavec
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Stochasticky-model-pmsm"
\end_inset
, tento předpoklad splněn není.
Lze však provést aproximaci hustoty pravděpodobnosti skutečného šumu Gaussovsko
u hustotou s vhodnými parametry.
Tyto parametry lze buď nalézt na základě teoretické analýzy vlastností
šumu, jako v
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"
\end_inset
nebo je lze nalézt experimentálně.
V této práci posloužily jako výchozí hodnoty stanovené ve zmiňovaném zdroji
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Peroutka2009"
\end_inset
, které byly následně experimentálně doupraveny.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Plný model
\end_layout
\begin_layout Standard
Prvním diskutovaným případem bude návrh dále označovaný jako
\emph on
plný model
\emph default
a budou uvažovány stejné indukčnosti v osách
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
.
Všechny veličiny
\begin_inset Formula $i_{\alpha}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $i_{\beta}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
popisující PMSM označíme jako stav
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
.
Za pozorování
\begin_inset Formula $y$
\end_inset
budeme považovat proudy
\begin_inset Formula $i_{\alpha}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $i_{\beta}$
\end_inset
doplněné chybou měření.
Plný model je tedy popsán stavem a měřením
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
x_{t} & = & \left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T},\\
y_{t} & = & \left(y_{\alpha,t},y_{\beta,t}\right)^{T},
\end{eqnarray*}
\end_inset
jejichž vývoj v čase je dán rovnicemi modelového systému z části
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:EKF-popis"
\end_inset
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
x_{t+1} & = & f\left(x_{t},u_{t}\right)+w_{t},\\
y_{t} & = & h\left(x_{t}\right)+v_{t},
\end{eqnarray*}
\end_inset
kde funkce
\begin_inset Formula $f$
\end_inset
odpovídá soustavě rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:diskretni-system-albe-ls"
\end_inset
) a funkce
\begin_inset Formula $h$
\end_inset
je pouze identitou na první dvou složkách argumentu.
Vektory
\begin_inset Formula $w_{t}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $v_{t}$
\end_inset
pak reprezentují vzájemně nezávislé bílé Gaussovské šumy s nulovou střední
hodnotou a známými kovariančními maticemi
\begin_inset Formula $Q_{t}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $R_{t}$
\end_inset
v tomto pořadí.
\end_layout
\begin_layout Standard
Pro výpočet rekurzivního algoritmu EKF, rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:EKF-rovnice-time-upd"
\end_inset
) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:EKF-rovnice-data-upd"
\end_inset
), je třeba znát Jacobiho matice parciálních derivací
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $C_{t}$
\end_inset
, kde
\begin_inset Formula $\left(A_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right)$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $\left(C_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial h_{i}}{\partial x_{j}}\left(\overline{\hat{x}}_{t},0\right)$
\end_inset
.
V tomto případě je výpočet poměrně jednoduchý a výsledné matice jsou
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
A_{t} & = & \left[\begin{array}{cccc}
a & 0 & b\sin\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\\
0 & a & -b\cos\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}\\
-e\sin\hat{\vartheta}_{t-1} & e\cos\hat{\vartheta}_{t-1} & d & -e\left(\hat{i}_{\beta,t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}+\hat{i}_{\alpha,t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\right)\\
0 & 0 & \Delta t & 1
\end{array}\right],\nonumber \\
C_{t} & = & C=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{array}\right].\label{eq:matice-ekf-plnymodel-ls}
\end{eqnarray}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsection
Redukovaný model
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:EKF-Redukovany-model"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Redukovaný model se snaží usnadnit výpočet algoritmu EKF tím způsobem, že
zmenšuje uvažovaný stav systému.
Kritickým místem použití EKF je totiž časově náročná maticová inverze,
viz část
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:EKF-popis"
\end_inset
.
Pro plný model má vektor stavu velikost
\begin_inset Formula $4$
\end_inset
a tedy je invertována matice o rozměru
\begin_inset Formula $4\times4$
\end_inset
, oproti tomu redukovaný model užívá pouze stavu velikosti
\begin_inset Formula $2$
\end_inset
a inverze matice
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset
je znatelně rychlejší.
\end_layout
\begin_layout Standard
Hlavní myšlenkou je nezahrnovat proudy
\begin_inset Formula $i_{\alpha}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $i_{\beta}$
\end_inset
do stavu a rovnou je definovat jako měření, tedy
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
x_{t} & = & \left(\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T},\\
y_{t} & = & \left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t}\right)^{T}.
\end{eqnarray*}
\end_inset
Vyjdeme tedy ze stejných diskrétních rovnic popisujících PMSM (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:matice-ekf-plnymodel-ls"
\end_inset
), ale nyní první dvě rovnice představují měření a druhé dvě vývoj systému.
Matice pro EKF jsou pak ve tvaru
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray}
A_{t} & = & \left[\begin{array}{cc}
d & -e\left(\hat{i}_{\beta,t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}+\hat{i}_{\alpha,t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\right)\\
\Delta t & 1
\end{array}\right],\nonumber \\
C_{t} & = & \left[\begin{array}{cc}
b\sin\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\\
-b\cos\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}
\end{array}\right].\label{eq:matice-ekf-redukovanymodel-ls}
\end{eqnarray}
\end_inset
Dále je pak třeba ještě upravit hodnoty kovariančních matic pro šumy.
Označme kovarianční matice plného stavu jako
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $R$
\end_inset
a předpokládejme, že
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset
je blokově diagonální s bloky o rozměru
\begin_inset Formula $2\times2$
\end_inset
, tedy
\begin_inset Formula
\[
Q=\left[\begin{array}{cc}
Q_{1}\\
& Q_{2}
\end{array}\right].
\]
\end_inset
Ze vztahu pro součet dvou normálních náhodných veličin jsou pak kovarianční
matice pro redukovaný model ve tvaru
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
Q_{red} & = & Q_{2},\\
R_{red} & = & R+Q_{1}.
\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsection
Různé indukčnosti
\end_layout
\begin_layout Standard
V případě plného modelu pro různé indukčnosti
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset
je postup zcela analogický, jen výchozí rovnice jsou jiné.
V praxi jsou však rovnice relativně složité a proto nejsou uvedeny přímo
zde v textu, lze je však nalézt v příloze.
\end_layout
\begin_layout Standard
Redukovaný model pro různé indukčnosti již v textu ani v příloze uveden
není, ale jeho případné odvození je možno relativně snadno provést jako
zjednodušení modelu plného.
\series bold
(možná přidat i redukovaný -- je v PCRB)
\end_layout
\begin_layout Section
Rovnice pro PCRB
\end_layout
\begin_layout Subsection
Užité modely
\end_layout
\begin_layout Standard
Obecně byly použity čtyři typy modelů v souřadném systému
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset
.
Souřadný systém
\begin_inset Formula $dq$
\end_inset
nemá smysl používat, jelikož nejvíce zajímavá mez polohy stále roste, což
lze jednak usuzovat na základě tvaru ronvic, ale tento fakt byl ověřen
i experimentálně.
Jednotlivé modely se liší tím, jestli je uvažován
\emph on
plný
\emph default
nebo
\emph on
redukovaný
\emph default
stav systému.
Dále pak jestli byl uvažován model motoru se
\emph on
stejnými
\emph default
nebo
\emph on
různými
\emph default
indukčnostmi v osách
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
.
Matice derivací
\begin_inset Formula $A_{n}=\left[\nabla_{x_{n}}f_{n}^{T}(x_{n})\right]^{T}$
\end_inset
zobrazení
\begin_inset Formula $f_{n}$
\end_inset
a matice
\begin_inset Formula $C_{n+1}=\left[\nabla_{x_{n+1}}h_{n+1}^{T}(x_{n+1})\right]^{T}$
\end_inset
zobrazení
\begin_inset Formula $h_{n+1}$
\end_inset
dle jednotlivých stavových veličin jsou ekvivalentní maticím používaným
pro EKF.
Obdobné je to i s kovariančními maticemi
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $R$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Omezování hodnot meze
\end_layout
\begin_layout Standard
Vzhledem k tomu, že poloha
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
je vyjádřena jako úhel (v radiánech), má smysl ji uvažovat pouze v intervalu
\begin_inset Formula $\left\langle -\pi,\pi\right\rangle $
\end_inset
(případně s vyloučením jedné z krajních hodnot).
V modelu pro výpočet PCRB je však
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
uvažována jako náhodná veličina s normálním rozdělením, která nabývat hodnot
z celé reálné osy a následně může PCRB dosáhnout velmi vysokých hodnot.
Tyto hodnoty však pro interpretaci ve vztahu k PMSM nemají smysl, protože
nejhorší případ (ve smyslu největší neznalosti parametru
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
) nastává, když je hodnota
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
rovnoměrně rozdělena v intervalu
\begin_inset Formula $\left\langle -\pi,\pi\right\rangle $
\end_inset
, tedy o hodnotě úhlu natočení
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
není žádná informace.
Proto má smysl uvažovat hodnoty PCRB
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
jen do velikosti variance rovnoměrného rozdělení na intervalu
\begin_inset Formula $\left\langle -\pi,\pi\right\rangle $
\end_inset
, tato hodnota je
\begin_inset Formula $\frac{\pi^{2}}{3}$
\end_inset
.
Nad touto hranicí nemá smysl PCRB
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
uvažovat a vyšší hodnoty je buď možno oříznout pevnou mezí nebo pomocí
výpočtu oříznutého normálního rozdělení, který bude užit dále.
Srovnání obou možností je zachyceno na grafech Obrázek
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Hodnoty-PCRB-polohy"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\noindent
\align center
\begin_inset Tabular
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/orez_val.eps
scale 45
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/orez_N.eps
scale 45
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
a) pevná mez
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
b) oříznuté normální rozdělení
\end_layout
\end_inset
|
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
Srovnání metod omezování hodnoty PCRB polohy
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
: První možností je oříznutí pevnou mezí
\begin_inset Formula $\frac{\pi^{2}}{3}$
\end_inset
(znázorněna čárkovaně), druhou pak užití oříznutého normálního rozdělení.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Hodnoty-PCRB-polohy"
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Postup s oříznutím normálního rozdělení je samozřejmě velmi zjednodušený.
Správný postup by vyžadoval odvodit vztahy pro skutečnou, tedy negaussovskou,
hustotu úhlu natočení.
To je však poměrně náročný úkol, především z důvodu, že skutečná hustota
úhlu natočení není ani přesně známa a proto se dále v textu omezíme na
přístup využívající ořez normální hustoty.
\end_layout
\begin_layout Paragraph*
Oříznuté normální rozdělení
\end_layout
\begin_layout Standard
Následující popis čerpá z
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "Smidl2006"
\end_inset
:
\end_layout
\begin_layout Standard
Oříznuté normální rozdělení pro skalární náhodnou veličinu
\begin_inset Formula $x$
\end_inset
je definováno jako normální rozdělení
\begin_inset Formula $\mathrm{N}\left(\mu,r\right)$
\end_inset
na omezeném supportu
\begin_inset Formula $a
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\series bold
parametr
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\series bold
označení
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\series bold
hodnota
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
rezistance
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $R_{s}$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
0,28
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
izotropní indukčnost
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
0,003465
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
indukčnost v ose
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
0,003119
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
indukčnost v ose
\begin_inset Formula $q$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
0,003812
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
tok permanentních magnetů
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\psi_{pm}$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
0,1989
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
Parkova konstanta
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $k_{p}$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
1,5
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
počet párů pólů
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $p_{p}$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
4
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
moment setrvačnosti rotoru
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $J$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
0,04
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
koeficient viskozity
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $B$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
0
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
zátěžný moment
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $T_{L}$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
0
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
vzorkovací perioda
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Delta t$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
0,000125
\end_layout
\end_inset
|
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsection
Kompenzace úbytků napětí
\end_layout
\begin_layout Standard
Jak již bylo zmíněno, používaný simulátor zahrnuje i složitější vlivy napájecí
elektroniky.
Jedním z těchto vlivů jsou i takzvané
\emph on
úbytky napětí
\emph default
.
Problém těchto úbytků je stručně takový, že po napájecím zdroji požadujeme
určité napětí, ale napájecí zdroj dodá napětí menší, proto také označení
úbytky.
Skutečná napětí však neměříme a předpokládáme, že požadované napětí se
rovná skutečnému, viz část
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:uloha-rizeni-PMSM"
\end_inset
.
Následně může docházet k chybám, protože reálná hodnota napětí ve stroji
je menší, než navrhl řídící algoritmus a tento algoritmus se o tom navíc
nedozví.
Tato situace je zachycena na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Vliv-ubytku-napeti"
\end_inset
vlevo, kde odhad určený na základě požadovaného napětí přesně sleduje referenčn
í otáčky, ale skutečné otáčky jsou v důsledku úbytku napětí jiné.
\end_layout
\begin_layout Standard
Vhodným způsobem jak tento problém řešit, je úbytky napětí kompenzovat.
Kompenzace používaná v této práci je velmi jednoduchá.
Byla vytvořena na základě volt-ampérové charakteristiky stroje využité
v simulátoru a je založena na předpokladu, že úbytek napětí je úměrný procházej
ícímu proudu.
Kompenzace pak probíhá tak, že ze známé hodnoty proudu je vypočítán úbytek
napětí pomocí po částech lineární aproximace volt-ampérové charakteristiky.
O tento úbytek je následně zvýšena hodnota požadovaného řídícího napětí.
Nevýhodami takového přístupu je, že taková kompenzace není zpětnovazební
a dále je v podstatě nastavena na kompenzaci simulátoru a pro reálný stroj
by bylo třeba vytvořit kompenzaci novou.
Pozitivní vliv kompenzace je zachycen na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Vliv-ubytku-napeti"
\end_inset
vpravo, kde je možné srovnat skutečné otáčky simulovaného běhu systému
s a bez užití kompenzace.
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/kompenzace_odhad.eps
scale 45
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/kompenzace.eps
scale 45
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
Vliv úbytků napětí a jejich kompenzace na otáčky.
Na levém obrázku je zachycen negativní důsledek úbytků napětí, kdy se odhad
kryje s požadovanou hodnotou, ale skutečnost je jiná.
Na obrázku vpravo jsou pro srovnání zachyceny skutečné otáčky v případě
bez kompenzace a pak při jejím užití.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Vliv-ubytku-napeti"
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsection
Srovnávací kritéria
\end_layout
\begin_layout Standard
Jednotlivé algoritmy budou porovnány na základě několika kritérií.
Hlavní z nich je, jak již bylo zmíněno v části
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:uloha-rizeni-PMSM"
\end_inset
založeno na kvadrátu odchylky skutečných a požadovaných otáček.
Toto kritérium v podstatě vystihuje míru shody mezi zadanými požadavky
v podobě referenčního signálu a jejich skutečným naplněním.
Výpočet součtu těchto kvadrátů odchylek však není vhodné přímo užít, protože
je závislý na délce časového horizontu.
Dále v textu tedy bude uvažováno normované verze takového součtu, která
odpovídá průměrné kvadratické chybě za jeden časový krok.
\end_layout
\begin_layout Standard
Dalším posuzovacím kritériem pak bude složitost daného algoritmu, především
v tom smyslu, jak by byla náročná jeho potenciální aplikace pro řízení
skutečného stroje v reálném čase.
Diskutována bude i přesnost jednotlivých algoritmů s jakou stanovují odhady
stavových veličin.
\end_layout
\begin_layout Standard
Časový horizont pro porovnání použitých metod bude obvykle volen v délce
15
\begin_inset Formula $s$
\end_inset
, případně pro posouzení počátečního chování systému kratší.
Jako referenční signál bude sloužit několik testovacích profilů, v textu
budou dále označovány jako:
\end_layout
\begin_layout Itemize
\emph on
nulové otáčky
\emph default
:
\begin_inset Formula $\omega_{ref}\equiv0$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Itemize
\emph on
nízké otáčky
\emph default
: trojúhelníkový a lichoběžníkový profil s amplitudou
\begin_inset Formula $1$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Itemize
\emph on
průchody nulou
\emph default
: trojúhelníkový a lichoběžníkový profil s amplitudou
\begin_inset Formula $10$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Itemize
\emph on
vysoké otáčky
\emph default
: trojúhelníkový a lichoběžníkový profil s amplitudou
\begin_inset Formula $200$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Rozdíl mezi trojúhelníkovým a lichoběžníkovým profilem je znázorněn na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Priklad-profilu-pozad-otack"
\end_inset
, kde je znázorněn pro amplitudu
\begin_inset Formula $10$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
filename obrazky/testprofily.eps
scale 60
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
\emph on
Příklad profilů požadovaných otáček na časovém horizontu
\begin_inset Formula $15\:\mathrm{s}$
\end_inset
s amplitudou
\begin_inset Formula $10\:\mathrm{rad}/\mathrm{s}$
\end_inset
: nahoře trojúhleníkový a dole lichoběžníkový profil
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Priklad-profilu-pozad-otack"
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Section
Výběr parametrů jednotlivých metod
\end_layout
\begin_layout Standard
Protože jednotlivé algoritmy popsané v předchozí části připouštějí více
různých implementací a různou volbu klíčových parametrů, je v této části
provedeno jejich experimentální srovnání a následná volba reprezentativních
zástupců.
\end_layout
\begin_layout Subsection
LQ regulátor
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sub:LQ-regulator-volba-param"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
V části
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Linearne-kvadraticky-regulator"
\end_inset
byl popsán lineárně kvadratickéhý regulátor pro PMSM.
Některé jeho parametry však nebyly specifikovány a navíc je možná celá
řada implementací například dle volby ztrátové funkce nebo souřadného systému.
V následujících odstavcích budou porovnány různé verze LQ regulátoru a
bude z nich vybrán vhodný zástupce, který bude tuto
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
rodinu
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
reprezentovat při srovnání s ostatními algritmy, případně bude sloužit
jako základ pro tvorbu algoritmů složitějších.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Vliv matice R
\end_layout
\begin_layout Standard
Nejdříve bude věnována pozornost volbě matice
\begin_inset Formula $R$
\end_inset
představující penalizaci řídícího zásahu ve ztrátové funkci (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:lq-adit-kv-ztrata"
\end_inset
).
Právě hodnoty této matice byly voleny experimentálně tak, aby bylo dosaženo
co nejlepšího výsledného řízení ve smyslu minimální průměrné kvadratické
chyby.
Matice
\begin_inset Formula $R$
\end_inset
byla volena po vzoru popisu z odstavce
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:LQR-Ztratova-funkce"
\end_inset
jako diagonální v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
a na výslednou matici
\begin_inset Formula $R$
\end_inset
v soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
byla převáděna aplikací matice rotace, viz rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rotace-rdq-na-ralbe"
\end_inset
).
Rozhodující tedy byla volba dvou diagonálních prvků
\begin_inset Formula $R_{d}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $R_{q}$
\end_inset
.
Pro různé dvojice těchto prvků byly provedeny experimenty a vyhodnocena
velikost průměrné kvadratické chyby.
Jako příklad budou uvedeny dva takové experimenty: První na
\emph on
jednoduchém modelu
\emph default
pro referenční profil
\emph on
vysoké otáčky -- lichoběžník
\emph default
a druhý pak na
\emph on
simulátoru
\emph default
s profilem
\emph on
průchody nulou -- lichoběžník
\emph default
.
Výsledek těchto experimentů je zobrazen na grafech v obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:Posouzeni-vlivu-matice-R"
\end_inset
.
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/vlivR_exp1.png
scale 45
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/vlivR_exp2.png
scale 45
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
Posouzení vlivu matice
\begin_inset Formula $R$
\end_inset
na velikost průměrné kvadratické chyby.
Vlevo je zachycen výsledek jednoduchého modelu při užití referenčního profilu
vysoké otáčky -- lichoběžník a vpravo pak výsledek ze simulátoru s profilem
průchody nulou -- lichoběžník.
Všechny osy jsou logaritmické a označení
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset
reprezentuje průměrnou kvadratickou chybu.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:Posouzeni-vlivu-matice-R"
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Hodnoty matice
\begin_inset Formula $R$
\end_inset
, se kterými bylo dosaženo nejlepších výsledků ve smyslu minimální průměrné
chyby, jsou v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
:
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
R_{d} & = & 1,0e-3,\\
R_{q} & = & 1,0e-6.
\end{eqnarray*}
\end_inset
Podobně je možno volit hodnoty i pro matici
\begin_inset Formula $S$
\end_inset
penalizující přírůstky napětí, viz odstavec
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:LQR-Ztratova-funkce"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Vliv penalizace řídícího zásahu
\end_layout
\begin_layout Standard
Různé implementace lineárně kvadratického algoritmu lze získat v závislosti
na volbě tvaru kvadratické ztrátové funkce, viz rovnice (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:lqr-ztrat-fce-tri-cleny"
\end_inset
).
Člen ztrátové funkce týkající se penalizace stavových veličin (dán maticí
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset
), případně jejich odchylky od požadované hodnoty zůstane nezměněn.
Pro penalizaci řídících zásahů však budeme podrobněji diskutovat tři možnosti:
Jednak je možné uvažovat pouze penalizaci hodnoty, tedy uvažovat člen s
maticí
\begin_inset Formula $R$
\end_inset
.
Další možností je penalizovat jejich přírůstky, tedy užít člen s maticí
\begin_inset Formula $S$
\end_inset
.
Poslední zkoumanou možností je ponechat členy oba a penalizovat jak samotnou
hodnotu, tak i její přírůstky.
\end_layout
\begin_layout Standard
Testování jednotlivých možností probíhalo na simulátoru i za použití jednoduchéh
o modelu pro různá nastavení a referenční profily.
Opět byla vyhodnocována průměrná kvadratická chyba, protože však tento
ukazatel není vhodný pro srovnání za různých simulačních podmínek a na
různých profilech, byly pouze zaznamenávány počty, kolikrát každá z možností
penalizace dosáhla nejmenší chyby.
Na grafu obrázek jsou pak tyto hodnoty zachyceny.
Jako nejvýhodnější se ukázalo využití pouze penalizace přírůstků.
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
filename obrazky/vliv_ss.eps
scale 80
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
Vliv rozdílné penalizace řídícího zásahu.
Na grafu jsou zachyceny počty, kdy daná kategorie dosáhla nejnižší průměrné
chyby za různých experimentálních podmínek.
Význam kategorií je následující: 1 -- penalizace pouze hodnot napětí; 2
-- penalizace pouze přírůstků napětí; 3 -- penalizace hodnot i přírůstků
napětí.
Jednotlivé sloupečky v rámci kategorie představují různé experimentální
podmínky.
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Vliv souřadné soustavy
\end_layout
\begin_layout Standard
Poslední ze zkoumaných možností implementace LQ regulátoru je volba souřadné
soustavy.
V části
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Linearne-kvadraticky-regulator"
\end_inset
byly popsány matice pro implementaci v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
, ale i v
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
a oba tyto případech zde budou uvažovány pro experimentální porovnání.
\end_layout
\begin_layout Standard
V souřadné soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
jsou rovnice popisující PMSM lineární až na smíšené členy obsahující součin
proudu a otáček a v případě zanedbání těchto členů by rovnice byly lineární
zcela.
To by přineslo značnou výhodu, protože by bylo možno celý algoritmus LQ
regulátoru předpočítat a výpočet řícícího zásahu značně usnadnit.
Zda je však možno zmiňované členy zanedbat a jaké to má důsledky bylo ponecháno
k experimentálnímu ověření.
Dalším z uvažovaných modelů pro srovnání je tedy předpočítaný LQ regulátor
v
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
souřadné soustavě s konstantní maticí
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Dále bude ještě uvažován lineárně kvadratický regulátor v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
pro různé indukčnosti v osách
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset
.
A jako referenční bude pro srovnání s ostatními uvažováno i klasické vektorové
řízení založené na PI regulátorech.
\end_layout
\begin_layout Standard
Vzájemně srovnáváno tedy bylo následujících pět typů algoritmů vektorového
řízení založeného na:
\end_layout
\begin_layout Itemize
PI regulátorech (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset
)
\end_layout
\begin_layout Itemize
LQ regulátoru v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
(
\begin_inset Formula $LQ_{\alpha-\beta}$
\end_inset
)
\end_layout
\begin_layout Itemize
LQ regulátoru v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
(
\begin_inset Formula $LQ_{d-q}$
\end_inset
)
\end_layout
\begin_layout Itemize
LQ regulátoru v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
s konstantní maticí (
\begin_inset Formula $LQ_{d-q}\; konst.$
\end_inset
)
\end_layout
\begin_layout Itemize
LQ regulátoru v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
pro různé indukčnosti (
\begin_inset Formula $LQ_{\alpha-\beta}\; L_{dq}$
\end_inset
)
\end_layout
\begin_layout Standard
kde v závorce je vždy uvedena zkratka, kterou bude daný algoritmus dále
označován v tomto odstavci.
Jednotlivé výše zmiňované metody pro řízení PMSM byly opět porovnávány
především na základě dosažených průměrných kvadratických chyb, tyto hodnoty
při užití simulátoru jsou uvedeny v tabulce
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "tab:Hodnoty-alps"
\end_inset
.
Hlavní rysy tohoto porovnání však lze vypozorovat již ze samotných průběhů
simulací:
\begin_inset Float table
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\emph on
nízké otáčky
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\emph on
průchody nulou
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\emph on
vysoké otáčky
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\emph on
trojúh.
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\emph on
lichob.
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\emph on
trojúh.
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\emph on
lichob.
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\emph on
trojúh.
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\emph on
lichob.
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $3,33e-1$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $4,44e0$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $2,37e0$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $1,56e0$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $3,02e0$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $1,14e1$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\lang english
\begin_inset Formula $LQ_{\alpha-\beta}$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $3,45e-2$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $2,96e-2$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $5,36e-1$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $1,15e-1$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $2,48e0$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $7,02e0$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $LQ_{d-q}$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $3,57e-2$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $2,98e-2$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $5,49e-1$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $1,14e-1$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $2,58e0$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $7,52e0$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $LQ_{d-q}\; konst.$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $2,87e-2$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $2,40e-2$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $3,92e-1$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $1,07e-1$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $1,58e1$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $9,26e0$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $LQ_{\alpha-\beta}\; L_{dq}$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $8,53e-3$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $8,43e-3$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $1,34e-1$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $1,47e-2$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $1,62e1$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $1,16e1$
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
Hodnoty průměrné kvadratické chyby dosažené na simulátoru pro jednotlivé
uvažované algoritmy při různých profilech referenčních otáček.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "tab:Hodnoty-alps"
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Především je třeba zmínit špatné chování algoritmu (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset
) v blízkosti nulových otáček, kdy dochází k jistému
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
zpoždění
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
, než začne regulátor správně pracovat.
Charakter tohoto jevu je možno detailněji posoudit na výstupech ze simulátoru
na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:spatne-chovani-PI"
\end_inset
.
Při nízkých požadovaných otáčkách (profil
\emph on
nízké otáčky -- trojúhelníky
\emph default
a
\emph on
lichoběžníky
\emph default
) pak dojde k tomu, že algoritmus (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset
) vůbec nezačne řídit, otáčky stroje jsou nulové a počáteční poloha rotoru
zůstane nezměněna.
Oproti tomu metody řízení založené na LQ regulátoru tímto nedostatkem netrpí
a dokáží pracovat i s malou amplitudou referenčních otáček.
Tento výsledek, tedy rozdíl algoritmu (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset
) a obecně nějakého (
\begin_inset Formula $LQ$
\end_inset
) je zachycen na grafech obrázek
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:spatne-chovani-PI"
\end_inset
a).
\end_layout
\begin_layout Standard
Zmiňované problematické chování (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset
) však má další důsledky i při vyšších otáčkách, kdy vykazuje chyby při
průchodu nulou.
Jako průchod nulou je označován proces, kdy požadované otáčky mění znaménko
a tedy stroj přechází z rotace jedním směrem na rotaci směrem opačným.
Zřejmě tedy stroj musí na jistý časový okamžik zastavit a to může způsobovat
problémy.
Ty jsou patrné opět hlavně pro (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset
) algoritmus a využití LQ regulátoru je umožňuje potlačit.
Grafické srovnání je zachyceno na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:spatne-chovani-PI"
\end_inset
b).
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/vss_nt.eps
scale 45
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/vss_nl.eps
scale 45
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
a) nízké požadované otáčky
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/vss_pt.eps
scale 45
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/vss_pl.eps
scale 45
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
b) problematika průchodů nulou
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
|
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
Špatné chování algoritmu (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset
) v blízkosti nulových otáček: Nahoře v části a) je zachycen průběh otáček
a polohy, kdy obecně (
\begin_inset Formula $LQ$
\end_inset
) algoritmus zvládne sledovat nízký profil referenčních otáčkek
\begin_inset Formula $\omega_{ref}$
\end_inset
a dobře se s nimi kryje, zatímco algoritmus (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset
) je neaktivní.
V části b) jsou zachyceny problematické průchody nulou, kdy se algoritmus
(
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset
) dopouští v blízkosti nulových otáček nezanedbatelné chyby, zatímco průběh
hodnot pro algoritmus (
\begin_inset Formula $LQ$
\end_inset
) je relativně hladký.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:spatne-chovani-PI"
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Dále lze rozdílné chování jednotlivých algoritmů pozorovat při vyšších otáčkách.
Detaily výstupu ze simulátoru pro referenční profil
\emph on
vysoké otáčky
\emph default
jsou zachyceny na grafech obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:vysoke-otacky-detail"
\end_inset
.
Prvním pozorováním je relativně větší chyba, které se dopouští (
\begin_inset Formula $LQ_{d-q}\; konst.$
\end_inset
), kdy v nejvyšším bodě profilu dosahuje přibližně chyby
\begin_inset Formula $5\%$
\end_inset
, obrázek
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:vysoke-otacky-detail"
\end_inset
a) vlevo.
Horší výsledky této metody však lze při vyšších otáčkách očekávat, protože
využívá nepřesného popisu stroje, kdy byly zanedbány členy úměrné právě
otáčkám stroje a jejich vliv tedy s otáčkami roste.
Dále lze pozorovat větší chybu u (
\begin_inset Formula $LQ_{\alpha-\beta}\; L_{dq}$
\end_inset
), ostatní použité algoritmy si pro vysoké hodnoty otáček počínají relativně
dobře při srovnání na základě průměrné kvadratické chyby celkem vyrovněně.
Hodnoty této chyby shrnuje tabulka
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "tab:Hodnoty-alps"
\end_inset
.
Na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:vysoke-otacky-detail"
\end_inset
a) vpravo je dále uveden detail průchodu nulou, kde se (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset
) algoritmus opět dopouští větší chyby než ostatní algoritmy založené na
LQ regulátoru.
\end_layout
\begin_layout Standard
Zajímavější porvnání užitých algoritmů nabízí grafy na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:vysoke-otacky-detail"
\end_inset
b), kde jsou zachyceny detaily výstupu simulátoru pro lichoběžníkový profil
\emph on
vysoké otáčky
\emph default
.
Na tomto obrázku vlevo je zachyceno chování jednotlivých metod v nejvyšší
části profilu.
Největší chyby se v tomto případě dopouštějí podobně jako v předchozím
případě pro trojúhleníkový profil algoritmy (
\begin_inset Formula $LQ_{d-q}\; konst.$
\end_inset
) a (
\begin_inset Formula $LQ_{\alpha-\beta}\; L_{dq}$
\end_inset
).
Jisté chyby se dopouští i (
\begin_inset Formula $LQ_{d-q}$
\end_inset
) a nejlepší výsledky pak vykazuje (
\begin_inset Formula $LQ_{\alpha-\beta}$
\end_inset
).
V pravé části tohoto obrázku je znázorněn průchod nulovými otáčkami za
stejných simulačních podmínek.
Opět je zde patrné, že největší chyby se dopouští algoritmus (
\begin_inset Formula $PI$
\end_inset
).
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/vss_vt.eps
scale 55
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
a) vybrané detaily pro profil trojúhelník
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/vss_vl.eps
scale 55
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
b) vybrané detaily pro profil lichoběžník
\end_layout
\end_inset
|
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
Detaily chování jednotlivých algoritmů při použití simulátoru s profilem
\emph on
vysoké otáčky
\emph default
.
Vlevo je vždy detail nejvyššího bodu profilu a vpravo pak detail průchodu
nulou.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:vysoke-otacky-detail"
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Na základě dosažených hodnot průměrného kvadrátu chyby byl nakonec jako
nejvhodnější zástupce vektorového řízení s lineárně kvadratickým regulátorem
vybrán algoritmus (
\begin_inset Formula $LQ_{\alpha-\beta}$
\end_inset
), který sice není vždy univerzálně nejlepší, ale zvládne poskytovat dobré
výsledky pro všechny testované rychlosti.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Diskuze a výběr zástupce
\end_layout
\begin_layout Standard
Na základě simulací jejichž výsledky byly shrnuty v předchozích odstavcích
byl ze všech uvažovaných implementací lineárně kvadratického regulátoru
vybrán jeden zástupce.
Ten bude sloužit pro srovnání s ostatními uvažovanými algoritmy, ale i
jako základ pro další rozšíření, například pomocí hyperstavu.
Tímto zástupcem je algoritmus v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
se ztrátovou funkcí penalizující pouze přírůstky napětí s penalizační maticí
\begin_inset Formula
\[
S^{dq}=\left[\begin{array}{cc}
1e-3\\
& 1e-6
\end{array}\right].
\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Kromě výběru vhodné implementace LQ regulátoru však byla získána i další
důležitá pozorování: Především se jedná o zjištění nedostatků vektorového
řízení založeného na PI regulátorech v otáčkách blízko nuly, které využití
LQ regulátoru odstraňuje.
\end_layout
\begin_layout Standard
Dalším zjištěním pak je potenciální možnost nasadit konstantní LQ regulátor,
který je znatelně rychlejší, protože je možno jej díky jeho časové invarianvi
předpočítat.
Jeho užití je obzvláště výhodné pro nízké otáčky, kde dosahuje dokonce
menší průměrné kvadratické chyby než nekonstantní verze, viz tabulka
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "tab:Hodnoty-alps"
\end_inset
.
Nasazení tohoto regulátoru pro aplikace uvažující vyšší otáčky již příliš
vhodná není.
\end_layout
\begin_layout Standard
Podobných výsledků dosáhl LQ regulátor v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
při uvažování různých indukčností
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset
.
Průměrná kvadratická chyba je při jeho aplikaci v nízkých otáčkách nejnižší
ze všech uvažovaných algoritmů, oproti tomu ve vyšších otáčkach je chyba
relativně nevyšší, viz tabulka
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "tab:Hodnoty-alps"
\end_inset
.
Navíc je třeba připočíst nutnost pracovat s velmi složitými rovnicemi pro
popis PMSM v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
pro různé indukčnosti
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Zajímavé je srovnání s výše zmiňovaných výsledků s výzkumným úkolem
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
key "VYZ2011"
\end_inset
.
V citováné práci byl totiž experimentálně získán výsledek, že lepších výsledků
je dosaženo použitím LQ regulátoru v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
a v soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
jsou výsledky znatelně horší.
Tento zdánlivý rozpor je však způsoben tím, že v citovaném zdroji nebyla
uvažována rozdílná penalizace řídících zásahů, případně jejich přírůstků,
v osách
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
.
Právě aplikování této rozdílné penalizace mělo nějvětší vliv na zlepšení
výsledků dosahovaných pomocí LQ regulátoru v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Bikriteriální metoda
\end_layout
\begin_layout Standard
V části
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Bikriterialni-metoda"
\end_inset
byly popsány čtyři verze bikriteriální metody: základní verze, časově posunutá
verze, více současně běžících EKF a přídání konstanty k řízení v ose
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
.
Tyto postupy se však týkají pouze budící části a je třeba je přidat k opatrnému
řízení.
Jak již bylo zmíněno, nalezení opatrného řízení je v případě PMSM problematické
a proto je místo něj užito standartní vektorového řízení.
Je uvažováno vektorové řízení založené na PI regulátorech i na LQ návrhu.
Jednotlivé verze lišící se verzí bikriteriální metody a volbou řízení byly
vzájemně porovnány především na základě dosažených průměrných kvadratických
chyb.
Hodnota parametru
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset
, případně
\begin_inset Formula $\varepsilon_{d}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $\varepsilon_{q}$
\end_inset
, byla v provedených experimentech volena
\begin_inset Formula $5V$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Bikriteriální metoda s vektorovým PI řízením
\end_layout
\begin_layout Standard
Nejdříve byla věnována pozornost různým verzím bikriteriální metody využívající
jako řídící
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
opatrnou
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
část vektorové PI řízení.
Právě využití tohoto řízení však přináší řadu komplikací.
Především v tom smyslu, že jsou opět do jisté míry přítomny již zmiňované
nedostatky tohoto řídícího algoritmu.
Konkrétně se jedná o problémy v nízkých otáčkách, kdy regulátor neřídí
a dále pak problémy při průchodu nulovými otáčkami.
Také se zde objevuje nežádoucí jev, kdy se stroj začne otáčet na opačnou
stranu.
\end_layout
\begin_layout Standard
Z jednotlivých verzí bikriteriální metody se v tomto případě ukazuje být
jedinou použitelnou přidávání konstantnty k řídícímu zásahu v ose
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
.
Zbývající verze poskytují velmi špatný výsledek co se kvality řízení týče
a vyskytuje se u nich problém s rozběhem stroje na opačnou stranu.
\end_layout
\begin_layout Standard
Hodnoty průměrné kvadratické chyby pro jednotlivé verze bikriteriální metody
na různých profilech referenčních otáček jsou zachyceny na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:bikriterialni-bar-ztraty"
\end_inset
a).
Pro profily s nízkými požadovanými otáčkymi je dosahováno zdánlivě malé
chyby, ta je však způsobena vlastností vektorového PI řízení, které v nízkých
otáčkách neřídí.
Pro referenční profil průchody nulou jsou vyšší chyby v důsledku špatného
chování v blízkosti nulových otáček.
Dále pak pro lichoběžníkové profily často dochází k problému s rozjezdem
na opačnou stranu, který způsobí značný nárůst chyby.
Z obrázku je dále patrné, že verze bikriteriální metody přidávající konstantu
k řízení v ose
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
jako jediná poskytuje stabilně relativně dobré výsledky.
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/bikrit_pi.eps
scale 45
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/bikrit_lq.eps
scale 45
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
a) PI regulátory
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
b) LQ regulátor
\end_layout
\end_inset
|
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
Hodnoty průměrné kvadratické chyby pro jednotlivé verze (viz legenda) bikriteriá
lní metody, při současném užití vektorového řízení s a) PI nebo b) LQ regulátory.
V grafech označuje
\begin_inset Formula $\delta$
\end_inset
průměrnou kvadratickou chybu.
Referenční profily otáček jsou následující: 1 -- nulový; 2 -- nízké otáčky
trojúhelníky; 3 -- nízké otáčky lichoběžníky; 4 -- průchody nulou trojúhelníky;
5 -- průchody nulou lichoběžníky; 6 -- vysoké otáčky trojúhelníky; 7 --
vysoké otáčky lichoběžníky.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:bikriterialni-bar-ztraty"
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Bikriteriální metoda s vektorovým LQ řízením
\end_layout
\begin_layout Standard
Dále byly testovány jednotlivé verze bikriteriální metody doplněné lineárně
kvadratickým regulátorem.
Jak bylo popsáno v předchozím odstavci
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:LQ-regulator-volba-param"
\end_inset
, použití LQ regulátoru odstraňuje některé nedostatky vektorového řízení
založeného na PI regulátorech, především v nízkých otáčkách.
Bylo by tedy možno očekávat jisté zlepšení na profilech nulové otáčky a
dále při průchodech nulou.
Výsledky simulací však na příliš velké zlepšení neukazují.
\end_layout
\begin_layout Standard
Hodnoty průměrné kvadratické chyby jsou zachyceny na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:bikriterialni-bar-ztraty"
\end_inset
b).
Při použití základní i časově posunuté verze bikriteriální metody je sice
udržován dobrý odhad polohy
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
, ale je způsobováno značné rušení při dosahování požadavku na otáčky a
výsledné řízení je nedostačující.
Lepší výsledky byly získány přidáváním konstanty k řízení v ose
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
, avšak stále se nejedná o použitelný algoritmus.
Nejlepších výsledků pak bylo dosaženo s verzí bikriteriální metody využívající
pěti rozšířených Kalmanových filtrů.
Ta byla vyhodnocena jako nejlepší ze všech testovaných verzí, a to i ve
srovnání s předchozími verzemi, založenými na vektorovém řízení s PI regulátory.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Algoritmus využívající hyperstav
\end_layout
\begin_layout Standard
Další možností pro nalezení vhodného řízení PMSM jsou algrotimy založené
na využití myšlenky hyperstavu.
V části
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Hyperstav-odvoz-pro-pmsm"
\end_inset
byly popsány dva, jeden využívající redukovaný model stroje a druhý založený
na modelu plném.
Kvalita jimi poskytovaného řízení byla opět experimentálně ověřena pomocí
simulátoru PMSM.
Srovnání bylo provedeno především na základě dosažených průměrných kvadratickýc
h chyb na jeden časový krok a tyto hodnoty jsou zaznamenány v grafu na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:hyperstav-bar-ztraty"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Algoritmus s hyperstavem pro redukovaný model vychází ze vzájemného porovnání
znatelně hůře.
V nízkých otáčkách je jeho problémem neaktivita, podobně jako u vektorového
řízení založeného na PI regulátorech.
Ve vyšších otáčkách je pak špatná kvalita poskytovaného řízení způsobována
nevhodnými řídícími zásahy, kdy dochází k rozkmitání.
Pravděpodobnou příčinou špatné funkčnosti této verze hyperstavu je problematick
ý návrh LQ regulátoru na redukovaném modelu, viz odstavec
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:LQ-řízení-pro-red-model"
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
V případě hyperstavu pro plný model jsou výsledky výrazně lepší, výpočetní
náročnost je však znatelně vyšší.
Porovnání této verze hyperstavu s ostatními algoritmy následuje v textu.
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
filename obrazky/hypers.eps
scale 60
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
Hodnoty průměrné kvadratické chyby algoritmu využívajícího hyperstav pro
plný a redukovaný model PMSM.
V grafech označuje
\begin_inset Formula $\delta$
\end_inset
průměrnou kvadratickou chybu.
Referenční profily otáček jsou následující: 1 -- nulový; 2 -- nízké otáčky
trojúhelníky; 3 -- nízké otáčky lichoběžníky; 4 -- průchody nulou trojúhelníky;
5 -- průchody nulou lichoběžníky; 6 -- vysoké otáčky trojúhelníky; 7 --
vysoké otáčky lichoběžníky.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:hyperstav-bar-ztraty"
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Section
Aposteriorní Cramer-Raovy meze
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "sec:Aposteriorni-Cramer-Raovy-meze"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Jak již bylo podrobněji zmiňováno v předchozích částech textu, je hlavní
komplikací bezsenzorového řízení PMSM problém pozorovatelnosti neměřených
veličin v nízkých otáčkách.
Standartně je odhad těchto veličin získáván ze zpětné elektromotorické
síly, jejíž velikost je však přímo úměrná otáčkám stroje.
V nulových otáčkách pak zcela vymizí a poloha
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
se stává nepozorovatelným stavem.
Situace druhé neměřené veličiny -- otáček
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
je v tomto smyslu daleko lepší, protože jejich velikost můžeme získat právě
ze zpětné elektromotorické síly.
V nulových otáčkách navíc tato veličina není nepozorovatelná, ale nulová.
\end_layout
\begin_layout Standard
Tato práce je zaměřena na duální metody řízení a s tím je spojena i volba
vhodného budícího signálu, který má za cíl pozorovatelnost stavu zlepšit.
Nástrojem jak vyhodnocovat pozorovatelnost stavových veličin pro nelineární
systémy jsou právě aposteriorní Cramer-Raovy meze.
V této části tedy budou předloženy výsledky analýzy modelu PMSM na základě
tohoto nástroje.
Jednak budou prostudovány přídavné signály užívané při aplikaci metod vysokofre
kvenčních injektáží ve smyslu, jak samy o sobě dokáží zlepšit pozorovatelnost.
Následovat pak bude analýza v této práci uvažovaných duálních algoritmů
-- bikriteriální metody a využití hyperstavu.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Vzorový běh systému
\end_layout
\begin_layout Standard
Výpočet hodnot aposteriorních Cramer-Raových mezí probíhá na vzorovém běhu
systému.
Ze vzorového běhu jsou získány průběhy jednotlivých stavových veličin v
čase, které pak slouží jako zdroj pro výpočet vlastních mezí.
Jako vzorový běh lze buď přímo zvolit nějaké hodnoty a nebo je získat aplikací
vhodného regulátoru na model systému.
Pro tento případ bylo užíváno vektorové PI řízení (implementované jako
referenční) získávající odhad ze senzorů a řídící na určenou referenční
hodnotu.
Řídící zásahy byly následně doplněny vysokofrekvenčním signálem a to v
souřadné soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
nebo
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
a byl testován sinový i obdélníkový signál.
Dále byla testována bikriteriální metoda, konkrétně její základní verze,
verze užívající pěti EKF a přidání konstantní hodnoty do osy
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
.
Posledním zkoumaným algoritmem pak bylo využití hyperstavu, které však
nevyužívá PI regulátory, ale je založeno na vektorovém řízení s LQ regulátorem.
\end_layout
\begin_layout Standard
Použité vzorové běhy shrnuje následující seznam:
\end_layout
\begin_layout Itemize
vektorové PI řízení
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Itemize
vysokofrekvenční injektáž do
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Itemize
sinový signál
\end_layout
\begin_layout Itemize
obdélníkový signál
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Itemize
vysokofrekvenční injektáž do
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Itemize
sinový signál
\end_layout
\begin_layout Itemize
obdélníkový signál
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Itemize
bikriteriální metoda
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Itemize
základní verze
\end_layout
\begin_layout Itemize
výběr buzení na základě výpočtu pěti EKF
\end_layout
\begin_layout Itemize
konstantní signál v ose
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
\end_layout
\end_deeper
\end_deeper
\begin_layout Itemize
využití hyperstavu
\end_layout
\begin_deeper
\begin_layout Itemize
plný model
\end_layout
\begin_layout Itemize
redukovaný model
\end_layout
\end_deeper
\begin_layout Standard
Pro výpočet samotných Cramer-Raových mezí bylo užito rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:PCRB-rovnice-obecny-vypoecet"
\end_inset
) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:PCRB-rovnice-pro-D-gauss"
\end_inset
) a byl uvažován model PMSM v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
pro stejné (
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset
) i různé (
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset
) indukčnosti.
Výchozí hodnota meze byla pro všechny uvažované veličiny volena
\begin_inset Formula $1,0e-7$
\end_inset
aby byla dostatečně nízká, ale současně nenulová.
Dále byly použity kovarianční matice
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $R$
\end_inset
s hodnotami kovariančních matic užitých pro šum (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:kov-matice-sum"
\end_inset
).
\end_layout
\begin_layout Subsection
Výsledky dosažené pomocí PCRB
\end_layout
\begin_layout Standard
Vzhledem k tomu, že proudy
\begin_inset Formula $i_{\alpha\beta}$
\end_inset
jsou měřené veličiny, tak u nich lze očekávat nízkou mez a chyba v jejich
odhadu je způsobena prakticky pouze chybou měření.
Ve všech prováděných výpočtech PCRB byla hodnota této meze pro proudy
\begin_inset Formula $i_{\alpha\beta}$
\end_inset
nižší než
\begin_inset Formula $5,0e-4$
\end_inset
a dále se tedy mezemi pro proudy zabývat nebudeme.
Podobně není příliš zajímavá ani Cramer-Raova mez pro otáčky
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
.
Ty sice již nejsou měřeny, ale mez je relativně nízká a obvykel se drží
na hodnotě přibližně
\begin_inset Formula $1,2e-2$
\end_inset
.
Cramer-Raově mezi otáček
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
tedy opět nebude příliš věnována pozornost s výjimkou případů, kdy by došlo
k její výraznější změně.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Vliv rychlosti
\end_layout
\begin_layout Standard
Nejzajímavější z hlediska aplikace konceptu PCRB jsou tedy výsledky týkající
se polohy
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
, která je při nulových otáčkách nepozorovatelným stavem.
Pokud zůstává hodnota otáček nulová a není přítomno žádné další buzení,
Cramer-Raova mez
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
stále roste, teoreticky až ke své krajní hodnotě odpovídající varianci
uniformního rozdělení na intervalu
\begin_inset Formula $\left\langle -\pi,\pi\right\rangle $
\end_inset
.
Tento jev stálého růstu je možno pozorovat na grafu obrázek
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:PCRB-theta-rychlost"
\end_inset
.
Protože s růstem otáček roste zpětná elektromotorická síla, zvyšuje se
množštví informace o veličině
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
a následně se i snižuje chyba jejího odhadu.
Zpřesnění odhadu a tedy pokles PCRB v důsledku vyšších otáček lze sledovat
pro různé profily na grafu obrázek
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:PCRB-theta-rychlost"
\end_inset
a).
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/pcrb_ref.eps
scale 55
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
a) snížení hodnoty PCRB
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
v důsledku zvýšení otáček
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/pcrb_hfs.eps
scale 55
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
b) omezení růstu hodnoty PCRB
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
vlivem přidaného budícího signálu
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/pcrb_bik.eps
scale 55
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
c) snížení hodnoty PCRB
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
aplikací bikriteriální metody
\end_layout
\end_inset
|
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
Hodnoty aposteriorní Cramer-Raovy meze (PCRB) polohy
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
: a) jejich snižování v důsledku zvýšení otáček při různých referenčních
profilech; b) omezování jejich hodnoty vlivem přidaného budícího signálu;
c) snížení jejich hodnoty užitím bikriteriální metody.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:PCRB-theta-rychlost"
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Význam pro snížení meze
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
však nemají pouze otáčky, u kterých je tento vliv očekávatelný, ale také
vhodný budící signál.
Vliv přidaného signálu byl zkoumán zejména na profilu nulových otáček,
kdy je nejvíce patrný.
Pro výpočet PCRB byl uvažován vysokofrekvenční signál o amplitudě
\begin_inset Formula $5V$
\end_inset
a frekvenci
\begin_inset Formula $1000Hz$
\end_inset
.
Narozdíl od běžných injektážních metod však tento signál nebyl nijak vyhodnocov
án a byl pouze zkoumán jeho vliv na pozorovatelnost stavu, konkrétně PCRB
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Vliv přídavného signálu
\end_layout
\begin_layout Standard
Signál byl přidáván jak v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
, tak i v
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
.
Je však nutno poznamenat, že nebyl prokázán prakticky žádný vliv volby
souřadné soustavy.
Lze tedy očekávat, že volba souřadného systému má vliv pouze na metody,
kde je injektovaný signál dále vyhodnocován a neslouží pouze jako buzení
ke zlepšení pozorovatelnosti.
Dále tedy nebyla volba souřadné soustavy pro přidávání signálu rozlišována.
\end_layout
\begin_layout Standard
Užívaný vysokofrekvenční signál byl dvou typů, jednak harmonický sinový
signál a dále obdélníkový signál o stejné amplitudě i frekvenci.
Z těchto dvou signálů pak poskytuje lepší výsledky signál obdélníkový.
Důležitějším zjištěním ale je, že vysokofrekvenční signál snižuje hodnotu
PCRB pouze při uvažování modelu s různými indukčnostmi
\begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$
\end_inset
.
Při uvažování stejných indukčností
\begin_inset Formula $L_{s}$
\end_inset
je jeho vliv zanedbatelný.
\end_layout
\begin_layout Standard
Výsledky analýzy použití vysokofrekvenčních přídavných signálů jsou zachyceny
na grafu obrázek
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:PCRB-theta-rychlost"
\end_inset
b).
Je použit nulový profil otáček a jako srovnávací je označeno vektorové
PI řízení.
Je možno pozorovat, že pro různé indukčnosti je dosaženo vyšší hodnoty
PCRB
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
, přidáním vysokofrekvenčního signálu však dojde ke značnému omezení růstu
hodnot meze.
Oproti tomu v případě uvažování stejných indukčností je hodnota meze nižší,
ale přidání vysokofrekvenčního signálu nemá žádný vliv a tento případ tedy
není ani v grafu uveden.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Bikriteriální metoda
\end_layout
\begin_layout Standard
Velmi významný vliv na hodnotu aposteriorní Cramer-Raovy meze má užití bikriteri
ální metody.
Pro zkoumání pomocí PCRB byly uvažovány tři verze této metody, jemnovitě
základní verze, užití 5 EKF pro výběr nejlepšího buzení a přidání konstantního
signálu do osy
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
.
Všichni tři zmiňovaní zástupci dosáhli řádově lepších výsledků, oproti
těm z minulého odstavce založených na přidávání vysokofrekvenčního signálu.
Vliv bikriteriální metody na hodnotu PCRB je srovnatelný s během stroje
ve vysokých otáčkách, ale s tím rozdílem, že pro aplikaci bikriteriální
metody byl uvažován stroj v klidu.
\end_layout
\begin_layout Standard
Ze tří uvažovaných verzí pak byla relativně nejhorší verze základní.
Lepších výsledků bylo dosaženo za použití 5 rozšířených Kalmanových filtrů
pro výběr nejlepšího buzení.
Nejlepší výsledky pak překvapivě poskytuje velmi jednoduchá verze spočívající
v přidání konstantního signálu do osy
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Dalším zajímavým zjištěním je, že pro každou z uvažovaných verzí je vždy
(alespoň nepatrně) dosaženo horších výsledků při užití modelu s různými
indukčnostmi
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset
.
Grafické znázornění výsledků bikriteriální metody a srovnání s referenčním
vektorovým PI řízením je prezentováno na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:PCRB-theta-rychlost"
\end_inset
c).
\end_layout
\begin_layout Standard
Ohledně bikriteriální metody je ještě třeba zmínit, že se jedná o jediný
případ ze zde uvažovaných možností, který způsoboval výraznější změnu Cramer-Ra
ovy meze otáček
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
.
Konkrétně se jedná o menší nárůst meze při přidávání konstantní hodnoty
do osy
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
, na přibližně
\begin_inset Formula $1,4e-2$
\end_inset
.
Výraznější nárůst byl pak zaznamenán pro základní verzi bikriteriální metody,
kdy PCRB
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
dosahovala až hodnoty
\begin_inset Formula $4,5e-2$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Využití hyperstavu
\end_layout
\begin_layout Standard
Dále byly analyzovány Cramer-Raovy meze při využití hyperstavu.
Výsledné hodnoty pro redukovaný i plný stav při nulovém referenčním profil
jsou zobrazeny na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:PCRB-theta-hyper"
\end_inset
a).
V případě redukovaného stavu nedochází k omezování meze a ta stále roste.
Tento jev je s největší pravděpodobností způsoben komplikovanějším dvoufázovým
návrhem řízení pro redukovaný model, který pak trpí podobným nedostatkem
jako vektorové PI řízení.
Lepších výsledků je však dosaženo při užití hyperstavu s plným modelem,
který relativně dobře zvládá snižovat hodnotu PCRB
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/pcrb_hyp.eps
scale 55
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
a) hodnoty PCRB
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
při užití hyperstavu
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/pcrb_porovnani.eps
scale 55
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
b) porovnání vybraných zástupců
\end_layout
\end_inset
|
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
Hodnoty aposteriorní Cramer-Raovy meze (PCRB) polohy
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
v nulových otáčkách: a) při užití hyperstavu; b) porovnání vybraných zástupců
všech metod.
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:PCRB-theta-hyper"
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Vzájemné porovnání PCRB
\end_layout
\begin_layout Standard
Na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:PCRB-theta-hyper"
\end_inset
b) zachyceno porovnání vybraných zástupců z předchozích odstavců.
Při užití vektorového PI řízení bez dalšího buzení Cramer-Raova mez polohy
stále roste.
V případě různých indukčností v osách
\begin_inset Formula $d-q$
\end_inset
roste rychleji, ale přidáním vysokofrekvenčního signálu ji lze snížit.
V případě stejných indukčností nemá vysokofrekvenční signál na hodnotu
meze vliv.
\end_layout
\begin_layout Standard
Znatelně lepších výsledků je však možno dosáhnout při užití bikriteriální
metody nebo hyperstavu.
Bikriteriální metoda zde dosahuje pro všechny uvažované verze relativně
nejlepších výsledků co se týče vlivu na PCRB
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
.
Z jejích jednotlivých verzí se pak jako nejlepší ukazuje jednoduché přidání
konstantního signálu k řídícímu zásahu v ose
\begin_inset Formula $d$
\end_inset
.
Oproti tomu ale v případě užití některých verzí bikriteriální metody dochází
k menšímu růstu Cramer-Raovy meze otáček
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
Použitím algoritmů založených na hyperstavu lze také dosáhnout výrazného
snížení Cramer-Raovy meze.
Pokles sice není tak výrazný jako u bikriteriální metody, ale to je pravděpodob
ně způsobeno strukturou samotných algoritmů.
Zatímco bikriteriální metoda přidává budící signál víceméně stále, hyperstav
je přístup více odpovídající koncepci duálního řízení a snaží se hledat
kompromis mezi optimálním řízením a buzením.
Nachází-li se v nulových otáčkach a je-li požadovaná hodnota otáček také
nulová, jako v uvažovaném případě, není pravděpodobně třeba příliš velké
buzení.
\end_layout
\begin_layout Section
Simulační porovnání algoritmů
\end_layout
\begin_layout Standard
V předchozích částech byly popsány jednotlivé zkoumané algoritmy pro řešení
úlohy řízení synchronního stroje s permanentními magnety.
Pozornost byla věnována především popisu základních vlastností jednotlivých
přístupů a dále vzájemnému porovnání jednotlivých verzí téže metody.
Následující část textu bude věnována vzájemnému porovnání jednotlivých
metod.
Porovnání z hlediska vlivu konkrétních algoritmů na pozorovatelnost systému
již bylo provedeno v části
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sec:Aposteriorni-Cramer-Raovy-meze"
\end_inset
týkající se aposteriorních Cramer-Raových mezí, zde bude věnována pozornost
spíše celkové kvalitě poskytnutého řízení.
\end_layout
\begin_layout Standard
Porovnávány budou pouze vybrané algoritmy.
Konkrétně se jedná o vektorové PI řízení a vektorové řízení s LQ regulátorem,
které využívají jako pozorovatele rozšířený Kalmanův filtr.
Dále bude zahrnut jednoduchý injektážní návrh jako zástupce klasických
postupů řešení bezsenzorového řízení PMSM.
Z duálních algoritmů pak bude uvažován algoritmus založený na hyperstavu
a verze bikriteriální metody založená na vektorovém LQ řízení, která vybírá
budící zásah na základě výpočtu 5 EKF.
\end_layout
\begin_layout Subsection
Rozjezd stroje
\end_layout
\begin_layout Standard
Nejprve bude věnována pozornost chování jednotlivých algoritmů při rozjezdu
stroje.
Hlavní komplikací v tomto případě je obecně neznalost počátečního úhlu
natočení rotoru
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
.
Právě špatný počáteční odhad polohy může způsobit značné chyby v plnění
požadavků řízení a je tedy snahou tento negativní vliv omezit.
Zde lze očekávat pozitivní vliv duálních metod, které se namísto řízení
se špatným odhadem snaží i tento odhad zlepšit.
\end_layout
\begin_layout Standard
Nejsou-li o počátečním stavu stroje dostupné žádné další informace, lze
rotor očekávat libovolně natočený, což odpovídá předpokladu, že počáteční
úhel
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}$
\end_inset
je náhodnou veličinou s rovnoměrným rozdělením na intervalu
\begin_inset Formula $\left\langle -\pi,\pi\right\rangle $
\end_inset
.
Zde však dochází k problému s již zmiňovanou symetrií rovnic stroje na
substituci
\begin_inset Formula $\left(\omega,\vartheta\right)\longleftrightarrow\left(-\omega,\vartheta+\pi\right)$
\end_inset
.
Realizaci jedné nebo druhé varianty není možno okamžitě poznat z modelu
stroje a jejich rozpoznání je třeba řešit jinak.
Jednou možností je užití metod popsaných v odstavci
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "sub:Detekce-počáteční-polohy"
\end_inset
.
Dalším způsobem, jak toto rozpoznání provést, je sledovat běh stroje po
delší časový úsek.
Když se totiž skutečný stroj otáčí na druhou stranu než předpokládá jeho
model, dodávané řídící zásahy na základě modelu přestanou odpovídat skutečnému
stroji a z této neshody mezi strojem a modelem již lze poznat, že došlo
ke špatnému odhadu.
Problémem zmiňovaného přístupu je však právě delší časový okamžik nezbytný
k detekci této chyby.
\end_layout
\begin_layout Standard
Z důvodů zmiňovaných komplikací bude tedy dále v textu předpokládán počáteční
úhel natočení pouze v intervalu
\begin_inset Formula $\left\langle -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\rangle $
\end_inset
a případné rozjezdy na opačnou stranu, tedy realizaci verze
\begin_inset Formula $\left(-\omega,\vartheta+\pi\right)$
\end_inset
namísto
\begin_inset Formula $\left(\omega,\vartheta\right)$
\end_inset
, budou detekovány a ze vzájemného porovnání jednotlivých algoritmů vyřazeny.
Vhodné zvládnutí detekce, ke které realizaci symetrických verzí došlo tedy
zůstává nevyřešena a je vhodna k dalšímu výzkumu.
\end_layout
\begin_layout Standard
Konkrétní porovnání jednotlivých algoritmů pak probíhalo na
\emph on
trojúhelníkovém
\emph default
profilu
\emph on
průchody nulou
\emph default
v časovém horizontu
\begin_inset Formula $1s$
\end_inset
.
Důvodem pro volbu tohoto profilu bylo, že profily s nižšími otáčkami způsobují
značné komplikace některým algoritmům, zejména založeným na PI regulátorech
a ve vyšších otáčkách je již odhad úhlu příliš usnadněn vyšší rychlostí
a tedy větší zpětnou elektromotorickou silou.
Počáteční poloha
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}$
\end_inset
byla volena náhodně z intervalu
\begin_inset Formula $\left\langle -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\rangle $
\end_inset
a simulace byly prováděny opakovaně.
Použito bylo vždy
\begin_inset Formula $100$
\end_inset
opakování, do grafů chyb odhadů (obrázek
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:pocatecni-rozjezdy"
\end_inset
) však bylo pro přehlednost uvažováno méně vzorků.
\end_layout
\begin_layout Standard
Jednotlivé porovnávané algoritmy byly porovnávány na základě průměrné kvadratick
é chyby (průměrná na jeden časový krok i pro jednotlivé realizace počáteční
polohy
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}$
\end_inset
), tedy z hlediska, jak dobře zvládne stroj regulovaný daným algoritmem
sledovat referenční signál.
Toto porovnání je pro jednotlivé algoritmy zobrazeno na grafu
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:pocatecni-rozjezdy"
\end_inset
a).
A zřejmě se na něm ukazuje přínos duálních metod při zvládnutí neznámé
počáteční polohy.
\end_layout
\begin_layout Standard
Dalším zkoumaným hlediskem je schopnost jednotlivých algoritmů nalézt správnou
polohu stroje
\begin_inset Formula $\vartheta$
\end_inset
.
Vývoj chyby odhadu polohy
\begin_inset Formula $\vartheta-\hat{\vartheta}$
\end_inset
v čase pro jednotlivé algoritmy a různé počáteční hodnoty úhlu natočení
\begin_inset Formula $\vartheta_{0}$
\end_inset
ze zachycen na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:pocatecni-rozjezdy"
\end_inset
b)-f).
Relativně dobrá schopnost nalézt správný odhad polohy i u neduálních metod
je dána především tím, že jako pozorovatele užívají rozšířený Kalmanův
filtr a že s růstem otáček se zvyšuje pozorovatelnost systému.
Celkově je ale možné pozorovat lepší výsledku u duálních metod, konkrétně
u bikriteriální metody a algoritmu s hyperstavem.
\end_layout
\begin_layout Standard
Ještě je vhodné poukázat na špatné chování vektorového řízení založeného
na PI regulátorech.
Problém se týká nízkých požadovaných otáček, kdy regulátor v jistém smyslu
\begin_inset Quotes gld
\end_inset
nic nedělá
\begin_inset Quotes grd
\end_inset
.
V důsledku toho pak dosahuje relativně vyšší průměrné kvadratické chyby,
ale tento jev lze také pozorovat na obrázku
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "fig:pocatecni-rozjezdy"
\end_inset
b) na počátku běhu systému.
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status collapsed
\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Tabular
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/rozjezd/chybabar.eps
scale 45
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/rozjezd/pi3.eps
scale 45
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
a) průměrná kvadratická chyba
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
b) vektorové PI řízení
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/rozjezd/lq3.eps
scale 45
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/rozjezd/inok3.eps
scale 45
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
c) vektorové LQ řízení
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
d) využití injektáží
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/rozjezd/bk3.eps
scale 45
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Graphics
filename obrazky/rozjezd/hs3.eps
scale 45
\end_inset
\end_layout
\end_inset
|
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
e) bikriteriální metoda
\end_layout
\end_inset
|
\begin_inset Text
\begin_layout Plain Layout
f) algoritmus využívající hyperstav
\end_layout
\end_inset
|
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption
\begin_layout Plain Layout
Vliv počáteční polohy na rozjezd stroje při užítí různých algoritmů.
a) přechled dosažených průměrných kvadratických chyb (
\begin_inset Formula $\delta$
\end_inset
) pro jednotlivé algoritmy 1 až 5; dále je zobrazena chyba odhadu polohy
\begin_inset Formula $\vartheta-\hat{\vartheta}$
\end_inset
pro: b) PI řízení (algoritmus 1), c) vektorové LQ řízení (algoritmus 2),
d) jednoduchý injektážní návrh (algoritmus 3), e) bikriteriální metodu
(algoritmus 4), f) algoritmus založený na hyperstavu (algoritmus 5).
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "fig:pocatecni-rozjezdy"
\end_inset
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Plain Layout
\end_layout
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsection
Odhad v nule
\end_layout
\begin_layout Standard
stručný test, jak dobře zvládne držet nulové otáčky, správná i špatná počáteční
poloha, kdy ji zvládne opravit
\end_layout
\begin_layout Subsection
Nízké otáčky
\end_layout
\begin_layout Standard
problematika nulových otáček a neaktivity některých řízení (PI)
\end_layout
\begin_layout Subsection
Průchody nulou
\end_layout
\begin_layout Standard
problematika průchodu nulou
\end_layout
\begin_layout Subsection
Vysoké otáčky
\end_layout
\begin_layout Standard
jak algoritmus zvládá vysoké otáčky
\end_layout
\begin_layout Subsection
Možná navíc
\end_layout
\begin_layout Standard
reálný běh stroje -- oscilogram
\end_layout
\begin_layout Standard
vliv zátěžného momentu, ale to by se muselo hodně upravovat v teoretické
části
\end_layout
\begin_layout Section
Diskuze výsledků
\end_layout
\begin_layout Chapter*
Závěr
\end_layout
\begin_layout Standard
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset bibtex
LatexCommand bibtex
bibfiles "vyz_clanky,vyz_texty,dp_clanky"
options "czechiso"
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Chapter*
Příloha
\end_layout
\begin_layout Standard
V příloze jsou zařazeny komplikovanější formální úpravy výrazů, které nejsou
zařazeny v hlavní části textu především z důvodu jejich komplikovaného
zápisu.
Tyto výpočty byly prováděny především za pomoci symbolických výpočtů v
programu Matlab (Symbolic Math Toolbox).
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Rovnice v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
pro různé indukčnosti
\end_layout
\begin_layout Standard
Diferenciální rovnice systému v souřadné soustavě
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset
pro různé indukčnosti
\begin_inset Formula $L_{d}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $L_{q}$
\end_inset
jsou získány z rovnic (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq"
\end_inset
), kdy je užito transformací (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_al-be_na_d-q"
\end_inset
) a (
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:transformace_d-q_na_al-be"
\end_inset
):
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{\alpha}}{dt} & = & \cos\vartheta\left(\frac{u_{d}}{L_{d}}-\frac{R_{s}i_{d}}{L_{d}}-i_{\beta}\omega\cos\vartheta+i_{\alpha}\omega\sin\vartheta+\frac{L_{q}\omega i_{q}}{L_{d}}\right)\\
& - & \sin\vartheta\left(\frac{u_{q}}{L_{q}}-\frac{R_{s}i_{q}}{L_{q}}+i_{\alpha}\omega\cos\vartheta+i_{\beta}\omega\sin\vartheta-\frac{\omega\psi_{pm}}{L_{q}}-\frac{L_{d}\omega i_{d}}{L_{q}}\right),
\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{\beta}}{dt} & = & \cos\vartheta\left(\frac{u_{q}}{L_{q}}-\frac{R_{s}i_{q}}{L_{q}}+i_{\alpha}\omega\cos\vartheta+i_{\beta}\omega\sin\vartheta-\frac{\omega\psi_{pm}}{L_{q}}+\frac{L_{d}\omega i_{d}}{L_{q}}\right)\\
& + & \sin\vartheta\left(\frac{u_{d}}{L_{d}}-\frac{R_{s}i_{d}}{L_{d}}-i_{\beta}\omega\cos\vartheta+i_{\alpha}\omega\sin\vartheta+\frac{L_{q}\omega i_{q}}{L_{d}}\right),
\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\frac{d\omega}{dt} & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\left(\psi_{pm}i_{q}+\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}\right)}{J}-\frac{B\omega}{J},
\end{eqnarray*}
\end_inset
kde
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
i_{d} & = & i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta,\\
i_{q} & = & i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta,\\
u_{d} & = & u_{\alpha}\cos\vartheta+u_{\beta}\sin\vartheta,\\
u_{q} & = & u_{\beta}\cos\vartheta-u_{\alpha}\sin\vartheta.
\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Následuje provedení diskretizace náhradou derivace konečnou diferencí
\begin_inset Formula
\[
\frac{dx}{dt}\left(t\right)=\frac{x_{t+1}-x_{t}}{\Delta t}
\]
\end_inset
a výpočet Jacobiho matice parciálních derivací stavových veličin
\begin_inset Formula $i_{\alpha,t+1}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $i_{\beta,t+1}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $\omega_{t+1}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $\vartheta_{t+1}$
\end_inset
dle veličin stejného stavu v předchozím čase
\begin_inset Formula $i_{\alpha,t}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $i_{\beta,t}$
\end_inset
,
\begin_inset Formula $\omega_{t}$
\end_inset
a
\begin_inset Formula $\vartheta_{t}$
\end_inset
:
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Derivace
\begin_inset Formula $i_{\alpha,t+1}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{\alpha,t+1}}{di_{\alpha,t}} & = & \frac{L_{q}-\Delta tR_{s}\sin^{2}\vartheta}{L_{q}}-\frac{\Delta tL_{q}\left(L_{q}\omega\sin\vartheta\cos\vartheta+R_{s}\cos^{2}\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}+\\
& + & \frac{\Delta tL_{d}\omega\sin\vartheta\cos\vartheta}{L_{q}}\\
\frac{di_{\alpha,t+1}}{di_{\beta,t}} & = & \frac{\Delta t\left(L_{d}-L_{q}\right)\left(-L_{q}\omega\cos^{2}\vartheta+R_{s}\sin\vartheta\cos\vartheta+L_{d}\omega\sin^{2}\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}\\
\frac{di_{\alpha,t+1}}{di\omega_{t}} & = & \frac{\Delta tL_{d}\left(-L_{d}i_{\beta}\cos^{2}\vartheta+L_{d}i_{\alpha}\sin\vartheta\cos\vartheta+L_{d}i_{\beta}-L_{q}i_{\beta}+\psi_{pm}\sin\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}+\\
& + & \frac{\Delta tL_{q}^{2}\left(i_{\beta}\cos^{2}\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\cos\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}\\
\frac{di_{\alpha,t+1}}{d\vartheta_{t}} & = & \frac{\Delta t\left(\omega\psi_{pm}\cos\vartheta+R_{s}i_{\beta}\cos2\vartheta-R_{s}i_{\alpha}\sin2\vartheta\right)}{L_{q}}+\\
& + & \frac{\Delta tL_{d}\left(i_{\alpha}\omega\cos2\vartheta+i_{\beta}\omega\sin2\vartheta\right)}{L_{q}}-\\
& - & \frac{\Delta tL_{q}\left(L_{q}i_{\alpha}\omega\cos2\vartheta+L_{q}i_{\beta}\omega\sin2\vartheta+R_{s}i_{\beta}\cos2\vartheta-R_{s}i_{\alpha}\sin2\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}
\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Derivace
\begin_inset Formula $i_{\beta,t+1}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\frac{di_{\beta,t+1}}{di_{\alpha,t}} & = & \frac{\Delta t\left(L_{d}-L_{q}\right)\left(-L_{d}\omega\cos^{2}\vartheta+R_{s}\sin\vartheta\cos\vartheta+L_{q}\omega\sin^{2}\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}\\
\frac{di_{\beta,t+1}}{di_{\beta,t}} & = & \frac{L_{q}-\Delta tR_{s}\cos^{2}\vartheta}{L_{q}}-\frac{\Delta tL_{q}\left(-L_{q}\omega\sin\vartheta\cos\vartheta+R_{s}\sin^{2}\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}-\\
& - & \frac{\Delta tL_{d}\omega\sin\vartheta\cos\vartheta}{L_{q}}\\
\frac{di_{\beta,t+1}}{di\omega_{t}} & = & -\frac{\Delta tL_{d}\left(L_{d}i_{\alpha}\cos^{2}\vartheta+L_{d}i_{\beta}\sin\vartheta\cos\vartheta-L_{q}i_{\alpha}+\psi_{pm}\cos\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}+\\
& - & \frac{\Delta tL_{q}^{2}\left(-i_{\alpha}\cos^{2}\vartheta-i_{\beta}\sin\vartheta\cos\vartheta+i_{\alpha}\right)}{L_{d}L_{q}}\\
\frac{di_{\beta,t+1}}{d\vartheta_{t}} & = & \frac{\Delta t\left(\omega\psi_{pm}\sin\vartheta+R_{s}i_{\alpha}\cos2\vartheta+R_{s}i_{\beta}\sin2\vartheta\right)}{L_{q}}+\\
& + & \frac{\Delta tL_{d}\left(-i_{\beta}\omega\cos2\vartheta+i_{\alpha}\omega\sin2\vartheta\right)}{L_{q}}-\\
& - & \frac{\Delta tL_{q}\left(-L_{q}i_{\beta}\omega\cos2\vartheta+L_{q}i_{\alpha}\omega\sin2\vartheta+R_{s}i_{\alpha}\cos2\vartheta+R_{s}i_{\beta}\sin2\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}
\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Derivace
\begin_inset Formula $\omega_{t+1}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\frac{d\omega_{t+1}}{di_{\alpha,t}} & = & -\frac{\Delta tk_{p}p_{p}^{2}\left(\psi_{pm}\sin\vartheta+\left(L_{d}-L_{q}\right)\left(-i_{\beta}\cos2\vartheta+i_{\alpha}\sin2\vartheta\right)\right)}{J}\\
\frac{d\omega_{t+1}}{di_{\beta,t}} & = & \frac{\Delta tk_{p}p_{p}^{2}\left(\psi_{pm}\cos\vartheta+\left(L_{d}-L_{q}\right)\left(i_{\alpha}\cos2\vartheta+i_{\beta}\sin2\vartheta\right)\right)}{J}\\
\frac{d\omega_{t+1}}{d\omega_{t}} & = & 1-\frac{B\Delta t}{J}\\
\frac{d\omega_{t+1}}{d\vartheta_{t}} & = & -\frac{\Delta tk_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\psi_{pm}\left(i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta\right)\right.+\\
& + & \left.\left(L_{d}-L_{q}\right)\left(i_{\alpha}^{2}\cos2\vartheta-i_{\beta}^{2}\cos2\vartheta+2i_{\alpha}i_{\beta}\sin2\vartheta\right)\right)
\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Derivace
\begin_inset Formula $\vartheta_{t+1}$
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\frac{d\vartheta_{t+1}}{di_{\alpha,t}} & = & 0\\
\frac{d\vartheta_{t+1}}{di_{\beta,t}} & = & 0\\
\frac{d\vartheta_{t+1}}{d\omega_{t}} & = & \Delta t\\
\frac{d\vartheta_{t+1}}{d\vartheta_{t}} & = & 1
\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Matice pro EKF
\end_layout
\begin_layout Standard
Jednotlivé výše uvedené derivace lze již rovnou použít do matice
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset
rozšířeného Kalmanova filtru, když za příslušné veličiny dosadíme jejich
odhady v čase
\begin_inset Formula $t$
\end_inset
.
Matice
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset
je pak ve tvaru
\begin_inset Formula
\[
A_{t}=\left[\begin{array}{cccc}
\frac{di_{\alpha,t+1}}{di_{\alpha,t}} & \frac{di_{\alpha,t+1}}{di_{\beta,t}} & \frac{di_{\alpha,t+1}}{d\omega_{t}} & \frac{di_{\alpha,t+1}}{d\vartheta_{t}}\\
\frac{di_{\beta,t+1}}{di_{\alpha,t}} & \frac{di_{\beta,t+1}}{di_{\beta,t}} & \frac{di_{\beta,t+1}}{d\omega_{t}} & \frac{di_{\beta,t+1}}{d\vartheta_{t}}\\
\frac{d\omega_{t+1}}{di_{\alpha,t}} & \frac{d\omega_{t+1}}{di_{\beta,t}} & \frac{d\omega_{t+1}}{d\omega_{t}} & \frac{d\omega_{t+1}}{d\vartheta_{t}}\\
\frac{d\vartheta_{t+1}}{di_{\alpha,t}} & \frac{d\vartheta_{t+1}}{di_{\beta,t}} & \frac{d\vartheta_{t+1}}{d\omega_{t}} & \frac{d\vartheta_{t+1}}{d\vartheta_{t}}
\end{array}\right].
\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Subsubsection
Matice pro LQ regulátor
\end_layout
\begin_layout Standard
Pro použití matice
\begin_inset Formula $A_{t}$
\end_inset
v LQ regulátoru je třeba provést její úpravu zahrnutím konstantních členů
v důsledku linearizace a řízení na nenulové požadované otáčky, tedy substituce
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "eq:substituce-psi"
\end_inset
.
Upravená matice je v blokovém tvaru
\begin_inset Formula
\[
\overline{A}_{t}=\left[\begin{array}{cc}
A_{t} & \gamma\\
0 & 1
\end{array}\right],
\]
\end_inset
kde
\begin_inset Formula $0$
\end_inset
představuje nulový řádek vhodné délky a
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset
je sloupcový vektor
\begin_inset Formula
\[
\gamma=\left(\begin{array}{c}
\gamma_{1}\\
\gamma_{2}\\
\gamma_{3}\\
\gamma_{4}
\end{array}\right)
\]
\end_inset
s hodnotami
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\gamma_{1} & = & -\frac{\Delta t}{2L_{d}L_{q}}\left(2L_{d}^{2}i_{\beta}\psi\sin^{2}\vartheta+2L_{q}^{2}i_{\beta}\psi\cos^{2}\vartheta+L_{d}^{2}i_{\alpha}\psi\sin2\vartheta-L_{q}^{2}i_{\alpha}\psi\sin2\vartheta-\right.\\
& - & 2L_{d}\psi_{pm}\overline{\omega}\sin\vartheta-2L_{d}L_{q}i_{\beta}\psi+2L_{d}R_{s}i_{\beta}\vartheta\cos2\vartheta-2L_{q}R_{s}i_{\beta}\vartheta\cos2\vartheta-\\
& - & 2L_{d}R_{s}i_{\alpha}\vartheta\sin2\vartheta+2L_{q}R_{s}i_{\alpha}\vartheta\sin2\vartheta+2L_{d}^{2}i_{\alpha}\psi\vartheta\cos2\vartheta-2L_{q}^{2}i_{\alpha}\psi\vartheta\cos2\vartheta+\\
& + & 2L_{d}^{2}i_{\alpha}\overline{\omega}\vartheta\cos2\vartheta-2L_{q}^{2}i_{\alpha}\overline{\omega}\vartheta\cos2\vartheta+2L_{d}^{2}i_{\beta}\psi\vartheta\sin2\vartheta-2L_{q}^{2}i_{\beta}\psi\vartheta\sin2\vartheta+\\
& + & \left.2L_{d}^{2}i_{\beta}\overline{\omega}\vartheta\sin2\vartheta-2L_{q}^{2}i_{\beta}\overline{\omega}\vartheta\sin2\vartheta+2L_{d}\psi_{pm}\psi\vartheta\cos\vartheta+2L_{d}\psi_{pm}\overline{\omega}\vartheta\cos\vartheta\right),
\end{eqnarray*}
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\gamma_{2} & = & \frac{\Delta t}{2L_{d}L_{q}}\left(2L_{q}^{2}i_{\alpha}\psi\sin^{2}\vartheta2L_{d}^{2}i_{\alpha}\psi\cos^{2}\vartheta L_{d}^{2}i_{\beta}\psi\sin2\vartheta-L_{q}^{2}i_{\beta}\psi\sin2\vartheta-\right.\\
& - & 2L_{d}\psi_{pm}\overline{\omega}\cos\vartheta-2L_{d}L_{q}i_{\alpha}\psi-2L_{d}R_{s}i_{\alpha}\vartheta\cos2\vartheta+2L_{q}R_{s}i_{\alpha}\vartheta\cos2\vartheta-\\
& - & 2L_{d}R_{s}i_{\beta}\vartheta\sin2\vartheta+2L_{q}R_{s}i_{\beta}\vartheta\sin2\vartheta+2L_{d}^{2}i_{\beta}\psi\vartheta\cos2\vartheta-2L_{q}^{2}i_{\beta}\psi\vartheta\cos2\vartheta+\\
& + & 2L_{d}^{2}i_{\beta}\overline{\omega}\vartheta\cos2\vartheta-2L_{q}^{2}i_{\beta}\overline{\omega}\vartheta\cos2\vartheta-2L_{d}^{2}i_{\alpha}\psi\vartheta\sin2\vartheta+2L_{q}^{2}i_{\alpha}\psi\vartheta\sin2\vartheta-\\
& - & \left.2L_{d}^{2}i_{\alpha}\overline{\omega}\vartheta\sin2\vartheta+2L_{q}^{2}i_{\alpha}\overline{\omega}\vartheta\sin2\vartheta-2L_{d}\psi_{pm}\psi\vartheta\sin\vartheta-2L_{d}\psi_{pm}\overline{\omega}\vartheta\sin\vartheta\right),
\end{eqnarray*}
\end_inset
\begin_inset Formula
\begin{eqnarray*}
\gamma_{3} & = & \frac{\Delta t}{2J}\left(L_{d}i_{\alpha}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\sin2\vartheta-2B\overline{\omega}-L_{d}i_{\beta}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\sin2\vartheta-L_{q}i_{\alpha}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\sin2\vartheta+\right.\\
& + & L_{q}i_{\beta}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\sin2\vartheta+2i_{\alpha}k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}\vartheta\cos\vartheta+2i_{\beta}k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}\vartheta\sin\vartheta-\\
& - & 2L_{d}i_{\alpha}i_{\beta}k_{p}p_{p}^{2}\cos2\vartheta+2L_{q}i_{\alpha}i_{\beta}k_{p}p_{p}^{2}\cos2\vartheta+2L_{d}i_{\alpha}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\vartheta\cos2\vartheta-\\
& - & 2L_{d}i_{\beta}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\vartheta\cos2\vartheta-2L_{q}i_{\alpha}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\vartheta\cos2\vartheta+2L_{q}i_{\beta}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\vartheta\cos2\vartheta+\\
& + & \left.4L_{d}i_{\alpha}i_{\beta}k_{p}p_{p}^{2}\vartheta\sin2\vartheta-4L_{q}i_{\alpha}i_{\beta}k_{p}p_{p}^{2}\vartheta\sin2\vartheta\right),
\end{eqnarray*}
\end_inset
\begin_inset Formula
\[
\gamma_{4}=\Delta t\overline{\omega}.
\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
Dále je pro LQ regulátor nutno uvést matici
\begin_inset Formula $B_{t}$
\end_inset
, ta je nyní závislá na čase a má zápis
\begin_inset Formula
\[
B_{t}=\left[\begin{array}{cc}
\Delta t\left(\frac{\cos^{2}\vartheta}{L_{d}}+\frac{\sin^{2}\vartheta}{L_{q}}\right) & \frac{\Delta t}{2}\sin2\vartheta\left(\frac{1}{L_{d}}-\frac{1}{L_{q}}\right)\\
\frac{\Delta t}{2}\sin2\vartheta\left(\frac{1}{L_{d}}-\frac{1}{L_{q}}\right) & \Delta t\left(\frac{\cos^{2}\vartheta}{L_{q}}+\frac{\sin^{2}\vartheta}{L_{d}}\right)\\
0 & 0\\
0 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right].
\]
\end_inset
\end_layout
\begin_layout Standard
\end_layout
\end_body
\end_document