#LyX 2.0 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 413 \begin_document \begin_header \textclass scrreprt \begin_preamble \usepackage[czech]{babel} \end_preamble \use_default_options true \maintain_unincluded_children false \language czech \language_package default \inputencoding auto \fontencoding global \font_roman lmodern \font_sans lmss \font_typewriter lmtt \font_default_family default \use_non_tex_fonts false \font_sc false \font_osf false \font_sf_scale 100 \font_tt_scale 100 \graphics default \default_output_format default \output_sync 0 \bibtex_command default \index_command default \paperfontsize default \spacing single \use_hyperref false \papersize default \use_geometry false \use_amsmath 1 \use_esint 1 \use_mhchem 1 \use_mathdots 1 \cite_engine basic \use_bibtopic false \use_indices false \paperorientation portrait \suppress_date false \use_refstyle 1 \index Index \shortcut idx \color #008000 \end_index \secnumdepth 2 \tocdepth 2 \paragraph_separation indent \paragraph_indentation default \quotes_language german \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \tracking_changes false \output_changes false \html_math_output 0 \html_css_as_file 0 \html_be_strict false \end_header \begin_body \begin_layout Standard \align left \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash thispagestyle{empty} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \size large ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE \end_layout \begin_layout Standard \align center \size large Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská \end_layout \begin_layout Standard \align center Katedra matematiky \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace 3cm \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \shape smallcaps \size largest \color black DIPLOMOVÁ PRÁCE \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace 3cm \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \series bold \size larger \color black Duální bezsenzorové řízení synchronních \begin_inset Newline linebreak \end_inset elektrických pohonů \end_layout \begin_layout Standard \series bold \begin_inset VSpace smallskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \series bold \size larger \color black Dual sensorless control of synchronous machines \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace vfill \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Posluchač: \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Bc. Michal Vahala \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Vedoucí práce: \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Ing. Václav Šmídl, Ph.D. \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Akademický rok: \begin_inset space \quad{} \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2011/2012 \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash thispagestyle{empty} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard zadání \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash thispagestyle{empty}~ \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace vfill \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection* Čestné prohlášení \end_layout \begin_layout Standard Prohlašuji na tomto místě, že jsem předloženou práci vypracoval samostatně a že jsem uvedl veškerou použitou literaturu. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \noindent \align left V Praze dne \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \begin_inset space \hfill{} \end_inset \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \end_layout \begin_layout Standard \noindent \align block \begin_inset space \hfill{} \end_inset Michal Vahala \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout ~~ \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash thispagestyle{empty}~ \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace vfill \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection* Poděkování \end_layout \begin_layout Standard aaa \begin_inset VSpace defskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \noindent \align left \begin_inset space \hfill{} \end_inset \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \SpecialChar \ldots{} \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset space \hfill{} \end_inset Michal Vahala \begin_inset space \quad{} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash thispagestyle{empty} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Description \series medium \emph on Název \begin_inset space \space{} \end_inset práce: \series default \series bold \emph default \color black Duální bezsenzorové řízení synchronních elektrických pohonů \end_layout \begin_layout Description \series medium \emph on Autor: \series default \emph default Michal Vahala \end_layout \begin_layout Description \series medium \emph on Obor: \series default \emph default Inženýrská informatika \end_layout \begin_layout Description \series medium \emph on Zaměření: \series default \emph default Softwarové inženýrství a matematická informatika \end_layout \begin_layout Description \series medium \emph on Druh \begin_inset space \space{} \end_inset práce: \series default \emph default Diplomová práce \end_layout \begin_layout Description \series medium \emph on Vedoucí \begin_inset space \space{} \end_inset práce: \series default \emph default Ing. Václav Šmídl, Ph.D., ÚTIA AV ČR \end_layout \begin_layout Description \series medium \emph on Konzultant: \series default \emph default --- \end_layout \begin_layout Description \series medium \emph on Abstrakt: \series default \emph default \end_layout \begin_layout Description \series medium \emph on Klíčová \begin_inset space \space{} \end_inset slova: \series default \emph default PMSM, duální řízení, bikriteriální metoda, hyperstav, LQG \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Description \series medium \emph on Title: \series default \series bold \emph default \color black Dual sensorless control of synchronous machines \end_layout \begin_layout Description \series medium \emph on Author: \series default \emph default Michal Vahala \end_layout \begin_layout Description \series medium \emph on Abstract: \emph default \end_layout \begin_layout Description \series medium \emph on Key \begin_inset space \space{} \end_inset words: \emph default PMSM, dual control, bicriterial method, hyperstate, LQG \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash pagestyle{empty} \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash addtocontents{toc}{ \backslash protect \backslash thispagestyle{empty}} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset CommandInset toc LatexCommand tableofcontents \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Newpage newpage \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash pagestyle{plain} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Addchap Úvod \end_layout \begin_layout Standard Synchronní motory, a to především ty osazené permanentními magnety, jsou v poslední době stále více oblíbené pro řadu praktických aplikací. Hlavním nedostatkem pro jejich využití ale je, že za účelem jejich dobrého řízení je nutná znalost polohy hřídele. Tento problém byl zatím řešen převážně instalací mechanických senzorů, které však zvyšují rozměry, poruchovost, ale především cenu celého zařízení. Je tedy přirozené, že se objevily snahy o nalezení efektivního způsobu řízení bez potřeby těchto čidel. \end_layout \begin_layout Standard V současné době již existuje pro bezsenzorové řízení synchronních strojů celá řada postupů a dokonce i pokusy o implementaci bezsenzorového řízení v praxi \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Holtz2006,Pacas2011,Yongdong2008" \end_inset . Hlavním problémem všech dostupných metod však je, že se povětšinou jedná o experimentálně nalezené postupy vyvinuté pro konkrétní účel bez hlubšího teoretického kontextu. Dobré teoretické pozadí pro bezsenzorové řízení by však mohl poskytnout právě koncept duálního řízení, které se snaží nalézt kompromis mezi co nejpřesnějším řízením a současně dobrým odhadováním neměřených veličin. Teorie ohledně duálního řízení je již značně rozvinuta a hojně popsána v literatuře, například \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "BertsekasDPOC,adaptDC2004" \end_inset . Avšak naprostá většina postupů využívajících duálního řízení je extrémně výpočetně náročná, což není příliš vhodné pro aplikaci na řízení motoru, které je třeba provádět v reálném čase. \end_layout \begin_layout Standard Tato práce si tedy klade za cíl prostudovat jednoduché suboptimální algoritmy pro výpočet duálního řízení a pokusit se jejich vybrané zástupce aplikovat na bezsenzorové řízení synchronního motoru. Dále pak klasifikovat běžně používané přístupy k řízení těchto strojů z pohledu konceptu duálního řízení a ukázat případné výhody užití duality. \end_layout \begin_layout Standard V textu bude nejdříve obecně popsán synchronní motor s permanentními magnety, jeho matematický model a běžně užívané techniky pro řízení a odhadování neměřených veličin. Následovat bude kapitola týkající se teorie duálního řízení a výběr jednoduchýc h suboptimálních metod pro řešení tohoto problému. Další kapitola pak bude věnována spojení předchozích dvou, tedy aplikaci duálního řízení na synchronní stroj. Na závěr pak budou zařazeny experimenty, především teoretická analýza jednotliv ých užitých algoritmů a výsledky simulací. Nedílnou součástí bude i shrnutí dosažených výsledků. \end_layout \begin_layout Chapter Synchronní stroj s permanentními magnety \end_layout \begin_layout Standard Jak napovídá název práce, je text zaměřen na řízení synchronních elektrických pohonů. Ze skupiny všech těchto strojů se však zaměřuje pouze na jejich specifickou podskupinu obsahující permanentní magnety. Je tomu tak proto, že oproti synchronním strojům s elektrickým buzením vykazují synchronní stroje s permanentními magnety celou řadu výhod, těší se stále větší oblibě a nacházejí mnoho aplikací v praxi \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Pacas2011" \end_inset . \end_layout \begin_layout Section PMSM \end_layout \begin_layout Standard Zkratkou PMSM bude v textu označován synchronní stroj s permanentními magnety (Permanent Magnet Synchronous Machine). U tohoto točivého elektrického stroje (motoru) se rotor otáčí stejnou rychlostí , tedy synchronně, jako točivé magnetické pole statoru. Pro generování magnetického pole rotoru je užito místo budícího vinutí permanentních magnetů. Rostoucí praktická aplikace této konstrukce je umožněna především díky snadnější dostupnosti kvalitních permanentních magnetů ze speciálních slitin s velkou magnetickou indukcí oproti klasickým feritovým magnetům \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "novak2006,cdern2010" \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsection Konstrukce \end_layout \begin_layout Standard Přiblížení základní konstrukce PMSM je znázorněno na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:Ilustrativni-obrazek-konstrukce" \end_inset . Nákres je pouze ilustrativní, ale zobrazuje hlavní části PMSM: Vnější kruh představuje stator se zuby, na kterých je navinuto statorové vinutí (v obrázku není zobrazeno). Vnitřní kruh reprezentuje rotor, na jehož povrchu jsou umístěny permanentní magnety s barevně rozlišenými póly. \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Graphics filename obrazky/pmsm_spec.eps lyxscale 50 scale 25 \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Ilustrativní nákres konstrukce PMSM: Vnější kruh představuje stator se zuby, na kterých je navinuto statorové vinutí (v obrázku není zobrazeno). Vnitřní kruh reprezentuje rotor, na jehož povrchu jsou umístěny permanentní magnety s barevně rozlišenými póly. \emph on \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:Ilustrativni-obrazek-konstrukce" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Často se lze setkat i s opačnou konstrukcí, kdy je stator umístěn uvnitř a rotor s magnety se otáčí kolem něj. Tato konstrukce PMSM nalézá využití k pohonu nejrůznějších vozidel, kdy lze motor umístit přímo dovnitř kola vozidla, dalším příkladem je pak přímý pohon bubnu automatické pračky. Existují však i další konstrukce PMSM, například s otočným statorem i rotorem. \end_layout \begin_layout Standard Vyobrazená konstrukce (obrázek \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:Ilustrativni-obrazek-konstrukce" \end_inset ) je označována jako SMPMSM ( \emph on Surface Mounted PMSM \emph default ), tedy PMSM s magnety na povrchu. Další častou konstrukcí je IPMSM ( \emph on Inner PMSM \emph default ), kde jsou permanentní magnety umístěny uvnitř rotoru. Tyto stroje mají nepatrně odlišné vlastnosti, které ale mají významný vliv při návrhu řízení těchto strojů, detailněji bude rozebrána tato problematika dále v textu. Pod PMSM se ještě někdy zahrnují reluktanční motory, které jsou založeny na poněkud odlišném principu a nebudeme se jimi v textu zabývat. \end_layout \begin_layout Subsection Vlastnosti \end_layout \begin_layout Standard Specifická konstrukce PMSM, stručně popsaná výše, má oproti asynchronním strojům a synchronním strojům s budícím vinutím celou řadu výhod, existují samozřejmě i některé nevýhody. Následující přehled základních odlišností od ostatních střídavých strojů čerpá ze zdrojů \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "novak2006,cdern2010,Yongdong2008" \end_inset : \end_layout \begin_layout Subsubsection Výhody \end_layout \begin_layout Itemize rotor neobsahuje vinutí a tedy \end_layout \begin_deeper \begin_layout Itemize je možno jej konstruovat menší, což je velmi výhodné v aplikacích, kde záleží na co nejmenší velikosti pohonu \end_layout \begin_layout Itemize je možno jej konstruovat lehčí, což snižuje hmotnost celého zařízení \end_layout \begin_layout Itemize má menší moment setrvačnosti rotoru \end_layout \begin_layout Itemize nedojde k poruše na rotorovém vinutí \end_layout \end_deeper \begin_layout Itemize není třeba motor před rozběhem budit a nepotřebuje zdroj budícího proudu \end_layout \begin_layout Itemize odpadá problém s přívodem proudu do buzení rotoru \end_layout \begin_layout Itemize vyšší účinnost, protože nejsou jouleovy ztráty v: \end_layout \begin_deeper \begin_layout Itemize rotoru oproti asynchronnímu stroji \end_layout \begin_layout Itemize buzení oproti synchronnímu stroji s buzením \end_layout \end_deeper \begin_layout Itemize momentová přetížitelnost \end_layout \begin_layout Itemize možnost konstrukce pomaluběžného stroje s dostatečným výkonem, který nepotřebuje převodovku, a tedy výhody spojené s absencí převodovky \end_layout \begin_layout Subsubsection Nevýhody \end_layout \begin_layout Itemize technologicky složitější výroba kvůli připevňování permanentních magnetů na rotor \end_layout \begin_layout Itemize složitější opravy \end_layout \begin_layout Itemize vyšší cena z důvodu zanedbatelných nákladů na permanentní magnety \end_layout \begin_layout Itemize menší robustnost \end_layout \begin_layout Itemize problematické odbuzování a klesající účinnost při odbuzování \end_layout \begin_layout Itemize závislost magnetických vlastností permanentních magnetů na teplotě a tedy nutnost dobrého chlazení \end_layout \begin_layout Itemize stálá přítomnost budícího pole v motoru, následně při využití například k pohonu vozidla, dojde-li poruše a následném odtahu, funguje motor jako generátor \end_layout \begin_layout Itemize problematika zkratu, při které může teoreticky dojít až k demagnetizaci permanentních magnetů \end_layout \begin_layout Itemize \emph on problematika spojená s návrhem řízení těchto strojů \emph default \end_layout \begin_layout Standard Právě poslední zmiňovaný nedostatek, to jest komplikace při návrhu řízení PMSM a způsoby jak se s tímto nedostatkem vypořádat jsou ústředním tématem této práce. \end_layout \begin_layout Section Matematický model PMSM \end_layout \begin_layout Standard Aby bylo možno systém PMSM lépe pochopit, pracovat s ním, odvozovat algoritmy pro jeho řízení a simulovat jeho chování je nutné jej vhodným způsobem popsat. Za tímto účelem bude následovat popis modelu tohoto zařízení v podobě diferenci álních a případně diferenčních rovnic zachycující jeho chování. \end_layout \begin_layout Subsection Souřadné soustavy \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Graphics filename obrazky/souradosy.eps lyxscale 50 scale 50 \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Souřadné systémy používané pro popis PMSM znázorněné na zjednodušeném modelu: na statorové části jsou umístěny pouze tři cívky reprezentující statorová vinutí jednotlivých fází a jako rotor pak slouží jediný permanentní magnet. \begin_inset Formula $a-b-c$ \end_inset ve směru os vinutí jednotlivých fází, \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset statorová ortogonální soustava a \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset rotorová ortogonální soustava. \emph on \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:Souradne-systemy-pmsm" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard K popisu PMSM se užívá dvou kvalitativně zcela rozdílných typů fyzikálních veličin. V prvním případě se jedná o veličiny mechanické jako poloha (úhel natočení rotoru) a otáčky (rychlost otáčení), dále pak zátěžný moment nebo tření. Druhým uvažovaným typem jsou veličiny elektrické, především elektrické proudy a napětí, a dále indukčnosti a rezistance. \end_layout \begin_layout Standard Elektrické veličiny se nejčastěji uvažují v jednom ze tří souřadných systémů znázorněných na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:Souradne-systemy-pmsm" \end_inset . Souřadný systém \begin_inset Formula $a-b-c$ \end_inset uvažuje tři osy ( \begin_inset Formula $a$ \end_inset , \begin_inset Formula $b$ \end_inset , \begin_inset Formula $c$ \end_inset ) ve směru os vinutí jednotlivých fází. Protože však elektrické veličiny v jednotlivých osách systému \begin_inset Formula $a-b-c$ \end_inset nebývají vzájemně nezávislé a jsou svázány nějakým vztahem, je obvykle využíván popis v soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset . Tato souřadná soustava je opět svázána se statorem. Osa \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset je totožná s osou \begin_inset Formula $a$ \end_inset , osa \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset je na osu \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset kolmá a tvoří tak ortogonální systém. Pro mnoho aplikací se však ukazuje výhodným přejít do rotující souřadné soustavy \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset svázané s rotorem. Osa \begin_inset Formula $d$ \end_inset je pak umístěna ve směru osy permanentního magnetu a směřuje k jeho severnímu pólu, osa \begin_inset Formula $q$ \end_inset je na ni kolmá. \end_layout \begin_layout Subsection Transformace souřadnic \end_layout \begin_layout Standard Žádnou z výše zmiňovaných souřadných soustav nelze označit za univerzálně nejlepší. Pro každý účel se nejlépe hodí jen některá z nich a proto je důležité umět mezi nimi přecházet, tedy převádět jednotlivé veličiny. \end_layout \begin_layout Subsubsection Transformace \begin_inset Formula $a-b-c\longleftrightarrow\alpha-\beta$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Tato transformace se označuje také jako Clarkova transformace, rovnice lze nalézt například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "fiser2006" \end_inset , případně je možné je odvodit. \end_layout \begin_layout Standard Osa \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset je totožná s osou \begin_inset Formula $a$ \end_inset , osy \begin_inset Formula $b$ \end_inset a \begin_inset Formula $c$ \end_inset pak uvažujeme oproti ní otočeny o \begin_inset Formula $\pm120^{\circ}$ \end_inset . Souřadnice v ose \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset tedy získáme následujícím průmětem z os \begin_inset Formula $a,\: b,\: c$ \end_inset \begin_inset Formula \[ \alpha=k\left(a+b\cdot\cos(120^{\circ})+c\cdot\cos(-120^{\circ})\right)=k\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right), \] \end_inset kde \begin_inset Formula $k$ \end_inset značí normovací konstantu \begin_inset Formula $k=\frac{2}{3}$ \end_inset . Obdobně postupujeme v případě osy \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset . Osa \begin_inset Formula $a$ \end_inset je na ní kolmá a tedy její příspěvek je nulový. Osy \begin_inset Formula $b$ \end_inset a \begin_inset Formula $c$ \end_inset promítnuté do osy \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset získáme vztah \begin_inset Formula \[ \beta=k\left(b\cdot\sin(120^{\circ})+c\cdot\sin(-120^{\circ})\right)=k\left(\frac{\sqrt{3}}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}c\right). \] \end_inset Celkem tedy máme rovnice \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \alpha & = & \frac{2}{3}\left(a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c\right),\\ \beta & = & \frac{\sqrt{3}}{3}\left(b-c\right). \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Pro inverzní transformaci platí následující vztahy \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} a & = & \alpha+\theta,\\ b & = & \left(-\frac{1}{2}\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta,\\ c & \text{=} & \left(-\frac{1}{2}\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\beta\right)+\theta, \end{eqnarray*} \end_inset kde \begin_inset Formula $\theta$ \end_inset představuje takzvanou nulovou složku \begin_inset Formula $\theta=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection Transformace \begin_inset Formula $\alpha-\beta\longleftrightarrow d-q$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Transformace je označována jako Parkova transformace a představuje přechod do rotujícího souřadného systému. Rovnice transformace lze najít opět například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "fiser2006" \end_inset , ale jedná se běžnou lineární operaci rotace. \end_layout \begin_layout Standard Uvažujeme tedy otočení soustavy \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset oproti \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset o úhel \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset kolem společného počátku souřadných soustav, což vede na převodní vztah \begin_inset Formula \begin{eqnarray} \left(\begin{array}{c} d\\ q \end{array}\right) & = & \left[\begin{array}{cc} \cos\phi & \sin\phi\\ -\sin\phi & \cos\phi \end{array}\right]\left(\begin{array}{c} \alpha\\ \beta \end{array}\right).\label{eq:transformace_al-be_na_d-q} \end{eqnarray} \end_inset Inverzní transformace je \begin_inset Formula \begin{eqnarray} \left(\begin{array}{c} \alpha\\ \beta \end{array}\right) & = & \left[\begin{array}{cc} \cos\phi & -\sin\phi\\ \sin\phi & \cos\phi \end{array}\right]\left(\begin{array}{c} d\\ q \end{array}\right).\label{eq:transformace_d-q_na_al-be} \end{eqnarray} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Alternativně bude v textu použito i komplexního zápisu souřadných soustav \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset a \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset . Transformace mezi nimi pak bude zapisována jako násobení \begin_inset Formula $e^{j\phi}$ \end_inset pro transformaci z \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset do \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset , respektive \begin_inset Formula $e^{-j\phi}$ \end_inset pro transformaci opačnou. \end_layout \begin_layout Subsection Model PMSM \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sec:Model-PMSM" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Pro tvorbu modelu PMSM vyjdeme z fyzikálních zákonů popisujících hlavní děje odehrávající se v synchronním stroji. Jedná se především o jevy elektrické, mechanické a vzájemnou přeměnu elektrické a mechanické energie. Složitější jevy jako proměnlivost parametrů s teplotou, sycení materiálu magnetickým tokem, případně vliv napájecí elektroniky v tomto modelu uvažovány nebudou. Fyzikální vztahy a zákony pro odvození rovnic PMSM jsou čerpány z \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Feynman1,Feynman2" \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection Rovnice pro proudy \end_layout \begin_layout Standard Cílem je odvodit rovnice pro PMSM a tedy vyjádřit, jak na sobě hlavní veličiny popisující tento systém navzájem závisejí a jak se vyvíjejí v čase. Vyjdeme ze vztahu pro napětí v obvodu statoru. Statorové napětí \begin_inset Formula $u_{s}$ \end_inset uvažujeme zapsané ve souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset ve smyslu \begin_inset Formula $s=\alpha+j\beta$ \end_inset (kde \begin_inset Formula $j$ \end_inset značí komplexní jednotku) a dále uvažujeme, že je obecně funkcí času \begin_inset Formula $u_{s}=u_{s}\left(t\right)$ \end_inset . Toto napětí lze vyjádřit jako součet napětí souvisejícího s průchodem proudu obvodem a dále jako indukovaného napětí v důsledku elektromagnetické indukce. První z těchto členů lze vyjádřit pomocí Ohmova zákona v závislosti na proudu. Indukované napětí je na základě Faradayova zákona elektromagnetické indukce rovno změně magnetického toku v čase. Uvažujme tedy, že proud procházející statorem \begin_inset Formula $i_{s}$ \end_inset i magnetický tok ve stroji \begin_inset Formula $\psi_{s}$ \end_inset zapsaný ve statorové souřadné soustavě jsou opět funkcemi času: \begin_inset Formula $i_{s}=i_{s}\left(t\right)$ \end_inset a \begin_inset Formula $\psi_{s}=\psi_{s}\left(t\right)$ \end_inset . Rovnici pro napětí pak získáme ve tvaru \begin_inset Formula \begin{equation} u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\psi_{s}}{dt},\label{eq:odvoz-statorove-napeti} \end{equation} \end_inset kde \begin_inset Formula $R_{s}$ \end_inset je rezistance a předpokládáme ji známou a konstantní. \end_layout \begin_layout Standard Nyní je třeba vyjádřit hodnotu magnetického toku \begin_inset Formula $\psi_{s}$ \end_inset . Magnetický tok vzniká ve stroji jednak ve statorovém vinutí a dále v důsledku působení permanentních magnetů. Statorové vinutí je z fyzikálního pohledu cívkou a tedy magnetický tok je přímo úměrný proudu procházejícímu touto cívkou: \begin_inset Formula $\psi_{s}^{civka}=L_{s}i_{s}$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $L_{s}$ \end_inset označuje indukčnost cívky, kterou předpokládáme konstantní, známou a prozatím izotropní. Tok permanentních magnetů označíme jako \begin_inset Formula $\psi_{pm}$ \end_inset a považujeme jej za známou konstantu. Rotor obsahující permanentní magnety je však obecně natočen a tok permanentních magnetů je směrován pouze do směru osy \begin_inset Formula $d$ \end_inset . Úhel natočení, označme jej jako \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset , budeme opět uvažovat jako funkci času \begin_inset Formula $\vartheta=\vartheta\left(t\right)$ \end_inset . Rovnice pro celkový magnetický tok ve stroji tedy je \begin_inset Formula \begin{equation} \psi_{s}=L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta},\label{eq:odvoz-magneticky-tok} \end{equation} \end_inset kde násobení \begin_inset Formula $e^{j\vartheta}$ \end_inset představuje zmiňovanou rotaci o úhel \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset při použití komplexního zápisu. \end_layout \begin_layout Standard Když nyní dosadíme rovnici ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:odvoz-magneticky-tok" \end_inset ) pro magnetický tok do rovnice pro napětí ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:odvoz-statorove-napeti" \end_inset ) a provedeme derivaci, získáme \begin_inset Formula \[ u_{s}=R_{s}i_{s}+\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=R_{s}i_{s}+L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\psi_{pm}\frac{d\vartheta}{dt}e^{j\vartheta}. \] \end_inset V této rovnici nově vystupuje veličina \begin_inset Formula $\frac{d\vartheta}{dt}$ \end_inset představující změnu polohy v času, označíme ji jako otáčky \begin_inset Formula \begin{equation} \omega=\frac{d\vartheta}{dt}.\label{eq:definice-otacek} \end{equation} \end_inset Pro obdržení diferenciálních rovnic pro proudy v soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset rozepíšeme zvlášť reálnou a imaginární složku statorove soustavy \begin_inset Formula $s$ \end_inset ( \begin_inset Formula $s=\alpha+j\beta$ \end_inset ). Rovnice tedy jsou \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{\alpha} & = & R_{s}i_{\alpha}+L_{s}\frac{di_{\alpha}}{dt}-\psi_{pm}\omega\sin\vartheta,\\ u_{\beta} & = & R_{s}i_{\beta}+L_{s}\frac{di_{\beta}}{dt}+\psi_{pm}\omega\cos\vartheta, \end{eqnarray*} \end_inset a případně je možno je upravit na \begin_inset Formula \begin{eqnarray} \frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\alpha},\nonumber \\ \frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\beta}.\label{eq:rovnice-proudy-ls} \end{eqnarray} \end_inset Stejné rovnice používají například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Lee2010,Peroutka2009" \end_inset . Rovnice v soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset je z nich možno získat aplikováním transformace popsané rovnicí ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:transformace_al-be_na_d-q" \end_inset ). \end_layout \begin_layout Subsubsection Rovnice pro otáčky \end_layout \begin_layout Standard V odvození rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-proudy-ls" \end_inset ) byla zavedena veličina \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset , viz rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:definice-otacek" \end_inset ), popisující hodnotu otáček (změny polohy) v čase. Má-li být model PMSM úplný, je třeba odvodit rovnici i pro otáčky \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Protože se jedná o mechanickou veličinu, budeme vycházet ze základních zákonů mechaniky. Nejdříve užijeme vztahu pro točivý moment \begin_inset Formula $T$ \end_inset , který budeme považovat za funkci času \begin_inset Formula $T=T\left(t\right)$ \end_inset . Točivý moment lze vyjádřit jako \begin_inset Formula $T=\frac{dl}{dt}$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $l$ \end_inset značí moment hybnosti. Pro ten dále platí \begin_inset Formula $l=J\omega_{mech}$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $J$ \end_inset označuje moment setrvačnosti a předpokládáme ho jako známou konstantu, \begin_inset Formula $\omega_{mech}$ \end_inset jsou mechanické otáčky. Mechanické otáčky odpovídají skutečnému otáčení stroje a liší se od otáček elektrických \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset vystupujících v rovnicích ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-proudy-ls" \end_inset ) pro proudy a jejich odvození. Vztah těchto dvou typů otáček je dán rovnicí \begin_inset Formula \begin{equation} \omega=p_{p}\omega_{mech},\label{eq:vztah-el-a-mech-omega} \end{equation} \end_inset kde hodnota \begin_inset Formula $p_{p}$ \end_inset představuje počet párů pólů (tedy polovina počtu pólů) permanentních magnetů stroje. \end_layout \begin_layout Standard Dalším důležitým poznatkem je, že při působení více točivých momentů se tyto mementy sčítají a tedy platí \begin_inset Formula \begin{equation} T_{1}+\ldots+T_{n}=\frac{dl}{dt}=\frac{d\left(J\omega_{mech}\right)}{dt}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt}.\label{eq:rovnice-momenty-preddosaz} \end{equation} \end_inset Jednotlivé uvažované točivé momenty \begin_inset Formula $T_{i}$ \end_inset jsou: \end_layout \begin_layout Enumerate moment získaný konverzním procesem elektrické energie, který vyjadřuje hlavní vlastnost elektrického motoru -- převod elektrické energie na mechanickou: \begin_inset Formula $T_{1}=T_{el}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate zátěžný moment reprezentující zatížení stroje, tedy to, co je motorem poháněno; působí však v opačném směru (proti pohybu): \begin_inset Formula $T_{2}=-T_{L}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate moment v důsledku tření (mechanické ztráty ve stroji), působí opět proti pohybu a uvažujeme jej lineárně závislý na otáčkách s koeficientem viskozity (tření) \begin_inset Formula $B$ \end_inset : \begin_inset Formula $T_{3}=-B\omega_{mech}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Celkem tedy rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-momenty-preddosaz" \end_inset ) po dosazení konkrétních momentů přejde na \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} T_{el}-T_{L}-B\omega_{mech}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt}.\label{eq:rovnice-momenty-dosazeno} \end{equation} \end_inset Zátěžný moment \begin_inset Formula $T_{L}$ \end_inset sice uvažujeme obecně proměnný v čase, ale vzhledem k tomu, že představuje externí zátěž stroje, není možnost jej jakkoliv předvídat, popřípadě vhodně vyjádřit na základě jiných veličin. V rovnicích tedy bude nadále vystupovat pod označením \begin_inset Formula $T_{L}$ \end_inset a budeme jej považovat za neznámou funkci času. \end_layout \begin_layout Standard Moment \begin_inset Formula $T_{el}$ \end_inset však lze vyjádřit na základě elektrických veličin. Využijeme k tomu výpočet přes okamžitý výkon. Ten je pro trojfázový systém (v souřadnicích \begin_inset Formula $a-b-c$ \end_inset ) roven \begin_inset Formula $P=u_{a}i_{a}+u_{b}i_{b}+u_{c}i_{c}$ \end_inset . Po provedení transformace do souřadnic \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset je vyjádřen ve tvaru \begin_inset Formula \begin{equation} P=k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right),\label{eq:rovnice-vykon} \end{equation} \end_inset kde \begin_inset Formula $k_{p}$ \end_inset značí Parkovu konstantu s hodnotou \begin_inset Formula $k_{p}=\frac{3}{2}$ \end_inset . Jako napětí zde uvažujeme indukované napětí \begin_inset Formula $u_{ind}$ \end_inset , to jest druhý člen v rovnici ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:odvoz-statorove-napeti" \end_inset ), protože první člen této rovnice je napětí, které se podílí na tepelném výkonu stroje -- ztrátách. Tedy pro indukované napětí platí, viz rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:odvoz-statorove-napeti" \end_inset ) a ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:odvoz-magneticky-tok" \end_inset ): \begin_inset Formula \[ u_{ind}=\frac{d\psi_{s}}{dt}=\frac{d\left(L_{s}i_{s}+\psi_{pm}e^{j\vartheta}\right)}{dt}=L_{s}\frac{di_{s}}{dt}+j\psi_{pm}\omega e^{j\vartheta}. \] \end_inset Z indukovaného napětí navíc využijeme pouze složku reprezentovanou druhým výrazem, protože první složka obsahující derivace proudů slouží k tvorbě samotného magnetického pole stroje a nepodílí se na tvorbě výkonu. Následně v souřadném systému \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset získáme vyjádření indukovaných napětí podílejících se na výkonu jako \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{ind,\alpha} & = & -\psi_{pm}\omega\sin\vartheta,\\ u_{ind,\beta} & = & \psi_{pm}\omega\cos\vartheta \end{eqnarray*} \end_inset a po dosazení do ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-vykon" \end_inset ) je \begin_inset Formula \begin{equation} P=k_{p}\left(-\psi_{pm}i_{\alpha}\omega\sin\vartheta+\psi_{pm}i_{\beta}\omega\cos\vartheta\right).\label{eq:rovnice-vykon-dosazano} \end{equation} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Okamžitý výkon lze také vyjádřit z mechanických veličin jako \begin_inset Formula \begin{equation} P=\omega_{mech}T_{el}\label{eq:vztah-okam-vykon-a-el-moment} \end{equation} \end_inset a dosazením z ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-vykon-dosazano" \end_inset ) již získáme vyjádření pro mement \begin_inset Formula $T_{el}$ \end_inset ve tvaru: \begin_inset Formula \[ T_{el}=\frac{P}{\omega_{mech}}=\frac{k_{p}}{\omega_{mech}}\left(-\psi_{pm}i_{\alpha}\omega\sin\vartheta+\psi_{pm}i_{\beta}\omega\cos\vartheta\right), \] \end_inset což lze pomocí vztahu ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:vztah-el-a-mech-omega" \end_inset ) upravit na \begin_inset Formula \[ T_{el}=k_{p}p_{p}\left(-\psi_{pm}i_{\alpha}\sin\vartheta+\psi_{pm}i_{\beta}\cos\vartheta\right). \] \end_inset Stejnou rovnici pro moment \begin_inset Formula $T_{el}$ \end_inset používají například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Lee2010" \end_inset . Dosazení do rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-momenty-dosazeno" \end_inset ) pak vede na tvar \begin_inset Formula \[ k_{p}p_{p}\psi_{pm}\left(-i_{\alpha}\sin\vartheta+i_{\beta}\cos\vartheta\right)-T_{L}-B\omega_{mech}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt}. \] \end_inset Tuto rovnice lze opět užitím vztahu ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:vztah-el-a-mech-omega" \end_inset ) upravit tak, aby v ní vystupovali elektrické otáčky \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a dále z rovnice vyjádřit jejich derivaci \begin_inset Formula \begin{equation} \frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega.\label{eq:rovnice-pro-omega-ls} \end{equation} \end_inset Rovnici pro otáčky v této podobě ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pro-omega-ls" \end_inset ) lze nalézt například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Peroutka2009" \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection Rovnice pro proudy při různých indukčnostech \end_layout \begin_layout Standard Pro použití s některými, především injektážními, metodami je do modelu PMSM třeba zahrnout anizotropie, které následně usnadní odhadování polohy. Možností, jak zavést anizotropie je uvažování různých indukčností v osách \begin_inset Formula $d$ \end_inset a \begin_inset Formula $q$ \end_inset . Tyto osy jsou svázány s rotorem a tedy i s permanentními magnety na něm, viz obrázek \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:Souradne-systemy-pmsm" \end_inset . Tok permanentních magnetů interaguje s cívkami statoru a mění jejich vlastnosti , což vede právě na rozdílné indukčnosti v osách \begin_inset Formula $d$ \end_inset a \begin_inset Formula $q$ \end_inset . Tedy místo jediné izotropní \begin_inset Formula $L_{s}$ \end_inset nyní uvažujeme různé \begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$ \end_inset , nadále je však považujeme za známé konstanty. Postup odvození rovnic bude analogický předchozímu odvození pro stejné indukčnosti s tím rozdílem, že bude užito soustavy \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset . Opět vyjdeme z rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:odvoz-statorove-napeti" \end_inset ), kde za veličiny ve statorové souřadné soustavě \begin_inset Formula $s$ \end_inset dosadíme veličiny v rotorové soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset ve smyslu \begin_inset Formula $r=d+jq$ \end_inset otočené o úhel \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset . Tedy \begin_inset Formula \[ u_{r}e^{j\vartheta}=R_{s}i_{r}e^{j\vartheta}+\frac{d\left(\psi_{r}e^{j\vartheta}\right)}{dt} \] \end_inset a po zderivování \begin_inset Formula \[ u_{r}e^{j\vartheta}=R_{s}i_{r}e^{j\vartheta}+\frac{d\psi_{r}}{dt}e^{j\vartheta}+j\psi_{r}\omega e^{j\vartheta}. \] \end_inset Nyní je možné zkrátit člen \begin_inset Formula $e^{j\vartheta}$ \end_inset představující rotaci a získáme rovnici pro napětí ve tvaru \begin_inset Formula \begin{equation} u_{r}=R_{s}i_{r}+\frac{d\psi_{r}}{dt}+j\psi_{r}\omega.\label{eq:odvoz-ldq-rovnice-napeti} \end{equation} \end_inset Magnetický tok v osách \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset je vyjádřen podobně, jako pro stejné indukčnosti, jako součet toku indukovaného cívkami a toku permanentních magnetů, tedy \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \psi_{d} & = & L_{d}i_{d}+\psi_{pm},\\ \psi_{q} & = & L_{q}i_{q} \end{eqnarray*} \end_inset a \begin_inset Formula $\psi_{pm}$ \end_inset se projeví pouze v první rovnici, protože tok permanentních magnetů uvažujeme pouze ve směru osy \begin_inset Formula $d$ \end_inset . Po dosazení vztahů pro toky do rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:odvoz-ldq-rovnice-napeti" \end_inset ) a jejím rozepsání zvlášť na reálnou a imaginární složku rotorové souřadné soustavy \begin_inset Formula $r$ \end_inset získáme rovnice \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & R_{s}i_{d}+L_{d}\frac{di_{d}}{dt}-L_{q}i_{q}\omega,\\ u_{q} & = & R_{s}i_{q}+L_{q}\frac{di_{q}}{dt}+\left(L_{d}i_{d}+\psi_{pm}\right)\omega. \end{eqnarray*} \end_inset Opět je možno vyjádřit derivace proudů a získat rovnice pro proudy v soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray} \frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{d}}i_{d}+\frac{L_{q}}{L_{d}}i_{q}\omega+\frac{1}{L_{d}}u_{d},\nonumber \\ \frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{q}}i_{q}-\frac{L_{d}}{L_{q}}i_{d}\omega-\frac{\psi_{pm}}{L_{q}}\omega+\frac{1}{L_{q}}u_{q}.\label{eq:rovnice-proudy-ldq-v-dq} \end{eqnarray} \end_inset Tyto rovnice používají například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Chen2009,Foo2009,Genduso2010" \end_inset . Rovnice pro proudy v soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset lze získat transformováním rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-proudy-ldq-v-dq" \end_inset ) pomocí vztahu ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:transformace_d-q_na_al-be" \end_inset ), tyto rovnice však již mají relativně dosti komplikovaný zápis. \end_layout \begin_layout Subsubsection Rovnice pro otáčky při různých indukčnostech \end_layout \begin_layout Standard Postup odvození rovnice pro otáčky při uvažování různých indukčností je opět podobný jako v případě stejných indukčností. Pro momenty platí opět rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-momenty-dosazeno" \end_inset ): \begin_inset Formula \[ T_{el}-T_{L}-B\omega_{mech}=J\frac{d\omega_{mech}}{dt}, \] \end_inset kde \begin_inset Formula $T_{el}$ \end_inset vypočteme přes okamžitý elektrický výkon. Užijeme tedy rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-vykon" \end_inset ) a provedeme transformaci souřadnic danou vztahem ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:transformace_d-q_na_al-be" \end_inset ): \begin_inset Formula \[ P=k_{p}\left(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}\right)=k_{p}\left(u_{d}i_{d}+u_{q}i_{q}\right). \] \end_inset Nyní za napětí dosadíme indukovaná napětí bez složek obsahující derivace proudů, tedy \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{ind,d} & = & -L_{q}i_{q}\omega,\\ u_{ind,q} & = & \left(L_{d}i_{d}+\psi_{pm}\right)\omega \end{eqnarray*} \end_inset a následně po dosazení do rovnice pro výkon získáme \begin_inset Formula \[ P=k_{p}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)\omega. \] \end_inset Výsledkem užitím vztahu pro okamžitý výkon \begin_inset Formula $P$ \end_inset a moment \begin_inset Formula $T_{el}$ \end_inset , viz rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:vztah-okam-vykon-a-el-moment" \end_inset ), a převodního vztahu pro otáčky ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:vztah-el-a-mech-omega" \end_inset ) je rovnice \begin_inset Formula \[ T_{el}=k_{p}p_{p}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right) \] \end_inset a po dosazení do rovnice pro momenty ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-momenty-dosazeno" \end_inset ), užití převodního vztahu ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:vztah-el-a-mech-omega" \end_inset ) a vyjádření derivací získáme rovnici pro otáčky ve tvaru \begin_inset Formula \begin{equation} \frac{d\omega}{dt}=\frac{k_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega,\label{eq:rovnice-pro-omega-ruzne-ldq} \end{equation} \end_inset který lze rovněž najít v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Chen2009,Genduso2010" \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection Shrnutí rovnic pro PMSM \end_layout \begin_layout Standard Pro přehlednost je ještě uvedeno shrnutí výše odvozených rovnic popisujících PMSM. Nejdříve soustava rovnic v souřadnicích \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset při uvažování stejných indukčností, tedy rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-proudy-ls" \end_inset ), ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pro-omega-ls" \end_inset ) a ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:definice-otacek" \end_inset ): \begin_inset Formula \begin{eqnarray} \frac{di_{\alpha}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\alpha}+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\alpha},\nonumber \\ \frac{di_{\beta}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{\beta}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\frac{1}{L_{s}}u_{\beta},\label{eq:rovnice-pmsm-albe-ls}\\ \frac{d\omega}{dt} & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\left(i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega,\nonumber \\ \frac{d\vartheta}{dt} & = & \omega.\nonumber \end{eqnarray} \end_inset Následuje soustava pro různé indukčnosti \begin_inset Formula $L_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $L_{q}$ \end_inset v souřadné soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset vzniklá spojením rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-proudy-ldq-v-dq" \end_inset ), ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pro-omega-ruzne-ldq" \end_inset ) a ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:definice-otacek" \end_inset ): \begin_inset Formula \begin{eqnarray} \frac{di_{d}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{d}}i_{d}+\frac{L_{q}}{L_{d}}i_{q}\omega+\frac{1}{L_{d}}u_{d},\nonumber \\ \frac{di_{q}}{dt} & = & -\frac{R_{s}}{L_{q}}i_{q}-\frac{L_{d}}{L_{q}}i_{d}\omega-\frac{\psi_{pm}}{L_{q}}\omega+\frac{1}{L_{q}}u_{q},\label{eq:rovnice-pmsm-dq-ldq}\\ \frac{d\omega}{dt} & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}+\psi_{pm}i_{q}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}-\frac{B}{J}\omega,\nonumber \\ \frac{d\vartheta}{dt} & = & \omega.\nonumber \end{eqnarray} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Diskrétní model PMSM \end_layout \begin_layout Standard Vzhledem k uvažované implementaci řídících a odhadovacích algoritmů na digitální ch počítačích je výhodnější uvažovat diskrétní systém. Diferenciální rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls" \end_inset ) případně ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq" \end_inset ) je tedy třeba diskretizovat a za tímto účelem bude v textu užito Eulerovy metody, kdy je derivace nahrazena dopřednou diferencí. Toto diskretizační schéma je sice méně přesné, ale oproti tomu je jednoduché na výpočet a tedy dostatečně rychlé. Diskretizační časový krok je volen s ohledem na reálný systém, kde odpovídá vzorkovací frekvenci použitých senzorů. To je obvykle velmi krátký časový okamžik (řádově sto mikrosekund) a chyba v důsledku diskretizace Eulerovou metodou tedy není velká. Významnějším důvodem pro tuto metodu je však uvažování praktické aplikace v reálném čase, kdy je třeba v průběhu jedné vzorkovací periody vypočítat odhad stavových veličin a následně řídící zásah. Jednodušší diferenční rovnice, znamenají jednodušší popis systému a tedy rychlejší výpočet všech uvažovaných algoritmů nezbytný pro potenciální nasazení v reálné aplikaci. \end_layout \begin_layout Standard S užíváním diferenčních rovnic jsou však spojeny jisté komplikace. Zatímco diferenciální rovnice popisující PMSM ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls" \end_inset ) a ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq" \end_inset ) lze libovolně převádět mezi jednotlivými souřadnými systémy pomocí vztahů ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:transformace_al-be_na_d-q" \end_inset ) a ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:transformace_d-q_na_al-be" \end_inset ), pro odpovídající rovnice diferenční to pravda není a jejich převod transforma cemi ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:transformace_al-be_na_d-q" \end_inset ) a ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:transformace_d-q_na_al-be" \end_inset ) nedává vždy dobrý výsledek. Pro odvození diferenčních rovnic v konkrétní souřadné soustavě je tedy třeba postupovat ve dvou krocích. Nejprve převést vybranou soustavu rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls" \end_inset ) nebo ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq" \end_inset ) do zvolené souřadné soustavy. Následně je pak možné provést diskretizaci. \end_layout \begin_layout Standard Prvním krokem při návrhu řízení motoru je obvykle zvládnutí řízení stroje bez zátěže. Z tohoto důvodu je často uvažován nulový zátěžný moment a proto pro budou obvykle uvedeny rovnice bez něj. \end_layout \begin_layout Subsubsection Diskrétní rovnice pro stejné indukčnosti v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Pro odvození těchto rovnic vyjdeme ze soustavy diferenciálních rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls" \end_inset ) a užijeme zmiňované Eulerovy metody. Derivaci tedy nahradíme konečnou diferencí \begin_inset Formula \[ \frac{dx}{dt}\left(t\right)=\frac{x_{t+1}-x_{t}}{\Delta t}, \] \end_inset kde \begin_inset Formula $\Delta t$ \end_inset představuje diskretizační časový krok. Po úpravě je výsledná diskrétní soustava rovnic ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{\alpha,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\alpha,t}+\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\alpha,t},\\ i_{\beta,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{\beta,t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{\beta,t},\\ \omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right)-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t. \end{eqnarray*} \end_inset Pro zjednodušení zavedeme následující značení \begin_inset Formula \begin{eqnarray} a & = & 1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t,\nonumber \\ b & = & \frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\Delta t,\nonumber \\ c & = & \frac{\Delta t}{L_{s}},\label{eq:zjednodus-znaceni-konstant}\\ d & = & 1-\frac{B}{J}\Delta t,\nonumber \\ e & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}\Delta t\nonumber \end{eqnarray} \end_inset a předpokládáme-li zátěžný moment nulový \begin_inset Formula $T_{L}=0$ \end_inset , rovnice pak přejdou na tvar \begin_inset Formula \begin{eqnarray} i_{\alpha,t+1} & \text{=} & ai_{\alpha,t}+b\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+cu_{\alpha,t},\nonumber \\ i_{\beta,t+1} & \text{=} & ai_{\beta,t}-b\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+cu_{\beta,t},\label{eq:diskretni-system-albe-ls}\\ \omega_{t+1} & \text{=} & d\omega_{t}+e\left(i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}\right),\nonumber \\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.\nonumber \end{eqnarray} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Diskrétní rovnice pro stejné indukčnosti v souřadné soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Opět vyjdeme ze soustavy diferenciálních rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls" \end_inset )a pomocí převodního vztahu ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:transformace_d-q_na_al-be" \end_inset ) transformujeme první dvě rovnice ze souřadné soustavy \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset do \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset : \begin_inset Formula \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right) & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right)+\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\sin\vartheta+\nonumber \\ & + & \frac{1}{L_{s}}\left(u_{d}\cos\vartheta-u_{q}\sin\vartheta\right),\label{eq:uprava-rovnic-z-albe-na-dq-pro-ls}\\ \frac{d}{dt}\left(i_{d}\sin\vartheta+i_{q}\cos\vartheta\right) & = & -\frac{R_{s}}{L_{s}}\left(i_{d}\sin\vartheta+i_{q}\cos\vartheta\right)-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega\cos\vartheta+\nonumber \\ & + & \frac{1}{L_{s}}\left(u_{d}\sin\vartheta+u_{q}\cos\vartheta\right).\nonumber \end{eqnarray} \end_inset Upravíme derivace v předchozích dvou rovnicích ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:uprava-rovnic-z-albe-na-dq-pro-ls" \end_inset ) \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}\left(i_{d}\cos\vartheta-i_{q}\sin\vartheta\right) & = & \frac{di_{d}}{dt}\cos\vartheta-\frac{di_{q}}{dt}\sin\vartheta-i_{d}\omega\sin\vartheta-i_{q}\omega\cos\vartheta,\\ \frac{d}{dt}\left(i_{d}\sin\vartheta+i_{q}\cos\vartheta\right) & = & \frac{di_{d}}{dt}\sin\vartheta+\frac{di_{q}}{dt}\cos\vartheta+i_{d}\omega\cos\vartheta-i_{q}\omega\sin\vartheta. \end{eqnarray*} \end_inset Nyní zřejmě získáme diferenciální rovnici pro \begin_inset Formula $i_{d}$ \end_inset vynásobením první rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:uprava-rovnic-z-albe-na-dq-pro-ls" \end_inset ) hodnotou \begin_inset Formula $\cos\vartheta$ \end_inset a přičtením druhé rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:uprava-rovnic-z-albe-na-dq-pro-ls" \end_inset ) násobené \begin_inset Formula $\sin\vartheta$ \end_inset . Obdobně rovnici pro \begin_inset Formula $i_{q}$ \end_inset získáme násobením první rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:uprava-rovnic-z-albe-na-dq-pro-ls" \end_inset ) hodnotou \begin_inset Formula $-\sin\vartheta$ \end_inset a přičtením druhé rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:uprava-rovnic-z-albe-na-dq-pro-ls" \end_inset ) násobené \begin_inset Formula $\cos\vartheta$ \end_inset . Upravené diferenciální rovnice pro \begin_inset Formula $i_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $i_{q}$ \end_inset jsou ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{d}}{dt} & \text{=} & -\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{d}-i_{q}\omega+\frac{u_{d}}{L_{s}},\\ \frac{di_{q}}{dt} & \text{=} & i_{d}\omega-\frac{R_{s}}{L_{s}}i_{q}-\frac{\psi_{pm}}{L_{s}}\omega+\frac{u_{q}}{L_{s}}. \end{eqnarray*} \end_inset Rovnici pro otáčky \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset lze snadno transformovat na základě faktu, že výraz \begin_inset Formula $i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta$ \end_inset přímo odpovídá \begin_inset Formula $i_{q}$ \end_inset a tedy \begin_inset Formula \[ \frac{d\omega}{dt}\text{=}\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q}-\frac{B}{J}\omega-\frac{p_{p}}{J}T_{L}. \] \end_inset Rovnice popisující změnu polohy v čase je samozřejmě stejná \begin_inset Formula \[ \frac{d\vartheta}{dt}\text{=}\omega. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Provedení diskretizace je analogické jako v předchozím odstavci pro soustavu v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset souřadnicích a výsledkem je následující soustava diskrétních rovnic \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{d,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{d,t},\\ i_{q,t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{s}}\Delta t\right)i_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{s}}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{s}}u_{q,t},\\ \omega_{t+1} & \text{=} & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}}{J}i_{q,t}-\frac{p_{p}}{J}T_{L}\Delta t,\\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Při použití stejného zjednodušujícího značení ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:zjednodus-znaceni-konstant" \end_inset ) a předpokladu nulového zátěžného momentu jsou rovnice ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray} i_{d,t+1} & \text{=} & ai_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+cu_{d,t},\nonumber \\ i_{q,t+1} & \text{=} & ai_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-b\omega_{t}+cu_{q,t},\label{eq:diskretni-system-dq-ls}\\ \omega_{t+1} & \text{=} & d\omega_{t}+ei_{q,t},\nonumber \\ \vartheta_{t+1} & \text{=} & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.\nonumber \end{eqnarray} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Diskrétní rovnice pro různé indukčnosti v souřadné soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Nyní vyjdeme ze soustavy diferenciálních rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq" \end_inset ) a diskretizaci provedeme opět stejným způsobem pomocí Eulerovy metody. Popis PMSM pomocí diferenčních rovnic v souřadné soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset při uvažování různých indukčností \begin_inset Formula $L_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $L_{q}$ \end_inset nyní bude \begin_inset Formula \begin{eqnarray} i_{d,t+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{d}}\Delta t\right)i_{d,t}+\frac{L_{q}\Delta t}{L_{d}}i_{q,t}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{d}}u_{d,t},\nonumber \\ i_{q,t+1} & = & \left(1-\frac{R_{s}}{L_{q}}\Delta t\right)i_{q,t}-\frac{L_{d}\Delta t}{L_{q}}i_{d,t}\omega_{t}-\frac{\psi_{pm}\Delta t}{L_{q}}\omega_{t}+\frac{\Delta t}{L_{q}}u_{q,t},\label{eq:diskretni-system-dq-ldq}\\ \omega_{t+1} & = & \left(1-\frac{B}{J}\Delta t\right)\omega_{t}+\frac{k_{p}p_{p}^{2}\Delta t}{J}\left(\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d,t}i_{q,t}+\psi_{pm}i_{q,t}\right),\nonumber \\ \vartheta_{t+1} & = & \vartheta_{t}+\omega_{t}\Delta t.\nonumber \end{eqnarray} \end_inset Zátěžný moment \begin_inset Formula $T_{L}$ \end_inset je opět považován za nulový, ale další zjednodušující označení konstant v tomto případě zaváděno nebude. \end_layout \begin_layout Subsubsection Diskrétní rovnice pro různé indukčnosti v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Postup odvození těchto rovnic je podobný jako v případě rovnic v soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset pro stejné indukčnosti. Do soustavy ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq" \end_inset ) jsou dosazeny proudy transformované pomocí ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:transformace_al-be_na_d-q" \end_inset ) a následně jsou první dvě rovnice násobeny \begin_inset Formula $\sin\vartheta$ \end_inset nebo \begin_inset Formula $\cos\vartheta$ \end_inset a sečteny, případně odečteny. Výsledné vztahy v soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset mají ale poměrně komplikovaný zápis a proto nebudou uváděny přímo zde v textu, lze je však nalézt v příloze. \end_layout \begin_layout Subsection Stochastický model PMSM \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Stochasticky-model-pmsm" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Lze samozřejmě očekávat, že výše odvozené rovnice nevystihují chování reálného stroje zcela přesně. Tento fakt má celou řadu nejrůznějších příčin, které nelze obecně odstranit. Místo toho je lepší uvažovat jistou míru nepřesnosti užívaných rovnic a modelovat ji jako šum. \end_layout \begin_layout Subsubsection Hlavní příčiny neurčitosti v PMSM \end_layout \begin_layout Standard Následující popis neurčitostí v PMSM způsobující nepřesnost modelu vychází z \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Peroutka2009" \end_inset : \end_layout \begin_layout Standard \series bold Nepřesnost rovnic popisujících reálný stroj: \end_layout \begin_layout Itemize zanedbání složitějších efektů v modelu jako závislost parametrů na teplotě nebo saturace magnetickým tokem \end_layout \begin_layout Itemize nejsou známy přesné hodnoty parametrů stroje \end_layout \begin_layout Itemize vliv neznámého zátěžného momentu \end_layout \begin_layout Itemize vliv diskretizace rovnic a užití jednoduché Eulerovy metody \end_layout \begin_layout Standard \series bold Vliv užití reálných zařízení: \end_layout \begin_layout Itemize chyby měření a zaokrouhlovací chyby senzorů \end_layout \begin_layout Itemize skutečná napětí ve stroji se liší od požadovaných v důsledku napájecí elektronik y (PWM, invertor) \end_layout \begin_deeper \begin_layout Itemize efekt mrtvých časů \end_layout \begin_layout Itemize nelineární úbytky napětí v důsledku voltamperové charakteristiky napájecí elektroniky \end_layout \end_deeper \begin_layout Itemize nedokonalosti samotného motoru -- zařízení není nikdy vyrobeno přesně, výskyt nesymetrií a anizotropických vlastností rotoru nebo samotných permanentních magnetů \end_layout \begin_layout Standard \series bold V důsledku bezsenzorového návrhu pak dále přibývá neznalost: \end_layout \begin_layout Itemize počáteční polohy \end_layout \begin_layout Itemize polohy při provozu stroje \end_layout \begin_layout Itemize velikosti otáček při provozu stroje \end_layout \begin_layout Itemize směru otáčení (viz následující odstavec) \end_layout \begin_layout Subsubsection Symetrie rovnic stroje \end_layout \begin_layout Standard Při popisu PMSM pomocí jeho rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls" \end_inset ) v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset zle vypozorovat symetrii těchto rovnic na substituci stavových veličin \begin_inset Formula $\left(\omega,\vartheta\right)\longleftrightarrow\left(-\omega,\vartheta+\pi\right)$ \end_inset . V důsledku bezsenzorového návrhu pak při užití modelu stroje založeného na těchto rovnicích nelze poznat, která ze symetrických verzí \begin_inset Formula $\left(\omega,\vartheta\right)$ \end_inset a \begin_inset Formula $\left(-\omega,\vartheta+\pi\right)$ \end_inset je realizována. Tento problém je však zcela zásadní, protože se jedná o otáčení stroje na opačnou stranu. Pro správný běh stroje je tedy třeba vhodně odhadovat polohu \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset v celém intervalu \begin_inset Formula $\left\langle -\pi,\pi\right\rangle $ \end_inset nebo alternativně znaménko otáček \begin_inset Formula $\mathrm{sign}\,\omega$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection Použitý šum \end_layout \begin_layout Standard Seznam výše popsaných vlivů způsobujících nepřesnost uvažovaného modelu stroje se pokusíme zahrnout pod vhodný model šumu. Skutečný šum, který se vyskytuje na reálném stroji, lze očekávat velmi komplikovaný a jeho popis není ani prakticky realizovatelný. Výhodnější tedy je uvažovat některý z klasických modelů šumu a jeho parametry nastavit tak, aby co nejlépe zachycoval průběh neurčitosti. \end_layout \begin_layout Standard V tomto textu bude uvažován model aditivního vzájemně nezávislého bílého Gaussovského šumu. Jedná se o relativně jednoduchý model šumu, ale jeho výhodou je, že pro něj existuje celá řada efektivních algoritmů. Střední hodnota pro šum bude uvažována nulová a kovarianční matice je nutno vhodně zvolit s ohledem na výše popsané neurčitosti. K této volbě lze přistupovat buď na základě odhadu parametrů normálního rozdělení, detailněji popsáno v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Peroutka2009" \end_inset , nebo je lze volit experimentálně. \end_layout \begin_layout Standard Zmiňovaný šum bude uvažován obecně dvou typů. Jedná se šum v samotném systému, který odráží především chyby modelu. Budeme předpokládat, že tento šum se projevuje v odvozených rovnicích ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls" \end_inset ) a ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq" \end_inset ) pro popis stavu systému, případně v některé jejich diskrétní verzi. Druhý typ šumu bude reprezentovat chybu měření a bude mít přímý vliv na měřené veličiny. \end_layout \begin_layout Subsubsection Stochastický model systému \end_layout \begin_layout Standard PMSM tedy budeme dále uvažovat jako stochastický diskrétní systém popsaný rovnicemi \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} x_{t+1} & = & f\left(x_{t},u_{t}\right)+w_{t},\\ y_{t} & = & h\left(x_{t}\right)+v_{t}, \end{eqnarray*} \end_inset pro \begin_inset Formula $t=1,\ldots,T$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset je vektor stavu, \begin_inset Formula $u_{t}$ \end_inset vektor řízení, \begin_inset Formula $y_{t}$ \end_inset vektor pozorování (měření) a vektory \begin_inset Formula $v_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $w_{t}$ \end_inset představují na sobě vzájemně nezávislý aditivní bílý Gaussovský šum s nulovou střední hodnotou a kovariančními maticemi \begin_inset Formula $R_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $Q_{t}$ \end_inset v tomto pořadí. Funkce \begin_inset Formula $f$ \end_inset představuje vývoj systému daný například rovnicemi ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:diskretni-system-albe-ls" \end_inset ), ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:diskretni-system-dq-ls" \end_inset ) nebo ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:diskretni-system-dq-ldq" \end_inset ) a \begin_inset Formula $h$ \end_inset je známou funkcí měření. \end_layout \begin_layout Section Bezsenzorový návrh PMSM \end_layout \begin_layout Subsection Mechanické veličiny a senzory \end_layout \begin_layout Standard Jak je patrné z výše odvozeného modelu PMSM, když chceme stroj dobře řídit, je potřeba znát s dostatečnou přesností fyzikální veličiny, které zachycují jeho stav v daném časovém okamžiku. Jako tyto veličiny v základu volíme elektrické proudy a napětí a dále pak polohu rotoru a rychlost jeho otáčení. Získat dostatečně přesné hodnoty těchto veličin však není vždy zcela jednoduché. \end_layout \begin_layout Standard U elektrických proudů na výstupu stroje předpokládáme, že je měříme s dostatečno u přesností. Elektrická napětí na vstupu předpokládáme známá, protože se obvykle jedná o řídící veličiny. Je však třeba poznamenat, že napětí požadovaná řídícím algoritmem a skutečná napětí dodaná napájecí elektronikou se mohou často značně lišit. Vliv a řešení tohoto konkrétního problému bude podrobněji diskutován dále v textu, viz \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Kompenzace-úbytků-napětí" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Získání hodnot mechanických veličin v reálném čase je v praxi mnohem komplikovan ější. Je totiž třeba užít speciálních senzorů jako například: pulzní snímače na principu vhodného kódu \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "novak2006" \end_inset , Hallovy senzory \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PUK1" \end_inset nebo rezolvery \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PAH1,novak2006" \end_inset . Pro praktické aplikace je však třeba ekonomických, robustních a kompaktních motorů a využití senzorů přináší obecně mnoho nevýhod jako například \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Pacas2011,Yongdong2008" \end_inset : \end_layout \begin_layout Itemize větší hardwarová složitost zařízení, více vodičů, sběrnic a konektorů, větší rozměry \end_layout \begin_layout Itemize vyšší cena, vliv na životní cyklus výrobku \end_layout \begin_layout Itemize menší spolehlivost a menší odolnost proti šumu \end_layout \begin_layout Itemize nutno řešit negativní vlivy na senzory: elektromagnetické pole, oscilace, vysoké rychlosti a teploty \end_layout \begin_layout Itemize vyšší nároky na údržbu \end_layout \begin_layout Itemize menší robustnost, problém při selhání senzoru, je-li motor současně využíván i jako brzda (detailněji \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PCW1" \end_inset ) \end_layout \begin_layout Standard Je tedy snahou se užití senzorů vyhnout a k určování polohy a otáček rotoru využít jiných, \emph on bezsenzorových \emph default , metod. Ty jsou obvykle založeny na speciálním algoritmu, který odhaduje hodnoty mechanických veličin z hodnot veličin elektrických. \end_layout \begin_layout Standard S bezsenzorovými metodami byly na počátku spojeny problémy s výpočetní náročnost í. To se však změnilo s dostupností moderních výkoných elektronických prvků umožňujících implementaci náročnějších algoritmů a tím byl umožněn rozvoj bezsenzorového řízení. V posledních letech tak byl současně v akademické i průmyslové sféře odstartová n intenzivní výzkum na poli pokročilých řídících strategií. Pro komerční průmyslovou aplikaci je však bezsenzorový návrh rozumný, jen pokud se neprodraží více než původně uvažované senzory. Nelze tedy bezsenzorový návrh příliš usnadnit přidáním dalších elektrických senzorů (například napěťových), užití nejvýkonnějších dostupných procesorů, případně požadavkem na jinou nebo speciální konstrukci samotného motoru \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Pacas2011" \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsection Přehled metod pro odhadování stavových veličin PMSM \end_layout \begin_layout Standard K odhadování stavových veličin PMSM v bezsenzorovém návrhu je možno přistupovat z různých směrů a lze při tom využít mnoha specifických jevů. V důsledku toho byla vyvinuta celá řada více či méně úspěšných metod. Následující přehled hlavních reprezentantů těchto metod čerpá svoji osnovu z \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Yongdong2008" \end_inset , ta je doplněna z \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Holtz2006" \end_inset a dále o konkrétní příklady z dalších zdrojů. \end_layout \begin_layout Subsection Metody založené na otevřené smyčce \end_layout \begin_layout Standard Nejdříve budou uvedeny nejjednodušší metody odhadování stavových veličin založené na otevřené smyčce. \end_layout \begin_layout Subsubsection Přímý výpočet \end_layout \begin_layout Standard Požadované veličiny (poloha a otáčky) jsou přímo vyjádřeny a vypočteny z rovnic popisujících PMSM. Jedná se o přímočarou a jednoduchou metodu s velmi rychlou dynamickou odezvou. Není třeba užití komplikovaného pozorovatele, nicméně metoda je velmi citlivá na chyby měření, šum a nepřesné určení parametrů stroje. \end_layout \begin_layout Subsubsection Výpočet statorové indukčnosti \end_layout \begin_layout Standard Používá se pro IPMSM, kde indukčnost statorových fází je funkcí polohy rotoru. Poloha rotoru je tedy vypočtena z napětí a proudu ve statorové fázi. Problémy nastávají v důsledku nepřesného výpočtu indukčnosti a dále při saturaci magnetickým tokem, kdy metoda poskytuje špatné výsledky. \end_layout \begin_layout Subsubsection Integrace zpětné elektromotorické síly \end_layout \begin_layout Standard Metoda využívá toho, že v synchronním stroji rotuje statorový a rotorový tok synchronně a tedy ze znalosti statorového toku lze vypočítat, na základě rovnic stroje, úhel rotorového toku, tedy polohu hřídele. Problém tohoto přístupu je především v citlivosti na šum a (především teplotní) změny rezistance statoru. Dále metoda funguje špatně při nízkých otáčkách. \end_layout \begin_layout Subsubsection Rozšířená elektromotorická síla \end_layout \begin_layout Standard V tomto případě se jedná pouze o rozšíření konceptu zpětné elektromotorické síly na IPMSM, kde vystupují rozdílné indukčnosti. Stručně řečeno tedy umožňuje snadnou aplikaci metod vyvinutých pro SMPMSM založených na zpětné elektromotorické síle i pro IPMSM. \end_layout \begin_layout Subsection Metody s uzavřenou smyčkou \end_layout \begin_layout Standard Předchozí metody založené na otevřené smyčce jsou limitovány především přesností , s jakou uvažované parametry v modelu odpovídají skutečným hodnotám stroje. Obzvláště při nízkých otáčkách se chyby parametrů mohou nepříznivě ovlivňovat dynamiku systému. Užitím pozorovatelů založených na uzavřené smyčce lze zvýšit robustnost proti nepřesnému určení parametrů, ale i proti šumu v systému obecně \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Holtz2006" \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection Rozšířený Kalmanův filtr \end_layout \begin_layout Standard Tato metoda poskytuje ve srovnání s ostatními velmi dobré výsledky, je méně ovlivněna šumem měření a nepřesností parametrů. Je asi nejpoužívanějším nelineárním pozorovatelem pro odhadování stavových veličin PMSM. Popis jeho aplikace lze nalézt například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSB1,PEB2,PEB1,Peroutka2009" \end_inset . Problematičtější je nutnost vhodné volby kovariančních matic. Dále je třeba vyřešit problém s konvergencí ke špatnému řešení (symetrie \begin_inset Formula $\left(\omega,\vartheta\right)$ \end_inset a \begin_inset Formula $\left(-\omega,\vartheta+\pi\right)$ \end_inset ). Užití rozšířeného Kalmanova filtru je také komplikovanější pro IPMSM s různými indukčnostmi kvůli složitějšímu popisu. Dalšími nevýhodami jsou vyšší výpočetní a časová náročnost. Detailnímu popisu algoritmu rozšířeného Kalmanova filtru a jeho následné aplikaci na PMSM bude věnována zvláštní pozornost dále v textu, viz odstavec \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:EKF-popis" \end_inset a část \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:EKF-implementace-matice" \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection MRAS (Model Reference Adaptive System) \end_layout \begin_layout Standard Algoritmus využívá redundance dvou různých modelů stroje k určení stejných veličin z jiné množiny vstupů. Chyba mezi estimovanými veličinami jednotlivých modelů je pak úměrná úhlovému posunu mezi dvěma odhadovanými vektory magnetického toku a tedy i úhlu natočení stroje. Tato chyba je pak obvykle minimalizována PI regulátorem. Příkladem je využití napěťového a proudového modelu k určení chyby magnetického toku, ze které je následně stanovena rychlost. Jinou možností je užít jako jeden z modelů samotný PMSM. Nevýhodou této metody je silná závislost na přesnosti parametrů stroje, obzvláště na rezistanci statoru. \end_layout \begin_layout Subsubsection Jednoduché adaptivní řízení \end_layout \begin_layout Standard Návrh pro případ známé velikosti toku permanentních magnetů. Výhodou je zvládnutí kompenzace konstantního posun napětí, avšak má problémy při nízkých otáčkách. \end_layout \begin_layout Subsubsection Klouzavý pozorovatel (sliding mode observer) \end_layout \begin_layout Standard Přístup zajišťuje nulovou chybu odhadovaného statorového proudu. Dále pak rekonstruuje zpětnou elektromotorickou sílu a vypočítává z ní polohu rotoru. Opět má problémy při nízkých otáčkách. Existuje i iterativní verze klouzavého pozorovatele, viz například \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSK1" \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsection Metody založené na neideálních vlastnostech motoru \end_layout \begin_layout Standard Jejich výhodou je především odstranění kritické závislosti na velikosti zpětné elektromotorické síly úměrné otáčkám stroje. Tyto metody jsou tedy navrhovány se zamýšleným užitím především pro nízké a nulové otáčky. \end_layout \begin_layout Subsubsection Vysokofrekvenční (HF) injektáž \end_layout \begin_layout Standard Metoda je založena na vlastnosti magnetických \begin_inset Quotes gld \end_inset výčnělků \begin_inset Quotes grd \end_inset (saliency) především u IPMSM, případně na lokálních anizotropiích v důsledku saturace magnetickým tokem typickými pro SMPMSM. Detailněji se základní metodou injektáže zabývají v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PAB1,PAH1,PSJ1" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Injektovaný signál je přiváděn na vstup stroje spolu s řízením. Generuje točivé nebo střídavé pole ve specifickém, předem určeném prostorovém směru. Tyto dva rozdílné přístupy jsou také označovány jako \begin_inset Quotes gld \end_inset rotující napěťový vektor \begin_inset Quotes grd \end_inset a \begin_inset Quotes gld \end_inset pulzující napěťový vektor \begin_inset Quotes grd \end_inset v tomto pořadí. Jejich srovnání a aplikaci na oba typy PMSM (SM- a I-) lze nalézt v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PCB1,PCK1" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Výhodou injektáží je necitlivost k nepřesné znalosti parametrů stroje. Například články \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSL1,PSL3" \end_inset představují injektážní metodu, která nepotřebuje znát parametry stroje. V případě \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSL3" \end_inset se navíc snaží kompenzovat i negativní vliv invertoru a rozšířit schopnost detekce anizotropií i na velmi malé nepravidelnosti typické pro SMPMSM. Nevýhodou injektážních metod je spotřeba jistého množství napětí, což snižuje dostupné maximální napětí. Dalším nedostatkem je užití digitálních filtrů pro zpracování a špatný dynamický výkon v důsledku jejich užití. \end_layout \begin_layout Standard Přiblížení základního principu funkce injektážních metod je uvedeno dále v textu v odstavci \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Priblizeni-metody-vysokofrekvenc" \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection Injektáž velmi vysokých frekvencí \end_layout \begin_layout Standard Tento relativně nový postup prezentovaný v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PAP1" \end_inset nedetekuje anizotropie v důsledku saturace případně anizotropie rotoru. Místo toho je založena na neideálních vlastnostech (anizotropiích) samotných permanentních magnetů. Z tohoto důvodu ji lze využít v případech kdy ostatní metody selhávají, například z důvodu nepřítomnosti klasických anizotropií. Pro správnou funkčnost metody je však nutné užití velmi vysokých frekvencí v řádu stovek \emph on kHz \emph default . Nevýhodou je nutnost volby optimální hodnoty frekvence specificky pro konkrétní typ magnetu. Dále pak to, že se jedná o relativně novou metodu, která zatím není detailněji prozkoumána. \end_layout \begin_layout Subsubsection Nízkofrekvenční (LF) injektáž \end_layout \begin_layout Standard Nízkofrekvenční injektáž je založena na injektování nízké frekvence do \begin_inset Formula $d$ \end_inset osy, to způsobí změnu v otáčkách indikující chybu odhadu a z ní je pak možné odhadnout polohu. Metoda je založeno na jiném principu než vysokofrekvenční injektáže a výstupky již nejsou nutnou podmínkou pro její funkčnost. Použitelnost tohoto přístupu závisí na momentu setrvačnosti stroje a pro jeho velké hodnoty selhává. Dalším nedostatkem pak je pomalá dynamická odezva. \end_layout \begin_layout Subsubsection INFORM (Indirect flux detection by on-line reactance measurement) \end_layout \begin_layout Standard Jedná se o metodu použitelnou pro určení polohy PMSM při nízkých a nulových otáčkách. Je založena na měření proudové odezvy vyvolané přepínáním invertoru s pulzně-ší řkovou modulací (PWM) a užitím těchto proudů k výpočtu polohy rotoru. Výhodou je jednoduchý výpočet a dále to, že není třeba rovnic pro motor a tedy je metoda necitlivá na změnu a nepřesné hodnoty parametrů. Oproti tomu je však citlivá na chyby toku, které způsobují špatný odhad. Další nevýhodou je rušení proudů v ustáleném stavu. \end_layout \begin_layout Subsection Detekce počáteční polohy \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Detekce-počáteční-polohy" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Pro hladký start PMSM je třeba znát počáteční polohu. Obvyklým postupem je užití vhodné excitace stroje k získání této informace. Hlavní užívané možnosti excitace jsou: \end_layout \begin_layout Subsubsection Užití impulzního napětí \end_layout \begin_layout Standard Postup je založen na sycení a změně indukčnosti statoru s pozicí magnetů na rotoru. Za klidu stroje jsou do statorových fází aplikovány napěťové pulzy a z proudů je následně vypočítána informace o poloze. Příkladem může být technika představená v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PIS1" \end_inset , která nevyžaduje znalost parametrů stroje a je možno ji aplikovat i na SMPMSM. \end_layout \begin_layout Subsubsection Testovací napěťové vektory \end_layout \begin_layout Standard Napěťové vektory v různých prostorových směrech jsou aplikovány do stroje a je měřena proudová odezva. Nejvyšší odezva pak indikuje pozici rotoru. Funkčnost metody je založena na saturaci statorového jádra. \end_layout \begin_layout Subsubsection Vysokofrekvenční (HF) testovací signál \end_layout \begin_layout Standard Počáteční poloha je získávána z odezvy na injektovaný proudový nebo napěťový vysokofrekvenční signál. Jedná se o podobný přístup jako vysokofrekvenční injektáže. \end_layout \begin_layout Subsection Kombinace metod \end_layout \begin_layout Standard Vzhledem k tomu, že každá z výše uvedených metod má své nedostatky, nejlepších výsledků je dosahováno jejich vhodnou kombinací. Kombinování metod však přináší nové problémy, které je třeba řešit. Obecně komplikuje celý návrh a ten se tak stává složitějším. Velkým problémem je nutnost navrhnout správné napojení a součinnost jednotlivýc h kombinovaných metod. \end_layout \begin_layout Standard V \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSB1" \end_inset představují bezsenzorové řízení založené na EKF pozorovateli ve spojení s PI regulátory. To nepotřebuje znát počáteční natočení rotoru ani zátěžný moment. PI regulátor napětí lze nastavit se zamčeným rotorem a ve zmiňovaném zdroji je řešen i problém s rozpoznáním \begin_inset Formula $\mathrm{sign}\,\omega$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Článek \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PEB2" \end_inset je také zaměřen na využití EKF, nyní však v případě IPMSM. Návrh je komplikovanější v důsledku uvažování anizotropií stroje, autoři se ji však snaží využít k vylepšení výkonu systému. \end_layout \begin_layout Standard V \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PLU1" \end_inset využívají řízení založené na klouzavém pozorovateli, kde si ale navíc při nízkých otáčkách \begin_inset Formula $\omega\thickapprox0$ \end_inset pomáhají injektováním stejnosměrného proudu do \begin_inset Formula $d$ \end_inset osy. Nevyužívají však anizotropií ani nijak zvlášť neanalyzují injektovaný signál. \end_layout \begin_layout Subsubsection Hybridní metody s injektáží \end_layout \begin_layout Standard Jako hybridní metody budou v textu označovány kombinace nejčastěji používaných přístupů pro PMSM, tedy injektáží a technik založených na zpětné elektromotoric ké síle. Užití injektáží je vhodné pro nízké a nulové otáčky, zatímco ve vyšších rychlostech způsobuje nežádoucí rušení. Oproti tomu přístupy využívající zpětnou elektromotorickou sílu fungují pří vyšších otáčkách dobře a pro nízké selhávají. Je tedy nasnadě oba typy metod vhodným způsobem zkombinovat a získat tak způsob jak odhadovat stavové veličiny v celém rozsahu rychlostí stroje. Základní idea tedy je pří nízkých otáčkách využívat odhadů z injektáží a při zvýšení otáček injektáže vypnout, aby nezpůsobovali rušení a dále se řídit jen na základě odhadů ze zpětné elektromotorické síly. Tento postup je použit v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PAP2" \end_inset , kdy jako estimátor používají adaptivního pozorovatele s referenčním modelem, který je pro nízké otáčky doplněn základním návrhem injektáže. \end_layout \begin_layout Standard Důležitou součástí těchto metod je způsob, jakým se vyřeší \begin_inset Quotes gld \end_inset bezproblémový \begin_inset Quotes grd \end_inset přechod z jednoho estimátoru na jiný. V \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PHS1" \end_inset je to například řešeno tak, že stále užívají estimátor rotorového toku založený na indukovaných napětích. V nízkých otáčkách je pak doplňován injektáží, ta s rostoucími otáčkami postupně vymizí. Obdobně v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSP1" \end_inset je užit estimátor založený na napěťovém modelu, v nízkých otáčkách je přidána vysokofrekvenční injektáž. Amplituda injektáže s rostoucími otáčkami lineárně klesá a navíc je nad určitou mezní rychlostí úplně vypnuta. \end_layout \begin_layout Standard Hybridní metody jsou samozřejmě dále vylepšovány. Například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PSP2" \end_inset uzpůsobují standardní hybridní metodu, zejména její injektážní část, aby fungovala i s invertorem vybaveným na výstupu \emph on LC \emph default filtrem. Toho se užívá zejména k odstranění problému ve střídavých strojích v důsledku napájení nesinusovým napětím z invertoru s pulzně šířkovou modulací. \end_layout \begin_layout Subsubsection Užití více modelů \end_layout \begin_layout Standard Poměrně dobrých výsledků je také dosahováno při použití metod užívajících více současně běžících modelů. Z těchto modelů je pak nějakým způsobem vybrán nejlepší, případně je z nich přímo počítán odhad stavových veličin. Nevýhody tohoto přístupu jsou zřejmé, především se jedná o velkou výpočetní náročnost způsobenou právě současným během více modelů. Příkladem může být sekvenční metoda Monte Carlo označovaná také jako Particle Filter. \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Smidl2012" \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Přiblížení metody vysokofrekvenční injektáží \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Priblizeni-metody-vysokofrekvenc" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard V tomto odstavci bude přiblížen základní princip fungování vysokofrekvenčních injektáží pro PMSM s různými indukčnostmi \begin_inset Formula $L_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $L_{q}$ \end_inset . Popis je založeno na \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Hammel2010,Fernandes2010" \end_inset . Uvažována bude injektáž označovaná jako \emph on pulzující napěťový vektor \emph default , kdy je injektáž prováděna v rotorové souřadné soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset . Konkrétně je do estimované osy \begin_inset Formula $d$ \end_inset je injektovaný harmonický signál \begin_inset Formula \[ u_{d}^{inj}=A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right), \] \end_inset kde \begin_inset Formula $A_{inj}$ \end_inset je amplituda injektovaného signálu a \begin_inset Formula $\omega_{inj}$ \end_inset pak jeho frekvence. Odezva je získávána z proudu v estimované ose \begin_inset Formula $q$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Vyjdeme z prvních dvou rovnic ze soustavy rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq" \end_inset ) a dále aplikujeme následující předpoklady \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Fernandes2010" \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate frekvence injektovaného signálu je dostatečně velká oproti uvažované frekvenci otáčení stroje \begin_inset Formula $\omega_{inj}\gg\omega$ \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate otáčky jsou dostatečně nízké, aby byla zanedbatelná zpětná elektromotorická síla a poklesy napětí v důsledku rezistance obvodu \end_layout \begin_layout Enumerate uvažujeme pouze jednoduchou anizotropii, zde reprezentovanou rozdílnými indukčnostmi \begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Na základě těchto předpokladů je možno vyloučit interakci vysokofrekvenčního signálu s \begin_inset Quotes gld \end_inset mechanickou \begin_inset Quotes grd \end_inset částí stroje a zjednodušit původní rovnice na vysokofrekvenční model stroje ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray} \frac{di_{d}}{dt} & = & \frac{1}{L_{d}}u_{d},\nonumber \\ \frac{di_{q}}{dt} & = & \frac{1}{L_{q}}u_{q}.\label{eq:inj-hf-model} \end{eqnarray} \end_inset Dále zaveďme označení, kdy \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset reprezentuje skutečný úhel natočení rotoru, \begin_inset Formula $\hat{\vartheta}$ \end_inset jeho odhad a veličina \begin_inset Formula $\theta$ \end_inset představuje chybu tohoto odhadu \begin_inset Formula $\theta=\vartheta-\hat{\vartheta}$ \end_inset . Průběh injektáže je pak následující: \end_layout \begin_layout Standard Nejdříve je injektovaný vysokofrekvenční signál do estimované osy \begin_inset Formula $d$ \end_inset (označíme jako \begin_inset Formula $\hat{d}$ \end_inset ) \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \tilde{u}_{\hat{d}} & = & u_{\hat{d}}+A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right),\\ \tilde{u}_{\hat{q}} & = & u_{\hat{q}}, \end{eqnarray*} \end_inset kde \begin_inset Formula $u$ \end_inset značí řídící zásah navržený regulátorem, tedy bez injektáže, a \begin_inset Formula $\tilde{u}$ \end_inset řídící zásah s injektáží. Následně provedeme transformaci z estimovaného rotorového \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset do (skutečného) statorového \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset souřadného systému pomocí vztahu ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:transformace_d-q_na_al-be" \end_inset ), tedy rotaci o \begin_inset Formula $\hat{\vartheta}$ \end_inset : \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \tilde{u}_{\alpha} & = & u_{\alpha}+A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right)\cos\hat{\vartheta},\\ \tilde{u}_{\beta} & = & u_{\beta}+A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right)\sin\hat{\vartheta}, \end{eqnarray*} \end_inset kde \begin_inset Formula $u_{\alpha\beta}$ \end_inset představují zjednodušené označení pro transformované původní řídící zásahy \begin_inset Formula $u_{\hat{d}\hat{q}}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Řídící zásahy \begin_inset Formula $\tilde{u}_{\alpha\beta}$ \end_inset jsou použity ve stroji, ten je reprezentován rovnicemi vysokofrekvenčního modelu ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:inj-hf-model" \end_inset ) v souřadné soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset a proto provedeme transformaci ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:transformace_al-be_na_d-q" \end_inset ), nyní ale se skutečnou hodnotou \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset , protože uvažujeme, že ta je samotnému stroji (případně jeho simulátoru) známa, výsledkem jsou řídící zásahy \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \tilde{u}_{d} & = & u_{d}+A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right)\cos\hat{\vartheta}\cos\vartheta+A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right)\sin\hat{\vartheta}\sin\vartheta,\\ \tilde{u}_{q} & = & u_{q}-A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right)\cos\hat{\vartheta}\sin\vartheta+A_{inj}\cos\left(\omega_{inj}t\right)\sin\hat{\vartheta}\cos\vartheta, \end{eqnarray*} \end_inset kde opět \begin_inset Formula $u_{dq}$ \end_inset značí řídící zásah navržený regulátorem, tedy bez injektáže, a \begin_inset Formula $\tilde{u}_{dq}$ \end_inset řídící zásah s injektáží, nyní však ve skutečné souřadné soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset a nikoliv v estimované. Transformované řízení \begin_inset Formula $\tilde{u}_{dq}$ \end_inset nyní aplikujeme ve vysokofrekvenčním modelu ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:inj-hf-model" \end_inset ) a vypočteme proudy \begin_inset Formula $i_{dq}$ \end_inset , kdy se v podstatě jedná o integraci. Dále provedeme zjednodušení výsledných vztahů pomocí základních goniometrických vzorců a užijeme označení \begin_inset Formula $\theta=\vartheta-\hat{\vartheta}$ \end_inset : \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \tilde{i}_{d} & = & i_{d}+\frac{A_{inj}}{L_{d}\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\cos\theta,\\ \tilde{i}_{q} & = & i_{q}-\frac{A_{inj}}{L_{q}\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\sin\theta, \end{eqnarray*} \end_inset kde \begin_inset Formula $\tilde{i}_{dq}$ \end_inset představuje proudy na výstupu a pod označení \begin_inset Formula $i_{dq}$ \end_inset byly zahrnuty zbývající členy z integrace, tedy integrace napětí \begin_inset Formula $u_{dq}$ \end_inset a případné integrační konstanty. \end_layout \begin_layout Standard Návrh systému předpokládá měření proudů ve statorových souřadnicích a tedy je nutné provést transformaci ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:transformace_d-q_na_al-be" \end_inset ) do souřadného systému \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset : \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \tilde{i}_{\alpha} & = & i_{\alpha}+\frac{A_{inj}}{\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\left(\frac{\cos\theta\cos\vartheta}{L_{d}}+\frac{\sin\theta\sin\vartheta}{L_{q}}\right),\\ \tilde{i}_{\beta} & = & i_{\beta}+\frac{A_{inj}}{\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\left(\frac{\cos\theta\sin\vartheta}{L_{d}}-\frac{\sin\theta\cos\vartheta}{L_{q}}\right), \end{eqnarray*} \end_inset kde jako \begin_inset Formula $i_{\alpha\beta}$ \end_inset označíme transformované proudy \begin_inset Formula $i_{dq}$ \end_inset . Dále je ještě třeba převést proudy pomocí transformace ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:transformace_al-be_na_d-q" \end_inset ) do estimované rotorové souřadné soustavy \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset , ve které probíhá vyhodnocení \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \tilde{i}_{\hat{d}} & = & i_{\hat{d}}+\frac{A_{inj}}{\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\left(\frac{\cos^{2}\theta}{L_{d}}+\frac{\sin^{2}\theta}{L_{q}}\right),\\ \tilde{i}_{\hat{q}} & = & i_{\hat{q}}+\frac{A_{inj}}{\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\left(\frac{\sin\theta\cos\theta}{L_{d}}-\frac{\sin\theta\cos\theta}{L_{q}}\right). \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Nyní je třeba vhodně získat modulovaný vysokofrekvenční signál na frekvenci \begin_inset Formula $\omega_{inj}$ \end_inset z proudu v estimované \begin_inset Formula $q$ \end_inset ose, tento signál označíme \begin_inset Formula $i_{q}^{inj}$ \end_inset a jeho hodnota v čase je \begin_inset Formula \[ i_{q}^{inj}=\frac{A_{inj}}{\omega_{inj}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)\sin\theta\cos\theta\left(\frac{1}{L_{d}}-\frac{1}{L_{q}}\right), \] \end_inset tedy na nosném vysokofrekvenčním signálu \begin_inset Formula $\sin\left(\omega_{inj}t\right)$ \end_inset je modulována hodnota \begin_inset Formula \[ \frac{A_{inj}\left(L_{q}-L_{d}\right)}{2\omega_{inj}L_{d}L_{q}}\sin2\theta. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Izolovat přímo vysokofrekvenční signál však není snadné a proto se používá následující postup: Proud v estimované ose \begin_inset Formula $q$ \end_inset násobíme vysokofrekvenčním signálem na frekvenci \begin_inset Formula $\omega_{inj}$ \end_inset s vhodným časovým posunem. Ilustrujme to na funkci \begin_inset Formula $\sin\left(\omega_{inj}t\right)$ \end_inset , kdy získáme \begin_inset Formula \begin{equation} \tilde{i}_{\hat{q}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)=i_{\hat{q}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)+\frac{A_{inj}\left(L_{q}-L_{d}\right)}{2\omega_{inj}L_{d}L_{q}}\sin2\theta\sin^{2}\left(\omega_{inj}t\right).\label{eq:inj-signal-pred-lpf} \end{equation} \end_inset Na tento signál následně aplikujeme low-pass filtr a získáme hodnotu \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{equation} \frac{A_{inj}\left(L_{q}-L_{d}\right)}{4\omega_{inj}L_{d}L_{q}}\sin2\theta.\label{eq:inj-modul-signal} \end{equation} \end_inset Důvodem pro tento výsledek je fakt, že low-pass filtr odstraňuje ze signálu vysoké frekvence a ponechává nízké. Uvažujme jeho krajní případ, tedy filtr, který ponechá v nějakém časovém horizontu pouze nejnižší frekvenci odpovídající střední hodnotě signálu a vypočtěme střední hodnotu signálu ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:inj-signal-pred-lpf" \end_inset ) přes jednu periodu. Vzhledem k frekvenci signálu \begin_inset Formula $\omega_{inj}$ \end_inset je periodou například interval \begin_inset Formula $\left\langle 0,\frac{2\pi}{\omega_{inj}}\right\rangle $ \end_inset , dále předpokládejme, že tato perioda je dostatečně krátká, abychom v jejím průběhu mohli považovat funkce \family roman \series medium \shape up \size normal \emph off \bar no \strikeout off \uuline off \uwave off \noun off \color none \lang english \begin_inset Formula $i_{\hat{q}}$ \end_inset \family default \series default \shape default \size default \emph default \bar default \strikeout default \uuline default \uwave default \noun default \color inherit \lang czech a \begin_inset Formula $\theta$ \end_inset za konstantní v čase. Střední hodnota signálu ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:inj-signal-pred-lpf" \end_inset ) přes periodu pak je \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{\omega_{inj}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega_{inj}}}\tilde{i}_{\hat{q}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)dt & = & i_{\hat{q}}\frac{\omega_{inj}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega_{inj}}}\sin\left(\omega_{inj}t\right)dt+\\ & + & \frac{A_{inj}\left(L_{q}-L_{d}\right)}{2\omega_{inj}L_{d}L_{q}}\sin2\theta\frac{\omega_{inj}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega_{inj}}}\sin^{2}\left(\omega_{inj}t\right)dt\\ & = & 0\cdot i_{\hat{q}}+\frac{\omega_{inj}}{2\pi}\cdot\frac{\pi}{\omega_{inj}}\cdot\frac{A_{inj}\left(L_{q}-L_{d}\right)}{2\omega_{inj}L_{d}L_{q}}\sin2\theta\\ & = & \frac{A_{inj}\left(L_{q}-L_{d}\right)}{4\omega_{inj}L_{d}L_{q}}\sin2\theta. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Výsledek ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:inj-modul-signal" \end_inset ) lze nalézt například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PCB1,PSJ1,PSP1,PSP2" \end_inset . Následně lze hodnoty ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:inj-modul-signal" \end_inset ) použít k získání lepšího odhadu polohy \begin_inset Formula $\hat{\vartheta}$ \end_inset . Není však příliš vhodném získávat odhad \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset z ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:inj-modul-signal" \end_inset ) přímým výpočtem, protože takovýto výsledek by byl velmi nepřesný. Je tomu tak proto, že samotná hodnota ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:inj-modul-signal" \end_inset ) je relativně nepřesná v důsledku demodulace a dále může být značně zatížena šumem. Výhodnější proto je použít vhodný zpětnovazební regulátor, například PI, a regulovat hodnotu ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:inj-modul-signal" \end_inset ) úměrnou chybě odhadu \begin_inset Formula $\vartheta-\hat{\vartheta}$ \end_inset na nulu. \end_layout \begin_layout Standard Dále je třeba upozornit na nedostatky injektážní metody, které plynou ze zápisu ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:inj-modul-signal" \end_inset ). Především je zřejmá nezbytnost předpokladu \begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$ \end_inset , protože v případě rovnosti je hodnota ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:inj-modul-signal" \end_inset ) zřejmě rovna nule. Dalším problémem je, že v ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:inj-modul-signal" \end_inset ) nevystupuje přímo hodnota \begin_inset Formula $\theta$ \end_inset , ale hodnota \begin_inset Formula $\sin2\theta$ \end_inset a vztah je tedy nelineární. Budeme-li chtít využít lineární zpětnovazební regulátor pro regulaci \begin_inset Formula $\theta$ \end_inset na nulu, lze jej použít pouze pro malé výchylky \begin_inset Formula $\theta$ \end_inset , kdy dostatečně přesně platí aproximace \begin_inset Formula $\sin x\approx x$ \end_inset . I v případě, že tento problém vyřešíme, metoda bude stále fungovat pouze pro odchylky \begin_inset Formula $\theta$ \end_inset v omezeném intervalu \begin_inset Formula $\theta\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\rangle $ \end_inset v důsledku kratší periody funkce \begin_inset Formula $\sin2x$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Section Metody řízení \end_layout \begin_layout Standard Tato část bude věnována základním postupům užívaným pro řízení synchronních strojů. V případě zpětnovazebních strategií je nutno regulátoru poskytnout informace o stavu. Tato informace je v senzorovém návrhu získávána pomocí čidla, pro bezsenzorový návrh je třeba užít některý z přístupů zmiňovaných v předchozí části. \end_layout \begin_layout Subsection Požadavky na řízení \end_layout \begin_layout Standard Cílem řízení systému je obvykle dosažení optimální shody se zadanými požadavky. Ty jsou většinou reprezentovány referenčním signálem, který dostává regulátor na svůj vstup spolu s hodnotami pozorování systému. Pro mnoho regulátorů je obvyklé uvažovat jako referenční hodnotu nulu, příkladem může být PI regulátor nebo standardní lineárně kvadratický regulátor. Požadavek řízení na nenulové hodnoty je pak třeba vhodně ošetřit. Příklad takového postupu představuje úprava lineárně kvadratického řízení pro PMSM v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:Linearne-kvadraticky-regulator" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Nejen pro PMSM ale pro motory obecně představuje obvykle referenční signál požadavek na otáčky. Další možností je požadovaný moment nebo případně požadovaná poloha u servomoto rů. Přičemž posledně jmenovaná možnost řízení polohy zatím zřejmě není příliš vhodná ve spojení s bezsenzorovým PMSM kvůli problematice určování polohy v nízkých a nulových otáčkách. \end_layout \begin_layout Subsection Skalární řízení \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Skalarni-rizeni" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Skalární řízení je často využíváno v asynchronních strojích, je však možné užít jej i pro PMSM. Detailněji je popsáno například v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "shfpmsmct2007" \end_inset . Jeho velkou výhodou je, že se jedná v podstatě o bezsenzorový návrh řízení, protože funguje na principu nezpětnovazebního řízení. Nevýhodou je pak závislost rychlosti na zátěžném momentu, horší dynamické vlastnosti a špatná regulace momentu. I přes zmíněné nevýhody toto řízení obvykle stačí na jednodušší aplikace jako pohon větráků, čerpadel nebo klimatizací \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Pacas2011" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Toto řízení je také označováno jako \begin_inset Formula $V/f$ \end_inset nebo volt/hertz řízení, protože regulovanou veličinou je právě poměr napětí a frekvence. Snahou řízení je udržet poměr napětí a frekvence konstantní. Úhlová rychlost rotoru může být určena nepřímo výpočtem z frekvence napájecího napětí. Tato hodnota může být považována za hodnotu skutečných otáček stroje, pokud zátěžný moment nepřesáhne kritickou hodnotu. Pro řízení ale skutečnou hodnotu otáček stroje znát nepotřebujeme, algoritmus totiž pracuje ve stručnosti následovně: \end_layout \begin_layout Standard Z požadovaných otáček se určí frekvence \begin_inset Formula $f$ \end_inset , ta slouží jako referenční signál pro regulátor. Ten pak řídí poměr napětí a frekvence \begin_inset Formula $V/f$ \end_inset tak, aby byl konstantní. Na jeho výstupu získáme amplitudu napětí \begin_inset Formula $V$ \end_inset . Řídící napětí pro PMSM v \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset souřadnicích je pak ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{\alpha} & = & V\cos(2\pi ft),\\ u_{\beta} & = & V\sin(2\pi ft). \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Přímé řízení momentu \end_layout \begin_layout Standard Přímé řízení momentu (Direct Torque Control, DTC) se užívá, když je potřeba vysoký výkon vzhledem k dynamice momentu. Je řízen přímo moment stroje a základní princip je následující: Kruhová trajektorie statorového toku se rozdělí na šest symetrických částí. Velikosti vektorů statorového toku a elektromagnetického momentu v souřadnicích \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset je pak držena v předem stanovených mezích prostřednictvím vhodného spínání přímo jedné ze šesti kombinací na invertoru. \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "shfpmsmct2007,vcmdtc2006" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Touto metodou text již dále nezabývá a je zde uvedena jen pro úplnost. \end_layout \begin_layout Subsection Vektorové řízení \end_layout \begin_layout Standard Jedná se asi o velmi často využívaný řídící algoritmus. Je aplikován pro řízení v kombinaci s estimátorem založeným na zpětné elektromo torické síle, injektáži i v hybridních verzích v mnoha publikovaných textech jako \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "PEB2,PIC1,PIE1,PSJ1,PSM1,Peroutka2009,PSP1,PSP2,PSL2" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "shfpmsmct2007" \end_inset vektorové řízení odstraňuje většinu nevýhod skalárního řízení a v porovnání s ním poskytuje velmi dobrý výkon. Jedná se o řízení zpětnovazební a umožňuje samostatné řízení toku i momentu, potřebuje však znát odhady stavových veličin stroje včetně mechanických. \end_layout \begin_layout Standard Vektorové řízení je obvykle implementováno na základě vhodné kombinace PI regulátorů. Jinou možnost nabízí využít lineárně kvadratického regulátoru, který umožní daleko větší variabilitu návrhu. Jeho implementace v praxi je však komplikovaná z důvodu znatelně větší výpočetní náročnosti. Užití lineárně kvadratického regulátoru pro řízení PMSM není zatím v literatuře příliš zmiňováno, výjimkou je \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Molavi2008" \end_inset , kde ovšem neuvažují bezsenzorový návrh. \end_layout \begin_layout Standard V následujícím odstavci bude popsán PI regulátor a na něm založená implementace vektorového řízení. Popisu lineárně kvadratického přístupu bude věnována samostatná část v následující kapitole v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Linearne-kvadraticky-regulator-obec-popis" \end_inset a jeho aplikace na PMSM pak bude uvedena dále v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:Linearne-kvadraticky-regulator" \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection PI regulátor \end_layout \begin_layout Standard PI (proporcionálně integrační) regulátor je jednoduchý systém, který v sobě kombinuje dvě základní části: Proporcionální část, což je ve své podstatě zesilovač a integrální část reprezentovanou integrátorem. V tomto systému se vyskytují dvě konstanty \begin_inset Formula $K_{p}$ \end_inset a \begin_inset Formula $K_{i}$ \end_inset , které je třeba vhodně nastavit. Základní implementace je následovná: \begin_inset Formula \[ x_{t}=\mathrm{PI}\left(e_{t},K_{p},K_{i}\right)=K_{p}e_{t}+K_{i}\intop_{0}^{t}e_{\tau}d\tau. \] \end_inset A v diskrétní verzi pak \begin_inset Formula \[ x_{t}=\mathrm{PI}\left(e_{t},K_{p},K_{i}\right)=K_{p}e_{t}+K_{i}\sum_{k=0}^{t}e_{k}. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Tento regulátor je výhodné užít v případě, kdy chceme vyregulovat \begin_inset Formula $e_{k}$ \end_inset , obvykle reprezentující odchylku od požadované hodnoty, na nulu. V některých případech bychom si vystačili s proporcionální složkou, integrální složka však dodává lepší stabilitu a schopnost odstranit konstantní regulační odchylku. Cenou za to je pomalejší konvergence \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Astrom2008" \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection Vektorové PI řízení \end_layout \begin_layout Standard Vektorové PI řízení je implementováno na základě popisu v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Peroutka2009,shfpmsmct2007" \end_inset . Uvažujeme reprezentaci stroje v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadném systému. Vektorové řízení je zpětnovazební a je tedy potřeba znát odhady úhlu natočení \begin_inset Formula $\hat{\vartheta}$ \end_inset a otáček \begin_inset Formula $\hat{\omega}$ \end_inset rotoru stroje. Základní struktura regulátoru pak využije zpětné vazby z otáček, kdy první regulátor reguluje odchylku estimovaných otáček \begin_inset Formula $\hat{\omega}$ \end_inset od požadované referenční hodnoty \begin_inset Formula $\overline{\omega}$ \end_inset na nulu. Výstupem je pak referenční proud \begin_inset Formula $\overline{i_{q}}$ \end_inset . Referenční proud \begin_inset Formula $\overline{i_{d}}$ \end_inset volíme nulový, aby bylo dosaženo maximálního momentu. Tento postup bude ilustrován na diskretizované rovnici pro otáčky ze soustavy ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:diskretni-system-dq-ls" \end_inset ) \family roman \series medium \shape up \size normal \emph off \bar no \noun off \color none \lang english \begin_inset Formula \[ \omega_{t+1}\text{=}d\omega_{t}+ei_{q,t}, \] \end_inset \family default \series default \shape default \size default \emph default \bar default \noun default \color inherit \lang czech přičemž zanedbáváme poslední člen se zátěžným momentem. Požadované hodnoty bychom chtěli dosáhnout v následujícím kroku a tedy získáme rovnici \begin_inset Formula \[ \overline{\omega}-d\omega=ei_{q}. \] \end_inset \begin_inset Formula $\overline{i_{q}}$ \end_inset pak můžeme získat pomocí PI regulátoru s vhodnými konstantami \begin_inset Formula \[ \overline{i_{q}}=\mathrm{PI}(\overline{\omega}-\omega,K_{p,i},K_{i,i}). \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Referenční hodnoty proudů jsou následně porovnány s estimovanými hodnotami \begin_inset Formula $i_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $i_{q}$ \end_inset a jejich odchylky jsou regulovány na nulu. Toto je provedeno pro každou složku zvlášť a výstupem jsou řídící napětí v souřadnicích \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset , tedy \begin_inset Formula $u_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $u_{q}$ \end_inset . Postupujeme obdobně s rovnicemi proudů ze soustavy ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:diskretni-system-dq-ls" \end_inset ) \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{d,t+1} & = & ai_{d,t}+\Delta t\cdot i_{q,t}\omega_{t}+cu_{d,t},\\ i_{q,t+1} & = & ai_{q,t}-\Delta t\cdot i_{d,t}\omega_{t}-b\omega_{t}+cu_{q,t}, \end{eqnarray*} \end_inset kde prozatím zanedbáme členy s \begin_inset Formula $\pm\Delta t\cdot i_{q,d}\omega$ \end_inset , dále pak člen \begin_inset Formula $-b\omega_{t}$ \end_inset a chceme dosáhnout požadovaných hodnot \begin_inset Formula $\overline{i_{d}}=0$ \end_inset a \begin_inset Formula $\overline{i_{q}}$ \end_inset , které byly získány v předchozím kroku. To vede na následující tvar \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} -ai_{d} & = & cu_{d},\\ \overline{i_{q}}-ai_{q} & = & cu_{q}. \end{eqnarray*} \end_inset Napětí \begin_inset Formula $u_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $u_{q}$ \end_inset můžeme opět získat pomocí PI regulátorů ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & \mathrm{PI}(-i_{d},K_{p,u},K_{i,u}),\\ u_{q} & = & \mathrm{PI}(\overline{i_{q}}-i_{q},K_{p,u},K_{i,u}). \end{eqnarray*} \end_inset Následně je ještě vhodné provést korekce v důsledku zanedbaných členů a to ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} u_{d} & = & u_{d}-L_{s}\overline{i_{q}}\overline{\omega},\\ u_{q} & = & u_{q}+\psi_{pm}\overline{\omega}. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Konkrétní implementace použitá v simulacích v kapitole \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "chap:Experimenty" \end_inset vychází z \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Peroutka2009" \end_inset . \end_layout \begin_layout Chapter Teorie řízení \end_layout \begin_layout Standard Kapitola se zabývá teoretickým pohledem na problematiku řízení. Velká pozornost je zde věnována pojmu duální řízení. Tato koncepce zde bude jednak obecně popsána, ale budou uvedeny i konkrétní případy jak ji řešit. Důraz přitom bude kladen především na jednoduché suboptimální algoritmy, které jsou dostatečně jednoduché, aby byla, alespoň teoreticky, možná jejich aplikace v reálném čase. \end_layout \begin_layout Standard Dále budou uvedeny aposteriorní Cramer-Raovy meze jako nástroj využitelnému k porovnání jednotlivých algoritmů, především z pohledu, jak dobře dokáží zlepšit pozorovatelnost systému. Tato kapitola však bude obsahovat i popis klasických technik pro řízení a odhadování, které jsou často užívány v této práci. Jedná se o algoritmus rozšířeného Kalmanova filtru a lineárně kvadratický regulátor. \end_layout \begin_layout Section Rozdělení řídících algoritmů \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sec:Rozdeleni-ridicich-algoritmu" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Algoritmy užívané pro řízení systémů obecně, tedy nejen PMSM, lze rozdělit na základě jejich charakteristických vlastností do několika skupin. Toto rozdělení je obzvláště výhodné při práci se suboptimálními metodami. Rozčlenění je provedeno na základě dostupnosti pozorování (měření) stavu systému pro návrh řídícího zásahu a vychází z \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "BarShalom1974" \end_inset : \end_layout \begin_layout Subsubsection Řídicí strategie založené na otevřené smyčce \end_layout \begin_layout Standard V otevřené smyčce (open-loop) předpokládáme, že není dostupné žádné měření stavu systému. Řídící zásah je tedy navrhován pouze na základě znalosti struktury systému a stanovených požadavků, například ve formě referenčního signálu. Vzhledem k tomu, že tento přístup pouze navrhuje řídící zásahy a již nijak nevyhodnocuje jejich skutečný dopad, výsledky často nejsou dostačující pro náročnější aplikace. Příkladem užití může být skalární volt/hertz řízení pro PMSM, viz odstavec \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Skalarni-rizeni" \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection Zpětnovazební řídící strategie \end_layout \begin_layout Standard Oproti předchozí kategorii je zde zavedena zpětná vazba (feedback), která v každém časovém kroku \begin_inset Formula $t$ \end_inset poskytuje měření \begin_inset Formula $y_{t}$ \end_inset . Dostupná znalost o systému v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset jsou tedy, kromě jeho struktury, všechna měření \begin_inset Formula $y_{1},\ldots,y_{t}$ \end_inset až do času \begin_inset Formula $t$ \end_inset . Dále však již nepředpokládáme žádnou znalost o budoucích měřeních. Tento přístup je také označován jako pasivně adaptivní, protože regulátor se \begin_inset Quotes gld \end_inset učí \begin_inset Quotes grd \end_inset na základě měření, ale nijak tomuto učení aktivně nepomáhá. Tedy informace, které se o systému dozví, získává v jistém smyslu náhodou a ne záměrně. Příklad tohoto přístupu představují klasické techniky pro řízení PMSM jako vektorové řízení založené na PI nebo LQ regulátorech ve spojení s nějakým běžným estimátorem založeným na zpětné elektromotorické síle, například EKF. \end_layout \begin_layout Subsubsection Řídící strategie založená na uzavřené smyčce \end_layout \begin_layout Standard Nejdříve je třeba poznamenat, že jak uvádějí autoři \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "BarShalom1974" \end_inset , není často v literatuře zdůrazňován a rozlišován rozdíl mezi strategií založené na uzavřené smyčce (closed-loop) a zpětnovazební strategií (feedback). Řídící strategie pracující v uzavřené smyčce uvažuje všechna budoucí pozorování a tedy využívá znalosti, že smyčka zůstane uzavřena až do konce uvažovaného časového horizontu. Tuto znalost se snaží zužitkovat, především v tom smyslu, že současný řídící zásah může ovlivnit nejistotu týkající se budoucích stavů, to je také nazýváno jako \emph on duální efekt \emph default . V tomto případě může vhodný řídící zásah \begin_inset Quotes gld \end_inset pomoci \begin_inset Quotes grd \end_inset učení (odhadování) tím, že snižuje nejistotu budoucích stavů a přístup pak lze označit za aktivně adaptivní. Právě této problematice se detailněji věnují následující části zabývající se duálním řízením. \end_layout \begin_layout Section Teorie duálního řízení \end_layout \begin_layout Standard Duální řízení je obvykle využíváno v systémech s neurčitostí, představovanou například neznámými parametry, nepozorovatelnými stavovými veličinami nebo samotnou strukturou systému. Snahou je tuto neurčitost snížit a poskytnout řízení srovnatelné kvality, jako v případě stejného systému bez neurčitosti. \end_layout \begin_layout Standard Charakteristickým rysem duálního řízení je, že obsahuje dvě hlavní části: \begin_inset Quotes gld \end_inset \emph on opatrnou \emph default \begin_inset Quotes grd \end_inset a \begin_inset Quotes gld \end_inset \emph on budící \emph default \begin_inset Quotes grd \end_inset . \emph on Opatrná \emph default část, má za cíl pokud možno co nejlépe kontrolovat systém a snažit se dosáhnout optimální shody s požadavky. Oproti tomu \emph on budící \emph default část hledá optimální budící signál, který pomáhá co nejlépe určit neznámé veličiny systému. Tyto části jdou však proti sobě a cílem duálního řízení je nalézt mezi nimi vhodný kompromis. \end_layout \begin_layout Subsection Úloha optimálního řízení \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:uloha-optimalniho-rizeni" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Nejdříve bude stručně popsána obecná úloha optimálního řízení a postup jak nalézt její řešení. \end_layout \begin_layout Subsubsection Formulace úlohy \end_layout \begin_layout Standard Základní formulace problému optimálního řízení pro časově diskrétní obecně nelineární systém dle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "adaptDC2004" \end_inset je: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} x_{t+1} & = & f_{t}\left(x_{t},p_{t},u_{t},\xi_{t}\right),\quad t=0,1,\ldots,T-1,\\ p{}_{t+1} & = & \upsilon_{t}\left(p_{t},\varepsilon_{t}\right),\\ y_{t} & = & h_{t}\left(x_{t},\eta_{t}\right), \end{eqnarray*} \end_inset kde \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset je vektor stavu, \begin_inset Formula $p_{t}$ \end_inset vektor neznámých parametrů, \begin_inset Formula $u_{t}$ \end_inset vektor řídících vstupů, \begin_inset Formula $y_{t}$ \end_inset vektor výstupů systému, vektory \begin_inset Formula $\xi_{t}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\varepsilon_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $\eta_{t}$ \end_inset představují nezávislý náhodný bílý šum s nulovou střední hodnotou a známým rozptylem, vše je uvažováno v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset a \begin_inset Formula $f_{t}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\upsilon_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $h_{t}$ \end_inset jsou známé vektorové funkce. Počáteční hodnoty \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset a \begin_inset Formula $p_{0}$ \end_inset předpokládáme také známé. Množinu výstupů a vstupů systému dostupných v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset označujeme jako \emph on informační vektor \emph default \begin_inset Formula $I_{t}=\left\{ y_{t},\ldots,y_{0},u_{t-1},\ldots,u_{0}\right\} $ \end_inset , kde \begin_inset Formula $t=1,\ldots,T-1$ \end_inset a \begin_inset Formula $I_{0}=\left\{ y_{0}\right\} $ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dále uvažujeme, že požadavky na systém jsou zadány v podobě aditivní ztrátové funkce ve tvaru \begin_inset Formula \begin{equation} J=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ \sum_{t=0}^{T-1}g_{t+1}\left(x_{t+1},u_{t}\right)\right\} ,\label{eq:dclossfunc} \end{equation} \end_inset kde \begin_inset Formula $g_{t+1}$ \end_inset jsou známe kladné konvexní skalární funkce. Střední hodnota \begin_inset Formula $\mathrm{\mathbf{E}}$ \end_inset je počítána vzhledem k všem náhodným veličinám ( \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset , \begin_inset Formula $p_{0}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\xi_{t}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\varepsilon_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $\eta_{t}$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $t=0,1,\ldots,T-1$ \end_inset ). \end_layout \begin_layout Subsubsection Obecné řešení \end_layout \begin_layout Standard Problémem optimálního řízení je nalezení takové řídící strategie \begin_inset Formula $u_{t}=u_{t}(I_{t})$ \end_inset ze známé množiny přípustných hodnot řízení \begin_inset Formula $U_{t}$ \end_inset , která minimalizuje ztrátovou funkci \begin_inset Formula $J$ \end_inset danou rovnicí ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:dclossfunc" \end_inset ). \end_layout \begin_layout Standard Optimální řešení tohoto problému může být nalezeno rekurzivně užitím dynamického programování, kdy je v čase zpět prováděna minimalizace zapsaná pomocí rovnic \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} V_{T-1}\left(I_{T-1}\right) & = & \min_{u_{T-1}\in U_{T-1}}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ g_{T}\left(x_{T},u_{T-1}\right)\mid I_{T-1}\right\} ,\\ V_{t}\left(I_{t}\right) & = & \min_{u_{t}\in U_{t}}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ g_{t+1}\left(x_{t+1},u_{t}\right)+V_{t+1}\left(I_{t+1}\right)\mid I_{t}\right\} , \end{eqnarray*} \end_inset pro \begin_inset Formula $t=T-2,T-3,\ldots,0$ \end_inset . Funkce \begin_inset Formula $V$ \end_inset vystupující v předchozích rovnicích je nazývána \emph on Bellmanova \emph default funkce. \end_layout \begin_layout Standard Výše popsaný postup představuje zdánlivě jednoduchý způsob, jak nalézt řešení úlohy optimálního řízení. Skutečné provedení tohoto výpočtu však naráží na celou řadu praktických komplikací, které činí tuto úlohu obecně neřešitelnou analyticky i numericky. Hlavními komplikacemi jsou jednak výpočet střední hodnoty a minimalizace, ale hlavně problémy spojené s funkcí \begin_inset Formula $V$ \end_inset . Bellmanova funkce \begin_inset Formula $V$ \end_inset totiž závisí na informačním vektoru, který zahrnuje všechny předchozí interakce se systémem (pozorování a řízení) a proto je funkcí obecně značně velkého počtu proměnných. Tuto funkci je navíc třeba uchovávat mezi jednotlivými časovými kroky v její plné reprezentaci jako funkce, ne pouze její hodnotu ve vybraném bodě. \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "BarShalom3000,BertsekasDPOC,adaptDC2004" \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Duální řízení \end_layout \begin_layout Standard Řešení úlohy optimálního řízení je známo jen v několika málo speciálních případech a jinak je třeba spoléhat na užití vhodných aproximací a suboptimální ch algoritmů. Přitom je však třeba zachovat některé důležité vlastnosti původního optimálního postupu. \end_layout \begin_layout Standard A. Feldbaum zavedl ve svých raných pracích z 60. let minulého století pojem \emph on duálního efektu \emph default , tedy vlastnosti, kdy řídící zásah ovlivňuje nejen stav systému, ale také neurčitost tohoto stavu. Dále postuloval dvě hlavní vlastnosti, které by optimální řízení, a tedy i jeho případná aproximace, mělo mít: 1) opatrně řídí systém, tak aby splnil referenční požadavky a 2) budí (excituje) systém za účelem snížení jeho neurčitost a zlepšení kvality řízení v budoucnu. Důležité je tedy aktivní získávání informace a z tohoto důvodu se musí jednat o algoritmus založený na uzavřené smyčce (closed-loop). \end_layout \begin_layout Standard Jak již bylo předznamenáno v předchozí části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:Rozdeleni-ridicich-algoritmu" \end_inset , většina klasických metod pro řízení a estimaci obecně spadá do kategorie zpětnovazebních strategií (feedback) a tedy trpí nedostatky, které se snaží duální řízení odstranit. Jedná se o oddělení řídící a estimační části, které následně pracují nezávisle, i když obecně tyto dvě části nezávislé nejsou a navzájem se ovlivňují. \end_layout \begin_layout Standard Dalším nedostatkem je předpoklad, že odhad poskytnutý estimátorem se rovná skutečné hodnotě stavové veličiny. Tento přístup je označován jako \emph on Certainty Equivalence \emph default (CE). Oproti tomu duální řízení obvykle předpokládá stavové veličiny jako náhodné veličiny a uchovává si o nich statistickou informaci. Příkladem může být, že odhad z estimátoru uvažujeme ve tvaru střední hodnoty a variance dané veličiny a předpokládáme, že skutečná hodnota pochází například z normálního rozdělení s těmito parametry. Z tohoto pohledu přístup CE předpokládá, že skutečná hodnota je rovna střední hodnotě. Duální řízení na rozdíl od postupů založených na CE principu uvažuje kromě odhadu stavové veličiny i to, jak je tento odhad přesný a tomu také přizpůsobuj e řídící zákroky. \end_layout \begin_layout Standard Je-li použito pouze opatrné řízení pro stochastický systému s neurčitostí, lze jeho chování obvykle označit jako \begin_inset Quotes gld \end_inset opatrné \begin_inset Quotes grd \end_inset , tedy takové, aby nedošlo ke zvyšování dopadu neurčitostí na celkovou ztrátu. Oproti tomu řízení využívající duálního efektu může být méně opatrné a přidat budící signál, aby snížilo neurčitost v budoucnu a tím celkově vylepšilo své výsledky. \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "BarShalom3000,BarShalom1974,adaptDC2004" \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Hyperstav \end_layout \begin_layout Standard V případě deterministického systému jsou všechny potřebné informace zachyceny v jeho stavu \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset , protože spolu s následujícími řídícími akcemi plně určují jeho budoucí vývoj. Ve stochastickém případě je však třeba uvažovat všechna předchozí pozorování a řídící zásahy, tedy informační vektor \begin_inset Formula $I_{t}$ \end_inset . Nutnost pracovat s celým vektorem, jehož velikost roste v čase, je však značným problémem pro nalezení optimálního řízení takového systému. Snahou jak tento problém řešit je nalezení popisu označovaného jako \emph on dostatečná statistika \emph default , která zachycuje všechny podstatné informace obsažené v \begin_inset Formula $I_{t}$ \end_inset , ale současně původní informační vektor redukuje a má tedy menší dimenzi. \end_layout \begin_layout Standard Důležitým příkladem dostatečné statistiky je podmíněné rozdělení pravděpodobnost i stavu \begin_inset Formula $x{}_{t}$ \end_inset za podmínky informačního vektoru \begin_inset Formula $I_{t}$ \end_inset . V případě, že je toto rozdělení normální, stačí k jeho popisu první dva momenty, tedy vektor střední hodnoty a kovarianční matice. \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "BarShalom3000,BertsekasDPOC" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Jedním z příkladů využití předchozího konceptu je algoritmus předložený v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Kim2006" \end_inset : Jako výchozí zde slouží klasicky definovaný stavu systému \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset . Dále je užíváno EKF jako estimátoru, který v každém čase poskytne odhad stavu \begin_inset Formula $\hat{x}_{t}$ \end_inset , ale kromě tohoto odhadu poskytuje i odhad kovariance stavu reprezentovaný maticí \begin_inset Formula $P_{t}$ \end_inset , detailněji viz odstavec \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:EKF-popis" \end_inset . Nyní je definován vektor rozšířeného stavu -- \emph on hyperstavu \emph default v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset jako původní stav \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset , ke kterému jsou navíc přidány prvky matice \begin_inset Formula $P_{t}$ \end_inset . Z důvodu symetrie není třeba přidávat celou matici \begin_inset Formula $P_{t}$ \end_inset , ale stačí jen její horní nebo dolní trojúhelník. \end_layout \begin_layout Standard Na systém popsaný hyperstavem lze již aplikovat nějaký klasický algoritmus, například LQG. V tom případě je pak algoritmus EKF na systém použit dvakrát. Poprvé formálně na původní stav a následně na hyperstav. Výhodou tohoto přístupu je, že kromě odhadu samotných stavových veličin, jsou k dispozici i odhady jejich kovariancí a je možno s nimi pracovat při návrhu řízení. Hlavními nevýhodami jsou růst velikost hyperstavu (obecně kvadraticky s velikostí původního stavu) a dále komplikace při výpočtu derivací rovnic EKF na stavu. \end_layout \begin_layout Section Metody pro duální řízení \end_layout \begin_layout Standard Suboptimální metody, které sice nenaleznou optimální řešení, ale snaží se zachovat hlavní duální rysy, lze rozdělit do dvou hlavních skupin: metody založené na aproximacích (implicitní) a založené na reformulaci problému (explicitní). \end_layout \begin_layout Standard Aproximativní metody jsou obvykle složitější a výpočetně náročnější. To často vede k volbě hrubějších aproximací, které mohou vést až ke ztrátě duálních rysů a nedostačujícímu výkonu. Oproti tomu je reformulace více flexibilnější a uvažuje ztrátovou funkci jako součet dvou členů. Jeden z nich slouží pro kontrolu ztráty v důsledku odchylky od referenčních požadavků a druhý pak kontroluje míru neurčitosti. Takto navržené řízení je jednoduché, ale obvykle není zajištěno trvalé buzení, což opět vede k nedostačujícímu výkonu. \end_layout \begin_layout Standard Je proto snahou oba přístupy vhodně kombinovat a využit výhod obou za současného potlačení jejich nedostatků. Příkladem takového postupu je bikriteriální metoda, která bude podrobněji popsána dále. \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "adaptDC2004" \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Přehled metod \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Prehled-metod-dualniho-rizeni" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Následující přehled představuje vybrané suboptimální algoritmy využitelné k řešení úlohy duálního řízení. Vybírány byly především nejjednodušší algoritmy, které by teoreticky umožnily implementaci v reálném čase pro řízení synchronních strojů. \end_layout \begin_layout Subsubsection Bikriteriální metoda \end_layout \begin_layout Standard Bikriteriální metoda je založena na relativně jednoduchém principu. Ve snaze splnit obě hlavní vlastnosti duálního řízení (opatrnost a buzení) je ztrátová funkce rozdělena na dvě části, proto se také metoda nazývá bikriteriální. První ztrátová funkce odpovídá takzvanému \emph on opatrnému řízení \emph default , které navrhuje tím menší řídící zásahy, čím je větší variance neznámých parametrů (proto opatrné). Nesnaží se však primárně tuto varianci nijak snížit. Druhá ztrátová funkce představuje kritérium pro optimální buzení. Tyto dvě ztrátové funkce je třeba současně minimalizovat. Jejich minimalizace ale jde obecně z podstaty problému proti sobě, navíc optimální budící zásah bývá zpravidla neomezeně velký. Proto je zvolen následující postup: \end_layout \begin_layout Enumerate nejdříve je nalezeno optimální opatrné řízení \end_layout \begin_layout Enumerate dále je vytyčena množina přípustných řešení kolem řízení nalezeného v bodě (1), například se může jednat o interval \end_layout \begin_layout Enumerate druhá ztrátová funkce pro optimální buzení je minimalizována již pouze v rámci množiny přípustných řešení z bodu (2) \end_layout \begin_layout Standard Konkrétní realizace hledání optimálního řídícího zásahu (minimalizace) pak již závisí na řešeném problému. \end_layout \begin_layout Subsubsection \begin_inset Formula $\rho$ \end_inset -aproximace \end_layout \begin_layout Standard Jako \begin_inset Formula $\rho$ \end_inset -aproximace označujeme celý soubor suboptimálních přístupů ke zjednodušení řešení úlohy optimálního řízení, kdy se snažíme aproximovat pravděpodobnostní míru neznámých stavů a parametrů systému. Dále lze při užití této metody snadno nalézt odpovídající kategorii řídícího algoritmu, viz část \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:Rozdeleni-ridicich-algoritmu" \end_inset . Dle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "DSF1,DAF1,adaptDC2004" \end_inset je problematika \begin_inset Formula $\rho$ \end_inset -aproximací formulována následovně: \end_layout \begin_layout Standard Hledání suboptimální řídící strategie je založeno na minimalizaci modifikované ztrátové funkce \begin_inset Formula \[ J_{t}\left(I_{t},\rho_{t}\right)=\mathrm{\mathbf{E}}_{\rho_{t}}\left\{ \sum_{i=t}^{T-1}g_{t+1}\left(x_{i+1},u_{i}\right)\mid I_{k}\right\} . \] \end_inset V čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset je řídící strategie \begin_inset Formula $u_{t}(I_{t})$ \end_inset nalezena pomocí aproximace podmíněné hustoty pravděpodobnosti stavů a parametrů systému pro budoucí časové kroky \begin_inset Formula \[ \rho_{t}=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right), \] \end_inset pro \begin_inset Formula $i=0,1,\ldots,T-t-1$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $\mathrm{p}$ \end_inset značí hustotu pravděpodobnosti. \end_layout \begin_layout Standard Pro různé volby \begin_inset Formula $\rho_{t}$ \end_inset pak můžeme získat následující přístupy: \end_layout \begin_layout Itemize \emph on Řídící strategie s otevřenou smyčkou \emph default (open-loop, OL) uvažuje systém bez zpětné vazby a optimální řízení je hledáno z apriorní informace o stavech a parametrech systému. Tento zjednodušující předpoklad je ekvivalentní aproximaci \begin_inset Formula \[ \rho_{t}=\left\{ \mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{0}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} . \] \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize \emph on Zpětnovazební řídící strategie s otevřenou smyčkou \emph default (open-loop feedback, OLF) také uvažuje systém bez zpětné vazby, ale jen pro budoucích časové kroky ( \begin_inset Formula $t+1$ \end_inset až \begin_inset Formula $T$ \end_inset ), v současném časovém kroku \begin_inset Formula $t$ \end_inset zpětnou vazbu uvažuje. Pozorování \begin_inset Formula $y_{t}$ \end_inset jsou tedy použita k estimaci stavů i parametrů systému, ale pouze v současném časovém kroku \begin_inset Formula $t$ \end_inset , v budoucích již ne. Opět lze formulovat pomocí \begin_inset Formula $\rho$ \end_inset -aproximace jako \begin_inset Formula \[ \rho_{t}=\left\{ \mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} . \] \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize Pro srovnání zde bude uvedena i aproximace, která vede na již zmiňovaný přístup \emph on Certainty Equivalence \emph default (CE): \begin_inset Formula \begin{align*} \rho_{t} & =\left\{ \mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right)\right.\\ = & \left.\delta\left(x_{t+i}-\hat{x}_{t+i}\right)\delta\left(p_{t+i}-\hat{p}_{t+i}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} , \end{align*} \end_inset kde \begin_inset Formula $\delta$ \end_inset značí Diracovu delta funkci a \begin_inset Formula $\hat{x}_{t+i}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{k+i}\mid I_{t+i}\right\} $ \end_inset , \begin_inset Formula $\hat{p}_{t+i}=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ p_{k+i}\mid I_{t}\right\} $ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \emph on Částečný CE přístup \emph default (PCE) je založen na vhodné kombinaci předchozích postupů CE a OLF. Definujme rozšířený stavový vektor jako \begin_inset Formula $z_{t}^{T}=\left(\begin{array}{cc} x_{t}^{T} & p_{t}^{T}\end{array}\right)$ \end_inset , tedy jako vektor sdružující původní stav systému a jeho neznámé parametry. Tento vektor následně rozdělíme na dvě části s prázdným průnikem \begin_inset Formula $z_{1,t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $z_{2,t}$ \end_inset . Nyní aplikujeme na část \begin_inset Formula $z_{1}$ \end_inset zjednodušující předpoklad CE a na část \begin_inset Formula $z_{2}$ \end_inset předpoklad OLF. To odpovídá následující \begin_inset Formula $\rho$ \end_inset -aproximaci \begin_inset Formula \begin{align*} \rho_{t} & =\left\{ \mathrm{p}\left(z_{1,t+i},z_{2,t+i}\mid I_{t+i}\right)\right.\\ = & \left.\delta\left(z_{1,t+i}-\hat{z}_{1,t+i}\right)\mathrm{p}\left(z_{2,t+i}\mid I_{t}\right),i=0,\ldots,T-t-1\right\} , \end{align*} \end_inset kde \begin_inset Formula $\mathrm{p}\left(z_{1,t+i},z_{2,t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(z_{t+i}\mid I_{t+i}\right)=\mathrm{p}\left(x_{t+i},p_{t+i}\mid I_{t+i}\right).$ \end_inset Samotné rozdělení vektoru \begin_inset Formula $z$ \end_inset na dvě části je třeba vyřešit s ohledem na konkrétní strukturu systému, pro který je řízení navrhováno. Vhodnou volbou může být například označit jako \begin_inset Formula $z_{1}$ \end_inset stavové veličiny, které jsou přímo pozorovány. \end_layout \begin_layout Standard V případě výše uvedených případů \begin_inset Formula $\rho$ \end_inset -aproximací se jedná o neduální zjednodušení původního problému. S výhodou však lze užít kombinace například s bikriteriální metodou. Příkladem takového využití je postup uvedený v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Flidr2011" \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection Řešení LQG problému pomocí teorie her \end_layout \begin_layout Standard Výpočetně relativně málo náročné řešení diskrétního LQG problému duálního řízení je představeno v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "DCS1" \end_inset . Na řešení problému se užívá teorie her, kde hledáme optimální znáhodněnou strategii. Výsledkem pak je, že optimální řešení přeformulovaného problému duálního řízení je vážený průměr konečného počtu standardních LQG optimálních regulátorů. Jako váhové faktory jsou brány zobecněné věrohodnostní poměry. \end_layout \begin_layout Subsection Injektáže jako duální řízení \end_layout \begin_layout Standard Na injektáže lze z jistého směru pohlížet také jako na duální řízení. Především v sobě kombinují obě žádoucí vlastnosti, opatrnost a buzení. Opatrnost je reprezentována konkrétním použitým regulátorem, který se snaží co nejlépe sledovat cíl řízení. Injektovaný signál pak představuje buzení, které napomáhá k určení parametrů stroje. \end_layout \begin_layout Standard V základním návrhu je přidáván vysokofrekvenční signál stále, bez ohledu na okolnosti a tedy tento návrh se příliš nesnaží o nalezení kompromisu mezi opatrným řízením a buzením. Velkou výhodou ale je, že to příliš nevadí, obzvláště při nízkých otáčkách, protože vysokofrekvenční signál má minimální vliv na samotný chod stroje. Současně ale poskytuje relativně dobrý odhad natočení rotoru, jehož kvalita nezávisí na otáčkách, ale pouze na anizotropiích stroje. \end_layout \begin_layout Standard Jistý krok směrem k hledání kompromisu mezi opatrností a buzením lze pozorovat u hybridních metod, které buď plynule, nebo jednorázově přepínají mezi dvěma modely, s injektáží a bez ní. Jeden je určen pro dobrou estimaci a druhý pro nízké ztráty při řízení. To vede k velkému zlepšení, protože přídavný signál je injektován, jen, když je opravdu potřeba. \end_layout \begin_layout Standard Hlavním problémem injektáží z hlediska duálního řízení je, že se jedná o přístup pouze pro jeden konkrétní případ, který byl navržen s využitím konkrétních vlastností PMSM a pro předem určený účel. Injektovaný vysokofrekvenční signál je užívaný z důvodu menšího vlivu na chod samotného stroje. Další důvod pro jeho užití je relativně snadné zpracování a vyhodnocení pomocí metod analýzy signálu, které lze snadno implementovat hardwarově (filtry, demodulace, fázový závěs). Problémem injektovaného signálu jsou pak jeho parametry, jako amplituda a frekvence, ty jsou zpravidla nalézány experimentálně. \end_layout \begin_layout Standard Dalším zásadním problémem je, že injektáže fungují pouze na motory s anizotropie mi nějakého typu a jejich aplikace na SMPMSM je tedy značně omezena. Jedná se tedy sice o funkční metodu, kterou však lze aplikovat pouze na podskupinu všech dostupných strojů. \end_layout \begin_layout Standard Je tedy na místě položit otázku, jestli takovýto přídavný signál může být optimálním buzením a nebo mu být alespoň v nějakém smyslu blízko. Odpovědět samozřejmě není snadné z důvodu praktické neřešitelnosti problému nalezení optimálního duálního řízení. Ve prospěch injektáží, a zejména hybridních metod, mluví výsledky praktických experimentů na skutečných motorech, proti nim pak zejména to, že byly navrhován y bez ohledu na optimalitu a hledání kompromisu mezi opatrností a buzením. Nicméně se jedná o dobrý základ, který je vhodný k bližšímu prostudování při návrhu méně náročných metod duálního řízení. \end_layout \begin_layout Section Aposteriorní Cramer-Raovy meze \end_layout \begin_layout Standard Při vyhodnocování efektivity jednotlivých použitých algoritmů je výhodné mít k dispozici prostředek k jejich srovnání. K tomuto účelu lze použít aposteriorních Cramer-Raových mezí (Posterior Cramer-Rao Bounds, PCRB). Interpretace PCRB je zjednodušeně taková, že představují \begin_inset Quotes gld \end_inset množství informace \begin_inset Quotes grd \end_inset , které je o dané veličině produkováno na výstupu systému \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Scharf1993" \end_inset . Konkrétněji se jedná o dolní mez střední kvadratické chyby \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "TichavskyPCRB" \end_inset . Tedy reprezentuje minimální chybu, které se odhadovací algoritmus v uvažovaném případě dopustí. PCRB lze tedy využít ke srovnání jednotlivých uvažovaných duálních algoritmů v tom smyslu, že je možné vyhodnocovat, jak každý z nich dokáže zlepšit odhad stavových veličin a zvýšit pozorovatelnost v kritických režimech. \end_layout \begin_layout Standard Následující popis PCRB včetně její specializace pro nelineární filtraci a dále pro Gaussovské hustoty je převzat z \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "TichavskyPCRB" \end_inset , kde je možné nalézt i detaily odvození zmiňovaných vztahů. \end_layout \begin_layout Subsubsection Definice \end_layout \begin_layout Standard Nechť \begin_inset Formula $x$ \end_inset představuje vektor měřených dat a \begin_inset Formula $\theta$ \end_inset je \begin_inset Formula $r$ \end_inset -rozměrný odhadovaný náhodný parametr. Dále nechť \begin_inset Formula $p_{x,\theta}\left(X,\Theta\right)$ \end_inset je sdružená hustota pravděpodobnosti dvojice \begin_inset Formula $\left(x,\theta\right)$ \end_inset a \begin_inset Formula $g\left(x\right)$ \end_inset je funkce \begin_inset Formula $x$ \end_inset , která je odhadem \begin_inset Formula $\theta$ \end_inset . Pak PCRB chyby odhadu má tvar \begin_inset Formula \[ P=\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ \left[g(x)-\theta\right]\left[g(x)-\theta\right]^{T}\right\} \geq J^{-1}, \] \end_inset kde \begin_inset Formula $J$ \end_inset je Fischerova informační matice rozměru \begin_inset Formula $r\times r$ \end_inset s prvky \begin_inset Formula \[ J_{ij}=\mathrm{\mathbf{E}}\left[-\frac{\partial^{2}\log p_{x,\theta}(X,\Theta)}{\partial\Theta_{i}\partial\Theta_{j}}\right], \] \end_inset pro \begin_inset Formula $i,j=1,\ldots,r$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection Nelineární filtrace \end_layout \begin_layout Standard Pro případ filtrace jsou parametry odhadovány postupně v průběhu času na základě rekurzivních vzorců. Sdruženou hustotu pravděpodobnosti lze rozepsat jako součin podmíněných hustot a vypočítat pro každý čas matici \begin_inset Formula $J_{t}$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $J_{t}^{-1}$ \end_inset představuje spodní mez střední kvadratické chyby odhadu \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Uvažujme nelineární filtrační problém se systémem \lang english \begin_inset Formula \begin{eqnarray} x_{t+1} & = & f_{t}(x_{t},w_{t}),\nonumber \\ z_{t} & = & h_{t}(x_{t},v_{t}),\label{eq:PCRB-system} \end{eqnarray} \end_inset \lang czech kde \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset je stav systému v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset , \begin_inset Formula $z_{t}$ \end_inset je pozorování v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset , \begin_inset Formula $w$ \end_inset a \begin_inset Formula $v$ \end_inset jsou vzájemně nezávislé bílé procesy a \begin_inset Formula $f_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $h_{t}$ \end_inset jsou obecně nelineární funkce. Pak je možné počítat rekurzivně posloupnost aposteriorních informačních matic \begin_inset Formula $J_{t}$ \end_inset pro odhad stavu \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset jako \begin_inset Formula \begin{equation} J_{t+1}=D_{t}^{22}-D_{t}^{21}\left(J_{t}+D_{t}^{11}\right)^{-1}D_{t}^{12},\label{eq:PCRB-rovnice-obecny-vypoecet} \end{equation} \end_inset kde matice \begin_inset Formula $D_{t}$ \end_inset jsou dány rovnostmi \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray} D_{t}^{11} & = & \mathrm{\mathbf{E}}\left\{ -\triangle_{x_{t}}^{x_{t}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} ,\nonumber \\ D_{t}^{12} & = & \mathrm{\mathbf{E}}\left\{ -\triangle_{x_{t}}^{x_{t+1}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} ,\label{eq:PCRB-rovnice-pro-D}\\ D_{t}^{21} & = & \mathrm{\mathbf{E}}\left\{ -\triangle_{x_{t+1}}^{x_{t}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} =\left(D_{t}^{12}\right)^{T},\nonumber \\ D_{t}^{22} & = & \mathrm{\mathbf{E}}\left\{ -\triangle_{x_{t+1}}^{x_{t+1}}\log p(x_{t+1}\mid x_{t})\right\} +\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ -\triangle_{x_{t+1}}^{x_{t+1}}\log p(z_{t+1}\mid x_{t+1})\right\} .\nonumber \end{eqnarray} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Aditivní Gaussovský šum \end_layout \begin_layout Standard Uvažujme speciální případ filtračního problému s aditivním šumem, kdy rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:PCRB-system" \end_inset ) má tvar \lang english \begin_inset Formula \begin{eqnarray} x_{t+1} & = & f_{t}(x_{t})+w_{t},\nonumber \\ z_{t} & = & h_{t}(x_{t})+v_{t}\label{eq:PCRB-system-adsum} \end{eqnarray} \end_inset \lang czech a dále šumy \begin_inset Formula $w$ \end_inset a \begin_inset Formula $v$ \end_inset jsou Gaussovské s nulovou střední hodnotou a kovariančními maticemi \begin_inset Formula $Q_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $R_{t}$ \end_inset v tomto pořadí. Pak lze rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:PCRB-rovnice-pro-D" \end_inset ) zjednodušit na tvar \begin_inset Formula \begin{eqnarray} D_{t}^{11} & = & \mathrm{\mathbf{E}}\left\{ \left[\nabla_{x_{t}}f_{t}^{T}(x_{t})\right]Q_{t}^{-1}\left[\nabla_{x_{t}}f_{t}^{T}(x_{t})\right]^{T}\right\} ,\nonumber \\ D_{t}^{12} & = & -\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ \nabla_{x_{t}}f_{t}^{T}(x_{t})\right\} Q_{t}^{-1},\label{eq:PCRB-rovnice-pro-D-gauss}\\ D_{t}^{22} & = & Q_{t}^{-1}+\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ \left[\nabla_{x_{t+1}}h_{t+1}^{T}(x_{t+1})\right]R_{t+1}^{-1}\left[\nabla_{x_{t+1}}h_{t+1}^{T}(x_{t+1})\right]^{T}\right\} .\nonumber \end{eqnarray} \end_inset Pro úplnost je vhodné uvést, že v případě lineárního systému, to jest lineárních funkcí \begin_inset Formula $f_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $h_{t}$ \end_inset , odpovídá rekurzivní výpočet matice \begin_inset Formula $J_{t}$ \end_inset , založený na výše uvedených maticích ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:PCRB-rovnice-pro-D-gauss" \end_inset ) pro \begin_inset Formula $D_{t}$ \end_inset , výpočtu aposteriorní kovarianční matice Kalmanova filtru \begin_inset Formula $P_{t}=J_{t}^{-1}$ \end_inset , viz \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "TichavskyPCRB" \end_inset . \end_layout \begin_layout Section \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sec:LQG-obecne" \end_inset Lineárně kvadraticky Gaussovské řízení \end_layout \begin_layout Standard Lineárně kvadraticky Gaussovské řízení (Linear-Quadratic-Gaussian, LQG) je jednou ze základních úloh teorie řízení. Jak již název této metody napovídá, uplatňuje se pro řízení lineárních systémů s kvadratickou ztrátovou funkcí a dále je uvažován aditivní bílý Gaussovský šum. V takovém případě pak platí separační princip a je možno zvlášť navrhnout optimálního pozorovatele a optimální regulátor při současném zachování optimality celého návrhu. Optimálním pozorovatelem pro tento případ je Kalmanův filtr a optimální řešení problému řízení je LQ regulátor. \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "BertsekasDPOC" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Vzhledem k zamýšlené aplikaci na nelineární točivý stroj však nelze LQG přístup přímo aplikovat, je však možno použít jeho zobecnění založené na linearizaci nelineárního systému. Pro nelineární systém ale obecně neplatí separační princip a zobecněné LQG nebude optimální a bude se jednat o CE přístup v důsledku oddělení estimační a řídící části. \end_layout \begin_layout Standard Zobecnění Kalmanova filtru představuje rozšířený Kalmanův filtr uvedený v následujícím odstavci, zobecnění LQ regulátoru pak bude provedeno v dalším odstavci pomocí vhodné linearizace systému. \end_layout \begin_layout Subsection Rozšířený Kalmanův filtr \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:EKF-popis" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Zde bude uvedena základní formulace v textu často zmiňovaného rozšířeného Kalmanova filtru (Extended Kalman Filter, EKF). Typicky je algoritmus standardního Kalmanova filtru používán jako pozorovatel lineárního systému. Je však možno jej zobecnit i pro nelineární systémy a pak hovoříme o rozšířeném Kalmanově filtru. Zobecnění je založeno na jednoduché myšlence, kdy původní nelineární systém linearizujeme v každém časovém kroku v okolí odhadu, střední hodnoty a kovariance. Popis standardního Kalmanova filtru je možno nalézt v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "BertsekasDPOC" \end_inset . Následující popis rozšířeného Kalmanova filtru je převzat z \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "ekf2004,ekf2006" \end_inset : \end_layout \begin_layout Subsubsection Modelový systém \end_layout \begin_layout Standard Předpokládejme nelineární dynamický systém s aditivním šumem popsaný rovnicemi \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} x_{t} & = & f\left(x_{t-1},u_{t-1}\right)+w_{t-1},\\ y_{t} & = & h\left(x_{t}\right)+v_{t}, \end{eqnarray*} \end_inset pro \begin_inset Formula $t=1,\ldots,T$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset je vektor stavu, \begin_inset Formula $u_{t}$ \end_inset vektor řízení, \begin_inset Formula $y_{t}$ \end_inset vektor pozorování (měření) a vektory \begin_inset Formula $v_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $w_{t}$ \end_inset představují na sobě vzájemně nezávislý Gaussovský bílý šum s nulovou střední hodnotou a kovariančními maticemi \begin_inset Formula $R_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $Q_{t}$ \end_inset v tomto pořadí; obecně nelineární funkce \begin_inset Formula $f$ \end_inset představuje funkci systému a \begin_inset Formula $h$ \end_inset funkci měření a předpokládáme je známé. \end_layout \begin_layout Standard Označme nyní \begin_inset Formula $A$ \end_inset Jacobiho matici parciálních derivací \begin_inset Formula $f$ \end_inset dle \begin_inset Formula $x$ \end_inset v bodě odhadu, tedy \begin_inset Formula $\left(A_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right)$ \end_inset . Obdobně pro funkci \begin_inset Formula $h$ \end_inset označme \begin_inset Formula $C$ \end_inset matici derivací \begin_inset Formula $\left(C_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial h_{i}}{\partial x_{j}}\left(\tilde{x}_{t},0\right)$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $\tilde{x}_{t}$ \end_inset představuje aproximaci stavu vypočtenou z odhadu bez šumu \begin_inset Formula $\tilde{x}_{t}=f\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection Algoritmus \end_layout \begin_layout Standard Samotný algoritmus EKF můžeme rozdělit na dvě fáze. V první označované jako časová oprava (time update) nebo také \emph on predikce \emph default se vypočítá apriorní odhad stavu a kovarianční matice: \begin_inset Formula \begin{eqnarray} \overline{\hat{x}}_{t} & = & f\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right),\nonumber \\ \overline{P}_{t} & = & A_{t}P_{t-1}A_{t}^{T}+Q_{t-1}.\label{eq:EKF-rovnice-time-upd} \end{eqnarray} \end_inset Ve druhé části označované jako oprava měření (measurement update) neboli \emph on korekce \emph default pak získáme aposteriorní odhad stavu \begin_inset Formula $\hat{x}_{t}$ \end_inset a kovarianční matice \begin_inset Formula $P_{t}$ \end_inset : \begin_inset Formula \begin{eqnarray} K_{t} & = & \overline{P}_{t}C_{t}^{T}\left(C_{t}\overline{P}_{t}C_{t}^{T}+R_{t}\right)^{-1},\nonumber \\ \hat{x}_{t} & = & \overline{\hat{x}}_{t}+K_{t}\left(y_{t}-h\left(\overline{\hat{x}}_{t},0\right)\right),\label{eq:EKF-rovnice-data-upd}\\ P_{t} & = & \left(I-K_{t}C_{t}\right)\overline{P}_{t},\nonumber \end{eqnarray} \end_inset kde \begin_inset Formula $I$ \end_inset značí jednotkovou matici vhodného rozměru. Pro úplnost je ještě třeba dodat počáteční apriorní odhady \begin_inset Formula $\hat{x}_{0}$ \end_inset a \begin_inset Formula $P_{0}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsection Lineárně kvadratický regulátor \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Linearne-kvadraticky-regulator-obec-popis" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Lineárně kvadratický regulátor (Linear-Quadratic, LQ) je primárně navržen pro řízení lineárních systémů s kvadratickou ztrátovou funkcí. Dále je třeba zmínit, že existuje celá řada různých modifikací a vylepšení základního algoritmu, například pro nelineární systémy nebo lepší numerické vlastnosti. Základní formulace podle \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "BertsekasDPOC" \end_inset je následovná: \end_layout \begin_layout Standard Uvažujme lineární systém \begin_inset Formula \begin{equation} x_{t+1}=A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}+w_{t},\quad t=0,1,\ldots,T-1,\label{eq:lq-obecny-lin-system} \end{equation} \end_inset kde obecně vektorová veličina \begin_inset Formula $x_{t}$ \end_inset reprezentuje stav systému v časovém kroku \begin_inset Formula $t$ \end_inset , veličina \begin_inset Formula $u_{t}$ \end_inset řízení v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset a \begin_inset Formula $w_{t}$ \end_inset je vzájemně nezávislý Gaussovský bílý šum s nulovou střední hodnotou a známou kovarianční maticí, dále je uvažován konečný diskrétní časový horizont \begin_inset Formula $T$ \end_inset kroků. \end_layout \begin_layout Standard Kvadratická ztrátová funkce je \begin_inset Formula \begin{equation} \mathbf{E}\left\{ x_{T}^{T}Q_{T}x_{T}+\sum_{t=0}^{T-1}\left(x_{t}^{T}Q_{t}x_{t}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}\right)\right\} ,\label{eq:lq-adit-kv-ztrata} \end{equation} \end_inset kde \begin_inset Formula $\mathbf{E}$ \end_inset značí střední hodnotu, \begin_inset Formula $Q_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $R_{t}$ \end_inset jsou penalizační matice stavu systému (splnění požadavků řízení), respektive penalizace vstupů. Na tyto matice jsou kladeny požadavky, že \begin_inset Formula $Q_{t}\geq0$ \end_inset a \begin_inset Formula $R_{t}>0$ \end_inset . Při uvažování neúplné informace \begin_inset Formula $I_{t}$ \end_inset o stavu je optimální řízení \family roman \series medium \shape up \size normal \emph off \bar no \noun off \color none \lang english \begin_inset Formula $\mu_{t}$ \end_inset \family default \series default \shape default \size default \emph default \bar default \noun default \color inherit \lang czech v každém časovém kroku rovno \begin_inset Formula \[ \mu_{t}(I_{t})=L_{t}\mathrm{\mathbf{E}}\left\{ x_{t}\mid I_{t}\right\} , \] \end_inset kde matice \begin_inset Formula $L_{t}$ \end_inset je dána rovností \begin_inset Formula \begin{equation} L_{t}=-\left(R_{t}+B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}A_{t},\label{eq:riccati-lqg-matice-L} \end{equation} \end_inset přičemž matice \begin_inset Formula $K_{t}$ \end_inset získáme rekurzivně z Riccatiho rovnice \begin_inset Formula \begin{eqnarray} K_{T} & = & Q_{T},\label{eq:riccati-lqg-matice-K}\\ K_{t} & = & A_{t}^{T}\left(K_{t+1}-K_{t+1}B_{t}\left(R_{t}+B_{t}^{T}K_{t+1}B_{t}\right)^{-1}B_{t}^{T}K_{t+1}\right)A_{t}+Q_{t}.\nonumber \end{eqnarray} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Lineárně kvadratický algoritmus s QR rozkladem \end_layout \begin_layout Standard Předchozí výpočet pomocí Riccatiho rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:riccati-lqg-matice-L" \end_inset ) a ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:riccati-lqg-matice-K" \end_inset ) však není příliš vhodným z numerických důvodů \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Favier1981" \end_inset . Místo něj je pro praktické výpočty výhodnější použít například algoritmus lineárně kvadratického řízení založený na QR rozkladu \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Favoreel1999" \end_inset . Tento algoritmus má lepší numerické vlastnosti, umožňuje snadnější výpočet maticové inverze (invertována pouze trojúhelníková matice) a lze pomocí něj implementovat i složitější kvadratickou ztrátovou funkci (nejen dva členy pro penalizaci stavu a vstupů). \end_layout \begin_layout Standard Postup je založen na přepisu kvadratické ztráty do tvaru \begin_inset Formula \begin{equation} x_{t+1}^{T}Q_{t}x_{t+1}+u_{t}^{T}R_{t}u_{t}=x_{t+1}^{T}\sqrt{Q_{t}}^{T}\sqrt{Q_{t}}x_{t+1}+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t},\label{eq:lq-kv-ztrata-prepis-odmoc} \end{equation} \end_inset kde \begin_inset Formula $\sqrt{\,}$ \end_inset je vhodná maticová odmocnina. Vzhledem k požadavkům positivní (semi)definitnosti na matice \begin_inset Formula $Q_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $R_{t}$ \end_inset má tato odmocnina smysl. V každém časovém kroku \begin_inset Formula $t$ \end_inset pak minimalizujeme funkci \begin_inset Formula \begin{equation} x_{t+1}^{T}\sqrt{Q_{t}}^{T}\sqrt{Q_{t}}x_{t+1}+u_{t}^{T}\sqrt{R_{t}}^{T}\sqrt{R_{t}}u_{t}+x_{t+1}^{T}\sqrt{\Sigma_{t}}^{T}\sqrt{\Sigma_{t}}x_{t+1},\label{eq:lq-odm-ztrata-se-sigma} \end{equation} \end_inset kde \begin_inset Formula $\Sigma_{t}$ \end_inset reprezentuje ztrátu v následujících časových krocích až do konce časového horizontu, jedná se o rekurzivní součet pozitivních ztrát a tedy maticová odmocnina má opět smysl. Do tohoto kvadratického výrazu je možno dosadit model vývoje pro \begin_inset Formula $x_{t+1}=A_{t}x_{t}+B_{t}u_{t}$ \end_inset a následně jej zapsat maticově ve tvaru \begin_inset Formula \begin{equation} \left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right)^{T}\left[\begin{array}{cc} \sqrt{Q_{t}}B_{t} & \sqrt{Q_{t}}A_{t}\\ \sqrt{R_{t}} & 0\\ \sqrt{\Sigma_{t}}B_{t} & \sqrt{\Sigma_{t}}A_{t} \end{array}\right]^{T}\underset{Z}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc} \sqrt{Q_{t}}B_{t} & \sqrt{Q_{t}}A_{t}\\ \sqrt{R_{t}} & 0\\ \sqrt{\Sigma_{t}}B_{t} & \sqrt{\Sigma_{t}}A_{t} \end{array}\right]}}\left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right).\label{eq:lq-matic-ztrata-pro-qr} \end{equation} \end_inset Na matici \begin_inset Formula $Z$ \end_inset následně aplikujeme QR rozklad, to jest \begin_inset Formula $Z=Q_{Z}R_{Z}$ \end_inset a předchozí vztah upravíme na tvar \begin_inset Formula \[ \left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right)^{T}Z^{T}Z\left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}Q_{Z}^{T}Q_{Z}R_{Z}\left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}R_{Z}\left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right), \] \end_inset kde využijeme vlastnosti \begin_inset Formula $Q_{Z}^{T}Q_{Z}=I$ \end_inset . Matice \begin_inset Formula $R_{Z}$ \end_inset je v horním trojúhelníkovém tvaru, tedy blokově zapsáno \begin_inset Formula \[ R_{Z}=\left[\begin{array}{cc} R_{uu} & R_{ux}\\ 0 & R_{xx} \end{array}\right]. \] \end_inset Ztrátu nyní můžeme zapsat jako \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right)^{T}R_{Z}^{T}R_{Z}\left(\begin{array}{c} u_{t}\\ x_{t} \end{array}\right) & = & \left(\begin{array}{c} R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\\ R_{xx}x_{t} \end{array}\right)^{T}\left(\begin{array}{c} R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\\ R_{xx}x_{t} \end{array}\right)\\ & = & \left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)^{T}\left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)+x_{t}^{T}R_{xx}^{T}R_{xx}x_{t}, \end{eqnarray*} \end_inset kterou, vzhledem k její kvadratičnosti a nezávislosti druhého členu na \begin_inset Formula $u_{t}$ \end_inset , zřejmě minimalizujeme volbou \begin_inset Formula $u_{t}$ \end_inset takovou, že \begin_inset Formula $\left(R_{uu}u_{t}+R_{ux}x_{t}\right)=0$ \end_inset a tedy volíme \begin_inset Formula \[ u_{t}=-R_{uu}^{-1}R_{ux}x_{t}. \] \end_inset Matici \begin_inset Formula $R_{xx}^{T}R_{xx}$ \end_inset pak použijeme do předchozího časového kroku jako novou matici \begin_inset Formula $\Sigma$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Chapter Aplikace duálního řízení na PMSM \end_layout \begin_layout Standard Tato kapitola je věnována spojení předchozích dvou, tedy aplikaci vybraných algoritmů popsaných v kapitole o teorii řízení na konkrétní systém, PMSM, uvedený v první kapitole. Nejdříve budou uvedeny konkrétní matice používané pro rozšířený Kalmanův filtr a následně i pro výpočet aposteriorních Cramer-Raových mezí. Dále budou odvozeny různé verze lineárně kvadratického regulátoru jako alternativa ke klasicky užívaným PI regulátorům používaným pro vektorové řízení PMSM. Následovat bude popis algoritmu využívajícího hyperstav, který vychází právě z EKF a LQ regulátoru. Na závěr této kapitoly bude ještě popsána vybraná verze bikriteriální metody a návrh založený na využití injektáží. \end_layout \begin_layout Section Úloha řízení PMSM \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sec:uloha-rizeni-PMSM" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Nejdříve je nutno přesně specifikovat úlohu, jakou se vybranými algoritmy pokusíme řešit. Této specifikace se dále v textu budeme držet, aby byly zajištěny v jistém ohledu stejné podmínky pro všechny algoritmy. \end_layout \begin_layout Standard Řízeným systémem bude synchronní motor s permanentními magnety. Pro možné nasazení metod využívajících anizotropie předpokládáme v tomto stroji různé indukčnosti v osách \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset , tedy \begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dále je uvažován PMSM v bezsenzorovém návrhu, to znamená, že mechanické veličiny poloha a otáčky nejsou měřeny. Měřenými veličinami jsou pouze proudy v osách \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset . Řídící veličiny reprezentované napětími v osách \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset předpokládáme známé před vstupem do řídící elektroniky, skutečná napětí měřena nejsou. \end_layout \begin_layout Standard Napětí jako řídící veličiny navíc neuvažujeme libovolné, ale pouze z daného intervalu \begin_inset Formula $\left\langle -U_{max},U_{max}\right\rangle $ \end_inset . To vyjadřuje reálná omezení použitého napájecího zdroje. \end_layout \begin_layout Standard V textu uvažujeme výhradně řízení otáček a referenční signál je tedy předpokládá n v podobě požadované hodnoty otáček \begin_inset Formula $\overline{\omega}_{t}$ \end_inset v daném čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Protože je nejdříve nutné zvládnout řízení stroje bez zátěže je zátěžný moment \begin_inset Formula $T_{L}$ \end_inset uvažován pro jednoduchost nulový. \end_layout \begin_layout Standard Dále uvažujeme, že na počátku (v nulovém čase) nemáme žádnou informaci o poloze hřídele. To lze vyjádřit tak, že rozdělení počáteční polohy \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset je uniformní na intervalu \begin_inset Formula $\left(-\pi,\pi\right\rangle $ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Jako univerzální kritérium pro posuzování kvality jednotlivých aplikovaných řídících strategií bude brán kvadrát odchylky skutečných a požadovaných otáček. \end_layout \begin_layout Section Rozšířený Kalmanův filtr \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sec:EKF-implementace-matice" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard V této práci byl jako pozorovatel používán rozšířený Kalmanův filtr. Budeme-li vycházet z popisu PMSM pomocí rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pmsm-albe-ls" \end_inset ) pro stejné nebo ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq" \end_inset ) pro různé indukčnosti, nabízí se více možností za jakých podmínek algoritmus EKF použít. Pro implementaci je však rozumných pouze několik málo z nich. \end_layout \begin_layout Standard Především nemá příliš smysl uvažovat EKF v rotorových souřadnicích \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset . Transformace ze statorových souřadnic, ve kterých probíhá měření, do rotorových totiž závisí na úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset , viz rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:transformace_al-be_na_d-q" \end_inset ). Hodnotu tohoto úhlu ale neznáme a navíc se jedná v podstatě o hlavní veličinu, kterou chceme pomocí EKF odhadnout. Dalším problémem je, že v rovnicích popisujících PMSM (v případě stejných i různých indukčností) v souřadné soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset hodnota \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset vůbec nevystupuje a tedy ji z nich nelze rozumně určit. Jistou možností, kdy by mělo smysl uvažovat EKF v souřadné soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset , je případ, že bychom znali hodnotu \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset nebo její odhad z jiného zdroje. Příkladem by mohla být znalost úhlu na základě aplikace vhodné injektážní techniky. Dále však budeme uvažovat EKF pouze ve statorových souřadnicích, konkrétně \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsection Šum \end_layout \begin_layout Standard Algoritmus EKF předpokládá Gaussovský model šumu. Vzhledem k popisu neurčitostí v PMSM, odstavec \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Stochasticky-model-pmsm" \end_inset , tento předpoklad splněn není. Lze však provést aproximaci hustoty pravděpodobnosti skutečného šumu Gaussovsko u hustotou s vhodnými parametry. Tyto parametry lze buď nalézt na základě teoretické analýzy vlastností šumu, jako v \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Peroutka2009" \end_inset nebo je lze nalézt experimentálně. V této práci posloužily jako výchozí hodnoty stanovené ve zmiňovaném zdroji \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Peroutka2009" \end_inset , které byly následně experimentálně dopraveny. \end_layout \begin_layout Subsection Plný model \end_layout \begin_layout Standard Prvním diskutovaným případem bude návrh dále označovaný jako \emph on plný model \emph default a budou uvažovány stejné indukčnosti v osách \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset . Všechny veličiny \begin_inset Formula $i_{\alpha}$ \end_inset , \begin_inset Formula $i_{\beta}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset popisující PMSM označíme jako stav \begin_inset Formula $x$ \end_inset . Za pozorování \begin_inset Formula $y$ \end_inset budeme považovat proudy \begin_inset Formula $i_{\alpha}$ \end_inset a \begin_inset Formula $i_{\beta}$ \end_inset doplněné chybou měření. Plný model je tedy popsán stavem a měřením \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} x_{t} & = & \left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t},\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T},\\ y_{t} & = & \left(y_{\alpha,t},y_{\beta,t}\right)^{T}, \end{eqnarray*} \end_inset jejichž vývoj v čase je dán rovnicemi modelového systému z části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:EKF-popis" \end_inset \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} x_{t+1} & = & f\left(x_{t},u_{t}\right)+w_{t},\\ y_{t} & = & h\left(x_{t}\right)+v_{t}, \end{eqnarray*} \end_inset kde funkce \begin_inset Formula $f$ \end_inset odpovídá soustavě rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:diskretni-system-albe-ls" \end_inset ) a funkce \begin_inset Formula $h$ \end_inset je pouze identitou na první dvou složkách argumentu. Vektory \begin_inset Formula $w_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $v_{t}$ \end_inset pak reprezentují vzájemně nezávislé bílé Gaussovské šumy s nulovou střední hodnotou a známými kovariančními maticemi \begin_inset Formula $Q_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $R_{t}$ \end_inset v tomto pořadí. \end_layout \begin_layout Standard Pro výpočet rekurzivního algoritmu EKF, rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:EKF-rovnice-time-upd" \end_inset ) a ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:EKF-rovnice-data-upd" \end_inset ), je třeba znát Jacobiho matice parciálních derivací \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $C_{t}$ \end_inset , kde \begin_inset Formula $\left(A_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left(\hat{x}_{t-1},u_{t-1},0\right)$ \end_inset a \begin_inset Formula $\left(C_{t}\right)_{ij}=\frac{\partial h_{i}}{\partial x_{j}}\left(\tilde{x}_{t},0\right)$ \end_inset . V tomto případě je výpočet poměrně jednoduchý a výsledné matice jsou \begin_inset Formula \begin{eqnarray} A_{t} & = & \left[\begin{array}{cccc} a & 0 & b\sin\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\\ 0 & a & -b\cos\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}\\ -e\sin\hat{\vartheta}_{t-1} & e\cos\hat{\vartheta}_{t-1} & d & -e\left(\hat{i}_{\beta,t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}+\hat{i}_{\alpha,t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\right)\\ 0 & 0 & \Delta t & 1 \end{array}\right],\nonumber \\ C_{t} & = & C=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right].\label{eq:matice-ekf-plnymodel-ls} \end{eqnarray} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Redukovaný model \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:EKF-Redukovany-model" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Redukovaný model se snaží usnadnit výpočet algoritmu EKF tím způsobem, že zmenšuje uvažovaný stav systému. Kritickým místem použití EKF je totiž časově náročná maticová inverze, viz část \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:EKF-popis" \end_inset . Pro plný model má vektor stavu velikost \begin_inset Formula $4$ \end_inset a tedy je invertována matice o rozměru \begin_inset Formula $4\times4$ \end_inset , oproti tomu redukovaný model užívá pouze stavu velikosti \begin_inset Formula $2$ \end_inset a inverze matice \begin_inset Formula $2\times2$ \end_inset je znatelně rychlejší. \end_layout \begin_layout Standard Hlavní myšlenkou je nezahrnovat proudy \begin_inset Formula $i_{\alpha}$ \end_inset a \begin_inset Formula $i_{\beta}$ \end_inset do stavu a definovat je přímo jako měření, tedy \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} x_{t} & = & \left(\omega_{t},\vartheta_{t}\right)^{T},\\ y_{t} & = & \left(i_{\alpha,t},i_{\beta,t}\right)^{T}. \end{eqnarray*} \end_inset Vyjdeme tedy ze stejných diskrétních rovnic popisujících PMSM ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:matice-ekf-plnymodel-ls" \end_inset ), ale nyní první dvě rovnice představují měření a druhé dvě vývoj systému. Matice pro EKF jsou pak ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray} A_{t} & = & \left[\begin{array}{cc} d & -e\left(\hat{i}_{\beta,t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1}+\hat{i}_{\alpha,t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\right)\\ \Delta t & 1 \end{array}\right],\nonumber \\ C_{t} & = & \left[\begin{array}{cc} b\sin\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\cos\hat{\vartheta}_{t-1}\\ -b\cos\hat{\vartheta}_{t-1} & b\hat{\omega}_{t-1}\sin\hat{\vartheta}_{t-1} \end{array}\right].\label{eq:matice-ekf-redukovanymodel-ls} \end{eqnarray} \end_inset Dále je pak třeba ještě upravit hodnoty kovariančních matic pro šumy. Označme kovarianční matice plného stavu jako \begin_inset Formula $Q$ \end_inset a \begin_inset Formula $R$ \end_inset a předpokládejme, že \begin_inset Formula $Q$ \end_inset je blokově diagonální s bloky o rozměru \begin_inset Formula $2\times2$ \end_inset , tedy \begin_inset Formula \[ Q=\left[\begin{array}{cc} Q_{1}\\ & Q_{2} \end{array}\right]. \] \end_inset Ze vztahu pro součet dvou normálních náhodných veličin jsou pak kovarianční matice pro redukovaný model ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} Q_{red} & = & Q_{2},\\ R_{red} & = & R+Q_{1}. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Různé indukčnosti \end_layout \begin_layout Standard V případě plného modelu pro různé indukčnosti \begin_inset Formula $L_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $L_{q}$ \end_inset je postup zcela analogický, jen výchozí rovnice jsou jiné. V praxi jsou však rovnice poměrně složité a proto nejsou uvedeny přímo zde v textu, lze je však nalézt v příloze. Matice pro redukovaný model při uvažování různých indukčností jsou pak opět uvedeny v příloze. \end_layout \begin_layout Section Aposteriorní Cramer-Raovy meze \end_layout \begin_layout Subsection Užité modely \end_layout \begin_layout Standard Obecně byly použity čtyři typy modelů v souřadném systému \begin_inset Formula $\alpha\beta$ \end_inset . Souřadný systém \begin_inset Formula $dq$ \end_inset nemá smysl uvažovat, jelikož nejvíce zajímavá mez polohy stále roste, což lze jednak usuzovat na základě tvaru rovnic, ale tento fakt byl ověřen i experimentálně. Jednotlivé modely se liší tím, jestli je uvažován \emph on plný \emph default nebo \emph on redukovaný \emph default stav systému. Dále pak jestli byl uvažován model motoru se \emph on stejnými \emph default nebo \emph on různými \emph default indukčnostmi v osách \begin_inset Formula $d$ \end_inset a \begin_inset Formula $q$ \end_inset . Matice derivací \begin_inset Formula $A_{n}=\left[\nabla_{x_{n}}f_{n}^{T}(x_{n})\right]^{T}$ \end_inset zobrazení \begin_inset Formula $f_{n}$ \end_inset a matice \begin_inset Formula $C_{n+1}=\left[\nabla_{x_{n+1}}h_{n+1}^{T}(x_{n+1})\right]^{T}$ \end_inset zobrazení \begin_inset Formula $h_{n+1}$ \end_inset dle jednotlivých stavových veličin jsou ekvivalentní maticím používaným pro EKF. Obdobné je to i s kovariančními maticemi \begin_inset Formula $Q$ \end_inset a \begin_inset Formula $R$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsection Omezování hodnot meze \end_layout \begin_layout Standard Vzhledem k tomu, že poloha \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset je vyjádřena jako úhel (v radiánech), má smysl ji uvažovat pouze v intervalu \begin_inset Formula $\left(-\pi,\pi\right\rangle $ \end_inset . V modelu pro výpočet PCRB je však \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset uvažována jako náhodná veličina s normálním rozdělením, která nabývat hodnot z celé reálné osy a následně může PCRB dosáhnout velmi vysokých hodnot. Tyto hodnoty však pro interpretaci ve vztahu k PMSM nemají smysl, protože nejhorší případ (ve smyslu největší neznalosti parametru \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset ) nastává, když je hodnota \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset rovnoměrně rozdělena v intervalu \begin_inset Formula $\left(-\pi,\pi\right\rangle $ \end_inset , tedy o hodnotě úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset není žádná informace. Proto má smysl uvažovat hodnoty PCRB \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset jen do velikosti variance rovnoměrného rozdělení na intervalu \begin_inset Formula $\left(-\pi,\pi\right\rangle $ \end_inset , tato hodnota je \begin_inset Formula $\frac{\pi^{2}}{3}$ \end_inset . Nad touto hranicí nemá smysl mez \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset uvažovat a vyšší hodnoty je buď možno oříznout pevnou mezí nebo pomocí výpočtu oříznutého normálního rozdělení, který bude užit dále. Srovnání obou možností je zachyceno na grafech Obrázek \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:Hodnoty-PCRB-polohy" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \noindent \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/orez_val.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/orez_N.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout a) pevná mez \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout b) oříznuté normální rozdělení \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Srovnání metod omezování hodnoty PCRB polohy \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset : První možností je oříznutí pevnou mezí \begin_inset Formula $\frac{\pi^{2}}{3}$ \end_inset (znázorněna čárkovaně), druhou pak užití oříznutého normálního rozdělení. \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:Hodnoty-PCRB-polohy" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Postup s oříznutím normálního rozdělení je samozřejmě velmi zjednodušený. Správný postup by vyžadoval odvodit vztahy pro skutečnou, tedy negaussovskou, hustotu úhlu natočení. To je však poměrně náročná úloha, především z důvodu, že skutečná hustota úhlu natočení není ani přesně známa. Proto se dále v textu omezíme na přístup využívající ořez normální hustoty. \end_layout \begin_layout Paragraph* Oříznuté normální rozdělení \end_layout \begin_layout Standard Následující popis čerpá z \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "Smidl2006" \end_inset : \end_layout \begin_layout Standard Oříznuté normální rozdělení pro skalární náhodnou veličinu \begin_inset Formula $x$ \end_inset je definováno jako normální rozdělení \begin_inset Formula $\mathrm{N}\left(\mu,r\right)$ \end_inset na omezeném supportu \begin_inset Formula $a \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold parametr \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold označení \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold hodnota \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout rezistance \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $R_{s}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 0,28 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout izotropní indukčnost \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $L_{s}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 0,003465 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout indukčnost v ose \begin_inset Formula $d$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $L_{d}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 0,003119 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout indukčnost v ose \begin_inset Formula $q$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $L_{q}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 0,003812 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout tok permanentních magnetů \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\psi_{pm}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 0,1989 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Parkova konstanta \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $k_{p}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 1,5 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout počet párů pólů \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $p_{p}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 4 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout moment setrvačnosti rotoru \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $J$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 0,04 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout koeficient viskozity \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $B$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 0 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout zátěžný moment \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $T_{L}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 0 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout vzorkovací perioda \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Delta t$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 0,000125 \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Kompenzace úbytků napětí \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Kompenzace-úbytků-napětí" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Jak již bylo zmíněno, používaný simulátor zahrnuje i složitější vlivy napájecí elektroniky. Jedním z těchto vlivů jsou i takzvané \emph on úbytky napětí \emph default . Problém těchto úbytků je stručně takový, že po napájecím zdroji požadujeme určité napětí, ale napájecí zdroj dodá napětí menší, proto také označení úbytky. Skutečná napětí však neměříme a předpokládáme, že požadované napětí se rovná skutečnému, viz část \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:uloha-rizeni-PMSM" \end_inset . Následně může docházet k chybám, protože reálná hodnota napětí ve stroji je menší, než navrhl řídící algoritmus a tento algoritmus se o tom navíc nedozví. Tato situace je zachycena na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:Vliv-ubytku-napeti" \end_inset vlevo, kde odhad určený na základě požadovaného napětí přesně sleduje referenčn í otáčky, ale skutečné otáčky jsou v důsledku úbytku napětí jiné. \end_layout \begin_layout Standard Vhodným způsobem jak tento problém řešit, je úbytky napětí kompenzovat. Kompenzace používaná v této práci je velmi jednoduchá. Byla vytvořena na základě volt-ampérové charakteristiky stroje využité v simulátoru a je založena na předpokladu, že úbytek napětí je úměrný procházej ícímu proudu. Kompenzace pak probíhá tak, že ze známé hodnoty proudu je vypočítán úbytek napětí pomocí po částech lineární aproximace volt-ampérové charakteristiky. O tento úbytek je následně zvýšena hodnota požadovaného řídícího napětí. Nevýhodami takového přístupu je, že užívaná kompenzace není zpětnovazební a dále je v podstatě nastavena na kompenzaci simulátoru a pro reálný stroj by bylo třeba vytvořit kompenzaci novou. Pozitivní vliv kompenzace je zachycen na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:Vliv-ubytku-napeti" \end_inset vpravo, kde je možné srovnat skutečné otáčky simulovaného běhu systému s a bez užití kompenzace. \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/kompenzace_odhad.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/kompenzace.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Vliv úbytků napětí a jejich kompenzace na otáčky. Na levém obrázku je zachycen negativní důsledek úbytků napětí, kdy se odhad kryje s požadovanou hodnotou, ale skutečnost je jiná. Na obrázku vpravo jsou pro srovnání zachyceny skutečné otáčky v případě bez kompenzace a pak při jejím užití. \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:Vliv-ubytku-napeti" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Srovnávací kritéria \end_layout \begin_layout Standard Jednotlivé algoritmy budou porovnány na základě několika kritérií. Hlavní z nich je, jak již bylo zmíněno v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:uloha-rizeni-PMSM" \end_inset založeno na kvadrátu odchylky skutečných a požadovaných otáček. Toto kritérium v podstatě vystihuje míru shody mezi zadanými požadavky v podobě referenčního signálu a jejich skutečným naplněním. Výpočet součtu těchto kvadrátů odchylek však není vhodné přímo užít, protože je závislý na délce časového horizontu. Dále v textu tedy bude uvažováno normované verze takového součtu, která odpovídá střední kvadratické chybě za jeden časový krok. \end_layout \begin_layout Standard Dalším posuzovacím kritériem pak bude složitost daného algoritmu, především v tom smyslu, jak by byla náročná jeho potenciální aplikace pro řízení skutečného stroje v reálném čase. Diskutována bude i přesnost jednotlivých algoritmů s jakou stanovují odhady stavových veličin. \end_layout \begin_layout Standard Časový horizont pro porovnání použitých metod bude obvykle volen v délce 15 s, případně pro posouzení počátečního chování systému kratší. Jako referenční signál bude sloužit několik testovacích profilů, v textu budou dále označovány jako: \end_layout \begin_layout Itemize \emph on nulové otáčky \emph default : \begin_inset Formula $\omega_{ref}\equiv0$ \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize \emph on nízké otáčky \emph default : trojúhelníkový a lichoběžníkový profil s amplitudou \begin_inset Formula $1$ \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize \emph on střední otáčky \emph default : trojúhelníkový a lichoběžníkový profil s amplitudou \begin_inset Formula $10$ \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize \emph on vysoké otáčky \emph default : trojúhelníkový a lichoběžníkový profil s amplitudou \begin_inset Formula $200$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Rozdíl mezi trojúhelníkovým a lichoběžníkovým profilem je znázorněn na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:Priklad-profilu-pozad-otack" \end_inset , kde je uvažována amplituda 10. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Graphics filename obrazky/testprofily.eps scale 60 \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Příklad profilů požadovaných otáček na časovém horizontu 15 s s amplitudou \begin_inset Formula $10\:\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ \end_inset : nahoře trojúhleníkový a dole lichoběžníkový profil \emph on . \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:Priklad-profilu-pozad-otack" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Výběr parametrů a zástupců jednotlivých metod \end_layout \begin_layout Standard Protože jednotlivé algoritmy popsané v předchozí části připouštějí více různých implementací a různou volbu klíčových parametrů, je v této části provedeno jejich experimentální srovnání a následná volba reprezentativních zástupců. \end_layout \begin_layout Subsection Neduální LQ regulátor \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:LQ-regulator-volba-param" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard V části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:Linearne-kvadraticky-regulator" \end_inset byl popsán lineárně kvadratický regulátor pro PMSM. Některé jeho parametry však nebyly specifikovány. Navíc je možná celá řada implementací například dle volby ztrátové funkce nebo souřadného systému. V následujících odstavcích budou porovnány různé verze LQ regulátoru a bude z nich vybrán vhodný zástupce, který bude tuto \begin_inset Quotes gld \end_inset rodinu \begin_inset Quotes grd \end_inset reprezentovat při srovnání s ostatními algoritmy, případně bude sloužit jako základ pro tvorbu algoritmů složitějších. \end_layout \begin_layout Subsubsection Vliv matice R \end_layout \begin_layout Standard Nejdříve bude věnována pozornost volbě matice \begin_inset Formula $R$ \end_inset představující penalizaci řídícího zásahu ve ztrátové funkci ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:lq-adit-kv-ztrata" \end_inset ). Právě hodnoty této matice byly voleny experimentálně tak, aby bylo dosaženo co nejlepšího výsledného řízení ve smyslu minimální střední kvadratické chyby. Volba jednotlivých prvků matice \begin_inset Formula $R$ \end_inset však nemá smysl sama o sobě a je třeba je volit relativně vzhledem k velikosti prvků matice \begin_inset Formula $Q$ \end_inset . Ta má pouze jeden nenulový prvek \begin_inset Formula $q$ \end_inset , který byl pro jednoduchost volen \begin_inset Formula $1$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Matice \begin_inset Formula $R$ \end_inset byla volena po vzoru popisu z odstavce \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:LQR-Ztratova-funkce" \end_inset jako diagonální v souřadné soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset a na výslednou matici \begin_inset Formula $R$ \end_inset v soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset byla převáděna aplikací matice rotace, viz rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rotace-rdq-na-ralbe" \end_inset ). Rozhodující tedy byla volba dvou diagonálních prvků \begin_inset Formula $R_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $R_{q}$ \end_inset . Pro různé dvojice těchto prvků byly provedeny experimenty a vyhodnocena velikost střední kvadratické chyby. Jako příklad budou uvedeny dva takové experimenty: První na \emph on jednoduchém modelu \emph default pro referenční profil \emph on vysoké otáčky -- lichoběžník \emph default a druhý pak na \emph on simulátoru \emph default s profilem \emph on střední otáčky -- lichoběžník \emph default . Výsledek těchto experimentů je zobrazen na grafech v obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:Posouzeni-vlivu-matice-R" \end_inset . \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/vlivR_exp1.png scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/vlivR_exp2.png scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Posouzení vlivu matice \begin_inset Formula $R$ \end_inset na velikost střední kvadratické chyby. Vlevo je zachycen výsledek jednoduchého modelu při užití referenčního profilu vysoké otáčky -- lichoběžník a vpravo pak výsledek ze simulátoru s profilem střední otáčky -- lichoběžník. Všechny osy jsou logaritmické a označení \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset reprezentuje střední kvadratickou chybu. \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:Posouzeni-vlivu-matice-R" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Hodnoty matice \begin_inset Formula $R$ \end_inset , se kterými bylo dosaženo nejlepších výsledků ve smyslu minimální střední chyby, jsou v souřadné soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset : \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} R_{d} & = & 1,0\cdot10^{-3},\\ R_{q} & = & 1,0\cdot10^{-6}. \end{eqnarray*} \end_inset Podobně je možno volit hodnoty i pro matici \begin_inset Formula $S$ \end_inset penalizující přírůstky napětí, viz odstavec \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:LQR-Ztratova-funkce" \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection Vliv penalizace řídícího zásahu \end_layout \begin_layout Standard Různé implementace lineárně kvadratického algoritmu lze získat v závislosti na volbě tvaru kvadratické ztrátové funkce, viz rovnice ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:lqr-ztrat-fce-tri-cleny" \end_inset ). Člen ztrátové funkce týkající se penalizace stavových veličin (dán maticí \begin_inset Formula $Q$ \end_inset ), případně jejich odchylky od požadované hodnoty zůstane nezměněn. Pro penalizaci řídících zásahů však budeme podrobněji diskutovat tři možnosti: Jednak je možné uvažovat pouze penalizaci hodnoty, tedy uvažovat člen s maticí \begin_inset Formula $R$ \end_inset . Další možností je penalizovat jejich přírůstky, tedy užít člen s maticí \begin_inset Formula $S$ \end_inset . Poslední zkoumanou možností je ponechat členy oba a penalizovat jak samotnou hodnotu, tak i její přírůstky. \end_layout \begin_layout Standard Testování jednotlivých možností probíhalo na simulátoru i za použití jednoduchéh o modelu pro různá nastavení a referenční profily. Opět byla vyhodnocována střední kvadratická chyba, protože však tento ukazatel není vhodný pro srovnání za různých simulačních podmínek a na různých profilech , byly pouze zaznamenávány počty, kolikrát každá z možností penalizace dosáhla nejmenší chyby. Na grafu obrázek jsou pak tyto hodnoty zachyceny. Jako nejvýhodnější se ukázalo využití pouze penalizace přírůstků. \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Graphics filename obrazky/vliv_ss.eps scale 60 \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Vliv rozdílné penalizace řídícího zásahu. Na grafu jsou zachyceny počty, kdy daná kategorie dosáhla nejnižší střední chyby za různých experimentálních podmínek. Význam kategorií je následující: 1 -- penalizace pouze hodnot napětí; 2 -- penalizace pouze přírůstků napětí; 3 -- penalizace hodnot i přírůstků napětí. Jednotlivé sloupečky v rámci kategorie představují různé experimentální podmínky. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Vliv souřadné soustavy \end_layout \begin_layout Standard Poslední ze zkoumaných možností implementace LQ regulátoru je volba souřadné soustavy. V části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:Linearne-kvadraticky-regulator" \end_inset byly popsány matice pro implementaci v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset , ale i v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset a oba tyto případy zde budou uvažovány pro experimentální porovnání. \end_layout \begin_layout Standard V souřadné soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset jsou rovnice popisující PMSM lineární až na smíšené členy obsahující součin proudu a otáček. V případě zanedbání těchto členů by rovnice byly lineární zcela. To by přineslo značnou výhodu, protože by bylo možno celý algoritmus LQ regulátoru předpočítat a výpočet řídícího zásahu značně usnadnit. Zda je však možno zmiňované členy zanedbat a jaké to má důsledky bylo ponecháno k experimentálnímu ověření. Dalším z uvažovaných modelů pro srovnání je tedy předpočítaný LQ regulátor v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset souřadné soustavě s konstantní maticí \begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dále bude ještě uvažován lineárně kvadratický regulátor v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset pro různé indukčnosti v osách \begin_inset Formula $L_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $L_{q}$ \end_inset . A jako referenční bude pro srovnání s ostatními uvažováno i klasické vektorové řízení založené na PI regulátorech. \end_layout \begin_layout Standard Vzájemně srovnáváno tedy bylo následujících pět typů algoritmů vektorového řízení založeného na: \end_layout \begin_layout Itemize PI regulátorech ( \begin_inset Formula $PI$ \end_inset ) \end_layout \begin_layout Itemize LQ regulátoru v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset ( \begin_inset Formula $LQ_{\alpha-\beta}$ \end_inset ) \end_layout \begin_layout Itemize LQ regulátoru v souřadné soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset ( \begin_inset Formula $LQ_{d-q}$ \end_inset ) \end_layout \begin_layout Itemize LQ regulátoru v souřadné soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset s konstantní maticí ( \begin_inset Formula $LQ_{d-q}\; konst.$ \end_inset ) \end_layout \begin_layout Itemize LQ regulátoru v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset pro různé indukčnosti ( \begin_inset Formula $LQ_{\alpha-\beta}\; L_{dq}$ \end_inset ) \end_layout \begin_layout Standard kde v závorce je vždy uvedena zkratka, kterou bude daný algoritmus dále označován v tomto odstavci. Jednotlivé výše zmiňované metody pro řízení PMSM byly opět porovnávány především na základě dosažených středních kvadratických chyb, tyto hodnoty při užití simulátoru jsou uvedeny v tabulce \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "tab:Hodnoty-alps" \end_inset . Hlavní rysy tohoto porovnání však lze vypozorovat již ze samotných průběhů simulací: \begin_inset Float table wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on nízké otáčky \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on střední otáčky \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on vysoké otáčky \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on trojúh. \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on lichob. \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on trojúh. \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on lichob. \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on trojúh. \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \emph on lichob. \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $PI$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $3,33\cdot10^{-1}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $4,44$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $2,37$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $1,56$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $3,02$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $11,4$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \lang english \begin_inset Formula $LQ_{\alpha-\beta}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $3,45\cdot10^{-2}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $2,96\cdot10^{-2}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $5,36\cdot10^{-1}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $1,15\cdot10^{-1}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $2,48$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $7,02$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $LQ_{d-q}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $3,57\cdot10^{-2}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $2,98\cdot10^{-2}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $5,49\cdot10^{-1}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $1,14\cdot10^{-1}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $2,58$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $7,52$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $LQ_{d-q}\; konst.$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $2,87\cdot10^{-2}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $2,40\cdot10^{-2}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $3,92\cdot10^{-1}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $1,07\cdot10^{-1}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $15,8$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $9,26$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $LQ_{\alpha-\beta}\; L_{dq}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $8,53\cdot10^{-3}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $8,43\cdot10^{-3}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $1,34\cdot10^{-1}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $1,47\cdot10^{-2}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $16,2$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $11,6$ \end_inset \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Hodnoty střední kvadratické chyby dosažené na simulátoru pro jednotlivé uvažované algoritmy při různých profilech referenčních otáček. \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "tab:Hodnoty-alps" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Především je třeba zmínit špatné chování algoritmu ( \begin_inset Formula $PI$ \end_inset ) v blízkosti nulových otáček, kdy dochází k jistému \begin_inset Quotes gld \end_inset zpoždění \begin_inset Quotes grd \end_inset , než začne regulátor správně pracovat. Charakter tohoto jevu je možno detailněji posoudit na výstupech ze simulátoru na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:spatne-chovani-PI" \end_inset . Při nízkých požadovaných otáčkách (profil \emph on nízké otáčky -- trojúhelníky \emph default a \emph on lichoběžníky \emph default ) pak dojde k tomu, že algoritmus ( \begin_inset Formula $PI$ \end_inset ) vůbec nezačne řídit, otáčky stroje jsou nulové a počáteční poloha rotoru zůstane nezměněna. Oproti tomu metody řízení založené na LQ regulátoru tímto nedostatkem netrpí a dokáží pracovat i s malou amplitudou referenčních otáček. Tento výsledek, tedy rozdíl mezi ( \begin_inset Formula $PI$ \end_inset ) a obecně nějakým ( \begin_inset Formula $LQ$ \end_inset ) algoritmem je zachycen na grafech v obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:spatne-chovani-PI" \end_inset a). \end_layout \begin_layout Standard Zmiňované problematické chování ( \begin_inset Formula $PI$ \end_inset ) však má další důsledky i při vyšších otáčkách, kdy vykazuje chyby při průchodu nulou. Jako průchod nulou je označován proces, kdy požadované otáčky mění znaménko a tedy stroj přechází z rotace jedním směrem na rotaci směrem opačným. Zřejmě tedy stroj musí na jistý časový okamžik zastavit a to může způsobovat problémy. Ty jsou patrné opět hlavně pro ( \begin_inset Formula $PI$ \end_inset ) algoritmus a využití LQ regulátoru je umožňuje potlačit. Grafické srovnání je zachyceno na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:spatne-chovani-PI" \end_inset b). \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/vss_nt.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/vss_nl.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout a) nízké požadované otáčky \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/vss_pt.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/vss_pl.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout b) problematika průchodů nulou \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Špatné chování algoritmu ( \begin_inset Formula $PI$ \end_inset ) v blízkosti nulových otáček: Nahoře v části a) je zachycen průběh otáček a polohy, kdy obecně ( \begin_inset Formula $LQ$ \end_inset ) algoritmus zvládne sledovat nízký profil referenčních otáčkek \begin_inset Formula $\omega_{ref}$ \end_inset a dobře se s nimi kryje, zatímco algoritmus ( \begin_inset Formula $PI$ \end_inset ) je neaktivní. V části b) jsou zachyceny problematické průchody nulou, kdy se algoritmus ( \begin_inset Formula $PI$ \end_inset ) dopouští v blízkosti nulových otáček nezanedbatelné chyby, zatímco průběh hodnot pro algoritmus ( \begin_inset Formula $LQ$ \end_inset ) je relativně hladký. \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:spatne-chovani-PI" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dále lze rozdílné chování jednotlivých algoritmů pozorovat při vyšších otáčkách. Detaily výstupu ze simulátoru pro referenční profil \emph on vysoké otáčky \emph default jsou zachyceny na grafech v obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:vysoke-otacky-detail" \end_inset . Prvním pozorováním je relativně větší chyba, které se dopouští ( \begin_inset Formula $LQ_{d-q}\; konst.$ \end_inset ), kdy v nejvyšším bodě profilu dosahuje přibližně chyby \begin_inset Formula $5\%$ \end_inset , obrázek \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:vysoke-otacky-detail" \end_inset a) vlevo. Horší výsledky této metody však lze při vyšších otáčkách očekávat, protože využívá nepřesného popisu stroje, kdy byly zanedbány členy úměrné právě otáčkám stroje a jejich vliv tedy s otáčkami roste. Dále lze pozorovat větší chybu u ( \begin_inset Formula $LQ_{\alpha-\beta}\; L_{dq}$ \end_inset ), ostatní použité algoritmy si pro vysoké hodnoty otáček počínají relativně dobře při srovnání na základě střední kvadratické chyby celkem vyrovnaně. Hodnoty této chyby shrnuje tabulka \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "tab:Hodnoty-alps" \end_inset . Na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:vysoke-otacky-detail" \end_inset a) vpravo je dále uveden detail průchodu nulou, kde se ( \begin_inset Formula $PI$ \end_inset ) algoritmus opět dopouští větší chyby než ostatní algoritmy založené na LQ regulátoru. \end_layout \begin_layout Standard Zajímavější porovnání užitých algoritmů nabízí grafy na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:vysoke-otacky-detail" \end_inset b), kde jsou zachyceny detaily výstupu simulátoru pro lichoběžníkový profil \emph on vysoké otáčky \emph default . Na tomto obrázku vlevo je zachyceno chování jednotlivých metod v nejvyšší části profilu. Největší chyby se v tomto případě dopouštějí podobně jako v předchozím případě pro trojúhelníkový profil algoritmy ( \begin_inset Formula $LQ_{d-q}\; konst.$ \end_inset ) a ( \begin_inset Formula $LQ_{\alpha-\beta}\; L_{dq}$ \end_inset ). Jisté chyby se dopouští i ( \begin_inset Formula $LQ_{d-q}$ \end_inset ) a nejlepší výsledky pak vykazuje ( \begin_inset Formula $LQ_{\alpha-\beta}$ \end_inset ). V pravé části tohoto obrázku je znázorněn průchod nulovými otáčkami za stejných simulačních podmínek. Opět je zde patrné, že největší chyby se dopouští algoritmus ( \begin_inset Formula $PI$ \end_inset ). \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/vss_vt.eps scale 55 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout a) vybrané detaily pro profil trojúhelník \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/vss_vl.eps scale 55 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout b) vybrané detaily pro profil lichoběžník \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Detaily chování jednotlivých algoritmů při použití simulátoru s profilem \emph on vysoké otáčky \emph default . Vlevo je vždy detail nejvyššího bodu profilu a vpravo pak detail průchodu nulou. \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:vysoke-otacky-detail" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Na základě dosažených hodnot střední kvadratické chyby byl nakonec jako nejvhodnější zástupce vektorového řízení s lineárně kvadratickým regulátorem vybrán algoritmus ( \begin_inset Formula $LQ_{\alpha-\beta}$ \end_inset ), který sice není vždy univerzálně nejlepší, ale zvládne poskytovat dobré výsledky pro všechny testované rychlosti. \end_layout \begin_layout Subsubsection Výběr zástupce \end_layout \begin_layout Standard Na základě simulací jejichž výsledky byly shrnuty v předchozích odstavcích byl ze všech uvažovaných implementací lineárně kvadratického regulátoru vybrán jeden zástupce. Ten bude sloužit pro srovnání s ostatními uvažovanými algoritmy, ale i jako základ pro další rozšíření, například pomocí hyperstavu. Tímto zástupcem je algoritmus v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset se ztrátovou funkcí penalizující pouze přírůstky napětí s penalizační maticí \begin_inset Formula \[ S^{dq}=\left[\begin{array}{cc} 1\cdot10^{-3}\\ & 1\cdot10^{-6} \end{array}\right]. \] \end_inset Při srovnání s ostatními algoritmy bude dále v textu označován jako LQ-CE. \end_layout \begin_layout Standard Kromě výběru vhodné implementace LQ regulátoru však byla získána i další důležitá pozorování: Především se jedná o zjištění nedostatků vektorového řízení založeného na PI regulátorech v otáčkách blízko nuly, které využití LQ regulátoru odstraňuje. \end_layout \begin_layout Standard Dalším zjištěním pak je potenciální možnost nasadit konstantní LQ regulátor, který je znatelně rychlejší, protože je možno jej díky jeho časové invarianci předpočítat. Jeho užití je obzvláště výhodné pro nízké otáčky, kde dosahuje dokonce menší střední kvadratické chyby než nekonstantní verze, viz tabulka \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "tab:Hodnoty-alps" \end_inset . Nasazení tohoto regulátoru pro aplikace uvažující vyšší otáčky již příliš vhodná není. \end_layout \begin_layout Standard Podobných výsledků dosáhl LQ regulátor v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset při uvažování různých indukčností \begin_inset Formula $L_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $L_{q}$ \end_inset . Střední kvadratická chyba je při jeho aplikaci v nízkých otáčkách nejnižší ze všech uvažovaných algoritmů, oproti tomu ve vyšších otáčkách je chyba relativně nejvyšší, viz tabulka \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "tab:Hodnoty-alps" \end_inset . Navíc je třeba připočíst nutnost pracovat s velmi složitými rovnicemi pro popis PMSM v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset pro různé indukčnosti \begin_inset Formula $L_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $L_{q}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Zajímavé je srovnání s výše zmiňovaných výsledků s výzkumným úkolem \begin_inset CommandInset citation LatexCommand cite key "VYZ2011" \end_inset . V citované práci byl totiž experimentálně získán výsledek, že lepších výsledků je dosaženo použitím LQ regulátoru v souřadné soustavě \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset a v soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset jsou výsledky znatelně horší. Tento zdánlivý rozpor je však způsoben tím, že v citovaném zdroji nebyla uvažována rozdílná penalizace řídících zásahů, případně jejich přírůstků, v osách \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset . Právě aplikování této rozdílné penalizace mělo největší vliv na zlepšení výsledků dosahovaných pomocí LQ regulátoru v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsection Bikriteriální duální řízení \end_layout \begin_layout Standard V části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:Bikriterialni-metoda" \end_inset byly popsány čtyři verze bikriteriální metody: základní verze, časově posunutá verze, více současně běžících EKF a přidání konstanty k řízení v ose \begin_inset Formula $d$ \end_inset . Tyto postupy se však týkají pouze budící části a je třeba je přidat k opatrnému řízení. Jak již bylo zmíněno, nalezení opatrného řízení je v případě PMSM problematické a proto je místo něj užito standardní vektorového řízení. Je uvažováno vektorové řízení založené na PI regulátorech i na LQ návrhu. Jednotlivé verze lišící se verzí bikriteriální metody a volbou řízení byly vzájemně porovnány především na základě dosažených středních kvadratických chyb. Hodnota parametru \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset , případně \begin_inset Formula $\varepsilon_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $\varepsilon_{q}$ \end_inset , byla v provedených experimentech volena 5 V. \end_layout \begin_layout Subsubsection Bikriteriální metoda s vektorovým PI řízením \end_layout \begin_layout Standard Nejdříve byla věnována pozornost různým verzím bikriteriální metody využívající jako řídící \begin_inset Quotes gld \end_inset opatrnou \begin_inset Quotes grd \end_inset část vektorové PI řízení. Právě využití tohoto řízení však přináší řadu komplikací. Především v tom smyslu, že jsou opět do jisté míry přítomny již zmiňované nedostatky tohoto řídícího algoritmu. Konkrétně se jedná o problémy v nízkých otáčkách, kdy regulátor neřídí a dále pak problémy při průchodu nulovými otáčkami. Také se zde objevuje nežádoucí jev, kdy se stroj začne otáčet na opačnou stranu. \end_layout \begin_layout Standard Z jednotlivých verzí bikriteriální metody se v tomto případě ukazuje být jedinou použitelnou přidávání konstanty k řídícímu zásahu v ose \begin_inset Formula $d$ \end_inset . Zbývající verze poskytují velmi špatný výsledek co se kvality řízení týče a vyskytuje se u nich problém s rozběhem stroje na opačnou stranu. \end_layout \begin_layout Standard Hodnoty střední kvadratické chyby pro jednotlivé verze bikriteriální metody na různých profilech referenčních otáček jsou zachyceny na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:bikriterialni-bar-ztraty" \end_inset a). Pro profily s nízkými požadovanými otáčkami je dosahováno zdánlivě malé chyby, ta je však způsobena vlastností vektorového PI řízení, které v nízkých otáčkách neřídí. Pro referenční profil středních otáček jsou vyšší chyby opět v důsledku špatného chování při průchodu nulou. Dále pak pro lichoběžníkové profily často dochází k problému s rozjezdem na opačnou stranu, který způsobí značný nárůst chyby. Z obrázku je dále patrné, že verze bikriteriální metody přidávající konstantu k řízení v ose \begin_inset Formula $d$ \end_inset jako jediná poskytuje stabilně relativně dobré výsledky. \end_layout \begin_layout Standard V případě využití PI regulátorů může navíc docházet i k dalšímu problému, zejména v případě uvažování konstantního buzení. Takový budící zásah může totiž regulátor vykompenzovat jako trvalou regulační odchylku, takže se ve větší míře projeví pouze na počátku běhu systému. \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/bikrit_pi.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/bikrit_lq.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout a) PI regulátory \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout b) LQ regulátor \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Hodnoty střední kvadratické chyby pro jednotlivé verze (viz legenda) bikriteriál ní metody, při současném užití vektorového řízení s a) PI nebo b) LQ regulátory. V grafech označuje \begin_inset Formula $\delta$ \end_inset střední kvadratickou chybu. Referenční profily otáček jsou následující: 1 -- nulový; 2 -- nízké otáčky trojúhelníky; 3 -- nízké otáčky lichoběžníky; 4 -- střední otáčky trojúhelníky; 5 -- střední otáčky lichoběžníky; 6 -- vysoké otáčky trojúhelníky; 7 -- vysoké otáčky lichoběžníky. \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:bikriterialni-bar-ztraty" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Bikriteriální metoda s vektorovým LQ řízením \end_layout \begin_layout Standard Dále byly testovány jednotlivé verze bikriteriální metody doplněné lineárně kvadratickým regulátorem. Jak bylo popsáno v předchozím odstavci \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:LQ-regulator-volba-param" \end_inset , použití LQ regulátoru odstraňuje některé nedostatky vektorového řízení založeného na PI regulátorech, především v nízkých otáčkách. Bylo by tedy možno očekávat jisté zlepšení na profilech nulové otáčky a dále při průchodech nulou na profilech střední otáčky. Výsledky simulací však na příliš velké zlepšení neukazují. \end_layout \begin_layout Standard Hodnoty střední kvadratické chyby jsou zachyceny na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:bikriterialni-bar-ztraty" \end_inset b). Při použití základní i časově posunuté verze bikriteriální metody je sice udržován dobrý odhad polohy \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset , ale je způsobováno značné rušení při dosahování požadavku na otáčky a výsledné řízení je nedostačující. Lepší výsledky byly získány přidáváním konstanty k řízení v ose \begin_inset Formula $d$ \end_inset , avšak stále se nejedná o použitelný algoritmus. Nejlepších výsledků pak bylo dosaženo s verzí bikriteriální metody využívající pěti rozšířených Kalmanových filtrů. Ta byla vyhodnocena jako nejlepší ze všech testovaných verzí, a to i ve srovnání s předchozími verzemi, založenými na vektorovém řízení s PI regulátory. \end_layout \begin_layout Standard Jako zástupce bikriteriální metody bude dále uvažován LQ regulátor s buzením vybíraným na základě pěti rozšířených Kalmanových filtrů a bude označován jako BK. \end_layout \begin_layout Subsection LQ regulátor s hyperstavem \end_layout \begin_layout Standard Další možností pro nalezení vhodného řízení PMSM jsou postupy založené na využití myšlenky hyperstavu. V části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:Hyperstav-odvoz-pro-pmsm" \end_inset byly popsány dva LQG algoritmy, jeden využívající redukovaný model stroje a druhý založený na modelu plném. Kvalita jimi poskytovaného řízení byla opět experimentálně ověřena pomocí simulátoru PMSM. Srovnání bylo provedeno především na základě dosažených středních kvadratických chyb na jeden časový krok a tyto hodnoty jsou zaznamenány v grafu na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:hyperstav-bar-ztraty" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard LQG s hyperstavem pro redukovaný model vychází ze vzájemného porovnání znatelně hůře. V nízkých otáčkách je jeho problémem neaktivita, podobně jako u vektorového řízení založeného na PI regulátorech. Ve vyšších otáčkách je pak špatná kvalita poskytovaného řízení způsobována nevhodnými řídícími zásahy, kdy dochází k rozkmitání. Pravděpodobnou příčinou špatné funkčnosti této verze hyperstavu je problematick ý návrh LQ regulátoru na redukovaném modelu, viz odstavec \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:LQ-řízení-pro-red-model" \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard V případě hyperstavu pro plný model jsou výsledky výrazně lepší, výpočetní náročnost je však znatelně vyšší. Tato verze LQ regulátoru s hyperstavem byla vybrána jako zástupce označený LQ-HS a porovnání s ostatními algoritmy následuje v textu. \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Graphics filename obrazky/hypers.eps scale 60 \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Hodnoty střední kvadratické chyby algoritmu využívajícího hyperstav pro plný a redukovaný model PMSM. V grafech označuje \begin_inset Formula $\delta$ \end_inset střední kvadratickou chybu. Referenční profily otáček jsou následující: 1 -- nulový; 2 -- nízké otáčky trojúhelníky; 3 -- nízké otáčky lichoběžníky; 4 -- střední otáčky trojúhelníky; 5 -- střední otáčky lichoběžníky; 6 -- vysoké otáčky trojúhelníky; 7 -- vysoké otáčky lichoběžníky. \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:hyperstav-bar-ztraty" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Aposteriorní Cramer-Raovy meze \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sec:Aposteriorni-Cramer-Raovy-meze" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Jak již bylo podrobněji zmiňováno v předchozích částech textu, je hlavní komplikací bezsenzorového řízení PMSM problém pozorovatelnosti neměřených veličin v nízkých otáčkách. Standardně je odhad těchto veličin získáván ze zpětné elektromotorické síly, jejíž velikost je však přímo úměrná otáčkám stroje. V nulových otáčkách pak zcela vymizí a poloha \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset se stává nepozorovatelným stavem. Situace druhé neměřené veličiny -- otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset je v tomto smyslu daleko lepší, protože její velikost odpovídá velikosti zpětné elektromotorické síly. V nulových otáčkách tedy tato veličina není nepozorovatelná, ale nulová. \end_layout \begin_layout Standard Tato práce je zaměřena na duální metody řízení a s tím je spojena i volba vhodného budícího signálu, který má za cíl pozorovatelnost stavu zlepšit. Nástrojem jak vyhodnocovat pozorovatelnost stavových veličin pro nelineární systémy jsou právě aposteriorní Cramer-Raovy meze. V této části tedy budou předloženy výsledky analýzy modelu PMSM na základě tohoto nástroje. Jednak budou prostudovány přídavné signály užívané při aplikaci metod vysokofre kvenčních injektáží ve smyslu, jak samy o sobě dokáží zlepšit pozorovatelnost. Následovat pak bude analýza v této práci uvažovaných duálních algoritmů -- bikriteriální metody a využití hyperstavu. \end_layout \begin_layout Subsection Vzorový běh systému \end_layout \begin_layout Standard Výpočet hodnot aposteriorních Cramer-Raových mezí probíhá na vzorovém běhu systému. Ze vzorového běhu jsou získány průběhy jednotlivých stavových veličin v čase, které pak slouží jako zdroj pro výpočet vlastních mezí. Jako vzorový běh lze buď přímo zvolit nějaké hodnoty a nebo je získat aplikací vhodného regulátoru na model systému. Pro tento případ bylo užíváno vektorové PI řízení (implementované jako referenční) získávající odhad ze senzorů a řídící na určenou referenční hodnotu. Řídící zásahy byly následně doplněny vysokofrekvenčním signálem a to v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset nebo \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset a byl testován sinový i obdélníkový signál. Dále byla testována bikriteriální metoda, konkrétně její základní verze, verze užívající pěti EKF a přidání konstantní hodnoty do osy \begin_inset Formula $d$ \end_inset . Posledním zkoumaným algoritmem pak bylo využití hyperstavu, které však nevyužívá PI regulátory, ale je založeno na vektorovém řízení s LQ regulátorem. \end_layout \begin_layout Standard Použité vzorové běhy shrnuje následující seznam: \end_layout \begin_layout Itemize vektorové PI řízení \end_layout \begin_deeper \begin_layout Itemize vysokofrekvenční injektáž do \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset \end_layout \begin_deeper \begin_layout Itemize sinový signál \end_layout \begin_layout Itemize obdélníkový signál \end_layout \end_deeper \begin_layout Itemize vysokofrekvenční injektáž do \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset \end_layout \begin_deeper \begin_layout Itemize sinový signál \end_layout \begin_layout Itemize obdélníkový signál \end_layout \end_deeper \begin_layout Itemize bikriteriální metoda \end_layout \begin_deeper \begin_layout Itemize základní verze \end_layout \begin_layout Itemize výběr buzení na základě výpočtu pěti EKF \end_layout \begin_layout Itemize konstantní signál v ose \begin_inset Formula $d$ \end_inset \end_layout \end_deeper \end_deeper \begin_layout Itemize využití hyperstavu \end_layout \begin_deeper \begin_layout Itemize plný model \end_layout \begin_layout Itemize redukovaný model \end_layout \end_deeper \begin_layout Standard Pro výpočet samotných Cramer-Raových mezí bylo užito rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:PCRB-rovnice-obecny-vypoecet" \end_inset ) a ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:PCRB-rovnice-pro-D-gauss" \end_inset ) a byl uvažován model PMSM v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset pro stejné ( \begin_inset Formula $L_{s}$ \end_inset ) i různé ( \begin_inset Formula $L_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $L_{q}$ \end_inset ) indukčnosti. Výchozí hodnota meze byla pro všechny uvažované veličiny volena \begin_inset Formula $1,0e-7$ \end_inset aby byla dostatečně nízká, ale současně nenulová. Dále byly použity kovarianční matice \begin_inset Formula $Q$ \end_inset a \begin_inset Formula $R$ \end_inset s hodnotami kovariančních matic užitých pro šum ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:kov-matice-sum" \end_inset ). \end_layout \begin_layout Subsection Porovnání algoritmů \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sub:Výsledky-dosažené-pomocí-pcrb" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Vzhledem k tomu, že proudy \begin_inset Formula $i_{\alpha\beta}$ \end_inset jsou měřené veličiny, tak u nich lze očekávat nízkou mez a chyba v jejich odhadu je způsobena prakticky pouze chybou měření. Ve všech prováděných výpočtech PCRB byla hodnota této meze pro proudy \begin_inset Formula $i_{\alpha\beta}$ \end_inset nižší než \begin_inset Formula $5,0e-4$ \end_inset a dále se tedy mezemi pro proudy zabývat nebudeme. Podobně není příliš zajímavá ani Cramer-Raova mez pro otáčky \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . Ty sice již nejsou měřeny, ale mez je relativně nízká a obvykle se drží na hodnotě přibližně \begin_inset Formula $1,2e-2$ \end_inset . Cramer-Raově mezi otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset tedy opět nebude příliš věnována pozornost s výjimkou případů, kdy by došlo k její výraznější změně. \end_layout \begin_layout Subsubsection Vliv rychlosti \end_layout \begin_layout Standard Nejzajímavější z hlediska aplikace konceptu PCRB jsou tedy výsledky týkající se polohy \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset , která je při nulových otáčkách nepozorovatelným stavem. Pokud zůstává hodnota otáček nulová a není přítomno žádné další buzení, Cramer-Raova mez \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset stále roste, teoreticky až ke své krajní hodnotě odpovídající varianci uniformního rozdělení na intervalu \begin_inset Formula $\left(-\pi,\pi\right\rangle $ \end_inset . Tento jev stálého růstu je možno pozorovat na grafu obrázek \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:PCRB-theta-rychlost" \end_inset . Protože s růstem otáček roste zpětná elektromotorická síla, zvyšuje se množství informace o veličině \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset a následně se i snižuje chyba jejího odhadu. Zpřesnění odhadu a tedy pokles PCRB v důsledku vyšších otáček lze sledovat pro různé profily na grafu obrázek \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:PCRB-theta-rychlost" \end_inset a). \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/pcrb_ref.eps scale 55 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout a) snížení hodnoty PCRB \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset v důsledku zvýšení otáček \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/pcrb_hfs.eps scale 55 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout b) omezení růstu hodnoty PCRB \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset vlivem přidaného budícího signálu \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/pcrb_bik.eps scale 55 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout c) snížení hodnoty PCRB \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset aplikací bikriteriální metody \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Hodnoty aposteriorní Cramer-Raovy meze (PCRB) polohy \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset : a) jejich snižování v důsledku zvýšení otáček při různých referenčních profilech; b) omezování jejich hodnoty vlivem přidaného budícího signálu; c) snížení jejich hodnoty užitím bikriteriální metody. \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:PCRB-theta-rychlost" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Význam pro snížení meze \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset však nemají pouze otáčky, u kterých lze tento vliv očekávávat, ale také vhodný budící signál. Vliv přidaného signálu byl zkoumán zejména na profilu nulových otáček, kdy je nejvíce patrný. Pro výpočet PCRB byl uvažován vysokofrekvenční signál o amplitudě 5 V a frekvenci 1000 Hz. Na rozdíl od běžných injektážních metod však tento signál nebyl nijak vyhodnoco ván a byl pouze zkoumán jeho vliv na pozorovatelnost stavu, konkrétně PCRB \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection Vliv přídavného signálu \end_layout \begin_layout Standard Signál byl přidáván jak v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset , tak i v \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset . Je však nutno poznamenat, že nebyl prokázán prakticky žádný vliv volby souřadné soustavy. Lze tedy očekávat, že volba souřadného systému má vliv pouze na metody, kde je injektovaný signál dále vyhodnocován a neslouží pouze jako buzení ke zlepšení pozorovatelnosti. Dále tedy nebyla volba souřadné soustavy pro přidávání signálu rozlišována. \end_layout \begin_layout Standard Užívaný vysokofrekvenční signál byl dvou typů, jednak harmonický sinový signál a dále obdélníkový signál o stejné amplitudě i frekvenci. Z těchto dvou signálů pak poskytuje lepší výsledky signál obdélníkový. Důležitějším zjištěním ale je, že vysokofrekvenční signál snižuje hodnotu PCRB pouze při uvažování modelu s různými indukčnostmi \begin_inset Formula $L_{d}\neq L_{q}$ \end_inset . Při uvažování stejných indukčností \begin_inset Formula $L_{s}$ \end_inset je jeho vliv zanedbatelný. \end_layout \begin_layout Standard Výsledky analýzy použití vysokofrekvenčních přídavných signálů jsou zachyceny na grafu obrázek \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:PCRB-theta-rychlost" \end_inset b). Je použit nulový profil otáček a jako srovnávací je označeno vektorové PI řízení. Je možno pozorovat, že pro různé indukčnosti je dosaženo vyšší hodnoty PCRB \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset , přidáním vysokofrekvenčního signálu však dojde ke značnému omezení růstu hodnot meze. Oproti tomu v případě uvažování stejných indukčností je hodnota meze nižší, ale přidání vysokofrekvenčního signálu nemá žádný vliv a tento případ tedy není ani v grafu uveden. \end_layout \begin_layout Subsubsection Bikriteriální metoda \end_layout \begin_layout Standard Velmi významný vliv na hodnotu aposteriorní Cramer-Raovy meze má užití bikriteri ální metody. Pro zkoumání pomocí PCRB byly uvažovány tři verze této metody, jmenovitě základní verze, užití 5 EKF pro výběr nejlepšího buzení a přidání konstantního signálu do osy \begin_inset Formula $d$ \end_inset . Všichni tři zmiňovaní zástupci dosáhli řádově lepších výsledků, oproti těm z minulého odstavce založených na přidávání vysokofrekvenčního signálu. Vliv bikriteriální metody na hodnotu PCRB je srovnatelný s během stroje ve vysokých otáčkách, ale s tím rozdílem, že pro aplikaci bikriteriální metody byl uvažován stroj v klidu. \end_layout \begin_layout Standard Ze tří uvažovaných verzí pak byla relativně nejhorší verze základní. Lepších výsledků bylo dosaženo za použití 5 rozšířených Kalmanových filtrů pro výběr nejlepšího buzení. Nejlepší výsledky pak překvapivě poskytuje velmi jednoduchá verze spočívající v přidání konstantního signálu do osy \begin_inset Formula $d$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dalším zajímavým zjištěním je, že pro každou z uvažovaných verzí je vždy (alespoň nepatrně) dosaženo horších výsledků při užití modelu s různými indukčnostmi \begin_inset Formula $L_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $L_{q}$ \end_inset . Grafické znázornění výsledků bikriteriální metody a srovnání s referenčním vektorovým PI řízením je prezentováno na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:PCRB-theta-rychlost" \end_inset c). \end_layout \begin_layout Standard Ohledně bikriteriální metody je ještě třeba zmínit, že se jedná o jediný případ ze zde uvažovaných možností, který způsoboval výraznější změnu Cramer-Ra ovy meze otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . Konkrétně se jedná o menší nárůst meze při přidávání konstantní hodnoty do osy \begin_inset Formula $d$ \end_inset , na přibližně \begin_inset Formula $1,4e-2$ \end_inset . Výraznější nárůst byl pak zaznamenán pro základní verzi bikriteriální metody, kdy PCRB \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset dosahovala až hodnoty \begin_inset Formula $4,5e-2$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsubsection LQ regulátor s hyperstavem \end_layout \begin_layout Standard Dále byly analyzovány Cramer-Raovy meze při využití hyperstavu. Výsledné hodnoty pro redukovaný i plný stav při nulovém referenčním profil jsou zobrazeny na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:PCRB-theta-hyper" \end_inset a). V případě redukovaného stavu nedochází k omezování meze a ta stále roste. Tento jev je s největší pravděpodobností způsoben komplikovanějším dvoufázovým návrhem řízení pro redukovaný model, který pak trpí podobným nedostatkem jako vektorové PI řízení. Lepších výsledků je však dosaženo při užití hyperstavu s plným modelem, který relativně dobře zvládá snižovat hodnotu PCRB \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/pcrb_hyp.eps scale 55 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout a) hodnoty PCRB \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset při užití hyperstavu \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/pcrb_porovnani.eps scale 55 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout b) porovnání vybraných zástupců \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Hodnoty aposteriorní Cramer-Raovy meze (PCRB) polohy \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset v nulových otáčkách: a) při užití hyperstavu; b) porovnání vybraných zástupců všech metod. \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:PCRB-theta-hyper" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Vzájemné porovnání PCRB \end_layout \begin_layout Standard Na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:PCRB-theta-hyper" \end_inset b) zachyceno porovnání vybraných zástupců z předchozích odstavců. Při užití vektorového PI řízení bez dalšího buzení Cramer-Raova mez polohy stále roste. V případě různých indukčností v osách \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset roste rychleji, ale přidáním vysokofrekvenčního signálu ji lze snížit. V případě stejných indukčností nemá vysokofrekvenční signál na hodnotu meze vliv. \end_layout \begin_layout Standard Znatelně lepších výsledků je však možno dosáhnout při užití bikriteriální metody nebo hyperstavu. Bikriteriální metoda zde dosahuje pro všechny uvažované verze relativně nejlepších výsledků co se týče vlivu na PCRB \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset . Z jejích jednotlivých verzí se pak jako nejlepší ukazuje jednoduché přidání konstantního signálu k řídícímu zásahu v ose \begin_inset Formula $d$ \end_inset . Oproti tomu ale v případě užití některých verzí bikriteriální metody dochází k menšímu růstu Cramer-Raovy meze otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Použitím hyperstavu lze také dosáhnout výrazného snížení Cramer-Raovy meze. Pokles sice není tak výrazný jako u bikriteriální metody, ale to je pravděpodob ně způsobeno strukturou samotných algoritmů. Zatímco bikriteriální metoda přidává budící signál víceméně stále, LQ regulátor s hyperstavem je přístup více odpovídající koncepci duálního řízení a snaží se hledat kompromis mezi optimálním řízením a buzením. Nachází-li se v nulových otáčkách a je-li požadovaná hodnota otáček také nulová, jako v uvažovaném případě, není pravděpodobně třeba příliš velkého buzení. \end_layout \begin_layout Section Simulační porovnání algoritmů \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "sec:Simulační-porovnání-algoritmů" \end_inset \end_layout \begin_layout Standard V předchozích částech byly popsány jednotlivé zkoumané algoritmy pro řešení úlohy řízení synchronního stroje s permanentními magnety. Pozornost byla věnována především popisu základních vlastností jednotlivých přístupů a dále vzájemnému porovnání jednotlivých verzí téže metody. Následující část textu bude věnována vzájemnému porovnání jednotlivých metod. Porovnání z hlediska vlivu konkrétních algoritmů na pozorovatelnost systému již bylo provedeno v části \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:Aposteriorni-Cramer-Raovy-meze" \end_inset týkající se aposteriorních Cramer-Raových mezí, zde bude věnována pozornost spíše celkové kvalitě poskytnutého řízení. \end_layout \begin_layout Standard Porovnávány budou pouze vybrané algoritmy. Konkrétně se jedná o neduální referenční vektorové PI řízení (PI) a vektorové řízení s LQ regulátorem (LQ-CE). Dále bude zahrnut LQ regulátor doplněný vysokofrekvenční injektáží (INJ) jako zástupce klasických postupů řešení bezsenzorového řízení PMSM. Z duálních algoritmů pak bude uvažován algoritmus založený na hyperstavu (LQ-HS) a verze bikriteriální metody založená na vektorovém řízení s LQ regulátorem, která vybírá budící zásah na základě výpočtu 5 EKF (BK). \end_layout \begin_layout Subsection Rozjezd stroje \end_layout \begin_layout Standard Nejprve bude věnována pozornost chování jednotlivých algoritmů při rozjezdu stroje. Hlavní komplikací v tomto případě je obecně neznalost počátečního úhlu natočení rotoru \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset . Právě špatný počáteční odhad polohy může způsobit značné chyby v plnění požadavků řízení a je tedy snahou tento negativní vliv omezit. Zde lze očekávat pozitivní vliv duálních metod, které se namísto řízení se špatným odhadem snaží i tento odhad zlepšit. \end_layout \begin_layout Standard Nejsou-li o počátečním stavu stroje dostupné žádné další informace, lze rotor očekávat libovolně natočený, což odpovídá předpokladu, že počáteční úhel \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset je náhodnou veličinou s rovnoměrným rozdělením na intervalu \begin_inset Formula $\left(-\pi,\pi\right\rangle $ \end_inset . Zde však dochází k problému s již zmiňovanou symetrií rovnic stroje na substituci \begin_inset Formula $\left(\omega,\vartheta\right)\longleftrightarrow\left(-\omega,\vartheta+\pi\right)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Realizaci jedné nebo druhé varianty není možno okamžitě poznat z modelu stroje a jejich rozpoznání je třeba řešit jinak. Jednou možností je užití metod popsaných v odstavci \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Detekce-počáteční-polohy" \end_inset . Dalším způsobem, jak toto rozpoznání provést, je sledovat běh stroje po delší časový úsek. Když se totiž skutečný stroj otáčí na druhou stranu než předpokládá jeho model, dodávané řídící zásahy na základě modelu přestanou odpovídat skutečnému stroji a z této neshody mezi strojem a modelem již lze poznat, že došlo ke špatnému odhadu. Problémem zmiňovaného přístupu je právě delší časový okamžik nezbytný k detekci této chyby. \end_layout \begin_layout Standard Z důvodů zmiňovaných komplikací bude tedy dále v textu předpokládán počáteční úhel natočení pouze v intervalu \begin_inset Formula $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\rangle $ \end_inset a případné rozjezdy na opačnou stranu, tedy realizaci verze \begin_inset Formula $\left(-\omega,\vartheta+\pi\right)$ \end_inset namísto \begin_inset Formula $\left(\omega,\vartheta\right)$ \end_inset , budou detekovány a ze vzájemného porovnání jednotlivých algoritmů vyřazeny. Vhodné zvládnutí detekce, ke které realizaci symetrických verzí došlo tedy zůstává nevyřešena a je vhodná k dalšímu výzkumu. \end_layout \begin_layout Standard Konkrétní porovnání jednotlivých algoritmů pak probíhalo na \emph on trojúhelníkovém \emph default profilu \emph on střední otáčky \emph default v časovém horizontu 1 s. Důvodem pro volbu tohoto profilu bylo, že profily s nižšími otáčkami způsobují značné komplikace některým algoritmům, zejména založeným na PI regulátorech a ve vyšších otáčkách je již odhad úhlu příliš usnadněn vyšší rychlostí a tedy větší zpětnou elektromotorickou silou. Počáteční poloha \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset byla volena náhodně z intervalu \begin_inset Formula $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\rangle $ \end_inset a simulace byly prováděny opakovaně. Použito bylo vždy \begin_inset Formula $100$ \end_inset opakování, do grafů zobrazujících chyby odhadů (obrázek \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:pocatecni-rozjezdy" \end_inset ) však bylo pro přehlednost uvažováno méně vzorků. \end_layout \begin_layout Standard Jednotlivé algoritmy byly porovnávány na základě střední kvadratické chyby (střední pro jeden časový krok i pro jednotlivé realizace počáteční polohy \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset ), tedy z hlediska, jak dobře zvládne stroj regulovaný daným algoritmem sledovat referenční signál. Toto porovnání je pro jednotlivé algoritmy zobrazeno na grafu \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:pocatecni-rozjezdy" \end_inset a). A zřejmě se na něm ukazuje přínos duálních metod při zvládnutí neznámé počáteční polohy. \end_layout \begin_layout Standard Dalším zkoumaným hlediskem je schopnost jednotlivých algoritmů nalézt správnou polohu stroje \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset . Vývoj chyby odhadu polohy \begin_inset Formula $\vartheta-\hat{\vartheta}$ \end_inset v čase pro jednotlivé algoritmy a různé počáteční hodnoty úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset ze zachycen na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:pocatecni-rozjezdy" \end_inset b)-f). Relativně dobrá schopnost nalézt správný odhad polohy i u neduálních metod je dána především tím, že jako pozorovatele užívají rozšířený Kalmanův filtr a že s růstem otáček se zvyšuje pozorovatelnost systému. Celkově je ale možné pozorovat lepší výsledku u duálních metod, konkrétně u BK a LQ-HS. \end_layout \begin_layout Standard Ještě je vhodné poukázat na špatné chování referenčního regulátoru PI. Problém se týká nízkých požadovaných otáček, kdy regulátor v jistém smyslu \begin_inset Quotes gld \end_inset nic nedělá \begin_inset Quotes grd \end_inset . V důsledku toho pak dosahuje relativně vyšší střední kvadratické chyby, tento jev lze také pozorovat na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:pocatecni-rozjezdy" \end_inset b) na počátku běhu systému. \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/rozjezd/chybabar.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/rozjezd/pi3.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout a) střední kvadratická chyba \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout b) PI \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/rozjezd/lq3.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/rozjezd/inok3.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout c) LQ-CE \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout d) INJ \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/rozjezd/bk3.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/rozjezd/hs3.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout e) BK \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout f) LQ-HS \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Vliv počáteční polohy na rozjezd stroje při užítí různých algoritmů. a) přehled dosažených středních kvadratických chyb ( \begin_inset Formula $\delta$ \end_inset ) pro jednotlivé algoritmy 1 až 5; dále je zobrazena chyba odhadu polohy \begin_inset Formula $\vartheta-\hat{\vartheta}$ \end_inset pro: b) PI (algoritmus 1), c) LQ-CE (algoritmus 2), d) INJ (algoritmus 3), e) BK (algoritmus 4), f) LQ-HS (algoritmus 5). \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:pocatecni-rozjezdy" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Odhad v nule \end_layout \begin_layout Standard Dále byly prováděny podobné simulace jako v předchozím odstavci, týkajícím se rozjezdu stroje, nyní však s jiným profilem požadovaných otáček. Bylo testováno chování jednotlivých algoritmů v nulových otáčkách při špatném počátečním odhadu úhlu \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset . Počáteční poloha \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset byla opět volena náhodně z intervalu \begin_inset Formula $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\rangle $ \end_inset ze stejných důvodů jako v předchozím odstavci. Simulace byly prováděny opakovaně, vždy \begin_inset Formula $100$ \end_inset opakování, do grafů zobrazujících chyby odhadů bylo pro přehlednost uvažováno vzorků méně. \end_layout \begin_layout Standard Provedené simulace byly jednak zaměřeny na velikost chyby řízení v nulových otáčkách, ale především na zkoumání schopnosti jednotlivých algoritmů omezit počáteční neznalost polohy \begin_inset Formula $\vartheta$ \end_inset při současném požadavku na udržení stroje v klidu. Oproti předchozímu odstavci zde nedochází ke zvyšování hodnoty referenčních otáček a tak vzhledem k referenčním otáčkám je poloha stále nepozorovatelným stavem. Ke zlepšení odhadu polohy je tedy třeba aktivního budícího zásahu, který ovšem zřejmě naruší požadovaný klidový stav stroje. Právě při této úloze by se měly s výhodou uplatnit duální algoritmy. \end_layout \begin_layout Standard Na grafech b)-f) obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:chovani-v-nule" \end_inset jsou znázorněny průběhy chyb odhadu polohy \begin_inset Formula $\vartheta-\hat{\vartheta}$ \end_inset v čase pro jednotlivý algoritmy při různé počáteční hodnotě úhlu natočení \begin_inset Formula $\vartheta_{0}$ \end_inset . V případě samostatného vektorového řízení nedochází nijak k omezování chyby odhadu. Konkrétně pro PI jsou všechny řídící zásahy nulové a chyba odhadu zůstává v čase konstantní. V případě LQ-CE je situace nepatrně lepší a chyby odhadu nezůstávají zcela konstantní a dochází k drobnému zvlnění. Jedná se však spíše o náhodné změny v důsledku řídících zásahů snažících se udržet nulové otáčky. \end_layout \begin_layout Standard Zcela odlišné výsledky však poskytují zbývající tři algoritmy, které zvládají počáteční chybu odhadu polohy výrazně omezit. Je však důležité věnovat pozornost i dosažené chybě při řízení na nulové požadované otáčky. Tato chyba je zde opět reprezentována jako střední kvadratická chyba skutečných a požadovaných otáček a její hodnoty jsou pro jednotlivé algoritmy zaneseny v grafu na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:chovani-v-nule" \end_inset a). Zřejmě lze očekávat, že v případě algoritmů, které nějakým způsobem omezují chybu odhadu polohy dojde k nárůstu chyby řízení. V případě PI, které při požadavku na nulové otáčky stručně řečeno \begin_inset Quotes gld \end_inset nic nedělá \begin_inset Quotes grd \end_inset je také chyba řízení nulová. Naopak pro BK, která zvládá omezování počáteční chyby odhadu polohy relativně nejlépe je střední kvadratická chyba skutečných a požadovaných otáček vysoká. Vyšší chyby pak dosahuje i LQ-HS. Nejlepších výsledků a současně jakéhosi kompromisu pak dosahuje algoritmus INJ, který zvládají efektivně omezit chybu odhadu a současně udržet chybu řízení dostatečně nízkou. \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/nula/chybybar.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/nula/nula_pi.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout a) střední kvadratická chyba \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout b) PI \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/nula/nula_lq.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/nula/nula_in.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout c) LQ-CE \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout d) INJ \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/nula/nula_bk.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/nula/nula_hs.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout e) BK \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout f) LQ-HS \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Vliv počáteční polohy na setrvání stroje v nulových otáčkách při užítí různých algoritmů. a) přehled dosažených středních kvadratických chyb ( \begin_inset Formula $\delta$ \end_inset ) pro jednotlivé algoritmy 1 až 5; dále je zobrazena chyba odhadu polohy \begin_inset Formula $\vartheta-\hat{\vartheta}$ \end_inset pro: b) PI (algoritmus 1), c) LQ-CE (algoritmus 2), d) INJ (algoritmus 3), e) BK (algoritmus 4), f) LQ-HS (algoritmus 5). \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:chovani-v-nule" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Nízké otáčky \end_layout \begin_layout Standard Tento odstavec bude zaměřen na chování jednotlivých algoritmů v nízkých otáčkách. Pro srovnání bylo konkrétně užito profilů \emph on nízké otáčky \emph default \emph on trojúhelníky \emph default a \emph on lichoběžníky \emph default . Jednotlivé algoritmy byly porovnány na základě středních kvadratických chyb, jejich hodnoty jsou pak zaneseny v grafu na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:prubehy-ztraty" \end_inset a). Dále je chování jednotlivých algoritmů možno posoudit i z průběhů otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset v čase, které jsou pro jednotlivé algoritmy zachyceny na grafech \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:prubehy-otacek-nizke" \end_inset a) pro trojúhelníkový a b) pro lichoběžníkový profil požadovaných otáček. \end_layout \begin_layout Standard Především lze opět pozorovat již zmiňovanou neaktivitu PI, kdy na profilu nízkých otáček s amplitudou 1 rad/s vůbec nedojde k roztočení stroje a v důsledku toho pak dohází k relativně větší střední kvadratické chybě. \end_layout \begin_layout Standard Dále je velmi zajímavé chování BK. Protože se jedná o jednoduchý suboptimální duální algoritmus není zde dosažena vhodná rovnováha mezi opatrností a buzením. To se projevuje především velmi výraznými budícími zásahy v nulových otáčkách, které následně způsobí nárůst chyby řízení. Z jistého úhlu pohledu však nelze označit toto chování přímo za špatné. Regulátor totiž přidává výrazné budící zásahy pouze při dosažení nulových otáček, tedy když dojde k nepozorovatelnosti systému. Tyto budící zásahy jsou však relativně velké vzhledem k amplitudě otáček, což by mohlo být překážkou pro praktickou aplikaci algoritmu. \end_layout \begin_layout Standard Ostatní uvažované algoritmy vykazují vizuálně podobný průběh otáček a tedy jsou v grafech zobrazeny pouze jako jeden společný reprezentant \emph on ostatní \emph default . Všechny tyto algoritmy také dosáhly relativně nízké střední kvadratické chyby pro trojúhelníkový i lichoběžníkový profil. Jako nejlepší z nich a i celkově se ukazuje INJ, rozdíl oproti LQ-HS je však malý. Nízké chyby pak dosahuje i LQ-CE. \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/prubeh/nizke.eps scale 55 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset space \hspace{} \length 0.9cm \end_inset a) nízké otáčky -- trojúhelníky \begin_inset space \hspace{} \length 2.4cm \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout b) nízké otáčky -- lichoběžníky \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Porovnání průběhu hodnoty otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset při řízení jednotlivými algoritmy na požadovanou hodnotu \begin_inset Formula $\omega_{ref}$ \end_inset danou profilem \emph on nízké otáčky \emph default (a) trojúhelníky a (b) lichoběžníky. Pod označením \emph on ostatní \emph default jsou rozumněny následující algoritmy: LQ-CE, INJ a LQ-HS. \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:prubehy-otacek-nizke" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/prubeh/bar_nizke.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/prubeh/bar_pruchod.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout a) nízké otáčky \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout b) střední otáčky \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/prubeh/bar_vysoke.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout c) vysoké otáčky \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Dosažené hodnoty středních kvadratických chyb \begin_inset Formula $\delta$ \end_inset pro profily a) \emph on nízké otáčky \emph default , b) \emph on střední otáčky \emph default a c) \emph on vysoké otáčky \emph default . Použité algoritmy jdou v pořadí: 1 -- PI, 2 -- LQ-CE, 3 -- INJ, 4 -- BK a 5 -- LQ-HS. \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:prubehy-ztraty" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Průchody nulou \end_layout \begin_layout Standard Dále byla věnována pozornost problematice průchodů nulou. Jedná se o změnu směru otáčení stroje, která může být ztížena setrváním po určitý časový okamžik v klidu, tedy při nulových otáčkách. Běžný průchod nulou je realizován pomocí trojúhelníkového referenčního profilu, průchod se setrváním v nulových otáčkách pak profilem lichoběžníkovým. Pro srovnání jednotlivých algoritmů bylo užito simulací s referenčními profily otáček \emph on střední otáčky \emph default . Výsledky těchto simulací v podobě průběhů hodnoty otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset v čase pro různé algoritmy jsou zachyceny na grafech \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:prubehy-otacek-pruchod" \end_inset a) a b). \end_layout \begin_layout Standard Jednotlivé algoritmy pak byly porovnávány na základě dosažených středních kvadratických chyb, jejichž hodnoty jsou uvedeny v grafu \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:prubehy-ztraty" \end_inset b). Největší chyby ve sledování referenčního signálu se dopustilo PI. Problémem je opět \begin_inset Quotes gld \end_inset neaktivita \begin_inset Quotes grd \end_inset tohoto algoritmu, dokud není dosaženo dostatečně vysoké hodnoty požadovaných otáček. Problematika tohoto jevu bude detailněji diskutována v závěru kapitoly. \end_layout \begin_layout Standard Opět je možno pozorovat \begin_inset Quotes gld \end_inset budící \begin_inset Quotes grd \end_inset zásahy BK při dosažení nulových otáček. Vzhledem k tomu, že nyní mají podstatně menší amplitudu ve srovnání s amplitudo u požadovaných a následně skutečných otáček, je chyba v jejich důsledku již relativně menší a nejedná se o tolik závažný problém. \end_layout \begin_layout Standard Podobně velké chyby pak dosahuje LQ-CE i LQ-HS. Pro LQ-CE je chyba nepatrně větší pravděpodobně v důsledku trvalé odchylky od požadované hodnoty. Nejlepších výsledků je pak dosaženo užitím INJ. \end_layout \begin_layout Standard Detailnější porovnání průběhů hodnoty otáček při průchodu nulou pro jednotlivé algoritmy je znázorněno na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:prubehy-otacek-pruchod" \end_inset c) a d). Zde je možno pozorovat především chybu PI při průchodu nulou a dále pak \begin_inset Quotes gld \end_inset budící \begin_inset Quotes grd \end_inset zásahy BK. \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/prubeh/pruchod.eps scale 55 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset space \hspace{} \length 0.7cm \end_inset a) střední otáčky -- trojúhelníky \begin_inset space \hspace{} \length 2.2cm \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout b) střední otáčky -- lichoběžníky \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/prubeh/pruchod_detail.eps scale 55 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout c) detail -- trojúhelníky \begin_inset space \hspace{} \length 1.7cm \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout d) detail -- lichoběžníky \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Porovnání průběhu hodnoty otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset při řízení jednotlivými algoritmy na požadovanou hodnotu \begin_inset Formula $\omega_{ref}$ \end_inset danou profilem \emph on střední otáčky \emph default (a,c) trojúhelníky a (b,d) lichoběžníky. Pod označením \emph on ostatní \emph default jsou rozumněny následující algoritmy: LQ-CE, INJ a LQ-HS. Nahoře (a,b) je celkový pohled na průběh hodnoty otáček v čase a dole (c,d) pak vybraný detail průchodu nulovými otáčkami. \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:prubehy-otacek-pruchod" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Vysoké otáčky \end_layout \begin_layout Standard Následuje podrobnější popis chování jednotlivých algoritmů ve vysokých otáčkách. Pro simulace bylo užito trojúhelníkového i lichoběžníkového referenčního profilu \emph on vysoké otáčky \emph default . Vysoké otáčky jsou problematické především z toho hlediska, že se více uplatňuje nelineární charakter PMSM a chyby modelu stroje, například v důsledku linearizace, se projevují více. \end_layout \begin_layout Standard Pro vysoké otáčky již nebude uveden celkový náhled na průběh hodnoty \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset v čase, protože je pro všechny použité algoritmy vizuálně shodný. Místo toho bude věnována pozornost detailům těchto průběhů, kde lze nalézt rozdílné chování jednotlivých užitých metod. Zmiňované detaily jsou zobrazeny v grafech na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:prubehy-otacek-vysoke" \end_inset a) pro trojúhelníkový a b) pro lichoběžníkový profil požadovaných otáček. \end_layout \begin_layout Standard Pro trojúhelníkový profil a) vlevo lze při dosahování nejvyšší hodnoty otáček pozorovat jisté \begin_inset Quotes gld \end_inset zpoždění \begin_inset Quotes grd \end_inset skutečné hodnoty za požadovanou. Tento jev je s největší pravděpodobností způsoben úbytky napětí a jejich následnou kompenzací, viz odstavec \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Kompenzace-úbytků-napětí" \end_inset . Bez užití kompenzace je zmiňovaný pokles skutečné hodnoty výraznější. S užitím kompenzace se jej však nepodařilo zcela odstranit především z důvodu aplikace velmi jednoduché kompenzační techniky, která však musí být aplikovatelná na celé spektrum otáček stroje. Například menší vylepšení chování ve vysokých otáčkách na zobrazeném detailu by mohlo mít za následek výraznější zhoršení v otáčkách nízkých. \end_layout \begin_layout Standard Dále je vhodné poukázat na komplikovanější průchod nulou pro PI pro trojúhelníko vý profil a) vpravo. Před dosažením nulových otáček zde dochází ke \begin_inset Quotes gld \end_inset zvlnění \begin_inset Quotes grd \end_inset trajektorie a tedy k větší chybě oproti ostatním algoritmům, které mají průběh hladší. \end_layout \begin_layout Standard Při uvažování lichoběžníkového referenčního profilu b) vlevo je průběh otáček ve vysokých hodnotách pro všechny algoritmy srovnatelný s výjimkou PI. Pro tento řídící návrh dochází před dosažením nejvyšší požadované hodnoty k jistému zpomalení růstu, tento jev pomalejšího růstu lze pak pozorovat i pro trojúhelníkový profil. \end_layout \begin_layout Standard Odlišné chování jednotlivých algoritmů lze pozorovat při průchodu nulou na lichoběžníkovém profilu b) vpravo. Rozdílnost spočívá především ve schopnosti dosáhnout a udržet nulové otáčky. Nejpomalejší průběh při zastavování stroje má PI. O málo rychlejší je BK, která však opět přidává \begin_inset Quotes gld \end_inset budící \begin_inset Quotes grd \end_inset zásah. Podobné průběhy mají INJ a LQ-CE, přičemž v druhém případě je dosaženo nulových otáček nepatrně rychleji. Nejrychleji dosahuje nuly LQ-HS, v tomto případě však dojde k jistému přesažení nulové meze a stroj se nepatrně otočí v opačném směru. \end_layout \begin_layout Standard Porovnání pro jednotlivé algoritmy na základě dosažených středních kvadratických chyb pak představuje graf na obrázku \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:prubehy-ztraty" \end_inset c). Hodnoty jsou poměrně vyrovnané, i když v případě duálních algoritmů je dosaženo nižších chyb. Za pozornost však stojí nízká chyba dosažená za pomoci INJ. Obecně je udáváno problematické chování injektážních technik při vysokých otáčkách a zde je dosaženo výsledků relativně nejlepších ze všech uvažovaných metod. Důvodem pro tyto lepší vlastnosti je s největší pravděpodobností užití spolu s rozšířeným Kalmanovým filtrem a vektorovým LQ řízením. Běžně užívané injektážní metody totiž EKF nepoužívají a jsou založeny na vektorovém řízení s PI regulátory. \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/prubeh/vysoke_t_detail.eps scale 55 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout a) detail vysokých otáček -- trojúhelníky \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/prubeh/vysoke_l_detail.eps scale 55 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout b) detail vysokých otáček -- lichoběžníky \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Detail průběhu hodnoty otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset při řízení jednotlivými algoritmy na požadovanou hodnotu \begin_inset Formula $\omega_{ref}$ \end_inset danou profilem \emph on vysoké otáčky \emph default (a) trojúhelníky a (b) lichoběžníky. Pro (a) i (b) je vždy vlevo detailní pohled na průběh hodnoty otáček v nejvyšším bodě profilu. Vpravo pak je detail průchodu nulovými otáčkami. \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:prubehy-otacek-vysoke" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Diskuze výsledků \end_layout \begin_layout Standard Výsledky simulací provedených na simulátoru PMSM uvedené v předchozích odstavcíc h poukázaly na několik zajímavých faktů, které budou nyní ještě podrobněji diskutovány. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Float figure wide false sideways false status collapsed \begin_layout Plain Layout \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/prubeh/sim2_nt.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Graphics filename obrazky/prubeh/sest_PI_detail.eps scale 45 \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout a) jednoduchý model \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout b) detail vysokých otáček \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Caption \begin_layout Plain Layout Chování vektorového PI řízení: a) simulace při užití \emph on jednoduchého modelu \emph default stroje na trojúhelníkovém referenčním profilu \emph on nízké otáčky \emph default ; b) detail chování ve vysokých otáčkách při užití simulátoru PMSM na profilu \emph on vysoké otáčky \emph default lichoběžníky, kde je zobrazena současně skutečná hodnota otáček \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset a její odhad \begin_inset Formula $\hat{\omega}$ \end_inset . \begin_inset CommandInset label LatexCommand label name "fig:konkretni-detaily-diskuze" \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Referenční vektorové PI řízení (PI) \end_layout \begin_layout Standard Nejprve bude věnována pozornost vektorovému řízení založenému na PI regulátorech. Jedná se o klasický algoritmus užívaný k řízení PMSM a zde byl implementován především jako referenční spolu s EKF jako pozorovatelem. Jeho výsledky lze stručně označit jako nejhorší ze zde prezentovaných algoritmů. Jeho největšími problémy jsou neaktivita při nízkých otáčkách, problematické průchody nulou a \begin_inset Quotes gld \end_inset zpomalování \begin_inset Quotes grd \end_inset ve vysokých otáčkách. \end_layout \begin_layout Standard Nejpravděpodobnější příčinou těchto jevů je přílišná \begin_inset Quotes gld \end_inset opatrnost \begin_inset Quotes grd \end_inset algoritmu PI. Navrhované řídící zásahy jsou pak v nízkých otáčkách příliš malé a v důsledku chyb způsobených napájecí elektronikou, jako úbytky napětí a mrtvé časy, dojde k úplnému vymizení řídícího zásahu. Použitý pozorovatel (EKF) se o tom však nedozví a předpokládá navržený malý řídící zásah. V důsledku toho pak pozorovatel poskytuje odhad, podle kterého je přesně sledována referenční hodnota otáček, i když ve skutečnosti se nic neděje a stroj se neotáčí. Pro toto vysvětlení svědčí také fakt, že při simulacích provedených pouze na základě \emph on jednoduchého modelu \emph default stroje, který neuvažuje napájecí elektroniku a simuluje PMSM pouze na základě jeho rovnic, k tomuto jevu nedochází, viz obrázek \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:konkretni-detaily-diskuze" \end_inset a). \end_layout \begin_layout Standard Podobnou příčinu lze nalézt i ve \begin_inset Quotes gld \end_inset zpomalení \begin_inset Quotes grd \end_inset při vysokých otáčkách. K poklesu růstu rychlosti totiž dochází ve chvíli, kdy je dle odhadu dosaženo požadované hodnoty nebo dokonce hodnoty nepatrně vyšší, viz obrázek \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "fig:konkretni-detaily-diskuze" \end_inset b). To, že skutečná hodnota otáček dále roste až k hodnotě požadované je pak pravděpodobně způsobeno jiným regulačním mechanizmem než přímo regulací odchylky otáček na nulu. \end_layout \begin_layout Subsection Neduální LQ regulátor (LQ-CE) \end_layout \begin_layout Standard Kvůli výše zmiňovaným nedostatkům vektorového PI řízení byla v práci věnována pozornost alternativnímu návrhu vektorového řízení pomocí LQ regulátoru. Jak bylo ukázáno v předchozích odstavcích, především v \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sec:Simulační-porovnání-algoritmů" \end_inset a \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:LQ-regulator-volba-param" \end_inset při využití LQ namísto PI regulátorů je dosaženo znatelně lepších výsledků. \end_layout \begin_layout Standard Aplikace LQ regulátoru na PMSM sebou však nese i jisté komplikace. Především se jedná o výrazně větší výpočetní náročnost, která by mohla být překážkou pro nasazení tohoto regulátoru v reálném čase. Byla proto zkoumána i možnost předpočítaného konstantního LQ regulátoru. Ten sice poskytuje horší výsledky, zejména ve vyšších otáčkách, kdy se výrazněji projeví chyby v důsledku zjednodušení modelu, ale ukazuje se jako relativně použitelná alternativa pro nekonstantní LQ regulátor. Navíc při provedení externího předpočtu na jiném zařízení by jej bylo možno snadno nasadit pro aplikaci v reálném čase díky jeho jednoduchosti. \end_layout \begin_layout Standard Použití LQ namísto PI regulátoru pro vektorové řízení se tedy, až na vyšší výpočetní náročnost, ukázalo jako dobrá alternativa a z tohoto návrhu bylo vycházeno i při tvorbě dalších, komplikovanějších algoritmů pro řízení PMSM. \end_layout \begin_layout Subsection Využití vysokofrekvenční injektáže (INJ) \end_layout \begin_layout Standard Injektážní návrh INJ slouží jako zástupce injektážních metod pro srovnání s ostatními algoritmy. Byl však implementován v poněkud odlišné verzi, než jsou injektáže běžně využívány. Jako základní řídící algoritmus bylo použito vektorové řízení založené na LQ regulátoru místo běžně používaných PI regulátorů. To již samo o sobě přináší výhodu vyplývající z lepších výsledků poskytovaných při této volbě regulátoru, viz předchozí odstavec. Další modifikací pak bylo přidání rozšířeného Kalmanova filtru oproti klasickým injektážním metodám v jistém smyslu navíc. V této implementaci lze spatřovat jistý krok směrem k hybridním metodám, které kombinují injektáže s pozorovatelem založeným na zpětné elektromotorické síle. Oproti hybridním metodám však nedochází k omezování injektovaného vysokofrekven čního signálu s rostoucími otáčkami. \end_layout \begin_layout Standard Pomocí této metody se podařilo dosáhnout velmi dobrých výsledků. Je však třeba upozornit, že v užité implementaci se jedná o výpočetně poměrně náročnou metodu. Je totiž třeba v každém časovém kroku počítat algoritmus pro EKF, dále oproti PI výrazně náročnější LQ algoritmus a také současně provádět filtraci vysokofrekvenčního přídavného signálu užitím digitálních filtrů. \end_layout \begin_layout Standard Dalším výrazným důvodem, který mluví v neprospěch nejen této ale injektážních metod celkem je fakt, že jsou použitelné pouze na určitou podskupinu PMSM. Aby bylo možno užít injektáží, je nezbytné, aby byly v samotném stroji přítomny anizotropie nějakého typu. Existují však stroje, které anizotropie nemají nebo jsou příliš malé pro efektivní nasazení metody. Dále existuje více typů anizotropií a každý typ vyžaduje odlišný přístup. Jako hlavní nedostatek injektážních metod lze tedy uvést, že nelze vyvinout univerzální metodu použitelnou pro všechny typy PMSM. \end_layout \begin_layout Standard Ohledně injektážních metod je ještě vhodné upozornit na problémy při vyšších otáčkách, kdy dochází ke snížené aplikovatelnosti přístupu a problém je obvykle řešen užitím hybridních injektážních algoritmů. \end_layout \begin_layout Standard Zajímavou vlastností injektáží je, že na ně lze pohlížet jako na duální metodu. Opatrnou část reprezentuje použitý řídící algoritmus, obvykle vektorové řízení. Budící část je pak zastoupena přídavným vysokofrekvenčním signálem. Zde je ale třeba zdůraznit výsledky analýzy systému pomocí aposteriorních Cramer-Raových mezí, viz odstavec \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "sub:Výsledky-dosažené-pomocí-pcrb" \end_inset . Na jejich základě lze totiž zlepšení pozorovatelnosti systému vyhodnotit jako relativně nejmenší z používaných metod. Oproti tomu ale implementovaná metoda podává velmi dobré výsledky co se týče odhadů stavových veličin se špatnou pozorovatelností. Pozitivní vliv na výsledky injektážních metod tedy nelze hledat pouze v přidání budícího signálu, ale především je důležité i jeho vyhodnocování pomocí metod analýzy signálu. \end_layout \begin_layout Subsection Bikriteriální duální řízení (BK) \end_layout \begin_layout Standard Velmi zajímavých výsledků bylo dosaženo aplikací vybraného návrhu bikriteriální metody. I když se jedná o relativně jednoduchý postup může poskytnout dobrou regulaci PMSM. Relativně vyšších hodnot chyby dosahuje tento algoritmus jen při nízkých otáčkách, kdy jsou budící zásahy poměrně velké ve srovnání s amplitudou otáček. Se zvýšením otáček se však velikost těchto zásahů stává zanedbatelnými. Budící zásahy jsou navíc přidávány pouze při dosažení nulových otáček, kdy se stává poloha stroje nepozorovatelným stavem, v budícím zásahu lze tedy spatřovat snahu tuto nepozorovatelnost odstranit. Tento jev lze současně považovat za experimentální ověření faktu, že se skutečně jedná o duální algoritmus, protože budící zásah je přidáván jen, když je opravdu potřeba. V případě bikriteriální metody se ale jedná o velmi jednoduchý suboptimální duální návrh, což se zde projevuje především v tom, že budící zásahy jsou někdy nepřiměřeně velké. \end_layout \begin_layout Standard Při srovnání s ostatními algoritmy lze konstatovat, že BK podává lepší výsledky než obyčejné vektorové řízení, zejména při větší neznalosti stavu systému. Oproti zbylým dvěma porovnávaným algoritmům (INJ a LQ-HS) jsou pak dosažené výsledky horší, někdy i znatelně. Na druhou stranu zde uvažovaný návrh bikriteriální metody představuje poměrně jednoduché vylepšení základního vektorového řízení, který by mohl být použiteln ý pro méně náročné aplikace. \end_layout \begin_layout Subsection LQ regulátor s hyperstavem (LQ-HS) \end_layout \begin_layout Standard Posledním zkoumaným algoritmem bylo využití konceptu hyperstavu. Ten založen na myšlence, že kromě odhadu stavových veličin pracujeme i s jejich kovariancemi a tedy kromě odhadu si uchováváme i informaci o jeho přesnosti. Značnou nevýhodou tohoto přístupu je pak vyšší výpočetní náročnost. Dále je třeba zmínit, že v případě užití hyperstavu se jedná o suboptimální algoritmus. Především skutečná negaussovská hustota pravděpodobnosti stavových veličin je aproximována pouze na základě prvních dvou momentů. Odhadování a návrh řízení je na hyperstavu prováděn pomocí rozšířeného Kalmanova filtru a LQ regulátoru, které pro PMSM ani pro rovnice kovarianční matice v hyperstavu nejsou optimální, protože se nejedná o lineární systém. \end_layout \begin_layout Standard Přes zmiňované nedostatky se podařilo pomocí LQ-HS dosáhnout relativně velmi dobrých výsledků. Dále lze opět konstatovat, že bylo experimentálně potvrzeno, že se jedná o duální algoritmus. Důvodem pro to jsou především výsledky experimentů s neznámým počátečním úhlem natočení, kde se podařilo užitím hyperstavu neznalost efektivně omezovat a to i při požadavku na nulové otáčky. Celý algoritmus je navíc komplexním řešením a ne pouze přidáváním vhodného signálu jako u bikriteriální metody. Také bylo dosaženo lepšího kompromisu mezi \emph on opatrností \emph default a \emph on buzením \emph default . V některých případech sice algoritmus dosáhl vyšší hodnoty chyby řízení, nepodařilo se ale nalézt žádnou systematickou chybu, kterou by buzení způsobova lo. \end_layout \begin_layout Standard Navíc pro správnou funkčnost algoritmu LQ-HS není třeba předpokladu různých indukčností v osách \begin_inset Formula $d-q$ \end_inset , tak jako pro injektáže. Lze tedy říci, že pro SMPMSM, které mají velmi malý nebo téměř žádný rozdíl indukčností \begin_inset Formula $L_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $L_{q}$ \end_inset dosahuje tento algoritmus nejlepších výsledků ze zde testovaných algoritmů. \end_layout \begin_layout Subsection Náměty pro další zkoumání \end_layout \begin_layout Standard Vzhledem k výsledkům popsaným v předchozím textu existuje několik problémů, které jsou obzvláště vhodné k dalšímu zkoumání: \end_layout \begin_layout Standard Jednak by bylo vhodné věnovat se dalšímu výzkumu bikriteriální metody, především způsobu jak omezit v některých případech příliš velké budící zásahy. Dále pak navrhnout takové zjednodušení bikriteriální metody, aby bylo možné ji implementovat pro řízení skutečného PMSM v reálném čase. \end_layout \begin_layout Standard Dalším důležitým problémem vhodným k výzkumu je vliv zátěžného momentu. Zátěžný moment v této práci nebyl uvažován, avšak při užití řídících algoritmů pro reálné aplikace je třeba zvládnout práci i s neznámým časově proměnným zátěžným momentem. \end_layout \begin_layout Standard Podstatnou záležitostí je i detailnější prozkoumání a vyřešení problému symetrie rovnic popisujících PMSM na substituci \begin_inset Formula $\left(\omega,\vartheta\right)\longleftrightarrow\left(-\omega,\vartheta+\pi\right)$ \end_inset . Nebo ekvivalentně vyvinutí metody, která zvládne odhadovat polohu v celém intervalu \begin_inset Formula $\left(-\pi,\pi\right\rangle $ \end_inset . \end_layout \begin_layout Addchap Závěr \end_layout \begin_layout Standard Hlavním záměrem této práce bylo zkoumání možnosti užití duálního řízení pro regulaci synchronního stroje s permanentními magnety v bezsenzorovém návrhu. V textu je nejdříve přiblížen samotný PMSM, dále jeho matematický popis a běžně užívané postupy pro odhadování a řízení tohoto systému. Následuje kapitola věnovaná řídícím algoritmům s důrazem na řízení duální. Další části textu už jsou zaměřeny na aplikaci konkrétních algoritmů na systém synchronního stroje s permanentními magnety a jejich porovnání a vyhodnocení na základě simulací. \end_layout \begin_layout Standard Běžně užívané vektorové řízení založené na PI regulátorech a doplněné rozšířeným Kalmanovým filtrem jako pozorovatelem slouží za referenční, neduální, metodu. Tento základní algoritmus byl modifikován užitím lineárně kvadratického návrhu vektorového řízení. Lineárně kvadratický regulátor je sice výpočetně náročnější než PI regulátory, ale na základě simulací bylo ukázáno, že dosahuje lepších výsledků, především v problematických režimech jako nízké otáčky a průchody nulovými otáčkami. Zatím se však stále nejedná o duální metodu. Lineárně kvadratická verze vektorového řízení pak dále sloužila jako výchozí pro tvorbu složitějších algoritmů. \end_layout \begin_layout Standard Dále byly implementovány pokročilejší metody, které měly za cíl zvládnout dobrý běh stroje i v nízkých nebo nulových otáčkách při komplikacích způsobenýc h špatnou pozorovatelností polohy stroje. Právě zlepšení pozorovatelnosti za účelem poskytnutí lepšího řízení je oblastí, kde by se měly s výhodou projevit duální algoritmy. \end_layout \begin_layout Standard Za tímto účelem jsou nejběžněji využívány injektážní metody, případně metody hybridní, které kombinují injektáže s jiným typem pozorovatele ve vyšších otáčkách. Jako zástupce těchto metod byl implementován jednoduchý injektážní návrh, který kombinuje vysokofrekvenční injektáž s rozšířeným Kalmanovým filtrem a je dále doplněn lineárně kvadratickým vektorovým řízením. Na rozdíl od hybridních metod však nedochází k omezování injektovaného signálu s rostoucími otáčkami. Pomocí tohoto algoritmu bylo dosaženo velmi dobrých výsledků, což je v souladu s velkým zájmem o injektážní, případně hybridní, metody v odborné literatuře a snaze o nasazení jejich v praxi. Největším nedostatkem injektážních metod jsou však jejich specifické požadavky na konstrukci stroje a tedy nemožnost nasazení na všechny dostupné typy PMSM. \end_layout \begin_layout Standard Následujícím testovaným duálním algoritmem bylo užití bikriteriální metody. Podstata tohoto přístupu spočívá ve stanovení dvou kriterií, pro opatrné řízení a optimální buzení, která jsou minimalizována zvlášť. Kvůli komplikacím s nalezením opatrného řízení bylo místo něj užito standardníh o vektorového řízení založeného buď na LQ nebo PI regulátorech. Pro budící složku bylo zkoumáno několik možností o různé složitosti. Nakonec byla vybrána verze s LQ regulátorem a pěti současně běžícími EKF pro výběr minimální variance jako nejlepší zástupce bikriteriální metody. U tohoto algoritmu se podařilo experimentálně prokázat duální vlastnosti a celkově poskytoval relativně dobré výsledky. Větším problémem ale bylo chování při nízkých otáčkách, kdy budící zásahy způsobovaly výraznější chybu řízení. Pro méně náročné aplikace by však tento algoritmus mohl být dostačující. \end_layout \begin_layout Standard Posledním zkoumaným přístupem k duálnímu řízení byla aplikace hyperstavu. Jedná se v podstatě o rozšíření základního stavu systému o kovariance jednotliv ých stavových veličin. V důsledku této úpravy je pak stručně řečeno možno pracovat kromě odhadu těchto veličin i s jejich přesností. Na systém popsaný hyperstavem byl dále použit EKF pro odhadování a LQ regulátor pro vektorové řízení, který navíc zahrnoval i vhodnou penalizaci kovariancí. Experimentálně bylo opět ověřeno, že se jedná o duální přístup a bylo dosaženo relativně velmi dobrých výsledků. Jednoduchý injektážní návrh sice poskytoval výsledky zpravidla lepší, avšak algoritmus s hyperstavem nevyžaduje žádné speciální vlastnosti stroje jako například anizotropie rotoru. Nevýhodou užití hyperstavu je ale poměrně větší výpočetní náročnost, která zatím brání jeho efektivnímu nasazení na skutečném zařízení. \end_layout \begin_layout Standard V této práci je předložena alternativa k běžně užívanému vektorovému řízení a je zde prezentován pohled na injektážní metody v rámci duálního řízení. Dále byly na PMSM v bezsenzorovém návrhu aplikovány dvě další duální metody s nimiž se podařilo dosáhnout poměrně velmi dobrých výsledků. Je zde samozřejmě prostor k dalšímu výzkumu a modifikacím, aby bylo možno efektivně nasadit prezentované algoritmy za jakýchkoliv podmínek. V každém případě ale lze konstatovat, že užití konceptu duálního řízení je dobrou cestu řešení problému bezsenzorového řízení synchronních strojů. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset CommandInset bibtex LatexCommand bibtex bibfiles "vyz_clanky,vyz_texty,dp_clanky" options "czechiso" \end_inset \end_layout \begin_layout Addchap Příloha -- LQG pro různé indukčnosti \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash pagenumbering{roman} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard V příloze jsou zařazeny složitější formální úpravy výrazů, které nejsou zařazeny v hlavní části textu především z důvodu jejich komplikovaného zápisu. Tyto výpočty byly prováděny především za pomoci symbolických výpočtů v programu Matlab (Symbolic Math Toolbox). \end_layout \begin_layout Subsubsection Rovnice v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset pro různé indukčnosti \end_layout \begin_layout Standard Diferenciální rovnice systému v souřadné soustavě \begin_inset Formula $\alpha-\beta$ \end_inset pro různé indukčnosti \begin_inset Formula $L_{d}$ \end_inset a \begin_inset Formula $L_{q}$ \end_inset jsou získány z rovnic ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:rovnice-pmsm-dq-ldq" \end_inset ), kdy je užito transformací ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:transformace_al-be_na_d-q" \end_inset ) a ( \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:transformace_d-q_na_al-be" \end_inset ): \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{\alpha}}{dt} & = & \cos\vartheta\left(\frac{u_{d}}{L_{d}}-\frac{R_{s}i_{d}}{L_{d}}-i_{\beta}\omega\cos\vartheta+i_{\alpha}\omega\sin\vartheta+\frac{L_{q}\omega i_{q}}{L_{d}}\right)-\\ & - & \sin\vartheta\left(\frac{u_{q}}{L_{q}}-\frac{R_{s}i_{q}}{L_{q}}+i_{\alpha}\omega\cos\vartheta+i_{\beta}\omega\sin\vartheta-\frac{\omega\psi_{pm}}{L_{q}}-\frac{L_{d}\omega i_{d}}{L_{q}}\right),\\ \frac{di_{\beta}}{dt} & = & \cos\vartheta\left(\frac{u_{q}}{L_{q}}-\frac{R_{s}i_{q}}{L_{q}}+i_{\alpha}\omega\cos\vartheta+i_{\beta}\omega\sin\vartheta-\frac{\omega\psi_{pm}}{L_{q}}+\frac{L_{d}\omega i_{d}}{L_{q}}\right)+\\ & + & \sin\vartheta\left(\frac{u_{d}}{L_{d}}-\frac{R_{s}i_{d}}{L_{d}}-i_{\beta}\omega\cos\vartheta+i_{\alpha}\omega\sin\vartheta+\frac{L_{q}\omega i_{q}}{L_{d}}\right),\\ \frac{d\omega}{dt} & = & \frac{k_{p}p_{p}^{2}\left(\psi_{pm}i_{q}+\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d}i_{q}\right)}{J}-\frac{B\omega}{J},\\ \frac{d\vartheta}{dt} & = & \omega, \end{eqnarray*} \end_inset kde \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{d} & = & i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta,\\ i_{q} & = & i_{\beta}\cos\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta,\\ u_{d} & = & u_{\alpha}\cos\vartheta+u_{\beta}\sin\vartheta,\\ u_{q} & = & u_{\beta}\cos\vartheta-u_{\alpha}\sin\vartheta. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Následuje provedení diskretizace náhradou derivace konečnou diferencí \begin_inset Formula \[ \frac{dx}{dt}\left(t\right)=\frac{x_{t+1}-x_{t}}{\Delta t} \] \end_inset s výsledkem: \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{\alpha,t+1} & = & i_{\alpha,t}+\Delta t\left(\cos\vartheta_{t}\left(\frac{u_{d,t}}{L_{d}}-\frac{R_{s}i_{d,t}}{L_{d}}-i_{\beta,t}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+i_{\alpha,t}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{L_{q}\omega_{t}i_{q,t}}{L_{d}}\right)\right.-\\ & - & \left.\sin\vartheta_{t}\left(\frac{u_{q,t}}{L_{q}}-\frac{R_{s}i_{q,t}}{L_{q}}+i_{\alpha,t}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+i_{\beta,t}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}-\frac{\omega_{t}\psi_{pm}}{L_{q}}-\frac{L_{d}\omega_{t}i_{d,t}}{L_{q}}\right)\right),\\ i_{\beta,t+1} & = & i_{\beta,t}+\Delta t\left(\cos\vartheta_{t}\left(\frac{u_{q,t}}{L_{q}}-\frac{R_{s}i_{q,t}}{L_{q}}+i_{\alpha,t}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+i_{\beta,t}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}-\frac{\omega_{t}\psi_{pm}}{L_{q}}\right.\right.+\\ & + & \left.\left.\frac{L_{d}\omega_{t}i_{d,t}}{L_{q}}\right)+\sin\vartheta_{t}\left(\frac{u_{d,t}}{L_{d}}-\frac{R_{s}i_{d,t}}{L_{d}}-i_{\beta,t}\omega_{t}\cos\vartheta_{t}+i_{\alpha,t}\omega_{t}\sin\vartheta_{t}+\frac{L_{q}\omega_{t}i_{q,t}}{L_{d}}\right)\right),\\ \omega_{t+1} & = & \omega_{t}+\Delta t\frac{k_{p}p_{p}^{2}\left(\psi_{pm}i_{q,t}+\left(L_{d}-L_{q}\right)i_{d,t}i_{q,t}\right)}{J}-\Delta t\frac{B\omega_{t}}{J},\\ \vartheta_{t+1} & = & \vartheta_{t}+\Delta t\omega_{t}, \end{eqnarray*} \end_inset kde \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} i_{d,t} & = & i_{\alpha,t}\cos\vartheta_{t}+i_{\beta,t}\sin\vartheta_{t},\\ i_{q,t} & = & i_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-i_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t},\\ u_{d,t} & = & u_{\alpha,t}\cos\vartheta_{t}+u_{\beta,t}\sin\vartheta_{t},\\ u_{q,t} & = & u_{\beta,t}\cos\vartheta_{t}-u_{\alpha,t}\sin\vartheta_{t}. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dále je výpočtena Jacobiho matice parciálních derivací stavových veličin \begin_inset Formula $i_{\alpha,t+1}$ \end_inset , \begin_inset Formula $i_{\beta,t+1}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\omega_{t+1}$ \end_inset a \begin_inset Formula $\vartheta_{t+1}$ \end_inset dle veličin stejného stavu v předchozím čase \begin_inset Formula $i_{\alpha,t}$ \end_inset , \begin_inset Formula $i_{\beta,t}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\omega_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $\vartheta_{t}$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Subsubsection Derivace \begin_inset Formula $i_{\alpha,t+1}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{\alpha,t+1}}{di_{\alpha,t}} & = & \frac{L_{q}-\Delta tR_{s}\sin^{2}\vartheta}{L_{q}}-\frac{\Delta tL_{q}\left(L_{q}\omega\sin\vartheta\cos\vartheta+R_{s}\cos^{2}\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}+\\ & + & \frac{\Delta tL_{d}\omega\sin\vartheta\cos\vartheta}{L_{q}}\\ \frac{di_{\alpha,t+1}}{di_{\beta,t}} & = & \frac{\Delta t\left(L_{d}-L_{q}\right)\left(-L_{q}\omega\cos^{2}\vartheta+R_{s}\sin\vartheta\cos\vartheta+L_{d}\omega\sin^{2}\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}\\ \frac{di_{\alpha,t+1}}{di\omega_{t}} & = & \frac{\Delta tL_{d}\left(-L_{d}i_{\beta}\cos^{2}\vartheta+L_{d}i_{\alpha}\sin\vartheta\cos\vartheta+L_{d}i_{\beta}-L_{q}i_{\beta}+\psi_{pm}\sin\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}+\\ & + & \frac{\Delta tL_{q}^{2}\left(i_{\beta}\cos^{2}\vartheta-i_{\alpha}\sin\vartheta\cos\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}\\ \frac{di_{\alpha,t+1}}{d\vartheta_{t}} & = & \frac{\Delta t\left(\omega\psi_{pm}\cos\vartheta+R_{s}i_{\beta}\cos2\vartheta-R_{s}i_{\alpha}\sin2\vartheta\right)}{L_{q}}+\\ & + & \frac{\Delta tL_{d}\left(i_{\alpha}\omega\cos2\vartheta+i_{\beta}\omega\sin2\vartheta\right)}{L_{q}}-\\ & - & \frac{\Delta tL_{q}\left(L_{q}i_{\alpha}\omega\cos2\vartheta+L_{q}i_{\beta}\omega\sin2\vartheta+R_{s}i_{\beta}\cos2\vartheta-R_{s}i_{\alpha}\sin2\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}} \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Derivace \begin_inset Formula $i_{\beta,t+1}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{di_{\beta,t+1}}{di_{\alpha,t}} & = & \frac{\Delta t\left(L_{d}-L_{q}\right)\left(-L_{d}\omega\cos^{2}\vartheta+R_{s}\sin\vartheta\cos\vartheta+L_{q}\omega\sin^{2}\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}\\ \frac{di_{\beta,t+1}}{di_{\beta,t}} & = & \frac{L_{q}-\Delta tR_{s}\cos^{2}\vartheta}{L_{q}}-\frac{\Delta tL_{q}\left(-L_{q}\omega\sin\vartheta\cos\vartheta+R_{s}\sin^{2}\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}-\\ & - & \frac{\Delta tL_{d}\omega\sin\vartheta\cos\vartheta}{L_{q}}\\ \frac{di_{\beta,t+1}}{di\omega_{t}} & = & -\frac{\Delta tL_{d}\left(L_{d}i_{\alpha}\cos^{2}\vartheta+L_{d}i_{\beta}\sin\vartheta\cos\vartheta-L_{q}i_{\alpha}+\psi_{pm}\cos\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}}+\\ & - & \frac{\Delta tL_{q}^{2}\left(-i_{\alpha}\cos^{2}\vartheta-i_{\beta}\sin\vartheta\cos\vartheta+i_{\alpha}\right)}{L_{d}L_{q}}\\ \frac{di_{\beta,t+1}}{d\vartheta_{t}} & = & \frac{\Delta t\left(\omega\psi_{pm}\sin\vartheta+R_{s}i_{\alpha}\cos2\vartheta+R_{s}i_{\beta}\sin2\vartheta\right)}{L_{q}}+\\ & + & \frac{\Delta tL_{d}\left(-i_{\beta}\omega\cos2\vartheta+i_{\alpha}\omega\sin2\vartheta\right)}{L_{q}}-\\ & - & \frac{\Delta tL_{q}\left(-L_{q}i_{\beta}\omega\cos2\vartheta+L_{q}i_{\alpha}\omega\sin2\vartheta+R_{s}i_{\alpha}\cos2\vartheta+R_{s}i_{\beta}\sin2\vartheta\right)}{L_{d}L_{q}} \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Derivace \begin_inset Formula $\omega_{t+1}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{d\omega_{t+1}}{di_{\alpha,t}} & = & -\frac{\Delta tk_{p}p_{p}^{2}\left(\psi_{pm}\sin\vartheta+\left(L_{d}-L_{q}\right)\left(-i_{\beta}\cos2\vartheta+i_{\alpha}\sin2\vartheta\right)\right)}{J}\\ \frac{d\omega_{t+1}}{di_{\beta,t}} & = & \frac{\Delta tk_{p}p_{p}^{2}\left(\psi_{pm}\cos\vartheta+\left(L_{d}-L_{q}\right)\left(i_{\alpha}\cos2\vartheta+i_{\beta}\sin2\vartheta\right)\right)}{J}\\ \frac{d\omega_{t+1}}{d\omega_{t}} & = & 1-\frac{B\Delta t}{J}\\ \frac{d\omega_{t+1}}{d\vartheta_{t}} & = & -\frac{\Delta tk_{p}p_{p}^{2}}{J}\left(\psi_{pm}\left(i_{\alpha}\cos\vartheta+i_{\beta}\sin\vartheta\right)\right.+\\ & + & \left.\left(L_{d}-L_{q}\right)\left(i_{\alpha}^{2}\cos2\vartheta-i_{\beta}^{2}\cos2\vartheta+2i_{\alpha}i_{\beta}\sin2\vartheta\right)\right) \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Derivace \begin_inset Formula $\vartheta_{t+1}$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \frac{d\vartheta_{t+1}}{di_{\alpha,t}} & = & 0\\ \frac{d\vartheta_{t+1}}{di_{\beta,t}} & = & 0\\ \frac{d\vartheta_{t+1}}{d\omega_{t}} & = & \Delta t\\ \frac{d\vartheta_{t+1}}{d\vartheta_{t}} & = & 1 \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Matice pro EKF \end_layout \begin_layout Standard Jednotlivé výše uvedené derivace lze již rovnou použít do matice \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset rozšířeného Kalmanova filtru, když za příslušné veličiny dosadíme jejich odhady v čase \begin_inset Formula $t$ \end_inset . Matice \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset je pak ve tvaru \begin_inset Formula \[ A_{t}=\left[\begin{array}{cccc} \frac{di_{\alpha,t+1}}{di_{\alpha,t}} & \frac{di_{\alpha,t+1}}{di_{\beta,t}} & \frac{di_{\alpha,t+1}}{d\omega_{t}} & \frac{di_{\alpha,t+1}}{d\vartheta_{t}}\\ \frac{di_{\beta,t+1}}{di_{\alpha,t}} & \frac{di_{\beta,t+1}}{di_{\beta,t}} & \frac{di_{\beta,t+1}}{d\omega_{t}} & \frac{di_{\beta,t+1}}{d\vartheta_{t}}\\ \frac{d\omega_{t+1}}{di_{\alpha,t}} & \frac{d\omega_{t+1}}{di_{\beta,t}} & \frac{d\omega_{t+1}}{d\omega_{t}} & \frac{d\omega_{t+1}}{d\vartheta_{t}}\\ \frac{d\vartheta_{t+1}}{di_{\alpha,t}} & \frac{d\vartheta_{t+1}}{di_{\beta,t}} & \frac{d\vartheta_{t+1}}{d\omega_{t}} & \frac{d\vartheta_{t+1}}{d\vartheta_{t}} \end{array}\right]. \] \end_inset Matice \begin_inset Formula $C$ \end_inset je stejná jako v případě stejných indukčností. \end_layout \begin_layout Subsubsection Redukovaný model \end_layout \begin_layout Standard V případě redukovaného modelu pro různé indukčnosti, jsou matice \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset a \begin_inset Formula $C_{t}$ \end_inset pro užití v EKF ve tvaru \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} A_{t} & = & \left[\begin{array}{cc} \frac{d\omega_{t+1}}{d\omega_{t}} & \frac{d\omega_{t+1}}{d\vartheta_{t}}\\ \frac{d\vartheta_{t+1}}{d\omega_{t}} & \frac{d\vartheta_{t+1}}{d\vartheta_{t}} \end{array}\right],\\ C_{t} & = & \left[\begin{array}{cc} \frac{di_{\alpha,t+1}}{d\omega_{t}} & \frac{di_{\alpha,t+1}}{d\vartheta_{t}}\\ \frac{di_{\beta,t+1}}{d\omega_{t}} & \frac{di_{\beta,t+1}}{d\vartheta_{t}} \end{array}\right]. \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Subsubsection Matice pro LQ regulátor \end_layout \begin_layout Standard Pro použití matice \begin_inset Formula $A_{t}$ \end_inset v LQ regulátoru je třeba provést její úpravu zahrnutím konstantních členů v důsledku linearizace a řízení na nenulové požadované otáčky, tedy substituce \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "eq:substituce-psi" \end_inset . Upravená matice je v blokovém tvaru \begin_inset Formula \[ \overline{A}_{t}=\left[\begin{array}{cc} A_{t} & \gamma\\ 0 & 1 \end{array}\right], \] \end_inset kde \begin_inset Formula $0$ \end_inset představuje nulový řádek vhodné délky a \begin_inset Formula $\gamma$ \end_inset je sloupcový vektor \begin_inset Formula \[ \gamma=\left(\begin{array}{c} \gamma_{1}\\ \gamma_{2}\\ \gamma_{3}\\ \gamma_{4} \end{array}\right) \] \end_inset s hodnotami \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \gamma_{1} & = & -\frac{\Delta t}{2L_{d}L_{q}}\left(2L_{d}^{2}i_{\beta}\psi\sin^{2}\vartheta+2L_{q}^{2}i_{\beta}\psi\cos^{2}\vartheta+L_{d}^{2}i_{\alpha}\psi\sin2\vartheta-L_{q}^{2}i_{\alpha}\psi\sin2\vartheta-\right.\\ & - & 2L_{d}\psi_{pm}\overline{\omega}\sin\vartheta-2L_{d}L_{q}i_{\beta}\psi+2L_{d}R_{s}i_{\beta}\vartheta\cos2\vartheta-2L_{q}R_{s}i_{\beta}\vartheta\cos2\vartheta-\\ & - & 2L_{d}R_{s}i_{\alpha}\vartheta\sin2\vartheta+2L_{q}R_{s}i_{\alpha}\vartheta\sin2\vartheta+2L_{d}^{2}i_{\alpha}\psi\vartheta\cos2\vartheta-2L_{q}^{2}i_{\alpha}\psi\vartheta\cos2\vartheta+\\ & + & 2L_{d}^{2}i_{\alpha}\overline{\omega}\vartheta\cos2\vartheta-2L_{q}^{2}i_{\alpha}\overline{\omega}\vartheta\cos2\vartheta+2L_{d}^{2}i_{\beta}\psi\vartheta\sin2\vartheta-2L_{q}^{2}i_{\beta}\psi\vartheta\sin2\vartheta+\\ & + & \left.2L_{d}^{2}i_{\beta}\overline{\omega}\vartheta\sin2\vartheta-2L_{q}^{2}i_{\beta}\overline{\omega}\vartheta\sin2\vartheta+2L_{d}\psi_{pm}\psi\vartheta\cos\vartheta+2L_{d}\psi_{pm}\overline{\omega}\vartheta\cos\vartheta\right), \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \gamma_{2} & = & \frac{\Delta t}{2L_{d}L_{q}}\left(2L_{q}^{2}i_{\alpha}\psi\sin^{2}\vartheta2L_{d}^{2}i_{\alpha}\psi\cos^{2}\vartheta L_{d}^{2}i_{\beta}\psi\sin2\vartheta-L_{q}^{2}i_{\beta}\psi\sin2\vartheta-\right.\\ & - & 2L_{d}\psi_{pm}\overline{\omega}\cos\vartheta-2L_{d}L_{q}i_{\alpha}\psi-2L_{d}R_{s}i_{\alpha}\vartheta\cos2\vartheta+2L_{q}R_{s}i_{\alpha}\vartheta\cos2\vartheta-\\ & - & 2L_{d}R_{s}i_{\beta}\vartheta\sin2\vartheta+2L_{q}R_{s}i_{\beta}\vartheta\sin2\vartheta+2L_{d}^{2}i_{\beta}\psi\vartheta\cos2\vartheta-2L_{q}^{2}i_{\beta}\psi\vartheta\cos2\vartheta+\\ & + & 2L_{d}^{2}i_{\beta}\overline{\omega}\vartheta\cos2\vartheta-2L_{q}^{2}i_{\beta}\overline{\omega}\vartheta\cos2\vartheta-2L_{d}^{2}i_{\alpha}\psi\vartheta\sin2\vartheta+2L_{q}^{2}i_{\alpha}\psi\vartheta\sin2\vartheta-\\ & - & \left.2L_{d}^{2}i_{\alpha}\overline{\omega}\vartheta\sin2\vartheta+2L_{q}^{2}i_{\alpha}\overline{\omega}\vartheta\sin2\vartheta-2L_{d}\psi_{pm}\psi\vartheta\sin\vartheta-2L_{d}\psi_{pm}\overline{\omega}\vartheta\sin\vartheta\right), \end{eqnarray*} \end_inset \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \gamma_{3} & = & \frac{\Delta t}{2J}\left(L_{d}i_{\alpha}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\sin2\vartheta-2B\overline{\omega}-L_{d}i_{\beta}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\sin2\vartheta-L_{q}i_{\alpha}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\sin2\vartheta+\right.\\ & + & L_{q}i_{\beta}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\sin2\vartheta+2i_{\alpha}k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}\vartheta\cos\vartheta+2i_{\beta}k_{p}p_{p}^{2}\psi_{pm}\vartheta\sin\vartheta-\\ & - & 2L_{d}i_{\alpha}i_{\beta}k_{p}p_{p}^{2}\cos2\vartheta+2L_{q}i_{\alpha}i_{\beta}k_{p}p_{p}^{2}\cos2\vartheta+2L_{d}i_{\alpha}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\vartheta\cos2\vartheta-\\ & - & 2L_{d}i_{\beta}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\vartheta\cos2\vartheta-2L_{q}i_{\alpha}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\vartheta\cos2\vartheta+2L_{q}i_{\beta}^{2}k_{p}p_{p}^{2}\vartheta\cos2\vartheta+\\ & + & \left.4L_{d}i_{\alpha}i_{\beta}k_{p}p_{p}^{2}\vartheta\sin2\vartheta-4L_{q}i_{\alpha}i_{\beta}k_{p}p_{p}^{2}\vartheta\sin2\vartheta\right), \end{eqnarray*} \end_inset \begin_inset Formula \[ \gamma_{4}=\Delta t\overline{\omega}. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dále je pro LQ regulátor nutno uvést matici \begin_inset Formula $B_{t}$ \end_inset , ta je nyní závislá na čase a má zápis \begin_inset Formula \[ B_{t}=\left[\begin{array}{cc} \Delta t\left(\frac{\cos^{2}\vartheta}{L_{d}}+\frac{\sin^{2}\vartheta}{L_{q}}\right) & \frac{\Delta t}{2}\sin2\vartheta\left(\frac{1}{L_{d}}-\frac{1}{L_{q}}\right)\\ \frac{\Delta t}{2}\sin2\vartheta\left(\frac{1}{L_{d}}-\frac{1}{L_{q}}\right) & \Delta t\left(\frac{\cos^{2}\vartheta}{L_{q}}+\frac{\sin^{2}\vartheta}{L_{d}}\right)\\ 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right]. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \end_layout \end_body \end_document